momento linear

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Física Geral e Experimental II – Prof. Dr. Eduardo Matsushita 2014 FGE II – ESQ/FOC Página 1 ESCOLA SUPERIOR DE QUÍMICA DAS FACULDADES OSWALDO CRUZ Resumo de Aula 8: Força Magnética – A influência do campo magnético sobre cargas em movimento (O presente resumo não dispensa a leitura e estudo do livro-texto adotado no curso) 1. INTRODUÇÃO E CONCEITOS INICIAIS Anteriormente vimos que uma distribuição de cargas em repouso cria um campo elétrico E no espaço em torno da distribuição. Tal campo desempenha o papel de transmissor de interações entre cargas elétricas. Assim, o campo exerce uma força elétrica F = qE sobre qualquer carga q que esteja presente no campo. Se considerarmos agora cargas em movimento (correntes elétricas) notamos que além do campo elétrico outro campo fundamental é produzido no espaço: o campo magnético. A cada ponto de um campo magnético, associamos um vetor B , denominado vetor indução magnética ou, simplesmente, vetor campo magnético. Em um campo magnético, chama-se linha de indução toda linha que, em cada ponto, é tangente ao vetor B e orientada em seu sentido. Os ímãs são materiais com propriedades magnéticas resultantes do movimento de cargas no nível molecular/atômico. Tais materiais apresentam correntes microscópicas que criam campos magnéticos. Ímãs têm sempre pólos norte (N) e sul (S) que são indivisíveis. Convenciona-se que as linhas de indução saem do pólo N e chegam ao pólo S. Começaremos nosso estudo de Magnetismo investigando primeiramente a influência de campos magnéticos em cargas em movimento. No momento, ainda não iremos nos preocupar com a criação de campos magnéticos, que será estudada no próximo capítulo. 2. FORÇA MAGNÉTICA SOBRE CARGAS EM MOVIMENTO Considere uma carga puntiforme , movendo-se com velocidade em um campo magnético . As experiências revelam que: Define-se como campo magnético toda região do espaço em torno de um condutor percorrido por corrente ou em torno de um ímã, nesse caso devido a particulares movimentos que os elétrons executam no interior de seus átomos.

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Material teórico e exercícios de momento linear

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Física  Geral  e  Experimental  II  –  Prof.  Dr.  Eduardo  Matsushita   2014    

FGE  II  –  ESQ/FOC   Página  1    

ESCOLA SUPERIOR DE QUÍMICA DAS FACULDADES OSWALDO CRUZ

Resumo de Aula 8: Força Magnética – A influência do campo magnético sobre cargas em movimento

(O presente resumo não dispensa a leitura e estudo do livro-texto adotado no curso)

1. INTRODUÇÃO E CONCEITOS INICIAIS

Anteriormente vimos que uma distribuição de cargas em repouso cria um campo elétrico E no espaço em torno da distribuição. Tal campo desempenha o papel de transmissor de interações entre cargas elétricas. Assim, o campo exerce uma força elétrica F = qE sobre qualquer carga q que esteja presente no campo.

Se considerarmos agora cargas em movimento (correntes elétricas) notamos que além do campo elétrico outro campo fundamental é produzido no espaço: o campo magnético. A cada ponto de um campo magnético, associamos um vetor B, denominado vetor indução magnética ou, simplesmente, vetor campo magnético. Em um campo magnético, chama-se linha de indução toda linha que, em cada ponto, é tangente ao vetor B e

orientada em seu sentido.

Os ímãs são materiais com propriedades magnéticas resultantes do movimento de cargas no nível molecular/atômico. Tais materiais apresentam correntes microscópicas que criam campos magnéticos. Ímãs têm sempre pólos norte (N) e sul (S) que são indivisíveis. Convenciona-se que as linhas de indução saem do pólo N e chegam ao pólo S.

Começaremos nosso estudo de Magnetismo investigando primeiramente a influência de campos magnéticos em cargas em movimento. No momento, ainda não iremos nos preocupar com a criação de campos magnéticos, que será estudada no próximo capítulo.

2. FORÇA MAGNÉTICA SOBRE CARGAS EM MOVIMENTO

Considere uma carga puntiforme 𝑞, movendo-se com velocidade 𝑣 em um campo magnético 𝐵. As experiências revelam que:

Define-se como campo magnético toda região do espaço em torno de um condutor percorrido por corrente ou em torno de um ímã, nesse caso devido a particulares movimentos que os elétrons executam no interior de seus átomos.

