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MuseCode (1) Uma abordagem aritmé5ca à música tonal (2) À procura da linearidade na música tonal

José Carlos L. Ramalho

(Junho de 2010) (rev. Novembro 2011, Março 2012)

Mo5vação

•  Fazemos muitos cálculos para: –  calcular intervalos, – construir escalas, –  construir acordes, –  fazer transposições, – Verificar regras em contrapontos – …

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Linearidade

•  Fazer contas com inteiros é fácil: Ø  5+6 = 11 Ø  -‐7+3 = -‐4 Ø  -‐3 – (-‐7) = 4

•  Todos os elementos do domínio de trabalho estão à mesma distância do elemento seguinte;

•  O domínio é linear.

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Problema

•  Tudo se resolve se conseguirmos representar num eixo uniforme as notas musicais;

•  Problema: a sequência de notas numa escala não é uniforme, existem dois meios tons;

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Solução

•  O que poderá iden5ficar univocamente uma nota musical?

•  A tonalidade maior associada a uma nota tem uma caracterís5ca única: a sequência de intervalos que a caracteriza.

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Convenções

•  No trabalho que se segue vamos assumir que: – Uma nota musical pode ser alterada de duas maneiras;

– Através de uma contracção da distância para o elemento anterior (bemol): vamos associar a esta alteração um valor nega5vo;

– Através de uma expansão da distância para o elemento anterior (sustenido): vamos associar a esta alteração um valor posi5vo.

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Codificação de Notas

•  Exemplo: Dó Maior (Cmajor)

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Nenhuma alteração: valor 0


•  Exemplo: Sol Maior (Gmajor)

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Uma alteração de expansão: valor +1


•  Exemplo: Si Maior (Bmajor)

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Cinco alterações de expansão: valor +5


•  Exemplo: FáMaior (Fmajor)

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Uma alteração de contracção: valor -‐1

b

Exercício: Como será codificado o Láb? E o Mi#?


•  Solução: Láb Maior (Ab major)

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Quatro alterações de contracção: valor -‐4

b b b

b

E o Mi#? Solução: +11


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Tabela 1 Notas Valor

Cb -7 C 0

C# 7 Db -5 D 2

D# 9 Eb -3 E 4

E# 11 Fb -8 F -1

F# 6 Gb -6 G 1

G# 8 Ab -4 A 3

A# 10 Bb -2 B 5

B# 12

Tabela 2 Valor Notas

-8 Fb -7 Cb -6 Gb -5 Db -4 Ab -3 Eb -2 Bb -1 F 0 C 1 G 2 D 3 A 4 E 5 B 6 F# 7 C# 8 G# 9 D# 10 A# 11 E# 12 B#

Intervalo

•  Distância entre duas notas musicais: 4P, 5d, 7m, 8P, 2m, mtc, …

•  O intervalo é usado para: –  Construir escalas; –  Construir acordes; –  Realizar transposições; –  Resolver exercícios de contraponto;

•  Vamos verificar se o referencial construído para as notas serve para iden5ficar os intervalos.

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Iden5ficando os intervalos

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2M = +2 – 0 = 2 3M = +4 – 0 = 4 4P = -‐1 – 0 = -‐1 5P = ? 6M = +3 – 0 = 3 7M = +5 – 0 = +5 8P = ?

7m = ? 6m = ? 3m = ? 2m = ?

7m = Sib – Dó = -‐2 -‐ 0 = -‐2 6m = Láb – Dó = -‐4 – 0 = -‐4 3m = Mib – Dó = -‐3 – 0 = -‐3 2m = Fá – Mi = -‐1 -‐4 = -‐5

Parece que temos um bom referencial!

