modelos e simulações de dispositivos semicondutores

Modelos e Simulações de Dispositivos Semicondutores

Felipe Senra Ribeiro

Projeto de Graduação apresentado ao Cursode Engenharia Eletrônica e de Computação daEscola Politécnica, Universidade Federal do Rio deJaneiro, como parte dos requisitos necessários àobtenção do título de Engenheiro.

Orientador: Mario Vaz da Silva Filho

Coorientador: Antônio Carneiro de Mesquita Filho

Rio de Janeiro

Março de 2015

Modelos e Simulações de Dispositivos Semicondutores


PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DEENGENHARIA ELETRÔNICA E DE COMPUTAÇÃO DA ESCOLA POLITÉCNICA DAUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOSNECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO ELETRÔNICOE DE COMPUTAÇÃO

Autor:


Orientador:

Prof. Antônio Carneiro de Mesquita Filho, Dr.d’État.

Orientador:

Prof. Mario Vaz da Silva Filho, D. Sc.

Examinador:

Prof. Carlos Fernando Teodósio Soares, D. Sc.

Examinador:

Prof. Fernando Antônio Pinto Barúqui, D. Sc.

Rio de Janeiro,RJ - BRASIL

Março de 2015

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROEscola Politécnica - Departamento de Eletrônica e de ComputaçãoCentro de Tecnologia, bloco H, sala H-217, Cidade UniversitáriaRio de Janeiro - RJ CEP 21949-900

Este exemplar é de propriedade da Universidade Federal do Rio de Janeiro, quepoderá incluí-lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotarqualquer forma de arquivamento.

É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre biblio-tecas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venhaa ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidadecomercial e que seja feita a referência bibliográfica completa.

Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do(s) autor(es).

iii

AGRADECIMENTO

Dedico este trabalho aos diversos professores que me ajudaram na minha formação.

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RESUMO

Nesse trabalho estudamos as bases teóricas de funcionamento dos dispositivossemicondutores, apresentamos modelos e métodos de simulação desses dispositivos, afim desimular diversos dispositivos como diodos e transistores bipolar e MOSFET; só utilizandoinformações geométricas e físicas do problema.Palavras-Chave: TCAD, Equações de Deriva-Difusão, Modelagem de Semicondutor, WENO.

v

ABSTRACT

In this work we present an overview of the physics of semiconductor devices. Wepresent models and methods for simulation of these devices, with the objective to simulatedevices such diodes and transistos; only using geometrical and physical information.

Key-words: TCAD, Drift-Diffusion, Semiconductor Modeling, WENO.

vi

SIGLAS

UFRJ - Universidade Federal do Rio de JaneiroEDP - Equações Diferenciais ParciaisMOSFET - Metal Oxide Semicondutor Field Effect TransistorMESFET - Metal Semicondutor Field Effect TransistorTCAD - Technology Computer Aided DesignLDD - Light Doped DrainWENO - Weighted Essentially Non-OscillatoryJARVIS - Just A Rather Very Intelligent SystemSPICE - Simulated Program with Integrated Circuits EmphasisLDU - Lower-Diagonal-UpperMVC - Model-View-ControllerSHR - Shockley-Hall-ReadCCD - Charge-Coupled DeviceFEM - Finite Element Method∆f - Laplaciano de f∇f - Divergente de fDDt

- Derivada Total∂∂x

- Derivada Parcial∂Ω - Bordo da região Omega

vii

FICHA CATALOGRÁFICA

Ribeiro, Felipe SenraModelos e Simulações de Dispositivos Semicondutores/ Felipe Senra Ribeiro. – Rio de Janeiro:UFRJ / Escola Politéc-

nica,2015

X, 85 p.: il.

Orientador: Mario Vaz da Silva FilhoCo-orientador: Antônio Carneiro de Mesquita FilhoProjeto Final– UFRJ/POLI/ Engenharia Eletrônica e de Compu-

tação, 2015

Bibliografia: p. 83-84

1. Microeletrônica 2. Simulação.I. Silva Filho, Mario Vaz da et alMesquita Filho, Antônio Carneiro deII. Universidade Federal do Rio de Janeiro,Engenharia Eletrônica e de ComputaçãoIII. Titulo

viii

Sumário

Lista de ilustrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

Lista de tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Delimitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 Descrição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Física de Semicondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1 Equação de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Ponto Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 A Rede Cristalina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Muitas partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Modelo Bipolar de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Colisões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2 Condições de fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.3 Teorema de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Modelos Determinísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1 Método do Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Modelo Hidrodinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Mobilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Expansão de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Modelo Deriva-Difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.1 Mobilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.2 Mudanças de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.2.1 Formulação Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.2.2 Formulação Quasi-Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.2.3 Formulação Slotboom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 Modelos Recombinação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.1 Recombinação de Ionização por Impacto . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.2 Recombinação de Auger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4.3 Recombinação de SHR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4.4 Recombinação de fóton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5 Condições de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5.1 Contato Ôhmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5.2 Contato Schottky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5.3 Contato Óxido-Semicondutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.6 Exemplo: Modelo MOSFET. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Microeletrônica Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1 Método de Monte Carlo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1 Convergência do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.2 Técnicas de Redução de Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1.2.1 Domínio de Rejeição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.2.2 Transformação Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.2.3 Monte Carlo de uma partícula . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.2.4 Ensemble estatístico de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . 354.1.2.5 Ensemble estatístico de Monte Carlo Auto-consistente . . 354.1.2.6 Seleção aleatória de vôo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.2.7 Full-Band Monte Carlo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.3 Exemplos de Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.3.1 Damocles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.3.2 MOCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.4 Fluxo do simulador de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Métodos Determinísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.1 Método Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.1.1 PADRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.1.2 FIELDAY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.2 Métodos de Diferenças Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.2.1 Resolvendo Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.2.2 Esquema Scharfetter-Gummel . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.2.3 Iteração de Gummel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.2.4 Método Weno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 O Simulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.1 O simulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1.1 Projeto do Simulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2 Mapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2.1 Transformações de Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2.1.1 Mudança de Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2.1.2 Mudança de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

x

5.2.1.3 Variáveis simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3 Recombinação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4 WENO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.5 Condições de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.5.1 Implementação da Condição de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 525.5.2 Implementação da Condição de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.5.3 Implementação da Condição de Neumman . . . . . . . . . . . . . . 525.5.4 Implementação da Condição de Óxido . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.6 Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.7 Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.8 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.9 Método de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.10 Interface Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.11 Utilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.12 Evolução no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2 Diodo 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.3 Diodo PIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.4 Transistor Bipolar 1-d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.5 Diodo 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.6 Transistor MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

xi

Lista de ilustrações

Figura 1 – Superfície de Fermi do Silício [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010] . . 7Figura 2 – Orientações do cristal [Setyawan e Curtarolo 2010] . . . . . . . . . . . 8Figura 3 – Diagrama Energia-k [Setyawan e Curtarolo 2010] . . . . . . . . . . . . 8Figura 4 – Condição de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Figura 5 – Recombinação de Ionização por Impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Figura 6 – Recombinação Auger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Figura 7 – Recombinação SHR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Figura 8 – Recombinação Fóton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Figura 9 – Geometria do MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Figura 10 –Exemplo de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Figura 11 –MOCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Figura 12 –Fluxograma do Simulador de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . 37Figura 13 –Função Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Figura 14 – Iteração de Gummel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Figura 15 –Esquema WENO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Figura 16 –Modelo MVC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Figura 17 –Diagrama dos módulos do Simulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Figura 18 –Diagrama do módulo Mapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Figura 19 –Diagrama do módulo das Recombinações . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Figura 20 –Diagrama do módulo WENO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Figura 21 –Diagrama do módulo das Condições de Fronteira . . . . . . . . . . . . 52Figura 22 –Diagrama do módulo Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Figura 23 –Diagrama de módulo Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Figura 24 –Típica matriz esparsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Figura 25 –Diagrama de módulo de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Figura 26 –Diagrama de Modulo de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . 56Figura 27 –Diagrama de módulo de Interface Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . 57Figura 28 –Diagrama do Modulo de Utilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Figura 29 –Diagrama do módulo Time-Stepper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Figura 30 –Diodo PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Figura 32 –Diodo PIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Figura 34 –Transistor Bipolar NPN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Figura 36 –Diodo PN 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Figura 38 –Transistor MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Figura 40 –Transistor MOSFET dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

xiii

xiv

Lista de tabelas

Tabela 1 – Tabela de Coeficientes de Mobilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Tabela 2 – Tabela de coeficientes da recombinação de ionização por impacto . . . 27Tabela 3 – Tabela de coeficientes da recombinação Auger . . . . . . . . . . . . . . 27Tabela 4 – Tabela de coeficientes da recombinação SHR . . . . . . . . . . . . . . . 28

Tabela 5 – Tabela de Propriedades do Silício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Tabela 6 – Tabela de Mudanças de Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1

1 Introdução

1.1 TemaNesse trabalho estudamos as bases teóricas de funcionamento dos dispositivos

semicondutores, apresentamos modelos e métodos de simulação desses dispositivos, dosquais escolhemos um, o método WENO, para implementar e aplicar em um caso específicode interesse, o transistor MOSFET.

1.2 DelimitaçãoEstudaremos os modelos em equações diferenciais parciais que regem dispositivos,

evitando os aspectos de existência e focando mais na modelagem das equações e dosdispositivos. Na parte computacional, expomos como funcionam as principais técnicas desimulação, os métodos de Monte Carlo, elementos finitos e diferenças finitas. Apresenta-remos os resultados do simulador feito neste trabalho e os aprendizados na construçãodeste.

Deixamos para trabalhos futuros diversos assuntos, desde questões teóricas comoexistência e unicidade das soluções, indo pelos efeitos dos processos de geração de calordo dispositivo, efeitos de tunelamento e processos de fabricação, até simulação de outrosdispositivos, como tiristor e CCD.

1.3 JustificativaO desenvolvimento tecnológico da eletrônica nos últimos 50 anos foi singular, nunca

antes na humanidade fora visto um surgimento de tantas novas tecnologias ao mesmotempo. Muito se deve ao fato de que a engenharia criou um processo de desenvolvimentobaseado em projeto-simulação-experimentação. A simulação, a mais nova destes trêsirmãos, alavancou este boom tecnológico, devido à possibilidade de testar em simulaçõesas hipóteses para novos dispositivos, o que gerou uma grande economia para o projeto emgeral.

1.4 ObjetivosOs principais objetivos deste trabalho são a compreensão dos modelos e métodos

computacionais, a fim de implementá-los e obter resultados que sejam fidedignos à realidade.

Capítulo 1. Introdução 2

1.5 MetodologiaA metodologia aplicada foi primeiramente o entendimento das equações que regem

os dispositivos, para assim usarmos este conhecimento mais adiante nos métodos compu-tacionais. Em uma segunda etapa, estudamos os métodos numéricos para a simulação,expondo aspectos de implementação e aspectos de convergência. Por último faremos umaanálise das simulações com a realidade de forma comparativa.

1.6 DescriçãoO trabalho está dividido em três partes. A primeira parte trata das bases teóricas

da Física de Semicondutores, apresentando de forma mais concisa e completa possível osaspectos físicos e matemáticos, se iniciando no Capítulo 1 com os modelos baseados empartículas, e terminando no Capítulo 2, nos modelos mais simples como o de deriva-difusãoe o hidrodinâmico. Nestes capítulos há uma ênfase no desenvolvimento das equações, dasquais, muitas das contas desse desenvolvimento podem ser omitidas numa primeira leitura.

A segunda parte desse trabalho se inicia no terceiro capítulo, onde são descritosos métodos numéricos e técnicas de simulação usados neste trabalho, e finda no quartocapítulo, com a apresentação do Método WENO e seu uso na simulação de dispositivossemicondutores.

Terceira parte deste trabalho começa com o Capítulo 5, onde são apresentadosos estudos de caso, mostrando os resultados para diversos dispositivos. Na conclusão,que se dá no Capítulo 6, são analisados os resultados obtidos e são propostas formas decontinuação deste trabalho.

3

2 Física de Semicondutores

Neste capítulo os processos dinâmicos da geração, recombinação, armazenamento etransporte de cargas elétricas em semicondutores são descritos, usando a chamada teoriasemi-clássica, com um equacionamento derivado da mecânica quântica. Este capítulo ébaseado em Markowich, Ringhofer e Schmeiser 1990.

2.1 Equação de BoltzmannA teoria cinética que rege a geração, recombinação, armazenamento e transporte de

elétrons em semicondutores será apresentada neste capítulo, inicialmente pelas equaçõesde dinâmica sem colisões entre elétrons, usando resultados das mecânicas clássica equântica. Após, incluiremos as interações dos elétrons com o cristal, usando a solução daequação de Schrödinger. Seguiremos incluindo o efeito dos campos elétricos internos eexternos, usando a equação de Poisson. Finalmente incluiremos as colisões entre elétrons eo cristal e chegaremos na equação de Boltzmann que usaremos nos algoritmos de simulação.Terminaremos este capítulo discutindo as condições de fronteira e inicial, e o Teorema-H,resultado essencial para existência de solução [Poupaud 1990] [Rossani 2002].

2.1.1 Ponto Material

Primeiro vamos considerar uma única partícula material, usando uma função dedistribuição de matéria ρ, indicadora de onde está a partícula. Esta função dependentedo tempo, posição e velocidade. O valor dessa função de densidade de probabilidade namecânica quântica varia entre 0 e 1, e na mecânica clássica é o delta de Kronecker, devalor 1 no ponto <3 ⊗<3 que define a posição e a velocidade da partícula e 0 em todos osdemais pontos.

ρ(t, x, v) : <+ ⊗<3 ⊗<3 → < (2.1)

(t, x, v)→ ρ(t, x, v) (2.2)

Se nenhuma partícula for adicionada ou removida do sistema, implica que a derivadade ρ, a densidade de partículas, em relação ao tempo será igual a zero. Assim aplicando aderivada em relação ao tempo e, pelo fato de que há uma dependência da posição e davelocidade no tempo, que implica no uso da regra da cadeia, resultará na equação abaixo.Neste caso, considerando a posição e a velocidade da partícula dependentes do tempo,mas não uma da outra, tem-se que :

Capítulo 2. Física de Semicondutores 4

Dρ(t, x, v)Dt

= ∂ρ(t, x, v)∂t

+ ∂x

∂t· ∇xρ(t, x, v) + ∂v

∂t· ∇vρ(t, x, v) = 0 (2.3)

Associando a velocidade da partícula com sua posição, considerando a energiaconservada (constante) e utilizando a teoria da mecânica clássica, tem-se que a energia dapartícula é dada por [Kibble e Frank 2004]:

H(t, x, v) = mv2

2 + U(t, x) (2.4)

Onde U(t,x) é a função potencial, mv2

2 é a energia cinética. Derivando em relaçãoao tempo temos:

DH(t, x, v)Dt

= ∂H(t, x, v)∂t

+ ∂x

∂t· ∇xH(t, x, v) + ∂v

∂t· ∇vH(t, x, v) = 0 (2.5)

= ∂U(t, x)∂t

+ ∂x

∂t· ∇xU(t, x) + ∂v

∂t·mv = 0 (2.6)

−∂U(t, x)∂t

= ∂x

∂t· ∇xU(t, x) + ∂v

∂t·mv (2.7)

Assumindo que não há influência externa e que o campo seja estático, então U nãodepende do tempo, e tem-se que:

∇xU(t, x) = −∂v∂tm (2.8)

Onde:∂x

∂t= v (2.9)

Como resultado, a equação de Liouville será dada por:

Dρ(t, x, v)Dt

= ∂ρ(t, x, v)∂t

+ v · ∇xρ(t, x, v)− ∇xU(t, x)m

· ∇vρ(t, x, v) = 0 (2.10)

Por esta equação, a posição da partícula só depende das condições iniciais e dasforças que agem sobre a partícula. Para isso devemos lembrar de alguns exemplos deenergias da mecânica clássica, abaixo mostrado, onde G é a constante da gravidade, vé a velocidade, x é a posição, A é vetor potencial eletromagnético e U potencial escalareletromagnético, m1 e m2 são as massas de dois corpos e m é a massa de uma partícula.

