MMÓDULOÓDULO DDISCURSIVOISCURSIVO

MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA

1São curiosos os números. Às vezes é mais útil arredondá-los do que trabalhar com seu valor “exato”. Se, porexemplo, 2 366 pessoas assistiram a um show musical,podemos aproximar o número à centena mais próxima edizer que cerca de 2 400 pessoas presenciaram o show.

Observe com atenção esta pesquisa feita pela ANCINE,Agência Nacional do Cinema, sobre a evolução daquantidade de salas de cinema no Brasil, devido àconcorrência, entre outros, de filmes na televisão e filmesem DVD.

a) Aproxime os dados do gráfico à centena mais próximae responda: Em 2008, quantas salas de cinema estavamlocalizadas em municípios com 100 000 ou menoshabitantes?

b) Usando os dados arredondados do item A, expresse,em porcentagem, a redução do número de salas decinema brasileiras de 2008, em relação ao número desalas de 1975.

Resoluçãoa) Em 2008, existiam aproximadamente 2300 salas

de cinema no Brasil. Delas, estão localizadas emmunicípios de até 100 mil habitantes cerca de4% . 2300 = 92 salas.

b) Em 1975, existiam aproximadamente 3300 salasde cinemas. Em 2008, esse número caiu para apro -ximadamente 2300, significando uma reduçãoporcentual de

. 100% ≅ 30,3%

Respostas: a) 92 salas

b) 30,3%

2 Uma pesquisa publicada pela Organização das NaçõesUnidas para a Agricultura e Alimentação mostra como acrise global provoca o aumento do número de pessoas quepassam fome no mundo.

A partir das informações dos gráficos acima, calcule:

a) O número de pessoas subnutridas na zona de Ásia ePacífico em 2009.

b) O número de pessoas subnutridas na zona de Ásia ePacífico em 2008.

ResoluçãoAdmitindo-se que nas demais regiões e países domundo (não assinalados no gráfico) não existam pes -soas subnutridas, tem-se:a) O número de pessoas subnutridas na zona de Ásia

e Pacífico em 2009, em milhões, era:1017 – 15 – 42 – 53 – 265 = 642

3300 – 2300–––––––––––

3300

OBJETIVO GV (Administração) — Junho/201021

OBJETIVOGV (Administração) — Junho/2010 22

b) O número de pessoas subnutridas na zona de Ásiae Pacífico em 2008, também em milhões, era:

= 583,6

Respostas: a) 642 milhões de pessoasb) 583,6 milhões de pessoas

3Um carpinteiro deve construir uma caixa com a forma deum cubo, porém aberta, sem uma tampa. Vai usar 31,25 m2 de madeira, que ele compra em uma loja demateriais de construção por R$ 12,00 o metro quadrado.Além disso, haverá um reforço especial de madeiracompensada em todas as arestas, que lhe custará R$ 3,00por metro. A que preço o carpinteiro deve vender a caixapara obter um lucro de 20% sobre a quantia gasta nacompra dos materiais que usou para construir a caixa?

ResoluçãoSendo a a medida da aresta do cubo, em metros,temos:5a2 = 31,25 ⇒ a2 = 6,25 ⇒ a = 2,5Como o reforço especial de madeira compensada serácolocado em todas as arestas do cubo, o carpinteiro vaiutilizar 12 . 2,5 m = 30 m de reforço especial.Assim, sendo V o preço, em reais, que ele deve vendera caixa para obter um lucro de 20% sobre a quantiagasta na compra dos materiais, temos:V = 1,2 . (31,25 . 12 + 30 . 3) = 558Resposta: O carpinteiro deve vender a caixa por

R$ 558,00

4No seu livro Introdução à Álgebra, Leonhard Eulerpropõe um curioso e interessante problema aos leitores:

Duas camponesas juntas carregam 100 ovos para venderem uma feira e cada uma vai cobrar seu preço por ovo.Embora uma tivesse levado mais ovos que a outra, as duasreceberam a mesma quantia em dinheiro. Uma delasdisse, então:

— Se eu tivesse trazido o mesmo número de ovos quevocê trouxe, teria recebido 15 kreuzers (antiga moedaaustríaca).

Ao que a segunda respondeu:

— Se eu tivesse trazido a quantidade de ovos que você

trouxe, teria recebido kreuzers.

Releia o texto com atenção e responda:

Quantos ovos carregava cada uma?

ResoluçãoVamos admitir que a primeira camponesa vendeu xovos a m kreuzers cada um e a segunda camponesavendeu y ovos a n kreuzers cada um. Então:

⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒

Resposta: A primeira carregava 60 ovos e a segunda,40 ovos.

