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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Instituto de Cincias Exatas ICEX Departamento de Matemtica

A GEOMETRIA DAS ABELHAS

Dominique Miranda Martins

Belo Horizonte 2009

Dominique Miranda Martins

A GEOMETRIA DAS ABELHAS

Monografia de concluso de curso apresentada Especializao em Matemtica para Professores do Ensino Bsico, da Universidade Federal de Minas Gerais. Orientador: Prof. Dr. Paulo Antnio Fonseca Machado

Belo Horizonte 2009

Ao autor e consumador da minha vida: Jesus Cristo

Ao meu esposo Douglas

A todos que com este trabalho contriburam, e queles que dele usufruiro

Minha eterna gratido

A Deus: Pelo flego de vida e inspirao que me permitiram elaborar este trabalho.

Ao meu esposo Douglas: Pelo amor, incentivo e ajuda neste trabalho.

Ao professor Paulo Antnio Fonseca Machado Pela disposio, receptividade, cortesia e orientao.

Ao coordenador do curso Alberto Berly Sarmiento Vera Pela disposio e auxlio ao indicar-me ao orientador.

Por que dEle, e por meio dEle, e para Ele so todas as coisas. A Ele, pois a glria eternamente. Amm.Romanos 11:36

RESUMO O presente trabalho destina-se a evidenciar a dependncia existente entre as disciplinas Matemtica e Cincias, esclarecendo, geometricamente, o problema econmico de construo dos favos de uma colmeia. No qual, do ponto de vista biolgico, a situao ideal o mximo aproveitamento de volume em uma rea de superfcie mnima, com vistas a reduzir os gastos na produo da cera. Desta forma, apresentamos aqui a descrio da construo do alvolo do favo com base no estudo desenvolvido por Colin Maclaurin1 (*1698 - 1746), descrito no livro On growth and form (1945) de D'arcy Thompson2. O estudo em questo conclui que o melhor formato do alvolo est relacionado ao ngulo apresentado no seu pice e conduz medida angular ideal de construo do mesmo. Esta monografia apresenta tambm uma seo especfica de atividades propostas como sugesto para aplicao em sala de aula.

Palavras-chave: abelha, alvolo, construo geomtrica

ABSTRACT This work is intended to show the dependence between the courses Mathematics and Science, enlightening, geometrically, the economic problem of the construction of a honeycomb cell. In which, from the biological point of view, the ideal situation is the best use of the content in an area of minimum surface, to reduce the waste in the wax production. Thus, we present here a description of the construction based on the study conducted by Colin Maclaurin1 (*1698 - 1746), described in the D'arcy Thompson's2 "On growth and form (1945). The study in question concluded that the best format of the bee's cell is related to the angle shown on its peak and leads to the ideal angular measurement of the construction. This monograph has a specific section of proposed activities as suggestions for implementation in the classroom.

Keywords: bee, honeycomb, geometric construction

SUMRIO 1. INTRODUO..................................................................................................................09 2. GEOMETRIA NA NATUREZA........................................................................................10 3. BIOLOGIA DAS ABELHAS.............................................................................................11 4. HISTRICO DO ESTUDO GEOMTRICO DO ALVOLO..........................................14 5.DESENVOLVIMENTO......................................................................................................17 6.CONCLUSO.....................................................................................................................22 7.ATIVIDADES PROPOSTAS..............................................................................................23 8.REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS................................................................................26 9.APNDICE.........................................................................................................................27 10. ANEXOS..........................................................................................................................31

1. INTRODUO Graduei-me em Cincias Biolgicas e, desde o incio de minha carreira profissional, venho lecionando cincias e matemtica para o Ensino Fundamental. Por muitas vezes, pude vivenciar a compartimentalizao de contedos relatada por Gallo:Ao final da aula, fecha essa gavetinha e abre aquela referente matria a ser estudada na prxima aula e assim por diante (...) cada uma das gavetinhas estanque, sem nenhuma relao com a demais. Os alunos no conseguem perceber que todos os conhecimentos vivenciados na escola so perspectivas diferentes de uma mesma e nica realidade

