modelos de transporte básicos

Problema del TransporteDecisiones sobre transporte
De una manera general, se define el problema del transporte como la determinación de las cantidades de un bien a enviar de un número "m" de orígenes a un número "n" de destinos, de manera que los costos de envío sean los menores.
1
2
m
Orígenes
1
2
n
Destinos
Y existen rutas desde los orígenes hasta los destinos.
1
2
m
a1
a2
am
Oferta
Orígenes
1
2
n
Destinos
b1
b2
bn
Demanda
Rutas
Decisiones sobre transporte
Se pueden enviar xij unidades del bien desde el origen "i" al destino "j".
Cada unidad del bien que se envía del origen "i" al destino "j" tiene un costo "cij" asociado.
De tal manera que el costo de enviar las unidades de "i" a "j" es: cijxij
1
2
m
1
2
n
x11
x1n
x2n
xm1
xmn
c11
cm1
cmn
c21
Sabiendo que se quiere minimizar el costo de transporte, y que la cantidad a enviar no puede sobrepasar la capacidad de cada origen, y que se desea surtir la demanda de los destinos, un modelo matemático podría presentarse de la siguiente manera:
(Costo total del transporte)
(Capacidad en los orígenes)
(Demanda en los destinos)
Este nuevo modelo puede tratarse mediante el algoritmo Simplex, sin embargo el número de variables y de restricciones crece rápidamente a medida que aumenta el número de orígenes y de destinos. Así, se ha ideado una forma más eficiente de resolver los problemas que pueden plantearse como los de transporte.
Este método asume que el problema está "balanceado", es decir que la cantidad ofrecida es igual a la cantidad demandada:
ai = bj
Dicha condición es fácilmente asegurada mediante la introducción de las variables auxiliares adecuadas.
El modelo lineal típico de transporte se convierte en:
Donde las igualdades se aseguran por la adición de las variables necesarias.
El método tabular consiste en vaciar la información pertinente en una tabla de formato especial.
Como en el caso del Simplex, se genera una solución inicial, y se va mejorando a través de las iteraciones propias del método.
La tabla de transporte tiene la siguiente forma:

