UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB

DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII

LICENCIATURA PLENA EM MATEMATICA

ESTUDO DO MÉTODO MONTE CARLO: SEU USO PARA O

CÁLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDAS

NO AMBIENTE OCTAVE

RODRIGO VITOR DA SILVA

SENHOR DO BONFIM – BA

MARÇO DE 2010

RODRIGO VITOR DA SILVA

ESTUDO DO MÉTODO MONTE CARLO: SEU USO PARA O

CÁLCULO DE INTEGRAIS DEFINIDAS

NO AMBIENTE OCTAVE

Monografia apresentada ao Departamento de Educação, Campus VII da Universidade do Estado da Bahia, como avaliação parcial da disciplina Monografia e um dos requisitos para obtenção do grau de Licenciado em Matemática. Orientador: Prof. Ivan Souza Costa

Senhor do Bonfim 2010

RODRIGO VITOR DA SILVA

ESTUDO DO MÉTODO MONTE CARLO: SEU USO PARA O CÁLCULO DE

INTEGRAIS DEFINIDAS NO AMBIENTE OCTAVE

BANCA EXAMINADORA

______________________________________________

Prof. Geraldo Caetano de Souza Filho

(Examinador)

______________________________________________

Prof. Wagner Ferreira de Santana

(Examinador)

______________________________________________

Prof. Ivan Souza Costa

(Orientador)

A Deus meu melhor amigo.

A minha amada esposa Elicelia Reis,

pelo apoio e compreensão, oferecidos de

modo tão espontâneo durante a

elaboração deste trabalho, bem como ao

longo do curso.

.

AGRADECIMENTOS

À Universidade do Estado da Bahia pelo compromisso com a Educação de

qualidade por todo o Estado.

Ao Campus VII da UNEB e todo seu corpo de professores e funcionários.

Aos meus familiares e minha esposa Elicélia Reis, pelo apoio e motivação

durante este período.

Ao professor Ivan Souza Costa pela valiosa orientação.

Aos colegas do Campus VII, especialmente a turma de Matemática de

2002.1.

A todos que contribuíram para a realização deste trabalho.

RESUMO

O estudo de métodos numéricos tem sido uma importante área da matemática aplicada a qual compreende uma vasta modalidade de métodos. Estes métodos são tratados normalmente a partir da graduação nos cursos de Cálculo Numérico objetivando a resolução de uma ampla gama de funções, equações e integrais para a solução dos diversos problemas de interesse. O método a ser tratado neste trabalho é o Monte Carlo. Ele faz parte do ramo do Cálculo Numérico o qual consiste na solução de problemas baseados em números aleatórios. Este método vem sendo extensivamente utilizado desde a década de 1950 em diversos campos tanto da Matemática quanto da Física bem como em outras áreas científicas como a Química, a Biologia e a Medicina. Este trabalho caracteriza-se por um estudo introdutório do referido método no qual após a apresentação do mesmo faremos alguns testes para comprovação de sua eficácia através da determinação do valor de π e do cálculo de integrais definidas de funções conhecidas.

Palavras-chave: Métodos numéricos, números aleatórios, método Monte Carlo.

LISTA DE FIGURAS

Figura 01 – Região delimitada entre os eixos cartesianos e abaixo da curva dada pela

função f(x) para o cálculo da integral ∫K

dxxf0

)( pelo Método Monte Carlo...16

Figura 02- ícone para a chamada do programa Octave.....................................................18

Figura 03 - Quarto de círculo inscrito num quadrado para a determinação de π

pelo Método Monte Carlo...............................................................................20

Figura 04 – Região delimitada pela curva )(2 xf para o teste do Método Monte Carlo

no cálculo da Integral ∫1

0

2 dxx ........................................................................21

Figura 05 – Região delimitada por uma curva )(3 xf para o teste do Método Monte Carlo

no cálculo da Integral dxe

e x

∫ −

−1

01

1.....................................................................22

LISTA DE QUADROS

Quadro 01- Programa para determinação do valor de π pelo Método Monte

Carlo .................................................................................................24

Quadro 02- Resultados para o valor de π para diferentes valores de n.............25

Quadro 03- Erro relativo percentual para o valor de π em função de n...............26

Quadro 04- Valores de π para um mesmo valor de n=5000.................................27

Quadro 05- Programa para determinação da integral ∫1

0

2 dxx usando o Método

Monte Carlo.......................................................................................28

Quadro 06- Cálculo da área pela ∫1

0

2 dxx usando o Método Monte Carlo para

diferentes valores de n.....................................................................29

Quadro 07- Programa para determinação da integral dxe

e x

∫ −

−1

01

1 usando o

Método Monte Carlo..........................................................................30

Quadro 08 - Cálculo da integral dxe

e x

∫ −

−1

01

1 usando o Método Monte Carlo

para diferentes valores de n...........................................................31

SUMÁRIO

Capítulo I ....................................................................................................................................9

INTRODUÇÃO ..........................................................................................................................9

1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ..................................................................................9

1.2. JUSTIFICATIVA ..........................................................................................................10

1.3. OBJETIVOS ..................................................................................................................11

1.3.1. OBJETIVO GERAL..............................................................................................11

1.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................11

1.4. ESTRUTURA DO TRABALHO .................................................................................12

Capítulo II .................................................................................................................................13