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ü A intensidade da força magnética, que denotaremos por F!, é diretamente proporcional ao módulo da carga ( q ), ao módulo da velocidade (v) e ao seno do ângulo entre os vetores velocidade e campo magnético.

ü O vetor força magnética é perpendicular aos vetores velocidade e campo magnético.

Podemos resumir essas observações experimentais na seguinte expressão vetorial:

F! = q v  ×  B

onde × denota o produto vetorial entre os vetores 𝑣 e 𝐵. No quadro ao lado, resumimos o procedimento algébrico para o cálculo de um produto vetorial e suas propriedades.

Unidades SI:

F! → newton  (N)q → coulomb  (C)v → !"#$%&

!"#$%&'(!!)

B → tesla  (T)

É comum encontrarmos também a unidade gauss (G) para a intensidade de campo magnético. Essa unidade pertence ao sistema CGS. O fator de conversão tesla-gauss é dado por

1  G = 1  gauss = 10!!  T

Propriedades da Força Magnética:

• Módulo, direção e sentido ü Módulo:

F! = q v  ×  B = q  v  B sen𝜃 onde θ é o menor ângulo entre os vetores v e B.

ü Direção e Sentido: F! é ⊥ a ambos v e B. O sentido é especificado pela regra da mão direita.

(i) Dedos no primeiro vetor; (ii) Rotação na direção do

segundo vetor; (iii) Polegar dá a direção do

produto vetorial.

𝐒𝐞𝐧𝐭𝐢𝐝𝐨  𝐝𝐞  F! =Polegar, q > 0

Contrário  ao  Polegar, q < 0

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• A força magnética não realiza trabalho

W!! = F! ⋅ dℓ𝓁 = F! ⋅dℓ𝓁𝑑𝑡  𝑑𝑡 = F! ⋅ v

!!,      !"#$!!!!  

 𝑑𝑡 = 0

• Força magnética apenas altera a direção da velocidade não alterando seu módulo

FORÇA DE LORENTZ: Quando uma carga puntiforme está em movimento em uma região onde existe um campo elétrico 𝐸 e um campo magnético 𝐵 ele fica submetido a uma força eletromagnética F! dada por

F! = F! + F!            →                 F! = qE+ q v  ×  B

Essa força recebe o nome de força de Lorentz.

3. MOVIMENTO DE CARGAS EM CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME

Estudaremos alguns tipos de movimento que uma partícula carregada pode realizar em um campo magnético uniforme. Aqui, vamos supor que após a carga ser lançada com velocidade v no campo magnético, a única força atuante seja a força magnética F!.

Em um campo magnético uniforme, o vetor B tem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido em todos os pontos do meio. Suas linhas de indução são representadas por segmentos de retas paralelos entre si, igualmente espaçados e igualmente orientados, veja figura ao lado. Isso ocorre, aproximadamente, na região entre os polos de um imã em forma de “U”:

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Destaque: A representação geométrica dos vetores F!, v e B requer uma visualização tridimensional do espaço. Desse modo, torna-se conveniente introduzir uma representação para vetores que estão saindo ou entrando no plano do papel, veja ao lado a convenção adotada. Essa notação também pode ser usada para representar um campo magnético não uniforme e quaisquer outras grandezas vetoriais, e até mesmo correntes elétricas “saindo” ou “entrando” no papel.

3.1. A velocidade 𝐯 tem a mesma direção de 𝐁 (𝜽 = 𝟎 ou 𝜽 = 𝟏𝟖𝟎°)

Neste caso a partícula é lançada na direção no campo magnético. Aqui, a força magnética é nula, pois sen θ = 0. Assim, a força resultante na partícula é nula e seu movimento é retilíneo e uniforme (MRU) ao longo da direção do campo magnético (equilíbrio dinâmico).

3.2. A velocidade 𝐯 tem direção perpendicular a 𝐁 (𝜽 = 𝟗𝟎°)

Com 𝜃 = 90° a força magnética F! não é nula. Sendo F! perpendicular ao vetor velocidade v, decorre que a força magnética altera apenas a direção da velocidade agindo, desse modo, como uma resultante centrípeta. Assim, o módulo de v permanece constante e o movimento é circular e uniforme (MCU). Esse movimento é realizado em um plano que contém v e F!, sendo perpendicular a B. A intensidade da força magnética é simplesmente:

F! = q  v  B sen 90°      →        F! = q  v  B

(i) Cálculo do raio da trajetória

Seja m a massa da partícula e R o raio de sua trajetória. Aplicando a 2ª Lei de Newton para a carga, levando em conta que a resultante de forças é dada apenas pela força magnética, temos:

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F! = m  a!" =mv!

