monografia - fábio

5/11/2018 Monografia - Fábio - slidepdf.com

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEBDEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA - DCET

COLEGIADO DE MATEMÁTICA

FÁBIO HENRIQUE ALMEIDA SANTOS

EXPLORANDO CONTEÚDOS MATEMÁTICOS COM O USO DO GEOGEBRA

Alagoinhas - BA2009



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Monografia apresentada com o objetivo de aprovação na disciplina deTrabalho de Conclusão de Curso III, obtenção da Graduação emLicenciatura em Matemática, Universidade do Estado da Bahia,Departamento de Ciências Exatas e da Terra, Educação Matemática.

Prof. Ms Antonio Teófilo Ataíde do Nascimento

Alagoinhas - BA2009



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Monografia apresentada com o objetivo de aprovação nadisciplina de Trabalho de Conclusão de Curso III, obtenção daGraduação em Licenciatura em Matemática, Universidade doEstado da Bahia, Departamento de Ciências Exatas e da Terra,Educação Matemática, aprovada em 28/08/2008.

_____________________________ Prof. Ms Antonio Teofilo Ataide do Nascimento (Orientador)UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

_____________________________ Prof. Ms Adriano Pedreira CattaiUNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

_____________________________ Prof. Ms Érica Nogueira MacêdoUNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA



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DEDICATÓRIA

Aos meus pais.



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AGRADECIMENTO

A DEUS Senhor da nossa existência.

Aos meus pais, pela formação que me deram.

A Mari pelo nosso amor tão fundamental em todos os momentos desta caminhada.

A meu orientador Teófilo pelos ensinamentos e colaboração.

Aos demais membros da banca por compartilharem suas experiências profissionais

na avaliação desta monografia.

Ao professor Roque pelos ensinamentos e colaboração.

Aos funcionários da UNEB – Campus II pela amizade e apoio.

A galera do baba e da cachaça.

Aos amigos, Irênio, Dérisson, Leo, Poca, Obina, João, Isaias, Aécio, Manoel, Zinei,Evaldo, Iramark, Alex, Davi.

Aos colegas da turma 2005.1 em especial a Laise, Lilian, Edpaula e Andrêssa, por

estarem comigo em toda minha trajetória no curso, servindo de inspiração nos

momentos que parecia que eu não iria conseguir.

A todos os colegas da graduação pelo companheirismo e pelas colaborações.

A todos os pesquisadores cujos trabalhos subsidiaram nossa pesquisa.

A todos de maneira geral que, direta ou indiretamente, contribuíram para a

concretização desse trabalho.



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RESUMO

Esta pesquisa propôs a construção de modelos pedagógicos para exploração deconteúdos matemáticos utilizando o software GeoGebra, adotando uma posturacrítica e consciente quanto a utilização do computar na educação. Na busca destapostura fizemos uma revisão literária buscando discussões sobre a influência docomputador na educação a partir da perspectiva da informática educativa. Tambémconceituamos e caracterizamos software educacional e programa de geometriadinâmica, por fim discutimos a aprendizagem em ambientes informatizadosdestacando alguns benefícios. Dentre os conteúdos matemáticos que elaboramospropostas pedagógicas durante o desenvolvimento da pesquisa exploratória,escolhemos expor no trabalho as aplicações que incidiram; no estudo da função

quadrática, numa parametrização da hipérbole e no teorema do limite da funçãocomposta. Com esta pesquisa, também tivemos a intenção de incentivar o uso desoftwares matemáticos na educação, em particular o software GeoGebra, por issoelaboramos um manual básico para iniciantes, onde destacamos algumascaracterísticas e descrevemos algumas ferramentas e comandos.

Palavras-chave: GeoGebra, ambiente informatizado, geometria dinâmica.



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ABSTRACT

This research proposed the construction of pedagogic models for exploration ofmathematical contents using the software GeoGebra, adopting a critical andconscious posture as the use of computing in the education. In the search of thisposture we made a literary revision looking for discussions on the influence of thecomputer in the education starting from the perspective of the educational computerscience. We also considered and we characterized education software and programof dynamic geometry, finally we discussed the learning in computerized atmospheresdetaching some benefits. Among the mathematical contents that we elaboratedproposed pedagogic during the development of the exploratory research, we choseto expose in the work the applications that happened; in the study of the quadratic

function, in form parametric of the hyperbole and in the theorem of the limit of thecomposed function. With this research, we also had the intention of motivating theuse of mathematical software in the education, in matter the software GeoGebra, forthat elaborated a basic manual for beginners, where we detached somecharacteristics and we described some tools and commands.

Word-key: GeoGebra, computerized atmospheres, dynamic geometry



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SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO 09

1.1. Metodologia 11

2. O COMPUTADOR NA EDUCAÇÃO 13

2.1. Ambiente Informatizado 15

3. CONHECENDO O GEOGEBRA 20

3.1 Ferramentas 23

3.2 Comandos 25

3.2.1 Comandos Gerais 25

3.2.2 Número 26

3.2.3 Ângulo 27

3.2.4 Ponto 27

3.2.5 Vetor 28

3.2.6 Reta, semi-reta, segmento 28

3.2.7 Polígonos 29

3.2.8 Seção Cônica 29

3.2.9 Função 30

3.2.10 Arco e setor 31

3.2.11 Lugar Geométrico 32

3.2.12 Transformações Geométricas no plano 32

3.2.12 Operações 33

4. APLICANDO O GEOGEBRA 35

4.1 Função Quadrática 35

4.2 Parametrização da Hipérbole 404.3 Teorema do Limite da Função Composta 43

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 45

6. REFERÊNCIAS 47



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I. Introdução

Diante de tantas mudanças tecnológicas e da necessidade de melhorar o

ensino de matemática no Brasil, varias pesquisas foram e estão sendo

desenvolvidas na área de Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC)

associadas à educação. Porém alguns questionamentos até hoje ainda são motivos

de discussão, tais como: O que faz o computador e um software educacional dentro

de uma sala de aula? Pra que? De que forma devem ser usados? Quem deve

"conduzir" sua utilização?

A informática educativa vê no computador uma ferramenta, ou mais um

recurso a ser utilizado em sala de aula, pelo professor e pelos alunos, no auxílio da

construção do conhecimento. De certa forma a construção do conhecimento pode

ser possibilitada pelo uso de softwares educacionais.

Software educacional é todo aquele programa que possa ser usado paraalgum objetivo educacional, pedagogicamente defensável, por professores

e alunos, qualquer que seja a natureza ou finalidade para o qual tenha sidocriado. (Lucena, 1992)

Muitos desses softwares são gratuitos, o que facilita o acesso aos

mesmos. Um exemplo de software educacional é o GeoGebra. Este é um software

de Matemática Dinâmica desenvolvido por Markus Hohenwarter da Universidade de

Salzburg para educação matemática nas escolas, ele reúne geometria, álgebra e

cálculo, além disso, possui todas as ferramentas tradicionais de um software de

geometria dinâmica. Um software de Geometria Dinâmica é um ambiente que

permite simular construções geométricas. Diferentemente do que ocorre com a

régua e o compasso tradicional, as construções feitas com este tipo de software são

dinâmicas e interativas, o que faz do programa um excelente laboratório de

aprendizagem da geometria.

No GeoGebra podemos representar pontos, vetores, segmentos, retas,

circunferências, transportar distâncias, tirar paralelas e perpendiculares e construir

gráficos. As construções geométricas virtuais produzidas com o GeoGebra não ficamestáticas: elas se mexem sob o nosso comando. Os pontos geométricos iniciais de



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uma construção podem ser arrastados com o mouse sem destruir as relações

matemáticas que vigoram entre eles e os demais objetos, muitas vezes

evidenciando os aspectos invariantes. Ele possui dois ambientes: uma janela de

geometria e outra de álgebra. Além disso, oferece também um suporte à entrada de

equações e coordenadas, associando o primeiro ao segundo, e vice-versa. Portanto,

o GeoGebra é a união de um sistema de geometria dinâmico e de um sistema de

computação algébrica.

Os recursos existentes neste software nos permitem concebê-lo como

uma ferramenta poderosa para lidar com alguns obstáculos à aprendizagem que

norteiam a pratica docente, tais como: as generalidades, as diversidades deaprendizagem, motivação, os aspectos abstratos e invariantes da matemática e etc.

A dificuldade de o aluno atribuir um significado para a aprendizagem da

Matemática muitas vezes é um fator que prejudica este aprendizado, e desta forma

criar-se certa aversão à disciplina. A construção de gráficos de forma manual é um

exemplo disso, pois desta forma não há como analisar diferentes pontos de vista

rapidamente, o software GeoGebra facilita essa interação instantânea oportunizando

ao professor e ao aluno testar inúmeras hipóteses e fazer generalizações.

