módulo 5 - sistema de 1 e 2 grau

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. 69 69 Prof. Celso – Módulo 5 Sistemas de 1º e 2º grau Objetivo: Após levantar o modelo matemático do sistema, o mesmo deve ser analisado quanto ao seu desempenho antes que o mesmo seja executado definitivamente. Para isso é analisada a resposta do sistema a algumas entradas padrões (degrau, rampa, impulso, senoidais e outras). A resposta de um sistema de controle é composta de duas partes: a resposta transitória e a resposta estacionária. A resposta transitória é aquela que vai do estado inicial até o sistema atingir a resposta estacionária. A resposta estacionária é a aproximação do sistema à resposta desejada ou comandada. ) ( ) ( ) ( t c t c t c ss tr + = resposta transitória resposta estacionária Características importantes no projeto: - Estabilidade absoluta (se o sistema é estável ou instável) - Estabilidade relativa (oscilações em regime transitório) - Erro estacionário (Precisão do sistema: é a diferença entre a saída em regime estacionário (ou permanente) e a entrada). Sistemas de 1ª e 2ª Ordem Ordem do Sistema : A ordem do sistema é a mais alta potência da derivada da equação diferencial, ou a mais alta potência de s no denominador. Exercício 1: Quais a ordem dos sistemas abaixo: a) k cs ms s G b) + + = 2 1 ) ( 1 1 ) ( + = G RCs s c) 1 1 ) ( 2 + + = RCs LCs s G d) s RCs L R s G = + + 2 ) / ( 1 ) ( e) g h dt dh RA dt h d L p ρ ρ 2 2 2 + + = f) + + = vc v vcdt L dt dvc C R 1

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Apostila de Sistemas de Controle

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  • .

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    69

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Objetivo: Aps levantar o modelo matemtico do sistema, o mesmo deve ser analisado quanto ao seu desempenho antes que o mesmo seja executado definitivamente. Para isso analisada a resposta do sistema a algumas entradas padres (degrau, rampa, impulso, senoidais e outras). A resposta de um sistema de controle composta de duas partes: a resposta transitria e a resposta estacionria. A resposta transitria aquela que vai do estado inicial at o sistema atingir a resposta estacionria. A resposta estacionria a aproximao do sistema resposta desejada ou comandada.

    )()()( tctctc sstr += resposta transitria resposta estacionria

    Caractersticas importantes no projeto: - Estabilidade absoluta (se o sistema estvel ou instvel) - Estabilidade relativa (oscilaes em regime transitrio) - Erro estacionrio (Preciso do sistema: a diferena entre a sada em regime estacionrio (ou permanente) e a entrada). Sistemas de 1 e 2 Ordem Ordem do Sistema: A ordem do sistema a mais alta potncia da derivada da equao diferencial, ou a mais alta potncia de s no denominador.

    Exerccio 1: Quais a ordem dos sistemas abaixo:

    a) kcsms

    sG b) ++= 21)(

    11)( +=G RCss

    c) 1

    1)( 2 ++= RCsLCssG d) sRCsLRsG = ++ 2)/(1)(

    e) ghdtdhRA

    dthdLp 22

    2

    ++= f) ++= vcv vcdtLdtdvcCR 1

  • .

    70

    70

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Sistemas de 1 Ordem

    Forma Geral: 1

    1)()()( +== TssRsCsFT

    A equao diferencial de primeira ordem dada por:

    )()(.)]([ 001 trbtcadttcda =+

    Convertendo para o domnio da freqncia: )(.)(.)(.. 001 sRbsCasCsa =+ Rearranjando os termos para ficar igual forma geral:

    1

    1.1)./(

    /.)(

    )()(01

    00

    01

    0

    +=+=+== TsGsaaab

    asab

    sRsCsT

    Neste caso T = a1/a0 constante de tempo do sistema. A constante de tempo descrita como o tempo necessrio para que a resposta do sistema alcance 63% do seu valor final. Resposta ao Degrau Unitrio A transformada de Laplace para o degrau unitrio 1/s. Inserindo essa entrada em um sistema de primeira ordem, obtm-se:

    ]/1[/1.1.

