Monitoria de Lógicapara Computação

Tabela Verdade, definição de Satisfatibilidade,

conseqüência lógica, e funções recursivas sob PROP.

PorGustavo Cauê (gcsb)

Ricardo Salomão (rssj2)

Engenharia da Computação 2011.1

Propriedade da Extensão homomórfica únicaSeja A um conjunto, xcA , e F um conjunto de funções

sobre A. Seja B um conjunto, e G um conjunto de funções sobre B tal que existe uma associação d: F -> G entre cada função de F com uma função de G com mesma aridade. Se o fecho indutivo de X sob F, isto é, X+ for livremente gerado, então, para toda função h: X -> B existe uma única função h: X+ -> B tal que:

(1) v(E) = v(E), se E for um elemento do conjunto base x.(2) v(f(E1, ..., En)) = g(v(E1), ..., v(En)); onde f E F; E1,...En E X+; g = d(f)

^

^^ ^ ^

Tabela Verdade

Tabela-verdade é um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se uma fórmula é válida ou se um seqüente é correto.

Relembrando...

X ¬X0 11 0

X Y (XvY)0 0 00 1 11 0 11 1 1

X Y (X^Y)

0 0 00 1 01 0 01 1 1

X Y (X->Y)0 0 10 1 11 0 01 1 1

NEGAÇÃO: DISJUNÇÃO:

CONJUNÇÃO: IMPLICAÇÃO:

Ф = ((x -> (y -> z)) -> ((¬z) v (x ^ (¬y))))x y z (¬y

)(¬z)

(y->z)

(x->(y->z))

(x^(¬y))

(¬z)v(x^(¬y))

Ф

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 0 1 11 0 1 1 0 0 00 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 01 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 10 1 0 0 0 1 10 0 1 1 0 0 0

Definição de Satisfatibilidade:Seja α uma proposição:

α é dita satisfatível se existe pelo menos uma valoração que a satisfaz;

α é dita refutável se existe pelo menos uma valoração que não a satisfaz;

α é dita insatisfatível se não existe valoração que a satisfaz;

α é dita tautologia se toda valoração a satisfaz;

Ф é satistatível?x y z (¬y

)(¬z)

(y->z)

(x->(y->z))

(x^(¬y))

(¬z)v(x^(¬y))

Ф

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 0 1 11 0 1 1 0 0 00 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 01 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 10 1 0 0 0 1 10 0 1 1 0 0 0

SIM!

!!

Ф é refutável?x y z (¬y

)(¬z)

(y->z)

(x->(y->z))

(x^(¬y))

(¬z)v(x^(¬y))

Ф

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 0 1 11 0 1 1 0 0 00 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 01 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 10 1 0 0 0 1 10 0 1 1 0 0 0

SIM!

!!

Ф é taulologia?x y z (¬y

)(¬z)

(y->z)

(x->(y->z))

(x^(¬y))

(¬z)v(x^(¬y))

Ф

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 0 1 11 0 1 1 0 0 00 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 01 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 10 1 0 0 0 1 10 0 1 1 0 0 0

NÃO!

!!

Ф é insatisfatível?x y z (¬y

)(¬z)

(y->z)

(x->(y->z))

(x^(¬y))

(¬z)v(x^(¬y))

Ф

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 0 1 11 0 1 1 0 0 00 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 01 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 10 1 0 0 0 1 10 0 1 1 0 0 0

NÃO!

!!

Conseqüência lógica:

Conseqüência lógica é um conceito fundamental na lógica. Trata-se de uma relação entre um conjunto de sentenças(ou proposições) e uma sentença (proposição), na qual o primeiro acarreta no segundo.

P Q P -> Q0 0 10 1 11 0 01 1 1

EX.:Conseqüência lógica:

Funções Recursivas sob PROPFunção que calcula o nº de parênteses;

Função que calcula o nº total de subexpressões;

Função que conta o nº total de operadores lógicos;

Função que monta a árvore sintática;

Função que calcula o posto de uma prop;

Provas por Indução:Teorema: para toda proposição α, o nº de

parênteses de α é par;

Lema: para todo ф pertencente a PROP, o nº de subexpressões de ф é no máximo igual a duas vezes o nº de operadores de ф + 1 (i.e. |s(ф)| = 2xg(ф) +1).

Dúvidas: