monografia da especialização ufrj
DESCRIPTION
Tema: O ENSINO DE ÁLGEBRA NO SEGUNDO SEGMENTO DO ENSINO FUNDAMENTALTRANSCRIPT
O ENSINO DE ÁLGEBRA NO SEGUNDO SEGMENTO DO ENSINO FUNDAMENTAL
GREGSON BARROS DA SILVA
MONOGRAFIA DO CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA
INSTITUTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
2009
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE MATEMÁTICA – IM–UFRJ
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA
1 O ENSINO DE ÁLGEBRA NO SEGUNDO SEGMENTO DO ENSINO FUNDAMENTAL
2 por
Gregson Barros da Silva
Orientadora: Professora Lúcia Tinoco
Monografia apresentada como requisito para a conclusão do
Curso de Especialização para Professores de Matemática
Rio de Janeiro – RJ
2009
“A alegria não chega apenas no encontro do achado, mas faz parte do processo da busca. E
ensinar e aprender não pode dar-se fora da procura, fora da boniteza e da alegria.”
Paulo Freire
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, aos meus pais que nunca me negaram
esforços para que eu chegasse aonde cheguei e nas minhas
dificuldades estiveram comigo. Agradeço por terem me
incentivado a terminar meu curso de Especialização e pela
boa vontade de me acompanharem na viagem cansativa de
sexta-feira. Agradeço a professora e Orientadora Lúcia
Tinoco pela atenção e dedicação dada para que eu fizesse
minha monografia.
DEDICATÓRIA
Aos meus pais e a todos os meus alunos e professores que me auxiliaram neste
trabalho.
3 SUMÁRIO Página Introdução 1
Capítulo 1 – Objetivos
Capítulo 2 - Concepções e ideias da Álgebra
2
3
Capítulo 3 - O simbolismo e a linguagem algébricos 11
Capítulo 4 - Trabalho de campo 17
Capítulo 5 - Conclusão 26
Referências Bibliográficas 27
Anexo 28
4
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE MATEMÀTICA
CURSO DE ESPECIALIZAÇÂO EM ENSINO DE MATEMÁTICA
Monografia submetida à coordenação de curso de Especialização para professores de matemática da
Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos
necessários para a conclusão do curso
Gregson Barros da Silva
Orientadora Lúcia Tinoco
2009
Introdução
Nesse trabalho será discutida a necessidade de a Álgebra ser tratada em sala de
aula, como um assunto menos complexo do que usualmente é considerada pelos alunos.
A escolha deste tema foi motivada por inquietações surgidas em minha trajetória
profissional e tem como base ideias referentes à Álgebra e ao Currículo. Pretendo aqui
refletir sobre o papel deste tópico na Matemática escolar e evidenciar possibilidades
pedagógicas para o seu ensino e aprendizagem, com compreensão. Também desejo
examinar a abordagem das diferentes concepções da Álgebra e a contribuição da
integração entre elas para propiciar a desejada significação da atividade algébrica.
Muitas das dificuldades que os alunos encontram na aprendizagem da Álgebra
podem ser resultados do fato de o professor ensinar apenas procedimentos e regras,
limitando a capacidade de esses alunos compreenderem conceitos e procedimentos, que
são de extrema importância para o domínio da Álgebra.
Entretanto, as dificuldades de realizar tarefas algébricas podem ser atenuadas por
meio de práticas e estratégias desenvolvidas pelo professor, sugeridas em textos e
artigos existentes sobre o ensino da Álgebra, analisados neste trabalho.
Com base em tais textos, foi planejado o trabalho de campo, envolvendo alunos
e professores. Uma parte das informações obtidas na pesquisa de campo foram resultado
da análise da produção de alunos na resolução de atividades aplicadas em sala de aula, a
fim de verificar os problemas de aprendizagem em álgebra. Professores também foram
entrevistados para reconhecer os problemas observados por eles no ensino e
aprendizagem da Álgebra em diversos níveis de escolaridade.
Os resultados obtidos evidenciam as dificuldades desses alunos em relação ao
desenvolvimento da linguagem e do pensamento algébrico.
Capítulo 1 – Concepções e ideias da álgebra
Encontrar motivos para não gostar de álgebra certamente não é difícil. Na escola,
ela aparece quando os alunos deixam de fazer contas com simples números e passam a
lidar com símbolos, na maioria da vezes, letras como x, y, a e b. É quando as notas
começam a cair e os alunos a reclamar, e citar aquela velha e conhecida frase: “para que
serve isso”? (Álgebra). É verdade que não se pode aprender Álgebra sem uma certa
disciplina e paciência, nem sempre disponíveis, mas, na maioria das vezes, ela é
ensinada de maneira desnecessariamente fria, trabalhosa e chata. No entanto, é disparate
achar que a álgebra não serve para nada.
Hoje em dia, a Álgebra ocupa lugar de destaque no currículo de matemática nas
escolas de ensino fundamental e médio, ocupando um espaço bem maior que o da
Geometria, por exemplo. Representa para muitos alunos tanto a culminação de anos de
estudo de aritmética como o início de mais anos de estudos de outros ramos da
matemática. Poucos contestaram sua importância, embora muitos alunos só tenham
noções superficiais de seu significado e seu alcance.
Em muitas salas de aula, os alunos continuam sendo treinados para armazenar
informações e para desenvolver a competência no desempenho de manipulações
algorítmicas. E, embora níveis adequados de informação e de técnicas sejam resultados
importantes do programa de álgebra, a necessidade maior dos alunos é uma
compreensão sólida dos conceitos algébricos e a capacidade de usar o conhecimento em
situações novas e às vezes inesperadas.
É importante citarmos duas questões fundamentais, relacionadas com a
finalidade do ensino e aprendizagem de Álgebra, propostas em COXFORD e SHULTE
(1994, página 12):
A primeira questão, que envolve o ensino de Álgebra na escola média hoje, diz respeito sobre até que ponto se deve exigir dos alunos capacidade de manejar, por si próprios, diversas técnicas manipulatórias. A segunda questão, relacionada com o currículo de Álgebra, é a do importante papel das funções e do momento de introduzi-las. Geralmente, as funções são tratadas pelos livros do primeiro ano de Álgebra como um tópico relativamente insignificante e só passam a ter importância na álgebra do segundo ano. Contudo, os currículos de algumas escolas elementares introduzem ideias sobre funções já na primeira série, e outros defendem que as funções deveriam ser usadas como veículo principal para a introdução das variáveis e da álgebra.
