UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Programa de Pós-Graduação em Engenharia

Elétrica

Métodos Estatísticos Recursivos

Aplicados ao Problema de Estimação de

Vazão de Gás em Plantas de

�Plunger-lift�

Fernando Cesar de Miranda

Orientador: Prof. Dr. Francisco das Chagas Mota

Tese de Doutorado apresentada aoPrograma de Pós-Graduação em En-genharia Elétrica da UFRN (área deconcentração: Automação e Sistemas)(área de concentração: Engenharia deComputação) como parte dos requisi-tos para obtenção do título de Doutorem Ciências.

Natal, RN, agosto de 2013

Métodos Estatísticos Recursivos

Aplicados ao Problema de Estimação de

Vazão de Gás em Plantas de

�Plunger-lift�

Fernando Cesar de Miranda

Em memória do meu irmãoPedro Cezar de Miranda queme ajudou a crescer na vida.

i

À minha esposa Lena e aosmeus �lhos Lúcia, Daniel,Fernanda e Felipe.

ii

A vida é uma sucessão de vi-tórias e derrotas, onde a cadadia renasce uma esperança.

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Agradecimentos

• Ao meu orientador Francisco Mota, muito obrigado pela orientação epelo apoio que me deu.

• A Iloneide, minha colega e amiga que me ajudou principalmente naparte computacional.

• Aos colegas André, Jeanete e Medeiros pelo apoio que me deramquando estiveram na che�a.

• Ao prof. Jasiel Martins Sá, pelo apoio, quando diretor do CCET.

• Aos colegas do Departamento em especial André, Carla, Hermes eFormiga que sempre tiveram boa vontade em esclarecer dúvidas.

• Aos professores e funcionários do Programa de Pós-graduação emEngenharia Elétrica, pela assistência ao programa.

• À minha esposa Lena e aos �lhos Lúcia, Daniel, Fernanda e Felipeque conviveram comigo esta luta e sempre me apoiaram.

• Aos meus irmãos e demais familiares.

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Resumo

Este trabalho teve como objetivo principal encontrar modelos matemáticosbaseados em técnicas de estimação paramétrica lineares aplicado ao problemado cálculo da vazão de gás em poços de petróleo. Em particular se concen-trou na obtenção de modelos de vazão aplicados ao caso de poços que pro-duzem pela técnica de �plunger-lift� em plataformas de petróleo, pois nessecaso, ocorrem picos elevados nos valores da vazão que di�cultam sua medi-ção direta através de instrumentos. Para isso, desenvolveram-se estimadoresbaseados em mínimos quadrados recursivos e fez-se uma análise das medi-das estatísticas tais como autocorrelação, correlação cruzada, variograma eo periodograma acumulado, que são calculadas recursivamente à medida quedados são obtidos em tempo real da planta em operação; os valores obtidospara essas medidas indicaram o quão exato é o modelo utilizado e de queforma ele pode ser alterado para melhor se adequar aos valores medidos. Osmodelos obtidos foram testados em uma planta piloto que emula o processode produção de gás em poços de petróleo.

Palavras chave:

Séries Temporais, Função de Transferência, Estimação Recursiva, �PlungerLift�, Vazão de Gás.

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Abstract

This work has as main objective to �nd mathematical models based onlinear parametric estimation techniques applied to the problem of calculatingthe �ow of gas in oil wells. In particular we focus on achieving �ow modelsapplied to the case of wells that produce by plunger-lift technique on oil rigs,in which case, there are high peaks in the �ow values that hinder their directmeasurement by instruments. For this, we have developed estimators basedon recursive least squares and make an analysis of statistical measures suchas autocorrelation, cross-correlation, variogram and the cumulative periodo-gram, which are calculated recursively as data are obtained in real time fromthe plant in operation; the values obtained for these measures tell us howaccurate the used model is and how it can be changed to better �t the me-asured values. The models have been tested in a pilot plant which emulatesthe process gas production in oil wells.

Keywords:

Time Series, Transfer Function, Recursive Estimation, Plunger lift, Gas Flow.

vi

Sumário

1 Introdução 1

2 Descrição do problema e da planta 5

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Uma planta piloto para o �plunger-lift� no laboratório de En-

genharia de Computação e Automação . . . . . . . . . . . . . 7

3 Desenvolvimento e obtenção dos estimadores 11

3.1 O estimador de mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . 113.1.1 Propriedades dos estimadores . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Mínimos quadrados recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Estimadores alternativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.1 Primeiro estimador alternativo . . . . . . . . . . . . . . 153.3.2 Segundo estimador alternativo . . . . . . . . . . . . . . 163.3.3 Terceiro estimador alternativo . . . . . . . . . . . . . . 163.3.4 Estimadores alternativos recursivos . . . . . . . . . . . 16

3.4 Estimadores do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.1 Transformação da raiz quadrada . . . . . . . . . . . . . 173.4.2 Transformação do logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . 183.4.3 Transformação da diferença de ordem um . . . . . . . . 183.4.4 Transformação de diferença de ordem dois . . . . . . . 193.4.5 Transformação da diferença da raiz quadrada . . . . . 193.4.6 Transformações da diferença do logaritmo . . . . . . . 20

4 Recursividade nas medidas de Estatística 21

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Cálculo recursivo da função de autocorrelação do erro . . . . . 214.3 Recursividade da correlação cruzada . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Recursividade para as últimas d observações . . . . . . . . . . 27

vii

5 Critérios de análises 29

5.1 Critérios de análises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.1.1 Intervalos de con�ança . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.1.2 De�nição do número de parâmetros do modelo ARX . 305.1.3 Diagnóstico do modelo de transferência . . . . . . . . . 305.1.4 Correlação cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2 Erros do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2.1 Autocorrelação do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.2.2 Variograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.2.3 Teste do periodograma acumulado . . . . . . . . . . . . 33

6 Resultados experimentais 36

6.1 Diagnóstico do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.1.1 Correlação cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.1.2 Autocorrelação do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.1.3 Variograma e o periodograma acumulado . . . . . . . . 446.1.4 Escolha do número de parâmetros entre os modelos . . 456.1.5 Comparações de estimadores com transformadas . . . . 46

6.2 Grá�co em tempo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7 Considerações �nais 50

7.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.1.1 Perspectivas futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A Complemento de séries temporais 55

A.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.2 Objetivos da série temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56A.3 Série estacionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57A.4 Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.4.1 Operador de diferença . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57A.4.2 Operador de translação para o passado . . . . . . . . . 58

A.5 Alguns resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58A.6 Representações de modelos de séries temporais . . . . . . . . . 59

A.6.1 Processos de médias móveis . . . . . . . . . . . . . . . 59A.6.2 Função geratriz de autocovariância . . . . . . . . . . . 61A.6.3 Processos autorregressivos . . . . . . . . . . . . . . . . 62A.6.4 Relação entre os coe�cientes dos dois processos . . . . 63

A.7 Transformações para estabilizar as variâncias de séries não es-tacionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

viii

B Modelos de função de transferência 66

B.1 Sistemas com uma entrada e uma saída - SISO . . . . . . . . . 66B.1.1 Conceitos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66B.1.2 Funções de covariâncias e correlações cruzadas . . . . . 68B.1.3 Relação entre a função de correlação cruzada e a função

de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70B.1.4 Estudo do modelo quando a entrada é um ruído branco 70B.1.5 Procedimento e identi�cação do modelo de

transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71B.1.6 Identi�cação do ruído do modelo . . . . . . . . . . . . 73

C Propriedades dos estimadores 75

C.1 Alguns resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75C.2 Cálculo das previsões de um sistema de entrada e saída . . . 78C.3 Propriedades dos estimadores alternativos . . . . . . . . . . . 79

C.3.1 Primeiro estimador alternativo . . . . . . . . . . . . . . 79C.3.2 Segundo estimador alternativo . . . . . . . . . . . . . . 79C.3.3 Terceiro estimador alternativo . . . . . . . . . . . . . . 80

D Mínimos quadrados recursivos 81

D.1 Estimador dos mínimos quadrados recursivos . . . . . . . . . . 81D.1.1 Procedimento para implementação

computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84D.1.2 Utilização de um fator exponencial . . . . . . . . . . . 84

D.2 Estimadores alternativos na fórmularecursiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85D.2.1 Primeiro estimador alternativo . . . . . . . . . . . . . . 85D.2.2 Segundo estimador alternativo recursivo . . . . . . . . 85

E Programas utilizados nas aplicações 86

ix

Lista de Figuras

2.1 Diagrama da planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Visão geral da planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Fotos do vaso pulmão e do vaso separador bifásico . . . . . . . 92.4 Visão interna do compressor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Sensores e válvula de controle de pressão . . . . . . . . . . . . 10

5.1 Periodograma acumulado ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.1 Sinais de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2 Sinais de saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.3 Diagrama do sistema de bloco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.4 Estrutura geral do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.5 Grá�co das séries de entrada observada e estimada . . . . . . 416.6 Grá�co das vazões medida pelo instrumento e estimada . . . 426.7 Correlação cruzada do erro com a entrada ρexe(1400, k) para

k = 1, . . . , 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.8 Autocorrelação do erro da entrada x . . . . . . . . . . . . . . 446.9 Autocorrelação do erro da saída y . . . . . . . . . . . . . . . . 446.10 Análise do erro da saída y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.11 Variograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.12 Periodograma acumulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.13 Variogramas dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.14 Vazão estimada pelo algoritmo versus a real . . . . . . . . . . 49

A.1 Séries temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

B.1 Função de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

x

Lista de Tabelas

6.1 Escolha de números de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . 466.2 Números diferente de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . 476.3 Variogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.4 Estimadores com oito parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . 48

A.1 Valores para as transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

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Lista de abreviatura

ACF: Autocorrelação entre Zt e Zt+k.PACF: Autocorrelação parcial entre Zt e Zt+k.BAN: Best asymptotically normal:melhor e assintoticamente normal.CANE: Consistent asymptotically normal e�cient:consistente,

assintoticamente normal e e�ciente.CCF: Correlação cruzada entre duas variáveis.PMTA: Pressão máxima de trabalho admissível.PPgEE: Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica.RGL: Razão gás-líquido.SISO: Single-input Single-output.

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Lista de símbolos

E(X): Esperança Matemática da variável aleatória X.∆: Operador de diferença.BmZt = Zt−m: Operador de translação para o passado.FmZt = Zt+m: Operador de translação para o futuro.φkk: Notação padronizada para a função de autocorrelação parcial.V (X): Variância da variável aleatória X.

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Capítulo 1

Introdução

Uma sociedade que pretende competir na qualidade de seus produtos devenecessariamente ser organizada dando importância ao estudo das engenhariase da estatística. A engenharia desenvolve um papel signi�cante no mundomoderno e ela é responsável pelo planejamento e desenvolvimento da maioriados produtos que a sociedade usa, assim como pelos processos de fabricaçãoque fazem esses produtos. A solução de muitos tipos de problema de enge-nharia requer uma estimativa nas produções e apreciação da variabilidade. Ea Estatística é o ramo da matemática aplicada que está envolvida com as es-timativas, as variabilidades e seus impactos nas tomadas de decisões. Deve-seressaltar que há várias etapas no método de engenharia ligadas à estatísticatais como: fazer uma descrição clara e concisa do problema; identi�car fato-res importantes; propor um modelo para o problema; conduzir experimentosapropriados, coletar dados para validar o modelo; conduzir um experimentoapropriado para con�rmar que a solução proposta para o problema é efetivae e�ciente, etc. Percebe-se, então que a Estatística é imprescindível no trata-mento dos dados observados. E ela é preponderante no estudo de estimação;na análise do ruído que pode constatar se o modelo estudado é adequado ounão; etc.

