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LEONARDO AUGUSTO SOARES FERREIRA
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo
Valor em Risco
TRABALHO DE FORMATURA
Orientadora: Prof.(a) Dra CELMA DE OLIVEIRA RIBEIRO
SÃO PAULO 2003
FICHA CATALOGRÁFICA__
Ferreira, Leonardo Augusto Soares
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR. São Paulo, 2003. 84 p.
Trabalho de Formatura – Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo. Departamento de Engenharia de Produção.
1. Pesquisa operacional 2. Finanças I. Universidade de
São Paulo. Escola Politécnica. Departamento de Engenharia de Produção II.t
AGRADECIMENTOS
À minha família e à Raquel pela companhia, conselhos e motivação.
À professora Dra Celma O. Ribeiro, pela orientação singular durante todo ano, pela
paciência frente às minhas dificuldades, e pelos conhecimentos compartilhados que
viabilizaram este trabalho.
Aos colegas de trabalho, Marco Aurélio, Sávio, Gustavo, Felipe, Marcos Urbano, Pedro,
Patrick, Renata, Jefferson, Cláudia, Marcio, Adriana, Maxwell, Marcelo e José Machado, pela
amizade e reconhecimento e pelo ambiente agradável de descontração que sempre foi a nossa
área.
À Anne da área de risco, por ter me ajudado e aconselhado durante a realização deste
trabalho.
Aos amigos e colegas de faculdade, Fábio, Frederico, Juliana, Rodrigo e Tathyana, com
quem compartilhei estes cinco anos de estudos na cidade São Paulo.
RESUMO
O Valor em Risco (VaR) é uma importante medida para avaliação do risco a que
carteiras de investimentos estão sujeitas devido às oscilações de varáveis do mercado
financeiro. Esta medida de risco tem sido utilizada atualmente de forma generalizada tanto por
empresas do setor financeiro quanto por órgãos reguladores da economia.
Diversas metodologias já foram desenvolvidas para se calcular o VaR, entretanto, são
raros os casos na literatura que se ut ilizam desta medida de risco para composição de carteiras
com mínimo risco financeiro. Algumas características do VaR impedem a aplicação dos
modelos de otimização atualmente existentes.
Para superar esta dificuldade, neste trabalho é apresentada uma maneira inédita de se
otimizar o risco de carteiras medido pelo VaR através da aplicação de uma ferramenta de
aproximação denominada DACE (“Design and Analysis of Computer Experiments “).
Além disso, é feita uma comparação das carteiras geradas pelo modelo de mínimo VaR e
pelo modelo clássico de Markowitz. Pode-se verificar que, investidores que têm preferência
pelo VaR para avaliar suas carteiras, devem otimizá- las através desta medida de risco, o que
poderá ser feito com a técnica apresentada neste trabalho.
ABSTRACT
The Value at Risk (VaR) is an important measure for risk evaluation, some portfolios
may be impacted due to the financial market variables oscillations. This measure of risk has
been widely used for financial companies and economic regulatory agencies.
Several methodologies had been developed to calculate VaR, however, it is quite rare
published cases which uses this kind of methodology to calculate portfolios with minimum
financial risk. The actual optimization models can not treat some characteristics of the VaR.
In order to beat this difficulty, in this paper is presented a new way of optimizing the
portfolio risk measured by the VaR through the application of a tool called DACE (Design and
Analysis of Computer Experiments).
Besides that, it is made a comparison between portfolios with minimum VaR and
Markowitz classic model. It can be checked that investors who have preferred VaR to evaluate
this portfolios, should optimize them through this measure of risk, it can be made with the
presented technique in this paper.