    1

    1/1)(

    1)()(

    TssTG

    sTsG

    TsG

    ssC

    TsG

    sRsC

    +=+

    +==+==

    )(

    )(

    )(

    sC

    sFT

    sFT

    =

    ]=

    Utilizando a tabela de transformadas de Laplace, a inversa dada por: c 1.[)( /TteGt

    O grfico dessa funo mostrado acima. Note que quanto menor a constante de tempo , mais rpido o sistema responde.

  • .

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    71

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Exemplo 1: Um termopar tem como entrada a temperatura e a sada uma tenso. Considerando que o mesmo tenha uma funo de transferncia de:

    11010.30)(

    6

    +=

    ssG

    Qual ser (a) o tempo gasto para a sada do termopar alcanar 95% de seu valor final e (b) qual o valor final quando aplicada uma entrada degrau de 100 C?

    (a) A funo de transferncia dada de primeira ordem, comparando com a forma geral T = 10s. Para atingir 95% (ver grfico) necessrio 3.. Assim ser necessrio 30s para atingir 95%.

    (b) A sada do sistema para entrada a degrau dada por:

    ]110[10.3000100.

    11010.30)(

    11010.30

    )()()(

    66

    6

    +=+=+==

    sssssC

    ssRsCsG

    Para conhecer o valor final deve-se aplicar o teorema do valor final: )()(. limlim

    0tfsFs

    ts =

    logo: Vsss

    stfsst

    66

    0

    6

    010.3000

    ]110[10.3000

    ]110[10.3000.)( limlimlim

    =+=+=

    Exerccio 2: a) No grfico seguinte qual a funo de transferncia do sistema?

    b) Qual o valor inicial e o valor final quando for aplicado uma entrada degrau com uma amplitude de 7.

  • .

    72

    72

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Resposta Rampa Unitria A transformada de Laplace para a rampa unitria 1/s2. Inserindo essa entrada em um sistema de primeira ordem, obtm-se:

    ]/1[/1.1.

    1)(

    1/1)()(

    1)()()(

    2

    2

    TssTG

    sTsGsC

    TsG

    ssCsFT

    TsG

    sRsCsFT

    +=+=+==+==

    Utilizando a tabela de transformadas de Laplace, a inversa dada por: )]1(.[)( /TtetGtc = O grfico dessa funo mostrado ao lado Onde: r(t) - sinal de entrada y(t) - sinal de sada Aqui quanto menor a constante de tempo , menor o erro no estado estacionrio. Considerando G=1, o sinal do erro do sistema dado pela sada desejada (no caso a rampa r(t)) e a sada obtida (y(t)):

    TeeTteeTttte

    T

    Tt

    ===

    )()1()()]1([)(

    /

    /

    Exemplo 2: Um termopar tem como entrada a temperatura e a sada uma tenso. Considerando que o mesmo tenha uma funo de transferncia de:

    11010.30)(

    6

    +=

    ssG

    a) Quando o termopar estiver sujeito a uma entrada de temperatura rampa de 5 C/s, qual ser a sada aps ter decorrido 12s?

  • .

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    73

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Pela equao a constante de tempo T = 10s e G = 30.10-6 O sinal de entrada (rampa) no unitrio, portanto a equao da sada fica:

    )]1(.[.)( /TteTtAGtc = onde A a inclinao da rampa (5 C/s) Aps 12s a sada ser:

    Vxetc 410/126 105,7)]1(1012.[5.10.30)( ==

    b) Qual o atraso dessa sada em relao entrada? A entrada uma rampa com inclinao igual a 5, logo aps 12s o valor da entrada ser:

    VxtrtAGtr

    46 101812.5.10.30)12(..)(

    ===

    A sada aps 12s foi calculada no item anterior, logo o erro (ou atraso) entre a

    entrada e a sada ser: VxSadaEntrada 444 105,1010.5,710.18 == Resposta ao Impulso A transformada de Laplace para o impulso unitrio 1. Inserindo essa entrada em um sistema de primeira ordem, obtm-se:

    ]/1[/1.1.

