MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 

Módulo (ou valor absoluto) de um número

0 se ,

0 se ,

xx

xxx

O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira:

  

Então:

x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x.

      Exemplos:  | 2 | = 2  ;  | 1/2 | = | 1/2 |  ;  | 15 | = 15.  x é negativo, | x | é igual a –x.

      Exemplos:  |–2 | = –(–2) = 2  ;  |–20 | = –(–20) = 20.

Exemplos:

1) Calcular o valor dos módulos:

a) | | 4 – 3 | – | 6 – 8 | |

b) 4 – | 8 + 3 – 16 |

c) | | 2 | – | 10 | |

2) Simplificar as expressões:

a) E = | x – 3| + | x – 1|, para x = – 4.

b) E = | x³ + x| - | x² - 3x + 1|, para x = – 2.

FUNÇÃO MODULAR

Denomina-se função modular à função f(x) = |x| definida por:

.,,

,)( realxtodopara

xsex

xsexxf

GRÁFICOS

Exemplos:01) Construir o gráfico da função f(x) = |x|.

1º passo: Construir o gráfico da função f sem o módulo.

para x = 0, y = 0 (0,0) para x = 1, y = 1 (1, 1)

0 x

y

1

1

2º passo: Conservamos os pontos de ordenadas positivas e transformamos os de ordenadas negativas em seu simétricos em relação ao eixo das abscissas, obtendo assim o gráfico de f(x).

0 x

y

1

1

2) Construir o gráfico da função f(x) = |2x – 6|.

1º passo: Construir o gráfico da função sem o módulo: g(x) = 2x – 6

2º passo: Rebater os valores negativos da ordenada.

3) Construir o gráfico da função f(x) = |x² – 4x + 3|.

04) Observe o gráfico da função g: Agora, observe o gráfico da função f = |g|:

O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo.

Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim:

     

Se | x | < a (com a > 0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre – a e a, ou seja,

| x | < a -a < x < a.

Se | x | > a (com a > 0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de – a na reta real, ou seja: | x | > a x > a ou x < – a. 

Equações modulares 

Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular. Exemplos:

Resolver as equações a seguir:

a)|x – 4| = 6

b)|2x – 6| = 2

c) | – x + 2| = – 3

d)|x – 4| = |2x + 1|

e)|2x – 6| = |x – 2|

f)|2x – 3| = x – 2

g)|4x + 5| = x + 1

h)|x|² – 5|x| + 4 = 0

i)|x|² – |x| – 2 = 0

j) |3x² – x – 1| = 1

Inequações modulares 

Uma inequação é modular quando a incógnita se apresenta em módulo. 

Sendo a > 0, temos:

1) |x| > a

ax

ou

ax

2) |x| a

ax

ou

ax

3) |x| < a –a < x < a

4) |x| a –a x a

Exemplos:

1) Resolver as inequações em R:

a) |2x – 1| > 3.

b) |x – 4| 1.

c) |2x – 4| 1.

d) |x – 7| < 0.

e) |x|² – 4|x| + 3 0

Aprofundamento

Resolva a equação |x – 1| + |x – 2| = 4

Resolução:Construir o quadro de sinais:

Analisando o quadro de sinais, temos:

para x ≥ 2 2x – 3 = 4 x = 7/2

para 1 ≤ x < 2 1 = 4 absurdo

para x < 1 – 2x + 3 = 4 x = – 1/2

Analisando as respostas, a 1ª e a 3ª satisfazem as suas respectivas condições de contorno, a 2ª é um absurdo.

S = { –1/2; 7/2}