Sumário
1 INTRODUÇÃO...............................................................................................................................2
1.1 OBJETIVO DO TRABALHO....................................................................................................... 3
1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO.................................................................................................... 3
2 CONCEITOS DE MERCADO ...................................................................................................6
2.1 ADMINISTRAÇÃO DO RISCO................................................................................................... 6
2.2 ATIVOS...................................................................................................................................... 8
2.3 CARTEIRAS DE INVESTIMENTO E ATIVOS FINANCEIROS..................................................... 9
2.3.1 CDI – Certificado de Depósito Interbancário......................................................10
2.3.2 CDB – Certificado de Depósito Bancário.............................................................11
2.3.3 Títulos Públicos Federais.........................................................................................13
2.3.4 Contratos Futuros......................................................................................................14
2.3.5 Ações............................................................................................................................15
3 VALOR EM RISCO (VAR).......................................................................................................17
3.1 TÉCNICAS PARA DETERMINAÇÃO DO VAR........................................................................ 19
3.1.1 Método Paramétrico ..................................................................................................21
3.1.2 Método de série histórica..........................................................................................22
3.1.3 Considerações sobre o modelo ................................................................................24
4 MODELOS DE COMPOSIÇÃO DE CARTEIRAS ...........................................................28
4.1 MODELO DE MÉDIA-VARIÂNCIA.......................................................................................... 29
4.2 MODELO DE MÍNIMO VAR ................................................................................................... 34
4.3 CONSIDERAÇÕES SOBRE A FUNÇÃO OBJETIVO................................................................. 35
5 O MÉTODO DACE PARA ESTIMAÇÃO DO VAR .........................................................39
5.1 APRESENTAÇÃO TEÓRICA.................................................................................................... 40
5.2 APLICAÇÃO DO MÉTODO DACE PARA APROXIMAÇÃO DO VAR.................................... 43
5.2.1 A seleção da amostra .................................................................................................45
5.2.2 Seleção da função de correlação a ser utilizada em modelos de otimização ...50
6 APLICAÇÃO DO MÉTODO DACE PARA OTIMIZAÇÃO DE CARTEIRAS .......57
6.1 UMA ANÁLISE DE FRONTEIRAS EFICIENTES....................................................................... 58
6.2 ANÁLISE DE ESTABILIDADE DAS SOLUÇÕES ÓTIMAS OBTIDAS....................................... 62
7 CONCLUSÕES .............................................................................................................................67
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................................69
9 ANEXOS .........................................................................................................................................72
Índice de Figuras
FIGURA 1: ESTRUTURA TEMPORAL DE TAXAS DE JUROS................................................................................ 11
FIGURA 2: DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DO RETORNO DE UMA CARTEIRA...................................... 20
FIGURA 3:TIPOS DE CURVAS DE UTILIDADE PARA UM INVESTIDOR. U1: AVESSO AO RISCO, U2: INDIFERENTE AO RISCO
E U3: AMANTE DO RISCO............................................................................................................................. 30
FIGURA 4: SELEÇÃO DE UM CONJUNTO DE CARTEIRAS (F) ADEQUADAS A UM INVESTIDOR COM CURVA DE
UTILIDADE U PARA UM CONJUNTO DE CARTEIRAS DISPONÍVEIS (G) ................................................... 31
FIGURA 5:FRONTEIRA EFICIENTE DE MARKOWITZ.......................................................................................... 33
FIGURA 6: COMPORTAMENTO DO VAR PARA UMA FAMÍLIA DE CARTEIRAS................................................ 36
FIGURA 7: AJUSTE DE UMA FUNÇÃO PELO MÉTODO DACE............................................................................ 37
FIGURA 8: FIGURA ILUSTRATIVA DO MODELO DE INTERPOLAÇÃO................................................................ 41
FIGURA 9: SELEÇÃO DE DADOS PELO CRITÉRIO EQÜIDISTANTE E ALEATÓRIO RESP ECTIVAMENTE.......... 46
FIGURA 10: FUNÇÕES DE CORRELAÇÃO DISPONÍVEIS EM “A MATLAB KRIGING TOOLBOX”................. 47
FIGURA 11: COMPORTAMENTO DO VAR CALCULADO SEGUNDO O PERCENTIL DOS RETORNOS DE UM CONJUNTO DE
CARTEIRAS................................................................................................................................................... 48
FIGURA 12: APROXIMAÇÃO GERADA PELO MÉTODO DACE UTILIZANDO-SE AMOSTRAS EQÜIDIST ANTE E ALEATÓRIA
RESPECTIVAMENTE..................................................................................................................................... 49
FIGURA 13: ERRO ABSOLUTO COMETIDO NA APROXIMAÇÃO GERADA PELO MÉTODO DACE UTILIZANDO-SE
