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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS: , por Lucas Máximo Alves CURITIBA – PARANÁ MARÇO – 2007

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA

MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS:

, por

Lucas Máximo Alves

CURITIBA – PARANÁ

MARÇO – 2007

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LUCAS MÁXIMO ALVES

MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS:

,

CURITIBA – PARANÁ

MARÇO – 2007

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LUCAS MÁXIMO ALVES

MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS:

,

Apostila organizada como resultado do estudo das aulas para obtenção de créditos da Disciplina de MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná Orientador: Prof. Dr. José Viriato Coelho Vargas Orientador: Prof. Dr.

CURITIBA – PARANÁ

MARÇO – 2007

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Dedicatória

Dedico,

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Agradecimentos

Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades

que a vida me trouxe. Quero também agradecer:

À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr.

....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com

que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC.

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Epígrafe

“vida é um algo multidimensional cuja imprevisível curvatura temporal só é conhecida quando se experimenta os fatos a cada dia e, mesmo assim, não se consegue prever com exatidão a curvatura temporal dos fatos seguintes, mesmo que se expanda esta (a curvatura futura) numa vizinhança em torno do fato no instante presente” (Lucas M. Alves)

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Sumário

Apresentação ............................................................................................................................17 Capítulo – I ...............................................................................................................................18 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS ............................................................18 1. 1 – Objetivos do capítulo......................................................................................................18

1. 2 – Introdução ............................................................................................................18

1. 3 – Motivação e Conceitos Fundamentais ............................................................................19

1. 4 – Simplificação de um Problema Real ..............................................................................19

1. 5 – Tipos de Métodos Numéricos.........................................................................................20

1. 6 – Discretização do Problema .............................................................................................20

1. 7 – Exemplos e Aplicações...................................................................................................21

1. 8 – Equações Diferenciais e Algébricas do Problema..........................................................24

1. 9 – Método dos Elementos Finitos .......................................................................................25

1. 10 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................26

1. 11 – Exercícios e Problemas.................................................................................................27

Capítulo – II..............................................................................................................................28 O PROBLEMA DOS ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL - 1D ..........................28 2. 1 - Objetivos do capítulo ......................................................................................................28

2. 2 - Introdução ............................................................................................................29

2. 3 – Variações dos Modelos no Método de Elementos Finitos .............................................31

2. 4 – Definição Matemática e Desenvolvimento do Método ..................................................33

2. 5 - O problema 1D forma mais forte (clássica) ....................................................................38

2. 6- Forma Fraca ou Variacional do Problema de Valor de Contorno 1D (P.V.C.) ...............43

2. 7- Equivalência de Formas Forte e Fraca; Condições de Contorno Naturais.......................46

2. 8 - Método de Aproximação de Galerkin .............................................................................52

2. 9- Equações na Forma Matricial (Matriz de Rigidez K) ......................................................56

2. 10 - Exemplo de 1 e 2 graus de Liberdade ...........................................................................61

2. 11 - Espaço de Elementos Finitos Lineares..........................................................................73

2. 12- Propriedades da Matriz de Rigidez K ............................................................................77

2. 13- Análise Matemática........................................................................................................80

2. 14- Interlúdio: Eliminação de Gauss; Versão do Cálculo a Mão .........................................91

2. 15 - O Ponto de Vista do Elemento ......................................................................................99

2. 16- Matriz de Rigidez Elementar e Vetor Forças ...............................................................103

2. 17 - Montagem da Matriz e Vetor Forças Globais .............................................................106

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2. 18 – Cálculo Explícito da Matriz de Rigidez e do Vetor Forças........................................110

2. 19 - Exemplos e Aplicações Teóricas.................................................................................116

2. 20 - Exercícios e Problemas Teóricos: Teoria da Viga de Euler-Bernoulli e Cúbicas

Hermíticas ..........................................................................................................120

2. 21 - Exemplos Práticos e Aplicações .................................................................................127

2. 22 - Exercícios e Problemas Práticos .................................................................................143

Capítulo – III ..........................................................................................................................149 O PROBLEMA BI E TRIDIMENSIONAL - 2D E 3D .........................................................149 3. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................149

3. 2 – Introdução ..........................................................................................................149

3. 3 – O problema 2D e 3D.....................................................................................................150

3. 4 – O Problema da Condução de Calor Linear Clássica.....................................................152

3. 5 – O Problema da Elasticidade Linear ..............................................................................158

3. 6 – Estado de Tensões Planas e Deformações Planas ........................................................163

3. 7 – Análise Acoplada..........................................................................................................168

3. 8 – Apresentação do Código FEAP....................................................................................169

3. 9 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................170

3. 10 – Exercícios e Problemas...............................................................................................172

Capítulo – IV ..........................................................................................................................187 ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS ..................................................................................187 4. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................187

4. 2 – Introdução ..........................................................................................................188

4. 3 – Elementos Isoparamétricos e o seu Conceito de Programação ....................................190

4. 4 – Elemento Quadrilateral Bilinear ...................................................................................192

4. 5 – Elementos Isoparamétricos...........................................................................................194

4. 6 – Elementos Triangular Linear ........................................................................................196

4. 7 – Polinômios de Lagrange – 1D ......................................................................................198

4. 8 – Elementos com um Número Variável de Nós ..............................................................199

4. 9 – Quadratura Gaussiana...................................................................................................200

4. 10 – Subrotinas de Funções de Interpolação e de Cálculo de Rigidez Elementar..............201

4. 11 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................202

4. 12 – Exercícios e Problemas...............................................................................................203

Capítulo – V ...........................................................................................................................204 MÉTODOS MISTOS E DE PENALIDADE .........................................................................204 5. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................204

5. 2 – Introdução ..........................................................................................................204

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5. 3 – Métodos Mistos e de Penalidade ..................................................................................205

5. 4 – Normas de Sobolev.......................................................................................................206

5. 5 – Melhor Aproximação e Estimativa de Erro..................................................................207

5. 6 – Elasticidade Incompressível .........................................................................................208

5. 7 – Escoamento de Stokes ..................................................................................................209

5. 8 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................210

5. 9 – Exercícios e Problemas.................................................................................................211

Capítulo – VI ..........................................................................................................................212 PROBLEMAS TRANSIENTES ............................................................................................212 6. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................212

6. 2 – Introdução ..........................................................................................................212

6. 3 - Problemas Transientes...................................................................................................213

6. 4 - Problemas Parabólicos (Equação de Calor) ..................................................................214

6. 5 - Problemas Hiperbólicos (Elastodinâmica e Dinâmica Estrutural) ................................215

6. 6 – Algoritmos Computacionais .........................................................................................216

6. 7 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................217

6. 8 – Exercícios e Problemas.................................................................................................218

Capítulo – VII.........................................................................................................................219 INTRODUÇÃO A ANÁLISE NÃO-LINEAR TÉRMICA E ELÁSTICA ...........................219 7. 1 - Introdução ..........................................................................................................219

7. 2 – A Formulação do Problema Forte e Fraca de Problemas Térmicos Não-Lineares ......220

7. 3 – A Formulação do Problema Forte e Fraca de Problemas Elásticos Não-Lineares.......232

7. 3 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................245

7. 3 – Exercícios e Problemas.................................................................................................246

Capítulo – VIII .......................................................................................................................247 MECÂNICA DOS FLUIDOS................................................................................................247 8. 1 - Introdução ..........................................................................................................247

8. 2 - Fundamentação Teórica ................................................................................................249

8. 3 - Equação de Navier-Stokes para Escoamento Laminar .................................................250

8. 4 - Modelo de Penalidade para o Problema de Navier-Stokes ...........................................257

8. 4 – Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos...........................................................262

8. 5 – Projetos de Análise Não-Linear....................................................................................269

8. 6 – Equação de Navier-Stokes em 3D................................................................................270

8. 7 – Solução Numérica da Equação de Navier-Stokes + Energia I .....................................274

8. 8 – Formulação de Transferência de Calor Fluido/Sólido..................................................287

8. 9 – Solução Numérica da Equação de Navier-Stokes + Energia II ....................................290

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8. 10 – Fluidos Não-Newtonianos Inelásticos ........................................................................291

8. 11 – Fluidos Não-Newtonianos Viscoelásticos ..................................................................292

8. 11 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................293

8. 11 – Exercícios e Problemas...............................................................................................294

Capítulo – IX ..........................................................................................................................295 SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES ..................................................................................295 NÃO-LINEARES...................................................................................................................295 9. 1 – Introdução ..........................................................................................................295

9. 2 – O Método do Ponto Fixo ..............................................................................................296

9. 3 – O Método de Piccard de Susbtituição Sucessiva..........................................................298

9. 4 – O Método de Newton ...................................................................................................299

9. 5 – Métodos de Newton Modificados ou (Quase-Newton)................................................300

9. 6 – Métodos de Continuação ..............................................................................................308

9. 6 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................321

9. 6 – Exercícios e Problemas.................................................................................................322

2ª Prova...................................................................................................................................326 TRANSFERÊNCIA DE CALOR COMPUTACIONAL.......................................................326 Solução Por Newton-Raphson................................................................................................326

Solução Por Newton-Raphson Modificado com Jacobiano calculado Numericamente ........331

Solução Por Newton-Raphson com Line-Search ...................................................................332

Solução Por Newton-Raphson com estratégia de Comprimento de Arco..............................333

Capítulo – X ...........................................................................................................................334 ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL ....................................................................334 6. 9 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................349

6. 10 – Enfoque Variacional ...................................................................................................370

6. 11 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................378

6. 12 – Um Caso Especial de Elementos Finitos....................................................................385

6. 13 – Exercícios e Problemas...............................................................................................392

Projeto Condução de Calor em Placa Rugosa Fractal ............................................................393

Apêndices ...............................................................................................................................397 A. 1 – Funções de Interpolação Local Lineares .....................................................................397

A. 2 – Funções de Interpolação Local Quadráticas ................................................................402

A. 3 – Tutorial para entrar no ENGTERM9 via WebtermXpower Plugin .............................408

A. 4 – Tutorial para entrar no ENGTERM9 via VNC Server ................................................413

A. 5 – Manual de Operação do Programa FEAP-Linux.........................................................414

A. 6 – Manual de Comandos Internos do Programa FEAP-Linux.........................................420

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A. 7 – Como preparar um Arquivo de Entrada do Programa FEAP-Linux ...........................424

A. 8 – Exemplo de um Arquivo de Entrada do Programa FEAP-Linux ................................431

A. 9 – Procedimento para Análise Estrutural 2D no Programa FEAP-Linux ........................434

A. 10 – Algoritmo do Método de Newton Raphson implementado no Maple IX .................435

A. 11 – Tablea de Resultados Gerado pelo Método de Newton Raphson implementado no

Maple IX ..........................................................................................................437

Bibliografia.............................................................................................................................438

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Lista de Figuras

Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema real.................................19 Figura - 1. 2. Problema de carregamento de tensão mecânica em uma placa com um furo circular no centro. .....................................................................................................................20 Figura - 1. 3. .............................................................................................................................21 Figura - 1. 4. .............................................................................................................................21 Figura - 1. 5. .............................................................................................................................22 Figura - 1. 6. Diagrama de substituição de um Modelo Contínuo exato por um Modelo Discreto Aproximado. ..............................................................................................................24 Figura - 1. 7. Diagrama de Transformação de Equações Diferenciais em Equações Algébricas equivalentes. .............................................................................................................................24 Figura - 1. 8. .............................................................................................................................25 Figura - 1. 9. .............................................................................................................................25 Figura - 2. 1. .............................................................................................................................39 Figura - 2. 2. Função bolha.......................................................................................................49 Figura - 2. 3. Funções para o exemplo de 1 grau de liberdade. (estas funções são secretamente a mais simples funções de interpolação dos elementos finto no contexto de um elemento.)...61 Figura - 2. 4. A solução de Galerkin para o exemplo de 1 grau de liberdade. .........................63 Figura - 2. 5. Comparação das soluções particulares exatas e de Galerkin, Exemplo 1 caso (ii)...................................................................................................................................................64 Figura - 2. 6. Comparação das soluções particulares exatas e de Galerkin, Exemplo 1 caso (iii). ...........................................................................................................................................65 Figura - 2. 7. Funções o exemplo para 2 graus de liberdade. (Estas funções são secretamente as funções mais simples dos elementos finitos em um contexto de dois elementos.) ..............66 Figura - 2. 8. Função peso típico e solução tentativa para o exemplo com 2 graus de liberdade...................................................................................................................................................67 Figura - 2. 9. Comparação das soluções particulares e exata e de Galerkin, Exemplo 2, caso (ii). ............................................................................................................................................70 Figura - 2. 10. Comparação das soluções particulares exata e de Galerkin, Exemplo 2, caso (iii). ...........................................................................................................................................71 Figura - 2. 11. Funções de base para um espaço compacto de elementos finitos lineares .......74 Figura - 2. 12. Um membro típico de h hw V .........................................................................74 Figura - 2. 13. ...........................................................................................................................75 Figura - 2. 14. Se 1B A , as partes não nulas de BN e AN não se sobrepõem. .................77 Figura - 2. 15. ...........................................................................................................................78 Figura - 2. 16. Funções generalizadas elementares. a) Parênthesis de MaCaulay <x-y> b) Função de Heaviside H(x-y) = <x-y>,x c) (x-y) = H(x-y),x....................................................81 Figura - 2. 17. Funções de Green. ............................................................................................82 Figura - 2. 18. ...........................................................................................................................85 Figura - 2. 19. ...........................................................................................................................86 Figura - 2. 20. Descrição Local e Global do e’ésimo elemento. ............................................102 Figura - 2. 21. .........................................................................................................................103 Figura - 2. 22. X’s indica termos não-nulos; todos os outros termos são zero.......................105 Figura - 2. 23. arranjo LM para o problema exemplo ............................................................106 Figura - 2. 24. Fluxograma de um algoritmo de montagem de um elemento finito...............108 Figura - 2. 25. Aproximação para f por uma interpolação linear de valores nodais...............112 Figura - 1. 10. .........................................................................................................................121

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Figura - 2. 26. Elemento quadrilateral de duas dimensões para o uso na geração de malhas no FEAP. .....................................................................................................................................127 Figura - 3. 1. ...........................................................................................................................150 Figura - 3. 2 ............................................................................................................................166 Figura - 6. 1. Rede de pontos nodais do Domínio, e dos Subdomínios, e . ....................29 Tabela - VI. 1.Quadro Resumo das Diferentes Formulações do Método de Elementos Finitos..................................................................................................................................................32 Figura - 6. 2. Mudança do domínio contínuo de coodenadas (x,y) para o discreto de coordenadas (i,j) .......................................................................................................................33 Figura - 6. 3. Rede de pontos nodais do Domínio, e dos Subdomínios, e . ....................35 Figura - 6. 4. Intervalo de aplicação do Método de Galerkin .................................................337 Figura - 6. 5. Elemento Finito linear entre dois pontos. .........................................................398 Figura - 6. 6. Estruturação unidimensional dos Elementos Finitos. .......................................400 Figura - 6. 7. Intervalo de aplicação do Método de Galerkin .................................................362 Figura - 6. 8. ...........................................................................................................................374 Figura - 6. 9. ...........................................................................................................................378 Figura - 6. 10. Elemento Finito Quadrático entre três pontos ................................................402 Figura - 6. 11. Estruturação unidimensional dos Elementos Finitos Quadráticos..................407 Figura - A. 1. ..........................................................................................................................409 Figura - A. 2. ..........................................................................................................................412 Figura - A. 3. ..........................................................................................................................416 Figura - A. 4. ..........................................................................................................................419 Figura - A. 5. ..........................................................................................................................420 Figura - A. 6. ..........................................................................................................................422 Figura - A. 7. ..........................................................................................................................424 Figura - A. 8. ..........................................................................................................................433 Figura - A. 9. ..........................................................................................................................433

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Lista de Tabelas

Tabela - VI. 1.Quadro Resumo das Diferentes Formulações do Método de Elemntos Finitos................................................................................................................................................172

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Lista de Siglas

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Lista de Símbolos

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17

Apresentação Esta apostila é resultado da digitação das aulas do prof. Dr. Eng. Jose Vriato

Coelho Vargas, ministradas no curso de Análise Térmica e Estrutural I no Departamento de

Engenharia Mecânica da Universidade Federal do Paraná.

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Capítulo – I

INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS

RESUMO

Neste capítulo será visto como a utilização de métodos aproximados pode ajudar a

resolver problemas de equações diferenciais, quando a solução analítica é inacessível.

Abordaremos o tema das hipóteses simplificadoras e a utilização de equações algébricas na

substituição de equações diferenciais complexas.

1. 1 – Objetivos do capítulo

i) Entender a problemática dos Métodos Aproximados aplicados a Engenharia.

ii) Distinguir situações onde a utilização dos Métodos Aproximados é viável.

iii) Saber da existência de diversos Métodos Aproximados.

1. 2 – Introdução

A partir de agora estudaremos diferentes métodos de simplificação de problemas

reais e de aproximação das soluções das equações diferenciais presentes na Engenharia.

A motivação do uso de métodos aproximados está em:

Validar a prática ou o experimento através do equacionamento matemático que

modela um problema físico qualquer.

Por exemplo, o deslocamento medido por strain gauges, as medidas de

temperatura, as medidas de velocidades em um túnel de vento são exemplos de medidas

experimentais que podem ser validadas através de uma simulação numérica, para execução de

um projeto futuro.

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1. 3 – Motivação e Conceitos Fundamentais

Uma pergunta básica é:

Por que usar Métodos Aproximados?

Pode-se utilizar métodos numéricos para a obtenção de medições inviáveis

economicamente, tais como tensão máxima, max , Temperatura máxima, maxT

As vantagens de se utilizar métodos numéricos são:

1) Tempo de projeto reduzido com redução de custos.

2) Simula condições impossíveis em experimentos

3) Proporciona informações detalhadas e compreensíveis

4) Viabiliza a OTIMIZAÇÃO (não há nada melhor dada os critérios utilizados)

A implementação de Métodos Numéricos está relacionada com as condições de

SOFTWARE e HARDWARE. Os métodos Numéricos representam o caminho para a

soluaçào de um problema físico, e o software deve ser desenvolvido de forma adequada.

Contudo, o grande limitante da solução do problema é o hardware. Por exemplo, Análise

Complexas em três dimensões, 3D, requer processamentos mais eficazes.

Os tipos de processamentos que podem ser utilizados são o Escalar: que utiliza

um único computador, e o Vetorial, que utiliza dois ou mais computadores processando em

paralelo, ou ainda um super-computador com diversas unidades de processamento.

1. 4 – Simplificação de um Problema Real

Na tentativa de se descrever quantitativamente um problema (fenômeno) físico, ou

seja, de se obter uma expressão matemática que corresponda ao fenômeno em questão,

inicialmente o problema físico real é substituído por um problema equivalente, mais simples.

Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema real

Neste novo problema são selecionados os parâmetros considerados fundamentais

e que podem ser descritos matematicamente através de um sistema de equações diferenciais

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válido em todo o domínio do problema. A esse sistema são impostas condições de contorno

e/ou condições iniciais apropriadas. O próximo passo é a busca da solução para o problema.

1. 5 – Tipos de Métodos Numéricos

Os Métodos Numéricos se dividem em Locais e Globais. Os socais são

representados pelo Métodos de Diferenças Finitas, Métodos dos Elementos Finitos, Métodos

dos Volumes Finitos, etc. O Métodos Globais são Representados pelos Métodos Espectrais de

Domínios Alternativos que utilizam Transformadas Integrais de Laplace e Fourier, etc.

Todo método numéricos precisa passar por uma etapa chamada de discretização

seja do domínio ou do contorno.

1. 6 – Discretização do Problema

Discretização é processo de conversão das Equações Diferenciais de Domínio

Contínuo para Equações Algébricas de Domínio Discreto, conforme mostra a exemplo da

Figura - 1. 2

Figura - 1. 2. Problema de carregamento de tensão mecânica em uma placa com um furo circular no centro.

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1. 7 – Exemplos e Aplicações

1.7.1 - Domínio e Análise

Figura - 1. 3.

1.7.2 - Método Numérico

1) Obtenção da Solução nos Nós

2) Mecanismo de Interpolação da Solução

0,1 Não é expresso exatamente no computador.

Figura - 1. 4.

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22

1.7.3 - Natureza de um Problema Bem Posto

1) Existe Solução

2) A Solução é única

Exemplo:

Considere o seguinte Problema de Valor Inicial (P.V.I.)

cxy arctan (1. 1)

211xdx

dy

(1. 2)

0)0( xy (1. 3)

3) Estabelecimento das Condições de Contorno

Figura - 1. 5.

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23

AF

(1. 4)

E (1. 5)

j

iij

o xu

LL

(1. 6)

1.7.4 - Condições de Contorno

1) Dirichilet (u) 2) Neumann ( ixu / )

3) Mista ou de Robin ( kxuu i / )

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24

1. 8 – Equações Diferenciais e Algébricas do Problema

Um sistema de equações diferenciais constitui um modelo contínuo, que possui

infinitos graus de liberdade, uma vez que as variáveis se distribuem continuamente em todo o

domínio do problema. Com exceção de alguns casos mais simples, em geral não é possível

encontrar soluções analíticas para o problema. Recorre-se, então, aos modelos discretos (ou

numéricos), obtidos dos modelos contínuos através de hipóteses simplificadoras: As variáveis

que constituem infinitos graus de liberdade, são expressos em termos de um número finito de

graus de liberdade. Esses graus de liberdade são incógnitas dos modelos discretos dos

sistemas equivalentes e são determinados a partir da solução de um sistema de equações

algébricas.

Figura - 1. 6. Diagrama de substituição de um Modelo Contínuo exato por um Modelo Discreto Aproximado.

Resumidamente, quando o modelo contínuo é substituído por um modelo discreto,

o problema matemático da solução de um sistema de equações diferenciais é substituído pelo

problema da solução de um sistema de equações algébricas.

Figura - 1. 7. Diagrama de Transformação de Equações Diferenciais em Equações Algébricas equivalentes.

1.8.1 - Precisão da Solução Aproximada

1) Comparação com solução exata (se existir) – Calibração do Método.

2) Refinamento – Leva a uma Convergência da Solução

3) Comparação com Resultados Experimentais -

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25

4) Reprodutibilidade dos Resultados - Para as mesmas condições experimentais com as

considerações dos erros e as variações estatísticas sobre a dispersão dos valores obtidos em

relação aqueles previstos pelo modelo.

1. 9 – Método dos Elementos Finitos

Em geral, o Método de Elementos Finitos envolve dividir um sistema em

componentes menores por meio do processo de DISCRETIZAÇÃO.

Considere a treliça que é um objeto da engenharia.

Figura - 1. 8.

Figura - 1. 9.

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26

1. 10 – Exemplos e Aplicações

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1. 11 – Exercícios e Problemas

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28

Capítulo – II

O PROBLEMA DOS ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL - 1D

RESUMO

Neste capítulo será visto a origem do Método dos Elementos Finitos. Este método

se apresenta como uma alternativa ao Método Variacional e ao Método dos Resíduos

Ponderados e por sua vez deu origem ao Método dos Elementos de Contorno. A formulação

unidimensional do método dos elementos finitos. A formulação de Galerkin. A montagem da

matriz de rigidez elementar, a descrição matemática de elementos finitos unidimensionais

lineares. Alguns teoremas fundamentais e a solução de exemplos acadêmicos e discussão

destes exemplos.

2. 1 - Objetivos do capítulo

i) Entender a origem do Método dos Elementos Finitos

ii) Capacitar aluno a resolver problemas físicos lineares modelados por equações

diferenciais, pelo Método dos Elementos Finitos, como por exemplo a análise de

equipamentos sob solicitações térmicas e mecânicas, independentes ou combinadas

iii) Entender os conceitos fundamentais do Método dos Elementos Finitos na sua

versão unidimensional.

iv) Saber formular matematicamente um problema unidimensional e saber montar

a equação matricial elementar e global dos elementos finitos.

v) Saber aplicar o Método dos Elementos Finitos a problemas unidimensionais.

vi) Saber aplicar o Método dos Elementos Finitos nas suas mais diferentes formas

vii) Resolver problemas de equações diferenciais pertinentes ao método.

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2. 2 - Introdução

O Método dos Elementos Finitos é um método de solução aproximada de

equações diferenciais muito úteis em ciência e engenharia. Ele possibilita a simulação de

situações reais em um espaço discreto, cujo limite infinitesimal tende ao contínuo. A

visualização computacional também tem seguido a implementação dos cálculos por este

método permitindo uma análise visual das situações determinadas através do cálculo

numérico.

A idéia básica do Método dos Elementos Finitos consiste em subdividir,

inicialmente, o domínio do problema, em subdomínios de dimensões finitas tais que, o

conjunto de todos os subdomínios seja igual ao domínio original. Em seguida, sobre cada

subdomínio, isoladamente, adota-se um comportamento aproximado, local, para as incógnitas

do problema, conforme esquematiza a Figura - 2. 1.

Em geral, esse comportamento local é descrito com o emprego de funções

simples. A característica principal desse procedimento, então, consiste em utilizar

aproximações locais nos subdomínios, nos quais o domínio original foi dividido, em vez de

utilizar aproximações de caráter global. Para a obtenção de respostas cada vez melhores,

aumenta-se o número de subdomínios, mantendo-se o mesmo comportamento local já adotado

em cada subdomínio, no lugar de se adotar funções de ordem maior na aproximação de caráter

global. Os subdomínios são denominados elementos finitos.

Os elementos finitos são definidos por sua forma geométrica, pelas funções de

aproximação adotadas e pelos tipos de problemas para os quais foram desenvolvidos. Cada

elemento possui um número determinado de pontos nodais, ou nós, que podem ser internos ou

externos. Os nós externos fazem a conexão com os elementos vizinhos.

Figura - 2. 1. Rede de pontos nodais do Domínio, e dos Subdomínios, e .

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30

Nos nós comuns aos diferentes elementos, o valor das variáveis do problema é o

mesmo, independentemente do elemento que esteja sendo considerado.

Após a definição da malha de elementos finitos e do tipo de elemento (linear,

triangular, quadrático, etc), as matrizes características correspondentes a cada elemento

podem ser formadas e, em seguida, agrupadas, formando o sistema global de equações. A

solução deste sistema fornece os valores das incógnitas nos pontos nodais. Através do

comportamento aproximado local, as incógnitas do problema, em qualquer ponto do

elemento, são calculadas em função dos valores nodais das mesmas incógnitas nos pontos

nodais já conhecidos, isto é, as aproximações locais são funções de interpolação, por meio dos

quais os valores das incógnitas em qualquer ponto pertencente ao elemento finito são

calculados em função dos valores nodais.

2.2.1 – A origem do Método dos Elementos Finitos

O trabalho de Turner, Cough, Martin e Topp “Stiffness and Deflection Analysis of

Complex Structures” publicado em 1956 no Journal of Aeronautical Sciences. Vol. 23, pag.

805-823, é reconhecido como um dos primeiros a apresentar os fundamentos do Método dos

Elementos Finitos.

As bases teóricas do método foram mais bem definidas no início da década de 60

com o estudo mais aprofundado dos Métodos Energéticos e de Técnicas Variacionais.

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31

2. 3 – Variações dos Modelos no Método de Elementos Finitos

Para problemas de Mecânica dos Sólidos, podem ser identificados quatro

formulações, ou modelos básicos, que pertencem ao “Enfoque Variacional” do método:

2.3.1 - Modelo Compatível

Baseia-se no Princípio da Energia Potencial Mínima. Sobre cada elemento é

adotado um campo de deslocamento, escolhidos de tal maneira que haja continuidade de

deslocamentos e, eventualmente, de suas derivadas, entre os elementos. As incógnitas são os

deslocamentos nos pontos nodais.

2.3.2 - Modelo de Equilíbrio

Baseia-se no Princípio da Energia Complementar Mínima. Sobre cada elemento é

adotado um campo de tensões em equilíbrio; o equilíbrio entre elementos também é mantido.

As incógnitas são as tensões nos pontos nodais. É um modelo pouco utilizado na prática.

2.3.3 - Modelo Híbrido

Há dois tipos. O primeiro tipo se baseia em um Princípio de Energia

Complementar Mínima Modificado. No interior de cada elemento é adotado um campo de

tensões em equilíbrio e, no contorno de cada elemento, um campo de deslocamento é adotado,

devendo haver compatibilidade de deslocamento entre elementos vizinhos. As incógnitas são

os deslocamentos nodais. Aplicações Práticas: Problemas de estado plano de tensão ou

deslocamento e de flexão de placas.

O segundo tipo se baseia em um Principio de Energia Potencial Mínima

Modificado. No interior de cada elemento é adotado um campo de deslocamentos e, no

contorno de cada elemento, um campo de tensões é adotado, devendo haver equilíbrio de

tensões (forças de superfícies) entre elementos vizinhos. As incógnitas são as tensões, ou

forças de superfícies nos pontos nodais. Esse modelo é pouco utilizado. Vantagem do Modelo

Híbrido: Os resultados são mais precisos.

2.3.4 - Modelo Misto

Baseia-se em um Princípio Variacional Generalizado, como o Princípio de

Reissner. Sobre cada elemento são adotados, simultaneamente e independentemente, campos

de tensões e de deslocamentos. As incógnitas são as tensões (ou forças de superfícies) e os

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32

deslocamentos nos pontos nodais. Vantagem do Modelo Misto: Deslocamentos e tensões são

determinados com a mesma precisão.

No final da década de 70 foram introduzidos formulações baseadas na aplicação

localizada do Método de Galerkin, o que possibilitou que o Método dos Elementos Finitos

fosse empregado na solução de problemas que não possuam Formulação Variacional. De

uma maneira geral, qualquer um dos Métodos de Resíduos Ponderados pode ser utilizado no

cálculo pelo Método dos Elementos Finitos.

Tabela - VI. 1.Quadro Resumo das Diferentes Formulações do Método de Elementos Finitos

Método Principio Utilizado Elementos

Incógnitas nos pontos

nodais Condições Vantagens Aplicações

Práticas

Compatível

Princípio da Energia

Potencial Mínima

Campo de Deslocamento Deslocamentos

Continuidade nos Deslocamentos e suas derivadas

Equilíbrio

Princípio da Energia

Complementar Mínima

Campo de Tensão em equilíbrio

Tensão Equilíbrio pouco utilizado

Híbrido do 1º Tipo

Princípio da Energia

Complementar Mínima

Modificado

Campo de Tensão em

equilíbrio no domínio e campo de

Deslocamentos no contorno

Deslocamentos

Compatibilidade nos

Deslocamentos entre os

elementos vizinhos

Resultados mais precisos

Problemas de flexões em placas

Híbrido do 2º Tipo

Princípio da Energia

Potencial Mínima

Modificado

Campo de Deslocamentos no domínio e

Campo de Tensões no contorno

Tensões ou forças de

superfícies

Equilíbrio de Tensões (ou

forças de superfícies) entre

elementos vizinhos

Resultados Mais precisos

Misto

Princípio da Variacional

Generalizado (Reissner)

Campo Tensões e

Deslocamentos no domínio

Tensões (ou forças de

superfícies) e os

Delocamentos

Deslocamentos e Tensões

determinados com mesma

precisão

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33

2. 4 – Definição Matemática e Desenvolvimento do Método

O Método de Elementos Finitos teve sua origem nos Métodos Variacionais

aproximados, mas a partir do Método dos Resíduos Ponderados, este vínculo passou a ser não

mais necessário. Portanto, por ser esta última situação de abragência mais geral, para o

Método de Elementos Finitos, começaremos a representá-lo, em primeiro lugar, a partir do

Método de Resíduos Ponderados, apesar de não ser a ordem histórica de evolução do método.

Depois trataremos o Enfoque Variacional do Método de Elementos Finitos.

2.4.1 – Aproximação do Problema Contínuo pela Discretização do Domínio

Seja um problema unidimensional dado pela seguinte equação diferencial:

L(u) = b em , (2. 1)

sujeito as condições de contorno

S(u) = g em , (2. 2)

onde L e S são operadores lineares.

Este problema será aproximado por uma função do tipo:

1

1

M

mmm Nuuu em , (2. 3)

cujo o domínio continuo, será substituído por um domínio equivalente, discreto conforme

mostra a Figura - 2. 2.

Figura - 2. 2. Mudança do domínio contínuo de coodenadas (x,y) para o discreto de coordenadas (i,j)

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34

Logo, no domínio discretizado, teremos:

L(u ) = b em , (2. 4)

e no contorno discretizado, temos:

S(u ) = g em . (2. 5)

Substituindo (2. 3) em (2. 4)e (2. 5) ficamos com:

L

1

1)(

M

mmm bNu em (2. 6)

e, no contorno:

S

1

1)(

M

mmm gNu em . (2. 7)

Como L e S são operadores lineares, no domínio, podemos escrever:

1

1

M

mmu L bNm )( em , (2. 8)

e no contorno,

1

1

M

mmu S( gNm )( ) em . (2. 9)

2.4.2 - Definição dos Elementos Finitos Unidimensional

Se o domínio é dividido ou discretizado em E subdomínios, e, da seguinte

forma:

E

ee

1 (2. 10)

E, se em correspondência a divisão do domínio, o contorno, , é dividido em B partes, b, da

seguinte forma:

B

bb

1 . (2. 11)

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35

Figura - 2. 3. Rede de pontos nodais do Domínio, e dos Subdomínios, e .

Logo, teremos:

E

e 1L(

1

1

M

m

emm Nu ) = b em e , (2. 12)

sujeito as condições de contorno

B

b 1S(

1

1

M

m

emm Nu ) = g em b . (2. 13)

Como L e S são operadores lineares temos:

1

11

M

mm

E

eu L ( e

mN ) = b em e , (2. 14)

sujeito as condições de contorno

1

11

M

mm

B

bu S( e

mN ) = g em b. (2. 15)

2.4.3 – Inclusão do Método dos Resíduos Ponderados Unidimensional

A sentença de resíduos ponderados de caráter global (onde as funções de

aproximação são válidas em e em ):

0

dwdw ll . (2. 16)

Logo, os erros cometidos no domínio é:

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36

L(

1

1

M

mmmNu ) – b 0 em (2. 17)

E no contorno:

S(

1

1

M

mmmNu ) – g 0 em (2. 18)

Como L e S são operadores lineares temos:

no domínio:

1

1

M

mmu

e L (Nm) - b 0 em e (2. 19)

e no contorno

1

1

M

mmu

e S(Nm) - g 0 em b (2. 20)

Se o domínio é dividido em E subdomínios, e, e se, em correspondência a

divisão do domínio, o contorno, , é dividido em B partes, b. A sentença de resíduos

ponderados de caráter global é substituída por:

011

blb

B

bele

E

edwdw

b

e b

e

, (2. 21)

onde, as funções de aproximação são definidas localmente, sendo válidas somente para e e

b e não mais para e , da seguinte forma:

0 bleele dwdwb

e b

e

(2. 22)

Portanto, temos:

1

1

M

mmu

e L (Nm) - b 0 em e (2. 23)

e no contorno

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37

1

1

M

mmu

e S(Nm) - g 0 em b (2. 24)

Portanto,

1

1[

M

mmle uw

e

L(Nm)

1

1[]

M

mmlee uwdb

e

S(Nm) 0] bdg (2. 25)

OBS:

Se as integrais em (2. 16) e (2. 21) contêm derivadas de ordem s nos integrandos,

deve-se assegurar que as funções de aproximação tenham derivadas de ordem superior a (s -1)

contínuas.

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38

2. 5 - O problema 1D forma mais forte (clássica)

Os principais constituintes de um método de elementos finitos para a solução de

um problema de valor de contorno são:

i. O estabelecimento da forma variacional ou fraca do problema, e

ii. A solução aproximada das equações variacionais através do uso de “funções de

elementos finitos”

Para esclarecer os conceitos nós começaremos com o seguinte exemplo.

Suponha que nós estamos resolver a seguinte equação diferencial para u:

0, fu xx (2. 26)

)(xu é a solução (incógnita) a ser encontrada em ]1,0[x , onde a vírgula estabelece a

derivada (i. e. 22 /, dxudu xx ). Nós supomos que f é uma função suave dada. A qual é uma

função de valor escalar definida no intervalo. Nós escrevemos:

Rf ]1,0[: (2. 27)

onde [0;1] se estabelece para o intervalo (i.e. a série de pontos de x tal que 0 1x ) e se

estabelece para número reais. Em outras palavras, a equação (2. 27) estabelece que para um

dado x em [0;1], f(x) é um número real. (frequentemente nós usaremos para designar

em”ou “um membro de”. Então para cada ]1,0[x , ( )f x .). Também, [0;1] é dito ser o

domínio de f, e é seu espaço. Dizemos que f é uma função prescrita tendo uma

forma suave se pelo menos esta é contínua e possui 1ª derivada contínua, isto é:

]1,0[1Cf (2. 28)

Nós temos descrito a dada função f como sendo suave. Intuitivamente você

provavelmente sabe o que isto significa. Rigorosamente falando, se nós esquematizamos o

gráfico da função f, nós queremos que esta seja suave sem descontinuidades ou quebras. Nós

fazemos isto para evitar dificuldades técnicas. Certo que agora nós não desejamos elaborar

além do que isto seja divergir-nos a partir do tema principal. Em algum ponto anterior para ir

ao próximo capítulo, o leitor pode desejar consultar o Apêndice 1.I, Uma discussão Elementar

da Continuidade, Diferenciabilidade e Suavidade”, para observações posteriores sobre este

importante aspecto do trabalho de elementos finitos. O exercício na Secção 1.16 já usa um

pouco da linguagem descrita no Apêndice 1.I. A terminologia pode ser algo não familiar para

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39

engenharia e estudantes de ciências físicas, mas este é agora largamente usado na literatura de

elementos finitos e portanto é correto tornar-se acostumado a isto.

A equação (2. 26) é conhecida governar o deslocamento transverso de uma corda

sob tensão e também o deslocamento longitudinal de uma barra elástica. Nestes casos,

par6ametros físicos, tais como a magnitude da tensão na corda, ou módulo elástico no caso da

barra, aparece em (2. 26). Nós temos omitido estes parâmetros para simplificar os

desenvolvimentos subseqüentes.

Antes de nós irmos em frente, nós introduzimos algumas notações e terminologias

adicionais. Seja ]0;1[ denota o intervalo unitário sem pontos extremos (i. e. a série de pontos x

tal que 0 1x ). ]0;1[ a [0;1] são referido como intervalos unitários aberto e fechado,

respectivamente. Para simplificar escritas subseqüentes e tiras na notação empregadas depois

em situações multidimensionais, nós adotaremos as definições:

Define-se o intervalo como

]0;1[ (aberto) (2. 29)

onde este é um conjunto aberto e o intervalo como

[0;1] (fechado) (2. 30)

onde este é um conjunto fechado. Veja a Figura - 2. 4

Figura - 2. 4.

Neste ponto, considerações tais como estas podem parecer pedantes. Nossa

proposta, contudo, é desenvolver uma linguagem para a articulação precisa do problema de

valor de contorno, o qual é necessário para um bom trabalho de elementos finitos.

2.5.1 - Forma Forte do Problema de Valor de Contorno (P.V.C.)

Um problema de valor de contorno para (2. 26) envolve imposição de condições

de contorno sobre a função ( )u x . Existem uma variedade de possibilidades. Nós suporemos

que ( )u x é requerido satisfazer

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40

gu )1( (2. 31)

e

hu x )0(, (2. 32)

onde g e h são constantes dadas. As equações (2. 26) e (2. 32) requer que u tome valores

sobre o valor g em x = 1 e a derivada de u (i. e. a inclinação) tome valores –h em x = 0,

respectivamente. Esta série de condições de contorno nos possibilitará depois para ilustrar

certos aspectos da formulação variacional. Por razões obvias, condições de contorno do tipo

(2. 31) e (2. 32) leva ao tão chamado problema de valor de contorno de dois pontos.

A forma forte do problema de valor de contorno, (S), é estabelecida como segue:

Seja o problema (S), dado por :f R e constantes ,g h devemos encontrar

:u R como solução da equação diferencial tal que:

0, fu xx em (2. 33)

Sujeito as condições de contorno:

gu )1( (2. 34)

e

hu x )0(, (2. 35)

onde g e h são constantes dadas.

Quando nós escrevemos 0, fu xx em nós queremos dizer que

, ( ) ( ) 0xxu x f x para todo x . É claro, a solução exata de (S) é trivial obter,

notadamente

( ), ( )xxu x dx f x dx (2. 36)

integrando

00

( ), ( )x

xxu x f z dz (2. 37)

logo

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41

0

, ( ) , (0) ( )x

x xu x u f z dz (2. 38)

Substituindo , (0)xu h temos:

0

, ( ) ( )x

xu x h f z dz (2. 39)

Integrando mais uma vez

1 1 1

0

, ( ) ( )x

xx x x

u z dz hdz f z dz dz

(2. 40)

temos:

11 1

0

( ) ( )x

x xx

u z hz f z dz dz

(2. 41)

e

1

0

(1) ( ) (1 ) ( )x

x

u u x h x z f z dz dz

(2. 42)

Substituindo gu )1( , a solução exata é dada por;

dydzzfhxgxux

y

1

0

)()1()( (2. 43)

onde z é usado para denotar variáveis mudas. Contudo, este não é o principal fato aqui. Nós

estamos interessados em desenvolver esquemas para obter soluções aproximadas par (S) que

será aplicável a situações muito mais complexas no qual as soluções exatas são possíveis.

Alguns métodos de aproximação começam diretamente com a condição forte do

problema. O exemplo mais notável é o método de diferenças finitas (e.g., veja [1]). O método

de elementos finitos requer uma formulação diferente, a qual é tratada na próxima secção.

Observe que todos os pontos do contorno devem ser especificados e para qualquer

problema sempre haverá uma condição de Dirichilet no contorno, conforme se descreve

abaixo (para que a solução do problema seja única).

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42

O problema (S) pode ser resolvido diretamente por Diferenças Finitas, onde

aplica-se a discretização diretamente em sua formulação forte. Por outro lado, no Método dos

Elementos Finitos não se aplica a discretização diretamente a (S) mas usa-se a sua formulação

“fraca” que é chamado de problema equivalente (W).

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43

2. 6- Forma Fraca ou Variacional do Problema de Valor de Contorno 1D (P.V.C.)

A forma variacional é aplicado em problemas de trocadores de calor, por

exemplo, onde temos grandezas tais como, Calor, Q, Trabalho, W, e massa, M com restrição

de volume fixo e gostaríamos de maximizar ou minimizar algum parâmetro ou grandeza

física. Nesta situação devemos alterar o problema para o caso onde:

MwWwQwF 321

1 (2. 44)

cujas quantidades física são normalizadas, ou seja pertencentes ao intervalo ]1,0[1Q e

321 ,, www são pesos utilizados para equacionar o problema de forma ponderada.

Na Formulação Variacional Fraca do PVC tem-se como objetivo:

1) Reduzir a ordem diferencial do problema

2) Permitir o uso de Formas Integrais de grau mais baixo ao invés de Formas

Derivadas (formulação forte), isto para que seja possível resolver o problema com elementos

lineares na funções de interpolação para a aproximação local do problema.