Devemos observar também que as finalidades da Álgebra são determinadas por, ou relacionam-se com concepções diferentes da Álgebra que correspondem à diferente diferença da importância relativa dada aos diversos usos das variáveis.
Passamos a analisar algumas dessas concepções (Ideias da Álgebra, COXFORD, Arthur F. e SHULTE, Alberto P., 1994)
Concepção 1: A Álgebra como Aritmética Generalizada
Nessa concepção, é natural o uso das variáveis como generalizadoras de
modelos. Por exemplo, generaliza-se 4 + 3 . 2 = 3 . 2 + 4 como a + b = b + a. O modelo
2 . 5 = 10
1 . 5 = 5
0 . 5 = 0
é estendido de modo abranger a multiplicação por números negativos (o que, nesta
concepção, muitas vezes é considerado álgebra e não aritmética):
- 1 . 5 = -5
- 2 . 5 = - 10
Generalizam-se essas ideias de modo a tirar propriedades como:
-x . y = -xy (o produto do oposto de um número por outro é igual ao oposto do produto
dos dois números)
Exemplo: Seja x = -2 e y = 3 e xy = -6
-x . y = - (-2) . 3 = 6 = - (-6 ) = - (xy)
Dentro dessa concepção da Álgebra, as instruções para o aluno são traduzir e
generalizar. Trata-se de técnicas importantes, não só para a Álgebra, mas também para
a Aritmética. Numa síntese de aplicações da Aritmética, concluímos que é impossível
estudar Aritmética adequadamente sem lidar implícita ou explicitamente com variáveis.
O que é mais fácil, “O produto de qualquer número por zero é zero”, ou “ Para todo n,
n . 0 = 0”?
A superioridade da linguagem algébrica sobre a linguagem corrente, nas
descrições de relações numéricas, se deve à questão da sintaxe. A descrição algébrica
assemelha-se à descrição numérica; a descrição em linguagem corrente, não.
Historicamente, o avanço da notação algébrica, em 1564 teve efeitos imediatos.
Em cinquenta anos, a geometria analítica foi inventada e levada a uma forma avançada.
Em cem anos surgiu o cálculo. Esse é o poder da Álgebra como Aritmética
generalizadora.
Concepção 2: A álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos
tipos de problemas
Consideremos o seguinte problema:
Adicionando 5 ao triplo de um certo número, a soma é 44. Qual é este número?
Traduzindo para a linguagem algébrica:
3x + 5 = 44
Dentro da concepção anterior, isto é, concepção da álgebra como generalização
de modelos, generalizamos relações conhecidas entre números. Sob essa concepção, o
problema terminou, pois já encontramos o modelo geral (3x + 5 = 44). Porém, dentro da
concepção da álgebra como um estudo de procedimentos, iremos resolver a equação
com um procedimento, por exemplo, somemos, -5 a ambos os membros:
3x + 5 + (-5) = 44 + (-5)
Façamos então a simplificação, e temos: 3x = 39.
A seguir resolvemos essa equação de alguma maneira, obtendo x = 13. O “certo
número” no problema é 13 e podemos testar o resultado.
Ao resolver problemas deste tipo, muitos alunos têm dificuldades na passagem
da aritmética para a álgebra. Enquanto a resolução aritmética (“de cabeça”) consiste em
subtrair 5 e dividir por 3, a forma algébrica 3x + 5 envolve a multiplicação por 3 e
adição por 5, as operações inversas. Isto é, para armar a equação, devemos racionar
exatamente a maneira contrária a que empregamos para resolver o problema
aritmeticamente.
Nessa concepção de álgebra, as variáveis são ou incógnitas ou constantes.
Enquanto as instruções no uso de uma variável como generalizadoras de modelos são
traduzir e generalizar, neste caso as instruções são simplificar e resolver. Na verdade,
“simplificar” e “resolver” são, às vezes, dois nomes diferentes para a mesma idéia. Por
exemplo, pedimos aos alunos para resolver | x – 2 | = 5 para obter a resposta x = 7 ou x
= -3, mas poderíamos pedir aos alunos: “Reescreva | x – 2| = 5 sem usar valor absoluto”.
Poderíamos então obter a resposta (x – 2)² = 25, que é uma outra sentença equivalente.
Concepção 3: Álgebra como estudo de relações entre grandezas
A diferença desta concepção para a anterior é que nesta as variáveis variam.
O que acontece com o valor de quando x se torna cada vez maior?
A questão parece simples, mas é suficiente para confundir muitos alunos. Não é
pedido o valor de x, logo x não é uma incógnita.
Dentro dessa concepção, uma variável é um argumento (isto é, representa os
valores do domínio de uma função) ou parâmetro (isto é, representa um número do
qual dependem os outros) e pode-se usar como instruções-chave a manipulação e a
justificativa. Só no contexto dessa concepção existem as noções de variável
independente e variável dependente. A notação funcional (como f(x) = 3x + 5) é uma
idéia nova. De fato, o uso de f(x) para denotar uma função é visto por alguns
educadores, como um dos fatores que dificultam a compreensão do conceito.
Concepção 4: A álgebra como estudo da estruturas
O estudo da álgebra nos cursos superiores envolve estruturas como grupos,
anéis, domínios de integridade, corpos e espaços vetoriais. Isso parece ter pouca
semelhança com a álgebra do ensino médio, embora os corpos dos números reais e dos
números complexos e os vários anéis de polinômios fundamentem a teoria da álgebra e
as propriedades dos domínios de integridade e dos grupos expliquem por que certas
equações podem ser resolvidas e outras não. Contudo reconhecemos a álgebra como o
estudo das estruturas pelas propriedades que atribuímos às operações com números reais
e polinômios. Consideraremos o seguinte exemplo:
Fatorar: 3x² + 4ax – 132 a²
A concepção de variável nesse caso não coincide com nenhuma daquelas
discutidas anteriormente. Não se trata de nenhuma função ou relação; a variável não é
um argumento. Não há equação a ser resolvida, de modo que a variável não atua como
uma incógnita. Também não há nenhum modelo aritmético a ser generalizado. A
resposta à questão é (3x + 22a)(x – 6a).
