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PO-201 - INTRODUÇÃO A PESQUISA OPERACIONAL
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Mostre que o conjunto de soluções viáveis de um PPL é convexo e discuta suas
implicações.
2. Mostre que se há uma única solução ótima em um PPL esta é um ponto extremo do
conjunto de soluções viáveis.
3. Considere o seguinte problema de programação linear:
Maximizar Z = 3x1 + 2x2
S.A. 3x1 + 3x2 300
6x1 + 3x2 480
3x1 + 3x2 480
x1, x2 0
a. Desenhe a região viável no espaço (x1,x2).
b. Identifique se há alguma restrição redundante. R: 3x1 + 3x2 480
c. Resolva o problema enumerando os pontos extremos.
d. Resolva o problema graficamente. R: x1=60, x2=40, Z=260
e. Como você mudaria a formulação para tornar o problema inviável?
4. A PC-Express é uma loja de computadores que vende dois tipos de
microcomputadores: desktops e laptops. A empresa ganha R$600,00 por cada desktop
vendido e R$900,00 por cada laptop vendido. Os computadores que a PC-Express vende
são montados por outra empresa. Esta outra empresa tem outro pedido para atender, de
forma que não poderá montar mais do que 80 desktops e 75 laptops no próximo mês. Os
funcionários da PC-Express gastam 2 horas instalando softwares e testando os desktops.
No caso dos laptops eles gastam 3 horas. No próximo mês os empregados da PC-
Express trabalharão 300 horas nessas atividades. A PC-Express quer saber quantos
desktops e laptops serão solicitados a empresa que faz a montagem, de forma a
maximizar seu lucro.
a. Formule o problema como um modelo de programação linear.
b. Desenhe a região viável no espaço (x1,x2).
c. Resolva o problema enumerando os pontos extremos.
d. Resolva o problema graficamente. R: Há múltiplas soluções ótimas com F.O. =
R$90.000,00
e. Resolva o problema utilizando o método simplex. Como é possível identificar as
múltiplas soluções ótimas no tableau?
f. Qual o efeito na função objetivo e nas variáveis de decisão se os empregados da
PC-Express trabalharem, no próximo mês, 350 horas instalando softwares e
testando os desktops.
g. Determine quanto pode variar o número de horas mensal, que os empregados da
PC-Express podem trabalhar instalando softwares e testando os desktops, para
que não haja alternação na base da solução ótima.
5. Alumco é um fabricante de folhas de alumínio e de barras de alumínio. A capacidade
máxima de produção é estimada em 800 folhas de alumínio ou 600 barras de alumínio
por dia (obs: se ambos forem fabricados a capacidade é estimada pela combinação
linear das capacidades individuais). A demanda máxima dos produtos é de 550 folhas de
alumínio e de 580 barras de alumínio. O lucro proporcionado pelo produtos é de $40 por
folha de alumínio e de $35 por barra de alumínio. Com base nesses dados responda:
a. Formule o problema de programação linear (PPL)
b. Resolva graficamente o PPL (determine a solução ótima, o valor da função
objetivo e das variáveis de decisão).
c. Se o lucro dos produtos é 1 por folha de alumínio e 2 por barra de alumínio,
encontre a solução ótima para todos valores de 1 e 2 (considere apenas os
casos em que 1 ≥ 0 e 2 ≥ 0).
6. Considere o seguinte problema de programação linear:
Maximizar 2x1 + x2 + 4x3 + 5x5 + x6
S.A. 3x1 + 6x2 + 3x3 + 2x4 + 3x5 + 4x6 60
x1, x2, x3, x4, x5, x6 0
Esse problema tem 1 restrição, além das restrições de não-negatividade e é conhecido
como o problema da mochila. Encontre todas as soluções básicas viáveis do problema e
encontre a solução ótima comparando essas soluções básicas viáveis. R: São 7 soluções
básicas viáveis e a solução ótima é x5=20, x1= x2= x3= x4= x6= f1=0
7. Considere o seguinte problema de programação linear:
Maximizar 5x1 + 4x2
S.A. x1 + 2x2 6
-2x1 + x2 4
5x1 + 3x2 15
x1, x2 0
a. Resolva o problema graficamente. R: x1=12/7, x2=15/7, Z=120/7
b. Encontre todas as soluções básicas do problema e indique quais destas são
viáveis.
c. Resolva o problema pelo método simplex.
8. Considere o seguinte problema de programação linear:
Maximizar x1 + 3x2
S.A. x1 - 3x2 3
-2x1 + x2 2
-3x1 + 4x2 12
3x1 + x2 9
x1, x2 0
a. Desenhe a região viável no espaço (x1,x2) e ache a solução ótima. R: x1=1,6,
x2=4,2, Z=14,2
b. Resolva o problema pelo método simplex (identificando a cada iteração B, B-1
e
w).
c. Suponha que a quarta restrição seja removida. Resolva o problema pelo método
simplex e interprete a solução. R: A solução é ilimitada.
