momento angular

Momento AngularUm Prel dio ` Teoria de Grupos em F u a sicaEliezer Batista Dep. de Matemtica, Universidade Federal de Santa Catarina, a CEP:88 040-900, Florianpolis, SC. o

Roda mundo, roda-gigante, Roda moinho, roda pio. a O tempo rodou num instante Nas voltas do meu coraao. c (Roda Viva), Chico Buarque

Conte do uIntroduo ca 2

1 Rotaes em Trs Dimenses co e o 6 1.1 O Espao Euclidiano em Trs Dimenses . . . . . . . . . . . . 6 c e o 1.2 Delta e Epsilon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Transformaes Ortogonais e Rotaoes . . . . . . . . . . . . . 12 co c 2 O M.A. na Mecnica Clssica a a 2.1 O Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Simetria e Leis de Conservao . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 2.3 O Formalismo Hamiltoniano e Transformaes Cannicas . . . co o 3 O M.A. em Mecnica Quntica a a 3.1 Do Clssico ao Quntico . . . a a 3.2 O Momento Angular Quntico a 3.3 Harmnicos Esfricos . . . . . o e 3.4 Teoria do Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 25 31 40 40 46 51 57

4 Grupos e Algebras de Lie 60 4.1 Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2 Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Bibliograa 77

1

Introduo caEstas notas destinam-se ao acompanhamento do minicurso entitulado Momento Angular, Um Preldio ` Teoria de Grupos em F u a sica, ministrado durante a Primeira Bienal da Sociedade Brasileira de Matemtica, realizada a em Belo Horizonte de 14 a 18 de outubro de 2002. Este minicurso destina-se principalmente a alunos de graduao e ps-graduao em F ca o ca sica ou Matemtica e a todos quantos se interessam em ver as interconexes entre estas a o duas cincias. e Existem duas motivaes principais para a realizaao de um minicurso co c como este, uma negativa e outra positiva. Negativamente falando, este curso se faz necessrio devido a uma decincia existente na maioria dos cursos de a e graduaao em f c sica e em matemtica. Se por um lado, nos cursos de f a sica no se enfatiza o ensino de estruturas matemticas e o rigor desta disciplina, a a por outro lado nos cursos de matemtica no se apresenta a interao desta a a ca com outras cincias, em particular a f e sica, tornando a matemtica um assa unto estanque, sem contato com o mundo real. Positivamente falando, um curso como este se faz necessrio pois nas ultimas dcadas a f a e sica terica se o viu cada vez mais necessitada de ferramentas matematicas muit ssimo mais sosticadas e a prpria pesquisa em matemtica pura teve seus rumos delineo a ados nos ultimos anos por idias e tcnicas oriundas da f e e sica. Portanto esta interao no apenas uma curiosidade acadmica, mas uma necessidade ca a e e real para o avano das pesquisas nos prximos anos. c o Como o tempo dispon muito restrito e as conexes so numerosas, vel e o a decidimos nos concentrar na teoria de grupos e sua utilizao em f ca sica. A teoria de grupos sempre aparece em f sica quando tratamos de simetrias em sistemas f sicos. Mesmo este tema de simetrias tem se mostrado vast ssimo, isto pode ser observado pela ubiqidade da teoria de grupos em f u sica terica, o da estrutura de cristais a teorias de calibre (gauge). Foram descobertas tambm uma srie de conexes inusitadas entre reas aperentemente diferene e o a 2

3 tes, formando uma imensa teia conceitual imposs de ser exaurida. Logo vel resolvemos nos concentrar em um tema clssico que possui um sem nmero a u de desenvolvimentos subseqentes e cujas tcnicas servem de padro para a u e a formulao de uma teoria geral: o momento angular em mecnica clssica ca a a e em mecnica quntica. O momento angular uma quantidade simples a a e de ser denida mas que possui implicaes profundas como, por exemplo, co este uma quantidade conservada decorrente da isotropia espacial [5, 7], e isto sempre que no exista uma direao privilegiada no espao, o momento e a c c angular conservado. Os conceitos bsicos subjacentes a toda esta discusso e a a so os conceitos de Grupo de Lie e Algebras de Lie [12]. A teoria abstrata a teve in com o matemtico alemo Sophus Lie, que explorava as simetrias cio a a de equaes diferenciais como formas de encontrar soluoes exatas, veja por co c exemplo na referncia [12] sobre a idia do trabalho original de Lie. Os e e campos vetoriais que geravam as tranformaes do grupo possuiam tambm co e propriedades algbricas interessantes. O espao vetorial formado por estes e c geradores innitesimais constitui o que chamado uma lgebra de Lie [4, 10]. e a J do ponto de vista f a sico, o grande impulso para a utilizaao da teoria de c grupos em f sica foi o surgimento da mecnica quntica. Em seus primrdios, a a o a mecnica quntica consistia de uma srie de regras ad-hoc como uma tena a e tativa de explicar efeitos f sicos observados experimentalmente em medidas atmicas, veja, por exemplo o primeiro cap o tulo da referncia [14] para um e breve apanhado histrico das origens da mecnica quntica. Uma das regras o a a mais importantes so as regras de quantizaao de Bohr-Sommerfeld, que a c diziam que o momento angular dos eltrons ao redor do ncleo somente poe u 34 deriam assumir valores mltiplos inteiros de 10 u unidades do S.I. Estas regras de quantizao por exemplo explicavam por que um eltron no caia ca e a no ncleo atmico,pois segundo a f u o sica clssica um eltron em uma rbita a e o circular ou el ptica ao redor do ncleo emitiria radiaao, perdendo energia e u c portanto colapsando com o ncleo. A explicaao para estas regras de quanu c tizaao s viriam mais tarde com a resoluo da equaao de Schrdinger em c o ca c o trs dimenses, onde o momento angular aparece explicitamente ao escrevere o se o laplaciano em coordenadas esfricas [11, 14]. A separao de variveis e ca a em uma parte radial e uma parte angular mostraram explicitamente que as soluoes obedeciam `s regras de quantizao anteriormente propostas. Mas o c a ca papel da teoria de grupos na mecnica quntica foi delineado principalmente a a por Wolfgang Pauli, Hermann Weyl [13] e Paul A.M. Dirac [3]. Um pouco redescobrindo conceitos antigos, um pouco inventando idias novas, os f e sicos foram construindo as bases para a moderna teoria de representaoes utilizanc

4 do como matria prima as lgebras de Lie dos grupos SO(3) e SU (2) (como e a lgebras elas so isomorfas, mas a teoria de representaoes possui sutilezas). a a c Este curso basicamente est dividido em 4 cap a tulos. Cada cap tulo est a planejado para ser exposto em uma aula de 1 hora, com excesso do terceiro a cap tulo que nos tomar duas aulas. Portanto, muitos detalhes de clculos a a so deixados para os leitores atravs de exerc a e cios, que serviro para complea mentar a teoria exposta nas aulas bem como para estimular o aprendizado. No primeiro cap tulo, estebelecemos a linguagem m nima para tratarmos do momento angular. Isto compreende a geometria no espao euclidiano tridic mensional R3 , o produto vetorial, rotaoes e transformaoes ortogonais. No c c segundo cap tulo, expomos o momento angular nas diversas formulaoes da c mecnica clssica: a mecnica Newtoniana, a Lagrangeana e a Hamiltoniaa a a na, em cada uma destas formulaoes as propriedades de simetria vo cando c a mais expl citas bem como a relaao entre os grupos de tranformaes e a c co lgebra de Lie de seus geradores innitesimais. No terceiro cap a tulo, faremos a traduo da mecnica clssica para a mecnica quntica e veremos como ca a a a a os estados qunticos associados ao momento angular esto associados `s rea a a presentaes da lgebra de Lie so(3) e apresentaremos o spin no contexto co a de representaoes da lgebra su(2). Finalmente, no quarto cap c a tulo, retomaremos os temas anteriores de um ponto de vista mais formal, deniremos a noao de grupo de Lie e lgebra de Lie em abstrato, mostraremos como estes c a dois objetos matemticos esto relacionados. Mostraremos tambm qual a a a e relaao que existe entre os grupos SO(3) e SU (2), j que suas lgebras posc a a suem uma forma idntica. Por ultimo daremos alguns conceitos da teoria de e representaes. co Embora este seja um assunto padro nos livros de mecnica quntica e a a a basicamente a teoria de representaoes de SO(3) e SU (2) serem bem conhec cidas, h desenvolvimentos modernos envolvendo idias simples com estes a e grupos. Citamos como exempo a teoria de redes de Spin de Roger Penrose [6, 9] e a esfera difusa de Madore [8]. Ao longo do curso, visamos oferecer uma perspectiva para os alunos em nal de graduaao e in de um programa de c cio ps graduaao de que existe ainda muita coisa a ser pesquisada mesmo com o c objetos razoavelmente simples como a lgebra su(2). a Neste curso, pretendemos ser auto contidos no que diz respeito aos conceitos f sicos, permitindo assim que alunos de matemtica tambm possam a e participar sem se sentirem perdidos. O pr requisito m e nimo para um bom acompanhamento deste curso que o aluno ja tenha tido contato com o e clculo bsico em uma e vrias variveis e com a lgebra linear. Mas cera a a a a

5 tamente obtero maior proveito deste curso alunos que j cursaram alguma a a disciplina de mecnica clssica e de mecnica quntica. Para estes, em termos a a a a de f sica no ter nada de novo, mas poder se obter uma nova perspectiva a a a destes mesmos assuntos sob um ponto de vista de teoria de grupos e lgebras a de Lie.

Cap tulo 1 Rotaoes em Trs Dimenses c e oNeste cap tulo, introduziremos alguns conceitos bsicos e notaoes que nos a c sero importantes no decorrer do curso. O leitor que j estiver familiarizado a a com os sistemas de coordenadas no espao, com produtos escalares e com c matrizes ortogonais poder ir direto para o cap a tulo 2, onde trataremos do momento angular em mecnica clssica. a a

1.1

O Espao Euclidiano em Trs Dimenses c e o

O espao que estamos considerando o espao euclidiano tridimensional R3 . c e c Como espao vetorial c R3 Span {(x1 , x2 , x3 ) | xi R, i = 1, 2, 3} . = Vamos denotar a base cannica de R3 por ei , para i = 1, 2, 3, onde o e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1).

Assim, um vetor em R3 pode ser escrito como a soma3

v=i=1

xi e i .

A vantagem de denotarmos desta maneira a base de R3 , ao invs dos usuais e vetores i, j e k, a possibilidade de escrevermos todas as frmulas em notaao e o c abstrata, usando somatrios e o ndices. A utilidade disto car clara a medida a que formos evoluindo no texto. 6

CAP ITULO 1. ROTACOES EM TRES DIMENSOES

7

Dois sistemas de coordenadas em R3 sero particularmente uteis no dea correr deste texto, o sistema de coordanadas retangulares, ou Cartesianas, e o sistema de coordenadas esfricas. Em coordenadas retangulares, um vetor e 3 v R escrito como v = (x, y, z), conforme ilustrado na Figura 1.1. e

z v y x

Figura 1.1: Representao de um vetor v R3 em coordenadas ca retangulares. Em coordenadas esfricas, um vetor representado por trs parmetros e e e a r, e , e est relacionado com o sistema cartesiano pelas equaoes a c x = r sin cos , y = r sin sin , z = r cos , conforme indicado pela Figura 1.2.

(1.1)


8

v r

Figura 1.2: Representao de um vetor v R3 em coordenadas ca esfricas. e Exerc cio 1 Encontre as relaes inversas de (1.1), isto , encontre as exco e presses de r, e em termos de x, y e z. o Alm da estrutura vetorial, o espao euclidiano R3 tambm munido de e c e e um produto escalar, o que lhe confere propriedades mtricas. O produto e escalar uma aplicao e ca : R3 R3 R (v, w) v w. Com as seguintes propriedades: 1. E bilinear (u + v) w = u w + v w, u (v + w) = u v + u w, (u) v = u (v) = u v. 2. E simtrica e u v = v u. e 3. E positiva denida vv 0 ; v v = 0 v = 0.


9

Uma ultima estrutura em R3 que nos ser importante o produto vetorial, a e que uma operao e ca : R3 R3 R3 (v, w) v w. onde o vetor v w um vetor ortogonal ao plano gerado por v e w, com e mdulo igual ` rea do paralelogramo gerado por v e w e com orientaao o a a c compat com a base cannica de R3 , conforme indicado na Figura 1.3: vel o

vx w

w v

Figura 1.3: O produto vetorial de dois vetores v e w. Se os dois vetores v e w estiverem separados por um ngulo , conforme a indicado na gura acima, ento o mdulo de v w ser a o a vw = v w sin . Logo, podemos concluir que v v = 0 para qualquer v R3 , pois neste caso a rea determinada igual a zero. Por orientao compat com a base a e ca vel cannica, queremos dizer que se escolhermos qualquer permutao c o ca clica de 1 2 e 3 , sempre o terceiro elemento ser o produto vetorial dos dois e e e a primeiros nesta ordem, isto e 1 2 = 3 e e e , 2 3 = 1 e e e , 3 1 = 2 . e e e (1.2) O produto vetorial anti-simtrico, isto , v w = w v. Devido e e e `s relaes (1.2) e ` total anti-simetria do produto vetorial, podemos escrea co a ver o produto vetorial de v = (v1 , v2 , v3 ) e w = (w1 , w2 , w3 ) como o determinante 1 2 3 e e e (1.3) v w = v1 v2 v3 . w1 w2 w3

CAP ITULO 1. ROTACOES EM TRES DIMENSOES Exerc cio 2 a) Mostre que o produto vetorial bilinear, isto e e (u + v) w = u w + v w, u (v + w) = u v + u w, (v) w = v (w) = v w,

10

R.

b) Mostre que o produto vetorial satisfaz ` identidade de Jacobi: a u (v w) + v (w u) + w (u v) = 0. c) Mostre as seguintes propriedades do produto vetorial: u (v w) = (u w)v (u v)w, u (v w) = v (w u) = w (u v).

1.2

Delta e Epsilon

Vamos aumentar um pouco mais o grau de abstraao, tornando a notaao c c mais simblica, em termos de somas e de o ndices. Para isto, vamos denir dois objetos matemticos que nos auxiliaro muito nos clculos. O primeiro a a a o delta de Krnecker, para os e o ndices i e j, variando de 1 at n, temos e ij = 0, para i = j, 1, para i = j.

Visto como uma transformao linear em um espao vetorial Rn , o delta de ca c Krnecker no passa da matriz identidade n por n. Em nosso caso, vamos o a na maior parte do tempo utilizar os ndices variando de 1 a 3. Exerc cio 3 Mostre quen

a)j =1 n

ij vj = vi , ij ajk = aik ,

(para i xo). (para i e k xos).

b)j =1


11

O segundo objeto, o tensor totalmente anti-simtrico, ou tensor de Levie e Civita. Dados os ndices i1 , . . ., in , todos variando de 1 at n, denimos o e tensor totalmente anti-simtrico por e 0, Se existem k e l, tais que ik = il , 1, Se i1 . . . in uma permutao par de 1 . . . n, e ca = i1 in 1 Se i1 . . . in uma permutao e ca mpar de 1 . . . n. No decorrer de todo este curso, utilizaremos apenas o tensor anti-simtrico e para n = 3. Ao contrrio do delta de Krnecker, a no ser para n = 2, o a o a tensor totalmente anti-simtrico (que denominaremos a partir de agora por e tensor epsilon, ou simplesmente por epsilon) no pode ser visto facilmente a como uma matriz, mais precisamente, este objeto pode ser visto como um elemento no n-simo produto tensorial do espao Rn . e c Ao dizermos que uma permutao par ou ca e mpar, estamos nos referindo ao seguinte fato: Toda permutaao de n elementos pode ser escrita como c uma composiao de (n 1) permutaoes elementares si i = 1, . . . n 1 c c que troca os vizinhos nas posies i e i + 1. Assim uma permutao P pode co ca ser escrita como P = si1 . . . sik . A permutaao P ser par ou c a mpar dependendo do nmero k de geradores u necessrios para se escrever a permutaao. a c Exerc cio 4 Mostre que: a) si sj = sj si , para | i j | 2, b) si si = Id, i = 1, . . . , n, c) si si+1 si = si+1 si si+1 , i = 1 . . . n 1, Uma regra prtica para vericar se uma permutacao par ou impar a e e colocar a congurao inicial acima da congurao nal e ligar os elementos ca ca correspondentes tomando o cuidado de evitar que se cruzem mais de duas linhas de cada vez. O nmero de cruzamentos denir se a permutaao par u a c e ou mpar. No caso de n = 3 temos que as permutaoes pares de 123 so: c a 123, 231 e 312 e as permutaoes c mpares so: 213, 132 e 321. a Exerc cio 5 Mostre que


12

a) Os produtos vetoriais da base cannica dados em (1.2) podem ser reo sumidos na expresso a3

i j = e e

k=1

e ijkk .

(1.4)

b) Dados dois vetores v e w, a i-sima componente de v w na base e cannica pode ser escrita como o3

(v w)i = Exerc cio 6 Mostre que3

k=1

ijk vj wk .

(1.5)

a)k=13

ijk pqk = ip jq iq jp , ijk pjk = 2ip .

b)j;k=1

Exerc cio 7 Com as propriedades acima demonstradas do tensor ijk e com a expresso (1.5) refaa as propriedades do produto vetorial do exerc (2). a c cio

1.3

Transformaoes Ortogonais e Rotaes c co

Vimos que o espao euclidiano R3 est munido de um produto escalar, alis, c a a n possui a mesma estrutura, portanto podemos denir qualquer espao R c o que se segue para qualquer dimenso depois especicando para n = 3. a Vamos agora considerar as transformaes lineares que preservam o produto co escalar euclidiano, ou seja, as transformaoes A : Rn Rn tais que dados c quais quer dois vetores v e w tenhamos (Av) (Aw) = v w. Exerc cio 8 Mostre que uma transformao ortogonal no altera o mdulo ca a o de um vetor e nem o ngulo entre dois vetores. a Colocados em notao de ca ndices, podemos escrever o vetor v como v = (vi ), para i = 1, . . . n e a matriz A como A = (aij ), para i, j =


13

1, . . . n, assim, a i-sima componente do vetor transformado v0 = Av = e 0 ), pode ser escrita como (vi

0 vi =

n j =1

aij vj .

O produto escalar entre os vetores transformados v0 e w0 ento a e v0 w0 = =j;k=1 n i=1 n

0 0 vi wi =n

n i=1

n j =1

n

aij vjn

k=1

aik wk

=

vj

i=1 n i=1

aij aik

wk =

j =1

vj wj .

A ultima igualdade s pode ser satisfeita se o aij aik = jk .

Exerc cio 9 Mostre que esta ultima expresso equivale a dizer em termos a T = AT A = I, onde AT a transposta da matriz A, de matrizes que AA e e I a matriz identidade. e Denio 1 Uma matriz A dita ser ortogonal se sua inversa igual ` sua ca e e a T = AT A = I. transposta, isto AA e Exerc cio 10 Mostre que o conjunto das matrizes ortogonais em uma dada dimenso possui as seguintes propriedades: a a) E fechado por multiplicao matricial, isto , o produto de duas maca e trizes ortogonais tambm uma matriz ortogonal. e e b) Este produto associativo, isto , (AB)C = A(BC). e e c) A matriz identidade tambm ortogonal. e e d) Se uma matriz ortogonal, ento sua inversa tambm ortogonal. e a e e Exerc cio 11 Mostre que o determinante de uma matriz ortogonal s pode o ser 1 ou 1. Mostre tambm que o sub-conjunto das matrizes ortogonais e com determinante igual a 1 satisfaz `s propriedades a), b), c), d) do exerc a cio anterior.


14

Denio 2 Denominamos grupo a um conjunto G munido de uma opeca rao que a cada dois elementos quaisquer a, b G associa um outro eleca mento ab G tal que esta operacao seja 1. Associativa: (ab)c = a(bc). 2. Possua elemento neutro e G, tal que ea = ae = a, a G. 3. E qualquer elemento a G possua um inverso a aa 1 = a 1 a = e.1

G, tal que

o e Denio 3 O grupo das matrizes ortogonais em n dimenses denotado ca por O(n). O sub-grupo das matrizes ortogonais com determinante igual a um denotado por SO(n) e denominado grupo ortogonal especial. e e No decorrer deste minicurso, trataremos em detalhes as propriedades do grupo SO(3) que, veremos, corresponde ao grupo das rotaoes no espao c c euclidiano R3 usual. O momento angular ser uma grandeza f a sica associada com rotaoes em trs dimenses. c e o Bem, vamos agora estudar as rotaoes, veremos logo adiante que todas c as transformaes ortogonais especiais podem ser descritas como rotaes. co co Para dar in cio, vejamos como se processam as rotaoes em duas dimenses, c o ou seja, no plano. Tome um vetor v = (x, y) no plano e efetuemos uma rotaao se um ngulo s no sentido anti-horrio (esta ser a conveno para c a a a ca 0 = (x0 , y 0 ), conforme indicado na rotaoes positivas), resultando no vetor v c Figura 1.4:

y y s s0 x x

CAP ITULO 1. ROTACOES EM TRES DIMENSOES Figura 1.4: Uma rotaao plana de um ngulo s no sentido antic a horrio. a

15

Vejamos como as componentes de v0 se relacionam com as componentes de v. Podemos escrever as x e y em coordenadas polares x = v cos s0 ; y = v sin s0 ,

conforme ilustrado na Figura 1.4. Vamos assumir a princ que uma rotaao pio c no muda o comprimento de um vetor, o que bem razovel intuitivamente, a e a a seguir daremos uma prova mais concreta que uma rotaao de fato uma c e 0 podem ser escritas como transformaao ortogonal. As componentes de v c (veja a Figura 1.4 novamente) x0 = v cos(s + s0 ) = v cos s0 cos s v sin s0 sin s = = x cos s y sin s, 0 = v sin(s + s0 ) = v cos s0 sin s + v sin s0 cos s = y = x sin s + y cos s. Podemos resumir estas duas frmulas na expresso matricial o a x0 y0 = cos s sin s sin s cos s x y . (1.6)

ca e Exerc cio 12 Mostre que a matriz de rotao descrita em (1.6) uma transformao ortogonal especial de SO(2). ca O exerc acima mostra que toda rotaao em duas dimenses pertence cio c o a SO(2). Agora, podemos mostrar que toda transformao de SO(2) pode ca ser escrita como uma rotao. Basicamente, toda transformaao de SO(2) ca c uma matriz 2 por 2 e a b A= c d de determinante igual a 1, cuja transposta igual a sua inversa. e Exerc cio 13 Mostre que a condio AT = A ca b = c.1

implica em a = d e

CAP ITULO 1. ROTACOES EM TRES DIMENSOES Assim, temos de fato a matriz A= cujo determinante resulta em, a2 + b2 = 1. a b b a ,

16

Ento, podemos encontrar um ngulo s de forma a escrevermos a matriz A a a na forma descrita em (1.6). Vamos denotar por A = R(s). Exerc cio 14 Mostre que a composio de R(s) e R(t) igual ` rotao ca e a ca R(s + t). Exerc cio 15 Mostre que SO(2) um grupo Abeliano, isto , AB = BA e e para quaisquer A e B em SO(2). Vamos denir agora um novo objeto que ser importante nas discusses a o posteriores, trata-se do gerador innitesimal de rotaoes. No caso de SO(2) c temos somente um gerador innitesimal, dado por J = lim R0 (s) =s!0

dR(s) dss=0

=

0 1 1 0

.

(1.7)

Exerc cio 16 Utilizando a expresso da exponencial de uma matriz como a eA =

1

1

n=0 n!

An ,

mostre que toda rotao de SO(2) pode ser escrita como R(s) = esJ . ca Examinemos agora o que ocorre em dimenso trs: Em primeiro lugar, a e uma rotaao em dimenso trs sempre efetuada ao redor de um eixo, que c a e e e um vetor unitrio que denominaremos n. Relembremos que por convenao , a c as rotaoes so positivas quando tomadas no sentido anti-horrio. Quando os c a a eixos so os vetores da base cannica i , para i = 1, 2, 3, temos as rotaoes a o e c ao redor dos eixos x, y e z, respectivamente.