(GALLO, 1994, p. 161). Essa falta de interao entre as disciplinas na sala de aula sempre me incomodou visto que A necessidade da interdisciplinaridade impe-se no s como forma de compreender e modificar o mundo, como tambm por uma exigncia interna das cincias, que buscam o restabelecimento da unidade perdida do saber. (FAZENDA, 1979, p. 49). Minha vivncia lecionando essas duas disciplinas instigou-me a procurar caminhos alternativos para o ensino da matemtica. Na busca por trabalhar os contedos de maneira interdisciplinar, almejando dirimir os limites existentes e evidenciar as correlaes e interdependncias entre essas cincias, proponho o presente trabalho, tendo por objetivo promover a integrao entre as disciplinas Cincias e Matemtica, descrevendo a construo geomtrica do alvolo de um favo de abelha e sugerindo a aplicao do recurso de modelagem matemtica como instrumento auxiliar de ensino escolar. Segundo Bassanezi, A matemtica aplicada essencialmente interdisciplinar e sua atividade consiste em tornar aplicvel alguma estrutura matemtica fora do seu campo estrito; a modelagem, por sua vez um instrumento indispensvel da matemtica aplicada. (BASSANEZI, 2002, p. 175). O problema em questo suscita argumentos biolgicos e matemticos que, por vezes, se mesclam na tentativa de se explicar suas causas. A complexidade dos fenmenos biolgicos que poderia ser a causa do desinteresse da matematizao desta cincia, ao contrrio, tem cada vez mais adeptos, mesmo porque a Biomatemtica se tornou uma fonte frtil para o desenvolvimento da prpria Matemtica. (BASSANEZI, 2002, p. 34). A seguir veremos que a descrio do mximo aproveitamento de volume em uma rea de superfcie mnima, pode servir como instrumento de aprendizagem de contedos em matemtica e cincias.

2. GEOMETRIA NA NATUREZA A natureza tem sido fonte de inspirao e pesquisa para muitos matemticos. Em especial, podemos destacar suas formas que, ao longo dos anos tm conquistado a ateno daqueles que se dedicam ao estudo da geometria. Segundo Thompson1 (*1860-1948) Os problemas envolvendo formas na natureza esto na primeira instncia dos problemas matemticos. (THOMPSON, 1945, p.10). Assim sendo, tomamos aqui o favo da abelha como alvo de nossa pesquisa, propondo-se o estudo geomtrico de sua construo. Estudo este que conta com a modelagem matemtica como ferramenta. Para tanto, primeiramente, tomemos a definio de modelo matemtico enunciada por Biembengut e Hein:Nessa perspectiva, um conjunto de smbolos e relaes matemticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenmeno em questo ou problema de situao real, denomina-se modelo matemtico. A modelao norteia-se por desenvolver o contedo programtico a partir de um tema ou modelo matemtico e orientar o aluno na realizao de seu prprio modelo-modelagem. Pode valer como mtodo de ensino-aprendizagem de Matemtica em qualquer nvel escolar, das sries iniciais a um curso de ps-graduao. No h restrio! Os objetivos so: aproximar uma outra rea do conhecimento da Matemtica; enfatizar a importncia da Matemtica para a formao do aluno; despertar o interesse pela Matemtica ante a aplicabilidade; melhorar a apreenso dos conceitos matemticos; desenvolver a habilidade para resolver problemas; e estimular a criatividade.

(BIEMBENGUT E HEIN, p.18/19) Uma vez que o presente trabalho intenta denominar-se de carter interdisciplinar, acreditamos justificar-se a aplicao da modelagem. Pois, conforme Bassanezi:As vantagens do emprego da modelagem em termos de pesquisa podem ser constatadas nos avanos obtidos em vrios campos como a Fsica, a Qumica, a Biologia e a Astrofsica, entre outros, a modelagem pressupe multidisciplinaridade. E, nesse sentido, vai ao encontro das novas tendncias que apontam para a remoo de fronteiras entre as diversas reas de pesquisa.(BASSANEZI, 2002, p. 16)

Foto: Abelhas sobre alvolos

3. BIOLOGIA DAS ABELHAS De acordo com Batschelet (1978), o mundo das abelhas rico em situaes que permitem explorar conceitos matemticos. Por exemplo, o favo, feito de cera, uma obra espetacular! A cera um produto derivado da secreo de uma glndula das abelhas entre 18 e 24 dias de idade. Para a produo dessa cera, ela precisa de uma temperatura no inferior a 36. com essa cera que faz sua principal obra arquitetnica, o favo, depsito de mel e bero para a prole. O favo composto de alvolos de base hexagonal. Com apenas 0,3 mm de espessura, o alvolo pode suportar um esforo de at 30 vezes o correspondente ao seu peso. Um alvolo, que constitui os favos, formado no total por 3 losangos e 6 trapzios, possuindo a forma de um prisma hexagonal regular, aberto em uma extremidade e formando um pice tridrico na outra. Segundo Hickman (2004), as abelhas possuem uma das mais complexas organizaes dentro do mundo dos insetos. Em vez de durar uma estao, sua organizao continua por um perodo indefinido. Um total de 60.000 a 70.000 abelhas pode viver em uma mesma colnia. Entre elas, existem trs castas: uma nica fmea madura sexualmente, ou rainha; algumas centenas de zanges, que so machos sexualmente maduros, e o resto composto por operrias, que so fmeas genticas sexualmente inativas. As operrias tomam conta dos jovens, secretam c