MOVIMENTOS OSCILATÓRIOS

MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES (MHS) DE UM CORPO NUMA MOLA Se tivermos um corpo numa mola no estado normal como mostra a figura:

0 - comprimento inicial da mola

E puxarmos o corpo para a direita, a mola passa a exercer, sobre o corpo

uma força F

.

- comprimento da mola Sendo:

0 x

0x

0F

Por outro lado, se largarmos o corpo, a mola encolhe e atinge um comprimento mínimo, passando a exercer uma força com sentido positivo.

Sendo:

0 x

x x

x

0

x x

0x

0F

Conclusões:

Se x > 0 F < 0

Se x < 0 F > 0 Estas conclusões podem traduzir-se pela Lei de Hooke:

xKF K – constante elástica da mola

Ou, em termos vetoriais:

xKF

Por outro lado, a elongação da mola em função do tempo é dada pela expressão (ver matéria do 11º ano para movimentos harmónicos):

)( )( tsenAtx

A – amplitude (m)

ω – velocidade angular (rad/s)

– fase inicial do movimento (ângulo)

Outra expressão geral pode ser:

)cos( )( tAtx

Exemplo: mola cujo movimento se pode apresentar pelo gráfico da figura que se segue.

s 4T

rad/s 24

22

T

A = 0,2 m

Substituindo estes valores na expressão:

)( )( tsenAtx

Obtém-se:

tsentx

2 2,0)(

Quando t = 0 s, o valor de x é zero (ver gráfico), obtém-se:

00

2,0

00

2 2,00 sensensen

Neste caso, o valor de π não serve, porque nos instantes iniciais os valores de x são positivos (ver gráfico).

Assim, a expressão geral para este movimento pode ser:

(SI) 2

2,0)(

tsentx

Expressão alternativa

Substituindo os valores de A = 0,2 m e de rad 2

, na expressão:

)cos( )( tAtx

Obtém-se:

ttx

2cos 2,0)(

Quando t = 0 s, o valor de x é zero (ver gráfico), obtém-se:

2

3

20coscos

2,0

00

2cos 2,00

Neste caso, o valor de π/2 não serve, porque nos instantes iniciais os valores de x são positivos (ver gráfico).

Assim, a expressão geral para este movimento pode ser:

(SI) 2

3

2cos 2,0)(

ttx

Exercício

Indicar as duas expressões possíveis, x = f(t), para o movimento descrito pelo gráfico:

VELOCIDADE NO MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES (MHS) Se considerarmos a expressão geral:

)( )( tsenAtx

Obtém-se:

)( tsenAdt

dv

dt

dxv

)cos( tAv

ACELERAÇÃO NO MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES (MHS)

Neste caso, obtém-se:

tAdt

da

dt

dva cos(

)( 2 tsenAa

RELAÇÃO ENTRE A ELONGAÇÃO E A ACELERAÇÃO NO MHS

Partindo das expressões:

)( tsenAx

)( 2 tsenAa

Obtém-se a relação entre a e x:

2

2

)(

)(

x

a

tsenA

tsenA

x

a

xa 2

RELAÇÃO ENTRE A VELOCIDADE ANGULAR E A CONSTANTE ELÁSTICA DE UMA MOLA A partir da Lei de Hooke e da 2ª Lei de Newton obtém-se:

maKx

maF

KxF

R

R

A partir desta expressão e da relação entre x e a obtém-se:

222

2)(

m

KmKxmKx

xa

maKx

m

K

ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA DE UMA MOLA A representação gráfica da lei de Hooke:

xKF

Origina o gráfico:

x

x

x

-Kx

-Kx

F

O trabalho realizado pela força elástica da mola é dado pela área do gráfico entre a reta e o eixo das abcissas. w(F) = Área de um retângulo

2

)()(

2)(

KxxFw

alturabaseFw

2

2

1)( KxFw

Por outro lado, a variação da energia potencial associada a uma força conservativa é igual ao simétrico do trabalho dessa força.

)(FwEP

222

2

1

2

1

2

10

KxEEKxEKxE PPPP

)0 ( 0

xparanuloévalorcujoequilíbriodepotencialEnergiaEP

Logo, obtém-se:

2

2

10 KxEP

2

2

1KxEP

PÊNDULO GRAVÍTICO

Considerando a figura: Obtém-se:

tg

P

F

P

senT

P

F

PP

senTFRRR

cos

cos

tgPFR

Para ângulos pequenos:

sentg

Logo:

senmgFsenPF RR

Considerando o triângulo do pêndulo:

P

T

RF

0 x

θ

θ

θ

pêndulodoocompriment

0 x

θ

x

Tem-se:

senx

Substituindo na expressão anterior de FR, obtém-se:

xmg

Fx

mgF RR

Por comparação desta expressão com a Lei de Hooke:

xKF

Conclui-se:

mgK

Por outro lado, a velocidade angular de um MHS é:

m

K

Substituindo por T

2 e K por

mg , obtém-se:

Tg

g

Tm

mg

T

222

gT

2

Período de oscilação de um pêndulo