Assim, atendendo as demandas dos PCNEM (Parâmetros Curriculares

Nacionais do Ensino Médio) em pesquisar abordagens metodológicas para o ensino,

e no intuito de tornar o desenvolvimento do conteúdo matemático de forma

contextualizada, prazerosa e interativa em um ambiente de descoberta sem perder o

foco do rigor científico. Também conscientes da importância de se utilizar os

recursos midiáticos adequadamente nas instituições de ensino, e os benefícios queo computador pode trazer no processo de ensino-aprendizagem, mostraremos,

neste trabalho, modelos pedagógicos que possibilitem explorar conteúdos

matemáticos utilizando o GeoGebra.

Além de exibir tais modelos, fizemos uma discussão sobre o uso do

computador e de softwares matemáticos no processo de ensino-aprendizagem, uma

reflexão sobre os benefícios da aprendizagem em ambientes informatizados, a

construção de um manual básico do Software GeoGebra para iniciantes e incentivar

o uso de software no processo de ensino e aprendizagem.



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1.1 Metodologia

Esta pesquisa desenvolveu-se no Campus II da UNEB. O trabalho possui

um caráter qualitativo visando oferecer ao professor de matemática subsídios para

desenvolver atividades que possam facilitar o entendimento de conteúdos

matemáticos utilizando o GeoGebra. A modalidade de pesquisa fundamenta-se na

pesquisa exploratória ou diagnóstica, caracterizada diante da problemática de que

dispondo da tecnologia, nos questionamos de que forma fazer o melhor uso

pedagógico, desta forma se buscou informações e dados para respaldar este

estudo. A coleta de dados seguiu a modalidade de pesquisa bibliográfica ou de

revisão literária, e os dados foram tratados de forma qualitativa.

Gil (2002) afirma que a pesquisa exploratória tem por objetivo

proporcionar maior familiaridade com o problema (fenômeno a ser investigado), com

vistas a torná-lo mais explícito ou a construir hipóteses. Visa o aprimoramento de

idéias ou a descoberta de intuições. Seu planejamento é bastante flexível, de modo

que possibilite a consideração dos mais variados aspectos relativos ao fato estudadoe não utiliza técnicas quantitativas.

As aplicações criadas no GeoGebra incidiram no estudo da Função

Quadrática, numa parametrização da hipérbole e numa representação analítica do

Teorema do Limite das Funções Compostas. Esta etapa foi desenvolvida em

ambientes computacionais.

A pesquisa se desenvolveu na síntese da revisão bibliográfica e na

descrição e análise da pesquisa exploratória. E está composta em quatro capítulos,

além deste, conforme a descrição a seguir.

O segundo capítulo proveniente da revisão bibliográfica denomina-se O

COMPUTADOR NA EDUCAÇÃO, onde destacamos a necessidade de uma postura

consciente e crítica em relação à utilização do computador e softwares educacionais

na educação, em particular, o software GeoGebra. Complementando a defesa poressa postura consciente e crítica, fizemos, uma breve reflexão sobre os benefícios



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da aprendizagem em ambientes informatizados, dando ênfase ao ensino e

aprendizagem de matemática.

O terceiro capítulo chama-se CONHECENDO O GEOGEBRA, nesteelaboramos um manual básico de utilização do software GeoGebra para iniciantes.

Apresentamos o software e sua interface, e foram descritas algumas ferramentas e

comandos.

O quarto capítulo – APLICANDO O GEOGEBRA – descrevemos todos os

procedimentos necessários ao uso do GeoGebra na exploração de alguns

conteúdos matemáticas. Nesse capítulo os modelos apresentados incidiram sobre a

função quadrática, uma parametrização da hipérbole e o teorema do limite da função

composta, onde fizemos uma análise das construções realizadas.

No quinto capítulo – CONSIDERAÇÕES FINAIS – retomamos

brevemente a temática da monografia, destacando os principais resultados e

contribuições da pesquisa, descrevemos as dificuldades encontradas e apontamos

algumas sugestões de continuidade dos estudos.



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II. O computador na educação

Os objetos manufaturados mais variados determinam e acompanham a

evolução da humanidade. Se no passado eles serviram para tornar o homem mais

adequado a sobrevivência, quanto às atividades que exigiam esforço físico. Hoje os

artefatos são máquinas que expandem o horizonte e poder da capacidade cognitiva

humana. Inicialmente essas máquinas serviam quase que exclusivamente para fazer

cômputos além das limitações do homem, justifica-se então o nome computador. No

exórdio eram ferramentas disponíveis apenas para pesquisadores, atualmente

fazem parte do nosso cotidiano e estão intrínsecas nos processos de

desenvolvimento social e individual.

Nossas instituições de ensino é um exemplo da influência auspiciosa

dessas máquinas que inicialmente eram utilizadas para auxiliar nos processos

administrativos. No decorrer do tempo houve muitas mudanças em sua utilização, e

hoje estão presentes em sala de aula. Contudo, a informática educativa vê no

computador uma ferramenta, ou mais um recurso a ser utilizado dentro e fora dasala de aula, pelos professores e pelos alunos, no auxílio da construção do

conhecimento, como é colocado por Batista (2004):

Na educação escolar, as Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC)podem ser vistas como: i) um recurso educacional para apoiar aaprendizagem dos alunos; ii) um instrumento de produtividade pessoal, napreparação de materiais para as aulas, no desenvolvimento de tarefasadministrativas e na busca de informações e materiais; iii) um meiointerativo de relacionamento entre professores e parceiros educacionais

(BATISTA, 2004).

A inserção das novas tecnologias na prática docente pressupõe que o

Educador esteja aberto a assumir um novo papel frente ao processo educacional.

Isso quer dizer que o professor, ao adotar a TIC, precisa estar disposto a investir no

próprio conhecimento sobre o uso de novas tecnologias em sala de aula, tendo uma

postura crítica e construtivista do uso da mesma.

Como é colocado por Valente (1993), ao acentuar que a mudança dopapel do computador na escola acontece juntamente com um questionamento do



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papel do professor. O educador, de posse do aparato tecnológico, precisa assumir

uma postura construtivista e deixar de ser o transmissor de informação, caberá ao

computador auxiliá-lo nesta função, e passar a ser o criador de modelos e ambientes

de aprendizagem, e o facilitador do processo de desenvolvimento intelectual do

aluno.

No entanto vale ressaltar que o computador é uma ferramenta de grande

valia na educação, mas estamos longe de substituir o papel do professor em sala de

aula. Não devemos confundir a tarefa inevitável, que é repassar os principais

conceitos construídos ao logo da História, com um mero repasse de conhecimentos.

O aluno ao ler um livro de Matemática teria que ter muita maturidade para excluir opapel do professor em sala de aula, o que não é impossível, mas não é a regra.

Nesta mesma perspectiva Gravina (2001) evidencia o potencial dos

computadores como ferramentas para modelagem e simulação:

Os computadores não só aumentam as possibilidades de dimensionamentodos modelos, como oferecem interação mais natural com os mesmos.Agora, além das variáveis e equações matemáticas a reger o modelo, osobjetos metafóricos utilizados também podem ser modificados pelamanipulação direta na tela do computador. As simulações e seus objetosmetafóricos tornam-se instâncias de representação de imagens mentais,com iconografia em profusão (símbolos, gráficos, diagramas) e com odinamismo de imagens presentes na tela do computador. A versatilidade doambiente dá fluidez aos processos mentais e suporta formas de pensar queultrapassam as do discurso oral ou escrito, ou do desenho estático(GRAVINA, 2001).

Esta máquina foi além do processo de ensino-aprendizagem e está

presente no campo da pesquisa matemática, como é observado por Gravina apud

Pollak (2001), sobre o uso do computador:

Nós nos encontramos, na máquina, examinado uma coleção de casosespeciais, complexos demais para que possamos lidar com nossos meiosconvencionais. O computador nos encoraja a praticar, sem vergonha e emplena luz do dia, coisas que só nos permitíamos no ambiente privado denosso gabinete, as quais nós nunca admitíamos frente aos estudantes: aexperimentação. Em um grau que nunca aprece nos cursos queministramos, matemática é uma ciência experimental. [...] O computador setornou o principal veículo para o aspecto experimental da matemática(GRAVINA, 2001).

Alguns dos casos especiais a que POLLAK se refere, podem ser tãocomplexos que até hoje estão sem solução ou levaram muitos anos para serem



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provados, como por exemplo, o último teorema de Fermat ou a lei de formação dos

números primos. É uma mostra que o inquestionável método dedutivo-axiomático da

matemática não conseguiu provar tudo. No entanto, a matemática agora pode contar

com o computar nas provas, como é observado por Araujo (2007), “Apesar do

formalismo na matemática, convém acrescentar que o uso do computador tem

exercido razoável influência nas provas matemáticas, a despeito dos mais puristas.”