Surge aqui um dilema sutil. Desejamos que os alunos tenham em mente os
referenciais (geralmente números reais) quando utilizam as variáveis. Mas também
desejamos que eles sejam capazes de operar com as variáveis sem ter que voltar sempre
ao nível desse referencial.
Em problemas dessa natureza, a variável tornou-se um objeto arbitrário de uma
estrutura estabelecida por certas propriedades. Essa é a visão da variável na álgebra
abstrata.
Muitas críticas têm sido levantadas contra o domínio de um “simbolismo
extremado” nas primeiras experiências com a álgebra. Chamamos isso de manipulação
“cega” quando o condenamos; e de técnica “automática” quando o elogiamos. Em
última análise, todos desejam que os alunos tenham facilidade suficiente com os
símbolos algébricos, para poderem lidar abstratamente com as técnicas adequadas. Mas
a chave da questão é: O que significa “facilidade suficiente”?
Depois desse resumo sobre estas concepções da álgebra, seria uma tolice, definir
a atividade algébrica como somente “cálculo com letras”, ou seja, manipulação de
símbolos, sendo a álgebra muito mais que isso, porém muitas pessoas acham assim. Por
quê? A razão é clara: é o que se ensina nas escolas; é o que vai para o trabalho de casa;
é o que está nos exercícios, nos testes e nas provas; concluindo, é como os professores
de Matemática passam a maior parte do tempo a ensinar os alunos a praticar álgebra.
Com isso, alunos que sabem manipular símbolos obtêm boas classificações.
Também não podemos deixar de comentar dois aspectos (citados em
COXFORD, Arthur F. e SHULTE, Alberto P., 1994, página 3) de grande importância
tanto em relação ao conteúdo, quanto ao ensino e às aplicações da álgebra nas escolas.
Forças sociais
Todas as pessoas ligadas ao ensino direta ou indiretamente, continuam a exigir
prestação de contas da excelência de resultados, o que muitas vezes é interpretado
erroneamente como somente obtenção de notas mais altas nos exames padronizados.
Assim, de um lado há uma necessidade urgente de novos instrumentos de avaliação dos
alunos, que possam avaliar adequadamente os níveis superiores do raciocínio e a sua
capacidade de resolver problemas. De outro, há o perigo permanente de responder às
exigências de notas mais altas, enfraquecendo o processo de avaliação mais ainda ou
“ensinando para o exame (prova e testes)”, enfatizando apenas as habilidades mecânicas
que são fáceis de medir, isto é, avaliar.
A álgebra é vulnerável às consequências dessas decisões. No entanto, a álgebra
muitas vezes é um ponto crítico na decisão tomada pelo aluno de continuar ou não
estudando matemática. A qualidade do ensino dessa matéria pode influir decisivamente
na escolha do aluno. Mais do que isso, os professores com pouca qualificação ou
experiência em matemática provavelmente não empreenderão as mudanças curriculares
e do ensino da álgebra necessárias.
Tecnologia da computação
Uma das forças que atuam mais decisivamente nos dias de hoje sobre o currículo
é a tecnologia da computação, envolvendo os computadores e as calculadoras.
Surpreendentemente, talvez, os educadores tendem a aceitar muito mais os
computadores do que as calculadoras. Na verdade, mesmo uma calculadora simples,
destinada a tópicos como cálculo das quatro operações elementares, de logaritmos e de
raízes quadradas, estão sendo quase sempre eliminadas das salas de aula. Apesar disso,
muitos desses educadores, tendo provavelmente a licenciatura em Matemática, e que
podem fazer cálculos aritméticos mais rápida e rigorosamente do que a maior parte das
pessoas, quando fazem o balanço de seu talão de cheques, por exemplo, usam as
calculadoras, quando é realmente importante.
Além disso, quando se fazem os cálculos mais maçantes com uma calculadora,
pode-se tornar os problemas mais reais, complexos e mais interessantes, ligados mais ao
nosso dia a dia. Contudo até mesmo mudanças relativamente pequenas geram
resistências por parte de alguns educadores, que não conseguem imaginar um currículo
desprovido dos tópicos tradicionais e que não se baseiem nos métodos tradicionais de
ensino. Esses educadores tendem a esquecer que no passado, antes do surgimento da
tecnologia do papel e da imprensa, os cálculos eram efetuados mediante a manipulação
de “contadores” físicos, como por exemplo, pedras. A tecnologia do papel e da
imprensa mudou esse quadro. Desenvolveram-se algoritmos que substituíram a
manipulação de objetos pela manipulação de símbolos, capacitando assim as pessoas a
elaborar uma matemática mais complexa, e o que, em última instância, levou a novos
progressos, tanto na matemática como nas matérias afins, especialmente na área da
ciência.
A tecnologia da computação terá implicações naquilo que ensinamos dentro do
currículo da álgebra. De certo modo, os algoritmos terão seu papel diminuído e
realçado: diminuído, quanto à sua memorização com o propósito de produzir resposta,
porém, realçado no que se refere a aprender a planejar e criar algoritmos para execução
pelas pessoas e pelo computador.
Os educadores da área de matemática discutem uma definição das técnicas
matemáticas básicas que se estenda para além dos cálculos fundamentais. Na álgebra,
também, deve-se conceber a habilidade algébrica básica como algo que ultrapassa a
pura manipulação de símbolos. Assim, são de importância primordial: a compreensão
de conceitos como de variável e o de função; a representação de fenômenos na forma
algébrica e na forma gráfica; a destreza na apresentação e interpretação de dados,
avaliação e aproximação, e na formulação e resolução de problemas.
O ambiente de aprendizagem sugerido por esses instrumentos tecnológicos tem
pouca semelhança com o da aula de álgebra tradicional, e a história nos ensina que as
mudanças educacionais não ocorrem facilmente.