9. Os tableaux inicial e corrente são mostrados abaixo. Encontre os valores das
incógnitas a a l.
Tableaux inicial
x1 x2 x3 x4 x5 RHS
Z a 1 -3 0 0 0
x4 b c d 1 0 6
x5 -1 2 e 0 1 1
Tableaux corrente
x1 x2 x3 x4 x5 RHS
Z 0 -1/3 j k l -4
g 2/3 2/3 1/3 0 f
h i -1/3 1/3 1 3
R: a=2, b=3, c=2, d=2, e=-1, f=2, g=1, h=0, i=8/3, j= -13/3, k= -2/3 e l=0.
10. Resolva o seguinte problema de programação linear pelo método simplex e a cada
iteração identifique B, B-1
e w:
Maximizar 3x1 + 2x2 + x3
S.A. 2x1 - 3x2 + 2x3 3
-x1 + x2 + x3 5
x1, x2, x3 0
11. Resolva o problema
Maximizar 2x1 - x2 + x3
S.A. 2x1 + x2 - 2x3 8
4x1 - x2 + 2x3 2
2x1 + 3x2 - x3 4
x1, x2, x3 0
pelo método das duas fases. R: Verifica-se na 2a fase que a solução é ilimitada.
12. Resolva o problema
Minimizar Z = 4x1 + 4x2 + x3
S.A. x1 + x2 + x3 2
2x1 + x2 3
2x1 + x2 + 3x3 3
x1, x2, x3 0
pelo método Big-M e indique em qual iteração as variáveis artificiais “perderam
utilidade”. R: já na primeira iteração.
13. Resolva o problema
Maximizar Z= 3x1 + x2
S.A. x1 + x2 3
2x1 + x2 4
x1 + x2 = 3
x1, x2 0
pelo método Big-M e indique em qual iteração as variáveis artificiais “perderam sua
utilidade”.
14. Mostre que se em todas as vezes que ocorrer empate na saída a variável substituída
na base for a da 1a restrição ocorrerá ciclismo, se aplicarmos o método simplex para
resolver o seguinte PPL:
Maximizar Z = 2x1 + 3x2 - x3 - 12x4
S.A. -2x1 - 9x2 + x3 + 9x4 0
⅓ x1 + x2 -⅓ x3 - 2x4 0
x1, x2, x3, x4 0
15. Mostre que se aplicarmos a regra lexicográfica ao problema anterior não ocorrerá
ciclismo. O que ocorrerá, então?
16. Resolva o PPL
Maximizar Z = 3x1 + 5x2
S.A. x1 4
2x2 12
3x1 + 2x2 12
x1, x2 0
utilizando o método simplex (aplicado a regra lexicográfica). Obs: para chegar em uma
solução básica viável utilize o Big-M ou o método das duas fases.
17. Seja um PPL de maximização com o seguinte tableau corrente:
Atribua um valor para A, B e C para que:
a) A solução básica viável corrente seja ótima e única. R: A > 0, C ≥ 0 e B
qualquer
b) A solução básica viável corrente seja ótima, mas com múltiplas soluções ótimas.
R: A = 0, C ≥ 0 e B qualquer
c) A solução básica viável corrente seja degenerada. R: A qualquer, C = 0 e B
qualquer
d) A solução básica viável corrente não seja ótima e x3 sairá da base na próxima
iteração. R: A < 0, C ≥ 0 e C/B < 3/2
18. Uma empresa produz dois tipos de cadeira reclinável. Há duas etapas no processo de
fabricação das cadeiras – montagem e acabamento. Uma unidade da cadeira “top” de
linha requer 3/2 horas na montagem, 1 hora no acabamento e é vendida gerando lucro de
R$ 20,00. Uma unidade da cadeira mais simples requer ½ hora na montagem e ½ hora
x1 x2 x3 x4 RHS
Z A 0 0 0 3
x3 B 0 1 0 C
x2 2 1 0 0 3
x4 -1 0 0 1 5
no acabamento e é vendida gerando lucro de R$ 12,00. A disponibilidade atual é de 100
horas para montagem e 80 horas para acabamento. A empresa está envolvida em
negociações com o sindicato em relação a modificações salariais para o próximo ano e
pediram que você determinasse (quantificasse) o valor da hora de montagem e de
acabamento. R: Valor da hora de montagem = R$0,00 e Valor da hora de acabamento =
R$24,00
19. O seguinte tableau é o de uma solução ótima (problema de maximização e todas as
restrições são do tipo ).
a. Encontre Z/b1, Z/b2 e Z/b3. R: 2, 0 e 5, respectivamente
b. Se você puder comprar uma unidade adicional do primeiro recurso pagando 5/2,
você faria a compra? Porque? R: Não pois Z/b1=2
c. Outra empresa gostaria de comprar uma unidade do terceiro recurso de você.
