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UNIVERSIDAD DE LAS AMERICAS PUEBLA

DEPARTAMENTO DE COMPUTACION ELECTRONICA Y MECATRONICA

TESIS DE LICENCIATURA:

MODELO Y DISENO DE TRANSDUCTORES CMUT PARAABLACIONES TERMICAS CON FINES MEDICOS PARA LAIMPLEMENTACION DE UN ESCALPELO ULTRASONICO

La tesis fue realizada por Brian Michael Bouchan Duran

para recibir el grado de Licenciado en Ingenierıa Mecatronica

en la Universidad de las Americas Puebla

Supervisada por:

Gibran Etcheverry Doger

En cooperacion con:

Manuel Bandala Sanchez

Indice general

1. Introduccion 21.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Marco teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1. Cirugıas no invasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2. Hipertermia local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.3. Dosis termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.4. Ablacion Termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.5. Necrosis Termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Transductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1. CMUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8. Trabajo colaborativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Modelado electro-mecanico del CMUT 142.1. Funcionamiento de un CMUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Modelo electrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. Modelo mecanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1. Vibracion de la placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4. Parametros concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1. Conservacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.2. Relacion de energıa y Co-energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.3. Modelos fısicos y matematicos de elementos de un circuito . . . . 30

2.4.4. Analisis de pequena-senal en MEMS . . . . . . . . . . . . . . . 31

I

Indice general Indice general

3. Diseno y Simulacion 383.1. Diseno de manufactura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.1. PolyMUMPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.2. Wafer bonding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2. Diseno de la placa vibratoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1. Codigo en MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3. Analisis en COMSOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.1. Diseno del CMUT y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4. Conclusiones y recomendaciones para futuros trabajos 624.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1.1. Discusion de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2. Trabajo a futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

A. Fuerza electroestatica 64

B. Modos de vibracion 66

C. Propiedades acusticas de tejidos 67

D. Teorıa Two port network o Cuadripolo 69

E. Modelo acustico 74E.1. Sobreposicion e interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

E.2. Atenuacion acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

E.3. Campo acustico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

E.3.1. Campo cercano y campo lejano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

E.4. Arreglo en fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Bibliografıa 84

II

Indice de figuras

1.1. Funcionamiento de MRgFUS, (Imagen por ExAblate) . . . . . . . . . . . 4

1.2. Efectos de la radiacion ultrasonica, (Imagen por Focused Ultrasound Foun-

dation). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Entrega de drogas por medio de ultrasonido focalizado, (Imagen por Fo-

cused Ultrasound Foundation). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Experimento de focalizacion del HIFU, (Imagen por World J Clin Oncol). 8

1.5. Diagrama de funcionamiento de la hemostasia por HIFU, (Imagen por Ap-

plied Physics Laboratory, Center for Industrial and Medical Ultrasound,

University of Washington). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6. Experimento de hemostasia por HIFU, (Imagen por Applied Physics La-

boratory, Center for Industrial and Medical Ultrasound, University of Wa-

shington). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7. Efecto piezoelectrico (Imagen extraida de Ultrasonic transducers). . . . . 11

2.1. CMUT, vista transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Modo emisor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Modo receptor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4. Parametros empleados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5. Placa circular, empotrada, con carga uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6. Pendulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7. 10 primeros modos naturales de una placa circular anclada a los lımites

(Imagen por University of Zagreb). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.8. Relacion entre energıa y co-energıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.9. Circuito equivalente del transductor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.10. Circuito equivalente del transductor con elementos externos mecanicos. . 36

2.11. Circuito equivalente del transductor completamente restringido (Norton). 37

3.1. Primeras fases de manufactura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III

Indice de figuras Indice de figuras

3.2. Agregar primer oxido y crear los hoyos para moldear el Poly1. . . . . . . 39

3.3. Estructura completa sin liberar oxido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4. Estructura liberada del oxido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5. Mascaras de fotolitografıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6. Preparacion de la oblea inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.7. Union de obleas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.8. Extraccion de la oblea superior, producto final. . . . . . . . . . . . . . . 44

3.9. Resultados matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.10. Parametros empleados en COMSOL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.11. Geometrıa basica del transductor en 2D con eje de rotacion. . . . . . . . . 50

3.12. Seleccion de los materiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.13. Conndiciones fısicas del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.14. Mallado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.15. Seleccion del tipo de analisis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.16. Primeros 6 modos de vibracion de la placa. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.17. CMUT deformado por cargas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.18. Desplazamiento maximo del electrodo conforme al incremento del voltaje. 58

3.19. Presion en la placa conforme al incremento del voltaje. . . . . . . . . . . 59

3.20. Grafica de analisis de desplazamiento con respecto a la frecuencia. . . . . 61

3.21. Grafica de analisis de presion con respecto a la frecuencia. . . . . . . . . 61

B.1. Valores de λ2 para ω = λ2

a2

√Dρt

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

C.1. Propiedades acusticas de los tejidos[1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

C.2. Propiedades de atenuacion de los tejidos[1]. . . . . . . . . . . . . . . . . 68

D.1. Circuito Two port . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

D.2. Circuitos en serie y paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

D.3. Circuito resumido en una red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

E.1. Funcionamiento de una onda sonora propagada. . . . . . . . . . . . . . . 75

E.2. Modelo de propagacion (Imagen por John Wiley Sons, Inc.) . . . . . . . 76

E.3. Comportamiento de superposicion de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . 78

E.4. Arreglo lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Objetivo general

Modelar y simular un transductor ultrasonico capacitivo micro maquinado, para aplica-

ciones medicas.

1.2. Justificacion

En el mundo de la medicina existen casos en las cuales ciertas regiones del cerebro

deben ser erradicadas, debido las diversas patologıas comunes tales como[2]:

Tumores

Hemorragias

Hematomas

Reparaciones de aneurisma

Epilepsia

Infecciones

Dolor severo en la cara o en nervios

Fractura craneal

Enfermedades cerebrales como temblores o mal de Parkinson

Danos en tejidos neuronales

2

Capıtulo 1. Introduccion 1.3. Marco teorico

Enfermedades psicologicas

Hidrocefalia

Hipertension intracraneal

Varios de estas patologıas pueden ser tratadas o controladas bajo efecto de drogas, sin

embargo hay factores que obligan o dejan como mejor opcion la operacion. A pesar de

ser el mejor metodo para limitar dolencias, hay que tomar en cuenta el factor de riesgo.

Los factores que incrementan el riesgo van desde lo mas general a lo particular. Primero

que nada existen los riesgos que conlleva el procedimiento medico. Cualquier operacion

que involucre alguna forma de dolor, la incomodidad de estar estatico por mucho tiempo

o cualquier otra clase de incomodidad, conlleva a la necesidad de aplicar anestesia, donde

en raras ocasiones se produce alergia a su aplicacion [3].

Otros factores de riesgo relacionados con la cirugıa en general es la hemorragia y shock

por el corte de vasos sanguıneos [4], la generacion de coagulos sanguıneos y la generacion

de dolor post-operatorio, embolias pulmonarias o embolias cerebrales[5].

La operacion cerebral se considera de alto riesgo ya que presenta muchos retos, tomando

en cuenta que el cerebro es un organo delicado, debido a su facultad de controlar todas las

funciones que puede ejercer, ya sean operaciones vitales, de interaccion, de procesamiento,

motrices, etc; por lo que se puede tener perdidas de memoria, incapacidad de hablar

correctamente, dificultades motoras, convulsiones, derrames cerebrales, coma o muerte.

Los riesgos post-operatorios en el cerebro son la hinchazon cerebral y la posibilidad

de presentar infeccion, ya sea por la misma operacion, como por el cuidado que se tenga

tanto en el hospital, o el cuidado que se suministre en casa[6].

Se han realizado cirugıas en las cuales se han reducido los riesgos y entre ellas se en-

cuentran cirugıa mınimamente invasivas; sin embargo, siguen presentando las desventajas

de las incisiones[7]. Ante ello, se tiene la opcion de las cirugıas no invasivas mediante el

uso del ultrasonido, debido a su capacidad de entregar energıa sin ionizar y sin exponer al

paciente a algun efecto secundario.

1.3. Marco teorico

1.3.1. Cirugıas no invasivas

La tecnica no invasiva mas destacada se conoce como cirugıa de cerebro por ablacion.

El termino ablacion proviene del latın ablatus que significa llevado, lo cual significaba

3


remover una parte del cerebro de un animal y observar las consecuencias. Actualmente

solo se busca destruir tejido en lugar de removerlo a traves de la ablacion no invasiva

termica que tiene dos vertientes:

La primer vertiente es la ablacion guida por rayos laser y complementada por MRI

(Magnetic Resonance Imaging).

La segunda vertiente es la tecnologıa conocida como HIFU (High Intensity Focused

Ultrasound), tambien conocida como MRgFUS (Magnetic Resonance guided Focu-

sed UltraSound), que consiste en focalizar ondas ultrasonicas en un punto y realizar

una tomografıa para observar los cambios.

Figura 1.1: Funcionamiento de MRgFUS, (Imagen por ExAblate)

La HIFU emite ondas enfocadas en un solo punto a traves de un transductor (arreglo en

fase, lentes acusticos, elementos concavos, etc.[8]); dichas ondas penetran por los tejidos

y conforme se desplazan en el medio, pierden energıa que se transforma en calor. Cuando

se calienta el tejido, se pueden presentar cambios basados en la temperatura alcanzada y

4


el tiempo de exposicion; ver la figura 1.2.

Figura 1.2: Efectos de la radiacion ultrasonica, (Imagen por Focused Ultrasound Founda-

tion).

1.3.2. Hipertermia local

El tratamiento se basa en calentar un area local de tal manera que solamente se muera las

celulas cancerıgenas, esto requiere algun tiempo en las terapias, aproximadamente de 1 a

2 horas, elevando la temperatura del tejido a un promedio de 40−43◦ C. Se han observado

que despues de varias sesiones, desde meses hasta anos, muerte en tejidos infectados por

cancer, el HIFU en conjunto con la quimioterapia. Estos resultados cambian segun la parte

tratada, por lo tanto no se puede observar resultados homogeneos en todos los tejidos[9].

Tambien se ha demostrado que es un metodo para concentrar la entrega de drogas en

5


un punto en especıfico, facilitando la bioviabilidad de una droga, lo que se refiere, es que

la cantidad empleada de la droga llega a la zona afectada con menores perdidas de la

droga empleada y al mismo tiempo permea con mayor facilidad a las celulas deseadas.

Observando mas a fondo el funcionamiento de la entrega de drogas ultrasonicas, el modo

de funcionamiento de esta tecnologıa, consiste en alterar la permeabilidad de las celulas,

ya sea cambiar las propiedades fısicas de los fluidos de los lıquidos que transportan la

droga; romper los contenedores de las drogas en pequenas vesıculas que facilitan su

absorcion; o crear picos que traspasan la celula, etc. La mayorıa de estos procesos son

causados por dos efectos, cavitacion y oscilacion de burbujas.

En cuestion tecnica, se han empleado presiones en rarefaccion de 30MPa pico; mientras

que, en el rango de intensidad acustica va desde los 100 a 10000 W/cm2[9].

Figura 1.3: Entrega de drogas por medio de ultrasonido focalizado, (Imagen por Focused

Ultrasound Foundation).

Las ventajas que llega a proporcionar el metodo es que previene en cierta medida los

danos irreversibles de quemar un tejido; su investigacion se ha desarrollado por mas tiem-

po, por lo tanto, se ha demostrado mayores indicios de respuestas positivas en numerosos

pacientes; y al mismo tiempo, se ha llegado a brindar procesos para brindar seguridad al

paciente.

Las debilidades de la tecnica denominan en sus numerosas aplicaciones que requieren;

6


al menos se requieren hora y media de exposicion al FUS y el tratamiento dura anos.

Tambien esta limitado solamente al tratamiento de tumores; sus beneficios dependen de la

forma del tumor y zona que se aplique dentro del cuerpo, cambiando la efectividad de la

tecnica en diferentes tipos de cancer.

1.3.3. Dosis termica

La temperatura varıa segun el tiempo de exposicion de dosis termica; en el caso de alta

exposicion, es de 43◦ C en con tiempos mayores a 100 segundos; en bajas exposiciones

se puede incrementar hasta unos 53◦ C. La finalidad de esta region es utilizar la mayor

parte de calor sin danar el tejido. Como se habıa considerado en hipertermia local, la

temperatura maxima en la cual un tejido no recibe dano alguno, son 43◦ C. Sin embargo,

como habıamos mencionado, los tiempos de exposicion cambian la temperatura en la cual

podemos realizar la dosis termica. Estos cambios de temperatura y tiempo estan expuestas

por la ecuacion[10]:

CEM43◦C =n∑

i=1

tiR(43−Ti) (1.1)

Donde ti es el tiempo de exposicion de una temperatura originalmente deseada, CEM43◦Ces el tiempo de exposicion en 43◦C, Ti es de la temperatura originalmente deseada y

R es la relacion exponencial entre la energıa de activacion, gases ideales y cambios de

temperatura.

Partiendo de esta ecuacion se trabaja en umbrales previos de la necrosis o de la ablacion;

con la finalidad de no danar tejido. Por supuesto debemos de tomar en cuenta que hay

muchos factores que pueden alterar esta ecuacion, entre ellas estan el tipo de tejido,

profundidad de la zona deseada, complexion del paciente; tambien hay parametros del

CEM43◦C para tejidos especıficos, por ejemplo, la piel requiere mayor temperatura de

aplicacion en comparacion de las corneas [11].

Algunas de las aplicaciones de las dosis a esta temperatura son el tratamiento de coagulos

sanguıneos con tPA (Activador tisular del plasminogeno); esta proteına se encarga de

disolver coagulos, sin embargo se ha logrado encontrar que la aplicacion de HIFU con

pulsos en la zona afectada, puede acelerar el proceso de curacion; a este metodo se le

conoce como Trombolisis asistida por ultrasonido, la cual tiene resultados bastante favo-

rables, reduciendo el tiempo de disolucion del coagulo en 5 horas, y por supuesto, todo

sin mostrar danos aparentes irreversibles a celulas vasculares.[12] La cantidad aproximada

para estas aplicaciones de intensidad sonora son entre 0.5 a 1 W/cm2.

Otra aplicacion notable, sigue siendo el tratamiento de cancer, sin embargo se notan

mejores resultados si se aplica el metodo CEM43◦C en donde se calienta poco a poco el

tejido, y gradualmente subir arriba de los 43◦C con la misma ecuacion; lo que se procura

7


es reducir el tiempo de exposicion y procurar que el tejido deseado no desarrolle una

resistencia termica y requiera mayor tiempo de exposicion, con lo cual se llegue a calentar

tejidos adyacentes y ocasionar danos. En este estudio se llego a captar que para que exista

la muerte del tejido los componentes que afectan a la celula son: 1) la muerte termica y 2)

la incrementada dosis de radiacion [13].

1.3.4. Ablacion Termica

En esta area de dosificacion es en la cual se baso centralmente el diseno del sistema.