    1)(

    11)()(

    1)()()(

    TsTG

    TsGsC

    TsGsCsT

    TsG

    sRsCsT

    +=+=+==+==

    Utilizando a tabela de transformadas de Laplace, a inversa dada por: TtetGtc /)/1.()( = Se o impulso tem uma amplitude A, ento a equao torna-se: TtetAGtc /)/1.(.)( =

  • .

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    74

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    A figura abaixo mostra a resposta para a entrada impulso unitrio:

    Quanto menor a constante de tempo T, mais rpido o sistema responde. Exemplo 3: Considerando a funo de transferncia do termopar igual a:

    11010.30)(

    6

    +=

    ssG

    a) Qual ser sua sada aps 5s se o termopar for sujeito a uma entrada de 100 C? Pela equao a constante de tempo T = 10s e G = 30.10-6 O sinal de entrada (impulso) no unitrio, portanto a equao da sada fica:

    VxetcetAGtc Tt

    410/56

    /

    108,1)10/1.(100.10.30)()/1.(.)(

    ===

    b) Qual ser o valor inicial e o valor final da sada?

    Vxss

    ssFstfssst

    666

    010300

    /11010.3000100.

    11010.30)(.)( limlimlimlim

    =+=+==

    Vss

    ssFstfssst

    0/110

    10.3000100.110

    10.30)(.)(6

    0

    6

    00limlimlimlim =+=+==

  • .

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    75

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Exerccio 3: Considere no circuito abaixo que a chave seja fechada no instante t=0. Obter a resposta do sistema quando a entrada for:

    a) Impulso com amplitude 5 V. b) Rampa com inclinao = 5 V/s.

  • .

    76

    76

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Sistemas de 2 Ordem

    Forma Geral: 222

    ..2)()()(

    nn

    n

    sssRsCsT

    ++==

    A equao diferencial de segunda ordem dada por:

    )(.)(.)]([)]([ 00122

    2 trbtcadttcda

    dttcda =++

    A equao diferencial de segunda ordem deve ser escrita na forma padro, isto , em termos da freqncia natural n e do coeficiente de amortecimento .

    )()(.)]([2)]([ 202

    2

    2

    trbtcdttcd

    dttcd

    nnn =++ onde: n freqncia natural, no qual o sistema oscila na ausncia do amortecimento. coeficiente de amortecimento.

    Convertendo para o domnio da freqncia, considerando que em t=0 temos

    c(t)=0 e d[c(t)]/dt=0: )(..)(.)(...2)(. 20

    22 sRbsCsCssCs nnn =++ Rearranjando os termos:

    222

    22

    2

    ..2.

    ..2)()()(

    nn

    no

    nn

    no

    ssb

    ssb

    sRsCsT

    ++=++==

    Os sistemas de segunda ordem podem ser apresentados, tambm, das seguintes formas:

    22

    2

    22

    2

    ..2..2)()()(

    n

    n

    nn

    n

    sssssRsCsT

    ++=++==

    onde:

    = .wn atenuao

  • .

    77

    77

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Resposta ao Degrau para um Sistema de Segunda Ordem A transformada de Laplace para o degrau unitrio 1/s. Inserindo essa entrada em um sistema de segunda ordem, obtm-se:

    ( )ssssCsR

    sssC

    sssRsCsT

    nn

    n

    nn

    n

    nn

    n

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    ..2)(

    )(...2

    )(

    ..2)()()(

    ++=++=++==

    Calculando as razes (m1 e m2) da equao de segundo grau: 22 ..2 nn ss ++

    2442 222 nnns =

    )1(

    )1(

    22

    21

    =

    +=

    nn

    nn

    s

    s

    A funo de transferncia anterior pode ser escrita em funo das razes da equao do segundo grau:

    ssssssC n

    ))(()(

    21

    2

    =

    O tipo de resposta que ocorre depende do valor do fator de amortecimento . Quando:

    idosubamortecsistemacomplexasrazes

    amortecidotecriticamensistemammdoeramortecisistemarealnmero

    n

    )1(1

    1sup)1(1

    2

    21

    2

  • .

