Módulo 7 – Função Exponencial

- 7/1 -

IESB – Instituto de Educação Superior de Brasília Engenharia e Ciência da Computação Cálculo 1

Módulo 7 – Função Exponencial

Como o função yx ln= é crescente, sua inversa existe e é também crescente.

Def: A função exponencial natural, denotada por exp, é a inversa da função logarítmica natural.

)exp(ln xyyx =⇔=

OBS: Como exp é a inversa de ln,

(1) ),0((ln) ∞=Dom Dom(exp) = ),( ∞−∞ Im (ln) = ),( ∞−∞ Im (exp) = ),0( ∞ (2) ln (exp x) = x e exp (ln x) = x

Como ln e =1 ⇔ exp (1) = e nene n == lnln ⇔ exp(n) = ne

Logo indicamos a função exp (x) com o símbolo xe ∈∀x R e chamamos de

função exponencial de base e.

OBS: Como exp é a inversa de ln, (1) ln ( xe ) = x e xe ln = x (2) O gráfico de xey = é obtido a partir do gráfico de xy ln= por reflexão na

reta y = x .

y = x

y = ln (x)

y = xe

Vemos que ,

0lim =−∞→

x

xe

∞=

∞→

x

xelim

Módulo 7 – Função Exponencial

- 7/2 -

Propriedades da função exponencial a) Se a = xe e b = ye temos

ax ln= e by ln=

yxyx eeabeabbayx ==⇔=+=+ +)ln(lnln ⇒ yxyx eee =+

b) Se xy −= , então 1== −− xxxx eee ⇒ xx

ee

1=−

c) yxyxyx

eeeee

1== −− ⇒ y

xyx

eee =−

d) ( ) pqqp ee =

Funções Exponenciais e Logarítmicas Gerais

Def: A função exponencial ax, é

axx ea ln=

para todo a > 0 e todo número real x .

Def: A função logarítmica de base a, é y

a axxy =⇔= log

Consideremos xy alog= ou yax = . Tomando o logaritmo natural de ambos os

lados os membros da última equação, obtemos

⇔=⇔=ax

yayxlnln

lnln ax

xa lnln

log =

Módulo 7 – Função Exponencial

- 7/3 -

OBS: Propriedades: Sejam a > 0 e b > 0. Se x e y são números reais, então,

(1) 10 =a (2) yxyx aaa =+ (3) xxx baab =)( (4) xyyx aa =)(

(5) xx

aa

1=− (6)

y

xyx

aaa =−

(7) Se 0 < a <1 então ln a < 0 x > y xyxayax aaaeeayax ⇒<⇒<⇒<⇒ lnlnlnln é decrescente

(8) Se a > 1 então ln a > 0 x > y xyxayax aaaeeayax ⇒>⇒>⇒>⇒ lnlnlnln é crescente Se a > b > 1

10, <<= aay x

1, >= aay x

1, >= bby x