MÉTODO DE MONTE CARLO .............................................................................................13

2.1. APRESENTAÇÃO.......................................................................................................13

2.1.1. Determinação dos números aleatórios ...................................................................15

2.1.2. Descrição do procedimento para a aplicação do método.......................................16

2.1.3. A origem do nome do método Monte Carlo ..........................................................17

2.2. APRESENTAÇÃO DO AMBIENTE OCTAVE .........................................................18

Capítulo III................................................................................................................................20

PROPOSIÇÃO DOS PROBLEMAS....................................................................................20

3.1. Problema 1 – Determinação do valor de π pelo Método Monte Carlo ...................20

3.2. Problema 2 – Cálculo da Integral ∫1

0

2 dxx pelo Método Monte Carlo.......................21

3.3. Problema 3 – Cálculo da integral dxe

e x

∫ −

−1

0 1

1 pelo Método Monte Carlo..................22

Capítulo IV ...............................................................................................................................23

4.1. Análise e discussão da solução do Problema 1.............................................................23

4.2. Análise e discussão da Solução do Problema 2 ............................................................27

4.3. Análise e discussão da Solução do Problema 3 ............................................................30

CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................................32

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS34

9

9

Capítulo I

INTRODUÇÃO

1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

As integrais, sejam elas definidas ou indefinidas, possuem uma ampla

variedade de aplicações cujo estudo faz parte dos cursos de Cálculo Diferencial e

Integral, Estatística, Cálculo Numérico, dentre outros. Possuem ampla aplicação na

Física e na Engenharia. No caso específico da Física, freqüentes e importantes

problemas referem-se à resolução de integrais e suas diversas aplicações. Na

maioria dos casos, normalmente podem ser resolvidas por métodos analíticos já

bastante consagrados na literatura matemática.

Entretanto, é comum nos depararmos com situações onde a formulação de

um modelo matemático para representar a realidade é uma tarefa difícil. Outras

vezes existem dificuldades metodológicas na resolução do modelo proposto. Para

isto, uma proposta alternativa é a utilização de técnicas de simulação para encontrar

soluções aproximadas destas integrais. Dentre estas técnicas temos o Método de

Monte Carlo. “A idéia principal por trás de Monte Carlo na abordagem desses

problemas, é aproveitar ao máximo a força da análise teórica, e ao mesmo tempo

evitar suas fraquezas substituindo a teoria por experimento, onde quer que a

primeira falhe.” (ROSA et all, 2002, p. 01).

O Método de Monte Carlo, o qual será objeto de estudo deste trabalho,

fundamenta-se na Distribuição de Probabilidade, fazendo uso de amostras

aleatórias. “Para que uma simulação de Monte Carlo esteja presente em um estudo

basta que este faça uso de números aleatórios na verificação de algum problema.”

(ANGELOTTI, 2008, p. 01)

10

10

1.2. JUSTIFICATIVA

Devido à busca de valores finais e decisivos, comum nas áreas da

Matemática Aplicada como em Engenharia, Física, Economia e Estatística, sem

demasiado exagero se observa o pragmatismo necessário para a obtenção de

resultados em valores numéricos. Um dos principais motivos que justificam tal fato é

a morosidade com que alguns métodos requerem ou a forma muitas vezes

complexas com que estes precisam ser abordadas, e por esse motivo consomem

um tempo que na maioria das vezes o engenheiro ou cientista não dispõe. Além

disso, deve-se levar em conta a dificuldade de encontrar uma função que possa

represente o modelo a ser tratado. Mesmo em caso positivo, é provável recair em

uma equação nem sempre tão simples de se calcular pelos métodos de solução

analítica, sendo necessário que o engenheiro lance mão de métodos alternativos,

que simulem o sistema em questão.

Dentro da Física, freqüentemente encontram-se trabalhos que requerem

aplicações de integrais definidas, fazendo-se necessário encontrar o resultado

efetivo que possa ser solução de acordo com os dados numéricos e analíticos

fornecidos.

Devido aos argumentos expostos acima, surgiu a necessidade da busca de

um método alternativo que também possa ser solução e forneça resultados

satisfatórios para as Integrais Definidas. Naturalmente, dentro do grau de certeza

com que o caso a ser considerado deve apresentar. Por conseguinte, naturalmente,

surgem exemplos de indagações como as seguintes: Como outro método, de

natureza decisiva e dentro dos moldes da aritmética pode ser solução de um

problema que é fornecido pela Integral Definida que estando nos moldes da

analiticidade, e devido à sua formalidade, fornecem-se valores exatos? Quão

confiante pode ser tal método para que possa ser usado na resolução de tal

11

11

questão? Quanto tempo pode ser reduzido utilizando um método alternativo? Em

quais casos o método é adequado?

É através desses questionamentos, que surgiu a vontade e o planejamento de

se executar um trabalho que tivesse aspecto monográfico. Dessa forma, o trabalho

será desenvolvido no direcionamento das questões levantadas acima, sem ter, no

entanto, a presunção de responder pronto e decisivamente aos questionamentos

levantados.

1.3. OBJETIVOS

1.3.1. OBJETIVO GERAL

• Iniciar o estudo sobre aplicações do método de Monte Carlo na resolução de

problemas simples como o cálculo do valor de π e integrais definidas no

ambiente Octave.