H(t, x, v)Gravidade = mv2

2 + Gm1m2

|x|(2.11)

H(t, x, v)Elétrica = m(v − A(x, t))2

2 − U(x, t) (2.12)


U(t, x, v)Gravidade = Gm1m2

|x|(2.13)

U(t, x, v)Elétrica = A · v + U(x, t) (2.14)

As mesmas deduções podem ser repetidas para a mecânica quântica, lembrandoalguns postulados:

• Principio de exclusão de Pauli: Não pode haver ocupação de um estado quântico pormais de uma partícula.

• Principio de incerteza de Heisenberg: Não é possível saber a posição e o momento deuma partícula ao mesmo tempo.

∆x∆p ≥ ~2 (2.15)

Usando a definição do hamiltoniano para mecânica quântica, onde ϕ é a função deonda e ~ é a constante reduzida de Planck [L.D. 2006].

H(t, x, v)ϕ = − ~2

2m∆ϕ+ U(t, x)ϕ (2.16)

−i~∂tϕ = H(t, x, v)ϕ = Eϕ (2.17)

Derivando em relação ao tempo temos:

DH(t, x, v)Dt

= ∂H(t, x, v)∂t

+ ∂x

∂t· ∇xH(t, x, v) + ∂v

∂t· ∇vH(t, x, v) = 0 (2.18)

∂U(t, x)∂t

+ ∂x

∂t· ∇xU(t, x)ϕ+ ∂v

∂t· (−~i∇ϕ) = 0 (2.19)

−∂U(t, x)∂t

= ∂x

∂t· ∇xU(t, x)ϕ+ ∂v

∂t· (−~i∇ϕ) (2.20)

Supomos que U não depende do tempo e que não sofre influências externas. Logo,temos que:

∇xU(t, x)ϕ = −∂v∂t

(~) (2.21)

Onde :∂x

∂t= v (2.22)

Repetindo o mesmo argumento que usamos para chegar na equação 2.12, usando aequação 2.5, obtemos a equação de Liouville referente a mecânica quântica, dada por:

Dρ(t, x, v)Dt

= ∂ρ(t, x, v)∂t

+ v · ∇xρ(t, x, v)− ∇xU(t, x)~

· ∇vρ(t, x, v) = 0 (2.23)


Assim vemos que a posição da partícula só depende das condições iniciais e dasforças que agem sobre ela. Para isso devemos lembrar de alguns exemplos de energias damecânica quântica, abaixo mostrado, onde H é a função de Heaviside, v é a velocidade, xé a posição, ω é a frequência angular do oscilador , V0 Potencial do poço e m é massa dapartícula.

U(x)Harmônico = mω2x2

2 (2.24)

U(x)Poço = V0(H(x)− H(x− a)) (2.25)

Devemos lembrar agora que a derivada é dada por um limite da diferença entreum passo posterior e o passo atual e que, além disso, as partículas que colidem num certomomento alteraram a dinâmica das partículas dentro de uma região pequena. Logo, aderivada deixa de ser zero nestas pequenas regiões, o que implica num operador de colisão,o que leva à equação abaixo:

Dρ(t, x(t), v(t))Dt

=ρ(t+ ∆t, x(t), v(t))− ρ(t, x(t), v(t))

∆t=∂ρ(t, x, v)

∂t+ v · ∇xρ(t, x, v)−

∇xU(t, x)~

· ∇vρ(t, x, v) =

Dρ(t, x, v)Dt

∣∣∣colisão

(2.26)

O operador de colisão será renomeado para Q(ρ), e na seção 2.3.1 será discutidosobre o operador colisão. Assim obtemos a equação de Boltzmann:

∂ρ(t, x, v)∂t

+ v · ∇xρ(t, x, v)− ∇xU(t, x)~

· ∇vρ(t, x, v) = Q(ρ) (2.27)

Os resultados acima estão em (Markowich,1990, Capitulo 1) [Markowich, Ringhofere Schmeiser 1990]. Algumas referências para a mecânica clássica são os livros [Kibble eFrank 2004], [Neto 2004], [Lemos 2007] e [L.D.].


2.2 A Rede CristalinaApós a discussão sobre a dinâmica de uma partícula, devemos considerar os efeitos

da rede cristalina sobre essas partículas. Para isso vamos considerar que o potencial darede cristalina seja periódico, já que a rede em si é periódica. Assim, vamos enunciar umteorema que carateriza a solução da equação de Schrödinger, onde k é vetor de onda docristal e j é o índice de energia do cristal. [Blakemore 2002]

Teorema 2.2.1. (Teorema de Bloch):Toda solução da equação de Schrödinger com umpotencial periódico pode ser expresso da seguinte forma

ϕj(x) = eik·xukj(x) (2.28)

Agora que temos o teorema de Bloch, podemos definir a superfície de energiaconstante de uma rede cristalina, conhecida como a superfície de Fermi. Esta possuiinformações sobre o comportamento do elétron e do buraco no cristal, como a velocidadee massa efetiva do elétron e do buraco.

Figura 1 – Superfície de Fermi do Silício [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]

Supondo uma banda de energia parabólica, as expressões para velocidade e massaefetiva são:

E(k) = ~2k2

2meff

(2.29)

meff = ~2

∂2E(k)∂k2

(2.30)

v = ∇kE(k)~

(2.31)


Devemos ressaltar que a estrutura do cristal, seja face-centrada ou outro tipo, afetao comportamento dos elétrons e buracos. Assim, elétrons ou buracos irão percorrer ocristal com propriedades que dependem da orientação e de como o cristal é cortado deforma específica para cada aplicação. Abaixo, temos duas figuras que mostram os tipos deorientação e como a energia muda em relação às orientações.

Figura 2 – Orientações do cristal [Setyawan e Curtarolo 2010]

Figura 3 – Diagrama Energia-k [Setyawan e Curtarolo 2010]


2.2.1 Muitas partículas

Generalizando os resultados anteriores para varias partículas, a função de distribui-ção de matéria, para todas as partículas, ρ pode ser expressa da seguinte forma:

ρ(t, x, v) : <+ ⊗<3n ⊗<3n → < (2.32)

(t, x, v)→ ρ(t, x, v) (2.33)

Derivando temos :

Dρ(t, x, v)Dt

=n∑i

(∂ρ(t, x, v)

∂t+ vi · ∇xiρ(t, x, v)− ∇xiU(t, x)

~· ∇viρ(t, x, v)

)(2.34)

Sendo o campo elétrico o gradiente do potencial elétrico, pela terceira lei de Newton,o campo elétrico induzido por uma partícula sobre outra é o mesmo em magnitude, masde direção oposta. Além disso, o campo exercido sobre uma partícula é a soma dos camposde todas as partículas somado ao campo externo.

∇xiU(t, x) = E(xi, xj) = −E(xj, xi) = −∇xjU(t, x) (2.35)

∇xiU(t, x) =n∑j

E(xi, xj) + Eext(xi) (2.36)

∇xjU(t, x) = −n∑i

E(xi, xj) + Eext(xj) (2.37)

Dρ(t, x, v)Dt

=(∂ρ(t, x, v)

∂t+

n∑i

vi · ∇xiρ(t, x, v)−n∑i

∇xiU(t, x)~

· ∇viρ(t, x, v))

(2.38)

Dρ(t, x, v)Dt

=

∂ρ(t, x, v)∂t

+n∑i


(n∑jE(xi, xj) + Eext(xi))

~· ∇viρ(t, x, v)

(2.39)

Separando os campos elétricos internos do externo, e utilizando o argumento deque podemos calcular ρ de uma certa partícula integrando sobre todos os outros caminhosdas outras partículas. Assim, temos que :

ρ(t, xi, vi) =∫ρ(t, x1, v1, ..., xi, vi, ..., xn, vn)dx1dv1...dxi−1dvi−1dxi+1dvi+1dxndvn (2.40)


Dρ(t, x, v)Dt

=

(∂ρ(t, x, v)

∂t+

n∑i


n∑j

(E(xi, xj)~

· ∇viρ(t, x, v) + Eext(xi))~

· ∇viρ(t, x, v)

)(2.41)

Dρ(t, x, v)Dt

= ∂ρ(t, x, v)∂t

+n∑i

vi · ∇xiρ(t, x, v)− Eext(xi))~

· ∇viρ(t, x, v)

−n∑i

n∑j

∫ (E(xi, xj)~

· ∇viρ(t, x1, v1, ..., xn, vn)dx1dv1...dxi−1dvi−1dxi+1dvi+1dxndvndx

(2.42)

Dρ(t, x, v)Dt

= ∂ρ(t, x, v)∂t

+n∑i

vi · ∇xiρ(t, x, v)− Eext(xi))~

· ∇viρ(t, x, v)

−n∑i

∇vi ·∫ (E(xi, xj)

~ρ(t, x1, v1, ..., xi, vi, ..., xn, vn)dx1dv1...dxi−1dvi−1dxi+1dvi+1dxndvndx

(2.43)

Definindo o campo efetivo como a soma dos campos externo e interno. Assimobtemos que a equação de Liouville serve para muitas partículas:

Eeff =∫

(E(xi, xj)ρ(t, x1, v1, ..., xi, vi, ..., xn, vn)dx1dv1...dxi−1dvi−1dxi+1dvi+1dxndvndx+ Eext(xi))(2.44)

Dρ(t, x, v)Dt

=(∂ρ(t, x, v)

∂t+ vi · ∇xiρ(t, x, v)− Eeff (t, xi)

~· ∇viρ(t, x, v)

)= 0 (2.45)

Calculando o divergente do campo elétrico efetivo e aplicando a Teoria Eletromag-nética, chegamos na equação de Poisson, onde n é a concentração de elétrons e C é aconcentração de Dopantes:

∇ · Eeff = ∇ · Eext −q

εn (2.46)

−∆φeff = −∆φext −q

εn (2.47)

∇ · Eext = q

εC (2.48)


∆φeff = −q(C − n)ε

(2.49)

Supondo que a função ρ pode ser escrita como produto de funções de densidadepara cada partícula, como definida no começo deste capítulo, temos:

ρ(t, x, v) = ΠdiPi(t, xi, vi) (2.50)

Dρ(t, x, v)Dt

=(∂Πd

iPi(t, xi, vi)∂t

+n∑i

vi · ∇xiΠd

iPi(t, xi, vi)−n∑i

∇xiU(t, x)~

· ∇viΠd

iPi(t, xi, vi))(2.51)

Aplicando nesta expressão a regra do produto da derivada e colocando termos emevidência, temos:

Dρ(t, x, v)Dt

=n∑i

Πnj 6=i(Pj(t, xj, vj))

∂Pj(t, xj, vj)∂t

+n∑i

Πnj 6=iPj(t, xj, vj)vi · ∇xiPi(t, xi, vi)

−n∑i

Πnj 6=iPj(t, xj, vj)

∇xiU(t, x)~

· ∇viPi(t, xi, vi)

(2.52)

Dρ(t, x, v)Dt

=(

n∑i

Πnj 6=i(Pj(t, xj , vj)(∂Pj(t, xj , vj)

∂t+ vi · ∇xi

Pi(t, xi, vi)−∇xi

U(t, x)~

· ∇viPi(t, xi, vi)

)

(2.53)

Assim, temos a equação de Liouville para cada partícula. Substituindo pela derivadatotal de cada partícula, achamos a regra da derivada do produto.

Dρ(t, x, v)Dt

=(

n∑i

Πnj 6=i(Pj(t, xj, vj))

DPi(t, x, v)Dt

)(2.54)


2.3 Modelo Bipolar de BoltzmannTipicamente num semicondutor intrínseco, um elétron de valência quando está

na banda de condução leva a uma ausência de carga em alguma ligação da estruturacristalina. Logo deveria existir elemento correspondente na banda de valência para quea quantidade de carga seja equilibrada e esse elemento é o buraco. Assim podemos usara mesma análise que deduzimos acima, para derivar um par de equações de Boltzmann,para cada partícula. Nos materiais semicondutores extrínsecos, temos que há um excessode buracos ou elétrons, dependendo do dopante. Ainda deve-se adicionar a equação dePoisson ao sistema, para preservar o equilíbrio de cargas do sistema como em 2.49, masseparando a concentração n em duas partes, uma positiva(p) e outra negativa(n).

∂ρn(t, x, v)∂t

+ vn · ∇xρn(t, x, v)− ∇xUn(t, x)~

· ∇vnρn(t, x, v) = Q(ρn) (2.55)

∂ρp(t, x, v)∂t

− v · ∇xρ(t, x, v)− ∇xU(t, x)~

· ∇vρ(t, x, v) = Q(ρp) (2.56)

∆φeff = −q(C − n+ p)ε

(2.57)

Dado o sistema acima, não haverá interação entre os elétrons e buracos (somenteterá interação entre elétron/buraco e a rede cristalina). Assim, deve-se adicionar às equaçõesos operadores de colisão que vão atrelar as duas partículas, In(ρn, ρp) e In(ρn, ρn).

∂ρn(t, x, v)∂t

+ vn · ∇xρn(t, x, v)− ∇xUn(t, x)~

· ∇vnρn(t, x, v) = Q(ρn) + In(ρn, ρp) (2.58)

∂ρp(t, x, v)∂t

+ v · ∇xρ(t, x, v)− ∇xU(t, x)~

· ∇vρ(t, x, v) = Q(ρp) + Ip(ρn, ρp) (2.59)

2.3.1 Colisões

Estudaremos os efeitos de colisão no modelo. Para isso, considere que o conjuntode partículas livres esteja dentro de uma região limitada, como exemplo, uma caixa. Essaspartículas irão interagir umas com as outras, mas é necessário supor algumas hipótesessimplificadoras:

• Caos Molecular: Onde a velocidade de uma partícula não depende da velocidades eda posição das outras partículas.


• Interações Binárias e Ternárias: Onde se considera que os processos predominantesserão colisões de partículas binárias e ternárias dentro da região, onde teremos umanuvem de gás de elétrons diluídos.

• Taxa de Dispersão: No tempo médio de interação, as forças predominantes são asforças de interação entre partículas.

• Variação limitada: ρ deve variar muito pouco entre o tempo médio de colisão e otempo médio de partícula livre.

Então, temos que a probabilidade de mudar o estado k → k′ é dada pela probabili-dade de estar no estado k′, vezes a probabilidade de não estar no estado k, vezes a razãode espalhamento s:

P (x, k → k′, t) = s(x, k′, k)f(x, k′, t)(1− f(x, k, t)) (2.60)

E temos que o operador de colisão é dado pela diferença entre a probabilidade desair do estado k e ir para o estado k’ e a probabilidade de sair do estado k’ e ir para oestado k. Considerando todos os estados para ter a solução, e isso se torna uma soma detodos os estado, e que quando passamos o limite da diferença dos estados para zero setem a integral sobre todos os estados.