17

Exerc cio 17 Mostre que as matrizes de rotao ao redor dos eixos x, y, e ca z no sentido anti-horrio de um ngulo s, so respectivamente a a a 1 0 0 cos s 0 sin s 0 1 0 , R1 (s) = 0 cos s sin s , R2 (s) = 0 sin s cos s sin s 0 cos s cos s sin s 0 R3 (s) = sin s cos s 0 . 0 0 1 E mostre que elas so matrizes ortogonais. a Um fato menos trivial e que precisa ser provado que as rotaes em trs e co e dimenses tambm efetuam um grupo. Isto se compusermos uma rotaao o e e c ao redor de um eixo m de um ngulo s e aps aplicarmos uma rotao ao a o ca redor de um eixo n de um ngulo t, existir um eixo p e um ngulo r tal a a a que a composiao das duas rotaes anteriores ser uma rotao ao redor de c co a ca p por um ngulo r. Por enquanto vamos assumir que podemos compor duas a rotaoes, composiao esta vista apenas como multiplicaao de matrizes sem c c c termos a certeza de que esta composio trata-se, de fato, de uma rotaao. ca c fcil ver que ao contrrio das rotaes em duas dimenses, as rotaes E a a co o co em trs dimenses no comutam entre si. Para voc se convencer de que e o a e isto verdade, basta tomar, por exemplo, R1 (s)R2 (t) e voc ver que o e e a resultado diferente de R2 (t)R1 (s). ao fazer estas contas voc tambm e e e deve ter percebido que trabalhar diretamente com o grupo de rotaes torna co os clculos muito mais complicados, por isto vamos entender ao longo deste a curso como utilizarmos os geradores innitesimais. Exerc cio 18 Mostre que os geradores innitesimais de rotao Ri (s), i = 1, 2, 3, so respectivamente ca a 0 0 0 0 L1 = 0 0 1 , L2 = 0 0 1 0 1 0 1 0 L3 = 1 0 0 . 0 0 0 associados `s matrizes a 0 1 0 0 , 0 0

CAP ITULO 1. ROTACOES EM TRES DIMENSOES Exerc cio 19 Mostre que Ri (s) = esLi , para i = 1, 2, 3.

18

Exerc cio 20 Denindo o comutador de duas matrizes por [A, B] = AB BA, mostre as seguintes relaes de comutao: co ca3

[Li , Lj ] =

k=1

ijk Lk ,

para i, j = 1, 2, 3.

Note a semelhana formal entre estas relaes de comutao e as frmulas c co ca o do produto vetorial dos vetores da base cannica apresentados em (1.4). o Resta-nos agora descrevermos a matriz de rotao ao redor de um eixo ca arbitrrio, que escrito em coordenadas esfricas ca a e n = (sin cos , sin sin , cos ). Basicamente, a idia perceber que podemos obter o eixo n a partir do vetor e e 3 da base cannica, efetuando sobre este uma rotao de ao redor do eixo e o ca y e depois uma rotaao de ao redor do eixo z: c n = R3 ()R2 ()3 = R(, )3 . e e Exerc cio 21 Escreva a matriz R(, ) e sua inversa R responde ` transformao que leva o vetor n no vetor 3 . a ca e1

(, ), que cor-

Uma vez tendo estas matrizes de transformao, aplique R 1 (, ) de ca forma que o eixo de rotaao seja levado no vetor 3 , aplique a matriz R3 (s), c e onde s o ngulo de rotaao desejado e aplique en seguida R(, ), devole a c vendo tudo ` conguraao original, com uma unica diferena: tudo estar a c c a rotacionado de um ngulo s ao redor de n. Em resumo, a R~ (s) = R(, )R3 (s)R n1

(, ).

Note que escrevemos na ordem da direita para a esquerda, pois estas matrizes so aplicadas a vetores em R3 , ento a matriz que estiver mais ` direita ser a a a a aplicada primeiro. e Exerc cio 22 Escreva explicitamente a matriz R~ (s), e mostre que ela n ortogonal.


19

Note que a matriz de rotaao ao redor do eixo n s depende das mac o trizes Ri , denidas anteriormente, portanto, elas so como um conjunto de a geradores para todas as outras rotaes em R3 . Voc mais uma vez notou co e a diculdade para se escrever uma rotaao em geral. Ento vejamos como c a se escreve o gerador innitesimal para uma rotao ao redor de um eixo n. ca Basicamente temos a frmula o L~ = n dR~ (s) n dss=0

= R(, )L3 R

1

(, ).

Exerc cio 23 Mostre que se aplicarmos o gerador innitesimal L~ a um n vetor v R3 , teremos L~ v = n v. n Na literatura f sica, voc pode encontrar a seguinte armativa: uma roe taao de um ngulo innitesimal , ao redor de um eixo n aplicada em c a um vetor v igual a n v. e Como foi visto, as matrizes de rotacao Ri , i = 1, 2, 3, so matrizes de a SO(3), logo toda rotaao ao redor de um eixo tambm uma matriz de c e e SO(3), e portanto toda composiao de rotaoes. Falta-nos ver que toda c c matriz de SO(3) pode ser escrita como uma rotaao, o que vamos fazer nos c pargrafos que se seguem. a Proposio 1 Uma matriz A SO(3) possui um auto valor real positivo: ca Demonstrao: A matriz A possui um auto valor real devido ao fato ca da equaao caracter c stica, Det (A I) = 0, ser de grau trs, logo possui uma raiz real. Este auto valor real no nulo e e a devido ao fato do determinante de A ser igual a 1. Logo, se 1 , 2 e 3 so a os auto valores, o determinante pode ser escrito como DetA = 1 2 3 = 1. Se 1 R, e os outros dois auto valores so complexos, ento 3 = 2 , a a portanto 1 |2 |2 = 1, implicando que 1 > 0. Mesmo se todos os auto valores forem reais, no poder a amos ter todos negativos, caso contrrio o a


20

determinante seria negativo. Portanto, um dos auto valores de A real e e positivo Com este resultado, podemos reduzir a um problema bidimensional. Primeiramente, podemos fazer um reescalonamento no auto valores de forma que nosso auto valor real positivo seja igual a 1. Com esta escolha, podemos denir uma base 1 , 2 e n, onde n o auto vetor unitrio associado ao auto f f e a valor positivo de A. Como o produto dos outros dois auto valores tem que ser igual a 1, temos que a transformaao A restrita ao plano 1 e 2 uma c f f e transformaao de SO(2). Assim, existe um ngulo s tal que a matriz A c a pode ser escrita como cos s sin s 0 A = sin s cos s 0 . 0 0 1 O vetor n ento o eixo desta rotaao. Somente para amarrarmos uma ponta a e c solta, observamos que toda transformaao de SO(3) pode ser escrita como c uma rotao, como SO(3) um grupo, ento podemos garantir que o conjunca e a to das rotaes em R3 tambm um grupo, alis isomorfo ao grupo SO(3). co e e a Por dois grupos isomorfos, entendemos que existe uma correspondncia um e a um entre eles e que as composies em um so mapeadas exatamente nas co a composioes do outro. Maiores detalhes sero vistos no cap c a tulo 4.

Cap tulo 2 O Momento Angular na Mecnica Clssica a aNeste cap tulo, veremos a deniao de momento angular que uma quantic e dade conservada sempre onde h simetria de rotaes. O momento angular a co tambm esta diretamente relacionado, como veremos adiante, com os gerae dores innitesimais de rotaao. c

2.1

O Momento Angular

O momento angular uma grandeza que s est bem denida em R3 . A e o a partir de agora, denotaremos a posio de uma part ca cula em R3 pelo seu raio vetor r = (x1 , x2 , x3 ). De fato, ao descrevermos o movimento assumimos que este raio vetor uma funo do tempo: e ca r = r(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t)). O vetor velocidade da part cula ser denotado por a dr v=r= = v(t) = (v1 (t), v2 (t), v3 (t)). dt Exerc cio 24 Mostre que se os vetores v e w possuem dependncia temporal e ento a d (v w) = v w + v w, dt d (v w) = v w + v w, dt 21

CAP ITULO 2. O M.A. NA MECANICA CLASSICA

22

Por questo de simplicidade na escrita, omitiremos a dependncia tema e poral das grandezas, muito embora esta sempre esteja subentendida. Mais importante que simplesmente o vetor velocidade o vetor momento e p = mv, onde m a massa da part e cula em questo. Para um sistema de N part a culas, indicaremos por um outro ndice os vetores posiao e momento de cada uma c das part culas, ra e pa , onde a um e ndice que varia de 1 a N . Todas as grandezas f sicas descritas neste cap tulo tambm podem ser denidas para e um sistema de N part culas. Em virtude do carter vetorial das grandezas, a a quantidade total relativa ao sistema sempre a soma das quantidades e individuais de cada um dos componentes. Assim sendo, o momento total de um sistema de N part culas pode ser escrito comoN N

ptotal =

a=1

pa =

a=1

ma v a .

Para um sistema de N part culas, interessante trabalhar com as coordenae das do centro de massa: N ma ra R = a=1 . (2.1) N a=1 ma assim, as posioes das part c culas podem ser escritas como ra = R + r0 a da mesma forma, os vetores velocidade

0 va = V + va ,onde V a velocidade do centro de massa relativa ` origem do sistema de e a coordenadas. O momento total tambm pode ser decomposto eN N

ptotal = =

a=1 N a=1

ma va = ma V +

a=1 N

0 ma V + v a =N a=1 a = Pcm +

a=1

ma v 0

p0 , a


23

onde Pcm o momento do centro de massa e p0 o momento de cada e a e part cula relativo ao centro de massa. A segunda lei de Newton consiste em armar que a variaao do momento c em relaao ao tempo igual ` resultante de todas as foras agindo sobre o c e a c sistema: dp(t) p= = mv = F. (2.2) dt No havendo foras agindo sobre a part a c cula, seu momento permanece inalterado, ou seja a part cula continua ou em repouso ou em movimento retil neo uniforme (dependendo do referencial). Esta uma formulaao poss da lei e c vel da inrcia. e Se as foras do sistema podem ser expressas como o gradiente de uma c funao escalar U (potencial) que s dependa das posioes, isto , que no c o c e a possua dependncia expl e cita em termos das velocidades ou do tempo (ou seja U = U (r)) ento o sistema dito conservativo. A quantidade conservada a e a energia total do sistema. A demonstraao a seguir para o caso de e c e uma part cula, para um sistema de N part culas basta tomar-se o cuidado de se considerar as coordenadas de cada uma das part culas como variveis a independentes ( o mesmo que dizer que o espao em considerao possui e c ca 3N dimenses). o ca c Teorema 2 (Conservao da Energia) Se a fora resultante agindo sobre um sistema pode ser escrita como F = U, para U = U (r), ento a energia total a E= 1 2 mv 2 + U

(onde v 2 = v v) conservada, ou seja E = 0. e Demonstrao: ca E = mv v + U v = mv + U v =0

Denio 4 O momento angular de uma part ca cula em R3 denido como e o vetor L = r p.


24

Devido ao carter vetorial do momento angular, tambm o momento ana e gular total de um sistema igual ` soma dos momentos angulares de seus e a componentesN N

Ltotal =

a=1

La =

a=1

ra pa .