3) Simplificar o problema em relação a sua forma original,

e por último

4) Forma alternativa tenha as mesma solução que a forma original.

Para definir a contrapartida fraca, ou variacional de (S), nós necessitamos

caracterizar duas classes de funções tais que:

1) A primeira deve ser composta de candidatas, ou soluções tentativas. A partir do

principio, nós requereremos que estas possíveis soluções devem satisfazer as condições de

contorno, ou seja, para as soluções candidatas Su exige-se que:

gu )1( (2. 45)

onde 1Hu . A outra condição de contorno será requerida na definição. Além do mais, para

que certas expressões sejam empregáveis faz sentido, nós requerermos que as derivadas das

soluções tentativas sejam quadrado integráveis. Isso é se u é uma solução tentativa, então as

funções devem possuir suavidade tal que:

1

0

2),( dxu x (2. 46)

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44

Funções que satisfazem (2. 46) são chamadas de 1funções H , implicando que xu, não

“diverge” em e xu, isto é, elas são quadraticamente integráveis 1Hu , isto é )(xu e

pertencente ao espaço de Hilbert . Algumas vezes o domínio é explicitamente incluído, i. e.,

1 0;1u H .

Então a coleção de soluções tentativas, denotada por S, consiste de todas as

funções as quais possuem derivadas quadrado integráveis e tomam valores sobre g em x =1.

Isto é escrito como segue:

guHuuS )1(,/ 1 (soluções tentativas) (2. 47)

O fato que S é uma coleção, ou seqüências, de objetos é indicado pelas chaves (chamados

chaves) em (2. 47). A notação para o membro típico da seqüência, neste caso, u, venha

primeiro dentro do lado esquerdo das chaves. Seguindo a linha vertical (|) são propriedades

satisfeitas por membros da seqüência.

2) Define-se a segunda coleção de funções é chamada de funções peso, ou variações.

Esta coleção é muito similar as soluções tentativas exceto que nós requeremos que a

contrapartida homogênea da condição de contorno-g. Isto é, nós requeremos funções, w, para

satisfazer exige-se que:

0)1( w Vw (2. 48)

onde 1Hw , a qual é a contra-parte homogênea da condição de contorno de Dirichilet.

0)1(,/ 1 wHwwV (funções pesos) (2. 49)

Isto simplifica o assunto o que continua a pensar de :f como sendo suave.

(Contudo, o que segue permanece para uma classe consideravelmente grande de f’s).

Em termos das definições precedentes, nós podemos agora estabelecer uma forma

fraca adequada para o problema do valor de contorno.

Logo o problema (W) é definido por dados f, g, h como antes, ache Su tal que

para todo Vw , temos:

1

0

1

0

)0(,, hwwfdxdxuw xx (2. 50)

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45

Formulação deste tipo são frequentemente chamada de formulação de trabalhos virtuais, ou

formulação de deslocamentos virtuais, ou pricipios em mecânica. Os w’ são os

deslocamentos virtuais.

A equação (2. 50) é chamada de equação variacional, ou (especialmente em

mecânica) a equação do trabalho virtual.

A solução de (W) é chamada de fraca, ou solução generalizada. A definição

dada de uma formulação fraca não é somente uma possível, mas é a mais natural daquela dos

problemas que nós desejamos considerar.

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46

2. 7- Equivalência de Formas Forte e Fraca; Condições de Contorno Naturais

Claramente, vemos que deve existir alguma relação entre a versões forte e fraca

do problema, ou ainda não deveria ser ponto na introdução fraca. Uma vez que a solução das

formas fraca e forte são idênticas. Nós estabeleceremos isto supondo que todas as funções são

suaves. Isto nos permitirá proceder expeditiosamente sem invocar condições técnicas com as

quais supõem-se que é familiar ao leitor. As “provas” deste tipo são algumas vezes

eufemisticamente referidas como “provas formais”. O intento é não ser completamente

rigoroso mas tornar plausível a verdade da proposição. Com esta filosofia em mente, nós

“provaremos”o seguinte:

2.7.1 - Proposição

a) Seja u a solução de (S). Então u é também solução de (W)

b) Seja u a solução de (W). Então u é também solução de ((S)

Um outro resultado, o qual nós não nos preocuparemos em verificar mas de fato é facilmente

estabelecido, é que ambos (S) e (W) possui solução única. Então, por (a) e (b), as soluções

forte e fraca são uma e a mesma. Consequentemente, (W) é equivalente a ((S).

2.7.2 - Prova Formal

a) Uma vez que u é suposto ser uma solução de (S), nós podemos escrever:

0, fu xx em (2. 51)

e

0, fuw xx w V (2. 52)

logo

0,1

0

dxfuw xx (2. 53)

Para qualquer w V. Integração (2. 53) por partes vduuvudv , onde

, ; , ,x xx xu w du w dx dv u v u .

Logo:

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47

1 110

0 0

, , , ,xx x x xwu dx wu w u dx

w V (2. 54)

ou substituindo (2. 54) em (2. 53) temos:

0,,,1

0

10

1

0

xxx uwwfdxdxuw w V (2. 55)

Rearranjando e fazendo uso do fato de que:

0)1(;, whu x (2. 56)

Logo resulta em:

1 1

0 0

, , (0)x xw u dx wfdx w h w V (2. 57)

Além disso, uma vez que u é solução de (S), ela satisfaz (1)u g e portanto está em S.

Finalmente, uma vez que u também satisfaz (2. 57), para todo Vw , u satisfaz a definição

de uma solução fraca dada por (W), logo:

(S) (W) (2. 58)

b)

Agora suponha que u é uma solução fraca de (S). Integra-se por partes o lado

esquerdo da equação (2. 57), onde, vduuvudv , e

, , ; ,x xx xu u du u dx dv w v w . Então:

1 110

0 0

, , (0)x xxwu wu dx wfdx w h (2. 59)

1 110

0 0

, , (0) 0xx xwu dx wu wfdx w h (2. 60)

trocando o sinal de todos os termos:

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48

1 110

0 0

, , (0) 0xx xwu dx wu wfdx w h (2. 61)

reescrevendo temos:

1

10

0

, , (0) 0xx xw u f dx wu w h (2. 62)

Ou

1

0

, (1) , (1) (0) , (0) (0) 0xx x xw u f dx w u w u w h (2. 63)

Usando o fato de que (1) 0w

1

0

, (0) , (0) 0xx xw u f dx w u h (2. 64)

e , (0)xu h logo temos que:

1

0

, 0xxw u f dx (2. 65)

Para provar que u é uma solução de (S) é suficiente mostrar que as equações de

Euler-Lagrange, (2. 65), implica ( 1) em:

i)

0)(, fxu xx em (2. 66)

ii)

0)0(, hu x em (2. 67)

2.7.3 - Prova de i

Primeiro nós provaremos i). Defina w em (2. 65) por:

fuw xx , (2. 68)

1 Estas equações são algumas vezes chamadas de equações de Euler-Lagrange da formulação fraca

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49

onde é suave; ( ) 0x para todo ]0;1[x ; e (0) (1) 0 . Por exemplo, nós

podemos tomar:

( ) 1x x x (2. 69)

A qual satisfaz todos os requerimentos estipulados (veja Figura - 2. 4).

Figura - 2. 5. Função bolha.

Segue-se que 0)1( w e então w V , assim (2. 68) defina um legítimo membro

de V . Substituindo (2. 68) em (2. 69) resulta em:

0,0,1

0 0

2

0

hudxfu xxxem

(2. 70)

ou

00,1

0 0

2

0

dxfu xxem

(2. 71)

Uma vez que 0 em , segue-se de (2. 71) que (i) deve ser satisfeita. Portanto,

0, fu xx (2. 72)

Agora que nós temos estabelecido (i), nós podemos usar este em (2. 68) para provar (ii),.

2.7.4 - Prova de ii)

Notadamente, temos que:

0,)0(00

huw x (2. 73)

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50

e que w V não põe restrição sobre seu valor em 0x . Portanto, nós podemos supor que o

w em (2. 73) é tal que (0) 0w . Então (ii) é também mostrado ser válida, o que completa a

prova da proposição.

Observações :

1. A condição de contorno ou fronteira hu x )0(, não é explicitamente

mencionada na afirmação de (W) condição de contorno natural.. Da prova precedente, nos

vimos que esta condição de fronteira é, contudo, subentendida pela satisfação da equação

variacional. Condições de fronteira deste tipo são referidas como condições de contorno

natural. Por outro lado, soluções teste são explicitamente requeridas para satisfazer as

condições de contorno u(1) = g. Condições de contorno deste tipo são chamadas de condições

de contorno essenciais. O fato que as soluções da equação variacional satisfazem as

condições de contorno naturais é extremamente importantes nas mais situações complicadas

que nos consideraremos mais tarde.

2. O método usado para provar a parte (b) desta proposição leva o nome de lema

fundamental na literatura do cálculo variacional. Na essência, esta é a metodologia que nos

capacita a deduzir a equação diferencial e as condições de contorno impostas pela formulação

fraca. Para desenvolver corretamente a forma fraca para problemas complexos, problemas

multidimensionais, é essencial ter um entendimento profundo destes procedimentos.

gu )1( porque Su é uma condição de contorno essencial.

Agora nós vemos que para obter soluções aproximadas para o problema de valor

de contorno original nos temos alternativos pontos de partida, isto é, as afirmações fortes ou

fracas do problema. Os métodos de elementos finitos são baseados no posterior.

Grosseiramente falando, a idéia básica é aproximar S e V por convenientes conjuntos de

funções de dimensão finita. (Claramente, S e V contêm infinitas funções). As equações

variacionais são então resolvidas em um contexto de dimensão finita. Um exemplo explícito

de como trataremos isso está na próxima seção. Contudo, nós introduziremos algumas

notações adicionais para simplificar a subseqüente escrita.

2.7.5 - Notação Abstrata

O produto escalar de funções w e u será denotado por:

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51

1

0

),( wfdxfw (2. 74)

O produto escalar da derivada de funções w e u será denotado por:

1

0

,,),( dxuwuwa xx (2. 75)

Em termos de (2. 73) e (2. 74), a equação variacional toma a forma:

hwfwuwa )0(),(),( (2. 76)

também satisfaz a condição de simetria Aqui ),( a , ),( são exemplos de formas

bilineares, simétricas. O que a bilinearidade significa é que: Seja 1c e 2c constantes e seja u,

v, e w seja funções. Então a propriedade de simetrias em cada posição é:

),(),( uvvu (2. 77)

A bilinearidade significa que em cada um das “posições”, por exemplo

),(),(),( 2121 wvacwuacwvcuca (2. 78)

e

1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )c u c v w c u w c v w (2. 79)

o que é obviamente linear na 2ª posição também.

Exercício 1.

Use a definição de a(.,.) e (.,.) para verificar as propriedades de simetria e

bilineariedade.

As notações acima são muito concisas, e ao mesmo tempo elas capturam a

característica matemática essencial e portanto nos conduz para um entendimento matemático

dos métodos de elementos finitos e variacional. Diversas classes de problemas físicos podem

ser escritos essencialmente de modo similar a (2. 76). Portanto as idéias desenvolvidas e

resultados obtidos são vistos imediatamente por terem uma aplicabilidade ampla.

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52

2. 8 - Método de Aproximação de Galerkin

Nós agora descreveremos um método de obter soluções aproximadas para

problemas de valor de contorno baseados na formulação fraca. Nossa introdução para este

tópico é tratado de modo um tanto abstrato. Contudo, o significado deve ser significamente

reforçado pelas seções restantes deste capítulo. Isto pode ser louvável para o leitor consultar

esta seção novamente antes de completar o resto do capítulo para ter certeza de uma completa

compreensão da matéria está alcançada.

O primeiro passo no desenvolvimento do método é construir aproximações de

dimensão finita de S e V. Estas coleções de funções serão denotadas por Sh e Vh

respectivamente. Os super-escritos referem-se a associação com a malha, ou discretização, do

domínio, o qual é parametrizado por um comprimento de escala característico, h . Nós

desejamos acreditar que hS e hV sejam subsequ6encias de S e V, respectivamente. Isto é

escrito como:

Seja

(i.e., se ,então )h h h hS S u S u S (2. 80)

E

(i.e., se ,então )h h h hV V w V w V (2. 81)

onde o significado preciso é dado em parêntesis(2). Conseqüências de (2. 80)e (2. 81) são

respectivamente que se h hu S e h hw V , são as condições de contorno:

gu h )1( (2. 82)

e

0)1( hw (2. 83)

As coleções, S, V, hS , e hV , são freqüentemente referidas como funções de

espaços. A terminologia espaço na matemática usualmente denota uma estrutura linear. Isto

possui o seguinte significado: Se 1c e 2c são constantes e v e w estão em V , então

2 Esta condição pode ser considerada padrão. Contudo, é frequentemente violada na prática. Strang [2] cunhou a terminoloogia “crimes variacionais” para aplicar a esta, e outras situações nas quais as regras clássicas de métodos variacionais são violadas. Muitos “crimes variacionais” tem sido dado um rigorosa base matemática (e. g. veja [2]). Nós teremos mais a dizer sobre este assunto em capítulos subseqüentes.

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53

1 2c v c w está também em V . Ambos V e hV são então visto possuir a propriedade de um

espaço linear. Contudo, esta propriedade está claramente não dividida por S e hS devido as

condições de contorno não homogêneas. Por exemplo, se 1u e 2u são membros de S , então

1 2u u S , uma vez que 1 2(1) (1) 2u u g g g na violação da definição de S .

Portanto, a terminologia da função espaço é ainda (avulsamente) aplicado a S e hS

2.8.1 - Método de Bubnov-Galerkin

Suponha que a coleção hV é dada. Então para cada membro h hv V , nós

construímos uma função h hu S , ou seja, para cada hhhh SuVv

hhh gvu (2. 84)

onde hg é uma função conhecida satisfazendo as condições de contorno essenciais, i. e.

(1)hg g (2. 85)

Note que (2. 84) satisfaz também o requesito da condição de contorno:

ggvug

hhh )1()1()1(0

(2. 86)

ou

(1) 0hu g g (2. 87)

Então (2. 84) constitui uma definição de hS , isto é, hS é toda função da forma (2. 84). O

ponto chave é observar é que, a menos da função hg , hS e hV são composta de coleção

idêntica de funções. Este propriedade será mostrada depois para ter conseqüências

significantes para certas classes de problemas.

Nós agora escrevemos a equação variacional, da forma (2. 76), em termos de

e h h h hw V u S .

( , ) ( , ) (0)h h h ha w u w f w h (2. 88)

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54

Esta equação deve ser pensada como uma definição aproximada (solução fraca), hu .

Substituindo (2. 84) em (2. 88) e a bilinearidade de ( , )a permite-nos escrever:

hwfwgvwa hh

ADEBILINEARID

hhh )0(),(),( (2. 89)

Essa bilinearidade implica em:

),(),(),( hhhhhhh gwavwagvwa (2. 90)

Portanto, a partir de:

( , ) ( , ) ( , ) (0)h h h h h ha w v a w g w f w h (2. 91)

Logo

( , ) ( , ) (0) ( , )h h h h h h

incógnitaa w v w f w h a w g (2. 92)

O lado direito da equação consiste da totalidade dos termos associados com os

dados fornecidos (i. e. f, g e h). A equação (2. 92) deve ser definida hv , a parte desconhecida

de hu .

A forma de Bubnov-Galerkin do problema, denotada por (G) é definida da

seguinte maneira:

Dados f, g, h, definidos como antes, encontramos hhh gvu onde

hhhh VwparaqtVv .. , temos:

),()0(),(),( hhhhhh gwahwfwvwa (2. 93)

Note que G é apenas uma versão de W posta em termos de uma coleção de

funções finitos dimensionais, notadamente, hV .

Para fazer o assunto mais especifico, hg e hV tem que ser explicitamente

definida. Antes de fazer isto é correto mencionar que uma larga classe de métodos de

aproximações, chamada Métodos de Petrov-Galerkin, nos quais hv está contido em uma

coleção de funções do que outras hV . Recente atenção tem sido prestada aos métodos desse

tipo, especificamente no contexto da mecânica dos fluídos. Por esta vez, nos trataremos

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55

exclusivamente com o Método de Bubnov-Galerkin. O método de Bubnov-Galerkin é

comumente referido como simplesmente o método de Galerkin, terminologia que nos

adotaremos de agora em diante. A equação (2. 92) é algumas vezes referida com a equação

de Galerkin.

Métodos de Aproximação desse tipo considerado são exemplos de tão chamados

métodos dos resíduos ponderados. A referência padrão que trata desse assunto é Finlayson

[3]. Para uma apresentação mais sucinta contendo um acontecimento histórico interessante,

veja Finlayson e Scriven [4].

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56

2. 9- Equações na Forma Matricial (Matriz de Rigidez K)

O método de Galerkin leva a um sistema acoplado de equações algébricas

lineares. Para ver isto nós precisamos dar uma estrutura além da definição de hV . Seja hV

consistindo de todas as combinações lineares de funções denotadas por :AN , onde

1,2,...,A n . Por issso nós dizemos que se h hw V , então existe constantes Ac ,

1,2,...,A n , tal que:

1int

1 1 2 2

, ( ) , [0;1]

...

nh

A A AA funções de

erpolação

n n

w c N N x x

c N c N c N

(2. 94)

As AN ’s são referidas como funções de forma, funções de base ou funções de

interpolação. Nós requeremos que AN satisfaça:

nAN A ,...,1,0)1( (2. 95)

Para o qual segue-se de (2. 94) que (1) 0hw , como é necessário. hV é dito ter dimensão n,

por razões obvias.

Para definir os membros de hS nós precisamos especificar hg . Para este fim, nós

introduzimos uma outra função de forma, 1 :nN , a qual possui a seguinte

propriedade:

1)1(1 nN (2. 96)

(Note que 1h

nN V .) Então hg é dado por:

)(1 xgNg nh

(2. 97)

E então

(1)hg g (2. 98)

Com estas definições, um típico h hu S pode ser escrito como:

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57

11

n

n

AAA

hhh gNNdgvu (2. 99)

onde as Ad ’s são constantes e do qual é aparente que:

(1)hu g (2. 100)

Substituindo (2. 94) e (2. 99) em dentro da equação de Galerkin (2. 93) temos:

),()0(),(),( 111111

n

n

AAA

n

AAA

n

AAA

n

BBB

n

AAA gNNcahNcfNcNdNca

(2. 101)

ou

0),()0(),(),( 111

AG

nAAABBA

n

B

n

AA gNNahNfNdNNac

(2. 102)

Pelo uso da bilinearidade de ( , )a e ( , ) , (2. 101), como as funções NA são ortogonais no

espaço de funções temos que:

01

A

n

AAGc (2. 103)

tem que valer hw e tem que valer Ac , e. g. todos os 0Ac . Logo obrigatoriamente

temos que:

0AG (2. 104)

Donde resulta que

11

( , ) ( , ) (0) ( , ) 0n

A A B B A A A nB

G a N N d N f N h a N N g

(2. 105)

Agora a equação de Galerkin é mantida para todo h hw V . Por (2. 94), isto significa para

todo Ac ’s, 1,2,...,A n . Desde que os Ac ’s são arbitrárias em (2. 103), é necessariamente

segue que cada uma AG , 1,2,...,A n , deve ser identicamente zero, i. e. de (2. 105).

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58

11

( , ) ( , ) (0) ( , )n

A B B A A A nB

a N N d N f N h a N N g

(2. 106)

Note que todas as coisas é conhecida em (2. 106) exceto os Bd ’s. Então (2. 106) constitui um

sistema de n equações em n incógnitas, onde as incógnitas são os sdB ' . Isto pode ser escrito

de uma forma mais concisa como segue:

Chamando de:

),( BAAB NNaK (2. 107)

e

gNNahNfNF nAAAA ),()0(),( 1 (2. 108)

Então (2. 106) torna-se e ficamos com a seguinte equação:

AB

n

BAB FdK

1

1,2,...,A n (2. 109)

Além disso a simplicidade é ganha pela notação matricial. Onde

11 12 1

12 22 2

1 2

...

...: _ : :

...

n

nAB

n n nn

K K KK K K

K

K K K

K (2. 110)

com

1

2

:A

n

FF

F F

F

(2. 111)

e

1

2

:B

n

dd

d d

d

(2. 112)

Portanto, a forma Matricial (M) para o problema (2. 109) pode ser escrita como:

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59

Fd

K (2. 113)

As seguintes terminologias são frequentemente aplicadas, especialmente quando o problema

sob consideração pertence a um sistema mecânico.

K = Matriz de Rigidez

F

= Vetor força

d

= Vetor deslocamento

Uma variedade de interpretações físicas são é claro possíveis.

Neste ponto, nós podemos estabelecer a matriz equivalente (M), do rpoblema de

Galerkin.

Dada a matriz coeficiente K e o vetor F

, ache d

tal que:

Fd

K (2. 114)

A solução de (M) é, claro, apenas 1d F K

(suponde que a inversa de K , 1K ,

existe). Uma vez que d

é conhecido, a solução de (G) pode ser obtida em qualquer ponto

x pelo emprego de (2. 99), viz., de posse da solução nós podemos reconstruir a solução:

)()()( 11

xgNxNdxu n

n

AAA

h

(2. 115)

Desta forma, as derivadas de hu , se requeridas, podem ser obtidas pela derivação termo a

termo. Deve-se enfatizar que a solução de (G) é uma solução aproximada de (W).

Consequentemente, a equação diferencial e as condições de contorno naturais são somente

aproximadamente satisfeita. A qualidade da aproximação depende apenas da escolha

específica dos AN ’s e do número n.

Observações:

1. A matriz K é simétrica. Isto segue da simetria de ( , )a e do uso do método

de Galerkin (i. e. as mesmas funções de forma são usadas para as variações e as soluções

tentativas):

,

,AB A B

B A

BA

K a N N

a N NK

(2. 116)

Na notação matricial

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60

TK K (2. 117)

Onde o superscrito T denota a matriz transposta. A simetria de K possui conseqüências

computacionais importantes:

2. Vamos recuperar os esquematicamente os passos que levaram ao problema

matricial, como elas são típicos do processo deve-se ir através do desenvolvimento do método

dos elementos finitos para um dado problema:

( ) ( ) ( ) ( )S W G M (2. 118)

A única aproximação aparente feita então está em resolver aproximadamente (W) via (G).

Nas situações mais complicadas, encontradas na prática, o número de aproximações aumenta.

Por exemplo, os dados f, g e h podem ser aproximados, bem como o domínio , cálculo de

integrais e assim por diante. A prova da convergência e análise de erro envolve a

consideração de cada aproximação.

3. É algumas vezes conveniente escrever:

1

1( ) ( )

nh

A AA

u x d N x

(2. 119)

onde 1nd g

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61

2. 10 - Exemplo de 1 e 2 graus de Liberdade

Nesta secção nós realizaremos os cálculos detalhados que envolvidos na

formulação e solução do problema de Galerkin. As funções empregadas são extremamente

simples, então dispensando-se a computação, mas eles são também exemplos primitivos de

funções típicas de elementos finitos.

2.10.1 - Exemplo 1 (1 Grau de Liberdade)

Neste caso n = 1. Então 1 1hw c N e 1 1 2

h h hu v g d N gN . A única

incógnita é 1d . O espaço de funções deve satisfazer 1(1) 0N e 2(1) 1N (veja (2. 95) e

(2. 96)). Vamos tomar 1( ) 1N x x e 2( )N x x . Estas funções são ilustradas na Figura -

2. 6 e claramente satisfaz as condições requeridas.

Figura - 2. 6. Funções para o exemplo de 1 grau de liberdade. (estas funções são secretamente a mais simples funções de interpolação dos elementos finto no contexto de um elemento.)

Uma vez que nós estamos tratando somente com 1 grau de liberdade, a parafernália matricial

colapsa como segue:

11 11K K K (2. 120)

1 1F F F

(2. 121)

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62

1 1d d d

(2. 122)

e

1

11 1 1 1 10 1 1

, , , 1x xK a N N N N dx

(2. 123)

e

1 1 1 1 2

1 1

1 10 0 1 11

0

, (0) ,

(1 ) ( ) , ,

(1 ) ( )

x x

F N f N h a N N g

x f x dx h g N N dx

x f x dx h g

(2. 124)

e

11 11 1d K F F (2. 125)

Consequentemente

1

1

0

( ) (1 ) ( ) (1 )h

d

u x y f y dy h g x gx

(2. 126)

Em (2. 126), y executa o papel de uma variável muda. Uma ilustração de (2. 126) aparece na

Figura - 2. 7.

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63

Figura - 2. 7. A solução de Galerkin para o exemplo de 1 grau de liberdade.

Para se obter uma sensibilidade da natureza da aproximação, vamos comparar (2.

126) com a solução exata (veja (2. 43)). É útil considerar formas específicas de f.

i. Para 0f . Então

( ) ( ) (1 )hu x u x g x h (2. 127)

que é, a solução aproximada é exata. De fato, isto está claro pela inspeção de (2. 126) e (2. 43)

que a solução homogênea (isto é, a parte da solução correspondente a f = 0) é sempre

representada exatamente. A única aproximação própria para a solução particular ( isto é, a

parte da solução correspondente a f ≠ 0).

ii. . Agora nos introduziremos uma função não nula f. Suponha que f(x) = p, uma

constante. Então a solução particular toma a forma

2(1 )( )2part

p xu x (2. 128)

e

(1 )( )2part

p xu x (2. 129)

As equações (2. 128) e (2. 129) são comparadas na Figura - 2. 8. Note que hpartu é exata em x

= 0 e x = 1 e ,hpart xu é exata em x = ½. (Isto seria claro que é impossível de h

partu ser exata em

todos os x nas circunstancias presentes. A solução exata (2. 128), contém um termo

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quadrático em x, Uma vez que a solução aproximada é limitada por uma variação linear em x

pela definição de N1 e N2).

Figura - 2. 8. Comparação das soluções particulares exatas e de Galerkin, Exemplo 1 caso (ii).

iii. Desta vez seja f(x)`= qx, onde q é uma constante. Esta escolha de f leva-nos

para

3(1 )( )6part

q xu x (2. 130)

e

(1 )( )6part

q xu x (2. 131)

as quais são comparadas na Figura - 2. 9. Novamente note que hpartu é exata em x = 0 e x = 1.

Existe um ponto 13

x na qual ,hpart xu é exata.

Deixe-nos resumir o que nos observamos neste exemplo:

a. A parte homogênea de hu é exata em todos os casos.

b Na presença de uma função f não nula, hu é exata em x = 0 e x = 1.

c. Para cada caso, existe pelo menos um ponto onde ,hxu é exata.

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65

Figura - 2. 9. Comparação das soluções particulares exatas e de Galerkin, Exemplo 1 caso (iii).

2.10.2 - Exemplo 2 (2 Graus de Liberdade)

Neste caso para n = 2 então:

2211 NcNcwh (2. 132)

onde

0)1()1( 21 NN (2. 133)

e

32211 gNNdNdu h (2. 134)

onde 1)1(3 N .

Defina-se AN ’s como se segue:

121;0

210;21

)1(1

x

xxN (2. 135)

e

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66

121;)1(2

210;2

)1(2

xx

xxN (2. 136)

e

121;12

210;0

)1(3

xx

xN (2. 137)

As funções de forma ilustradas na Figura - 2. 10. Típicos h hw V e h hu S e

suas derivadas são mostradas na Figura - 2. 11.

Figura - 2. 10. Funções o exemplo para 2 graus de liberdade. (Estas funções são secretamente as funções mais simples dos elementos finitos em um contexto de dois elementos.)

Para n = 2 a parafernália matricial toma a seguinte forma:

2221

1211

KKKK

K (2. 138)

e

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67

Figura - 2. 11. Função peso típico e solução tentativa para o exemplo com 2 graus de liberdade.

2

1

FF

F (2. 139)

e

2

1

dd

d (2. 140)

Onde

asdescontínu serem funçõesdas derivadas as devido se-separa

1

2/1

2/1

0

1

0

,,,,,,, dxNNdxNNdxNNNNaK xBxAxBxAxBxABAAB (2. 141)

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68

Para

4;2;2 22211211 KKKK (2. 142)

Logo

2111

2K (2. 143)

e

dxNNhNdxfN

gNNahNfNF

xxAAA

AAAA

,,)0(

,)0(,

3

1

2/1

1

0

3

(2. 144)

donde:

hdxxfxF 2/1

01 )(21 (2. 145)

e

1/ 2 1

20 1/ 2

2 ( ) 2 (1 ) ( ) 2F xf x dx x f x dx g (2. 146)

Note que devido ao formato das descontinuidades das funções na tangente em

x=½ , é conveniente expressar a integral em integrais em subintervalos [0, ½] e [½ ,1] (por

exemplo, veja (2. 141) e (2. 144). Nós não precisamos nos preocupar sobre o valor das

derivadas de AN em x=½ (sofre uma descontinuidade lá e portanto não é bem-definida no

modo clássico) desde que isto não tem efeito sobre as integrais em (2. 141). Isto equivale a

aplicar a noção de uma derivada generalizada.

Nos analisaremos novamente os três casos considerados no exemplo 1.

i. para f(x) = 0 temos:

g

hF

2 (2. 147)

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69

E

1d F

K

(2. 148)

1 1 1/ 21/ 2 1/ 2 2

hd K F

g

(2. 149)

logo

/ 2g h

dg h

(2. 150)

Este resulta em:

1 2 3

21 2 3 1

( )2

( )2

h hu g h N g N gN

Ng N N N h N

(2. 151)

logo

1(1 )hu g h x N (2. 152)

( ) (1 )u x g h x (2. 153)

Novamente, a solução homogênea obtida é exata. (A razão para isto é que a solução exata é

linear, e nossa solução teste é capaz de representar exatamente qualquer função linear. O

método de Galerkin dá-nos uma resposta exata quando é possível – que é, quando quer que a

coleção de soluções triviais contem uma solução exata através de seus membros).

Para problemas lineares os N’s lineares se repetem exatamente. A solução exata

homogênea é igual a do MEF.

ii. Considerando f(x) = p:

hpF 41 (2. 154)

e

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70

gpF 222 (2. 155)

Logo

1

1122 4

31 1 28 22 2 2

pp g hhdK F

p hp gg

(2. 156)

cuja solução toma a forma:

)()1()( xuxhgxu hpart

h (2. 157)

onde

21 83

2)( NpNpxu h

part (2. 158)

A solução particular aproximada é comparada com a exata conforme mostra a

Figura - 2. 12., da qual nós vemos que a concordância é alcançada em 10, e 12

x , e as

derivadas coincide em 14

x e 34

x .

Figura - 2. 12. Comparação das soluções particulares e exata e de Galerkin, Exemplo 2, caso (ii).

iii. ( ) , constantef x qx q

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71

1 24qF h (2. 159)

e

2 24qF g (2. 160)

logo

6748 2

q g hd

q hg

(2. 161)

Novamente hu pode ser expresso na forma (2. 157), onde

1 27

6 48upart

q qu N N (2. 162)

Uma comparação é apresentada na Figura - 2. 13. A solução de Galerkin é

compreendida para ser exata uma vez novamente em x = 0,1/2 e 1, e a derivada é exata nos

dois pontos.

Figura - 2. 13. Comparação das soluções particulares exata e de Galerkin, Exemplo 2, caso (iii).

Deixe-nos resumir o que salientamos nas observações do exemplo 2:

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a. A parte homogênea de hu é exata em todos os casos, como no exemplo 1 ( a

razão para isto é dada depois da equação (2. 153))

b. A solucão de Galerkin é exata em cada ponto final de cada sub-ntervalo para

todos os casos. O que implica que a solução pelo Método dos Elementos Finitos é exata nos

nós.

c. Em cada caso, existe pelo menos um ponto onde ,hxu é exata. x

hu , é exata em

um ponto de cada elemento.

Depois generalizando o caso de n sub-intervalos da na seguinte seção, nos

mostraremos na seção 1.10 que as observações acima não são acidentais.

Exercício 1.

Se o leitor não tem experiência com as contas que apareceram nesta seção, seria

louvável reproduzir todos os detalhes, desde que todos os detalhes foram omitidos.

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73

2. 11 - Espaço de Elementos Finitos Lineares

Os exemplos da seção precedente aplicaram a definição de hV e hS que são casos

especiais do espaço dos elementos finitos lineares por partes. Para definirmos o caso geral nos

quais hV é um n-dimensional, nos particionaremos o dominio [0;1] dentro de n sub-intervalos

não sobrepostos. Um sub-intervalo típico é denotado por 1[ , ]A Ax x , onde 1A Ax x e

A=1,2,….,n. Nos também exigimos que 1 0x e 1 1nx . Os Ax ’s sao chamados de pontos

nodais ou nós. (A terminologia junta ou extremos também é usada). Os sub-intervalos são

algumas vezes referidos como domínio dos elementos finitos, ou simplesmente elementos.

Note que os comprimentos dos elementos 1A A Ah x x nao se exige que sejam iguais. O

parâmetro da malha, h, é geralmente tomado como o comprimento máximo dos intervalos

(isto é, h = max Ah , A=1,2,…,n). Quanto menor for o h, mais refinada é a particao, ou malha.

Se cada sub-intervalo tem o mesmo comprimento então h = 1/n.

A forma das funções são definidas como segue: associadas a um nó típico interno

(isto é, 2 A n )

11

1

11

;

( ) ;

0 ;

AA A

A

AA A A

A

x xx x x

hx x

N x x x xh

elsewhere

(2. 163)

Onde nos pontos das fronteiras nós temos

21 1 2

1

1 1

( ) ;

( ) ;nn n n

n

x xN x x x x

hx x

N x x x xh

(2. 164)

As funções de forma são desenhadas na Figura - 2. 14. Por razoes obvias, elas são

referidas por vários nomes como “ chapéu”, “ telhado” . Note que ( )A B ABN x onde AB é a

funcao delta de Kronecker ( isto é, AB =1 se A=B e AB =0 quando A≠B). Em outras palavras,

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74

AN leva no 1 sobre o nó A e zero nos outros nós. Além disso, AN nao é zero somente em cada

sub-intervalo que contém Ax .

Figura - 2. 14. Funções de base para um espaço compacto de elementos finitos lineares

Um membro típico de h hw V tem a forma 1

nA AA

c N e aparecem na Figura - 2.

15. Note que hw é continua, mas tem descontinuidade na derivada sobre cada elemento da

fronteira. Por esta razão, ,hxw , a derivada generalizada de hw , sera constante por partes, ,

experimentando descontinuidades através dos elementos de contorno. (Uma tal função é

algumas vezes chamada de função degrau generalizada.) Restrita a cada um dos elementos do

dominio, hw é uma polinomial linear em x . Com relação as condições de contorno essenciais

homogêneas, (1) 0hw . Claramente, hw é identicamente zero se e somente se cada um dos

0, 1,2,...,Ac A n .

Figura - 2. 15. Um membro típico de h hw V .

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75

Membros típicos de hS são obtidos acrescentando 1h

nq qN para membros

típicos de hV . Isto assegura que (1)hu g .

As funções por partes de elementos finitos lineares são as mais simples e as mais

largamente usadas funções de lementos finitos de problemas unidimensionais.

2.11.1 - Funções de Interpolação

Para funções de interpolação, usualmente utiliza-se polinômios.

Exemplo: Lineares

Figura - 2. 16.

onde os nóssxA ' e 1; AA xx e corresponde aos elementos.

Note que o tamanho dos intervalos

AAA xxh 1 (2. 165)

não são necessariamente iguais ao parâmetro da malha Ahh max .

2.11.2 - Definições das Funções de Interpolação ou de Forma

Os nós internos são dados por nA 2 , e a funções de interpolação são:

11

11

,

,)(

AAA

A

AAA

A

A

xxxh

xx

xxxhxx

xN (2. 166)

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76

Exercício 1.

Considere a formulação fraca do modelo do problema unidimensional:

1 1

0 0

, , (0)x xw u dx wf dx w h (2. 167)

onde wW e uS são supostos ser suaves sobre os elementos interiores (i. e. sobre

1] ; [, 1,2,...,eA Ax x A n mas pode sofrer inclinações descontínuas através dos

contornos dos elementos. (Funções desta classe contém um espaço de elemento finito linear

descrito anteriormente). A partir da equação (2. 294) e supondo a continuidade das funções,

mostre que:

1

1

2

0 ( , ) (0) , (0 )

( ) , ( ) , ( )

A

A

xn

xx xA x

n

A x A x AA

w u f dx w u h

w x u x u x

(2. 168)

Argumentando como na Secção. 1.4, pode ser concluído que as condições de Euler-Lagrange

da equação (2. 294) são:

i. , ( ) ( ) 0xxu x f x , onde 1] ; [, 1,2,...,A Ax x x A n ,

ii. , (0 )xu h ; e

iii. , ( ) , ( ), onde 2,3,...,x A x Au x u x A n

Observe que (i) é a equação diferencial restrita aos elementos interiores, e (iii) é a

condição de continuidade através dos elementos dos contornos. Este pode ser contrastado com

o caso no qual a solução é suposta suave. Neste caso a condição de continuidade é

identicamente satisfeita e a somatória das integrais sobre os elementos interiores pode ser

substituída por uma integral sobre todo o domínio (veja Secção. 1.4).

Na formulação dos elementos finitos de Galerkin, uma solução aproximada de (i)-

(iii) é obtida.

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77

2. 12- Propriedades da Matriz de Rigidez K

As funções de forma , 1,2,..., 1AN A n , são nulas do lado de fora da

vizinhança do nó A. Como um resultado, muitas das entradas de K são nulas. Este pode ser

visto como segue.

Seja 1B A . Então (vide Figura - 2. 17) a matriz de rigidez, K , é dada por:

dxxNxNK xBxAAB )(,)(,1

0 (2. 169)

A simetria de K implica, em adição, que (2. 169) permanece para 1A B . Dis-

se que K é uma matriz de banda (i. e. suas entradas não nulas estão localizadas em uma

banda sobre a diagonal principal). A Figura - 2. 18 a mostra esta propriedade. Matrizes de

banda possuem significantes vantagens em que os elementos fora da banda não precisam ser

armazenados nem operados sobre o computador. Esta matriz de rigidez que aparece na análise

por elementos finitos é, em geral, bandas estreitas, permitem sua formação e solução

econômica .

Figura - 2. 17. Se 1B A , as partes não nulas de BN e AN não se sobrepõem.

Para um certo A,

1,1,0)(,)(, ABABsexNxN xBxA (2. 170)

Logo se

0ABK (2. 171)

A matriz de rigidez é tridiagonal e simétrica.

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78

11 12

21 22 23

32 33 2, 1

1, 2 1, 1 1,

, 1

0 ... 0:

0 0

:

0 ... 0

n n

n n n n n n

n n nn

K KK K K

K K K

K K K

K K

K

(2. 172)

Figura - 2. 18.

2.12.1 - Definição

Uma matriz n n é dito ser positiva definida se

i. 0Tc c A para todos os n-vetores c ; e

ii. 0Tc c A implica que 0c

2.12.2 - Observações

1. Uma matriz simétrica positiva definida possui uma única inversa.

2. Os autovalores de uma matriz positiva definida são reais e positivos.

2.12.3 - Teorema

A matriz K n n definida por (2. 107) é positiva definida.

2.12.4 - Prova

i. Seja , 1, 2,...,Ac A n as componentes de c (i.e. Ac c ), um vetor arbitrário.

Use estes Ac ’s para construir um membro de hV , 1

nh

A AA

w c N

, onde as AN são funções

bases de hV . Então

, 1

nT

A AB BA B

c c c K c

K (2. 173)

E pela definição de ABK

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79

, 1( , )

n

A A B BA B

c a N N c

(2. 174)

Da bilinearidade de ( , )a temos:

1 1,

n n

A A B BA B

a c N c N

(2. 175)

E da definição de hw

,h ha w w (2. 176)

E por (2. 75)

1 2

00

,

0

hxw dx

(2. 177)

ii. Supondo 0Tc c K . Pela prova da parte ii.

1 2

0

, 0hxw dx (2. 178)

e consequentemente hw deve ser constante. Uma vez que h hw V , (1) 0hw . Combinando

estes fatos, nós consideramos que ( ) 0hw x para todo [0;1]x , o qual é possível somente se

0, 1,2,...,Ac A n . Então 0c .

Note que a parte (ii) depende somente da definição de K e da condição de

contorno essencial nula construída dentro da definição de hV .

Resumo dos Resultados Matemáticos

K definido por (2. 107), é:

i. Simétrica

ii. Em Banda

iii. Positiva definida

A conseqüência prática das propriedades acima é que uma solução computacional

muito eficiente de d FK

pode ser executada.

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2. 13- Análise Matemática

Nesta secção nós mostraremos que as observações feitas com referência aos

problemas exemplos da Sec. 1.7 são, de fato resultados gerais. Para estabelecer estes fatos

rigorosamente somente se requer técnicas matemáticas elementares.

Nosso primeiro objetivo é estabelecer que a solução finita de Galerkin hu é exata

nos nós. Para fazer isto no’s devemos introduzir a noção de uma função de Green.

Seja ( ) ( )y x x y denota a função delta da Dirac. A função de Dirac não é

uma função no senso clássico mas é um tipo de operador definido por sua ação sobre funções

contínuas. Seja w uma função contínua e [0;1]; então nós podemos escrever:

1

0

, ( ) ( )

( )

yw w x x y dx

w y

(2. 179)

Por (2. 179), nós vemos porque a atenção é restringida a função ser contínua- y , lança fora o

valor de w em y. Se w fosse descontínua em y, seu valor seria ambíguo. Na mecânica, nós

pensamos de y visualmente como representante de uma força concentrada de uma

amplitude unitária localizada em um ponto y.

A função de Green do problema correspondente a (S) pode ser estabelecida

como segue:

Ache a função g (i. e. a função de Green) tal que:

, 0xx yg em (2. 180)

(1) 0g (2. 181)

, (0) 0xg (2. 182)

Note que (2. 180)-(2. 182) são simplesmente (S) em que f é substituído por y e g e h são

tomados nulos.

Este problema pode ser resolvido pela forma de cálculos formais com

distribuições ou funções generalizadas, tais como y . (A teoria de distribuições é tratada

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81

em Stakgold [5]). Uma boa conta elementar dos cálculos formais com distribuições

apresentadas por Popov [9]. (Esta última referência é recomendada para leitores que não tenha

tido experiência com este tópico.) Para este fim nós notamos que a integral (formal) de y é a

função de Heaviside, ou a função de degrau unitário:

0,( ) ( )

1,yx y

H x H x yx y

(2. 183)

A integral de yH é o parêntesis de MaCaulay:

0,,

x yx y

x y x y

(2. 184)

As funções precedentes são mostradas na Figura - 2. 19.

Figura - 2. 19. Funções generalizadas elementares. a) Parênthesis de MaCaulay <x-y> b) Função de Heaviside H(x-y) = <x-y>,x c) (x-y) = H(x-y),x.