Q(f)′ = P (x, k → k′, t)− P (x, k′ → k, t) (2.61)

Q(f) = lim∆k→0

∑Q(f)′∆k (2.62)

Q(f) = lim∆k→0

∑(P (x, k → k′, t)− P (x, k′ → k, t))∆k (2.63)

Q(f) =∫

(P (x, k → k′, t)− P (x, k′ → k, t))dk (2.64)

Q(f) =∫

(s(x, k′, k)f(x, k′, t)(1− f(x, k, t))− s(x, k, k′)f(x, k, t)(1− f(x, k′, t)))dk

(2.65)

Os principais tipos de mecanismos de colisão são:

- Colisão da rede: Na temperatura de zero absoluto, os átomos na estrutura cristalinavibram em torno do seu equilíbrio fixo. Estas vibrações são quantizadas e denominadas defônons. Pode-se diferenciar os fônons em acústicos e ópticos. Fônons acústicos surgem dedeslocamentos de átomos da estrutura no mesmo sentido, tais como ondas de som. Fônonsópticos descrevem deslocamentos no vector de onda pela interação com a luz.

- Colisão de Impurezas: No processo de dopagem, são adicionados átomos queforneceram elétrons ou buracos para a rede cristalina, que alteram a estrutura da redecristalina. Essas alterações acarretam no aumento de colisões e na maior dependência dascolisões pela temperatura.


- Colisão de Portadores: A influência das interações elétron-elétron sobre a dinâmicade transporte é mais pronunciada em semicondutores degenerados.

Agora podemos escrever o sistema de equações por completo, uma vez que temos aexpressão para o operador de colisão e relacionamos todas as equações entre si.

∂ρ(t,x,v)∂t

+ v · ∇xρ(t, x, v)− ∇xU(t,x)~ · ∇vρ(t, x, v) = Q(ρ)

Q(ρ) =∫∫∫B

s(x, v, v′)(ρ(t, x, v) ∗ (1− ρ(t, x′, v′))− s(x, v′, v)ρ(t, x′, v′) ∗ (1− ρ(t, x, v)))dv′

∆Ueff = − q(C−n)ε

(2.66)

Podemos ainda achar os operadores de colisão do modelo bipolar. Primeiro, conside-rando a probabilidade do elétron mudar de estado, k′ → k ,que é dada pela probabilidadedo elétron estar no estado k′, vezes as probabilidades do buraco estar no estado k, vezes arazão de espalhamento r(x, k′, t). O mesmo pode ser feito para os buracos, só tomando asprobabilidades de não estarem no estado vezes razão de espalhamento q(x, k′, t).

Pp(x, k → k′, t) = q(x, k′, t)(1− ρn(x, k′, t))(1− ρp(x, k, t)) (2.67)

Pn(x, k → k′, t) = r(x, k′, t)ρn(x, k′, t)ρp(x, k, t) (2.68)

E temos que o operador de colisão entre portadoras para o buraco é dado peladiferença entre a probabilidade do buraco mudar de estado k′ → k e a probabilidadedo elétron mudar de estado k′ → k. Devemos considerar todos os estados, somando asprobabilidades de todos; e supondo que se dá um peso ∆k para cada mudança, podemosaplicar o processo de limite para achar uma integral sobre todos os estados.

I′

p(ρn, ρp) = Pp(x, k → k′, t)− Pn(x, k′ → k, t) (2.69)

Ip(ρn, ρp) = lim∆k→0

∑I′

p(ρn, ρp)∆k (2.70)

Ip(ρn, ρp) = lim∆k→0

∑(Pp(x, k → k′, t)− Pn(x, k′ → k, t))∆k (2.71)

Ip(ρn, ρp) =∫

(Pp(x, k → k′, t)− Pn(x, k′ → k, t))dk (2.72)

Ip(ρn, ρp) =∫

(q(x, k′, t)(1− ρn(x, k′, t))(1− ρp(x, k, t))− r(x, k′, t)ρn(x, k′, t)ρp(x, k, t))dk(2.73)


2.3.2 Condições de fronteira

Como nosso problema envolve um sistema dinâmico em domínio limitado, devemosagora falar sobre condições inicias e de fronteira do problema. Devemos considerar comocondição inicial algum tipo de solução estacionária do problema, primeiro devido à não-linearidade do problema, segundo, devemos considerar que deve haver conservação decarga, que é basicamente fazer a equação de Poisson ser respeitada.

Vamos relembrar algumas condições de fronteira das equações diferenciais parciais.Chamamos de condição de Dirichlet, quando o valor da função é fixado sobre parte dobordo correspondente. O significado físico dessa condição é que estamos aplicando umpotencial naquela região, ou seja em um contato.

Outra condição é a condição de Neumman, que aparece quando sabemos comoa função varia no bordo, pela derivada da função ser conhecida ou pela projeção dogradiente da função na direção normal ao bordo. Essas condições têm como significadofísico: isolamento entre dispositivos ou contatos do tipo MOS.

Por último, vamos colocar uma condição periódica na velocidade para ficar consis-tente com a zona de Brillouin, ou seja, vamos dizer que ρ(t, x, k) = ρ(t, x,−k).

Figura 4 – Condição de Fronteira


2.3.3 Teorema de Boltzmann

Um resultado muito importante nesse tipo de problema é a existência de umfuncional crescente associado com as equações. Esse funcional é chamado de Entropia. Esseresultado é chamado de Teorema H, ou Teorema de Boltzmann, mas sua demonstraçãoestá nos seguintes artigos: [Poupaud 1990]e [Rossani 2002].

Teorema 2.3.1. (Teorema de Boltzmann):Seja ρ uma solução para a equação de Boltzmann, considere o seguinte funcional avaliadosobre a função ρ:

H(t) =∫ ∫

B Q(ρ)(log(ρe−E(k)KbT

1−ρ ))dxdkEntão, temos que o funcional é um funcional de Lyapunov, o que implica :

∂H(t)∂t≥ 0

Teorema 2.3.2. (Teorema de Boltzmann para o modelo bipolar):Seja (ρn, ρp) uma solução para a equação de Boltzmann bipolar, considere o seguintefuncional avaliado sobre a função (ρn, ρp):

H(t) =∫ ∫

B Q(ρn)(log(ρne−E(k)KbT

1−ρn ))dxdk + 2∫ ∫

B Q(ρp)(log(ρpe−E(k)KbT

1−ρp ))dxdkEntão, temos que o funcional de Lyapunov, o que implica:

∂H(t)∂t≥ 0

17

3 Modelos Determinísticos

Modelos com alto grau de complexidade dificultam o projeto e podem invia-bilizar o processo como um todo, a menos que se façam simplificações. Nesse capítuloveremos brevemente os modelos mais utilizados e as ideias por traz desses métodos. À luzdo Capítulo 1, vamos entender como simplificar a equação de Boltzmann, usando o méto-do do momento para chegar nos modelos de Deriva-Difusão e Modelo Hidrodinâmico.

3.1 Método do MomentoRelembrando a teoria de probabilidade, temos que o operador momento (ou

esperança) mostra informações sobre a distribuição, como a média da distribuição e odesvio padrão. Mas esse operador pode nos ajudar a simplificar nosso modelo, por exem-plo, quando queremos descrever a evolução da média. Um caso muito parecido é a media-nização, onde queremos saber como age um pêndulo simples forçado na base, que ficaoscilando em torno de um equilíbrio, como o Pêndulo de Kapitza, maiores detalhesvide [L.D.]. Então, definimos o Momento pela equação 3.1, onde j é a ordem do momentoe Ij é o conjunto de índices.

Mj[ρ] =∫∫∫

(Πk∈Ijvk)ρ(t, x, v)dv (3.1)

Temos como resultados da equação de Boltzmann em equilíbrio térmico que asdistribuições de Fermi-Dirac são soluções e que podem ser aproximadas por distribuiçõesde Maxwell. Assim, vamos multiplicar a equação de Boltzmann por uma distribuição deMaxwell para poder simplificar o problema. O parâmetro kb é a constante de Boltzmann,T é a temperatura, m é a massa.

F (v) = ( m

2kbT) 3

21

1 + e−m|v|22kbT

(3.2)

F (v) ≈M(v) = ( m

2kbT) 3

2 e−m|v|22kbT (3.3)

Utilizando o método dos momentos para calcular o momento de ordem zero,chegaremos na primeira equação do nosso modelo simplificado. Primeiro podemos obser-var que o operador colisão é igual a zero, já que ao integrar em relação a v′ e devido aintegral ser simétrica, o resultado dará zero. Além disso, podemos observar que o termocorrespondente à derivada em relação à velocidade também desaparecerá, devido ao fatode que o cristal é periódico.

Capítulo 3. Modelos Determinísticos 18

∫∫∫∂ρ(t, x, v)

∂t+ v · ∇xρ(t, x, v)−

∇xU(t, x)~

· ∇vρ(t, x, v)dv =∫∫∫Ω

φ(t, v, v′)(M(t, x, v) ∗ F (t, x′, v′)−M(t, x′, v′) ∗ F (t, x, v))dxdvdv′(3.4)

∫∫∫∂ρ(t, x, v)

∂tdv +

∫∫∫v · ∇xρ(t, x, v)dv −

∇xU(t, x)m

·∫∫∫

∇vρ(t, x, v)dv = 0 (3.5)

1m

(∂U(t, x)∂x

∫∫∫∂ρ(t, x, v)∂vx

dv +∂U(t, x)∂y

∫∫∫∂ρ(t, x, v)∂vy

dv +∂U(t, x)∂z

∫∫∫∂ρ(t, x, v)

∂vzdv = 0 (3.6)∫∫∫

∂ρ(t, x, v)∂vx

dv = ρ(t, x, v)|B = 0 (3.7)∫∫∫∂ρ(t, x, v)

∂tdv +

∫∫∫v · ∇xρ(t, x, v)dv = 0 (3.8)

∂M0(x, t)∂t

+∇x ·M1(x, t) = 0 (3.9)

Calculando os momentos de primeira ordem da mesma forma acima, vamos terque o operador colisão não desaparecerá. Utilizando a integração por partes no termo davelocidade, teremos que o primeiro termo é zero, devido ao fato do cristal ser periódico,sobrando, assim, o momento de ordem zero. Por fim, temos o surgimento dos momentosde segunda ordem, devido ao fato de que teremos uma componente da velocidademultiplicando o vetor velocidade.

∫∫∫vk∂ρ(t, x, v)

∂t+ vkv · ∇xρ(t, x, v)− vk

∇xU(t, x)~

· ∇vρ(t, x, v)dv =∫∫∫Ω

vkφ(t, v, v′)(M(t, x, v) ∗ F (t, x′, v′)−M(t, x′, v′) ∗ F (t, x, v))dxdvdv′(3.10)

∫∫∫vk∂ρ(t, x, v)

∂tdv +

∫∫∫vkv · ∇xρ(t, x, v)dv −

∇xU(t, x)m

·∫∫∫

vk∇vρ(t, x, v)dv =∫∫∫

Ω

vQ(f)dv (3.11)

∫∫∫vk∇vρ(t, x, v)dv = vkρ(t, x, v)|B −

∫∫∫vkρ(t, x, v)dv = −

∫∫∫ρ(t, x, v)dv (3.12)

∂M1(x, t)∂t

+∇x ·M2(x, t) +∇xU(t, x)

mM0(x, t) =

∫∫∫vQ(f)dv (3.13)

Calculando os momentos de segunda ordem da mesma forma acima, vamos terque o operador colisão não desaparecerá. Utilizando a integração por partes no termo davelocidade, teremos que o primeiro termo é zero devido ao fato do cristal ser periódico,sobrando, assim, os momentos de primeira ordem. Por fim temos que o surgimento dosmomentos de terceira ordem, devido ao fato de que teremos uma componente davelocidade multiplicando o vetor velocidade.


∫∫∫vkvl

∂ρ(t, x, v)∂t

+ vkvlv · ∇xρ(t, x, v)− vkvl∇xU(t, x)

~· ∇vρ(t, x, v)dv =∫∫∫

Ω

vkvlφ(t, v, v′)(M(t, x, v) ∗ F (t, x′, v′)−M(t, x′, v′) ∗ F (t, x, v))dxdvdv′(3.14)

∫∫∫vkvl

∂ρ(t, x, v)∂t

dv +∫∫∫

vkvlv · ∇xρ(t, x, v)dv −∇xU(t, x)

m·∫∫∫

vkvl∇vρ(t, x, v)dv =∫∫∫

Ω

v ⊗ vQ(f)dv

(3.15)∫∫∫vlvk∇vρ(t, x, v)dv = vlvkρ(t, x, v)|B −

∫∫∫vkρ(t, x, v)dv −

∫∫∫vlρ(t, x, v)dv (3.16)∫∫∫

vlvk∇vρ(t, x, v)dv = −∫∫∫

vlρ(t, x, v)dv −∫∫∫

vkρ(t, x, v)dv (3.17)

∂M2(x, t)∂t

+∇x ·M3(x, t) +∇xU(t, x)

m⊗M1(x, t) =

∫∫∫v ⊗ vQ(f)dv

(3.18)

Considerando os três primeiros momentos, chegamos ao seguinte sistema deequações:

∂M0(x, t)∂t

+∇x ·M1(x, t) = 0 (3.19)

∂M1(x, t)∂t

+∇x ·M2(x, t) + ∇xU(t, x)m

M0(x, t) =∫∫∫

vQ(f)dv (3.20)

∂M2(x, t)∂t

+∇x ·M3(x, t) + ∇xU(t, x)m

⊗M1(x, t) =∫∫∫

v ⊗ vQ(f)dv (3.21)

(3.22)

Será convencionado que n é a concentração de elétrons, J é a corrente deelétrons e W é a energia dos elétrons.

n(x, t) = M0(x, t) (3.23)

J(x, t) = −qM1(x, t) (3.24)

W (x, t) = m

2 Tr(M2(x, t)) (3.25)

3.2 Modelo HidrodinâmicoCom os três primeiros momentos em conjunto à equação de Poisson, teremos

um sistema de equações diferenciais parciais. Primeiro vamos aplicar Traço na equação dosegundo momento, para podermos achar a dinâmica da energia.


∂n(x, t)∂t

+∇x · J(x, t) = 0 (3.26)

−µmq

∂J(x, t)∂t

+ µq(∇x ·W (x, t)−∇xU(t, x)n(x, t)) = −µmq

∫∫∫vQ(f)dv (3.27)

∂W (x, t)∂t

+ m

2 ∇x · Tr(M3(x, t))− Tr(∇xU(t, x)2 ⊗ J(x, t)) = Tr(

∫∫∫v ⊗ vQ(f)dv)

(3.28)

∆n = q(n− C) (3.29)

O sistema ainda não é determinado, já que a variável M3(x, t) não pode serdeterminada, então substituiremos essa variável pela ansatz abaixo, onde T é o tensor detemperatura, v a velocidade, Kb a constante de Boltzmann e m é a massa efetiva.