Qual o valor dessa unidade? R: O valor do recurso é 5
d. Há soluções ótimas alternativas para o problema? Se há, encontre uma delas. R:
Sim, se x2 pode entrar na base (no lugar de x1)
20. Considere o seguinte problema de programação linear e seu tableau final ótimo:
Maximizar 2x1 + x2 - x3
S.A. x1 + 2x2 + x3 8
-x1 + x2 - 2x3 4
x1, x2, x3 0
Tableau final Z x1 x2 x3 x4 x5 RHS
1 0 3 3 2 0 16
x1 1 2 1 1 0 8 x5 0 3 -1 1 1 12
a. O que acontece na solução ótima se o coeficiente de x2, na função objetivo,
mudar de 1 para 6? Há mudança de base? Se há, encontre a nova solução ótima.
R: Há mudança de base
b. Se você pudesse escolher entre aumentar o RHS de um dos recursos, qual dos
dois você escolheria? Porque? Qual é o efeito desse aumento no valor da solução
ótima? R: Do primeiro recurso
c. Suponha que uma nova atividade com retorno unitário de 4 e vetor de consumo
= (1,2)t. Essa atividade entraria na base? R: Sim, entraria na base
Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 RHS
1 0 0 0 2 0 5
x1 1 1 0 2 0 1 2 x3 0 0 1 1 0 4 3/2
x5 0 -2 0 -1 1 6 1
variáveis de folga
21. Um fabricante de bebidas pretende lançar um novo refrigerante que é obtido
misturando refrigerante sabor laranja e suco de laranja. Análises executadas pelo
fabricante mostraram que cada ml de refrigerante sabor laranja tem 0,5 ml de açúcar e 1
mg de vitamina C e que cada 1 ml de suco de laranja tem 0,25 ml de açúcar e 3 mg de
vitamina C. O custo de produção de 1 ml de refrigerante sabor laranja é de R$0,002 e de
1 ml de suco de laranja é de R$0,004. O departamento de marketing da empresa decidiu
que o novo refrigerante será comercializado em embalagens de 300 ml por R$ 2,00 e
que cada unidade do produto deve conter no mínimo 600 mg de vitamina C e no
máximo 120 ml de açúcar. A partir desses dados responda:
a. Formule o problema como um PPL (problema de programação linear) sabendo que
o objetivo da empresa é obter uma composição que minimize o custo de produção
do novo produto (e que conseqüentemente maximizará o lucro do fabricante).
b. Resolva o PPL formulado pelo método gráfico.
c. Resolva o PPL formulado pelo método simplex.
d. Qual será o efeito no valor da função objetivo e nas variáveis de decisão se a
empresa decidir comercializar o produto em embalagens de 290 ml (e mostre
graficamente)?
e. Qual será o efeito no valor da função objetivo e nas variáveis de decisão se a
empresa decidir que o produto deve ter no máximo 115 ml de açúcar(e mostre
graficamente)?
f. Existe a possibilidade de colocar no novo produto um aditivo que custa R$0,015 por
ml, e que tem 0,1 ml de açúcar e 9 mg de vitamina C por ml de aditivo. Vale a pena
incluir esse aditivo?
g. Qual será o efeito no valor da função objetivo se o custo de produção de 1 ml de
suco de laranja aumentar de R$0,004 para R$0,005(e mostre graficamente)?
22. Um fabricante de café solúvel pretende lançar um novo produto que é obtido
misturando café arábica solúvel, café robusta solúvel e café conilon solúvel. Análises
executadas pelo fabricante mostraram que o café arábica solúvel possui luminosidade
(L) de 33 e pH de 5,1, o café robusta solúvel possui luminosidade (L) de 29 e pH de 6,2
e o café conilon solúvel possui luminosidade (L) de 26 e pH de 6,4. Sabe-se que os
cafés mais escuros (menores valores de L) e menos ácidos (pH mais elevado) são
preferidos. Assim, determinou-se que o novo produto deve ter L ≤ 30,4 e pH ≥ 5,5
(lembre-se também que a composição de café arábica solúvel, café robusta solúvel e
café conilon solúvel no novo produto deve ser igual a 100%). Para um custo de
produção de 100 g de café arábica solúvel de R$2,80, de 100g de café robusta solúvel
de R$3,90 e de 100 g de café conilon solúvel de R$4,90, a composição de mínimo custo
de produção foi x=(café robusta;café arábica;café conilon) = (0,65;0,35;0). Qual será o
efeito no valor das variáveis de decisão se a empresa decidir que L ≤ 31 e pH ≥ 5,6?
23. Solucione o problema de programação linear que se segue com auxílio das relações
expressas pela dualidade (dica: quando o problema tem apenas 2 variáveis de decisão é
possível resolvê-lo pelo método gráfico).
3,2,1,0
12
12
..
42
321
321
321
ix
xxx
xxx
as
xxxZMin
i
24. Considere o problema de programação linear (PPL):
Maximizar 5x1 + 2x2 + 4x3
S.A. 2x1 + x2 + x3 2
3x1 + 4x2 + 2x3 7
1x1 + 3x2 + 2x3 6
x1, x2, x3 0
Se a solução ótima do PPL é x1 = 0, x2 = 3/2 e x3 = 1/2, responda (obs: se você já sabe a
solução ótima não precisa resolver novamente o problema):
a. O que acontece na solução ótima (valor da função objetivo e das variáveis de
decisão) se a constante do lado direito (RHS) da primeira restrição mudar de 2
para 3, da segunda restrição mudar de 7 para 8 e da terceira restrição mudar de 6
para 9?
b. Suponha uma nova atividade (nova variável de decisão) com coeficiente na
função objetivo = 3 e vetor de consumo (coeficientes nas restrições) = (1,4,2)t.
Essa atividade entraria na base? Justifique sua resposta.
c. Formule o problema dual e indique o valor da função objetivo e das variáveis de
decisão na solução ótima.
26. Solucione o problema de programação linear que se segue com auxílio das relações
expressas pela dualidade (dica: quando o problema tem apenas 2 variáveis de decisão é
possível resolvê-lo pelo método gráfico).
Maximizar Z = 2x1 + 3x2 + 6x3 + 8x4
S.A. x1 + 2x2 + 3x3 + x4 3
-2x1 + x2 - x3 + 3x4 -4
x1, x2, x3, x4 0
26. Demonstre o teorema fraco da dualidade.
27. Demonstre o teorema das folgas complementares.
28. Considere a região de soluções da Figura abaixo, na qual desejamos encontrar o
ponto extremo ótimo que o método dual simplex usa para Minimizar Z = 2x1 + x2. A
solução ótima ocorre no ponto F = (0,5; 1,5) no gráfico.
(a) O dual simplex pode iniciar no ponto A? R: Não
(b) Se a solução básica inicial (inviável, porém melhor do que a ótima) é dada
pelo ponto G, seria possível que as iterações do método dual simplex
percorressem o caminho G → E → F? Explique. R: Não
(c) Se a solução básica inicial (inviável) começar no ponto L, indique um
possível caminho do método dual simplex que leva ao ponto ótimo viável no
ponto F. R: L→ I → F
29. Gere as iterações do dual simplex ou do simplex (determine qual método utilizar)
para os seguintes problemas e trace o caminho do algoritmo no gráfico da região de
soluções.
(a) Minimizar Z = 2x1 + 3x2
S.A. 2x1 + 2x2 ≤ 30
x1 + 2x2 ≥ 10
x1, x2 ≥ 0
(b) Minimizar Z = 5x1 + 6x2
S.A. x1 + x2 ≥ 2
4x1 + x2 ≥ 4
x1, x2 ≥ 0
30. Mostre que o método dual simplex é precisamente o método simplex (primal)
aplicado ao problema dual.
31. Considere o problema Maximizar c´x, S.A. Ax = b, x ≥ 0. Indique se as seguintes
afirmações são verdadeiras ou falsas e discuta.
a. Viabilidade do problema dual é o mesmo que otimalidade do problema primal.
b. Adicionar variáveis artificiais ao problema primal serve para restringir variáveis
que são realmente irrestritas no problema dual.
c. Converter um problema de maximização em um problema de minimização muda
o sinal das variáveis do problema dual.
d. Se o problema primal tem solução finita o seu dual não é ilimitado.
e. Se o problema primal tem múltiplas soluções ótimas então o seu dual é
degenerado.
32. Considere o seguinte PPL e seu tableau final ótimo:
Maximizar 2x1 + x2 - x3
S.A. x1 + 2x2 + x3 8
-x1 + x2 - 2x3 4
x1, x2, x3 0
Tableau final
Z x1 x2 x3 f1 f2 RHS
1 0 3 3 2 0 16
x1 1 2 1 1 0 8
f2 0 3 -1 1 1 12
a. O que acontece na solução ótima (valor da função objetivo e das variáveis de
decisão) se for inserida a nova restrição: 2x1 + x2 + 2x3 12 (obs: se a solução
corrente se tornar inviável é necessário obter a nova solução ótima).
b. O que acontece na solução ótima (problema original com apenas 2 restições) se
o coeficiente de x2, na função objetivo, mudar de 1 para 5? Há mudança de
base? Se há, encontre a nova solução ótima.
Suponha que uma nova atividade com retorno unitário de 4 e vetor de consumo =
(1,2)t. Essa atividade entraria na base? Se sim, encontre a nova solução ótima.
33. Uma empresa fabricante de sapatos previu as seguintes demandas, em unidades,
para os próximos 6 meses: mês 1 – 200; mês 2 – 260; mês 3 – 240; mês 4 – 340; mês 5
– 190; mês 6 – 150. Custa $7 para produzir um par de sapatos no turno de trabalho
regular e $11 fora do turno regular. Em cada mês, a capacidade de produção,
trabalhando-se apenas no turno regular, é de 200 pares de sapato e trabalhando-se forma
do turno regular, a empresa consegue fabricar mais 100 pares de sapato. Sabendo-se que
o custo mensal para estocar um par de sapatos é $1, formule o problema como um
problema de transporte buscando minimizar o custo total de produção, atendendo a
demanda dos 6 meses.