Para resolver o problema da fução de Green, (2. 180) é integrado, fazendo uso de

(2. 183), para obter:

1,x yg H c (2. 185)

onde 1c é uma constante de integração. Uma segunda e uso de (2. 184) fornece (2. 180)

fornece:

1 2( )g x x y c x c (2. 186)

onde 2c é uma outra constante de integração. O cálculo 1c e 2c é executado requerendo (2.

185) e (2. 186) parasatisfazer as condições de controrno. Este resulta em

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( ) (1 )g x y x y (2. 187)

(veja Figura - 2. 20)

Figura - 2. 20. Funções de Green.

Observe que g é por parte linear. Então se Ay x (i. e. se y é um nó), hg V .

Na análise ensuing nós precisamos de uma equação variacional correspondente ao

problema das funções de Green. Este pode ser deduzido a partir de (W) substituindo u por g. f

por y , e g e h por 0, viz.

( , ) ( , )ya w g w w y (2. 188)

A equação (2. 188) permanece para todas as funções contínuas w V realmente implica a

continuidade de todo w V por um teorema bem conhecido em análse devido a Sobolev.

(Este resultado é verdadeiro somente em uma dimensão. O integrabilidade quadrática das

segundas derivadas é também requerida assegurar a continuidade das funções definidas em

domínios bi e tridimensional.)

2.13.1 - Teorema

Seja

( ) ( ), 1,2,..., 1hA Au x u x A n (2. 189)

(i. e., hu é exata nos nós). Para provar o teorema, nós precisamos estabelecer dois resultados

preliminares.

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2.13.2 - Lemma 1.

, 0h ha u u w para todo h hw V (2. 190)

2.13.3 - Prova

Nós temos observado previamente que hV V , assim nós podemos substituir w

por hw na equação variacional

, ( , ) (0)h h ha w u w f w h (2. 191)

A equação (2. 191) permanece para todo hw V . Observe qu a equação de Galerkin é

idêntica a equação (2. 191) exceto que hu aparece ao invés de u. Subtraindo a equação de

Galerkin da equação (2. 191) e usando a bilinearidade e a simetria de ( , )a obtém-se o

resultado desejado.

2.13.4 - Lemma 2.

Seja

( ) ( ) ,h hu y u y a u u g (2. 192)

onde g é a função de Green.

2.13.5 - Prova

Pela definição de y

( ) ( ) ,h hyu y u y u u (2. 193)

Por (2. 188)

( ) ( ) ,h hu y u y a u u g (2. 194)

Note que a linha 2 é verdade uma vez que hu u está em V .

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2.13.6 - Prova do Teorema

Como nós temos observado previamente, se Ay x , um nó, hg V . Vamos

tomar este como sendo o caso. Então

( ) ( ) , ( 2)

0 ( 1)

h hA Au x u x a u u g Lema

Lema

(2. 195)

O teorema é válido para 1,2,..., 1.A n Strang e Fix [6] atribuem este

argumento a Douglas e Dupont. Resultados deste tipo, encorporando caracteríticas de

excepcional acuracidade, são frequentemente referidas como um fenômeno da

superconvergência. Contudo, o leitor apreciaria que em situações mais complicadas, nós não

seremos capazes de na prática, garantir exatidão nodal. Portanto, como nós veremos mais

tarde, procedimentos de resíduos ponderados provêem um sistema de trabalho dentro do qual

as propriedades de acuracidade ótima de alguma sorte pode ser frequentemente garantida.

2.13.7 - Acuracidade das Derivadas

Considerando as propriedades de convergência das derivadas, certas noções elementares de

análise numérica surgem. O leitor deve está seguro que ele ou ela possui um completo

entendimento destas idéias conforme elas subsequentemente aparecem em outros contextos.

Nós começamos pela introdução de alguns resultados matemáticos preliminares.

2.13.8 - Taylor’s Fórmula with Resíduos

Seja :[0;1]f possui k derivadas contínuas e seja y e z dois pontos no

intervalo [0;1]. Então existe um ponto c entre y e z tal que:

2

2

..

1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( )2

1 ( ) , ( ) ...3!1 ( ) , ( )! k vezes

x xx

xxx

kxx x

f z f y z y f y z y f x y

z y f y

z y f ck

(2. 196)

A prova desta fórmula pode ser achada em [7]. A equação (2. 196) é algumas vezes chamado

de Expansão Finita de Taylor.

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2.13.9 - Teorema do Valor Médio

O teorema do valor médio é um caso especial da equação (2. 196) a qual é valido

desde que 1k (i. e., f é contínuamente diferenciável)

( ) ( ) ( ) , ( )xf z f y z y f c (2. 197)

Figura - 2. 21.

Considere um subintervalo típico 1[ , ]A Ax x . Nós temos já mostrado que hu é

exato nas extremidades (veja Figura - 2. 21). A derivada de hu em 1] , [A Ax x é constante:

11

( ) ( ), ( ) , ] , [h h

h A Ax A A

A

u x u xu x x x xh

(2. 198)

2.13.10 - Teorema

Suponha que u é continuamente diferenciável. Então existe no mínimo um ponto

em 1] , [A Ax x no qual (2. 197) é exata.

1( ) ( ) , ( )A Ax

A

u x u x u ch

(2. 199)

2.13.11 - Prova

Pelo teorema do valor médio, existe um ponto c ]xA,xA+1[ tal que:

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(Nós usamos (2. 197) com u, xA e xA+1 no lugar de f,y e z respectivamente). Desde que u(xA) =

uh(xA) e u(xA+1) = uh(xA+1), nós podemos reescrever (2. 200) como

1( ) ( ) , ( )h h

A Ax

A

u x u x u ch

(2. 200)

Comparação de (2. 200) com (2. 199) produz o resultado desejado.

2.13.12 - Observações

1. Este resultado significa que o valor constante de hxu, deve coincidir com xu,

em algum lugar de ]xA,xA+1[, veja Figura - 2. 22.

2. Sem o conhecimento de u nos nós não temos nenhuma maneira de determinar a

localização nas quais as derivadas serão exatas. Os seguintes resultados serão muito úteis em

que eles contam-nos que os pontos médios são, num sentido, otimamente exatos,

independentes de u.

Seja

1( ) ( ), ( ) , ( ) , ( ) , ( )h hdef

h A Ax x x x

A

u x u xe u u uh

(2. 201)

O erro (absoluto) nas derivadas 1[ , ]A Ax x . Para estabelecer uma superioridade dos

pontos médios no calculo das derivadas, nos precisamos de um resultado preliminar.

Figura - 2. 22.

2.13.13 - Lema

Suponha que u é três vezes continuamente diferenciável. Então

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1

3 31 1 2

, ( ) , ( )2

1 ( ) , ( ) ( ) , ( )3!

A Ax xx

A xxx A xxxA

x xe u

x u c x u ch

(2. 202)

onde 1c e 2c são em 1[ , ]A Ax x .

2.13.14 - Prova

Expanda 1( )Au x e ( )Au x em expansão finita de Taylor em torno de

1[ , ]A Ax x , viz.,

21 1 1

31 1 1

21 1 1

32 2 1

1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( )2

1 ( ) , ( ), [ , ]3!

1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( )2

1 ( ) , ( ) [ , ]3!

A A x A xx

A xxx A

A A x A xx

A xxx A

u x u x u x u

x u c c x

u x u x u x u

x u c c x

(2. 203)

Substraindo e dividindo por Ah fornece

1 1

3 31 1 2

( ) ( ) , ( ) , ( )2

1 ( ) , ( ) ( ) , ( )3!

h hA A A A

x xxA

A xxx A xxxA

u x u x x xu uh

x u c x u ch

(2. 204)

Substituindo u(xA+1) por uh(xA+1) e u(xA) por uh(xA) no lado esquerdo da equação e

rearranjando os termos completamos a prova.

2.13.15 - Discussão

Para determinar o que (2. 202) nos conta sobre a exatidão da derivada, nos

desejamos pensar da situação na qual a malha está sendo sistematicamente refinada (isto é,

nos deixamos hA se aproximar de zero). Neste caso 2Ah deve ser muito menor que hA.

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Portanto, para um dado u, se o lado direito de (2. 202) é )( 2AhO 3, o erro na derivada será

muito menor do que s e o lado direito é somente O( hA). O expoente de há é chamado de

ordem de convergência o ordem de exatidão. No caso anterior nos tínhamos a convergência

de segunda ordem da derivada, uma vez que no último caso nos temos somente a

convergência de primeira ordem.

Por exemplo, assumindo que a xA, então

)()(!3

)(2

)( 1,

2

,, AxxxA

AxxA

Ax hOcuhxuhxe (2. 205)

como hA 0 o primeiro termo domina. (nós vemos dos cálculos do exemplo na seção 1.8 que

os pontos extremos de cada subintervalo não são muito exatos para as derivadas)

Claramente em qualquer ponto a [xA,xA+1] obtém-se uma exatidão de primeira

ordem. Nos somos portanto naturalmente levados a fazer uma pergunta, existe algum valor de

a no quais a exatidão de derivadas de ordem superior são obtidas?

2.13.16 - Corolário

Seja xA+1/2 o ponto médio. Então o erro

)()(

,),(24

)(

2

21,

1,

2

21,

AhOxe

xxccuhxe

Ax

AAxxxA

Ax

(2. 206)

2.13.17 - Prova:

Por (2. 202) temos que

)()(48

)( 2,1,

2

21, cucuhxe xxxxxx

AAx

(2. 207)

pela continuidade de u,xxx existe pelo menos um ponto c entre c1 e c2 tal que

)()(21)( 2,1,, cucucu xxxxxxxxx (2. 208)

Combinando estes fatores completamos a prova. 3 A função f(x) é dita ser de ordem O(xk), (isto é, de ordem xk) se f(x)/xk uma constante quando x 0. Por

exemplo, f(x) =xk é O(xk), como é f(x) = 0,

lxlk

kjj . Mas não é O(xk+1) (verifique!)

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2.13.18 - Observação

1. Do corolário nós vimos que as derivadas são exatas de segunda ordem nos

pontos médios.

2. Se a solução é exata é quadrática (isto é, consiste de combinação linear dos

monômios 1,x,x2 ), então u,xxx =0 e – pelo (2. 202) – a derivada é exata nos pontos médios.

Este é o caso quando f(x) = p = constante.

3. Na teoria elástica linear de viga, as derivadas são proporcionais para as tensões.

O ponto médio dos elementos lineares são chamados de pontos de tensão de Barlow, depois

que Barlow[8], que foi o primeiro a notar que os pontos de ótima exatidão existiam dentro dos

elementos.

Exercício 1.

Suponha uma malha de elemento constante (i. e. , 1,2,...,Ah h A n ).

Considere a diferença finita padrão “stencil” para

, 0xxu f (2. 209)

em um nó típico interno, chamado,

1 12

2 0A A AA

u u u fh

(2. 210)

Supondo que f varia de uma forma linear e assim pode ser expandido como:

1

1

n

A AA

f f N

(2. 211)

onde os fA são valores nodais de f, estabelecidos na equação de elementos finitos associado

com o nó A e compare este com (2. 297). Deduza quando (2. 297) será capaz de exibir o

fenômeno da superconvergência. (Isto é qual é a restrição sobre f?) Estabeleça a equação de

elementos finitos associada com o nó 1, contando para h não nulo. Discuta esta equação a

partir do ponto de vista de diferenças finitas. (Para comparações posteriores ao longo destas

linhas, o leitor interessado necessita consultar [6], Capítulo 1.).

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2.13.19 - Resumo dos Resultados Matemáticos

A solução de elementos finitos de Galerkin do problema (s) possui as seguintes

propriedades:

i. hu é exata nos nós (não é geral)

ii. xhu , Existe pelo menos um ponto em cada elemento no qual a derivada é

exata, ou seja, é exata em algum ponto de cada intervalo (quase geral)

iii. xhu , A derivada tem uma precisão de 2ª ordem nos pontos médio dos

elementos (quase geral) .

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2. 14- Interlúdio: Eliminação de Gauss; Versão do Cálculo a Mão

É importante para alguém que deseja fazer análise por elementos finitos tornar-se

familiar com o eficiente e sofisticado esquema que aparece no método dos elementos finitos.

Sente-se que a melhor forma de fazer isto é começar com o esquema mais simples,

executando alguns cálculos a mão, gradualmente aumentar a sofisticação conforme o tempo

passa.

Para fazer alguns dos problemas nós precisamos de um método verdadeiramente

eficiente de solução de matrizes a mão. O seguinte esquema é aplicável a sistemas de

equações d FK

no qual nenhum pivotamento (isto é reordenamento) é necessário. Por

exemplo, matrizes simétrica positiva definida de coeficientes nunca precisa de pivotamento. O

procedimento é como segue:

2.14.1 - Eliminação de Gauss

Resolva a primeira equação para 1d e elimine 1d a partir das n - 1

equações remanescentes

Resolva a segunda equação para 2d e elimine 2d a partir das n - 2

equações remanescentes

Resolva a segunda equação para 1nd e elimine 1nd a partir da n’esima

equação.

Resolva a n’esima equação para nd .

Os passos precedentes são chamados de Redução Direta. A matriz original é

reduzida a uma matriz triangular superior. Por exemplo, suponha que nós começamos com um

sistema de quatro equações como segue:

11 12 13 14 1 1

21 22 23 24 2 2

31 32 33 34 3 3

41 42 43 44 4 4

K K K K d FK K K K d FK K K K d FK K K K d F

(2. 212)

A matriz Ampliada correspondente ao sistema é

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11 12 13 14 1

21 22 23 24 2

31 32 33 34 3

41 42 43 44 4

F

K K K K FK K K K FK K K K FK K K K F

K

(2. 213)

Depois da redução direta, a matriz augumentada torna-se:

'112 13 14'

223 24'

34 3'

4

'

10 10 0 10 0 0 1

U F

FK K KFK K

K F

F

(2. 214)

Correspondendo ao sistema triangular superior 'd U F

(4). Verifica-se simplesmente o fato

de que se K é matriz de banda diagonal, então U também será.

Empregando a matriz augumentada reduzida, procede-se como segue:

Elimina-se nd das 1, 2,...1n n .

Elimina-se 1nd das 2, 3,...1n n .

Elimina-se 2d da primeira equação.

Este procedimento é chamdo de substituição anterior. Por exemplo, no exemplo

dado, depois da substituição anterior nós obtemos:

1

2

3

4

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

d

dddd

I

(2. 215)

4 Primos serão usados para denotar quantidades intermediárias em toda esta secção.

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correspondendo a identidade d dI

. A solução surge na última coluna.

2.14.2 - Algoritimo de Cálculo a Mão

Em um cálculo a mão, a eliminação de Gauss pode ser executada sobre a matriz

augumentada como segue:

2.14.3 - Redução Direta

Divida a linha 1 por 11K

Substraia 21K linha 1 de linha 2

Substraia 31K linha 1 de linha 3

Substraia 31K linha 1 de linha n

Considere o exemplo de quatro equações. Os passos precedentes reduzem a

primeira coluna para a forma

12 13 14 1

22 23 24 2

32 33 34 3

42 43 44 4

1 ' ' ' '0 '' '' '' ''0 '' '' '' ''0 '' '' '' ''

K K K FK K K FK K K FK K K F

(2. 216)

Note que se 1 0AK , então a computação para a A’ésima linha pode ser ignorado.

Agora reduza a segunda coluna

Divida a linha 2 por 22'K

Substraia 31''K linha 2 de linha 3

Substraia 42''K linha 2 de linha 4

Substraia 2''nK linha 2 de linha n

O resultado parecerá o exemplo parecerá como:

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12 13 14 1

23 24 2

33 34 3

43 44 4

1 ' ' ' '0 1 ''' ''' '''0 0 ''' ''' '''0 0 ''' ''' '''

K K K FK K FK K FK K F

(2. 217)

Note que somente a submatriz incluída nas lihas pontilhadas é afetada neste procedimento.

Repita até a coluna 3 para n são reduzidas e a forma triangular superior (2. 214) é

obtida.

2.14.4 - Substituição Anterior

Substraia 1,'n nK linha n de linha n – 1.

Substraia 2'nK linha n de linha n - 2

Substraia 1,' nK linha n de linha 1.

Depois destes passos a matriz augumentada, para este exemplo, parecerá com:

112 13

223

3

4

''''1 ' ' 0''''0 1 ' 0

0 0 1 00 0 0 1

FK KFKdd

(2. 218)

Note que a submatriz incluída nas linhas pontilhadas não é afetada por estes passos, e, ao lado

da zeragem dos elementos apropriados da última coluna do coeficiente matriz, somente o

vetor 'F

é alterado.

Agora limpe da segunda para a última coluna no coeficiente da matriz:

Substraia 2, 1'n nK linha n -1 de linha n - 2

Substraia 3, 1'n nK linha n -1 de linha n – 3

Substraia 1, 1' nK linha n -1 de linha 1

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Novamente nós mencionamos que o único cálculo não trivial que estão sendo

exeutados sobre a última coluna (i. e. sobre F

).

Repita como acima até coluna 2, 3,..., 2n n são limpos. O resultado é (2. 215).

2.14.5 - Observações

1. De passagem nós notamos que o procedimento acima não é o mesmo que a

forma que alguém implementaria a eliminação de Gauss em um computador, o qual nós

trataremos depois. Em um programa de computador para a eliminação de Gauss de matrizes

simétricas nós desejaríamos tratar todos os resultados intermediários de forma a reter a

simetria e então armazenar salvo estes resultados. Este pode ser feito por uma pequena

mudança no procedimento. Contudo, sente-se que o esquema dado é mais claro para cálculos

a mão.

2. O exemplo numérico com o qual nós fechamos esta secção ilustra o esquema de

eliminação precedente. Note que a banda é mantida (i. e. os zeros no canto superior direito da

matriz coeficiente permanece zero em todo os cálculos). O leitor necessita executar os

cálculos.

2.14.6 - Exemplo de Eliminação de Gauss

1

2

3

4

1 1 0 0 11 2 1 0 0

0 1 2 1 00 0 1 2 0

dddd

(2. 219)

2.14.7 - Matriz Ampliada

1 1 0 0 11 2 1 0 0

0 1 2 1 00 0 1 2 0

(2. 220)

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96

2.14.8 - Redução Direta

1 1 0 0 10 1 1 0 10 1 2 1 00 0 1 2 0

(2. 221)

1 1 0 0 10 1 1 0 10 0 1 1 10 0 1 2 0

(2. 222)

1 1 0 0 10 1 1 0 10 0 1 110 0 0 1 1

(2. 223)

2.14.9 - Substituição Anterior

1 1 0 0 10 1 1 0 10 0 1 0 20 0 0 1 1

(2. 224)

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97

1 1 0 0 10 1 0 0 30 0 1 0 20 0 0 1 1

(2. 225)

1 0 0 0 40 1 0 0 30 0 1 0 20 0 0 1 1

(2. 226)

1

2

3

4

4321

dddd

(2. 227)

Exercício 1.

Considere o problema de valor de contorno discutido nas secções anteriores:

, ( ) ( ) 0 ]0;1[xxu x x x f (2. 228)

e

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98

(1)u g (2. 229)

e

, (0)xu h (2. 230)

Suponha ( )x xf q , onde q é constante, 0 g h .

a. Empregando o espaço linear de elementos finitos com nós igualmente

espaçados, estabeleça e resolva as equações de elementos finitos de Galerkin para n = 4 (h =

parâmetro de malha = ¼ ). Reveja que na Secção 1.7 este foi feito para n = 1 e n = 2 (h = 1 e

h = ½, respectivamente). Não inverta a matriz de rigidez K; use o método de eliminação de

Gauss para resolver e checar suas respostas uma vez que elas devem ser exatas nos nós.

b. Faça , , , /( / 2)hx x xre u u q , o erro relativo em ,xu . Calcule ,xre nós pontos

médios dos quatro elementos. Eles deveriam ser iguais. (Este foi também o caso para n = 2)

c. Empregando os dados para h = 1, ½ e ¼ , grafique ln( , )xre versus ln h .

d. Usando a análise de erro para ,xre nos pontos médios apresentados na Secção

1.10, responda as seguintes questões:

i. Qual o significado da inclinação do gráfico na parte (c)?

ii. Qual o significado da intersecção-y.

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2. 15 - O Ponto de Vista do Elemento

Até agora nós tivemos uma visão matemática global do método dos elementos

finitos simplesmente como um procedimento particular de aproximação de Galerkin aplicado

a formulação fraca do problema em questão. O que significa que o que nós temos feito um

procedimento de elementos finitos é o caráter das funções bases selecionadas; particularmente

sua compacticidade e sua suavidade e suporte local (i. e. 0AN do lado de fora de uma

vizinhança de A). Este é o ponto de vista matemático; é um ponto de vista global naquela base

de funções que são consideradas ser definidas em todo o lugar sobre o domínio do problema

de valor de contorno. O ponto de vista global é útil no estabelecimento das propriedades

matemáticas do método dos elementos fintos. Este pode ser visto na Secção 1.10 e será feito

mais aparente depois.

Agora nós desejamos discutir sobre um outro ponto de vista chamado ponto de

vista local, ou ponto de vista do elemento. Este ponto de vista é aquele tradicional em

engenharia e é útil na implementação em computador do método dos elementos finitos e no

desenvolvimento dos elementos finitos.

Nós começamos nosso tratamento do ponto de vista local com uma questão: O

que é um elemento finito?

Nós atentaremos para dar a resposta em termos do espaço de elementos finitos

compacto linear que nós definimos previamente. Um elemento individual consiste das

seguintes quantidades.

Visão Global Visão Local

Domínio: 1; AA xx 21;

Nós 1; AA xx 21;

Graus de

Liberdade

(DOF)

1; AA dd 21;dd

Funções de

Forma (F.F)

(5)

1; AA NN 21; NN

5 No método dos resíduos ponderados no qual hS e hV são construídos a partir de diferentes classes de funções (i. e. métodos de Petrov-Galerkin), nós também teríamos de especificar uma série de funções ponderadoras, a

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100

Funções de

Interpolação

ou Solução

11 )()()( AAAAh dxNdxNxu

1; AA xxx 2211 )()()( dNdNu h

1;1x

(Lembrando que ( )hA Ad u x .) Em palavras, um elemento finito linear é apenas a toalidade

da parafernália associada com a funçào definida globalmente hu restrita ao domínio do

elemento. As quantidades acima estão em termos de parâmetros globais – notadamente, as

coordenadas globais, as funções de forma, o ordenamento dos nós, e assim por diante. É

frutífero introduzir uma série de quantidades locais, correspondente a aquelas globais, tal que

os cálculos para um elemento típico pode ser padronizado. Estes são dados como segue:

Note que na descrição local, a numeração nodal começa com 1.

Nós relataremos os domínios das descrições globais e locais por uma

“transformação afim”:

1 1 2:[ , ] [ , ]A Ax x (2. 231)

tal que

1 1 2( ) ( )A Ax x e (2. 232)

É prática padrão tomar:

1 21 1 e (2. 233)

Então pode ser expressa pela expressão:

xccx 21)( (2. 234)

Onde c1 e c2 são constantes que são determinadas por:

Axcc 211 (2. 235)

e

1211 Axcc (2. 236)

Logo resolvendo o sistema fornece

saber 1,A AN N

a série enteira de ,AN s cosntituiria então uma base uma base hV . No método de Galerkin

A AN N .

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101

A

AA

hxxxx 12)(

(2. 237)

Lembrando que AAA xxh 1 , é um mapeamento e x é um ponto ou

2)( 1 AAA xxhx (2. 238)

x é um mapeamento e é um ponto.

Na seqüência, nós adotaremos a convenção notaconal que susbscritos a, b, c, ...

pertence ao sistema de numeração local. Os susbritos A, B, C,... sempre pertencerá aosistema

de numeração global. Para controlar a proliferação de notações, nós frequenetemente

usaremos a mesma notação para os sistemas global e local (e. g. ea Ad d ou e a AN N ). Este

gerlamente não causaria confusão como o contexto tornará claro qual ponto de vista está

sendo adotado. Se existe perigo de confusão, um superscrito e será ntroduzido para denotar

uma quantidade na descriaçào local associada com o número do elemento e (e. g.

, ( ) ( ( ))e e ea A a Ad d N N x , onde 1 2 1 2 1:[ , ] [ , ] [ , ]e e e

A Ax x x x x , etc.).

Em termos de , a função de forma na descrição local toma a forma padrão:

2,1,121)( aN aa (2. 239)

Observe também que (2. 238) podem ser escritas em termos de (2. 239)

ea

aa

e xNx

2

1)()( (2. 240)

Esta tem a mesma forma da função de interpolação (cf. l5).

Para referência futura, nós notamos que os seguinte resultados:

( 1),2 2

aa

aN

(2. 241)

Cujo Jacobiano é:

2,

ee hx (2. 242)

Onde eee xxh 12 e

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102

eex

ex h

x 2,,1

(2. 243)

As descrições local e global do e’ésimo elemento são mostradas na Figura - 2. 23

2.15.1 - Descrição Local e Global do Elemento “e”

Figura - 2. 23. Descrição Local e Global do e’ésimo elemento.

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103

2. 16- Matriz de Rigidez Elementar e Vetor Forças

Para desenvolver o elemento do ponto de vista adicional, nos supomos que nosso

modelo consiste de eln elementos, numerados como mostra a Figura - 2. 24. Claramente

eln n para este caso. Tomemos e ser o índice das variáveis para os elementos; portanto

1 ele n .

Figura - 2. 24.

Agora lembrando as definições (globais) da matriz de rigidez e vetor força

elementar.

1

,AB An n nx

K F F

K

(2. 244)

Onde

1

0

, , ,AB A B A x B xK a N N N N dx (2. 245)

e

1 11 1

1 10 0

, ,

, ,

A A A A n

A A A x n x

F N f h a N N q

N fdx h N N dx q

(2. 246)

(Em (2. 246) nos supomos 1 1( )A AN x , quanto ao espaço dos elementos finitos linear por

partes). As integrais sobre [0.1] podem ser escritas como somas de integrais sobre o domínio

dos elementos. Portanto

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104

1,

elne e e

ABe

K

K K K (2. 247)

e

1,

elne e e

Ae

F F F F

(2. 248)

onde

, , ,e

eeAB A B A x B xK a N N N N dx

(2. 249)

e

1 1 1

1 1 1

, ,

, ,e e

eeeA A e A A n

A e A A x n x

F N f h a N N q

N f dx h N N dx q

(2. 250)

e 1 2[ , ]e e ex x o domínio do e’ésimo elemento.

A observação importante para fazer e que K e F

podem ser construídas pela

soma das contribuições das matrizes elementares e vetores, respectivamente. Na literatura, o

procedimento e algumas vezes chamada de método da rigidez direta [10].

Pela definição de 'AN s nos temos que

0, Se ou 1 ou ou 1eABK A e e B e e (2. 251)

e

0, Se ou 1eAF A e e (2. 252)

A situação para um elemento típico, e, e mostrado na Figura - 2. 25. Na prática nos não

adicionamos, naturalmente, os zeros mas simplesmente adicionando os termos não nulos nos

locais apropriados. Para este propósito e útil definir o e’ésimo elemento da matriz de rigidez

ke e o vetor de forca elementar fe como segue:

1222

,x

ea

e

x

eab

e ffkk (2. 253)

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105

e

'

,,,

dxNNNNak xbxae

baeab (2. 254)

e

'

2

1

1,...,3,201

elea

el

a

ae

a

negk

neeh

fdxNf (2. 255)

Resta-nos agora montar a matriz global, a partir das contribuições elementares.

(2. 256)

Figura - 2. 25. X’s indica termos não-nulos; todos os outros termos são zero.

Onde ke e fe são definidas com respeito a ordenação local, uma vez que Ke e Fe são

definidas como respeito a ordenação global. Para determinar onde a componente de ke e fe

“irão” em K e F, respectivamente, requer-se tomar informações adicionais. Isto é discutido na

seção seguinte.

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106

2. 17 - Montagem da Matriz e Vetor Forças Globais

No programa de computador dos elementos finitos, isto é a tarefa da “subrotina

dos elementos finitos” para produzir ke e fe, e = 1,2,...,nel dos dados recebidos e proporcionar

informações suficientes para uma “ subrotina de montagem” de modo que os termos ke e fe

podem ser adicionados para os locais apropriados em K e F, respectivamente. Esta

informação de montagem é armazenada em uma coleção chamada LM, a matriz de

localização.

Vamos cosntruir o arranjo LM para o problema sob consideração. As dimensões

de LM são nen, o número de elementos nós, pelo número de elementos; no presente caso, os

números são 2 e eln , respectivamente. Dado um número de graus de liberdade particular (a

saber a e e, respectivamente), o valor retornado pelo arranjo LM é correspondente ao número

de equações globais., A, viz.

1( , )

1 2e if a

A LM a ee if a

(2. 257)

O arranjo LM completo é mostrado na Figura - 2. 26. Esta é a forma que nós visualizamos

este armazenado no computador. Note que LM(2, ) 0eln . Isto indica que o grau de liberdade

2 do número de elementos eln é prescritoe não é uma incógnita na equação matricial global.

Portanto os termos 12 21 22, , ,el el eln n nk k k e 2elnf são não montados em K e F

, respectivamente.

(Não existem lugares para eles ir!).

Figura - 2. 26. arranjo LM para o problema exemplo

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107

Como um exemplo, suponhamos que nós temos o que acrescentar a e’ésima

contribuição elementar, onde 11 ele n , para os K e F

parcialmente montadas. A partir do

Arranjo LM, nós deduzimos o seguinte procedimento de montagem:

11

, 1 , 1 12

1, 1, 21

1, 1, 1 221

eee ee

ee e e e

ee e e e

ee e e e

K K k

K K k

K K k

K K k

(6) (2. 258)

e

1e

e eF F f (2. 259)

e

1 1 2e

e eF F f (2. 260)

onde a seta () é lida como “substituída por”.

Para o elemento eln nós temos somente que

11eln

nn nnK K k (2. 261)

e

1eln

n nF F f (2. 262)

Com estas idéias, nós podemos construir, na forma de esquema, um algoritimo para a

montagem de K e F

, veja a

Figura - 2. 27

6 Devido a simetria de 21

ek não seria realmente montado na prática.

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108

Figura - 2. 27. Fluxograma de um algoritmo de montagem de um elemento finito

A ação do algoritimo de montagem é denotado totalmente por A , o operador montagem, vis.,

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109

K A A

1 1( ) , ( )

el eln ne e

e ek F f

(2. 263)

11 colunas

)1()(

r

e

nxnee

e

efileiraxefileirax

Fxxxx

K

(2. 264)

Computacionalmente:

1) Subrotina Elemento

Computa ee fk , para todos os elementos

2) Monta-se, ee fk , (todos)

Dentro de K e F

),1(),,1(11 eLMeLMe Kk (2. 265)

),(... elementosn

locaisequaçõesn

LocalMatriz

globaisequaçõesn ooo

eaLMA (2. 266)

Conceitualmente-se, escreve-se

en

e

en

efAFRAK

elel

11,

(2. 267)

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110

2. 18 – Cálculo Explícito da Matriz de Rigidez e do Vetor Forças

A computação explicita de ke e fe , para o problema de acordo com a

consideração, providencia algumas idéias preliminares dentro do tipo de calculo que deve ser

realizado numa subrotina de elementos finitos. Alguns resultados preliminares são

requisitados.

Formula de Mudança de Variável ( versão unidimensional)

Seja 1 2:[ , ]f x x R uma função integrável e seja 1 2 1 2:[ , ] [ , ]x x x uma

função continuamente diferenciável, com 1 1 2 2( ) e ( )x x x x . Então

Considere a seguinte mudança de variáveis 1 2: [ , ]f x x se já ... 1 2 1 2: [ , ] [ , ]x x x 2 2( )x x

2

1

2

1

)(,)()(

dxxfdxxf

x

x

(2. 268)

Regra da Cadeia

Sejam f e x como acima, e, em adição, assuma que f é diferenciável. Então a regra

da cadeia fica:

( ) , ( ) , ( )xf x f x x

(2. 269)

Provas destes resultados podem ser achados em [11]

A computação de ke procede como se segue o exemplo:

Pela definição temos:

'

)(,)(,

dxxNxNk xbxaeab (2. 270)

pela mudança de variáveis, onde ( )x é definido por (2. 240)

1

1

, ( ( )) , ( ( )) ,eab a x b xk N x N x x d

(2. 271)

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111

(regra da cadeia: , , ,( ) ( / ) ( ( )) ( ( )) ( )) =( 1) /a b ea a a xN N x N x x h ) (por

(2. 241)-(2. 243)

11

11

1

, ( ) , ( )( , ( ))

( 1) ( 1) 22 2

( 1)

a b

a b

e

a b

e

N N x d

dh

h

(2. 272)

Entào

11111

ee

hk (2. 273)

Observe que ,aN (veja (1.12.7)) não depende dos dados dos elementos

particulares, como ( )a aN N . Nos veremos que isto geralmente é verdade, e portanto

estas computações pode ser feitas uma única vez e para todos.

As derivadas ,x e ,x depende dos dados particulares dos elementos (no presente

caso de eh ), e sub-rotinas serão necessárias para calcular a analogia destas quantidades nos

casos mais gerais.

Agora nos desejamos calcular fe. Contudo, isto não pode ser feito sem

explicitamente conhecer o que f = f(x) é. Na pratica, isto seria inconveniente para reprogramar

cada vez que nos quisermos resolver um problema envolvendo uma função f diferente.

Geralmente uma aproximação conveniente é feita. Por exemplo, no podemos trocar f por sua

interpolação linear sobre cada elemento, a saber,

)usualmente(2

1

a

aae Nff (2. 274)

e

contorno de termos fdxNfe

ae

a

(2. 275)

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112

onde ( ( ))a af f x ; veja a Figura - 2. 28. A notação hf é usada para indicar que a

aproximação depende da malha. Isto representa uma aproximação que é suficiente para

aplicações mais praticas. (Isto é, naturalmente, exatas por constantes ou “carregamentos”

lineares dos elementos). Agora a padronização das entradas do programa podem ser

facilitadas; que é, o valor nodal de f são dados requisitados. Empregando esta aproximação no

calculo explicito dos vetores elementares forca:

1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ,e

h haN x f x dx Na x f x x d

(2. 276)

(mudança de variáveis)

12

1 1

( ) ( )2

ea b b

b

h N N d f

(2. 277)

Figura - 2. 28. Aproximação para f por uma interpolação linear de valores nodais.

Calculando as integrais 1

1(1 ) 3a b abN N d

produz

1

2

2 11 26

ee fhf

f

(+termos de contorno, cf. (2. 245)) (2. 278)

e

1 2

1 2

226

e f fhf f

(+ termos de contorno) (2. 279)

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113

Observação

Isto pode ser mostrado que, sobre convenientes hipótese, interpolação nodal linear

por partes produz erros de 2O h nos dados; neste caso, f. (veja [12], pp56-57, para

estimativas básicas de interpolação de erros). Isto pode ser mostrado que, em medidas

apropriadas de erros, isto produz na pior das hipóteses um erro 2O h em hu e ,hxu .

Os seguintes exercícios indicam que podem existir melhores modos para se

aproximar dos dados.

Exercício 1.

Suponha que f é quadrática (isto é, consistindo de combinações lineares

monogâmicas 1, x e x2). Determine a aproximação linear por partes – não necessariamente

continua – para f sobre cada elemento nos quais os valores nodais são exatos. Sugestão: A

análise pode ser realizada com respeito a um elemento.

Exercício 2.

A equação de uma corda sobre uma base elástica é dada por:

, 0 ;xxu u f em = 0 1 (2. 280)

Onde , uma constante positiva, é a medida da base de rigidez. Supondo que as condições de

fronteira são as mesmas do problema discutido anteriormente neste capitulo, isto pode ser

mostrado que uma formulação fraca equivalente é:

, , (0)w x u x w u dx wf dx w h

(2. 281)

Onde ,u w V e assim por diante. Isto pode também ser escrito como

, , , (0)a w u w u w f w h (2. 282)

i. seja h h hu v g escreva a contraparte de Galerkin da formulação fraca

( , )h ha w v (2. 283)

= ( , ) (0) ( , )h h h hw f w h a w g (2. 284)

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114

ii. Defina

,A BKAB a N N (2. 285)

e

, eea babk a N N (2. 286)

iii. Determine ke explicitamente

ke eabk

(2. 287)

iv. Mostre que K é simétrica

v. Mostre que K é definida positiva.É necessário empregar a condição de contorno

(1) 0hw ? Por que?

vi. A função de Green para este problema satisfaz

, 0xx yg g (2. 288)

e pode ser escrita como

1 2

3 4

, 0

, 1

px px

px pxc e c e x y

g xc e c e y x

(2. 289)

Onde 1 / 2p e os c’s são determinados seguindo 4 condições de contorno e continuidade.

,

, ,

1 00 0

1

x

x x

gg

g y g y

g y g y

(2. 290)

vii. Construindo elemento de função de forma exponencial 1N x e e tal que

1 1 2 2h e eu x d N x d N x , ex (2. 291)

onde

1 2px pxhu x c e c e (2. 292)

é os cs são determinados de

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115

, 1, 2e h ea ad u x a (2. 293)

Qual é o atributo do qual esta escolha de funções atende?

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116

2. 19 - Exemplos e Aplicações Teóricas

Exercício – 1 página 22

Considere a formulação fraca do modelo do problema unidimensional:

1 1

0 0

, , (0)x xw u dx wf dx w h (2. 294)

onde wW e uS são supostos ser suaves sobre os elementos interiores (i. e. sobre

1] ; [, 1,2,...,eA Ax x A n mas pode sofrer inclinações descontínuas através dos

contornos dos elementos. (Funções desta classe contém um espaço de elemento finito linear

descrito anteriormente). A partir da equação (2. 294) e supondo a continuidade das funções,

mostre que:

1

1

2

0 ( , ) (0) , (0 )

( ) , ( ) , ( )

A

A

xn

xx xA x

n

A x A x AA

w u f dx w u h

w x u x u x

(2. 295)

Argumentando como na Secção. 1.4, pode ser concluído que as condições de Euler-Lagrange

da equação (2. 294) são:

i. , ( ) ( ) 0xxu x f x , onde 1] ; [, 1,2,...,A Ax x x A n ,

ii. , (0 )xu h ; e

iii. , ( ) , ( ), onde 2,3,...,x A x Au x u x A n

Observe que (i) é a equação diferencial restrita aos elementos interiores, e (iii) é a

condição de continuidade através dos elementos dos contornos. Este pode ser contrastado com

o caso no qual a solução é suposta suave. Neste caso a condição de continuidade é

identicamente satisfeita e a somatória das integrais sobre os elementos interiores pode ser

substituída por uma integral sobre todo o domínio (veja Secção. 1.4).

Na formulação dos elementos finitos de Galerkin, uma solução aproximada de (i)-

(iii) é obtida.

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117

Solução

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118

Exercício – 1 página 31

Suponha uma malha de elemento constante (i. e. , 1,2,...,Ah h A n ).

Considere a diferença finita padrão “stencil” para

, 0xxu f (2. 296)

em um nó típico interno, chamado,

1 12

2 0A A AA

u u u fh

(2. 297)

Supondo que f varia de uma forma linear e assim pode ser expandido como:

1

1

n

A AA

f f N

(2. 298)

onde os fA são valores nodais de f, estabelecidos na equação de elementos finitos associado

com o nó A e compare este com (2. 297). Deduza quando (2. 297) será capaz de exibir o

fenômeno da superconvergência. (Isto é qual é a restrição sobre f?) Estabeleça a equação de

elementos finitos associada com o nó 1, contando para h não nulo. Discuta esta equação a

partir do ponto de vista de diferenças finitas. (Para comparações posteriores ao longo destas

linhas, o leitor interessado necessita consultar [6], Capítulo 1.).

Solução

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119

Exercício – 1 página 36

Considere o problema de valor de contorno discutido nas secções anteriores:

, ( ) ( ) 0 ]0;1[xxu x x x f (2. 299)

e

(1)u g (2. 300)

e

, (0)xu h (2. 301)

Suponha ( )x xf q , onde q é constante, 0 g h .

a. Empregando o espaço linear de elementos finitos com nós igualmente

espaçados, estabeleça e resolva as equações de elementos finitos de Galerkin para n = 4 (h =

parâmetro de malha = ¼ ). Reveja que na Secção 1.7 este foi feito para n = 1 e n = 2 (h = 1 e

h = ½, respectivamente). Não inverta a matriz de rigidez K; use o método de eliminação de

Gauss para resolver e checar suas respostas uma vez que elas devem ser exatas nos nós.

b. Faça , , , /( / 2)hx x xre u u q , o erro relativo em ,xu . Calcule ,xre nós pontos

médios dos quatro elementos. Eles deveriam ser iguais. (Este foi também o caso para n = 2)

c. Empregando os dados para h = 1, ½ e ¼ , grafique ln( , )xre versus ln h .

d. Usando a análise de erro para ,xre nos pontos médios apresentados na Secção

1.10, responda as seguintes questões:

i. Qual o significado da inclinação do gráfico na parte (c)?

ii. Qual o significado da intersecção-y.

Solução

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120

2. 20 - Exercícios e Problemas Teóricos: Teoria da Viga de Euler-Bernoulli e Cúbicas Hermíticas

Este problema desenvolve resultados básicos de elementos finitos para a Teoria da

Viga de Euler-Bernoulli. A forma forte de um problema de valor de contorno para uma fina

viga (teoria de Euler-Bernoulli) fixada em uma extremidade e sujeita a uma força de

cisalhamento e a um momento na outra extremidade, pode ser estabelecido como segue:

Seja a viga que ocupa o intervalo unitário, isto é:

]0;1[, [0;1] (2. 302)

1.1 - Proposição Forte do Problema (S)

Dado :f R e as constantes M e Q, encontre as deformações :u R

tal que satisfaz:

i) O equilíbrio transversal

, 0 em xxxxEIu f (2. 303)

e as seguintes condições de contorno:

ii) Deslocamento transversal nulo

(1) 0u (2. 304)

iii) Deformação ou derivada do deslocamento nula no contorno

, (1) 0xu (2. 305)

iv) Momento Fletor prescrito

, (0)xxEIu M (2. 306)

v) Força Cortante prescrita

, (0)xxxEIu Q (2. 307)

Onde E é o módulo de Young e I é o momento de Inércia, ambos das quais são supostas

constantes.

A montagem é conforme mostra a Figura - 1. 10.

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Figura - 1. 10.

Seja,

2/ ( ), (1) , (1) 0xw w H w w S = V = (7) (2. 308)

Então a correspondente forma fraca do problema é:

1.2 - Proposição Fraca do Problema (W)

Dado f e as constantes M e Q, encontre as deformações uS tal que para todo

wW satisfaz:

i) O equilíbrio transversal

( , ) ( , ) , (0) (0)xa w u w f w M w Q (2. 309)

onde

1

0

( , ) , ,xx xxa w u w EIu dx (2. 310)

e

1

0

( , )w f wf dx (2. 311)

7 2w H essencialmente significa que ,xxw é quadrado integrável (i. e. 1

2

0

,xxw dx )

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A coleção de funções, V , pode ser pensada como o espaço de finitas

configurações de energia-deformação da viga, satisfazendo as condições de contorno

essenciais em 1x . Isto é uma conseqüência do teorema de Sobolev que cada wV é

continuamente diferenciável. Para f razoáveis, estes problemas possuem solução única.