(M3(x, t)) = 2(vW + nKbT · v)m

(3.30)

Logo a expressão final para equação é dada por:

∂W (x, t)∂t

+∇x · (vW + nKbT · v)−∇xU(t, x) · J(x, t) = m

2 Tr(∫∫∫

v ⊗ vQ(f)dv) (3.31)

Assim, o sistema fica determinado e pode ser escrito conforme abaixo, ondenomeamos os operadores de colisão como energia de colisão e corrente de colisão.

∂n(x, t)∂t

+∇x · J(x, t) = 0 (3.32)

−µmq

∂J(x, t)∂t

+ µq(∇x ·W (x, t)−∇xU(t, x)n(x, t)) = J(x, t)|colisão

(3.33)∂W (x, t)

∂t+∇x · (vW + nKbT · v)−∇xU(t, x) · J(x, t) = W (x, t)|colisão (3.34)

∆n = q(n− C) (3.35)

3.2.1 Mobilidade

Um dos parâmetros importantes é a mobilidade do elétron, que é a razão entrea velocidade da partícula (v) e o campo elétrico (E) sobre ela.

µe ≈v

E(3.36)

Vários mecanismos influenciam na mobilidade, como: temperatura, tipo dedopante, intensidade do campo elétrico, velocidade de saturação e tipo de semicondutor.


Assim, temos que vários modelos existem na literatura, por exemplo, temos o modelo deCaughey e Thomas, que varia conforme a razão entre a concentração de dopante (C) e aconcentração intrínseca (n), considerando o tipo de dopante, conforme expressão abaixo:

µh = µDop−min + µDop−max − µDop−min1 + (C/ni)0.711 (3.37)

Outro modelo considerado, quando temos um campo elétrico elevado e há umavelocidade de saturação para elétrons, é dado pela equação abaixo:

µh = µh−max1 + ( E

vsat)α

(3.38)

(3.39)

Outros tipos de modelos de mobilidade existem, como em [Klaassen 1992]e [Klaassen 1992]. São usados para considerar outros tipo de efeitos que afetam amobilidade, como a temperatura. Assim, para combinar todos esse modelos de mobilidadetemos a Regra de Matthiessen, dada por:

1µtot

=∑i

1µi

(3.40)

Além disso, temos a relação de Einstein que relaciona a mobilidade com adifusibilidade da partícula, sendo dada pela seguinte relação:

De = µekbT

q(3.41)

3.2.2 Expansão de Hilbert

Vamos mostrar outro método que é usado para a dedução dos modelos. Essemétodo consiste em utilizar uma mudança de escala e usar aproximação de Taylor sobre ofator de escala.

f ε = f0 + f1ε+ f2ε2 (3.42)

Assim, quando aplicamos a expansão temos:

ε2∂ρn(t, x, v)∂t

+ εvn · ∇xρn(t, x, v)−ε∇xUn(t, x)

~· ∇vnρn(t, x, v) = Q(ρn) + ε2In(ρn, ρp) (3.43)


ε2∂ρp(t, x, v)∂t

+ εv · ∇xρ(t, x, v)−ε∇xU(t, x)

~· ∇vρ(t, x, v) = Q(ρp) + ε2Ip(ρn, ρp) (3.44)

Agrupando em relação as potencias de ε, obtemos as seguintes equações:

Q(ρp0) = 0 (3.45)

Q(ρp1) = v · ∇xρp1(t, x, v)− ε∇xU(t, x)~

· ∇vρp1(t, x, v) (3.46)

∂ρp0(t, x, v)∂t

+ v · ∇xρp1((t, x, v)− ∇xU(t, x)~

· ∇vρp1(t, x, v) = Ip(ρn0, ρp0) (3.47)

Q(ρn0) = 0 (3.48)

Q(ρn1) = v · ∇xρ(t, x, v)− ε∇xU(t, x)~

· ∇vρ(t, x, v) (3.49)

∂ρn0(t, x, v)∂t

+ v · ∇xρn1(t, x, v)− ∇xU(t, x)~

· ∇vρn1(t, x, v) = Ip(ρn0, ρp0) (3.50)

As variáveis n e p serão as concentrações de elétrons e buracos, Jp e Jn serãocorrentes de elétrons e buracos, a partir das expressões abaixo (onde M(v) é a distri-buição de Maxwell).

n(x, t) = ρn0

M(v) (3.51)

p(x, t) = ρp0M(v) (3.52)

Jp(x, t) = µp(ρp1 − qM(v)) (3.53)

Jn(x, t) = −µn(ρn1 + qM(v)) (3.54)

Substituindo as equações 3.54-58 nas equações 3.50 e 3.53 teremos o seguintesistema:

∂n(x, t)∂t

− 1q∇x · Jn(x, t) = −R (3.55)

∂p(x, t)∂t

+ 1q∇x · Jp(x, t) = −R (3.56)

Jn(x, t) = qµnnE + qDnn (3.57)

Jp(x, t) = qµpnE − qDpp (3.58)


3.3 Modelo Deriva-DifusãoComo derivado a partir da expansão de Hilbert, em conjunto com a lei da

conservação das cargas, chegamos ao modelo Deriva-Difusão.

∂n(x, t)∂t

− 1q∇x · Jn(x, t) = −R (3.59)

∂p(x, t)∂t

+ 1q∇x · Jp(x, t) = −R (3.60)

Jn(x, t) = qµnnE + qDnn (3.61)

Jp(x, t) = qµpnE − qDpp (3.62)

∆U = q(n− p− c(x)) (3.63)

3.3.1 Mobilidade

A mobilidade do elétron(µe) e a mobilidade do buraco(µb) são parâmetrosimportantes. Como dito anteriormente, a razão entre a velocidade da partícula e o campoelétrico sobre ela.

µe(b) ≈v

E(3.64)

Vários mecanismos influenciam na mobilidade, como temperatura, tipo dedopante, intensidade do campo elétrico, velocidade de saturação e tipo de semicondutor.Assim temos que vários modelos existem na literatura, por exemplo temos o modelo deCaughey e Thomas, que varia conforme a razão entre a concentração de dopante (C) e aconcentração intrínseca (n), considerando o tipo de dopante, conforme expressão abaixo:

µe(b) = µDop−min + µDop−max − µDop−min1 + (C/ni)α (3.65)

Tabela 1 – Tabela de Coeficientes de MobilidadeDopante µDop−min µDop−max α

Fosforo 68.5 1414 0.711Boro 44.9 470.5 0.719

Outro modelo é dado quando temos um campo elétrico elevado e velocidade desaturação:

µe(b) = µh−max1 + ( E

vsat)α

(3.66)

Além disso, temos a relação de Einstein que relaciona a mobilidade com adifusibilidade da partícula, sendo dada por:

De(b) = µe(b)kbT

q(3.67)


3.3.2 Mudanças de variáveis

Sempre há visões diferentes sobre um mesmo assunto, e assim temos transfor-mações que mudam a forma de ver sobre o nosso problema. Assim, vamos discutir sobretrês tipos de escolha de variáveis mais comuns para o nosso problema.

3.3.2.1 Formulação Natural

A primeira escolha de variáveis é usar a tensão (v) e as concentrações de elétron(n) e buracos (p).

V(Tensão) (3.68)

n(elétron) (3.69)

p(buracos) (3.70)

λ2∆φ = (n− p− C)∂n∂t

+∇Jn = −R∂p∂t−∇Jp = −R

Jn(x, t) = qµnnE + qDnn

Jp(x, t) = qµpnE − qDpp

(3.71)

3.3.2.2 Formulação Quasi-Fermi

A segunda escolha de variáveis é usar a tensão e os potenciais Quasi-Fermi doselétrons e buracos(φn e φp). A relação com a formulação natural é dada por, onde λ é ocomprimento de Debye:

V(Tensão) (3.72)

n(elétron) = nieq(V−φn)kbT (3.73)

p(buracos) = nie−q(V−φp)

kbT (3.74)


Assim, podemos obter o seguinte sistema nas novas variáveis:

λ2∆φ = (δ2eV−φn − δ2eφp−V − C)∂(nie

q(V−φn)kbT )

∂t+∇Jn = −R

∂(nie−q(V−φp)

kbT )∂t

−∇Jp = −R

Jp = −µpδ2eV−φn∇φnJn = −µnδ2eφp−V∇φp

(3.75)

3.3.2.3 Formulação Slotboom

A terceira escolha de variáveis é usar a tensão e a razão dos elétrons(u) eburacos(v) pela quantidade intrínseca.

V (Tensão) (3.76)

n = (nie−qVkbT

)u (3.77)

p = (nieqVkbT

)v (3.78)

Assim podemos obter o seguinte sistema nas novas variáveis:

λ2∆φ = (δ2eV u− δ2e−V v − C)∂(nie

−qVkbT u)∂t

+∇Jn = −R∂(nie

qVkbT v)∂t

+−∇Jp = −R

Jp = −µpδ2eV∇u

Jn = −µnδ2e−V∇v

(3.79)


3.4 Modelos RecombinaçãoAté agora não falamos sobre como simplificar os termos de Colisão, assim consi-

derando o modelo bipolar de Boltzmann. Tome os termos de colisão e integramos emrelação a k, para achar os tipos de simplificações que precisamos. Primeiro vamos usar umresultado de [Poupaud 1990], que diz que a integral do operador Q é zero para todasolução do problema, assim temos que nos preocupar só sobre os Operadores In e Ip.

Rn =∫∫∫

Q(ρn)dv +∫∫∫

In(ρn, ρp)dv (3.80)

Rp =∫∫∫

Q(ρp)dv +∫∫∫

Ip(ρn, ρp)dv (3.81)

Assim, voltamos ao sistema deriva-difusão. Então devemos encontrar:

Rp(ρn, ρp) =∫

(q(x, k, k′)(ρn(x, k, k′)ρp(x, k, t)− 1)dkdk′ (3.82)

ρn0 = nM(v)n (3.83)

ρp0 = pM(v)p (3.84)

Rp(ρn, ρp) =∫

(q(x, k, k′)(nM(v)npM(v)p − 1)dkdk′ (3.85)

Rp(ρn, ρp) =∫

(q(x, k, k′)(npn2i

− 1)dkdk′ (3.86)

Rp(ρn, ρp) = A(x)(np− n2i ) (3.87)

Temos, então, a primeira forma de recombinação, conhecida como recombinaçãobanda a banda.

3.4.1 Recombinação de Ionização por Impacto

A recombinação de ionização por impacto é um processo de geração de trêspartículas. Os portadores viajam através de alto campo elétrico, logo essas partículas temuma alta energia, sofrem colisões com elétrons que estão na banda de valência. O excessode energia é transferido para esses elétrons que vão para a banda de condução criandonovos pares de elétrons-buracos. Estes pares de elétrons-buracos secundários tambémpodem ter uma energia relativamente elevada. Neste caso, o efeito de avalanche édesencadeado e a densidade dos portadores aumenta fortemente.

Rp(ρn, ρp) = |Jn|e−EcritE + |Jp|e

−EcritE (3.88)


Tabela 2 – Tabela de coeficientes da recombinação de ionização por impactoSigla Valorαn 106(cm−1)αp 2 ∗ 106(cm−1)Ecritn 2 ∗ 106( V

cm)

Ecritp 1, 66 ∗ 106( V

cm)

Figura 5 – Recombinação de Ionização por Impacto

3.4.2 Recombinação de Auger

O efeito Auger é apenas o processo inverso de Ionização por impacto. Nestetipo de recombinação, o excesso de energia emitido por uma recombinação de elétronscom um buraco é absorvido por um segundo elétron (em qualquer banda) em vez deapenas emitir energia, como um fóton. O elétron em seguida doa a sua energia adicionalnuma série de colisões com a rede, relaxa de volta ao bordo da banda. Assim, este efeito éo resultado de interações entre partículas múltiplas, incluindo vários elétrons e um buracoou vários buracos e um elétron.

Rp(ρn, ρp) = (Cnn+ Cpp)(np− n2i ) (3.89)

Tabela 3 – Tabela de coeficientes da recombinação AugerSigla P ValorCn 2, 8 ∗ 10−31(cm6s−1)Cp 9, 9 ∗ 10−32(cm6s−1)


Figura 6 – Recombinação Auger

3.4.3 Recombinação de SHR

Essa recombinação ocorre quando um elétron ou buraco cai numa "armadilha",um nível de energia dentro da banda proibida, causada pela presença de um átomoexterno ou um defeito estrutural. Uma vez que a armadilha está cheia não pode aceitaroutro elétron. A energia dos elétrons que ocupam as armadilhas, que pode num segundopasso se recombinar com um buraco, completando, assim, o processo de recombinação.Vamos nos referir a esse processo como Recombinação de Shockley-Hall-Read (SHR).

Rp(ρn, ρp) = (np− n2i )

τp(n) + τn(p) (3.90)

Tabela 4 – Tabela de coeficientes da recombinação SHRSigla Valorτn 10−6(s)τp 10−5(s)

Figura 7 – Recombinação SHR


3.4.4 Recombinação de fóton

A geração de uma carga devido à absorção de luz ocorre se a energia do fóton égrande o suficiente para levantar um elétron da banda de valência para um estado vaziona banda de condução, gerando um par elétron-buraco. A energia dos fótons necessita serpelo menos igual à energia de banda proibida para satisfazer a condição. O fóton é absor-vido neste processo e o excesso de energia, Eφ é adicionado para o elétron ou buraco sob aforma de energia cinética.

Rp(ρn, ρp) = αPoptEφA

(3.91)

Figura 8 – Recombinação Fóton

3.5 Condições de FronteiraComo discutido no Capítulo 2, as condições de fronteira são parte essencial do

problema. Para isso vamos discutir alguns tipos de condições de fronteira. Primeirovamos tratar da condição artificial, que se trata de uma condição de Neumman homogê-nea, que garante que não haverá influência externa do dispositivo naquela região. Essacondição é usada para simular dispositivos onde não há nenhuma forma de interação nobordo dessa restrição ou para poder simular dispositivos separados.

∂u

∂x

∣∣∣∣∣∂Ω

= 0 (3.92)

Jnv|∂Ω = 0 (3.93)

Jpv|∂Ω = 0 (3.94)


3.5.1 Contato Ôhmico

O Contato ôhmico que surge na junção metal-semicondutor devido a umapequena diferença entre as energias de Fermi do metal e do semicondutor( ∆φ < kT

q). O

contato ôhmico foi modelado no Capítulo 2 como sendo uma condição de Dirichlet, ouseja, sabemos que ele é constante na região. Logo, quando olhamos para a equação dePoisson, usando formulação de Slotboom, obtemos que:

∆u ≈ 0 (3.95)

∆u = (eφ + e−φ − C(x)) ≈ 0 (3.96)

Usando a expressão do cosseno hiperbólico, temos:

φ|∂Ω = ln(−C +√C2 + 4σ4

2σ2 ) + V0 (3.97)

n|∂Ω = C +√C2 + 4σ4

2 (3.98)

p|∂Ω = −C +√C2 + 4σ4

2 (3.99)

3.5.2 Contato Schottky

Outra forma de contato é o contato Schottky, que surge na junção metal-semicondutor devido a uma alta diferença entre a energia de Fermi do metal e do semi-condutor (∆φ > kT

q). O contato Schottky pode ser modelado como sendo uma condição de

Dirichlet não-homogênea, na qual o valor da barreira de Schottky corresponde ao termonão homogêneo, e ainda considerarmos que há saída de corrente, que será proporcional aoexcedente de cargas no contato vezes as velocidades de recombinação(vp e vn).