5a) Os irmãos Pablo, Ana e Marta tiraram uma foto juntos,

um ao lado do outro. Com uma régua, obtiveram asalturas na foto:

Pablo: 8,1 centímetros; Ana: 6,2 centímetros; Marta:5,7 centímetros.

A altura real de Ana é 1,24 metro. Qual é a altura realde Pablo e de Marta?

b) Provavelmente, você não sabe que os cartões de créditoou de débito que tanto usamos são retângulos áureos,ou seja, a razão entre seus lados é igual ao número de

ouro: .

Observe a figura e demonstre que = .

20–––3

x + y = 100

n . x 15––––– = ––––m . y 20–––

3

n x–– = ––m y144424443

x + y = 100

n . x = 15

20m . y = –––

3

m . x = n . y

144424443

x + y = 100

x2 9––– = ––y2 4

14243

x + y = 100

x x 45–– . –– = –––y y 20

14243

x = 60

y = 40

14243

x + y = 100

x 3–– = ––y 2

14243

1 + ���5–––––––

2

1 + ���5–––––––

2

a–––b

642–––––1,10

642––––––––1 + 10%

Resoluçãoa) Sendo x e y as alturas reais, em metros, de Pablo e

Marta, respectivamente, temos:

= ⇒ x = 1,62 e

= ⇒ y = 1,14

b)

Um retângulo é áureo quando, retirando-se deleum quadrado, obtém-se um retângulo semelhanteao primeiro.Assim, da semelhança dos triângulos RST e PQR,temos:

= ⇒ a2 – ab = b2 ⇒ a2 – ab – b2 = 0 ⇒

⇒ – – = 0 ⇒

⇒2

– – 1 = 0 ⇒

⇒ = , pois é positivo

Respostas: a) A altura real de Pablo é 1,62 metro e ade Marta é 1,14 metro.

b) Demonstração

6a) Determine todos os números naturais que satisfazem

simultaneamente as inequações:

10–1x ≥ 0,06 e 10–1 x ≤ 0,425

b) Os sistemas de inequações são úteis para resolverantigos problemas como este, aproximadamente, doano 250:

Três estudantes receberam cada um uma mesma listade palavras sinônimas que deveriam ser escolhidas empares. Cada palavra tinha uma única palavra sinônimacorrespondente. Dentro do tempo permitido, o primeiro

colocado conseguiu 21 pares corretos; o segundocolocado tinha dois terços dos pares corretos e oterceiro, quatro a mais do que a metade do número depares corretos. Qual era o total de pares corretos depalavras sinônimas?

Resolução

a) Se x ∈ �, então

⇔ ⇔

⇔ ⇔ x ∈ {1; 2; 3; 4}

b) Se x ∈ � for o número total de pares corretos,

então:

1) ⇔ ⇔

⇔ x ∈ {25; 26; 27; 28; 29; 30; 31}

2) ∈ � ⇒ x é múltiplo de 3

3) x + 4 ∈ � ⇒ x é múltiplo de 2

4) De (1), (2) e (3), tem-se: x = 30

Respostas: a) {1; 2; 3; 4}

b) 30 pares

7Extraímos uma bola da urna representada abaixo,anotamos o seu número e a devolvemos à urna. Retiramosuma segunda bola, anotamos o seu número e o adi -cionamos ao anterior. Qual é a probabilidade de que asoma seja 4?

1,24––––6,2

x––––8,1

1,24––––6,2

y––––5,7

b––––a – b

a–––b

b2–––b2

ab––––

b2

a2–––b2

a–––b�a

–––b�

a–––b

1 + ���5–––––––

2

a–––b

x ≥ 0,06 . 10

x ≤ 0,425 . 10

14243

10–1 . x ≥ 0,06

10–1 . x ≤ 0,425

14243

x ≥ 0,6

x ≤ 4,2514243

x > 21

x < 31,5

x > 24

14243

21 < x

2x––– < 213

1 2x–– x + 4 < ––2 3

144424443

2x–––3

1––2

OBJETIVO GV (Administração) — Junho/201023

OBJETIVOGV (Administração) — Junho/2010 24

ResoluçãoPara que a soma dos dois números retirados, comreposição da primeira bola, seja 4, devemos ter:(1 e 3); (3 e 1) ou (2 e 2).Portanto, a probabilidade, p, pedida é

p = . + . + . ⇔ p =

Resposta:

8Ao copiar da lousa uma equação polinomial de 3.o grau ede coeficientes inteiros, Carlos escreveu errado o termoem x e o termo que não tem fator x. Resolvendo-a, duasdas raízes que encontrou foram – i e 2. A professora jáhavia adiantado que uma das raízes da equação originalera 2i.

a) Qual é a equação original?

b) Quais são as outras duas raízes da equação original?

