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MODELOS NUMÉRICOS EM GEOCIÊNCIAS

José Ricardo Sturaro1, José Silvio Govone2

1DGA/IGCE/UNESP/ Rio Claro, SP, Brasil, [email protected]

2DEMAC/IGCE/UNESP/ Rio Claro, SP, Brasil, [email protected]

Resumo: A aplicação de métodos ou modelos numéricos

em Geociências tem aumentado consideravelmente nas

ultimas décadas. Isto se deve ao fato prático do avanço

extraordinário da informática que possibilitou o

processamento de grande quantidade de informações,

comumente encontrada como resultados dos fenômenos em

Geociências. Considerando que estes resultados não se

adequam aos modelos determinísticos, recorreu-se aos

fundamentos das variáveis aleatórias, cujo processamento

intenso, possibilita obter um dos alvos mais importantes da

Geociências, que são as estimativas em locais não

amostrados. Dentro deste contexto, destacam-se os métodos

estatísticos e geoestatísticos ou, ainda, modelos numéricos

determinísticos, porém conduzidos pelos procedimentos

estocásticos.

Palavras-Chave: Geoestatística, Variograma, Krigagem

1. INTRODUÇÃO

Os modelos matemáticos básicos aplicados em

Geociências são os modelos determinísticos e os

probabilísticos.

Os modelos determinísticos são os que apresentam

resultados exatos, como por exemplo, a área de um círculo,

o volume de uma esfera ou ainda aproximações físicas

como a velocidade de queda de um objeto no vácuo e

outros.

Os modelos probabilísticos estão relacionados com as

variáveis aleatórias. Estas variáveis podem assumir um valor

entre muitos valores possíveis, isto é somente um valor fixo

é insuficiente para descrever um dado probabilístico. Por

exemplo:

- um lançamento de um dado produz valores aleatórios

dentro de um conjunto [ 1, 2, 3, 4, 5, 6]

O conjunto de resultados e suas probabilidades

associadas são denominados como lei de probabilidade ou

distribuição de probabilidade de uma variável aleatória.

Apesar da nossa ignorância dos mecanismos que

influenciaram no valor da variável, é possível prever a um

valor médio em locais não amostrados, baseado nos dados já

coletados, de acordo com os recursos das funções aleatórias.

Solos e rochas, dos quais resultam as propriedades

geocientificas constituem-se de materiais de elevada

heterogeneidade e conforme a escala de mapeamento a ser

adotada, a hipótese de uma classificação homogênea pode se

revelar totalmente inadequada. Este importante aspecto

torna-se mais evidente quando se deseja quantificar as

propriedades dos solos ou das rochas, sem considerar a

variabilidade natural destas propriedades. Nestes casos, é

usual a atribuição de valores numéricos para zonas

consideradas homogêneas, os quais, porém, não apresentam

qualquer significado prático. A variabilidade é considerada

por somente um único valor, cuja determinação seguramente

envolve julgamentos pessoais ou, ainda, é ignorada, quando

a média aritmética ou outro valor médio, obtidos do

conjunto de amostras, são empregados como parâmetros no

modelamento dos projetos.

Por outro lado a aplicação da estatística clássica está, por

razões formais, limitada, nas avaliações de variabilidade,

pela dispersão dos valores em torno de um valor médio ou

de tendência central. A variabilidade espacial das

Proceedings of the 9th Brazilian Conference on Dynamics Control and their Applications Serra Negra, SP - ISSN 2178-3667 1489

Titulo do Trab Autor 1, Autor 2, Autor 3, etc.

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propriedades físicas, resultantes de uma formação complexa

como solos e rochas, requer um novo conjunto de

ferramentas para sua análise.

A importância da variabilidade espacial pode ser

ressaltada, por exemplo, quando se classificam solos

segundo algumas propriedades geotécnicas, isto é dois solos

distintos podem possuir a mesma distribuição de freqüência,

com médias e variâncias estatisticamente iguais, porém a

variação espacial das propriedades em análises, dentro de

cada tipo de solo, pode ser completamente diferente.

As propriedades em geociências, dado às suas

características, enquadram-se no universo de variáveis,

cujos valores são respostas a processos naturais, como

geológicos, pedológicos e outros. Desta forma, a

metodologia da geoestatística, fundamentada nos modelos

probabilísticos, constitui uma abordagem apropriada para

quantificar a aparente aleatoriedade das variáveis

geociencientíficas, efetuando estimativas e avaliando-se

incertezas.

Na análise Geoestatística, a variabilidade espacial é

avaliada e modelada, para em seguida se empregar técnicas

apropriadas de estimativas, cujos resultados serão imagens

representativas da distribuição no espaço, das propriedades

que estão sendo analisadas.