34. Uma grande empresa de transporte urbano serve cinco grandes cidades.
CIDADE A B C D E
Quantidade atual de ônibus 31 43 66 29 86
Demanda para o próximo período 25 29 68 36 78
Formule o problema da realocação dos ônibus, respeitando as restrições de demanda, de
modo a minimizar a distância percorrida.
DISTÂNCIA ENTRE AS CIDADES
A B C D E
A 0 1.000 1.900 3.000 2.500
B 1.000 0 800 1.500 1.200
C 1.900 800 0 1.600 1.400
D 3.000 1.500 1.600 0 600
E 2.500 1.200 1.400 600 0
35. A partir do tableau de transporte
Responda:
a. Mostre que a solução é ótima.
b. O problema tem soluções ótimas alternativas (explique sua resposta)?
c. Formule o PPL original e seu dual.
d. Obtenha a solução ótima para o problema dual.
e. Suponha que o custo c43 é aumentado de $11 para $13. Essa solução ainda é
ótima? Se não, encontre a nova solução ótima.
36. Um hospital precisa comprar 3 galões de um medicamento perecível para utilizar no
mês corrente e 4 galões para utilizar no próximo mês. Como o medicamento é perecível,
ele só pode ser utilizado ao longo do mês que foi comprado. Apenas duas empresas
fabricam o medicamento (A e B) e existe falta deste no mercado. Por esse motivo, o
hospital poderá comprar no máximo 5 galões do medicamento, de cada empresa, nos
próximos 2 meses. O preço do galão do medicamento, por mês, por fabricante é dado na
tabela abaixo:
Fabricante Preço no mês corrente Preço no próximo mês
A $800 $720
B $710 $750
Formule e resolva o problema como um problema de transporte buscando minimizar o
custo total de aquisição do medicamento.
37. Formule o problema e aplique o método simplex simplificado, para o problema de
transporte abaixo, para encontrar a solução de custo mínimo. Apresente em cada
iteração e tabela de fluxos e a tabela de coeficientes (correspondente à linha (0) do
tableau). A solução ótima encontrada é única? Justifique.
Destino 1 Destino 2 Destino 3 Cap. oferta
Origem 1 3 2 6 7
Origem 2 1 4 3 5
Origem 3 4 2 5 8
Demanda 8 6 6
38. Na terça-feira a empresa GT Railroad terá 4 locomotivas na IE Junction, 1
locomotiva em Certerville e 2 locomotivas em Wayover. Necessita-se 1 locomotiva em
cada uma das estações: A-Station, Fine Place, Goodville e Somewhere Street. A tabela
abaixo tem a distância entre as origens e os destinos:
9
Si
1 18
2 4
3 6
4 12
Dj 6 14 15 5
A B C D
4 14
4
2 4
7 5
7 12 8
15 12 12 15
8 9 6 12
14 12 11 12
9
Si
1 18
2 4
3 6
4 12
Dj 6 14 15 5
A B C D
4 14
4
2 4
7 5
Si
1 18
2 4
3 6
4 12
Dj 6 14 15 5
AA BB CC DD
44 1414
44
22 44
77 55
7 12 8
15 12 12 15
8 9 6 12
14 12 11 12
A-Station Fine Place Goodville Somewhere Street.
IE Junction 13 35 42 9
Centerville 6 61 18 30
Wayover 15 10 5 9
Formule e resolva o problema de atribuição de locomotivas objetivando minimizar a
distância total percorrida.
39. Uma companhia de transporte aéreo deve planejar suas compras de combustível.
Existem 3 fornecedores e a companhia reabastece seus aviões em qualquer dos 4
aeroportos que serve. Os fornecedores de combustível comunicaram que podem
fornecer as seguintes quantidades durante o próximo mês.
CUSTO POR LITRO PARA O AEROPORTO
FORNECEDOR LIMITE
(em litros)
1 2 3 4
1 1.000.000 3,00 2,80 2,40 2,90
2 2.000.000 2,50 2,90 2,90 3,10
3 2.400.000 2,80 3,20 3,10 2,50
As necessidades em cada aeroporto são:
Aeroporto 1: 400.000 litros
Aeroporto 2: 800.000 litros
Aeroporto 3: 1.200.000 litros
Aeroporto 4: 1.600.000 litros
Formule e resolva o problema para que a companhia de transporte aéreo minimize o
custo de compra.
40. Resolva o problema de atribuição
pelo método Húngaro.