No contexto deste trabalho, há interesse em medir a taxa de �uxo de gásna saída de um vaso que acumula gás produzido por um poço de petróleo.Esse �uxo de gás é controlado por uma válvula que tenta manter a pressãodentro do vaso em um valor constante. O principal problema é que emalguns instantes, as medidas do �uxo de gás não podem ser realizadas devidoàs limitações do equipamento de medição. Por outro lado, as medidas dosinal aplicado à válvula, que controla a pressão do vaso, podem ser obtidasno sistema de supervisão. Desse modo, elas serão usadas como variável deentrada para o estimador e portanto se tem uma série bivariada (Xt, Yt), onde

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Xt representa o sinal aplicado à válvula de pressão de controle e Yt representaa taxa de �uxo de gás (mensurável em alguns instantes e desconhecida emoutros, devido à capacidade limitada do equipamento de medição).

As ferramentas importantes nesta abordagem estão relacionados com asáreas de Séries Temporais, Funções de Transferência e de Inferência Esta-tística. Uma série temporal é qualquer conjunto de observações ordenadasno tempo, ou uma sequência de observações feitas ao longo do tempo. Paraque uma série temporal esteja adequada ao estudo teórico desenvolvido naliteratura, uma das suposições, que se faz mais frequentemente a respeitodessa série, é a de que ela seja estacionária, ou seja, que ela se desenvolva notempo aleatoriamente ao redor de uma média constante, re�etindo algumaforma de equilíbrio estável. Caso a série não seja estacionária, será neces-sário transformar os dados originais. Vários procedimentos são sugeridospara torná-los estacionários, como tomar a primeira, ou a segunda diferença,ou aplicar a função logaritmo, ou a função raiz quadrada, cúbica, etc. AInferência Estatística oferece subsídios teóricos para as estimações a seremfeitas.

Muitas situações em engenharia envolvem o conceito de sistema dinâ-mico linear, caracterizado por um sinal de entrada (representado por umasérie Xt), um sinal de saída (representado por uma série Yt) e uma funçãode transferência v(B) = Ω((B)

δ(B), razão de dois polinômios, onde B representa

um operador de atraso no tempo. Pode haver vários interesses, como porexemplo: fazer previsões da série Yt, com o conhecimento de observaçõesda série de entrada Xt; estudar o comportamento do sistema, simulando asérie de entrada; controlar a série de saída Yt, de modo a trazê-la o maispróximo possível de um valor desejado, ajustando-se convenientemente a sé-rie de entrada Xt. E este controle é necessário devido a perturbações quenormalmente afetam um sistema dinâmico.

Este trabalho se propõe a apresentar estimadores aproximados de má-xima verossimilhança que estimam as vazões de gás que ocorrem nos poçosproduzidas por �plunger-lift� em plataformas de petróleo.

A produção de um poço com �plunger-lift� se dá através de golfadas nasuperfície, ocorridas quando o pistão alcança a cabeça do poço, momento emque todo o �uido deverá escoar pela linha de produção com grande velocidade.A medição das vazões de óleo e gás de poços com �plunger-lift� não é umatarefa trivial em função das variações ocorridas que normalmente ultrapassamo �range� (escala) do medidor. No caso de poços marítimos, essa mediçãoocorre em um vaso separador de teste que geralmente está localizado a umapequena distância do poço produtor. Portanto, todas as variações provocadaspelo poço são absorvidas pelo separador quase instantaneamente o que tem

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prejudicado a qualidade das medições de vazão.No laboratório de Elevação de Petróleo de Engenharia de Computação e

Automação da UFRN foi desenvolvida uma planta onde se visa estudar numaescala piloto, efeitos de picos de pressão e aumento de vazão produzidos porpoços de �plunger-lift�. A citada planta é capaz de produzir os mesmos efeitosdo poço de �plunger-lift�. Nessa planta piloto, pode-se simular golfadas pe-riódicas de gás que são as características do processo �plunger-lift�, usando-seum compressor de ar e dois vasos (ligados em série) cada um com um volumede 300 litros hidráulicos. A taxa de �uxo é medida, como no processo real,por placas de orifício e transmissores diferenciais de pressão (para maioresdetalhes, ver Vieira, [28]).

Os dados coletados foram processados por um �software� numérico (Sci-lab). O �software� contém funções estatísticas que permitem analisar as sériesde entrada e de saída. Ambas as séries devem ser estacionárias a �m de queo modelo estudado possa ser usado. Dessa forma, (ver Wei,[29](pp.83-85)),utiliza-se uma transformação dos dados das séries (Xt, Yt) para estabilizara variância. Várias transformações foram testadas (ver Wei, [29](p.85)) e amais adequada aos dados foi a raiz quadrada. Dessa forma, tem-se a sériebivariada (xt, yt), onde xt =

√Xt e yt =

√Yt. Então, assume-se uma relação

linear entre xt e yt que são séries estacionárias, mas uma relação não linearentre as séries originais Xt e Yt. Também, (ver Wei [29], cap 14), é reco-mendável utilizar a série �prewhitened� da série de entrada (xt =

√Xt), que

corresponde a obter um estimador x̂t a �m de que o erro ext = xt − x̂t sejaum sinal de ruído branco.

As principais contribuições desta tese são:

• Implementação de um método de estimação recursivo em tempo real,para medição da vazão de gás em plataformas de petróleo (Capítulo 2e Capítulo 6);

• Cálculo recursivo de medidas estatísticas clássicas (variância, autocor-relação, etc.) que são usadas para avaliação da e�cácia do modelo e daqualidade das medições (Capítulo 4);

• Utilização da autocorrelação, do variograma e/ou do periodograma acu-mulado para análise do ruído (Capítulo 5);

• Desenvolvimento teórico de estimadores alternativos (Capítulo 3).

• Três apresentações e publicações em Congressos Nacionais.

• Uma apresentação e publicação em Congresso Internacional.

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• Aceite de um artigo numa revista internacional.

Finalizando-se, no Capítulo 2, apresentam-se as características de �plunger-lift�, as vantagens em utilizá-lo e uma descrição da planta piloto para o�plunger-lift� no laboratório de Engenharia de Computação e Automação daUFRN. No Capítulo 3, apresentam-se o estimador de mínimos quadrados,o estimador recursivo e sua implementação computacional, os estimadoresalternativos e os estimadores do modelo, como por exemplo, o estimadorobtido por meio de transformações do tipo: raiz quadrada; uma ou duasdiferenças; função logaritmo; diferença da raiz quadrada; etc. No Capítulo 4,as medidas de estatísticas utilizadas são obtidas recursivamente para seremutilizadas em tempo real. No Capítulo 5, encontra-se o estudo do critériode análise. No Capítulo 6, apresentam-se os resultados experimentais. NoCapítulo 7, vêm as considerações �nais. Por �m, apresentam-se os apêndices,onde se abordam séries temporais, funções de transferência e seus coe�cientes,propriedades dos estimadores e a dedução dos mínimos quadrados recursivos.

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Capítulo 2

Descrição do problema e da

planta

2.1 Introdução

A elevação arti�cial de petróleo consiste no fornecimento de energia ex-terna ao sistema poço-reservatório com o objetivo de transportar os �uidospresentes no fundo do poço até a superfície. Essa energia externa é neces-sária com o passar do tempo, pois a pressão existente no reservatório vaicaindo gradativamente em decorrência da retirada de �uidos do seu inte-rior, fazendo com que a vazão dos poços produtores seja afetada por essaredução de pressão. A indústria do petróleo tem desenvolvido ao longo dotempo diversos mecanismos de elevação arti�cial, dentre eles pode-se citar:o bombeio mecânico, o bombeio centrífugo submerso (BCS), o bombeio decavidades progressivas (BCP), o gás �lift�, o �plunger-lift�, dentre outros.

O �plunger-lift� é caracterizado pelo uso de um pistão ou êmbolo queé instalado no interior da coluna de produção e tem a função de criar umainterface entre o �uido que se encontra acima dele e o �uido que �ca abaixo domesmo (normalmente o gás). O pistão permanece viajando para cima e parabaixo em movimentos cíclicos utilizando, para isso, a energia de expansãodo gás que �ca acumulado no anular entre o revestimento e a coluna deprodução do poço. A produção de um poço com �plunger-lift� se dá atravésde golfadas na superfície ocorrida quando o pistão alcança a cabeça do poço,momento em que todo o �uido deverá escoar pela linha de produção comgrande velocidade. A medição das vazões de óleo e gás de poços com �plunger-lift� não é uma tarefa trivial em função das variações ocorridas principalmentecom a vazão de gás que normalmente ultrapassa o �range� (a escala) do

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medidor, que em geral é uma placa de orifício, com �rangeabilidade� de 1:3o que torna a tarefa ainda mais complicada. Para tentar solucionar esteproblema, Silva,[27], avaliou o comportamento da vazão de gás dentro doseparador através da modelagem matemática do poço de �plunger- lift� comotambém do próprio vaso separador de forma a se integrar os dois modelos epermitir a visualização de alternativas para o cálculo da vazão de gás de saídado separador de teste. A motivação de Silva,[27], ocorreu em decorrência daimplantação de um projeto piloto com sete poços equipados com �plunger-lift� totalmente automatizados no campo marítimo de Ubarana-SP duranteo ano de 2005.

Embora o �plunger-lift� seja um método de elevação utilizado em outrospaíses há várias décadas, somente no início da década de 90, a Petrobrasvoltou a se interessar pelo mesmo, após uma experiência mal sucedida na dé-cada de sessenta. O motivo desse renovado interesse pelo método, foi ter-sevisto nele uma possível (e talvez a melhor) alternativa para a produção depoços de bombeamento mecânico com alta razão gás líquido (RGL), consi-derados muito problemáticos. O sucesso na implementação do método emalguns desses poços alavancou de�nitivamente o interesse pelo mesmo.

Pode-se citar aqui algumas vantagens em utilizar o �plunger-lift�:

• Eliminar a formação de líquido em poços de gás - com a redução davazão de poços produtores de gás, ocorre uma correspondente redu-ção no poder de carreamento de líquido até a superfície, o que acabaprovocando seu acúmulo no fundo do poço até chegar a amortecê-locompletamente;

• Aumentar a vida útil de poços com alta RGL - poços com alta razão gás-líquido (RGL) tendem a reduzir sua produção de óleo mais rapidamentedo que outros com RGL menor devido ao efeito de escorregamento(�fallback�) de líquido ao fundo do poço;

• Evitar a formação de incrustação de para�na ou hidratos na coluna -o pistão exerce uma função de raspador interno da coluna de produçãoremovendo continuamente qualquer depósito desses produtos.

A proposta deste trabalho é encontrar um processo estocástico bivariado:(Xt, Yt), onde Xt e Yt representam, respectivamente, a entrada (o sinal decontrole da válvula PV) e a saída (a vazão de gás). Xt e Yt são séries tempo-rais abordadas no Apêndice A. Xt e Yt, ou suas transformadas (

√Xt, Xt ≥ 0√

Yt, Yt ≥ 0, etc) formam um sistema linear, onde a saída está relaciondacom a entrada através de um funcional linear envolvendo v(B) (função detransferência). Foram testados vários conjuntos de dados através da planta.