R

Então:

q  v  B =mv!

R            ∴               R =m  vq  B

(ii) Cálculo do período

Sendo T o período, isto é, o intervalo de tempo em que a partícula executa uma volta completa, tem-se que: v = !!

!!; numa volta completa Δt = T e ΔS = 2πR, portanto:

v =2πRT →    T =

2πv R     →        T =

2πvmvq B    ∴     T =

2πmq B

Note que o período independe da velocidade (e também do raio). Isto ocorre porque a alteração de 𝐯 acarreta uma alteração proporcional em R e, consequentemente, no perímetro 𝟐𝛑𝐑 da circunferência. Assim, quanto maior for 𝐯, maior será o comprimento da circunferência a ser percorrida pela partícula, mas o período será o mesmo. Esse fato tem grande relevância nos aceleradores de partículas para bombardeamento de núcleos atômicos.

(iii) Frequência de cíclotron (ou frequência angular)

A frequência de cíclotron 𝛚 da carga é a frequência angular do MCU dada por:

ω =vR

Uma vez que R = !  !!  !

segue imediatamente que

ω =vR =

vm  vq  B

       ∴         ω =q Bm

A unidade no SI é radianos por segundo (rad/s).

3.3. A velocidade 𝐯 forma com 𝐁 um ângulo 𝛉, tal que 𝟎 < 𝜽 < 𝟗𝟎°.

A velocidade v pode ser decomposta como a soma vetorial de uma velocidade paralela (v∥) ao campo magnético B e de uma velocidade perpendicular (v!), ou seja,

v = v∥ + v!

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I. A componente v∥ não se altera, pois o campo magnético não afeta movimentos de mesma direção que a sua. Assim, na direção de B teremos um MRU com velocidade v∥ de módulo igual a v cos θ.

II. A componente v!, igual em módulo a v sen θ, gera um MCU, estando a circunferência contida num plano perpendicular a B.

O movimento resultante é a composição do MRU com o MCU que dá origem a um movimento helicoidal uniforme (MHU),

MHU = MRU + MCU

A trajetória descrita é uma hélice cilíndrica.

O passo p da hélice cilíndrica corresponde a distância que a partícula avança na direção do campo magnético B em MRU durante um período T do MCU. Para determinar o passo da hélice, devemos lembrar que:

T =2  π  mq  B          e            v∥ = v cos θ

Com relação ao MRU, temos:

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ΔS = v∥  t        ⟹        p = v∥  T      ⟹        p = v cos θ  2  π  mq  B        

p =  2  π  m  v cos θ

q B

4. APLICAÇÕES TECNOLÓGICAS 4.1. Seletor (ou filtro) de velocidades

Considere um fino feixe de partículas, cada uma delas eletrizada com a mesma carga q e movendo-se com velocidades de mesma direção e mesmo sentido, mas de módulos variados. Utilizando dois campos perpendiculares entre si (campos cruzados), um campo elétrico E e um campo magnético B, uniformes e constantes e de intensidades adequadas e conhecidas, podemos separar um conjunto de partículas do feixe e saber qual é a velocidades das partículas separadas. A figura (a) abaixo mostra uma das partículas do feixe, com carga suposta positiva, penetrando na região dos campos. Nessa figura, o campo elétrico é gerado por duas placas paralelas eletrizadas.

Supondo que a partícula seja submetida exclusivamente a esses dois campos, atuam nela duas forças: uma força elétrica F! e uma força magnética F!, observe figura (b). Temos:

F! = |q|E

F! = q v  B sen 90° = q v  B

Se as intensidades dessas forças forem iguais, a partícula não desviará e passará pelo orifício O existente no anteparo. Para que isso ocorra, devemos ter:

F! = F!          ⇒           q v  B = q E           ⇒          v =EB

Então, todas as partículas que passarem pelo orifício O terão uma velocidade de valor conhecido é igual a E/B. Assim, separamos do feixe um conjunto de partículas com velocidades conhecidas. As demais, com velocidades diferentes de E/B, desviarão para cima ou para baixo:

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• Se v > !!      ⇒      F! > F!      ⇒          a partícula desviará para cima;

• Se v < !!      ⇒      F! < F!      ⇒          a partícula desviará para baixo.