φ|∂Ω = Vschottky + V0 (3.100)

Jnv|∂Ω = −qvn(n− ns) (3.101)

Jpv|∂Ω = qvp(p− ps) (3.102)


3.5.3 Contato Óxido-Semicondutor

Um tipo de contato importante que será usado mais a frente é o contato óxido-semicondutor, que é utilizado em transistores MOSFET. Ele constitui em um contatometálico ligado ao um óxido, que gera um campo elétrico na interface entre o óxido esemicondutor.

εsi∂u

∂x

∣∣∣∣∣∂Ω

= εox∂u

∂x

∣∣∣∣∣∂Ω

+Qint (3.103)

Jnv|∂Ω = 0 (3.104)

Jpv|∂Ω = 0 (3.105)

3.6 Exemplo: Modelo MOSFET.Um dos principais dispositivos utilizados atualmente é o transistor de efeito de

campo metal-óxido-semicondutor, MOSFET, que possui diversas aplicações na eletrônicaanalógica e digital. Esse dispositivo possui três camadas, conhecidas como fonte, canal edreno, respectivamente representados pelas áreas A, B ,C. A área D representa o óxido degate e a área E representa o substrato. Aplicando tensões nos contatos, afim de criar umadiferença de potencial entre dreno e fonte, podemos controlar a corrente que ira passar dafonte passando pelo canal e saindo pelo dreno. O controle da corrente é devido ao campogerado pelo óxido de gate, quando aplicada uma diferença de potencial entre o gate e odreno, gera um campo elétrico que pinça a corrente de elétrons que está passando. Embaixo damos o modelo do MOSFET na formulação de Quasi-Fermi.

λ2∆φ = (δ2eV−φn − δ2eφp−V − C)

∇Jn = R

∇Jp = R

Jp = −µpδ2eV−φn∇φnJn = −µnδ2eφp−V∇φpφn = φp = 0 em ∂Ωfonte

φn = φp = Vdreno em ∂Ωdreno

φn = φp = Vbuck em ∂Ωdreno

εsi∂u∂x

∣∣∣∂Ω

= εox∂u∂x

∣∣∣∂Ω

+Qint em ∂Ωgate

(3.106)


A B

D

C

E

Figura 9 – Geometria do MOSFET

33

4 Microeletrônica Computacional

Como em qualquer outra área da engenharia, o desenvolvimento contínuo dos méto-dos computacionais tem aberto novas fronteiras na microeletrônica. Nesse capítulo os métodosmais utilizados e os conceitos envolvidos na sua concepção e implementação serão examinados. Adiscussão apresentada nos Capítulos 1 e 2, servirá de base para o entendimento da solução numé-rica da equação de Boltzmann usando o método de Monte Carlo, bem como a solução dos mode-los de Deriva-Difusão e Hidrodinâmico, usando métodos determinísticos tais como o método deElementos Finitos e Diferenças Finitas.

"Sir, ainda existem terabytes decálculos necessários antes de umvoo real acontecer ..."

JARVIS, filme Homem de Ferro

4.1 Método de Monte Carlo:O método de Monte Carlo foi desenvolvido durante a Segunda Guerra Mundial, pelos

cientistas do projeto Manhattan e dado esse nome em homenagem ao tio de Stanislaw Ulam, umdos cientistas, sendo esse tio famoso por perder dinheiro nos cassinos de Monte Carlo. Esse mé-todo, baseado em conceitos de probabilidade, possibilitou a solução de vários problemas antesjamais resolvidos, como calculo numérico de certas integrais.

Esse método constitui em escolher pontos de forma aleatória dentro de um cubo N-dimensional, e se esses pontos pertencem ao sistema, esse ponto é considerado na conta, casocontrario é descartado. A verificação se esse ponto respeita o sistema é feita pelas condições doproblema, muitas dessas condições são limitações de Funcionais (Energia, Entropia,... ) oucondições inicias ou de bordo.

Um exemplo clássico de aplicação do método é o cálculo de π4 , que é dado pela integral∫ 1

0∫√1−x2

0 1dxdy , que é a integral da área do circulo. Assim, escolhemos pontos aleatóriosdentro do quadrado [0, 1]⊗ [0, 1] , e caso esteja no circulo, guarde o ponto (que estão em azul nafigura abaixo), caso contrariou, jogue fora (que estão em vermelho na figura abaixo).

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Figura 10 – Exemplo de Monte Carlo

Capítulo 4. Microeletrônica Computacional 34

4.1.1 Convergência do métodoSerá então mostrado o porquê do método convergir, através do seguinte

teorema: [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]

Teorema 4.1.1. Monte Carlo (Convergência de Monte Carlo) A Ordem de Convergência dométodo de Monte Carlo é da ordem 1√

n

4.1.2 Técnicas de Redução de VariânciaMas há várias técnicas que auxiliam a convergência do Monte Carlo. A seguir será

feito um apanhado dessas técnicas, retiradas dos livros [Fasching, Selberherr e Halama 1993]e [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010], para poder elucidar como diminuir a variância,melhorando, assim, a convergência.

4.1.2.1 Domínio de Rejeição

Como anteriormente aplicada, essa técnica verifica se os pontos estão na região, e casonão estejam, sejam retirados.

4.1.2.2 Transformação Conforme

Pode-se usar mudanças de variáveis tais que o Jacobiano permaneça unitário. Paraisso tomamos a seguinte transformação Φ da seguinte maneira :

Φ(t, x, v)<3 → <3 (4.1)

(x, y, z)→ (x′, y′, z′) (4.2)

JΦ = 1 (4.3)∫f(Φ)dv =

∫f(Φ)JΦdΦ =

∫f(Φ)dΦ (4.4)

Essa técnica é utilizada para cálculos de integrais.

4.1.2.3 Monte Carlo de uma partícula

Para este tipo de simulação, uma partícula aleatória é injetada e o movimento é com-putado por todo o domínio, pela expressão abaixo ou usando algum método numérico, até queele sai através do contato. Outra carga é, então, injetada e o processo é repetido para simularum conjunto de trajetórias. Esta abordagem é mais útil para estudar as propriedades domaterial, como a velocidade de deriva e a energia média.

k(t) = k0 + qEt

~(4.5)

r(t) = r0 + k0t+ qEt2

2~ (4.6)


4.1.2.4 Ensemble estatístico de Monte Carlo

Em vez de única portadora, um grande conjunto de partículas é simulada ao mesmotempo. Este procedimento é, obviamente, um bom candidato para supercomputação, uma vezque se pode aplicar a paralelização. Esta abordagem é adequada para simulações de transitórios.

4.1.2.5 Ensemble estatístico de Monte Carlo Auto-consistente

Este método casa os procedimentos de Ensemble estatístico Monte Carlo com a equa-ção de Poisson, e é o mais adequado para a simulação do dispositivo. Normalmente, a equaçãode Poisson é resolvida em intervalos fixos de tempo para atualizar o campo interno, de modo arefletir a redistribuição interna de carga, devido ao movimento das partículas. Uma das técnicaspara garantir a auto-consistência é projetar as cargas das partículas na malha da equação dePoisson, conhecida como Cloud-In-Cell.

4.1.2.6 Seleção aleatória de vôo

Dada uma trajetória que sofreu uma colisão, temos que calcular a probabilidade deque o elétron irá sofrer uma segunda colisão no intervalo centrado em t com variação dt

2 , que édada pela expressão:

P (t) dt = P [k(t)] exp[−∫ t

0P [k(t′)] dt′] dt (4.7)

Onde P [k(t)]dt é a probabilidade de que um elétron no estado k sofre uma colisãodurante o tempo dt. Devido à complexidade da integral no expoente, é impraticável para gerarvoos livres estocásticos com a distribuição da equação acima. Para ultrapassar essa dificuldade,usa-se um regime fictício de auto espalhamento. Ao fazer isso, o espalhamento total, incluindo oauto-espalhamento, é constante. Por seleção aleatória, se o auto espalhamento selecionado k’ é omesmo com k depois a colisão, então se continua voo sem colisão. Assumindo que p(k) = τ−1

0 eque seja constate; a equação reduz-se para:

.P (t) = 1

τ0exp(−t/ au0). (4.8)

Uma variável aleatória r pode ser usado de forma muito simples para gerar voosestocásticos livres, cuja duração será dado por tr = −τ0 ln(r). O tempo de computador utilizadopara o auto espalhamento é mais do que compensado pela simplificação do calculo da duração devoo livre.

4.1.2.7 Full-Band Monte Carlo.

Por último, descrevemos a técnica mais usada atualmente, conhecida como Full-BandMonte Carlo, que consiste considerar todo o diagrama de energia do cristal. Devido ao alto custocomputacional, esse método é recomendado para uso em altas energias, onde apresenta os efeitosde elétron quente e campos elétricos grandes. Daremos dois exemplos concretos de software queusam esse tipo de técnica na próxima subseção.


4.1.3 Exemplos de SoftwareApós o apanhado de técnicas feito anteriormente, vamos mostrar dois programas

desenvolvidos para indústria.

4.1.3.1 Damocles

Desenvolvido pela IBM, esse programa simula usando o método de Full Band MonteCarlo, para dispositivos como unipolares, canais P e N,Si MOSFETs, MESFETs GaAs e transís-tores bipolares de Si, considerando as taxas de espalhamento consistente com a estrutura debanda e considerando as interações de longo e de curto alcance entre as operadoras. [Laux,Fischetti e Frank 1990]

4.1.3.2 MOCA

Desenvolvido na Universidade de Illinois em Urbana-Champaign, o MOCA, um simu-lador de Full Band Monte Carlo bidimensional, que pode ser acessado em [NanoHub 2014].Usando uma abordagem semi-clássica, possui um sistema de correção considerando a equação deSchrödinger, sendo capaz de simular dispositivos como MOSFET de comprimento de canal de 50nm. MOCA também trata do transporte de forma detalhada usando a técnica de Full BandMonte Carlo e considera efeitos de fônon (acústico e dispersão óptica), colisões (usando umamalha bem fina para resolver a equação de Poisson), espalhamento de rugosidade da superfície eionização por impacto. [Ravishankar et al. 2005]

Figura 11 – MOCA


4.1.4 Fluxo do simulador de Monte CarloRelembrando do problema do Capítulo 1, abaixo está a equação de Boltzmann em

conjunto com a equação de Poisson, que modelam os dispositivos semicondutores. Deve-seressaltar que as principais dificuldades do problema para simular é a integral do operador decolisão, a escolha da trajetória, e como acoplar com o problema de Poisson.

∂ρ(t,x,v)∂t + v · ∇xρ(t, x, v)− ∇xU(t,x)

~ · ∇vρ(t, x, v) = Q(ρ)

Q(ρ) =∫∫∫B

s(x, v, v′)(ρ(t, x, v) ∗ (1− ρ(t, x′, v′))− s(x, v′, v)ρ(t, x′, v′) ∗ (1− ρ(t, x, v)))dv′

∆Ueff = − q(C−n)ε

(4.9)A ideia geral de um simulador de semicondutores usando o método de Monte Carlo é

gerar através de algoritmos de números pseudo-aleatórios uma configuração inicial para umapartícula, para depois gerar uma simulação do voo livre da partícula, que tem como trajetória asequações 4.11 e 4.12 com o campo elétrico fixo. No próximo passo, usando as trajetórias compu-tadas, resolvemos a equação de Poisson para todas as partículas. Após este passo verificamos sechegamos ao término da simulação, em caso positivo, se faz o pós-processamento, em casonegativo, utilizando as informações previamente calculadas, geram-se as colisões e reiteramos oprocesso, recomeçando pela computação do voo livre.

Inicializaçãode Dados

Computaçãodos Vooslivres

Resolverequação

de Poisson

GerarEvento deColisão

Acabou otempo desimulação

ColetardadosParar

não

sim

Figura 12 – Fluxograma do Simulador de Monte Carlo


4.2 Métodos DeterminísticosAgora vamos considerar os métodos numéricos para os modelos do Capítulo 2. Como a

complexidade do modelo é reduzida, vamos observar o aumento da ordem de convergência dométodo numérico, onde teremos ordem de convergência linear(O(n)) ou superior O(nα).

4.2.1 Método Elementos FinitosA partir da segunda metade do seculo 20 temos o surgimento de um novo método

proposto por Courant, e tem grande repercussão na Engenharia Civil. A sua grande vantagem époder tratar facilmente problemas com geometrias complicadas. Assim vamos mostrar comofunciona o método, considerando o problema da equação de Poisson com fronteira mista, comovisto nas equações 4.16-18.

∆u = f (4.10)

u|∂Ωd = g1 (4.11)

∇ u|∂Ωn = g2 (4.12)

A essência do FEM é projetar a equação que rege o modelo num conjunto de funçõesde base apropriadamente escolhidas, utilizar uma formulação variacional do problema. Para isso,projetamos a equação sobre uma função teste φ. Agora aplicamos as identidades de Green(resultado imediato do teorema fundamental do cálculo)

∫Ω

∆uφdx =∫

Ωfφdx (4.13)∫

Ω∆uφdx = −

∫Ω∇u∇φdx+

∫∂Ω∇uφdSx (4.14)

−∫

Ω∇u∇φdx+

∫∂Ω∇uφdSx =

∫Ωfφdx (4.15)

−∫

Ω∇u∇φdx+

∫∂Ωn

g2φdSx +∫∂Ωd∇g1φdSx =

∫Ωfφdx (4.16)

Deve-se definir o elemento sendo a tríplice contendo um subdomínio do domínio, oconjunto de vértices desse subdomínio e um conjunto de funções bases referente a esse sub-domínio. Estes subdomínios podem ser triângulos ou quadriláteros no caso bidimensional, etetraedros ou prismas no caso tridimensional, que são parte de domínio computacional discre-tizado. Cada vértice de cada subdomínio será chamado nó, e são de vital importância para asfunções base. As funções bases que são um conjunto de funções que são zeros em todo o espaçoda simulação a não ser no subdomínio perto de um certo nó, onde ela é uma função continua porpartes, derivável até certo grau. Um elemento vizinho é um elemento que contém o nó j, e os nósvizinhos são aqueles que estão contidos nestes elementos. Na figura abaixo é um exemplo defunção base.


Figura 13 – Função Base

Tome um conjunto de função bases para que cobre todo o domínio, ou seja existe umafunção base para cada subdomínio do domínio, e suponha que a solução e as funções de fronteiraseja uma combinação linear dessas funções, a essa suposição dá-se o nome de método de Petrov–Galerkin. Assim deve-se expandir a soma e escolher como φ inicial do procedimento como cadauma das funções bases do conjunto, chegando a um conjunto de N-equações.

u ≈N∑i

aiφi g1 ≈N∑i

ciφi g2 ≈N∑i

biφi f ≈N∑i

fiφi (4.17)

−∫

Ω∇

N∑i

aiφi∇φdx+∫∂Ωn

g2φdSx +∫∂Ωd∇g1φdSx =

∫Ωfφdx (4.18)

−∫

Ω∇

N∑i


N∑i

biφiφdSx +∫∂Ωd∇

N∑i

ciφiφdSx =∫

Ωfφdx (4.19)

−∫

Ω∇

N∑i


N∑i

biφiφdSx +∫∂Ωd∇

N∑i

ciφiφdSx =∫

Ω

N∑i

fiφiφdx (4.20)

−∫

Ω∇

N∑i

aiφi∇φjdx+∫∂Ωn

N∑i

biφiφjdSx +∫∂Ωd∇

N∑i

ciφiφjdSx =∫

Ω

N∑i

fiφiφjdx (4.21)

−N∑i

ai

∫Ω∇φi∇φjdx+

N∑i

bi

∫∂Ωn

φiφjdSx +N∑i

ci

∫∂Ωd∇φiφjdSx =

N∑i

fi

∫Ωφiφjdx (4.22)

Agora devemos usar o fato de que as funções bases são definidas numa região limitada,assim todas as integrais tem um valor definido e temos que os valores de bi,bi e fi são definidoscomo sendo as projeções de g1,g2 e f no espaço das funções base. Logo após usar técnicas de


interpolação para estimar o valor dessas integrais, chegamos num problema de álgebra linear.

