monografiafinalrevisada

7/31/2019 MONOGRAFIAFINALrevisada

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Francisco Bento Lustosa

Paredes de Domnio geradas por kinkscontinuamente deformveis em vriasdimenses

Fortaleza

30 de novembro de 2011


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Paredes de Domnio geradas por kinkscontinuamente deformveis em vrias

dimensesMonografia de final de curso submetida coordenao do curso de graduao em Fsicada Universidade Federal do Cear como requisito parcial para obteno do diploma deBacharel em Fsica

Orientador:

Carlos Alberto Santos Almeida

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR DEPARTAMENTO DE FSICA

Fortaleza

30 de novembro de 2011


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Paredes de Domnio geradas por kinkscontinuamente deformveis em vriasdimenses

Monografia de final de curso submetida coordenao do curso de graduao em Fsicada Universidade Federal do Cear como requisito parcial para obteno do diploma deBacharel em Fsica

Aprovada em 30 de novembro de 2011

BANCA EXAMINADORA

____________________________Prof. Dr. Carlos Alberto Santos Almeida

(Orientador)Universidade Federal do Cear

____________________________Prof. Dr. Andr Auto MoreiraUniversidade Federal do Cear

____________________________Prof. Dr. Jos Ramos GonalvesUniversidade Federal do Cear


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Aosqueviro


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AGRADECIMENTOS

Aproveito esta oportunidade para agradecer a todos os que contriburam no s

para este trabalho, mas para toda a minha formao como fsico e como pessoa durante

meus anos na Universidade;

aos meus pais, Isabel Lustosa e Csar Duarte, por terem me proporcionado em

todas as etapas da vida uma educao emancipadora, me ensinando a ver e viver com os

prprios ps e decidir os meus caminhos com liberdade;

ao Centro Educacional Ansio Teixeira e a todos os seus funcionrios, em

especial Denise Laureano, Marcelo S Correa, Cludio Veloso e, mais especialmente

ainda aquele que me fez ver que Fsica vida!, Antonio Csar;

aos meus amigos e familiares que fizeram de Fortaleza minha cidade,

principalmente super Cllia Lustosa e s amigas Lila, Mariana, Louise e Giulianna;

aos meus amigos universitrios de muitos cursos que me proporcionaram

vivenciar este espao como ele deve ser vivenciado, trocando experincias com as

diversas reas, aproveitando os diversos espaos, criando diversos conhecimentos;

em especial aos amigos dos cursos de Arquitetura e Urbanismo Nicole,

Bujinha, Gabriel, Icaro e de Comunicao Social Joo, Iane, Amanda, Raquel que

me permitiram desenvolver muitos outros conhecimentos e experincias;

aos grandes companheiros que fiz no meu curto espao de tempo no movimento

estudantil, que me ensinam a cada dia mais o significado da palavra companheiro,

Ceclia, Poti, Pedrinho, Louise, Germano, Jonas, Monalisa, Renata, Leonardo, Julio e

muitos outros que foram e que viro;

aos muitos amigos com quem tive a oportunidade de conversar e discutir sobre

os problemas mais profundos do conhecimento fsico, biolgico e at social, me

instigando a ir cada vez mais longe na tentativa de entender a Fsica;aos colegas do curso de Fsica (da UFC e da UFRJ), e em especial aos colegas

de Lassco, que em muitos momentos, mesmo sem perceber, me mostraram que eu

estava mesmo no lugar certo, dando conselhos e servindo de exemplo;

aos professores e funcionrios do Departamento de Fsica da UFC, em especial

aos professores Jos Ramos, Andr Auto, Marcos Antonio e ao meu orientador, Carlos

Alberto;

ao CNPQ e UFC pelo apoio financeiro.


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Gnesis

Primeiro no havia nada

Nem gente, nem parafuso

O cu era ento confuso

E no havia nada

Mas o esprito de tudo

Quando ainda no havia

Tomou forma de uma jia

Esprito de tudo

(Caetano Veloso)

Only by pressing on to study the history of the universe at still earlier times can these

final mysteries be resolved. But at earlier times the universe was hotter, and we can extend

the study of the universe to the very earliest times only by considering the behavior

of matter at the very highest energies. Thus, with the deepest questions about particle

physics pointing us to ever smaller distances, and the deepest questions about cosmology

pointing us to ever earlier times, the study of the elementary particle meets the study of

the universecosmology and particle physics are one.

(Jason Preskill)


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RESUMO

Neste trabalho apresentaremos os kinks, analisando suas caractersticas e mostrando que

eles podem representar defeitos topolgicos em teorias quntico-relativsticas.

Abordaremos os princpios bsicos da Relatividade Geral para podermos construir um

cenrio aonde exista uma parede de domnio que tenha sua espessura controlada pelo

parmetro que regula o campo escalar gerador. Localizaremos esse campo neste cenrio

e analisaremos suas caractersticas e interaes com a gravidade.


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ABSTRACT

In this work we will present kinks, analyzing their characteristics and showing that they

could represent topological defects in quantum-relativistic theories. We will approachthe basic principles of General Relativity to construct a model in which exist domain

walls that has its thickness controlled by the parameter that regulates the generating

scalar field. We will then localize this field in this model and analyze its characteristics

and interactions with gravity.


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SUMRIO

INTRODUO p. 09

1 KINKS E PAREDES DE DOMNIO p. 141.1 Teoria Quntica de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 141.2 A Equao de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 151.3 Kinks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 171.4 O Teorema de Derrick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 201.5 O Mtodo de Bogomolny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 211.6 Flutuaes e perturbaes na soluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 221.7 Paredes de Domnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

2 CONCEITOS BSICOS DA TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL p. 262.1 A Teoria da Relatividade Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 262.2 O Princpio da Equivalncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 282.3 A Acelerao de a curvatura do espao-tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 292.4 Foras Gravitacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 302.5 O Princpio da Covarincia Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 312.6 O tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 322.7 A equao do campo gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 332.7.1 A Identidade de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 342.7.2 O limite newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

2.7.3 A equao do campo gravitacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 353 GRAVIDADE ACOPLADA A UM CAMPO ESCALAR CONTINUAMENTEDEFORMAVEL p. 393.1 Construindo a equao de movimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 393.2 Solues do tipo Kink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 433.3 Gravidade acoplada ao campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

CONCLUSO p. 50APNDICE p. 51

1 Superando o Teorema de Derrick p. 51

2 O mtodo de Bogomolny para o potencial p. 52

3 Perturbaes na soluo do tipo kink p. 54REFERNCIAS p. 56


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INTRODUO

A cincia natural tem, desde a sua gnese, tentado juntar elementos para

descrever o Universo como um todo. A partir da anlise de situaes de nosso dia-a-dia

nos interessamos pelo comportamento dos corpos, dos fluidos, da luz, etc. O

desenvolvimento das cincias naturais e de suas ferramentas (experimentais e

matemticas) nos permitiu adquirir uma compreenso profunda de muitos dos

fenmenos fsicos que regem o mundo a nossa volta. Porm, todo esse conhecimento foiproduzido a partir de pequenas experincias, explicando muitos fenmenos

separadamente mas sem nos proporcionar uma viso que permita entender a natureza

como um todo, um nico.

Isaac Newton foi um fsico que dedicou sua vida a estudar diferentes, e

aparentemente desconexos, aspectos da fsica natural. No entanto, apesar de ser capaz

de descrever perfeitamente as foras que movem polias, como os planetas orbitam em

torno do Sol ou com que ngulo determinado feixe de luz sair de um meio ele tevepouco sucesso em descrever a natureza desses fenmenos. Ou seja, com sua teoria da

gravitao ele seria capaz de descrever um determinado acontecimento fsico mas no

seria capaz de explicar o que o originou exausto. Isso porque a origem de todo

acontecimento fsico est na prpria base estrutural da matria, at ento desconhecida.