41. Uma grande empresa do segmento varejistas contrata consultores na área de TI para
fazer o processamento dos dados transacionais de suas lojas. Na próxima semana a
empresa pretende que os dados de 6 tarefas sejam processados e para isso precisa
decidir quais consultores serão contratados (e qual ou quais serviços que cada consultor
executará, ou seja, considere que cada tarefa pode ser executada por um ou mais
consultores). A Tabela abaixo fornece os dados de número de horas de processamento
para cada uma das 6 tarefas, a disponibilidade de horas de cada um dos consultores
disponíveis e o custo, por hora, de cada uma dos consultores (por tarefa):
TAREFAS (CUSTO POR HORA):
CONSULTOR DISPONIBILIDADE
(em horas)
1 2 3 4 5 6
1 20 30,00 40,00 35,00 38,00 35,00 40,00
2 12 25,00 30,00 25,00 30,00 30,00 30,00
3 40 45,00 45,00 45,00 45,00 50,00 50,00
4 32 38,00 38,00 38,00 35,00 35,00 35,00
5 20 40,00 30,00 35,00 35,00 30,00 40,00
6 40 50,00 50,00 40,00 45,00 45,00 40,00
HORAS DE PROCESSAMENTO: 15 18 21 17 9 23
a. Formule e resolva o problema (encontre a solução ótima) buscando minimizar o custo
total de execução das tarefas.
b. O consultor 3 será contratado para executar alguma das tarefas? Se não, quanto ele
precisaria reduzir seu custo por hora para ser contratado?
42. A General Ford produz veículos em L.A. e Detroit, possui um ponto de transbordo
em Atlanta e entrega os veículos produzidos em Houston e Tampa. O custo de enviar
veículos entre pontos é dados na Tabela abaixo:
PARA
DE L.A. Detroit Atlanta Houston Tampa
L.A. 0 140 100 90 225
Detroit 145 0 111 110 119
Atlanta 105 115 0 113 78
Houston 89 109 121 0 -
Tampa 210 117 82 - 0
A fábrica de L.A. pode produzir até 1.100 veículos por mês e a fábrica de Detroit pode
produzir até 2.900 veículos por mês. Houston deve receber 2.400 veículos por mês e
Tampa deve receber 1.500 veículos por mês. Formule e resolva o problema buscando
minimizar o custo total de transporte dos veículos.
43. Um executivo deve fazer as quatro viagens de ida e volta apresentadas na lista da
Tabela P entre a matriz de sua empresa em Dallas e uma filial em Atlanta. O preço de
uma passagem de ida e volta partindo de Dallas é $ 400. Há um desconto de 25% se as
datas de chegada e de retorno de um bilhete abrangerem um final de semana (sábado e
domingo). Se a estada em Atlanta demorar mais do que 21 dias, o desconto aumenta
para 30%. Uma passagem só de ida (ou só de volta) entre Dallas e Atlanta (em qualquer
direção) custa $ 250. Como o executivo deve efetuar a compra das passagens se quer
minimizar o valor gasto em passagens?
44. A Figura abaixo dá o layout esquemático de uma oficina cujas centrais de trabalho
existentes são designadas pelos quadrados 1, 2, 3 e 4. Quatro novas centrais de trabalho,
I, II, III e IV, devem ser adicionadas à oficina nos locais designados pelos círculos a, b,
c e d. Formule o problema e resolva objetivando designar as novas centrais aos locais
propostos de modo a minimizar o tráfego total de manipulação de materiais entre as
centrais existentes e as propostas. A Tabela Q resume a freqüência das viagens entre as
novas centrais e as antigas. O equipamento de manipulação de materiais percorre os
corredores retangulares que se cruzam nos locais das centrais de trabalho. Por exemplo,
a distância de deslocamento em uma só direção (em metros) entre a central de trabalho
1 e o local b é 30 + 20 = 50m.
45. A rede da Figura abaixo mostra as rotas de expedição de carros de três fábricas (nós
1, 2 e 3) para as três revendedoras (nós 6 a 8), passando por duas centrais de
distribuição (nós 4 e 5). Os custos de expedição por carro (em $ 100) são mostrados nos
arcos.
(a) Resolva a questão como um problema de transbordo.
(b) Ache a nova solução ótima considerando que a Central de Distribuição 4
possa vender 240 carros diretamente a clientes.
46. Um fabricante de sapatos possui 6 máquinas. A tabela abaixo sumariza os custos
variáveis e de set-up das máquinas, assim como sua capacidade. O fabricante recebeu
uma encomenda de 1.800 pares de sapato. Formule o problema que determina quais
máquinas ele deve usar se o objetivo é minimizar o custo de produção.
MÁQ CUSTO DE SET-UP ($) CUSTO VARIÁVEL ($) CAPACIDADE (PARES)
1 1000 21 500
2 950 23 600
3 875 25 750
4 850 24 400
5 800 20 600
6 700 26 800
47. Resolva os PPI pelos métodos branch-and-bound e de planos de corte:
a) Max 2x1 + 3x2
S.A. x1 + 3x2 8,25
2,5x1 + x2 8,75
x1, x2 0
x1, x2 inteiros
b) Max 5x1 + 4x2
S.A. x1 + x2 5
10x1 + 6x2 45
x1, x2 0
x1, x2 inteiros
c) Min 5x1 + 4x2
S.A. 3x1 + 2x2 5
2x1 + 3x2 7
x1, x2 0
x1, x2 inteiros
48. Mostre graficamente que o seguinte PPI não tem nenhuma solução viável e então
verifique o resultado usando o branch-and-bound.