A matemática na vida real é feita com tecnologia. Muito poucos, ou mesmo
nenhum, matemáticos profissionais e engenheiros fazem manipulações algébricas
complicadas à mão. No mundo de hoje, não ensinar os alunos a utilizar a tecnologia é
prestar-lhes um mau serviço.
As deficiências da álgebra
Umas das maiores deficiências do ensino da matemática, e, em particular da
álgebra, é a pouca ênfase dada ao seu uso cotidiano. Os alunos são expostos a
pouquíssimas situações que ilustrem o processo de estabelecimento de modelos
matemáticos no dia a dia. Tratar de assuntos do cotidiano em classe despertaria nos
alunos um maior interesse, porque esses assuntos, como saúde, economia, política,
esporte, trabalho, alimentação, meteorologia e pesquisas de opinião, dizem respeito à
sua vida, principalmente, quando são apresentados de maneira atraente pelos meios de
comunicação, em tabelas, diagramas, fluxogramas, gráficos. Todos eles podem ser
usados como contextos significativos para aprendizagem dos conceitos e procedimentos
matemáticos neles envolvidos ou com campo de integração com os conteúdos de outras
áreas do currículo. Esse estudo favorece também o desenvolvimento de atitudes críticas
diante das informações divulgadas pela mídia.
Outro problema do ensino e aprendizagem da álgebra seria o
aparecimento tardio da álgebra na escola (por volta do 7º e 8º anos de escolaridade). Se
aos alunos forem proporcionadas experiências variadas envolvendo noções algébricas
de modo informal, já a partir dos anos iniciais, o estudo da álgebra se tornaria mais
interessante para eles, e, com isso, mais efetivo, fazendo com que os alunos
desenvolvam a habilidade de pensar “abstratamente”. Assim, os alunos irão adquirir
base para uma aprendizagem de álgebra mais sólida e rica em significados.O professor
tem a tendência de privilegiar o estudo do cálculo algébrico e das equações, muitas
vezes, descolados dos problemas. É mais proveitoso propor situações que levem os
estudantes a construir noções algébricas pela observação de regularidade em tabelas e
gráficos, estabelecendo relações em vez de trabalhar com expressões e equações de
forma meramente mecânica.
Uma outra dificuldade que os alunos têm é a de simplificar expressões como 3a
+ 4 b para 7ab. Esse problema pode ocorrer porque os alunos têm uma dificuldade em
“aceitar a ausência de fechamento”, pois no contexto do estudo de equações, as crianças
consideram o sinal igual ( = ) como símbolo unidirecional que precede uma resposta
numérica..
Muitos alunos parecem ter dificuldades enormes para resolver certos tipos de problemas
algébricos, bastante simples, em particular quando envolvem uma tradução da linguagem escrita
para a linguagem matemática. De acordo com pesquisas realizadas por Clement, Lochhead e
Monk, relatadas no livro “As idéias da álgebra”(p.145), cerca de 37% dos alunos que
resolveram o problema abaixo cometeram erros.
“Escreva uma equação usando as variáveis A e P para representar a seguinte
afirmação: Há seis vezes mais alunos do que professores numa Universidade. Use A
para indicar o número de alunos e P para indicar o número de professores”.
Os alunos que cometeram erro escreveram: PA6 = , trocando a posição das
variáveis.
As causas desses erros estão relacionadas à forte tendência que os alunos têm de
fazer uma associação com a ordem das palavras, da esquerda para a direita, ao
traduzirem “alunos e professores”. Outra causa é que os alunos muitas vezes
confundem variáveis com rótulos. Os símbolos “A” e “P” muitas vezes são
interpretados como rótulos para “alunos” e “professores” em vez de variáveis para
representar “o número de alunos” e o “número de professores”.
Para extirpar essas concepções erradas, muitas vezes um determinado tópico da
matemática e dar-lhes algumas explicações.
Para resolver essa situação, não basta simplesmente dizer aos alunos que eles
compreenderam incorretamente o problema. Seguem-se três passos que podem
contribuir, baseados no problema citado anteriormente.
1) Compreensão qualitativa.
O primeiro passo consiste em explorar a compreensão qualitativa. No exemplo
trabalhado, pergunta-se aos alunos se há mais alunos ou mais professores.
2) Compreensão quantitativa.
O segundo passo consiste em explorar a compreensão quantitativa. Para o exemplo
dado, pergunta-se algo como: “Suponha que houvesse 100 professores numa escola.
Quantos alunos haveria?”.
3) Compreensão conceitual.
O terceiro passo consiste em sondar a compreensão conceitual, solicitando a todos
os alunos da classe que escrevam uma equação que represente a relação expressa no
enunciado do problema. Eis algumas das respostas erradas que se pode esperar:
P6A6,P/A6,PA6 ==
Pede-se agora para os alunos que escrevam o que representaram a fim de
verificarem através de substituições. Se a resposta estiver de acordo com a lógica da
situação, então, o problema foi equacionado corretamente.
Capítulo 2 – O simbolismo e a linguagem algébrica
Ao iniciar o 7º ano de escolaridade, os alunos entram em um mundo matemático
completamente avesso a todo o seu conhecimento, que, até então, era mais aritmético.
Agora, envolvida de símbolos, a álgebra vem carregada de técnicas e aplicações, sem
sentido algum para os alunos.
A princípio o aluno não consegue relacionar qualquer significado aos
procedimentos algébricos, buscando apenas memorizar técnicas de resolução ao invés
de ler e entender uma situação proposta. Isso ocorre devido ao excesso de simbologia
que é apresentada ao aluno, sem que compreenda a verdadeira ideia representada por
ela.
Segundo Polya (1995, p 101):
(...) “ a linguagem dos símbolos matemáticos ajuda o raciocínio. Auxiliá-lo nessa
experiência constitui uma das mais importantes tarefas do professor.”
O professor deve observar que para haver aprendizagem é necessário que exista
um elo entre o que se quer ensinar e a experiência prévia de quem aprende.
Fey (1990) tenta definir a importância do “sentido do símbolo” com base num
conjunto razoável de objetivos para ensiná-lo que inclui os seguintes temas básicos:
• “Habilidade de explorar – correr os olhos sobre uma expressão algébrica para
fazer estimativas brutas dos padrões que emergirão numa representação
numérica ou gráfica...”