Codificação de Notas e Intervalos Tabela 3

Intervalo Valor uníssono 0 m.t.cr. 7

2m -5 2M 2 3m -3 3M 4 4d -8 4P -1 4A 6 5d -6 5P 1 5A 8 6m -4 6M 3 7m -2 7M 5 8P 0

Tabela 4 Valor Intervalo

-8 4d -6 5d -5 2m -4 6m -3 3m -2 7m -1 4P 0 uníssono 0 8P 1 5P 2 2M 3 6M 4 3M 5 7M 6 4A 7 m.t.cr. 8 5A

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Não estão aqui todos os intervalos possíveis. Mas agora é fácil completar o exercício…

Exemplo: enarmonia Réb – Dó# = -‐5 -‐7 = -‐12 Dó – Si# = 0 – 12 = -‐12 Fá – Mi# = -‐1 – 11 = -‐12

Aplicações

•  Cálculo de Intervalos; •  Construção de Escalas; •  Cálculo de intervalos; •  Cosntrução de Acordes; •  Transposições; •  Construção semi-‐automá5ca de cadências.

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Aplicações: cálculo de intervalos

•  Cálculo de Intervalos: – Dadas 2 notas: C e G#; – Subtrair a mais alta à mais baixa (Tab1): 8-‐0 = 8; – Consultar Tab4 para o intervalo correspondente a 8: 5A.

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Exemplo: testes de FM

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Mi = +4

Si# = +12

Intervalo = 12 – 4 = 8 = 5A

Fá# = +6 Mi# = +11

Intervalo = 6 – 11 = -‐5 = 2m

Aplicações: construção de escalas •  Construção de escalas (blues): –  sequência de intervalos: 3m, 2M, mt cr., 2m, 3m; – Da Tab.3: -‐3, 2, 7, -‐5, -‐3; –  Somam-‐se os intervalos a par5r de C (0):

•  0 : -‐3 : -‐1 : 6 : 1 : -‐2 – O que dá a escala de blues em C:

•  C : Eb : F : F# : G : Bb –  Escala de blues a par5r de G(1):

•  1 : -‐2 : 0 : 7 : 2 : -‐1 = G : Bb : C : C# : D : F –  Escala de blues a par5r de Bb(-‐2):

•  -‐2 : -‐5 : -‐3 : 4 : -‐1 : -‐4 = Bb : Db : Eb : E : F : Ab

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Construção de Escalas

Escala Sequência de Intervalos Vector

Maior [2M,2M,2m,2M,2M,2M,2m] [2,2,-‐5,2,2,2,-‐5]

Menor Natural [2M,2m,2M,2M,2m,2M,2M] [2,-‐5,2,2,-‐5,2,2]

Menor Harmónica [2M,2m,2M,2M,2m,2A,2m] [2,-‐5,2,2,-‐5,9,-‐5]

Menor Melódica Asc. [2M,2m,2M,2M,2M,2M,2m] [2,-‐5,2,2,2,2,-‐5]

Menor Melódica Desc. [2M,2M,2m,2M,2M,2m,2M] [2,2,-‐5,2,2,-‐5,2]

Pentatónica [2M,2M,3m,2M,3m] [2,2,-‐3,2,-‐3]

Hexáfona [2M,2M,2M,2M,2M,2M] [2,2,2,2,2,2]

Pentatónica de Blues [3m,2M,mtcr,2m,3m,2M] [-‐3,2,7,-‐5,-‐3,2]

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Construção de Escalas: exemplos

Designação Vector Nota + Vector Escala

Ré M [2,2,-‐5,2,2,2,-‐5] [2,4,6,1,3,5,7,2] [Ré,Mi,Fá#,Sol,Lá,Si,Dó#,Ré]

Si m natural [2,-‐5,2,2,-‐5,2,2] [5,7,2,4,6,1,3,5] [Si,Dó#,Ré,Mi,Fá#,Sol,Lá,Si]

Si m harmónica [2,-‐5,2,2,-‐5,9,-‐5] [5,7,2,4,6,1,10,5] [Si,Dó#,Ré,Mi,Fá#,Sol,Lá#,Si]

Si b Blues [2,-‐5,2,2,2,2,-‐5] [-‐2,-‐5,-‐3,4,-‐1,-‐4,-‐2] [Sib,Réb,Mib,Mi,Fá,Láb,Sib]

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Exercício: Construa a escala de Sol# m harmónica

Aplicações (cont.)

