movimento uniformemente acelerado e queda livre

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Aula 4 Movimento Unidimensional Aplicações: Movimento Uniformemente Acelerado e Queda Livre

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MUA

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Aula 4

Movimento Unidimensional Aplicações: Movimento Uniformemente Acelerado e Queda Livre

Movimento Unidimensional

Cinemática - descrição do movimento, usando os conceitos de espaço e tempo, sem levar em conta as causas desse movimento

Algumas considerações: Movimento efetuado ao longo de uma linha reta

(vertical, horizontal ou inclinada) Corpo tratado como uma partícula

Descrição do movimento de Galileu: velocidade escalar, velocidade e aceleração

Conceito de Movimento

Todos os objetos estão animados de movimento, mesmo os que parecem em repouso – movimento em relação ao sol

Neste preciso momento, estamos em movimento com uma velocidade de : 107 000 Km/h (em relação ao sol)

Velocidade média (1)

A velocidade escalar (rapidez) média é o quociente entre a distância percorrida e o intervalo de tempo:

A velocidade média da partícula é definida como a razão do deslocamento e o intervalo de tempo

tdv

if

ifx tt

xxtxv

Velocidade média (2)

Velocidade escalar média é uma grandeza escalar depende da trajetória Informa quão rápido uma partícula executou um

movimento

Velocidade média é uma grandeza vetorial: direção positiva ou negativa independente da trajetória pode ser zero mesmo que a partícula tenha percorrido

uma certa distância geometricamente, corresponde ao coeficiente angular

da reta que une os pontos P e Q. Indica a rapidez e em que direção se move a particula

Velocidade média (3)

Velocidade escalar média não é igual ao módulo da velocidade média.

Exemplo: Partícula move-se da origem (x=0m) até x=10m e de volta à origem, em 4s.

Atenção à diferença entre deslocamento (x) e distância percorrida (d).

104

00

mstxvx

154

1010

mst

dv

Velocidade média (4)

Um objeto pode ter uma velocidade escalar (rapidez) constante, mas a sua velocidade variar em cada instante.

Velocidade instantânea (1)

Velocidade de uma partícula em qualquer instante de tempo

Pode ser positiva, negativa ou nula

dtdx

txv

tx

0

lim

Velocidade instantânea (2)

O módulo da velocidade instantânea é a velocidade escalar (rapidez) instantânea – num intervalo de tempo infinitesimal, o módulo do deslocamento é igual à distância percorrida pela partícula.

A velocidade escalar nunca pode ser negativa Uso da palavra velocidade para designar

velocidade instantânea

Aceleração (1)

Alteração do estado de movimento

A aceleração média de uma partícula é definida como :

É uma grandeza vetorial, sendo a medida da rapidez com que a velocidade muda.

tv

ttvv

a x

if

xixfx

Aceleração (2)

Por vezes, o valor da aceleração média pode ser diferente em intervalos de tempo diferentes, introduzindo-se o conceito de aceleração instantânea:

2

2

0lim

dtxd

dtdv

tv

a xx

tx

Aceleração (3)

Uso do termo aceleração para designar aceleração instantânea

Velocidade e aceleração no mesmo sentido, corpo mais rápido nessa direção

Velocidade e aceleração em sentidos opostos, a velocidade escalar do corpo diminui com o tempo

Aceleração negativa não significa necessariamente que o movimento de um corpo esta se tornando mais lento

Aplicação - Aceleração Constante (1)

A aceleração média em qualquer intervalo de tempo é igual à aceleração instantânea em qualquer instante do intervalo de tempo considerado.