Maximizar z = 2x1 + x2
S.A. 10x1 + 10x2 9
10x1 + 5x2 1
x1, x2 0 e inteiras
49. Considere o seguinte PPI e seu tableau ótimo para o problema relaxado:
Maximizar x1 + x2
S.A. -2x1 + 2x2 3
4x1 - x2 6
x1, x2 0 e
inteiras
Tableau ótimo para o problema relaxado
Z x1 x2 f1 f2 RHS
1 0 0 5/6 2/3 13/2
x2 0 1 2/3 1/3 4
x1 1 0 1/6 1/3 5/2
a. Obtenha a solução ótima do PPI utilizando o método dos planos de corte de Gomory.
b. Obtenha a solução ótima do PPI utilizando o método branch-and-bound.
50. Equipamentos de 7 tipos diferentes, pesando p1 = 40, p2 = 50, p3 = 30, p4 = 10, p5 =
10, p6 = 40 e p7 = 30 kg, devem ser transportados em uma motocicleta com capacidade
para 100 kg. Lucra-se L1=40, L2=80, L3=10, L4=10, L5=4, L6=20 e L7=60 unidades
monetárias, respectivamente, para cada tipo de equipamento transportado. Formule o
problema e resolva utilizando uma estratégia Branch & Bound para encontrar o valor da
combinação mais lucrativa a ser transportada na motociclieta.
51. Uma fábrica de papel produz bobinas de papel com 70 polegadas de largura. Os
clientes, porém, solicitam bobinas (do mesmo comprimento) com largura menor. O
pedido de hoje são 125 bobinas de 20 polegadas e 100 bobinas de 23 polegadas.
Formule o problema e resolva utilizando uma estratégia Branch & Bound para encontrar
a solução que minimiza as perdas geradas pelos cortes.
52. Planejamento de missões de busca e salvamento: uma determinada região está sendo
ameaçada pela ruptura de uma barragem e deve ser evacuada. Para efetuar a evacuação
estão disponíveis veículos com capacidade para 24 pessoas. Para minimizar o pânico,
todos os membros de uma família deverão viajar juntos. Na região existem 72 famílias
de 6 pessoas, 148 famílias de 5 pessoas e 445 famílias de 4 pessoas. Faça o
planejamento da evacuação de forma a minimizar o número de viagens necessárias (ou
seja, o custo final da operação).
a. Formule o problema de otimização (variáveis de decisão, função objetivo e
restrições).
b. Encontre a solução ótima para o problema (dica: é possível obter a solução ótima
colocando na base as composições de famílias "mais eficientes" e mostrando que essa
solução atende o critério de otimalidade).
53. Um motorista deseja sair da cidade 1 e chegar na cidade 7. Cada rota é composta de
3 trechos, cujas distâncias (em km) aparecem na figura abaixo. Formule o problema e
encontre a rota mais curta entre as cidades 1 e 7 aplicando o algoritmo Dijkstra.
54. O Problema da rota mais curta: Ache a rota mais curta entre os nós 1 e 7 da rede
abaixo. As distâncias entre os diferentes nós são mostradas na rede.
55. A Electro produz quinze componentes eletrônicos em dez máquinas. A empresa
quer agrupar as máquinas em células projetadas para minimizar as dissimilaridades
entre os componentes processados em cada célula. Uma medida da ‘dissimilaridade’, dij,
entre os componentes processados nas máquinas i e j pode ser expressa como
onde nij é o número de componentes compartilhados entre as máquinas i e j, e mij é o
número de componentes que é usado somente pela máquina i ou pela máquina j. A
Tabela abaixo designa os componentes às máquinas.
7
6
5
4
3
2
1
3
2
4
7
6
34
2
2
4
77
66
55
44
33
22
11
3
2
4
7
6
34
2
2
4
(a) Expresse o problema como um modelo de rede.
(b) Mostre que a determinação das células pode ser baseada na solução da árvore
geradora mínima.
(c) Para os dados apresentados na Tabela, construa as soluções de duas e três células.
56. Em transporte intermodal, caminhões-reboque carregados são despachados entre
terminais ferroviários sobre vagões-plataformas especiais. A Figura abaixo mostra a
localização dos principais terminais ferroviários nos Estados Unidos e as ferrovias
existentes. O objetivo é decidir quais ferrovias devem ser ‘revitalizadas’ para enfrentar
o tráfego intermodal. Em particular, o terminal de Los Angeles (LA) deve ser conectado
diretamente ao de Chicago (CH) para dar conta do esperado tráfego pesado. Fora estes,
todos os terminais restantes podem ser conectados direta ou indiretamente de modo que
o comprimento total (em milhas) das ferrovias selecionadas seja minimizado. Determine
os trechos das ferrovias que devem ser incluídos no programa de revitalização.
