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7/25/2019 Modelos_Continuos

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UNIDAD III Bioestadstica

Modelos de Probabilidad Continuos 1

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

1. Modelo Uniforme

Se aplica a una variable que puede asumir con igual probabilidad cualquier valorreal dentro de un intervalo acotado , , con . Luego, la masa total de probabilidadse distribuye en forma uniforme o constante en todo el intervalo. Tambin se la conocecon el nombre de distribucin rectangular por la representacin grfica de su funcin dedensidad.

La funcin de densidad de la variable uniforme tiene la siguiente expresin yrepresentacin grfica.

=

x

xsixf

0

1

)(

Por lo tanto, la probabilidad de que la variable tome valores dentro de un intervaloincluido en el recorrido, o sea, , , , es proporcional a la longitud de dicho intervalo.Si , con , , entonces con lo cual se deduce quecorresponden idnticas probabilidades a intervalos de igual amplitud, siempre que dichosintervalos estn incluidos en , .

Se verifican las condiciones de no negatividad y de cierre, requisitos para serconsiderada funcin de densidad:

1)(11

)()2

01

)(.)1

===

>

=

dxdxxf

puesRxxf x

La funcin de distribucin acumulada se expresa y grfica de lasiguiente forma:

>

+>

Verificacin:

ttetTPetFT .. )(1)()exp(~

=>=

)()(

)(

)(

)()/( ...).(

.

).(

tTPeee

e

sTP

stTP

sTP

sTstTPsTstTP

tsst

s

st

>====>

+>=

>

>+>=>+> ++

+

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0 10 20 30 40 50 60

f(x)

= 12.5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 20 40 60

F(x)

= 12.5


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3. Modelo Normal

Es el ms utilizado en las experiencias cientficas, razn por la que se le da mayorimportancia. La ecuacin de esta curva fue originalmente publicada en 1733 por Moivrequien no supo aplicar sus resultados a las observaciones (como lmite de la binomial). Almismo resultado llegan dos astrnomos matemticos Laplace y Gauss,independientemente uno del otro. Llegaron a ella estudiando la distribucin de los erroresde las observaciones, en particular los errores producidos en la medicin de las rbitas de

los astros. Existen importantes razones para afirmar que es la distribucin mssignificativa del anlisis estadstico.

Una importante cantidad de poblaciones correspondientes a variables aleatoriascontinuas siguen la ley normal. Ej: estatura de individuos adultos, resistencia a latraccin de un gran nmero de muestras de acero, dimetro de arandelas, aumentode peso de animales sometidos a determinadas dietas.

Esta distribucin sirve como buena aproximacin de muchas variables aleatoriasdiscretas (binomial, poisson)

En teora estadstica, la hiptesis de normalidad de las variables aleatorias, permitesolucionar problemas de tipo terico, justificando o rechazando la aplicacin delmtodo.

Definicin: Una variable aleatoria continua tiene una distribucin Normal si su funcinde densidad tiene la siguiente expresin:

f x e para x

x

( )= < <

1

2

1

2

2

siendo una constante cualquiera, y una constante positiva, 0. Es una curvasimtrica en forma de campana, asinttica al eje de las abcisas, que alcanza su valor

mximo en , siendo 2 y tiene dos puntos de inflexin: en y , y prcticamente es nula para 4 . y para 4 . .

Veamos que verifica con las condiciones de no negatividad y de cierre, requisitos

para ser considerada funcin de densidad:Como > 0, entonces 2 > 0 , luego f(x) > 0, x R.

=

2

2

2

1

dxeComo

x

,entonces 1).(;12

1

2

2

1

==

dxxfdxe

x

Luego

2

2

1

2

1)(

=

x

exf es funcin de densidad.

Los parmetros son y , que representan la media y el desvo estndar de la variable .La notacin utilizada es ~ , La esperanza y la variancia son:

E(X)= V(X)= 2

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

f(x)

= 5 = 1.2


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Grficas de distribuciones normales para distintos valores de los parmetros:

Funcin de Distribucin (o de probabilidad acumulada):

==x

sx

dsedssfxF

2

2

1

2

1)()(

para la cual no existe una expresin matemtica. Su representacin grfica es la siguiente:

No contar con una expresin matemtica de , hace impracticable el clculo inmediatode las probabilidades.Por esta razn, se han tabulado los resultados de la funcin de distribucin de una variablenormal con media nula ( 0) y variancia igual a la unidad ( 1). Esta variablerecibe el nombre de variable normal estndar; y cualquier variable normal puede sertransformada en una normal standart mediante operaciones matemticas. Ese proceso detransformacin se denomina estandarizacin:

Variable Normal Estndar

Sea ~ , por lo tanto y 2La variable normal standard la simbolizamos con Z y se define:

ZX

y tiene E Z y V Z=

= =

( ) ( )0 1

La funcin de densidad de esta variable Z est dada por :


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4. Distribucin Chi-Cuadrado

Surge de la suma de los cuadrados de variables independientes normalesestandarizadas.