1.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Provocar o interesse de outros estudantes a realizarem futuros trabalhos

também utilizando o método Monte Carlo, para aplicações diversas.

• Analisar o quanto tal método é possível de ser efetivo na busca do

fornecimento de valores dentro das especificidades das áreas da Matemática

aplicada.

• Apresentar o ambiente Octave para desenvolvimentos de programas

envolvendo Cálculo Numérico.

12

12

1.4. ESTRUTURA DO TRABALHO

Esta monografia está dividida em quatro capítulos, sendo esta a introdução, o

capítulo I, onde começamos com as considerações iniciais sendo colocado o

problema. Em seguida é apresentada a justificativa da escolha do tema seguido da

apresentação dos objetivos a serem alcançados.

O capítulo II, consta da apresentação do método Monte de Carlo com as

equações a serem utilizadas, bem como uma descrição dos procedimentos para a

sua aplicação. Em seguida é feita uma breve explanação sobre a origem do nome

do método. Ainda neste capitulo é apresentado o ambiente Octave onde foram

realizados os programas para determinação da solução das integrais pelo referido

método.

No capítulo III serão apresentados os problemas a serem tratados. Divide-se

em duas partes: Descrição do modelo que será usado e os procedimentos para

executá-lo.

No capítulo IV apresentaremos a solução dos problemas através da

simulação. Para melhor compreensão os resultados serão apresentados em tabelas

de acordo com o número de iterações realizadas, para em seguida ser feita uma

análise dos resultados obtidos. Faremos também algumas propostas para possíveis

aprimoramentos do método estudado e proposição de futuros trabalhos utilizando o

método em questão.

Por último chega-se à conclusão do trabalho, com a apresentação dos

principais resultados, enfatizando os resultados obtidos com os objetivos propostos.

13

13

Capítulo II

MÉTODO DE MONTE CARLO

2.1. APRESENTAÇÃO

A forma mais comum de dividir a matemática em áreas de estudo é classificá-

la como a matemática pura e a matemática aplicada. Mas existem muitos outros

modos de classificá-la. Um modo alternativo seria a matemática experimental e a

matemática teórica tal como ocorre com a física. No caso da matemática

experimental o computador tem se tornado uma ferramenta essencial para a

realização dos experimentos, restando aos ditos teóricos o uso de lápis e papel que

deduzem conclusões a partir dos postulados, diferente dos experimentalistas que

inferem conclusões a partir das observações de determinado fenômeno. Tais linhas

de ação mostram a diferença entre a dedução e a indução, ou mesmo entre a

indução matemática indução empírica.

A “indução empírica” nas Ciências Naturais procede de uma série particular de observações de um certo fenômeno até o enunciado de uma lei geral que regula toda as ocorrências desse fenômeno. (...) De um modo bastante diferente, a indução matemática é utilizada para demonstrar a veracidade de um teorema matemático em uma sequência infinita de casos, o primeiro, o segundo, o terceiro, e assim por diante, sem exceção. (COURANT, 2000, p. 12).

O fazer da matemática experimental consiste na realização de experimentos

com objetos matemáticos, tais como números, ou equações, ou figuras geométricas.

Recentemente uma importante área da matemática experimental é a modelagem

matemática onde os modelos tratados são descritos por uma variedade de equações

desde as mais simples como a do primeiro e segundo grau, muito utilizadas na

descrição dos movimentos de partículas tratados na cinemática, quanto as

complexas equações diferenciais com utilizações mais aprofundadas numa

variedade de sistemas.

14

14

Cada tipo dessas equações diferenciais requer métodos específicos para

solução, as quais culminam na resolução de integrais. Muitas destas soluções

podem ser obtidas analiticamente, porém, ainda assim, existem muitas delas que

possuem uma solução analítica muito difícil o que termina por exigir métodos

numéricos mais adequados para encontrar sua solução. Um destes métodos, aqui a

ser tratado, é o Método de Monte Carlo.

O método de Monte Carlo compreende uma área da matemática experimental

o qual está preocupado em realizar experimentos com números aleatórios. Ele tem

sido usado extensivamente há bastante tempo na solução de problemas que vão

além da matemática experimental atingindo numerosos outros campos da ciência,

incluindo química, física nuclear, biologia e medicina. “O método de Monte Carlo

(MMC) é um método estatístico utilizado em simulações estocásticas com diversas

aplicações em áreas como a física, matemática e biologia.” (ANGELOTTI, 2008, p.

01).