• “Habilidade de fazer comparações conscientes das ordens de magnitude para
funções com leis do tipo n, n², n³, ...., ...”
• “Habilidade de explorar rapidamente uma tabela de valores de uma função ou
um gráfico ou de interpretar verbalmente condições expressas, de identificar a
forma adequada de uma lei algébrica que expresse determinado padrão...”
• “Habilidade de inspecionar operações algébricas e prever a forma do resultado
ou, como na estimativa aritmética, de inspecionar o resultado e julgar a
possibilidade de que tenha sido executada corretamente...”
• “Habilidade de determinar qual entre as várias formas equivalentes pode ser
mais apropriada para responder questões particulares...”
Segundo Arcavi (1995),
“(...) sentido do símbolo deveria incluir além da sua própria função relevante de símbolo e seu uso adequado, a apreciação do seu verdadeiro sentido numa situação e a forma pela qual se dá a comunicação, afim de mostrar relações que a aritmética não consegue. O uso do símbolo deve-se fazer presente quando existir uma necessidade verdadeiramente adequada ou indispensável, pois muitas vezes, a forma aritmética pode ser aplicada àquela situação, mas o vício em algebrizar impede tanto o professor quanto o aluno de pensar de outra forma que não seja algébrica.”
Vejamos o exemplo a seguir:
Para que valores de a, o par de equações:
possui: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 soluções? (Arcavi, 19995, p.45)
Problemas como este, pela forma em que são apresentados, induzem uma
solução algébrica. Portanto, muitos iniciarão a sua solução utilizando os recursos
algébricos e não percebem que a forma escolhida poderá induzi-los ao erro.
A solução mais elegante para o exemplo dado seria observar um gráfico
cartesiano e subseqüentes considerações geométricas: o número de interseções entre as
duas diagonais do plano cartesiano (dados por , precisamente ) e
uma família de círculos com raio unitário e cujos centros estejam sobre o eixo das
abscissas (dados pela equação .
Em outras palavras, o sentido do símbolo incluiria a sensibilidade para perceber
quando devem ser usados os símbolos e também quando podem ser abandonados.
Além de manipulações algébricas, saber ler através de símbolos também é de
extrema importância. Segundo Whitehead (1911):
“(...) com auxílio do simbolismo, podemos fazer transições no raciocínio quase mecanicamente com os olhos, o que de outra maneira exigiria a atuação das altas faculdades do cérebro. É uma afirmação profundamente errônea, repetida por todos os livros didáticos e por pessoas eminentes quando eles estão fazendo discursos, que deveríamos cultivar o hábito de pensar naquilo que estamos fazendo. É exatamente o caso oposto. A civilização avança ampliando o número de operações importantes que podemos executar sem pensar sobre as mesmas. As operações de pensamento são como investidas da cavalaria numa batalha – elas são estritamente limitadas em número, elas que requerem cavalos descansados, e apenas devem ser feitas em momentos decisivos.”
Por exemplo, enquanto simplificava uma equação linear, uma estudante chegou
ao seguinte: (esse exemplo é contrário à afirmação anterior)
Ao invés de resolver mecanicamente, ela utilizou a leitura simbólica. Observou
que de modo a obter 4x do lado direito da equação a partir de 3x do lado esquerdo,
precisamos adicionar 1x, portanto a quantidade real acrescida (5) deve ser o valor de 1x.
Para resolver situação como esta, o aluno deve ter uma certa maturidade para, ao
se deparar com uma equação, tente ler o significado contido nos símbolos, antes de
executar procedimentos mecânicos. Mas para isso, cabe ao professor estimular o aluno a
ter este tipo de pensamento.
A evolução histórica da álgebra
Estranha e intrigante é a origem da palavra “álgebra”. Ela não se sujeita a um
significado claro, como por exemplo, a palavra “aritmética”, que deriva do grego
arithmos (número). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr, usada no
título de um livro, Hisab al-jabr wal-muqalalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825
pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi. Este trabalho de álgebra é
frequentemente citado, abreviadamente, como Al-jabr.
Uma tradução literal do título completo do livro é a “ciência da restauração (ou
reunião) e redução”, mas matematicamente seria melhor “ciência da transposição e
cancelamento” – ou, conforme Boher, “a transposição de termos subtraídos para o outro
membro da equação” e “o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros
opostos da equação”. Assim, dada a equação: 32 x5x244x7x +−=++ al-jabr
fornece 32 x544x7x +=++ e al-muqabalah fornece
32 x5x7x =+ .
Talvez a melhor tradução fosse simplesmente “a ciência das equações”.
Durante a fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C. a 1700 d.C., o
desenvolvimento da notação algébrica evolui ao longo de três estágios: o retórico (ou
verbal), o sincopato (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o simbólico. No
último estágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-se
razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É interessante notar que hoje, não há
total uniformidade no uso dos símbolos. Por exemplo, os americanos escrevem
“3,1416” como aproximação de Pi, e muitos europeus escrevem “3,1416”. Como a
álgebra provavelmente se originou na Babilônia, parece apropriado ilustrar o estilo
retórico com um exemplo daquela região. O problema seguinte mostra o relativo grau
de sofisticação da álgebra babilônica. É um exemplo típico de problemas encontrados
em escrita cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao tempo do rei Hammurabi.
A explanação, naturalmente, é feita em português; e usa-se a notação decimal indo
arábica em vez de notação sexagesimal cuneiforme. Eis o exemplo:
(1) Comprimento, largura – Multipliquei o comprimento por largura, obtendo assim
a área 252. Somei o comprimento e largura, obtendo resultado 32. Pede-se:
comprimento e largura.
(2) Dado: 32 soma; 252 área
} )A...(Py.x
kyx
=
=+
(3) Resposta: 18 comprimento; 14 largura
(4) Segue-se este método: Tome metade de 32 (que é 16) � 2
k
16 x 16 = 256 �
2
2
k
256 – 252 = 4 �
2
2
k
- P = } )B...(t2
A raiz quadrada de 4 é 2 � tP
2
k2
=−
16 + 2 = 18 (comprimento) �
2
k
+ t = x
16 – 2 = 14 (largura) �
2
2
k
- t = y
(5) Prova: Multipliquei 18 comprimento por 14 largura
18 x 14 = 252 � y.xPt
4
kt
2
kt
2
k 22
==−
=
−
⋅
+
Nota-se que na etapa (1) o problema é formulado, na etapa (2) os dados são
apresentados, na etapa (3) a resposta é dada, na (4) o método de solução é explicado
com números e, finalmente, na (5) a resposta é testada.