−N∑i

ai[∫

Ω∇φi∇φjdx] +

N∑i

bi[∫∂Ωn

φiφjdSx] +N∑i

ci[∫∂Ωd∇φiφjdSx] =

N∑i

fi[∫

Ωφiφjdx]

(4.23)

−N∑i

ai[Aij ] = −N∑i

bi[Kij ]−N∑i

ci[Lij ] +N∑i

fi[Mij ] (4.24)

[A]x = −[K]b− [L]c+ [M ]f (4.25)

Aij =∫

Ω∇φi∇φjdx (4.26)

Kij =∫∂Ωn

φiφjdSx (4.27)

Lij =∫∂Ωd∇φiφjdSx (4.28)

Mij =∫

Ωφiφjdx (4.29)

ci =∫∂Ωn

g2φjdSx (4.30)

bi =∫∂Ωd∇g1φjdSx (4.31)

4.2.1.1 PADRE

Desenvolvido pela Bell Laboratories, o simulador PADRE é capaz de simular até aterceira dimensão, capaz de simular soluções estacionárias, transientes, e análise de pequenossinais. Esse software é capaz de simular geometrias arbitrárias, heterojunção, modelos de canalcurto e elétrons quentes. [Fasching, Selberherr e Halama 1993]

4.2.1.2 FIELDAY

Desenvolvido pela IBM, especificamente por um grupo de engenheiros da IBMBurlington, com o intuito de estudar e otimizar os dispositivos semicondutor como o transistorbipolar. Esse software pode resolver tanto os modelos Hidrodinâmicos e Deriva-Difusão; capaz desimular até três dimensões; capaz de simular inúmeros efeitos, como efeitos de impacto departículas alfas e cósmicas, aquecimento, alta dopagem, e efeitos de tunelamento. [Fasching,Selberherr e Halama 1993]


4.2.2 Métodos de Diferenças FinitasOutro tipo de método muito usado é o método das diferenças finitas, onde operadores

das derivadas espaciais são calculados diretamente pelas diferenças entre pontos próximos. Essemétodo se baseia no teorema de Taylor, e foi a primeira abordagem para simulação numérica dediversas EDP’s. Assim do cálculo temos:

∂u

∂x≈ u(x+ δx)− u(x)

δx(4.32)

Mas podemos achar outras formas equivalentes de aproximar a derivada, como essasabaixo:

∂u

∂x≈ u(x)− u(x− δx)

δx(4.33)

∂u

∂x≈ u(x+ δ)− u(x− δx)

2δx (4.34)

Então como pode ser observado podemos sempre escolher um conjunto de pontos, taisque existe um conjunto de pesos para aproximar a derivada (o mesmo procedimento pode serusado para aproximar derivadas de ordem maiores). Para esse conjunto de pontos e pesos é dadoo nome de esquema numérico de diferenças finitas, ou só esquema. Os esquemas acima citadossão respectivamente o esquema Forward-Euler, Backward-Euler, e o centrado.

4.2.2.1 Resolvendo Poisson

Para resolver as equações de Poisson utilizasse o esquema centrado com a metade dointervalo para achar a primeira derivada, e depois reaplicar o esquema centrado com a metadedo intervalo para achar uma aproximação da segunda derivada.

∂2u

∂x2 = ∂

∂x

∂u

∂x≈∂u(x+ δx

2 )− ∂u(x− δx2 )

δx= u(x+ δx) + u(x− δx)− 2u(x)

(δx)2 (4.35)

Usando a formulação de Slootbloom na equação de Poisson e aplicando o esquemaacima para a segunda derivada temos que :

∆φ = (eφ − e−φ − C) (4.36)u(x+ δx) + u(x− δx)− 2u(x)

(δx)2 = (eφ − e−φ − C) (4.37)

Usando a seguinte aproximação, φ = φ0 + δφ, temos que :

∆(φ0 + δφ) = (e(φ0+δφ) − e−(φ0+δφ) − C) (4.38)

∆φ0 + ∆δφ = (eφ0(1 + δφ)− e−φ0(1− δφ)− C) (4.39)

Agora usando a diferença finita no laplaciano, temos que:δφ(x+ δx) + δφ(x− δx)− 2δφ(x)

(δx)2 = (eφ0(1 + δφ)− e−φ0(1− δφ)− C) (4.40)

δφ(x+ δx)(δx)2 + δφ(x− δx)

(δx)2 + ( −2(δx)2 − e

φ0 − e−φ0)δφ(x) = (eφ0 − e−φ0 − C) (4.41)


Usando a formulação natural temos que:

δφ(x+ δx)(δx)2 + δφ(x− δx)

(δx)2 + ( −2(δx)2 − n− p)δφ(x) = (n− p− C) (4.42)

4.2.2.2 Esquema Scharfetter-Gummel

Para o calculo das equações de corrente elétrica vamos considerar o esquema numéricoconhecido como esquema de Scharfetter-Gummel, devido ao artigo [Scharfetter e Gummel 1969],no qual eles propõem a seguinte expressão para o calculo da corrente que passa entre 2 pontosda malha:

Ji− 12

= eDi− 12

niB(Vi−Vi−1VT

)− ni−1B(Vi−1−ViVT

)∆ (4.43)

onde

B(x) = x

ex − 1 (4.44)

Assim podemos aproximar a primeira derivada por:

∂J

∂x≈Ji+ 1

2− Ji− 1

2

∆ (4.45)

Será deduzido agora a forma como achar a equação 4.49.

Jn(x, t) = −qµn(D dn

µndx− nE) (4.46)

dn

Dµndx= Jn(x, t) + qµnnE (4.47)

1Jn(x, t) + n

dn

dx= µnE

D(4.48)

Jn(x, t) + qµnnE = eax+c (4.49)Ji− 1

2+ qµnni+1

Ji− 12

+ qµnni= ea(xi+1−xi) (4.50)

(1− ea(xi+1−xi))Ji− 12

= qµn(ni+1 − ea(xi+1−xi)ni)) (4.51)

Ji− 12

= aqµn(ni+1 − ea(xi+1−xi)ni))(1− ea(xi+1−xi))

(4.52)

Ji− 12

=niB(Vi−Vi−1

VT)− ni−1B(Vi−Vi−1

VT)

∆ (4.53)

B(x) = x

ex − 1 (4.54)


4.2.2.3 Iteração de Gummel

Portanto sabemos simular a corrente e as equações de Poisson separadamente. Entre-tanto essas equações estão vinculadas entre si, logo temos que acoplar esses métodos, para issovamos usar o método de Newton. O método de Newton é um método numérico que é usado paraachar raízes de um polinômio, utilizando a expansão de Taylor até primeira derivada, ondechegamos nas equações abaixo para o caso de uma função com três variáveis.

wk+1 = wk + d (4.55)

F ′(wk+1)d = −F (wk)h (4.56)

F ′(wk+1) =

−λ2∆∗ 1 −1∇(µnn∇∗) ∇(µn(−∇ ∗+ ∗ ∇V )) + ∂R

∂n∂R∂p

∇(−µpp∇∗) (µn(−∇ ∗ − ∗ ∇V )) + ∂R∂n

∂R∂p

(4.57)

Mas esse método tem um alto custo computacional. Uma simplificação que consisteem considerar baixas correntes e baixa taxa de recombinação, o que leva a diminuição do aco-plamento do sistema, uma vez que com essas considerações, os seguintes termos da matrizF ′(wk+1) , a1,3,a1,2,a3,1,a2,1 , são pequenos, assim levando a um método iterativo, conhecidocomo método iterativo de Gummel.

F ′(wk+1) =

−λ2∆∗ 1 −1

ε ∇(µn(−∇ ∗+ ∗ ∇V )) + ∂R∂n ε

ε ε (µn(−∇ ∗ − ∗ ∇V )) + ∂R∂n

(4.58)

InicializarSimulação

ResolverPoisson es-tacionária

ResolverCorrentede elétron

ResolverCorrentede buracos

ResolverPoisson

Transiente

Convergiu?

AtualizarValores.

Parar

sim

não

Figura 14 – Iteração de Gummel


4.2.2.4 Método Weno

Uma grande dificuldade numérica é tratar dos efeitos de onda de choque, que apare-cem nos modelos de equação diferenciais parciais hiperbólicas (que são escritos genericamente naforma abaixo), onde a solução fica descontínua devido aos efeito não-linear da equação quequeremos simular.

∂u

∂t= ∇ · F (u) (4.59)

Quando se trunca uma série de Fourier de uma função descontínua ocorre o apare-cimento de flutuações na série de Fourier dessa função. Assim quando calculamos uma soluçãopara o nosso problema, o truncamento numérico gera oscilações na solução computada, quepodem instabilizar a simulação. Para podermos simular com essas equações usaremos um méto-do de diferenças finitas chamado WENO(Weight Essential Non-Oscillatory ) [Shu 1998], em queconsis- te em calcular diversos esquemas numéricos para a derivada em relação a x, e fazer umacombinação linear usando pesos.

Figura 15 – Esquema WENO

Para isso devemos primeiramente calcular os indicadores de suavidade βi, quandomenor for o indicador mais suave a função é, consequentemente menor as chance de se terchoque nessa região.

β1 = 13(4u2

i−2 − 19ui−2ui−1 + 25u2i−1 + 11ui−2ui − 31ui−1ui + 10u2

i

)β2 = 1

3(4u2

i−1 − 13ui−1ui + 13u2i + 5ui−1ui+1 − 13uiui+1 + 4u2

i+1)

β3 = 13(10u2

i − 31uiui+1 + 25u2i+1 + 11uiui+2 − 19ui+1ui+2 + 4u2

i+2) (4.60)

Com o indicador, achamos os pesos, que possui diversas variantes de implementações,sendo abaixo representada os pesos do WENO-SHU e WENO-Z [?]. Os valores γj são os pesosquando se está numa região continua, ε é o erro de máquina.


wj = γj(ε+ βj)2 (4.61)

wj = wjw1 + w2 + w3

(4.62)

Para o peso do WENO-Z:

wj = γj(1 + τ

(ε+ βj)p). (4.63)

wj = wjw1 + w2 + w3

(4.64)

Assim temos como calcular o valor de ui− 12, possibilitando o calculo da derivada :

ui− 12

= w1 ∗ u1(x) + w1 ∗ u2(x) + w3 ∗ u3(x)δx

(4.65)

Agora podemos usar o esquema de Schaffeter-Gummel em conjunto com o métodoWENO para tratar de problemas de descontinuidade.

J1i− 1

2=

2ni+1B(−Vi−1+2Vi+1+5Vi6VT ) + 5niB(−Vi−1+2Vi+1+5Vi

6VT )− ni−1B(Vi−1−2Vi+1−5Vi6VT )

6∆ (4.66)

J2i− 1

2=−ni+2B(Vi−2Vi+2−5Vi+1

6VT ) + 5ni+1B(−Vi+2Vi+2+5Vi+16VT ) + 2niB(Vi−2Vi+2−5Vi+1

6VT )6∆ (4.67)

J3i− 1

2=

11ni−2B(11Vi−2−7Vi−1+2Vi6VT )− 7ni−1B(11Vi−2−7Vi−1+2Vi

6VT ) + 2niB(11Vi−2−7Vi−1+2Vi6VT )

6∆ (4.68)

46

5 O Simulador

A partir dos conhecimentos apresentados nos três primeiros capítulos, podemosapresentar um programa que fizemos para a simulação de dispositivos semicondutores,principal objetivo desse trabalho. Para isso vamos explicar como foram implementados osmétodos computacionais e algoritmos.

5.1 O simuladorO simulador foi escrito em C\C++ , no intuito de gerar um código eficiente,

rápido e reutilizável. O design pattern Modelo-Visualizador-Controlador (MVC) é afilosofia geral por traz do simulador, onde separamos o programa em 3 partes, umaresponsável por visualizar os resultados e interagir com o usuário (Visualizador), umaresponsável pelas contas (O modelo), e uma para controlar o programa (O Controlador).

Figura 16 – Modelo MVC

Usamos as seguintes bibliotecas como parte do código:

• wxWidget : Utilizamos essa biblioteca de interface gráfica para gerar uma interfacefácil, leve e que não utilize software proprietário.

• CXSparse : Biblioteca de Álgebra Linear para gerar Matrizes esparsas.

• Open GL : Utilizamos essa biblioteca em conjunto com o wxWidget para plotar osresultados.

5.1.1 Projeto do Simulador

Como todo programa moderno, o simulador foi dividido em módulos, cada umcom seu propósito. Diversas técnicas de programação orientadas a objetos foram usadas,como object slicing, quando utilizamos uma classe abstrata como ponteiro das suas classesfilhas a fim de criar um vetor de classes filhas; Template [Shapira 2006], onde criamos um

Capítulo 5. O Simulador 47

Simulador

ÁlgebraLinear

ModelFEMGUIUtilTime

Stepper Poisson Constraint WENO Recomb Maps

Figura 17 – Diagrama dos módulos do Simulador

tipo genérico, que ao ser parametrizado, gera um tipo concreto, possibilitando reúso decódigo, como por exemplo gerar nós de uma malha em 1D, 2D, 3D. Os módulos, taiscomo mostrados na figura 16, são os seguintes

• GUI : Responsável pela interação entre usuário e o simulador, recebendo parâmetros dousuário e plotando os resultados. Utilizamos a biblioteca wxWidget para implementartoda a interface gráfica em conjunto com a biblioteca OpenGL para plotar os resultadosgraficamente. As informações ao serem recebidas são transmitidas para a classeProgramControl, que está no módulo Util, que transferira aos outros módulos doprograma. Além disso, as informações para Plot serão enviadas pelo ProgramControl.

• FEM : Responsável pelos modelos usando a abordagem do método de elementos finitos,como definição de nós, elementos e malha. As funcionalidades desse módulo vão desdecriação das matrizes até o refinamento da malha.

• Util: Contém classes para controle do programa, escrita de arquivos, e outras funciona-lidades secundárias.

• Álgebra Linear: Responsável por toda operação matricial, desde alocar memória para amatriz até resolver o sistema matricial de forma direta (utilizando o algoritmo LDU).Utilizamos a biblioteca CXSparse para criar matrizes esparsas e resolver o sistema.

• Maps: Responsável por todo o tipo de transformações, como mudança de variáveis, escalae tipo de material.

• Model: Responsável por todos Modelos de simulação, Toda classe concreta desse móduloencapsula as classes dos métodos utilizados, ou seja, temos dentro desses modelos instân-cias de classes dos módulos Poisson, Time Stepper, Álgebra Linear, Constraint, Recomb,WENO, Maps, Util.

• Recomb: Responsável pelos operadores de recombinação.