Seja h hS V uma aproximação finita-dimensional de S . Em particular, nós

supomos h hw V que satisfaça (1) , (1) 0h hxw w .

A condição de Galerkin do problema segue como:

1.3 - Proposição Fraca do Problema de Galerkin (G)

Dado f , M e Q, encontre as deformações h hu S tal que para todo

h hw V satisfaz:

i) O equilíbrio transversal

( , ) ( , ) , (0) (0)h h h h hxa w u w f w M w Q (2. 312)

a)

Assumindo que todas as funções são suaves e com contorno, mostre que as

soluções de S e W são idênticas. Quais são as condições de contorno naturais?

b)

Suponha 1 2 10 ... 1nx x x e 1/ ( ),h h hw w C V = { e

(1) , (1) 0h hxw w , e hw restritas a 1;A Ax x é um polinômio cúbico (i. e. consiste de uma

combinação linear de 2 31, , , )}x x x (8). Este é um espaço de funções de forma cúbicas por

partes de Hermite. Observe que h hw V não necessita ser de segundas derivadas contínuas

no nós. Por simplicidade de notação, nós escrevemos 1x e 2x no lugar de Ax e 1Ax ,

respectivamente.

Em cada subintervalo, mostre que hw pode ser escrito como:

1 1 2 1 3 2 4 2( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )h h h h hx xw N x w x N x w x N x w x N x w x (2. 313)

8 A notação 1hw C significa que hw é continuamente diferenciável

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onde:

22 1

1 3

21 2

2 2

21 2

3 3

22 1

4 2

( ) 2( )( )

( )( )( )

( ) 2( )( )

( ) ( )( )

x x h x xN x

hx x x xN x

hx x h x x

N xh

x x x xN xh

(2. 314)

Dica: Seja 2 31 2 3 4( )hw x c c x c x c x , onde os c’s são constantes. Determine-os

requerendo que as seguintes condições se mantenham:

2 31 1 2 1 3 1 4 1

2 32 1 2 2 3 2 4 2

21 2 3 1 4 1

22 2 3 2 4 2

( )

( )

, ( ) 0 2 3

, ( ) 0 2 3

h

h

hx

hx

w x c c x c x c x

w x c c x c x c x

w x c c x c x

w x c c x c x

(2. 315)

Esquematize as funções dos elementos 1 2 3 4, , ,N N N N , e suas contrapartidas globais típicas.

O espaço de elementos finitos descritos na parte (b) resulta em deslocamentos

nodais e inclinações (primeiras derivadas), exatos, análogo ao caso apresentado na Secção

1.10. Na parte (g), está pedindo para você fornecer isto. Em problemas de viga flexionada nós

estamos geralmente interessados em curvaturas (segundas derivadas) para cálculo de

momentos fletores.

c)

Localizar os pontos de curvatura ótima no entendimento de Barlow. Cuidado: As

manipulações algébricas podem ser cansativas a menos que certas simplificações sejam

observadas. Se nós trabalhamos no sistema de coordenada do elemento- introduzido na

Secção 1.12 (chame 1(2 ) /A A Ax x x h , a localização dos pontos de curvatura de

Barlow pode ser expresso como 1/ 3 . Isto é, existem duas localizações ótimas

simetricamente espaçadas para computar a curvatura.

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d)

Qual é a taxa de convergência da curvatura neste pontos? (Resposta. 3( )h ).

e)

Se o segmento da viga 1;A Ax x é descarregado (i. e. , 0xxxxu , onde u é a

solução exata), quais pontos são ótimos?

f)

Assumindo 1eln (um elemento) e ( ) constantef x c . Estabeleça e

resolva a equação de elementos finitos de Galerkin. Faça o gráfico de hu e u ; ,hxu e ,xu ;

,hxxu e ,xxu . Indique os pontos de Barlow na curva.

g)

Prove que:

( ) ( )

, ( ) , ( )

hA A

hx A x A

u x u x

u x u x

(2. 316)

onde Ax é um nó típico (i.e. prove que os deslocamentos e inclinações são exatas nos nós).

Para fazer a segunda parte você terá que ser familiarizado como o dipolo, , ( )x Ax x , o qual

é a derivada generalizada da função delta.

h)

Mostre que os pontos de curvatura de Barlow são exatos quando

( )f x c constante .

i)

Porque nós requeremos que as funções hV possuam primeiras derivadas

contínuas?

j)

Calcule a matriz de rigidez elementar 4 x 4,

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2

1

2 1

( ) , ,

1 , 4 onde

e

e

xe

pq p xx q xxx

e e e

k x N EIN dx

p q h x x

(2. 317)

Onde 2 1e e eh x x .

k)

(Veja o exercício na Secção 1.8). Considere a formulação fraca. Suponha que

wV e uS são suaves sobre os elementos interiores (i.e., sobre 1] ; [A Ax x ) mas pode

exibir descontinuidades de segunda e de ordem mais altas nas derivadas, através dos

elementos do contorno. (Funções deste tipo contém as funções cúbicas por partes de Hermite).

Mostre que:

1

1

2

2

0 ,

, (0) , (0 )

(0) , (0 )

, ( ) , ( ) , ( )

( ) , ( ) , ( )

A

A

xn

xxxxA x

x xx

xxx

n

x A xx A xx AA

n

A xxx A xxx AA

w EIu f dx

w EIu M

w EIu Q

w x EI u x u x

w x EI u x u x

(2. 318)

para o qual pode-se concluir que as condições de Euler-Lagrange são:

i. , ( ) ( )xxxxEIu x f x

ii. , (0 )xxEIu M

iii. , (0 )xxxEIu Q

iv. , ( ) , ( ) onde 2,3,...xx A xx AEIu x EIu x A n

v. , ( ) , ( ) onde 2,3,...xxx A xxx AEIu x EIu x A n

Note que (i) é a equação de equilíbrio restrita aos elementos interiores, e (iv) e

(v) são condições de continuidade através dos elementos dos contornos de momento e

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cisalhamento, respectivamente. Compare estes resultados com aqueles obtidos para funções w

e u, as quais são globalmente suaves.

A formulação do problema de Galerkin fornece uma solução que se bastante

aproxima de (v).

Solução:

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2. 21 - Exemplos Práticos e Aplicações

Vamos a partir de agora ver uma série de aplicações computacionais do Método

dos Elementos Finitos usando o programa FEAP.

Exercício – 1

Compilar os arquivos *.for indicados no arquivo PCFEAP5 e criar um arquivo

executável feap.exe (usar FORTRAN versão Microsoft 5.0 em diante)

Exercício – 2

Criar um arquivo de entrada de dados do tipo: malha, carregamento, condições de

contorno, propriedades, etc, usando o emacs, da seguinte forma:

feap **________________________ comentário sobre o problema.

Numnp (número totaal de pontos nodais), numel (numero de elementos), nummat (no do

conjunto de propriedades do material e outros parâmetros), ndm (no de dimensões), ndf (no de

graus de liberadade por nó), nen (no de nós por elemento).

coord

node#, ngen, x-coord, y-coord

ngen = 0 não gera

= 1 incremento (gera coordenadas pulando este número de nós)

elem

elem#, material#, node 1, node 2, node 3, node 4, ngen

Figura - 2. 29. Elemento quadrilateral de duas dimensões para o uso na geração de malhas no FEAP.

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boun ___________________________ (estabelece restrições no contorno)

node#, ngen, dof#1, dof#2

dof = 0 livre

dof 0 fixo (< 0 – carrega na geração

(>0 – só para este nó)

forc

node#, ngen, valor em x, valor em y

OBS.: Por “default” se as condições forem nulas não é necessário especificar valor. Caso o nó

não tenha restrição (dof# = 0 no comando “boun”), o programa interpreta o valor como uma

“força”. Caso “dof# 0 em “boun, então o programa interpreta o valor como um

“deslocamento”.

mate

1 (no do conjunto de propriedades), 1 (número do elemento a ser utilizado pelo programa)

aaxisimetriIstrainplaneIstressplaneI

Tggt

IvE

ref

houveremseyexemcampodeforças

yx

,3,2,1

,,,,

,2,2,,,

para calcular: reffinal TTT

PCFEAP assume:

0 00

0 0ref

finalref

T TT

T T

(2. 319)

end

inter(active) ou macro duas opções

COMANDOS MACROS (Problemas Lineares)

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> tang,,1 (monta a matriz de rigidez e obtém a solução)

d = ...

Residual norm F Kd

Observação: para maiores detalhes, leiam o Capítulo 15 do Livro de MEF, escrito

por O. C. Zienkiewicz e R. L. Taylor, Vol. 1 (apostila distribuída).

Patch test (testa o elemento quanto a obtenção de resultados para os modos de corpo rígido

e deformação constante).

Usaremos somente o elemento PCELM1.FOR.

Problemas de computador que usam FEAP (em cada um dos seguintes, você pode

editar a saída de dados e entregar somente a informação pedida):

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Exercício – 3

- Rode o problema do disco circular (com entrada Idisk), e submeta as saídas de

todos os deslocamentos dos nós e reações.

IDISK (imprimir deslocamentos e reações)

Solução

feap ** circular disk example problem 19,11,1,2,2,4 coord 1,1,0.0,0.0 5,0,5.0,0.0 6,1,0.0,2.0 10,0,4.5828,2.0 11,1,0.0,4.0 14,0,3.0,4.0 15,0,4.0,3.0 16,0,0.0,5.0 17,0,0.75,4.9434 18,0,1.5,4.7697 19,0,2.25,4.4651 elem 1,1,1,2,7,6,1 5,1,6,7,12,11,1 9,1,11,12,17,16,1 bound 1,1,1,-1 5,0,0,1 6,5,-1,0 16,0,1,0 forc 16,0,0.0,-5.0 mate 1,1 100.0,0.3,0.0,2,2,1 1.,0.,0. end inter stop end

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feap ** circular disk example problem UNIX Version - 01/01/90 - Number of nodal points = 19 Number of elements = 11 Number of material sets = 1 Dimension of coordinate space= 2 Degrees-of-freedom/node = 2 Nodes per element (maximum) = 4 Degrees-of-freedom/edge = 0 Edges per element (maximum) = 0 Maximum matl. properties/elmt= 100 Added degrees-of-freedom/elmt= 0 feap ** circular disk example problem nodal coordinates node 1 coord 2 coord 1 0.0000 0.0000 2 1.2500 0.0000 3 2.5000 0.0000 4 3.7500 0.0000 5 5.0000 0.0000 6 0.0000 2.0000 7 1.1457 2.0000 8 2.2914 2.0000 9 3.4371 2.0000 10 4.5828 2.0000 11 0.0000 4.0000 12 1.0000 4.0000 13 2.0000 4.0000 14 3.0000 4.0000 15 4.0000 3.0000 16 0.0000 5.0000 17 0.7500 4.9434 18 1.5000 4.7697 19 2.2500 4.4651 feap ** circular disk example problem e l e m e n t s elmt matl 1 node 2 node 3 node 4 node 1 1 1 2 7 6 2 1 2 3 8 7 3 1 3 4 9 8 4 1 4 5 10 9 5 1 6 7 12 11 6 1 7 8 13 12 7 1 8 9 14 13 8 1 9 10 15 14 9 1 11 12 17 16 10 1 12 13 18 17 11 1 13 14 19 18 feap ** circular disk example problem n o d a l b. c. node 1-b.c. 2-b.c. 1 1 -1 2 0 -1 3 0 -1 4 0 -1 5 0 1 6 -1 0 11 -1 0 16 1 0

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feap ** circular disk example problem nodal force/displ node 1 force 2 force 16 0.0000 -5.0000 feap ** circular disk example problem m a t e r i a l p r o p e r t i e s material set 1 for element type 1 degree of freedom assignments local global number number 1 1 2 2 Plane Stress Linear Elastic Element modulus 0.10000E+03 poisson ratio 0.30000 density 0.00000E+00 gauss pts/dir 2 stress pts 2 thickness 0.10000E+01 x-gravity 0.00000E+00 y-gravity 0.00000E+00 alpha 0.00000E+00 base temp 0.00000E+00 Drill factor 0.00000E+00 P a r t i t i o n 1 E q u a t i o n / P r o b l e m S u m m a r y: Space dimension (ndm) = 2 Number dof (ndf) = 2 Number of equations = 29 Number dof (nde) = 0 Average col. height = 9 Number nodes = 19 No. terms in profile = 244 Number elements = 11 Est. factor time-sec = 0.4698E-04 Number materials = 1 Maximum storage for profile = 244 Maximum number of equations = 29 Material Element Type History terms 1 1 0 *Macro 1 *tang v1= 1.00 v2= 0.00 v3= 0.00 t= 0.00 Residual norm = 5.0000000E+00 t= 0.00 Condition check: D-max 0.2684E+03; D-min 0.3300E+02; Ratio 0.8132E+01 Maximum no. diagonal digits lost: 1 End Triangular Decomposition t= 0.00 Energy convergence test Maximum = 1.130463057835375E+00 Current = 1.130463057835375E+00 Tolerance = 1.000000000000000E-16 *Macro 1 *tang v1= 1.00 v2= 0.00 v3= 0.00 t= 0.00 Residual norm = 5.8706808E-15 t= 0.00 Condition check: D-max 0.2684E+03; D-min 0.3300E+02; Ratio 0.8132E+01 Maximum no. diagonal digits lost: 1 End Triangular Decomposition t= 0.00 Energy convergence test Maximum = 1.130463057835375E+00 Current = 6.606542562134775E-31 Tolerance = 1.000000000000000E-16 *Macro 1 *disp all v1= 0.00 v2= 0.00 v3= 0.00 t= 0.00 feap ** circular disk example problem n o d a l d i s p l a c e m e n t s time 0.00000E+00 prop. ld. (eigenvalue) 1.00000E+00 node 1 coord 2 coord 1 displ 2 displ 1 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 2 1.25000E+00 0.00000E+00 1.41212E-02 0.00000E+00

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3 2.50000E+00 0.00000E+00 2.43794E-02 0.00000E+00 4 3.75000E+00 0.00000E+00 3.00838E-02 0.00000E+00 5 5.00000E+00 0.00000E+00 3.15086E-02 0.00000E+00 6 0.00000E+00 2.00000E+00 0.00000E+00-4.36614E-02 7 1.14570E+00 2.00000E+00 1.39321E-02-3.86546E-02 8 2.29140E+00 2.00000E+00 2.27265E-02-2.37838E-02 9 3.43710E+00 2.00000E+00 2.42481E-02-9.86059E-03 10 4.58280E+00 2.00000E+00 2.43026E-02 1.29298E-04 11 0.00000E+00 4.00000E+00 0.00000E+00-1.18594E-01 12 1.00000E+00 4.00000E+00 1.21493E-02-8.31881E-02 13 2.00000E+00 4.00000E+00 5.37990E-03-4.26854E-02 14 3.00000E+00 4.00000E+00 3.98871E-03-1.79619E-02 15 4.00000E+00 3.00000E+00 1.41182E-02-5.25001E-03 16 0.00000E+00 5.00000E+00 0.00000E+00-2.26093E-01 17 7.50000E-01 4.94340E+00-2.23798E-02-9.54435E-02 18 1.50000E+00 4.76970E+00-1.75583E-02-6.11267E-02 19 2.25000E+00 4.46510E+00-8.38377E-03-3.73076E-02 *Macro 1 *stre all v1= 0.00 v2= 0.00 v3= 0.00 t= 0.00 feap ** circular disk example problem element stresses element material 11-stress 12-stress 22-stress 1-stress 2-stress 1-coord 2-coord 11-strain 12-strain 22-strain 33-stress angle 1 1 0.558E+00 0.372E-01 -0.196E+01 0.559E+00 -0.196E+01 0.259 0.423 0.115E-01 0.968E-03 -0.213E-01 0.000E+00 0.85 1 1 0.607E+00 0.484E-01 -0.180E+01 0.608E+00 -0.180E+01 0.968 0.423 0.115E-01 0.126E-02 -0.198E-01 0.000E+00 1.15 1 1 0.665E+00 0.146E+00 -0.177E+01 0.674E+00 -0.178E+01 0.921 1.577 0.120E-01 0.380E-02 -0.197E-01 0.000E+00 3.42 1 1 0.614E+00 0.134E+00 -0.194E+01 0.621E+00 -0.195E+01 0.247 1.577 0.120E-01 0.349E-02 -0.213E-01 0.000E+00 3.00 2 1 0.310E+00 0.109E+00 -0.167E+01 0.316E+00 -0.167E+01 1.487 0.423 0.810E-02 0.282E-02 -0.176E-01 0.000E+00 3.13 2 1 0.454E+00 0.102E+00 -0.119E+01 0.461E+00 -0.119E+01 2.196 0.423 0.810E-02 0.264E-02 -0.132E-01 0.000E+00 3.53 2 1 0.444E+00 0.388E+00 -0.112E+01 0.535E+00 -0.121E+01 2.089 1.577 0.780E-02 0.101E-01 -0.125E-01 0.000E+00 13.21 2 1 0.292E+00 0.396E+00 -0.162E+01 0.371E+00 -0.170E+01 1.415 1.577 0.780E-02 0.103E-01 -0.171E-01 0.000E+00 11.22 3 1 0.970E-01 0.608E-01 -0.985E+00 0.100E+00 -0.989E+00 2.715 0.423 0.393E-02 0.158E-02 -0.101E-01 0.000E+00 3.20 3 1 0.232E+00 0.189E-01 -0.536E+00 0.232E+00 -0.536E+00 3.424 0.423 0.393E-02 0.491E-03 -0.605E-02 0.000E+00 1.41 3 1 0.604E-01 0.278E+00 -0.485E+00 0.177E+00 -0.602E+00 3.256 1.577 0.206E-02 0.723E-02 -0.503E-02 0.000E+00 22.77 3 1 -0.814E-01 0.322E+00 -0.958E+00 0.242E-01 -0.106E+01 2.582 1.577 0.206E-02 0.837E-02 -0.934E-02 0.000E+00 18.15 4 1 -0.167E-01 -0.457E-01 -0.364E+00 -0.107E-01 -0.370E+00 3.943 0.423 0.924E-03 -0.119E-02 -0.359E-02 0.000E+00 -7.38 4 1 0.801E-01 -0.599E-01 -0.411E-01 0.105E+00 -0.657E-01 4.652 0.423 0.924E-03 -0.156E-02 -0.651E-03 0.000E+00 -22.32 4 1 0.437E-01 0.129E+00 0.473E-01 0.174E+00 -0.833E-01 4.424 1.577 0.295E-03 0.335E-02 0.342E-03 0.000E+00 45.41 4 1 -0.581E-01 0.144E+00 -0.292E+00 0.102E-01 -0.360E+00 3.750 1.577 0.295E-03 0.373E-02 -0.274E-02 0.000E+00 25.43

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5 1 0.212E+00 0.394E+00 -0.335E+01 0.255E+00 -0.339E+01 0.236 2.423 0.122E-01 0.103E-01 -0.341E-01 0.000E+00 6.25 5 1 0.516E+00 0.394E+00 -0.233E+01 0.569E+00 -0.239E+01 0.879 2.423 0.122E-01 0.102E-01 -0.249E-01 0.000E+00 7.73 5 1 0.549E+00 0.108E+01 -0.222E+01 0.921E+00 -0.259E+01 0.813 3.577 0.122E-01 0.281E-01 -0.239E-01 0.000E+00 18.99 5 1 0.220E+00 0.108E+01 -0.332E+01 0.525E+00 -0.362E+01 0.218 3.577 0.122E-01 0.281E-01 -0.338E-01 0.000E+00 15.72 6 1 -0.492E-01 0.619E+00 -0.181E+01 0.147E+00 -0.201E+01 1.351 2.423 0.494E-02 0.161E-01 -0.180E-01 0.000E+00 17.56 6 1 0.220E+00 0.454E+00 -0.913E+00 0.380E+00 -0.107E+01 1.994 2.423 0.494E-02 0.118E-01 -0.979E-02 0.000E+00 19.37 6 1 -0.626E+00 0.102E+01 -0.960E+00 0.243E+00 -0.183E+01 1.844 3.577 -0.338E-02 0.266E-01 -0.772E-02 0.000E+00 40.35 6 1 -0.917E+00 0.120E+01 -0.193E+01 -0.121E+00 -0.273E+01 1.249 3.577 -0.338E-02 0.312E-01 -0.166E-01 0.000E+00 33.55 7 1 -0.107E+00 0.219E+00 -0.629E+00 -0.279E-01 -0.709E+00 2.465 2.423 0.813E-03 0.569E-02 -0.597E-02 0.000E+00 19.99 feap ** circular disk example problem element stresses element material 11-stress 12-stress 22-stress 1-stress 2-stress 1-coord 2-coord 11-strain 12-strain 22-strain 33-stress angle 7 1 0.155E-01 0.188E+00 -0.219E+00 0.119E+00 -0.323E+00 3.109 2.423 0.813E-03 0.488E-02 -0.224E-02 0.000E+00 28.99 7 1 -0.108E+00 0.454E+00 -0.109E+00 0.345E+00 -0.562E+00 2.875 3.577 -0.752E-03 0.118E-01 -0.769E-03 0.000E+00 44.96 7 1 -0.241E+00 0.487E+00 -0.553E+00 0.115E+00 -0.908E+00 2.279 3.577 -0.752E-03 0.127E-01 -0.480E-02 0.000E+00 36.14 8 1 -0.557E-01 -0.382E-01 -0.199E+00 -0.461E-01 -0.208E+00 3.580 2.378 0.392E-04 -0.994E-03 -0.182E-02 0.000E+00 -14.08 8 1 -0.177E-01 -0.307E-01 -0.707E-01 -0.371E-02 -0.847E-01 4.224 2.256 0.347E-04 -0.797E-03 -0.654E-03 0.000E+00 -24.59 8 1 0.200E-01 0.818E-01 0.751E-01 0.134E+00 -0.387E-01 3.905 2.955 -0.249E-04 0.213E-02 0.691E-03 0.000E+00 54.30 8 1 -0.456E-01 0.216E-01 -0.155E+00 -0.415E-01 -0.159E+00 3.310 3.411 0.761E-05 0.561E-03 -0.141E-02 0.000E+00 10.80 9 1 -0.226E+01 0.194E+01 -0.921E+01 -0.176E+01 -0.972E+01 0.200 4.209 0.503E-02 0.504E-01 -0.854E-01 0.000E+00 14.58 9 1 -0.196E+00 0.119E+01 -0.224E+01 0.347E+00 -0.279E+01 0.747 4.202 0.478E-02 0.308E-01 -0.219E-01 0.000E+00 24.59 9 1 -0.245E+01 0.402E+01 -0.129E+01 0.220E+01 -0.593E+01 0.633 4.753 -0.206E-01 0.105E+00 -0.555E-02 0.000E+00 49.10 9 1 -0.480E+01 0.480E+01 -0.957E+01 -0.183E+01 -0.125E+02 0.170 4.779 -0.193E-01 0.125E+00 -0.813E-01 0.000E+00 31.77 10 1 -0.698E+00 0.152E+00 -0.325E+00 -0.271E+00 -0.752E+00 1.147 4.192 -0.601E-02 0.395E-02 -0.115E-02 0.000E+00 70.45 10 1 -0.592E+00 0.257E+00 -0.390E-02 0.928E-01 -0.689E+00 1.694 4.170 -0.591E-02 0.669E-02 0.174E-02 0.000E+00 69.40

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10 1 -0.171E+00 0.463E+00 0.320E+00 0.598E+00 -0.450E+00 1.436 4.636 -0.267E-02 0.120E-01 0.371E-02 0.000E+00 58.96 10 1 -0.364E+00 0.303E+00 -0.124E+00 0.819E-01 -0.570E+00 0.972 4.715 -0.327E-02 0.788E-02 -0.146E-03 0.000E+00 55.81 11 1 -0.341E+00 -0.185E+00 -0.748E+00 -0.270E+00 -0.820E+00 2.094 4.149 -0.117E-02 -0.481E-02 -0.646E-02 0.000E+00 -21.14 11 1 -0.194E+00 -0.126E+00 -0.286E+00 -0.106E+00 -0.374E+00 2.641 4.112 -0.108E-02 -0.326E-02 -0.228E-02 0.000E+00 -34.96 11 1 0.245E+00 0.183E+00 0.602E+00 0.679E+00 0.168E+00 2.239 4.418 0.647E-03 0.476E-02 0.528E-02 0.000E+00 67.14 11 1 -0.148E+00 -0.290E-01 -0.433E+00 -0.145E+00 -0.436E+00 1.775 4.556 -0.180E-03 -0.753E-03 -0.389E-02 0.000E+00 -5.74 *End of macro execution* t= 0.00

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Exercício – 4

- Monte e rode os problemas chamados de “Patch test” dados no Exercício 2, pp.

256-257 do Livro do Hughes. Estes testes demonstram a capacidade de um elemento em

capturar os modos de corpo rígido e de deformação constante.

Faça os testes (seis ao todo) com a opção (a) somente (em outras palavras, usando

quadratura 2 x 2). Entregue somente um dos arquivos de entrada utilizados (a única diferença

nos seis problemas estará nas condições de limite e forças). Também entregue as tensões e

deslocamentos nos nós do elemento para todos os seis problemas.

Solução

IPATCH – 1 feap ** patch test number 1 9,4,1,2,2,4 coord 1,1,0.0,0.0 3,0,2.0,0.0 4,0,0.0,1.0 5,0,1.1,0.8 6,0,2.0,1.0 7,1,0.0,2.0 9,0,2.0,2.0 elem 1,1,1,2,5,4,0 2,1,2,3,6,5,0 3,1,4,5,8,7,0 4,1,5,6,9,8,0 bound 1,1,-1,-1 3,0,1,1 4,0,1,1 6,0,1,1 7,1,-1,-1 9,0,1,1 forc 1,1,1.0,0.0 3,0,1.0,0.0 4,0,1.0,0.0 6,0,1.0,0.0 7,1,1.0,0.0 9,0,1.0,0.0 mate 1,1 1.0,0.3,0.0,2,2,1 1.,0.,0. end inter stop end

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Figura - 2. 30.

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IPATCH -2 feap ** patch teste Nr 2 9,4,1,2,2,4 coord 1,1,0.0,0.0 3,0,2.0,0.0 4,0,0.0,1.0 5,0,1.1,0.8 6,0,2.0,1.0 7,1,0.0,2.0 9,0,2.0,2.0 elem 1,1,1,2,5,4,0 2,1,2,3,6,5,0 3,1,4,5,8,7,0 4,1,5,6,9,8,0 boun 1,1,-1,-1 3,0,1,1 4,0,1,1 6,0,1,1 7,1,-1,-1 9,0,1,1 forc 1,1,0.0,1.0 3,0,0.0,1.0 4,0,0.0,1.0 6,0,0.0,1.0 7,1,0.0,1.0 9,0,0.0,1.0 mate 1,1 1.0,0.3,0.0,2,2,1 1.0,0.0,0.0 end inter stop end

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IPATCH -3 feap ** patch test number 3 9,4,1,2,2,4 coord 1,1,0.0,0.0 3,0,2.0,0.0 4,0,0.0,1.0 5,0,1.1,0.8 6,0,2.0,1.0 7,1,0.0,2.0 9,0,2.0,2.0 elem 1,1,1,2,5,4,0 2,1,2,3,6,5,0 3,1,4,5,8,7,0 4,1,5,6,9,8,0 bound 1,1,-1,-1 3,0,1,1 4,0,1,1 6,0,1,1 7,1,-1,-1 9,0,1,1 forc 1,0,0.0,0.0 2,0,1.0,0.0 3,0,2.0,0.0 4,0,0.0,0.0 6,0,2.0,0.0 7,0,0.0,0.0 8,0,1.0,0.0 9,0,2.0,0.0 mate 1,1 1.0,0.3,0.0,2,2,1 1.,0.,0. end inter stop end

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IPATCH -4 feap ** patch teste Nr 4 9,4,1,2,2,4 coord 1,1,0.0,0.0 3,0,2.0,0.0 4,0,0.0,1.0 5,0,1.1,0.8 6,0,2.0,1.0 7,1,0.0,2.0 9,0,2.0,2.0 elem 1,1,1,2,5,4,0 2,1,2,3,6,5,0 3,1,4,5,8,7,0 4,1,5,6,9,8,0 boun 1,1,-1,-1 3,0,1,1 4,0,1,1 6,0,1,1 7,1,-1,-1 9,0,1,1 forc 1,0,0,0,0.0 2,0,0.0,1.0 3,0,0.0,2.0 4,0,0.0,0.0 6,0,0.0,2.0 7,0,0.0,0.0 8,0,0.0,1.0 9,0,0.0,2.0 mate 1,1 1.0,0.3,0.0,2,2,1 1.0,0.0,0.0 end inter stop end

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IPATCH -5 feap ** patch teste Nr 5 9,4,1,2,2,4 coord 1,1,0.0,0.0 3,0,2.0,0.0 4,0,0.0,1.0 5,0,1.1,0.8 6,0,2.0,1.0 7,1,0.0,2.0 9,0,2.0,2.0 elem 1,1,1,2,5,4,0 2,1,2,3,6,5,0 3,1,4,5,8,7,0 4,1,5,6,9,8,0 boun 1,1,-1,-1 3,0,1,1 4,0,1,1 6,0,1,1 7,1,-1,-1 9,0,1,1 forc 1,1,0,0,0.0 3,0,0.0,0.0 4,0,1.0,0.0 6,0,1.0,0.0 7,1,2.0,0.0 9,0,2.0,0.0 mate 1,1 1.0,0.3,0.0,2,2,1 1.0,0.0,0.0 end inter stop end

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142

IPATCH -6 feap ** patch teste Nr 6 9,4,1,2,2,4 coord 1,1,0.0,0.0 3,0,2.0,0.0 4,0,0.0,1.0 5,0,1.1,0.8 6,0,2.0,1.0 7,1,0.0,2.0 9,0,2.0,2.0 elem 1,1,1,2,5,4,0 2,1,2,3,6,5,0 3,1,4,5,8,7,0 4,1,5,6,9,8,0 boun 1,1,-1,-1 3,0,1,1 4,0,1,1 6,0,1,1 7,1,-1,-1 9,0,1,1 forc 1,1,0,0,0.0 3,0,0.0,0.0 4,0,0.0,1.0 6,0,0.0,1.0 7,1,0.0,2.0 9,0,0.0,2.0 mate 1,1 1.0,0.3,0.0,2,2,1 1.0,0.0,0.0 end inter stop end

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143

2. 22 - Exercícios e Problemas Práticos

Malha Ipatch1 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh)

Malha Ipatch1 (tang,,1/tang,,1/Plot/node)

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144

Malha Ipatch1 (tang,,1/tang,,1/Plot/boun)

Malha Ipatch1 (tang,,1/tang,,1/Plot/cont,1)

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145

Malha Ipatch1 (tang,,1/tang,,1/Plot/stre,1)

Malha Ipatch1 (tang,,1/tang,,1/Plot/disp)

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146

Malha Idisk (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh)

Malha Idisk (tang,,1/tang,,1/Plot/node)

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147

Malha Idisk (tang,,1/tang,,1/Plot/boun)

Malha Idisk (tang,,1/tang,,1/Plot/cont,1)

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148

Malha Idisk (tang,,1/tang,,1/Plot/stre,1)

Malha Idisk (tang,,1/tang,,1/Plot/disp)

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Capítulo – III

O PROBLEMA BI E TRIDIMENSIONAL - 2D E 3D

RESUMO

Neste capítulo será visto

.

3. 1 - Objetivos do capítulo

i)

3. 2 – Introdução

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3. 3 – O problema 2D e 3D

Vamos adotar a seguinte notação:

sdn : número de dimensões (= 2, 3)

x : ponto arbitrário em sdnR

n : vetor normal ao contorno de .

: contorno de

x e n são vetores

yx

xx

xxn isd 2

12 (3. 1)

e

y

xi n

nnn

nn 2

1 (3. 2)

Considere o domínio mostrado na

Figura - 3. 1.

hg (3. 3)

Onde

g : temperatura e deslocamentos prescritos

h : fluxos prescritos

hg (3. 4)

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Notação Indicial

Usa-se índices i,j,k,l = 1,2,... sdn (índices espaciais)

Indica-se diferenciação por:

ixi x

uuui

,, (3. 5)

Índices repetidos indicam soma (a menos que se diga que não)

uuzu

yu

xuuuuuu

sdn

iiiii

22

2

2

2

2

2

3322111

,,,,, (3. 6)

e

j

n

jijjij abab

sd

1

(3. 7)

Teorema da Divergência

Seja Rf : e 1Cf , então

dnfdf ii, (3. 8)

Integral por Partes

Seja f definido com em 1) e )(: 1CgRg então:

dfgndfgdgf iii ,, (3. 9)

Prova: Usando 2) para demonstrar 1)

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3. 4 – O Problema da Condução de Calor Linear Clássica

iq : vetor fluxo de calor u : temperatura f : geração de calor interna (W/m3)

Lei de Fourier Generalizada

jiji ukq , (3. 10)

ijk : condutividades térmicas (funções conhecidas da posição x)

Quando a condutividade térmica ijk é constante isto implica que o corpo é homogêneo. O caso mais comum é o isotrópico:

1001

ijij kk (3. 11)

Forma Forte

A forma forte do Problema (S) é definida da seguinte forma:

Dados RhRgRf hg :,:,: , encontre

Ru : (3. 12)

tal que

emfq ji , (3. 13)

e

gemgu (3. 14)

e

hii emhnq (3. 15)

onde

jiji ukq , (3. 16)

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Considere

"":

:,

2

2

suavesRu

RwVS

(3. 17)

e

g

g

emwSwemguSu

0

(3. 18)

Forma Fraca

Partindo-se da forma forte, assume-se que u é solução de SuS , toma-se

Vw .

0,0

dfqw ji (3. 19)

Integrando por partes temos:

dwfdnwqdqwdfqw iiiiji

,,0

(3. 20)

e

dnqwdnwqdnwqhg h

iiiiii

(3. 21)

Como gemw 0 temos:

0

dnwqg

ii (3. 22)

logo,

0,,0

dwhdwfdqwdfqwh

iiji (3. 23)

Portanto,

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154

dwhdwfdqwh

ii , (3. 24)

Dados hgf ,, , na forma fraca (W) encontre Su tal que Vw temos:

dwhdwfdqwh

ii , (3. 25)

onde

jiji ukq , (3. 26)

Aplicando a forma de Galerkin (G) onde temos:

Dados hgf ,, , encontre

hhhh Sgvu tal que hh Vw (3. 27)

e

),(),(),(),( hhhhhh gwahwfwvwa (3. 28)

Discretização do Domínio

Considere o domínio do problema o qual será discretizado em n subdomínios e onde

e

e (3. 29)

e npn,...,2,1 onde o conjunto de nós g,

g (3. 30)

O conjunto g representa os nós onde a solução é desconhecida e eqn ,

corresponde ao número de equações (incógnitas). Escreve-se, portanto:

E

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A

n

AA

h cxNxwg

)()(

(3. 31)

e

A

n

AA

h dxNxvg

)()(

(3. 32)

e

A

n

AA

h gxNxgg

)()(

(3. 33)

Analogamente ao desenvolvimento para o caso 1D, chega-se a:

BnA

n

BAABBA

n

BgNNahNfNdNNa

gg

),(),(),(),( 1

(3. 34)

gA .

O Vetor ID

g

g

nódon Ase

AsepAIDo

0)( (3. 35)

Dá ao nó A o no da equação global.

Na forma matricial, tem-se:

eqnQPFKd ,1 (3. 36)

E

PQPQ FFddKK ,, (3. 37)

Daí

)(),(),,( BIDQAIDPNNaK BAPQ (3. 38)

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e

gB

BBAAAP gNNahNfNF

),(),(),( (3. 39)

No Elemento

ene

aee

abe nbaffkk ,1,, (3. 40)

e

dNkNNNak bT

ae

BAeab

, (3. 41)

en

eh

eh

n

b

eb

eaaa

ea gkdhNdfNf

1

(3. 42)

Vamos agora ver uma forma conveniente para programar

e

DBdBk Te

(3. 43)

onde

en

sdsdsdsd

nnnnn

BBBBkD ,...,,; 21xx

(3. 44)

an

a NBsd

1x

(3. 45)

E cada componente será:

e

dDBBk bTe

ab

(3. 46)

onde colocar na matriz global a contribuição do elemento?

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157

O vetor de nós do elemento AeaIEN ),( (criado para armazenar esta

informação) IEN e ID são construídos com informações dos dados de entrada da malha. A

partir deles constrói-se a matriz de localização:

)),((),( eaIENIDeaLMP (3. 47)

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158

3. 5 – O Problema da Elasticidade Linear

Lei de Hooke Generalizada

klijklij C (3. 48)

onde ijjklC é o tensor constitutivo (propriedade do material) ou de forma mais geral,

incluindo tensões térmicas e residuais:

ooD )( (3. 49)

onde

2,,

),( ijji

simétricaparte

ijuu

jiu

(3. 50)

Para tensão plana temos:

0

e

e

o

(3. 51)

e para a deformação plana

)1(0

e

e

o (3. 52)

Para a tensões planas e material isotrópico

xoyx

x Ev

E

(3. 53)

yoyx

y EEv

(3. 54)

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159

xyoxy

xy ETv

)1(2

(3. 55)

onde v é o coeficiente de Poisson, E é o módulo de Elasticidade.

2/)1(00

0101

1 2

vv

v

vED (3. 56)

ou em termos de e que são os parâmetros de Lamé.

klijjkiljlikijkl xxC )()( (3. 57)

vvvE

21)1( (3. 58)

)1(2 vE

(3. 59)

Para a deformação plana, por exemplo, temos:

00202

SIMvD (3. 60)

Forma Forte

Dados Rf i : e Rgigi : e Rh

ihi : encontre Rui : tal

que satisfaz a seguinte equação de equilíbrio:

0, ijij f em (3. 61)

com

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ii gu em ig (3. 62)

e

ijij hn em ih (3. 63)

Forma Fraca

Dados Rf i : e Rgigi : e Rh

ihi : encontre ii Su tal que

iVw satisfaz a seguinte equação de equilíbrio:

),(

1

),(),(

),(

hw

n

iii

fw

ii

uwa

ijji

sol

ih

dhwdfwdw

em

ih (3. 64)

Forma Matricial

ep

eepq

e ffKk , (3. 65)

enedee nnnqp ,1

NODALSUBMATRIZ

jbTa

Ti

epq

e

edDBBek

(3. 66)

Onde

jbnqianp

ed

ed

)1()1(

(3. 67)

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161

e

e

e

ee

X

e

kkk

kk

K

41

31

21

1211

88 (3. 68)

onde 2sdn

1,2,

2,

1,

00

aa

a

a

a

NNN

NB (3. 69)

ee

eih

e

n

q

eqpqiaia

ep gkdhNdfNf

1

(3. 70)

Tensões Térmicas

oij

oklklijklij C )( (3. 71)

onde as deformações e tensões iniciais oij e o

ij .

klokl c (3. 72)

Dados a temperatura e o coeficiente de dilatação térmica klc . Nada muda na

matriz de rigidez mas muda na epf .

sol

ih

n

iiiiiijji dhwdfwdw

1),(

em ih (3. 73)

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162

dw

dCwdhwdfwdCw

oklji

oklijklji

n

iiiiiklijklji

sol

ih

),(

),(1

),(

(3. 74)

Portanto,

ee

dBedcDBef oTa

Ti

Ta

Tip

...' (3. 75)

onde:

12

22

11

2.

ccc

c (3. 76)

com simetria, isto é, 122112 2ccc

o

o

o

o

12

22

11

.

(3. 77)

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163

3. 6 – Estado de Tensões Planas e Deformações Planas

Somente as tensões e deformações no plano x,y é que devem ser consideradas para

o trabalho interno das forças em corpo sólidos. Todas as outras componentes de tensão são

zero e , portanto, não contribuem para o trabalho. A tensão na direção perpendicular ao palno

x,y não é zero, mas, por construção, a deformação naquela direção é zero, e portano, nenhuma

contribuição para o trabalho interno é feita por esta tensão.

3.6.1 - Tensões e Deformações Térmicas e Residuais

( ) oσ D ε ε σ (3. 78)

Onde

, ,( , ) 2

def i j j iij i j

u uu

(3. 79)

Válido para materiais isotrópicos

i) Tensões Planas

0

e

eo

(3. 80)

onde e é a variação de temperatura.

To xo yo xyo (3. 81)

i) Deformações Planas

10

e

eo v

(3. 82)

onde e é a variação de temperatura.

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164

To xo yo xyo (3. 83)

3.6.2 - Tensões Planas

2(1 )

yxx xo

yxx yo

xyxy xyo

vE EvE E

vE

(3. 84)

Resolvendo para as tensões,

( ) oσ D ε ε (3. 85)

Ou seja

x x

y y o

xy xy

D

σ (3. 86)

donde

0

exox

ey yo

xy xyo

D

(3. 87)

onde

2

1 01 0

1 0 0 (1 ) / 2

vED vv v

(3. 88)

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165

3.6.3 - Deformações Planas

Supondo o material isotrópico, e aplicando a Lei de Hooke temos:

2(1 )

y ex zx

y ex zx

xyxy

v vE E Ev vE E E

vE

(3. 89)

E mais

0 y ex zz

vvE E E

(3. 90)

Resolvendo para as tensões,

( ) oσ D ε ε (3. 91)

Observando que a matriz de elasticidade é dada por:

x x

y y o

xy xy

D

σ (3. 92)

donde

0

exox

ey yo

xy xyo

D

(3. 93)

Eliminando z da equação acima e resolvendo para as 3 tensões restantes, obtém-se:

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1 /(1 ) 01

/(1 ) 1 01 1 2

0 0 (1 2 ) / 2(1 )

v vE v

D v vv v

v v

(3. 94)

Este tratameno só é válido para a fase elástica, conforme mostra a

Figura - 3. 2

3.6.3 – Caso Geral

No livro do Hughes na página 105, caso geral.

o oij ijkl kl kl ijC (3. 95)

onde

okl klC (3. 96)

e é a temperatura e os klC ’s são os coeficientes de expansão térmica que são funções

dadas.

A forma fraca do problema é dado por:

, ,1

sdn

ij i i ii j i ji

w d w f d w h d

(3. 97)

Substituindo a Lei de Hooke temos:

,1

, ,

sdn

ijkl i i i ii ji

o oijkl kl iji j i j

w C d w f d w h d

w C d w d

(3. 98)

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Os dois últimos termos foram acrescentados por causa do efeito térmico.

Os termos adicionais em epf são:

~ ~~ ~...

e e

T T oe T Tp i i

a af e B D c d e B D d

(3. 99)

onde

1111

22 22~ ~

12 122

o

o o

o

CC C e

C

(3. 100)

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3. 7 – Análise Acoplada

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3. 8 – Apresentação do Código FEAP

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3. 9 – Exemplos e Aplicações

Exercício – 1 página 63

Verifique que ( , ),( , ) e ( , )a da maneira como foram definidos, são formas

bilineares simétricas. (Note que a simetria de ( , )a segue da simetria das condutividades.)