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Desses testes, procurou-se encontrar os estimadores que fossem apropriados,fazendo-se todo um estudo estatístico para propor aqueles que se adequassemao problema.

2.2 Uma planta piloto para o �plunger-lift� no

laboratório de Engenharia de Computação

e Automação

No laboratório de Engenharia de Computação e Automação da UFRN,foi desenvolvida uma planta piloto, num projeto �nanciado pela Petrobras.Nessa planta, visa-se estudar numa escala menor, efeitos de picos de pressãoe aumento de vazão produzidos por poços de �plunger- lift� ou gás-�lift� emvasos de separação primária das plataformas.

A planta piloto é composta de um compressor e de dois vasos de pressõesque contêm válvulas que regulam a entrada e saída de ar (que faz o papeldo gás) e da água (que faz o papel do óleo). Ela é capaz de emular picosde pressão e vazão semelhantes às golfadas provenientes dos poços de petró-leo. Essa é uma alternativa de se criar uma planta piloto que seja capaz deproduzir os mesmos efeitos do poço de �plunger-lift�.

Esses �uidos são recebidos por um vaso separador bifásico. Nesse vasoestá presente uma válvula de controle de vazão de gás que faz o controle domaterial recebido pelo mesmo. Na entrada do vaso separador, há ainda umabomba que envia água para o sistema e uma válvula faz o controle de líquidono vaso. O sistema emula picos de gás semelhantes às golfadas de ar/água.Trata-se de uma planta experimental de golfada composta de um compressortipo parafuso, dois vasos de pressão com 300 (trezentos) litros hidráulicos epressão máxima de trabalho admissível de PMTA13, 53kgf/cm2. Os volu-mes serão medidos por placa de orifício e transmissor de pressão diferencial econtrolados por válvulas globo especi�cadas. Essa de�nição foi baseada nasnecessidades do projeto de Silva, [27].

Nesta seção, apresentam-se alguns elementos da planta utilizadas nas apli-cações práticas. Na Figura 2.1, tem-se o diagrama da planta; na Figura 2.2,a visão geral da planta. A Figura 2.3 compõe os vasos pulmão e de pres-são. A Figura 2.4 mostra a visão interna do compressor e a Figura 2.5, ossensores e a válvula de controle de pressão.

7

Figura 2.1: Diagrama da planta

8

Figura 2.2: Visão geral da planta

Figura 2.3: Fotos do vaso pulmão e do vaso separador bifásico

9

Figura 2.4: Visão interna do compressor

Figura 2.5: Sensores e válvula de controle de pressão

10

Capítulo 3

Desenvolvimento e obtenção dos

estimadores

Este capítulo dará ênfase ao estudo dos estimadores dos parâmetros, prin-cipalmente os de mínimos quadrados geral e recursivo onde as estimativasserão atualizadas a cada iteração. Apresentam-se, também, estimadores al-ternativos que foram desenvolvidos para �ns de comparação. No que se refereaos modelos lineares obtidos, nota-se que pode haver diferentes fórmulas,dependendo dos procedimentos usados para tornar os dados estacionários:primeira ou segunda diferença, raiz quadrada, logaritmo, etc.

3.1 O estimador de mínimos quadrados

Considere um conjunto dem observações pareadas de (xt, yt), t = 1, 2, . . . ,mpara estimar (p+ q + 2) parâmetros de um sistema com uma entrada repre-sentada por xt e uma saída representada por yt. Assuma-se que as séries xte yt são estacionárias. Desta maneira, pode-se de�nir o seguinte modelo defunção de transferência:

yt =

p∑i=1

ciyt−i + d0xt−b −q∑

i=1

dixt−i−b + et, t > t0 (3.1)

com t0 = max{ p, b+q} , onde p representa o número de pârametros de saída eq+1 de entradas. Usando-se este modelo para m observações (xj, yj), obtêm-se m− t0 equações que podem ser combinadas dentro de uma matriz simplesrepresentada por:

y = Uθ + e (3.2)

11

onde

• y = (yt0+1, . . . , ym) é um vetor (m− t0)× 1

• U é uma matriz (m− t0)× (p+ q + 1) cuja k-ésima linha é

U(k) = [yt0+k−1, yt0+k−2, . . . , yt0+k−p, xt0−b+k,−xt0−b+k−1, . . . ,−xt0−b−k−q]

• θ = (c1, . . . , cp, d0, d1, . . . , dq) é um vetor de parâmetros (p+ q + 1)× 1

• e é um vetor ruído (m− t0)× 1.

• b é o parâmetro de retardo, ou de atraso, isto é, o tempo que se levapara que o impulso da entrada produza um efeito na variável de saída.

Assumindo-se que os erros são ruídos brancos gaussianos, a função de veros-similhança pode ser escrita como:

L(θ, σ2e |y, x) =1

(2πσ2e)m−t0

2

exp

[−(y − Uθ)

′(y − Uθ)2σ2e

](3.3)

Aplicando-se o logaritmo na função:

lnL(θ, σ2e |y, x) = −m− t0

2ln2π − m− t0

2lnσ2e −

1

2σ2e(y − Uθ)′ (y − Uθ)(3.4)

Derivando-se em relação aos parâmetros, vem:

∂lnL(θ, σ2e)

∂θ= − 1

2σ2e(2U ′Uθ − 2U ′y) (3.5)

lnL(θ, σ2e)

∂σ2e= −m− t0

2σ2e+

1

2σ4e(y − Uθ)

′(y − Uθ) (3.6)

Igualando-se as equações a zero, têm-se os seguintes estimadores:

θ̂ = (U ′U)−1U ′y (3.7)

σ̂2e =

(y − Uθ̂

)′ (y − Uθ̂

)m− t0

=e′e

m− t0(3.8)

A variância do estimador será:

V(θ̂)∼= σ2e (UU ′)

−1 (3.9)

12

Convém esclarecer a utilização da função de verossimilhança, de�nida muitobem por Cordeiro,[10]. Ela informa a ordem natural de preferência entre di-versas possibilidades de θ. Um conjunto de dados é mais consistente com umvetor θ1 do que com outro θ2 se a verossimilhança associada a θ1 for maior doque a associada a θ2. Generalizando, entre os possíveis candidatos para esti-mar o parâmetro verdadeiro (digamos θ0) baseados nos mesmos dados de y,o vetor de parâmetro mais plausível é aquele de maior verossimilhança. Paragrandes amostras, o estimador de máxima verossimilhança de θ é um dospossíveis indicados. Outros estimadores podem ser bons, mas não melhoresdo que ele. Para grandes amostras, de tamanho n, sua distribuição é assinto-ticamente normal com média θ e variância, dada em (3.9). O estimador θ̂n éconhecido por BAN ou CANE, signi�cando que ele é consistente, e�ciente eassintoticamente normal, o melhor. Um estudo mais detalhado de estimadordos mínimos quadrados pode ser visto em (Draper, [11] e Fox,[12]).

3.1.1 Propriedades dos estimadores

1. θ̂ é um estimador não viciado de θ, isto é E(θ̂) = θ

2. V (θ̂) = (U ′U)−1σ2e

3. O estimador de V (θ) é σ̂2e(U′U)−1

4. σ̂2e é um estimador não viciado de σ2e

5. A variância de σ̂2e é dada por:

V(σ̂2e)

=2σ4e

m− t0(3.10)

6. O estimador não viciado de V (σ̂2e) é:

V̂(σ̂2e)

=2σ̂4e

2 +m− t0(3.11)

Para a adequação do modelo, deve-se observar se série de entrada e asérie do erro do modelo são independentes e isto será feito pela função decorrelação cruzada entre as duas séries. Também, deve-se veri�car as au-tocorrelações dos erros do modelo a �m de se detectar se os mesmos são

13

não-correlacionados.Neste modelo, a predição é baseada nos valores de entrada e saída:

ŷt =

p∑i=1

ĉiyt−i + d̂0xt−b −q∑

i=1

d̂ixt−i−b (3.12)

onde θ̂ =(ĉ1, . . . , ĉp, d̂0, · · · , d̂q

)é uma estimativa de θ.

3.2 Mínimos quadrados recursivos

O estimador dos mínimos quadrados recursivos, que será apresentado aseguir, tem como objetivo estimar, a cada instante, o valor de θ . Isto per-mite a implementação, em tempo real, de um método de estimação recursivo.O desenvolvimento teórico do mesmo encontra-se, mais detalhado, no Apên-dice D.

Inicialmente, precisa-se do valor inicial de P (t), matriz quadrada de or-dem p + q + 1, e de θ̂. No caso de P (t), o valor inicial P (t0) pode ser amatriz de covariância do estimador se for conhecida, ou P (0) = rIp+q+1 onder é su�cientemente grande. Para o vetor θ̂(t0), suas coordenadas podemser qualquer valor com módulo menor que um. Para o próximo valor de t,segue-se a ordem de procedimento:

1.

K(t) = P (t− 1)U ′(t) [1 + U(t)P (t− 1)U ′(t)]−1 (3.13)

2.

et = yt − U(t)θ̂(t− 1) (3.14)

3.

θ̂(t) = θ̂(t− 1) +K(t)et (3.15)

4.

P (t) = [I −K(t)U(t)]P (t− 1) (3.16)

14

3.3 Estimadores alternativos

Estes estimadores poderão formar opções futuras para os parâmetros estu-dados. Eles são de�nidos juntos com suas respectivas variâncias obtidas noApêndice C. Será possível fazer comparações com os procedimentos adotadose se decidir pelo mais viável.

3.3.1 Primeiro estimador alternativo

Suponha que as n observações pareadas sejam divididas em k gruposindependentes, onde o i-ésimo grupo é de tamanho ni. Para cada grupo,estimam-se os parâmetros do modelo de transferência, pelo método dos mí-nimos quadrados. O estimador inicial é o estimador do primeiro grupo, osegundo estimador é a média aritmética dos dois primeiros estimadores ob-tidos. O terceiro estimador é a média aritmética do segundo estimador como estimador do terceiro grupo, e assim por diante. Em termos de expressõesmatemáticas, tem-se:

θ̂1 = (U′1U1)

−1U1y1 (3.17)

θ̂2 =θ̂1 + (U

′2U2)

−1U2y22

(3.18)

Para a k-ésima amostra, o estimador é dado por:

θ̂k =θ̂k−1 + (U

′kUk)

−1Ukyk2

(3.19)

Desenvolvendo-se a expressão (3.19), vem:

θ̂k =(U ′1U)

−1U1y1 +∑k

i=2 2i−2(U ′iUi)

−1Uiyk2k−1

(3.20)

θ̂k = (ĉ1, . . . , ĉp, d̂0, d̂1, . . . , d̂q) (3.21)

O estimador θ̂k é um estimador não viciado de θ e sua variância é dadapor:

Σθ̂k = V (θ̂k)∼=

(16(U1U

′1)−1 +

∑ki=2 4

i(UiU′i)−1

)σ2e

4k+1(3.22)

Note-se que θk é um vetor de parâmetros. Daí, na matriz de variância ecovariância, tem-se que cov(θ̂ik , θ̂jk) é o (i, j) elemento de Σθ̂k e

V (θ̂ik) é a i-ésima diagonal de Σθ̂k , representando a variância.

