modelos geométricos transformações - autenticação · rotação (4/4) propriedades preserva...
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Modelos GeométricosTransformações
Instituto Superior Técnico
Edward Angel, Cap. 4
Instituto Superior Técnico Computação Gráfica
2009/2010
1
Aulas teóricas 11/03
Quinta-feira, dia 11 de Março
Não vão ser leccionadas aula teóricas.
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Não há necessidade de aula de compensação.
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Indiquem o campus a que pertencem!
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Alameda ou Tagus
Objectivos
� Aprender diferenças entre � CG vectorial e raster (quadrículas)
� Conhecer evolução nos últimos 40 anos de� conceitos, sistemas, equipamentos, normas, aplicações
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� conceitos, sistemas, equipamentos, normas, aplicações
� Saber quais as entidades necessárias para criar a imagem de uma cena e saber justificar
� Conhecer o pipeline de visualização
� Saber quais os andares de um pipeline
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Sumário
� Modelos Geométricos
� Transformações Geométricas
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� Transformações Geométricas
Computação Gráfica
Modelos GeométricosModelos Geométricos
Modelos Geométricos (1/8)
� Permitem modelar objectos complexos� Modularmente� Usando conjunto limitado de primitivas
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� Usando conjunto limitado de primitivas� Recorrendo a composição hierárquica
Modelos Geométricos (2/8)
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Modelos Geométricos (3/8)
� Descrevem objectos geométricos� Para produção de representação gráfica...
Mas não só!
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� Mas não só!� Podem servir uma grande variedade de áreas
Modelos Geométricos (4/8)
Simulação
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Modelos Geométricos (5/8)
CAM
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Modelos Geométricos (6/8)� Descrevem
� Forma dos compontentes (geometria)� Outros atributos gráficos dos componentes
� Cor � Textura
...
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� ...
� Ocupação espacial dos elementos� Conectividade dos componentes (topologia)� Informação específica da aplicação
� Características dos elementos� Tipo de material� Propriedades magnéticas� ...
Modelos Geométricos (7/8)Principais Vantagens
� Hierarquia modular� Organização em árvore ou DAG
� Construção ascendente (bottom-up)
Permitem construir modelos geométricos
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� Permitem construir modelos geométricos� A partir de primitivas básicas
� Propagação de actualizações� Alteração num componente reflecte-se no modelo
� Ex.: aumentar comprimento de braço do robot
Modelos Geométricos (8/8)
� Geometria e ocupação espacial
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� Definidas com Transformações Geométricas
Computação GráficaTransformações GeométricasTransformações Geométricas
Mover Objectos (1/3)
Objectivo: Mover a seta de aqui para ali
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(aqui)
(ali)
Mover Objectos (2/2)
� Problema� Quantificar “aqui” e “ali”
Objectivo: Mover a seta de aqui para ali
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(aqui)
(ali)
Mover Objectos (2/2)
� Solução� Utilizar Sistema de Coordenadas
� Descreve espaço numericamente� Fornece métrica para descrever distância entre pontos
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� Fornece métrica para descrever distância entre pontos
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6
Exemplo: linha de -2 a 3 tem comprimento 5
Espaços Cartesianos
Exemplos: 1D, 2D e 3D
R1
R30 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5
ponto em 2Y
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R2
R
ponto em (2, 2)
ponto em (2, -3, 3)X
Y
X
Z
Espaço ortonormado
Mover Objectos num Sistema de Coordenadas
� Permite especificar a deslocação� Quantitativamente� De forma clara
Y
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Solução:
?aqui = (2, 3)