• Poisson: Responsável pelos Solvers da equação de Poisson para diferenças finitas.

• WENO: Responsável pelo método de diferenças finitas WENO.

• Constraint : Responsável pelas condições de contorno.

• Time Stepper: Responsável pelos métodos de integração temporal como Runge-Kutta eMulti-Passo.


5.2 MapasO primeiro módulo do sistema é responsável por guardar as transformações de

variáveis e guardar os parâmetros de cada material. Os dados em cada classe são osparâmetros do material e os métodos são as transformações de variáveis necessárias.

Maps

Maps

SiMaps

Figura 18 – Diagrama do módulo Mapas

Tabela 5 – Tabela de Propriedades do SilícioSigla Propriedades do Silício ValorVth Tensão 0.026(V)ni Concentração intrínseca de Portadoras 1, 1 ∗ 1011

εsi Permissividade relativa 11.9µn Mobilidade dos elétron 1400(cm2V −1s−1)µp Mobilidade dos buracos 450(cm2V −1s−1)Cn Coeficiente de Auger 2, 8 ∗ 10−31(cm6s−1)Cp Coeficiente de Auger 9, 9 ∗ 10−32(cm6s−1)τn Tempo de armadilha 10−6(s)τp Tempo de armadilha 10−5(s)αn Coeficiente de Impacto Ionizante 106(cm−1)αp Coeficiente de Impacto Ionizante 2 ∗ 106(cm−1)Ecritn Campo Critico para Impacto Ionizante 2 ∗ 106( V

cm)

Ecritp Campo Critico para Impacto Ionizante 1, 66 ∗ 106( V

cm)

5.2.1 Transformações de Variáveis

Certas transformações são usadas para poder melhorar a eficiência e a acuráciada simulação, através de mudanças em escala (para diminuir os erros de ponto flutuanteou estabilizar a simulação) e mudança de variáveis (para conseguir maior estabilidade ouobter informações que precisamos).

5.2.1.1 Mudança de Escala

O uso de mudanças de escala tem um papel principal no algoritmo, uma vezque permite melhorar a eficiência das contas, com o uso de valores menores na hora de


simular e evita os erros de estouro de precisão por baixo e por cima(overflow e underflow).As classes desse módulo possuem métodos que permitem a troca de escalas, referente àsescalas na tabela abaixo.

Tabela 6 – Tabela de Mudanças de EscalaVariável Variável escalada FormulaEspaço Comprimento de Debye intrínseco Ld =

√εkbTq2ni

Comprimento de Debye extrínseco Ld =√

ekbTq2Nmax

Potencial Potencial térmico VT = kbTq

Concentração de portadoras Concentração intrínseca N = ni

Concentração de máxima dopagem N = Nmax

Tempo Tamanho do passo temporal Ts = εqNµ

5.2.1.2 Mudança de variáveis

Como foi dito no Capítulo 2, as 3 formulações de variáveis (natural, quasi-fermie Slootblom), ajudam a obter diferentes informações do problema. Na parte numérica,usamos as variáveis de Slootblom para poder simular a solução estacionária, e quandoqueremos simular a parte de transiente usamos as variáveis naturais.

5.2.1.3 Variáveis simétricas

Existe a necessidade de mudarmos as variáveis do problema devido à instabi-lidade numérica, e uma das técnicas é usar matrizes simétricas. Matrizes simétricaspossuem autovalores reais, e assim melhorar na estabilidade do método numérico. No casode modelos Hidrodinâmicos, temos que o sistema de matrizes não é nada simétrico, dadospelas, matrizes Ai. Assim, temos a seguinte transformação de variáveis V(u) que leva aosistemas de matrizes simétricas A′i. Só apresentamos as matrizes aqui nesse trabalho, paramaiores explicações ver o seguinte artigo [Aluru et al. 1993]

V = 1T

µ− u2

2

u1

u2

u3

−1

U = 1

v

1v1

v2

v3

eint + v2

2

(5.1)

A1 = 1T

0 0 0 1 0−u1u3 u3 0 u1 0−u2u3 0 u3 u2 0

a2 − u21 − e1γ −u1γ −u2γ −u3(γ − 2) γ

−u3(a2 − u21 − e1) −u1u3γ −u2u3γ e1 − u2

3γ u3(γ + 1)

(5.2)


A2 = 1T

0 0 1 0 0−u1u3 u3 0 u1 0−u2u3 0 u3 u2 0

a2 − u21 − e1γ −u1γ −u2γ −u3(γ − 2) γ

−u3(a2 − u21 − e1) −u1u3γ −u2u3γ e1 − u2

3γ u3(γ + 1)

(5.3)

A3 = 1T

0 0 0 1 0−u1u3 u3 0 u1 0−u2u3 0 u3 u2 0

a2 − u21 − e1γ −u1γ −u2γ −u3(γ − 2) γ

−u3(a2 − u21 − e1) −u1u3γ −u2u3γ e1 − u2

3γ u3(γ + 1)

(5.4)

A′

1 = TβTv2

u1 c1 u1u2 u1u3 u1e3

c1 u1(u21 + 3v

βT) u2c1 u3c1 e1

vβT

+ u21e4

u1u2 u2c1 u1c2 u1c2 u2u1e4

u1u3 u3c1 u1c2 u1c3 u1u3e4

u1e3 e1vβT

+ u21e4 u2u1e4 u1u3e4 u1(e5 + 2e1

vβT

)

(5.5)

A′

2 = TβTv2

u2 u1u2 c2 u1u3 u2e3

u1u2 u2c1 u1c2 u1u2u3 u2u1e4

c2 u1c2 u2(u22 + 3v

βT) u3c2 e1

vβT

+ u22e4

u2u3 u1u2u3 u3c2 u2c3 u2u3e4

u2e3 u2u1e4 e1vβT

+ u22e4 u2u3e4 u2(e5 + 2e1

vβT

)

(5.6)

A′

3 = TβTv2

u3 u1u3 u2u3 c3 u3e3

u1u3 u3c1 u1u2u3 u1c2 u3u1e4

u2u3 u1u2u3 u3c2 u2c3 u2u3e4

c3 u1c3 u2c3 u3(u23 + 3v

βT) e1

vβT

+ u23e4

u3e3 u1u3e4 u2u3e4 e1vβT

+ u23e4 u3(e5 + 2e1

vβT

)

(5.7)


5.3 RecombinaçãoNesse módulo temos as classes responsáveis por representar os efeitos de recom-

binação dos dispositivos. Utilizamos uma classe abstrata pai, para poder além de criaruma interface de programa genérica, poder criar pilhas de objetos diferentes. Cada objetopega as variáveis do problema, tensão e concentração de portadoras, e calcula os termosde recombinação, adicionando o valor de recombinação ao vetor b, nas matrizesrespectivas para as equações de corrente para a buraco e elétron.

Recomb

Recomb

AugerSHRImpactBand Photon

Figura 19 – Diagrama do módulo das Recombinações

5.4 WENONesse módulo temos as classes responsáveis pela implementação do método

WENO. Assim criamos uma classe WENO, onde usamos o método WENO-SHU, ecriamos a classe WENO-Z, uma variante do WENO desenvolvida na UFRJ [Borges et al.2008].

WENO

WENO

WENO-Z

Figura 20 – Diagrama do módulo WENO

5.5 Condições de FronteiraNesse módulo temos as classes responsáveis por representar as condições de

fronteira. Utilizamos uma classe abstrata pai, para poder além de criar uma interfacegenérica para esse módulo, podermos criar pilhas de objetos diferentes.


Constraint

AbstractConstraint

DirichletConstraintDirichletConstraintNeumannConstraintGateConstraint BaseConstraint

Figura 21 – Diagrama do módulo das Condições de Fronteira

5.5.1 Implementação da Condição de Dirichlet

A implementação da Condição de Dirichlet é a mais fácil, já que só se deveestampar uma identidade na matriz do problema e adicionar o valor no vetor b do sistemalinear, como a expressão abaixo indica.[

· · · 0 1 0 · · ·]x = ui,j

5.5.2 Implementação da Condição de Base

A implementação da Condição de Base é parecida com a condição de Dirichlet,mas só adiciona o valor da corrente de base exatamente nas equações que deriva-difusão.

AJx =[· · · 0 1 0 · · ·

]x = Jbase

5.5.3 Implementação da Condição de Neumman

A implementação da condição de Neumman se da pela implementação dospontos fantasmas, ou seja, considerar que o ponto que está fora do grid de simulaçãocomo sendo replica do outro ponto, ou seja, ui+1 = ui−1. Logo o sistema fica como mostraa condição abaixo.

ui−1,j−4ui,j+ui+1,j+2ui±1,jh2 = bi

5.5.4 Implementação da Condição de Óxido

A implementação do óxido é a mais difícil de todas já que se trata da condiçãode Neumman não homogênea. Utiliza-se a técnica do ponto fantasma em conjunto comum termo adicional referente a parte não homogênea.

ui−1,j−4ui,j+ui+1,j+2ui±1,jh2 = bi + (2(ui−vg))

h

5.6 PoissonNesse módulo temos as classes responsáveis por resolver a equação de Poisson

em diferenças finitas. Utilizamos uma classe abstrata pai, para poder além de criar umainterface entre o modelo e as classes desse módulo. Há quatro classes nesse módulo, cada


uma responsável por resolver o problema de Possion em um determinado cenário, como,por exemplo, resolver a equação em 2D usando variáveis naturais, como é na classePoisson2D. Utilizamos uma técnica de zig-zag no grid na hora de resolver o sistema 2D,de forma idêntica ao usado na televisão analógica.

Poisson

Poisson

PoissonSlootbloom PoissonSlootbloom2DPoisson2D

Figura 22 – Diagrama do módulo Poisson

5.7 Álgebra LinearToda a tarefa até agora foi transformar o problema em um sistema linear.

Agora, deve-se resolver o sistema linear, para isso temos o módulo de Álgebra Linear.Além de uma classe pai abstrata, temos duas classes filhas LDUSolver e SparseSolver, querepresentam respectivamente as matrizes de forma não-esparsa e de forma esparsa, ambassendo resolvidas pelo algorítimo LDU.

ÁlgebraLinear

MatrixSolver

LDUSolverSparseSolver

Figura 23 – Diagrama de módulo Álgebra Linear

Os seguintes tópicos referentes à álgebra linear devem ser discutidos paramostrar certos aspectos do simulador, listado abaixo:

• Esparsidade da Matriz

• Estampar Matrizes

• Algoritmo LDU

Deve-se reparar que o sistema está cheio de zeros ou de valores repetidos, comopode ser visto na figura abaixo, e guardar esses valores adiciona um custo computacionalelevado. Assim, o custo adicional de guardar os índices de cada valor não negativo se


torna vantajoso em quando se assume que não devemos guardar os valores zeros, assimdiminuindo os custos de memória.

Figura 24 – Típica matriz esparsa

Há vários formatos de como guardar uma matriz de forma esparsa, e vamos sócitar o formato de lista de coordenadas que é simplesmente o uso de três colunas paraindicar o valor e os índices, como mostrado abaixo. Esse é o formato usado no CXsparse.

V alores =[· · · aij · · ·

]Indice1 =

[· · · i · · ·

]Indice2 =

[· · · j · · ·

]Uma técnica muito usada em circuitos elétricos é o de estampa de matriz, que

são sub-matrizes que são adicionadas a matriz geral do problema. Essa mesma técnica éutilizada no método de diferenças e elementos finitos, já que cada ponto ou nó só seráinfluenciado por alguns pontos e nós.

A′ =a44 a48

a84 a88

A =

... ...· · · A44 + a44 · · · A48 + a48 · · ·

...· · · A84 + a84 · · · A88 + a88 · · ·

... ...

Por último, devemos discutir o uso do algoritmo LDU, que é basicamente a

eliminação gaussiana com pivoteamento. A escolha desse algorítimo é devida ao fato queele não é um método iterativo, já que mesmo que os métodos iterativos sejam bem maisrápidos, eles não necessariamente convergem em tempo finito de iterações.


Algoritmo 1: Algorítimo LDUEntrada: Vector b, Matriz ASaída: Vetor xinicio

repitaUse índice i ;if Se Aii é igual a 0 then

Procure por alguma linha com índice maior que i, onde o i-ésimo valordessa linha seja diferente de zero e permute essa linha com a linha i.

elserepita

Use índice m ;Tome o valor de Pivô como p = −Aii

Aim.

repitaUse índice j ;Ajm = Ajm-p*Ajmbj = bj - p*bj

até Repita da i-ésima coluna até a ultima coluna;até Repita da linha i+1 até a ultima linha;

endaté Repita até a ultima linha;repita

Use índice j ;repita

Use índice i ; bj = bj - Aj,i biaté Repita de j+1 até ultima coluna;xj = bj

Ajj

até Repita da ultima linha até primeira linha;fin

5.8 ModeloA ideia de modelo na filosofia do MVC é de instanciar as informações geradas e

criadas, ou seja será onde realmente acontece o processamento de informação. Assimsendo, nesse módulo, teremos as classes que implementam o processo de simulação comoum todo, juntado dentro de uma mesma instância de uma classe do modelo, instanciasdas classes dos módulos Constraint, Poisson ,FEM, WENO, Linear Álgebra, TimeSteppere Util.


Model

Model

FDModel2DFDModel1D FEMModel2D

Figura 25 – Diagrama de módulo de Modelos

5.9 Método de Elementos FinitosNesse módulo do Simulador temos todas as classes de implementação do

método de elementos finitos. Utilizamos diversas técnicas de template para aumentar oreúso do código, por exemplo colocando a dimensão como parâmetro de template,evitando a construção de uma classe para cada dimensão.

FEM

FEMMesh Node

Poisson PoissonSlootBloomCurrent

Figura 26 – Diagrama de Modulo de Elementos Finitos

5.10 Interface GráficaComo é conhecido desde os princípios da análise numérica que uma imagem

vale por mais de mil autovalores, devemos saber como plotar os resultados. É essencialsaber plotar os dados, para poder analisar os valores obtidos. Usamos nesse módulo abiblioteca WxWidget, sendo uma API gráfica portável, capaz de gerar gráficos a partir daBiblioteca OpenGl.

Para desenhar, usamos um vetor de objetos, capaz de guardar vários objetosdiferentes, sendo todos esses filhos do mesmo pai, como já foi descrito acima. Assim sendotemos um classe para desenhar um Elemento Finito, uma para desenhar uma superfície,para escrever um texto, e assim por diante.


GUI

GraphicObjectGraphicApp GLCanvasGraphicMain

GraphicPlot

Figura 27 – Diagrama de módulo de Interface Gráfica

5.11 UtilidadesNesse módulo, temos as classes que fazem parte do sistema de controle do pro-

grama ou que interferem em diversos módulos do programa. Primeiramente temos aClasse ControlProgram, que recebera os comandos dos usuários e controlar as partesdos sistemas para gerar as saídas pedidas. Como exemplo, caso o usuário queira mudaralgum parâmetro da simulação, uma instância singleton (ou seja uma única e exclusivainstância dessa classe) tratara de pegar o valor novo inserido pelo usuário e coloca-lo nomodelo selecionado, e re-executara a simulação e encaminhara os resultados para a inter-face gráfica para plotar. Outras classes que são usadas como auxiliar de controle tambémestão nesse módulo, como classes para escrever em arquivo. Além disso temos um con-junto de funções especiais que são da natureza do problema, como a função de Bernoulli eIntegral de Fermi de índice meio, implementadas em Util Func.h , e se encontra nestaparte do programa já que tanto quanto simulação quanto a parte gráfica necessitarãodessas funções para plotagem.