No método de Monte Carlo o resultado será uma função

( ),,...,,, 321 NR ξξξξ (01)

da sequência de números aleatórios ,..., 21 ξξ . Estes números são o estimador da

integral ( )∫ ∫1

0

1

0

11 ......,,... NN dxdxxxR . (02)

O problema de avaliar integrais é um importante passo no aprendizado do

método de Monte Carlo, servindo assim, de base para o aprimoramento de técnicas

de aplicações mais gerais deste método. Sendo assim, por questão de simplicidade,

iremos apresentar neste trabalho o procedimento para a resolução da integral

unidimensional ( ) .1

0∫=Θ dxxf (03)

Apesar do fato de que tais integrais possam ser avaliadas mais eficientemente por

meios numéricos convencionais que não o método Monte Carlo. Vamos supor que a

solução da integral

( )∫=Θ1

0

dxxf

existe. Então, se Nξξξ ,..., 21 são números aleatórios

independentes distribuídos retangularmente entre 0 e 1, então as quantidades

( )ii ff ξ= (04)

15

15

são variedades aleatórias independentes com valor esperado Θ . Ficando o valor

médio da função acima dada por

∑=

=N

i

ifN

f1

1 (05)

O valor de Θ , tem como variância a expressão

( )( )∫ =Θ−1

0

221

Ndxxf

N

σ (06)

ficando o erro padrão de f dado por

Nf

σσ = . (07)

Vemos assim que o Método Monte Carlo consiste de “um método estatístico

que envolve a geração de observações de distribuições de probabilidades, a serem

usados para aproximar funções a serem integradas” (WIKIPÉDIA, acesso em set

2009). O processo de simulação é possível de ser factível e rápido, se contado com

o poder de processamento dos computadores na aplicação da enorme quantidade

de experimentos que precisam ser feitos.

Isto se deveu principalmente na redescoberta de técnicas de simulação relativamente simples, mas extremamente poderosas, que puderam ser implementadas graças ao avanço nas capacidades computacionais. (EHLERS, 2003, p. 01).

Assim, o trabalho será desenvolvido de acordo com o exposto acima, e

formulado através do que se tornou o tema: Um estudo introdutório ao método de

Monte Carlo: Uma aplicação no cálculo de integrais definidas no ambiente Octave.

2.1.1. Determinação dos números aleatórios

A geração de números aleatórios é uma importante etapa na aplicação do

Método Monte Carlo. Na verdade trata-se de números pseudo-aleatórios, pois são

gerados por algoritmos geralmente contidos em pacotes de softwares, em

calculadoras ou em aplicativos, tais como o Maple, o Excell, o Octave entre outros.

No Octave eles são gerados pela função rand.

16

16

2.1.2. Descrição do procedimento para a aplicação do método

Após a apresentação do método no início deste capítulo, com as

apresentações das equações a serem utilizadas, será feito a seguir, um apanhado

dos procedimentos em que se baseia o método Monte Carlo.

Como serão trabalhadas funções no plano cartesiano, é feita a geração dos

números que levarão a pontos no plano. Portanto no eixo das abscissas, será feita

também a geração de números no intervalo de interesse , e, de forma

análoga, no eixo das ordenadas será feita também a geração de pontos no intervalo

. Os pontos que serão marcados no plano cartesiano serão dados pelas

coordenadas dos valores aleatórios encontrados correspondentemente no eixo das

abscissas e das ordenadas, respectivamente. (HASHIMOTO, 2004).

De acordo com o método Monte Carlo, a área a ser determinada pela Integral

Definida será dada pela quantidade de pontos internos à área delimitada pelos eixos

coordenados e abaixo da função f(x). Na figura abaixo encontra-se um diagrama

esquemático desta região, cujo pontos internos estão representados por círculos.

Quando alguns destes pontos caem dentro do retângulo (M x K), mas acima da

região delimitada pela função f(x) e os eixos coordenados eles são rejeitados como

é o caso do ponto preto de coordenadas (x1, y1). Caso contrário eles serão aceitos.

y

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Figura 01 – Região delimitada entre os eixos cartesianos e abaixo da curva

dada pela função f(x) para o cálculo da integral ∫K

dxxf0

)( pelo Método Monte Carlo.

K

M

x

)(xf (x1, y1) ●

17

17

Vamos supor ainda que os valores da função no intervalo [0, K] são menores

ou iguais a um valor conhecido, digamos M, e além disso que o valor função f(x) é

positivo no intervalo [0, K]. Inicialmente é gerada aleatoriamente a seqüência (x1 , y1),

(x2 , y2), ... , (xn , yn) de pontos onde 0 ≤ xi ≤ K e 0 ≤ yi ≤ M. É calculada então a

proporção de pontos que estão entre a curva e o eixo das abscissas, isto é, a

proporção de pontos tais que 0 ≤ yi ≤ f(xi).Na figura 01 estes pontos estão

representados por círculos. (Citado acima por HASHIMOTO).

Ou seja, para cada número gerado para o intervalo no eixo das abscissas,

será gerado um número para o intervalo no eixo das ordenadas, e dessa forma será

formado o par coordenado. Saber-se-á, contudo, quando o ponto coordenado que

fora gerado estará abaixo ou acima da curva dada pela função em consideração da

seguinte maneira: para cada valor gerado (xi) do intervalo do eixo das abscissas,

será substituído na função em consideração, verificando se o valor (f(xi)) será maior

ou menor do que o respectivo valor de (yi) gerado no eixo das ordenadas. Os pontos

dentro da região de interesse serão mantidos e do contrário rejeitados. Assim a área

será estimada pela razão entre a quantidade de pontos internos Pint para a

quantidade de pontos totais Ptot dentro do retângulo delimitado pelos eixos

cartesianos e as retas x=K e y=M.