A “receita” acima é usada repetidamente em problemas semelhantes e apresenta
significado histórico até hoje.
A álgebra grega, conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides, era
geométrica. Por exemplo, o que se escreve como 222 bab2a)ba( ++=+ era
concebido pelos gregos em termos de diagrama apresentado na figura abaixo e era
curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4, como:
“Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha
toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo
contido nas partes” (isto é, 222 bab2a)ba( ++=+ ).
Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato,
seguiam os métodos padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou
registrados esses resultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhe-se o teorema
correspondente ao problema babilônico acima.
Séculos mais tarde o matemático
grego Diofanto deu um novo impulso à
álgebra introduzindo o estilo sincopado
de escrever equações ao representar pela primeira vez uma abreviatura especial para a
incóginta. (BAUMGART, Jonh K., 1992, página 31):
Isto é, x³ 2 x8 – x² 5 1.4 = 44 ou 2x³ + 8x – (5x² + 4) = 44
é uma abreviação de (KUBOS, “cubo”)
s é uma abreviação de arithmos, “número”)
é uma combinação de e em (LEIPSIS, “menos")
é uma abreviação de (DUNAMIS, “potência”) M é uma abreviação de (MONADES, “unidades”) A igualdade é expressa por (“é igual a”) e também por para (isos,
“igual”).
Deste período em diante, os matemáticos foram lentamente incorporando letras e
sinais no lugar de abreviaturas, surgindo então, o estágio simbólico. Os exemplos
dados por BAUMGART, pág. 33) mostram os estágios do processo de
aperfeiçoamento e padronização da notação:
Cardano (1545) cubus 6 rebus aequalis 20
x³ + 6x = 20
Viète (1591) I QC – 15 QQ + 85 C – 225 Q + 274 N aequatur 120
- 225
Harriot (1631) aaa – 3bba = 2 ccc
Fig. 1
Descartes (1637) x3 – 6xx + 13x – 10
Wallis (1693)
Capítulo 3 –Trabalho de campo
Para o trabalho de campo foram utilizados dois instrumentos: um teste aplicado
a alunos e um questionário respondido por professores.
Realizaram o teste 35 alunos com idade entre 13 e 15 anos do 8º ano do Ensino
Fundamental do Colégio Estadual Ministro Raul Fernandes e responderam ao
questionário 09 professores de Matemática que lecionam em anos de escolaridade
diversos da própria instituição e de outras.
O Trabalho com os alunos
1ª Parte – Preparação
No início da aplicação dos testes, os alunos desconheciam qualquer noção
algébrica, pois estavam com o conteúdo defasado. Por isso, a aula se iniciou
informalmente, com o seguinte desafio:
Na sequência de figuras, os alunos tinham que definir uma lei para a formação
daqueles quadrados. A sequência tinha quatro figuras e os alunos tinham que definir
quantos quadrados havia na 5ª figura, na 6ª figura e na enésima figura. Desta forma, os
alunos já iam usando intuitivamente a noção de função para generalizar uma dada
situação.
Após muito observarem, os alunos observaram a seguinte regularidade entre as
figuras:
Fig 1 � 1 x 1 = 1 quadrado
Fig 2 � 2 x 2 = 4 quadrados
Fig 3 � 3 x 3 = 9 quadrados
Fig 4 � 4 x 4 = 16 quadrados
Então foi perguntado a eles quantos quadrados haveria na 5ª figura. Um dos
alunos respondeu:
- É simples professor, na figura 5 tem 5 x 5 = 25 quadrados.
E na 6ª figura?
Os alunos responderam:
- 6 x 6 = 36 quadrados.
Quando foi perguntado quantos quadrados haveria em uma figura qualquer, os
alunos não souberam responder, talvez pela ausência do pensamento genérico, típico da
atividade algébrica. Então foi sugerido aos alunos que pensassem em uma figura de lado
n unidades. Se todas as figuras eram quadrados, então a figura de lado n unidades
também era um quadrado de lado n, logo se cada lado valia n unidades o enésimo
quadrado teria n x n lados, aplicando a ideia de potência: n x n = n².
Com isso, chegamos a uma forma generalizada de uma situação geométrica.
Depois que os alunos descobriram uma “fórmula” para aquela sequência de quadrados,
foi solicitado que aplicassem a relação encontrada para as figuras já conhecidas da
sequência afim de verificar se a fórmula era válida para as figuras conhecidas e para as
figuras que não estavam relacionadas na sequência dada.
Exemplo: 1) O quadrado da figura 5 tem _____ quadradinhos.
Resposta: fig 5 � 5² = 25 quadradinhos.
2) Em que linha temos uma figura formada por 121 quadradinhos?
Resposta: fig n = n² � 121 = n² � n = � n = 11 (11ª figura da sequência)
2ª Parte – O Teste
Em um segundo momento, os alunos resolveram individualmente três atividades
envolvendo noções algébricas.
ATIVIDADE 1
Agência de Turismo A agência de turismo Pequeno Mundo deixa claro como compõe o salário que paga a seus funcionários, afixando o seguinte cartaz na parede.
(a) João, empregado por essa agência de viagens, trabalhou 80 horas e vendeu 22 bilhetes aéreos durante o mês de abril passado. Que total João recebeu em abril? (b) Num certo mês, Marcus trabalhou 50 h e Léo trabalhou 30 h. Pode-se afirmar que, no final desse mês, Marcus ganhou mais do que Léo? Por quê? (c) Escreva uma fórmula que represente o salário total de um funcionário que trabalhe um total de h horas e venda b passagens.
AGÊNCIA DE TURISMO PEQUENO MUNDO
Salário/hora Comissão/Passagem Parte fixa do salário
R$ 72,00 R$ 105,00 RS 350,00
A primeira atividade tinha o objetivo de fazer com que os alunos identificassem
e representassem algebricamente as informações dadas em um cartaz em linguagem
verbal e aritmética, envolvidas num esquema.