•  Construção de Acordes: –  Intervalos em causa: 3m e 3M; – Valores da Tab3: 3m=-‐3 e 3M=4; – Acorde menor com nota base C (3m, 3M):

•  Ao valor da nota somo -‐3 e obtenho a segunda nota, à segunda somo 4 e obtenho a terceira (ou somo os 2 intervalos à primeira nota: –  0 – 3 = -‐3(Eb) + 4 = 1 (G) è (C,Eb,G)

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•  Construção de Acordes: –  Intervalos em causa: 3m e 3M; – Valores da Tab3: 3m=-‐3 e 3M=4; – Acorde Maior com nota base C (3M, 3m):

•  Ao valor da nota somo 4 e obtenho a segunda nota, à segunda somo -‐3 e obtenho a terceira (ou somo os 2 intervalos à primeira nota: •  0 + 4 = 4(E) + -‐3 = 1 (G) è (C,E,G)

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•  Construção de Acordes: –  Intervalos em causa: 3m e 3M; – Valores da Tab3: 3m=-‐3 e 3M=4; – Acorde diminuto com nota base C (3m, 3m):

•  Ao valor da nota somo -‐3 e obtenho a segunda nota, à segunda somo -‐3 e obtenho a terceira (ou somo os 2 intervalos à primeira nota: •  0 + -‐3 = -‐3(Eb) + -‐3 = -‐6 (Gb) è (C,Eb,Gb)

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•  Construção de Acordes: –  Intervalos em causa: 3m e 3M; –  Valores da Tab3: 3m=-‐3 e 3M=4; – Acorde Aumentado com nota base C (3M, 3M):

•  Ao valor da nota somo 4 e obtenho a segunda nota, à segunda somo 4 e obtenho a terceira (ou somo os 2 intervalos à primeira nota:

•  0 + 4 = 4(E) + 4 = 8 (G#) è (C,E,G#)

– O mesmo raciocínio pode ser aplicado à inversão de acordes tendo em conta os intervalos nas inversões.

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Construção de Acordes Acorde Sequência de Intervalos Vector

(M)aior [3M,3m] [4,-‐3]

(m)enor [3m,3M] [-‐3,4]

(d)iminuto [3m,3m] [-‐3,-‐3]

(A)umentado [3M,3M] [4,4]

M 1ª inv. (M6) [3m,4P] [-‐3,-‐1]

M 2ª inv. (M6/4) [4P,3M] [-‐1,4]

m 1ª inv. (m6) [3M,4P] [4,-‐1]

m 2ª inv. (m6/4) [4P,3m] [-‐1,-‐3]

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Exercício: Construa a sequência do acorde de 7ª da dominante

Construção de Acordes: exemplos

Nota Base Cifra Vector Nota + Vector Acorde

Ré M5 [4,-‐3] [2,6,3] [Ré,Fá#,Lá]

Ré m5 [-‐3,4] [2,-‐1,3] [Ré,Fá,Lá]

Ré d [-‐3,-‐3] [2,-‐1,-‐4] [Ré,Fá,Láb]

Ré A [4,4] [2,6,10] [Ré,Fá#,Lá#]

Ré 7+ Vector [2,?,?,?] [Ré,?,?,?]

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Aplicações: transposições

•  Transposições: – Dada uma nota no piano: A; – Calcular a mesma nota no saxofone (em Eb):

•  Subtraio ao valor da nota a transpôr (Tab1) o valor do intervalo (3m, Tab3) : 3(A) -‐ -‐3 (3m) = 6 •  Consulto a Tab2 e 6 é F#

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Aplicação: contraponto

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-‐1 +1 +3 -‐1 +2 +4 -‐1

-‐1 +4 +2 -‐1

0 +3 +5 0

+5 +2 0 +5 0 +1

-‐1 +4 +2

Restrição: Consonâncias nos tempos fortes

Dissonâncias: 2ªs, 4ªs, 7ªs = (-‐5, 2), (-‐8, -‐1, 6), (-‐2, 5)

Conclusão

•  Objec5vo a5ngido: uma simples operação aritmé5ca permite-‐nos fazer todas as “operações” musicais;

•  Criou-‐se um referencial uniforme para as notas musicais capaz de as dis5nguir pelas suas caracterís5cas tonais;

•  Apresentaram-‐se alguns cenários de aplicação.

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