La ablacion termica consiste en entregar suficiente energıa para poder elevar la tempe-

ratura del tejido a un nivel citotoxico lo suficientemente rapido, para que la vasculatura

del tejido no tenga el efecto de extenderse en el resto de las celulas. Estos coagulos se

pueden considerar a una micro escala donde el comportamiento comun de una coagulacion

necrotica es bastante diferente a nuestra lesion inducida; la separacion entre celulas sanas

y quemadas no excede de los 50μm de ancho. Sin embargo, hay que considerar que

la aplicacion con semejante cantidad de energıa y calor puede traer problemas serios e

irreversibles; por ejemplo, se pueden alcanzar problemas letales si se llega a danar algun

vaso sanguıneo vital contiguo al tumor. En el caso de una operacion de un tumor en venas

cuyo tumor cuenta con un tamano bastante grande, se puede considerar que el metodo es

bastante seguro; incluso se puede aplicar en puntos donde una cirugıa convencional no

serıa recomendada.

Figura 1.4: Experimento de focalizacion del HIFU, (Imagen por World J Clin Oncol).

8


Los estudios sobre el uso del HIFU han sido en diversos campos: neurociencias, uro-

logıa, ginecologıa y oncologıa; con mas de 100000 pacientes en la actualidad (principal-

mente en Asia y Europa).

Las ventajas del HIFU han sido: dolor minimizado (cirugıas no invasivas), bajo coste en

comparacion de las cirugıas tradicionales puesto que no hay cicatrices aparentes, curacion

con menor tiempo de recuperacion, en caso de existir alguna hemorragia se puede detener

el sangrado por el mismo metodo HIFU, la terapia puede ser repetida sin problemas de io-

nizacion, ya sea por la imagenologıa (MRI) contra los rayos X, o el mismo procedimiento,

como la quimioterapia, el mantenimiento del sistema es hasta cierto punto economico, no

hay tantas contradicciones para el tratamiento del cancer, el dano que se pueda ejercer en

general es local, e incluso se puede evitar usar anestesia.

De las estudios que se conoce en tratamientos intracraneales, las disposiciones tecnicas

es que se utiliza son rangos de frecuencias entre 500kHz (a nivel profundo) y 1 MHz; para

otras aplicaciones varıa hasta unos 4 MHz. La presion acustica en el foco es de 70MPa

pico en la compresion y 20 MPa en la rarefaccion [8].

Se ha observado al mismo tiempo que se aplica el tratamiento de ablacion, aplicar

ultrasonido a un tumor puede ocasionar una mayor respuesta inmune anticancerıgena; sin

embargo, se desconoce la verdadera forma en la que opera este mecanismo. La forma en

la cual se ha experimentado este cambio fue en la aplicacion de HIFU para efectuar una

ablacion; lo que puede ocasionar que haya una resistencia anticancerıgena en la zona, este

metodo tiene el funcionamiento similar a una vacuna. Lo que aun se desconoce a ciencia

cierta, es si el proceso de ablacion es el que desarrolla este mecanismo o simplemente se

puede aplicar HIFU para estimular el sistema inmunologico [14].

1.3.5. Necrosis Termica

Aplicando terapias con mayores temperaturas y con mayores tiempos de exposicion se

presenta necrosis practicamente en cualquier celula. En cuanto a sus aplicaciones en estas

dosis termicas siguen existiendo los tratamientos anticancerıguenos, pero una utilidad

particular es la hemostasia, la cual consiste en detener o controlar el flujo sanguıneo bajo

efectos termicos y fısicos. Se ha logrado comprobar con conejos que se pueden cerrar

heridas provocadas por el piquete de una aguja mediante la aplicacion del ultrasonido; lo

interesante de la investigacion es el tiempo en el cual se tardo en cicatrizar la herida. La

hemostasia se logro a 80◦C en el punto focal, resultando una necrosis coagulativa, uniendo

tejido sano con la obstruccion. Aun se desconoce con exactitud que es lo que ayuda a

cicatrizar rapido; se le atribuye a la presencia del fenomeno de cavitacion (generacion de

microburbujas de alta temperatura); la presencia de dicho efecto se piensa que incrementa

el coeficiente de atenuacion, lo cual incrementa la absorcion de energıa en el tejido.

9

Capıtulo 1. Introduccion 1.4. Transductores

Figura 1.5: Diagrama de funcionamiento de la hemostasia por HIFU, (Imagen por

Applied Physics Laboratory, Center for Industrial and Medical Ultrasound, University of

Washington).

La frecuencia para realizar la operacion, fue de 9.6 MHz con intensidades de 3000 ±100W/cm2 promedio.[15]

Figura 1.6: Experimento de hemostasia por HIFU, (Imagen por Applied Physics Labora-

tory, Center for Industrial and Medical Ultrasound, University of Washington).

1.4. Transductores

La forma en la cual se puede generar y recibir senales de ultrasonido varıa entre ellas se

encuentra los efectos electromagneticos, opticos, piezoelectricos y capacitivos.

10

Capıtulo 1. Introduccion 1.4. Transductores

El metodo mas estudiado para generar o recibir ondas es el del piezoelectrico [16].

El efecto piezoelectrico consiste en un efecto definido por los hermanos Curie, donde

al aplicar presion a un material piezoelectrico generara electricidad y el efecto se puede

invertir, si se le aplica electricidad el material sufrira una deformacion. El comportamiento

de un transductor se representa en la figura 1.7. Por otro lado se tienen a los transductores

Figura 1.7: Efecto piezoelectrico (Imagen extraida de Ultrasonic transducers).

de efecto capacitivo, los cuales consiste en sistemas micro maquinados donde se tienen dos

electrodos, de los cuales uno es fijo y otro se mueve, se le aplica electricidad y por ley de

Coulomb se atraeran entre si dichas placas, al aplicar un voltaje alterno se generaran ondas

dependiendo de la frecuencia que se le aplique y la estructura mecanica de los electrodos.

Finalmente los ultimos tipos de transductores son los electromagneticos, los cuales se

basan en la ley de Lorentz la cual dice que un material ferromagnetico al aplicarle un

campo magnetico y una corriente, recibira una fuerza resultante en el material produciendo

un desplazamiento del material.

Todos los transductores tienen sus pros y sus contras; por ejemplo los transductores pie-

zoelectricos son conocidos por su buena eficiencia de transduccion ya que en las frecuen-

cias requeridas pueden brindar una buena cantidad de energıa, sin embargo, su ancho de

banda es muy limitado aparte de que su produccion resulta ser costosa. Los transductores

capacitivos son economicos y presentan diversas maneras para ser casi tan efectivos como

11

Capıtulo 1. Introduccion 1.5. Hipotesis

un transductor piezoelectrico, con un buen ancho de banda y hasta cierto punto buena

linealidad en la respuesta, pero en sus defectos se encuentra la necesidad de incrementar

mucho el voltaje de polarizacion y la falta de consistencia mecanica, ademas de que son

sistemas un poco fragiles. Finalmente los transductores electromagneticos presentan muy

buen ancho de banda y una buena recepcion de senal; sin embargo, el problema de estos

transductores es que no se pueden usar cerca de otros imanes o materiales ferroelectricos,

aparte de su mal efecto transductor.

En este trabajo nos enfocamos principalmente en el transductor CMUT, debido a su

respuesta lineal y amplio ancho de banda. Los dispositivos CMUT por lo general son

muy buenos sensores, pero carecen de la potencia acustica que puede suministrar otros

tipos de transductores, en especial para realizar ablaciones, por lo tanto se buscara en

disenar el sistema de tal manera que al menos suministre la potencia acustica para efectuar

ablaciones.

1.4.1. CMUT

El CMUT significa por sus siglas en ingles Transductor Ultrasonico Micromaquinado

Capacitivo (Capacitive Michromachined Ultrasonic Transducer); consiste en tener dos

placas paralelas, una fija y la otra oscilante a la que se aplica un voltaje (la otra esta a

tierra) y por ley de Coulomb se atraen. Al aplicar un voltaje alterno, las placas se desplazan

acercandose y alejandose causando oscilaciones y generando ondas sonicas. Los CMUTs

se han desarrollado principalmente para el area de inspeccion debido a su bajo costo y

su buena sensibilidad; eventualmente se fueron desarrollando como una nueva fuente de

sistemas de ultrasonido medico con la capacidad de dar imagen en una mejor resolucion

tanto en 2D como en 3D en un pequeno espacio del sistema [17].

1.5. Hipotesis

¿Es posible disenar un transductor que llegue a las condiciones necesarias para crear

una ablacion termica con tecnologıa CMUT?

1.6. Objetivos especıficos

Repasando en la literatura, se investigo a fondo los diferentes tipos de rangos en los

cuales opera generalmente un transductor para realizar operaciones de tipo Focused Ultra-sound Surgery - FUS y los tipos y efectos causados segun la configuracion de los anchos de

banda y potencias suministradas al medio. Por lo tanto se modelo y simulo un transductor

12

Capıtulo 1. Introduccion 1.7. Metodologıa

ultrasonico capacitivo micro maquinado, para desarrollo medico, especifico a aplicaciones

intracraneales.

Las especificaciones del sistema consisten en que pueda por dispositivo suministrar una

presion mecanica en el electrodo superior una fuerza de 2 MPa y al mismo tiempo que

pueda ejercer una mayor potencia en un ancho de banda que tenga como frecuencia central

560 KHz. La aplicacion de dicho dispositivo trae la premisa de poder disenar un escalpelo

ultrasonico.

Tambien se visualizo y comprobo que la tecnologıa empleada puede crear una mejora

contra los metodos convencionales. Se describieron los principios de funcionamiento de

un transductor ultrasonico capacitivo micro maquinado; tanto en su estudio de principios

fısicos (electrostaticos, mecanicos y acusticos), como en procesos de manufactura. Y

finalmente se reviso y confirmo por medio de un analisis de elementos finitos que el

dispositivo es viable y se comporta de una manera deseada a como se espero con el

modelado matematico.

1.7. Metodologıa

Primero se realizo el estudio de parametros, para poder conocer los parametros de

diseno del transductor, se reviso el estado del arte de las cirugıas no invasivas, avances

en el mundo de la medicina que datan observaciones, propuestas o resultados que nos

limitasen los parametros de diseno.

Eventualmente se realizo un estudio de principios fısicos necesarios para operar de manera

correcta el dispositivo CMUT; basados en ecuaciones basicas de mecanica, electrostatica

y acustica, se busco procesos matematicos para realizar el modelado del sistema con la

intension de simplificar el analisis del sistema y en dado caso poder reducirlo a un circuito

equivalente.

Una vez que se realizo el modelo matematico, se buscaran los valores requeridos para

poder crear el dispositivo con las especificaciones deseadas y a traves del analisis de

elementos finitos se comprobara si cumple con los objetivos especıficos.

1.8. Trabajo colaborativo

Para la realizacion de este trabajo se establecio un convenio marco CIDESI-UDLAP

para llevar a cabo una estancia en el departamento de MEMS liderado por el Dr. Horacio

Estrada Vazquez; el responsable del convenio fue el Dr. Manuel Bandala Sanchez y la

persona encargada de apoyarme fue el estudiante de doctorado Salatiel Garcia Moreno.

La finalidad fue aprender a laborar en un ambiente dedicado al estudio y diseno de los

dispositivos Micro Electro Mechanical Systems - MEMS, estudiar las bases para para el

diseno de dispositivos, aprendizaje de programas computacionales, y apoyo en general con

documentacion.

13

Capıtulo 2

Modelado electro-mecanico del CMUT

Para poder tener una idea del funcionamiento de un CMUT antes de disenarlo y simular-

lo, tenemos que empezar a revisar la forma en la que se comporta de manera matematica.

Como uno de los objetivos de este trabajo fue realizar el analisis de la manera mas lineal

posible, es mas sencillo analizar cambios lineales que cambios no lineales. Una funcion

lineal cumple el requisito de la siguiente ecuacion:

y = mx+ b (2.1)

El comportamiento de la ecuacion pasada describe a una linea recta donde y es la com-

ponente vertical, x la componente horizontal, m la pendiente o inclinacion y b el desfasa-

miento vertical con el origen.

Sin embargo, conocemos que en realidad hay varios relaciones fısicas las cuales se com-

portan de una manera no lineal, por lo tanto se realizaron aproximaciones y transforma-

ciones matematicas de tal manera que tengamos resultados lo mas lineales posible para

eventualmente realizar comparaciones contra el analisis de elementos finitos y verificar un

comportamiento sencillo contra uno casi similar.

Figura 2.1: CMUT, vista transversal.

14

Capıtulo 2. Modelado electro-mecanico del CMUT 2.1. Funcionamiento de un CMUT

2.1. Funcionamiento de un CMUT

El concepto basico de un CMUT consiste en dos electrodos, el cual uno esta estatico

(electrodo inferior) y el otro esta empotrado en la estructura (electrodo superior), separa-

dos por vacıo o aire; el electrodo superior consiste en una placa, que aplicandole un voltaje

junto con la placa inferior (empleada como tierra) realiza un efecto de polarizacion, debido

a que la placa superior es delgada sera deformada por la fuerza electrostatica, lo cual nos

brindara un desplazamiento mecanico.

El CMUT tiene dos funciones, la de emisor y la de receptor. Para configurar el CMUT en

emisor, se le aplicara un voltaje directo y un voltaje alterno a la placa, lo cual va a ocasionar

una vibracion armonica que generara ondas acusticas. En cambio en modo receptor, se

requiere voltaje directo, el cual como sabemos, se polariza y atrae a la placa, lo cual

incrementa la sensitividad del dispositivo mecanico; ahora esperamos una senal de alterna

mecanica, siendo esta el sonido. El sonido deforma la placa haciendola oscilar, si nosotros

medimos voltaje en los electrodos, observaremos varianzas de voltaje entre los electrodos,

los cuales pueden ser registrados y procesados para registrar la senal obtenida.

Figura 2.2: Modo emisor.

El modelado matematico consiste de dos partes electrostatico y mecanico.

15

Capıtulo 2. Modelado electro-mecanico del CMUT 2.2. Modelo electrostatico

Figura 2.3: Modo receptor.

2.2. Modelo electrostatico

Esta seccion consiste en un modelo de placas paralelas, las cuales al ejercerles un

diferencial de potencial, generan un campo electrico que ocasiona una fuerza electrostatica

que deformara la placa. Las ecuaciones que se presentan en este trabajo fueron obtenidas

de diversas investigaciones [18], [19], [20] y [21].

Figura 2.4: Parametros empleados.

16


De la figura 2.4 r es un radio cualquiera a traves de la placa superior, a es el radio total

de la placa superior, t el espesor de la placa, go la separacion entre las placas y finalmente

w(r) es la deformacion puntual de la placa.

Para poder conocer la forma en la cual se desplaza o deforma la placa, se emplean modelos

matematicos de deformacion de placas. La placa es de geometrıa circular y esta sujeta en

los extremos, lo cual indica que no tendremos deformacion en los extremos de esta y esta

siendo deformada por una carga uniforme.

Figura 2.5: Placa circular, empotrada, con carga uniforme.

Basandonos en estos parametros, la deformacion de la placa segun la teorıa de deforma-

cion de placas esta dada por[22] [23]:

wr =Po (a)4

64 D

(1− r2

a2

)2

(2.2)

donde wr es la deflexion a traves de la placa, siendo su punto maximo el radio de la placa,

a, y su punto mınimo 0 siendo el centro de la placa; Po es la presion que es ejercida y Des la rigidez flexural, la cual esta definida como:

D =Et3

12(1− υ2)(2.3)

siendo E el modulo de Young del material de la placa, t el espesor de la placa y υ el

coeficiente de Poisson.