Notemos que, se a carga da partícula fosse negativa, a condição para ela atravessar o orifício seria a mesma, pois haveria apenas a inversão do sentido das duas forças.

4.2. Espectrômetro de Massa

O seletor de velocidades analisado anteriormente permite montar um instrumento utilizado na determinação de massas atômicas e também na separação de isótopos de um mesmo elemento químico: o espectrômetro de massa. Íons de um determinado elemento químico, todos com a mesma carga conhecida q, são produzidas por uma fonte F (veja a figura) e acelerados por um campo elétrico existente nesse sistema. Os anteparos S1 e S2 servem para garantir que cheguem ao seletor de velocidades apenas íons movendo-se numa mesma direção:

Passam pelo orifício do anteparo S3 apenas íons com velocidade v = E/B, como vimos anteriormente. Cada íon que atravessa o anteparo S3 é submetido a um campo magnético 𝐵′ do espectrômetro que faz com que ele entre em MCU descrevendo uma semicircunferência de raio R até atingir um filme fotográfico, que é sensibilizado no ponto de impacto.

Sendo m a massa do íon, temos:

R =mvq B′          ⇒          m =

q  B′  Rv =

q  B′  REB

         ⇒           m =q B!B  RE

Conhecidos q , B!, B e E, medimos R no filme e calculamos a massa do íon.

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Notemos que a massa do íon e a massa do átomo são praticamente iguais. De fato, quando o átomo do elemento tornou-se um íon, ele recebeu ou perdeu um ou mais elétrons. Como a massa do elétron é desprezível em comparação com a massa dos prótons e nêutrons que estão no núcleo, praticamente não há diferenças entre a massa do íon e a do átomo.

4.3. Cíclotron

O cíclotron é um instrumento que acelera partículas até altas energias cinéticas, por exemplo, prótons e dêuterons. Em geral, tais partículas altamente energéticas são utilizadas para bombardear núcleos atômicos com o intuito de provocar reações nucleares que possibilitam investigar as propriedades das estruturas nucleares. Além disso, elas são utilizadas para produzir materiais radioativos com emprego na indústria e na medicina.

A teoria envolvida na descrição do funcionamento de um cíclotron é bastante simples. Antes de desenvolvê-la, vamos descrever a estrutura do acelerador. Sua parte principal é constituída por duas peças metálicas semicirculares, 𝐃𝟏 e 𝐃𝟐, conhecidas como “dês” devido a sua forma geométrica. Uma tensão elevada e alternada é aplicada entre essas peças de modo a criar um campo elétrico alternado entre a separação dos “dês” (mudança periódica de sentido do campo elétrico alternando o potencial entre os “dês”). O equipamento é construído de tal maneira que no interior dos “dês” não existe campo elétrico (blindagem elétrica), mas existe um campo magnético intenso e uniforme, perpendicular ao plano dos “dês”. A fonte de íons fica localizada próxima ao ponto médio entre a separação de 𝐃𝟏 e 𝐃𝟐.

Considere um íon, de carga positiva q e massa m, emitido pela fonte no instante em que 𝐃𝟏 é positivo. O íon é acelerado pelo campo elétrico entre os “dês” pela força elétrica F! e penetra em 𝐃𝟐 com velocidade v!. Como seu movimento é perpendicular ao campo magnético uniforme dessa região, o íon descreve uma trajetória semicircular de raio R! num intervalo de tempo !

! onde 𝑇 é o

período do MCU. Nesse instante, a diferença de potencial entre os “dês” foi invertido (agora 𝐃𝟏 está negativo), e o íon é novamente acelerado, mas agora no sentido de 𝐃𝟏 penetrando nessa região com uma velocidade v! > v!. O íon então percorre uma nova trajetória semicircular de raio R! > R! (já que sua velocidade aumentou). O movimento continua de modo que em cada meia volta o íon ganha uma energia cinética adicional qV. Quando o raio da órbita dos

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íons for quase igual ao raio das peças em D, os íons com muita energia saem do sistema através de uma fenda.

Destaques:

• A operação do cíclotron se baseia no fato de o tempo de uma revolução (MCU) ser independente da velocidade (ou do raio da órbita) do íon.