Contudo, o computador, por si só, não substitui à capacidade de

abstração humana, ele apenas auxilia. Um exemplo: Numa pesquisa sobre

equações diferencias certamente o computador diminui um tremendo esforço em

testar se determinados resultados não são válidos, pela facilidade em produzircontra-exemplos. Mas, prová-los? Ai a figura é outra, a matemática é a mais pura

abstração do homem.

Ainda na defesa de sua tese, Araujo apud Pietropaolo (2007):

Ainda que muitos relutem em aceitar o uso de computadores para as provasmatemáticas, não há como negar que os métodos matemáticos não podemtudo mesmo contando com intenso trabalho, forte intuição e grande talentodas pessoas voltadas à construção e ampliação do edifício matemático.Para responder às muitas questões que advêm dessa própria área doconhecimento e de outras áreas, os matemáticos precisarão utilizar, muitasvezes, métodos mais amplos, como o auxílio da informática, para a buscada verdade (ARAUJO, 2007).

Observo aqui que, devido a Gödel, que provou “O Teorema da

Incompletude”, não é nenhuma novidade que o método axiomático não pode ser ao

mesmo tempo completo e consistente.

2.1 Ambientes informatizados

Contudo, a real função do computador no âmbito da busca e construção

do conhecimento é possibilitar ambientes informatizados que dão suportes a alunos,

pesquisadores, educadores, a pesquisa matemática, a prova, a formação de

conjecturas, a criação de modelos dentre outros. Gravina (2001) emprega com



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clareza a importância dos suportes dos ambientes informatizados na pesquisa

matemática:

O suporte dos ambientes informatizados a pesquisa em matemáticafavorece a exploração, a elaboração de conjeturas e o refinamento destas,e a gradativa construção de uma teoria matemática. Por exemplo: a teoriado caos nasceu do estudo de equações diferenciais por Lorentz; aoprogramar sistemas que se diferenciavam minimamente nas condiçõesiniciais, Lorentz constatou que a evolução do sistema tornava-seimprevisível, surgindo daí os resultados teóricos sobre a instabilidade dossistemas dinâmicos. Um segundo exemplo: a representação gráfica demaciças computações tornou possível a teoria de fractais, em que figurassurpreendentes provocaram conjeturas que desencadearam a busca dedemonstrações (GRAVINA, 2001).

Nossa intenção é abordar a construção de modelos, para exploração de

conceitos e definições em matemática. Tornaremos possíveis nossos propósitos

com o suporte oferecido por um software matemático, em questão trata-se do

software GeoGebra. Aqui este software assume a função do ambiente informatizado.

Segundo Gravina e Santarrosa (1998), nestes ambientes podem-se identificar dois

modos de utilização na direção de uma pedagogia construtivista:

i) Atividades de Expressão: O aluno cria seus próprios modelos (tomadoaqui em sentido amplo) para expressar idéias e pensamentos. Suasconcretizações mentais são exteriorizadas. Uma vez construído o modelo,através dos recursos do ambiente, o aluno pode refletir e experimentar,ajustando e/ou modificando suas concepções. Neste sentido, os ambientessão veículos de materialização de idéias, pensamentos e mais geralmentede ações do sujeito. ii) Atividades de Exploração: Ao aluno é apresentadoum modelo já pronto, o qual deve ser explorado, entendido, analisado. Nãosão suas idéias que ali estão representadas, portanto, existe o desafiointelectual de compreendê-las. A própria compreensão do modelo e oentendimento dos princípios de construção, já são por si só, estímulos aoraciocínio, que favorecem a construção de relações e conceitos (GRAVINAe SANTARROSA, 1998).

Nossa proposta enquadra-se em atividades de exploração, porém colocaro computador com alguns softwares nas salas não vão fazer com que os alunos

aprendam. É necessário um processo de investigação e desenvolvimento de

atividades desafiadoras e criativas, que explorem ao máximo as possibilidades

oferecidas pelos ambientes informatizados. Vejamos a definição de um ambiente

informatizado na perspectiva de Bitencourt:

O ambiente Informatizado é um espaço de construção significativa de

conhecimentos em que o aluno é co-autor de sua própria aprendizagematravés de atividades lúdicas que propiciem utilizar toda sua criatividade.Além disso, a partir do processo técnico-pedagógico é possibilitado odesenvolvimento de sua criatividade e autonomia (BITENCOURT 2007).



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Do ponto de vista de Bitencourt os ambientes informatizados mostram-se

como poderosas ferramentas frente aos obstáculos que norteiam a prática docente,

que por natureza parecem inseparáveis dos processos de aprendizagem de

matemática, como à natureza abstrata da matemática. Porém a interface interativa e

a possibilidade de manipulação, disponibilizadas em um ambiente informatizado

podem tornar os elementos abstratos da matemática em concretos devido a uma

possível representação e manipulação no computador, como pode ser observado

por Gravina e Santarrosa apud Papert e Hebenstreint (1998):

Ambiente informatizado é a possibilidade de mudar os limites entre oconcreto e o formal (Papert, 1988). Ou ainda segundo Hebenstreint (1987):

“o computador permite criar um novo tipo de objeto, os objetos “concreto-abstratos”. Concretos porque existem na tela do computador e podem sermanipulados, abstratos por se tratarem de realizações feitas a partir deconstruções mentais (GRAVINA E SANTARROSA, 1998).

Isso de fato é possível, mas estará sempre aquém da abstração.

Exemplo: Uma variedade é, em resumo, a abstração do conceito de superfícies no

espaço euclidiano. O computador é limitado ao espaço euclidiano, mas é bastante

útil na simulação do mesmo. Pois basta ir para o espaço tridimensional que nossa

tarefa de desenhar passa a ser árdua, neste contexto o computador e sua parte

gráfica são impecáveis. Mas voltando ao conceito de variedade, ele não nos dará

essa noção em sua plenitude, pois esta noção é uma abstração de nossas mentes.

A possibilidade de um ambiente informatizado, ou seja, a modelagem

computacional no ensino de geometria pode ser entendida como geometria dinâmica

(GD), como sugere Isotani (2005). A expressão “dinâmica” compreende a sua

principal característica que corresponde ao dinamismo das representações, uma

contradição a modelo tradicional de ensino da geometria que está limitada adesenhos e construções estáticas oferecidas pela régua e compasso. O uso da

geometria dinâmica no ensino de geometria é visto por Gravina (1996) como algo

prometedor, uma vez que, a própria autora aponta problemas na forma tradicional de

se ensinar:

Os livros escolares iniciam o ensino de Geometria com definições, nemsempre claras acompanhadas de desenhos bem particulares, os ditos

desenhos prototípicos. Por exemplo, quadrados com lados paralelos àsbordas da folha de papel, retângulos sempre com dois lados diferentes,altura em triângulos sempre agudos, entre outros. Isto leva os alunos a nãoreconhecerem desenhos destes mesmos objetos quando em outra situação.



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E mais, os alunos passam a acreditar que a posição relativa do desenho ouseu traçado particular façam parte das características do objeto, o que osleva a estabelecer desequilíbrios na formação dos conceitos. O aspecto deconstrução de objetos geométricos raramente é abordado. Dificilmenteencontramos no livro escolar a instrução "construa", no entanto, esta é uma

das atividades que leva o aluno ao domínio de conceitos geométricos(GRAVINA, 1996).

Apesar das adversidades, contamos com os programas de geometria

dinâmica, que são softwares que possuem um potencial interativo e aberto, como já

foi dito tem o dinamismo de suas representações como principal característica, onde

possibilita ao estudante: manipular, investigar e aprender matemática. Como

observa Isotani apud Marrades & Gutiérrez (2005):

A contribuição dos programas de Geometria Dinâmica segue em doisramos. Primeiro, provêem um ambiente no qual os estudantes podemexperimentar livremente. Dessa forma eles podem facilmente verificar suasintuições e conjecturas durante o processo de procura de padrões,propriedades, etc. Segundo, estes programas provêem formas nãotradicionais para os estudantes aprenderem e entenderem os métodos econceitos matemáticos... permitindo construir figuras complexas efacilmente realizar, em tempo real, uma quantidade enorme detransformações nestas figuras, proporcionando ao estudante o acesso auma grande variedade de exemplos que dificilmente seriam possíveis emambientes não computacionais ou em ambientes computacionais estáticos(ISOTANI, 2005).