Solução

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171

Exercício – 1 página 75

Considere a malha preparada. Estabeleça as matrizes ID, IEN e LM.

Solução

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172

3. 10 – Exercícios e Problemas

3.10.1 - Exercício – 5

- Monte e rode o problema de viga em balanço resumido nas páginas 254-255 do

Livro de Hughes. Considere só um caso; isto é assuma condições de deformações planas, =

0.3, e quadratura 2 x 2 aplicadas a elementos de 4-pontos quadrilaterais. Os dados de entrada

para o FEAP para este problema são determinados na págian 705 do texto (em anexo). Você

não precisa calcular os delocamentos; eles são determinados nos dados de entrada na página

705. Entregue seus arquivos de entradas

3.10.2 - Teoria Elástica Linear

Malha Iviga-e Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh)

Malha Iviga-e Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/node)

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173

Malha Iviga-e Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/boun)

Malha Iviga-e Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/cont,1)

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Malha Iviga-e Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/stre,1)

Malha Iviga-e Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/disp)

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Malha de Refinamento – 1 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh)

Malha Iviga2r1 Refinamento – 1 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/node)

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Malha Iviga2r1 Refinamento – 1 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/boun)

Malha Iviga2r1 Refinamento – 1 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/cont,1)

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Malha Iviga2r1 Refinamento – 1 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/stre,1)

Malha Iviga2r1 Refinamento – 1 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/disp)

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Malha de Refinamento – 2 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh)

Malha Iviga2r2 Refinamento – 2 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/node)

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Malha Iviga2r2 Refinamento – 2 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/boun)

Malha Iviga2r2 Refinamento – 2 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/cont,1)

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180

Malha Iviga2r2 Refinamento – 2 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/stre,1)

Malha Iviga2r1 Refinamento – 2 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/disp)

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181

Malha de Refinamento – 3 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh)

Malha Iviga2r3 Refinamento – 3 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/node)

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182

Malha Iviga2r3 Refinamento – 3 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/boun)

Malha Iviga2r3 Refinamento – 3 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/cont,1)

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183

Malha Iviga2r3 Refinamento – 3 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/stre,1)

Malha Iviga2r1 Refinamento – 2 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/disp)

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184

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185

3.10.2 - Condução de Calor 2D

Malha Icond Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh)

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186

Malha ICond sem geração de calor (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/stre,1)

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187

Capítulo – IV

ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS

RESUMO

Neste capítulo será visto

.

4. 1 - Objetivos do capítulo

i)

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188

4. 2 – Introdução

Precisamos definir funções de interpolação tal que alcançamos 2 objetivos no

projeto do elemento:

i) Convergência da Solução de Galerkin

ii) Convergência Computacional

Requisitos de Convergência

Os requisitos de convergência são colocados nas funções de interpolação,

portanto,

1) Funções suaves (pelo menos continuidade C1 no interior do elemento).

2) Continuidade Global C0

3) Completamento

Considere o elemento e com condução de calor – uh é um escalar

1

ennh e

a aa

u N d

(4. 1)

Onde

e h ea ad u x (4. 2)

Seja 3sdn , os 'aN s sào ditos “completos” se:

1 2 3e e e ea o a a ad c c x c y c z (4. 3)

Implicar que:

1 2 3( )hou x c c x c y c z (4. 4)

Idéia Chave:

A medida que se refina a malha 0h , hu e as derivadas atingirão valores

constante em cada elemento.

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189

Teorema de Lax (Problema Linear)

Convergência = Estabilidade + Consistência (4. 5)

Comentário sobre continuidade

- Em geral se requer continuidade mC dentro do elemento (das funções de

interpolação), onde m é a ordem da derivada na matriz de rigidez

- Continuidade global 1mC

- A definição de “completamento” deve incluir polinômios de grau até m também.

Exemplos de Elementos:

Figura - 4. 1. Elemento bilinear quadrilateral.

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190

4. 3 – Elementos Isoparamétricos e o seu Conceito de Programação

Define-se o mapeamento

~ ~

; ( )x x (4. 6)

onde as funções de forma:

~ ~;

xx

y

(4. 7)

Define-se os 'aN s por:

4

~ 14

1

, ,

, ,

ea a

a

ea a

a

x N x

y N y

(4. 8)

Os ,aN s são calculadas assumindo forma linear tal que:

0 1 2 3

0 1 2 3

,

,

x

y

(4. 9)

Com as seguintes restrições a serem satisfeitas

,

,

ea a a

ea a a

x x

y y

(4. 10)

Isto ocorre se e somente se:

1,,

0,

, ( )

a a a

a b b ab

se a bN

secaso contrário

N propriedade de interpolação

(4. 11)

Resulta que:

1, 1 14a a aN (4. 12)

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191

a a a

1 -1 1

2 1 -1

3 1 1

4 -1 1

Lembrando o caso 1D

1 12a aN (4. 13)

Mas em 3D

1, , 1 1 18a a a aN (4. 14)

Próxima Hipótese

Usar as funções de forma para definir hu .

Condução de Calor:

4

1

h ea a

au N d

(4. 15)

Elastostática:

4

1

h ei a ia

au N d

(4. 16)

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192

4. 4 – Elemento Quadrilateral Bilinear

I) Condição de Convegência

1) Sua vidade C2 em e

Figura - 4. 2. Elemento bilinear quadrilateral

2) Continuidade Global

Figura - 4. 3. Elemento bilinear quadrilateral

Os 'AN s sãoglobalmente C0

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193

1

ennh

A AA

u N d

(4. 17)

3

4

14 4 4 4

1 2 1 21 1 1 1

h ea a

a

e e e ea o a a o a a a a a

a a a ax y

u N d

N c c x c y c N c N x c N y

(4. 18)

Logo

1 2h

ou c c x c y (4. 19)

E

4

1

1 1 1 1, 1 1 1 1 1 1 1 14 4 4 4

ha

au N

(4. 20)

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194

4. 5 – Elementos Isoparamétricos

São elementos que parametrizam hu e x

usando as mesmas funções de

interpolação, com isso esses elementos possuem a sua forma geométrica correspondente ao

grau de suas funções de interpolação.

Figura - 4. 4. Elemento bilinear quadrilateral

Seja o domínio apresentado. Seja : ex

da forma:

1

enne

a aa

x N x

(4. 21)

Então:

1

ennh ei a ia

au N d

(4. 22)

1) Suavidade C1 no elemento , , ,a x a yN N são:

, ,, , , , , ,

, ,x y

a x a y a ax y

N N N N

(4. 23)

e

1, , , ,1, ,, , , ,x y

xx y

y xx

y xJ

(4. 24)

Onde

det , , , , ,J x x y x y

(4. 25)

Sabemos pela parametrização que , , ,a aN N são suaves, então , , ,a x a yN N

são suaves se J > 0.

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195

2) Suavidade Global C0 (analisado caso a caso)

3) Complemento

4 4

1 2 31 1

4 4 4 4

1 2 31 1 1 1

1(?)

h e e e ea a a o a a a

a a

e e eo a a a a a a a

a a a acaso x y z

a caso

u N d N c c x c y c z

c N c N x c N y c N z

(4. 26)

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196

4. 6 – Elementos Triangular Linear

Figura - 4. 5. Elemento trilinear

;x

x yz

(4. 27)

Assume-se:

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

x

y

z

(4. 28)

Onde se requer que:

1

enne e

a a a a aa

x N x x x

(4. 29)

e

1

enne e

a a a a aa

y N y y y

(4. 30)

e

1

enne e

a a a a aa

z N z z z

(4. 31)

e

1 1, , 1 1 1 1 18 2a a a a aN produto das funçoes D (4. 32)

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197

e

8

1

h ea a

au N d

(4. 33)

Outros Elementos (§ 3.4 -3.5)

Existem duas maneiras de se melhorar a resposta do M.E.F.

1) Refinamento – h reduzindo “h” ou aumentando o número de nós e elementos

2) Refinamento – p aumentando o grau dos polinômios de interpolação – utilizando

polinômios de maior grau nas funções de interpolação.

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198

4. 7 – Polinômios de Lagrange – 1D

O objetivo de se utilizar o polin

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199

4. 8 – Elementos com um Número Variável de Nós

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200

4. 9 – Quadratura Gaussiana

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201

4. 10 – Subrotinas de Funções de Interpolação e de Cálculo de Rigidez Elementar

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202

4. 11 – Exemplos e Aplicações

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203

4. 12 – Exercícios e Problemas

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204

Capítulo – V

MÉTODOS MISTOS E DE PENALIDADE

RESUMO

Neste capítulo será visto

.

5. 1 - Objetivos do capítulo

i)

5. 2 – Introdução

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205

5. 3 – Métodos Mistos e de Penalidade

(5. 1)

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206

5. 4 – Normas de Sobolev

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207

5. 5 – Melhor Aproximação e Estimativa de Erro

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208

5. 6 – Elasticidade Incompressível

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209

5. 7 – Escoamento de Stokes

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210

5. 8 – Exemplos e Aplicações

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211

5. 9 – Exercícios e Problemas

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212

Capítulo – VI

PROBLEMAS TRANSIENTES

RESUMO

Neste capítulo será visto

.

6. 1 - Objetivos do capítulo

i)

6. 2 – Introdução

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213

6. 3 - Problemas Transientes

(6. 1)

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214

6. 4 - Problemas Parabólicos (Equação de Calor)

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215

6. 5 - Problemas Hiperbólicos (Elastodinâmica e Dinâmica Estrutural)

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216

6. 6 – Algoritmos Computacionais

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217

6. 7 – Exemplos e Aplicações

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218

6. 8 – Exercícios e Problemas

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219

Capítulo – VII

INTRODUÇÃO A ANÁLISE NÃO-LINEAR TÉRMICA E ELÁSTICA

RESUMO

Neste capítulo será visto

7. 1 - Introdução

Neste capítulo vamos levantar alguns exemplos simples de problemas de não-

linearidades materiais. Dos quais podemos listar:

I) Condição de Calor Não-Linear

II) Viga Elástica Não-Linear

III) Elasticidade Não-Linear em pequenas deformações.

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220

7. 2 – A Formulação do Problema Forte e Fraca de Problemas Térmicos Não-Lineares

7.2.1 - A Forma Forte da Análise Térmica Não-Linear

Considere o seguinte problema térmico onde a propriedade é função da solução,

que é a temperatura, ou seja, a condutividade térmica é expressa como:

k k T (7. 1)

Considere o seguinte Problema de Valor Inicial (P.V.C.) em 0;1x

Figura - 7. 1. Condução de Calor Não-Linear

A forma forte é dada por: Ache u tal que:

, 0 / 0;

0 0i i

g

i i h

q f p x L

S u g em x

q n h em x L L

(7. 2)

Figura - 7. 2.

Mas agora:

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221

; , ,i i i j ij jq q u u k u u (7. 3)

Lembre-se do caso linear que:

, ,i i j ij jq q u k u (7. 4)

A forma fraca W é a mesma que antes, ou seja:

7.2.2 - A Forma Fraca da Análise Térmica Não-Linear

A formulação fraca do problema térmico não-linear é dada por:

0 0 0

, , , 0L L L

x xw qdx w q dx wf dx (7. 5)

como 0 yw em temos:

0 0

,L L

xW w qdx wf dx w L h (7. 6)

supondo que estejamos tratando com problema linear

, ,i i j jq q u ku (7. 7)

Onde ijk é a conditividade térmica do material, temos a forma de Galerkin:

0 0 ,

, ,

, ,

h

L L

x x

w ha w u w f

w ku dx wf dx w L h

(7. 8)

Figura - 7. 3. Formulação de Galerkin com Malha

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222

7.2.3 - A Forma de Galerkin da Análise Térmica Não-Linear

A forma de Galerkin é dado por:

, , ,a w u w f w h (7. 9)

Na forma de Galerkin a solução é do tipo:

g g

hA A A A

A n n A nu x N x d N x g

(7. 10)

E as funções pesos são do tipo

g

hA A A

A n nw x N x c c

(7. 11)

As quais substituindo-se em (7. 6) obtemos:

0 0

, ,L L

h h h hx xw q u dx w f dx w L h (7. 12)

Ou ainda para uma ou mais dimensões temos:

int

, ,h

ext

h h h h hx ij j

F F

w k u u d w f d w hd

(7. 13)

Desta forma, encontramos a relação entre a força interna e externa.

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223

7.2.4 - A Forma de Matricial da Análise Térmica Não-Linear

Na forma matricial temos:

int extF F

(7. 14)

Substituindo-se as fuções de interpolação temos:

1 1

2 1, ,

n n

A A x B x B A AA B

c N x q N x d d N x fdx N L h

(7. 15)

A partir daqui segue os demais desenvolvimentos matemáticos análogos as casos

anteriores feitos para a análise linear. Contudo é reciso considerar algumas condições para o

problema não-linear.

Problema Não-Linear

- Em (7. 82), define-se 1d , tal que, 1d g . É comum incluir um grau de liberdade

prescrito em d

. Desta forma (7. 82) é reescrita como:

int ext

N d

F F

(7. 16)

onde

int int t; ext exA AF F F F

(7. 17)

Com

1int

10

0

ˆ, ,L n

A x B x BB

Lext

A A

F N x N x d dx

F N x f dx N L h

(7. 18)

Definindo o intervalo de um elemento e conforme mostrado na Figura - 7. 4

Figura - 7. 4.

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224

onde podemos escrever:

int int, ,1 1

;el eln n

e ext ext ee e

F A f F A f

(7. 19)

e

int, int, , t,;e e ext e ex ea af f f f

(7. 20)

Onde

int,

e

e Taf N qd

(7. 21)

Onde q depende de d

. E

t,

e e

ex ea af N fd N hd

(7. 22)

Portanto, a forma matricial final fica:

Kd F

(7. 23)

A partir daqui segue os demais desenvolvimentos matemáticos análogos as casos

anteriores feitos para a análise linear.

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225

7.2.5 – Definição de Quantidades Elementares na Análise Térmica Não-Linear

Em relação as grandezas elementares como sempre temos:

1

elne

eK A K

(7. 24)

Do ponto de vista dos elementos temos:

int,

1

int,

1

: ;

, ,

, ,

en

en

e

ei

nh h h

i ij j ij b j bb

ne h

a a i ij b j bh

LinearmenteIndependente de d

f q q

q k u u k u N x d

f N x k u N x d d

(7. 25)

ou

2

1

int,

1ˆ, ,

enx ne

a x b x bBx

f N x N x d dx

(7. 26)

Para cada elemento também vale uma relaçào do tipo

int e ef K d

(7. 27)

Agora nós temos:

int e e ef K d d

(7. 28)

Sendo assim eK

requer o cálculo do gradiente de intf

e eabK K

(7. 29)

Onde

inteab

b

fK

d

(7. 30)

Ou

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226

int, e ieae

ab eb

f dK

d

(7. 31)

Logo,

1

1 1

ˆ, ,

ˆ, , . ,

ei en

ei

ei en en

ei

h

x ne eab a x c x ce

b cx

x n ne e

a x c x c c x cebc cx

E

K N x N x d dxd

dN x N x d N x d dxd d

(7. 32)

Logo,

1

1

, ,

, , , ,

en

e

en

e e

ne hab a i ij c j c

b c

n hij ij ha i c j c a i b jh hbc

Igual a rigidez linear

K N x k u N x d dd

k kuN x N x d d N x u N x ddu u

(7. 33)

logo

2

1

, ,

e

e

xe hab a x b x

x

K N x k N x dx (7. 34)

Melhorando a forma de escrever o 1º termo:

1, ,

ennhc x c b x

b b c

u N d Nd d

(7. 35)

logo

1

, , , ,en

e e

nije h

ab a i b c j c a i ij b jhc

kK N x N N d d N x k u N x d

u

(7. 36)

Essa matriz não é simétrica por causa do 1º termo. Lembrando que é preciso conhecer a

dependência de ijk em função u , cujo gráfico é do tipo mostrado na Figura - 7. 5.

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227

Figura - 7. 5.

No programa FEAP usa-se o comando utang,,1 para matriz não-simétricas e

tang,,1 para matrizes simétricas.

Em geral temos:

1 1

, , , ,

, ,

en en

e e

e

n nij ije

ab a i b c j c b i a c j ch hc c

ha i ij b j

k kK N x N N d d N x N N d d

u u

N x k u N x d

(7. 37)

Resumo (problema 1-D)

- eabK é muito simples (idêntico à viga linear) exceto que E E .

- Temos como resultado que a rotina do elemento é muito semelhante a rotina do

elemento linear.

Diferença Importante:

Necessita-se de ed

para se calcular int,ee eK f

Observações:

1) O uso da derivada exata em

intextK d F F

(7. 38)

É chamado de uso de “tangente consistente”

2) Com rigor o Método de Newton-Raphson requer o uso de “tangente consistente”

3) O Método de Newton com o uso de aproximação para K

é chamado de Método de Quase-

Newton

4) Mesmos teorias simples de Análise Linear ou Não-Linear podem trazer assimetrias.

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228

7.2.6 – Esquema da Carga Incremental

Suponhamos uma força dependente de um parâmetro de carga (onde t, não é o

tempo real, mas um “parâmetro de carga”)

f f t (7. 39)

e ainda

h h t (7. 40)

e

1:g d g t (7. 41)

Deseja-se resolver para uma solução do tipo:

1

1

nh

A AA

u t N x d t

(7. 42)

Onde 0;t T

Numericamente divide-se o intervalo 0;T em incremento

10

0; ;on passos

n nn

T t t

(7. 43)

Figura - 7. 6.

Portanto, o problema não-linear a ser resolvido é:

int1 1

extn nF d F t

(7. 44)

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229

7.2.7 – O Método de Newton-Raphson

Define-se um resíduo como sendo:

int 0 0;extR F t F d t t T

(7. 45)

A contrapartida discreta é dada por:

int1 1 0ext

n nR F t F d

(7. 46)

Iterações de Convergência

Em seguida cria-se um contador de iterações i em cada passo 1;n nt t

1) Inicializa-se com 01 ; 0nnd d i

2) Resolve-se pelo Método de Newton-Raphson

0i iRR d d dd

(7. 47)

Ou

i iR d d R dd

(7. 48)

Note que:

intextR F F

(7. 49)

logo

intR Fd d

(7. 50)

onde extF

é independente de d

neste problema

Portanto a equação global fica:

int.i iextK d d F F d

(7. 51)

Onde:

intFKd

(7. 52)

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230

Em relação as grandezas elementares como sempre temos:

1

elne

eK A K

(7. 53)

Incrementos temporais

Após a convergência das iterações i pode-se incrementar o tempo da seguinte

forma:

11

1 1

0

0

in

i in n

R d

RR d d dd

(7. 54)

Onde

t int11

i exn nnR d F t F d

(7. 55)

Chamando de

t intexF FRKd d

(7. 56)

Temos:

intFKd

(7. 57)

Logo,

1 1 0i i

n nR d K d d

(7. 58)

e

11 1

i in nd d d

(7. 59)

Portanto, obtemos o seguinte sistema linear para cada iteração

1 1

11 1

1 1

0i in n

i in ni i

n n

RR d d dd

d d dR d d R dd

(7. 60)

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231

Resolve-se

intint

11 11

/i iextnn n

n

F d d F t F d p dd

(7. 61)

Atualiza-se

11 1

i in nd d d

(7. 62)

Repete-se o processo até que “ d

” seja “pequeno”o que significa que:

1 ( )

. 2 ( )

i

i

R d tol Norma da Força

d R d tol Norma da Energia

(7. 63)

Ponto de Vista Elementar

t, ,11 1

e i e ie ex e int enn nr d f t f d

(7. 64)

Onde

,

1 1

int ee i e ien ne

fK d d

d

(7. 65)

Então

1 11

elni e ien ne

R d A r d

(7. 66)

Portanto,

1 11

elni e iin ne

K d A K d

(7. 67)

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232

7. 3 – A Formulação do Problema Forte e Fraca de Problemas Elásticos Não-Lineares

7.3.1 - A Forma Forte da Análise Elástica Não-Linear

A formulação forte do problema elástico não-linear é dada por:

, 0 / 0;

0 0x

g

h

f p x L

S u g em x

h em x L L

(7. 68)

A análise elástica linear pode ser dividida em duas categorias:

i) Relação Deformação – Deslocamento

Caracterizada por:

,xduudx

(7. 69)

ii) Relação Tensão-Deformação

Caracterizada por:

ˆ (7. 70)

onde ̂ é uma função não-linear de , conforme mostra as Figura - 7. 7 e Figura - 7. 8

Figura - 7. 7.

Figura - 7. 8.

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233

Obs:

No caso linear temos como exemplo:

ˆ E (7. 71)

No caso linear, esta hipótese não se aplica como, por exemplo, em materiais

conjugados, polímeros, etc. Vejamos, portanto a formulação fraca do problema elástico não-

linear.

7.3.2 - A Formulação Fraca do Problema Elástico Não-Linear

A formulação fraca do problema elástico não-linear é dada por:

0 0 0

, , , 0L L L

x xw dx w dx wf dx (7. 72)

como 0 yw em temos:

0 0

,L L

xW w dx wf dx w L h (7. 73)

supondo que estejamos tratando com problema linear

ˆ E (7. 74)

Onde E é o módulo de elasticidade, temos a forma de Galerkin:

0 0 ,

, ,

, ,

h

L L

x x

w ha w u w f

w Eu dx wf dx w L h

(7. 75)

Figura - 7. 9. Formulaçào de Galerkin com Malha.

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234

7.3.3 - A Forma de Galerkin da Análise Elástica Não-Linear

A forma de Galerkin é dado por:

, , ,a w u w f w h (7. 76)

Na forma de Galerkin a solução é do tipo:

1

12

nh

A AA

u x N x d N x g

(7. 77)

E as funções pesos são do tipo

1

2

nh

A A AA

w x N x c c

(7. 78)

As quais substituindo-se em (7. 73) obtemos de forma análoga ao caso térmico:

0 0

ˆ, ,L L

h h h hx xw u dx w f dx w L h (7. 79)

Ou ainda para uma ou mais dimensões temos:

int

, ,h

ext

h h h h hx ij j

F F

w E u u d w f d w hd

(7. 80)

Desta forma, encontramos a relação entre a força interna e externa.

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235

7.3.4 - A Forma de Matricial da Análise Elástica Não-Linear

Na forma matricial temos:

int extF F

(7. 81)

Substituindo-se as fuções de interpolação temos:

Ou ainda

1 1

2 10 0

ˆ, ,L Ln n

A A x B x B A AA B

c N x N x d dx N x f dx N L h

(7. 82)

A partir daqui segue os demais desenvolvimentos matemáticos análogos as casos

anteriores feitos para a análise linear. Contudo é reciso considerar algumas condições para o

problema não-linear.

Problema Não-Linear

- Em (7. 82), define-se 1d , tal que, 1d g . É comum incluir um grau de liberdade

prescrito em d

. Desta forma (7. 82) é reescrita como:

int ext

N d

F F

(7. 83)

onde

int int t; ext exA AF F F F

(7. 84)

Com

1int

10

0

ˆ, ,L n

A x B x BB

Lext

A A

F N x N x d dx

F N x f dx N L h

(7. 85)

Definindo o intervalo de um elemento e conforme mostrado na Figura - 7. 10

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236

Figura - 7. 10.

onde podemos escrever:

int int, ,1 1

;el eln n

e ext ext ee e

F A f F A f

(7. 86)

e

int, int, , t,;e e ext e ex ea af f f f

(7. 87)

Onde

int, ˆe

e Taf N d

(7. 88)

Onde q depende de d

. E

t,

e e

ex ea af N fd N hd

(7. 89)

Portanto, a forma matricial final fica:

Kd F

(7. 90)

A partir daqui segue os demais desenvolvimentos matemáticos análogos as casos

anteriores feitos para a análise linear.

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237

7.3.5 – Definição de Grandezas Elementares na Análise Elástica Não-Linear

Em relação as grandezas elementares como sempre temos:

1

elne

eK A K

(7. 91)

Do ponto de vista dos elementos temos:

int,

1

ˆ ˆ: ;

ˆ , ,en

ei

nh h h

i ij j ij b j bb

f

E u u E u N x d

(7. 92)

logo

int,

1, ,

en

e

ne h

a a i ij b j bh

LinearmenteIndependente de d

f N x E u N x d d

(7. 93)

ou

2

1

int,

1ˆ, ,

enx ne

a x b x bBx

f N x N x d dx

(7. 94)

Para cada elemento também vale uma relação do tipo

int e ef K d

(7. 95)

Agora nós temos:

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238

int e e ef K d d

(7. 96)

Sendo assim eK

requer o cálculo do gradiente de intf

e eabK K

(7. 97)

Onde

inteab

b

fK

d

(7. 98)

ou

int, e ieae

ab eb

f dK

d

(7. 99)

Logo,

1

1 1

ˆ, ,

ˆ, , . ,

ei en

ei

ei en en

ei

h

x ne eab a x c x ce

b cx

x n ne e

a x c x c c x cebc cx

E

K N x N x d dxd

dN x N x d N x d dxd d

(7. 100)

1

1

, ,

, , , ,

en

e

en

e e

ne h eab a i ij c j ce

b c

n hij ij ha i c j c a i b jh hbc

Igual a rigidez linear

K N x E u N x d dd

E EuN x N x d d N x u N x ddu u

(7. 101)

logo

2

1

, ,

e

e

xe hab a x b x

x

K N x E N x dx (7. 102)

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239

Melhorando a forma de escrever o 1º termo:

1, ,

ennhc c a x bc b x

b b c

u N d N Nd d

(7. 103)

logo

1

, , , ,en

e e

nije h

ab a i b c j c a i ij b jhc

kK N x N N d d N x k u N x d

u

(7. 104)

Essa matriz não é simétrica por causa do 1º termo. Lembrando que é preciso conhecer a

dependência de ijk em função u , cujo gráfico é do tipo mostrado na Figura - 7. 11.

Figura - 7. 11.

No programa FEAP usa-se o comando utang,,1 para matriz não-simétricas e

tang,,1 para matrizes simétricas.

Em geral temos:

1 1

, , , ,

, ,

en en

e e

e

n nij ije

ab a i b c j c b i a c j ch hc c

ha i ij b j

k kK N x N N d d N x N N d d

u u

N x k u N x d

(7. 105)

Resumo (problema 1-D)

- eabK é muito simples (idêntico à viga linear) exceto que E E .

- Temos como resultado que a rotina do elemento é muito semelhante a rotina do

elemento linear.

Diferença Importante:

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240

Necessita-se de ed

para se calcular int,ee eK f

Observações:

1) O uso da derivada exata em

intextK d F F

(7. 106)

É chamado de uso de “tangente consistente”

2) Com rigor o Método de Newton-Raphson requer o uso de “tangente consistente”

3) O Método de Newton com o uso de aproximação para K

é chamado de Método de Quase-

Newton

4) Mesmos teorias simples de Análise Linear ou Não-Linear podem trazer assimetrias.

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241

7.3.6 – Esquema da Carga Incremental

Suponhamos uma força dependente de um parâmetro de carga (onde t, não é o

tempo real, mas um “parâmetro de carga”)

f f t (7. 107)

e ainda

h h t (7. 108)

e

1:g d g t (7. 109)

Deseja-se resolver para uma solução do tipo:

1

1

nh

A AA

u t N x d t

(7. 110)

Onde 0;t T

Numericamente divide-se o intervalo 0;T em incremento

10

0; ;on passos

n nn

T t t

(7. 111)

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242

Figura - 7. 12.

Portanto, o problema não-linear a ser resolvido é:

int1 1

extn nF d F t

(7. 112)

7.3.7 – O Método de Newton-Raphson

Define-se um resíduo como sendo:

int 0 0;extR F t F d t t T

(7. 113)

A contrapartida discreta é dada por:

int1 1 0ext

n nR F t F d

(7. 114)

Iterações de Convergência

Em seguida cria-se um contador de iterações i em cada passo 1;n nt t

1) Inicializa-se com 01 ; 0nnd d i

2) Resolve-se pelo Método de Newton-Raphson

0i iRR d d dd

(7. 115)

Ou

i iR d d R dd

(7. 116)

Note que:

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243

intextR F F

(7. 117)

logo

intR Fd d

(7. 118)

onde extF

é independente de d

neste problema

Portanto a equação global fica:

int.i iextK d d F F d

(7. 119)

Onde:

intFKd

(7. 120)

Em relação as grandezas elementares como sempre temos:

1

elne

eK A K

(7. 121)

Incrementos temporais

Após a convergência das iterações i pode-se incrementar o tempo da seguinte

forma:

11

1 1

0

0

in

i in n

R d

RR d d dd

(7. 122)

Onde

t int11

i exn nnR d F t F d

(7. 123)

Chamando de

t intexF FRKd d

(7. 124)

Temos:

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244

intFKd

(7. 125)

Logo,

1 1 0i i

n nR d K d d

(7. 126)

e

11 1

i in nd d d

(7. 127)

Portanto, obtemos o seguinte sistema linear para cada iteração

1 1

11 1

1 1

0i in n

i in ni i

n n

RR d d dd

d d dR d d R dd

(7. 128)

Resolve-se

intint

11 11

/i iextnn n

n

F d d F t F d p dd

(7. 129)

Atualiza-se

11 1

i in nd d d

(7. 130)

Repete-se o processo até que “ d

” seja “pequeno”o que significa que:

1 ( )

. 2 ( )

i

i

R d tol Norma da Força

d R d tol Norma da Energia

(7. 131)

Ponto de Vista Elementar

t, ,11 1

e i e ie ex e int enn nr d f t f d

(7. 132)

Onde

,

1 1

int ee i e ien ne

fK d d

d

(7. 133)

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245

Então

1 11

elni e ien ne

R d A r d

(7. 134)

Portanto,

1 11

elni e iin ne

K d A K d

(7. 135)

7. 4 – Exemplos e Aplicações

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246

7. 5 – Exercícios e Problemas

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247

Capítulo – VIII

MECÂNICA DOS FLUIDOS

RESUMO

Neste capítulo será visto

8. 1 - Introdução

A Mecânica dos Fluidos estuda o movimento dos fluidos e o efeito resultante nas

suas vizinhanças. Os fluidos se apresentam basicamente de duas formas, na forma de gases e

líquidos. Alguns materiais complexos, como misturas podem apresentar um comportamento

de fluido, o que são chamadas de leito fluidizado. Também o calor e o plasma são também

considerados fluidos. O estado de fluido de um material é freqüentemente caracterizado pela

relativa mobilidade das moléculas que o constituem.

O movimento de um fluido é governado por leis globais de conservação de massa,

quantidade de movimento (“momentum”) e energia. Estas equações formam um Sistema de

Equações Diferenciais Parciais Não-Lineares, cujas incógnitas são: velocidade, temperatura e

pressão.

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248

8.1.1 - Hipótese Inicial

Quando os efeitos da temperatura não são importantes, ou seja, as variações de

temperatura desprezíveis o fluido é chamado de isotérmico. Como hipótese inicial, vamos

considerar o problema escolhido com as seguintes características: viscoso, incompressível e

condições isotérmicas em todo o domínio.([3]). Considerando variações de temperatura

desprezíveis é possível resolver a equação de Navier-Stokes e continuidades. Quando as

velocidades são baixas, (quando o número de Reynolds é baixo) isso implica que os termos de

inércia são desprezados. Neste caso, precisa-se resolver as equações de Navier-Stokes e da

continuidade.

Re U Dv (8. 1)

Onde U é a velocidade livre de interação com as superfícies, D é uma dimensão

característica, v é a viscosidade cinemática

O problema de valor de contorno linear conhecido como escoamento de Stokes é

um exemplo de problema de fluido aplicado na lubrificação de superfícies.

Apresentam-se, na seqüência, as equações que regem o fenômeno, os dados

gerados pelo programa FEAP, seguido do estudo dos valores encontrados, análise e

comparação dos resultados com o fornecido pelo livro ([2]).

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249

8. 2 - Fundamentação Teórica

A lei de conservação de massa estabelece que a razão entre a variação de massa

por unidade de tempo em uma região fixa é zero. Esta lei, conhecida como equação da

continuidade, pode ser escrita matematicamente como:

. 0Jt

, (8.2)

onde J u é o fluxo de massa e é a densidade do fluido, u denota o vetor velocidade, e

é o operador vetorial da derivada. Quando a mudança de densidade de um fluido em

particular é desprezível, então o fluido (ou fluxo) é denominado incompressível e tem-se que

/ 0t . A equação da continuidade torna-se:

.u o , (8.3)

A lei de conservação de momento linear (segunda lei de Newton para o

movimento) afirma que a variação do momento linear sobre o tempo é igual à soma das forças

externas agindo na região. Esta lei é representada por:

. Duf PDt

, (8.4)

onde é o tensor tensão de Cauchy e f é o vetor força do corpo, medido por unidade de

massa , enquanto D/Dt denota a derivada material ou operador derivada Euleriano,

.D uDt t

, (8.5)

A Eq. (4) descreve a equação de movimento de um meio continuo e, na mecânica dos fluídos,

são conhecidas como Equações de Navier.

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250

8. 3 - Equação de Navier-Stokes para Escoamento Laminar

As equações governantes são:

Tempo t

Vetor posição:

1 2 3, ,x x x x

(8. 6)

Em coordenadas eulerianas.

Massa

0

0i

i

uux

(8. 7)

Lembre-se:

fluxofluido uniformeincompressível

cte ctet

(8. 8)

Momentum

0 0. 0u u u ft

(8. 9)

Em notação inicial temos:

0 0 0iji ii i

j j

u uu ft x x

(8. 10)

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251

8.3.1 - Relações Constituitivas para Fluidos Newtonianos

As relações constitutivas para um fluido newtoniano são:

; 2PI D

(8. 11)

Onde

12

TD u u (8. 12)

Ou

; 2ij ij ij ij ijP D (8. 13)

E

12

ji

j i

uuDx x

(8. 14)

Condições de Contorno

(Dirichlet)

ˆu u

ou ˆ ,i i uu u s t em (8. 15)

e

(Neumann)

ˆ ˆ.n ou ˆ, ,i ij js t n s s t em (8. 16)

Estas equações são resumidas por:

0i

i

ux

(8. 17)

e

0 0 0i ii ij ij i

j j

u uu P D ft x x

(8. 18)

Ou

0 0 0ji i ii ij i

j j j i

uu u uu P ft x x x x

(8. 19)

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252

As equações Erro! Fonte de referência não encontrada. e Erro! Fonte de referência não

encontrada. representam o problema a ser resolvido.

8.3.2 - Escoamento Viscoso Incompressível

Para o estudo particular do problema de Stokes para um fluido incompressível a

equação constitutiva é dada por:

.u u , (8.20)

Como o fluido é considerado incompressivel pela equção (8.3) tem-se:

u , (8.21)

e portanto a (8.4) torna-se:

. Duf u PDt

, (8.22)

Observe que a equação (8.22) possui duas variáveis, a velocidade do fluido u e a pressão P .

8.3.3 - Formulação Forte do Problema de Navier-Stokes para o Escoamento Laminar

A formulação forte é dada por:

0i

i

ux

(8. 23)

e

0 0 0ji i i

i ij ij j j i força depressãotempo fricção campoadvecção

uu u uu P ft x x x x

(8. 24)

Como obter a forma variacional?

8.3.4 - Procedimento Geral em 3 Passos

1) Tomar a equação em questão colocando todos os termos para um lado da igualdade. Em

seguida multiplica-se a equação obtida por uma função peso, w, por exemplo, e integrando

sobre o domínio e de um elemento típico.

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253

2) Distribuir a diferenciação de d

(vetor de incógnitas) e w

igualmente, tal que as equações

diferenciais parciais sejam reduzidas de uma ordem, através da integração por partes (usando

o Teorema de Green-Gauss).

3) Separar o contorno do domínio pelas definições físicas do problema.

Em nosso caso devemos usar a equação Erro! Fonte de referência não

encontrada. e obter

0e

i

i

uQ dxx

(8. 25)

E a equação Erro! Fonte de referência não encontrada. e obter:

0 0 0e

ji i ii ij i

j j j i

uu u uw u P f dxt x x x x

(8. 26)

Finalmente obtém-se a forma fraca:

0e

i

i

uQ dxx

(8. 27)

E a equação Erro! Fonte de referência não encontrada. e obter:

0 00e

e

ji i i ii i j ij i i

j j j i

i i

uu u w uw w u P w f dxt x x x x

w ds

(8. 28)

8.3.5 - Forma Variacional de Rayleigh-Ritz Galerkin

Nesta forma velocidades e pressões são obtidas com funções de aproximação

(funções de forma e de interpolação), , dada por:

1

,M

m Ti m i i

mu x t x u t u

(8. 29)

e

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254

1

,L

Tl l

lP x t x P t P

(8. 30)

Onde e T T

são vetores coluna de funções de forma. eiu P

são vetores dos valores nodais

de velocidadeds e pressão.

A funções pesos são aproximadas também por:

11

L

l ll

Q x C t

(8. 31)

e

21

,M

i m imm

w x t x C

(8. 32)

que são independentes do tempo:

Susbtituindo as equações Erro! Fonte de referência não encontrada. e Erro!

Fonte de referência não encontrada. em Erro! Fonte de referência não encontrada. e

ainda Erro! Fonte de referência não encontrada. e Erro! Fonte de referência não

encontrada. em Erro! Fonte de referência não encontrada., obtém-se as seguintes

equações de elementos finitos:

i) Massa

0e

T

ii

dx ux

(8. 33)

ii) Momentum na direção i

e e

e e

e e e

TT T

o i o j ij

T T

i jj j j j

To i i

i

dx u u dx ux

dx u dx ux x x x

dx P f dx dsx

(8. 34)

As equações matriciais são escritas como:

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255

i) Massa

0TQ u

(8. 35)

ii) Momentum na direção i

Mu C u u Ku QP F

(8. 36)

Para o caso 2D as equações Erro! Fonte de referência não encontrada. e Erro!

Fonte de referência não encontrada. assumem a seguinte forma:

1 1

2 2

11 22 21 1 1 1

12 11 22 2 2 2

1 2

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 0

22

00T T

M u C u uM u C u u

P P

k k k Q u Fk k k Q u F

PQ Q

(8. 37)

onde

e

e

To

TT

o jj

Notação deSoma deEinstein

M dx

C u u dxx

(8. 38)

e

e

e e

T

iji j

Ti

i

i o i i

K dxx x

Q dxx

F f dx ds

(8. 39)

E as funções de interpolação são os polinômios de Lagrange.

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256

As equações são combinadas como:

00 0 00T

C u K u QM u u FP PQ

(8. 40)

ou

Mu Ku F

(8. 41)

onde

1 2 3, , , TU u u u P

(8. 42)

8.3.6 - Estratégias Numéricas

Para se obter apenas uma variável há duas alternativas pelo Método dos

Elementos Finitos.

1) Método Misto ou Velocidade-Pressão (resolve-se para u

e P

)

Resolve-se simultaneamente para velocidade e pressão com forma fraca

(Variacional)

2) Método da Função Penalidade ou Modelo de Elementos Finitos por Penalidade

Cometemos ao que chamamos de crime variacional ou penalidade quando é

necessário eliminar a pressão, da seguinte forma:

- Elimina-se a Pressão P

por meio da equação da Continuidade e resolve a nova

equação difernecial somente para u

.

Nesta forma estratégica interpreta-se a Equação da Continuidade como uma

relação adicional entre as velocidades , i. e., uma restrição para os iu o que implica que esta

relação é satisfeita aproximado por uma minimização no sentido de Mínimos Quadrados, logo

a pressão é efetivamente eliminada da formulação.

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257

8. 4 - Modelo de Penalidade para o Problema de Navier-Stokes

8.4.1 - Problema de Navier-Stokes

A condição de incompressibilidade é dada por:

0u vx y

(8. 43)

No Modelo de Penalidade considera-se que as velocidades são muito baixas e

portanto escreve-se:

0i

j e

u Px

, (8.44)

Elimina-se a pressão substituindo-a nas equações de momento usando, portanto, a seguinte

expressão:

ie

j

uPx

, (8.45)

Onde e é o fator de penalidade

6 1210 10e (8. 46)

O objetivo desta lista de exercicios é ver a influência do e na solução.

Retornando-se a equação (8.22) e substituindo (8.45) nas equações de Navier-

Stokes pela pressão i. e. no termo P , logo obtém se uma equação que pode ser resolvida

univocamente.

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258

. .e Duf u uDt

, (8.47)

Ou na forma matricial:

1

~

1 1

2 2

3 3

11 22 33 21 1

12 11 22 33 2

13 11 22 33 3

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

2 02 0

0 2

K

M u C u uM u C u u

M u C u u

k k k k uk k k k uk k k k u

2

~

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

3 313 32 33

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

K

k k k u Fk k k u F

u Fk k k

(8. 48)

Onde 1 , ijM C u k

e iF

são os mesmos da formulação anterior completa (contendo a

pressão). Então, para fazer uma estimativa da pressão podemos considerar:

2

0u u P u (8. 49)

Ou na forma matricial:

0 0

Mu C u u Ku QP F

(8. 50)

Logo

Ku QP F

(8. 51)

Sabendo que:

ˆK K u F

(8. 52)

Os termos de penalidade são:

ˆe

Te

iji j

k dxx x

(8. 53)

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259

A equação pode ser reescrita simbolicamente de forma mais resumida como uma

equação matricial:

1 2eMu C u K K u F

(8. 54)

Onde

1 2 3Tu u u u

(8. 55)

1) Construir 11 222k k

e

11 14

8 841 44

...

...

e e

e

e e

k kk

k k

(8. 56)

Onde eabk

é uma matriz 2 2 e 1 ; 4a b

2) Fórmula do Reddy

~

11 22 21~ 12 11 22

22

e

Te ji e

ij i j

e

ab

k dx x

t t tk

t t t

(8. 57)

3) O vetor força é o mesmo que foi implementado na teoria da elasticidade 2D onde 8 8

ef

4) Construir a Matriz de Penalidade

11 14

8 841 44

ˆ ˆ...ˆ

ˆ ˆ...

e e

e

e e

k kk

k k

(8. 58)

onde ˆeabk

é uma matriz 2 2 e 1 ; 4a b e

ˆe

Te eij

i jk d

x x

(8. 59)

É calculado por Quadratura de Gauss como uma matriz 1 1 para eliminar as

singularidades.

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260

Finalmente calcula-se:

8 8

ˆe e e e eab ab abk k k k k

(8. 60)

8.4.2 - Avaliação das Matrizes Elementares nos Modelos de Penalidade

Vamos agora avaliar as matrizes elementares no modelos de penalidade

considerando o exemplo do regime permanente, a baixos números de Reynolds que equivale

ao problema de Stokes.

1 2

termos viscosos termosde penalidadeeK K u F

(8. 61)

Neste caso temos:

u u u Px y z

(8. 62)

1) e muito grande contribuição dos termos de viscosidade pode tornar-se desprezível na

presença dos termos de penalidade.