O momento angular de cada part cula de um sistema tambm pode ser dee composto em um momento angular do centro de massa e no momento angular relativo ao centro de massa:N N

Ltotal =

a=1

ma (ra va ) =N a=1 N

a=1

0 ma R + r 0 V + v a = aN a=1

= R(N

ma V) + R (

0 ma va ) +

+a=1

ma r0 V + a

a=1

0 r0 ma va . a

O primeiro termo o momento angular do centro de massa, o quarto termo e a soma dos momentos angulares relativos. O segundo e o terceiro termos e so iguais a 0, pois aN a=1

ma r0

N a=1

N

N

a=

ma (ra R) =

a=1

ma ra

a=1

ma R = 0,

pela denio de centro de massa em (2.1). Da mesma forma caN a=1

ma v 0

ma r0 = 0. a = dt a a=1 dN

N

Assim, temos Ltotal = Lcm +

a=1

r 0 p0 . a a

Com isto, discutiremos toda a f sica apenas em relaao ao centro de massa c sem perda de generalidade. Um ultimo aspecto do momento angular que poss discutir somente e vel no contexto da formulaao Newtoniana da mecnica clssica o fato que c a a e


25

se o potencial possui dependncia funcional apenas do comprimento do raio e (potencial central), ento o momento angular conservado. Isto facilmente a e e visto: L = r mv + r p = dU (r) = mv v + r r = 0, (2.3) dr onde r = r r. As propriedades do momento angular associadas com simetria podem ser vistas melhor nas formulaoes Lagrangeana e Hamiltoniana da mecnica c a clssica. a

2.2

Simetria e Leis de Conservao ca

A formulaao Lagrangeana da mecnica clssica muito mais apropriada c a a e para se explorar as propriedades geomtricas de uma sistema mecnico. De e a in cio abandona-se o v nculo com as coordenadas cartesianas, possibilitando escrever as equaes de movimento em qualquer sistema de coordenadas co que se desejar. Em uma linguagem mais moderna, esta uma formulao e ca adequada para se trabalhar sobre variedades diferenciveis, muito embora a variedades estejam por trs de muitas contrues que vamos fazer no decora co rer deste minicurso, no vamos discutir variedades a fundo devido ao grande a nmero de detalhes tcnicos que fugiriam ao nosso escopo e nos tomariam u e um enorme tempo. Vamos denotar as coordenadas generalizadas por qi , note que at aqui no zemos qualquer restriao quanto ` dimenso do sistema, e a c a a portanto o ndice i pode variar de 1 at uma dimenso n, esta dimenso dee a a pende do sistema tratado. O espao onde so denidas nossas coordenadas c a generalizadas ser denominado espao de conguraoes do sistema M . As a c c velocidades associadas a estas coordenadas generalizadas sero escritas como a qi . Em seguida, para caracterizarmos um sistema mecnico, denimos uma a funao escalar denominada Lagrangeana do sistema, que pode depender exc plicitamente das coordenadas, das velocidades e do tempo L = L(q, q, t), onde entenda-se a dependncia em todas as componentes qi e qi . No caso e da mecnica Newtoniana, a Lagrangeana do sistema pode ser escrita como a a

CAP ITULO 2. O M.A. NA MECANICA CLASSICA diferena entre a energia cintica e a petencial c e L= 1 2 mv 2 U = T U.

26

(2.4)

Por ultimo, precisamos por as coisas para funcionar, para isto precisamos de equaes de movimento. As equaoes de movimento so derivadas a partir co c a de um princ pio variacional, que passaremos a discutir agora. Considere o espao de todas as curvas denidas no espao de conguraoes c c c M C[M ] = Span { : [a, b] M |a, b R} Dena a ao como um funcional linear que a cada curva C[M ] associa ca o nmero u S[] = L, entenda-se esta integral como S[] =b a

L(q(t), q(t), t)dt,

onde t o parmetro da curva (que vamos confundir com o tempo), ou seja e a = (t) e q(t) e q(t) so as coordenadas e velocidades medidos sobre a a imagem da curva em M . Dados dois pontos A e B em M , vamos considerar o sub-espao das curvas cujas extremidades so A e B, ou seja c a C[A, B] = Span { C[M ]|(a) = A, e (b) = B}

Podemos perguntar: De todas as curvas C[A, B], qual a curva que minimiza o valor da aao S? O princ c pio variacional diz que a curva que minimiza a aao a trajetria real do sistema f c e o sico, o problema de encontrar esta curva minimizadora equivalente ao de resolver as equaoes de e c movimento. O clculo variacional, que a tcnica matemtica de resolver o problema a e e a da curva minimizadora, envolve o conceito de derivada funcional, que possui uma quantidade de sutilezas tcnicas que nos tomariam um grande tempo e e esforco e nos desviariam do objetivo deste curso. Por isto, vamos considerar uma formulaao simplicada de apelo intuitivo e que evita discusses c o aprofundadas sobre o clculo funcional. Enm, se queremos encontrar um a m nimo, devemos encontrar uma curva sobre a qual o valor da derivada de S


27

seja igual a zero. Derivada em relaao a qu? A curvas obviamente. Suponha c e que a curva 0 seja sua soluao. Ento tome uma variao innitesimal c a ca arbitrria . Em cada instante t [a, b], a curva 0 + possuir a a coordenadas qi (t) + qi (t) e velocidades qi (t) + qi (t). Note que qi (a) = qi (b) = 0 pois todas as curvas possuem as mesmas extremidades. Portanto, queremos que S[0 ] = S[0 + ] S[0 ] = 0. Basicamente, podemos tratar tudo dentro da integral S[0 ] = =b

a b n

{L(q(t) + q(t), q(t) + q(t), t) L(q(t), q(t), t)} dt L qi qi + L qi qi dt,

a i=1

efetuando uma integrao por partes no ultimo termo na integral, obtemos ca S[0 ] = +i=1 b n a i=1 n

L qi qi L

b a

d dt .

L qi

qi dt +

qi

O ultimo termo igual a zero pois qi (a) = qi (b) = 0. Portanto temos e que b n L d L S[0 ] = qi dt = 0 dt qi a i=1 qi para uma variao arbitrria , assim a unica soluo poss para o proca a ca vel blema a soluo da equao diferencial e ca can i=1

L qi

d dt

L qi

= 0.

(2.5)

Esta a equao de Euler Lagrange. e ca Exerc cio 25 Mostre que para um sistema conservativo com a lagrangeana (2.4) e com a dependncia de U apenas nas coordenadas e sendo as coordenae das qi = xi e as velocidades qi = vi temos que a equao de Euler-Lagrange ca (2.5) igual ` segunda lei de Newton (2.2). e a


28

Denio 5 Dado um sistema mecnico lagrangeano com coordenadas qi e ca a lagrangeana L, denimos os momentos canonicamente conjugados `s coora denadas qi como sendo L pi = . (2.6) qi Na mecnica lagrangeana podemos mais facilmente identicar as simetria as do sistema e construir quantidades conservadas a partir das simetrias. Um primeiro exemplo de simetria a homogeneidade temporal. Suponha que a e Lagrangeana do sistema nao possua dependncia expl e cita no tempo, isto e L tn

= 0.

Ento podemos associar uma quantidade conservada. Primeiro note que a dL dt =i=1 n

L qi d dt d dt

qi + L qi

L qi

qi

+ L qi

L t qi

= =

=i=1 n

qi +

=i=1

L qi

qi .

Onde utilizamos a equaao (2.5) na segunda igualdade. Logo, temos que c d dtn i=1

pi qi L

= 0,

portanto uma quantidade conservada. Esta quantidade conservada denoe minada Hamiltoniana do sistema, ou energia total. Exerc cio 26 Mostre que para a lagrangeana (2.4) a Hamiltoniana do sistema nada mais que a energia e E= 1 2 mv 2 + U = 1 2m p2 + U


29

Denio 6 Denimos por simetria de um sistema Lagrangeano toda aplica cao diferencivel e com inversa diferencivel (difeomrsmo) f : M M , ca a a que preserva a Lagrangeana, isto e L(f (q), f(q), t) = L(q, q, t). No dif vericar que o conjunto das simetrias de um sistema laa e cil grangeano forma um grupo, pois a composiao de duas simetrias continua c sendo uma simetria, a composiao associativa, a transformao identidade c e ca tambm uma simetria e como simetrias so difeomorsmos, ento possuem e e a a inversa, que tambm so simetrias. e a a e lia Denio 7 Um subgrupo a um parmetro de difeomorsmos uma fam ca de difeomorsmos em M GR = {(s), s R|(0) = Id, (s)(t) = (s + t)} .

Todo subgrupo a um parmetro de difeomorsmos possui seu gerador a innitesimal d(s) = . ds s=0 E todo elemento do subgrupo a um parmetro de difeomorsmos pode ser a escrito como a exponencial (s) = es . Agora, temos o selemento snecessrios para enunciarmos um dos resultaa dos mais importantes da Mecnica Lagrangeana, o Teorema de Noether. a Teorema 3 (Noether) A todo subgrupo a um parmetro de difeomorsmos a que so simetrias da Lagrangeana est associado uma quantidade conservada. a a Demonstrao: Seja um nmero > 0 tal que 2 desprez ca u e vel. Considere o subgrupo a um parmetro de difeomorsmos tal que i (0) = qi e a i (0) = qi . A variao da lagrangeana ao longo do subgrupo GR nula, ca e pois os difeomorsmos so simetrias. Portanto a 0 = L = L(( ), ( )) L((0), (0)) =n

dL ds s=0s=0

+ O( 2 ) =

=i=1

L i (s)

di (s) dss=0

+

L di (s) i (s) ds

=

CAP ITULO 2. O M.A. NA MECANICA CLASSICAn

30

=i=1

L di (s) qin i=1

ds ds

s=0

+ ,

L di (s) qi dss=0

= (2.7)

=

d dt

L di (s) qi

onde novamente utilizamos a equao de movimento (2.5) na ultima igualdaca de. Portanto, como arbitrrio, temos e a d dtn i=1

L di (s) qi ds

=

d dt

n i=1

pi

di (s) ds

= 0,

que a nossa lei de conservaao e c Vamos analisar agora dois exemplos importantes. Em primeiro lugar, considere o grupo a um parmetro de difeomorsmos que gera translaoes na a c e i-sima coordenada, j (s) = qj + ij s. Assim dj (s) = ij .

ds s=0 E nossa quantidade conservada igual a en j =1

pj

dj (s) ds

n

=j =1

pj ij = pi .

Isto signica que se as translaes em uma dada direao so uma simetria da co c a Lagrangeana, ento o momento naquela direao conservado. a c e Como um segundo exemplo, considere o subgrupo a um parmetro de a difeomorsmos constituido de rotaoes ao redor de um eixo n R3 . c (s) = R~ (s)r. n Como vimos no primeiro cap tulo, temos que d(s) dss=0

= n r.

E portanto nossa quantidade conservada e p (n r) = n (r p) ,


31

que a componente do momento angular na direao n. e c Como voc pode ver nesta seao, o momento angular uma quantidade e c e conservada associada ` simetria de rotao segundo o teorema de Noether. a ca Veremos agora uma outra perspectiva onde o momento angular aparece tambm como um gerador innitesimal de simetrias. e

2.3

O Formalismo Hamiltoniano e Transformaes Cannicas co o

Enquanto a mecnica Lagrangeana est denida em um espao n dimensioa a c nal, o espao de conguraes , a mecnica Hamiltoniana est denida em c co a a um espao 2n dimensional compreendendo as n variveis de posiao qi e as c a c n variveis de momento pi . Este espao denominado espao de fase e ser a c e c a denotado por . Tambm temos uma funao escalar que descrever o sistema e c a mecnico e que denir as equaoes de movimento para as variveis qi e pi . a a c a Esta funao escalar denominada Hamiltoniana, H(q, p, t). O ponto de c e contato com o formalismo anterior dado pela denio de momento (2.6) e e ca pela expresso an

H =i=1

pi qi L.

(2.8)

Em uma linguagem matematicamente mais precisa, dizemos que a Hamiltoniana a transformada de Legendre da Lagrangeana. e As equaoes de movimento para qi e pi podem ser obtidas considerandoc se a derivadan

dH =i=1

H qi

dqi +

H pi

dpi

+

H t

dt.

Por outro lado, da relaao (2.8), temos cn

dH =i=1

pi dqi + qi dpi dt.