O gráfico a seguir indica a porcentagem de acertos e erros em cada questão.
Gráfico 1
O item A era uma questão que abordava operações aritméticas, que alunos já
vinham estudando desde o 5º ano do Ensino Fundamental. Muitos conseguiram
organizar o raciocínio, mas a maioria ou errou nos cálculos, ou faziam os cálculos
incompletos, não seguindo a sequência de informações dadas na tabela, conforme o
exemplo abaixo. Isso sugere dificuldade de os alunos reconhecerem todas as
informações na linguagem do cartaz.
Esse aluno esqueceu de somar a parte fixa do salário aos outros ganhos (além de
ter feito o cálculo incorreto do valor recebido pela venda de bilhetes).
No item B, alguns alunos conseguiram reconhecer que para determinar o salário
era necessário ter a quantidade de passagens vendidas embora outros alunos tenham
atribuído a quem trabalhou mais tempo, o maior salário. Essa dificuldade talvez se deva
ao fato de que os alunos raciocinem sobre as suas idéias, sem levar em conta o que diz o
texto. Vejamos algumas soluções.
O item C teve o maior índice de erros, talvez pelo pouco contato que os alunos
tiveram com expressões algébricas, formas de interpretar situações algébricas e,
principalmente de criar esse tipo de expressão.
Pôde-se também perceber que os alunos não sabiam lidar com a soma de
expressões algébricas (ao somar duas variáveis, eles atribuíam como resultado uma
variável diferente, por exemplo, x + y = z). Neste caso, os alunos ainda presos a
propriedades aritméticas, utilizaram a propriedade de fechamento para justificar o
resultado. Percebeu-se que os alunos ainda não aceitaram que o resultado de uma conta
pode ser representado por uma expressão algébrica. Por isso que muitos deles
atribuíram à soma de duas variáveis um valor numérico, conforme o primeiro exemplo
que segue abaixo. Eis algumas respostas dadas pelos alunos neste item.
ATIVIDADE 2
No último campeonato brasileiro Flamengo marcou z gols e Vasco h gols. (a) Quantos gols os dois times marcaram? (b) Se você soubesse quanto vale z e quanto vale h, que operação você faria para calcular o total de gols?
Na segunda atividade, o objetivo era reconhecer a operação envolvida em
questão (item B) e depois generalizá-la (item A). Vale ressaltar que nesta atividade, o
aluno poderia ter feito uma relação aritmética para que, em seguida, fizesse a
generalização do problema, porém, conclui-se que grande parte alunos tiveram
dificuldade em admitir a representação de valores genéricos por variáveis e operar com
elas. Mais uma vez, os alunos aplicaram a propriedade de fechamento, conforme
mencionado na primeira atividade. Alguns alunos identificavam que a operação era a de
adição após ler o item B e, em seguida, voltavam ao item A e representavam a situação
por z + h = n (alguns outros escreveram z.h = x).
Provavelmente, o item B sugeriu que os alunos pensassem em valores numéricos
para as variáveis z e h e só assim eles conseguiram pensar em uma das possíveis
soluções, mencionadas acima. O gráfico a seguir, mostra uma inversão das colunas o
que comprova que os alunos ainda não adquiriram maturidade suficiente para
representar uma situação algébrica, devido a pouca familiarização que tiveram com a
álgebra e, por lidarem há bastante tempo com questões aritméticas obtiveram êxito em
resolver o item A.
Gráfico 2
ATIVIDADE 3
O Alvo Este é o alvo de um jogo de dardos: (a) João acertou 4 vezes no e 5 vezes no . Quantos pontos ele fez? Como você calculou? (b) Quantos pontos fez uma pessoa que acertou: 3 vezes no e y vezes no ? f vezes no e p vezes no ? a vezes no , 5 vezes no e y vezes no ? (c) Numa partida, um jogador fez 10a + 15b pontos e outro fez 10a + 5d pontos. É possível que os dois tenham feito o mesmo número de pontos? Justifique. (d) Tiago jogou o dardo b vezes e fez 10b pontos. Em que região (ões) Tiago pode ter acertado? Complete a tabela para representar algumas dessas possibilidades. b jogadas 10b pontos Região (ões)
Na terceira atividade, o principal objetivo era o aluno transpor para uma linguagem
algébrica o resultado de um jogo que estava sendo representado por legendas.
5 pontos
10 pontos 15 pontos
50 pontos
O item A foi resolvido com êxito pela maioria dos alunos, pois não havia a
presença de incógnitas ou variáveis, isto é, era uma aplicação aritmética da situação
descrita.
No item B, os alunos tiveram um pouco de dificuldade de representar o número
de pontos obtidos em um jogo por expressão que tinha letras e números misturados.
No item C, os alunos conseguiram resolver, relacionando as legendas aos
valores, não percebendo a existência da redução de termos semelhantes, pois ainda não
tinham estudado monômios e suas operações.
A resolução do item D foi opcional. A maioria dos alunos não resolveu, sendo
que apenas 02 tentaram mesmo sentindo dificuldade, mas não conseguiram resolver até
o fim pois não entenderam o enunciado, nem as informações contidas na tabela.
Portanto, não há soluções para serem comentadas neste item e o nível de acertos (5%)
só foi mencionado no gráfico pela tentativa desses dois alunos em resolvê-lo.
Gráfico 3
O Questionário dos Professores
Agora analisaremos as respostas dos professores ao anexo I, onde responderam
09 professores.
Todos possuem Licenciatura Plena em Matemática, 78% trabalha apenas na rede
pública de ensino, enquanto 22% na rede pública e particular. Quatro lecionam apenas
no Ensino Médio e o restante nos Ensinos Médio e Fundamental.
A maioria dos professores disse que iniciariam uma aula de álgebra para o 7º ano
do Ensino Fundamental, abordando uma situação-problema que envolva “valor
desconhecido”, ou seja, começariam a falar de álgebra usando o conteúdo Equação do
1º grau com uma incógnita. Quando foi perguntado aos professores quanto ao
percentual de aulas de Matemática na Educação Básica que se gasta com o ensino de
álgebra, obtivemos o seguinte resultado mostrado no gráfico abaixo:
Gráfico 4
Uma professora respondeu da seguinte forma: “Geralmente prefere-se ensinar
Álgebra, pois em muitas escolas, nem existe aula de Geometria, e muitas vezes os livros
adotados fixam muito essa parte de Álgebra.”