Outra rea da cincia natural que se desenvolveu separadamente foi a do

Eletromagnetismo. O fsico James Clerk Mawell, a partir dos experimentos de Michael

Faraday, desenvolveu uma srie de equaes que explicavam perfeitamente o

comportamento eltrico e magntico da matria, incluindo suas influncias mutuas.

Porm, segundo essas equaes, a velocidade da luz seria uma constante do Universo,

invarivel sob qualquer referencial. Para a fsica clssica isso apresentou um claro

problema pois, se assumimos que a luz um pulso eletromagntico, ela no poderia ser

invarivel sob transformaes Galileanas de referencial, ou seja, se mudarmos de um

referencial para outro classicamente obteramos velocidades diferentes da luz.


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Analisando este problema o fsico alemo Albert Einstein chegou a concluso

que a teoria clssica de Newton e as transformaes de Galileu no seriam suficientes

para descrever o Universo com as novas concluses do Eletromagnetismo. Assim, ele

props uma nova forma de analisar a mecnica do espao, assumindo a velocidade da

luz como constante absoluta e maior velocidade possvel para todo e qualquer corpo.

Desenvolvendo a Teoria da Relatividade Especial Einstein desenvolveu uma nova

mecnica que no limite apropriado se iguala a mecnica clssica mas explica tambm o

movimento de corpos com velocidade prxima a da luz. Para alm disso, o prprio

conceito de tempo e espao foi modificado, passando o tempo a ser considerado como a

quarta dimenso espacial do continuum quadridimensional. Apesar desta teoria dar

conta de uma variedade de fenmenos fsicos, o comportamento gravitacional, como

apresentado pela mecnica clssica, ainda violava a condio de limitao pela

velocidade da luz. De acordo com a teoria de Newton, se um corpo mudasse a sua

massa, imediatamente os corpos a sua volta sentiriam essa alterao, mas se

imaginarmos a gravidade como um campo este teria que ter seus pulsos com

velocidade mxima igual a da luz.

Ao buscar o entendimento da natureza da fora gravitacional, Einstein foi capaz

de demonstrar que o espao-tempo curvo e que a gravidade a prpria curvaturadeste, e no um campo dentro dele. A Teoria da Relatividade Geral apresentou um

modelo que era capaz de descrever a mecnica clssica, a mecnica relativstica, o

eletromagnetismo e a gravitao atravs da descrio fsica e geomtrica do Universo.

Essa teoria at hoje amplamente aceita, mas atualmente utilizada como base para

novos desenvolvimentos na direo de uma Grande Teoria Unificada.

Simultaneamente ao desenvolvimento da Relatividade Geral, e at com a

contribuio de Einstein, aconteceram grandes avanos em outra rea da cincia natural,a fsica atmica. Os debates levantados pela descoberta do ncleo atmico, do

comportamento dual do eltron e do comportamento quntico da luz foram o motor que

desenvolveu o conhecimento sobre fsica de partculas, ou fsica de altas energias. As

grandes dificuldades experimentais e at mesmo filosficas dos problemas qunticos,

mas ao mesmo tempo o grande xito em descrever o comportamento atmico das

teorias qunticas, fizeram com que a comunidade de fsicos ficasse voltada para essa

rea durante toda a primeira metade do sculo XX. Como no poderia deixar de ser,


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como a fsica de partculas trabalha com altas energias e velocidades, logo foi preciso

desenvolver uma teoria que desse conta de uma quntica relativstica.

Essa teoria surgiu para dar conta de alguns problemas de escala quntica que no

apresentavam solues de acordo com a equao de Schrodinger. Apesar desta equaoser dependente do tempo no era eficaz, por exemplo, em descrever o tomo de

hidrognio. A equao de Dirac, apresentada em 1928, descrevia sistemas de muitas

partculas e tinha covarincia relativstica. Esta a grande motivao do

desenvolvimento da Teoria Quntica de Campos, tentar estudar sistemas com muitas

partculas com altas energias unificando a mecnica quntica, a relatividade e o

eletromagnetismo. Apesar da equao de Dirac apresentar soluo para uma nova

variedade de problemas com partculas de diferentes spins, ela foi apenas o primeiropasso de um desenvolvimento que at o momento continua acontecendo.

No incio dos anos sessenta a fsica de partculas comeou a se aproximar do

estudo de defeitos topolgicos j amplamente conhecidos no estudo da matria

condensada. Tais defeitos esto associados sempre a uma determinada quebra de

simetria que gera estados degenerados. Um bom exemplo o comportamento de

materiais ferromagnticos, aonde a energia magntica minimizada se dividindo em

dois domnios com diferentes magnetizaes. A regio de fronteira entre esses domnios

chamada de parede de domnio e caracterizada como defeito topolgico. No

equilbrio trmico temos apenas uma parede, mas se o material mudar de temperatura

drstica e rapidamente teremos vrias quebras de simetria sem direo privilegiada

formando vrios defeitos localmente. A quebra de simetria na fsica de partculas gera

efeitos parecidos, mas tem consequncias absolutamente revolucionrias para a fsica

como um todo.

O Nobel de Fsica japons Yoichiro Nambu foi um dos primeiros a especular

sobre a possibilidade de que os defeitos pudessem ter uma significncia no s para a

fsica de partculas mas tambm para o prprio entendimento da estrutura do Universo

Seaminhavisoestivercorreta,oUniversopodeterumaespciedeestruturadedomnios.Em

umapartedoUniversovocpodeterumadireopreferencialparaoeixo;naoutraparte,a

direopodeserdiferente.

A partir da comeou a busca por solues do tipo defeito topolgico, ou seja, a sua

possvel existncia em diversos cenrios fsicos. O cenrio de incio do Universo, com


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temperaturas extremamente altas em rpida mudana, foi um dos primeiros a ser

investigado. O fsico americano Steven Weinberg notou, em 1974, a possibilidade de

existncia de paredes de domnio no incio do Universo. Durante toda a dcada de

setenta o estudo sobre os defeitos topolgicos paredes de domnio, cordas e

monopolos - e suas interaes com os diferentes campos presentes no espao

proporcionou o desenvolvimento de diversos modelos e o papel destes objetos se tornou

central no entendimento da cosmologia. A introduo de defeitos topolgicos na

tentativa de descrever o Universo foi um grande passo na construo de uma Grande

Teoria Unificada.

Esta monografia tem como objetivo estudar um determinado tipo de Parede de

Domnio e localiz-la em um modelo com 5-dimenses em que um campo escalarinterage com a gravidade. Para isso, precisamos estudar que tipos de campos so

capazes de gerar solues deste tipo e quais as propriedades de tais campos. A

monografia ser dividida em trs partes;

No captulo 1 estudaremos os campos escalares separadamente. A partir da equao de

Klein-Gordon, que a equao de um campo dependente do tempo e do espao,

veremos que existem uma variedade de campos que so soluo para essa equao e

tem formas parecidas, so as chamas ondas solitrias. Exploraremos as propriedades

dessas ondas e estudaremos um caso especfico delas, os kinks. Essas ondas tem como

caracterstica principal a conservao de sua energia atravs do tempo, mesmo

interagindo com outros kinks eles voltam a sua forma original e conservam a energia.

Analisaremos estas solues para teorias clssicas de campos e ao fim apresentaremos

como elas podem descrever defeitos topolgicos em sistemas de muitas dimenses.

No captulo 2 apresentaremos os conceitos bsicos da Teoria da Relatividade Geral.