2.1.3. A origem do nome do método Monte Carlo

O nome e o uso sistemático do desenvolvimento do método Monte Carlo data

a partir de 1944. O termo método de Monte Carlo se originou a partir do nome da

cidade de Mônaco no Mediterrâneo conhecida pelos seus cassinos. O primeiro a

utilizar a técnica foi o matemático John Von Neumann, ao usar o método para

estudar a difusão aleatória de nêutrons durante o desenvolvimento da bomba

atômica. Atualmente, a denominação método de Monte Carlo tornou-se expressão

geral associada ao uso de números aleatórios e estatística de probabilidade. Para

que uma simulação de Monte Carlo esteja presente em um estudo basta que este

faça uso de números aleatórios na verificação de algum problema.

18

18

2.2. APRESENTAÇÃO DO AMBIENTE OCTAVE

A computação numérica permitiu a realização de uma ampla gama de

problemas em diversas áreas científicas, tais como a engenharia, a física, a

matemática, química entre outras. Ao longo da evolução da história dos

computadores surgiram diversos ambientes computacionais que possibilitaram o

desenvolvimento das mais diversas tarefas. Dentre eles podemos citar: Matlab,

Maple, Mathemathica, SciLab, Octave, entre outros.

Neste trabalho utilizamos o ambiente Octave, por tratar-se de uma alternativa

livre de ambientes matemáticos. Vale ressaltar que embora diferentes, os programas

Matlab e Octave possuem semelhanças a ponto de seus arquivos poderem ser

processados em ambos os ambientes, daí, possuírem a mesma extensão (m). Na

figura abaixo apresentamos o ícone para a chamada deste programa.

Octave-3.2.2.lnk

Figura 02- ícone para a chamada do programa Octave

Para aprender a usar o Octave existem muitos materiais disponíveis na

internet, sendo que própria fonte de ajuda encontra-se no próprio programa, onde

uma série de informações a respeito de um comando podem ser obtidas utilizando-

se o comando help-i nome-do-comando.

Dentre as operações usuais ele permite a realização das operações

fundamentais aritméticas, onde são contemplados todos os tipos de operadores com

19

19

números reais e inteiros. Assim são possíveis a soma (+), subtração (-), divisão (/),

multiplicação (*) divisão reversa (\) e exponencial (ˆ).

Além das operações aritméticas, pode-se realizar as operações lógicas e

testes de decisão. Os operadores lógicos mais usuais no octave são: maior (>), ou

maior ou igual (>=), menor (<), ou menor ou igual (<=), igual (==) e diferente (~=). O

sinal de igualdade (=) é usado para o comando de atribuição.

Ao abrir o programa aparece o pronpt: octave>, onde deve ser indicado a

operação desejada. Passado esta informação tem como resposta: ans

=.valornumérico. Além destas operações, o octave dispõe de uma vasta biblioteca

de funções pré-instaladas que permite o cálculo de uma série de funções como as

funções trigonométricas, hiperbólicas, de Bessel, e uma infinidade de outras.

Além das funções pré-instaladas ele permite a criação de outras pelo usuário.

Para isto deve ser criado um arquivo com extensão .m no diretório corrente. No

nosso trabalho utilizamos o diretório /bin. Outra vantagem do octave é que ele

permite a realização de gráficos. Para isto é utilizado o programa GNU-PLOT.

Do mesmo modo que em outras linguagens de programação, a realização de

um programa no octave utiliza estrutura de repetição e de seleção. Para as

estruturas de repetição temos os comandos: for e while. Para o comando for, as

operações usam um contador com incrementos constantes. Já o comando while é

utilizado para o caso de repetições onde o teste é feito por diversas vezes a cada

iteração do problema. Para as estruturas de seleção temos o comando IF. A seleção

consiste na realização de comparações diretas ou seleção e serve para direcionar o

fluxo do programa em função de seu resultado. Além do comando IF pode-se

também utilizar o comando switch o qual permite a seleção de uma alternativa entre

diversas. Ele pode ser substituído por um conjunto de if’s em cascata.

20

20

Capítulo III

PROPOSIÇÃO DOS PROBLEMAS

Para a aplicação do Método Monte Carlo foi proposto dois problemas básicos

presentes na matemática. O primeiro deles consistiu na determinação do valor de π .

Com ele determinou-se área de um círculo. O segundo problema foi o cálculo de

integrais definidas de duas funções conhecidas num intervalo de 0 a 1. A seguir

faremos a apresentação dos referidos problemas.

3.1. Problema 1 – Determinação do valor de π pelo Método Monte Carlo

Tomemos um quadrado unitário colocado no plano x-y com o vértice inferior da

esquerda colocado na origem do sistema cartesiano conforme mostra-se na figura

abaixo. Em seguida inscreve-se neste quadrado a quarta parte de um círculo

unitário.

Região delimitada pelos eixos cartesianos e abaixo da função 21 1)( xxf −=

em [0;1]

y

1

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

0 1 x

Figura 03 – Quarto de círculo inscrito num quadrado para a determinação deπ pelo

Método Monte Carlo.

21

21

3.2. Problema 2 – Cálculo da Integral ∫1

0

2 dxx pelo Método Monte Carlo

Dando prosseguimento à proposição de problemas para aplicação do Método Monte

Carlo propomos o cálculo da área da curva parabólica delimitada entre 0 e 1 através

do cálculo da integral definida ∫1

0

2 dxx a ser realizada pelo método Monte Carlo.