Isotani (2005) ainda cita alguns benefícios da geometria dinâmica no

ensino da matemática:

No ensino de Matemática, os programas de GD podem ajudar o professor aintroduzir os conceitos de matemática/geometria utilizando o computador.Além disso, a forma como será apresentado o conteúdo poderáproporcionar um maior aprendizado por parte dos alunos. Pois comodestaca Arcavi & Hadas (2000), as atividades com a GD oferecem aoprofessor ferramentas para trabalhar com as capacidades de visualizar,transformar, generalizar, analisar e se comunicar com a informação,

habilidades consideradas fundamentais para guiar o aluno durante umaatividade matemática. Além disso, segundo estes mesmos autores o usosistemático dos programas de GD proporciona: (a) atividades que sejaminterligadas por seus conteúdos e suas diferentes representações; (b) aoportunidades para o aluno pensar e questionar as atividades, propondo erespondendo questões (as respostas não precisam estar corretas); e (c)com as respostas dos alunos é possível que o professor realize uma análisedas atividades para chegar a uma conclusão formal (ISOTANI, 2005).

Salientando que tudo isso pode ser feito atualmente sem geometria

dinâmica. O que na prática ocorre é que o computador pode tornar essa tarefa mais

fácil e divertida, o que é bastante interessante para o aprendizado.



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Existem vários programas de GD, em nosso trabalho utilizaremos o

GeoGebra que é um software de Matemática Dinâmica desenvolvido por Markus

Hohenwarter da Universidade de Salzburg para educação matemática nas escolas.

Ele reúne geometria, álgebra e cálculo, além disso, possui todas as ferramentas

tradicionais de um software de geometria dinâmica, o que o torna um programa de

Geometria Dinâmica.

No GeoGebra podemos fazer representações de pontos, vetores,

segmentos, retas, circunferências, transportar distâncias, tirar paralelas e

perpendiculares e construir gráficos. As construções geométricas virtuais produzidas

com o GeoGebra não ficam estáticas: elas se mexem sob o nosso comando. Ospontos geométricos iniciais de uma construção podem ser arrastados com o mouse

sem destruir as relações matemáticas que vigoram entre eles e os demais objetos,

muitas vezes evidenciando os aspectos invariantes. Ele possui dois ambientes: uma

janela de geometria e outra de álgebra. Uma expressão na janela de álgebra

corresponde a um objeto na janela de geometria e vice-versa. Além disso, oferece

também um suporte à entrada de equações e coordenadas, associando o primeiro

ao segundo, e vice-versa.

Abstrair os aspectos invariantes da matemática é fundamental para o

desenvolvimento do pensamento matemático, porém não é fácil reconhecer ou

entender esses aspectos. O dinamismo da representação, oferecido por um

ambiente informatizado, destaca os aspectos invariantes. Por exemplo, numa função

do segundo grau o sinal do coeficiente “b” determina se o gráfico da função irá

interceptar o eixo “y” com sua parte crescente ou decrescente, a variação contínua

do coeficiente da função é facilmente executada no software GeoGebra,possibilitando ao aluno assimilação do conceito.

Utilizando lápis e caderno está transição só seria possível de forma

alternada, e seriam necessárias varias construções e bastante tempo. Segundo

Gravina e Santarosa apud Kaput (1998), "a transição contínua entre estados

intermediários é um recurso importante dos programas de representação dinâmicos,

sob o ponto de vista cognitivo ".



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Outro exemplo, a Soma de Riemann, explorada sua definição no

GeoGebra, não é mais somente um objeto matemático abstrato (dado por uma

definição formal) acompanhado eventualmente de uma representação estática

(desenho), mas um objeto que pode ser manipulado continuamente e entendido a

partir de suas invariâncias (ao mudar o domínio, ou o número de partições ou variar

a função).

Por outro lado, a abstração dos aspectos invariantes da matemática

torna-se um obstáculo a aprendizagem por conseqüência ao desenvolvimento do

espírito científico, por produzir determinadas generalidades em conceitos. Isto ocorre

quando a matemática é trabalhada em um meio estático. Como pode ser observadono exemplo citado por Gravina (1998):

Após uma apresentação estática do conceito de altura de um triângulo osalunos registram que “a altura de um triângulo é sempre da base até a parte mais alta do mesmo ” ou “altura é a linha vertical que une a base lado do triângulo ao vértice oposto ”, mostrando concretização mental inadequada.Já num meio dinâmico um triângulo com correspondente segmento alturapode ser manipulado, mantendo-se um lado do triângulo fixo e fazendo-se ovértice oposto deslocar-se numa paralela a este lado. Desta forma obtém-seuma família de desenhos com triângulos e segmentos alturas em diversassituações, o que favorece a concretização mental em harmonia com oconceito matemático de altura de um triângulo (GRAVINA, 1998).



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III. Conhecendo o GeoGebra

O GeoGebra é um software de Matemática Dinâmica desenvolvido por

Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburg para educação matemática nas

escolas. Ele reúne geometria, álgebra e cálculo. Além disso, possui todas as

ferramentas tradicionais de um software de geometria dinâmica. Desde a Versão 1.0

(28.01.2002) até a atual versão GeoGebra 3.2 (3. 6. 2009), que podem ser

encontradas no site oficial www.geogebra.org, o software recebeu muitos prêmios

internacionais incluindo o prêmio de melhor software educacional Alemão e

Europeu.

Ao inicializar o GeoGebra abre-se uma janela, cuja a interface é composta

por uma barra de menu, uma barra de ferramentas, a janela algébrica, a janela

geométrica, a janela de entrada algébrica, um menu de comandos e dois menu de

símbolos.

Figura 1: Interface do GeoGebra.

A barra de menu fica na parte superior e é composta pelas opções:

Arquivo, Editar, Exibir, Opções, Ferramentas, Janela e Ajuda. Estas opções de menu

assemelham-se aos de um programa qualquer. Logo abaixo a desta, fica a Barra de

Ferramentas. Aqui estão presentes as ferramentas que possibilitam fazerconstruções de objetos matemáticos, uma breve descrição de uso da ferramenta



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selecionada fica a direita dos botões e na extremidade direita ficam as opções de

desfazer e refazer.

Logo abaixo da barra de ferramentas está a janela algébrica e a janelageométrica. A janela algébrica fica a direita. Nela estão presentes os objetos livres e

os objetos dependentes. Os objetos livres são aqueles que não dependem de

nenhum outro objeto e podem ser modificados diretamente. Os objetos dependentes

são aqueles que dependem de outro objeto. Por esta janela você pode fazer edições

nos objetos existentes. A janela geométrica ou janela de entradas geométricas é o

local onde estão as representações das construções algébricas e geométricas.

Também é possível criar ou editar um objeto a partir desta janela, por isso é uma janela de entradas. Uma vantagem deste software é que um objeto criado possui

uma representação tanto na janela algébrica quanto na janela geométrica.

Na parte inferior da interface do programa estão: a janela de entrada

algébrica, o menu de comandos e os dois menu de símbolos. Na janela de entradas

algébricas é possível criar objetos digitando a notação usual, a sentença ou

respectivo comando. Por exemplo, para criar o ponto (2,3) é suficiente digitar A=(2,3)

ou (2,3) e clicar no botão “ENTRADA” ou pressionar a tecla “enter”, no último caso,

automaticamente o software denotará o ponto. Na seção Comandos deste capítulo

descreveremos a criação de um ponto através do comando “Ponto[]”. Os símbolos e

comandos a serem utilizados nas construções podem ser selecionados nos menus

de símbolos e comandos que ficam a direita da janela de entradas geométricas.

Figura 2: Janela de entrada algébrica.



23

3.1 Ferramentas

As ferramentas do GeoGebra permitem criar objetos matemáticos de

forma instantânea sem precisar usar algum processo usual de construção. Por

exemplo, um hexágono regular pode ser criado no GeoGebra com ferramenta

polígono regular. É suficiente selecionar ou criar segmento e definir o numero de

lados e o software cria o polígono. A seguir veremos algumas possibilidades de

construção usando as ferramentas.

Com as ferramentas relativas a pontos é possível representar um novoponto livre ou pertencente a algum objeto matemático, como uma função ou um

segmento. Também podemos produzir um ponto de intersecção ou um ponto médio

entre dois objetos, e até mesmo determinar o centro de um objeto.

Figura 3: Ferramentas de criação de pontos.

Além das ferramentas de representação de pontos contamos com

algumas para criação de retas, semi-retas, segmentos e vetores. Podemos criar

retas, semi-retas, segmentos e vetores definidos por dois pontos dados. Também é

possível a construção de retas perpendiculares, paralelas, tangentes, mediatriz,

bissetriz e polar.

Figura 4: Ferramentas de criação de retas, semi-retas, vetores e segmentos.