ali = (8, 5)
Solução:somar 6 a xsomar 2 a y
Y
X
Espaços Vectoriais (1/3)
� Sistemas de coordenadas quantificam distâncias� Mas não descrevem relações entre objectos
� Vectores indicam direcção além de distância
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� Vectores indicam direcção além de distância
� Todas as coordenadas referenciadas à origem
Espaços Vectoriais (2/3)
Y
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(2, 3)
(8, 5)
X(0, 0)
Espaços Vectoriais (3/3)
� Vectores usados extensivamente em CG� Para representar
� Posições � Orientação de superfícies no espaço
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� Orientação de superfícies no espaço� Normal à superfície
� Interacções entre fontes de luz e objectos� Cor� Transformações Geométricas
• Sugestão:– Revejam Álgebra Linear
• Operações com Matrizes
Espaços Vectoriais (3/3)
� Vectores usados extensivamente em CG� Para representar
� Posições � Orientação de superfícies no espaço
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� Orientação de superfícies no espaço� Normal à superfície
� Interacções entre fontes de luz e objectos� Cor� Transformações Geométricas
• Sugestão:– Revejam Álgebra Linear
• Operações com Matrizes
Transformações Geométricas em Computação Gráfica
� Um dos mais importantes conceitos de CG� Compreensão é fundamental
� Transformações essenciais em CG
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� Transformações essenciais em CG
� Utilizadas nas aplicações e nas bibliotecas
Transformações GeométricasPlanas Elementares
� Operações sobre vectores (matrizes)� Soma� Multiplicação
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� Suficientes para a maioria das aplicações� Translação� Rotação� Escala
Mover Objectos num Espaço Vectorial
Y
Solução:
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aqui = [2, 3]T
ali = [8, 5]T
X[0, 0]T
Solução:Somar a6
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Transformações Geométricas
Translação (1/3)
Soma de vectores
dxx x´
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P´= T + P com T = dxdy
P = P´ = xy
x´y´
onde x´ = x + dx, y´ = y + dy
Transformações Geométricas
Translação (2/3)
� Para deslocar polígonos� aplicar a transformação a cada um dos vértices
Y
P (x´,y´)
©2010, CG&M/IST e Figuras Addison WesleyX
P(x,y)
P (x´,y´)
x
x’
y y’
Transformações Geométricas
Translação (3/3)
� Propriedades� Preserva comprimentos
� ISOMÉTRICA
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� ISOMÉTRICA
� Preserva ângulos� CONFORME
Transformações Geométricas
Escala (1/3)
Multiplicação matricial
P = P´ = xy
x´y´
x´ = Sx . x , y´ = Sy . y
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Sx 00 Sy
xy
x´y´
Sx 00 Sy
= .
P´= S · P com S =
Transformações Geométricas
Escala (2/3)
Y
Sx = Sy = 2 (Ampliação)
YUniforme Não - Uniforme
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X
P(x,y)
P´(x´,y´)
X
Y
X
Y
Sx = 2; Sy = 1
Sx = 1; Sy = -1
XSx = 1; Sy = 2
Transformações Geométricas
Escala (3/3)
� Propriedades� Não preserva comprimentos
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� Não preserva ângulos� Excepto escala uniforme
� Escala uniforme é CONFORME
Transformações Geométricas
Rotação (1/4)
Y
P (x´,y´)y´
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X
P (x,y)
P (x´,y´)
αβ
xx´
y
y´
Transformações Geométricas
Rotação (2/4)
Rotação de vectores por um ângulo β
P = P´ = xy
x´y´
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P’ = R β . P
x´= x . cos β - y . sin βy´= x . sin β + y . cos β
onde
Transformações Geométricas
Rotação (3/4)
Y
P (x´,y´)y´
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X
P (x,y)
P (x´,y´)
αβ
xx´
y
y´
P´= Rβ . P com Rβ = cos β -sin βsin β cos β
Rotação (3/4)Demonstração
x = r . cos α y = r . sin αx´= r . cos (α + β) y´= r. sin (α + β)
sin (α + β) = cos α . sin β + sin α . cos βcos (α + β) = cos α . cos β - sin α . sin β
X
Y
P (x,y)
P´(x´,y´)
αβ
y
y´
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x´ = r. cos αααα . cos β - r. sin αααα . sin βy´ = r. cos αααα . sin β + r. sin αααα . cos β
x´ = x . cos β - y . sin βy´ = x . sin β + y . cos β
Matricialmente,
xy
x´y´
cos β -sin βsin β cos β
= .