E todos concordaram que o nível de aproveitamento não condiz com o
percentual apresentado, alegando que os alunos têm muita dificuldade em transitar da
linguagem aritmética para a linguagem algébrica (“Os alunos têm muita dificuldade
para entender letras” – Maria do Perpétuo Socorro). Os professores consideraram que
os assuntos da Aritmética que servem de base para o Ensino da álgebra são: as quatro
operações, propriedades da adição e multiplicação (principalmente a propriedade
distributiva) e os números racionais. Para os professores é importante na resolução de
problemas algébricos que o raciocínio aritmético não seja esquecido, e sim unido ao
pensamento algébrico. Os professores entrevistados concordaram que é possível
introduzir o conceito de função antes do 9º ano de escolaridade através de cálculos de
perímetros, áreas, equações do primeiro grau, inequações, regra de três simples etc.
Conclusão
Nos capítulos anteriores, citamos algumas ideias e concepções para o ensino de
álgebra que nos respaldam para um comentário final. Trata-se de algumas sugestões
para a melhoria do ensino de álgebra. Como publicado em NCTM (2000, pág. 37), o
pensamento algébrico diz respeito ao estudo das estruturas, à simbolização, à modelação
e ao estudo da variação: compreender padrões, relações e funções (estudo das
estruturas), representar e analisar situações matemáticas e estruturas, usando símbolos
algébricos (simbolização), usar modelos matemáticos para representar e compreender
relações quantitativas (modelação), analisar mudança em diversas situações (estudo da
variação). Um dos principais elementos do pensamento algébrico é a capacidade de
manipulação dos símbolos. Um fato que auxiliaria no ensino da álgebra seria os
professores estimularem seus alunos pensar em alternativas que desenvolvessem o
raciocínio algébrico, conforme alguns exemplos que foram mencionados no capítulo 4
deste trabalho. Desta forma, os alunos poderiam elaborar seu próprio raciocínio, ou seja,
um procedimento completamente avesso ao que costumamos trabalhar em sala de aula.
No capítulo 3,vimos que a fase de transição entre o pensamento aritmético e o
algébrico, traz grandes transtornos para os alunos, pois eles deixam de lidar com
números “puros” e passam a lidar com símbolos. Este processo de transição deveria ser
a longo prazo, assim como foi no contexto histórico da álgebra, em que a representação
através de símbolos não fora imediata, conforme mostra o capítulo 3, página16, deste
trabalho, a evolução do processo de padronização e aperfeiçoamento algébrico. Esta
visão de separação da aritmética e da álgebra não é totalmente correta. É necessário
começar mais cedo o trabalho com a álgebra, de modo que esta e a aritmética
desenvolvam-se juntas, pois é impossível pensar em aritmética sem pensar em álgebra.
A tarefa de modificar o currículo de álgebra exigirá um enorme esforço, pois é
somente através de uma troca de idéias que poderemos ter condições de ensino
necessárias para conseguirmos alguma mudança.
Concluindo, o principal objetivo de se ensinar álgebra não é tornar nossos alunos
grandes algebristas, mas sim em conscientizá-los de qual é a capacidade algébrica que
deve ser utilizada para resolver determinadas situações-problema ou investigar uma
determinada situação. Com esta ideia a álgebra deixará de ser algo que ficará somente
no domínio da escola, e uma consequência disso é que os alunos verão que o alcance da
álgebra é maior do que eles imaginavam.
Referências Bibliográficas
COXFORD, Arthur F. e SHULTE, Albert P. As idéias da Álgebra. 1ª ed. São Paulo: Atual Editora LTDA, 1995. BAUMGART, John K. Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula. Volume 4 – Álgebra. Atual, São Paulo, 1992. TINOCO, Lucia A. A (coord). Álgebra: pensar, calcular, comunicar....IM –UFRJ – Projeto Fundão, Rio de Janeiro, 2008. NCTM. Principles and Standards for school mathematics. E.U.A., 2000. GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática (A Invenção dos números). 8ª ed. São Paulo: Editora Ática, 1992. ARCAVI, Abrahan. Artigo: O sentido do símbolo. Atribuindo um sentido informal a matemática formal. Israel, 1995. ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática – 6ª série. 1ªed. São Paulo: Editora do Brasil S/A Educação Algébrica e Resolução de Problemas. http://www.novaescola.com.br Acessado dia 10 de maio de 2009.
História da Álgebra. http://www.somatematica.com.br/algebra.php. Acessado dia 17 de agosto de 2009.
Anexo (Questionário para professores)
O Ensino de Álgebra no Segundo Segmento do Ensino Fundamental 1. Nome: ____________________________________________________________ 2. Há quanto tempo leciona? ________________________________________ 3. Leciona em que tipo de instituição? ( )particular ( ) pública 4. Em que ano(s) de escolaridade leciona? _____________________________ 5. Como você iniciaria uma aula de Álgebra no 7º ano do Ensino Fundamental? ______________________________________________________________________ 6. De acordo com a sua experiência, qual o percentual do total do tempo das aulas de Matemática na Educação Básica que é dedicado à Álgebra? Justifique.
( ) Menos do que 40%.
( ) Entre 60% e 80%.
( ) Entre 40% e 60%.
( ) Mais do que 80%.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. Você considera que o aproveitamento dos alunos em Álgebra é coerente com o percentual apontado? Justifique. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8. Que assuntos da Aritmética são importantes para o aprendizado em Álgebra (cite pelo menos 3 assuntos). ____________________________________________________________________________________________________________________________________________ 9.Ao abordar uma situação-problema, você utiliza em geral a aritmética ou o álgebra? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________ Depois que seus alunos aprendem álgebra, você recomenda que eles abandonem o raciocínio aritmético na resolução de problemas? Por quê? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________ 10. É possível dar noções, mesmo informais, de variável e função antes do 9º ano de escolaridade? Dê um exemplo.