24

Para criar um polígono regular é suficiente clicar na ferramenta polígono

regular, selecionar dois pontos existentes ou criar dois novos (esta ferramenta faz

isso), com este procedimento você define a aresta do polígono, logo após aparecerá

uma janela de dialogo onde você irá definir o numero de lados do polígono, após a

confirmação automaticamente o software cria o polígono.

Você pode criar facilmente um seletor selecionando a sua respectiva

ferramenta, e clicando sobre qualquer lugar na janela geométrica. Aparecerá uma

janela onde você especificará o intervalo mínimo e máximo do seletor, poderá o

dimensionar e nomeá-lo.

Figura 5: Caixa de dialogo da ferramenta seletor

No GeoGebra um seletor possibilita causar variações em objetos, ele

pode ser executado manualmente ou automaticamente. Também pode assumir a

função de uma variável. Esta variável pode estar associada a um objeto matemático,

o que permite a transição contínua entre estados intermediários do objeto estudado,destacando os aspectos invariantes. Além disso, a possibilidade de variar objetos

garante o dinamismo nas representações e a manipulação de conceitos antes

abstratos.

Outra ferramenta bastante útil é caixa para exibir/esconder objetos, esta

ferramenta cria uma caixa que você pode nomeá-la e escolher os objetos que irão

aparecer ou ficarem ocultos ao executá-la. Essa ferramenta também é conhecida

como ferramenta para criar valor booleano.



25

Existem também ferramentas para inserir imagens, textos, criar círculos,

arcos, setor circular, ângulos e seções cônicas. Objetos também podem ser

construídos com as ferramentas de reflexão, translação, ampliação e redução. Ao

selecionar qualquer ferramenta aparecerá a definição e como utilizar a ferramenta.

Porém, podemos destacar as opções de criação de seletor.

3.2 Comandos

Com a ajuda dos comandos você pode construir novos objetos e

modificar os objetos existentes. Por exemplo, a interseção das retas g e h produz um

novo ponto ao inserir o comando Interseção[g,h].

O resultado de um comando pode ser nomeado inserindo um rótulo

seguido de =. Em nosso exemplo P = Interseção[g, h] o novo ponto é nomeado P.

Você também pode usar índices com os nomes dos objetos: A1 e sAB é inserido

como A_1 e s_{AB} respectivamente.

3.2.1 Comandos Gerais

O comando Relação[objeto a, objeto b] mostra uma caixa de mensagemque nos informa a relação de a e b. Este comando nos permite averiguar se dois

objetos são iguais, se um ponto pertence a uma reta ou cônica, ou se uma reta é

tangente ou cruza uma cônica.

Uma condicional para um objeto pode ser executada com o comando

SE[condição, então, senão].

Para pagar um objeto e todos os seus objetos dependentes usamosApagar[objeto].



26

3.2.2 Número

Existem alguns comandos que nos permitem expressar os valores

numéricos de alguns objetos matemáticos, por exemplo, área, distância, raio e etc.

Vejamos alguns deles.

Comando Descrição

MDC[número,número] Máximo divisor comum entre dois números.

Comprimento[Objeto]Comprimento de um vetor ou o comprimento do vetor na

posição do ponto.Área[ponto A, ponto B, ponto C, ...] Área do polígono definido pelos pontos dados.

Distância[objeto, objeto]Distância entre dois pontos, um ponto uma reta e entre duas

retas paralelas.

Inclinação[reta]Inclinação de uma reta. Este comando também traça a

inclinação do triângulo cuja medida pode ser modificada.

Raio[círculo] Raio de um círculo

Parâmetro[parábola] Parâmetro de uma parábola.

Excentricidade[cônica] Excentricidade de uma cônica.

ComprimentodoPrimeiroEixo[cônica] Comprimento do primeiro eixo de uma seção cônica.

ComprimentodoSegundoEixo[cônica] Comprimento do segundo eixo de uma seção cônica.

Integral[função f, número a, número b]Integral definida de f(x) de a até b. Este comando traça a

área entre o gráfico da função de f e o eixo x.

Integral[função f, função g, número a,

número b]

Integral definida de f(x)-g(x) de a até b. Este comando traça

a área entre o gráfico da função f e g.

SomaInferior[função, número a,

número b, número n]Soma inferior da função no intervalo [a,b] com n retângulos.

SomaSuperior[função, número a,número b, número n]

Soma superior da função no intervalo [a,b] com n retângulos.

Os comandos SomaInferior[função, número a, número b, número n] e

SomaSuperior[função, número a, número b, número n] também desenham os

retângulos da soma inferior e superior respectivamente.



27

3.2.3 Ângulo

Ângulo é a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-

retas, segmentos de retas ou vetores que possuem uma origem em comum

(denominada vértice do ângulo), dividindo este plano em duas partes. A abertura do

ângulo é uma propriedade invariante e pode ser enfatizada no GeoGebra com o uso

de alguns comandos.

Comando Descrição

Ângulo[vetor, vetor] Ângulo entre dois vetores.

Ângulo[reta, reta] Ângulo entre os vetores diretores de duas retas.

Ângulo[ponto A, ponto B, ponto C] Ângulo compreendido entre e . B é o vértice.

3.2.4 Ponto

As criações de pontos não estão limitadas às descritas na secção

ferramentas deste capítulo. Veremos a seguir alguns comandos que nos possibilitará

produzir vários tipos de pontos.

Comando Descrição

Ponto[objeto] Cria um ponto pertencente a um objeto.

PontoMédio[ponto A, ponto B] Ponto médio de A e B.PontoMédio[segmento] Ponto médio do segmento.

Centro[cônica] Centro de uma seção cônica.

Foco[cônica] Todos os focos de uma seção cônica.

Interseção[objeto, objeto] Os pontos de Interseção entre dois objetos.

Interseção[objeto, objeto, número n] O enésimo ponto de Interseção entre dois objetos.

Raiz[função] Todas as raízes da função como pontos.

Raiz[função, número a, número b] A raiz da função no intervalo [a, b] na forma de ponto.

Extremo[objeto] Todos os extremos locais da função como pontos.

PontoDeInflexão[objeto] Todos os pontos de inflexão da função.



28

3.2.5 Vetor

Vetor é um objeto geométrico que possui uma magnitude (módulo) e uma

direção. Um vetor é frequentemente representado por um segmento de reta unindo o

ponto inicial ao ponto final. No GeoGebra você pode criá-los usando determinados

comandos.

Comando Descrição

Vetor[ponto A, ponto B] O vetor que parte do ponto A e vai até o ponto B.

Vetor[ponto] Posição vetorial de um ponto.Direção[reta] Vetor diretor de uma reta.

VetorUnitário[reta] Vetor diretor de uma reta com comprimento unitário.

VetorPerpendicualr[reta] Vetor perpendicular de uma reta.

VetorPerpendicularUnitário[reta] Vetor de comprimento unitário e perpendicular a uma reta.

3.2.6 Reta, semi-reta, segmento

De todas as curvas planas a linha reta é a única curva apresentando a

propriedade de, para quaisquer dois pontos distintos sobre a curva, ter o valor da

declividade sempre constante. Portanto a linha reta é inequivocamente determinada

por um de seus pontos e sua direção. No GeoGebra significa usar o comando

Reta[ponto A, vetor v]. Contudo existem outras formas de se determinar uma retaassim como existem outro comandos, então vejamos alguns deles.

Comando Descrição

Segmento[ponto, ponto] Segmento compreendido entre dois pontos.

Segmento[ponto A, numero a]Segmento com comprimento dado a partir de um ponto A.

Cria-se, também, o extremo oposto ao ponto A do segmento.

SemiReta[ponto A, ponto B] A semi-reta que se inicia no ponto A e passa pelo ponto B.

SemiReta[ponto A, vetor v] A semi-reta que se inicia no ponto A e com direção v.

Reta[ponto A, ponto B] A reta que passa pelos pontos A e B.



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Reta[ponto A, vetor v] A reta que passa pelo ponto A com direção v.

Reta[ponto A, reta g] A reta que passa pelo ponto A e é paralela a reta g.

Perpendicular[ponto A, reta g] Reta perpendicular a g que passa por A.

Perpendicular[ponto A, vetor v] Perpendicular a v que passa por A.Mediatriz[ponto A, ponto B] Mediatriz ao segmento AB.

Mediatriz[segmento s] Mediatriz ao segmento s.

Bissetriz[ponto A, ponto B, ponto C] Bissetriz do ângulo (A, B, C). B é o vértice deste ângulo.

Bissetriz[reta g, reta h] Bissetriz de ambas g e h.

Tangente[ponto A, cônica c] Tangente a c passando por A.

Tangente[reta g, cônica c] Tangente a c que é paralela a g.