Para calcular la deformacion maxima de la placa se emplea 2.2, y el radio r = 0,

puesto que es el punto donde ocurren las deformaciones maximos de la placa, obtenemos

la deformacion maxima como:

17


wpk =Po a4

64D(2.4)

Sustituyendo 2.2 con 2.4 obtenemos:

w (r) = wpk

(1− r2

a2

)2

(2.5)

Podemos observar que nuestra placa superior junto con el electrodo inferior en sentido

electrico forma un capacitor, por lo tanto se calculara la fuerza electrostatica en un capa-

citor [24] :

C =εoA

go(2.6)

Los parametros de esta formula que hay que considerar son: go que es la distancia entre

placas y εo que es la constante de permitividad en el vacıo 8,854187818× 10−12C2/N ·m2.

La teorıa de capacitancia de placas paralelas simple no aplica, puesto que la placa supe-

rior no tiene una forma regular, sino tiene una forma dada por la ecuacion 2.5; entonces se

debe de emplear una ecuacion de capacitancia efectiva tomando en cuenta la forma de la

deformacion de la placa superior. Para ello, primero se tomo en cuenta la fuerza capacitiva

en cada zona de la placa, para luego integrar el area bajo la curva con 2.5 y aplicandola en

2.6:

Cplaca =

∫ a

0

εoA

go− wpk(1− r2

a2)2dA (2.7)

Hay que considerar que nuestra funcion 2.5 no cambia con respecto al cambio de area de

la deformacion, sino al cambio de radio de la placa, por lo tanto, se aplica una razon de

cambio entre area y radio; entonces conociendo que el area del cırculo es:

Acirculo = πr2 (2.8)

Podemos hablar de un cambio de area, este cambio de area va a ser dependiente de un

cambio de radio, o lo que es lo mismo:

dA = 2πrdr (2.9)

18

Capıtulo 2. Modelado electro-mecanico del CMUT 2.3. Modelo mecanico

Entonces se sustituyo 2.9 con 2.7 y obtendremos:

Cplaca =

∫ a

0

2εoπr

go− wpk(1− r2

a2)2dr (2.10)

Resolviendo la integral se obtiene:

Cplaca =εoπa

2atanh(wpk√wpkgo

)√wpkgo

(2.11)

Y con esto obtenemos la capacitancia de la placa cuando se encuentre flexionada.

La deformacion promedio de la placa se estima para asumir una deformacion pareja en

toda la placa, simplemente visualizar la deformacion ya no con la forma estimada con 2.4,

sino como si fuese una placa circular que se desplaza como un embolo.

wavg =

∫ a

02πrPo a4

64D(1− r2

a2)2

πa2=

π3Po a6

64D

πa2=

Po a4

192D=

wpk

3(2.12)

2.3. Modelo mecanico

La fuerza que ejerce la parte electrica, la cual se explica mas a detalle en el apendice, es:

fe =v2

2

∂C

∂x(2.13)

Para pode calcular la fuerza se requiere sacar la derivada a la capacitancia de nuestra placa,

con lo cual obtenemos:

∂C

∂wpk

=1

2

εoπa2

wpk(1− wpk

go)− 1

2

εoπatanh(wpk√wpkgo

)

wpk√wpkgo

(2.14)

Y se aplica A.8 con 2.14, tomando en cuenta que el ∂C∂x

pasa a ser ∂C∂wpk

Como bien se sabe,

la ley de Hooke para un resorte es:

19


F = k(x− xk) (2.15)

Nuestro resorte sera la misma la placa, la cual se deformara con la fuerza electrostatica

y debido a su propiedad elastica del material, cuando se deje de aplicar fuerza, la placa

regresara a su posicion original; este movimiento generara una onda sonora.

Por lo tanto lo siguiente es calcular k1, la constante elastica del resorte. Esta deformacion

la tomaremos como si fuese la deformacion promedio de la placa.

k1 =PoA

wavg

=192Poπa

2D

Poa4=

192πD

a2(2.16)

Pero hay que tomar que este k1 es solamente para deformaciones pequenas, o lo que es lo

mismo, wpk ≤ 0,2(h) siendo h el espesor de la placa (o placa); excediendo este lımite se

aplica la teorıa de grandes deformaciones, o lo que es lo mismo:

wo =Poa

4

64D

1

1 + 0,488w2o

t2

(2.17)

Como observamos la ecuacion 2.17 es un trinomio, el cual sigue siendo una aproximacion.

Para poder acotar estos parametros se tomo en cuenta otra variable que es la estabilidad

del dispositivo, que es conocido como votaje de Pull-in [25]. Este voltaje es conocido

como el maximo voltaje que un dispositivo de tipo capacitivo variable en su separacion

de sus placas, puede ser ejercido; la interpretacion de esta inestabilidad es debida a que

es la fuerza ejercida al resorte, excede su rigidez y el sistema atrae aun mas a la placa

rompiendo el sistema, la ecuacion del voltaje de Pull-in es:

vpi =

√8kx3

o

27εoA(2.18)

La distancia de Pull-In ocurre aproximadamente a (xo)pull−in = 13go. Generalmente para

que este optimizado se considera una buena separacion entre 50 nm y 2μm.

Tomando esto en consideracion, podemos observar que el modelo esta en la zona de

pequenas deformaciones si la distancia de separacion de los electrodos es mucho menor

que el grosor de la placa; la ventaja que trae es que tendrıamos una muy buena sensibilidad

y buena respuesta, aparte de utilizar menor voltaje de polarizacion; sin embargo perdemos

un poco de fuerza. Por otra parte si realizaramos la separacion de electrodos un poco mas

grande, se obtendra una mayor fuerza electrostatica, parametro deseado en el diseno, pero

puede que se tenga que revisar las ecuaciones de grandes deformaciones, las cuales llegan

20


a ser un poco problematicas, aparte de tener mayores capacitancias parasitas.[26].

2.3.1. Vibracion de la placa

En la seccion pasada, se declaro como se deforma la placa, pero esta deformacion era

gradual, lenta o simplemente se ejecutaba una vez de y se llegaba a un estado estacionario;

de tal manera que las cargas y deformaciones fuesen independientes del tiempo. Lo que a

continuacion se describe consiste en deformaciones y cargas mecanicas con periodicidad

o dependencia del tiempo; como las ondas sonoras. El estudio de ondas se realizo puesto

que las ondas mecanicas vibratorias que son ejercidas en la placa pueden cambiar a traves

del tiempo, lo que puede causar que existan interferencias. Por lo tanto para evitar inter-

ferencias en la vibracion que lleguen a menguar la energıa suministrada por el dispositivo

se estudia con detalle las ondas vibratorias segun la teorıa de deformaciones.

En la teorıa de vibraciones hay principalmente dos tipos de movimientos vibratorios:

La primera es conocida como vibracion libre, la cual consiste en que la oscilacion

del sistema bajo la accion de fuerzas inherentes al mismo sistema. El sistema vibrara

en una o varias de sus frecuencias naturales y ello dependera de la geometrıa y el

material de la placa.

Por otra parte tenemos la vibracion forzada, la cual consiste en aplicar cargas mecani-

cas con cierta frecuencia. Esta tiene dos respuestas: la respuesta armonica cuando

una fuerza es periodicamente aplicada a la placa o la respuesta transitoria, la cual

resulta cuando se aplica una fuerza externa no periodica y se observa como vibra la

placa hasta un tiempo infinito.

El concepto de resonancia se le atribuye cuando el sistema se le aplican vibraciones

forzadas a la misma o a una muy cercana frecuencia con la frecuencia natural, y se

le aplica una vibracion forzada; el sistema absorbe la mayor cantidad de energıa y la

transforma, obteniendo una mayor desplazamiento del sistema, incluso con poca energıa

externa forzada. La placa por si misma almacena energıa, tanto potencial como cinetica,

siendo la masa como almacen de energıa cinetica; la propiedad elastica de la placa como

medio de almacenamiento de energıa potencial.

Cuando el sistema no recibe ninguna clase de fuerza externa, tanto la masa como el resorte

intercambiaran energıa a la misma velocidad que la frecuencia natural.

21


La resonancia se efectua cuando la fuerza externa ejerce energıa casi a la misma veloci-

dad que la frecuencia natural del sistema. Se puede ejemplificar el sistema como si fuera

un pendulo, con una masa que oscila de su punto de equilibro de izquierda a derecha; su

movimiento natural es controlado por la gravedad y se le aplica una fuerza externa.

Figura 2.6: Pendulo.

La frecuencia natural se conoce como el tiempo en que tarda en desplazarse y regresar el

pendulo hasta su punto maximo. Primero se realizara una fuerza que mueva al sistema, el

sistema empezara a oscilar debido a la fuerza de gravedad. El caso de vibraciones forzadas

se puede ejemplificar si se aplica una fuerza en el punto A, se requerira poca fuerza para

mantener en movimiento el sistema, en cambio si se aplica la fuerza en el punto B o C, se

espera que la amplitud sea disminuida.

En el caso de el transductor, la placa se desplazara arriba y abajo, la fuerza que ejerce

el sistema es causado por las cargas electrostaticas desplazando inicialmente al material

y la propiedad elastica del material realizara otra fuerza que realizara una oscilacion de

posicion. Esto generara ondas en el material, pero cuando las ondas lleguen al final del

material no se detendran o desapareceran sino que cambiaran de direccion, generalmente

es contraria a la direccion de propagacion, por lo tanto, cuando se aplique la siguiente senal

o fuerza, las ondas sufriran interferencia, esta interferencia puede ser tanto constructiva

como destructiva, por lo tanto en unos lugares obtendremos vientres, mientras que en

otros nodos; los vientres se consideran como las zonas con mayor amplitud, mientras que

los nodos son definidas como las zonas donde su amplitud es cero.

22


La frecuencia fundamental de resonancia natural de nuestra placa, solida, circular con

simetrıa radial, con sus lımites de frontera establecidos en los bordes de la placa se estima

con [22]:

ω =λ2

a2

√D

ρt(2.19)

Donde λ2 es un valor previamente estudiado y tabulado especıficamente para placas cir-

culares. Para conocer otros modos de vibracion de esta placa circular observar el apendice

B. Como bien habıamos mencionado, se conoce que un sistema tiene varias frecuencias

naturales, sin embargo, la que nos importa es la fundamental, la frecuencia fundamental

se conoce como la primera frecuencia; la razon por la cual se trabaja en ella es por la

geometrıa de su deformacion en su fundamental modo natural, al observar en la figura 2.7

se notara que la deformacion en ese modo es similar a la deformacion deseada[27].

Figura 2.7: 10 primeros modos naturales de una placa circular anclada a los lımites

(Imagen por University of Zagreb).

No hay que olvidar que ω es la frecuencia angular fundamental dada en rad/s, la cual se

estima como:

ωo = 2πfo (2.20)

23


siendo la frecuencia normal fo.

Para calcular la masa de la placa se puede emplear el sistema oscilatorio de masa

resorte[28], donde se estima:

ωo =

√k1m

(2.21)

Despejando la masa y sustituyendo k1 de 2.16 y ωo de 2.19 obtenemos:

m =k1ωo

2=

192πDa2

(λ2)2Da4ρt

=192πa2ρt

(λ2)2(2.22)

Hay que tomar en cuenta que el produce un amortiguamiento que debilita las ondas a traves

de la placa, este amortiguamiento pueden ser las fuerzas de friccion a traves del material

o la viscosidad del aire entre la placa al ser aplastada en el movimiento. La ecuacion para

conocer el amortiguamiento por la viscosidad del aire es considerada como[29]:

b =3π

2g3oμa4 (2.23)

En donde μ es la viscosidad del aire la cual es 0,0000174Pa ·s. Otro factor que se desea

conocer es el amortiguamiento conforme la placa, y se deseo realizar un estudio donde

la atenuacion de la resonancia recaiga a -3dB en cierto ancho de bando. Para semejante

trabajo se realiza un estudio que se llama amortiguamiento de Rayleigh[30], la cual estudia

el amortiguamiento en base a los terminos de la masa y los coeficientes matriciales de

rigidez del material. El parametro de amortiguamiento esta definido como:

ξ = αdMm+ βdKk (2.24)

De los cuales αdM es conocido como el radio de amortiguamiento de la masa y βdK como

el radio de amortiguamiento de la rigidez; ambos radios de amortiguamiento se requieren

que contengan dos frecuencias que limitan el ancho de banda f1 y f2, y al mismo tiempo

se requiere los radios de amortiguamiento ζ1 y ζ2 de las correspondientes frecuencias; los

parametros de amortiguamiento de Rayleigh son computados como:

24

Capıtulo 2. Modelado electro-mecanico del CMUT 2.4. Parametros concentrados

αdM = 4πf1f2ζ1f2 − ζ2f1f 22 − f 2

1

(2.25)

βdK =ζ2f2 − ζ1f1π(f 2

2 − f 21 )

(2.26)

Para poder encontrar ciertos valores como f1 y f2, ζ1 y ζ2 se tomo en consideracion que el

factor de atenuacion debiese de llegar a la mitad de la energıa suministrada que se alcanza

a -3dB [31]. El factor de calidad de un sistema se mide como:

Q =mωo

b(2.27)

El factor de calidad se describe como la relacion con el ancho de banda con la frecuencia

central, la cual se describe como:

Q =foΔf

(2.28)

Δf es el cambio de frecuencia donde pierde la mitad de la potencia del dispositivo.

2.4. Parametros concentrados

Para poder hace un analisis de los modelos presentados, se realizo un circuito de parame-

tros concentrados, con el cual se puede linealizar ecuaciones complejas, este analisis se

basa principalmente en las leyes electromagneticas, los principios de circuitos y la ley

de conservacion de la energıa. Este analisis consiste en un circuito con acoplamiento que

almacena energıa y que idealmente no presenta perdidas.

Existen principalmente, dos tipos de transductores: los que almacenan energıa (elec-

trostaticos, magnetoestaticos y piezoelectricos) y los disipativos (resistivos o piezoresis-

tivos); ambos cambian drasticamente la forma en la cual se puede realizar su analisis y

operacion. Los transductores que almacenan energıa dependen simplemente de sus varia-

bles que controlan el almacenamiento de energıa, por lo tanto, un analisis cuasi-estatico es

una buena aproximacion. Por otra parte los transductores disipativos dependen de variables

de estado que determinen el radio de disipacion de energıa, eso al mismo tiempo lo hace

mas complejo.

25


Para definir acerca de nuestro sistema, debemos de mencionar que tiene la capacidad

de almacenar y transformar energıa, por las decisiones tomadas se basaron principalmente

que las ecuaciones de energıa puedan estar relacionadas con la parte electrica (relacionada

con voltajes, corrientes, cargas) y con la parte mecanica (relacionada con fuerzas, veloci-

dades, desplazamientos) dependientes de un tiempo.

Con esta teorıa se define que un elemento concentrado, consiste en un objeto discreto

que puede intercambiar energıa con otros objetos, o lo que es lo mismo, se pueden com-

binar la fısica interna de los objetos para poder sacar relaciones.