Região delimitada pelos eixos cartesianos e abaixo da função 22 )( xxf = em

[0;1]

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Figura 04– Região delimitada pela curva )(2 xf para o teste do Método Monte Carlo

no cálculo da Integral ∫1

0

2 dxx .

22

22

3.3. Problema 3 – Cálculo da integral dxe

e x

∫ −

−1

0 1

1 pelo Método Monte Carlo

Com este problema escolheu-se uma função que apresenta uma complexidade

maior do que a família de funções polinomiais para testarmos a eficiência do método

Monte Carlo. Mais uma vez escolhemos avaliar a integral para o cálculo da área no

intervalo fechado [0;1] cujo gráfico encontra-se abaixo.

Região delimitada pelos eixos cartesianos e abaixo da função 1

1)(3 −

−=

e

exf

x

em [0;1]

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Figura 05 – Região delimitada por uma curva )(3 xf para o teste do Método

Monte Carlo no cálculo da Integral dxe

e x

∫ −

−1

0 1

1

23

23

Capítulo IV

ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

4.1. Análise e discussão da solução do Problema 1

A solução do problema pelo método Monte Carlo consiste em escolher pontos

aleatórios (x, y) dentro do quadrado e verificar quais destes pontos encontram-se

dentro do quarto do círculo. Conhecida área do quadrado e a do círculo, determina-

se uma expressão para o cálculo do valor de π .

Considerando o quadrado em questão de lado a, a sua área será 2aA= e a

área do quarto do círculo será

2.4

1rA π= (08)

Pelo Método Monte Carlo a área do quarto de círculo é dada por

totalP

PaA int2×= (09)

Sendo :

- intP os pontos lançados aleatoriamente que ficaram dentro do quarto do

círculo;

- totalP o número total de pontos gerados dentro do quadrado.

Substituindo (08) em (09) tem-se:

2int2

4

1a

P

Pa

total

π=× (10)

De forma que o valor de π fica dado por

totalP

Pint4×=π (11)

24

24

Para a obtenção do valor de π realizamos um programa, descrito a seguir, o

qual consiste das seguintes etapas:

1) Entrar com o número de iterações, n:

2) Gerar números aleatórios para x entre 0 e 1;

3) Gerar números aleatórios para y entre 0 e 1;

4) Verificar quais desses números encontravam-se dentro do quarto de

círculo;

5) Caso afirmativo calcular a soma dos pontos internos ( intP ) e o pontos total

dentro do quadrado ( totP ). Esta soma equivale ao somatório expresso na

equação (05). Porém ao transformá-la na linguagem de programação ela,

conforme veremos abaixo, é posta sob a forma de um acumulador, ao

fazer Pint=Pint+1 dentro de um comando de repetição conhecido por for.

Concluída esta etapa de contagens e somatórios calcula-se o valor de π

usando-se a equação (11).

O programa por nós proposto foi realizado no programa Octave e foi

denominado Teste_M_C.m, o qual encontra-se listado abaixo:

Quadro 01- Programa para determinação do valor de π pelo Método Monte

Carlo

% Programa para usar o Método Monte Carlo

% Cáculo de pi

n=5000; % n - número de interações

Pint=0; % Pint - quantidade de pontos internos à região a ser integrada.

for Ptot=1:n; % Ptot - total de pontos dentro do quadrado.

x=rand;

y= rand;

if (x^2+y^2<=1)

Pint=Pint+1;

endif

endfor

Pi=4*Pint/Ptot

Area=Pi/4

25

25

A seguir apresentaremos alguns resultados para diferentes valores de interação n.

Quadro 02- Resultados para o valor de π para diferentes valores de n

n π Área

10 3,6000 0,90000

20 3,2000 0,80000

30 3,4000 0,85000

40 2,4000 0,60000

50 3,2000 0,80000

60 3 0,75000

70 2,9333 0,73333

80 2,9000 0,72500

90 2,9333 0,73333

100 3,2400 0,81000

1000 3,0400 0,76000

2000 3,1080 0,77700

3000 3,1523 0,78133

4000 3,1380 0,78450

5000 3,1488 0,78720

A princípio o quadro acima mostra a validade do método embora com certa

flutuação com o aumento do número de iterações n. No entanto, mesmo com esta

flutuação percebe-se que os resultados obtidos encontram-se próximos do valor de

π , ficando em torno de 3. À medida em que se aumentou o valor de n obteve-se

valores próximo do valor de (π = 3,1416) tomado aqui como referência.

Aproveitando o valor de π , determinou-se o valor da área do quarto de círculo

através da fórmula usual dada pela geometria expressa pela equação (01),

resultando num valor aproximado de 0,78 cm2.

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Com o intuito de estimarmos a margem de erro “experimental’ tomamos como

referência o valor de 1416,3=π com o qual determinou-se o erro relativo percentual

que encontra-se listado abaixo. Porém antes de apresentar estes resultados vale

lembrar que a expressão do erro relativo percentual é dada por

100

1416,3

1416,3(%) ×

−= iPi

e (12)

Onde, conforme já foi mencionado, foi tomado como valor de referência para π (pi)

o valor 3,1416.