15

3.3.2 Segundo estimador alternativo

Os procedimentos são quase iguais ao primeiro, a diferença é que na késima amostra, o estimador é a média aritmética dos k-ésimos estimado-res obtidos pelo método dos mínimos quadrados. Em termos de expressõesmatemática, tem-se:

θ̂mk =(U ′1U1)

−1U1y1 + (U′2U2)

−1U2y2 + . . .+ (U′kUk)

−1Ukykk

(3.23)

θ̂mk é um estimador não viciado e sua variância é:

V (θ̂mk) ∼=1

k2

k∑i=1

(U ′iUi)−1σ2e (3.24)

3.3.3 Terceiro estimador alternativo

Os procedimentos também são quase iguais ao primeiro, a diferença éque na k-ésima amostra, o estimador é a média aritmética dos (k−1)-ésimosestimadores anteriores com o k-ésimo estimador obtido pelo método dos mí-nimos quadrados. Este estimador será representado por θ̂k3 . Em termos deexpressões matemática, tem-se:

θ̂k3 =

∑k−1i=1

k!i.(i+1)

(U ′iUi)−1Uiyi + (k − 1)!(U ′kUk)−1Ukyk

k!(3.25)

⇒

θ̂k3 =k−1∑i=1

(U ′iUi)−1Uiyi

i(i+ 1)+

(U ′kUk)−1Ukykk

(3.26)

θ̂k3 também é um estimador não viciado de θ e sua variância é dada por:

V (θ̂k3)∼=

(k−1∑i=1

1

i2(i+ 1)2(U ′iUi)

−1 +1

k2(U ′kUk)

−1

)σ2e (3.27)

3.3.4 Estimadores alternativos recursivos

Pode-se desenvolver os dois primeiros estimadores alternativos na forma re-cursiva. Na implementação computacional, dependendo do procedimento,um deles substituirá a equação (3.15).

16

Primeiro estimador alternativo recursivo.

θ̂t = θ̂t−1 +K(t)et

2(3.28)

Segundo estimador alternativo recursivo.

θ̂mt =t− 1t

θ̂mt−1 +θ̂mt−1 +K(t)et

t= θ̂mt−1 +

K(t)ett

(3.29)

3.4 Estimadores do modelo

Em diversas situações, as séries temporais envolvidas não são estacionárias,impedindo-se a utilização imediata dos parâmetros obtidos na minimizaçãodos erros do modelo. Uma maneira de contornar esse problema é obteruma transformação na série original (Xt, Yt) a �m de se obter uma nova série(xt, yt) que seja estacionária. A seguir apresentam-se algumas transformaçõesmais comuns, sugeridas por Box, [7]:

3.4.1 Transformação da raiz quadrada

Seja (Xt, Yt) uma série bidimensional não negativa e suponha-se que

xt =√Xt (3.30)

yt =√Yt (3.31)

O estimador linear de yt será:

ŷt =

p∑i=1

ĉiy∗t−i + d̂0xt−b −

q∑i=1

d̂ixt−b−i (3.32)

onde

y∗t−i =

{yt−i, se a medida yt−i está disponível

ŷt−i, caso contrário

O estimador de Yt será Ŷt = ŷ2t .

17

3.4.2 Transformação do logaritmo

Seja (Xt, Yt) uma série bidimensional não negativa e suponha que xt e ytsejam estacionárias, onde::

xt = lnXt (3.33)

e

yt = lnYt (3.34)

O estimador de yt será:

ŷt =

p∑i=1

ĉiy∗t−i + d̂0xt−b −

q∑i=1

d̂ixt−b−i (3.35)

O estimador de Yt será

Ŷt = exp ŷt (3.36)

Suponha que as entradas ou saídas tenham valores nulos ou negativos. Nestecaso, faz-se Xt1 = Xt + c e Yt = Yt1 + c, onde c é uma constante positiva quetorne as séries somente com valores positivos. No �nal, faz-se:

Ŷt = Ŷt1 − c (3.37)

3.4.3 Transformação da diferença de ordem um

Suponha que xt e yt são séries obtidas por diferença de ordem um, isto é:

xt = Xt −Xt−1 (3.38)

yt = Yt − Yt−1 (3.39)

O estimador de yt é obtido na equação (3.32) e nela são substituídas asequações (3.38 e 3.39) para se obter Ŷt:

Ŷt = Y∗t−1 +

p∑i=1

ĉi(Y∗t−i − Y ∗t−i−1) + d̂0Xt−b −

q∑i=1

d̂i(Xt−b−i −Xt−b−i−1)

= (1 + ĉ1)Y∗t−1 +

p∑i=2

(ĉi − ĉi−1)Y ∗t−i − ĉpY ∗t−p−1 + d̂0Xt−b

−(d̂0 + d̂1)Xt−b−1 +q∑

i=2

(d̂i−1 − d̂i)Xt−b−i + d̂qXt−b−q−1 (3.40)

18

onde

Y ∗t−i =

{Yt−i, se a medida Yt−i está disponível

Ŷt−i, caso contrário

Por exemplo, para p = 4 e q = 3, o estimador proposto para a Y notempo t será:

Ŷt = (1 + ĉ1)Y∗t−1 + (ĉ2 − ĉ1)Y ∗t−2 + (ĉ3 − ĉ2)Y ∗t−3 + (ĉ4 − ĉ3)Y ∗t−4

−ĉ4Y ∗t−5 + d̂0Xt−b − (d̂0 + d̂1)Xt−b−1 + (d̂1 − d̂2)Xt−b−2+(d̂2 − d̂3)Xt−b−3 + d̂3Xt−b−4 (3.41)

3.4.4 Transformação de diferença de ordem dois

Suponha que a análise de dados sugere que se aplique a diferença deordem dois, isto é:

xt = Xt − 2Xt−1 +Xt−2 (3.42)

yt = Yt − 2Yt−1 + Yt−2 (3.43)

Em particular, para o caso em que p = 4 e q = 3, fazendo-se as substituiçõesdas equações (3.42 e 3.43) em (3.32), com os estimadores correspondentes,tem-se:

Ŷt = (2 + ĉ1)Y∗t−1 + (−1− 2ĉ1 + ĉ2)Y ∗t−2 + (ĉ1 − 2ĉ2 + ĉ3)Y ∗t−3

+(ĉ2 − 2ĉ3 + ĉ4)Y ∗t−4 + (ĉ3 − 2ĉ4)Y ∗t−5 + ĉ4Y ∗t−6 ++d̂0Xt−b − (d̂0 + d̂1)Xt−b−1 + (d̂0 + 2d̂1 − d̂2)Xt−b−2+(−d̂1 + 2d̂2 − d̂3)Xt−b−3 + (−d̂2 + 2d̂3)Xt−b−4−d̂3Xt−b−5 (3.44)

3.4.5 Transformação da diferença da raiz quadrada

Suponha que as componentes da série bidimensional (Xt, Yt) sejam não-negativas. É possível que além de se tirar a raiz quadrada seja necessáriotomar a diferença. Neste caso, seja:

Zt =√Yt (3.45)

19

e

zt = Zt − Zt−1 (3.46)Assumindo-se que zt seja estacionária, usando-se os procedimentos an-

teriores e considerando-se, ainda, o caso particular em que p=4 e q = 3,tem-se:

Ẑt = (1 + ĉ1)Z∗t−1 + (ĉ2 − ĉ1)Z∗t−2 + (ĉ3 − ĉ2)Z∗t−3 + (ĉ4 − ĉ3)Z∗t−4

−ĉ4Z∗t−5 + d̂0√Xt−b − (d̂0 + d̂1)

√Xt−b−1

+(d̂1 − d̂2)√Xt−b−2 + (d̂2 − d̂3)

√Xt−b−3

+d̂3√Xt−b−4 (3.47)

Mas,

Ẑt =

√Ŷt (3.48)

Daí, tem-se:

Ŷt = Ẑ2t (3.49)

3.4.6 Transformações da diferença do logaritmo

Um outro procedimento é tomar uma diferença do logaritmo da sériebidimensional, (Xt, Yt), desde que só haja valores positivos. Seja:

Zt = lnYt (3.50)

e

zt = Zt − Zt−1 (3.51)Novamente, assumindo-se que a série zt seja estacionária, usando-se os

procedimentos anteriores e considerando-se, ainda, que p=4 e q = 3, tem-se:

Ẑt = (1 + ĉ1)Z∗t−1 + (ĉ2 − ĉ1)Z∗t−2 + (ĉ3 − ĉ2)Z∗t−3 + (ĉ4 − ĉ3)Z∗t−4

−ĉ4Z∗t−5 + d̂0 lnXt−b − (d̂0 + d̂1) lnXt−b−1+(d̂1 − d̂2) lnXt−b−2 + (d̂2 − d̂3) lnXt−b−3+d̂3 lnXt−b−4 (3.52)

Mas,

Ẑt = ln Ŷt (3.53)

Daí, tem-se:

Ŷt = exp(Ẑt) (3.54)

20

Capítulo 4

Recursividade nas medidas de

Estatística

Este capítulo tem como objetivo apresentar as medidas de estatísticacalculadas recursivamente, que, atualizadas, servirão para dar respaldo aomodelo adotado.

4.1 Introdução

Nessa abordagem de recursividade, tendo as observações do erro:e1,e2,· · · ,en−1 e da entrada:x1,x2,· · · , xn−1, serão apresentadas as fórmulas da média,do numerador e denominador das funções de autocorrelações do erro e dascorrelações cruzadas, para a determinação do n-ésimo valor. O objetivo éutilizar as fórmulas em tempo real.

4.2 Cálculo recursivo da função de autocorre-

lação do erro

Para encontrar o coe�ciente de autocorrelação do erro ρk(n) =Sk(n)S2e (n)

numadada etapa, utilizam-se os resultados anteriores e o atual. A partir do cálculorecursivo da média dos erros, calculam-se o numerador e o denominadorrecursivamente.

21

A recursividade da média dos erros no tempo n é:

ēn =(n− 1)n

ēn−1 +enn

(4.1)

Demonstração.

ēn =

∑ni=1 ein

=

∑n−1i ei + en

n=n− 1n

∑n−1i=1 ein− 1

+enn

=n− 1n

ēn−1 +enn

A fórmula do numerador de ρk é conhecida como:

Sk(n) =n−k∑t=1

(et − ēn)(et+k − ēn) (4.2)

A recursividade da mesma é dada por:

Sk(n) = Sk(n− 1)−(en − ēn−1

n

)(2kēn−1 −

k∑t=1

et −k∑

t=1

en−k+t−1)

+n− k − 1

n2(en − ēn−1)2

+(n− 1)n2

(nen−k − en − (n− 1)ēn−1

)(en − ēn−1) (4.3)

Demonstração.