Sean , , , . . . . . . , iid (independiente e idnticamente distribuidas) 0,1y seala variable

X Zi

i

n=

=

2

1

= + + +X Z Z Z y Xn n12

22 2 2

..... ~

La funcin de densidad de esta variable aleatoria est dada por la siguiente expresin:

f xx e

n

para x

n

x

n( )

( / )

=

2

12

22 2

0

El nico parmetro de esta distribucin es que representa el nmero de grados delibertad, y equivale a la cantidad de variables independientes que intervienen en la suma.

Propiedades:

1. Si

~ 0,1 entonces

~

2. Si y son dos variables independientes con:~y ~ entonces ~ (propiedad aditiva)

3. De las dos primeras propiedades se deduce que si ~ 0,1y , , . . . . , sonobservaciones de la variable que constituyen una muestra al azar, entonces:

~

4. De esta ltima propiedad (3), se deduce que si ~ , y , , . . . . , son observaciones de la variable que constituyen una muestra al azar, entonces:

~ ya que ~0,1 1 , 2 , ,

5. Si ~, entonces y 2 la distribucin queda completamentedefinida por sus grados de libertad, que constituyen su nico parmetro.

6. Esta variable, por ser una suma de cuadrados, siempre toma valores positivos,por lo tanto vara de cero a infinito.

7. La distribucin de la variable es asimtrica a derecha. Sin embargo, cuando aumenta, se aproxima a la distribucin Normal. Es decir

n

D

n

D

N n n cuando n

si X entoncesX n

nN cuando n

2

2

2

20 1

( , )

~ , ( , )

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

f(x)

n = 5

n = 15


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5. Distribucin T-Student

Surge del cociente de una variable normal estndar y la raz cuadrada de unavariable chi cuadrado dividido sus grados de libertad, siendo las variables independientes.

Sean e dos variables aleatorias independientes con ~ 0,1e ~y sea lavariable

XZ

Y nX t

n

= /

~

La funcin de densidad de esta variable aleatoria X est dada por la siguiente expresin:

f xn

n

n

x

nx

n

( ) . . ,=

+

+

< <

+

1

1

2

2

1

2

1

2

El nico parmetro de esta distribucin es que representa el nmero de grados delibertad, y coincide con el nmero de grados de libertad de la variable chi cuadrado.

Propiedades:

1. La variable t, (como la Normal), toma valores de ,.

2. Si X X X X iid N entoncesX

nX X X X

tn

n

n0 1 2

0

1

2

2

2

3

2 2

0 11

, , ,....... ( , ) , :

( .......

~

+ + + +

3. La distribucin t-Student es simtrica con media y variancia

0 , 1 n

n 2 , 2

4.

La variable t-Student tiene mayor dispersin que la Normal estndar

1; pero su variancia tiende a 1 a medida que aumenta ladistribucin t-Student tiende a la distribucin Normal estndar a medida queaumentan los grados de libertad. Es decir:

t N para nn

D ( , )0 1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x)

n = 5


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6. Distribucin F-Snedecor

Surge del cociente de dos variables chi-cuadrado independientes, cada una divididapor sus respectivos grados de libertad.

Sean e dos variables aleatorias independientes con:Z y Y y sea la iable X

Zm

Y

n

X Fm n m n

~ ~ var ~,

2 2

=

La funcin de densidad de esta variable est dada por la siguiente expresin:

f x

n m

n m

m

nx

mx

nx

mn

n m

( ) . ,=

+

+

+

2

2 2

1 02

21

2

Esta distribucin tiene dos parmetros: y , que representan los grados delibertad, y estos nmeros coinciden con los grados de libertad de las variables chi cuadradodel numerador y denominador, respectivamente.

Propiedades:

1. La variable toma valores positivos, por ser cociente de dos variables queasumen valores positivos.

2. Si , , . . . . . . , iid 0,1y , , . . . . . . , iid 0,1, entonces:1

1

1

2

2

2

3

2 2

1

2

2

2

3

2 2

mY Y Y Y

nZ Z Z Z

F

m

m

m n

( ........ )

( ........ )

~,

+ + + +

+ + + +

3. Si ~ ,, entonces su media y variancia son:

4,)4()2(

)2(2)(2,2)( 2

2

>

+=>= nnnm

nmnXVnn

nXE

4. De (2) resulta que: si , , . . . . . . , iid , y , , . . . . . . , iid , ,entonces con y independientes, entonces:

2

1

2

2

1

2

,

1

2

1

2

~

~

~1

1

n

n

i z

zi

m

m

i y

yi

nmn

i z

zi

m

i y

yi

Zy

Yqueya

FZ

n

Y

m

=

=

=

=

5. La distribucin F-Snedecor es asimtrica a derecha, pero su asimetra se reduce a

medida que aumentan los grados de libertad y .6. Si ~ , entonces ~ ,

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0 1 2 3 4 5

f(x)

n= 6

n= 65

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