A velocidade varia linearmente com o tempo, durante o seu movimento

Nota:

t

t

t

t

dttvtx

dttatv

seguetettcomdttattv

ta

0

0

0101

)()(

)()(

0)()(

)(1

0

tdtxd

dttdvta

dttdxtv

tx

2

2 )()()(

)()(

)(

tt

t

xtvatdtvatdttvtx

vtadttatv

constatacom

000

20

0

00

21)()(

)()(

)(Exemplo:

avatdtdta

vatxtvatdtdtv

0

0002

)(

21)(

Aceleração Constante (2)

Substituindo nas equações o valor médio da aceleração por ax e fazendo xi=x0, xf=x, ti=0 e tf=t vem:

A velocidade média é igual à média entre os valores inicial e final

todeslocamen do função em Velocidade )(2

tempodo função em toDeslocamen 21

tempodo função em Velocidade

020

2

200

0

xxavv

attvxx

atvv

20 vv

vm

Aceleração Constante (3)

No caso particular da aceleração ser zero (a=0), a velocidade permanece constante e a posição da partícula varia linearmente com o tempo – movimento com velocidade constante.

a v x

t t t

Aceleração Constante (4)

Problema: um carro viaja com uma velocidade constante de 45 ms-1. Passa por uma moto de polícia escondida atrás de uma placa. Um segundo após o carro ter passado pela placa, a moto arranca com uma aceleração constante de 3ms-2. Quanto tempo ela demora para ultrapassar o carro em movimento?

v

t

carro

mota

t

Aplicação -Queda Livre (1)

Os objetos caem por que há força de gravidade.

Quando a resistência do ar for desprezada e a queda for devida unicamente ao efeito da gravidade – Queda Livre

Movimento equivalente ao movimento unidimensional com aceleração constante

Queda Livre (2)

Escolhendo a direção positiva do eixo dos y para cima, como a aceleração da gravidade está dirigida para baixo, é negativa; isto é a=-g.

Cuidado: o sinal da aceleração já está incluído nas expressões

)(2

21

020

2

200

0

yygvv

gttvyy

gtvv

Queda Livre (3)

O que acontece se um objeto é lançado para cima?Uma vez libertado, continua a subir por um bom e depois volta a descer. No ponto mais alto da sua trajetória, quando está mudando a direção de movimento ascendente para descendente, a sua velocidade instantânea é zero. Depois continua descendo, como se tivesse sido largado do repouso (para essa altura).

Problema: Uma pedra é arremessada verticalmente para cima, a partir do terraço de um edifício, com uma velocidade inicial de 20ms-1. O prédio tem 50 m de altura.

Determine:a) o tempo que a pedra leva a atingir a altura máximab) a altura máxima (acima do terraço)c) o tempo que a pedra demora a passar pelo nível do arremessadord) a posição e a velocidade da pedra para t=5s.

Queda Livre (4)

Aula 5

Movimento a Duas e Três DimensõesAplicações: Movimento de Projétil e Movimento Circular

Grandeza Escalar versus Vetorial

Grandeza Escalar: caracterizadas apenas por um valor numérico e unidade correspondente

Grandeza Vectorial Módulo Direção Sentido

Exemplos de grandezas vetoriais: posição, velocidade, aceleração, força…

A

Componentes de um Vetor (plano)

Vetor A no plano xy, pode ser expresso através das suas componentes Ax e Ay e dos vetores unitários i, j

Módulo

Direcção

Relação entre os co-senos diretores

jAiAA yx

22yx AAA

yy

xx

AAAA

coscos

1coscos 22 yx

Componentes de um Vetor (espaço)

O vetor a no referencial xyz

Módulo

Direção

Relação entre os co-senos directores

kajaiaa zyx

222zyx aaaa

zz

yy

xx

aa

aaaa

cos

coscos

1coscoscos 222 zyx

Vetor Deslocamento, r

Uma partícula em movimento no plano xy é localizada pelo vetor posição r traçado da origem até à partícula.