Quadro 03- Erro relativo percentual para o valor de π em função de n

n π Erro relativo (%)

10 3,6000 14,591

20 3,2000 1,858925

30 3,4000 8,225108

40 2,4000 -23,6058

50 3,2000 1,858925

60 3 -4,50726

70 2,9333 -6,63038

80 2,9000 -7,69035

90 2,9333 -6,63038

100 3,2400 3,132162

1000 3,0400 -3,23402

2000 3,1080 -1,06952

3000 3,1523 0,340591

4000 3,1380 -0,11459

5000 3,1488 0,229183

O quadro acima mostra mais uma vez a flutuação dos resultados, porém

confirmando a validade do método, uma vez que, com exceção do valor de π para

n=10, para as demais iterações o erro relativo percentual foi menor do que 10%,

faixa esta bastante aceitável.

27

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Antes de encerrar esta seção vale mencionar um fato curioso sobre o método

Monte Carlo, mas que não o invalida. É que, em virtude do método utilizar números

aleatórios a cada chamada do programa ocorre que cada vez que efetuamos um

cálculo para o mesmo valor de n, isto é, mesmo número de iterações, o resultado

obtido é diferente. Para melhor destacarmos este fato apresentamos no quadro

abaixo o dez valores de π para um mesmo valor de n, no caso n = 5000.

Quadro 04- Valores de π para um mesmo valor de n = 5000

n π Área

5000 3,1488 0,78720

5000 3,1096 0,77740

5000 3,1560 0,78900

5000 3,1232 0,78080

5000 3,1464 0,78660

5000 3,1112 0,77780

5000 3,1496 0,78740

5000 3,1448 0,78620

5000 3,1432 0,78580

5000 3,1720 0,79300

Média 3,14048 0,78512

Percebe-se que mesmo com estas flutuações o valor fica em torno da média

que é para π = 3,14048 e para a área o valor de 0,78 85 cm2.

4.2. Análise e discussão da Solução do Problema 2

O segundo problema consistiu no Cálculo da Integral ∫1

0

2 dxx pelo Método

Monte Carlo. Para melhor ilustrá-lo apresentamos a seguir o gráfico da função citada

dentro do intervalo [0; 1]. Trata-se de uma parábola, a qual encontra-se delimitada

por um quadrado de lado unitário. De ante mão tomemos como referência o valor da

28

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integral acima a qual tem como resultado no intervalo em questão o valor de

333,03

1≅ .

De maneira análoga o cálculo desta integral pelo Método Monte Carlo

consistiu da geração de números aleatórios para x e para y, formando os pontos

aleatórios de pares ordenados (x, y) dentro do quadro de uma unidade de lado 1,

verificando em seguida quais destes pontos encontram-se dentro da região

delimitada pela parábola mostrada na figura 4.

A seguir apresentamos no quadro abaixo o programa utilizado para a

realização destes cálculos.

Quadro 05- Programa para determinação da integral ∫1

0

2 dxx usando o Método

Monte Carlo % Programa para aplicar o Método Monte Carlo

% Integrando com função quadrática (parábola).

n=5000; % n - número de interações

Pint=0; % Pint - quantidade de pontos internos à região a ser integrada.

for Ptot=1:n; % Ptot - total de pontos dentro do quadrado.

x=rand;

y= rand;

if (y-x*x<=0)

Pint=Pint+1;

endif

endfor

area=Pint/Ptot

29

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No próximo quadro apresentamos os resultados obtidos com o método proposto.

Mais uma vez como finalidade didática, optou-se pelo cálculo de integrais

simples e já conhecidas. Para o problema 2 em questão o valor de referência foi

0,333. A partir de n= 50 o resultado se aproxima do valor esperado o que mostra

mais uma vez a eficácia do método.

Muitos testes podem ser explorados com este método. Um deles é estender

os limites de integração, mas como tal adaptação exige um maior esforço

computacional o que demanda um gasto maior de tempo deixando estas tarefas

para trabalhos futuros. Também vale aqui ressaltar as diferenças obtidas nos

resultados fixando os números de iterações. Para não se tornar tão repetitivo

optamos por não apresentar neste item, deixando para sua apresentação no

problema 3 a seguir.

Para o próximo problema trataremos de usar uma função não polinomial para

verificarmos a eficácia do método.

Quadro 06- Cálculo da área pela ∫1

0

2 dxx usando o Método Monte Carlo para

diferentes valores de n n Área 10 0,40000

50 0,30000

100 0,31000

200 0,34000

500 0,34000

1000 0,34100

2000 0,34650

3000 0,34567

4000 0,33575

5000 0,34120

30

30

4.3. Análise e discussão da Solução do Problema 3

O terceiro problema consistiu no Cálculo da Integral dxe

e x

∫ −

−1

0 1

1pelo Método

Monte Carlo. O gráfico da função que faz parte do integrando encontra-se na figura

05. Trata-se de uma função exponencial delimitada no primeiro quadrante pelos

eixos coordenados e a reta y=1, estando assim delimitada por um quadrado de lado

unitário. Mais uma vez, por questão de controle, tomou-se como referência o valor

da integral acima obtida pelos métodos usuais do cálculo diferencial e integral

resultando no valor 418023,01

2=

−

−

e

e.

A seguir apresentamos no quadro abaixo o programa utilizado para a

aplicação do Método Monte Carlo.