L qi

dqi

L qi

d qi

L t


32

Comparando-se as duas expresses para dH, temos a relaao do momento o c (2.6) e as equaoes c , pi H , pi = qi H L = . t t qi = H

(2.9)

A segunda equao foi obtida considerando-se a relaao (2.6) e a equaao de ca c c movimento (2.5): L pi = . qi As equaes (2.9) so conhecidas como equaoes de Hamilton e determico a c nam completamente a dinmica do sistema. Podemos analisar a evoluo a ca temporal de qualquer funao real f denida no espao de fase. Basicamente, c c temos df dtn

=i=1 n

f qi

qi +

f pi ,

pi

+

f t +

= f t = (2.10)

=i=1

f H qi pi f t

f H pi qi

= {f, H} +

onde os parnteses so os assim denominados parnteses de Poisson que para e a e duas funoes f e g se escreve cn

{f, g} =i=1

f g qi pi

f g pi qi

.

(2.11)

Exerc cio 27 Mostre as seguintes propriedades dos parnteses de Poisson: e a) Bilinearidade: {f, g + h} = {f, g} + {f, h} , {f + g, h} = {f, h} + {g, h} , {f, g} = {f, g} = {f, g} .

CAP ITULO 2. O M.A. NA MECANICA CLASSICA b) Anti-Simetria: {f, g} = {g, f } . c) Identidade de Jacobi: {f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0. d) Derivao: ca {f, gh} = g {f, h} + {f, g} h, {f g, h} = f {g, h} + {f, h} g. Exerc cio 28 Mostre a relao fundamental dos parnteses de Poisson; ca e {qi , qj } = 0, {pi , pj } = 0, {qi , pj } = ij

33

(2.12)

Devido ` anti-simetria dos parnteses de Poisson, podemos ver que se a a e Hamiltoniana no possui dependncia expl a e cita no tempo ento ela consera e vada, ou seja dH H H = {H, H} + = . dt t t Tambm podemos escrever as equaoes de Hamilton (2.9) como e c qi = {qi , H} , pi = {pi , H} . (2.13)

O problema das simetrias em um sistema mecnico tambm pode ser traa e duzido para o formalismo Hamiltoniano. Primeiramente devemos considerar os difeomorsmos em que transformem as coordenadas q e p em novas coordenadas Q e P tais que exista uma nova funao Hamiltoniana K de c forma a obedecerem `s equaoes de Hamilton a c Qi = K Pi , Pi = K Qi .

Uma transformaao deste tipo denominada transformaao cannica. Dizer c e c o que as duas Hamiltonianas geram a mesma dinmica equivalente a dizer a e que as aes co S=b n a i=1

p i qi H

CAP ITULO 2. O M.A. NA MECANICA CLASSICA eb n a i=1 b dF a dt

34

S0 =

Pi Qi K

diferem por um termo de fronteira ou por uma derivada total, isto e S S0 = dt = F (b) F (a).

A funao F , denominada funao geratriz da transformao cannica. A c e c ca o priori, a funao F deveria depender explicitamente de todas as coordenadas, c ou seja F = F (q, p, Q, P, t), mas devido ` relaao a cn i=1 n

pi qi H =

i=1

Pi Qi K +

dF dt

,

(2.14)

podemos concluir que F pode ser de um dos seguintes tipos: F1 (q, Q, t), F2 (q, P, t), F3 (p, Q, t), F4 (p, P, t).

Por exemplo, se utilizarmos uma funao geratriz do tipo F1 e substituirmos c em (2.14), teremosn i=1 n

pi qi H =

i=1

Pi Qi +

F1 qi

qi +

F1 Qi

Qi

K+

F1 t

.

De onde podemos deduzir as expresses o K = H+ pi = F1 F1 t ,

, qi F1 . Pi = Qi A funo F2 pode ser obtida como uma transformada de Legendre de F1 : ca Assumindo-se que F1 , Pi = Qi

CAP ITULO 2. O M.A. NA MECANICA CLASSICA Temos ento a F2 =i=1 n

35

Pi Qi + F1 .

Substituindo em (2.14), obtemosn i=1 n

pi qi H = +

i=1

Pi Qi + Pi Qi + Pi Qi Qi ) K + F1 t ,

F1 qi

qi + (2.15)

F1

Qi

de onde temos as expresses o K = H+ pi = Qi = F2 qi F2 Pi , . F2 t =H+ F1 t ,

As Funoes F3 e F4 tambm podem ser obtidas como transformadas de Lec e gendre da mesma forma. Vamos considerar alguns exemplos de transformaoes cannicas. Primeic o ramente o exemplo mais simples, a transformaao cannica gerada por c on

F2 =i=1

qi Pi .

Ento, podemos escrever as relaoes a c pi = Qi = F2 qi F2 = Pi , = qi ,

Pi K = H.

Esta a transformao identidade. e ca


36

Um exemplo um pouco mais elaborado so as transformaoes de coordea c nadas, Q = f (q, t). Podemos escrever a funao geratriz cn

F2 =i=1

fi (q, t)Pi ,

cujas relaoes resultam em c pi = Qi = F2 qi F2 Pi = f qi Pi ,

= fi (q, t), f t .

K = H+

Exerc cio 29 Mostre que se f uma transformao ortogonal, isto , e ca en

Qi =

j =1

aij qj ,

onde a matriz A = (aij ) ortogonal, ento os momentos tambm se transe a e formam segundo a mesma transformao ortogonal, isto ca en

Pi =

j =1

aij pj .

Por ultimo, uma tranformaao que troca os papis das coordenadas e c e momentos, gerada pela funao cn

F1 =i=1

q i Qi .

As relaoes se escrevem c = Qi , qi F1 Pi = = qi , Qi K = H. pi = F1


37

Para nalizarmos, vamos considerar agora as transformaoes cannicas c o innitesimais Qi = qi + qi , Pi = pi + pi . Seja um nmero u > 0 de quadrado desprez vel, e considere a funo geratriz can

F2 =i=1

qi Pi + G(q, P ).

Note que se = 0, a funo geratriz F2 gera a transformaao identidade. ca c novamente, podemos escrever as relaoes c pi = Qi = F2 qi F2 Pi = Pi + = qi + G pi . G qi G Pi , =

= qi +

a segunda igualdade foi considerada porque o prximo termo na derivada em o 2 relaao a Pi seria da ordem , que estamos considerando desprez c vel. Em resumo, temos a transformaao c Pi = pi Qi = q i + G qi G pi , .

Consideremos um exemplo importante, a transformaao innitesimal gec rada pela Hamiltoniana G = H(q, p) por um intervalo de tempo = dt, ento a pi = Pi pi = dt = pi dt, qi H qi = Qi qi = dt = qi dt. pi H

Assim, a Hamiltoniana realmente gera a evoluo temporal, esta, por conca trapartida, uma transformao cannica. e ca o


38

Vejamos o que ocorre com uma funao arbitrria f (q, p) quando submec a tida a uma transformaao cannica innitesimal; c o f = f =i=1

qi +n

G

pi f G

, pi

G

qi f G

f (qi , pi ) = = (2.16)

qi pi

pi qi

=

{f, G} .

Agora podemos voltar ` questo de simetrias na mecnica Hamiltoniana. As a a a simetrias so as transformaes cannicas que preservam a Hamiltoniana. a co o Pela expresso (2.16), as simetrias so geradas por funoes cujos parnteses a a c e de Poisson com a Hamiltoniana se anulam. Por outro lado, a expresso (2.10) a nos mostra que as funes que possuem os pernteses de Poisson nulos com a co e Hamiltoniana so quantidades conservadas. Logo, aqui est uma formulaao a a c um pouco modicada do teorema de Noether para a mecnica Hamiltoniana: a Teorema 4 As funes geratrizes de transformaes cannicas de simetria co co o so quantidades conservadas a Consideremos mais dois exemplos de transformaoes cannicas innitesic o mais. O primeiro exemplo dado pela translaao na i-sima coordenada e c e Qj = qj + ij , Pj = pj .

a E fcil ver que a funao geratriz desta transformao dada por c ca e G = pi , ou seja, a i-sima componente do momento o gerador innitesimal das e e translaoes na i-sima coordenada. c e Considere agora uma rotao no eixo z de um ngulo , ento ca a a X1 = x1 x2 , X2 = x 2 + x 1 , X3 = x 3 . Tambm sem muita diculdade, podemos ver que a funo geratriz desta e ca tranformaao c e G = x1 p2 x2 p1 = L3 .


39

Exerc cio 30 Mostre que para uma transformao cannica correspondendo ca o a uma rotao innitesimal ao redor do eixo n, a funo geratriz ser ca ca a G = L n. Logo, o momento angular o gerador innitesimal das rotaoes, considee c radas como tranformaes cannicas. co o e Exerc cio 31 Mostre que os parnteses de Poisson entre as componentes do momento angular se escrevem3

{Li , Lj } =

k=1

ijk Lk .

(2.17)

Note a semelhana existente entre esta lgebra e a lgebra gerada pelos c a a vetores da base cannica de R3 pelo produto vetorial. o

Cap tulo 3 O Momento Angular em Mecnica Quntica a aComo vimos no cap tulo anterior, o momento angular pode ser visto como uma quantidade conservada decorrente da isotropia espacial bem como pode ser visto como um gerador innitesimal de rotaoes vistas como transforc maoes cannicas no espao de fase. Neste cap c o c tulo veremos a teoria do momento angular em mecnica quntica e a teoria do spin, que pode ser a a entendido sicamente como um momento angular intr nseco das part culas. Ambas as teorias esto relacionadas com representaoes de lgebras de Lie. a c a

3.1

Do Clssico ao Quntico a a

Um sistema quntico caracterizado por seu espao de estados. Um estado a e c uma conguraao f e c sica poss que o sistema pode assumir e basicamente vel descrito como um vetor em um espao de Hilbert. e c Denio 8 Um espao vetorial H sobre C um espao de Hilbert se est ca c e c a munido de uma forma sesquilinear | : H H C, (v, w) v|w (3.1) obedecendo a) u + v|w = u|w + v|w , 40

CAP ITULO 3. O M.A. EM MECANICA QUANTICA u|v + w = u|v + u|w , u|w = v|w , C v|w = w|v . v|v 0v H, v|v = 0 v = 0.

41

b) c)

Com a condio adicional que H seja um espao completo pela norma deca c nida por | . Exerc cio 32 Mostre que u|w = v|w , C.

Denotaremos os estados f sicos por | . Esta a notaao padro encone c a trada nos livros de mecnica quntica e denominada notao de bras e a a e ca kets. Um bra na verdade um vetor do espao vetorial dual a H, que e c devido ` forma sesquilinear pode ser identicado com H. Os bras so dea a notados como | que quando aplicados a um ket formam um bracket (parnteses), que dado pela forma sesquilinear e e | . Falando mais rigorosamente, um estado um raio no espao de Hilbert pois e c os vetores | e | para C constituem o mesmo estado. Assim, o espao de estados um espao projetivo, mas no vamos entrar em detalhes c e c a quanto a isto. Durante todo este cap tulo, consideraremos nosso espao de Hilbert como c o espao das funoes a valores complexos e de quadrado integrvel em R3 , c c a 2 3 denotado por L (R ), ou algum sub-espao de dimenso nita do mesmo. c a Por quadrado integrvel queremos dizer que a funo = (x), onde a ca x = (x1 , x2 , x3 ) R3 possui a integral

R3

|(x)|2 d3 x =

1 1

dx1

1 1

dx2

1 1

dx3 |(x1 , x2 , x3 )|2 < .

O produto escalar entre dois estados | e | dado por e | =

R

(x)(x)d3 x.3

(3.2)

CAP ITULO 3. O M.A. EM MECANICA QUANTICA

42

Mais adiante esclareceremos um pouco mais o que pareceu uma confuso de a notaao entre estados e funes. c co Em segundo lugar, os observveis em mecnica quntica sero operadores a a a a auto-adjuntos, ou Hermitianos, sobre o espao H. c Denio 9 Seja H, um espao de Hilbert. Seja tambm um operador A : ca c e H H. O hermitiano conjugado de A o operador Ay denido pela e relao ca Ay v|w = v|Aw . Dizemos que A hermitiano se Ay = A, anti-hermitiano se Ay = A e e unitrio se Ay = A 1 . a

Exerc cio 33 Mostre que se um operador hermitiano ento seus autoe a valores so nmeros reais. a u Exerc cio 34 Mostre que dois auto-vetores de um operador hermitiano com auto valores distintos so ortogonais. a Os operadores hermitianos so importantes devido ` sua propriedade de a a possuirem auto-valores reais. Os auto valores so os poss a veis valores que podem ser obtidos de uma medida f sica do observvel em questo. Tambm a a e temos este resultado importante da teoria de operadores, que utilizaremos sem prova, conhecido como teorema espectral. Teorema 5 Todo operador hermitiano em um espao de Hilbert dene uma c base ortonormal de auto-vetores neste espao c Assim, um estado normalizado | pode ser expandido em uma base de auto estados |n de um certo operador A, | =n

an |n .