É necessário ter-se um modelo do comportamento

do fenômeno natural do qual resultou as variáveis em

estudo, entretanto o conhecimento em detalhes do

comportamento de fenômenos naturais, é de difícil alcance.

Basta imaginar a gênese complexa do teor de argila, como

produto da ação do intemperismo sobre as rochas,

originando os solos ou então a formação de uma pluma de

contaminação por efluentes tóxicos. Caso houvesse um

perfeito conhecimento dos processos físicos e/ou químicos

que geraram os valores das variáveis, poder-se-ia, então,

usar modelos determinísticos com um número pequeno de

amostras, para se fazer estimativa. Acontece, porém, que

para a análise das variáveis, oriundas de fenômenos naturais,

é necessário admitir alguma incerteza nos resultados das

variáveis associadas a esses fenômenos nos diversos

pontos de amostragem.

Tal complexidade de processos que originam os dados, faz

parecer que os mesmos possuem um comportamento

aleatório, quando, de fato, eles apenas refletem o

desconhecimento que se tem de todos os processos e de suas

interações no fenômeno natural. Dentro deste contexto, os

modelos probabilísticos surgem como uma alternativa

consistente para modelar este comportamento, por meio do

uso de funções aleatórias.

Para contornar esta situação, pode-se trabalhar com

determinadas funções aleatórias, definidas em condições de

estacionariedade espacial, que fornecem subsídios para

estimar os parâmetros básicos da distribuição de

probabilidade em locais não amostrados.

2. FUNÇÃO VARIOGRAMA

Dentre as funções que são utilizadas em

geoestatística, destaca-se o semivariograma derivado do

momento de inércia calculado para uma variável Z(x) em

diversos intervalos de distância para uma direção h, cujo

gráfico da Figura 1 demonstra a dedução do semivariograma

[8].

Figura 1: Diagrama de dispersão de uma variável Z(x)

para uma determinada distância h.

O momento de inércia, definido neste contexto

como semivariograma, constitui-se na metade da média das

diferenças quadráticas entre as coordenadas de cada par de

pontos do diagrama de dispersão espacial de Z(x), ou seja:


3

2-

121

Variograma

+=

=

hx

Zx

Zn

in

(1)

O valor ½ da equação representa a distância

perpendicular dos pontos em relação à linha de 45º (graus)

do diagrama de dispersão. Esta divisão por dois resulta na

denominação de semivariograma, porém, muitos autores

chamam simplesmente de variograma

De forma geral, o semivariograma é a função de

incremento com a distância h em uma determinada direção

visto que, quanto mais afastados forem os pontos de

amostragem, mais seus valores em média deverão ser

diferentes. Esta característica reflete bem a noção de zona de

influência de uma amostra [9].

Figura 2 – Esquema padrão de um modelo variográfico

perfeito

Desta forma, quando se calcula o momento de inércia

para vários intervalos de distância, elabora-se um gráfico

para uma determinada direção, denominado de

semivariograma experimental da variável Z(x). Estes

semivariogramas são normalmente feitos para várias

direções, notadamente aquelas que possuem maior e menor

continuidade da variável, constatadas em trabalhos

preliminares de campo e mapas de isovalores das

propriedades que estão em análise.

Para a confecção do semivariograma as seguintes

suposições básicas são requeridas:

- as diferenças entre pares de valores de amostras

são determinadas pela orientação espacial relativa dessas

amostras;

- ao assumir as condições de estacionariedade os

valores da área de interesse não apresentam tendência que

possa afetar os resultados e assim a preocupação será apenas

com a variância das diferenças entre valores das amostras.

Nota-se neste caso que uma função do tipo esférica é

representativa da seqüência probabilística proposta, isto é,

quando a probabilidade do evento anterior ocorrer é de 3/4.

3. ESTIMATIVA LINEAR: KRIGAGEM

A krigagem constitui-se num método de estimativa

linear e local, efetuado dentro de vizinhanças estacionárias,

que procura minimizar, sem viés, o erro de estimativa,

levando em consideração as características espaciais de

autocorrelação de variáveis regionalizadas. Nessas variáveis

deve existir certa continuidade espacial, o que permite que

os dados obtidos por amostragem de alguns pontos possam

ser usados para parametrizar a estimação de pontos onde o

valor da variável seja desconhecido. Ao ser constatado,

inclusive, que a variável não possui continuidade espacial na

área estudada, não tem sentido efetuar estimativas e/ou

interpolações usando a krigagem.

