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Page 1: Movimento Circular - Inícioengenhariafacil.weebly.com/.../apostila_4.0-_movimento_circular.pdfNo movimento circular, vamos estudar algumas situações, bastante cobradas em provas,

Movimento Circular

INTRODUÇÃO

Para um movimento ser curvo, é necessária a existência de pelo menos uma componente da

aceleração perpendicular à trajetória , ou seja, a aceleração não deve estar na mesma direção da

trajetória. No movimento circular, vamos estudar algumas situações, bastante cobradas em provas,

como o Movimento Circular Uniforme e o Movimento Circular Acelerado.

1 MCU

O Movimento Circular Uniforme é o movimento de rotação em que não há uma aceleração

tangencial,ou seja, não há nada que acelere o movimento, mantendo o corpo uma velocidade angular e

o módulo do vetor velocidade constante. A aceleração resultante é puramente uma aceleração

centrípeta (aponta para o centro) que é sempre perpendicular a trajetória do movimento,já a

velocidade é sempre tangente à trajetória e perpendicular à aceleração como mostrado na figura abaixo.

Figura 3.3.0

Na figura nós podemos ver que não há aceleração tangencial, somente a aceleração em azul que aponta para o centro da curva.

Para encontrar a relação entre velocidade angular e velocidade, podemos utilizar a relação da

trigonometria:

Figura 3.3.1

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S =

Sendo L o comprimento percorrido , teta o ângulo do início até o ponto que queremos e R o raio da circunferência.

Derivando dos dois lados, teremos:

Como

(variação do ângulo)

Sendo a velocidade angular, que é uma volta completa dividido pelo tempo que a partícula leva para dar uma volta, também

conhecido por período. Já f significa a frequência, ou seja, quantas voltas a partícula dá em 1 segundo, sendo

As unidades de medida relacionada à frequências são hertz = 1rotação por segundo ou rpm= 1 rotação por minuto, lembrando que a

dimensão de frequência é a mesma da velocidade angular, que geralmente é representada por radianos por segundo, mas os autores de

questões podem nos cobrar velocidade angular com medida de frequência e vice-versa.

Já o módulo da aceleração centrípeta pode ser calculado por

(a demonstração é meio

chata, usa alguns artifícios geométricos e preferimos que você acredite na gente! ).

Vetorialmente falando, sabemos que a aceleração centrípeta sempre aponta para o centro,

passando para os vetores unitários em função de , a gente vai ter:

Figura 3.3.2

Como , temos:

Assim , consideramos o vetor na direção radial , mas apontando no sentido de dentro pra fora,

já o vetor é o vetor perpendicular ao e sempre aponta na direção tangente à trajetória.

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Sendo assim, temos que a aceleração centrípeta é dada por:

O sinal de é (-), pois o vetor aponta pra fora.

Já a velocidade, aponta sempre na direção tangente à trajetória, é representada por:

2 ACELERAÇÃO TANGENCIAL

Mas nem sempre o movimento circular é uniforme. Quando a aceleração resultante não aponta

para o centro, como nos itens 1 e 3 da figura 3.1.6, há a presença além da aceleração centrípeta uma

aceleração tangencial, que está sempre apontando na direção tangente à trajetória do corpo, sendo

assim, fazendo o módulo e a direção da velocidade mudar com o tempo, sendo a aceleração resultante

dada por:

Podemos relacionar a aceleração tangencial com a aceleração angular , a partir da relação que

demonstramos a velocidade em função da velocidade angular:

Derivando duas vezes em relação ao tempo, teremos:

Como

(variação da variação do ângulo, ou variação da velocidade angular,ou

unicamente aceleração angular).

Ah, e em relação a esse a aceleração angular , podemos utilizar as mesmas regrinhas da cinemática

que utilizamos para aceleração, só que ao invés de deslocamento, usamos ângulos, ao invés de

velocidade, utilizamos velocidade angular e de aceleração, utilizamos aceleração angular, como abaixo:

(Torricelli para ângulos)

E para achar a aceleração resultante...

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Figura 3.3.3

Vemos nas figuras que a aceleração resultante (em azul) é a soma vetorial entre a centrípeta e a tangencial

E o módulo da aceleração resultante é dado, pelo Teorema de Pitágoras por:

Essa relação é válida para qualquer movimento, pois se for um MCU , já se for um

Movimento Retilíneo . Ah, e se perguntarem na prova : Um MCU tem velocidade constante pois

a aceleração resultante é nula, você já sabe que é falso! Ela tem aceleração e sim e centrípeta, isso

costuma confundir as vezes!