ResoluçãoSeja a equação polinomial de 3.o grau, com coeficientesinteiros, do tipo: a . (x – α) . (x – β) . (x – γ), em que α,β e γ são as raízes e a ≠ 0.I) Equação obtida por Carlos:

a . (x + i) . (x – i) . (x – 2) = 0 ⇔⇔ a . (x3 – 2x2 + x – 2) = 0

II) Equação original:a . (x – α) . (x – 2i) .(x + 2i) = 0 ⇔⇔ a . (x3 – αx2 + 4x – 4α) = 0

III) Como Carlos escreveu errados o termo em x e otermo que não tem fator x, comparando (I) e (II),temos: α = 2

a) Supondo a = 1, uma possível equação originalseria: x3 – 2x2 + 4x – 8 = 0

b) As outras duas raízes da equação originala . (x – 2) . (x – 2i) . (x + 2i) = 0 seriam: 2 e – 2i

Respostas: a) Uma possível equação original:x3 – 2x2 + 4x – 8 = 0

b) 2 e – 2i

9A figura ilustra as medidas que um topógrafo tomou paracalcular a distância do ponto A a um barco ancorado nomar.

sen 62° = 0,88; cos 62° = 0,47

sen 70° = 0,94; cos 70° = 0,34

a) Use os dados obtidos pelo topógrafo e calcule a distân -cia do ponto A ao barco. É conveniente traçar a altura–––AH do triângulo ABC.

b) Use esses mesmos dados para calcular o valor de cos 48º. Se quiser, utilize os produtos:

88 × 94 = 8272 e 47 × 34 = 1598.

Resoluçãoa) Sendo AH a altura do ΔABC, em relação ao vértice

A, temos:

1) No triângulo retângulo ABH:

sen 62° = ⇒ AH = 50 . 0,88 = 44 m

2) No triângulo retângulo ACH:

sen 70° = ⇒ AC = ≅ 47 m

Portanto, a distância do ponto A ao barco é aproxi -madamente 47 m.

b) cos 48° = cos [180° – (70° + 62°)] = – cos (70° + 62°) == – [cos 70° . cos 62° – sen 70° . sen 62°] == sen 70° . sen 62° – cos 70° . cos 62° == 0,94 . 0,88 – 0,34 . 0,47 == 0,8272 – 0,1598 ≅ 0,667Assim: cos 48° ≅ 0,67

Respostas: a) Aproxi madamente 47 mb) cos 48° ≅ 0,67

1–––3

1–––3

1–––3

1–––3

1–––3

1–––3

1–––3

1–––3

AH––––50

44––––0,94

AH––––AC

10Os diretores de uma empresa de consultoria estimam que,com x funcionários, o lucro mensal que pode ser obtido édado pela função:

P(x) = 20 + �n – 0,1x mil reais.

Atualmente a empresa trabalha com 20 funcionários.

Use as aproximações: �n 2 = 0,7; �n 3 = 1,1 pararesponder às questões seguintes:

a) Qual é o valor do lucro mensal da empresa?

b) Se a empresa tiver necessidade de contratar mais10 funcionários, o lucro mensal vai aumentar oudiminuir? Quanto?

Resoluçãoa) Com x = 20 funcionários, o lucro da empresa, em

milhares de reais, resulta igual a:

P(20) = 20 + �n – 0,1 . 20 =

= 20 + �n 16 – 2 = 20 + �n 24 – 2 =

= 20 + 4 . �n 2 – 2 = 20 + 4 . 0,7 – 2 =

= 20 + 2,8 – 2 = 20,8

No caso, o lucro é, portanto, igual a R$ 20800,00.

b) Com x = 20 + 10 = 30 funcionários, o lucro daempresa, em milhares de reais, resulta igual a:

P(30) = 20 + �n – 0,1 . 30 =

= 20 + �n 36 – 3 = 20 + �n 22 . 32 – 3 =

= 20 + 2�n 2 + 2�n 3 – 3 =

= 20 + 2 . 0,7 + 2 . 1,1 – 3 =

= 20 + 1,4 + 2,2 – 3 = 20,6

O lucro mensal passará a ser, portanto, deR$ 20 600,00. Logo, vai diminuir de R$ 20800,00 – R$ 20600,00 = R$ 200,00.

