Prof. Cesário

1 – QUEDA LIVRE

Um corpo está em queda livre quando a única força que age sobre ele, é o peso.Na queda livre não se leva em conta a resistência do ar.

O movimento em queda livre é um movimento com uma aceleração constante “a” que é igual à aceleração dagravidade. (a = g = 9,8 m/s2)

Em queda livre, todos os corpos caem com a mesma aceleração. Isto significa que: se soltarmos um corpo de 0,1 kg e outro de 20 kg, de uma certa altura, ao mesmo tempo, eles atingirão o solo no mesmo instante.

Para o movimento, sob a ação da gravidade, são válidas as mesmas equações do movimento uniformemente variado.

1 – Quanto tempo leva um bloco de 2,0 kg para cair de uma altura de 320 m? Considere g = 10 m/s2.

Solução: A massa não tem efeito na queda livre. São conhecidos: x = 320 m v0 = 0 (o corpo é solto da altura citada) a = g = 10 m/s2. Pedido: t (tempo) Equação: h = v0t + (1/2)at2.Substituindo: 320 = 0.t + (1/2).10t2

320 = 5t2 t = 8 s. Resposta: 8 s. 2 – Um objeto solto do alto de um edifício atinge o solo com uma velocidade de 30 m/s. De que altura caiu o objeto? (g = 10 m/s2)

Solução: dados: v = 30 m/s, v0 = 0, a = 10 m/s2. Pedido: x Equação: v2 = v0

2 + 2g. x 302 = 02 + 2.10.x x = 45 m.

3 – Para medir a profundidade de um poço artesiano, um aluno do Curso de Engenharia imaginou o seguinte procedimento: no momento em que soltava uma pedra ele ligaria o cronômetro, e no instante em que ouvisse o som da pedra atingindo o fundo do poço ele desligaria o cronômetro. Suponha que este procedimento tenha se efetivado e que o tempo gasto para ouvir o som da pedra foi de 1,89 s, qual é a profundidade do poço se a velocidade do som é 340 m/s?

Exemplos:

Solução: sejam tp o tempo gasto para a pedra atingir o fundo do poço e ts o tempo gasto para o som retornar. tp + ts = 1,89 s (1) x = (1/2)gtp

2 = vs.ts 5tp2 = 340ts (2)

Substituindo ts = 1,89 – tp de (1) em (2), resulta: 5tp

2 = 340(1,89 – tp). Resolvendo a equação obtém-se tp = 1,84 s (a outra raiz é negativa). Assim, ts = 1,89 – 1,84 = 0,05 s. x = 340 x 0,05 = 17 m. Resposta: 17 m. 2 – LANÇAMENTO PARA CIMA

No lançamento para cima a velocidade reduz uniformemente na razãode 9,8 m/s2 (a = - 9,8 m/s2).

Continuam válidas as equações do movimento uniformemente variado.

Nesse tipo de movimento podem ser observadas as propriedades:1ª - a velocidade no ponto mais alto da trajetória é nula.

2ª - a velocidade de um móvel ao passar por um ponto na subida é, em módulo, igual à velocidade ao passar pelo mesmo ponto na descida.

3ª - O tempo gasto para percorrer certo trecho na subida é igual ao tempo gasto para percorrer o mesmo tempo na descida.

4ª - A equação x = v0t + (1/2)at2, fornece a altura em que o móvel se encontra no instante “t” e não a distância efetivamente percorrida. Exemplo: se o móvel subiu 20 m e desceu 4 m, x = 16 m (altura em que se encontra).

EXERCÍCIOS

1 - Um objeto é lançado verticalmente para cima de uma base com velocidade v = 40 m/s. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 e desprezando-se a resistência do ar, quanto tempo que o objeto leva para voltar à base da qual foi lançado? Resposta: 8 s2 - Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30 m/s. Desprezando a resistência do ar e admitindo g = 10m/s2, calcular:a) o tempo gasto pelo corpo para atingir a altura máxima;b) a altura máxima atingida em relação ao solo;c) o tempo gasto pelo corpo para retornar ao solo.d) a velocidade ao chegar ao solo.

Respostas: (a) 3 s; (b) 45 m; (c) 6 s; (d) 30 m/s

3 - Um jogador de beisebol imprime uma velocidade V0 = 29,4 m/s a uma bola, que sobe verticalmente. Que altura máxima a bola atingirá? Adote g = 9,8 m/s2. Resposta: 44,1 m.

4 – Lucas lançou um pedra do alto de edifício de 40 m, uma pequena esfera com velocidade de 10 m/s. No mesmo instante soltou outra. A que altura estará a segunda esfera quando a primeira atingir o solo? Resposta: 20 m.

5 - Uma cachoeira tem uma altura de 320m. Desprezando a resistência do ar e adotando g=10m/s2. determine a velocidade da água na base cachoeira.

6 – Uma pedra é lançada para cima com velocidade de 60 m/s no mesmo instante em que outra é solta de uma altura de 120 m. Sendo g = 10 m/s2, que altura as duas vão colidir? Resposta: 100 m.

7 – Uma bola de borracha, ao bater no solo repica e volta com uma velocidade de 60% da velocidade de choque. Se essa bola é solta de uma altura de 45 m, que altura irá alcançar após a terceira batida? Resposta: 23,328 m.