Por ultimo, el acoplamiento del sistema se debe de considerar que esta cerrado o que

no tiene perdidas; bien se sabe, que ningun sistema presenta perdidas, uno puede pensar

que este postulado es poco realista o con demasiadas condiciones; pero las perdidas que

tenga el circuito pueden ser mas tarde calculadas por aparte, sin embargo, la capacidad

o funcionamiento del sistema es lo que importa. Una de las cosas que implica que sea

un sistema de acoplamiento sin perdidas energeticas, es que en su representacion no

tiene restricciones externas; por lo tanto el acoplamiento no incluye masas, fuerzas de

restauracion del resorte, fuentes de energıa (tanto de corriente como de voltaje, perdidas

mecanicas (amortiguamiento) o perdidas electricas (resistencia electrica).

Para poder realizar el analisis linealizado se emplean los siguientes metodos en el

siguiente apartado basado en las referencias [32],[33],[34],[35] y [36].

2.4.1. Conservacion de la energıa

En cuanto sistemas MEMS, con dispositivos capacitivos, se toma en cuenta que existen

al menos dos caminos para calcular la energıa almacenada.

El primer camino es basado en saber que el dispositivo no se desplaza, por lo tanto

se asume que no ejerce energıa mecanica pero se le le aplica una carga variable. Por

definicion, la energıa en placas paralelas con capacitancia es:

W (Q) =

∫ Q

0

V dQ =

∫ Q

0

Q

CdQ =

Q2

2C=

Q2go2εA

(2.29)

La otra forma de calcular la energıa ahora se basa en imaginar que las placas estan juntas,

por lo tanto g = 0 lo que va a causar que C → ∞ por lo tanto W = Q2

2C= 0, por lo tanto

no hay presente energıa electrica.

Entonces se buscara que se transfiera entre la placa superior a la placa inferior cargas, el

campo electrico de las placas paralelas con capacitancia es:

26


E =Q

Cg=

Q

εA(2.30)

La fuerza de un campo electrico dentro de un capacitor es definido como

F =EQ

2=

Q2

2εA(2.31)

La razon por la cual se divide entre dos, es para evitar contar dos veces las cargas ejercidas

entre +Q y -Q.

Ahora se levantara la placa con una carga constante, por lo tanto se generara energıa por

desplazamiento mecanico y se aplican la ecuacion:

W (g) =

∫ g

0

F dg =Q2g

2εA(2.32)

Con esto podemos observar que las ecuaciones 2.32 y 2.29 son iguales, por lo tanto, se

puede deducir que la energıa depende de sus variables de estado (Q,g) no de su camino,

con esto se comprueba que el sistema es conservativo y sin perdidas. A lo que se refiere

es que existen dos maneras de almacenar la energıa de un capacitor, la primera consiste

en aplicar una carga fija en las dos placas pero acercando las placas; la segunda manera

consiste en mantener la distancia de las dos placas a una distancia fija pero incrementar la

carga suministrada.

La energıa almacenada en el acoplamiento del sistema se menciona en el apendice A;

si cambiamos unos cuantos parametros para poder realizar una ecuacion diferencial mas

conveniente como i(t) = dQ/dt se transforma como:

dW

dt=

Fdg

dt+

V dQ

dt→ dW = Fdg + vdQ (2.33)

A sabiendas que no importa cual ecuacion se tome de energıa, ya sea mecanica o electrica;

se puede tomar cualquiera de las dos para definir energıa, de eso procede a sacar junto con

2.32 o 2.29:

F (Q, g) =dW (Q, g)

dg|Q= Q2

2εA(2.34)

27


V (Q, g) =dW (Q, g)

dQ|V= Qg

εA=

Q

C(2.35)

2.4.2. Relacion de energıa y Co-energıa

Basado en su origen, la coenergıa, es usada de manera similar en ecuaciones de Helm-

holtz de energıa libre en termodinamica. La coenergıa esta relacionada con la energıa, y

se considera como una alternativa a la energıa.

Figura 2.8: Relacion entre energıa y co-energıa.

Como se puede ver la figura 2.8, hay dos valores que se aprecian relacionados con la

energıa, por ejemplo, tenemos en la parte de abajo la ecuacion 2.29, sin embargo se puede

ver que tambien hay un area superior, esta cantidad es conocida como coenergıa y es

definida empleando la transformada de Legendre.

We(Q) +W ′e(V ) = QV → W ′(V, g) = QV −W (Q, g) (2.36)

Aplicando derivada en la ecuacion y despejando W ′e obtenemos:

28


dW ′e(V, g) = d(QV )− dWe(Q, g) (2.37)

De la ecuacion 2.33 se sustituye y se obtiene

dW ′e(V, g) = V dQ+QdV − (V dQ+ Fdg) → dW ′

e(V, g) = QdV − Fdg (2.38)

Esto nos lleva al caso similar de la energıa a poder separar esta ecuacion en dos

Q(V, g) =dW ′

e(V, g)

dV|g (2.39)

F (V, g) = −dW ′e(V, g)

dg|V (2.40)

Para poder evaluar la funcion de energıa se toman dos caminos al igual, la definicion

original es:

W ′e(V, g) =

∫ g

0

F (V, g)dg +

∫ V

0

Q(V, g)dV (2.41)

Al igual que con la energıa; la coenergıa puede tomar ambos caminos para poder llegar al

resultado, tomando en cuenta que lo que importa en este caso siguen siendo las variables

de estado.

Por lo tanto se va a tomo el caso que el voltaje sea igual a cero, lo que significa que la

fuerza electrostatica sea cero y nos queda evaluar el valor de la coenergıa en funcion de la

carga, entonces la evaluacion de coenergıa da:

W ′e(V, g) =

∫ V

0

Q(V, g)dV =C(g)V 2

2(2.42)

En caso que el comportamiento del capacitor es lineal, el valor de tanto de la energıa

como de la coenergıa son iguales. Pero no en todos los casos la capacitancia se comporta

de manera lineal, depende del tipo de aproximacion que se aplique, o la ecuacion de carga

del capacitor, estos valores cambiaran.

La razon por la se emplea el termino de coenergıa, es para poder hacer aproximaciones

29


no en cambios de la carga del dispositivo, sino del voltaje suministrado. Por lo tanto, si se

desea que el dispositivo corra en funcion del voltaje suministrado, se aplican expresiones

relacionados con la coenergıa; si se desea emplear fuentes de corrientes, se emplea las

ecuaciones de energıa.

Por lo tanto aplicando 2.40 con 2.42 se obtiene que la fuerza que se ejerce en un dispositivo

capacitivo es:

F (V, g) =V 2

2

dC(g)

dg(2.43)

2.4.3. Modelos fısicos y matematicos de elementos de un circuito

Para poder realizar una analisis completo en el sistema, conocer fuerzas, voltajes, co-

rrientes o velocidades en cualquier componente del sistema, se empleo la teorıa basica

de analisis de circuitos electricos. Sin embargo, el dominio mecanico tiene sus propios

elementos para poder realizar su analisis en sus propios terminos, por lo tanto se va

a trabajar con su equivalencia, puesto que matematicamente existe una relacion entre

componentes.

El comportamiento del sistema se basa en LCK (Ley de corrientes de Kirchhoff), LVK

(Ley de voltajes de Kirchhoff), reduccion de componentes, etc. La primera ley de Kirch-

hoff o ley de corrientes de Kirchhoff, consiste en que las corrientes en cualquier nodo es

igual las corrientes que entran, como las corrientes que salen; por lo tanto la suma alge-

braica debe de dar igual a 0. La segunda ley de Kirchhoff o ley de voltajes de Kirchhoff,

consiste en que en un lazo cerrado, la suma total de las caıdas de voltaje es igual al voltaje

suministrado, por lo tanto en la malla la suma debe de ser igual a 0. Los elementos, tanto

mecanicos como electricos que se emplean en el analisis son:

Sımbolo Electrico Mecanico

−+

Generador de Voltaje [V] Generador de Fuerza [F]

Generador de Corriente [I] Generador de Flujo [v]

Resistencia [R] Amortiguamiento [b]

Capacitor [C] Resorte [k]

Inductor [L] Masa [m]

Cuadro 2.1: Circuitos equivalentes.

30


2.4.4. Analisis de pequena-senal en MEMS

En el apendice D se muestra el desarrollo de los sistemas matriciales, mejor conocido

como la red de dos puertos, con la cual se trabaja para realizar el analisis de pequena senal.

El proceso tiene el proposito de linealizar el analisis.

Lo que procura el analisis es realizar una comparacion entre la posicion de equilibrio de

la funcion, como al mismo tiempo con el estado variante en el tiempo; se espera que el

cambio del estado variante sea muy pequeno. Estos tipos de evaluaciones estan basadas en

las ecuaciones de energıa y coenergıa, y se puede evaluar en cada una de ellas.

Hay que tomar en cuenta que el sistema trabaja con corriente alterna en un estado estable,

por lo tanto se trabajo con el concepto de fasores. Por lo tanto se trabaja con jω donde

j =√−1 y ω siendo la frecuencia radial, o lo que es lo mismo que ω = 2πf . Algunas

de las ventajas que nos trae trabajar de esta manera es que jω → s. Los fasores por lo

general tienen dos tipos de representacion, c = a+jb siendo su representacion rectangular,

donde a es la parte real y b la parte imaginaria; por otra parte esta la representacion

polar c = |c| ejφ donde |c| =√a2 + b2, que es la magnitud y φ = tan−1 (b/a) es

su fase; pero para fasores que implican varianzas en el tiempo son considerados como

funciones sinusoidales, los cuales contienen armonicos, por lo tanto nuestra funciones

de voltaje y corriente son v(t) = Vo cos (ωt+ φ) y i(t) = Io cos (ωt+ ϕ); donde φ y

ϕ son valores de fasores electricos. La notacion fasorial para esta clase de eventos es

A cos (ωt+ φ) = Re {Aejωt} por lo tanto en el caso del voltaje es v(t) = Re {V ejωt}y en el caso de la corriente i(t) = Re {Iejωt}. Cuando se hable que el termino esta en

fasores se empleara la siguiente terminologıa: f , i, g, etc.

Primero se obtuvieron ecuaciones linealizadas basadas en los conceptos de energıa y

coenergıa este proceso fue realizando basandose en [33], como se habıa mencionado

previamente, puesto que se va a trabajar en el dominio de la coenergıa se empleara de

ahora en adelante todo el metodo basado en coenergıa, basandonos en 2.39 y 2.40.

Debido a que en un material elastico, los cambios que se puedan presentar son muy

pequenos, se aplica series de Taylor a las ecuaciones 2.39 y 2.40 se puede aproximar

solo en el segundo orden[37]:

f(t) = fo + f ′(t) (2.44)

g(t) = go + g′(t) (2.45)

31


v(t) = vo + v′(t) (2.46)

Q(t) = Qo +Q′(t) (2.47)

Donde ao son las condiciones en equilibrio; a′(t) son condiciones variantes en el sistema,

para que el analisis se correcto, se espera que a′(t)/ao << 1.

f ′ = −d2W ′e

dg2|go,vo g′ −

d2W ′e

dgdv|go,vo v′ (2.48)

Q′ =d2W ′

e

dvdg|go,vo g′ −

d2W ′e

dv2|go,vo v′ (2.49)

Puesto que nuestro analisis se encuentra en corriente alterna, se le aplica su representacion

de fasores; lo que nos da:

f ′(t) = Re{fejωt

}(2.50)

g′(t) = Re{gejωt

}(2.51)

v′(t) = Re{vejωt

}(2.52)

Q′(t) = Re{Qejωt

}(2.53)

Para fines practicos se analiza el sistema en orden de la corriente y la velocidad, por lo

tanto i = jωq y la velocidad sera jωg y con esto se puede obtener una matriz para conocer

las impedancias que ejerce la fase del transductor.

32


(fi

)=

[Z ′

m N−N∗ Y e

](jωgv

)(2.54)

Donde

Z ′m = − 1

jω

d2W ′edg2

|go,vo (2.55)

N = −d2W ′edvdg

|go,vo (2.56)

Y e = jωd2W ′edv2

|xo,vo (2.57)

Resolviendo las derivadas conociendo que W ′e = C(g)v2/2 se obtienen los coeficientes

de la matriz:

Z ′m =

−v2o2jω

[d2C

dg2] (2.58)

N = −vo[dC

dg] (2.59)

Y e = jω Co (2.60)

Por lo tanto para sacar la fuerza y la corriente que ejerce en la fase del transductor es:

f = Z ′mjωg +N v (2.61)

i = −N ∗ jωg + Y e v (2.62)

33


Sin embargo deseamos que el dominio este completamente en restricciones del dominio

electrico; nos es mas sencillo poder conocer tanto el voltaje suministrado como la corriente

de tal manera que veamos un resultado los cambios mecanicos en el sistema.

Para empezar trabajaremos con el circuito equivalente del sistema y se emplearan las

matrices previamente estudiadas. Podemos observar que este circuito se parece a la figura

Y e N : 1Z ′

m

jωg

f

i

v

Figura 2.9: Circuito equivalente del transductor.

D.3, por lo tanto el analisis se realizara de manera similar a D.14.

(f

jωg

)=

[1 Z ′

m

0 1

] [N 00 1/N∗

] [1 0

−Y e 1

](vi

)=

1

N∗[∣∣N2

∣∣+ Z ′mY e −Z ′

m

Y e −1

](vi

)(2.63)

Factores externos

En lo que respecta a la parte de transduccion esta completa, sin embargo no se ha tomado

en cuenta los factores externos, por ejemplo, en la parte mecanica no se ha hablado de los

coeficientes de resorte, la masa del sistema, amortiguamientos o fuerzas externas. En la

parte electrica desconocemos de conexiones externas.

Se buscara que el sistema se expanda de manera que su analisis sea facil de interpretar,

empleando el mismo principio de las matrices y el circuito equivalente.

Primero empezaremos a analizar la parte mecanica, el como llegarıa afectar al sistema.

En lo que se respecta en la parte mecanica, debe de congeniar de una manera u otra

con las leyes de Kirchhoff, la ley que cumple esta relacion son las leyes de Newton del

movimiento. La ecuacion de un sistema con masa es:

md2x

dt2=

∑F (2.64)

Esto pasado con fuerzas que ejercen el sistema da

34


md2x

dt2= −k(x− xk)− b

dx

dt− f(t) + fext(t) (2.65)

Donde k es el coeficiente del resorte, x la deformacion del resorte y xk la deformacion del

resorte en posicion de equilibrio; b el coeficiente de amortiguamiento, este coeficiente

representa las perdidas del sistema mecanicas por la friccion tanto del material como

viscosas del aire; f(t) es conocido como la fuerza de origen electrico y finalmente fextconocido como la fuerza externa que actua sobre la masa; la fuerza externa solo es consi-

derada cuando se tiene un sensor, en el caso del actuador es 0. Los valores de deformacion

xo y k fueron previamente calculados.

Lo primero que debemos considerar son estados de equilibrio, debido que ası lo pide el

analisis de pequena senal, entonces se toma una posicion donde no hay movimiento o

cambios, donde podemos asumir que d2xdt2

= 0 y dxdt

= 0 y proponer estados de equilibrio.

0 = −k(xo − xk)− fo(xo, vo) + fext, 0 (2.66)

Tambien de la ecuacion de movimiento 2.65 se puede buscar ecuaciones dinamicas en el

analisis de pequena senal.

md2x′

dt2= −kx′ − b

dx′

dt− f ′(t) + f ′

ext(t) (2.67)

Debemos de tomar en cuenta que se trabaja con fasores, por lo tanto f ′ext(t) = Re

{fext

ejωt}

.