Transmissão de MCU

Uma das aplicações do MCU é a transmissão por meio de correias, engrenagens, ou eixo comum.

Vamos estudar cada caso e averiguar as relações em cada um.

Correias: Liga duas circunferências por corda ou correia, transmitindo, pelo fio a velocidade

linear de uma circunferência para a outra, podendo, ou não, girarem com velocidades angulares

diferentes. Muito usado em bicicletas pondo os pedais na circunferência de raio maior, que para

cada pedalada completa , fará a menor rodar bem mais que uma volta.

Figura 3.3.4 Figura 3.3.5

Nesse caso, a gente terá:

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Essa relação pode ser usada sempre que o sistema for ligado por correias ou fios, vale a pena ressaltar

que ambas as circunferências rodarão no mesmo sentido, ou ambos no horário ou ambos no anti-

horário.

Engrenagens: São peças iguaizinhas a essa do símbolo do Engenharia Fácil, e elas também

transferem, em módulo a velocidade linear, todavia no sentido contrário. Na imagem da direita

abaixo, se a engrenagem A rodar no sentido horário, a engrenagem B rodará no sentido anti-

horário e a C no sentido horário de novo, sempre alternando o sentido de rotação, todavia com

o mesmo módulo de velocidade linear, todavia com o sinal trocado.

Figura 3.3.6 Figura 3.3.7

E a relação entre as engrenagens serão:

Coloquei o módulo, pois na real em si já terão o sinal contrário do .

Fixas por eixo comum: São polias ou circunferências que são fixadas por alguma haste que liga

os eixos de rotação. Ela conserva a velocidade angular do movimento, e não a velocidade linear.

Figura 3.3.8 Figura 3.3.9

Para esse caso, a gente vai ter:

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E então...

Bora exercitar?

E : [UFRJ-2013.1]A figura mostra um trilho no plano horizontal no qual uma partícula desloca-se

da posição A para a posição B. Dentre os vetores indicados na figura não podem representar

uma aceleração da partícula, nas respectivas posições 1,2 e 3.

Figura 3.3.10

a) b) c) d) e)

Resposta:

O vetor aceleração resultante deve apontar para dentro da curva, nunca para fora como o vetor ,

pois a aceleração resultante é a soma vetorial da aceleração centrípeta (que aponta para o centro

da curva) e a aceleração tangencial que é sempre tangente, e a soma de um vetor tangente e outro

que aponta pro centro da curva, dá outro vetor que aponta pra dentro da curva, nunca pra fora.

Logo os vetores podem representar a situação mostrada, mas nunca o vetor . Alternativa

Correta Letra B.

E :[UFRJ-2012.1] Uma partícula descreve um movimento circular com velocidade de

módulo constante e igual a V. Num intervalo de tempo em que percorre ¼ da circunferência,

o módulo do vetor velocidade média é igual a

a)

b)

c) 2V d)

e)

Resposta:

Temos o seguinte caso:

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Figura 3.3.11

A velocidade do MCU é V, logo:

Já o vetor velocidade é dado por:

Dividindo uma equação por outra, teremos:

: [Moysés Nussenzveig] Na figura, a roda maior, de 30cm de raio, transmite seu movimento à

menor,de 20 cm de raio, através da correia sem fim C, que permanece sempre bem esticada e sem

deslizamento. A roda maior, partindo do repouso com aceleração angular uniforme, leva 1 min para

atingir a sua velocidade de regime permanente, e efetua um total de 540 rotações nesse intervalo

de tempo. Calcule a velocidade angular da roda menor uma vez atingido o regime permanente.

Figura 3.3.12

Resposta:

Como as polias estão interligadas por uma correia, podemos utilizar a relação:

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Já para achar , temos:

Temos que a polia maior acelera de até com aceleração constante, logo podemos

relacionar as variáveis pelas equações:

Dividindo (II) por (III), temos:

Substituindo na equação (I), a gente finaliza!

Assim como na apostila de cinemática 2D, o exercício desse conteúdo está na apostila de movimento

relativo, a próxima apostila, por causa da mistura constante dos assuntos nas provas, achamos melhor

colocar todos juntos! Show?

Bons estudos!!