Xαxx´
Rotação (4/4)
� Propriedades� Preserva comprimentos
� ISOMÉTRICA
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� Preserva ângulos� CONFORME
Computação GráficaCoordenadas HomogéneasCoordenadas Homogéneas
Transformações Geométricas
Classificação
Projectivas ⊃⊃⊃⊃ Afins ⊃⊃⊃⊃ Lineares
� Projectivas� Podem não preservar o paralelismo das linhas� A imagem de uma linha é um ponto ou uma linha
� Nunca uma curva
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� Nunca uma curva
� Afins� Mantêm paralelismo de linhas� A imagem do vector (0,0) pode não ser (0,0)
� Lineares� Transformam linhas em linhas ou em pontos� A imagem do vector (0,0) é sempre (0,0)
Transformações Geométricas
Transformações Lineares
� Escala e Rotação� Transformações Lineares
� Expressas pelas matrizes:
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cos β -sin βsin β cos β
Sx 00 Sy
Transformações Geométricas
Transformações Lineares
� Translação� Não é transformação Linear
� Não se pode representar na forma:
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� É uma transformação afim.� Porquê?
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x’ = ax + by y’ = cx + dy
Sistema de equações lineares e matrizes
� Problema� Modelo apresentado não é uniforme
� Translação - Soma de vectores� Escala e Rotação - Produto de matrizes
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Escala e Rotação - Produto de matrizes
� Gostaríamos de ter� Transformações como sistemas de equações
x´ = a x + b yy´ = c x + d y
Coordenadas Homogéneas (1/5)
� Transformações são multiplicações� Espaço 2D representado num espaço 3D
� Ponto (x,y) transformado num ponto (x,y,W)
P2d(x, y) → Ph(Wx, Wy, W), W ≠ 0
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x
y
w
Ph (x·W, y·W, W)
P2d(x, y)
Coordenadas Homogéneas (2/5)
(x, y, W) =2d (x’ , y’, W’) se múltiplos
� Em coordenadas homogéneas� Cada ponto 2D tem inúmeras representações
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x
y
wPh (x·W, y·W, W)
P2d(x, y)
Coordenadas Homogéneas (3/5)
� Dois pontos no espaço homogéneo� Podem representar o mesmo ponto em 2D
(x, y, W) =2d (x’ , y’, W’) se (x/W, y/W) = (x’/W’, y’/ W’)
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x
y
wPh (x’, y’, W’)
P2d(u, v)
Ph (x, y, W)
Coordenadas Homogéneas (4/5)� Infinitos pontos no espaço homogéneo
� Correspondem a um ponto 2D
� Ponto 2D� Representa uma recta no espaço homogéneo
(tx, ty, tW), com t ≠ 0
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x
y
wPh (x’, y’, w’)
P2d(u, v)
Ph (x, y, w)
Ph (x”, y”, w”)
Coordenadas Homogéneas (5/5)
(x, y, W) =2d (x/W , y/W, 1)
x/We y/W: coordenadas Cartesianas do ponto homogéneo
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x
y
wPh (x, y, w)
P2d(x/w, y/w, 1)
W=1
Transformações no Espaço Homogéneo (1/4)
� Pontos 2D� Escrevem-se como vectores de 1x3
P = [x y 1]T
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• Transformações geométricas 2D– Escrevem-se como matrizes de 3x3
• No espaço homogéneo considera-se– W=1 para transformações afins em 2D
Translação
Transformações no Espaço Homogéneo (2/4)
P´= MT · P com MT = 1 0 dx0 1 dy0 0 1
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x´ 1 0 dx xy´ 0 1 dy y
1 0 0 1 1=
.
0 0 1
Transformações no Espaço Homogéneo (3/4)
Escala
P´= MT · P com MT = SX 0 00 SY 00 0 1
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0 0 1
x´ Sx 0 0 xy´ 0 Sy 0 y
1 0 0 1 1=
.
Transformações no Espaço Homogéneo (4/4)
Rotação
P´= MT · P com MT = cos(β) -sin(β) 0sin(β) cos(β) 0 0 0 1
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0 0 1
x´ cos(β) -sin(β) 0 xy´ sin(β) cos(β) 0 y1 0 0 1 1
=.
Matrizes de Transformação
MT = T(dx,dy) =1 0 dx0 1 dy0 0 1
Translação Escala
ME = S(SX,SY) = SX 0 00 SY 00 0 1
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Rotação
MR = R(β) =cos(β) -sin(β) 0sin(β) cos(β) 0 0 0 1