Tangente[número a, função f] Tangente a f(x) em x=a.

Tangente[ponto A, função f] Tangente a f(x) em x abscissa do ponto A.

3.2.7 Polígono

O comando Polígono[ponto A, ponto B, ponto C, ...] cria um polígono

definido pelos pontos marcados.

3.2.8 Seção Cônica

Em geometria, cônicas são as curvas geradas ou encontradas, na

intersecção de um plano que atravessa um cone. Numa superfície cônica, existem

três tipos de cortes que resultam em secções cônicas não degeneradas, que são a

Elipse, Parábola e Hipérbole. Quando o plano cortante é perpendicular ao eixo de

referência do cone, nota-se que se forma uma circunferência que é paralela e mais

reduzida que a base regular do cone. Porém, usando o GeoGebra não precisamos

seccionar cones para construir estas curvas, podemos usar alguns comandos.

Comando DescriçãoCírculo[ponto M, número r] Círculo com centro no ponto M e raio r.



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Círculo[ponto M, segmento s]Círculo com centro no ponto M e raio com comprimento

s.

Círculo[ponto M, ponto A] Círculo com centro no ponto M e passando pelo ponto A.

Círculo[ponto A, ponto B, ponto C] Círculo que passa pelos pontos A, B e C.

Elipse[ponto F, ponto G, número a]Elipse com foco nos pontos Fe G, e eixo principal de

comprimento a.

Elipse[ponto F, ponto G, segmento s]Elipse com foco nos pontos F e G, e comprimento do

eixo principal igual a s.

Hipérbole[ponto F, ponto G, número a]Hipérbole com foco nos pontos Fe G, e eixo principal de

comprimento a.

Hipérbole[ponto F, ponto G, segmento s]Hipérbole com foco nos pontos F e G, e comprimento do

eixo principal igual a s.

Parábola[ponto F, reta g] Parábola com foco no ponto F e diretriz g.

3.2.9 Função

Como um termo matemático, "função" foi introduzido por Leibniz em 1694,para designar qualquer das várias variáveis geométricas associadas com uma dada

curva, tais como, a inclinação da curva ou um ponto específico da mesma. Para este

tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas, ambos sendo medida da

mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada,

formando a base do cálculo infinitesimal. No GeoGebra além de criarmos funções.

Podemos determinar a enésima derivada e também a integral da função dada.

Comando Descrição

Derivada[função f] Derivada da função f(x).

Derivada[função f, número n] Enésima derivada da função f(x).

Integral[função f] Integral indefinida de f(x).

PolinômioDeTaylor[função f, número a, número n]Expansão de série de potência de ordem n para

a função f ao redor do ponto x=a.

Função[função, número a, número b] Função definida no intervalo [a, b].



31

3.2.10 Arco e Setor

Contamos com comandos para construção de setores e arcos circulares.

Comando Descrição

Semicírculo[ponto A, ponto B] Semicírculo sobre o segmento AB.

ArcoCircular[ponto M, ponto A, ponto B]Arco circular com centro em M que passa por dois pontos

A e B. Nota: ponto B não deve estar sobre o arco.

ArcoCircuncircular[ponto, ponto, ponto] Arco circular que passa pelos três pontos.

Arco[cônica c, ponto A, ponto B]

Arco de seção cônica entre dois pontos A e B da seção

cônica c.

SetorCircular[ponto M, ponto A, ponto B]Setor circular com ponto médio M entre os pontos A e B.

O ponto B não deve estar sobre o arco.

SetorCircumcircular[ponto, ponto, ponto] Setor circular passando por três pontos.

Setor[cônica c, ponto A, ponto B]Setor seção cônica entre dois pontos A e B na seção

cônica c.

Na construção de arco e setor para as formas paramétricas devemos usar

os seguintes comandos:

Arco[cônica c, número t1, número t2]: Arco de seção cônica entre dois

valores de parâmetros t1 e t2 para as seguintes formas paramétricas:

• círculo: (r cos(t), r sin(t)), onde r é o raio do círculo

• elipse: (a cos(t), b sin(t)), onde a e b são os comprimentos do eixo

principal e secundário.

Setor[cônica c, número t1, número t2]: Setor de seção cônica entre dois

valores de parâmetros t1 e t2 para as seguintes formas paramétricas:

• círculo: (r cos(t), r sin(t)), onde r é o raio do círculo

• elipse: (a cos(t), b sin(t)), onde a e b são os comprimentos do eixo

principal e secundário.



32

3.2.11 Lugar Geométrico

Em Matemática e, mais particularmente, em Geometria, um lugar

geométrico consiste no conjunto de pontos do espaço que gozam de uma

determinada propriedade matemática qualquer. Podem ser lugares geométricos

curvas, superfícies e outras variedades. Um exemplo simples de lugar geométrico é

a circunferência, que é o lugar geométrico de todos os pontos que guardam a

mesma distância de um ponto chamado centro. Outro exemplo, particularmente

importante em Astronomia, é a elipse, que é o lugar geométrico dos pontos cujas

distâncias somadas aos dois focos é sempre constantes.

O comando Locus[ponto Q, ponto P] traça o lugar geométrico do ponto Q

de inclinação do ponto P. O ponto P deve ser um ponto pertencente a um objeto

(reta, segmento, círculo, ...).

3.2.12 Transformações Geométricas no plano

Isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura

geométrica, preserva as distâncias entre os pontos, podendo variar a direção e o

sentido. As isometrias podem ser simples e compostas. As isometrias simples são

as Reflexões, Translações e Rotações. A Homotetia é uma transformação

geométrica que, aplicada a uma figura geométrica, muda o tamanho da figura

original, mas não a forma. Se essa transformação aumenta o tamanho original é

chamada de dilatação. Se o tamanho da figura diminui denominamos contração.

Na tabela abaixo existem comandos que nos permite executar homotetia

e isometrias. Se você inserir um dos seguintes comandos da tabela, uma cópia do

objeto será produzida. Por exemplo, o comando Reflexão[A, g] reflete o ponto A em

relação a reta g, o ponto A permanecerá imóvel, porém um novo ponto A’ serácriado. Vejamos alguns deles.



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Comando Descrição

Translação[objeto, vetor v] Translação de um objeto pelo vetor v.

Translação[objeto, ponto p] Translação de um objeto pelo ponto p.

Girar[objeto, ângulo φ] Gira um objeto a um ângulo φ ao redor da origem dos eixos.Girar[objeto, ângulo φ, ponto B] Gira um objeto por um ângulo φ ao redor do ponto B.

Reflexão[objeto, ponto B] Reflete um objeto em relação ao ponto B.

Reflexão[objeto, reta h] Reflete um objeto em relação à reta h.

Homotetia[objeto, número n, ponto A]Amplia ou Reduz um objeto um número n de vezes a partir

do ponto A.

3.2.13 Operações

Para inserir funções, equações, números ou coordenadas você pode usar

expressões algébricas. As seguintes operações estão disponíveis:

Operação Entrada Operação Entrada

Adição + Arco cosseno acos( )

Subtração - Arco seno asin( )

Multiplicação Espaço ou * Arco tangente atan( )

Divisão / Cosseno hiperbólico cosh( )

Potenciação ^ Seno hiperbólico sinh( )

Fatorial ! Tangente hiperbólica tanh( )

Valor absoluto abs( ) Cosseno hiperbólico acosh( )

Raiz quadrada sqrt( ) Seno hiperbólico asinh( )Função exponencial exp( ) Tangente hiperbólica atanh( )

Logaritmo natural log( ) Menor inteiro floor( )

Cosseno cos( ) Maior inteiro celi( )

Seno sin( ) Arredondar round( )

Tangente tan( ) Símbolo sng( )

Função Gamma gamma( ) Coordenada x( ) ou y( )

Existem outros comandos além dos vistos neste capítulo, como os paracriação de matrizes ou cálculos estatísticos entre outros. Mas além das ferramentas



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e comandos o software possui outras funções bastante úteis. Por exemplo, o

GeoGebra pode gerar um documento de extensão HTML. Toda construção feita no

software pode ser convertida em códigos PStricks, PGF ou Tikz, o que pode facilitar

a escrita em Latex. Por fim podemos gerar uma imagem da janela geométrica nos

formatos pdf, png, eps, svg e emf ou copiá-la para área de transferência.



35

IV. Aplicando o GeoGebra

4.1 Função Quadrática

O modelo proposto para o complemento de estudo sobre função

quadrática consiste numa oficina, onde os alunos irão utilizar o GeoGebra para

estudar as relações entre os coeficientes da função quadrática e o seu gráfico. Para

aplicação desta oficina será necessário que o professor já tenha explanado esteassunto. Além disso, os alunos devem possuir um conhecimento básico de

informática, porém, vale ressaltar que não é necessário que eles já tenham algum

conhecimento sobre o GeoGebra.