8 – Uma ponte está a 45 m acima de uma estrada. Se você está na estrada e deseja jogar um objeto para que seu colega que está na ponte possa pegar, qual deve ser a velocidade mínima com que você deve lançá-la? (g = 10 m/s2) Resposta: 30 m/s.

3 – LANÇAMENTO HORIZONTAL

Quando se lança um corpohorizontalmente, ele cai, aomesmo tempo em que avançana horizontal.

Observe que a bola lançadahorizontalmente leva o mesmotempo para atingir o solo quea bola solta na vertical.

O movimento da bola lançadana horizontal pode ser considerado como a combinaçãode dois movimentos:um horizontal, com velocidade constante e outro vertical semelhante aoda bola que cai verticalmente.

v

v0

vy

Ao fim de um tempo “t”,a componente horizontal da velocidade é v0, enquanto que a componente vertical será vy = gt. Portanto, a velocidade da bola no instante “t” é

v = vo2 + (gt)2 .

Quanto à posição teremos: x = v0t e y = -(1/2)gt2

EXERCÍCIOS1 - Uma bola de pingue-pongue rola sobre uma mesa com velocidade constante de 2m/s. Após sair da mesa, cai, atingindo o chão a uma distância de 0,80m dos pés da mesa. Adote g= 10 m/s², despreze a resistência do ar e determine: a) a altura da mesa. b) o tempo gasto para atingir o solo. Respostas: (a) 0,80 m; (b) 0,4 s.2 – Uma pedra é lançada horizontalmente por um moleque do alto de uma árvore de 7,2 m com velocidade de 5 m/s. A que distância da árvore a pedra irá cair? Resposta: 6 m. 3 - Um avião, em vôo horizontal, está bombardeando de uma altitude de 8000 m um destróier parado. A velocidade do avião é de 504 km/h. De quanto tempo dispõe o destróier para mudar seu curso depois de uma bomba ter sido lançada ? (g = 10 m/s2 ). Resposta: 40 seg.4 – A que distância horizontal, o avião da questão anterior deve soltar a bomba para atingir o destróier? Resposta: 5,6 km.5 - De um ônibus que trafega numa estrada reta e horizontal com velocidade constante de 20 m/s desprende-se um parafuso, situado a 0,80 m do solo e que se fixa à pista no local em que a atingiu. Tomando-se como referência uma escala cujo zero coincide com a vertical no instante em que se inicia a queda do parafuso e considerando-se g = 10 m/s2, determine, em m, a que distância este será encontrado sobre a pista.  Resposta: 8 m.

4 – LANÇAMENTO OBLÍQUO

Observe o movimento das duasesferas.

A cada instante as duas estão àigual altura. A esfera da esquerdaapresenta um movimento de sobee desce cujo estudo foi feito noitem anterior.A esfera da direita, descreve ummovimento vertical igual ao da outra, enquanto apresenta um deslocamento horizontal com velocidade constante.

É fundamental notar que as duaschegam ao topo e depois ao soloNo mesmo momento.

(x, y)

x

y

v0

vx

v0y

Sejam v0 a velocidade de lançamento e o ângulo que v0 forma com o eixo horizontal.As componentes de v0 são: vx = v0.cos e vy0 = v0.sen

No instante t, a posição da esfera será:

x = v0.cos .t pois a componente horizontal da velocidade é constante.

y = v0sen .t – (1/2)gt2 o movimento vertical é o de um corpo que sobe e desce.

Substituindo t da primeira equação na segunda, obtém-se a equaçãoda trajetória:

y = x.tg - (1/2)g. x2

(v0cos)2

x

y

v0

(x, y)H

A

Altura máxima: H = (v0.sen )2/2g

Alcance: A = v02.sen 2/g

Alcance máximo.O alcance será máximo quando = 45º.

Amax = v02/g.

Tempo de vôo t = 2.v0sen /g

Um problema de balística:

Suponha que se deseje atingir um alvo a 8000 m de distânciausando um canhão que lança um projétil com velocidade de400 m/s. Existe porém um obstáculo a 1000 m de distância comaltura de 500 m. Qual deve ser o ângulo de lançamento?

8000 = 4002.sen 2/10

Sen 2 = (8000 x 10)/160000 = 0,50 2 = 30º ou 2 = 150º

= 15º ou 75º

Usaremos g = 10 m/s2.

A = v02.sen 2/gDa fórmula:

Vejamos se o projétil ultrapassa o alvo.A altura dele, a 1000 m de distância, deverá ser maior que 500 m.

Usando x = 1000 m, v0 = 400 m/s, calculemos y usando a equaçãoda trajetória: y = x.tg - (1/2)g. x

2

(v0cos)2

Para 15º, y = 234 m < 500 mPara 75º, y = 3265 m > 500 m.

O que mostra que o ângulo de lançamento deverá ser de 75º.

VAMOS MATAR UM MACACO DE SUSTO?

Matando macaco a susto

No momento em que o tiro sai, omacaco cai do galho, mas não foge do projétil.

O projétil é lançado na direção domacaco.

Em câmera lenta.