Faremos uma discusso terica acerca do desenvolvimento da Relatividade Especial e

dos paradoxos deixados por ela. Em seguida, apresentaremos os princpios bsicos com

os quais Einstein foi capaz de superar esses paradoxos e as ferramentas matemticas que

foram desenvolvidas para tal. Por fim, construiremos a equao para o campo

gravitacional, conhecida como Equao de Einstein. Com ela seremos capazes de

descrever um cenrio relativstico com muitas dimenses, podendo finalmente

apresentar nossa parede de domnio. Como j foi apresentado nesta introduo, o

desenvolvimento da Relatividade Geral foi responsvel por dar as bases para um


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entendimento geomtrico e fsico unificado do Universo. Os desenvolvimentos da

Teoria Quntica de Campos se basearam nos conceitos desta teoria e por isso vital que

possamos entende-la para prosseguir na compreenso de um campo escalar que interaja

com o Universo a sua volta de forma mais geral.

No captulo 3 construiremos o cenrio aonde o campo escalar escolhido ir atuar.

Apresentaremos a mtrica com cinco dimenses e a partir dela construiremos as

equaes de campo. Apresentaremos o campo escalar especfico que iremos estudar e

encontraremos suas solues do tipo kink em vrias dimenses. Em seguida,

localizaremos esse campo em nosso cenrio e na equao de campo, analisando em

seguida seu comportamento e sua interao com a gravidade atravs do fator de warp. O

objetivo final desta monografia oferecer o mximo de informaes possveis sobreesse campo que apresenta solues do tipo kink que so continuamente deformveis e

abre novas possibilidades para o estudo de Paredes de Domnio.


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Captulo 1

Kinks e Paredes de Domnio

Neste captulo iniciaremos fazendo uma apresentao do assunto que nos motivou ao

estudo de kinks, a Teoria Quntica de Campos. A partir da, construiremos a equao

quntico-relativstica para um campo escalar, a equao de Klein-Gordon e, em seguida,

apresentaremos as caractersticas gerais de um determinado tipo de soluo para

equaes no-lineares de movimento para campos escalares, os kinks. Esse tipo de

soluo tem como caracterstica fundamental a sua forma constante. Demonstraremos

alguns exemplos desse tipo de soluo para analisar suas propriedades fsicas quando

representam campos em uma ou mais dimenses espaciais. Quando aparecem em

dimenses espaciais maiores que um, kinks podem ser tratados como paredes de

domnio esfricas. Apresentaremos as caractersticas das solues em mais de uma

dimenso espacial e introduziremos seu papel na descrio de modelos de Universo.

1.1 Teoria Quntica de Campos

Quando Plank apresentou ao mundo a quntica iniciou o estudo sobre uma nova

compreenso da matria e da forma como ela interage. Isso porque a quantizao da luz

(a descoberta dos ftons) implicava que um pulso eletromagntico, a luz, era um grupo

de pacotes de energia. As descobertas posteriores a respeito do comportamento dual do

eltron tambm exigiram dos fsicos da poca uma anlise renovada sobre as prprias

caractersticas fundamentais da matria. Portanto, uma teoria que fosse capaz de

unificar a teoria quntica, que teve imenso sucesso em descrever o tomo, e a teoria que

descreve os campos eletromagnticos e gravitacionais era, e ainda , extremamente

necessria para o entendimento da fsica do Universo como um todo.


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A nova compreenso das partculas e dos campos, iniciada por Plank, e o

formalismo matemtico da mecnica quntica, que culminou na equao de onda de

Schrodinger, proporcionou o entendimento de fato da quantizao do campo

eletromagntico. Porm, a diferena entre uma partcula pontual e um campo contnuo

ficou confusa. Se temos dois eltrons, com massa e carga, interagindo atravs de um

campo eletromagntico, qual a diferena fundamental entre o campo e as partculas?

Para responder a essa pergunta basta analisar a natureza dessa interao. Se tirarmos um

dos eltrons, por exemplo, o campo eletromagntico continuar a existir? Sim, o campo

gerado pelo eltron, obviamente, continua a existir mas no seremos capazes de retirar

nenhuma informao sobre ele (ou sobre o prprio eltron). Ento os eltrons so o

quanta do campo que descreve a interao entre as partculas da matria. Isso no vale

apenas para o eltron, mas para todas as partculas. Ftons, muons, prtons, todos tem

sua interao descrita por um determinado campo. Uma equao de campo para essas

partculas deve ser capaz de descrever seu movimento como um todo. A Teoria

Quntica de Campos tenta descrever o comportamento de toda a matria e todas as suas

possibilidades de interao (campos), portanto a partir da quantizao de campos

podemos analisar sistemas diversos, desde a fsica da matria condensada, passando

pela fsica de partculas at a cosmologia.

1.2 Equao de Klein-Gordon

Uma teoria que estude os fundamentos da prpria matria deve estar de acordo

com a relatividade. Para prosseguir no desenvolvimento da equao de Klein-Gordon

ento, precisamos introduzir a notao relativstica.

Se considerarmos um ponto no espao-tempo (x, y, z, t), podemos dizer que um

elemento de linha ds, que determine a distncia entre esse ponto e outro qualquer, tem a

forma

se exigirmos que ele seja invariante sob transformaes de Lorentz. Podemos tambm

reescrever os pontos no espao-tempo como quadrivetores


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o primeiro chamamos de vetor contravariante e o segundo covariante. O elemento dspode ser escrito ento como

que um invariante. A partir de agora assumiremos a conveno de somatrio para

ndices repetidos, ento podemos dizer que . A relao entre vetores

covariantes e contravariantes definida pela introduo de uma mtrica:

que representa uma matriz diagonal com elementos g = (1, -1, -1, -1). A mtrica

contravariante, ento, ter diagonal (1, 1, 1, 1).

Podemos definir tambm operadores diferenciais como

.

O operador diferencial invariante, conhecido como operador de DAllembert,

,

e o quadri-vetor de momento-energia de uma partcula dado por

,

com invariante

.


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Se considerarmos uma partcula sem spin, podemos afirmar que seu campo ter apenas

uma componente . Podemos ento quantizar a equao acima, substituindo E e ppor

seus operadores qunticos e , respectivamente, para obter a equao de onda do

campo

.

Essa a equao de Klein-Gordon. fcil ver que se fizermos a aproximao no

relativstica da equao para p obtemos . Substituindo pelos operadores

qunticos obtemos a equao de Schrodinger que uma aproximao no-relativstica

da equao de Klein-Gordon.

Partiremos agora para o estudo das possveis solues para a equao de Klein-

Gordon e suas propriedades.

1.3 Kinks

Kinks so funes de onda que mantm sua forma ao longo do tempo, ou seja,

que no dissipam energia. A densidade de energia do kink sempre (ou quase) a mesma

em todos os momentos, quase porque em alguns casos h uma dissipao mas ela ocorre

to lentamente que pode ser considerada como perturbao de uma soluo no-

dissipativa.

O modelo mais simples de kink o conhecido por . Ele tem apenas um

campo escalar em 1 + 1 dimenses e tem como ao


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aonde = 0, 1 e e so parmetros. O potencial para o campo

e m = . Podemos ver que se fizermos V() = 0 encontramos dois mnimos para o

potencial, . Estes so os estados de energia mnima, e tem degenerescncia

dupla j que V() = V(-). Os mnimos do potencial tambm so as solues triviais da

equao de movimento, ou seja, o campo tem duas solues para equao com valores

fixos e simetricamente opostos. Imaginemos agora que diferentes partes do espao

estejam em diferentes vcuos, e . Apesar dos mnimos

serem solues aceitveis para o campo, ele deve ter uma soluo que passe de um

mnimo ao outro. Como V(0) 0, devem existir estados entre os dois mnimos que

tenham energia diferente de zero. A soluo da equao de movimento que atravessa a

regio entre os mnimos chamada de kink.