    78

    78

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Resposta Degrau Unitrio para o Sistema subamortecido (0

  • .

    79

    79

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Se = 0 (somente parte imaginria) c(t) = 1 cos(wn.t) oscilaes permanentes. A figura seguinte mostra esta condio:

    Resposta Degrau Unitrio para o Sistema Criticamente Amortecido (=1) O sistema criticamente amortecido possui 2 razes (plos) reais e iguais. Para a entrada degrau unitrio:

    ( )( )22

    2

    22

    2

    ..21)(

    ..2)()(

    nn

    n

    nn

    n

    ssssC

    sssRsC

    ++=++=

    Escrevendo a equao acima em termos de suas razes e lembrando que s1 = s2 = -n (com = 1)

    ( )221)(n

    n

    sssC

    +=

    Assim, utilizando a transformada inversa de Laplace, a resposta do sistema dada por:

    )1(1)( tetc ntn +=

    A figura seguinte mostra o comportamento do sistema:

  • .

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    80

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Resposta Degrau Unitrio para o Sistema Superamortecido (>1) Este sistema possui dois plos (razes) reais e negativos. Para entrada degrau unitrio:

    ( )( )22

    2

    22

    2

    ..21)(

    ..2)()(

    nn

    n

    nn

    n

    ssssC

    sssRsC

    ++=++=

    Escrevendo em termos das razes do sistema:

    22 ..2 nn ss ++

    2

    442 222 nnns =

    )1(

    )1(

    22

    21

    =

    +=

    nn

    nn

    s

    s

    ))1()()1(()(

    22

    2

    +++=

    nnnn

    n

    ssssC

    Aplicando a transformada inversa de Laplace, a resposta no tempo dada por:

    +=

    +

    ++=

    +

    212

    )1(

    22

    )1(

    22

    21

    22

    .12

    1)(

    .)1(12

    1.)1(12

    11)(

    se

    setc

    OUeetc

    tstsn

    tt nn

    O comportamento do sistema mostrado na figura abaixo:

  • .

    81

    81

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    supera

    A figura seguinte mostra as curvas de resposta ao degrau unitrio:

    Um sistema subamortecido com entre 0.5 e 0.8 se aproxima mais rapidamente do valor final do que um sistema amortecido ou superamortecido. Sem oscilao, o sistema criticamente amortecido apresenta uma resposta mais rpida. O sistema

    mortecido possui a resposta mais lenta para qualquer tipo de entrada.

    Especificao da resposta transitria A figura ao lado mostra as caractersticas de um sistema de segunda ordem com uma entrada a degrau. Essas caractersticas so importantes para especificar o desempenho do sistema.

  • .

    82

    82

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Pela figura temos: td tempo de atraso (tempo requerido para que a resposta alcance metade de seu valor final). tr tempo de subida (tempo para que a resposta passe de 10% a 90% de seu valor final para sistema supermortecido, ou passe de 5% a 95% ou de 0 a 100% do valor final para sistemas subamortecido).

    dn

    r wwt

    =

    =21.

    tp tempo de pico (tempo para atingir o primeiro pico).

    dn

    pt

    =

    =21

    Mp Mximo de sobre-sinal (ou somente sobre-sinal) valor mximo de pico medido a partir da sada em regime permanente. Pode ser calculado por:

    %100)(

    )()(x

    cctc

    M pp = indica estabilidade relativa

    se o valor final for unitrio:

    )1/()/( 2 == eeM dp ts tempo de acomodao (temo necessrio para que a curva alcance os valores em uma faixa (2% ou 5%) do seu valor final.