Respostas: a) R$ 20800,00b) diminuir em R$ 200,00

x2

�–––�25

202(–––)25

302(–––)25

OBJETIVO GV (Administração) — Junho/201025

OBJETIVOGV (Administração) — Junho/2010 26

RREEDDAAÇÇÃÃOO

TEXTO

“No mundo moderno, cuja legitimidade é baseada naliberdade e igualdade de seus membros, o poder não semanifesta abertamente como no passado. No passado, opertencimento à família certa e à classe social certa davaa garantia, aceita como tal pelos dominados, de que osprivilégios eram ‘justos’ porque espelhavam a ‘superiori -dade natural’ dos bem-nascidos (...).

A ideologia principal do mundo moderno é a ‘merito -cra cia’, ou seja, a ilusão, ainda que seja uma ilusão bemfundamentada na propaganda e na indústria cultural, deque os privilégios modernos são ‘justos’ (...). O pontoprincipal para que essa ideologia funcione é conseguirseparar o indivíduo da sociedade (...). O ‘esquecimento’do social no individual é o que permite a celebração domérito individual, que em última análise justifica e legi -ti ma todo tipo de privilégio em condições modernas.”

(Jessé Souza, A Ralé Brasileira, 2009, p. 43)

Escreva uma redação argumentativa discutindo o textoacima, na qual, além de seu ponto de vista sobre as ideiasdefendidas pelo autor, estejam explícitos os seguintesaspectos:

– em que consiste a meritocracia?

– por que o autor considera a meritocracia uma “ilusão”?

– de que maneira a meritocracia se manifesta na reali da -de brasileira?

Para avaliar a redação, serão considerados, principal -mente:

• o conhecimento de fatos históricos, geográficos e darealidade atual, necessários ao desenvolvimento dotexto;

• a correta expressão em língua portuguesa;

• a clareza, a concisão, a coesão e a coerência;

• a capacidade de argumentar.

Instruções:

– A redação deverá seguir as normas da língua escritaculta*.

– O texto deverá ter, no mínimo, 20 e, no máximo, 30linhas escritas.

– Textos fora desses limites não serão corrigidos, rece -ben do, portanto, nota zero.

– A redação deverá ser apresentada a tinta.

– A página 2 é destinada ao rascunho e não será con si -derada na correção da prova.

* As questões das provas do Vestibular foram elaboradasconforme as novas regras do Acordo Ortográfico da LínguaPortuguesa, promulgado, no Brasil, pelo Decreto 6.583, em29/09/2008. No texto escrito pelos candidatos, serão aceitosos dois Sistemas Ortográficos em vigor.

Comentário à proposta de Redação

Além de solicitar que o candidato expu ses se o pró -prio ponto de vista sobre as ideias defen didas por JesséSouza, em A Ralé Brasileira, a Banca Examinadoradeterminou que, na discussão a ser feita, estivessemexplícitos aspectos relativos à meritocracia.

Caberia, primeiramente, definir meritocracia emseu sentido original, a saber, o reconhecimento, naforma de recompensa, fundamentado no mérito indi -vi dual. Aplicando-se tal conceito ao Brasil, o candidatopoderia tecer algumas reflexões sobre a história doPaís, em que os privilégios sempre refle tiram a “supe -rioridade natural” dos “bem-nascidos”. Somen te hápouco tempo conceitos como desempenho, habilidade,esforço – entre outros –, passaram a ser lembrados.Seria apropriado, porém, observar que tais qualida -des, por estarem atreladas à igualdade de oportuni -dades, pouco são valorizadas. Para ilustrar essa tese,seria interessante lembrar as ações afirmativas quevêm sendo adotadas sobretudo no ensino superior, asquais, se por um lado criam oportunidades para aque -les que não tiveram acesso a um ensino de qualidade,por outro restringem o acesso dos mais qualificados.Essa tendência se torna ainda mais visível na infinida -de de funções públicas e de cargos de confiança,criados pelo Estado, que dispensam a necessidade deos funcioná rios se submeterem a concursos públicos.Restaria às empresas privadas, sob essa óptica, aimplementação da meritocracia, pois, desde o processode admissão, avaliam constantemente seus emprega -dos – quer para mantê-los no exercício de suasfunções, quer para promovê-los ou remanejá-los deacor do com suas aptidões, sem descartar a possibi lida -de de demiti-los caso não correspondam às expecta -tivas dos patrões. Em face dessas considerações, ameritocracia poderia representar uma “ilusão”, jáque, por dar prioridade ao individual em detrimentodo social, legitima “todo tipo de privilégio em con di -ções modernas”, afastando-se do seu significado realpara dar lugar aos bem relacionados, a parentes, aamigos. Em síntese, conti nua riam a prevalecer osmesmos critérios do passado, apenas revestidos deoutros nomes, eufemismos subor dinados à demagogiaou ao interesse de quem detém alguma forma depoder.