As quantidades 0 |an |2 1 so interpretadas como probabilidades do a estado | , estar no estado |n . As interpretaes probabil co sticas das normas dos estados junto com a interpretao dos auto valores dos operadores ca hermitianos como as poss veis medidas f sicas do todo o contedo f a u sico do sistema quntico. a


43

A conexo com a mecnica clssica feita associando-se a cada observvel a a a e a de forma que o limite clssico clssico f (q, p) um operador auto adjunto f a a do comutador entre dois operadores, f , g = f g gf , seja igual ao valor dos parnteses de Poisson dos observveis clssicos assoe a a ciados. Em outras palavras, temos

~!0

lim

1

f, g = f, g .

(3.3)

Em particular, para os operadores associados ` posiao, Qi , e momento, a c Pj teremos a seguinte relaao de comutao, baseada na expresso (2.12) c ca a [Qi , Qj ] = 0, [Pi , Pj ] = 0, [Qi , Pj ] = ij .

(3.4)

Exerc cio 35 Mostre que o comutador entre dois operadores obedece `s mesa mas propriedades que os parnteses de Poisson apresentadas no cap e tulo anterior, a saber: bilinearidade, anti-simetria, indentidade de Jacobi, e derivao. ca At o momento, voc viu vrios exemplos do mesmo objeto matemtico, e e a a vale a pena agora uma pausa para uma deniao formal: c Denio 10 Uma lgebra de Lie um espao vetorial L munido de uma ca a e c operao bilinear e anti-simtrica ca e [, ] : L L L (v, w) [v, w], (denominada parnteses de Lie) satisfazendo ` identidade de Jacobi. e a Veja que na denio no exigimos que os parnteses de Lie tambm sejam ca a e e uma derivaao, o que ocorre em uma srie de exemplos, mas no em outros. c e a Como exemplos de lgebras de Lie podemos citar o espao R3 com o produto a c vetorial , o espao vetorial das funoes innitamente diferenciveis denidas c c a


44

no espao de fase, denotado por C 1 (), com os parnteses de Poisson e os c e operadores lineares sobre um espao de Hilbert (se for em dimenso nita, c a podemos falar tambm em termos de matrizes n n) com o comutador. e Voltando ao nosso exemplo principal no espao L2 (R3 ). Como os opec radores posiao comutam entre si pelas relaoes em (3.4), podemos escolher c c estados que sejam simultaneamente auto estados de X1 , X2 e X3 . Denominamos estes estados |x1 , x2 , x3 , tais que X1 |x1 , x2 , x3 X2 |x1 , x2 , x3 X3 |x1 , x2 , x3 = x1 |x1 , x2 , x3 , = x2 |x1 , x2 , x3 , = x3 |x1 , x2 , x3 .

Estes estados so as funes localizadas no ponto (x1 , x2 , x3 ) tais que a a co integral de seu mdulo ao quadrado em todo espao seja igual a 1. Outra o c forma de dizer o mesmo que e x1 , x2 , x3 |x0 , x0 , x0 = (x1 x0 )(x2 x0 )(x3 x0 ), 1 2 3 1 2 3 onde (xi x0 ) a funao Delta de Dirac. Assim, dado um estado c i e normalizado | , denimos a funo de onda a ele associada por ca (x1 , x2 x3 ) = x1 , x2 x3 | , e seu complexo conjugado por (x1 , x2 x3 ) = |x1 , x2 x3 . Assim, o estado | pode ser escrito como | = (x1 , x2 x3 )|x1 , x2 x3 . (3.5)

Exerc cio 36 Mostre que o operador identidade pode ser expandido nos auto estados de posio |x1 , x2 , x3 como ca Id =

1 1

dx1

1 1

dx2

1 1

dx3 |x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3 |.

Sugesto: Opere em algum estado | e compare com a frmula (3.5). a o


45

Exerc cio 37 Com o auxlio do operador identidade, explique melhor a frmula o (3.2). Nesta base de auto estados de posio, os operadores de momento Pi se ca realizam como . (3.6) Pi = xi Exerc cio 38 Mostre que os operadores Xi e Pj , conforme denido em (3.6), obedecem `s relaes de comutao (3.4). Sugesto: Aplique em um a co ca a estado expandido em termos das funes de onda como em (3.5). co Para encerrarmos esta seo. Precisamos de mais um ca tem, as simetrias e a evoluo temporal. Bem as simetrias de um sistema quntico so dadas ca a a pelos operadores unitrios, pois eles preservam a forma sequilinear. a Exerc cio 39 Demonstre o fato que os operadores unitrios preservam a a forma sesquilinear: A|A = | . A evoluao temporal baseada na mecnica clssica, onde a Hamiltoniana c e a a gera a evoluo temporal do sistema. Basicamente traduz-se a Hamiltoniana ca clssica no operador quntico correspondente (nem sempre isto trivial, pois a a e h problemas com o ordenamento) e ento postula-se que evoluao temporal a a c de um estado quntico seja dada por a | . (3.7) t A equaao (3.7) conhecida como a equaao de Schrdinger e compat c e c o e vel com a equao de Heisenberg para a evoluo temporal de operadores ca ca A, H , (3.8) dt que nada mais que a traduo da equao de evoluao clssica (2.10) para o e ca ca c a caso quntico. Estas so duas perspectivas diferentes para a evoluao tempoa a c ral na mecnica quntica conhecidas como picture de Schrdinger e picture a a o de Heisenberg. Enquanto o primeiro estabelece a evoluao dos estados e os c operadores xos, o segundo considera a evoluao temporal dos operadores, c atuando em um espao xo de estados. A conexo entre os dois pictures est c a a no valor esperado de um operador A no instante t, ou seja = (t)|A|(t) = 0 |A(t)|0 . dA 1 H| =

CAP ITULO 3. O M.A. EM MECANICA QUANTICA Exerc cio 40 Mostre que a Hamiltoniana clssica em trs dimenses a e o H = se traduz no operador quntico a H =2 2

46

1 2m

p p + U (r),

2m

+ U (x1 , x2 , x3 ),

onde 2 o laplaciano em trs dimenses e U apenas a multiplicao pela e e o e ca funo U . ca

3.2

O Momento Angular Quntico a

Vamos utilizar as regras de quantizaao apresentadas na seao anterior pac c ra descrevermos o momento angular quntico. Como as componentes do a momento angular clssico podem ser escritas como a3

Li =

j;k=1

ijk xj pk ,

ento as componentes do momento angular quntico sero denidas como os a a a operadores3

Li =

j;k=1

ijk Xj Pk .

No utilizaremos no operador momento angular para no carregarmos a a a notaao e a no ser que se diga o contrrio, somente falaremos de operadores c a a daqui para frente. Exerc cio 41 A partir das relaes de comutao (3.4), mostre que o moco ca mento angular satisfaz `s relaes a co3

[Li , Lj ] =

k=1

ijk Lk .

(3.9)

CAP ITULO 3. O M.A. EM MECANICA QUANTICA Exerc cio 42 Mostre que o operador de Casimir, L2 = L2 + L2 + L2 , 1 2 3

47

(3.10)

que o operador correspondente ao quadrado do momento angular total e clssico, comuta com todas as componentes Li , i = 1, 2, 3. a Ao longo desta seo, vamos trabalhar com operadores mais apropriados. ca Portanto, vamos denir os operadores L = L1 L2 . Da expresso acima fcil ver que que L a e a tianos, mas que L = (L+ )y . (3.11)

no so mais operadores hermia a

Exerc cio 43 Mostre que as relaes de comutao (3.9) se escrevem em co ca termos de L e L3 como [L3 , L ] = L , [L+ , L ] = 2 L3 . (3.12)

Exerc cio 44 Mostre que o operador de Casimir (3.10) pode ser escrito tambm como e L2 = (L+ L + L L+ ) + L2 = 3 2 = L+ L + L2 L3 = 3 = L L+ + L2 + L3 . 3 1

(3.13)

O objetivo desta seao encontrar os poss c e veis sub-espaos de estados c sobre os quais as componentes do momento angular ajam como operadores lineares. Em outras palavras, vamos encontrar representaoes da lgebra de c a Lie do momento angular. Apenas um comentrio, formalmente esta lgebra a a de Lie isomorfa a aquela dos geradores innitesimais de rotaes em R3 , e co logo denominaremos esta lgebra como a lgebra de Lie do grupo SO(3), a a denotada por so(3). Veremos no prximo cap o tulo que todo grupo de Lie est a associado a uma lgebra de Lie, mas neste vamos explorar as propriedades a desta lgebra de Lie em particular. a Como todo operador hermitiano determina uma base ortonormal de auto vetores e operadores que comutam entre si podem ser diagonalizados simultaneamente, ento vamos escolher estados que sejam ao mesmo tempo a


48

auto-vetores do operador de Casimir L2 e da componente L3 do momento angular. Ou seja escolhamos estados |, m , tais que , m|0 , m0 = 0 mm0 , e que obedeam c L2 |, m =2

|, m

,

L3 |, m = m|, m .

Antes de continuarmos, apenas um comentrio a respeito de unidades. O a momento angular possui a mesma dimenso que a ao ou seja ML2 T 1 a ca (massa comprimento ao quadrado inverso do tempo). Ento, para que a as equaoes acima cassem dimensionalmente corretas, o auto-valor referente c a L3 deve ser proporcional a (que possui dimenso de ao) enquanto o a ca 2 2 auto valor referente a L deve ser proporcional a . Note que o auto valor tem que ser positivo pois2

= =

, m|L2 |, m = , m| L2 + L2 + L2 |, m = 1 2 3

= |L1 |, m |2 + |L2 |, m |2 + |L3 |, m |2 0. Esta no negatividade do auto valor relativo ao Casimir ser importante a a para determinarmos por exemplo as dimenses dos poss o veis espaos que c carregam as representaoes. Vejamos agora que o espao gerado pelos auc c to vetores |, m permanece invariante pela aao de qualquer elemento da c lgebra so(3), ou seja, ao aplicarmos os outros geradores da lgebra nos auto a a vetores, continuamos a ter auto vetores. Proposio 6 Os estados L |, m tambm so auto vetores de L2 e L3 . ca e a Demonstrao: com respeito a L2 , sem problemas, pois ca L2 L |, m = L L2 |, m = Com respeito a L3 , temos L3 L |, m = L L3 |, m + [L3 , L ] |, m = = (m 1)L |, m2

L |, m .

CAP ITULO 3. O M.A. EM MECANICA QUANTICA Podemos ver da demonstrao acima que ca L+ |, m L |, m = c+ |, m + 1 , m = cm |, m 1 .

49

(3.14)

Lembrando-se que L = (L+ )y , temos que L |, m = ( , m|L+ ) e vice versa. Por um lado, a partir das relaes (3.14) temos que co , m|L L+ |, m , m|L+ L |, m = |L+ |, m |2 = c+ m 2 = |L |, m | = cm2 2

, .