    33%)5(44%)2( ====

    ns

    ns tt

    Nmero de oscilaes: o nmero de oscilaes que ocorrem no sistema a razo entre o tempo de estabilizao e o perodo:

    1123%)5.(112

    /2/4

    %)2( 22 === oscinoscilaesn o

    d

    no

  • .

    83

    83

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Objetivo: Fazer que um dado sistema chegue o mais rpido possvel ao seu valor final alterando as caractersticas dadas acima.

    Exerccio 4: Dada a seguinte funo de transferncia calcular: tempo de subida (tr), tempo de pico (tp), sobre-sinal (Mp) e tempo de acomodao para o critrio de 2% e 5%. Considerar que seja empregada uma entrada degrau unitrio e que o sistema seja subamortecido.

    256

    252 ++= ssFT

    Exerccio 5: Dado o grfico abaixo, obter a funo de transferncia do sistema:

  • .

    84

    84

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Resposta a Rampa Unitria Resposta Rampa Unitria para um Sistema de Segunda Ordem

    A transformada de Laplace para a rampa unitria 1/s2. Inserindo essa entrada em um sistema de segunda ordem, obtm-se:

    ( )( )22

    2

    2

    22

    2

    ..21)(

    ..2)()(

    nn

    n

    nn

    n

    ssssC

    sssRsC

    ++=++=

    Para: a) Sistema subamortecido (0

  • .

    85

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    esposta ao Impulso Unitrio

    A transformada de Laplace para o impulso unitrio 1. Inserindo essa entrada , obtm-se:

    R

    em um sistema de segunda ordem

    ( )( )22

    2

    ..2)(

    nn

    n

    nn

    sssC

    ++=

    Para: a) Sistema subamortecido (0

  • .

    86

    86

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Exerccio 6: Dado o diagrama de bloco abaixo, qual o tipo de amortecimento do sistema quando o mesmo sujeito a uma entrada degrau?

    xerccio 7: Qual funo de transferncia do sistema abaixo e o seu sobre-sinal uando sujeito a uma entrada degrau:

    C(s)

    Resp: Mp = 52,6% xerccio 8: Qual a resposta do sistema para a funo de transferncia abaixo, uando o mesmo for sujeito a uma entrada impulso unitrio.

    R(s) C(s) Eq R(s) Eq

    )4)(3(2)( ++= sssG

    Resp: c(t) = 2(e-3t e-4t)

    1 . 2 s 6s -16

    25 . s + 2s +25 2

    2

  • .

    87

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Exerccio 9: A relao entre o sinal de entrada para um captador de um radiotelescpio e a direo na qual ele aponta dada pela funo de transferncia:

    1008100)( 2 ++= sssG

    Qual o erro em regim perm nente quando o sinal de entrada do telescpio

    for uma rampa, e qual o tempo de estabilizao para o critrio de 2%.

    Resp: Erro Estacionrio = 0,08s ts = 1s

    xerccio 10: Calcule wn, , ts, tp e Mp da seguinte funo:

    e a

    E

    1212,13

    )( 2 ++= sssG 121

    87

    esp: wn = 11 = 0,6 ts = 0,357s tp = 0,606s Mp = 9,48% R

  • .

    88

    88

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Exerccio 11: Dado o diagrama de bloco abaixo, determinar K e b para que o sistema tenha um mximo de sobre-sinal de 25% para uma entrada degrau unitrio, e que o tempo de pico seja de 2s.

    C(s) + +

    Resp: K = 2,95 b = 0,471

    R(s) - -

    K . s

    1 . s

    b

  • .