Recordando que estamos en el dominio de la velocidad ωjg podemos acomodar la ecua-

cion 2.67 de tal manera que nos de:

fext

= (mjω + b+k

jω)jωg + f (2.68)

Sustituyendo 2.61 en 2.68 se obtiene

fext

= (mjω + b+k

jω+ Z ′

m)jωg +Nv (2.69)

Se puede observar que los componentes externos forman parte de una misma malla, en

circuitos electricos cuando se se emplea la misma corriente (la velocidad jωg es equiva-

lente a la corriente) se dice que esta en la misma malla y las impedancias estan conectadas

en serie, por lo tanto se puede sacar una impedancia total para sacar el resultado de las

impedancias externas.

35


Z ′mo

= mjω + b+k

jω(2.70)

Recordando que para actuadores la fuerza externa es 0, el nuevo circuito equivalente

queda:

Y e N : 1Z ′

m

b jωg

m

k

f

i

v

Figura 2.10: Circuito equivalente del transductor con elementos externos mecanicos.

Finalmente falta en el circuito la parte electrica, la cual puede ser facilmente calculada

con la misma teorıa, sin embargo es mas sencillo puesto que no contamos con muchas

restricciones, y al igual que con las restricciones mecanicas, se puede resumir en una sola.

Hay dos formas de acomodar este circuito resumido, en circuito equivalente de Norton

o como circuito equivalente de Thevenin. En el circuito equivalente de Norton se emplea

una corriente externa o Iext y una reluctancia en paralelo Yeo = 1/Zeo . Mientras que en

el circuito equivalente de Thevenin se tiene una fuente externa de voltaje Vext, con una

impedancia en serie Zeo . Si queremos seguir con la estructura de matrices, es mas sencillo

poder usar el circuito equivalente de Norton.

En caso de querer realizar la conversion entre Norton y Thevenin, simplemente aplicar

ley de Ohm, V = IZ y recordar como acomodar la impedancia equivalente.

Entonces el circuito equivalente nos va a quedar:

A la hora de realizar el analisis completo con la matriz, obtendremos:

(fext

jωg

)=

1

N∗[∣∣N2

∣∣+ (Z ′m + Z ′

mo)(Y e + Y eo) −(Z ′

m + Z ′mo

)(Y e + Y eo) −1

](viext

)(2.71)

36


Iext Y eo Y e N : 1Z ′

m

b jωg

m

k

f

Figura 2.11: Circuito equivalente del transductor completamente restringido (Norton).

37

Capıtulo 3

Diseno y Simulacion

El proceso para visualizar la factibilidad del diseno fue comparar el modelo teorico

con un modelo de analisis de elemento finito. Los programas empleados para realizar

dichas tareas fueron MATLAB y COMSOL; MATLAB y Maple para facilitar los modelos

teoricos, mientras que el COMSOL fue empleado para estudiar el analisis de elemento

finito multifısico.

3.1. Diseno de manufactura

Se realizaron dos disenos tentativos de manufactura, uno basado en el proceso Poly-

MUMPS y el otro basado en un proceso llamado union de obleas. Los disenos de fabrica-

cion se basaron en [38], [21], [39] y [40].

3.1.1. PolyMUMPS

El primer diseno llamado PolyMUMPS de parte de la empresa MEMSCAP; proceso de

micromaquinado superficial de tres capas de polisilicio la cual se basa en llevar instruccio-

nes detalladas, siguiendo las reglas de diseno de esta misma empresa, las reglas de diseno

consiste en pasos con tolerancias mınimas entre materiales, espesores de las capas, reglas

para dibujar ya sean los cortes como los aumentos de material, etc. El proceso consiste

en una oblea de silicio de 150 mm de espesor seguido de una capa de nitrato de silicio

depositado por LPCVD de un espesor de 600 nm, usado como aislante electrico.

Se deposita la primera capa de polisilicio con 500 nm de espesor conocida como Poly0,

esta capa es aplicada aplicando LPCVD y fotolitografıa, dando el primer soporte mecani-

co.

38

Capıtulo 3. Diseno y Simulacion 3.1. Diseno de manufactura

El siguiente paso consiste en agregar el primer oxido, es un compuesto de un polisilicato

ceramico mejor conocido como PSG, considerado como capa de sacrificio, puesto que

nada mas da soporte a las siguientes capas de polisilicio; todas las capas conocidas como

oxido se removeran al final del proceso.

Figura 3.1: Primeras fases de manufactura.

La siguiente capa consiste en crear un espacio para realizar los hoyos donde descansara la

primera capa de polisilicio, esta capa es conocida como ANCHOR1, consiste en retirar el

material PSG, de tal manera que haya contacto entre la siguiente capa y el nitrato o Poly0,

el material no elimina en gran escala, sino que en cierto patron con la finalidad de crear el

molde para que ingrese la primera capa de polisilicio.

Figura 3.2: Agregar primer oxido y crear los hoyos para moldear el Poly1.

El siguiente proceso es el de agregar la primera estructura mecanica del sistema con base

de polisilicio, mejor conocida como Poly1, capa de 2μm junto con una capa de 200 nm

para reforzar la capa, se remueve para dar paso a la siguiente capa de oxido.

39


Figura 3.3: Estructura completa sin liberar oxido.

En el proceso que nosotros ocupamos, simplemente se requiere llegar hasta aquı. El

ultimo procedimiento que nos harıa falta es el crear hoyos de liberacion utiles para facilitar

la extraccion de los oxidos y liberar el mecanismo de las capas de sacrificio; a pesar que

se salte pasos posteriores a los previamente mencionados.

Figura 3.4: Estructura liberada del oxido.

40


Una vez que se libera completamente el sistema, se puede decir que el sistema en

nuestro caso ya esta resuelto. Sin embargo se ha hablado solamente de como se agregan las

capas pero no de como se realizan las mascaras ya sea fotoresistencia positiva (cuando la

resina protege el area bajo la mascara) o fotoresistencia negativa (cuando la resina abrasa

el material debajo del area de la mascara), visto desde un punto de vista superior, las

mascaras definen el patron o forma sobre la oblea; mientras que los procesos de las capas

son vistas desde una vista lateral.

Figura 3.5: Mascaras de fotolitografıa.

En la figura anterior se muestran las mascaras correspondientes, el proceso, el color y

el tipo de resina empleada, se puede visualizar mejor las especificaciones en la siguiente

tabla:

Nombre de la mascara Tipo de foto resistencia Color

Poly0 Positivo Rosa

ANCHOR1 Negativo Negro

Poly1 Positivo Rojo

Hole1 Negativo Verde

Cuadro 3.1: Tabla de especificaciones de mascaras.

41


El proceso para garantizar la efectividad de manufacturabilidad del sistema contiene

una serie de reglas de diseno, primero que nada los espesores ha de recordarse que ya

son designados por el proceso, por lo tanto el querer pensar en cambiar los espesores

queda fuera de cuestion, una ventaja es que nos limita un poco las especificaciones de los

parametros para limitar el diseno de las medidas del sistema.

Nombre de la mascara Espesor (μm)Nitrato 0.6

Poly0 0.5

1◦ Oxido 2

Poly1 2

Cuadro 3.2: Espesores por capa.

Otra cosa que hay que tomar en cuenta es que cada proceso tiene medidas mınimas

en cuanto a la resolucion, ya sea de espacio entre objetos como tamanos mınimos de

geometrıa y finalmente el tamano que medirıa una linea trazada en la mascara:

Mascara Tamano de la linea (μm) Geometrıa mınima (μm) Espaciado mınimo (μm)

Poly0 3 2 2

ANCHOR1 3 3 2

Poly1 3 2 2.5

Hole1 4 3 3

Cuadro 3.3: Resolucion por capa, unidades en micras.

Recordando que los valores mınimos solo deben de ser usados en caso realmente nece-

sario, si se puede evitar trabajar en estas medidas y en cambio incrementar el tamano en

la escala estarıa mejor, estas reglas aplican en el diseno de la misma mascara.

Otra regla en cuanto se agregan capas, es la distancia mınima entre mascaras, esto es

debido que el material puede presentar fragilidades o dificultades a la hora de realizar los

pasos de manufactura.

Como unas ultimas reglas a tomar en cuenta es que el area maxima donde ocurre todo

el diseno, el area de trabajo neto es 1cm x 1cm; dejando espacios en las orillas de 100μm

y dejando otro espacio en la esquina inferior izquierda un rectangulo de 550μm x 300μm.

El proceso presenta tambien inconvenientes entre ellos es la efectividad del electrodo

superior debido a los hoyos de liberacion, se pierde area efectiva de polarizacion por lo

42


tanto se pierde el area estimada de capacitancia y pierde fuerza de atraccion. Aparte que

el estudio de las placas que previamente se habıa realizado se vera alterado debido a la

inconsistencias de rigidez [41].

3.1.2. Wafer bonding

El segundo proceso consiste en crecer material de tal manera que tengamos dos es-

tructuras por separado y pegarlos por medio de union anodica. El proceso empieza con

una oblea de silicio de 200mm (8in) 〈100〉 a la cual se le aplica un dopado para que sea

mas conductor y funge de electrodo inferior, se le hace crecer termicamente una capa

de dioxido de silicio termico (tanto para insulacion electrica como termica) de 1600 nm,

se remueve con una mascara en el lugar donde se realicen los orificios para realizar la

separacion de los electrodos del dioxido de silicio de tal manera que se quede despejada

el silicio para evitar insular el material [21].

Figura 3.6: Preparacion de la oblea inferior.

Por otro lado hay muchas maneras de agregar el electrodo superior, una de ellos es

primero crear por separado crecer el polisilicio a un espesor de 2100 nm en otra oblea

con una capa fina de 80 nm de dioxido de silicio como material de sacrificio, recordando

que lo mas seguro al usar polisilicio van a quedar demasiadas imperfecciones debido al

crecimiento del polisilicio, se aplicara procesos de limpieza y pulido de tal manera que se

pueda dejar lo mas liso posible la superficie a adherir[39],[40].

El siguiente paso es alinear y realizar el contacto con las obleas, generalmente se procura

que se unan a traves del contacto de ambas obleas con un medio humedo. Finalmente se

realiza algo que se conoce como recocido, lo cual consiste en calentar a ciertas tempe-

raturas el area de contacto entre 800 a 1200◦C; realizando una mayor adhesion entre las

obleas; este proceso se realiza de dos posibles maneras, la primera consiste en presionar

las obleas en vacıo a grandes presiones; y la segunda consiste en presionar las obleas con

43


Figura 3.7: Union de obleas.

menor presion pero se le aplica una corriente entre las obleas para crear un corto y que

esto cause que se calienten las obleas causando la union.

Para retirar la oblea que se encuentra en la parte superior se abraza el dioxido de silicio

superior el cual habıas estimado que fungıa como material de sacrificio. Se limpia y pule

la superficie donde se encontraba unida la oblea superior con el dioxido de silicio.

Figura 3.8: Extraccion de la oblea superior, producto final.

Este proceso presenta la ventaja que se pueden cambiar muchas variables, ya sea la distan-

cia entre electrodos, el espesor del electrodo superior, el radio del dispositivo, etc. Al

mismo tiempo se presentan otras ventajas. Como se recordara en el proceso de Poly-

MUMPS se realizaban hoyos de liberacion para que saliera el material de sacrificio que

se encontraba entre las capas; para evitar esta perdida de homogeneidad en el material ya

sea en su cuestion mecanica elastica, como el cambio de comportamiento vibratorio, ası

como el cambio en el comportamiento electrostatico; al poder realizar el electrodo superior

sin alteracion alguna se puede tanto realizar los calculos especıficos del electrodo de una

44


manera mas precisa, al mismo tiempo con una membrana con mayor homogeneidad el

metodo se vuelve mas efectivo que el de PolyMUMPS. Bajo este postulado, en diversas

investigaciones previamente realizadas se tiene una mayor fiabilidad de que el metodo es

efectivo a la hora de ser manufacturado y probado; el proceso fue tomado en consideracion

puesto que es especializado para dispositivos CMUTs de alta intensidad [21].

Una desventaja es que tiene un mayor grado de incertidumbre en cuanto al a manu-

factura, puesto que no tiene procedimiento establecidos o limitados, es muy probable que

los resultados deseados no salgan como se planean, por lo tanto para una persona que

no esta muy adentrado en el proceso, puede que sea bastante complicado el metodo o

las suposiciones de manufactura pueden fallar. Existe tambien la posibilidad que hayan

muchas imperfecciones si el diseno es muy pequeno en dimensiones, recordando que el

polisilicio crece como si fueran piedras amontonadas, deja imperfecciones en ambos lados

de las caras, otro factor a tomar en cuenta es que no se metan impurezas tanto en los

espacios como en al area donde se realizara la union por lo tanto es muy importante que

se realice la tarea con las mejores condiciones de limpieza y pureza en el ambiente. Una

ultima inconveniencia del proceso es que puede resultar un poco mas costoso.

Para concluir el apartado del proceso de manufactura que tentativamente se escogera

para construir el sistema, es el de union de obleas; la razon por la cual se busco de primera

mano seleccionar un proceso era para limitar variables de espesores y procurar tener la

certeza que se pueda realizar un dispositivo,porque si un objeto se desempena como uno

desea pero no tiene la capacidad de ser fabricado, el objeto a pesar de su utilidad el hecho

que no pueda ser manufacturado se considera como inutil en el mundo de la ingenierıa.