Propomos o título “As relações entre o gráfico e os coeficientes da função

quadrática”. Os recursos necessários para aplicação desta oficina são um

laboratório de informática, caneta esferográfica e papel. Três aulas é temposuficiente para o desenvolvimento. Na criação desta oficina os seguintes objetivos

foram determinados:

• Desenvolver competências para que o aluno possa utilizar o software

GeoGebra futuramente em novos estudos.

• Compreender as relações entre os coeficientes e o gráfico da função

quadrática.

• Estudar o crescimento e decrescimento da função quadrática e seus

respectivos intervalos.

• Estudar a imagem da função quadrática.

Para o desenvolvimento da oficina propomos o seguinte cronograma de

atividades:

Iniciaremos a oficina fazendo uma abordagem sobre o GeoGebra, onde

vamos expor algumas características e ferramentas importantes do programa.



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1ª Atividade: Construir dois pontos quaisquer, um utilizando a ferramenta

“novo ponto” e o outro usando a janela de entradas algébricas.

2ª Atividade: Construir uma variável usando o recurso “seletor”.Solicitaremos que explorem o objeto criado.

3ª Atividade: Editar um dos pontos criados pondo-o em função da variável

criada. Caso o seletor criado seja “a” definiremos o ponto como (a,a²), marcaremos a

opção exibir rastro em seguida confirmamos a edição.

Movimentaremos o seletor e observaremos o resultado obtido. Então

faremos os devidos comentários sobre o resultado, no caso a parábola. Faremosuma breve discussão sobre a função quadrática antes de prosseguir com as

atividades.

Até esse momento a atividade consistiu na apresentação do programa e

em desenvolver competências para o aluno utilizar o software nas próximas

atividades da oficina.

4ª Atividade: construir uma função quadrática, a escolha dos coeficientes

será arbitrária, para isso, usaremos a entrada algébrica. Em seguida pediremos que

os alunos observem a construção de outros colegas. A intenção é que eles notem

que existem variações, diferenças, entres os gráficos das funções construídas pelos

colegas. Levantaremos então a hipótese que seja devido à escolha arbitrária dos

coeficientes.

5ª Atividade: solicitaremos que os alunos criem mais dois números(seletores), por uma questão de notação criaremos os seletores “a”, ”b” e “c”, em

seguida pediremos que construam uma função quadrática em função dos seletores,

ou seja, usaremos o comando f(x)=ax²+bx+c. Logo após, observaremos as

mudanças causadas no gráfico com a variação dos números. Concluiremos então

que a hipótese é procedente, porém só poderemos concluir sua validade com uma

demonstração formal.

6ª Atividade: Solicitaremos que os alunos abram o arquivo

“Função_quadrática.ggb”, que deve ser gravado no HD das máquinas antes da



37

aplicação das oficinas. Este arquivo é um modelo criado no GeoGebra que

possibilitará aos alunos observar algumas relações existentes entre os coeficientes

de uma função quadrática. Também será possível estudar a imagem da função, o

crescimento e decrescimento e seus respectivos domínios.

Solicitaremos que os alunos respondam o questionário que está presente

na interface do arquivo “Função_quadrática.ggb”. Este exercício tem finalidade de

direcionar os estudos para alguns objetivos traçados, além disso, possibilita uma

avaliação da atividade e a aplicação da oficina como avaliação.

7ª Atividade: O professor fará a correção do questionário,

complementando o estudo.

Figura 6: Interface do arquivo Função_quadrática.ggb

O questionário possui as seguintes perguntas:

1) Qual a relação entre o sinal do coeficiente “a” e o gráfico da função?

2) Qual a relação entre o valor do coeficiente “c” e o gráfico da função?

3) Qual a relação entre o sinal do descriminante ∆, as raízes e o gráfico

da função?

4) Determine a imagem da função nos casos abaixo:

i) Quando a for maior que zero.



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ii) Quando a for menor que zero.

5) Determine os intervalos de crescimento da função nos casos abaixo:



6) Determine os intervalos de decrescimento da função nos casos abaixo:



7) Qual a relação entre o sinal do coeficiente “b” e o gráfico da função?

Para ajudar o aluno a responder estas questões, além do questionário na

interface do arquivo estão presentes os seletores a, b e c. Estes seletores estão

representando os coeficientes da função f(x), também presente na interface, criada a

partir do comando f(x) = a x² + b x + c. Estão presentes também o descriminante

,

as raízes, as coordenadas do vértice, e seus respectivos valores. Existe também um

seletor denotado por X0 e um número Y0, com seus respectivos valores, estes

representam as coordenadas de um ponto genérico pertencente ao gráfico de f.

Um desafio no ensino da função quadrática é dar sentido a aprendizagem

das relações entre os coeficientes e o gráfico. No método tradicional o aluno tem

duas opções; aceita como verdade as relações expostas pelo professor, ou o aluno

debruça-se na construção de gráficos de várias funções, para poder fazer ascomparações e chegar às possíveis conclusões. A segunda atividade pode se tornar

uma atividade que demanda bastante tempo, o que pode desestimular o aluno na

pesquisa.

Porém no modelo exposto acima a primeira, segunda e sétima questão

trata das relações entre os coeficientes e o gráfico. Para responder a estas questões

os alunos usarão os seletores para alterar os valores dos coeficientes que estão

estudando, e obter, de forma instantânea, novas funções e suas representações

gráficas. No caso do coeficiente c o software ainda conta com o recurso da cor, pois



39

o valor da interseção do gráfico com o eixo y e o seletor está na cor verde. Para

facilitar este estudo, ainda existem na interface textos que enfatizam o sinal dos

coeficientes, esses textos indicam se o coeficiente é menor, igual ou maior que zero.

No caso das relações entre o sinal do descriminante com os zeros da

função quadrática, numa exposição tradicional as justificativas algébricas para os

três casos possíveis, que são , são de certa forma simples, pois

consiste no fato da álgebra das raízes da função depender da raiz quadrada do . E

dar um sentido geométrico para esses casos também não é difícil. Porém neste

modelo o aluno pode usar os seletores para variar o valor do . Caso ele obtenha

, de forma instantânea, na interface do modelo aparecerá o valor das duasraízes e a representação geométrica. No caso de o valor dais raízes será

exibido como “indefinido”, e as raízes apareceram com valores iguais. Em

todos os casos, sempre aparecerá o gráfico da função. Na correção o professor

ainda pode fazer a justificativa algébrica num quadro negro.

Neste modelo os alunos também podem explorar o conjunto imagem da

função do 2º. Na quarta questão é solicitada a imagem da função em dois casos, em

que a>0 e a<0. Como já foi dito, na interface sempre aparecerá uma representação

geométrica da função, e para auxiliar o aluno a coordenada y do vértice também

aparece de forma evidenciada na tela. Como é questionada a imagem de duas

funções arbitrárias. Cuja às únicas orientações são quanto o valor do coeficiente a.

O professor pode induzir os alunos a abstraírem que a imagem da função é um

conjunto limitado inferiormente ou superiormente pela coordenada y do vértice.

A quinta e a sexta questão são referentes ao estudo dos intervalos decrescimento e decrescimento da função quadrática. Na práxis ao analisar o

crescimento de uma função o aluno escolhe dois valores arbitrários para x e calcula

sua imagem se x1 > x2 e f(x1) > f(x2) então a função é crescente, caso x1 > x2 e f(x1) >

f(x2), então a função é decrescente. Porém, no caso da função quadrática, o aluno

pode escolher um valor no intervalo decrescente e outro no intervalo crescente, ou a

abscissa do vértice. Logo esse método pode não funcionar. Além disso, ele tem que

abstrair a idéia da função ter intervalos de crescimento e decrescimento.



40

No modelo proposto, com o auxilio do seletor X0 e do texto que expressa

o valor de f(X0)= Y0, do gráfico, do ponto (X0, Y0) e das coordenadas X0 e Y0, o aluno

poderá realizar este estudo da seguinte forma: Ao executar o seletor X0,

aumentando ou diminuindo seu valor, de forma instantânea, no gráfico a abscissa,

também denotada por X0, se deslocará para a direita ou para a esquerda, o ponto

(X0, Y0) se deslocará pela parábola e a ordenada Y0 percorrerá o eixo Y. As

coordenadas estão ligadas ao ponto por segmentos que dão a idéia de progressão.

Aumentando o valor do seletor X0 algumas vezes, o aluno poderá observar que até a

abscissa do vértice, denotada no gráfico por Xv as imagens estão crescendo ou

decrescendo. Assim determinar se o intervalo é de crescimento ou decrescimento, e

abstrair que esses intervalos estão limitados superiormente ou inferiormente pelaabscissa do vértice.