Assumindo como condio de contorno para a equao de

movimento

aonde exclumos a derivada temporal pois estamos procurando solues estticas (no-

dissipativas). A soluo do tipo kink dada por

se fizermos uma transformao de Lorentz na coordenada x,

, e substituirmos na equao acima, a funo de


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uma onda se movendo com velocidade v. fcil ver que se fizermos uma translao,

fazendo , e expandirmos a soluo em Taylor para pequenos valores de a

a densidade de energia do kink se conservar. Isso quer dizer que o kink tem um modo

zero de flutuao de energia, ou apenas, um modo zero. Podemos tambm fazer uma

flutuao na soluo de modo que

e o campo de flutuao obedea a equao de movimento

e para acharmos os autovalores de assumimos que ele tenha a forma

.

Como a translao deve conservar a energia, deve haver uma soluo com = 0.

Assim, podemos assumir uma translao da forma

.

Comparando com a expanso de Taylor para , vemos que a soluo para o

modo zero, ou seja, a flutuao que corresponde a conservao da energia,

A densidade de energia do kink dada por

.

Podemos ver que , que est de acordo com o princpio de Hamilton

para a ao S.


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Na figura abaixo apresentamos o grfico para o kink e para sua densidade de

energia. Podemos ver que, como esperado, a regio de mxima energia exatamente no

ponto aonde (x) = 0. Isso acontece pois exatamente nessa regio que o campo

atravessa uma fronteira, a barreira de potencial.

Fig 1 A curva variando de -1 a 1 representa o kink com = 2 e = 1. A densidade de energia tambm foi

representada no grfico.

claro a partir da soluo e de sua densidade de energia que a espessura de metade do

kink, a regio de x = 0 at um dos mnimos

no iremos nos aprofundar nesta propriedade agora, mas ser importante no Captulo 3

notarmos que a espessura do kink pode ser regulada pelos parmetros de seu potencial.

Isso ocorre de diferentes formas para diferentes campos.

1.4 Teorema de Derrick

O kink definido por sua forma esttica, sua conservao de densidade de

energia conforme a onda (ou o pacote de energia) se move. Apresentamos na seo

anterior o exemplo bsico de um kink em uma dimenso espacial, agora partiremos para

a anlise da possibilidade de kinks em mais de uma dimenso.

Considere que generalizemos a ao para um campo escalar em n dimenses


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aonde o potencial deve ser maior que zero, e o ndice a representa a possibilidade devrios campos escalares no modelo. Faamos agora a mudana de varivel

Se a densidade de energia de fato esttica, ela deve ser invariante sob transformaes

deste tipo. A energia do campo transformado

aonde a soma sobre a implcita. Se fizermos uma mudana de varivel nas

coordenadas obtemos

E observamos que, se tivermos com , a densidade de energia do campo

original no se conserva para o campo transformado; . Dessa forma, o

Teorema de Derrick afirma que no pode haver configurao de energia esttica finita

para um campo escalar em mais de uma dimenso espacial.

1.5 Mtodo de Bogomolny

Na seo 1.2 encontramos uma determinada soluo do tipo kink a partir de uma

equao de movimento de segunda ordem. Em muitos casos encontraremos equaes de

segunda ordem muito difceis de se resolver e por isso nos seria til reduzi-las a

equaes de primeira ordem. Adicionando um termo no funcional de energia, obtemos


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ento para que a energia seja mnima, basta que

fazendo a energia mnima

Ento, se pudermos minimizar a energia, podemos tambm escrever a equao de

movimento como a equao de primeira ordem

.

Esse resultado nos ser muito til no Captulo 3.

1.6 Flutuaes e perturbaes na soluo

Como analisamos na seo 1.1, o campo nada mais do que a descrio da

interao entre as partculas. Excitaes e perturbaes no contnuo do campo

significam interaes de algum tipo. sempre importante no estudo de campos

quantizados demonstrar como a sua soluo pode ser excitada e qual o estado

fundamental de sua excitao, o estado de mais baixa excitao que permita a

conservao da energia. Vimos na seo 1.3 que para calcular a perturbao no kink,

introduzimos um campo da seguinte forma


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e podemos mostrar, a partir da equao de movimento para quefobedece

no caso do potencial . Porm, se inserirmos a perturbao diretamente na

Lagrangeana (retirada da ao apresentada no incio da seo 1.3)

Obtemos a Hamiltoniana para a funof

aonde

que no caso dos kinks tem uma forma especial que nos permite simplificar essa

Hamiltoniana. J vimos que esta equao tem, para os kinks, um estado de translao

que necessariamente tem a energia conservada com = 0. Assumamos ento que

e tem a equao de movimento

ento U(x) deve ter a forma

aonde todas as derivadas so com respeito ax. Esse potencial nos permite escrever a

Hamiltoniana de outra forma

assim a equao para os demais estados e autovalores fica


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que determina os possveis estados de excitao ao redor do kink. Assim o potencial

U(x) determina todas as perturbaes possveis.

1.7 Paredes de Domnio

As Paredes de Domnios so defeitos topolgicos que existem em regies aonde

h uma quebra de simetria de um determinado campo e ele assume dois valores

diferentes em espaos vizinhos. A Parede de Domnio a regio de transio entre um

valor e outro. Esse tipo de defeito pode aparecer tanto na matria condensada, em

materiais ferromagnticos, como na fsica de partculas, no estudos dos campos e em

modelos cosmolgicos. Neste trabalho estamos interessados principalmente em suascaractersticas em modelos cosmolgicos, portanto nesta seo observaremos suas

principais caractersticas deste ponto de vista usando como exemplo o kink da seo

1.3.

fcil perceber que esse campo poderia ser descrito como um kink, como o

descrito na seo 1.3. Porm, devido ao Teorema de Derrick teremos problemas em

encontrar solues do tipo kink em mais de uma dimenso espacial.

A Parede de Domnio mais simples descrita pelo kink apresentado na seo

1.3, aonde vimos que a espessura da parede

e se usarmos a equao de energia do kink parax = 0 encontramos a densidade de

energia no centro da parede

o que nos d uma densidade superficial da ordem de . Se imaginarmos uma

parede de domnio no vcuo o parmetro definir a densidade de energia da parede e

chamado de parmetro de quebra de simetria. Porm, em paredes de domnio em

cenrios cosmolgicos se ele no for muito pequeno pode afetar a homogeneidade doUniverso.


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25

No Captulo 2 mostraremos como esse objeto importante para a anlise de

qualquer campo em cenrios com gravidade, mas j podemos afirmar que o tensor de

momento-energia representado por

que nos d

aonde f(x) uma funo com a mesma espessura de forma

.

O tensor de momento-energia tambm invariante sob transformaes de Lorentz no

planoyz, o que implica que a parede ter apenas movimento transversal mas que pode

atingir velocidades relativsticas. E pela importncia dos efeitos relativsticos e

gravitacionais na dinmica desses (e, na verdade, de todos os defeitos topolgicos em

cenrios cosmolgicos) que partimos agora para o estudo da Teoria da Relatividade

Geral.


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Captulo 2

Conceitos Bsicos da Teoria da Relatividade Geral

Neste captulo apresentamos tpicos bsicos do desenvolvimento da Teoria da

Relatividade Geral, partindo dos questionamentos levantados por Albert Einstein aps aformulao da Teoria da Relatividade Especial. Apesar de encontrar a unificao da

mecnica clssica de Newton e do Eletromagnetismo recm-desenvolvido por Maxwell

a Relatividade Especial encontrou problemas na sua relao com outra importante rea

do conhecimento fsico, a gravitao. Veremos aqui os princpios bsicos que levaram a

construo da Relatividade Geral, que prope uma nova viso de universo que altera a

viso da geometria do Universo e abre as portas para a construo de novos modelos

que comportam no apenas a Mecnica Clssica, o Eletromagnetismo e a Gravitao,

mas tambm a Mecnica Quntica.