45

Capıtulo 3. Diseno y Simulacion 3.2. Diseno de la placa vibratoria

3.2. Diseno de la placa vibratoria

3.2.1. Codigo en MATLAB

Se muestra a continuacion el programa empleado para realizar los calculos para imple-

mentar en COMSOL. Otros de los valores se emplearon para poder realizar una compara-

cion entre el modelo ideal (el esperado en MATLAB) y el modelo real (el implementado en

COMSOL). El procedimiento consistio en ingresarle a MATLAB los parametros inciales

de los materiales y las ecuaciones que se obtuvieron en el capıtulo pasado, con esos valores

se procedio a ingresarlos a COMSOL

clc

clear all

close all

% % Constantes

%[kg/m3] Densidad del silicio

densitySi = 2320;%Modulo de Poisson del silicio

rhosi = 0,22;%[F/m] Permitividad en el vacıo

Eo = 8,8541878176e− 12;%[Pa] Modulo de Young del silicio

ESi = 190e9;%[Pa] Modulo de Young del polisilicio

EPoly = 160e9;% % Primeros parametros

%[Pa] Presion requerida por dispositivo

Pr = 300e3;%[Hz] Frecuencia de operacion mecanica

f = 560e3;%[m] Tamano de la membrana

t = 10e− 6;% Modulo de rigidez de la placa con silicio

DSi = (ESi ∗ t3)/(12 ∗ (1− rhosi2));% Modulo de rigidez de la placa con polisilicio

DPoly = (EPoly ∗ t3)/(12 ∗ (1− rhosi2));% Frecuencia normal de la placa

omega = 2 ∗ pi ∗ f ;% Radio de la placa

ra = sqrt((10,22/omega) ∗ sqrt(DPoly/(densitySi ∗ t)));% Deformacion maxima de la placa

46


wpk = (Pr ∗ ra4)/(DPoly ∗ 64);% Deformacion promedio

wavg = wpk/3;% Separacion de los electrodos

go = 2e− 6;% % Propiedades mecanicas

% Volumen de la placa

V = t ∗ pi ∗ ra2;%Area de la placa

A = pi ∗ ra2;% Masa segun la densidad

m = V ∗ densitySi;% Masa segun movimiento oscilatorio

mass = (192/(10,222)) ∗ ((pi ∗ densitySi ∗ t ∗ ra2));% Diametro de la placa

dam = ra ∗ 2;% Coeficiente de elasticidad

kverd = 64 ∗ pi ∗DPoly/ra2;% % Voltaje pull in

% Voltaje de pull in

vo = 0,39 ∗ sqrt((kverd ∗ (go)3)/(Eo ∗ A));% % Valores de capacitancia

% Capacitancia Efectiva sin deformacion

Co = Eo ∗ A/go;% Capacitancia deformada promedio

Cmemavg = Eo ∗ pi ∗ ra2 ∗ atanh(wavg/(sqrt(wavg ∗ go)))/(sqrt(wavg ∗ go));% Capacitancia con deformacion total

Cmem = Eo ∗ pi ∗ ra2 ∗ atanh(wpk/(sqrt(wpk ∗ go)))/(sqrt(wpk ∗ go));% Derivada de la capacitancia

dcdgpk = (Eo ∗ pi ∗ ra2)/(2 ∗ go ∗ wpk ∗ (1− (wpk/go)))− Cmem/(2 ∗ wpk);% Derivada de la capacitancia promedio

dcdgpavg = (Eo∗pi∗ra2)/(2∗go∗wavg∗(1−(3∗wavg/go)))−Cmemavg/(2∗wavg);

% Segunda derivada de la capacitancia

d2cd2pk = −((1/4)∗ (Eo∗pi∗ ra2)/((wpk/go)(3/2)∗go2 ∗ (1− (wpk/go))∗ (sqrt(go∗wpk)))) + ((1/2) ∗ (Eo ∗ pi ∗ ra2)/(sqrt(wpk/go) ∗ go2 ∗ (1− (wpk/go))2 ∗ sqrt(wpk ∗go)))− ((1/2) ∗ (Eo ∗ pi ∗ ra2)/(sqrt(wpk/go) ∗ (go ∗wpk)(3/2) ∗ (1− (wpk/go)))) +((3/4) ∗ (Eo ∗ pi ∗ ra2 ∗ atanh(wpk/(sqrt(wpk ∗ go))) ∗ go2)/(go ∗ wpk)(5/2));% % Amortiguamiento

% Frecuencia angular

wo = 2 ∗ pi ∗ f ;% Coeficiente de amortiguamiento en placa circular

47


ccirc = ((3 ∗ pi)/(2 ∗ ((go)3))) ∗ (17,4e− 6) ∗ ((ra)4);% Radio de amortiguamiento

dampratio = ccirc/(2 ∗ (mass) ∗ wo);%Factor de calidad

Q = 1/(dampratio ∗ 2)% Cambio de frecuencia (3db)

deltaf = f/Q;% Frecuencia de corte 1

f1 = f − (deltaf);% Frecuencia de corte 2

f2 = f + (deltaf); zeta1 = dampratio;zeta2 = dampratio;% Coeficiente matricial de la masa

alphadm = 4 ∗ pi ∗ f1 ∗ f2 ∗ (((zeta1 ∗ f2)− (zeta2 ∗ f1))/(f22 − f12));% Coeficiente matricial de la rigidez

betadm = ((zeta2 ∗ f2)− (zeta1 ∗ f1))/(pi ∗ (f22 − f12));% % Analisis pequena senal

iext = vo/1000;Zmo = complex(0,m ∗ omega) + ccirc+ kverd/complex(0, omega);Zm = (−vo2/(complex(0, 2 ∗ omega))) ∗ d2cd2pk;Y eo = 0;Y e = complex(0, omega ∗ Co);N = −vo ∗ dcdgpk;Zmt = Zm+ Zmo;Y et = Y eo+ Y e;jwx = (iext/N) ∗ ((Y et ∗ Zmt)/(abs(N2) + Zmt ∗ Y et)− 1);

48


Los valores obtenidos con el script fueron los siguientes:

Figura 3.9: Resultados matematicos

Eventualmente los valores obtenidos del script se implementaron con unos de los parame-

tros iniciales de COMSOL.

49

Capıtulo 3. Diseno y Simulacion 3.3. Analisis en COMSOL

3.3. Analisis en COMSOL

El codigo de MATLAB, seimplemento en COMSOL en sus parametros iniciales.

Figura 3.10: Parametros empleados en COMSOL.

A la hora de realizar el analisis existen componentes en los cuales se va a basar la geo-

metrıa, en neuestro caso se selecciono un componente que fuera 2D con un eje de rotacion,

la geometrıa basica del sistema son cilindros, pero se puede simplificar su comportamiento

si lo viesemos como rectangulos rotados, con base igual al radio de la figura y una altura

definida por el espesor de la placa y el espesor del aire.

Figura 3.11: Geometrıa basica del transductor en 2D con eje de rotacion.

50


Se pueden apreciar en la figura 3.11 una lınea punteada en roja, es el eje de rotacion de la

figura. Los rectangulos superiores corresponden a la placa superior; y los rectangulos in-

feriores corresponde a la separacion de la placa, este espacio consiste de material ”vacıo.o

aire. Los materiales brindados a los rectangulos superiores son de Silico policristalino y

los rectangulos inferiores de aire.

Figura 3.12: Seleccion de los materiales.

51


Posteriormente de dar geometrıa y asignar los materiales hay que brindarle al sistema

condiciones. En estas condiciones se limitan el comportamiento del sistema: limitan el

movimiento, establecen elementos estatitcos y elementos dinamicos, factores de amorti-

guamiento, se establecen voltajes directos y frecuencias armonicas, se asignan voltajes de

referencia 0 o tierras; en general, limitan la fısica del proceso.

Figura 3.13: Conndiciones fısicas del sistema.

52


El analisis de elementos finito se basa principalmente en el mallado, el mallado genera

elementos, los cuales generan los elementos limitados.

Figura 3.14: Mallado.

53


Posteriormente se procede a realizar los dos tipos de analisis, el estacionario y el analisis

de frecuencias. El analisis estacionario limita las condiciones de manera estatica, como si

se realizara una sola vez el proceso. Mientras que el analisis de frecuencias genera a una

senal sinusoidal armonicos, este analisis visualizara en donde el circuito realiza una mayor

concetracion de energıa.

Figura 3.15: Seleccion del tipo de analisis.

Finalmente se computa la solucion y el programa devolvera datos, se procede a graficar

los datos deseados.

54


3.3.1. Diseno del CMUT y resultados

La placa vibratoria va a desempenar el trabajo del electrodo superior, el cual va a

desplazarse para realizar la onda ultrasonica. Las especificaciones basicas son: vibracion

resonante del electrodo superior a 560 kHz y presion acustica por dispositivo de 200 kPa.

Para las variables mecanicas ya sean las del modulo de Young, el modulo de Poisson y

la densidad volumetrica; se toma al Polisilicio como el material al cual se le ejerceran las

cargas mecanicas. Finalmente para limitar un poco el analisis asumiremos que el electrodo

superior tendra un ancho de 10μm. El primer valor que se calcula es el del radio requerido

para que cumpla la condicion de frecuencia de resonancia, tomando en cuenta que la

frecuencia de resonancia es dada en rad/s; por lo tanto la ecuacion 2.19 es despejada de tal

manera que obtengamos:

a =

√√√√10,22

ω

√D

ρt(3.1)

Recordando que el 10.22 es un valor obtenido por las tablas anexadas de los modos de

vibracion, D siendo la rigidez flexural, ρ siendo un valor constante en el caso del polisilicio

de 2320kg/m3. Obteniendo un radio aproximado de 267μm.

Los valores iniciales de la placa quedan como:

Sımbolo Propiedad Magnitud Unidad

E Modulo de Young 190 x 10 9 Pa

ν Modulo de Poisson 0.22 -

ρ Densidad del Polisilicio 2320 kg/m3

ap Radio de la placa 268.5 x 10 −6 m

tp Ancho de la placa 10 x 10 −6 m

go Distancia entre electrodos 2 −6 m

Cuadro 3.4: Tabla de especificaciones iniciales del dispositivo.

55


Con la geometrıa basica del electrodo, espesor y radio; y con las propiedades mecanicas

material; se puede determinar los modos de vibracion. Como se puede apreciar en 3.19, el

primer modo de vibracion corresponde a una frecuencia de 5,5943 x 105 Hz. Otros modos

de vibracion y su comportamiento se pueden apreciar en la misma figura.

Figura 3.16: Primeros 6 modos de vibracion de la placa.

56


Una vez que se comprobo que la placa vibra correctamente en la frecuencia deseada y

obtuvimos las dimensiones geometricas, ahora toca deformar el electrodo con un voltaje

de polarizacion; el voltaje de pull-in que se calculo basados en la ecuacion 2.18 es de 270V ; recordando que el voltaje pull-in nos da una deformacion maxima en la cual se puede

realizar la polarizacion de las placas sin que el sistema se averıe. Para realizar el calculo

de pull-in se emplearon ecuaciones 2.16 y 2.18

Figura 3.17: CMUT deformado por cargas.

57


La distancia entre placas se considero empleando la deformacion maxima 2.4 y con-

siderando que la deformacion maxima de la placa no debe de exceder segun 2.18 a una

relacion de 13

entre la distancia de electrodos sin deformar y la deformacion maxima del

sistema.

Se realizo un barrido de voltaje para poder observar el desplazamiento maximo del

electrodo superior con diferentes voltajes de polarizacion para observar el comportamiento

de dicho desplazamiento:

Figura 3.18: Desplazamiento maximo del electrodo conforme al incremento del voltaje.

58


Tambien podemos observar el cambio de presion que recibe el electrodo superior con-

forme se le aplica el analisis de barrido de voltaje:

Figura 3.19: Presion en la placa conforme al incremento del voltaje.

Para poder visualizar si el sistema tiene una mayor respuesta en la frecuencia especıfica

se le aplica un analisis de frecuencias y se debe de observar que tenga un mayor desplaza-

miento en el electrodo en la frecuencia deseada y su comportamiento segun la distribucion

de energıa a traves de las frecuencias.

Una cosa es muy importante en cuanto al comportamiento de barrido de frecuencias, si

se suministra la mayor cantidad de energıa en un rango muy pequeno de frecuencias es

muy seguro que al cambiar apenas un poco la frecuencia la energıa suministrada caiga

de una manera muy drastica. Por otra parte si tenemos un ancho de banda muy amplio

seguramente se obtendra una entrega de energıa pareja en cierto ancho de banda pero

no suministrara la energıa deseada. obtendremos picos largos pero que no suministran

suficiente energıa. Lo ideal serıa un termino intermedio, que brinde energıa por un ancho

de banda lo suficiente para poder operar y probar diferentes frecuencias pero que llegue

a suministrar suficiente energıa. Los factores que llegan a variar el ancho de banda y la

magnitud de la resonancia son por lo general los factores mecanicos: amortiguamiento,

masa y elasticidad de la membrana.

Para determinar la masa y la elasticidad son propiedades del electrodo que se pueden

calcular facilmente, para la constante de elasticidad se utiliza 2.16 y para la masa 2.22.

En cuanto al factor de amortiguamiento se deben de aplicar un mayor numero de ecua-

ciones, para empezar se debe de conocer el factor de calidad, el cual se encuentra con

2.27, para aplicar el factor de calidad hay que encontrar el coeficiente de amortiguamiento

59


la cual se haya con 2.23; una vez hallado el factor de calidad, se busca el cambio de

frecuencia o ancho de banda con 2.28. Las frecuencias de corte f1 y f2 salen en base a

la frecuencia central y el cambio de frecuencia, en el caso de f1 se suman la frecuencia

con el cambio de frecuencia; mientras que en f1 se restan la frecuencia con el cambio de

frecuencia. Se aplican f1 y f2 en 2.25 y en 2.26.

Hay que recordar que el sistema debe de contar con un factor de calidad mayor a 0.5,

puesto que valores menores a 0.5 el sistema entra en un movimiento armonico sobre

amortiguado y el sistema no va a entrar en resonancia.

Los valores en cuestion de respuesta en frecuencia obtenidos fueron:

Sımbolo Propiedad Magnitud Unidad

m Masa 9.5635 x 10 −9 kg

k Constante de elasticidad 1.184 x 10 5 -

ωo Frecuencia angular 3.5186 x 10 6 rad/s

b Coeficiente de amortiguamiento 0.7760 -

Q Factor de calidad 0.6444 -

Δf Cambio de frecuencia 8.69 x 10 5 Hz

f1 Frecuencia de corte 1 0 Hz

f2 Frecuencia de corte 2 1.43 x 10 6 Hz

αdM Parametro de amortiguamiento de la masa 0 -

βdK Parametro de amortiguamiento de la rigidez 1.7284 x 10 −7 -

Cuadro 3.5: Tabla de valores de movimiento armonico oscilatorio.

Aplicando estos valores se puede realizar un analisis de respuesta en frecuencias, el cual

consiste en aplicar una senal sinusoidal al sistema en conjunto con otras senales llamadas

armonicos. Cuando se le aplican diversos armonicos se busca que el sistema entregue

una mayor cantidad de energıa, esta se puede ver en cuanto a la presion que suministra

el sistema con respecto a las frecuencias o al desplazamiento maximo de la placa. El

analisis de desplazamiento se tomo en cuenta en el punto donde se pueda realizar un

mayor desplazamiento de la placa, el centro.

60


Figura 3.20: Grafica de analisis de desplazamiento con respecto a la frecuencia.

Por otro lado en la siguiente figura se muestran los cambios de presion con respecto al

analisis de respuesta en frecuencia.

Figura 3.21: Grafica de analisis de presion con respecto a la frecuencia.

61

Capıtulo 4

Conclusiones y recomendaciones parafuturos trabajos

4.1. Conclusiones

El estudio de MEMS ha brindado nuevos avances en el mundo de los sensores y ac-

tuadores: giroscopios, sensores de presion, microfonos, sensores de proximidad, etc; con

nuevas aplicaciones como el mundo de ultra bajo consumo, son aplicaciones en el cual

es dispositivo es un sensor y un actuador que no requiere de baterıas. O simplemente

las mejores a sistemas convencionales como las el de los microfonos, volviendolos mas

sensibles, robustos y precisos.

Estas nuevas investigaciones dan pie a un nuevos campos de investigacion en el mundo

de la medicina. El texto desarrollado muestra una de las aplicaciones, pero se pueden

desarrollar en el sector medico numerosas aplicaciones, sensores de bajo consumo para

enfermedades especıficas, nuevos metodos de cirugıas, metodos de diagnosticos con me-

nor invasion.

El interes por ahondar en esta tesis fue por desarrollar un dispositivo no invasivo que

utilizase ultrasonido para realizar una ablacion termica (a 40◦C), que fuese economico y

que presentase algun avance sobre los sistemas ya existentes. Los avances que se presentan

es la capacidad de crear sistemas con mayor facilidad que con los piezoelectricos conven-

cionales, al mismo tiempo serıa mas economico fabricar tanto en escala mayor como en

prototipos. El sistema tambien presenta una mayor facilidad de su diseno, empezando por

la versatilidad y simplicidad que ofrece el material, que en este caso es el silicio, en contra

posicion de la complejidad de los piezoelectricos. Tambien se comprobo la mejora en los

ancho de bandas que se puede manejar el sistema, pudiendo regular la senal de salida de

dicho sistema para realizar la tarea en diferentes area del cuerpo o simplemente probar en

diferentes rangos para diferentes aplicaciones o revisar la eficacia en ciertas frecuencias.