Ejemplo 1 de Render y Stair.
De acuerdo a la información presentada, la oferta es igual a la demanda, está balanceado:
Destino Origen
Método de distribución inicial: Esquina N.-O.
Consiste en ir asignando la mayor cantidad posible a la casilla de la esquina superior izquierda del cuadro formado por las casillas vacías.
Primera casilla N.-O.: Des Moines-Albuquerque. Cantidad: 100
100
Destino Origen
200
8
5
Cantidad máxima: 100
100
8
5
Método de distribución inicial: Esquina N.-O.
Como sólo quedan dos casillas por asignar, la elección resulta obvia, y se completan las dos demandas y la oferta restantes.
Fort Lauderdale enviaría 100 unidades a Boston y 200 a Cleveland
El costo total de tranporte sería de $ 4,200
Nótese que la cantidad de casillas asignadas es "m+n-1", lo que indica que es una solución no-degenerada.
8
5
MODI (Distribución Modificada)
Consiste en determinar si la distribución de una tabla es la óptima,
encontrando los costos de oportunidad de las casillas vacías (variables no-básicas), es decir, el costo en el que se incurre al no enviar una unidad del origen "i" al destino "j", y lograr una tabla
óptima mediante las iteraciones necesarias.
Método Stepping-stone (Cruce del Arroyo)
Consiste en encontrar los elementos índice (cij – zij) de las variables no-básicas (casillas vacías) mediante el uso de recorridos o trayec-torias únicas de cada casilla vacía.
La variable con el índice negativo menor será la variable de entrada.
La variable de salida será aquélla con la menor cantidad asignada, seleccionada entre las casillas con signo negativo dentro del recorrido.
Reglas para encontrar el circuito (recorrido cerrado o trayectoria cerrada) de las casillas vacías:
1. El recorrido de una casilla vacía es único y toca siempre un
número par de casillas (número de vértices).
2. Sólo se permiten movimientos en sentido horizontal y vertical.
Nunca en diagonal.
3. Al iniciar el trayecto en un sentido, el regreso es en el otro (Salida
vertical – regreso horizontal o viceversa).
4. El cambio de dirección (vértices) se efectúa sólo en casillas
asignadas.
5. Al pasar de un vértice a otro (de un cambio de dirección a otro) se
pueden saltar (ignorar) todas las casillas que se necesite, ya se trate
de asignadas o de vacías.
Si se escogió partir en horizontal llegará a la 1,1.
Cambia en vertical a la 2,1.
Luego en horizontal a la 2,2.
Por último regresa verticalmente a la 1,2.
8
5
Costo de oportunidad para la casilla 1,2 (c12 – z12):
Se asignan signos "+" y "-" alternativamente a las casillas del recorrido, iniciando por un "+" en la de origen.
Y se suman y restan los costos de transporte, según su signo:
(c12 – z12) = 4 – 5 + 8 – 4 = 3.
(+)
(-)
(-)
(+)
Si se escogió partir en vertical llegará a la 3,3.
Cambia en horizontal a la 3,2.
Luego en vertical a la 2,2.
... y por último regresa verticalmente a la 1,2.
Recorrido para la casilla 1,3 (variable no-básica x13):
Después en horizontal a la 2,1.
En vertical a la 1,1.
(c13 – z13) =
(c23 – z23) =
(c31 – z31) =
(c12 – z12) = 3
(c13 – z13) = 4
(c23 – z23) = 1
(c31 – z31) = - 2
El criterio de optimalidad es que todos los elementos índice (costos de oportunidad) sean no-negativos: (cij – zij) 0, por lo tanto x31 deberá entrar a la base, puesto que su índice es "-2".
La iteración consiste en seleccionar el recorrido de la variable
de entrada (x31) y reasignar las cantidades de las casillas Pertene-
cientes a dicho recorrido.
Esto se logra seleccionando la menor cantidad asignada entre
las casillas con signo negativo. Esta cantidad se suma y se resta
en las casillas del recorrido, según su signo: si tiene un "+" se
suma a la cantidad que tiene asignada, y si tiene un "-" se le resta.
Al hacerlo de esa manera, se asegura que la tabla siga siendo
factible y balanceada. Se puede presentar el caso de una solución
degenerada, pero éste se discutirá más adelante. El procedimiento
se repetirá hasta que no existan negativos en los costos de opor-
tunidad, en cuyo caso se ha encontrado la solución óptima.
En este caso, las casillas con signo negativo son la 2,1 y la 3,2.
La menor cantidad asignada entre ellas es 100. Entonces se sumarán
100 unidades a las casillas 2,2 y 3,1, y se restarán 100 unidades a las
casillas 2,1 y 3,2 cuya variable (x32) sale de la base.
8
5
La nueva tabla quedaría de la manera siguiente:
(Nótese que la casilla de la variable de salida contiene ahora un punto.
Esto es porque es ahora no-básica)
100
200
100
200
Y el nuevo costo total será: Z = 4,000 (menor que el anterior)
Pregunta: ¿Esta solución es la óptima? ¿Por qué?
8
5
(+)
(-)
(+)
(-)
Variable de entrada: x23. Variable de salida: x21. ¿Correcto?
8
5
Y el nuevo costo total de transporte es:
Z = 100*5 + 200*4 + 100*3 + 200*9 + 100*5 = 3,900
¿Esta solución es la óptima? ¿Por qué?
8
5
Tienen razón. Es óptima porque ya no contiene índices negativos.
La solución óptima será entonces:
Enviar:
100 unidades de la fábrica de Des Moines al almacén de Albuquerque.
200 " " " " " Evansville " " " Boston.
Consiste en determinar los costos de oportunidad mediante la relación:
(cij – zij) = cij – Ri - Kj
Donde Ri y Kj son valores asignados a renglones y columnas, respectivamente, y se calculan por medio de las casillas asignadas, tomando un valor inicial arbitrario de R o de K, y considerando su respectivo (cij – zij) = 0 (por tratarse de variables básicas).
Una vez calculados todos los valores R y K, se procede a encontrar los costos de oportunidad (c – z) correspondientes a las variables no-básicas (casillas vacías) con relación mencionada; El resto es como en el método "Stepping Stone".
Tomemos de nuevo el ejemplo con distribución inicial por esquina N-O, y asignemos arbitrariamente un cero (0) a R1.
0
Con ese cero en R1 se podrá encontrar el valor de K1, por medio de la casilla asignada 1,1: K1 = c11 – R1 = 5 – 0 = 5
5
8
5
Ahora, con K1, se podrán encontrar valores de R en la columna 1. En este caso solamente la 2,1 está asignada.
3
8
5
¡Excelente! Dedujeron bien: Ahora encontramos el valor de K2 por medio de la casilla asignada 2,2. ¿Cuál es el valor?
En efecto, es 1: K2 = c22 – R2 = 4 - 3 = 1
1
Ahora ya pueden encontrar R3 y el de K3, mediante las otras casillas asignadas.
8
5
El resultado es:
Lo que sigue ahora es encontrar los índices de las casillas vacías y determinar si la solución es óptima con la relación: (cij – zij) = cij – Ri - Kj
Obsérvese que los costos de oportunidad corresponden exactamente a los que se encontraron con el método de la esquina N-O.:
(c12 – z12) = 3; (c13 – z13) = 4; (c23 – z23) = 1 y (c31 – z31) = - 2
8
5
Lo anterior nos indica, al igual que con el método anterior, que la variable de entrada es x31, y al igual que anteriormente, se busca su recorrido y se determina la variable de salida, que corresponde a x32 , quedando como nueva solución:
8
5
Se vuelven a calcular los valores de R y K, y se encuentran los nuevos índices.
Los costos de oportunidad para las casillas vacías son:
(c12 – z12) = 4 - 0 – 1 = 3; (c13 – z13) = 3 – 0 – 1 = 2;
(c23 – z23) = 3 – 3 – 1 = - 1 y (c32 – z32) = 7 – 4 – 1 = 2
8
5
Igual que en el método Stepping stone, la variable de entrada es x23 y la de salida es x21. La nueva solución es:
8
5
Se vuelven a calcular los valores de R y K, y se encuentran los nuevos índices.
(Favor de verificar que sean los valores correctos):
(c12 – z12) = 4 - 0 – 2 = 2; (c13 – z13) = 3 – 0 – 1 = 2;
(c21 – z21) = 8 – 2 – 5 = 1 y (c32 – z32) = 7 – 4 – 2 = 1
8
5
Puesto que no existen negativos en los índices, la solución es óptima, y es exactamente la misma a la que se llegó por el método Stepping Stone:
Siendo el costo total de transporte: $3,900.00
Enviar:
100 unidades de la fábrica de Des Moines al almacén de Albuquerque.
200 " " " " " Evansville " " " Boston.

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