2 1eK K

(8. 63)

a) 1K

não é singular para e grande a solução é trivial 0

Esta solução satisfaz a equação da continuidade, mas não satisfaz a conservação

da quantidade de movimento Trancamento de Malha (“locking”).

b) 2K

é singular a soma é não-singular, pois 1K

é não singular, possibilitando a

obtenção de uma solução não-trivial.

SOLUÇÃO DO PROBLEMA ”Crime Variacional” integração reduzida

dos termos de penalidade, isto é, uma ordem em relação aos outros termos.

2-D

1K

Quadratura Gausiana 2 X 2

2K

Quadratura Gaussiana 1 X 1

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261

Cria-se um nó para a pressão diferente do nó para velocidade,

3-D

1K

Quadratura Gausiana 2 X 2 X 2

2K

Quadratura Gaussiana 1 X 1 X 1

Cria-se um nó para a pressão diferente do nó para velocidade,

Os valores sugeridos para e são: 4 1210 10e .

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262

8. 5 – Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos

O objetivo desta parte é englobar convecção natural e forçada

1) Forma Forte

Usando a aproximação de Bousssinesq:

1o oT T (8. 64)

As equações governantes são:

i) Massa

0i

i

ux

(8. 65)

ii) Momentum na direção i

0 0 0ji i ij ij o

j j j i

uu u uu P g T Tt x x x x

(8. 66)

iii) Energia

0DissipaçãoViscosa

0V j ijj i j

T T TC u k Qt x x x

(8. 67)

onde

0ˆ 0i iP P g x (8. 68)

é a pressão modificada. Vide a referência Bejan, 1995, Convection Heat Transfer.

2 ij ijD D (8. 69)

onde

12

jiij

j i

uuDx x

(8. 70)

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263

Condição de Contorno

,i iu f s t em u (8. 71)

e

, ,i ij j is t n s f s t em (8. 72)

Para a parte fluida, e

ˆ ,T T s t em T (8. 73)

e

,ij i conv radj

Tk n q q q s tx

em q (8. 74)

2) Forma Fraca

Para um elemento e

1 1

2 2 1 2 3

3 3

0

0 , , ,

0

e

e

e

w f dx

w f dx w w w funções peso para P u eT respectivamente

w f dx

(8. 75)

onde as variaveis , ,iT u P podem ser aproximadas por:

1

1

1

,

,

,

MT

m mm

Mn T

i n i imM

Tl l

m

T x t x T t T

u x t x u t u

P x t x P t

(8. 76)

onde , ,m n lx x x são funções de interpolação.

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264

2.1) Forma Fraca e Discreta das Equações

i) Massa

0e

T

ii

dx ux

(8. 77)

ii) Momentum na direção i

Não inclui direção preferencial do escoamento

e e

e e

e e e

TT T

o i o j ij

T T

i jj j j j

T To i o i o

i

dx u u dx ux

dx u dx ux x x x

dx P g dx T g T dxx

ei ds

(8. 78)

iii) Energia

Neste caso é preciso levar em conta a direção preferencial de escoamento.

0 0e e

e e e e

TT T

V V jj

Tij

i j

C dx T C u dx Tx

k dx T Qdx dx qdsx x

(8. 79)

2.2) Forma Matricial das Equações

As equações matriciais são escritas como:

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265

1 1

2 2

3 3

11 21 31 1

12 22 32 2

13 23 33 3

1 2 3 44

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆT T T

M u uC uM u uC u

M u uC uP P

K K K Q

K K K Q

K K K Q

Q Q Q K

1 1

2 2

3 30

u Fu Fu FP

(8. 80)

Onde

11 11 22 33

22 11 22 33

33 11 22 33

ˆ 2ˆ 2ˆ 2

K K K K

K K K K

K K K K

(8. 81)

ë

e

e

e

e

e e e

To

TT

o jj

T

ijj j

Ti

i

Ti o i o i o i

M dx

C u u dxx

K dxx x

Q dxx

F T g dx T g T dx ds

(8. 82)

Logo as equações são combinadas como:

N T D u T L T G T

(8. 83)

onde

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266

0

0

e

e

e

e e e

TT T

V jj

TV

Tij

i j

D u C u dxx

N C dx

L k dxx x

G Qdx dx qds

(8. 84)

Compactando as equações temos:

i) Massa

0TQ u

ii) Momentum na direção i

Mu C u u Ku QP BT F

(8. 85)

iii) Energia

NT DT LT G

(8. 86)

e

1

2

2

0 00 00 0

B TBT B T

B T

e

e

Ti o iB g dx

Logo temos a forma matricial:

,0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 ,

TC u K u T Q B TM u u F T

P Q PN T D u L T T G T u

(8. 87)

e de forma inda mais compacta:

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267

MU KU F

(8. 88)

Onde

1 2 3, , , ,T T T T T TU u u u P T

(8. 89)

Penalidade por integração reduzida

Comete-se o “crime variacional” somente na Equação da massa + momentum

com a finalidade de se eliminar a pressão.

1 1 1

2 2 2

3 3 3

11 22 33 21 1

12 11 22 33 2

13 11 22 33 3

11 12 13

21 22 23

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

2 02 0

0 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ

M u C u uM u C u u

M u C u u

K K K K uK K K K uK K K K u

K K K

K K K

1 1

2 2

3 313 32 33ˆ ˆ

u Fu Fu FK K K

(8. 90)

e

e

T

ij ei i

K dxx x

(8. 91)

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268

Exemplo

Figura - 8. 1.

Figura - 8. 2.

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269

8. 6 – Projetos de Análise Não-Linear

Estas sugestões de projeto foram extraidas do livro do Reddy & Gartling.

1) Página 234, Pb. 5.9-2. Escoamento de 2 Fluidos em Contra-Corrente em Placas Paralelas.

2) Página 240, Pb. 5.9-5. Receptor Solar

3) Página 241, Pb. 5.9-6. Arranjo de Tubos

4) Página 244, Pb. 5.9-7. Escoamento Aquecido Volumetricamente.

Regime permanente → Usar distribuições de geração de calor diferentes.

Figura - 8. 3.

8.5.1 – Escoamento de 2 Fluidos em Contra-Corrente em Placas Paralelas

Considere a seguinte montagem:

Figura - 8. 4.

;óleo

T T uUT T U

(8. 92)

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270

8. 7 – Equação de Navier-Stokes em 3D

Vamos nesta parte conhecer a solução de Navier-Stokes 3D em regime

permanente. Deixaremos a parte temporal para ser resolvida pelos métodos de marcha no

tempo.

N d F d

(8. 93)

Método de Newton

Vamos usar o Método de Newton com o modelo de penalidade e integração

reduzida (que corresponde ao crime variacional). Supondo que F não depende de d.

Resíduos

Termos Advectivos

n

Jacobiano

d

N dd F N d

d

(8. 94)

onde K é a matriz de rigidez e K̂ é a matriz de penalidade.

1

el

e

neb

j j o a c cjjcSoma

em j ab

NC d N N d dx

(8. 95)

eln é o número de nós no elemento, j é a dimensão do espaço 1 3j .

Esta soma presica ser computada para cada ponto de Gauss para 1, 2,3j e para

1cjd , quando a derivada for necessária.

1 1 1 1 2 2 1 3 3 1

11 22 33 1 12 2 13 3 11 12 2 13 3ˆ ˆ ˆ2

N d C d d C d d C d d

K K K d K d K d K K d K d

(8. 96)

e

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0 00 00 0

C d dC d d

C d d

(8. 97)

e

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271

2 1 1 2 2 2 2 3 3 2

21 1 11 22 33 3 33 3 21 22 2 33 3ˆ ˆ ˆ2

N d C d d C d d C d d

K d K K K d K d K K d K d

(8. 98)

e

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0 00 00 0

C d dC d d

C d d

(8. 99)

e C u : é um somatório; jjC : somatório (índices repetidos)

3 1 1 3 2 2 3 3 3 3

31 1 32 2 11 22 33 3 31 32 2 33 3ˆ ˆ ˆ2

N d C d d C d d C d d

K d K d K K K d K K d K d

(8. 100)

e

1 1

2 2

3 3

1

2

3

in

in

in

C d C

C d C no FEAP

C d C

(8. 101)

e

11 22 33

11 22 33

11 22 33

2 1,1

2 2, 2

2 3,3

K K K rkbar

K K K rkbar no FEAP

K K K rkbar

(8. 102)

Isw = 3.

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272

Analogia para solução de Problemas Não-Lineares

Linear só no 1º passo, Não-Linear em n passos de Newton.

n

R

d

Kd F

N dd F N d

d

(8. 103)

Vamos agora computar o Jacobiano.

N dM

d

(8. 104)

onde

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

N N Nd d d

N d N N NMd d d d

N N Nd d d

(8. 105)

ou

iij ij

j

Nm M md

(8. 106)

e

11 1 1 2 2 3 3

1 4

11 22 33 11

12 1 12 12

2 5

13 13 13 3

3 4

1

ˆ2

ˆ1

ˆ1

in

in

in

C

C

C

N C d C C d C dd

K K K KN C d K Kd

N C K K dd

(8. 107)

e

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273

21 1 2 21 21

1

21 1 2 2 2 2

2

3 3 11 22 33 12

23 2 23 23

3

ˆ

1

ˆ2

ˆ1

N C d d K KdN C d C d C dd

C d K K K KN C d K Kd

(8. 108)

e

31 1 3 31 31

1

32 3 32 32

2

31 1 2 2 3 3 3 3 11 22 33 33

3

ˆ

ˆ1

ˆ1 2

N C d d K KdN C d K KdN C d C d C d C d K K K Kd

(8. 109)

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274

8. 8 – Solução Numérica da Equação de Navier-Stokes + Energia I

Considere a seguinte equação:

1n n n

n

d d d

N dd F N d

d

(8. 110)

Na equação da energia temos:

1

el

e

neb

j j o a c cjab jc

NC d N N d dx

(8. 111)

eln é o número de nós no elemento, j é a dimensão do espaço 1 3j . Mas na equação da

energia temos termos advectivos

11 3

el

e

neb

j j o a c cjab jcj

ND d cN N d dx

(8. 112)

eln é o número de nós no elemento, j é a dimensão do espaço 1 3j .

1

2

3

4

4

d ud v

n graus deliberdade por nód wd T

(8. 113)

- convecção forcada sem empuxo

- convecçao natural com empuxo

1 1 4

2 2 4

3 3 4

N d mesmo queanterior B d

N d mesmo que anterior B d

N d mesmo que anterior B d

(8. 114)

e

4 1 1 4 2 2 4 3 3 4 11 22 33 4N d D d d D d d D d d L L L d

(8. 115)

O Jacobiando neste caso é:

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275

1 1 1 1

1 2 3 4

2 2 2 2

1 2 3 4

3 3 3 3

1 2 3 4

4 4 4 4

1 2 3 4

N N N Nd d d dN N N Nd d d dN d

MN N N Ndd d d dN N N Nd d d d

(8. 116)

e

11 1 2 2 3 3

1

11 22 33 11

12 1 12 12

2

13 13 13 3

3

11

4

ˆ2

ˆ1

ˆ1

N C d C d C dd

K K K KN C d K KdN C K K ddN Bd

(8. 117)

e

21 1 2 21 21

1

21 1 2 2 2 2

2

3 3 11 22 33 12

23 2 23 23

3

22

4

ˆ

1

ˆ2

ˆ1

N C d d K KdN C d C d C dd

C d K K K KN C d K KdN Bd

(8. 118)

e

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276

31 1 3 31 31

1

32 3 32 32

2

31 1 2 2 3 3 3 3 11 22 33 33

3

33

4

ˆ

ˆ1

ˆ1 2

N C d d K KdN C d K KdN C d C d C d C d K K K KdN Bd

(8. 119)

e

41 4

1

42 4

2

43 1 4

3

31 1 2 2 3 3 11 22 33

41

1

1

din

N D ddN D ddN D d ddN D d D d D d L L Ld

(8. 120)

Exemplo de uma Cavidade Quadrada

Considere o problema de uma cavidade retangular em convecção natural

Figura - 8. 5.

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277

Hipóteses:

- Fluido Newtonianano

- Escoamento Incompressível

- 2D; Regime Permanente

- Escoamento Laminar; Propriedades constantes no fluido

- Dissipação viscosa desprezível

0u vx y

(8. 121)

e

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1

1

u u P u uu v vx y x x y

v v P v vu v vx y y x y

T T T Tu vx y x y

(8. 122)

É muito importante fazer a adimensionalização

Objetivos da Adimensionalização

Do ponto de vista Físico

1) A normalização apresenta resultados válidos para toda uma classe de problemas do tipo em

análises, e

Do ponto de vista matemático

2) Estabilidade – os números calculados durantes a execução do programa ficam de ordem

1 , se a dimensionalização for correta

Para a convecção natural o número de Rayleigh é o adimensional apropriado.

3a

g THRv

(8. 123)

Onde g é a gravidade, é o coeficiente de expansão volumétrica, H CT T T é a

diferença de tempeatura e /k c é a difusividade térmica, v é a viscosidade, H é a altura.

Para a convecão forçada temos:

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278

uUU

(8. 124)

Para a convecção natural temos:

1escala

uUU

(8. 125)

e

1/ 2~ aR

H

(8. 126)

onde é a escala de velocidades

1/ 2a

uHU R

(8. 127)

É o adimensional da velocidade u e

1/ 2a

HV R

(8. 128)

É o adimensional da velocidade e

xXH

(8. 129)

e

yYH

(8. 130)

e para a convecção forçada

212escalaP U (8. 131)

E para a convecção natural

2

1/ 2a

HPR

(8. 132)

E

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279

; 0 1C

H C

T TT T

(8. 133)

Substituindo nas equações originais tem-se:

i) Conservação da Massa

0U VX Y

(8. 134)

No FEAP usa-se o comando “stat” para Ra → baixo e para Ra alto.

ii) Conservação do Momento

1/ 2 2 2

2 2

1/ 2 2 21/ 2

2 2

:

:

a

r

aa

r

R U U P U Ux U VP X Y X X Y

R V V P V Vy U V RP X Y Y X Y

(8. 135)

rP é o número de Prandtl = /v

iii) Conservação da Energia

2 21/ 2

2 2aR U VX Y X Y

(8. 136)

Número de Nusselt:

CNu u

convpura

QhHN Nk Q

(8. 137)

e CNQ é o calor de convecção natural. Usando-se o Método Integral Analítico.

1/ 40,364 /H C aQ T T R W m (8. 138)

E a Lei de Fourier fica:

/H CT TQ kH W m

L

(8. 139)

Mas A Hw logo

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280

1/ 40,364u aLN RH

(8. 140)

Figura - 8. 6.

Quando o número de Rayleigh é:

9 10

910 10 Turbulento

10 LaminaraR

(8. 141)

Para / 1L H e 310 2,0469a uR N .

Solução Numérica

, 0U V (8. 142)

Nas paredes (condição de não-deslizamento)

Figura - 8. 7.

iii) Equação do Momento

2u u u P u g T Tt

(8. 143)

Se 0T T logo

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281

2pC u T k T (8. 144)

Correspondência entre:

Equações Governantes Adimensionais → Equações do FEAP

Exemplo:

Para 410 ; 0,71( )a rR P ar ,1/ 2

1 ; 140,84507a

r

RP

; 0,71rP ;

0xg e 1yg ; 0,71PC ; 1,0k , Parâmetro de “upwind” 0P Penalidade 610

Figura - 8. 8.

1

00u

xN dy

x

(8. 145)

e

2,165uN (8. 146)

Com malha (30 x 30) → 900 nós

Convecção Forçada

; ;u v uU U UU V U

(8. 147)

e

H

T TT T

(8. 148)

e

eU LR

v (8. 149)

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282

e

rvP

(8. 150)

e

2pP

U (8. 151)

e

e e rU Lv U LP R P

v (8. 152)

e

2 2

2 2

2 2

2 2

1:

1:

xe

ye

U V U UM PX Y R X Y

U V U UM PX Y R X Y

(8. 153)

e

2 2

2 21:ue

T T T TE U VX Y P X Y

(8. 154)

Figura - 8. 9.

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283

Velocidade nula em todas as paredes 0 vu

Formulação Adimensional para Convecção Natural

i) Conservação da Massa

0U VX Y

(8. 155)

ii) Conservação do Momento

2 2

2 2

2 21/ 2

2 2

:

:

a

r

aa

r

R U U P U Ux U VP X Y X X YR V V P V Vy U V RP X Y Y X Y

(8. 156)

iii) Conservação da Energia

2 21/ 2

2 2aR U VX Y X Y

(8. 157)

e

2

1/ 2,

, ;a

x y pHX Y PH R

(8. 158)

e

3; H CC

aH C

g T T HT T RT T v

(8. 159)

e

1/ 2,, ; escala

escala

u v RU V vv H

(8. 160)

e

p

kC

(8. 161)

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284

Formulação Adimensional para Convecção Forçada

Considere a

Figura - 8. 10.

2

,, ;

x y pX Y PH U

(8. 162)

e

24 12

LP f UA

(8. 163)

e

,, ; e e

u v U D U LU V R ou RU v v

(8. 164)

e

52300 10e eR R (Turbulento) (8. 165)

2 2

2 21u v P u uu v v

x y x x y

(8. 166)

onde

2; ;u UU v VV p P U (8. 167)

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285

;x XD y YD (8. 168)

logo

2

2 2

2 2

:P UUU UU

x UU VUXD YD X

UU UUv

XD YD

(8. 169)

e

2 2 2 2 2

2 2 2: U U U UU U P U Ux U V vD X D Y D X D X Y

(8. 170)

Multiplicando tudo por 2D

U temos:

2 2

2 2: U U P v U Ux U VX Y X U D X Y

(8. 171)

Portanto,

2 2

2 21:eD

U U P U Ux U VX Y X R X Y

(8. 172)

e

: eD eD rU D U D vx P R P

v

(8. 173)

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286

Problema Proposto – Interação Sólido-Fluido

Figura - 8. 11.

Ty k

kTy

(8. 174)

Considerando o fluxo de calor igual na interface entre o sólido e o fluido temos:

s fS f

T Tk ky y

(8. 175)

Separo em dois dominios

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287

8. 9 – Formulação de Transferência de Calor Fluido/Sólido

1 – Alternativa

Fluido: Ar

f pf fC u T k T

(8. 176)

e

1/ 22f

aHu U RH

(8. 177)

e

1/ 22 2

1ff pf aH fC U R k

H H

(8. 178)

e

1/ 22

1 faH

fR U

H

(8. 179)

Sólido:

s ps sC u T k T

(8. 180)

e

1/ 22f

aHu U RH

(8. 181)

e

1/ 22 2

1fs ps aH sC U R k

H H

(8. 182)

e

1/ 2 1aH s

f s sR U k

C

(8. 183)

e

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288

1/ 22

1 sa

fR U

H

(8. 184)

e

2 0 (8. 185)

2 – Alternativa

Na realidade, o FEAP resolve ,X X Y

1/ 22

1a

f

xR U

H

(8. 186)

onde o domínio considerado

1( ) fAr

Material Xfluido

(8. 187)

e

2 0( ) sAr

Material X e Usólido

(8. 188)

OBS: Na formulação, assume-se , ,f pf sC e psC , independente de X

.

Formulação mais Geral

, ,f pf sC e psC ,podem depender de X

.

1)Fluido

1/ 2 faH

f

kR U

k

(8. 189)

2) Sólido

1/ 2

s ss

pss saH

f pf f

kC

C kR UC k

(8. 190)

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289

Equação Geral com Convecção Natural

1/ 2aX c X R U K X

(8. 191)

Onde:

Material 1 – fluido

1X c X K X

(8. 192)

Material 2 – sólido

;sX c X c

(8. 193)

E

; 0sK X k U

(8. 194)

1/ 22

1aX c X R U K X

H

(8. 195)

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290

8. 10 – Solução Numérica da Equação de Navier-Stokes + Energia II

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291

8. 11 – Fluidos Não-Newtonianos Inelásticos

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292

8. 12 – Fluidos Não-Newtonianos Viscoelásticos

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293

8. 13 – Exemplos e Aplicações

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294

8. 14 – Exercícios e Problemas

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295

Capítulo – IX

SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES

NÃO-LINEARES

RESUMO

Neste capítulo será visto

9. 1 – Introdução

Os modelos lineares por muito tempo têm ocupado o cenário principal das

ciências exatas. Contudo, sabe-se que na natureza nem tudo é linear. Mesmo assim esses

modelos têm sido utilizados como uma forma de aproximar a solução de problemas mais

complexos, como os problemas não-lineares. Nessas aproximações utiliza-se técnicas de

linearização por meio de métodos de aproximação como o método de Newton-Raphson e

outros. Esta alternativa possibilita a utilização de toda informação acumulada com a solução

de problemas lineares na solução dos não-lineares.

Por outro lado, algumas teorias genuinamente não-lineares também surgiram ao

longo dos anos, tais como: A Teoria Fractal, a Teoria do Caos e dos Sistemas Dinâmicos.

Todas elas procuram resolver vários problemas abertos na ciência, como problemas de

flambagem, fratura, plasticidade, instabilidade, etc. Neste capítulo, veremos alguns dos

métodos aproximação de solução de problemas não-lineares mais utilizados.

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296

Vamos neste capítulo descrever uma forma geral para resolver problemas não-

lineares que é útil para qualquer teoria física.

Considere o seguinte problema não-linear a ser resolvido:

0ext intF F

(9. 1)

sendo

intF N d F N d

(9. 2)

Logo o problema pode ser escrito como:

0extF N d

(9. 3)

ou

extF N d

(9. 4)

Muitos problemas em Física e em Engenharia podem ser colocados na forma

acima. Isto possibilita resolver tais problemas utilizando os métodos de aproximação que

veremos a seguir.

9. 2 – O Método do Ponto Fixo

Este método é o mais popular sendo disponível em vários softwares comerciais.

Chamemos de R U

a grandeza física:

extR U F N d

(9. 5)

Vemos que:

0R U

(9. 6)

Somando U

dos dois lados temos:

U G U U R U

(9. 7)

Definimos uma fórmula de iteração onde:

1n n n nU G U U R U

(9. 8)

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297

O requisito para a covergência desse método é que G

possui Mapeamento Contrativo e 0U

tem que ser próximo da solução.

Define-se um mapeamento contrativo como sendo dado por:

, ,x y F x F y (9. 9)

Conforme mostra a Figura - 9. 1.

Figura - 9. 1. Mapeamento Contrativo dado por uma função F.

Um melhoramento da equação de iteração pode ser escrito como:

1 0n n n n n n

matriznão singular

U G U U A U R U

(9. 10)

Considera-se o vetor correção nD U

dao por:

n n n

vetor correção

D U A U R U

(9. 11)

e

0n n nD U A U R U

(9. 12)

Só se

0nR U

(9. 13)

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298

9. 3 – O Método de Piccard de Susbtituição Sucessiva

Neste método considera-se

K U U F

(9. 14)

O que sugere uma fórmula de iteração onde:

1n n nK U U F U

(9. 15)

daí propõem-se que:

*n nK U U F U

(9. 16)

E calcula-se:

1 *1 ; 0 1n nU U U

(9. 17)

Uma variante deste método é o Método da Super-Relaxação Sucessiva (SOR-Sucessive Over

Relaxation), onde é o parâmetro escalar que visa amenizar problemas de comportamento

de convergência oscilatória. A condição de convergência é sempre verificar o resíduo e ver se

ele tende a zero.

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299

9. 4 – O Método de Newton

Neste método considera-se:

0R U K U U F U

(9. 18)

fazendo-se a seguinte expressão em série temos:

20 ...n

n

U

RR U U UU

(9. 19)

onde

1n nU U U

(9. 20)

logo

1 1n

n n n n n n

U

RR U U U J U U UU

(9. 21)

Onde nU

RJU

daí,

1 1n n n nU U J U R U

(9. 22)

Ou

1 1n n n nU U J U R U

(9. 23)

Também pode-se usar um escalar para se reduzir as oscilações da convergência.

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300

9. 5 – Métodos de Newton Modificados ou (Quase-Newton)

Uma das modificações que se pode fazer do Método de Newton e que reduz o

custo computacional é calcular numericamente o Jacobiano J por diferenças finitas. Outras

variações também são sugeridas.

Vamos agora fazer um detalhamento das sugestões de modificação dos itens

anteriores do Método de Newton.

Caso Linear ou “Line Search” (Busca Linear)

Neste caso o algoritmo é construído da seguinte forma:

( ) ( )i iK d F Kd R

(9. 24)

troca-se a atualização por:

( 1) ( ) ( )i i id d S d

(9. 25)

onde ( )iS é um parâmetro de busca e d

frequentemente chamado de direção de busca.

Neste Método, define-se ( )iS de duas maneiras.

1) Seleciona-se ( )iS tal que a energia potencial seja minimizada.

Chama-se de Energia Potencial a expressão:

12

T TP d d Kd d F

(9. 26)

Onde

( ) ( ) ( )i i iP S P d S d

(9. 27)

fazendo a derivada de P em relação a S temos:

( ) ( )0 i idP d K S d d FdS

(9. 28)

Resolve-se o problema para ( )iS , obtendo:

( )( )

T ii

T

d F KdS

d K d

(9. 29)

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301

Mas 0Td K d

se K

for uma matriz positivamente definida.

Note que:

( )iR K d

(9. 30)

Logo

( )T

iT

d K dSd K d

(9. 31)

,K K

são positivamente definidas e

( )0 0id S

(9. 32)

Positivo!

2) Acha-se ( )iS tal que:

( 1) ( )i iR F Kd

(9. 33)

Tenha componente zero na direção d . Logo

( 1). 0id R

(9. 34)

ou seja:

( ) ( )0 i id F K d S d (9. 35)

Isolando-se ( )iS obtém-se a mesma resposta do item anterior (i), ou seja:

( )( )

T ii

T

d F KdS

d K d

(9. 36)

Verifica-se a convergência por:

( )iR

ou ( 1) ( ) ( ).i i i

norma da energia

d d R

(9. 37)

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302

Extensão para o Regime Não-Linear

De forma análoga define-se

int ( )ext iK d F F d

(9. 38)

troca-se a atualização por:

( 1) ( ) ( )i i id d S d

(9. 39)

- O caso (1) não faz sentido, pois desaparece o sentido da Energia Potencial, ou seja, ele pode

não existir.

- Neste caso usa-se a definição tratando diretamente o resíduo.

( ) int ( ) ( )0 i ext i iG S d F F d S d (9. 40)

Observações

1) Dá o valor escalar para ( )iS resolvendo uma equação não-linear para ( )iS

2) É muito caro computacionalmente e às vezes impossível. Isto porque gerou uma iteração

não-linear para se resolver exatamente. Logo, precisa-se de um procedimento usual.

Procedimento Usual

Itera-se até que:

( ) 0iG S S tol G (9. 41)

O valor comum para S tol é aproximadamente (~ 0.5).

O Método de Newton-Raphson normal acessa a convergência usando a norma da

energia.

20

( ) (0) (0)

10

. id R F tol d R

(9. 42)

Colocando a busca linear (“Line Search”) temos:

( ) ( )i iK d d R

(9. 43)

troca-se a atualização por:

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303

( 1) ( ) ( )i i id d S d

(9. 44)

Onde ( )iS é calculado de tal forma que:

( ) 0iG S S tol G (9. 45)

Note que:

( )0 . iG d R d

(9. 46)

e

( ) ( 1) ( ) ( 1).i i i iG S d d R d

(9. 47)

A equação (9. 45) de certa forma assegura o decréscimo contínuo da norma da energia.

Na prática, como se encontra ( ) e resolve-se (9. 45) e itera-se até que:

( ) 0iG S S tol G (9. 48)

Figura - 9. 2.

Cada iteração é computacionalmente cara porque exige a avaliação de G S

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304

( )0 . iG d R d

(9. 49)

e

( ) ( 1).i iG S d R d

(9. 50)

1 int ( ) ( )i ext i iR d F F d S d

(9. 51)

Implicações

1) S Tol não deve ser muito pequeno 0.5

2) Não necessitamos fazer sempre a busca linear quando mesmo sinal

0 . 1 0G G

Sistema de Resposta Suave

Um sistema de resposta suave apresenta um comportamento conforme mostrado

no gráfico da Figura - 9. 3.

Figura - 9. 3. Sistema de Resposta suave

Aqui tem-se:

int0

0 0extS

G d F F

(9. 52)

e

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305

int1

1 0extS

G d F F

(9. 53)

1S e acaba.

Stiffening Systems

Um sistema de resposta stiffening apresenta um comportamento conforme

mostrado no gráfico da Figura - 9. 4.

Figura - 9. 4. Stiffening System

int0

0 0extS

d F F G

(9. 54)

e

int1

1 0extS

d F F G

(9. 55)

“Overshoot da Solução”

Referência

- Matthies & Strang , Int. Journ. Num. Method and Engineering, p. 1613-1626, 1979.

Nesta referência encontram-se informações em “Line Search”; Quase-Newton

(BFGS)

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306

Método de Newton-Raphson

Figura - 9. 5. Método de Newton-Raphson

Método de Newton-Raphson Modificado

Figura - 9. 6. Método Quase-Newton ou de Newton-Raphson Modificado

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307

i) Reutilização do Jacobiano

ii) Método de BFGS

iii) Método Broyden

iv) Método para calcular /R d numericamente.

Figura - 9. 7. Método de Continuação

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308

9. 6 – Métodos de Continuação

A análise paramétrica computacional ou o “Método da Continuação” faz parte da

classe dos métodos de predição-correção.

Neste método segue-se a equação genérica

, 0f y (9. 56)

onde y

é o vetor de incógnitas dado por:

1 2, ,..., ny y y y

(9. 57)

e f

é o vetor das incógnitas

1 , ,..., ,nf f y f y

(9. 58)

e é um parâmetro escalar.

Logo (9. 56) forma um sistema de equações.

Figura - 9. 8. Método de Continuação

No Método da Continuação se o parâmetro variar livremente, os pontos

solução formam curvas no espaço 1 2, ,y y

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309

Figura - 9. 9. Método de

Homotopia

Seja a seguinte equação não-linear dada por:

0g y

(9. 59)

cuja convergência é ascessada pela norma de convergência

ng y

(9. 60)

Quando é difícil estimar 0y

admite-se um problema análogo dado por:

0g y

(9. 61)

e de fácil solução. Com isso forma-se uma cadeia de equações resolvidas uma de cada vez.

A 1ª equação é:

0g (9. 62)

e

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310

0

1

1

0

0

:

0

0

k

k

f y g y

f y

f y

f y g y

(9. 63)

Exemplo:

Método da Carga Incremental da Mecânica dos Sólidos dada por:

; 0; ; PrescritoK d d F t t T F T F (9. 64)

A versão contínua desta seqüência discreta de funções é:

, 0 1f y

(9. 65)

e

,0 ; ,1f y g y f y g y

(9. 66)

Um meio sistemático de homotopia é:

, 1f y g y g y

(9. 67)

A escolha simples é:

g y y c

(9. 68)

onde c

é um vetor qualquer arbitrário (nulo ou o convergido da iteração anterior).

De (9. 65), (9. 66) e (9. 67) constroi-se artificialmente a equação (9. 56)

Bifurcações e Ramos

Seja ny y para qualquer índice k na faixa de 1 k n , então constrói-se o

diagrama de ramos (ou bifurcações) a seguir:

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311

Figura - 9. 10.

Observe a multiplicidades de soluções para diferentes faixas de

Figura - 9. 11. Multiplicidades de soluções para diferentes faixas de

Observe no gráfico da Figura - 9. 10 as inflexões em 1 e 2 e no ponto

3 dois ramos se interceptam em uma solução (ponto de bifurcação) que corresponde a

uma perda de estabilidade das soluções, ou também chamada de quebra de simetria, que são

rotas para o caos.

Para resolver este tipo de problema usa-se a estratégia do comprimento de arco.

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312

Estratégia de Comprimeno de Arco

Considere o problema

extN d F

(9. 69)

Figura - 9. 12.

O comprimento de arco permite uma combinação de controle de carga e

deslocamento.

Referências

- Crisfield, Comp. & Structures, 13, p. 55-62, (1981).

- , Int. Journ. Num. Method and Engineering, 19, p. 1269-1289, (1983).

- Schweizerhof & Wiggers, Comp. Meth. In: Appl. Mech. & Eng., 59, p. 261-279, (1986).

Vamos analisar pequenas regiões onde o problema começa a acontecer.

Considere a seguinte equação:

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313

int ext

incógnitas incógnitasoriginais novas

F d t t F

(9. 70)

e

,f d a valor dado (9. 71)

onde :a é o parâmetro de comprimento de arco que é prescrito para todo t.

t : é o parâmetro de caregamento, a é o comprimento de arco, f é a função de comprimento

de arco.

Aplica-se a discretização no “tempo” fazendo:

int1 1

extn nF d F

(9. 72)

e

1 1.

, ,n n n ncompde arcoprescrito

f d f d d a (9. 73)

Onde temos 1eqn equações para 1eqn incógnitas.

Pense em f como uma norma de ,d , logo uma possível forma para f é:

1/ 22, : Tf d f c d K d b

(9. 74)

Onde 0;1b prescrito.

Então

11 extT

bc e q K Fq Kq

(9. 75)

Onde K

: é uma matriz de rigidez “apropriada”

Vejamos o exemplo:

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314

0

01

d

n

K

K

(9. 76)

Pode ser diagonalizada para simplificar.

Escolhas de (b)

1. Continuidade do Deslocamento 0b

Figura - 9. 13. Controle de Deslocamento

Sendo:

1

, :

n

T

T

d

d K df d aq Kq

(9. 77)

que é aproximadamente d

2. Controle do Carregamento 1b

Figura - 9. 14. Controle de Carregamento

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315

3. Controle de .... 12

b

Figura - 9. 15.

Linearização do Sistema com Newton-Raphson

Vamos agora linearizar o sistema pelo Método de Newton-Raphson. Dentro de

um passo 1;n nt t itereramos em i , fazendo:

11

int1 1

in

i ii i extn nF d d F

(9. 78)

e

1 1

1 1,i i

i ii in nn n

d

f d d d a

(9. 79)

Onde

111 1;i i ii i

nn in nd d d d d d

(9. 80)

Faz-se a mesma coisa para , obtendo:

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316

1

intint

1 1 1

in

i i ii i extn n n

K d

FF d d d Fd

(9. 81)

e

1 11 1

,i i

i i i in n

n n

f ff d d ad

(9. 82)

Na forma matricial temos:

11 1

1 1 1

i extn i i iext int

i i n ni

in n escalar n

vetor escalar

K Fd F F d

f fd a f

(9. 83)

Problema

Agora temos um problema que é resolver :

0f

(9. 84)

Este pode ser resolvido por eliminação de Gauss.

Estratégia

Em seguida usa-se a seguinte estratégia. Elimina-se id

e resolve-se para

i . Depois usa-se as equações para obter id

(isto é chamado de condensação estática),

logo temos:

1/ 22

1 22

T

f

T

f c d K d bd d

c d Kf

(9. 85)

Portanto,

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317

Tf c d K

d f

(9. 86)

Obedecendo as seguintes hipóteses:

0simétricaconstante d

K éK

K é

(9. 87)

Logo

f b

f

(9. 88)

A partir de agora resolve-se a 1ª equação para id

fazendo:

1

i i iextnK d F R

(9. 89)

e

1i i iextd K R F (9. 90)

Substitui-se na 2ª equação, da seguinte forma:

1

1ii i i iext

nf fK R F a fd

(9. 91)

Obtendo:

1

11

1

1 1

ii i i

ni n

i ii ext

n n

fa f K Rd

f fK Fd

(9. 92)

e

1

1ii i iext

nd K R F

(9. 93)

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318

Algoritmo Geral

Vamos agora descrever um algoritmo geral dentro de um passo 1;n nt t

1 - Inicializar:

01

001

0 ;i

nn

nn

d d di

(9. 94)

2 - Calcula-se as atualizações

......

......

i

id

(9. 95)

3 – Faz-se as atualizações

11 1

11 1

1

1

i i in n

i i

i i in n

i i i

d d d

d d d

i i

(9. 96)

4 - Retorna ao passo 2.

1) Problema:

Mas quando parar ?

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319

Figura - 9. 16.

2) Problema:

Inicialização

Como estimar 0 0,d

?

- Fisicamente considere o equilíbrio.

0 0 0int1 1 1

extn n nR F F d

(9. 97)

e

0 0 int1

0n

extn nn

R

R F F d

(9. 98)

Como

int 0extn n nR F F d

(9. 99)

Temos:

0 01

extnR F

(9. 100)

Portanto,

001nK d R

(9. 101)

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320

onde K

é o mesmo usado em f. Logo

00 01 11

extn

são conhecidos

d K R K F

(9. 102)

Depois usa-se a restrição de comprimento de arco para completar o problema, ou

seja:

0 1

0 0,ext prescritoK F

f d a

(9. 103)

Logo

1/ 20

0

1 b b a

a

(9. 104)

3) Problema:

- Qual é o sinal de a ?

- Resposta: Parece funcionar melhor com 0 a

Critérios de Convergência

i) Define-se:

2 1TR R K R

(9. 105)

e

0iR tol R

(9. 106)

ii)

i id tol d

(9. 107)

Onde

T K

(9. 108)

iii)

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321

if a tol a (9. 109)

Analisem e digam qual é o melhor.

9. 7 – Exemplos e Aplicações

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322

9. 8 – Exercícios e Problemas

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323

U N I V E R S I D A D E F E D E R A L D O P A R A N Á Departamento de Engenharia Mecânica

Área de Concentração: Energia e Ciências Térmicas Setor de Tecnologia

TM-779 – Transferência de Calor Computacional PROVA PARA FAZER EM CASA ENTREGA: 14 Nov 2007 – 4ª feira

PROFESSOR: José Viriato Coelho Vargas (DEMEC/UFPR)

1. Considere o seguinte sistema de equações não lineares, de 2 equações e 2 incógnitas:

extN d t F

(9. 110)

onde d é o vetor de incógnitas, solução do problema (parametrizado por t), e extF

é prescrito

por:

4015

ext tF

t

(9. 111)

N

, uma função vetorial não linear de d

, é dada por

2 3

1 2 22 3

2 1 1

10 5 0.4

10 3 +0.4

d d dN d t

d d d

(9. 112)

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324

Escreva códigos com os métodos de Newton-Raphson (N-R) e N-R modificado

para resolver este problema usando o procedimento de carga incremental. Para o N-R

modificado:

i) Compute e fatore K somente no começo de cada incremento, e

ii) Calcule o jacobiano numericamente. Tente resolver este sistema para [0;2]t .

Aborde os seguintes tópicos:

i) Em que ponto da solução esses esquemas enfrentam problemas, e porque?

ii) Use os 3 métodos com incrementos de tempo dt = 0.01 e dt = 0.05. Use a

norma da energia discutida em aula como critério de convergência, com uma tolerância estrita

tal que:

20

0 0. 10.

i id R

d R

(9. 113)

Obtenha dados comparando o número de iterações requeridas (total, média por

passo de tempo, etc.) para cada método em toda a faixa de variação de t para a qual houve

convergência.

Comente sobre o que você obteve.

iii) Incorpore um algoritmo “line search” nos 3 métodos (use STOL = 0.5).

Descreva o efeito de “line search” nos resultados de convergência do item (ii).

2. Aplique um procedimento de comprimento de arco ao problema acima, usando o método

de linearização consistente discutido em Schweizerhof & Wriggers (1986) e em aula. Em

outras palavras, resolva o seguinte sistema para ( )d t

e ( )t .

4015

N d t t

(9. 114)

O sistema do item 1 é obtido bastando apenas fazer ( )t t . Resolva para ( ) : ; 0;2t t t .

Implemente usando a iteração de N-R em cada incremento de comprimento de arco da . Use a

seguinte definição para ,f d

:

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325

1/ 220

0

10

, ,

1

40;

15

Td

Td

d

f d c d K d b

bc

q K q

q K F F

(9. 115)

Apresente gráficos das forças versus deslocamentos, bem como de deslocamentos

versus “tempo” ao longo de toda a faixa requerida de variação de t. Como o algoritmo se

comporta para vários a , e qual é o maior da para o qual é convergente? Teste o seu código

de comprimento de arco pelo menos para os casos onde b = 0, e b = 0.5.

Obs:

1. Apresente um relatório do seu trabalho (título, resumo, introdução, teoria,

resultados e discussão, e conclusões), com todos os programas computacionais escritos no

apêndice, e

2. Recomenda-se fortemente utilizar aritmética de dupla precisão em seus

cálculos.

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326

2ª Prova

TRANSFERÊNCIA DE CALOR COMPUTACIONAL

Solução Por Newton-Raphson

Seja a relação

0extF N d t

(9. 116)

onde d é o vetor de incógnitas, solução do problema (parametrizado por t),

1

2

d td t

d t

(9. 117)

e extF

é prescrito por:

1

2

4015

ext F tF

F t

(9. 118)

e N

é uma função vetorial não linear de d

, é dada por

2 3

1 2 212 32 2 1 1

10 5 0.4

10 3 +0.4

d d dNN d t

N d d d

(9. 119)

Chamando de resíduo a função:

ext intR F F

(9. 120)

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327

ou

extR F N d t

(9. 121)

Substituindo ( ) e ( ) em ( ) temos:

1 1 1

2 22

ext

extR F N

RR NF

(9. 122)

Ou

1 1 1

2 2 2

ext

extR F N

RR F N

(9. 123)

Substituindo ( ) e ( ) em ( ) obtemos:

2 31 1 2 2

2 32 2 1 1

40 10 5 0.4

15 10 3 +0.4

R t d d dR

R t d d d

(9. 124)

Por Newton-Raphson temos:

1 ...

ii i RR R d

d

(9. 125)

Supondo que estamos muito próximos da solução de tal maneira que:

1 0iR

(9. 126)

Temos:

0 ...

ii RR d

d

(9. 127)

Logo

1

/

i ii

iR Rd R

dR d

(9. 128)

onde

1i id d d

(9. 129)

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328

Substituindo ( ) e ( ) em ( ) temos:

11

/

i ii i i i

iR Rd d d R

dR d

(9. 130)

Como iR

é uma função vetorial temos que:

111 1

12 2

2

/

/

i

ii i

i i i

i

R

R dd d

d d R

R d

(9. 131)

Onde a matriz 1iRd

é dada por:

1 12

1 2 2 222 2 1 1

1 2

10 10 1, 2

6 1, 2 10

iii

R Rd d d dRR Rd d dd d

(9. 132)

Calculando a matriz inversa de ( ) temos:

1 1det

TK cofKK

(9. 133)

Onde

1 1 1 2 21 1

2 1 2 222 2

1 10 1 6 1, 2

1 10 1, 2 1 10

id d

cofKd d

(9. 134)

logo

21 1

22 2

10 6 1,2

10 1, 2 10

id d

cofKd d

(9. 135)

E

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329

2

2 22

1 1

10 10 1, 2

6 1, 2 10

iT d d

cofKd d

(9. 136)

E

2 22 2 1 1det 10 10 10 1,2 6 1, 2K d d d d (9. 137)

Ou

2 22 2 1 1det 100 10 1, 2 6 1,2K d d d d (9. 138)

Poratanto,

11 1det

Ti i i i id d K R d cofK RK

(9. 139)

Ou seja:

1

11 1 1 1 11 2 22 2 2

1det

i i iT

i i i

d d R d RK cofK

R RKd d d

(9. 140)

1 2 2 3

1 1 2 2 1 2 22 2 2 2 31

2 2 1 1 1 1 2 1 12 2

10 10 1,2 40 10 5 0.41

100 10 1, 2 6 1, 2 6 1,2 10 15 10 3 +0.4

ii i

i i

d d d d t d d d

d d d d d d t d d dd d

(9. 141)

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330

ii) Use os 3 métodos com incrementos de tempo dt = 0.01 e dt = 0.05. Use a

norma da energia discutida em aula como critério de convergência, com uma tolerância estrita

tal que:

20

0 0. 10.

i id R

d R

(9. 142)

Método de Newton-Raphson

0102030405060708090

0 1 2 3 4

d2(t)

N1,

N2

N1N2

Figura - 9. 17.