62

Capıtulo 4. Conclusiones y recomendaciones para futuros trabajos 4.2. Trabajo a futuro

4.1.1. Discusion de resultados

El sistema que se desarrollo se estima que trabajarıa en los parametros deseados para

ejercer la energıa requerida en un punto cercano para realizar una ablacion, primero se

establecio que un arreglo de al menos 10 componentes en lınea podrıan realizar dicha

tarea, para eso se dividio la tarea simplemente en analizar un solo elemento.

La frecuencia de resonancia se dio en frecuencias mayores a 560 khz, y su amplitud

de presion maxima positiva es cercano a los 300 kPa; por lo tanto dio una presion aun

mayor al especulado, se creıa que con 10 dispositivos se llegase a la presion necesaria

para cumplir las expectativas, pero con esta presion suministrada se pueden alcanzar con

7. Las frecuencias en las cuales se pueden operar sin perder demasiada energıa esta entre

400 KHz y 800 kHz, en estas frecuencias si se necesitarıan 10 sistemas para estar dentro

de los rangos aceptables. Si se desea ampliar la potencia suministrada en otros puntos se

requerira un mayor numero de elementos. En los escalpelos se realizan arreglos hasta de

1024 elementos pero con disenos de geometricos del arreglo mas avanzados[8].

Los resultados obtenidos son cercanos a los valores deseados, sin embargo se presenta que

los calculos pueden mejorar su precision. Se comprobo la facilidad con la cual uno puede

manipular las variables de la geometrıa para obtener valores en resonancia especıficas.

Pero hay que revisar si hay otros efectos que lleguen a afectar al sistema que mermen la

potencia suministrada o que causen el desfasamiento en la resonancia.

4.2. Trabajo a futuro

Una perspectiva a este trabajo a futuro es seguir desarrollando el modelo del CMUT

para que sea mas preciso, con mayor potencia y eficiente. Como se observo los voltajes

empleados en el sistema aun fueron un poco altos, aparte que el analisis fue muy basico

y se resolvio con una precision un poco distante de los valores deseados, en un futuro se

puede volver a replantear las mismas ecuaciones pero emplear metodos matematicos con

una mayor complejidad que brinden datos mas precisos.

Aparte se planea trabajar con el sistema de control del arreglo, en esta investigacion no

se trabajo en el proceso del arreglo en fase, manipulacion de la energıa ni desarrollo de

geometrıas especıficas del arreglo. Esta investigacion podrıa ser el paradigma fundamental

de una siguiente propuesta de trabajo.

Tambien se puede desarrollar nuevos disenos para el CMUT, tanto en el proceso de ma-

nufactura, como en las formas que pueden llevar tanto el electrodo movible o la forma

de acomodar el arreglo, no solo visto de una manera lineal sino con formas circulares e

incluso conicas.

63

Apendice A

Fuerza electroestatica

La fuerza electroestatica se considera de la igualdad de potencias que el sistema pueda

ofrecer a todo el sistema. La definicion de potencia instantanea electrica es de [33]:

pe(t) = v(t)i(t) (A.1)

Siendo v(t) el voltaje en el tiempo e i(t) la corriente en el tiempo. La potencia instantanea

mecanica se considera como:

pm(t) = f e(t)g (A.2)

El parametro f e(t) es la fuerza mecanica en el tiempo y g como la velocidad de desplza-

miento; tomando en cuenta que este puede ser lo mismo que ∂g∂t

. Para calcular la capa-

citancia variable del sistema se va a asumir que sea lineal, ası que estableceremos una

relacion lineal de la capacitancia y el movimiento del transductor; tomando en cuenta que

el desplazamiento cambia con respecto al tiempo, o lo que es los mismo C[g(t)]. Sabemos

que la corriente en un capacitor es:

i(t) =∂q

∂t(A.3)

Conociendo q como la carga del capacitor, entonces primero debemos conocer la carga en

el dispositivo:

q(t) = C[g(t)]v(t) (A.4)

Aplicando A.3 con A.4 obtenemos:

i(t) = C(g)∂v

∂t+

∂C

∂gv∂g

∂t(A.5)

Ahora sustituimos A.6 en A.1:

i(t) = C(g)∂v

∂tv +

∂C

∂gv2

∂g

∂t(A.6)

64

Apendice A. Fuerza electroestatica

El cual puede ser manipulado para obtener

i(t) =∂

∂t[C(g)v2

2] +

1

2

∂C

∂gv2

∂g

∂t(A.7)

Podemos observar un par de cosas, primero la intencion de decir que pe(t) = pm(t) es

falsa, puesto que no toda la energıa que se suministra en el dominio electrico pasa al

dominio mecanico, sino que una parte, la parte de la derecha de la ecuacion A.7 es energıa

del acoplamiento almacenada; si nos damos cuenta es la misma ecuacion de energıa

potencial almacenada en un capacitor. El lado izquierdo de la ecuacion es la potencia

mecanica, si observamos, por lo tanto la fuerza del transductor, a grandes razgos, es:

fe =v2

2

∂C

∂g(A.8)

65

Apendice B

Modos de vibracion

Los valores de λ2 son dados por la siguiente tabla:

Figura B.1: Valores de λ2 para ω = λ2

a2

√Dρt

.

Los valores de n que puede tomar van desde 0 a ∞

66

Apendice C

Propiedades acusticas de tejidos

Figura C.1: Propiedades acusticas de los tejidos[1].

67

Apendice C. Propiedades acusticas de tejidos

Figura C.2: Propiedades de atenuacion de los tejidos[1].

68

Apendice D

Teorıa Two port network o Cuadripolo

Principalmente se emplea para analizar modelos de sistemas lineales; siempre y cuando

las frecuencias de operacion sean bajas. Es un sistema, generalmente un circuito electrico;

en el cual se tienen un par de terminales de entrada, un par de terminales de salida y una

caja negra.

Figura D.1: Circuito Two port

En si el sistema puede analizar diversas magnitudes, por ejemplo se pueden conocer

corrientes conociendo impedancias y voltajes; dependiendo del tipo de arreglo de la matriz

se pueden calcular valores diferentes.

Matriz de impedancias

Es el modelo mas sencillo de calcular, puesto que se basa en la ley de Ohm, donde

estima que V = IR, en el caso de impedancias V = IZ

(V1

V2

)=

[Z11 Z12

Z21 Z22

](I1I2

)(D.1)

Donde

69

Apendice D. Teorıa Two port network o Cuadripolo

Z11 =V1

I1|I2=0 Z12 =

V1

I2|I1=0 Z21 =

V2

I1|I2=0 Z22 =

V2

I2|I1=0 (D.2)

Para resolver:

V1 = Z11I1 + Z12I2V2 = Z21I1 + Z22I2

(D.3)

Sin embargo, no es practico pensar que se puede conocer resultados de salida en una red.

Matriz de admitancias

Algunas convenciones emplean este metodo debido a que es mas sencillo emplear

flujos, corrientes o velocidades en el dispositivo, para tal caso se ocupa este tipo de matriz.

(I1I2

)=

[y11 y12y21 y22

](V1

V2

)(D.4)

Donde

y11 =I1V1

|V2=0 y12 =I1V2

|V1=0 y21 =I2V1

|V2=0 y22 =I2V2

|V1=0 (D.5)

Matriz de transmision

En las matrices de impedancias y admitancias por lo general son sencillas de entender,

pero no sirven para analisis de sistemas lineales. Para esa clase de analisis donde se tienen

varios redes conectadas en cascada se emplea las matrices de transmision. Es mas sencillo

conocer los valores de entrada, tanto del voltaje suministrado como de su corriente que

pasa a traves del sistema; para eventualmente conocer los valores de voltaje de salida o

corriente de salida. (V1

I1

)=

[A BC D

](V2

−I2

)(D.6)

Donde

A =V1

V2

|I2=0 B =V1

−I2|V2=0 C =

I1V2

|I2=0 D =I1−I2

|V2=0 (D.7)

70


Cuando hablamos de una cascada de redes, para poder resolverlas simplemente se realiza

una multiplicacion de matrices entre matrices de transmision, para poder ver esto mejor,

podemos disponer de dos redes, una con valores ABCD en la transmision, su puerto de

entrada V1, I1, en los puertos de salida V2 e I2; mientras que la segunda red cuenta con

valores abcd, en la transmision, su puerto de entrada V3, I3, en los puertos de salida V4 e

I4. (V1

I1

)=

[A BC D

](V2

−I2

)y

(V3

I3

)=

[a bc d

](V4

−I4

)(D.8)

Como se puede deducir, los valores de la salida de la primera red esta relacionado con los

valores de entrada de la segunda red, por lo tanto V2 = V3 y I2 = I3, entonces se procede

a realizar la multiplicacion de matrices y obtenemos como resultado:

(V1

I1

)=

[A BC D

] [a bc d

](V4

−I4

)=

[aA+ cB bA+ dBaC + cD dD + bC

](V4

−I4

)(D.9)

Se puede obtener resultados simplemente introduciendo los valores como cascadas de

redes.

Redes en serie y paralelo

Agregar un elemento; capacitares, inductores o resistencias se resume en impedancias

o en admitancias, si se conecta en serie, se toma como una red en serie, basado en su

impedancia; en cambio si se conecta en paralelo, se toma como una red en paralelo, basado

en su admitancia; recordando que la impedancia es Z = VI

y la admitancia Y = IV

Figura D.2: Circuitos en serie y paralelo.

Las matrices de transmision son: En el caso de redes en serie

t =

[1 Zs

0 1

](D.10)

71


En el caso de redes en paralelo

t =

[1 0Y s 1

](D.11)

Matriz del transformador

Puesto que se desea emplear un acoplamiento entre la parte mecanica y electrostatica,

se tiene en el puerto de entrada valores de voltaje y corriente, contra una fuerza y una ve-

locidad en el puerto de salida. El transformador es un dispositivo pasivo que no almacena

energıa y no presenta perdidas; se considera como una matriz de transmision.

(V1

I1

)=

[N 00 1/N ′

](V2

−I2

)(D.12)

Donde

N =V1

V2

|cualquier I 1

N ′ =I1−I2

|cualquier V (D.13)

Si el sistema es lineal y N es puramente real, se puede asumir que N y N ′ son equivalentes.

Redes embebidas

Para poder realizar el analisis mas sencillo se crean redes que incluyan modelos previa-

mente estudiados, que sean sencillos.

Figura D.3: Circuito resumido en una red

El conjunto consiste en una red en serie, cascada con un transformador, cascada con una

red en paralelo; y su matriz es la siguiente:

72


(Va

Ia

)=

[1 Za

0 1

] [N 00 1/N ′

] [1 0Yb 1

](Vb

−Ib

)=

1

N ′

[|N2|+ ZaYb Za

Yb 1

](Vb

−Ib

)(D.14)

73

Apendice E

Modelo acustico

Se estudio el sonido para poder comprender el funcionamiento de las ondas, sin em-

bargo el analisis sonico no fue realizado para este proyecto, las razonas son debidos a las

limitaciones de tiempo. El repaso de este tema tuvo la finalidad de conocer como funciona

el sonido, cual es su comportamiento en conjunto con otras ondas y conocer al menos la

condicion ideal para aplicar la potencia requerida para poder realizar ablaciones termicas

en un tejido.

El sonido es definido como un disturbio propagado por medio de un material elastico,

causando una alteracion en la presion y densidad de las partıculas, ocasionando un despla-

zamiento u oscilacion de las partıculas del material. Por lo general en acustica el material

es aire, pero en cuestion de transductores, tambien se puede considerar usar agua. En

general se puede propagar el sonido en cualquier material elastico, lo que hace ese efecto

son las compresiones de partıculas, por lo tanto en vacıo no existira sonido.

El comportamiento del sonido es similar al de la luz, para su estudio se divide en

figuras geometricas, dependiendo de la razon de estudio, por ejemplo se puede estudiar

su propagacion en forma esferica, conica, cilındrica o simple longitudinal. Para poder

analizar el comportamiento basico del sonido se utilizara el estudio simple longitudinal.

El ejemplo mas sencillo para entender como se propaga el sonido es el de un cilindro

con un embolo; cuando el embolo se desplaza, desplaza las moleculas de aire de su

interior, sin embargo las moleculas no se desplazan instantaneamente, sino que requiere

cierta velocidad para propagarse la onda de compresion; esta velocidad es conocida como

velocidad de propagacion del sonido y es definida por:

ν =

√β

ρ(E.1)

Siendo β el modulo volumetrico del material en Pa y ρ siendo la densidad del material de

74

Apendice E. Modelo acustico

propagacion en kg/m3, en nuestro caso es aire, por lo tanto su velocidad de propagacion

a 0◦C = 331m/s y a temperatura ambiente o 20◦C = 343m/s.

Pero el sonido conocemos que es un movimiento oscilatorio, por lo tanto, el embolo de

nuestro piston se movera en ambas direcciones de su posicion original. No solo existira

una fase de compresion, sino que tambien se jala el embolo y ocasionara un decremento

de presion, a esta fase se le conoce como enrarecimiento; la cual tambien tiene la misma

velocidad de propagacion, y esta va detras de la fase anterior en la misma direccion.

Figura E.1: Funcionamiento de una onda sonora propagada.

La ecuacion de onda unidimensional con respecto a la posicion de equilibrio es:

s(x, t) = smax cos (kx− ωt) (E.2)

Donde smax es el desplazamiento maximo de la partıcula o amplitud maxima de despla-

zamiento de onda.

Basandonos en E.2 podemos sacar la ecuacion de onda del sonido:

ΔP = ΔPmax sin (kx− ωt) (E.3)

Siendo ΔP el cambio de presion generado por el aire, k el numero de onda, x a la posicion

desde el punto de generacion de la onda, ω definida como la frecuencia angular y t el

tiempo desde que se emitio la onda. ΔPmax es definida como:

ΔPmax = ρνωsmax (E.4)

Recordando que la frecuencia angular es:

75

Apendice E. Modelo acustico

ω = 2πf (E.5)

Siendo f la frecuencia.

El numero de onda es definido como:

k =2π

λ(E.6)

Y λ o la longitud de onda como:

λ =ν

f(E.7)

La propagacion del sonido se puede ver como una masa con dos resortes que oscila

en ambos lados, los resortes son la propiedad elastica del material y la masa, la masa

de las moleculas[1]. Y como objeto similar al desplazamiento de una onda a traves de

Figura E.2: Modelo de propagacion (Imagen por John Wiley Sons, Inc.)

una cuerda, el sistema puede almacenar energıa cinetica y potencial; la energıa cinetica,

resultante de la velocidad de las moleculas; y la energıa potencial almacenada por las

fuerzas intermoleculares. La energıa que es irradiada por la onda es estimada por:

Eλ =1

2(ρA)ω2s2maxλ (E.8)

Siendo A el area efectiva del emisor del sonido. Por ejemplo el area de nuestro emisor es

el embolo.

76

Apendice E. Modelo acustico E.1. Sobreposicion e interferencia

Otro parametro asociado con las ondas sonoras es la intensidad. Es definido como la

cantidad de energıa fluyendo en una unidad de area unitaria por tiempo

I =E

At=

1

2ρω2s2max

λ

t=

1

2ρω2s2maxν (E.9)

Sus unidades son [W/m2]. Un concepto que se aplica mucho es el nivel sonoro:

β = 10 log(I

Io) (E.10)

El cual se basa en la intensidad de referencia, considerada como el umbral de audicion

(Io = 1,00 ∗ 10−12W/m2), debido a que esta es una unidad sin unidades, se mide en

decibeles [dB].