Sk(n) =n−k∑t=1

(et − ēn)(et+k − ēn) =n−k−1∑

t=1

(et − ēn)(et+k − ēn)

+(en−k − ēn)(en − ēn) (4.4)

22

Calculando-se a primeira parte do lado direito da equação, tem-se:

n−k−1∑t=1

(et − ēn)(et+k − ēn) =n−k−1∑

t=1

{[(et − ēn−1) + (ēn−1 − ēn)]

× [(et+k − ēn−1) + (ēn−1 − ēn)]}

=n−k−1∑

t=1

(et − ēn−1)(et+k − ēn−1)

+ (ēn−1 − ēn)n−k−1∑

t=1

(et − ēn−1)

+ (ēn−1 − ēn)n−k−1∑

t=1

(et+k − ēn−1)

+ (n− k − 1)(ēn−1 − ēn)2

= Sk(n− 1) + A+B + C

(4.5)

onde

A = (ēn−1 − ēn)n−k−1∑

t=1

(et − ēn−1) = (ēn−1 − ēn) (kēn−1 −k∑

t=1

en−k+t−1) (4.6)

B = (ēn−1 − ēn)n−k−1∑

t=1

(et+k − ēn−1) = (ēn−1 − ēn)(kēn−1 −k∑

t=1

et) (4.7)

C = (n− k − 1)(ēn−1 − ēn)2 (4.8)

Pode-se escrever:

ēn−1 − ēn = ēn−1 −nēn−1 − ēn−1 + en

n= −en − ēn−1

n(4.9)

Usando-se (4.9) em (4.6, 4.7 e 4.8), vem:

A = −(en − ēn−1

n

)(n−k−1∑

t=1

(et − ēn−1))

= −(en − ēn−1

n

)(kēn−1 −

k∑t=1

etn−k+t−1et) (4.10)

23

B = −(en − ēn−1

n

) n−k−1∑t=1

(et+k − ēn−1)

= −(en − ēn−1

n

)(kēn−1 −

k∑t=1

et) (4.11)

C =(n− k − 1)

n2(en − ēn−1)2 (4.12)

Substituindo-se os valores A, B e C em (4.5), tem-se:

n−k−1∑t=1

(et − ēn)(et+k − ēn) = Sk(n− 1)−(en − ēn−1

n

)(2kēn−1 −

k∑t=1

et −k∑

t=1

en−k+t−1)

+(n− k − 1)

n2(en − ēn−1)2 (4.13)

Desenvolvendo-se a segunda parte da equação (4.4), tem-se:

(en−k − ēn)(en − ēn) =(en−k −

(n− 1)ēn−1 + enn

)×(en −

(n− 1)ēn−1 + enn

)=

n− 1n2

(nen−k − en − (n− 1)ēn−1

)× (en − ēn−1) (4.14)

Usando-se (4.13) e (4.14) em (4.4), tem-se o resultado apresentado em(4.3).

Em relação a recursividade do denominador de ρk(n), tem-se que a vari-ância do erro no tempo n é expressa por

S2e (n) =n∑

t=1

(et − ēn)2 (4.15)

E a sua recursividade é dada por:

S2e (n) = S2e (n− 1) + (n− 1)(ēn−1 − ēn)2 + (en − ēn)2 (4.16)

24

Demonstração.

S2e (n) =n−1∑t=1

(et − ēn)2 + (en − ēn)2 (4.17)

mas,

n−1∑t=1

(et − ēn)2 =n−1∑t=1

[(et − ēn−1) + (ēn−1 − ēn)]2

=n−1∑t=1

[et − ēn−1)2 + 2(et − ēn−1)(ēn−1 − ēn) + (ēn−1 − ēn)2

]=

n−1∑t=1

(ēn−1 − ēn)2 + 2(ēn−1 − ēn)n−1∑t=1

(et − ēn−1)

+n−1∑t=1

(ēn−1 − ēn)2

= S2e (n− 1) + 0 + (n− 1)(ēn−1 − ēn)2

= S2e (n− 1) + (n− 1)(ēn−1 − ēn)2 (4.18)

Usando-se (4.18) em (4.17), segue-se (4.16).

A fórmula de recursividade pode ser ainda simpli�cada na segunda eterceira parte de (4.16)

Demonstração.

(n− 1)(ēn−1 − ēn)2 =(n− 1)n2

(en − ēn−1)2 (4.19)

(en − ēn)2 =(n− 1)2

n2(en − ēn−1)2 (4.20)

Substituindo-se (4.19) e (4.20) em (4.17), vem:

S2e (n) = S2e (n− 1) +

n− 1n

(en − ēn−1)2 (4.21)

A função de autocorrelação do erro é dada por:

ρk(n) =Sk(n)

S2(n)(4.22)

25

As funções de autocorrelações dos erros obtidas devem �car em torno dointervalo:

(−2√n− k

,2√n− k

) (4.23)

Recomenda-se testá-lo, em tempo real, para k até dez. Sugere-se que todosos dez cálculos sejam comparados no intervalo abaixo:

(−2√n− 10

,2√

n− 10) (4.24)

4.3 Recursividade da correlação cruzada

A correlação cruzada entre a entrada e o erro é dada por:

ρxe(n, k) =Sx,e(n, k)√S2x(n)

√S2e (n)

(4.25)

onde

Sx,e(n, k) = Sx,e(n− 1, k)−(en − ēn−1

n

)(kx̄n−1 −

k∑t=1

xn−k+t−1

)

−(xn − x̄n−1

n

)(kēn−1 −

k∑t=1

et

)+n− k − 1

n2(xn − x̄n−1)(en − ēn−1)

+n− 1n2

(nxn−k − xn − (n− 1)x̄n−1) (en − ēn−1) (4.26)

S2x(n) = S2x(n− 1) +

n− 1n

(xn − x̄n−1)2 (4.27)

S2e (n) = S2e (n− 1) +

(n− 1)n

(en − ēn−1)2 (4.28)

Demonstração. Se �zer xt = et em (4.2), para o primeiro parêntesis, tem-seda equação (4.3) que Sx,e(n, k) é o resultado dado em (4.26). E as fórmulas(4.27) e (4.28) são obtidas de (4.16).

26

O intervalo de controle para o modelo será dado por:

(−2√n− k

,2√n− k

) (4.29)

Novamente, recomenda-se testá-lo, em tempo real, para k até dez. Sugere-se,de novo, que todos os dez cálculos sejam comparados no intervalo abaixo:

(−2√n− 10

,2√

n− 10) (4.30)

4.4 Recursividade para as últimas d observa-

ções

As fórmulas, aqui apresentadas, referem-se quando se deseja avaliar as últi-mas d observações.Para a recursividade da autocorrelação do erro, tem-se que:

1. O numerador da autocorrelação será dado por:

Sk(1 + i)d =

(1+i)d−k∑t=1+id

(et − ē(1+id,(1+i)d)(et+k − ē(1+id),(1+i)d), i = 0, 1, . . .

(4.31)

Sk(1 + i)d = Sk(1 + i)d− 1)−(e(1+i)d − ē1+id,(1+i)d−1

d

)(4.32)

×

(2kē(1+id,(1+i)d−1 −

k∑j=1

ej,(1+i)d −k∑

j=1

e(1+i)d−k−j−1

)

+(d− k − 1)

d2(e(1+i)d − ē(1+id),(1+i)d−1)2

(d− 1)d2

(e(1+i)d−k − e(1+i)d − (d− 1)ē1+id,(1+i)d−1)

×(e(1+i)d − ē1+id,(1+i)d−1

)(4.33)

Onde se tem:

ē1+id,(1+i)d =e1+id + e2+id + . . . e(1+i)d

d(4.34)

2. O denominador da autocorrelação será:

S2e [(1 + i)d] = S2e [(1 + i)d− 1] +

d− 1d

(e(1+i)d − ē1+id,(1+i)d)2 (4.35)

27

3. A autocorrelação do erro para as últimas d observações será:

ρ(d, k) =Sk(1 + i)d

S2e [(1 + i)d](4.36)

No caso da correlação cruzada, tem-se que o numerador da correlação cruzadaentre a entrada e o erro será:

Sxe([(1 + i)d], k) = Sxe([(1 + i)d− 1], k)−(e(1+i)d − ē1+id,(1+i)d)

d(kx̄(1+id,(1+i)d−1 −

k∑t=1

x(1+i)d+t−k−1)

−x(1+i)d − x̄1+id,(1+i)d−1

d(kē1+id,(1+i)d−1 −

k∑t=1

et,(1+i)d)

+d− k + 1

d2(x(1+i)d − x̄1+id,(1+i)d−1)(e(1+i)d − ē1+id,(1+i)d−1)

+d− 1d2

(dx(1+i)d−k − x(1+i)d − (d− 1)x̄1+id,(1+i)d−1

)×(e(1+i)d − ē1+id,(1+i)d−1) (4.37)

E a correlação cruzada entre a entrada e o erro nas últimas d observaçõesserá dada por:

ρxe(d, k) =Sxe((1 + id, k)√

S2e [(1 + i)d]√S2x[(1 + i)d]

(4.38)

28

Capítulo 5

Critérios de análises

5.1 Critérios de análises

Encontrado o estimador, é necessário fazer uma análise estatística a �mde averiguar se o mesmo tem as propriedades adequadas ou não. Há váriosprocedimentos e cada um deles tem sua parcela de contribuição.

5.1.1 Intervalos de con�ança

Supondo-se que as amostras de tamanho n são su�cientementes grandes,de forma que se permitam utilizar aproximações normais, (ver Fox,[12]) osintervalos de (1 − α)% de con�ança para a média e desvio padrão da vazãode gás são dados, respectivamente, pelas expressões abaixo:[

ˆ̄Y − zα2σ̂( ˆ̄Y ), ˆ̄Y + zα

2σ̂( ˆ̄Y )

](5.1)

Ŝ√n− 1√χ2n−1, α

2

,Ŝ√n− 1√

χ2n−1,1−α2

,

(5.2)onde:

zα2é a abscissa na curva normal de média zero e variância igual a um cuja

área à sua direira é igual a α2.

ˆ̄Y é o estimador da média da vazão de gás.σ̂( ˆ̄Y ) é o estimador do desvio padrão do estimador da média.

29

χ2n−1 é a distribuição qui-quadrada com n−1 graus de liberdade. Os númerosχ2n−1, α

2e χ2n−1,1−α

2são obtidos atendendo à condição:

P

Ŝ√n− 1√χ2n−1, α

2

< σ <Ŝ√n− 1√

χ2n−1,1−α2

≈ 1− α (5.3)

Ŝ2 =1

n− 1

n∑i=1

(Yi − ˆ̄Y )2 (5.4)

Ŝ2 é a variância amostral.

5.1.2 De�nição do número de parâmetros do modelo

ARX

Os critérios de Informação de Akaike e Bayesiano, encontrados emWei,[29],permitem fazer a melhor escolha de parâmetros que comporão o modelo ARX,de�nido em (3.1). Fazendo-se um paralelo com o modelo de séries temporaisunivariado, tem-se: k = p+ q + 1, l = 0. Daí, vem:

AICp,q = lnσ̂2e +

n+ 2(p+ q + 1)

n(5.5)

BICp, q = lnσ̂2e +(p+ q + 1)ln(n)

n(5.6)

Os valores mínimos de AIC e BIC indicarão as melhores escolhas do modelo.

5.1.3 Diagnóstico do modelo de transferência

Após o modelo ter sido identi�cado e seus parâmetros estimados, é neces-sário veri�car a adequação do modelo antes que se possa usar suas previsões,controles e outros propósitos. No modelo estudado, assume-se que os et(s)são ruídos brancos gaussianos e são independentes da série de entrada xt.Dois procedimentos devem ser feitos: analisar a correlação cruzada e os errosdo modelo.