Uma característica importante desta aplicação é que o aluno poderá

analisar diferentes pontos de vista rapidamente, não seria possível se a construção

dos gráficos ocorresse de forma manual, pois desta forma demandaria tempo e

tornar-se-ia uma atividade cansativa e pouco atraente, no software GeoGebra

conseguimos facilitar essa interação instantânea oportunizando ao aluno testar

inúmeras hipóteses e fazer generalizações.

4.2 Parametrização da Hipérbole

Se um lugar geométrico tem uma representação analítica, no , tal

representação pode ser usualmente expressa por uma única equação na forma

explicita envolvendo no máximo duas variáveis. Esta mesma equação pode ser

escrita nas formas implícita, polar ou paramétrica. Entretanto, para certas curvas e

tipos de problemas relativos a lugares geométricos o uso de uma forma paramétrica

apresenta algumas vantagens, por exemplo, no estudo da Teoria Local das Curvas

Planas e o referencial de Frenet.



41

Em nossa pesquisa propomos uma representação paramétrica da

hipérbole obtida ao proceder da seguinte forma: admitiremos que a posição da

hipérbole, relativa aos eixos coordenados é tal que sua equação retangular esta na

forma canônica:

Tracemos duas circunferências concêntricas tendo seu centro no ponto

P=(h,k) e raios “a” e “b”, respectivamente, onde a>b. De O tracemos qualquer semi-

reta l formando um ângulo θ com o eixo focal e interceptando a circunferência de

raio a no ponto C. Em C tracemos a tangente a circunferência. Seja D a intersecção

desta tangente com o eixo focal. Em B tracemos uma perpendicular ao eixo focal

que intercepta l em E. Tracemos por D e E retas paralelas aos eixos Y e X,

respectivamente. Seja P o ponto de intersecção destas retas e a hipérbole.

Obteremos as equações paramétricas do lugar geométrico de P(x,y) aplicando

algumas relações trigonométricas nos triângulos retângulos ∆OCD e ∆OBE, usamos

θ (ângulo excêntrico) como parâmetro. Neste caso as equações obtidas são:

.

Convenhamos que para o melhor entendimento dos alunos, este

procedimento deva vir acompanhado da representação geométrica. Porém, obter

uma representação satisfatória manualmente em um quadro ou lousa não é simplese demanda tempo, o que pode tornar a explanação do conteúdo desinteressante

para o aluno. No entanto, podemos contar com o potencial interativo e aberto, dos

softwares de geometria dinâmica, que tem o dinamismo de suas representações

como principal característica. Neste contexto propomos um modelo construído no

GeoGebra, que representa a parametrização da hipérbole mencionada. Segue então

a interface:



Figura 7: Modelo da pa

O professor p

estudado ou ainda ap

exploração do mesmo p

de construção da figura

de codinome “procedim

encontrar os seletorescircunferência principal,

ângulo excêntrico respe

Uma caracter

possibilitadas pelos sel

intermediários, ou seja,

hipérbole e os aspect

circunferência principal,

hipérbole. Os seletores

posição do eixo focal, co

rametrização da hipérbole.

ode usar este modelo para auxiliá-lo a

licar como uma atividade, onde os

ssam obter a parametrização da hipérb

pode ser exibido e escondido a partir d

nto” presente na interface deste modelo

, b, h, k e θ , que servem para alterao

valor de b, a abscissa do centro, a ord

tivamente.

stica importante desse modelo é o dina

tores permitem realizar transições cont

medida que o seletor θ é executado,

os invariantes da construção, como

ficam evidenciados. Os seletores a e

h e k transladam a curva possibilitan

ntribuindo para enfatizar a idéia da gene

42

xplanar o conteúdo

alunos a partir da

ole. O procedimento

um valor booleano

. Também podemos

o valor do raio daenada do centro e o

ismo. As variações

ínuas entre estados

ponto percorre a

a reta tangente a

permitem alterar a

o uma variação da

ralidade.



43

4.3 Teorema do Limite da Função Composta

O teorema do limite da função composta diz:

Sejam e , e são intervalos abertos e

contêm , e é contínua em , se:

Elaboramos uma proposta pedagógica que incidiu sobre o teorema dolimite da função composta. O modelo consiste numa simples interpretação

geométrica do teorema que objetiva facilitar o aluno à concretização mental do

enunciado formal do teorema. A principal característica desta proposta está no

potencial interativo e dinâmico das representações disponibilizado pelo software. A

representação geométrica do teorema desenvolvida em nossa pesquisa está

limitada a alguns casos particulares, assim como se a mesma fosse feita em um

quadro. Porém, no quadro a representação virá acompanhada da limitação humanae de recursos para desenhar duas funções e a respectiva composição de ambas de

forma satisfatória.

No entanto, em nosso modelo trabalhamos com as funções ,

e esta última a composição de e . Estas funções

sofrem variações ao executarmos os seletores n, k e m. Graficamente as variações

não são sutis, o que fortalece a idéia de generalidade apesar de trabalharmos comcasos particulares. Estas funções são contínuas, o que nos possibilitou trabalhar

com o resultado )()(lim a f x f a x

=→

. Assim, criamos outro seletor denotado por a que

modifica a tendência da variável . Este seletor está em execução automática para

dar mais dinamismo à representação. Ainda podem-se observar na interface do

modelo as sentenças das funções e uma caixa chamada Teorema que serve para

exibir e ocultar o enunciado do teorema.



44

Figura 8: Interface do modelo do teorema do limite da função composta.

Para o desenvolvimento destas propostas pedagógicas presentes nesta

pesquisa, assim como as outras que foram criadas no decorrer do trabalho, nós

tivemos sempre a preocupação de delinear um objetivo para utilização, fizemos uma

análise crítica quanto à qualidade que caracterizamos em satisfatória ou não.



45

V. Considerações Finais

Nesta pesquisa tivemos a preocupação de incentivar o uso de softwares

educacionais de forma consciente e crítica. Em particular tivemos o objetivo de

despertar potenciais usuários do GeoGebra, tendo em vista suas qualidades.

Qualidades que devem estar presentes não apenas neste software educacional

como em qualquer outro recurso didático, e são necessárias no processo de ensino

e aprendizagem, e devem ser buscadas.

Em nenhum momento tivemos a intenção de supor que o uso de

softwares educacionais como recurso didático por si só já garante um processo de

ensino e aprendizagem melhor. Essa suposição não passa de uma ilusão da

modernidade e pode conduzir a algumas visões não muito verdadeiras. Um software

educacional, como qualquer outro recurso didático, pode apresentar problemas ou

limitações que afetam a qualidade do trabalho desenvolvido a partir dele. Ou ainda

podem ser adequados a certas propostas educacionais e não a outras. O que

implica a necessidade do professor ser crítico, consciente dos seus objetivos e desuas necessidades.

Na busca desta postura crítica e consciente, a pesquisa contribuiu com

discussões acerca do uso do computador na educação e pesquisa. Além disso,

trouxemos algumas características da Geometria Dinâmica e expomos alguns

benefícios da aprendizagem nos ambientes informatizados. No âmbito da pesquisa

exploratória desenvolvemos o terceiro e quarto capítulos denotados CONHECENDOO GEOGEBRA e APLICANDO O GEOGEBRA respectivamente. O terceiro capítulo

resumiu-se em um manual de utilização do GeoGebra para aqueles que desejam

começar a utilizar o software. No quarto capítulo expomos alguns modelos de

propostas educacionais desenvolvidas no GeoGebra e discutimos acerca dos

mesmos.

No processo de desenvolvimento desta pesquisa, enfrentamos algumas

dificuldades, principalmente na aplicação do GeoGebra. O software está limitado ao

espaço bidimensional, e alguns modelos desenvolvidos não apresentaram



46

qualidades satisfatórias para que pudessem ser apresentados como proposta

educacional, porém exigiram que nos aprofundássemos nos conteúdos matemáticos

e nos recursos do software. Contudo, concluímos que utilizar um software

educacional, em particular no ensino de matemática, não é nenhum luxo, exige

preparo do professor para aproveitar as potencialidades do software, preparo para

utilizar a tecnologia e domínio do conteúdo, e sempre adotando uma postura crítica

quanto à qualidade da proposta desenvolvida a partir do software.

Tendo concluído nossa pesquisa, destacamos as seguintes possibilidades

de estudos futuros: avaliar a aprendizagem em ambientes informatizados; explorar

conteúdos matemáticos com outro software; avaliar o uso das TIC na educação.



47

VI. Referências

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monografia - fábio

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