5910236 – Física II (Química) – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque – Aula 1

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Movimentos Periódicos

Para estudar movimentos oscilatórios periódicos é conveniente ter

algum modelo físico em mente. Por exemplo, um corpo de massa m

preso a uma mola de massa desprezível.

Neste caso, as oscilações podem ser descritas por apenas uma

coordenada1: o deslocamento x − x0 do corpo em relação à posição

de equilíbrio x0 (que será tomada como zero sem perda de

generalidade).

1 Dizemos que o sistema tem apenas um grau de liberdade.

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Quando o corpo está deslocado da posição de equilíbrio, ele está sob

efeito de uma força restauradora F que pode ser escrita como

…−−−−= 33

221)( xkxkxkxF

onde k1, k2, k3, etc são constantes.

Para pequenos valores do desvio |x| em relação à posição de

equilíbrio, pode-se desprezar os termos de ordem quadrática, cúbica,

etc em x de maneira que a força restauradora é aproximada por

xkxF 1)( −= .

Esta é a chamada lei de Hooke, nome dado em homenagem ao físico

inglês Robert Hooke (1635-1703).

Combinando a lei de Hooke com a segunda lei de Newton, temos a

equação do movimento para o corpo de massa m

xkdtxdm 12

2

−= . (1)

Por razões que ficarão mais claras adiante, vamos reescrever a

equação (1) como

xxmk

dtxd 212

2

ω−=−= (2)

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onde

mk1≡ω . (3)

A equação (2) descreve o que se chama de oscilador harmônico

simples unidimensional.

Qualquer sistema físico com um grau de liberdade que oscile com

pequenos deslocamentos em relação uma posição de equilíbrio

estável deve obedecer, aproximadamente, a equação (1).

Quando os deslocamentos não são pequenos os termos não-lineares

(de ordem superior a um em x) na força F(x) não são desprezíveis e

o comportamento resultante é mais complicado. Não vamos

considerar esses casos não-lineares aqui.

A equação do movimento (1) é uma equação diferencial ordinária

linear de 2a ordem.

• Ela é ordinária porque não envolve derivadas parciais em x;

• Ela é de 2a ordem porque a derivada de ordem mais elevada

que aparece é a de 2a;

• Ela é linear porque não aparecem termos não lineares em x

(como x2, x3, etc) e em dx/dt, d2x/dt2, etc (como (dx/dt)2,

(dx/dt)3, (d2x/dt2)2, (d2x/dt2)3, etc).

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Pode-se verificar por substituição que a equação (2) é satisfeita pelas

funções trigonométricas sen(ct) e cos(ct) com a constante c igual a

ω. Mostre isso como exercício.

Portanto, as seguintes funções são soluções da equação (1):

)cos()()(sen)(

2

1

ttxttx

ω

ω

=

=

Temos o seguinte resultado da teoria das equações diferenciais:

qualquer equação diferencial linear de 2a ordem homogênea (como é

o caso da equação 2) satisfaz as seguintes propriedades:

1. Se x1(t) e x2(t) são soluções, então x1(t) + x2(t) também é;

2. Se x(t) é solução, então ax(t) (onde a = constante) também é.

Como consequência, a combinação linear

)()()( 21 tbxtaxtx +=

também é solução. Este resultado (princípio da superposição) é uma

consequência da linearidade da equação diferencial.

Outro resultado da teoria das equações diferenciais é o de que a

solução geral de uma equação diferencial ordinária de 2a ordem

depende de duas constantes arbitrárias.

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Uma consequência dos resultados acima é que se x1(t) e x2(t) são

soluções independentes, isto é, se x2(t) não é múltipla de x1(t), a

combinação linear acima é a solução geral da equação diferencial

(pois depende de duas constantes arbitrárias, a e b).

Aplicando o que foi visto acima ao caso do oscilador harmônico

simples unidimensional, temos que a solução geral da equação (2) é

)cos()(sen)( tbtatx ωω += .

Esta solução também pode ser escrita como

)(sen)( 0ϕω += tAtx (4)

onde usou-se a identidade trigonométrica

( ) )cos(sencossen)(sen 000 ttt ωϕϕωϕω +=+ .

Mostre isso como exercício.

Portanto, a solução geral do movimento harmônico simples é uma

oscilação senoidal (ou cossenoidal). A representação gráfica dessa

oscilação é dada abaixo.

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A oscilação senoidal tem as seguintes propriedades:

1. Ela está confinada dentro dos limites x = ±A, onde A é a

amplitude da oscilação;

2. Ela tem um período T dado pelo tempo entre, por exemplo,

dois máximos sucessivos.

Como o período da função seno corresponde a um incremento de 2π

no seu argumento, temos que

( ) πωπϕωϕω 22sen))([sen 00 =⇒++=++ TtTt

ou

ωπ2

=T . (5)

Note que o período das oscilações é independente da amplitude. Este

é um resultado válido apenas para o movimento harmônico simples

e deixa de valer para oscilações não-lineares.

A frequência da oscilação f é definida como o inverso do período

πω2

1==

Tf (6)

e a sua unidade é o hertz (Hz) ou ciclos por segundo. A grandeza ω

é denominada frequência angular e a sua unidade é o radiano por

segundo (rad/s) ou simplesmente s-1.

O argumento da função seno,

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0ϕωθ += t (7)

é chamado de fase do movimento e o seu valor para t = 0 é a

constante de fase ou a fase inicial do movimento (φ0).

A figura abaixo mostra o efeito de se variar a fase inicial mantendo-

se constantes todos os demais parâmetros. A curva oscilatória é

deslocada rigidamente ao longo do eixo t.

As duas constantes arbitrárias A e φ0 da solução (4) podem ser

determinadas a partir das condições iniciais x0 e v0 = (dx/dt)|0.

Portanto, para t = 0 temos

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00

00

cossen

ϕω

ϕ

AvAx

=

=

de onde obtemos que (mostre como exercício)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+=

−

0

010

2

202

0

tanvxwvxA

ωϕ

.

Até aqui, representamos o movimento harmônico simples por uma

função seno. Porém, tudo também poderia ter sido feito

representando-se o movimento harmônico simples por uma função

cosseno:

)(cos)( 0αω += tAtx . (8)

As representações do movimento harmônico simples em termos de

um seno ou de um cosseno são equivalentes.

Para mostrar isto, basta lembrar que

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=2

sencos πθθ .

Para que as equações (4) e (8) sejam idênticas devemos ter

( ) ( )00 costsen αωϕω +=+ t .

Usando a identidade acima,

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( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=+2

sensen 00π

αωϕω tt .

Para que a igualdade seja satisfeita, basta que as constantes de fase

sejam definidas de modo que

200π

αϕ += ,

ou com o lado direito da expressão acima acrescido de qualquer

múltiplo de 2π.

Dependendo da circunstância, pode-se escolher representar o

movimento harmônico simples em termos do seno ou do cosseno.