30

5.1.4 Correlação cruzada

A correlação cruzada tem a função de veri�car se a série de ruído e a sériede entrada xi são independentes. Se a entrada for um ruído, para um modeloadequado, afunção de corrleção cruzada(CCF) amostral , ρ̂xê, entre êt e xtdeve mostrar nenhum padrão e estar dentro do intervalo:(

− 2√n,

2√n

)(5.7)

ρ̂xê(k) =γ̂xê(k)

SxSê(5.8)

γ̂xê(k) =

1n

∑n−kt=1 (xt − x̄)(êt+k − ˆ̄e), k ≥ 0

1n

∑nt=1−k(xt − x̄)(êt+k − ˆ̄e), k ≤ 0

(5.9)

ˆ̄e =1

n

n∑t=1

êt (5.10)

Se a entrada não for um ruído branco e for um modelo ARMA,

φx(B)xt = θx(B)αt (5.11)

onde αt é um ruído branco, a correlação cruzada deve ser feita entre êt e αt,que é o erro da série �prewhitened�, visto em (B.26) e dado por Wei,[29].

ρ̂αê(k) =γαê(k)

SαSê(5.12)

γ̂αê(k) =

1n

∑n−kt=1 (αt − ᾱ)(êt+k − ˆ̄e), k ≥ 0

1n

∑nt=1−k(αt − ᾱ)(êt+k − ˆ̄e), k ≤ 0

(5.13)

5.2 Erros do modelo

Os resíduos do modelo podem ser analisados através da autocorrelação,ou do variograma, ou do teste do periodograma acumulado.

31

5.2.1 Autocorrelação do erro

Aqui o objetivo é veri�car se o modelo do ruído é adequado. O procedi-mento é o mesmo que é feito em séries temporais univariadas. A função deautocorrelação(ACF)amostral de êt deve ser não signi�cativamente diferentede zero. Os coe�cientes de correlação ρêt devem �car dentro do intervalo:

(− 2√

n,

2√n

)(5.14)

ρ̂ê(k) =γ̂ê(k)

γ̂ê(0)(5.15)

γ̂ê(k) =1

n

n−k∑t=1

(êt − ˆ̄e)(êt+k − ˆ̄e) (5.16)

5.2.2 Variograma

O variograma padronizado mede a variância da diferença entre observa-ções da etapa k comparando-se com a diferença de observações da etapa 1.O mesmo será representado por Gk. Em expressões matemáticas, tem-se:

Gk =V (et+k − et)V (et+1 − et)

(5.17)

onde V representa a variância.Quando o processo é estacionário, tem-se que:

Gk =1− ρk1− ρ1

(5.18)

Prova

Gk =V (et+k − et)V (et+1 − et)

=V (et+k) + V (et)− 2cov(et+k, et)V (et+1) + V (et)− 2cov(et+1, et)

=

=2γ0 − 2γk2γ0 − 2γ1

=1− ρk1− ρ1

(5.19)

O estimador do variograma, para o processo estacionário, será:

Ĝk =1− ρ̂k1− ρ̂1

(5.20)

32

Quando o processo é um ruído branco, tem-se que o variograma é iguala um. Pode-se então fazer um controle para os variogramas observados. Sea maioria estiver dentro do intervalo construído, haverá indicação de que oprocesso é um ruído branco. O intervalo é dado abaixo:(

1− tk−1, α2σ̂(Ĝ), 1 + tk−1, α

2σ̂(Ĝ)

)(5.21)

onde

σ̂2(Ĝ) =

∑ki=1(Ĝi − ˆ̄G)2

k − 1(5.22)

ˆ̄G =

∑kd=1 Ĝik

(5.23)

tk−1 é o valor t-Student com k − 1 graus de liberdade.tk−1, α

2é a abscissa da curva de t-Sudent com k − 1 graus de liberdade cuja

área à sua direita é α2.

Para efeito de teste em tempo real, sugere-se fazer k pelo menos igual a dez,com intervalo de noventa e cinco por cento de con�ança.

5.2.3 Teste do periodograma acumulado

Suponha que et, t = 1,2,· · · ,n, sejam observações de um processo estocás-tico. Um estimador do espectro pe(f) do processo é chamado periodogramae é de�nido por:

Ie(fi) =1

2πn

[(

n∑t=1

et cos2πi

nt)2 + (

n∑t=1

(et sin2πi

nt)2

], 0 < fi <

1

2(5.24)

Um pico na frequência fi = in indica uma periodicidade de período1fi.

Quando et for um ruído branco, então seu espectro é constante e igual a 2σ2e ,no intervalo

[0, 1

2

], isto é

pe(f) = 2σ2e , 0 ≤ f ≤

1

2(5.25)

O �espectro acumulado� (ou função de distribuição espectral) é de�nido por:

Pe(f) =

∫ f0

pe(g)dg =

0, f < 0

2σ2ef, 0 ≤ f ≤ 12σ2e , f ≥ 12

(5.26)

33

Figura 5.1: Periodograma acumulado ideal

34

Como Ie(f) é um estimador de pe(f),tem-se que que uma estimativa dePe(fj) é 1n

∑ji=1 Ie(fi) e

C(fj) =

∑ji=1 Ie(fi)

nσ̂2e(5.27)

é uma estimativa de Pe(fj)σ2e

. Note-se que C(fj) é o periodograma acumu-lado(normalizado). Para um ruído branco, o grá�co de C(fj) × fj estariaespalhado ao redor da reta que passa pelos pontos (0; 0) e (0, 5; 1). Se o mo-delo não for adequado, haverá desvios sistemáticos desta reta. A Figura 5.1representa esta reta desejada. Para que o modelo ARX seja adequado, acorrelação cruzada entre a entrada e os erros do modelo, as autocorrelaçõese autocorrelações parciais dos erros devem ser não signi�cativas. Os errostambém podem ser analisados através do variograma ou do periodogramaacumulado.

35

Capítulo 6

Resultados experimentais

No contexto deste trabalho, há interesse em medir a taxa de �uxo degás na saída de um vaso que acumula gás produzido por poço de petróleousando-se técnicas de �plunger-lift� (para mais detalhes, ver Sérgio, [27]).Esse �uxo de gás é controlado por uma válvula que tenta manter a pressãodentro do vaso em um valor constante. O principal problema, como citado noCapítulo 1, é que em alguns instantes, as medidas da taxa de gás não podemser feitas devido às limitações do equipamento. Por outro lado, as medidasdo sinal aplicado à válvula que controla a pressão do vaso são avaliadasno sistema de supervisão. Desse modo, elas serão usadas como variável deentrada para o estimador e portanto se tem uma série bivariada (Xt, Yt),medidas ao mesmo tempo, onde Xt representa o sinal aplicado à válvula depressão de controle e Yt representa a taxa de �uxo de gás (mensurável emalguns instantes e desconhecida em outros, devido a capacidade limitada dosensor). Nas Figuras 6.1 e 6.2, mostram-se os sinais de entrada Xt e de saídaYt coletados na planta piloto que simula o processo de produção �plunger-lift�.Nessa planta piloto, pode-se simular golfadas periódicas de gás que são ascaracterísticas do processo �plunger-lift�, usando-se um ar compressor e doisvasos(ligados em série) cada um com um volume de 300 litros hidráulicos.A taxa de �uxo é medida, como no processo real, por placas de orifícioe transmissores diferenciais de pressão (para maiores detalhes, ver Vieira,[28]). Os dados coletados foram processados por um �software� em pacoteNumérico Scilab.Como foi citado, anteriormente, é necessário que ambas as séries(de entradae de saída) sejam estacionárias a �m de que o modelo (3.1) possa ser usado.Dessa forma,(ver Wei,[29])(pp.83-85), deve utilizar-se uma transformação dosdados das séries (Xt, Yt) para estabilizar a variância. Várias transformaçõesforam testadas (ver Wei,[29](p.85)) e a mais adequada aos dados foi a raiz

36

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

01

23

45

6

tempo

entr

ada

Figura 6.1: Sinais de entrada

quadrada. Dessa forma, tem-se a série bivariada (xt, yt), onde xt =√Xt

e yt =√Yt. Então, assuma-se uma relação linear entre xt e yt que são

estacionárias, mas uma relação não linear entre as séries originais Xt e Yt,conforme Figura 6.3. Também, (ver Wei, [29], cap 14), é recomendávelutilizar a série �prewhitened� da série de entrada (xt =

√Xt), que corresponde

obter um estimador x̂t a �m de que o erro ext = xt − x̂t seja um sinal deruído branco. Baseado nisto, usa-se a equação (3.1) para de�nir o seguinteestimador da série bivariada (xt, yt):

ŷt =

p∑i=1

ĉiy∗t−i + d̂0x̂t−b −

q∑i=1

d̂ix̂t−b−i (6.1)

onde

y∗t−i =

{yt−i, se a medida yt−i é conhecida

ŷt−i, caso contrário(6.2)

Para se recuperarem as estimativas das variáveis físicas (sinal de controleXt e taxa de �uxo de gás Yt), faz-se X̂t = x̂t

2 e Ŷt = ŷt2.

37

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

020

4060

8010

0

tempo

saíd

a

Figura 6.2: Sinais de saída

Na Figura 6.4, mostra-se um diagrama de bloco de todo sistema (planta+ estimador). A equação (6.1) foi implementada com p = 4, q = 3 e b = 4(esses valores foram obtidos de um estudo preliminar de simulação). O vetor

θ̂ =(ĉ1, . . . , ĉp, d̂0, . . . , d̂q

), com oito coordenadas foi obtido recursivamente,

usando-se as equações (3.13, 3.14, 3.15 e 3.16). Para se obterem as estima-tivas para a entrada (x̂t), foi utilizado um modelo autorregressivo de ordemsete cujos parâmetros também foram obtidos pelos mínimos quadrados re-

Figura 6.3: Diagrama do sistema de bloco

38

cursivos, isto é:

x̂t =7∑

i=1

θ̂ixi−1 (6.3)

onde o vetor θ̂x = (θ1, . . . , θ7) foi calculado recursivamente, usando-se osdados de entrada (

√Xt e as equações 3.13, 3.14, 3.15 e 3.16), como foi feito

para ŷt.

39

Figura 6.4: Estrutura geral do sistema

Apresenta-se a seguinte estrutura para a implementação computacional:

1. Inicializa-se θ̂ =(ĉ1, . . . , ĉp, d̂0, . . . , d̂q

)2. Obtêm-se ŷt e x̂t pelas equações (6.1 e 6.3), respectivamente.

3. Calculam-se et = yt − ŷt e (ex)t = xt − x̂t

4. Atualizam-se θ̂ e θ̂x

5. Usam-se et e (ex)t para calcular ρ, ρex e ρex,e

6. Vá para 2.

Nas Figuras 6.5 e 6.6 mostram-se os grá�cos dos processos observados eestimados de X̂t e Ŷt. Se se compararem os grá�cos nas Figuras 6.1, 6.2, 6.5e 6.6, constata-se que os sinais foram suavizados pela estimação. Também,pode-se comparar os sinais de saída Yt com seu estimador Ŷt nessas �guras e senota que nos momentos em que há saturação, veri�cam-se grandes diferençasentre os valores medidos e estimados. Pode-se ver que nas produções medidasquando saturadas, em alguns casos, foram menores do que a metade daprodução estimada.

40

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

tempo

entr

ada

obse

rvad

a

entrada estimadaentrada observada

Figura 6.5: Grá�co das séries de entrada observada e estimada

6.1 Diagnóstico do modelo

Uma vez que o modelo é identi�cado e seus parâmetros estimados, suaadequação pode ser obtida recursivamente, usando-se os resultados do Capí-tulo 5. Dois procedimentos devem ser feitos: analisar a correlação cruzadaentre o erro do modelo e da série �prewhitened� da entrada e a autocorrelaçãodo erro do modelo.