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331

Solução Por Newton-Raphson Modificado com Jacobiano calculado Numericamente

i) Compute e fatore K somente no começo de cada incremento, e

ii) Calcule o jacobiano numericamente. Tente resolver este sistema para [0;2]t .

Aborde os seguintes tópicos:

i) Em que ponto da solução esses esquemas enfrentam problemas, e porque?

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332

Solução Por Newton-Raphson com Line-Search

iii) Incorpore um algoritmo “line search” nos 3 métodos (use STOL = 0.5).

Descreva o efeito de “line search” nos resultados de convergência do item (ii).

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333

Solução Por Newton-Raphson com estratégia de Comprimento de Arco

4015

N d t t

(9. 143)

O sistema do item 1 é obtido bastando apenas fazer ( )t t . Resolva para ( ) : ; 0;2t t t .

Implemente usando a iteração de N-R em cada incremento de comprimento de arco da . Use a

seguinte definição para ,f d

:

1/ 220

0

10

, ,

1

40;

15

Td

Td

d

f d c d K d b

bc

q K q

q K F F

(9. 144)

Apresente gráficos das forças versus deslocamentos, bem como de deslocamentos

versus “tempo” ao longo de toda a faixa requerida de variação de t. Como o algoritmo se

comporta para vários a , e qual é o maior da para o qual é convergente? Teste o seu código

de comprimento de arco pelo menos para os casos onde b = 0, e b = 0.5.

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334

Capítulo – X

ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL

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335

6.4.4 – Aplicação Prática utilizando o Método de Galerkin

Dada a seguinte equação diferencial

0)()(2

2

xudx

xud (6. 2)

Definida em [xA ; xB] e com condições de contorno essenciais u(x = xA) = uA e u(x = xB) = uB.

Sendo

02

2

udx

ud (6. 3)

e

0 gdxud

(6. 4)

A sentença de resíduos ponderados é dada por:

0

dwdw ll (6. 5)

Ou

0)()(2

2

dgdxduwdbxu

dxxudw ll (6. 6)

Discretizando a solução u(x) a partir de

1

1

M

mmm Nuuu em , (6. 7)

ou (6. 6) temos:

00)()(2

2

1

dgdx

dNwdxNdx

xNdwu mlm

ml

M

mm (6. 8)

Subdividindo o domínio em e subintervalos temos:

0)()()(1

2

2

1

1

1

b

em

B

b

ele

em

em

E

e

el

M

mm dg

dxxdNwdxN

dxxNdwu

be

(6. 9)

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336

Escolhendo por Galerkin

el

el

el Nww (6. 10)

Temos:

)()(

)(

12

2

1

1

1

b

em

B

b

ele

em

em

E

e

el

M

mm dg

dxxdN

NdxNdx

xNdNu

be

(6. 11)

Observe que na sentença básica de resíduos ponderados aparecem derivadas de

ordem dois, consequentemente, é necessário que as funções de aproximação possuam

derivadas de ordem um contínuas. Neste caso, precisaríamos de elementos finitos quadráticos

para as funções de interpolação. Contudo, para contornar essa situação utilizando elementos

finitos lineares, podemos resolver a equação diferencial a partir da forma fraca dos resíduos

ponderados.

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337

6.4.5 - Formulação Fraca dos Resíduos Ponderados

A sentença de resíduos ponderados é dada por:

0

dwl (6. 12)

Onde

0)(1

02

2

dxxu

dxudwl (6. 13)

Logo, a forma fraca da sentença de resíduos ponderados pode ser escrita como:

0

B

A

B

A

xx

xxl

x

xl

l

dxudwdxwu

dxdw

dxud (6. 14)

Um conjunto de (M + 1) pontos nodais é escolhido no intervalo (domínio) [0 ; 1]

que constitui o domínio do problema, e uma aproximação do tipo:

1

1

M

mmm Nuuu (6. 15)

é adotada, onde um é o valor da aproximação no nó m (Nm = 1 em m). Assim, as condições de

contorno essenciais são atendidas diretamente, especificando-se os valores nodais apropriados

e = 0.

Na prática, os valores conhecidos só serão introduzidos na etapa de resolução do

sistema de equações e, dessa maneira, todos os valores, u1, u2, ...., uM+1 são considerados

incógnitas do problema.

Figura - 6. 1. Intervalo de aplicação do Método de Galerkin

Adotando-se o Método de Galerkin, wl = Nl, 1,1 Mml e a equação (6.

14) é reescrita como:

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338

01

1

1

1

B

A

B

A

xx

xxl

x

xm

M

mml

mM

mm

l

dxudNdxNuN

dxdNu

dxdN (6. 16)

Como a integral e o somatório são operadores lineares temos:

01

1

B

A

B

A

xx

xxlm

M

m

x

xml

ml

dxudNudxNN

dxdN

dxdN (6. 17)

Matricialmente

~~~fuK (6. 18)

Onde os elementos da matriz ~K são dadas por:

)1,1(

MmldxNN

dxdN

dxdNK

B

A

x

xml

mllm (6. 19)

E os elementos do vetor ~f são:

)11(

MldxudNf

B

A

xx

xxll (6. 20)

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339

6.4.7 – As Matrizes Locais Ke e o Vetor Local f

Note-se que, das equações (6. 16) a (6. 18) pode-se obter:

E

e

emllm KK

1, (6. 21)

onde

)1,1(

MjidxNN

dxdN

dxdNK

j

i

x

x

ej

ei

ej

eie

ij (6. 22)

Observando que:

jimlseK eml ,,0, (6. 23)

Ou de forma geral a partir de (6. 314),(6. 315) e (6. 317), (6. 318) temos:

dxhhdx

dh

Kj

i

x

xe

ei

e

ei

ei

eeij

112

(6. 24)

Onde

eei

ej

eei

ei hxxxhxx 0;; (6. 25)

Logo usando (6. 25) em(6. 24) temos:

dxh

xxh

xxdxdx

hK

j

i

x

xe

ei

e

ei

ei

e

eij

)()(1112

2 . (6. 26)

E

dxh

xxdxdx

hK

j

i

x

xe

ei

ei

eeii

22

2)(111 . (6. 27)

E

dxh

xxdxdx

hK

j

i

x

xe

ei

ei

e

ejj

22

2)(11 . (6. 28)

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340

Observe que para um único elemento finito, temos:

eij

eei

ei hxxxhxxxx 0;;0 (6. 29)

Logo, a partir de (6. 314),(6. 315) e (6. 317), (6. 318) os elementos fora da diagonal são dados

por:

dxhx

hx

hx

dxd

hx

dxdKK

eh

eeeeeji

eij

0

11 (6. 30)

Ou

dxhx

hx

hdx

hx

hx

hx

dxd

hx

dxdKK

ee h

eee

h

eeeeeji

eij

02

2

20 )()(

111

(6. 31)

Então

61

32

32

2

32

2

2

32

2

e

eeij

e

e

e

e

e

eeij

h

oeee

eij

hh

K

h

hh

h

h

hK

h

xhx

h

xK

e

(6. 32)

Os elementos da diagonal da matriz são dados por:

0110

22

dx

hx

hx

dxdK

eh

eeeii (6. 33)

ou

dxhx

hx

hdx

hx

hx

dxdK

ee h

eee

h

eeeii

02

22

0

22

)(21111

(6. 34)

logo

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341

31

31

32211

2

32

2

2

322

e

eeii

e

e

e

e

e

eeii

h

oeee

eii

hh

K

h

hhh

h

hK

h

xhxx

hK

e

(6. 35)

E

00

22

dx

hx

hx

dxdK

eh

eeejj (6. 36)

ou

dxhx

hdx

hx

hx

dxdK

ee h

ee

h

eeejj

0

22

0

22 1 (6. 37)

logo

31

3

3

1

2

3

2

02

32

e

eejj

e

e

e

eejj

h

eeejj

hh

K

h

h

h

hK

h

xxh

K

e

(6. 38)

E

j

i

xx

xxll

e

dxudNf

(6. 39)

Matricialmente os elementos da matriz ~K são dadas por:

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342

)1,1(~~~~

MjidxNNNNK

j

i

x

x

Tx

Tx

eij (6. 40)

E os elementos do vetor ~f :

j

i

xx

xx

exl

el UNNf

~~

(6. 41)

Numerando-se os elementos de 1 a M e os nós de 1 a M+1, cada elemento produz

uma matriz do tipo:

00...0.....................0

00...0.....................0

00...3

16

1....0

00...6

13

1......0

::

::

::

::

~

ee

e

ee

e

e

hh

hh

hh

hh

K (6. 42)

E

::

2

1

::

0

0

1

1

E

E

E

Exx

xx

xx

xxE

dxudN

dxudN

f (6. 43)

Com as componentes da matriz eK~

determinados, temos para cada elemento:

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343

i) ELEMENTO I:

00000:::0...0...

2221

1211

~

II

II

Ie kkkk

K (6. 44)

onde

00000:::

0...3

16

1

0...6

13

1

~

I

I

I

I

II

I

Ie hh

hh

hh

hh

K (6. 45)

E os elementos do vetor ~If :

0:2

1I

I

Iff

f (6. 46)

Ou

0:

2

1

2

1

2

1

xx

xx

xx

xx

IdxudN

dxudN

f (6. 47)

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344

ii) ELEMENTO II:

0...0000...00...00...000

3332

2322

~

IIII

IIIIII

kkkk

K (6. 48)

onde

0...000

0...3

16

10

0...6

13

10

0...000

~

II

II

II

II

II

II

II

IIIIe

hh

hh

hh

hh

K (6. 49)

E os elementos do vetor ~IIf :

0

0

3

2

II

II

II ff

f (6. 50)

Ou

0

0

3

2

3

2

3

2

xx

xx

xx

xxII

dxudN

dxudN

f (6. 51)

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345

iii) ELEMENTO E:

EE

EEE

kkkk

K

4443

3433~

...00

...00::::00...00

(6. 52)

onde

31

61...00

61

31...00

::::00...00

~E

E

E

E

E

E

E

EEe

hh

hh

hh

hhK (6. 53)

E os elementos do vetor ~Ef :

E

EE

ff

f

2

1

:0

(6. 54)

Ou

1

1

2

1

00

E

E

E

Exx

xx

xx

xxE

dxudN

dxudNf (6. 55)

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346

6.4.8 - Montagem do vetor f e da Matriz Global K

A matriz global ~K pode ser formada agrupando-se as matrizes eK

~, observando

que as contribuições dos nós comuns a elementos vizinhos devem ser adicionados na matriz

global ~K .

EMM

EMM

EMM

EMM

IIII

IIIIII

II

kk

kkkk

kkkkkk

K

111

133:32::

::23222221

1211

~

...................00

..............0

0.....................0......................0

(6. 56)

Ou seja:

31

61..................00

61

311..................

610

0........................6

13

116

1

0...........................................06

13

1

::

::

1

1

::

::

~

E

E

E

E

IE

E

EE

EE

II

II

II

II

III

III

I

I

I

I

I

I

hh

hh

hh

hhhh

hh

hh

hhhh

hh

hh

hh

K

(6. 57)

E os elementos do vetor ~f :

E

EE

III

I

l

fff

fff

f

2

::

11

2

12

1

(6. 58)

Ou seja:

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347

::~

1

223

223

12

12

1

)/

)/)/)/)/

)/

BE

EE

AA

A

xhxx

hxxhxx

hxxhxx

xx

dxud

dxuddxuddxuddxud

dxud

f (6. 59)

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348

6.4.9 – Resolução do Sistema de Equações

O sistema de equações é montado da seuinte forma:

~~~fuK (6. 60)

Ou

E

EE

III

I

E

E

E

E

E

IE

E

EE

EE

II

II

II

II

III

III

I

I

I

I

I

I

fff

fff

u

uuu

hh

hh

hh

hhhh

hh

hh

hhhh

hh

hh

hh

2

::

11

2

12

1

::3

2

1

::

::

1

1

::

::

31

61..................00

61

311..................

610

0........................6

13

116

1

0...........................................06

13

1

(6. 61)

Sendo conhecido os valores das condições de contorno nos pontos extremos a

primeira e a última linha da matriz acima são eliminadas ficando com o seguinte sistema de

equações:

1

2

::

12

2

12

12

1

::4

3

2

1

1

1

1

::

1

1

::

12

12

::

::

1

311

61..................00

61

311..................

610

0........................6

13

116

1

0...........................................06

13

1

E

EE

IIIII

III

E

EE

EE

E

E

E

E

EE

EE

III

III

III

III

IIIII

IIIII

II

II

II

II

II

II

fff

ffff

u

uuu

hhhh

hh

hh

hhhh

hh

hh

hhhh

hh

hh

hh

(6. 62)

Cuja solução fornece os valores de ),...,,( 1432 Euuuuu

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349

6. 9 – Exemplos e Aplicações

6.5.1 – Exemplo satisfazendo condições de contorno essenciais:

Dada a seguinte equação diferencial

0)(2

2

udx

xud (6. 63)

Definida em [0 ; 1] e com condições de contorno essenciais.

u(x = 0) = 0

u(x = 1) = 1 (6. 64)

Solução:

A sentença de resíduos ponderados é:

0

dwl (6. 65)

Onde

02

2

udx

ud (6. 66)

A forma fraca da sentença de resíduos ponderados é:

01

0

1

0

x

xll

l

dxudwdxwu

dxdw

dxud (6. 67)

Fazendo E = M = 3, o intervalo [0 ; 1] será dividido em três sub-intervalos

(elementos) de mesmo comprimento, h1 = h2 = h3 = 1/3.

Numerando os nós de 1 a 4 e os elementos de 1 a 3, temos para o:

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350

i) ELEMENTO I:

Ihx 0 (6. 68)

Onde:

IhxN 11 (6. 69)

e

IhxN 2 (6. 70)

000000000000

2221

1211

~

kkkk

K I (6. 71)

Onde

)41,11(1

011

1111

MmldxNN

dxdN

dxdNK (6. 72)

E

)42,11(1

021

2112

MmldxNN

dxdN

dxdNK (6. 73)

E

)41,21(1

012

1221

MmldxNN

dxdN

dxdNK (6. 74)

E

)42,21(1

022

2222

MmldxNN

dxdN

dxdNK (6. 75)

Ou seja,

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351

00000000

003

16

1

006

13

1

~

II

II

I hh

hh

hh

hh

K (6. 76)

A formação dos elementos do vetor ~If é dado por:

2

1

11

xx

xx

I

dxudNf

(6. 77)

E

2

1

22

xx

xx

I

dxudNf

(6. 78)

Logo

002

1I

I

Iff

f (6. 79)

Ou

000

2

1

1

xx

xx

I

dxudN

f (6. 80)

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352

ii) ELEMENTO II:

IIII hhxh (6. 81)

Onde:

IIhxN 12 (6. 82)

e

IIhxN 3 (6. 83)

000000000000

3332

2322

~ kkkk

K II (6. 84)

Onde

)42,21(1

022

2222

MmldxNN

dxdN

dxdNK (6. 85)

E

)43,21(1

032

3223

MmldxNN

dxdN

dxdNK (6. 86)

E

)42,31(1

023

2332

MmldxNN

dxdN

dxdNK (6. 87)

E

)43,31(1

033

3333

MmldxNN

dxdN

dxdNK (6. 88)

Ou seja,

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353

0000

03

16

10

06

13

10

0000

~ II

II

II

II

II

II

II

IIII

hh

hh

hh

hh

K (6. 89)

A formação dos elementos do vetor ~IIf é dado por:

3

2

22

xx

xx

II

dxudNf

(6. 90)

E

3

2

33

xx

xx

II

dxudNf

(6. 91)

Logo

0

0

3

2II

II

II ff

f (6. 92)

Ou

0000

IIf (6. 93)

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354

iii) ELEMENTO III:

IIIIIIIII hhhxhh (6. 94)

Onde:

IIIhxN 12 (6. 95)

e

IIIhxN 3 (6. 96)

4443

3433~

0000

00000000

kkkk

K III (6. 97)

Onde

)43,31(1

033

3333

MmldxNN

dxdN

dxdNK (6. 98)

E

)44,31(1

043

4334

MmldxNN

dxdN

dxdNK (6. 99)

E

)43,41(1

034

3443

MmldxNN

dxdN

dxdNK (6. 100)

E

)44,41(1

044

4444

MmldxNN

dxdN

dxdNK (6. 101)

Ou seja,

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355

31

6100

61

3100

00000000

~III

III

III

III

III

III

III

IIIIII

hh

hh

hh

hhK (6. 102)

A formação dos elementos do vetor ~IIIf é dado por:

4

3

33

xx

xx

III

dxudNf

(6. 103)

E

4

3

44

xx

xx

III

dxudNf

(6. 104)

logo

III

IIIIII

ff

f

4

3

:0

(6. 105)

Ou

4

3

4

3

4

3

00

xx

xx

xx

xxIII

dxudN

dxudNf (6. 106)

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356

iv) MONTAGEM DA MATRIZ GLOBAL

O vetor ~f global é definido como:

1

0

x

xl dx

udNf , ou seja:

III

IIIII

III

I

l

fff

fff

f

4

33

22

1

(6. 107)

logo

1

0

~

)/00

)/

x

x

dxud

dxud

f (6. 108)

Agrupando as matrizes ~~~

,, IIIIII KKK dos elementos para formar a matriz

global, encontra-se o seguinte sistema de equações:

1

0

4

3

2

1

00

31

6100

61

312

610

06

16

126

1

006

13

1

x

x

dxdu

dxud

uuuu

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

(6. 109)

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357

V) RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES

Os valores de 1u e 2u são iguais aos valores prescritos. Portanto, são valores

conhecidos e as linhas 1 e 4 podem ser removidas. Remova somentes essas linhas, não

remova as colunas, e utilize o sistema regular de equações que ficar. Substituindo-se os

valores conhecidos 01 u e 14 u nas outras equações, o sistema de equações se reduz a:

61

312

31

06

13

12

32

32

hh

uhh

uhh

uhh

uhh (6. 110)

Substituindo-se h = 1/3, obtém-se:

1853

956

1853

01853

956

32

32

uu

uu (6. 111)

Resolvendo o sistema, encontra-se os seguintes valores:

609750,0288546,0

3

2

uu

(6. 112)

Das equações remanescentes, obtém-se os valores de 0xdx

ud e

1xdxud

315711,13

16

1

849609,06

1

431

20

uhh

uhhdx

du

uhhdx

ud

x

x (6. 113)

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358

6.5.2 – Exemplo satisfazendo condições de contorno naturais

Dada a seguinte equação diferencial

0)(2

2

udx

xud (6. 114)

Definida em [0 ; 1] se as condições de contorno forem:

1

0

1

0

x

x

dxdu

u (6. 115)

Solução:

A sentença de resíduos ponderados é:

0

dwdw ll (6. 116)

Onde

01

02

2

dxud

udx

ud

(6. 117)

Logo, a sentença básica de resíduos ponderados é escrita como (já admitindo que

a condição de contorno essencial seja atendida diretamente)

011

1

02

2

xll dx

udwdxudx

udw (6. 118)

Efetuando-se a integração por partes, chega-se a forma fraca da sentença de resíduos

ponderados, cuja forma fraca é:

011

1

0

1

0

xl

xl

x

xll

l wdxudw

dxudwdxuw

dxud

dxdw (6. 119)

Precisamos agora eliminar 1xdx

ud da seguinte forma:

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359

Se 11 xlxl ww , a equação (6. 119) é escrita como:

010

1

0

xlx

lll w

dxudwdxuw

dxud

dxdw (6. 120)

Se ll Nw e a discretização é mantida, a matriz ~K é a mesma. O vetor

~f global é definido como:

1

0

x

xl dx

udNf , ou seja:

III

IIIII

III

I

l

fff

fff

f

4

33

22

1

(6. 121)

O sistema final de equações é:

100.

0

4

3

2

1

~

xdxud

uuuu

K (6. 122)

Adotando-se o Método de Galerkin e a mesma discretização, a mesma matriz K é

obtida, e o sistema de equações é:

100

31

6100

61

312

610

06

16

126

1

006

13

1

0

4

3

2

1xdx

ud

uuuu

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

(6. 123)

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360

Como 01 u é o valor conhecido, a primeira equação pode ser eliminada do

sistema. Substituindo 1u pelo seu valor nas outras equações, o sistema de equações se reduz

a:

100

31

610

61

312

61

06

13

12

4

3

2

uuu

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

(6. 124)

Substituindo-se h = 1/3, obtém-se:

100

928

18530

1353

956

1853

01853

956

4

3

2

uuu

(6. 125)

Resolvendo o sistema:

760045,0463444,0219309,0

4

3

2

uuu

(6. 126)

O valor de 0xdx

ud pode ser determinado:

645743,0

645743,01353

61

0

220

x

x

dxdu

uuhhdx

ud

(6. 127)

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361

6.5.3 – Exemplo satisfazendo condições de contorno essenciais:

Dada a a seguinte equação diferencial:

044)(2

2

xydx

xyd, (6. 128)

definida em [0 ; 1] e com condições de contorno essenciais:

y(x = 0) = 0

y(x = 1) = 1 (6. 129)

Resolver pelo Método dos Elementos Finitos.

Solução:

A sentença de resíduos ponderados é:

0

dwl (6. 130)

Onde

0442

2

xydx

yd (6. 131)

A forma fraca da sentença de resíduos ponderados é:

0441

0

1

0

x

xlll

l

dxdywdxxwyw

dxdw

dxdy (6. 132)

Um conjunto de (M + 1) pontos é escolhido no intervalo (domínio) [0 ; 1] e uma

aproximação do tipo:

1

1

M

mmm Nyyy (6. 133)

é adotada, onde ym é o valor da aproximação no nó m (Nm = 1 em m). Assim, as condições de

contorno essenciais são atendidas diretamente, especificando-se os valores nodais apropriados

e = 0. De forma análoga ao exemplo anterior, os valores conhecidos só serão introduzidos

na etapa de resolução do sistema de equações e, dessa maneira, todos os valores, u1, u2, ....,

uM+1 são considerados incógnitas do problema.

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362

Adotando-se o Método de Galerkin, wl = Nl, 1,1 Mml e a equação (6.

14) é reescrita como:

0441

0

1

0

1

1

1

1

x

xllm

M

mml

mM

mm

l

dxydNdxxNNyN

dxdNy

dxdN (6. 134)

Para )1,1( Mml . Matricialmente temos:

~~~fyK (6. 135)

Onde os elementos da matriz ~K são dados por:

)1,1(41

0

MmldxNN

dxdN

dxdNK ml

mllm (6. 136)

E os elementos do vetor ~f :

041

0

1

0

xdxNdxydNf l

x

xll (6. 137)

Divindindo-se o domínio em três subdomínios, temos:

Figura - 6. 2. Intervalo de aplicação do Método de Galerkin

Vamos agora calcular as funções de interpolação local para o elemento e:

eeii h

NN 1 (6. 138)

eejj h

NN (6. 139)

Onde

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363

eij

ei hxxxhxx 0;; (6. 140)

Para o:

i) ELEMENTO I:

hx 0 (6. 141)

Onde:

hxN 11 (6. 142)

e

hxN 2 (6. 143)

A formação dos elementos do vetor ~If é dado por:

64

14

4

2

1

01

0111

2

1

2

1

2

1

hdxudN

xdxhx

dxudN

xdxNdxudNf

xx

xx

hxx

xx

hxx

xx

I

(6. 144)

E

34

4

4

3

1

02

0222

2

1

2

1

2

1

hdxudN

xdxhx

dxudN

xdxNdxudNf

xx

xx

hxx

xx

hxx

xx

I

(6. 145)

Logo

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364

002

1I

I

Iff

f (6. 146)

Ou

00

34

64

3

1

2

1

2

1

2

1

hdxudN

hdxudN

fxx

xx

xx

xx

I (6. 147)

ii) ELEMENTO II:

hxh 2 (6. 148)

Onde:

hxN

hhxN

hxxNN i

2

)(1

)(1

2

2

22

(6. 149)

e

hhxNN j

3 (6. 150)

A formação dos elementos do vetor ~IIf é dado por:

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365

38

24

4

2

2

2

2

2

222

3

2

3

2

3

2

hdxudN

xdxhx

dxudN

xdxNdxudNf

xx

xx

h

h

xx

xx

h

h

xx

xx

II

(6. 151)

E

620

14

4

2

3

2

03

2

333

3

2

3

2

3

2

hdxudN

xdxhx

dxudN

xdxNdxudNf

xx

xx

hxx

xx

h

h

xx

xx

II

(6. 152)

Logo

0

0

3

2II

II

II ff

f (6. 153)

Ou

06

20

38

0

2

2

3

3

3

2

3

2

hdxudN

hdxudN

f xx

xx

xx

xxII (6. 154)

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366

iii) ELEMENTO III:

132 hxh (6. 155)

Onde:

hxN

hhxN

hxxNN i

3

)2(1

)(1

3

3

33

(6. 156)

e

hhxNN j

24

(6. 157)

A formação dos elementos do vetor ~IIIf é dado por:

628

34

4

2

3

3

23

3

2333

4

3

4

3

4

3

hdxudN

xdxhx

dxudN

xdxNdxudNf

xx

xx

h

h

xx

xx

h

h

xx

xx

III

(6. 158)

E

316

24

4

2

4

3

24

3

2344

4

3

4

3

4

3

hdxudN

xdxhx

dxudN

xdxNdxudNf

xx

xx

h

h

xx

xx

h

h

xx

xx

III

(6. 159)

Logo

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367

III

IIIIII

ff

f

4

3

00

(6. 160)

Ou

316

628

00

3

4

2

3

4

3

4

3

hdxudN

hdxudNf

xx

xx

xx

xxIII (6. 161)

Cujas contribuições são:

342

6

400

34

67

65

32

3

6

400

2

2

2

2

1

0

2

22

22

2

1

0

4

33

22

1

hh

h

h

dxdy

dxyd

h

hh

hh

h

dxdy

dxyd

fff

fff

x

x

x

x

III

IIIII

III

I

(6. 162)

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368

iv) MONTAGEM DA MATRIZ GLOBAL

O vetor ~f global é definido como:

1

0

1

0~4 xdxN

dxudNf l

x

xl , ou seja:

III

IIIII

III

I

l

fff

fff

f

4

33

22

1

(6. 163)

logo

13

24

14

2 3

243

0

2

32

1

01

01

~

44

44

44

44

h

hx

h

h

h

h

h h

h

x

xdxNdxudN

xdxNxdxN

xdxNxdxN

xdxNdxudN

f (6. 164)

Agrupando as matrizes ~~~

,, IIIIII KKK dos elementos para formar a matriz

global, encontra-se:

342

6

400

341

32100

321

3412

3210

03

213

4123

21

003

213

41

2

2

2

2

1

0

4

3

2

1

hh

h

h

dxdy

dxyd

yyyy

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

x

x (6. 165)

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369

V) RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES

Os valores de 1y e 2y são iguais aos valores prescritos. Portanto, são valores

conhecidos e as linhas 1 e 4 podem ser removidas. Remova somentes essas linhas, não

remova as colunas, e utilize o sistema regular de equações que ficar. Substituindo-se os

valores conhecidos 01 y e 14 y nas outras equações, o sistema de equações se reduz a:

232

232

83

4123

21

43

213

412

hyhh

yhh

hyhh

yhh

(6. 166)

Substituindo-se h = 1/3, obtém-se:

98

962

925

94

925

962

32

32

yy

yy (6. 167)

Resolvendo, encontra-se:

181515,0139174,0

3

2

yy

(6. 168)

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370

6. 10 – Enfoque Variacional

Dado um problema descrito por um funcional, isto é, que permite uma formulação

variacional a ser desenvolvido pelo MEF.

B

A

x

x

FdI (6. 169)

Se as incógnitas nos pontos nodais correspondem a uma função u que torna estacionário

(extremiza) o funcional e atende às condições de contorno essenciais do problema, pode-se

admitir que o valor do funcional em todo o domínio do problema, F(u), será igual à soma dos

valores dos funcionais calculados em cada elemento, isto é:

)(1

uFFM

e

e

(6. 170)

onde M é o número de elementos finitos nos quais o domínio original foi discretizado. Logo

M

e

eII1

(6. 171)

onde

dxuFIj

i

x

xk

ee )( (6. 172)

Admite-se que, para um elemento genérico e, a função u passa a ser descrito

como:

ek

r

k

ee

ku

1

(6. 173)

Onde ek são parâmetros ajustáveis ou não conhecidos (incógnitas) e e

k são funções de

forma conhecidas, escolhidas de maneira semelhante à do método de Rayleigh-Ritz. Em

notação matricial temos:

~~Au (6. 174)

Onde

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371

ere

eeA ...21~ (6. 175)

E

e

e

e

re

:

2

1

~ (6. 176)

Substituindo a expressão (6. 173) em (6. 170), obtém-se o funcional aproximado:

eek

M

e

e rkFF ,...3,2,1)(1

(6. 177)

e, agora, as únicas incógnitas são os parâmetros ek .

Note que os parâmetros ek diferem de elemento a elemento, as funções e

k

também podem diferir de elemento a elemento embora, em geral as funções ek adotadas

sejam as mesmas.

Aplicando a condição de ponto estacionário (ou condição de extremização) ao

funcional aproximado F , pode-se escrever:

0F (6. 178)

0)(1

ek

M

e

eFF (6. 179)

Ou ainda

01 1

ek

M

e

r

kek

ee FF

(6. 180)

Como as variações ek são arbitrárias, a expressão (6. 180) se reduz a:

eek

e

kMeF ,....2,1

,...,2,10 (6. 181)

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372

A expressão (6. 181) representa um sistema de equações cuja solução fornece os

valores dos parâmetros ek , a partir dos quais, com o emprego de (6. 173), o valor da

incógnita u pode ser calculado em qualquer ponto do elemento.

A expressão (6. 181) representa um esquema de solução que pode ser denominado

Rayleigh-Ritz localizado (ou local). No método dos elementos finitos, no lugar dos parâmetros ek , as incógnitas são os valores da função u nos pontos nodais da malha de elementos finitos

( i

n

iiu

1

). Partindo da expressão (6. 174) aplicada aos ne nós de um elemento qualquer;

pode-se escrever:

~~

~~22

~~11

:

ee nn Au

Au

Au

(6. 182)

Onde ui é o valor de u no nó i do elemento e, Ai representa a matriz ~A com as funções de

forma calculados de acordo com a posição do nó i, isto é, correspondentes às coordenadas do

nó i. De maneira compacta,

~~~CU e (6. 183)

Onde

en

e

u

uu

U:2

1

~ (6. 184)

É o vetor dos valores nodais (incógnitas) de u no elemento e. A matriz

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373

enA

AA

C

~

2~

1~

~ : (6. 185)

é uma matriz com as funções de forma que estão calculas para as posições (coordenadas)

correspondentes aos pontos nodais.

Se as funções de forma são selecionadas de maneira adequada e se o número de

nós do elemento é igual ao número de parâmetros, ou seja, se

ee rn (6. 186)

A matriz ~C será quadrada e regular. Portanto, de (6. 183), pode-se escrever:

eUC~

1

~~

(6. 187)

Substituindo (6. 187) em (6. 174) temos:

ee UNUCAAu~~~

1

~~~ (6. 188)

Onde

1

~~~

CAN (6. 189)

Assim, os parâmetros ek são eliminados e o valor da variável, u, em qualquer

ponto de um elemento, pode ser calculado em função dos valores nodais (ainda desconhecidos

ou incógnitas).

Para evitar a inversão da matriz ~C é importante obter a matriz N diretamente. Se

N é determinada conveniente, então, considerar que:

en

kk

ek

e uUNu1~~ (6. 190)

As funções de forma em (6. 190) se referem a valores nodais de u e não de parâmetros ek

Adotando uma variação linear, pode-se escrever, para cada elemento:

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374

j

ikkjiku

]1[ . (6. 191)

Onde

kk xx . (6. 192)

Figura - 6. 3.

Aplicando aos pontos nodais i e j, temos:

ejij

ii

hu

u

. (6. 193)

Ou

~~~CU e (6. 194)

logo

~~~ 101

Chu

uU

j

ie

j

ie

(6. 195)

Invertendo a expressão (6. 217) anterior, obtém-se:

j

ie

ej

i

uuh

h 1101

(6. 196)

Combinando-se as expressões (6. 214) com (6. 218), tem-se:

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375

j

ie

eee uuh

hu

11011 (6. 197)

Ou

jee

iee

j

ie

eee u

hu

huu

xhh

u

1)(1 (6. 198)

Ou ainda

jeji

eie uNuNu (6. 199)

Onde

eee

j

eee

i

hN

hN

1 hx 0 (6. 200)

A derivada primeira de eu é:

j

ej

i

eie u

dxdN

udx

dNdxud

(6. 201)

E

dxdx

uu

hhu

dxdx

hu

dxdx

hdxud e

j

ieej

eei

ee

e 1111111

(6. 202)

Ou

~

,

~~~

Tx

Teex

e NUUNdxud

(6. 203)

onde

~

,x

eji N

dxdN

(6. 204)

Para o cálculo do funcional deve-se calcular 2)/( dxdue :

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376

ex

T

x

Tee UNNUdxud

~~~

,

~

2

(6. 205)

e ue2,

eTTee UNNUu

~~~

,

~

2 (6. 206)

Substituindo (6. 190) em (6. 170), tem-se um funcional aproximado, I , que é

função somente dos valores nodais ue.

Onde o funcional de um elemento é:

dxuFII

dFFdI

M

e

x

xk

eM

e

e

x

xe

M

e

ex

x

j

i

j

i

B

A

11

1

)(

(6. 207)

A condição de ponto estacionário será dada por:

0)(1 11

ek

M

e

r

kek

eM

ek

ee FuFF

(6. 208)

A expressão (6. 208) representa um sistema de equações cuja solução fornece os

valores nodais uk. Conhecidos os valores nodais, o valor de u, em qualquer ponto de qualquer

elemento, é determinado. Ou seja, da condição de ponto estacionário temos:

dxuFII

dFFdI

M

e

x

xk

eM

e

e

x

xe

M

e

ex

x

j

i

j

i

B

A

11

1

)(

(6. 209)

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377

Como o domínio foi dividido em três subdomínios, pode-se escrever:

321 IIII (6. 210)

E, portanto,

321 IIII (6. 211)

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378

6. 11 – Exemplos e Aplicações

6.7.1 – Exemplo satisfazendo condições de contorno essenciais:

Dado o funcional

l

dxudx

udI1

0

22

2

2

221 . (6. 212)

Obter uma solução aproximada que atenda às condições de contorno essenciais:

1,010 xx uu . (6. 213)

Dividir o intervalo (domínio) [0 ; 1] em três sub-intervalos (subdomínios) de mesmo

comprimento.

Solução

O primeiro passo consiste em escolher qual a variação de u em cada elemento.

Adotando uma variação linear, pode-se escrever, para cada elemento:

2

121 ]1[

xxu . (6. 214)

Figura - 6. 4.

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379

Aplicando aos pontos nodais i e j, temos:

huu

j

i

21

1

. (6. 215)

Ou

~~~CU e (6. 216)

logo

~~2

1

~ 101

Chu

uU

j

ie

(6. 217)

Invertendo a expressão (6. 217) anterior, obtém-se:

j

i

uuh

h 1101

2

1

(6. 218)

Combinando-se as expressões (6. 214) com (6. 218), tem-se:

j

i

uuh

hxu

11011 (6. 219)

Ou

jij

i uhxu

hx

uu

xxhh

u

1)(1 (6. 220)

Ou ainda

jjii uNuNu (6. 221)

Onde

hxN

hxN

j

i 1 hx 0 (6. 222)

A derivada primeira de u é:

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380

jj

ii u

dxdN

udx

dNdxud

(6. 223)

E

j

iji u

uhh

uh

uhdx

ud 1111 (6. 224)

Ou

~

,

~~~

Tx

Teex NUUN

dxud

(6. 225)

onde

~

,x

ji Ndx

dN (6. 226)

Para o cálculo do funcional deve-se calcular 2)/( dxdu :

ex

T

x

Te UNNUdxud

~~~

,

~

2

(6. 227)

e u2,

eTTe UNNUu~~~

,

~

2 (6. 228)

Onde o funcional de um elemento é:

dxUNNUUNNUIj

i

x

x

eTTeex

Tx

Tee

~~~

,

~~~~

,

~21 (6. 229)

Da condição de ponto estacionário

dxUNNUUNNUIj

i

x

x

eTTeex

Tx

Tee

~~~

,

~~~~

,

~21 (6. 230)

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381

Como o domínio foi dividido em três subdomínios, pode-se escrever:

321 IIII (6. 231)

E, portanto,

321 IIII (6. 232)

Vejamos isto de forma prática a partir da equação (6. 223). Particularizando a

notação em termos do exemplo, temos:

huu

uh

uhdx

ud ijji

11 (6. 233)

E

222

21jjii uuuu

hdxud

(6. 234)

Se

ji uhxu

hxu

1 (6. 235)

então

22

22

2 121 jjii uhxuu

hx

hxu

hxu

(6. 236)

E

dxuhxuu

hx

hxu

hx

huuuu

Ih

jjiiijij

0

22

22

2

22

121)2(

21

(6. 237)

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382

dxuhxuu

hx

hxu

hx

hxx

huuuu

Ih

jjiiijij

0

22

2

22

2

21

02

22

22121)2(

21

(6. 238)

2

02

3

02

322

2

3222

3322

322

21

2)2(

j

h

ji

h

i

h

o

ijij uhxuu

hx

hxu

hx

hxx

huuuu

I

(6. 239)

2222

362

321)2(

21

jjiiijij uhuuhuhuuuuh

I (6. 240)

Então as condições são:

033

221)22(

21

jijii

uhuhuuhu

I (6. 241)

033

221)22(

21

jijij

uhuhuuhu

I (6. 242)

03

16

1

06

13

1

ji

ji

uhh

uhh

uhh

uhh (6. 243)

Na forma matricial temos:

00

31

61

61

31

j

i

uu

hh

hh

hh

hh (6. 244)

onde

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383

4

3

~

3

3

2

~

2

2

1

~

1 ;;uu

Uuu

Uuu

U (6. 245)

Considerando que o elemento 1 é limitado pelos nós 1 e 2, correspondentes a x = 0 e x = h,

pode-se escrever:

0~

1

~

1 UK (6. 246)

ou

00

31

61

61

31

2

1

uu

hh

hh

hh

hh (6. 247)

Para o elemento 2, limitado pelos nós 2 e 3, correspondentes e x = h e x = 2h.

Assim:

0~

2

~

2 UK (6. 248)

ou

00

31

61

61

31

2

1

uu

hh

hh

hh

hh (6. 249)

Para o elemento 3, limitado pelos nós 3 e 4, correspondentes e x = 2h e x = 3h.

Assim:

0~

3

~

3 UK (6. 250)

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384

ou

00

31

61

61

31

4

3

uu

hh

hh

hh

hh (6. 251)

Observe que:

3

~~

2

~

1 KKK (6. 252)

Agrupando as matrizes

0000

31

6100

61

312

610

06

16

126

1

006

13

1

4

3

2

1

uuuu

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

hh

(6. 253)

Como u1 = 0 e u4 = 1, o sistema se reduz à:

61

312

61

06

13

12

32

32

hh

uhh

uhh

uhh

uhh (6. 254)

Substituindo h = 1/3 obtém-se:

609750,0288546,0

3

2

uu

(6. 255)

A solução analítica é:

1)(

eeeexu

xx

. (6. 256)

e

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385

610243,0)3/2(288921,0)3/1(

xuxu

. (6. 257)

6. 12 – Um Caso Especial de Elementos Finitos

Seja a sentença de resíduos ponderados de caráter global (onde as funções de

aproximação são válidas em e em ):

0

dwdw ll . (6. 258)

Para o caso onde os erros cometidos são dados por:

No domínio:

L (u ) – b (6. 259)

E no contorno:

S (u ) – g (6. 260)

Sendo:

1

1

M

mmm Nuu (6. 261)

no domínio:

L(

1

1

M

mmmNu ) – b em (6. 262)

e no contorno:

S(

1

1

M

mmmNu ) - g em (6. 263)

Como L e S são operadores lineares temos:

no domínio:

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386

1

1

M

mmu L(Nm) – b em (6. 264)

e no contorno:

1

1

M

mmu S(Nm) - g em (6. 265)

Se o domínio é dividido em E subdomínios, e, tais que:

E

ee

1 (6. 266)

E se, em correspondência a divisão do domínio, o contorno, , é dividido em B partes, b tais

que:

B

bb

1 . (6. 267)

A sentença de resíduos ponderados de caráter global é substituída por:

011

blb

B

bele

E

edwdw

b

e b

e

(6. 268)

onde as funções de aproximação são definidas localmente, sendo válidas somente para e e b

não mais para e . Logo, a sentença de resíduos ponderados local é dada por:

0 bleele dwdwb

e b

e

(6. 269)

Portanto, temos:

1

1

M

mmu

e L (Nm) - b em e (6. 270)

e no contorno

1

1

M

mmu

e S(Nm) = g em b (6. 271)

A sentença de resíduos ponderados global fica:

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387

E

e

M

mmle uw

e 1

1

1[

L (Nm) – b]de = 0 (6. 272)

A sentença de resíduos ponderados local fica:

1

1[

M

mmle uw

e

L (Nm) – b]de = 0 (6. 273)

6.8.1 – Método da Colocação por Subdomínios Modificado

Se a função de ponderação wl for a função Delta de Dirac temos:

0)()(11

bl

B

bel

E

edxxdxx

b

e b

e

(6. 274)

Temos:

l

blb

b

l

ee

e

xx

B

bb

B

bl

xx

E

eel

E

e

dxx

dxx

11

11

)(

)(

. (6. 275)

Logo, a sentença de resíduos ponderados fica:

E

e

M

mmu

elel1

1

1[ L

lxxmN )( -b]+

B

b

M

mmu

1

1

1[ S

lxxmN )( -g]= 0 (6. 276)

Para o caso do operador L dado pela seguinte equação diferencial:

0)(2

2

udx

xud (6. 277)

Definida em [0 ; 1] e com condições de contorno naturais dado pelo operador S, temos:

01

2

2

1

1

1

ll

elelxx

mB

bxxm

mE

e

M

mm g

dxdNN

dxNdu

(6. 278)

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388

Para este caso precisamos definir derivadas de ordem superiores contínuas, isto nos leva a

definir funções de interpolação para elementos finitos quadráticos. Ou se preferir, utilizamos

elementos lineares, porém, é necessário utilizar a Formulação Fraca dos Resíduos

Ponderados.