E.1. Sobreposicion e interferencia

Algo que hay que tomar en cuenta es que el dispositivo CMUT no trabaja con un solo

elemento, sino con multiples sistemas que se conectan en un arreglo, por lo tanto se debe

considerar que la onda generada no va a corresponder a la unidad del sistema, sino a

la potencia del arreglo en conjunto. Para realizar un analisis de ondas sobrepuestas de

tipo progresivo, se emplea el principio de superposicion; la cual dicta que si dos o mas

ondas progresivas se mueven a traves de un medio, el valor resultante de la onda es la

suma algebraica de los valores de las funciones de las ondas individuales. Por lo tanto, se

debe de calcular el valor de onda de un solo dispositivo para poder comprender el valor

que genera todo el sistema en conjunto. Primero que nada hay que comprender que la

interferencia no destruye o altera una onda, simplemente en el punto o instante de estudio

es la suma de sus valores de onda; pasado este punto de interes observamos que la onda

sigue con su mismo comportamiento.

Existen dos tipos de interferencias; la constructiva, donde la amplitud de esta es incremen-

tada; por otro lado tenemos la interferencia destructiva, donde la amplitud de ambas es

disminuida en el punto de estudio, incluso si en el punto esta con la misma amplitud pero

con magnitud contraria, se puede obtener una amplitud igual a cero. Para justificar ma-

tematicamente el comportamiento sumaremos dos ondas, y1 y y2; de las cuales partiremos

que y1 es una onda, seguida por y2 en la misma direccion, pero su onda esta desfasada,

ambas tienen la misma frecuencia, amplitud y longitud de onda; por lo tanto:

y1 = A sin(kx− ωt) y2 = A sin(kx− ωt+ φ) (E.11)

77

Apendice E. Modelo acustico E.1. Sobreposicion e interferencia

Aplicando el teorema de superposicion:

y = y1+y2 = A sin(kx−ωt)+A sin(kx−ωt+φ) = A[sin(kx−ωt)+sin(kx−ωt+φ)](E.12)

Para simplificar se aplica la siguiente identidad trigonometrica

sin(x) + sin(y) = 2 sin(x+ y

2) cos(

x− y

2) (E.13)

Aplicando E.13 con E.12 obtenemos

y = 2A sin(kx− ωt+φ

2) cos(

φ

2) (E.14)

En la siguiente imagen podemos observar esta ecuacion aplicada con desfases de 0◦, 180◦

y 45◦

Figura E.3: Comportamiento de superposicion de ondas.

78

Apendice E. Modelo acustico E.2. Atenuacion acustica

E.2. Atenuacion acustica

Por experimentacion, se ha aprendido que la amplitud de nuestra onda tiende a atenuarse

de manera exponencial cuando se propaga la onda a traves de un cuerpo homogeneo, a

mayor distancia de nuestro punto de emision la recepcion de la amplitud de la intensidad

sera mas baja. El medio tiende a absorber la energıa emitida. Para poder explicar la

atenuacion del sonido, se tomaron pruebas experimentales, con una frecuencia fija, lo que

se ha podido aproximar en primera instancia es:

P (x) = Poe−αx (E.15)

Donde Px es considerado como la amplitud del sonido a una distancia, Po como la ampli-

tud original ambas en Pa, α como el coeficiente de atenuacion del material db/cm3, para

mayor informacion observar apendice c y x la distancia desde el punto de emision en cm.

E.3. Campo acustico

De todo lo que se ha mencionado con anterioridad se basaba en como se propaga

el sonido a traves del medio, sin embargo no se ha analizado del origen de esta, de

su geometrıa o su forma de propagacion inicial. Otro factor que no se ha tomado en

cuenta es que en realidad el sonido tiene finitas dimensiones de alcance y que no viaja

completamente como una onda planar. Primero que nada se asume que el transductor es el

punto de origen, el cual emite ondas de forma esferica. Segundo el transductor o fuente de

sonido es un disco, el cual se desea conocer su intensidad en cualquier lugar del espacio

esferico enfrente de la cara de emision.

E.3.1. Campo cercano y campo lejano

El campo acustico tiene rangos, sabemos que el sonido se empieza a disipar en el

medio y decae de manera exponencial pero este comportamiento ocurre generalmente

en el campo lejano. Segun la ecuacion extraıda de [1] nos da la ecuacion del punto de

donde la intensidad normalizada de la intensidad con respecto de la distancia de origen

relacionado con la longitud de onda de la onda es un maximo, esta distancia es dada por:

ZNF =4a2 − λ2

4λ(E.16)

En donde a es el radio del transductor, y λ es la longitud de onda.

Para explicar, ZNF implica una distancia donde se espera que la intensidad sea su maximo,

79

Apendice E. Modelo acustico E.4. Arreglo en fase

antes de ese punto es considerado campo cercano, el cual tiene como complejidad que los

cambios de intensidad en estas distancias son demasiado rapidas y no se puede obtener

senales limpias o deseadas.

Pasado este punto es conocido como campo lejano, el cual se comporta de manera cono-

cida: el medio absorbe el sonido de manera exponencial, disminuyendo su intensidad de

una manera ”simple.o esperada.

E.4. Arreglo en fase

Algo que se debe de tomar en cuenta es que el sistema en sı se comporta como diferentes

bocinas, estas generan la misma onda pero debido a la diferencia de distancias, la onda

tiende a desfasarse en el punto requerido, por lo tanto se debe de estudiar una forma de

corregir dicho desfase.

El sistema requiere dos cosas: focalizar y dirigirse, la forma para efectuarlo se conoce

como arreglos en fase. La tecnologıa consiste en desfasar ligeramente el tiempo de disparo

de la senal acustica, este desfasamiento generara interferencias constructivas, en el punto

focal se espera que ese desfasamiento que se tiene debido a las distancias pueda ser

compensado.

Para poder dar una pequena introduccion se tomara como si tuviesemos un arreglo lineal,

el cual simplemente deseamos dirigir el angulo y enfocar. Un arreglo lineal consiste en

un eje disponer de transductores, de tal manera que esten acomodados con la misma

distancia entre elementos. Este arreglo se puede visualizar en 2D para poder simplificar el

funcionamiento de dicha tecnologıa.

Figura E.4: Arreglo lineal.

Para empezar lo que queremos es calcular el tiempo que debe de retardarse para poder

obtener un angulo de direccion:

Δtn =nd

csin θ to (E.17)

80

Apendice E. Modelo acustico E.4. Arreglo en fase

Donde d es la distancia entre elementos de centro a centro, c es la velocidad de propagacion

a traves del medio, to es un tiempo de retardo constante para evitar tiempos de retardos

negativos en ciertas partes del sistema, la cual puede ser arbitrario. Finalmente n es el

elemento actual que se desea calcular, donde n = 0,±1,±2...; siendo n el elemento que

se desea calcular, donde n = 0 es el elemento que se encuentra en el centro del sistema.

El sonido ahora tendra una direccion sin embargo no esta enfocado. El sistema tiene un

rango determinado de alcance donde devuelve hasta un 80 % la energıa, el rango maximo

que puede llegar el rango con mayor disipacion de energıa es calculado por

ZTr =D2

4λo

(E.18)

Donde λo es la longitud de onda correspondiente de la frecuencia central del pulso acustico

emitido.

Entonces la ecuacion que describe el punto focal y desviacion de angulo es:

Δtn =F

C(1− [1 + (

nd

F)2 − 2nd

Fsin θ]1/2) + to (E.19)

Donde F es el rango entre el campo cercano de radiacion (near field) y ZTr tomando el

centro como la mitad del arreglo.

Sin embargo esta ecuacion es solo valida si el numero de elementos en el sistema es impar,

aparte que el tiempo to es muy arbitrario, por lo tanto se aplica una formula que corrige

este error de la imparidad y al mismo tiempo conocer el tiempo de retraso to [42]

tn =F

c

{[1 + (

Nd

F)2 +

2Nd

Fsin θ]1/2 − [1 + (

(n− N)d

F)2 − 2(n− N)d

Fsin θ]1/2

}(E.20)

Donde N es el numero de elementos, N = (N − 1)/2 y n = 0, ..., N − 1.

Con esto se puede suponer en condiciones ideales (tomando en cuenta que el arreglo se

encuentra en fase) que la energıa que se requerira suministrar en el punto focal es la suma

algebraica de las presiones de cada uno de sus elementos.

81

Bibliografıa

[1] H. Azhari, Basics of Biomedical Ultrasound for Engineers. John Wiley & Sons, Inc.,

2010.

[2] H. F. P. J. Gasco J, Mohanty A, Sabiston Textbook of Surgery, ch. Neurosurgey,

p. Chap 68. Elsevier Saunders, 2012.

[3] M. C. Staff, “General anesthesia risks,” Nov 2015.

[4] G. ABJ, Critical Care Medicine: Principles of Diagnosis and Management in theAdult, ch. Hypovolemic shock, p. Chap. 26. Elsevier Saunders, 2014.

[5] S. AI, Goldman’s Cecil Medicine, ch. Thrombotic disorders: hypercoagulable states,

p. Chap 179. Elsevier Saunders, 2011.

[6] C. P.-A. Dindo D, Demartines N, “Classification of surgical complications: A new

proposal with evaluation in a cohort of 6336 patients and results of a survey,” Annalsof Surgery, 2004.

[7] K. T. M. L. Coenen, Volker, “Three-dimensional visualization of the pyramidal

tract in a neuronavigation system during brain tumor surgery: First experiences and

technical note,” Congress of Neurological Surgeons, 2001.

[8] Y.-F. Zhou, “High intensity focused ultrasound in clinical tumor ablation,” WorldJournal of Oncology, 2011.

[9] G. S.-B. R. J. G. H. R. R. F. P. S. P Wust, B Hildebrandt, “Hyperthermia in combined

treatment of cancer,” The Lancet Oncology, 2002.

[10] D. W. Sapareto SA, “Thermal dose determination in cancer therapy.,” Int J RadiatOncol Biol Phys., 1984.

[11] P. S. Y. Gerard C. van Rhoon, Theodoros Samaras, “Cem43c thermal dose thresholds:

a potential guide for magnetic resonance radiofrequency exposure levels,” EurRadiol, 2013.

82

Bibliografıa Bibliografıa

[12] S. D. Michael J. Stone, Victor Frenkel, “Pulsed-high intensity focused ultrasound

enhanced tpa mediated thrombolysis in a novel in vivo clot model, a pilot study,”

National Institute of Health, 2008.

[13] W. C. D. Stephen A. Sapareto, “Thermal dose determination in cancer therapy,”

Radiation Oncology, 1984.

[14] W. F, “High intensity focused ultrasound ablation and antitumor immune response.,”

J Acoust Soc Am., 2013.

[15] M. L. N. Vesna Zderic, Amid Keshavarzi, “Hemorrhage control in arteries using

high-intensity focused ultrasound: A survival study,” Ultrasonics, volume 44, 2006.

Thermal necrosis.

[16] K. Nakamura, Ultrasonic Transducers. Woodhead Publishing, 2012.

[17] O. O. Butrus T Khuri-Yakub, “Capacitive micromachined ultrasonic transducers for

medical imaging and therapy,” JOURNAL OF MICROMECHANICS AND MICRO-ENGINEERING, 2011.

[18] B. T. K.-Y. Ira O. Wygant, Mario Kupnik, “Analytically calculating membrane

displacement and the equivalent circuit model of a circular cmut cell,” in IEEEInternational Ultrasonic Symposium, 2008.

[19] B. T. K.-Y. Ira O. Wygant, Mario Kupnik, “Cmut design equations for optimizing

noise figure and source pressure,” National Semiconductor, 2008.

[20] M. H. M. Najar, “Design and analysis of capacitive micromachined ultrasound

transducer,” Master’s thesis, The University of British Columbia, 2008.

[21] H. K. F. Yalcin Yamaner, H. Kagan Oguz, “High-power cmuts: Design and

experimental verification,” IEEE Transactions on UltrasonIcs, FerroelectrIcs, andFreqency control, 2012.

[22] K. Ventsel, Thin Plates and Shells Theory, Analysis and Applications. Marcel

Dekker, Inc, 2001.

[23] S. W. S. Timoshenko, Theory of Plates and Shells. McGraw-Hill, 1959.

[24] D. J. Griffiths, Introduction to electrodynamics. Pearson Education Inc, 1989.

[25] V. Kaajakari, MEMS Tutorial: Pull-in voltage in electrostatic microactuators.

[26] B. A. Ahrens O, “Fabrication of gap-optimized cmut.,” IEEE Trans UltrasonFerroelectr Freq Contro, 2002.

[27] A. W. Leissa, “Vibration of plates,” tech. rep., Nacional Aeronautics and Space

Administration, 1969.

83

Bibliografıa Bibliografıa

[28] J. Raymond A. Serway, John W. Jewett, Fısica para ciencias e ingenierıa Vol.1.

CENGAGE Learning, 2008.

[29] M.-H. Bao, Micro Mechanical Transducers: Pressure Sensors, Accelerometers andGyroscopes. Elsevier, 2000.

[30] F. A. Alipour, “Study rayleigh damping in structures; uncertanties and treatments,”

The 14th World Conference on Earthquake Engineering October 12-17, 2008,Beijing, China, 2008.

[31] M. P. Monica Carfagni, Edoardo Lenzi, “The loss factor as a measure of mechanical

damping,” Dipartimento di Meccanica e Tecnologie lndustriali Universita di Firenze,

1994.

[32] S. D. Senturia, Microsystem Design. Kluwer Academic Publishers, 2002.

[33] N. G. N. Thomas B Jones, Electromechanics and MEMS. Cambridge University

Press, 2013.

[34] R. L. Boylestad, Introduccion al analisis de circuitos. Pearson Educacion de Mexico,

S.A. de C.V., 2011.

[35] T. J. M. Leo L. Beranek, Acoustics Sound Fields and Transducers. Academic Press,

2012.

[36] J. Voldman, “Design and fabrication of microelectromechanical devices.” Lecture

Slides, 2007.

[37] H. A. C. Tilmans, “Equivalent circuit representation of electromechanical transdu-

cers: Lumped-parameter systems,” IOPscience, 1996.

[38] G. Etcheverry, CMUTs for Surface Metrology and Imaging. PhD thesis, University

of Warwick, 2001.

[39] J. N. . . Xiaoqing Wang, Yude Yu, “Fabrication and characterization of capacitive

micromachined ultrasonic transducers with low-temperature wafer direct bonding,”

Micromachines 2016, 2016.

[40] E. H. P. T. K.-Y. Yongli Huang, Sanli Ergun, “Fabricating capacitive micromachined

ultrasonic transducers with wafer-bonding technology,” Journal of Microelectrome-chanical Systems, 2003.

[41] R. M. Allen Cowen, Busbee Hardy and S. Wilcenski, PolyMUMPs Design Hand-book. MEMSCAP Inc.

[42] S.-C. W. L. Azar, Y. Shi, “Beam focusing behavior of linear phased arrays,” ElsevierScience, 2000.

84

modelo y diseno de transductores cmut para˜...

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