Util

ControlProgramUtil funcSemi

Project

Figura 28 – Diagrama do Modulo de Utilidades


5.12 Evolução no tempoNeste módulo estão implementados os métodos computacionais para evolução

do tempo.

TimeStepper

TimeIntegratorRungeKutta MultiStep

Figura 29 – Diagrama do módulo Time-Stepper

Foi implementado as duas classes mais significativas desses métodos, Multi-estágio e Multi-passo. A classe dos métodos Multiestágio, são representados pelos métodode euler e Runge-Kutta e basicamente é utilizam o estagio, ou seja pontos intermediáriosentre o ponto atual ao próximo ponto.

k1 = f(xi, yi)k2 = f(xi + 1

2 , yi + 12k1h)

k3 = f(xi + 12 , yi + 1

2k2h)k4 = f(xi + h, yi + k3h)yi+1 = yi + 1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)hA classe dos métodos Multi-Passo, são representados pelos métodos trapézio e

gear, e tem como característica a utilização dos passos anteriores para para calcular osvalores simulados.

k = 1 : yn+1 = yn + hfn

k = 2 : yn+1 = yn + h(

32fn −

12fn−1

)k = 3 : yn+1 = yn + h

(2312fn −

1612fn−1 + 5

12fn−2)

k = 4 : yn+1 = yn + h(

5524fn −

5924fn−1 + 37

24fn−2 − 924fn−3

).

59

6 Resultados

Os quatro capítulos anteriores foram um longo caminho para agora aplicar osimu- lador nos casos de testes da literatura. Os testes vão desde o Diodo até o TransistorMOSFET, passando por 1 ou 2 dimensões. Apresentaremos graficamente os resultados e adescrição do dispositivo.

6.1 IntroduçãoApós uma longa discussão sobre os modelos e como simular os dispositivos,

vamos testar o simulador com alguns casos comuns de dispositivo, como o Diodo PN,Diodo PIN, Transistor bipolar e o Transistor MOSFET. A escolha desses dispositivos édevida primeiramente ao constante uso deles frente a outros dispositivos. Além de plotar-mos as curvas de Voltagem-Corrente de cada dispositivo, usando a escala de ampere paracorrente e volts para tensão; plotamos as concentrações de portadoras, para exemplificarcomo ocorrem algumas modificações dessas concentrações quando o dispositivo está emoperação; plotamos o potencial ao longo do dispositivo, já que esta é alterado quando odispositivo esta em operação; plotamos o campo elétrico ao longo do dispositivo, que podeser usado para indicar os campos de junções e mostrar como o campo é usado emdispositivo MOSFET.

As escalas que foram usadas são: corrente em ampere, o potencial em Volts, ocomprimento esta na multiplicidade de comprimento de Debye, que para todas assimulações é de 1,3 µm, o campo elétrico em V/cm e a concentração esta em cm−3.

6.2 Diodo 1DO caso mais simples é o diodo PN, já que só apresenta uma junção. Assim

vamos considerar que se tenha um valor N = 1016 e P = 1016, com a dopagem divididaigualmente. Os resultados obtidos são condizentes com o observado nos dispositivos reais,como mostra as curvas de Tensão-Corrente, que apresenta a curva de crescimento expo-nencial tipica do diodo com a voltagem de 0.7 V. No gráfico da concentração de porta-doras, temos em vermelho os elétrons e em verde os buracos. O gráfico do campo elétricoapresenta no meio da junção um campo elétrico simétrico, como esperado e o gráfico dopotencial apresenta uma diferença de potencial de 0.7 V entre os contatos (que são oextremo de cada gráfico), como esperado.

Capítulo 6. Resultados 60

N P

Figura 30 – Diodo PN

(a) Gráfico VI (b) Campo Elétrico

(c) Dopagem (d) Potencial

6.3 Diodo PINOutro caso de simulação é o diodo PIN, em que é colocada uma dopagem inter-

mediária no meio do dispositivo, sendo usado como fotodetector ou resistor de resistên-cia variável em RF. Assim, vamos considerar que se tenha um valor N+ = 1018, N = 1016

e P = 1016, dividido, respectivamente, nos seguintes comprimentos: 30 Debye (39µm), 20Debye (26µm) e 50 Debye (65 µm). Não foi simulada a característica de fotodetector. Osresultados obtidos são condizentes com o teórico, como mostram as curvas de Tensão-Corrente, concentração de portadoras, campo elétrico e potencial.


N+ N P

Figura 32 – Diodo PIN

(a) Gráfico VI (b) Campo Elétrico

(c) Dopagem (d) Potencial

6.4 Transistor Bipolar 1-dMesmo que aparentemente o transistor bipolar seja tomado com 2 dimensões,

existem estratégias para poder simulá-lo com só uma dimensão. Podemos tomar umtriodo com a dopagem de NPN, e utilizar uma condição de fronteira constante para regiãoda base, podendo, assim, simular o dispositivo. A dopagem do dispositivo é N = 1018 e P= 1016(que devido a dopagem simétrica implica num β pequeno), e na figura 33-a, ascorrentes de base foram 5mA, 3mA,1mA, 500µ 300µ. Nas figuras 33 d-f em verde émostrado o comportamento do transistor com 5 volts no coletor, o qual este érepresentado pelo contado no ponto zero.


N P N

Figura 34 – Transistor Bipolar NPN

(a) Gráfico VceIC (b) Campo Elétrico

(c) Campo Elétrico Estacionário (d) Potencial

(e) Concentração de elétrons (f) Concentração de buracos

6.5 Diodo 2DRetornamos ao caso simples do diodo PN, para podermos comparar com o caso

1d. Considere que se tenha um valor N = 1016 e P = 1016, idêntico ao primeiro caso, coma dopagem dividida igualmente. O comprimento e largura do dispositivo são 78(µm) por78(µm), ou seja 60 por 60 de comprimento de Debye. Os resultados obtidos são condi-zentes com o observado com os dispositivos reais, como mostra as curvas de Tensão-Corrente, que apresenta a curva de crescimento exponencial típica do diodo com a volta-gem de 0.7 V, além de apresentar um aumento de corrente devido ao fato de considerar a


largura do diodo. No caso 2d, foram feitas algumas modificações na plotagem como plotarem separado as concentrações de portadoras e plotar o campo elétrico em vetores sobre opotencial no diodo.

N P

Figura 36 – Diodo PN 2D

(a) Gráfico VI (b) Campo Elétrico sobre Potencial

(c) Concentração de elétrons (d) Concentração de buracos

(e) Potencial


6.6 Transistor MOSFETO transistor MOSFET, um dos dispositivos mais versáteis da indústria, usado

deste circuitos digitais até sensores de imagem, é o último caso deste trabalho. Simulamosum MOSFET tipo-N, como indicado na figura 38, com um canal de comprimento de 52µm(40 Comprimentos de Debye), dopagem de dreno e fonte N = 1020 e de substrato P =1016, em tecnologia LDD(Light-Doped-Drain) de dopagem N = 1018, onde se evita injeçõesde portadoras no óxido entre o GATE e dreno e fonte. O óxido sob a porta tem espessura65 nm, e permissividade relativa 3,9. O resultado desta simulação, como pode ser visto nasfiguras 38 a - d, coincidem com o esperado, tanto nas concentrações de elétrons e buracos,como no potencial e campo elétrico estacionários nas regiões de dreno, fonte, substrato ecanal, comprovando o funcionamento correto do simulador desenvolvido neste trabalho.

A B

D

C

E

Figura 38 – Transistor MOSFET

(a) Concentração de elétrons (b) Potencial estacionário

(c) Concentração de buracos (d) Campo Elétrico sobre Potencial


Os resultados da simulação do comportamento dinâmico deste transistor,mostrados nas figuras 40, confirmam que há condução quando Vgs ≥ Vth (gráfico VgsIDcom Vds = 2V). No gráfico VdsID, quando Vgs = 0.6V o dispositivo está cortado (Parasimular em inversão fraca é necessário usar uma malha não-uniforme) mas conduz comVgs entre 0.8V até 1.0V, em passos de 0.02V. Esta condução na região de saturação se dácom IDS independente Vds e variando quadraticamente em relação Vgs. No gráfico deconcentração de elétrons, em escala log, observa-se canal pinçado perto do contato dodreno para tensões Vgs − Vth ≥ 0. Nos demais gráficos podemos observar o efeito do canal,com o decréscimo de buracos, a subida de tensão e o surgimento de um grande campoelétrico na região do gate. Assim podemos concluir que simulamos corretamente esteMOSFET de canal longo.

(a) Gráfico VgsIds (b) Gráfico VdsIds

(c) Concentração de Elétrons (d) Concentração de Buracos

(e) Potencial (f) Campo Elétrico sobre Potencial

Figura 40 – Transistor MOSFET dinâmico

66

7 Conclusão

Assim chegamos ao fim dessa longa jornada, com muitas derivadas, muitasmatrizes e muitas equações. Assim encerramos esta apresentação nesse último capítulo,com o intuito de resumir o que foi feito e como prosseguir em trabalhos futuros.

7.1 IntroduçãoNesse trabalho foram estudados os modelos de dispositivos semicondutores até

como simulá-los. Para isso, passamos por equações de derivadas parciais e modelos físicos,como a equação de Boltzmann e seus modelos aproximados, como o modelo deriva-difusãoe o modelo hidrodinâmico. Depois foram estudados os métodos computacionais para simu-lar os dispositivos, como o método de Monte Carlo, Elementos Finitos e DiferençasFinitas. Finalmente, foi explicado o projeto do simulador e apresentamos os resultados dostestes realizados.

Obtivemos resultados bem satisfatórios, como mostra a semelhança entre ascurvas de dispositivos simulados com os da literatura. Assim, o simulador poderia serusado para explorar novas tecnologias e auxiliar no ensino. Finalmente, pode-se alterar osdiversos parâmetros do dispositivo, como a geometria e o material.

7.2 Trabalhos FuturosA área de microeletrônica computacional é muito extensa e demanda um estudo

aprofundado e abrangente, envolvendo desde uma matemática avançada, conhecimentosfísicos, algoritmos e métodos numéricos. Assim, vamos enumerar os possíveis trabalhospara o futuro:

• Efeito Hall: O efeito Hall apresenta diversas aplicações, como medição corrente numfio até cálculo da dopagem de um semicondutor. Para simular devemos retornar atéa equação de Boltzmann e refazer os modelos determinísticos considerando o campomagnético. [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]

• Simulador de Monte Carlo: Em pequenas escalas, os modelos de semicondutorescomo deriva-difusão e hidrodinâmico perdem sua precisão, normalmente em 500nanômetros e 100 nanômetros, respectivamente. Para continuar o desenvolvimentopara escalas menores, se torna necessário escrever um simulador usando o métodode Monte-Carlo. [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]

Capítulo 7. Conclusão 67

• Efeitos Térmicos: Além de considerar os efeitos em baixas temperaturas, os efeitosde aquecimento do dispositivo, que seria de vital importância para dispositivos depotência como IGFET e o Tiristor. Para isso, devemos acoplar ao sistema a equaçãodo calor abaixo, que rege a evolução da temperatura, onde T é a temperatura e H éa geração de calor. [Selberherr 2006] [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]

ρc∂T

∂t−H = ∇ · (k∇T ) (7.1)

• Correções Quânticas: Alguns efeitos quânticos não foram levados em consideração,como o tunelamento, não sendo possível simular o diodo Túnel e outros. Para seimplementar esses efeitos deveríamos resolver a equação de Schrödinger acoplada aequação de Poisson. [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]

• Novos Materiais: A família de semicondutores se torna cada vez mais extensa, ecomo nesse trabalho só foi considerado o silício como material, poderíamos estenderos resultados para Arseneto de Gálio, e outros. [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]

• Outras Formas de Recombinação: Além das recombinações mencionadas nessa obra,existem outras a serem consideradas, como a Fowler-Nordheim, que modela Injeçãode carga no óxido. [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]

• Processos de Fabricação: Além de simularmos os dispositivos poderíamos simular osprocessos de fabricação desses dispositivos, como a difusão de dopagem e oxidaçãopara formação do gate. Muitos dos processos de fabricação são modelados com equa-ções de derivadas parciais, como a equação do calor para o processo difusivo eequação de transporte, para o processo de oxidação. [Selberherr 2006]

• Spice: Um passo interessante será acoplar o simulador com o spice para simular todoo circuito ao mesmo tempo, podendo assim levar a simulações mais robusta. Assimem vez de ser usado o modelos de data-fitting do spice, poderíamos usar as simu-lações aqui apresentadas, que levariam a resultados mais próximos darealidade. [Vasileska, Goodnick e Klimeck 2010]

• Métodos Iterativos e outros algoritmos: A muito a ser explorado na parte de algo-ritmos, como implementação de métodos iterativos para resolver sistema lineares emelhorias no Newton-Raphson. Uma lista de possíveis melhorias seria: [Markowich,Ringhofer e Schmeiser 1990] [Selberherr 2006]

– Outros formatos de matrizes esparsas.

– Matrizes de Condicionamento.

– Métodos Iterativos(Gradiente Conjugado,...)

Capítulo 7. Conclusão 68

– Métodos de Quasi-Newton e outros.

– Refinamento Adaptativo

• Aprofundamento Teórico: Devido ao nível de graduação, foram evitados certos tiposde discussão, deste a existência de solução e espaços de solução, até estabilidade econvergência de métodos numéricos, uma vez que esse nível de análise é visto emcursos de mestrado. Entretanto, esse tipo de análise é necessária, que pode serexemplificado com o dispositivo tiristor, que não possui unicidade na existência dasolução estacionária, o que justifica o comportamento do dispositivo, já que parauma certa voltagem há existência de dois níveis de corrente. [Markowich, Ringhofere Schmeiser 1990]

69

Referências

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Índice

algorítimoLDU, 53

Cloud-In-Cell, 35condição

de Dirichlet, 15de Neumnan, 15periódica, 15

contatoóxido-semicondutor, 31ôhmico, 30Schottky, 30

Design PatternMVC, 46singleton, 57template, 46

equação dederiva-difusão, 21Boltzmann, 3deriva-difusão, 23Hidrodinâmica, 19Liouville, 4Poisson, 3Schrödinger, 3

esquema, 41Backward-Euler, 41centrado, 41de Scharfetter-Gummel, 42Forward-Euler, 41

FormulaçãoNatural, 24Quasi-Fermi, 24Slootbloom, 25

funcional de Lyapunov, 16

Iteração de Gummel, 43

métodode Monte Carlo, 33de Petrov–Galerkin, 39do Elemento Finito, 38dos momentos, 17gear, 58Runge-Kutta, 58trapézio, 58WENO, 44

matriz, 53esparsa , 53simétrica, 49

medianização, 17Momento, 17

Operador Traço, 19

Pêndulo de Kapitza, 17ponto fantasma, 52

recombinaçãobanda a banda, 26de Auger, 27de fóton, 29de impacto por ionização, 26SHR, 28

Regra de Matthiessen, 21

Teorema de Bloch, 7Teorema H, 16

WENOSHU, 44Z, 44

modelos e simulações de dispositivos semicondutores

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