Obedecida, porem essa condição a krigagem pode

ser aplicada para:

1) previsão do valor pontual de uma variável regionalizada

em um determinado local dentro do campo geométrico; é

um procedimento de interpolação exato que leva em

consideração todos os valores observados, o qual pode ser a

base para cartografia automática por computador quando se

dispõe de valores de uma variável regionalizada dispostos

por uma determinada área;

2) cálculo médio de uma variável regionalizada para um

volume maior que o suporte geométrico da amostragem.

O estimador pode ser assim expresso:


Titulo do Trab Autor 1, Autor 2, Autor 3, etc.

4

( )1

* Zn

iii xZ

=

= λ

(2)

onde são os pesos associados às informações Z(xi) e Z*

refere-se à estimativa de um ponto, de uma área ou de um

volume.

Existe uma infinidade de pesos que podem ser

atribuídos aos valores de Z(xi), entretanto há interesse

somente por uma combinação que forneça o melhor

estimador não enviesado. As condições básicas para que esta

situação seja atingida são: o valor estimado deve ser não

enviesado e a variância da estimativa ser minimizada

O não viés requer que o erro de estimativa seja em

média igual à zero:

( ){ } 0- * =ZxZE o (3)

Para isso é necessário estabelecer a condição

,1i =λ

visto que,

{ } ( ){ }oi* xZE=m=ZE

(4)

onde { }*zE é a variância mínima de estimativa

A equação geral da variância de estimativa, que usa

um conjunto de amostra is pode ser assim expressa:

( ) ( )1 1 1

,-, 22n

i

n

i

n

j

jsisjiVisiE

= = =

= γλλγλσ

),(_

VVγ+ (5)

onde : iλ são os pesos para cada amostra is

γ é a função semivariograma médio

V corresponde ao domínio a ser estimado, podendo ser um

bloco, área ou ponto v é um elemento do conjunto de

amostras com suporte v.

O significado de cada termo da equação geral de

variância de estimativa é o seguinte:

( )Vv,γ: representa o semivariograma médio entre os

elementos do conjunto de amostras estimadoras com suporte

v e o domínio v a ser estimado; este termo considerada a

posição das amostras em relação á unidade a ser avaliada.

( )vv,γ: constitui-se no valor médio do semivariograma

entre todas as amostras estimadoras de suporte v, situadas na

vizinhança de estimativa; este termo considera a influência

relativa das posições das amostras.

( )VV ,γ: representa o valor médio do semivariograma

entre todos os possíveis pontos dentro da unidade V; desta

forma são consideradas as feições geométricas da unidade a

ser estimada.

Para minimizar esta equação, sujeita a condições de

não enviezamento = 1iλ , em relação aos ponderadores

iλ , faz-se o uso da técnica Lagrangiana, com o

desenvolvimento das n derivadas parciais e igualando-as a

zero; matematicamente, tem-se:

02

=i

E

δλδα

para i = 1, 2, 3.......n

(6)

Este procedimento gera um sistema linear de n+1 equações,

conhecido como sistema de equações de krigagem. A

solução deste sistema gera os ponderadores ótimos assim

como, a variância da estimativa.

REFERÊNCIAS

[1] CLARK, I. Pratical geostatistics. London: Applied Science Publishers , 1979. 129p

[2] DAVIS, J.C. Statistics and data analysis in geology. New York: John Wiley , 1986. 646p.

[3] DEUTSCH, C.V. Geostatistical Reservoir Modeling. Oxford University Press. New York, 2002. 376 p.


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[4] DEUTSCH, C.V., JOURNEL, A.G. GSLIB: Geostatistical Software Library and User’s Guide: 2nd. Ed. Oxford Univ. Press, New York, 1992.

[5] GOOVAERTS, P. Geostatistics for Natural Resources Evaluation. Oxford Univ. Press. New York, 512 p. 1997.

[6] GOOVAERTS, P. Geostatistics in soil science: state-of-the-art and perspectives. Geoderma 89, 1-47, 1999.

[7] ISAAKS, E.H.; SRIVASTAVA, R.M. Applied geostatistics. New York: Oxford University Press, 1989. 561p.

[8] JOURNEL, A.G.; HUIJBREGTS, J.C.H. Mining geostatistics. London: Academic Press, 1989. 600p.

[9] MATHERON, G. Traité de Géostatistique appliquée. Memóires du Bureau de Recherches Géologiques et Miniéres, 1962. tome I, 333p. tome II, 172p.

[10] OLEA, R.A. Systematic sampling of spatial function. Kansas: Kansas Geological Survey, 1984. 57p. (Series on Spatial Analysis, 7).

[11] RENDU, J.M. An introduction to geostatistical methods of mineral evaluation. Johannesburg: Institute of Mining and Metallurgy, 1978. 83p


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