6.1.1 Correlação cruzada

A correlação cruzada determinará se a série do erro e e a série do erro exda série �prewhitened� x são independentes. A função de correlação cruzadaρex,e(n, k) é de�nida por:

ρex,e(n, k) =Sex,e(n, k)√S2ex(n)

√S2e (n)

(6.4)

Para n grande, o modelo será adequado se ρex,e(n, k) tiver nenhum padrão,

41

Figura 6.6: Grá�co das vazões medida pelo instrumento e estimada

isto é, estiver dentro do intervalo:

I =

(−2n− k

,2

n− k

)(6.5)

Neste estudo, o tamanho da amostra foi n = 1400 e foram calculadosρex,e(n, k), para k = 1,. . ., 20. O intervalo, criado para a análise, foi:

I =

(−2

1400− 20,

2

1400− 20

)∼= (−0, 054 : 0, 054) (6.6)

Na Figura 6.7, visualiza-se o grá�co de correlação cruzada do erro do mo-delo com a série �prewhitened� da série de entrada, ρex,e(1400, k), para k =1, . . . , 20. Neste grá�co, pode-se constatar que apenas um deles, está fora dointervalo, o que indica que o modelo satisfaz os critérios.

42

Figura 6.7: Correlação cruzada do erro com a entrada ρexe(1400, k) parak = 1, . . . , 20

6.1.2 Autocorrelação do erro

A �m de veri�car se os erros vêm de uma série de ruídos brancos, deve-seanalisar os valores de ρex(n, k) para a entrada e ρ(n, k) para o erro do modelo.A autocorrelação do erro é dada por:

ρ(n, k) =S(n, k)

S2e (n)(6.7)

As Figuras 6.8 e 6.9 mostram os grá�cos de barras de ρex(1400, k) eρ(1400, k) para k = 1, . . . , 20. As autocorrelações de ρex(1400, k) estão den-tro dos limites permitidos. No que se refere ao erro do modelo, observa-seque no grá�co de ρ(1400, k), apenas uma defasagem ultrapassa, muito pouco,o limite permitido. Esses resultados reforçam o fato de que o modelo linearusado é o mais indicado e pode ser melhorado. A Figura 6.9 reforça ahipótese de que os erros são ruídos brancos.

43

Figura 6.8: Autocorrelação do erro da entrada x

Figura 6.9: Autocorrelação do erro da saída y

6.1.3 Variograma e o periodograma acumulado

O variograma e o periodograma acumulado, também, podem diagnosticarse a série é ruído branco ou não. As Figuras 6.11 e 6.12 evidenciam que os

44

Figura 6.10: Análise do erro da saída y

erros são ruídos brancos.

6.1.4 Escolha do número de parâmetros entre os mode-

los

Utilizando-se os critérios de informação de Akaike e do Bayesiano, o modelocom oito parâmetros é mais e�ciente. A Tabela 6.1 apresenta os resultadosencontrados no início da identi�cação do modelo. Para a�nar o númerode parâmetros a serem utilizados, fora coletadas várias amostras da planta�plunger-lift�. A Tabela 6.2 apresenta os AICs e BICs com oito, dez, dozee catorze parâmetros, onde os de oito destacados com * foram os menorespara as várias amostras utilizadas. A Tabela 6.3 apresenta os variogramasde k = 1 : 10 dos estimadores de oito e de dez parâmetros e se observar estatabela e o grá�co da Figura 6.13 cuidadosamente, os ruídos do estimador comoito parâmetros (vermelhos) estão, em geral, mais próximos de um do queo estimador com dez (azuis). Pode-se, então, rati�car a escolha do modelocom oito parâmetros, quatro deles pertinentes às saídas e quatro deles àsentradas.

45

Figura 6.11: Variograma

Tabela 6.1: Escolha de números de parâmetrosp = 4, q + 1 = 4 p = 5,q + 1 = 5 p = 4,q + 1 = 4 p = 5,q + 1 = 5

Amostra AIC AIC BIC BIC

1 -2,9878 -2,9845 -3,8966 -3,8728

2 0,9027 0,9071 -0,0442 -0,0279

3 1,0045 1,0073 0,0429 0,0543

4 1,0480 1,0501 0,0784 0,0872

5 0,990 0,9915 0,0153 0,02243

6 1,0501 1,0513 0,0719 0,0779

7 -2,6394 -2,6312 -3,6038 -3,5939

6.1.5 Comparações de estimadores com transformadas

Aplicando-se as transformações nos dados: diferença de ordem um; diferençade ordem dois; raiz quadrada; diferença de ordem um da raiz quadrada e dife-rença de ordem dois da raiz quadrada, constata-se que a diferença de ordemum da raiz quadrada e raiz quadrada evidenciam serem os mais indicadosvistos que os AICs, os BICs e os desvios padrões estão muito próximos e sãoos menores, conforme mostra a Tabela 6.4.

46

Figura 6.12: Periodograma acumulado

Tabela 6.2: Números diferente de parâmetrosk AIC BIC

8 -2,6394* -3,6038*

10 -2,6312 -3,5939

12 -2,6313 -3,5865

14 -2,6289 -3,5766

6.2 Grá�co em tempo real

Na Figura 6.14, com a série obtida diretamente da planta montada na UFRN,pode-se perceber que a vazão estimada pelo algoritmo praticamente coincidecom o grá�co da vazão medida pela placa de orifício.

47

Tabela 6.3: Variogramask v8 v10

1 1,0000 1,0000

2 0.9765 0,9618

3 0,9325 0,9359

4 0,9846 0,9717

5 0,9358 0,9333

6 0,9674 0,9672

7 0,9498 0,9407

8 1,0179 0,9989

9 0,9728 0,9697

10 0,9930 0,9711

Tabela 6.4: Estimadores com oito parâmetrosTransformação AIC BIC sd

Dif.ordem dois 3,83005 2,86562 4,105

Dif.ordem um 2,88501 1,92405 2,536

Dif.ordem dois.raiz -2,54400 -3,50846 0,170

Raiz -2,63937 -3,60384 0,162

Dif.ordem um. raiz -2,64790 -3,61236 0,161

Figura 6.13: Variogramas dos modelos

48

Figura 6.14: Vazão estimada pelo algoritmo versus a real

49

Capítulo 7

Considerações �nais

7.1 Conclusões

Os resultados obtidos pelo estimador proposto mostram que a abordagemusada é uma opção viável para solucionar a questão do medidor insu�cientepara a medição do gás de produção dos poços de petróleo. Como se podenotar na Figura 6.6, o grá�co das taxas de �uxo de gás pode fornecer estima-tivas para o �uxo de gás onde as medidas são saturadas. É importante notara grande diferença entre a saída (taxa de �uxo de gás) medida e estimadaquando a golfada ocorre. Isto pode ter implicações econômicas desde que aprodução real de gás do poço de petróleo é, em alguns casos, o dobro do queo medido.Em relações aos erros, pode-se constatar dos grá�cos vistos que o modelolinear usado é bom mas que ainda pode ser melhorado. Uma sugestão paramelhorar seria tentar outra espécie de transformação nos dados (raiz cúbica,raiz quadrada, diferença de ordem da raiz quadrada apresentaram algumamelhoria). É importante notar que esses resultados foram obtidos com ob-jetivo de uma implementação bem como de um teste de precisão em temporeal. Foram utilizadas equações para calculr de forma recursiva as correla-ções cruzadas, as autocorrelações e autocorrelaçãoes parciais. Enfatiza-se aimportância da implementação do teste de recursividade, uma vez que elepode dar uma pista se o estimador precisa, ou não, de algum ajustamentoa ser feito em tempo real. Utilizando-se o método de estimação recursiva,veri�ca-se que:

• A abordagem usada é uma opção viável para solucionar a questão demedição de vazão de gás.

• A Petrobras terá o conhecimento aproximado da quantidade da vazão

50

de gás que extrai.

• A produção de gás é muito maior do que a medida pelo instrumento.

• Há implicações econômicas, pois evita-se o desperdício.

• Utiliza-se a quantidade ideal de parâmetros, evitando-se gasto desne-cessário de tempo computacional.

• As medidas de estatísticas, obtidas recursivamente, sinalizam em temporeal quando as estimativas �cam fora do padrão.

7.1.1 Perspectivas futuras

• Desenvolver o estimador recursivo no enfoque Bayesiano.

• Fazer comparações entre os estimadores.

• Estudar o estimador no enfoque espectral.

• Aprofundar o estudo dos estimadores alternativos e fazer comparações.

• Deve-se montar um programa, em tempo real, utilizando-se váriastransformações a �m de que as séries �quem estacionárias e se encontrea melhor alternativa para o modelo.

51

Referências Bibliográ�cas

[1] Akaike, H.(1973). Information theory and an extension of the maximumlikelihood principle, proc. 2nd International Symposium on InformationTheory. 267-281, Akademiai Kiado, Budapest.

[2] Akaike, H.(1974). A new look at the statistical model identi�cation, IEEETransactions on Automatic Control, AC-19,716-723.

[3] Akaike, H(1978). A Bayesian analysis of the minimum AIC procedure.Ann.Inst. Statist. Math., 30A, 9-14.

[4] Akaike, H.(1979). A Bayesian extension of the minimum AIC procedureof autoregressive model �tting, Biometrika, 66, 237-242.

[5] Bartlett, M.S.(1946). On the Theoretical Speci�cation of Sampling Pro-perties of Autocorrelated Time Series, J.Royal Sta. Soc., B8, 27-41.

[6] Bolfarine, Heleno e Sandoval, M.C.(2001). Introdução à Inferência Es-tatística.

[7] Box, G.E.P. and Jenkins, G.M.(1970). Time Series Analysis, Forecastingand Control, 2nd ed, Holden-Day, São Francisco.

[8] Box, G.E.P. and Pierce, D.A.(1970). Distribution of residual autocorre-lations in autoregressive-integrated moving average time series models.Journal of the American Association, 64, 1509-1526.

[9] Box, G.E.P., Jenkins, G.M and Reinsel, G.C. (1994). Time Series Analy-sis, Forecasting and Control, 3rd ed., Prentice Hall, Englewood Cli�s,NJ.

[10] Cordeiro, G.M. (1992). Introdução à Teoria de Verossimilhança, DécimoSimpósio Nacional de Probabilidade Estatística.

[11] Draper, N.R. and Smith, H.(1998). Applied Regression Analysis, thidedition, New York:Wiley.

52

[12] Fox, John.(1997). Applied Regression Analysis, Linear Models, and Re-lated Methods, Sage Publications.

[13] Franklin, G.F.,Powell, J.D. and Workman.(1990). M.L. Digital Controlof Dynamic Systems, 2nd Ed., Addison-Wesley, NY,USA;pp.378-383.

[14] Hannan, E.J.(1980). The estimation of the order of an ARMA process,Annals of Statistics, 8, 1071-1081.

[15] Hannan, E.J. (1982). Testing for autocorrelation and Akaike's criterion,in Essays in Statistical, special volume 19A of Journal of Applied Pro-bability, The Applied Probability Trust, She�eld, 403-412.

[16] Hartley, H.O. (1949). Testes of signi�cance in harmonic analysis, Bio-metrika, 36, 194-201.

[17] Ljung, L. (1995). System Identi�cation, Department of Electrial Engi-neering, Linköping University.

[18] Mood, A.M, Graybill, F.A and Boes, D.C(1974). Introduction to theTheory of Statistics, third edition, McGraw-Hill, Inc.

[19] Morettin, P.A. e Toloi, Clélia M.C. (2006). Análise de Séries Temporais,ABE-Projeto Fisher.