    89

    Prof. Celso Mdulo 5

    Sistemas de 1 e 2 grau

    Exerccio 12: Achar a localizao dos plos (razes do polinmio do denominador) para as seguintes condies:

    Resp: - 6,66 j 9,885) ts = 7s e tp = 3s

    a) Mp = 12% e ts = 0,6s

    b

    89

    Resp: - 0,57 j 1,047

  • .

    90

    90

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    ECO MATLAB

    Com o matlab as representaes grficas das curvas de resposta em funo do seguintes comandos:

    rampa de entrada pulse(num, den, t) entrada impulso

    v el, o j mostra

    e utilizar o comando lot pa e onda:

    Utilizando o matlab faa um estudo da seguinte funo de transferncia onsiderando = 0.4, 1 e 2

    S tempo so dadas pelos step(num, den, t) entrada degrau onde t a base de tempo lsim(num, den, r, t) entrada rampa im Se o comando no for atribudo a alguma ariv o prprio comanda representao grfica: Se os comandos forem atribudos a alguma varivel deve-sp ra visualizar os grficos. til quando for plotar vrias formas d plot(t,x) plota o grfico de x pela base de tempo t. c

    10010..22 ++= ssG

    100

    num = [0 0 10] den = [1 8 10] t=0:00.1:10;

    % reta linear % j mostra o grfico da entrada degrau

    , r, t); % mostra o grfico da entrada rampa rfico da entrada impulso

    r = t; step(num, den, t);lsim(num, denimpulse(num, den, t); % mostra o g

    num = [0 0 10] den = [1 8 10] t=0:00.1:10; r = t; % reta linear

    , t); % no mostra o grfico , den, r, t); % no mostra o grfico

    pulse(num, den, t); o grfico

    oso

    rid % tira a grade do grfico tradas no grfico

    l( empo) l( olts)

    x = step(num, deny = lsim(numz = im % no mostra plot(t,x,t,y,t,z) % m tra os grficos grid % coloca grade no grficgtitle(estudos en ) % coloca ttuloxlabe t % coloca o rtulo no eixo xylabe v % coloca o rtulo no eixo y

  • .

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    91

    Prof. Celso Mdulo 5 Sistemas de 1 e 2 grau

    Sensor de Proximidade Indutivo SIP- 98 / K-7 Os sensores de proximidade Indutivos SIP-98, so utilizados com vantagens como

    mites e fim de curso em:

    tncia de manuteno e ajustes. ou controle eletrnicos

    e.

    a e vibraes.

    ificada quando algum ecessrio o contato do

    dificao na oscilao interpretada em um circuito

    /50HZ. cia sensora: 35mm.

    encomenda) -Faixa de temperatura: 15 70C.

    li-Mquinas operatrizes correias transportadoras, processos de automatizao e indstria em geral. Vantagens - Atuao sem contato fsico. Inexis-

    - Acionamento de rels diretamente com carga em sri- Tempo de vida til muito longo. - Tenso de alimentao com ampla faixa em cor- Unidade encapsulada prova de poeira,leo,gu

    rente alternada.

    Princpio de Funcionamento

    dPossui um oscilador de rdio frequncia, cuja oscilao moorpo metlico corta o campo magntico da bobina. No nc

    corpo com o sensor. Esta mocomparador, que ir ativar o gate de um tiristor, tal como uma chave liga/desliga em estado slido. Dados Tcnicos -Tenso de operao 20 20VAC/60HZ

    -Tipo: N.A. ou N.F. (especificar na 2-Mxima distn-Contatos de sada: Comutao tiristor,corrente mxima 700 miliamper Corrente de consumo: 1,2 miliampr

    -Comprimento do cabo: 2 metros. -Funes N.A. ou N.F.

    Dimenses Fsicas

    IMETRO..........................................................................54mm LTURA...............................................................................35mm

    E FUROS................................................68mm ORA........................................................25mm

    MATERIAL DO INVLUCRO...............................................PLSTICO ABS GRAU DE PROTEO........................................................IPI-67

    DADISTNCIA ENTRDISTNCIA SENS