Por outro lado, a partir da denio do operador de Casimir em (3.13) temos ca que , m|L L+ |, m = = , m|L+ L |, m = = , m| L2 L2 L3 |, m = 32 2

( m(m + 1)) = c+ m

0, (3.15)

, m| L2 L2 + L3 |, m = 32

( m(m 1)) = cm

2

0. (3.16)

Destas equaoes acima obtemos duas condies c co m(m + 1) 0, m(m 1) 0. Da primeira, conclu mos que deve haver um nmero l = mmx tal que u a l(l + 1) = 0, ou seja = l(l + 1). A partir de agora, passaremos a a denominar os estados |, m por |l, m . E fcil ver que L+ |l, l = 0. Substituindo o valor de na segunda desigualdade, conclu mos que m(m 1) l(l + 1) = (m + l)(m (l + 1)) 0, Assim m = l o valor m e nimo do autor valor m, quando temos a igualdade. Neste caso, L |l, l = 0. Assim temos que os auto valores de L3 devem estar no intervalo l m l. Veja agora que a cada vez que aplicarmos L ao estado |l, l , teremos um auto estado de L3 cujo auto valor ser decrescido de uma unidade. Assim deve haver um nmero inteiro a u


50

n tal que l n = l. Disto conclu mos que o nmero l deve ser um inteiro u ou semi-inteiro positivo e que os poss veis auto valores de L3 so os 2l + 1 a valores m = l, l + 1, . . . l 1, l. Agora, devemos calcular os coecientes clm conforme denidos em (3.14). De (3.15) temos que c+ lm2

=

2

(l(l + 1) m(m + 1)) =

2

(l m) (l + m + 1) .

J da expresso (3.16) podemos concluir que a a clm2

=

2

(l(l + 1) m(m 1)) =

2

(l + m) (l m + 1) .

Concluindo: para cada valor de l 1 Z, podemos determinar um sub2 espao de dimenso 2l + 1 gerado pelos vetores |l, m , com c a m = l, l + 1, . . . l 1, l, tal que L2 |l, m L3 |l, m L |l, m = = =2

l(l + 1)|l, m , m|l, m , (l m) (l m + 1)|l, m 1 . (3.17)

Note que cada sub espao rotulado por l (vamos denominar esta quanc tidade de spin da representaao), no possui algum sub-espao invariante c a c pela aao dos elementos da lgebra. Ou seja, no podemos subdividir uma c a a representao de spin l em representaoes menores. A estas representaes ca c co que possuem esta propriedade damos o nome de representaoes irredut c veis. Podemos tambm representar os operadores como matrizes atuando nese tes sub espaos, por exemplo, para a representaao de spin l = 1 , temos um c c 2 espao de dimenso 2 e as matrizes 2 2 representando L e L3 so c a a L+ = 0 1 0 0 , L = 0 0 1 0 , L3 = 2 1 0 0 1 .

J em spin l = 1 temos a 2 0 0 L+ = 0 0 2 , 0 0 0 1 L3 = 0 0

L 0 0 0

0 0 0 0 = 2 0 , 0 2 0 0 0 . 1


51

Note que no nos preocupamos com a forma de L2 pois sempre ser para a a qualquer spin l da forma L2 =2

l(l + 1)Id2l+1 . e L3

Exerc cio 45 Escreva as matrizes correspondentes aos operadores L nas representaes de spin l = 3 e l = 2. co 2

Na prxima seao trataremos das representaoes com spin inteiro. Neste o c c caso, os estados podem ser escritos como funes de onda no espao trico c dimensional. Somente aps trataremos o caso de representaes com spin o co semi-inteiro, que no possuem realizao direta como funoes mas que rea ca c velam propriedades importantes e so fundamentais na f a sica para a descriao do spin. Na verdade as representaes de spin semi inteiro somente c co so poss a veis como representacoes da lgebra de Lie do grupo SU (2), cujas a relaoes so idnticas, mas que geram grupos diferentes que possuem proc a e priedades topolgicas distintas. o

3.3

Harmnicos Esfricos o e

Conforme vimos na frmula (3.6), o momento pode ser visto como um opeo rador derivaao no espao de funoes. Assim as componentes do momento c c c angular podem ser escritas como os operadores L1 = L2 = L3 = x2 x3 x1 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x1 , , .

Podemos descrever estes operadores de uma forma mais conveniente utilizando coordenadas esfricas (1.1) e x1 = r sin cos , x2 = r sin sin , x3 = r cos .


52

A matriz Jacobiana da transformao descrita como ca e @x @x @x 1 1 1 sin cos r cos cos r sin sin @r @ @ @x2 @x2 @x2 sin sin r cos sin r sin cos , @r @ @ = @x3 @x3 @x3 cos r sin 0@r @ @

cuja inversa e @r @r @x1 @ @x1 @ @x1

@x2 @ @x2 @ @x2

@r sin cos @x3 @ = 1 cos cos @x3 r 1 @ r sin sin @x3

sin sin cos 1 1 . r cos sin r sin 1 0 r sin cos

Utilizando estas jacobianas, podemos escrever x1 = = x2 = = x3 = = = x1 x1 1 1 sin cos + cos cos sin , r r r sin r + + = x2 r x2 x2 1 1 + cos sin + cos , sin sin r r r sin r + + = x3 r x3 x3 1 cos sin , r r x1 r r + +

e assim, aps alguns clculos fceis, porm tediosos, encontramos as compoo a a e nentes do momento angular e o operador de Casimir escritos como operadores diferenciais L = e { 2

, 1

cos sin

,

L3 = L2

=

sin

sin

+

1

2

sin2 2

.

(3.18)


53

Exerc cio 46 Mostre que a hamiltoniana de uma part cula livre em coordenadas esfricas se escreve como um termo dependendo de derivadas radiais e e termos dependendo de derivadas angulares, sendo que estes so proporcionais a ao momento angular quntico, ou seja a H =2 2 2

2m

=

2mr 2 r

r2

r

+

1 2mr 2

L2 .

Note que no h derivadas com relao a r nos operadores de momento a a ca angular, logo as representaes irredut co veis da lgebra so(3) so sub-espaos a a c 2 2 de dimenso nita do espao de funoes integrveis na esfera L (S ). Denoa c c a taremos estas funes por co Ylm (, ) = , |l, m = lm ()m (), tais que L2 Ylm (, ) =2

l(l + 1)Ylm ,

L3 Ylm (, ) = mYlm (, ),

e que sejam ortonormais, ou seja: l0 , m0 |l, m =0 2 2

d0

d sin Yl0 m0 (, )Ylm (, ) =

0

=0

d m0 ()m ()

d sin l0 m0 (, )lm (, ) =

= ll0 mm0 .

A dependncia na varivel facilmente encontrada utilizando-se a condiao e a e c do auto-valor do operador L3 , L3 Ylm (, ) = lm () = = mlm (, )m (). m ()

O que resulta, aps a normalizaao em o c 1 m () = e{m . 2


54

H duas maneiras de se obter a dependncia em na funao de onda. a e c a primeira analisando a atuaao do operador de Casimir como operador e c diferencial L2 Ylm (, ) = lm ()00 = m sin sin2 2 2 cos 0 = lm ()e{m 00 e{m + lm 2 sin 2 2 2

sin 0 ()m () lm

2

+ =

2 sin 2

2

m2 lm ()e{m =

2

l(l + 1)lm ()e{m .

Aps eliminarmos a dependncia em na equao acima, obtemos a equao o e ca ca diferencial de segunda ordem 00 + lm cuja soluao [14] c e cos sin 0 + l(l + 1) lm m2 sin2 lm = 0,

lm () = Clm Pl m (cos ),

onde Pl m so os polinmios de Legendre associados, que podem ser escritos a o na forma jmj jmj m (x) = 1 x2 2 d Pl Pl (x), dxjmj e Pl , so os polinmios de Legendre, dados na frmula de Rodriguez como a o o [1] 1 dl l Pl (x) = l x2 1 . l 2 l! dx Como um exemplo, podemos escrever os primeiros polinmios de Legendre, o P0 (cos ) = 1, P1 (cos ) = cos , 1 3 cos2 1 , P2 (cos ) = 2 1 P3 (cos ) = 5 cos3 3 cos , 2

CAP ITULO 3. O M.A. EM MECANICA QUANTICA e os primeiros polinmios de Legendre associados o P1 1 (cos ) = sin , P2 1 (cos ) = 3 cos sin , P2 2 (cos ) = 3 sin2 , 3 sin 5 cos3 1 , P3 1 (cos ) = 2 P3 2 (cos ) = 15 sin2 cos , P3 3 (cos ) = 15 sin3 .

55

Os coecientes Clm so determinados a partir da normalizaao dos poa c linmios de Legendre associados. Podemos encontrar na literatura [1, 14] o Clm = (1)m (2l + 1) 2 (l m)! (l + m)! .

Colocando todas as coisas juntamente, obtemos as funes de onda co Ylm (, ) = (1)m (2l + 1) 4 (l m)! (l + m)! Pl m (cos )e{m , m 0,

que so denominados harmnicos esfricos. Podemos observar pela forma das a o e soluoes que estas somente esto bem denidas para l e m inteiros. Logo c a somente as representacoes de spin inteiro podem ser escritas como funes co de onda espaciais. Um segundo mtodo para se determinar os harmnicos esfricos utilie o e e zando os operadores L . Sabemos que L+ Yll (, ) = 0, logo, utilizando a forma do operador L+ em (3.18), temos 1 L+ Yll (, ) = L+ ll ()e{l = 2 e{(1+l) cos e{(1+l) 0 ll + (l) = 0, = sin 2 2 de onde obtemos a equao ca 0 l ll cos sin ll = 0

CAP ITULO 3. O M.A. EM MECANICA QUANTICA cuja soluao c e

56

ll () = Cl sinl .

Os coecientes Cl podem ser obtidos ao impor-se a normalizao da funo ca ca de onda, aps algumas integraes podemos obter [1, 14] o co Cl = (1)l 2l l! (2l + 1)! 2 .

Colocando todas as coisas juntamente, obtemos Yll (, ) = (1)l 2l l! (2l + 1)! {l e sinl . 4

As outras funoes Ylm podem ser obtidas aplicando-se sucessivamente o opec rador L na representao de spin l e acertando-se os coecientes, resultando ca na seguinte forma equivalente para os harmnicos esfricos: o e Ylm (, ) = (1)l 2l l! (2l + 1) 4 , (l m)! sinm d(cos )l m (l + m)! e{m dl m sin2l m 0.

Embora este processo seja muito mais direto, no sentido que s necessrio oe a resolver uma equaao diferencial de primeira ordem, pode-se notar que c e muito mais trabalhoso. Exerc cio 47 Encontre os primeiros harmnicos esfricos para l = 0, 1, 2 o e conforme esto escritos explicitamente abaixo: a 1 Y00 (, ) = , 4 3 cos , Y10 (, ) = 4 3 Y1; 1 (, ) = e { sin , 8 5 3 cos2 1 , Y20 (, ) = 16 15 { Y2; 1 (, ) = e sin cos , 8 15 Y2; 2 (, ) = e 2{ sin2 . 32


57

3.4

Teoria do Spin

A primeira evidncia experimental que os eltrons possuiam uma outra quane e tidade f sica intr nseca alm da energia e do momento angular foi atravs da e e experincia de Stern-Gerlach (1922). O experimento basicamente consistia e em fazer passar um uxo de tomos de prata por um campo magntico no a e a uniforme e ento medir a distribuiao dos mesmos em um anteparo. Devido a c ` congurao eletrnica da prata a expectativa era obter uma distribuiao a ca o c espacialmente simtrica. Mas, pelo contrrio, foi observado que o feixe se die a vidia em duas componentes distintas. Da teoria clssica do eletromagnetismo a pode-se concluir que a magnetizao do eltron deve ser proporcional ao seu ca e momento angular. Logo, o eltron deveria possuir um momento angular ine tr nseco que desse conta desses momentos magnticos discretos observados e (a imagem pictrica que se tinha era que o eltron alm de realizar seu moo e e vimento orbital no tomo, tambm possuia um movimento de rotao). a e ca A primeira formulaao matemtica para o spin f c a sico dos eltrons devida e e a W. Pauli. Ele postulou que um eltron podia ser modelado por um vetor e bidimensional complexo (sistema de dois n veis) e ento criou uma teoria de a momento angular que atuasse neste espao. Em uma linguagem moderna, ele c construiu uma representaao bidimensional da lgebra do momento angular c a (que era de fato su(2)). Pauli descobriu que as matrizes 2 2 complexas que realizavam as componentes do spin eram Si = 2 i , i = 1, 2, 3,

onde as matrizes i so hoje conhecidas como as matrizes de Pauli: a 1 = 0 1 1 0 , 2 = 0 0 , 3 = 1 0 0 1 . (3.19)

Exerc cio 48 Mostre as seguintes propriedades elementares das matrizes de Pauli: a) b) c) {i , j } = i j + j i = 2ij Id2 .3

[i , j ] = 2

y i = i ,

k=1

ijk k ,

Tr (i ) = 0,

Det (i ) = 1,

CAP ITULO 3. O M.A. EM MECANICA QUANTICA d) e) 1 2 3 = Id2 ,3

58

i j = ij +

k=1

ijk k .