• Estimativa para a energia cinética máxima do íon ao sair do cíclotron: tomamos como o

raio da órbita do íon o raio dos “dês”, 𝑅 = 𝑅! de modo que se v = !  !  !!

então

v!á# =q  B  R!m            ⇒          K!á# =

m  v!á#!

2 =m2

q  B  R!m

!

       ∴         K!á# =q!B!R!!

2m

5. FORÇA MAGNÉTICA SOBRE CONDUTORES PERCORRIDOS POR CORRENTE ELÉTRICA

Anteriormente vimos que quando uma partícula carregada se desloca num campo magnético, numa direção diferente da do campo, uma força magnética é exercida sobre a partícula. Desse modo, não é surpresa esperar que um fio conduzindo corrente, imerso num campo magnético, também sofra a ação de uma força magnética já que a corrente é um conjunto de cargas elétricas em movimento. Temos agora um sistema de muitas cargas e a força magnética resultante é obtida da soma das forças magnéticas individuais que agem nas partículas que compõem a corrente. A força sobre as cargas é transmitida ao “corpo” do fio através das inúmeras colisões com os átomos que constituem o fio.

5.1. Força magnética sobre um trecho infinitesimal de um condutor

Considere um fio condutor percorrido por uma corrente de intensidade I imerso num campo magnético B, veja a figura ao lado. Queremos calcular a força magnética num “pequeno pedaço” do fio, ou seja, num trecho infinitesimal. Matematicamente denotaremos um trecho infinitesimal de fio pelo vetor dℓ𝓁 onde o módulo dℓ𝓁 corresponde ao comprimento do trecho e o sentido do vetor aponta para o sentido da corrente elétrica. Se a carga total desse pequeno trecho é dq então a força magnética dF! é

dF! = dq  (v  ×  B)

Durante certo intervalo de tempo, dt, essa carga dq escoa pelo fio com velocidade dada por

v = !ℓ𝓁!"

. Substituindo essa informação na expressão de dF! obtemos

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dF! = dq  dℓ𝓁dt ×B =

dqdt  dℓ𝓁×B

Note que !"!"

é a corrente I no fio. Então:

dF! = I  dℓ𝓁×B

A quantidade i  dℓ𝓁 recebe o nome de elemento de corrente. A direção e sentido da força magnética elementar são dados pela regra da mão direita usual já que o sentido do elemento de corrente é exatamente igual ao sentido da velocidade. Para determinar a força magnética que atua no fio inteiro, o procedimento é determinar as forças exercidas em todos os seus trechos infinitesimais e, então, somar (integrar) todas elas:

F! = dF!!

!= I dℓ𝓁×B

!

!

onde a e b representam os pontos terminais do fio condutor. Estamos interessados apenas em avaliar essa integral para os casos onde o campo magnético externo é constante em módulo e direção.

Condutor imerso num campo magnético B uniforme (constante): O vetor B, por ser constante, pode sair do sinal da integral. Temos:

F! = I dℓ𝓁!

!×B

A quantidade dℓ𝓁!! é uma soma vetorial de todos os elementos de deslocamento, de a até b.

Vamos avaliar essa soma vetorial em duas situações:

Condutor Curvo (aberto) Espira Condutora (fechada)

Pela Lei de Adição vetorial (Polígono) a soma é igual ao vetor ℓ𝓁! que está dirigido de a até b. Assim:

F! = I    ℓ𝓁!×B

O conjunto de vetores deslocamento forma um polígono fechado, logo a soma vetorial é nula. Assim:

F! = 0

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Exemplo (Condutor retilíneo de tamanho L) Considere um fio condutor retilíneo de comprimento L imerso num campo magnético uniforme 𝐵 e percorrido por uma corrente 𝐼.

Vimos que a força magnética é dada pela expressão

𝐹! = 𝐼    ℓ𝓁!×𝐵

onde, para um condutor retilíneo, o tamanho do vetor ℓ𝓁! é igual ao tamanho L do fio. Assim, a intensidade da força magnética sobre o condutor retilíneo é dado por:

𝐹! = 𝐼  ℓ𝓁!  𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜃        ∴         𝐹! = 𝐼  𝐿  𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜃

com 𝜃 sendo o menor ângulo entre o condutor e o vetor 𝐵. A direção e o sentido da força magnética são determinadas pela regra da mão direita. Abaixo destacamos algumas posições de um condutor retilíneo:

θ = 0   →     sen θ = 0   →      F! = 0 θ = 180°   →     sen θ = 0   →      F! = 0