2.1 A Teoria da Relatividade Especial

O pontap inicial para a construo da Teoria da Relatividade Especial,

apresentada por Einstein em 1905 aos Anais da Fsica, foi dado ainda no sculo XIX

pelo fsico ingls James Clerk Maxwell que formulou a teoria do Eletromagnetismo. Ao

formular sua teoria, a partir de resultados experimentais obtidos por Faraday, Maxwell

demonstrou que a luz um tipo especfico de onda eletromagntica que se move a uma

velocidade constante e imutvel.

Essa afirmao por si s j o paradoxo que tornou necessria a reavaliao de

todos os conceitos da Mecnica Clssica de Newton. Isso porque, para Newton, a

natureza no privilegia nenhum sistema inercial, ou seja, o movimento da matria deve


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obedecer s mesmas leis para todos os sistemas inerciais, sendo as relaes de um

sistema com outro dado pelas transformaes de Galileu.

onde v, d e so constantes reais e R qualquer matriz ortogonal. Essa invarincia sob

transformaes no sistema o que garante a unidade do conhecimento adquirido por

diferentes experimentos em diferentes referenciais. As Leis de Maxwell no so

invariantes sob as transformaes de Galileu, justamente porque a luz no tem a sua

velocidade modificada com a mudana de sistema.

Para solucionar essas questes Einstein props que as transformaes de Galileu

fossem substitudas por outras, desenvolvidas por Lorentz a partir dos resultados do

famoso experimento de Michelson-Morley:

que fazem com que tanto as equaes de Maxwell quanto a velocidade da luz

permaneam invariantes. A segunda Lei de Newton teve de ser modificada para se

adequar a nova concepo de espao e tempo, unificada em 1908 por Minkowski no

espao-tempo quadridimensional.

A Teoria da Relatividade Especial permitiu que estudssemos todas as leis da

natureza em qualquer referencial, mas no especificou nenhum referencial absoluto.

Os sistemas inerciais aos quais nos referimos esto sempre correlacionados pelas

transformaes de Lorentz, mas no sabemos em qual estrutura esses referenciais se

encontram.

Alm disso, com a relatividade especial estabeleceu-se que nenhum sinal poderia

se propagar com velocidade superior a da luz. Portanto, toda a transmisso deinformao deve ter velocidade igual ou menor que a da luz. A interao


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eletromagntica satisfaz essa condio, mas a gravitao de Newton no. Nesta teoria a

interao entre dois corpos depende apenas de sua massa e da distncia entre eles,

assim, se um corpo muda de posio ou aumenta sua massa o outro sentir o efeito

imediatamente. Isso, de acordo com a Relatividade Especial, no seria possvel se a

gravidade fosse transmitida por um sinal que deveria viajar com velocidade menor do

que a da luz.

A partir dessas duas questes, Einstein se debruou sobre o estudo da origem da

interao gravitacional e construiu os princpios da Relatividade Geral.

2.2 O Princpio da Equivalncia

O princpio da equivalncia se baseia na igualdade entre massa inercial e massa

gravitacional, observada experimentalmente com enorme preciso bem antes de

Einstein comear a estudar a gravidade. A massa gravitacional a carga de fora

gravitacional que o corpo carrega, a inercial a que mede a capacidade de resistncia de

um corpo a uma determinada fora.

Einstein percebeu que um sistema acelerado de partculas pode ser estudado

como um sistema inercial se considerarmos um referencial em queda livre. Isso pode serdemonstrado facilmente se considerarmos um sistema de partculas sob o efeito de uma

fora interna F(xn xm) e um campo gravitacional g. A equao de movimento para a

partcula n :

se fizermos a transformao

a gravidade g ser cancelada por uma fora inercial e a equao de movimento fica:


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Os dois observadores percebero as leis da mecnica da mesma forma, com a diferena

de que o observador O sentir o campo gravitacional e o O no. O princpio da

equivalncia diz que a fora gravitacional pode sempre ser cancelada por uma fora

inercial para um referencial em queda livre. Com esse princpio afirmamos que no h

diferena entre um ponto de vista acelerado sem campo gravitacional e um ponto de

vista no acelerado com campo gravitacional. Essa a primeira descoberta sobre uma

relao profunda entre a gravidade e a prpria natureza do movimento.

2.3 A acelerao e a curvatura do espao-tempo

Analisaremos a curvatura do espao-tempo a partir de um exemplo bem simples,considerando a acelerao centrpeta do movimento circular. Digamos que um

observador B percorre uma circunferncia com velocidade munido de uma rgua para

medir seu comprimento. No centro da circunferncia um observador A mede o

comprimento do raio. De acordo com a Relatividade Especial a rgua de B sofrer uma

contrao, de modo que ele obter um resultado maior do que o observador A pois o

instrumento de medida deste est perpendicular ao movimento do crculo. Assim, a

razo do tamanho da circunferncia sobre o raio ser maior que 2 para os observadores

sobre o disco. Conclumos que para um referencial acelerado a geometria euclidiana no

vlida, pelo princpio da equivalncia ento, para um referencial sob efeito de um

campo gravitacional ela tambm no o . Einstein concluiu ento, que a gravidade curva

o espao. Posteriormente veremos que na verdade a gravidade a curvatura do espao-

tempo.

Como j foi dito antes, a partir da Relatividade Especial foi construdo o espao

de Minkowski, aonde espao e tempo se tornam apenas dimenses do sistema de

coordenadas. Portanto, se a gravidade curva o espao, deve curvar o tempo da mesma

maneira.

Retomemos o nosso exemplo anterior, assumindo agora que A e B esto

munidos de relgio. O observador A se desloca no sentido radial em direo a B, que se

move sobre o disco. De acordo com a relatividade especial, quanto mais rpido um

observador mais devagar o tempo passa para ele. Assim, o relgio de B andar mais

devagar que o de A. Porm, a medida que A se afasta do centro do crculo, o ritmo com

que o tempo de seu relgio anda se aproxima do de B. O tempo se curva para A, ou


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seja, o tempo curvo a medida que seu ritmo de passagem difere de um lugar para o

outro. Quanto maior a acelerao, mais devagar a passagem do tempo e mais acentuada

a curvatura do tempo. Portanto, pelo princpio da equivalncia, quanto maior o campo

gravitacional maior a curvatura do espao-tempo.

Essa conexo entre gravidade e movimento e a curvatura do espao o passo

fundamental para entender o papel dessa fora em nosso Universo. Portanto, tambm

o passo fundamental para a construo da Teoria da Relatividade Geral.

2.4 Foras Gravitacionais

A partir do princpio da equivalncia e da curvatura do espao-tempo podemosagora construir a estrutura matemtica que define o nosso espao. Construiremos essa

estrutura a partir das bases matemticas oferecidas pela Relatividade Especial. Neste

captulo no nos deteremos s definies que podem ser encontradas na seo 1.2.

Assumimos agora a existncia de um sistema em queda livre a cuja equao de

movimento dada pela Relatividade Especial:

onde d = ds/c o tempo prprio

Agora escolhamos outro sistema de coordenadas quaisquer x, de modo que a

so funes de x. Reescrevendo a equao de movimento obtemos:

Multiplicamos essa expresso por , obtemos a equao de movimento:

onde a conexo afim definida por


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Podemos agora reescrever o tempo prprio de acordo com o novo sistema:

onde o tensor mtrico definido por

fcil ver a partir dessas ltimas equaes que a conexo afim responsvel por

representar a gravidade no novo sistema de coordenadas. Podemos mostrar que a

mtrica o potencial gravitacional, ou seja, suas derivadas determinam o campo

.

2.5 O princpio da Covarincia Geral

Nas ltimas sees apresentamos o princpio da equivalncia, que nos permitiu

generalizar os resultados da relatividade especial para sistemas com a presena de

gravidade. Porm o mtodo de transformao de coordenadas pode se mostrar muito

trabalhoso quando estudamos sistemas mais complexos com campos eletromagnticos e

gravitacionais. Uma viso alternativa do princpio de equivalncia foi construda e

chamada de Princpio da Covarincia Geral. Segundo ele, as equaes fsicas sero

vlidas em um campo gravitacional se duas condies forem atendidas:

1. As equaes devem ser satisfeitas na ausncia de gravidade;2. As equaes devem possuir covarincia geral, ou seja, elas devem preservar sua

forma sob quaisquer transformaes x x.

De acordo com a segunda condio as equaes devem ser escalares perante as

transformaes, condio obedecida pela contrao de tensores. Porm, a derivada de

tensor em geral no um tensor. Portanto para satisfazer a condio 2 foi preciso

construir uma nova derivada, a covariante.

A derivada covariante de um vetor contravariante definida por:


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e a do vetor covariante:

Ainda podemos generalizar essa definio para tensores mais gerais. A derivadacovariante com respeito a x igual a sua derivada ordinria com respeito a x,

adicionando para cada ndice contravariante um termo com vezes o tensor com

renomeado por e subtraindo para cada ndice covariante um termo com vezes o

tensor com trocado por.

importante destacarmos algumas propriedades da derivada covariante. fcilver que na ausncia de gravidade, quando = 0, ela se converte na derivada ordinria.

Alm disso, ela uma transformao linear que converte tensores em outros tensores.

Ento, para incluirmos os efeitos da gravidade em nossas equaes precisamos

modificar a mtrica e as derivadas para que o princpio da covarincia geral seja

respeitado.

2.6 O tensor de curvaturaJ vimos anteriormente que a gravidade tem ntima conexo com a curvatura do

espao-tempo e vimos tambm que a mtrica o potencial gravitacional.

Comeamos agora a investigar o que podemos construir a partir desta mtrica e de suas

derivadas. Porm, a derivada covariante de zero e portanto no podemos obter

nenhum tensor dela. Como no podemos aplicar a derivada covariante diretamente na

mtrica, aplicaremos em um vetor genrico V:

Os termos com derivadas de Vno nos permitem encontrar um tensor composto apenas

por e suas derivadas, porm, eles so simtricos na troca de por. Podemos

escrever ento:


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como o termo a esquerda da equao um tensor e V um vetor, o termo entre

colchetes um tensor. Este termo constitui o tensor de curvatura de Riemann-

Christoffel

formado somente pela mtrica e suas derivadas at segunda ordem, sendo ainda linear

em suas derivadas segundas. Este o nico tensor com essas propriedades, podem ser

teis a ns tambm suas combinaes lineares como o tensor de Ricci

e a curvatura escalar

Veremos a seguir que o tensor de curvatura tem grande importncia por nos dar

informaes sobre o tensor mtrico. Se o tensor mtrico for constante, o tensor de

curvatura se anula. Mas pelo seu carter tensorial, em um sistema arbitrrio, onde

a mtrica no constante, tambm se anular. Assim, a nulidade do tensor de curvatura

condio necessria e suficiente para que exista um determinado sistema de

coordenadas aonde a mtrica seja constante.

2.7 A equao do campo gravitacional

Apresentamos at aqui alguns dos princpios que foram construdos durante o

desenvolvimento da Teoria da Relatividade Geral. Einstein observou inicialmente os

paradoxos existentes em sua Teoria da Relatividade Restrita e como ela no abarcava a

explicao do comportamento dos campos gravitacionais. A partir da, ele investigou as

relaes existentes entre a gravidade e o movimento, e mais ainda, com o prprio

sistema referencial encontrando a relao do campo gravitacional com a curvatura do

espao-tempo, representada pela mtrica . Se mostrou imperativo ento estudar o

comportamento deste tensor e construir uma equao para o campo gravitacional querespeitasse o princpio da covarincia geral.


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2.7.1 A Identidade de Bianchi

Inicialmente vamos introduzir aqui uma igualdade que nos ser til na

construo da equao do campo gravitacional, a Identidade de Bianchi. Lembrando

que

aplicando novamente a derivada covariante e fazendo permutaes cclicas entre os

ndices covariantes obtemos

Considerando que anti-simtrico, se somarmos as trs equaes obtemos

que deve ser vlida para todo V, ento

que a Identidade de Bianchi. Usando a mtrica, podemos contrair os ndices para obter

contraindo mais uma vez

Como o primeiro e o terceiro termos do lado direito so iguais, podemos escrever:

2.7.2 O limite newtoniano

Retornamos agora a equao de movimento obtida na seo 2.4 com a

introduo da gravidade em um sistema inercial


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e consideraremos o caso aonde as partculas se movem lentamente e o campo fraco, o

limite aonde a teoria newtoniana vlida. Neste caso podemos desprezar , e

utilizar , e considerando o campo estacionrio todas as derivadas temporais da

mtrica sero nulas ento

Lembrando novamente dos clculos da seo 2.4, vamos dessa vez assumir uma mtrica

prxima a minkowskiana

Substituindo na equao de movimento e na equao para a conexo afim levando h a

primeira ordem, obtemos

Lembrando da equao newtoniana para o campo gravitacional

e assumindo constante devido a equao anterior, podemos concluir que

, e portanto que

2.7.3 A Equao do Campo Gravitacional

Dependemos at agora da mtrica para introduzir os efeitos gravitacionais nos

sistemas, mas ainda no temos como determin-la. Se admitimos que ela o potencial

gravitacional, como vimos anteriormente, e que a equao para o campo gravitacional

deve concordar, no limite apropriado, com a equao de Poisson


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aonde a densidade da matria. De acordo com a famosa frmula de Einstein, massa

nada mais do que energia, e esta tem sua representao matemtica no tensor

momento-energia T. Admitindo que T00 e que g o potencial gravitacional,

podemos acreditar que no limite newtoniano vlido escrever

aonde k = -8G, de acordo com o resultado da seo anterior para . Essa equao

descreveria um campo fraco estacionrio gerado por matria no-relativstica, mas da

forma que est no invariante de Lorentz. Porm, a partir dela podemos imaginar que

uma equao para uma distribuio geral de massa para um campo gravitacional

arbitrrio deveria possuir a forma

aonde G um tensor geral formado por g e suas derivadas. Vimos na seo anteriorque o tensor mais geral com essas caractersticas o tensor de Riemann-Christoffel, e

que com ele s podemos formar outros dois tensores, o tensor de Ricci e a curvatura

escalar. Portanto, podemos assumir que a forma mais geral de G ser

Assim como na fsica clssica, a energia deve se conservar, por isso

ento, derivando a equao para o campo gravitacional e utilizando a Identidade de

Bianchi contrada podemos escrever


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Ento, ou C2 = -C1/2 ou R; zero. Porm, dispensaremos a segunda possibilidade pois

R no constante em todos os casos. Obtemos assim

Agora retornaremos ao limite newtoniano, aonde a mtrica e

podemos escrever a conexo afim como

Calculando o tensor de curvatura obtemos

como no limite newtoniano o tensor de momento-energia se resume a densidade de

matria . Nesse limite, consideramos = i, e = j

De modo que, se retornarmos a contrao inicial do escalar de curvatura

Analisando agora a componente aonde = = 0, vemos que


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Dessa forma, C1 = 1. Assim encontramos o tensor de curvatura de Einstein G, e

consequentemente, a equao de Einstein que buscvamos

.

Esse resultado concorda perfeitamente com o desenvolvimento da Teoria da

Relatividade como um todo. Vejamos, do lado esquerdo da equao temos termos

puramente geomtricos, o tensor de curvatura, a mtrica e o escalar. Do lado direito,

temos apenas o tensor de momento-energia do sistema. Assim, como j havamos

percebido antes a gravidade tem uma relao intrnseca com a geometria do universo. A

prpria energia, ento, a fonte da curvatura do espao-tempo e exatamente essacurvatura a responsvel pela interao gravitacional.