57. A Figura abaixo apresenta as extensões das conexões viáveis para ligar nove bocas
de poços localizadas em plataformas marítimas offshore de gás natural com um ponto
de entrega em terra. Como a boca de poço 1 é a mais próxima do litoral, está equipada
com capacidades de bombeamento e armazenagem suficientes para bombear a produção
dos oito poços restantes até o ponto de entrega. Determine a rede mínima de tubulações
para ligar as bocas de poço ao ponto de entrega.
58. Planejamento de produção. A DirectCo vende um item cujas demandas nos
próximos quatro meses são 100, 140, 210 e 180 unidades, respectivamente. A empresa
pode estocar apenas o suficiente para atender à demanda de cada mês, ou então pode
manter excesso de estoque para satisfazer a demanda de dois ou mais meses
subseqüentes e consecutivos. No último caso é cobrado um custo de permanência de $
1,20 por unidade de excesso de estoque por mês. A DirectCo estima que os preços de
compra por unidade para os próximos quatro meses serão $ 15, $ 12, $ 10 e $ 14,
respectivamente. Um custo de preparação de $ 200 é incorrido toda vez que um pedido
de compra é colocado. A empresa quer desenvolver um plano de compra que
minimizará os custos totais de colocação de pedido, compra e permanência do item em
estoque. Formule a questão como um problema de caminho mínimo e resolva aplicando
o algoritmo Dijkstra.
59. Três refinarias enviam um produto à base de gasolina a dois terminais de
distribuição por meio de uma rede de tubulações. Qualquer demanda que não puder ser
satisfeita pela rede é adquirida de outras fontes. A rede de tubulações é atendida por três
estações de bombeamento, como mostrado na Figura abaixo. O produto flui pela rede na
direção mostrada pelas setas. A capacidade de cada segmento de tubulação (mostrada
diretamente nos arcos) é dada em milhões de barris por dia. Determine o seguinte:
(a) A produção diária em cada refinaria que combina com a máxima capacidade da rede.
(b) A demanda diária em cada terminal que combina com a máxima capacidade da rede.
(c) A capacidade diária de cada bomba que combina com a máxima capacidade da rede.
60. Construa a rede para o projeto que abrange as atividades de A a L com as seguintes
relações de precedência:
(a) A, B e C, as primeiras atividades do projeto, podem ser executadas
concorrentemente.
(b) A e B precedem D.
(c) B precede E, F e H.
(d) F e C precedem G.
(e) E e H precedem I e J.
(f) C, D, F e J precedem K.
(g) K precede L.
(h) I, G e L são as atividades terminais do projeto.
61. As atividades da Tabela abaixo descrevem a construção de uma nova casa. Construa
a rede associada para o projeto, determine o caminho crítico para a rede do projeto e sua
programação temporal.
62. Placas de circuitos (como as usadas em PCs) são equipadas com orifícios para a
montagem de diferentes componentes eletrônicos. Os orifícios são perfurados por uma
furadeira móvel. A matriz a seguir dá as distâncias (em centímetros) entre pares de seis
orifícios de uma placa de circuitos específica.
(a) Formule o problema e resolva utilizando a heurística do vizinho mais próximo e da
inversão.
(b) Resolva o problema de determinação da sequência ótima de perfuração (de menor
distância) utilizando a heurística do vizinho mais próximo repetitivo.
(c) Resolva o problema de determinação da sequência ótima de perfuração (de menor
distância) utilizando a heurística da inserção mais distante começando pelo ponto B.
63. Desejamos viajar de Cururupu no estado do Maranhão a Teresina, capital do Piauí.
A Figura abaixo apresenta a rede de trajetos que estamos considerando possíveis. Os
números sobre os arcos representam as distâncias em quilômetros e os números nos nós
representam as cidades que, também, estão descritas na rede. Pede-se:
a) Formule o problema do caminho mínimo para determinar a rota que minimiza a
distância entre Cururupu e Teresina
b) Resolva o problema utilizando o algoritmo Dijkstra. R: 436 km
64. Três refinarias enviam um produto à base de gasolina a dois terminais de
distribuição por meio de uma rede de tubulações. A rede de tubulações é atendida por
três estações de bombeamento, como mostrado na Figura abaixo. O produto flui pela
rede na direção mostrada pelas setas. A capacidade de cada segmento de tubulação
(mostrada diretamente nos arcos) é dada em mil barris por dia. Determine:
1
4
2
3
6
5
7
8
9
1011
CururupuAlcântara
Guimarães
Pinheiro
Monção
Rosário
Itapecuru Mirim
Bacabal
Caxias
Brejo
Teresina - PI
35
70
49
105
84
82
63
40
154
91
70
14663
148
a) A produção diária em cada refinaria que combina com a máxima capacidade da rede.
R: 1150, 2220, 3180 (Fluxo máximo = 550)
b) A demanda diária em cada terminal que combina com a máxima capacidade da rede.
R: 10360, 11190 (Fluxo máximo = 550)