6.8.2 – Formulação Fraca do Método dos Resíduos Ponderados para os Elementos Finitos

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389

6.8.4 – Método das Diferenças Finitas

A sentença de resíduos ponderados global é dada por:

0

dwl (6. 279)

Para um domínio discretizado em E elementos temos:

01

e

e ele

E

edw

(6. 280)

Logo, a sentença de resíduos ponderados local é dada por:

0e

e ele dw

(6. 281)

Para o caso onde

e L (u )-b (6. 282)

e

1

1

M

mmm Nuu (6. 283)

Onde

1

1

M

mmu L (Nm) - b = 0 (6. 284)

A sentença de resíduos ponderados global fica:

e

lew

[

1

11

M

mm

E

eu L (Nm) – b]de = 0 (6. 285)

A sentença de resíduos ponderados local fica:

1

1[

M

mmle uw

e

L (Nm) - b]de = 0 (6. 286)

Se a função de ponderação wl for a função Delta de Dirac a sentença de resíduos

ponderados loca fica:

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390

0)( el

e

e el dxx

(6. 287)

ou

)( lxxe

[

1

1

M

mmu L (Nm) - b]

1

1

M

lle ud L (Nl) - b = 0 (6. 288)

A sentença global fica:

E

eel

E

eele

e

dxx11

)(

(6. 289)

Ou

)(1

l

E

exx

e

[

1

1

M

mmu L (Nm) – b]

1

1

M

lle ud L (Nl) - b= 0 (6. 290)

Logo a sentença de resíduos ponderados fica:

1

111

M

ll

E

e

E

eu

ell L (Nl) – b= 0 (6. 291)

Para o caso do operador L dado pela seguinte equação diferencial:

0)(2

2

udx

xud (6. 292)

Definida em [0 ; 1] e com condições de contorno naturais dado pelo operador S, temos:

02

2

1

1

1

l

elxx

mm

E

e

M

mm N

dxNdu (6. 293)

Escrevendo para um elemento e genérico temos:

02

21

1

l

elxx

em

em

M

mm N

dxNdu (6. 294)

Substituindo de (6. 339) a (6. 341) e de (6. 202) a (6. 204) em (6. 278) temos:

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391

0)(1222

1

1

lxxe

le

M

mm

h

xx

hu (6. 295)

E

02

222

2 122

12

ll

eell

euu

hh

uu

h (6. 296)

logo

022

)(2

)(2

11

lellll u

h

uuuu (6. 297)

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392

6. 13 – Exercícios e Problemas

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393

Projeto Condução de Calor em Placa Rugosa Fractal

Malha PlacaLisa Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh)

Malha PlacaLisa Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/node)

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394

Malha PlacaLisa Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/boun)

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395

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396

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397

Apêndices A. 1 – Funções de Interpolação Local Lineares

Na sentença básica de resíduos ponderados aparecem derivadas de ordem dois,

consequentemente, é necessário que as funções de aproximação possuam derivadas de ordem

um contínuas. Na forma fraca, essa exigência é amenizada porque as derivadas de ordem mais

alta são as derivadas primeiras. Assim, é necessário que as funções de aproximação possuam

derivadas de ordem zero contínuas, ou seja, é necessário que as funções sejam contínuas.

Adotando uma variação linear, pode-se escrever, para cada elemento:

eijieu . (6. 298)

Ou matricialmente

j

ieieu

]1[ . (6. 299)

Onde

ei

e xxi

. (6. 300)

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398

Figura - 6. 5. Elemento Finito linear entre dois pontos.

Aplicando aos pontos nodais i e j, temos:

ejij

ii

hu

u

. (6. 301)

Onde matricialmente temos:

~~~CU e (6. 302)

ou

~~~ 101

Chu

uU

j

ie

j

ie

. (6. 303)

Invertendo a expressão (6. 217) anterior, obtém-se:

j

ie

ej

i

uuh

h 1101

. (6. 304)

Combinando-se as expressões (6. 214) com (6. 218), tem-se:

j

ie

eeie u

uhh

u11011 (6. 305)

Ou

j

iei

eee u

uxh

hu )(1 (6. 306)

Logo

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399

j

ei

i

ei

e uh

uh

u

1 (6. 307)

Ou ainda

jeji

eie uNuNu (6. 308)

Onde

ei

ej

ei

e

eie

j

ei

ej

ej

e

ei

e

eie

i

xxxx

hN

xxxx

hxx

hN

)(

)(11

ji xxx (6. 309)

A derivada primeira de eu é:

j

ej

i

eie u

dxdN

udx

dNdxud

(6. 310)

De (6. 300) para ei

e xxi

temos:

dxdx

uu

hhu

dxdx

hu

dxdx

hdxud e

i

j

ieej

ei

ei

ei

ee 1111111

(6. 311)

Ou matricialmente

~

,

~~~

Tx

Teex

e NUUNdxud

(6. 312)

onde

~

,x

eji N

dxdN

(6. 313)

Na formação do sistema de equações (6. 18), as contribuições de um elemento

típico e, associado aos nós i e j, quando se adota uma aproximação local linear, podem ser

calculados de uma maneira geral, levando em conta a equação (6. 14) e (6. 19). Para o

elemento e:

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400

eee

ii hNN

1 (6. 314)

eee

jj hNN

(6. 315)

Onde

jiijee

iei xxxxxhxx ;; (6. 316)

Cujas derivadas são:

dxdx

hdxd

hdxdN

dxdN e

ie

ie

eii 111 (6. 317)

e

dxdx

hdxd

hdxdN

dxdN e

ie

ie

ejj 111 (6. 318)

Figura - 6. 6. Estruturação unidimensional dos Elementos Finitos.

Observe que para um único elemento finito, temos:

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401

eij

eei

ei hxxxhxxxx 0;;0 (6. 319)

E neste caso:

e

ei

e

eii

hdxd

hdxdN

dxdN 11

(6. 320)

e

e

ei

e

ejj

hdxd

hdxdN

dxdN 11

(6. 321)

Do ponto de vista global, as únicas funções de aproximação não nulas do

elemento e são as funções Ni e Nj; consequentemente, Nl = 0 se il ou se jl . De

maneira geral, Nl = 0 se l ao elemento e.

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402

A. 2 – Funções de Interpolação Local Quadráticas

Na sentença básica de resíduos ponderados aparecem derivadas de ordem dois,

consequentemente, é necessário que as funções de aproximação possuam derivadas de ordem

um contínuas. Neste caso, devemos utilizar elementos quadráticos para as funções de

interpolação.

Adotando uma variação quadrática, pode-se escrever, para cada elemento:

2ekejieu . (6. 322)

Ou matricialmente

j

j

i

eeeu

]1[ 2 . (6. 323)

Onde

ee xx . (6. 324)

Figura - 6. 7. Elemento Finito Quadrático entre três pontos

Aplicando aos pontos nodais i e j, temos:

2ek

ejik

ejij

ii

hhu

hu

u

. (6. 325)

Onde matricialmente temos:

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403

~~~CU e (6. 326)

ou

~~2~1

01001

Chh

hu

uu

U

k

j

i

ee

e

k

j

ie

. (6. 327)

Invertendo a expressão (6. 217) anterior, obtém-se:

k

j

i

ee

ee

e

ek

j

i

u

uu

hhhh

h

h 0000

1 22

3

3

. (6. 328)

Combinando-se as expressões (6. 214) com (6. 218), tem-se:

k

j

i

ee

ee

e

eeee

u

uu

hhhh

h

hu

0000

1]1[22

3

32 (6. 329)

Ou

k

j

i

ee

ee

ee

ee

e

u

uu

hhhhu ]1[ 2

2

2

2 (6. 330)

Logo

kee

jee

ee

iee uh

uhh

uu 2

2

2

2

)()1( (6. 331)

Ou ainda

kekj

eji

eie uNuNuNu (6. 332)

Onde

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404

2

2

2

2

1

eee

k

ee

eee

j

eei

hN

hhN

N

ehx 0 (6. 333)

A derivada primeira de eu é:

k

ek

j

ej

i

eie u

dxdNu

dxdN

udx

dNdxud

(6. 334)

E

dxd

u

uu

hhhdxud

udx

d

hu

dxd

hhu

dxd

dxud

e

k

j

i

ee

ee

ee

ke

ee

je

ee

eiee

22

22

2211

221

(6. 335)

Ou matricialmente

~

,

~~~

Tx

Teex

e NUUNdxud

(6. 336)

onde

~

,x

eji N

dxdN

(6. 337)

Na formação do sistema de equações (6. 18), as contribuições de um elemento

típico e, associado aos nós i e j, quando se adota uma aproximação local quadrática, podem

ser calculados de uma maneira geral, levando em conta a equação (6. 14) e (6. 19). Onde

eij

eii hxxxhxx 0;; (6. 338)

Para o elemento e:

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405

ieeii xxNN 11 ehx 0 (6. 339)

e

2

2

2

2 )()(e

ie

iee

eee

jjh

xxh

xx

hhNN

ehx 0 (6. 340)

e

2

2

2

2 )(e

ieee

kkh

xx

hNN

ehx 0 (6. 341)

Cujas derivadas são:

dxd

dxdN ei

(6. 342)

e

dxdx

h

xxhdx

d

hhdxdN

dxdN i

ei

ee

ee

e

eij 1)(2121

22

(6. 343)

e

dxdx

h

xxdx

d

hdxdN

dxdN i

eie

ee

ekk 1)(22

22

(6. 344)

E as derivadas segundas são:

2

2

2

2

2

2

2

2

dxxd

dxd

dxNd

dxNd ie

eii

(6. 345)

e

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2 212212dx

xd

h

xhdx

dx

hdxd

hhdxd

hdx

Nd

dx

Nd i

e

ie

i

e

e

e

ee

e

e

ejj

(6. 346)

e

2

22

22

22

22

2

2

2

)(2121221dx

xdxx

dxdx

hdxd

dxd

hdxNd

dxNd i

ii

e

ee

e

e

ekk

(6. 347)

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406

Observe que para um único elemento finito, temos:

xxxh ije

e (6. 348)

E neste caso:

xNN eii 1 ehx 0 (6. 349)

e

2

2

eeejj

h

xhxNN ehx 0 (6. 350)

e

2

2

eekk

h

xNN ehx 0 (6. 351)

E as derivadas primeiras são:

1dx

dNdx

dN eii (6. 352)

e

2

21ee

eij

h

xhdx

dNdx

dN (6. 353)

e

2222

ee

ee

ekk

h

xdx

d

hdxdN

dxdN

(6. 354)

E as derivadas segundas são:

02

2

2

2

2

2

2

2

dx

xddx

ddx

Nddx

Nd eeii (6. 355)

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407

22

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2 2212212eeee

e

e

ee

e

e

ejj

hdxxd

h

xhdx

dx

hdxd

hhdxd

hdx

Nd

dx

Nd

(6. 356)

e

2

2

22

22

22

2

2

2 20221221ee

ee

ee

ekk

hx

dxdx

hdxd

dxd

hdxNd

dxNd

(6. 357)

e

Figura - 6. 8. Estruturação unidimensional dos Elementos Finitos Quadráticos.

Do ponto de vista global, as únicas funções de aproximação não nulas do

elemento e são as funções Ni e Nj; consequentemente, Nl = 0 se il ou se jl . De

maneira geral, Nl = 0 se l ao elemento e.

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408

A. 3 – Tutorial para entrar no ENGTERM9 via WebtermXpower Plugin

Ao iniciar o curso de Elementos Finitos I, você deve possuir uma conta na Rede

do Departamento de Engenharia Mecânica a ser adquirido por cadastro via homepage:

http://demec.ufpr.br/ ou por contato direto com o técnico do LENA, por email

([email protected]) ou pessoalmente na sala 7-25 do DEMEC. Onde você obterá: Nome do usuário:

Senha: xxxxxx

para se logar em qualquer máquina do Laboratório de Fenômenos de Transporte do Grupo de

energia e Ciências Térmicas do Prof. Dr. Ing. Jose Viriato Coelho Vargas onde você terá suas

aulas.

Após esta providência você deve esperar que o Prof. Vargas habilite o seu ascesso

ao sistema Linux engterm9 (computador do seu grupo de pesquisa) onde ele criar uma área

para você trabalhar como o FEAP no ambiente Linux. Ele criará um Login: SeuNome

Password: xxxxxxx

Após essas etapas você estará apto a usar o seguinte tutorial:

1 – Logando-se na rede do DEMEC

No local das aulas de Elementos Finitos I (Laboratório de Fenômenos de

Transporte) escolha uma das máquinas para trabalhar:

Ligue a máquina e espere carregar o windows, entre com: Nome do usuário:

Senha: xxxxxx

e tecle enter.

2 – Abrindo a Tela do Command Prompt C:\

No Iniciar do windows, selecione Todos os programas, Acessórios, Prompt de

Comando onde abriar uma janela de fundo preto tipo: DOS.

Como você sempre repetirá esse passo, você pode clicar com o botão direito do

seu mouse e criar um atalho duplicado com o comando Copiar e em seguida colar esse Atalho

para a sua área de trabalho. Se desejar você pode arrastar o atalho criado na área de trabalho

da sua máquina para a Barra de Tarefas para que, quando você estiver trabalhando com as

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janelas todas abertas, você sempre poderá voltar a Tela Preta do Prompt de Comando clicando

sobre o atalho.

3 – Entrando na engterm9

Dentro da Janela de Fundo Preto do prompt de comando

C:\

Figura - A. 1.

E digite: C:\ telnet engterm9

aparecerá a seguinte linha de comando: login:

digite o login criado pelo prof. Vargas para você e tecle enter. Em seguida aparecerá uma

linha de comando: password

digite o password que o prof. Vargas criou você e tecle enter.

Em seguida você entrará na engterm9. Você saberá que entrou porque o seu

prompt de comando mudará para, algo com o engterm9 seguido de seu nome: engterm9~>

lembre-se tudo isso acontecerá dentro da Janela de Fundo Preto do prompt de comando

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4 - Habilitando a janela do engterm9 dentro da sua máquina em uso

Após a operação acima saia um pouco da janela clicando com o seu mouse fora no

Iniciar do windows, selecione Todos os programas, e procure um ícone com o

nome:

WebtermXpower Plugin,wtxvz

Clique nele e aparecerá um ícone quadrado amarelo no canto inferior direito da sua máquina

em uso (lembre-se isso acontecera na barra de tarefas da janela do windows e não da tela preta

anterior).

5 - Voltando a janela do engterm9 dentro da sua máquina em uso

Vote a Janela de Fundo Preto do prompt de comando clicando com o mouse

sobre ela, SeuNome@ engterm9 ~]$

e digite: SeuNome@ engterm9 ~]$ csh

e tecle enter.

Em seguida digite: SeuNome@ engterm9 ~]$ setenv DISPLAY 200.17.8.XX:0.0

OBS: XX corresponderá ao IP da sua máquina. Caso você não souber e não houver nenhuma

informação etiquetada na CPU da sua máquina abra uma outra Janela de Fundo

Preto do prompt de comando

C:\

e digite: C:\ ipconfig

E tecle enter.

Ao acionar esse comando aparecerá na mesma janela o IP de identificação da sua

máquina. Copie-o e use no comando anterior.

Voltando a situação anterior, digite: SeuNome@ engterm9 ~]$ env

e tecle enter.

Após esse comando você saberá se você habilitou o DISPLAY de saída para a sua

maquina ou se foi para outra. Procure saber se você está com o IP correto e sentado na

mesma máquina de resposta desse comando. Se for a mesma máquina, então parabéns você

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acertou e pode prosseguir. Se não, volte ao último passo que você acertou e recomece no

passo seguinte.

6 – Alterando arquivos na janela do engterm9

Só na primeira vez que você entrar na engterm9 que você executará esse passo 6,

depois o esqueça, porque você não precisará dele nunca mais.

Na janela Janela de Fundo Preto do prompt de comando, na linha

de comando: SeuNome@ engterm9 ~]$

digite: SeuNome@ engterm9 ~]$ emacs . bash-profile &

e tecle enter.

Observe os espaços em branco entre as palavras, não evite-os! pois farão falta

porque o Linux é sensível ao tipo de tecla, se maiúscula ou minúscula ou, se falta qualquer

letra ou caractere ou especo em branco.

Essa operação (comando) abrirá uma outra janela similar a da Janela de

Fundo Preto do prompt de comando porém com bordas cinza e tarja superior azul

e fundo branco. Essa é a janela do [email protected]. Este último

comando abrirá um aplicativo com menus de trabalho de edição de texto e etc., para o

engterm9 e para o FEAP.

Em baixo dessa nova janela emacs na linha de comando: PATH = BIN

digite: PATH = BIN :.

E salve o arquivo usando o mouse e clicando no menu da janela emacs, em Arquivo, Save

Buffer. Após esse comando na linha em baixo no final da janela emacs aparecerá a linha de

comando Wrote dizendo que o arquivo criado foi escrito com o nome “ ”

Após essa operação feche todas as janelas (WebtermXpower Plugin e a

Janela de Fundo Preto do prompt de comando) e entre de novo no sistema

engterm9 por meio dos passo de 2 a 5 descritos anteriormente.

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7– Abrindo o aplicativo xterm na janela do engterm9

Se você refez do passo 2 até o 5 você estará com prompt de comando na janela do

Janela de Fundo Preto do prompt de comando da seguinte forma:

SeuNome@ engterm9 ~]$

digite SeuNome@ engterm9 ~]$ xterm &

e tecle enter.

Esse comando abrirá uma terceira janela branca com bordas cina e tarja superior

azul onde aparecerá um prompt de comando igual a da Janela de fundo preto porém com um

quadrado amarelo no canto superior esquerdo (WebtermXpower Plugin):

SeuNome@ engterm9 ~]$

Figura - A. 2.

OBS:

Use a janela xterm” para trabalhar nas aulas seguinte a primeira aula.

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413

A. 4 – Tutorial para entrar no ENGTERM9 via VNC Server

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414

A. 5 – Manual de Operação do Programa FEAP-Linux

Para operar o FEAP você deve executar o tutorial anterior do passo 1 até o 5, e na

janela do Janela de Fundo Preto do prompt de comando a seguinte situação:

SeuNome@ engterm9 ~]$

digite o comando: SeuNome@ engterm9 ~]$ xterm &

e tecle enter.

Esse comando repete o passo 7 e habilitará a janela do WebtermXpower

Plugin com bordas cinzas e fundo branco. Você usará essa janela para trabalhar. As

operações que se seguirão abaixo.

1 – Obtendo o arquivo classe.tar.gz

1.1 - No prompt de comando SeuNome@ engterm9 ~]$ digite:

SeuNome@ engterm9 ~]$ cd ~jvargas

e tecle enter.

Esse comando fará você entrar no diretório do prof. Vargas na máquina engter9

via o telnet que você já habilitou pela máquina que você esta usando neste exato momento.

Então aparecerá: SeuNome@ engterm9 ~]$

Observe que como você mudou de diretório aparecerá o nome do prof. vargas

ligado ao prompt de comando da engterm9.

1.2 - Neste situação digite: SeuNome@ engterm9 ~]$ cp classe.tar.gz ~Seunome

observe que no lugar de Seunome digite seu nome (obvio)!.

Esse último comando copiará o arquivo classe.tar.gz para o seu diretório.

1.3 - Em seguida volte ao seu diretório (diretório anterior) digitando o comando: SeuNome@ engterm9 ~]$ cd

e tecle enter.

Veja que agora você estará novamente no seu diretório onde aparecerá o seu

prompt de comando já conhecido: SeuNome@ engterm9 ~]$

Se você quiser saber se você obteve sucesso na sua última tarefa de copiar o

arquivo classe.tar.gz para o seu diretório você pode digitar o comando:

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SeuNome@ engterm9 ~]$ ls

e tecle enter

Você verá na listagem dos arquivos o arquivo classe.tar.gz. Se não

verifique onde errou e repita a operação.

2 – Decompactando o arquivo classe.tar.gz

Descompacte o arquivo classe.tar.gz. digitando o seguinte comando:

SeuNome@ engterm9 ~]$ gunzip classe.tar.gz

e tecle enter.

Esse comando descomapactará o arquivo classe.tar.gz. para o arquivo

classe.tar. Você pode verificar se obteve sucesso digitando:

SeuNome@ engterm9 ~]$ ls

e verificando o conteúdo do seu diretório.

3 – Desaglutinando o arquivo classe.tar

Você deve desaglutinar o arquivo classe.tar para obter os arquivos que estão

dentro desse arquivo porém de forma separada (individual). Para isso digite: SeuNome@ engterm9 ~]$ tar – xvf classe.tar

e tecle enter.

Esse comando separará uma arquivo do outro obtendo vários arquivos individuais.

4 – Compactando o arquivo classe.tar

Você agora deve recompactar o arquivo classe.tar para você manter um

cópia em backup para ser utilizada (recompor os arquivos) caso haja alguma perda durante as

operações futuras. Para isso digite o comando SeuNome@ engterm9 ~]$ gzip classe.tar

e tecle enter.

Esse comando fará com que você obtenha uma cópia idêntica a aquela do diretório

do prof. Vargas e não terá mais que incomodá-lo caso você precise desse arquivo de novo. Ou

seja, você não precisará entrar mais no diretório do prof. Vargas para pegá-lo novamente.

Talvez, isso nem seja possível no futuro porque ele habilitou a sua entrada no diretório dele

apenas para você pegar o arquivo classe.tar.gz uma primeira vez, na primeira aula. Isso

é uma questão de segurança pessoal para a máquina do prof. Vargas.

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416

Se você obteve sucesso o seu diretório possuirá agora tanto o arquivo original

compactado (classe.tar.gzip) como os arquivos descompactado (classe.tar) e os

arquivos individuais desaglutinados (*.o). Esse arquivos serão aqueles arquivos a serem

utilizados pelo durante o curso.

5 – Verificando se foi criado o diretório Feap.d

No seu diretório digite o comando SeuNome@ engterm9 ~]$ ls

e tecle enter.

Esse comando listará o conteúdo do seu diretório.

6 – Entrando no Diretório Diretório Feap.d

No seu diretório digite o comando SeuNome@ engterm9 ~]$ cd Feap.d

e tecle enter.

Esse comando transferirá seu prompt para o diretório Feap.d.

Figura - A. 3.

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417

7 – Compilando o arquivo feap.f

Agora você deve compilar o arquivo feap que está em FORTRAN – 77.

No diretório Feap.d digite o comando SeuNome@ engterm9 ~Feap.d]$ feap.f: f77 –c –O feap.f

e tecle enter.

Esse comando compilará o arquivo feap.f.

8 – Entrando no Diretório Elmts

No diretório Feap.d digite o comando SeuNome@ engterm9 ~Feap.d]$ cd Elmts

e tecle enter.

Esse comando transferirá seu prompt para o diretório Elmts.

9 – Criando o Programa Fonte em C

No diretório Elmts digite o comando SeuNome@ engterm9 ~Elmts]$ f2c *.f

e tecle enter.

Esse comando criará o feap em linguagem C.

10 – Compilando em C

No diretório Elmts digite o comando SeuNome@ engterm9 ~Elmts]$ gcc –c –O *.c

e tecle enter.

Esse comando compilará o feap em linguagem C.

11 – Voltando para o Diretório Feap.d

No diretório Elmts digite o comando SeuNome@ engterm9 ~Elmts]$ cd ..

e tecle enter.

Esse comando transferirá seu prompt para o diretório Feap.d.

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418

12 – Criando o Arquivo executável do programa

No seu diretório digite o comando SeuNome@ engterm9 ~Feap.d]$ make

e tecle enter.

Esse comando criará um arquivo feap executável.

13 – Copiando o arquivo exemplo no diretório input files

13.1 - No diretório Feap.d digite o comando SeuNome@ engterm9 ~Feap.d]$ cd inputfiles

e tecle enter.

Esse comando transferirá seu prompt para o diretório inputfiles.

13.2 - Na linha de comando digite SeuNome@ engterm9 ~Feap.d]$ cp Idisk ..

e tecle enter.

Esse comando copiará o arquivo Idisk para o diretório Feap.d 13.3 - Na linha de comando digite

SeuNome@ engterm9 ~Feap.d]$ cd ..

e tecle enter.

Esse comando transferirá seu prompt para o diretório Feap.d.

14 – Executando o Programa “Feap” e rodando o exemplo “Idisk”

No diretório Feap.d digite o comando SeuNome@ engterm9 ~Elmts]$ feap

e tecle enter.

Esse comando executará o feap executável criado em linguagem C. e aparecerá a

seguinte tela:

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419

Figura - A. 4.

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A. 6 – Manual de Comandos Internos do Programa FEAP-Linux

Após iniciar o programa feap você pode utilizar os seguintes comandos:

15 – Executando o Programa “Feap” e rodando o exemplo “Idisk”

A primeira coisa que se vê depois de iniciar o programa feap é um diálogo

pedindo os nomes dos arquivos de entrada. O arquivo Idisk que você copiou previamente é

um arquivo de entrada.

Figura - A. 5.

Dado este arquivo feap como arquivo de entrada e fazendo default as próximas

três linhas requerido (apenas tecle enter para cada um dos prompt de comando). Quando este

pedir para você especificar o dispositivo gráfico, digite 7 para este, e faça default para o

arquivo de dados do plot. Depois que você tem dado toda esta informação e verificado elas, o

feap processará os dado de entrada dados no arquivo Idisk e eventualmente aparece um

prompt de comando rotulado da seguinte forma: List 1 Macro>

Este prompt indica que o feap está pronto para resolver o problema, o qual você pode

interativamente fazer pelos ..... de vários comando “Macros” (veja o .... acompanhado o

parágrafo §7).

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16 – Calculando a Matriz de Rigidez e Resolvendo o Sistema Linear

Com um exemplo, no prompt acima digite List 1 Macro>tang,,1

Como descrito em ……. Mais detalhe em outro ……. , este comando instrui o

feap a computar a matriz de rigidez, calcula o vetor do lado direito e resolve o resultado do

sistema linear (este é pequeno, assim ele requer pouco tempo).

Observe o valor do ..... se não estiver próximo de zero repita o comamndo List 1 Macro>tang,,1

17 – Usando o Comando Help no Modo Macro de Comando

Em qualquer tempo enquanto neste modo de “macro de entrada”, você pode

digitar help para obter uma lista de comandos disponíveis. Depois de visualizar esta lista,

digite List 1 Macro>help,nomedocomando

E dará a você uma instrução de entrada especifica para o comando em questão.

18 – Exibindo os Gráficos e as Figuras na Tela

Para mostra a figura das malhas e outras saídas gráficas sobre a tela, .... o

camando macro plot.

List 1 Macro>plot

O comando abrirá separado uma janela-X em sua tela (desde que você esteja

trabalhando no console da workstation), a qual você pode posicionar como desejado usando o

mouse. Agora que você tem entrado no “modo plot” do FEAP, o qual é indicado pelo seguinte

prompt de comando Plot 1 Macro>

19 – Explorando o Modo Plot de Comando

Você pode retornar ao modo macro de comando depois que você tem terminado o gráfico

digitando end. Mas enquanto isso, explore alguns dos seguintes comando de plotagem:

Plot 1 Macro>

mesh (mostra a malha)

node (plota todos os nós da malha)

boun (mostra as condições de contorno)

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wipe (limpa a janela gráfica)

cont,n (plota o contorno de n sobre a malha)

stre,n (plota o contorno da tensão n, sobre a malha)

Alguns outros comando de plotagem podem ser explorados digitando help no prompt do

plot.

Figura - A. 6.

20 –Explorando o Modo Macro de Comando

Depois de retornar ao modo macro de comando, explore o uso de: List 1 Macro>

reac (imprime as forces nodais)

disp (imprime os delocamentos nodais)

stre,,e (imprime as tensões no elemento e)

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21 – Saindo de FEAP

Quando terminar, digite quit para sair do FEAP

List 1 Macro>quit

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424

A. 7 – Como preparar um Arquivo de Entrada do Programa FEAP-Linux

Para digitar um arquivo de entrada do FEAP você utilizará o aplicativo emacs

cuja tela é mostrada na

Figura - A. 7.

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425

5 - Introdução ao FEAP

FEAP é um código de análise de elementos finitos, interativo desenvolvido na UC

Berkeley por R. L. Taylor para cálculos de elementos finitos gerais de estática e dinâmica. O

procedimento de solução pode ser resumido como segue:

i) Definição do Problema e Malha de Entrada – O FEAP lerá um arquivo de

entrada descrevendo uma malha, as condições de contorno e o carregamento. Uma breve

descrição do formato é achado na seção 6.

ii) Propriedades do Material – FEAP transferirá o controle para uma de 10 sub-

rotinas de usuários definidos o qual lerá as propriedades do material desejado. Veja

as secções 6 e 8.

iii) Controle Interativo – Quando a definição do problema é completa, o FEAP

invocará um comando interpretador o qual preparará o usuário para o controle de

entrada. Tal entrada deve ser para especificar um passo de tempo, montar rigidez tangente,

resolver para os deslocamentos ou reações, etc. Um resumo dos comandos de interesse

especial é achado na secção 7.

iv) Biblioteca de Elementos. Se as informações dependente do elemento tal como

a rigidez tangente ou residual ou as tensões nos elementos são necessárias, o FEAP localizará

a informação do problema para o nível do elemento e chamará a sub-rotina apropriada

definida pelo usuário para executar os cálculos. A secção 8 contém um breve resumo das

tarefas e das informações dos elementos localizados.

O código fonte individual das sub-rotinas FEAP não estará geralmente disponível

para estudantes, contudo, um arquivo (ou biblioteca) das rotinas compiladas é ascessível

fazendo uso de um makefile. Um makefile amostra e alguma explicação é achada na

secção 9.

6 – Arquivos de Entrada

Para entender a estrutura dos arquivos de entrada do FEAP, nós examinaremos

uma amostra de um simples arquivo de entrada para uma strip plano sujeito a um

carregamento combinado de compressão/cisalhamento.

Todo arquivo de entrada FEAP deve começar com a palavra feap. Os próximos

76 caracteres são lidos como o titulo do problema. A próxima linha imediatamente após,

conterá as seguintes informações:

numnp (=9) – o número total de pontos nodais neste problema,

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numel (=4) – o número total de elementos,

nummat (=1) – o número total de sets materiais usados no problema,

ndm (=2) – numero de dimensões espaciais,

ndf (=2) – número máximo de graus de liberdade pó nó,

nen (=4) – número máximo de nós por elemento,

exemplo:

feap ** Plane Strip Compression/Shear Test

9,4,1,2,2,4

O FEAP sairá todos os dados de entrada por default, o qual pode produzir

quantidades muito grandes de dados. Isto é mudado pelo comando nopr. Pode-se

imprimir ou ligar novamente esta função em qualquer ponto no arquivo de entrada

usando o comando prin.

O gerador automático de malha do FEAP é invocado usando o comando

bloc. A geração é desenvolvida a partir de um elemento principal definido

por um mapeamento de nó isoparamétrico de 4-9. Em outras palavras, a malha é

gerada no elemento quadrado isoparamétrico em coordenadas locais, , , e depois

mapeadas dentro do elemento principal, definido em coordenadas globais. As

variáveis que definem a malha são colocadas seguindo o comando bloc:

nodes (=4) – número de nós definindo o elemento principal (4 < nós < 9),

-inc (=2) – número de subdivisões na direção ,

-inc (=2) – número de subdivisões na direção ,

node1 (=1) – número do nó para iniciar a geração automática com,

elmt1 (=1) – número do elemento para iniciar a geração automática com,

mat1 (=1) – numero de materiais de todos os elementos neste bloco.

A especificação node1 e elmt são úteis para geração de vários blocos para

modelar geometrias complexas. Seguindo esta linha, todas as coordenadas nodais, definindo o

elemento principal devem ser especificadas. O uso de mais do que 4 nós para gerar uma

malha pode ser usada para modelar superfícies curvas, bem como para produzir refinamentos

de malhas em certos cantos ou bordas do elemento principal. Isto pode ser feito movendo os

nós interiores mais próximos para o contorno onde o refinamento da malha é desejado. Ao

mesmo tempo, contudo; você pode também produzir distorções não compatíveis da malha,

logo use este recurso cuidadosamente. Note que o FEAP não só gera os nós para o bloco, mas

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também a informação de conectividade dos elementos. Uma linha vazia deve seguir o sinal

para encerrar a entrada em bloco.

nopr

bloc 1

4,2,2,1,1,1

1,0,0

2,5,0

3,5,5

4,0,5

Linha em branco

O comando coord gera ou varia qualquer número de coordenadas nodais. Neste

exemplo nós variamos as coordenadas do nó #5, para skew a malha ala patch test.

Uma linha em branco deve seguir o sinal de end da entrada do comando coor.

coor

5,,3.25,3.25

Linha em branco

O comando ebou pode ser usado para especificar as condições de contorno nodais ao

longo de qualquer linha de coordenada constante em coordenadas globais. O formato é

para especificar o número de direção 1 < idir < ndm, o valor constante, e as

condições de contorno imposta. O FEAP buscará todos os nós usando uma tolerância

de 10-3 x o tamanho da malha, e estabeleça as condições de contorno de todos os nós

cujo idir coordenadas está dentro da tolerância da constante especificada. As

condições de contorno nodais são especificados pelo apontadores inteiros definido se

ou não um grau nodal de liberdade é ativo (= 0), ou fixado ( 0). Neste exemplo,

nós especificamos que todos os nós com x = 0 tem movimentos restringidos na

direção-x, todos nós com y = 0 tem movimentos restritos em ambas as direções x e

y, e todos os nós com y = 5 tem movimentos restritos na direção-y. Uma linha

branca deve seguir o sinal para o fim de da entrada do ebou.

ebou

1,0,1,0

2,0,1,1

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2,5,0,1

Linha em branco

Uma alternativa para o comando ebou é o comando boun. O comando boun pode

ser usado para especificar as condições de contorno de qualquer um dos nós. O

formato para este comando é uma série de linhas cada uma contendo as seguintes

informações:

node – Número de nós no qual especifica-se b.c.,

ngen – Número de nós para pular na geração seguindo a condição de fronteira a ser imposta.

Se ngen=0, nenhuma geração é carregada. O formato para a especificação de condições de

fronteira é a mesma como no ebou. Contudo, o sinal dos pontos agora é importante. Se a

geração é usada (ie, ngen 0), e o indicador da condição de fronteira é negativo, a

condição sobre aqueles nós é carregada através da geração. Contudo, se o indicador é

positivo, a restrição será imposta no nó especificado.

O seguinte exemplo acompanhará exatamente o que o comando ebou anterior fez.

boun

1,1,-1,-1

3,0, 1, 1

1,3,-1, 1

7,1, 1,-1

9,0, 0, 1

Linha em branco

Quando as condições de contorno

forc

7,, 0.0, -1.0

8,, 1.0, -1.0

9,, 0.5, -1.0

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429

Linha em branco

O comando mate

mate

1,7

1.0,1

2

1000,10,3.2,6,2.8

Linha em branco

Agora que todos

end

inte

stop

end (fim do arquivo)

7 – Resumo dos Camandos

dt,,v1

time

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prop,,n1

tool,,v1

loop,,n1

next

tang,,n1

solv

reac,,n1,n2,n3

disp,,n1,n2,n3

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A. 8 – Exemplo de um Arquivo de Entrada do Programa FEAP-Linux

feap ** circular disk example problem

19,11,1,2,2,4

coord

1,1,0.0,0.0

5,0,5.0,0.0

6,1,0.0,2.0

10,0,44.5828,2.0

11,1,0.0,4.0

14,0,3.0,4.0

15,0,4.0,3.0

16,0,0.0,5.0

17,0,0.75,4.9434

18,0,1.5,4.7697

19,0,2.25,4.4651

elem

1,1,1,2,7,6,1

5,1,6,7,12,11,1

9,1,11,12,17,16,1

bound

1,1,1,-1

5,0,0,1

6,5,-1,0

16,0,1,0

forc

16,0,0.0,-5.0

mate

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1,1

100.0,0.3,0.0,2,

end

inter

stop

end

Indica linhas de dados de entrada do material varia de tipo de elemento para elemento.

Consulte as linhas 36-54 na listagem dos elementos (i.e. Elmts/elmt01.f) para obter o

formato de entrada necessário.

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Figura - A. 8.

Figura - A. 9.

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A. 9 – Procedimento para Análise Estrutural 2D no Programa FEAP-Linux

1 – Problema Físico - Identificar

- Definir geometria da peça

- Identificar simetrias se existirem

- Definir os apoios e fixações

Isto resulta em um domínio para a análise

2 – Definir o Estado de tensões e Analisar

1 – Estado Plano de Tensões

2 – Estado Plano de Deformações

3 – Axisimetrias

3 – Definir uma primeira Malha

Definir uma malha esparsa

4 – Refinar a Malha até a Convergência

Refinar a malha até que ela satisfaça o seguinte critério:

01.0

antcrit

atualcrit

antcrit

u

uu (6. 358)

5 – Usar um critério qualquer para ver se a peça Falha

Usar um critério de falha como este, por exemplo:

y max (6. 359)

6 – Modificar a Geometria ou Material

Modificar a geometria ou material até satisfazer o critério dado em 5.

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A. 10 – Algoritmo do Método de Newton Raphson implementado no Maple IX

> restart; > with(LinearAlgebra): > fd := fopen(NREDados,APPEND); > d1:=0.05; > d2:=0.05; > t:=0; > dt:=0.05; > T:=2; > n:=100; > fprintf(fd,"t dt T n d1 d2\n"); > fprintf(fd,"%g %g %g %g %g %g\n",t,dt,T,n,d1,d2); > fprintf(fd,"i t d1 d2 N1 N2\n"); > for t from 0 by dt to T do; > R1:= 40*t-(10*d1-5*d2^2+0.4*d2^3); > R2 := 15*t-(10*d2-3*d1^2+0.4*d1^3); > K11:=-10; > K12:=-10*d2+1.2*(d2^2); > K21:=-6*d1+1.2*d1^2; > K22:=-10; > detK:=(K11*K22-K12*K21); > delta_d1:=-(R1*K11+R2*K12)/detK; > delta_d2:=-(R1*K21+R2*K22)/detK; > ddo:=delta_d1*R1+delta_d2*R2; > d1:=d1+delta_d1; > d2:=d2+delta_d2; > ddi:=ddo; > for i from 0 to n while ddi > 1E-20 do > R1:= 40*t-(10*d1-5*d2^2+0.4*d2^3); > R2 := 15*t-(10*d2-3*d1^2+0.4*d1^3); > K11:=-10; > K12:=-10*d2+1.2*(d2^2); > K21:=-6*d1+1.2*d1^2; > K22:=-10; > detK:=(K11*K22-K12*K21); > delta_d1:=-(R1*K11+R2*K12)/detK; > delta_d2:=-(R1*K21+R2*K22)/detK; > ddi:=(delta_d1*R1+delta_d2*R2)/ddo; > d1:=d1+delta_d1; > d2:=d2+delta_d2;

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> N1:=10*d1-5*d2^2+0.4*d2^3; > N2:=10*d2-3*d1^2+0.4*d1^3; > end do; > fprintf(fd,"%g %g %g %g %g %g\n",i,t,d1,d2,N1,N2); > end do; > fclose(fd);

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A. 11 – Tablea de Resultados Gerado pelo Método de Newton Raphson implementado no Maple IX

t Dt T n d1 d2 0 0,05 2 100 0,05 0,05 i t d1 d2 N1 N2 3 0 0 0 0 0 4 0,05 0,203768 0,087118 2 0,75 4 0,1 0,419656 0,199877 4 1,5 4 0,15 0,657293 0,343251 6 2,25

101 0,2 0,934073 0,529149 8 3 5 0,25 1,29196 0,789491 10 3,75

101 0,3 1,95328 1,2965 12 4,5 1 0,35 0,731449 0,600048 5,60062 4,55197

101 0,4 5,19143 3,08873 16 6 101 0,45 5,4398 3,11357 18 6,75 101 0,5 5,64313 3,11528 20 7,5 101 0,55 5,81799 3,10238 22 8,25 101 0,6 5,97291 3,0792 24 9 101 0,65 6,11296 3,04825 26 9,75 101 0,7 6,24141 3,01114 28 10,5 101 0,75 6,36053 2,96895 30 11,25 101 0,8 6,47195 2,92244 32 12 101 0,85 6,57691 2,87216 34 12,75 4 0,9 6,67637 2,8185 36 13,5 3 0,95 6,77108 2,76177 38 14,25

101 1 6,86166 2,70218 40 15 101 1,05 6,94862 2,6399 42 15,75 101 1,1 7,03239 2,57502 44 16,5 101 1,15 7,11333 2,50761 46 17,25 101 1,2 7,19176 2,4377 48 18 101 1,25 7,26796 2,36528 50 18,75 101 1,3 7,34218 2,2903 52 19,5 3 1,35 7,41465 2,21268 54 20,25 5 1,4 7,48558 2,13232 56 21 5 1,45 7,55517 2,04904 58 21,75 4 1,5 7,6236 1,96266 60 22,5 3 1,55 7,69108 1,87289 62 23,25 3 1,6 7,75779 1,77941 64 24

101 1,65 7,82395 1,6818 66 24,75 101 1,7 7,88977 1,57949 68 25,5 101 1,75 7,95553 1,47177 70 26,25 101 1,8 8,02154 1,35767 72 27 3 1,85 8,08818 1,23587 74 27,75

101 1,9 8,15602 1,10445 76 28,5 4 1,95 8,22583 0,960493 78 29,25 3 2 8,2989 0,79914 80 30

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438

Bibliografia 1 – Hughes, T. J. R., The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element

Analysis, Prentice-Hall, 1987.

2 – Cook, R. D., Malkus D. S. and Plesha M. E., Conceptions and Applications of Finite

Element Analysis, 3rd edition, Wiley, 1989.

3 –Bathe, K. J., Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, 1982.

4 – Johnson, C., Numerical Solutions of Partial Differential Equations by the Finite Element

Method, Cambridge University Press (texto muito matemático), 1987.

5 – Strang, G. and Fix, G. J., An Analysis of the Finite Element Method, Prentice-Hall (muito

matemático, uma referência extraordinária para a época), 1973.

6 – Zienkiewicz, O. C., and Taylor, R. L. The Finite Elements Method, 4th.Edition, vol.1 e

vol. 2, McGraw-Hill, 1989-91.

7 – Reddy, J. N. and Gartiling, D. K., The Finite Element Method in Heat Transfer and Fluid

Dynamics, CRC Press, 1994.

Endereços da Internet para consultas sobre o código FEAP

8 – http://euler.berkeley.edu/decf/help/feap/report.txt Version 2.33

9 – http://www.ce.berkeley.edu/~rlt/readme.txt

10 – ncftp://ce.berkeley.edu/pub/pcfeap

11 – http://www.kagaku.co.jp/pcfeap.htm

OBS: Os itens mais importante são os itens 8, 9, 10.