Essa concluso fundamental para entender a importncia do campo escalar que

apresentaremos a seguir como defeito topolgico na estrutura do universo. Como

apresentado no captulo anterior, defeitos topolgicos do tipo kink so gerados por

campos escalares, mas se quisermos localiz-los em uma determinada geometria do

universo precisamos analisar como ele interage com a gravidade atravs da equao de

Einstein. A apresentao deste campo e sua localizao so o assunto do prximocaptulo.


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Captulo 3

Gravidade acoplada a um campo escalar continuamente

deformvel

O desenvolvimento da Teoria da Relatividade Geral mostrou a infinita

importncia do estudo da geometria do Universo. Os estudos acerca desse tema se

desenvolveram em conjunto com a teoria quntica e nas ltimas dcadas a Teoria

Quntica de Campos se tornou a principal ferramenta na tentativa de explicar o incio do

Universo e toda a sua constituio geomtrica e fsica. No a inteno deste trabalho

apresentar aprofundadamente nenhum dos modelos propostos pela TQC, mas sim tentar

estudar determinadas caractersticas de um modelo que admita cinco dimenses aonde

possam existir campos escalares e gravitacionais.

Em geral, modelos deste tipo com campos escalares na quinta dimenso

podem apresentar estruturas de membranas. Essas membranas se assemelham s

paredes de domnio ferromagnticas, se caracterizando pela transio entre duas regies

pelas quais um determinado parmetro passa variando de valor. Um campo escalar com

diferentes mnimos de potencial em regies prximas pode gerar um estrutura deste

tipo, como vimos no primeiro captulo. Agora, construiremos o cenrio aonde um

determinado campo escalar, que apresentaremos nas sees seguintes, pode interagir

com a gravidade gerando paredes de domnio com espessura continuamente deformvel.

3.1 Construindo as equaes de movimento

Usaremos uma determinada mtrica que nos permita analisar a interao da

quinta dimenso com as demais


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aonde os ndices e vo de 0 a 3 e os ndices M e N variam de 1 a 5. Podemos ento

escrever

onde

Para construirmos a equao de movimento a partir da equao de Einstein precisamoscalcular o tensor de Ricci e a curvatura escalar para essa mtrica. O tensor de Ricci

obtido atravs da contrao do tensor de curvatura, como visto no captulo anterior, e

este pode ser escrito como

Sabemos que a conexo afim e podemos escrev-la

calculando-a encontramos o tensor de curvatura e o escalar


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Essas informaes nos permitem agora calcular as equaes de movimento para um

campo escalar nesse cenrio. Comearemos analisando a equao de Einstein

.

Para obter o tensor de momento energia precisamos primeiro analisar a ao deste

cenrio. A ao de Einstein-Hilbert geral dada por

,

aplicando o princpio de Hamilton obtemos

.

Como a equao deve ser vlida para qualquer variao de GMN, temos que


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No iremos nos aprofundar nas variaes do escalar de curvatura, pois j chegamos a

equao de Einstein no captulo anterior, mas fcil ver que o tensor de momento e

energia deve ter a forma

.

Escolhemos agora a nossa lagrangeana a ser introduzida na ao e na equao acima

para o tensor de momento-energia

,

substituindo a lagrangeana e o tensor na equao de movimento de Einstein obtemos

agora substitumos nessa equao os valores encontrados para o tensor e o escalar de

curvatura. Para M = N = 5,

,

para M = N = 1, 2, 3, 4

Somando as duas equaes obtemos

que uma equao de segunda ordem linear. Para simplificar ainda mais a obteno da

soluo utilizaremos o mtodo do superpotencial, escolhendo um potencial com a forma


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Comparando com a primeira equao obtida para A e V(), podemos assumir que uma

soluo para aquela equao tambm seria soluo para as seguintes:

aonde W() uma funo suave e lisa de .

3.2 Solues do tipo kink

Existem alguns tipos de campo que so soluo parra essas equaes

dependendo da escolha do superpotencial. Nos interessamos aqui por solues do tipo

kink pois estas descrevem paredes de domnio com espessura na quinta dimenso. Para

isso precisaremos de um determinado tipo de campo que produza um campo topolgico

em qualquer dimenso, contrariando assim uma regra conhecida como teorema de

Derrick, apresentado na seo 1.4 deste trabalho.

A escolha do potencial determinar a superao deste teorema. Escolhendo

que da classe de potenciais utilizados para chegar s equaes de movimento na seo

anterior. , com . A escolha da funo

de x define ento o potencial

onde .

Com esse potencial utilizaremos a condio de finitude da energia para encontrar

a relao entre N e D. Considerando a densidade de energia e supondo a

energia total obtemos


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,

utilizamos agora uma mudana de varivel para superar o supracitado teorema

de Derrick (APNDICE). Se chamarmos o primeiro termo da integral de energia

gradiente e o segundo de energia potencial e fizermos a integrao sob a nova

varivel encontramos

.

Se derivarmos essa equao fazendo = 1, ou seja, retornando varivel ,

encontramos

.

Essas condies impe restries sobre D e N. Para N = 0, s existem solues

estveis fazendo D = 1, fazendo . Para D = 2, N = D necessariamente mas no

retiramos nenhuma informao sobre as energias. Para D 3, temos N = 2(D 1) para

diviso igual de energia entre gradiente e potencial.

importante lembrar que ainda estamos trabalhando no espao plano, ou seja,sem gravidade. Por isso usaremos a lagrangeana para chegar equao de movimento:

que de segunda ordem e de difcil soluo. Para chegarmos a uma equao de primeira

ordem utilizaremos o mtodo de Bogomolny, apresentado na seo 1.5 (APNDICE)


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que vlida apenas se a energia for minimizada para

e N = 2D 2 para campos radiais. Essa equao de movimento nos permitir analisar

diferentes campos em vrias dimenses de acordo com a escolha de D. Para encontrar

algumas dessas solues ser til utilizar a mudana de varivel . Ento,

se fizermos D = 1 teremos

o que nos permitir encontrar uma verso para D dimenses de ondas solitrias

unidimensionais. O superpotencial que iremos estudar neste captulo definido a seguir

aonde b0 > 1 um parmetro continuo. Para D =1, a soluo ser um kink tal que

uma funo suave que varia sua forma de acordo com a variao do parmetro . Se

o parmetro for pequeno o potencial ter dois mnimos e consequentemente gerar

apenas uma parede de domnio. Podemos ver nos grficos, no entanto, que conforme

aumenta o potencial passa a ter trs mnimos gerando assim duas paredes, como vemos

nas figuras abaixo.


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Fig 2 Potencial V como funo do campo para = 2 (linha pontilhada) e = 10 (grfico a esquerda) e o campo

em funo da coordenada espacial x.

Se fizermos agora D = 2 e utilizarmos a mesma mudana de varivel teremos

e a equao de movimento fica

que tem como soluo o campo

.

Para D 3, obtemos

que tem como soluo

.

Se substituirmos a derivada segunda do potencial usado aqui na

Hamiltoniana encontrada na seo 1.6 (APNDICE) obtemos as seguintes equaes

para perturbaes no campo do tipo


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o que nos d autovalores reais em todos os nveis, fazendo as excitaes estveis. Alm

disso, podemos obter o modo zero da soluo a partir do operador de aniquilao

aonde N0 a constante de normalizao. Podemos observar nas figuras abaixo que o

modo zero maior para os pontos de mudana de fase, ou seja, nas superfcies dasparedes de domnio.

Fig 3 A linha slida representa o campo em funo da coordenada espacial e a pontilhada o modo-zero para a) (a =

10, = 20) para D = 2 e b) (a = 4, = 40) para D = 3

Podemos ver que, para D = 2 e suficientemente grande observamos tambm a

formao de dupla parede de domnio. Para D 3 podemos tirar a concluso de que a

forma do campo se mantm a mesma para dimenses iguais ou maiores que 3.