Portanto, pela propriedade b) do exerc anterior, podemos ver que cio3

[Si , Sj ] =

k=1

ijk Sk ,

como a lgebra do momento angular. Mas note que esta lgebra de Lie, a a apesar de possuir a mesma relao de comutaao, trata de objetos diferentes. ca c Veja que pela propriedade c) as matrizes de Pauli so matrizes hermitianas a 22 com trao nulo, que correspondem aos geradores innitesimais do grupo c das matrizes unitrias 2 2 com determinante igual a 1, o grupo SU (2). a Exerc cio 49 Mostre que se A uma matriz hermitiana (ou operador here {A uma matriz unitria (ou operador unitrio, mitiano em geral). Ento e e a a a {A = 1. no caso geral). Mostre tambm que de Tr(A) = 0, ento Det e e a Como o aspecto formal das lgebras su(2) e so(3) o mesmo, o proa e cesso de encontrar representaes anlogo ao apresentado na seao 2 deste co e a c cap tulo. Mas agora percebemos que su(2) admite representaes de spin co semi inteiro. As prprias matrizes de Pauli so a realizao expl o a ca cita dos 1 operadores na representao de spin 2 . Denotemos a base do espao por ca c 1 1 , 2 2 = 1 0 , 1 2 , 1 2 =1 2

0 1

.

Assim, as poss veis conguraes de spin sero co a

e 1. 2

Exerc cio 50 Mostre que neste espao as componentes do spin podem ser c escritas como S+ = S1 + S2 = S3 = 2 0 1 0 0 1 0 0 1 , , S = S1 S2 = S =2

0 0 1 0 .

,

3 4

2

1 0 0 1


59

Como o spin no depende dos graus de liberdade espaciais, os geradores a Si comutam com os operadores de posio Xi , momento Pi , e momento ca angular Li , assim a funo de onda total do eltron est no produto de ca e a dois espaos de representaao, um com spin l, referente ao momento angular c c 1 orbital e outro com spin 2 referente ao spin. Assim, a funo de onda total ca poderia ser escrita como n;l;m; 1 (r, , ) = n (r)Ylm () 2 para um eltron de spin e n;l;m;1 2

1 1 , 2 2

=

n (r)Ylm (, ) 0

,

1 2

e 1 2 , 1 2 = 0 n (r)Ylm (, ) ,

(r, , ) = n (r)Ylm ()

para um eltron de spin 1 . Muito embora os operadores referentes ao moe 2 mento angular e ao spin comutem, pode haver uma interaao entre estas c duas grandezas no que se refere `s representaoes. Basicamente, os espaos a c c das representaes do momento angular e do spin se misturam e este esco pao produto pode ser escrito como a soma direta de outras representaes c co irredut veis. Esta a chamada decomposiao de Clebsch Gordan do produe c to de representaoes e est por tras, entre outras coisas, da assim chamada c a interao spin-rbita. ca o Por ultimo, devemos salientar que as matrizes de Pauli so importantes a para descrever rotaes no espao tridimensional devido a suas propriedades. co c Esta inter-relaao ser melhor explorada no cap c a tulo seguinte. Exerc cio 51 Sejam v e w dois vetore em R3 . Dena3

v =i=1

vi i .

Mostre que ( v) ( w) = (v w) Id2 + (v w) .

Cap tulo 4 Grupos e Algebras de Lie: Aspectos Tericos oNeste cap tulo, vamos revisitar alguns conceitos apresentados ao longo deste minicurso sob um ponto de vista um pouco mais formal. Nossa discusso a se concentrou basicamente sobre grupos de Lie e lgebras de Lie, portanto a daremos maior ateno `s propriedades destes objetos matemticos. ca a a

4.1

Grupos de Lie

No primeiro cap tulo demos a denio de grupo. Vamos retomar esta deca niao para explor-la melhor: c a Denio 11 Um grupo um conjunto G munido de uma operao ca e ca :GG G (a, b) ab tal que esta operacao seja 1. Associativa: (ab)c = a(bc). 2. Possua elemento neutro e G, tal que ea = ae = a, a G. 3. E qualquer elemento a G possua um inverso a aa 1 = a 1 a = e. 601

G, tal que

CAP ITULO 4. GRUPOS E ALGEBRAS DE LIE

61

Se a operao for comutativa (o que no necessrio para a denio de ca a e a ca grupo), isto ab = ba para todos os elementos a, b G, ento o grupo e a e chamado comutativo, ou Abeliano. Exerc cio 52 Mostre que em um grupo G somente pode existir um unico elemento neutro. Mostre tambm que todo elemento a G somente possui e um elemento inverso. e Denio 12 Dado um grupo G, um sub-grupo de G, um sub-conjunto ca no vazio H G tal que a 1. O elemento neutro pertence a H: e H. 2. Dado qualquer elemento a H, temos que a1

H.

3. Dados dois elementos quaisquer a, b H, temos que, ab H. Exerc cio 53 Mostre que provar que um sub-conjunto no vazio H G a subgrupo equivalente a provar que se a e b so elementos de H, ento e e a a 1 ab H. Aqui esto alguns exemplos de diferentes tipos de grupos. Em cada um a destes exemplos, um bom exerc para o leitor vericar explicitamente os cio e axiomas de grupo. 1. O grupo contendo somente o elemento identidade G = {e}. Este o e grupo mais trivial que existe. 2. O grupo aditivo Z2 , gerado pelos elementos 0 e 1 e cuja operao + ca e denida pela tabela + 0 1 0 1 0 1 1 0

3. O grupo das simetrias de um pol gono regular de n lados, isto , moe vimentos de rotaao ou reexes em torno de alguns eixos que deixam c o a gura de um pol gono inalterada.


62

Exerc cio 54 Determine o grupo de simetrias do tringulo equiltero a a e do quadrado. Sugesto: Enumere os vrtices do pol a e gono e observe como estes ndices se alteram ao aplicar-se as operaes do grupo, co ento construa a tabela de composio no estilo mostrado no exemplo a ca anterior. 4. O grupo de permutaoes de um conjunto de n elementos, Sn . c u 5. O grupo aditivo dos nmeros inteiros (Z, +). 6. O grupo multiplicativo dos nmeros reais no nulos, (R\{0}, .). u a 7. O grupo das transformaoes lineares invers c veis em um espao vetorial c real (complexo) de n dimenses, GL(n, R) (GL(n, C)). A operaao o c neste caso a de composiao de duas transformaes. e c co 8. O subgrupo de GL(n, R) (GL(n, C)), das transformaes lineares co cuja matriz de transformaao possui determinante igual a 1, SL(n, R) c (SL(n, C)). 9. Como j visto no cap a tulo 1, o grupo das tranformaes ortogonais em co n dimenses O(n) e seu subgrupo de determinante igual a 1, SO(n). o 10. O grupo das transformaes unitrias em um espao vetorial complexo co a c de n dimenses, U (n). Isto , dada a forma sesquilinear em Cn o en

v|w =i=1

vi wi ,

o grupo U (n) formado por tranformaoes lineares invert e c veis A, tais que Av|Aw = v|w . O subgrupo das tranformaoes unitrias com determinante igual a 1, c a SU (n), tambm um exemplo de grupo. e e Exerc cio 55 Mostre que realmente U (n) e SU (n) so grupos. a Exerc cio 56 Quais dos grupos acima so abelianos (inclusive para que vaa lores de n temos Sn , O(n), SO(n), U (n) e SU (n) abelianos)?


63

Voc deve ter notado que h grupos com um nmero nito de elementos, e a u grupos com um nmero innito de elementos porm que so discretos (como u e a o caso do grupo aditivo Z), e grupos que so cont e a nuos (como por exemplo R, GL(n, R), SU(n), etc). Portanto, h outras propriedades matemticas a a dos grupos, e no somente sua estrutura algbrica que devem desempenhar a e um papel importante na anlise dos mesmos. E dentro desta perspectiva que a vamos denir o que vem a ser um grupo de Lie Denio 13 Um grupo de Lie G um grupo com as seguintes propriedades: ca e 1. O grupo G uma variedade analtica. Isto , uma variedade diferene e civel cujas mudanas de cartas so aplicaes innitamente diferena c a co civeis e que podem ser expandidas em sries de potncias. a e e 2. A operao de grupo e a inverso so aplicaes anal ca a a co ticas em G. Se o leitor no est habituado com o conceito de variedade diferencivel, a a a no se assuste. Ao dizermos que G uma variedade diferencivel, apena e a as queremos dizer que na vizinhana de qualquer elemento a G existe c um sistema de coordenadas (x1 , . . . xn ) de forma que qualquer elemento de grupo naquela vizinhana pode ser escrito em funo destas corrdenadas c ca b = b(x1 , . . . , xn ). No queremos dizer que exista um unico sistema de a coordenadas que sirva para todos os elementos do grupo. Mas quando um elemento pode ser escrito em dois sistemas de coordenadas diferentes, digamos (x1 , . . . xn ) e (y1 , . . . yn ), ento a mudana de coordenadas uma a c e aplicaao innitamente diferencivel e que pode ser expressa como uma srie c a e de potncias (ou seja, uma aplicaao anal e e c tica). No decorrer deste cap tulo, daremos exemplos concretos de coordenadas para descrevermos os elementos de certos grupos. Desejamos apenas que o leitor mantenha a imagem pictrica de uma variedade como um sub-conjunto aberto de Rn ou como o uma superf (hipersuperf cie cie) imersa em um espao de dimenso maior c a (existe um teorema devido a Whitney armando que sempre este o caso). e Vamos analisar a estrutura de variedade de alguns grupos conhecidos. Para dar in cio, considere o grupo das transformaes lineares invers co veis em um espao vetorial real de n dimenses, o grupo GL(n, R). Cada elemento c o do grupo pode ser escrito como uma matriz n n real, logo, precisamos de n2 coordenadas para determinarmos um elemento do grupo. Assim,2 GL(n, R) Mn (R) Rn . =

CAP ITULO 4. GRUPOS E ALGEBRAS DE LIE Alm do mais, a funao determinante e c Det : Mn (R) R A Det(A) que para a matriz A = (aij ) pode ser escrita como Det(A) =i1 ;:::in i1 ;:::;in a1i1 a2i2 . . . anin ,

64

cont e nua. Como para matrizes de GL(n, R) o valor do determinante e diferente de zero temos que GL(n, R) = Det2

1

(R\{0})

que um sub-conjunto aberto de Rn , logo uma variedade. e Podemos ir um pouco mais longe: denindo as funoes coordenandas tij c tais que tij (A) = aij a funo determinante pode ser escrita como ca Det =i1 ;:::in i1 ;:::;in t1i1 t2i2 . . . tnin .

Esta funo innitamente diferencivel em termos das coordenadas tij . ca e a Denimos um ponto regular da funao determinante como um elemento c A Mn (R) tal que as derivadas parciais Det tij (A)

no sejam todas nulas. E dizemos que p um valor regular se todos os pontos a e A tais que Det(A) = p so regulares. Agora considere o grupo a SL(n.R) = Det1

(1),

o nmero 1 um valor regular da funo determinante, logo, pelo teorema u e ca global da funao impl c cita, temos que SL(n, R) uma subvariedade, pois e e a imagem inversa de um valor regular. Estes dois exemplos anteriores, mesmo sendo teoricamente corretos, so a dif ceis de visualizar, a no ser no caso trivial n = 1, onde o determinante a e a funao identidade, resultando em GL(1, R) = R\{0} e SL(1, R) = {1}. c

CAP IT

momento angular

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