[20] Pierce, D.A.(1968). Distribution of residual correlation in dynamic /stochastic time series models, tech. report 173, Dept. of Statistics, Univ.of Wisconsin-Madison.

[21] Priestley, M.B.(1996). Spectral Analysis and Time Series, AcademicPress, Harcourt Brace & Company, Publishers.

[22] R, A.Fisher.(1929). Tests of signi�cance in harmonic analysis, Proc.Roy. Soc., Ser. A.125, 5 4-59.

[23] R, A.Fisher.(1956). Statistical Methods and Scienti�c Inference, Oliveand Boyd, Edinburgh.

[24] R Development Core Team (2009).R: A language and environment forstatistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna,Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org.

[25] Rissanen, J.(1978). Modelling by shortest data description, Automatica,14, 465-471.

53

[26] Schwartz, G.(1978). Estimating the dimension of a model, Ann. Statist.,6, 461-464.

[27] SILVA, Sérgio José Gonçalves.(2007).Um Sistema para Estimação daVazão de Gás de Poços Produzido por Plunger Lift para Vaso Separa-dor de Teste em Plataformas de Petróleo, 68f. Dissertação .(Mestradoem Engenharia Elétrica), Programa de Pós Graduação em EngenhariaElétrica, Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

[28] Vieira, P.A.C.(2009). Projeto de um Sistema Emulador de Escoamentose Vaso de Separação, Universidade Federal do Rio Grande do Norte,Centro de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação de Engenharia Elé-trica.

[29] Wei, W.W.S.(2006). Time Series Analysis., Pearson Addison Wesley,second edition.

[30] Wiener, N.(1949). The Extrapolation, Interpolation and Smoothing ofStationary Time Series with Engineering Applications, John Wiley, NewYork.

[31] Wold, H.O.A (1938). A Study in the Analysis of Stationary Time Series,Almqvist and Wiksell, Uppsala.

54

Apêndice A

Complemento de séries temporais

Neste apêndice, há uma introdução sobre análises de séries temporais, osseus objetivos, as principais representações de modelos de séries temporais etransformações que estabilizem a variância.

A.1 Introdução

Uma série temporal, abordado em (Box, [7], Morettin, [19], e Wei, [29]),é qualquer conjunto de observações ordenadas no tempo, ou uma sequênciade observações feitas sequencialmente no tempo. Um aspecto intrínseco deuma série temporal é que, tipicamente, as observações adjacentes são depen-dentes.Suponha-se que se queira medir uma característica (por exemplo, a tempe-ratura do ar ) de dado local, durante 24 horas.Designa-se por Zt, a temperatura no instante t(dados em horas). Note-seque para quatro dias diferentes, obtêm-se quatro curvas que não são, em ge-ral, as mesmas. Estas curvas são chamadas trajetórias do processo físico queestá sendo observado e este (o processo estocástico) nada mais é do que oconjunto de todas as possíveis trajetórias que se poderiam observar. Cadatrajetória é também chamada uma série temporal ou função amostral.Designando-se por Z(1)(15) o valor da temperatura no instante t = 15, para aprimeira trajetória (primeiro dia de observação) haverá um número real. Parao segundo dia, tem-se um outro número real, Z(2)(15). Em geral, denotar-se-á uma trajetória qualquer por Z(j)t . Para cada t �xo, haverá os valoresde uma variável aleatória Zt que terá certa distribuição de probabilidade. AFigura A.1 mostra, gra�camente, o comportamento de uma série temporal,

55

para quatro dias num tempo de sessenta minutos.

Figura A.1: Séries temporais

A.2 Objetivos da série temporal

Obtida a série temporal Zt1 , ,. . .,Ztn, observada nos instantes t1, t2, . . .,tn, pode-se estar interessado em:

1. Investigar o mecanismo gerador da série temporal. Por exemplo, anali-sando uma série de alturas de ondas, pode-se querer saber como estasondas foram geradas.

2. Fazer previsões de valores futuras da série. Estas podem ser a curtoprazo como para a série de vendas ou a longo prazo, para séries popu-lacionais.

3. Descrever apenas o comportamento da série. Neste caso, a construçãode grá�cos, a veri�cação da existência de tendências, ciclos, a constru-ção de histograma e diagrama de dispersão e etc podem ser ferramentasúteis.

56

4. Procurar periodicidade relevantes nos dados. Aqui, a análise espectralpode ser de grande utilidade.

Há também interesse num sistema dinâmico, caracterizado por uma sériede entrada Xt, uma série de saída Yt e uma função de transferência vt. Departicular importância, são os sistemas lineares, onde a saída é relacionadacom a entrada através de um funcional linear envolvendo vt. Por exemplo:

Yt =∞∑i=0

viXt−i (A.1)

Problemas de interesse aqui são:

1. Estimar a função de transferência vt, conhecendo-se as séries de entradae saída.

2. Fazer previsões de Yt, com o conhecimento das observações da série deentrada Xt.

3. Estudar o comportamento do sistema, simulando-se a série de entrada.

4. Controlar a série de saída Yt, de modo a trazê-la o mais próximo possívelde um valor desejado, ajustando-se convenientemente a série de entradaXt. Este controle é necessário devido a perturbações que normalmenteafetam um sistema dinâmico.

A.3 Série estacionária

Uma das suposições mais frequentemente que se faz a respeito de umasérie temporal é a de que ela é estacionária, ou seja, ela se desenvolve notempo aleatoriamente ao redor de uma média constante, re�etindo algumaforma de equilíbrio estável. Caso a série não seja estacionária, será necessáriotransformar os dados originais. A transformação mais comum consiste emtomar diferenças sucessivas da série original, até que se obtenha uma sérieestacionária.

A.4 Operadores

A.4.1 Operador de diferença

A primeira diferença de Zt é de�nida por:

∆Zt = Zt − Zt−1 (A.2)

57

A segunda diferença é:

∆2Zt = ∆(∆(Zt)) = ∆(Zt − Zt−1) = Zt − Zt−1 − Zt−1 + Zt−2 == Zt − 2Zt−1 + Zt−2 (A.3)

De modo geral, a n-ésima diferença de Zt é:

∆nZt = ∆[∆(n−1)Zt] (A.4)

Em situações normais será su�ciente tomar uma ou duas diferenças para quea série se torne estacionária. Quando não for possível obter a estacionariedadeatravés de diferenças, há o método proposto por Box.Cox [7].

A.4.2 Operador de translação para o passado

O operador de translação para o passado, denotado por B, é de�nido por:

BZt = Zt−1 (A.5)

BmZt = Zt−m (A.6)

A.5 Alguns resultados

1.

|γk| ≤ γ0,∀k (A.7)

Demonstração.

V (Zt ± Zt−k) ≥ 0 ⇔ V (Zt) + V (Zt−k)± 2γk ≥ 0⇔ 2γ0 ± 2γk ≥ 0 ⇔ |γk| ≤ |γ0|

2.

|ρk| ≤ 1 (A.8)

3.

γk = γ−k e ρ−k = ρk,∀k (A.9)

γk e ρk são funções pares e portanto simétricas em torno do lag 0. Destaforma, na prática, só é necessário plotar apenas a metade da funçãoque é a parte positiva de k. O grá�co da função de autocorrelação échamado de correlograma.

58

Demonstração.

γ−k = Cov(Zt, Zt−k) = Cov(Zt+k, Zt+k−k)

= Cov(Zt+k, Zt) = Cov(Zt, Zt+k) = γk

A.6 Representações de modelos de séries tem-

porais

Em análise de séries temporais, há duas representações úteis para se ex-pressar um processo de séries temporais que serão mostradas abaixo:

A.6.1 Processos de médias móveis

Seja Zt uma série temporal escrita como uma combinação linear de sequên-cias de variáveis aleatórias et não correlacionadas, onde:

E(et) = 0

eV ar(et) = σ

2e

Isto é:

Zt = µ+ et + ψ1et−1 + ψ2et−2 + . . .+ = µ+∞∑

j=0

ψjet−j (A.10)

Esse processo é conhecido como o processo de médias móveis. Em geral,nesse processo se faz:

ψj = −θj, j = 1, 2, . . . (A.11)

É comum, também, se trabalhar com a média do processo sendo zero, deforma que se faz uma transformação: Z̃t = Zt − µ, obtendo-se:

Z̃t = et +∞∑

j=1

ψjet−j (A.12)

Pode-se constatar os seguintes resultados:

59

•

E(Zt) = µ (A.13)

Demonstração.

E(Zt) = E(µ+∞∑

j=0

ψjet−j) = E(µ) +∞∑

j=0

ψjE(et−j) = µ+ 0 = µ

•

V (Zt) = σ2e

∞∑j=0

ψ2j (A.14)

Demonstração.

V (Zt) = V (µ+∞∑

j=0

ψjet−j) = V (∞∑

j=0

ψjet−j)

=∞∑

j=0

ψ2jV (et−j) = σ2e

∞∑j=0

ψ2j

•

E(etZt−j) =

{σ2e , j = 00, j > 0

(A.15)

Demonstração. Multiplicando-se et com Zt−j, vem:

etZt−j = etµ+ etet−j + ψ1etet−j−1 . . .+ (A.16)

Aplicando-se o operador esperança na equação acima, vem que:

E(etZt−j) = µE(et) +∞∑i=0

E(etat−j−i) =

{σ2e se j = 00 se j > 0

(A.17)

60

Utilizando-se Z̃t, vem que: E(Z̃t) = 0 e V (Z̃t) = V (Zt). A covariância deZ̃k e Z̃t+k será determinada a seguir:

γk = E(Z̃kZ̃t+k)− E(Z̃t)E(Z̃t+k) =∞∑i=0

∞∑j=0

ψiψjE(et−iet+k−j) (A.18)

Note-se que E(et−iet+k−j) = σ2e quando j = k + i e será zero, caso con-trário.

Portanto, tem-se da equação (A.17) que:

γk = σ2e

∞∑i=0

ψiψi+k (A.19)

Daí, pode-se concluir que ρk será:

ρk =

∑∞i=0 ψiψi+k∑∞

i=0 ψ2i

(A.20)

A condição para que o processo de médias móveis seja estacionário é que:∞∑

j=0

ψ2j

Observe-se que ψi+k = 0 para todo i+ k < 0.Seja j = k + i, então para j < 0, tem-se ψj = 0. Logo:

γ(B) = σ2e

∞∑j=0

∞∑i=0

ψiψjBj−i = σ2e

∞∑j=0

ψjBj

∞∑i=0

ψiB−i

= σ2eψ(B)ψ(B−1) (A.24)

Esta fórmula permitirá calcular as autocovariâncias de qualquer processolinear. Note-se que j = i + k e que ψj = 0, para j < 0. Esse método éum modo conveniente para calcular as autocovariâncias de algum processolinear. A correspondente função geratriz de autocorrelação é dada por:

ρ(B) =∞∑−∞

ρkBk =

γ(B)

γ0(A.25)

A.6.3 Processos autorregressivos

A segunda representação é dada na forma:

Z̃t = π1Z̃t−1 + π2Z̃t−2 + . . .+ et =∞∑

j=1

πjZ̃t−j + et (A.26)

Nesse processo, em geral se faz πj = φj, para j = 1, 2, . . .. Esse processoé conhecido como o processo autorregressivo. O valor de Zt no tempo t éuma combinação linear dos seus valores passados mais o ruído. Em geral, oprocesso