Quadro 07- Programa para determinação da integral dxe

e x

∫ −

−1

0 1

1 usando o Método

Monte Carlo % Programa para aplicar o Método Monte Carlo

% Integrando com função exponencial.

n=5000

Pint=0;

for Ptot=1:n;

x=rand;

y= rand;

D=(exp(x)-1)/(exp(1)-1);

if (y-D<=0)

Pint=Pint+1;

endif

endfor

área=Pint/Ptot

31

31

No próximo quadro apresentamos os resultados obtidos com o método proposto.

Quadro 08- Cálculo da integral dxe

e x

∫ −

−1

0 1

1 usando o Método Monte Carlo para

diferentes valores de n. n Área – rodada 1 Área-rodada 2 10 0,5000 0,6000

100 0,4400 0,3500

500 0,406 0,4500

1000 0,402 0,430

1500 0,434 0,42867

2000 0,42750 0,41800

3000 0,43133 0,42300

4000 0,42150 0,42650

5000 0,41100 0,41700

Conforme já mencionado, tomaremos como referência para a integral o valor

0,418023. A partir de n= 100 o resultado se aproxima do valor de referência o que

mostra mais uma a eficácia do método. Vale destacar também que em virtude da

geração dos números aleatórios, ainda que para um mesmo valor de iterações n, os

resultados dão diferentes, porém próximos, conforme mostra-se no quadro 08,

quando apresentamos resultados para duas rodadas.

Para encerrar a apresentação dos resultados vale ressaltar que em todos

eles, os cálculos das integrais foram realizadas no intervalo entre 0 e 1. Para

trabalhos futuros fica como sugestão a realização de programas para estender a

faixa do intervalo de integração [a; b], com a e b quaisquer,

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

Para os três problemas proposto os resultados obtidos mostraram a eficiência

e funcionalidade do método. Os erros relativos percentuais ficaram abaixo de 10% o

que confirma a sua validade.

Um item a ser destacado é quanto à convergência do resultado para

pequenas iterações. Já a partir de n=100 os resultados eram bastante satisfatórios,

no entanto à medida em que este número aumentava percebeu-se uma melhora

significativa nos resultados, ocorrendo uma maior proximidade entre os valores

“experimentais”, obtidos pelo método Monte Carlo, com os tomados como referência,

os quais foram obtidos pelos métodos usuais de integração.

Em virtude de se lidar com números aleatórios, na verdade, pseudo-aleatórios

para uma mesma iteração os resultados obtidos sempre são diferentes entre se,

porém próximos, o que não invalida o método.

Retomando aos questionamentos levantados no final da seção 1.2 do

primeiro capítulo, temos as seguintes observações a fazer fundamentadas nos

resultados obtidos com a pesquisa. Para facilitar o leitor retomamos as questões

levantadas seguindo com as devidos comentários:

A primeira destas questões foi: para a realização de integrais definidas, o

método fornece valores exatos? Conforme mencionado ao longo do trabalho e

fundamentado com os resultados obtidos conclui-se que o método não fornece

valores exatos, porém isto não o invalida. O que se observou foi que os resultados

são aproximados com um erro percentual baixo, menor do que 10%, o que é

perfeitamente aceitável.

Ainda especulando-se a validade do método, foi questionado quanto à sua

confiança quando o autor lança a pergunta: quão confiante pode ser tal método para

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que possa ser usado na resolução de problemas, especificamente no cálculo da

integral definida? Mais uma vez a pesquisa mostrou que embora o método não

forneça resultados exatos, sua confiança encontra-se fundamentada nos baixos

valores dos erros percentuais apresentados. Além disso, conforme apresentado na

equação (07) tais erros podem ser estimados através do erro padrão, cuja

expressão apresenta no denominador o valor do número de iterações, daí, quanto

maior o número de iterações utilizado mais preciso será o resultado.

Uma questão também interessante foi posta ao indagar sobre a redução de

tempo que se ganha ao se optar pelo método Monte Carlo em detrimento de outros

métodos convencionais. Considerando tratar-se de um método cujos resultados são

obtidos mediante o uso de recursos computacionais, então este tempo dependerá

de diversos fatores, cujas variantes levariam em consideração desde o tipo de

máquina empregado, a habilidade do programador, e claro, a complexidade do

problema a ser tratado. Porém, para os casos específicos tratados nesta pesquisa

percebeu-se que o tempo de processamento foi muito pequeno em virtude da

rapidez apresentada, mas é preferível não utilizarmos este critério para a utilização

ou não deste método por não termos quantificados tais intervalos de tempo.

Por fim a última questão levantada foi saber em quais casos este método é

adequado. Como toda metodologia, não goza de uma propriedade geral, daí

observarmos que o método Monte Carlo deve ser utilizado em situações-problemas

em que possa ser tratado por meios probabilísticos calcados em números aleatórios.

Mas como foi dito ao longo deste trabalho trata-se de um método muito abrangente

e aplicado extensivamente ao longo dos anos em diversas áreas científicas como é

o caso da física, química e biologia, entre outras.

Para trabalhos futuros fica como sugestão estender o intervalo de integração

com o desenvolvimento de programas para o cálculo de integrais definidas além dos

limites entre 0 e 1.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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