3.3 Gravidade acoplada ao campo escalar

Apresentamos na seo 3.1 o cenrio com 5 dimenses aonde um campo escalar

interage com a gravidade na dimenso extra e obedece s seguintes equaes de

movimento


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aonde A(y) o fator de warp. Na primeira seo apenas apresentamos esse fator

matematicamente e como podemos perceber de nossa mtrica, ele o responsvel pelaconexo ou interao da quinta dimenso com as demais. A partir dos clculos da

seo 3.2 sabemos que a equao para o campo tem soluo do tipo kink dependendo da

escolha de W. Portanto, o superpotencial utilizado na seo anterior pode gerar paredes

de domnio na quinta dimenso e interagir com a gravidade. Como a primeira equao

tem soluo idntica a soluo da seo anterior, basta calcular agora o fator de warp

para terminarmos a construo de nossa mtrica

.

Como queremos analisar o comportamento de A(y) com relao ao campo escolhido ,

preferencial que encontremos o fator de warp em funo do prprio campo. Assim

manipulamos a equao de movimento para encontrarmos A()

Se substituirmos nosso superpotencial nessa equao obtemos

que uma equao de difcil soluo analtica. Porm, a partir dela j somos capazes de

esboar a forma de A() como apresentado nas figuras abaixo. Na figura X observamos

que o fator de warp tambm responde a variaes do parmetro Nas figuras


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seguintes, observamos que alm disso, a variao de proporciona tambm trs

diferentes tipos de paredes de domnio.

Fig 4 O fator de warp para = 2 (linha lisa) e = 200 (pontilhada).

Fig 5 -Da esquerda para direita fatores de warp apresentando paredes de domnio de trs classes diferentes

( ), do tipo II ( e do tipo III (

Podemos ver ento que o fator de warp, um elemento da geometria do modelo 5-dimensional

que escolhemos, tem seu comportamento diretamente modificado pelo campo e, inclusive,

modificado de acordo com a espessura da parede. Dessa forma, terminamos a anlise da

interao dos kinks com a gravidade. Essa interao nos mostra que o comportamento de

paredes de domnio com altas energias pode ter alta influncia em cenrios cosmolgicos o que

nos leva de volta a motivao inicial desse trabalho; o entendimento de caractersticas

particulares de um objeto fundamental no entendimento de um modelo completo de universo

descrito por defeitos topolgicos.


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Concluso

Neste trabalho apresentamos um conjunto de conceitos fsicos e de ferramentas

matemticas fundamentais para duas grandes reas do conhecimento, a Fsica de

Partculas e a Teoria da Relatividade. Assim, a primeira concluso que tiramos de um

trabalho como este aquela que os primeiros fsicos de partculas que imaginaram a

possibilidade de defeitos topolgicos em cenrios cosmolgicos, a de que eles so

fundamentais no entendimento do Universo como um todo, principalmente quando

imaginamos a quantidade de energia e de quebras de simetria existentes em cenrios de

incio do Universo.

Para alm disso, apresentamos um modelo que nos traz muitas novas

possibilidades no estudo das Paredes de Domnio. Conclumos, primeiramente, que era

possvel desenvolvermos um determinado potencial que descrevesse um kink em um

nmero arbitrrio de dimenses, nos permitindo assim assumir a existncia de defeitos

topolgicos em cenrios cosmolgicos. A escolha do superpotencial W nos deu a

possibilidade de estudar um tipo de kink ainda pouco conhecido, que pode ser

continuamente deformado atravs de um parmetro. Essa caracterstica que gera as

concluses mais interessantes sobre a Parede de Domnio. A variao deste parmetro

leva a variao da espessura da parede, causa o aumento de sua energia e modifica o

formato do fator de warp em cenrios com cinco dimenses. A interao deste campo

com outros campos alm do gravitacional poder mostrar se esse parmetro determina

outras informaes, por exemplo, ele poderia nos dar informaes sobre um segundo

kink que viesse a interagir com nosso campo. Como vimos, a variao da energia de

paredes de domnio pode influenciar profundamente a dinmica e a geometria do

Universo e, em nosso modelo principal, o parmetro define a influncia.


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APNDICE

Este apndice destinado ao desenvolvimento de alguns clculos matemticos queavaliamos necessrios para o entendimento completo do captulo 3 deste trabalho,

principalmente no que diz respeito a obteno das solues do tipo kink. A soluo das

equaes diferenciais para obteno do campo no foram obtidas analiticamente e por

isso no apresentamos estes clculos aqui.

1 Superando o Teorema de Derrick

Iremos fazer aqui a transformao necessria para provar que possvel existir um

campo escalar com configurao esttica de energia, ou seja, com densidade de energia

fixa em vrias dimenses. Para isso, utilizamos a equao para a energia

e fazemos a transformao

portanto precisamos transformar os seguintes termos da integral

.


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E assim podemos construir a integral da energia, que deve se conservar sob a

transformao

Se , as energias gradiente e potencial se transformam da seguinte forma

e podemos dizer que a energia total dada por

Como apresentado no captulo 3.

2 O mtodo de Bogomolny para o potencial

Mostraremos aqui que a energia acima pode ser utilizada para construir uma equao de

movimento de primeira ordem para este potencial com o mtodo de Bogomolny,

utilizando apenas uma condio para a energia mnima. Retomando a equao inicial

que estudamos acima


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completamos os quadrados como demonstrado abaixo

se reescrevermos , podemos separar as integrais

como , podemos escrever

ento podemos dizer que, se a energia mnima for da ordem de

obtemos a equao de movimento


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3 Perturbaes na soluo kink

Nesta seo apresentaremos os clculos para obteno da Hamiltoniana que atua

sobre as perturbaes do potencial. Para isso utilizaremos os resultados da seo

1.6 assumindo que a hamiltoniana tenha a forma

aonde

e e . Fazendo a derivada em nosso potencial obtemos

aonde assumimos que . Assim obtemos a equao para a perturbao

que pode ser fatorada e reescrita como

obtendo para ,


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de acordo com os resultados do captulo 3.


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Referncias

1 D. Bazeia, J. Menezes, R. Menezes.New Global Defects Structures Phys. Rev.Lett. 91 (2003) 241601.

2 R. Rajaraman, Solitons and Instantons, North-Holand, Amsterdam, 1982.3 D. Bazeia, J. Furtado, A.R. Gomes.Bloch Brane JCAP 02 (2004) 002.4 O. DeWolfe, D.Z. Freedman, S.S. Gubser, A. Karch.Modeling the fifth

dimension with scalars and gravity Phys. Rev. D 62 (2000) 046008.5 A. de Souza Dutra. Continuously deformable topological structure. Physica D

238 (2009) 798-802.

6 D. Bazeia, C. Furtado, A. R. Gomes.Brane Structure from a Scalar Field inWarped Spacetime. JCAP 0402 (2004) 002

7 L. H. Ryder. Quantum Field Theory. Cambridge: Cambridge University Press,1996

8 T. Vachaspati.Kinks And Domain Walls.

Cambridge: Cambridge University

Press, 2006.

9 D. Bazeia, J. Menezes, M. M. Santos. Complete Factorization of Equations ofMotion in Wess-Zumino Theory. Phys. Lett. B 521, 418 (2001).

10 I. C. Jardim. Dissertao de Mestrado -Promediao dos campos gravito-eletromagnticos na aproximao ps-newtoniana. Universidade Federal do

Cear, Departamento de Fsica, 2007.

11 W. T. da Cruz. Dissertao de Doutorado -Localizao de campos emmembranas deformadas. Universidade Federal do Cear, Departamento de

Fsica, 2009.

12 A. Vilenkin, E. P. S. Shellard. Cosmic Strings and Other Topological Defects.Cambridge: Cambridge University Press, 1994

13 R. DInverno.Introducing Einsteins Relativity. Cambridge: Cambridge

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