O vetor deslocamento da partícula, no intervalo de tempo t, é a variação do vetor posição:

if rrr

kzjyixr

Vetor Velocidade (1)

A velocidade média da partícula durante o intervalo de tempot é:

A velocidade média é independente da trajetória

Grandeza vetorial com a direção de r

trvm

Vetor Velocidade (2)

O vetor velocidade instantânea é o limite do vetor velocidade média, quando o intervalo de tempo considerado tende para zero:

A velocidade instantânea é igual à derivada do vetor posição em relação ao tempo

A sua direção é a da reta tangente à trajetória percorrida pela partícula

O módulo da velocidade instantânea é a velocidade escalar

jvivjdtdyi

dtdxv

dtrd

trv

yx

t

0

lim

Vetor Aceleração

Quando uma partícula se desloca do ponto A para o ponto B, a sua velocidade instantânea muda

Aceleração média

Aceleração instantâneatvam

dtvd

tva

t

0

lim

kaiaiakdtdvi

dtdv

idt

dva zyxzyx

Movimento bidimensional com aceleração constante (1)

Equações doMovimento

2

2

2

2121

21

tatvyy

tatvxxtatvrr

tavv

tavvtavv

yyiif

xxiif

iif

yyiyf

xxixfif

Movimento bidimensional com aceleração constante (2)

Problema: Uma partícula desloca-se da origem de um sistema de coordenadas xy, no instante t=0 com uma velocidade inicial de vi=20i-15j (SI). A partícula desloca-se com uma aceleração de a=4,0i (SI). Determine para t = 5s: velocidade da partícula? vetor posição?

Movimento de Projéteis (1)

Qualquer objeto em movimento a duas dimensões, sujeita à aceleração da gravidade.

Trajetória parabólica desde que: g constante e dirigida

para baixo resistência do ar

desprezível

Movimento de Projéteis (2)

Resulta da composição de dois movimentos: Componente horizontal: movimento uniforme, isto é,

velocidade constante (a=0) Componente vertical: movimento uniformemente acelerado,

com a=-g, isto é, queda livre

Movimento de Projéteis (3)

A componente horizontal do movimento é completamente independente da componente vertical, isto é não é afetada pela gravidade.

A gravidade só afeta a componente vertical

Cada uma das componentes do movimento atua de forma independente.

Movimento de Projéteis (4)

Na ausência de gravidade, o projétil seguiria uma linha reta (tracejado).

Em consequência da gravidade segue uma trajectória abaixo dessa linha, que dista desta, da mesma distância vertical , de que ele cairia se fosse largado do repouso.

Distâncias horizontais iguais em intervalos de tempo semelhante

Movimento de Projéteis (5)

Velocidade inicial

Movimento horizontal

Movimento vertical

000

000 cos

senvvvv

y

x

tvxxvv

x

xx

00

0

200

0

21 gttvyy

gtvv

y

yy

Movimento de Projéteis (6)

A distância percorrida na horizontal é designada por alcance.

O alcance máximo é obtido quando o ângulo de lançamento é 45º.

Quanto maior for o ângulo de lançamento, maior é a altura atingida pelo projétil, mas menor é o seu alcance.

Existem sempre dois ângulos possíveis (complementares) para um mesmo alcance.

0

20 2sengv

R

Movimento de Projéteis (7)

Se a resistência do ar não for desprezada, o alcance e altura máxima do projétil são menores e a trajectória não é verdadeiramente parabólica (exemplo: projéteis a alta velocidade)

Movimento de Projéteis (8)

A altura máxima é

A variação da velocidade na subida é igual à variação na descida.

O tempo de subida é igual ao da descida. Logo:

gsenv

h2

)( 200

max

00 cosvRtvoo

Movimento de Projéteis (9)

Problema: Um avião de salvamento no Alaska lança um pacote com alimentos, para um grupo de exploradores sem recursos. Se o avião se encontra a uma altura de 100m, com uma velocidade horizontal de 40m/s, em que ponto o pacote alcança o solo, em relação ao ponto em que foi lançado? Qual a velocidade do mesmo, imediatamente antes de atingir o solo?

Movimento CurvilíneoAceleração

Ar(t1)

v(t1)

v(t2)

r(t2)

v(t1)tvam

aceleração médiav

Como calcular as componentes do vetor da variação da aceleração?

Movimento CurvilíneoAceleração

tvam

aceleração média

v(t2)v(t1)

v

Como calcular as componentes do vetor da variação da aceleração?

M

SQ

- Componente tangencial de v: MS

- Componente normal de v: SQ

)()cos(*)( 12 tvtvMS

)(*)( 2 sentvSQ

- Componente tangencial da aceleração, t

tvtvat

)()cos(*)( 12

- Componente normal da aceleração, t

sentvan

)(*)( 2

dtvd

tva

t

0

lim

tttt adtdv

ttvtv

ttvtva

)()(lim)()cos(*)(lim 12

0

12

0

nt

tttn

aRv

ttv

ttv

ttv

tsentva

2

02

022

0

2

0

lim)(

lim)(*)(lim)(*)(lim

Movimento Curvilíneo

Movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória curva

Variação da velocidade em módulo aceleração tangencial

Variação da velocidade em direção aceleração normal ou centrípeta

dtvd

at

Rvan

2

ntnntt aauauaa

Movimento Curvilíneo

Movimento uniforme (v = const)e movimento curvilíneo

Movimento retilíneo (direção da velocidade = const, raio de curvatura, R = infinito)

N

t

aadtvd

a

0

t

n

aa

vRva

022

Movimento Circular

O que é que se move mais rápido num carrossel? O cavalo que está perto do exterior ou que está perto do centro? O que está afastado do centro percorre uma distância

maior em intervalos de tempo semelhantes Velocidade linear/velocidade angular

Velocidade Linear - velocidade (v); distância percorrida por unidade de tempo; maior no exterior de um objeto em rotação e menor no interior, perto do eixo de rotação.

Velocidade Angular (w) – refere-se ao número de rotações por unidade de tempo. Constante para qualquer ponto do objeto em rotação.

wRvdtdw

Movimento Circular Uniforme

Velocidade linear (escalar) constante Vetor velocidade sempre tangente à trajetória Aceleração só tem componente normal (centrípeta);

perpendicular à trajetória e dirigida para o centro

Tw 2

)( 00 ttw

Movimento Circular uniformemente acelerado

À semelhança do movimento retilíneo, temos:

RwRva

RdtdwR

dtdva

ttw

tww

n

t

22

200

0

21

Movimento Relativo (1)

Dois carros em movimento. Pretende-se medir a velocidade para o carro que está mais à direita. por um observador que se encontra na estrada (60mi/h) pelo condutor do carro que viaja imediatamente atrás – este

vê o carro sempre na mesma posição relativamente a ele próprio; mede uma velocidade escalar nula.

Dependência do referencial usado Diferença das medidas é devida à velocidade relativa

dos referenciais.

Aplicação

Problema: Uma nave espacial está em órbita a uma altitude de 200Km acima da superfície da Terra. O período da sua órbita é de 88,2min.

Qual a aceleração centrípeta da nave espacial?

Qual a sua velocidade escalar?

Movimento Relativo (2)

Referencial matemático, que nos vai permitir calcular as medidas de um observador a partir de um outro

Observador no referencial O´ em movimento relativamente ao observador no referencial O (com velocidade constante).

'

''

''

POPO

OOPOPO

OOPOPO

aa

vvv

tvrr

Movimento Relativo (3) Problema: Um barco no rio,

desloca-se para norte com uma velocidade de 10Km/h em relação à água. O rio tem uma corrente, de tal forma que a água tem uma velocidade escalar uniforme de 5Km/h em direção ao leste, relativamente ao solo.

Velocidade do barco relativamente a um observador parado na margem?

Qual a direção que o barco devia ter, para rumar para norte e a sua velocidade escalar relativamente à Terra?