AMOSTRAS EQÜIDISTANTE E ALEATÓRIA RESPECTIVAMENTE. ............................................................ 50
FIGURA 14: AMOSTRAS EQÜIDISTANTES COM PASSO IGUAL A 1/3 E COM DIMENSÃO N IGUAL A 2 E 3
RESPECTIVAMENTE..................................................................................................................................... 52
FIGURA 15: FRONTEIRA GERADA PELO MODELO DE MÍNIMO VAR UTILIZANDO-SE A APROXIMAÇÃO DO DACE E
FRONTEIRA EQUIVALENTE CALCULANDO-SE O VAR (SEGUNDO O MODELO DE SÉRIE HISTÓRICA - PERCENTIL)
PARA AS CARTEIRAS OBTIDAS NA OTIMIZAÇÃO..................................................................................... 60
FIGURA 16: FRONTEIRA EFICIENTE DE MÍNIMO VAR E IMAGEM DA FRONTEIRA EFICIENTE DE MARKOWITZ. 61
FIGURA 17: FRONTEIRA EFICIENTE DE MARKOWITZ E IMAGEM DA FRONTEIRA EFICIENTE DE MÍNIMO VAR. 62
FIGURA 18: COMPOSIÇÃO DA CARTEIRA ÓTIMA (PERÍODO DE 1 ANO) OBTIDA ATRAVÉS DO MODELO DE MÍNIMO
VAR.............................................................................................................................................................. 64
FIGURA 19: COMPOSIÇÃO DA CARTEIRA ÓTIMA (PERÍODO DE 1 ANO) OBTIDA ATRAVÉS DO MODELO DE
MARKOWITZ................................................................................................................................................ 64
FIGURA 20: COMPOSIÇÃO DA CARTEIRA ÓTIMA (PERÍODO DE 3 MESES) OBTIDA ATRAVÉS DO MODELO DE MÍNIMO
VAR.............................................................................................................................................................. 65
FIGURA 21: COMPOSIÇÃO DA CARTEIRA ÓTIMA (PERÍODO DE 3 MESES) OBTIDA ATRAVÉS DO MODELO DE
MARKOWITZ................................................................................................................................................ 65
FIGURA 22: DISTRIBUIÇÃO DE RETORNOS DE UM ATIVO................................................................................. 84
Índice de Tabelas
TABELA 1: EXEMPLO DE VARIAÇÕES PERCENTUAIS DIÁRIAS DO VALOR DAS MOEDAS DE EURO E DÓLAR.24
TABELA 2: ATIVOS UTILIZADOS NA COMPREENSÃO DO MÉTODO DACE. .................................................... 44
TABELA 3: CARACTERÍSTICA DA APROXIMAÇÃO PELO MÉTODO DACE DE ACORDO COM A FUNÇÃO DE
CORRELAÇÃO UTILIZADA. ......................................................................................................................... 51
TABELA 4: ERRO QUADRÁTICO MÉDIO DE APROXIMAÇÕES GERADAS PELO MÉTODO DACE EM FUNÇÃO DA
DIMENSÃO, PASSO E CORRELAÇÃO DA AMOSTRA UTILIZADA.............................................................. 55
TABELA 5: RESULTADOS DO TESTE DE NORMALIDADE DOS RETORNOS DE ATIVOS FINANCEIROS. .......... 83
TABELA 6: COMPARAÇÃO DO VAR CALCULADO PELO MÉTODO PARAMÉTRICO E PELO MÉTODO DE SÉRIE HISTÓRICA .
....................................................................................................................................................................... 84
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
2
1 Introdução
O êxito de uma empresa está intrinsecamente ligado à maneira como são
geridos os riscos de seu negócio. Empresas mais conservadoras procuram eliminar os
riscos do negócio enquanto que as mais agressivas se expõem a diversos tipos de
risco procurando obter vantagens competitivas.
Dentre os diversos tipos de riscos existentes este trabalho tratará mais
especificamente com o chamado risco financeiro. Segundo Jorion [4], o risco
financeiro está ligado a possíveis perdas oriundas de oscilações em variáveis
financeiras como a taxa de juros e a taxa de câmbio. Este risco está presente na
maioria das empresas, sendo que as não ligadas ao setor financeiro são avessas a este
tipo de risco e procuram reduzi- lo o máximo possível. Já empresas do setor
financeiro fazem da administração dos riscos financeiros o seu negócio e quanto
melhor administrarem este risco, mais competitivas se tornarão em relação aos seus
concorrentes.
Por trabalharem ativamente com riscos financeiros, diversas metodologias têm
sido desenvolvidas por empresas do setor financeiro com o intuito de mensurar e
controlar estes riscos. Dentre estas metodologias o sistema de aferição do Valor em
Risco (Value at Risk ou VaR) tornou-se a ferramenta mais disseminada e que permite
mensurar de maneira clara e estruturada o risco existente em diferentes tipos de
operações do mercado financeiro. O VaR é utilizado atualmente de maneira
abrangente em diversas empresas do setor financeiro, empresas não financeiras e
órgãos reguladores do mercado financeiro. Apesar disto, ainda existe uma escassez
de estudos e ferramentas que se utilizam desta metodologia para a otimização das
carteiras das empresas.
Para suprir esta lacuna, este trabalho foi realizado junto à área de Risco de
Mercado de um Banco financeiro que atua como banco de investimentos e banco
comercial. Esta empresa está presente no Brasil há 85 anos e desde então passou por
vários processos de aquisição possuindo atualmente uma carteira de aplicações vasta
e diversificada.
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Na área de Risco de Mercado desta instituição o VaR está implementado de
maneira sólida, de modo que uma ferramenta que utilize esta metodologia para
gerenciamento de suas carteiras poderá não só utilizar o know-how, banco de dados e
estrutura pré-adquiridos, mas também caracterizar-se como um diferencial em
relação a outras instituições financeiras
1.1 Objetivo do trabalho
O uso do Valor em Risco como instrumento de mensuração do risco de
carteiras de investimento é relativamente recente e, devido às dificuldades de sua
implementação em modelos de otimização, existem poucos casos na literatura que o
utilizam com este objetivo. Dentre estas dificuldades pode-se citar o elevado esforço
computacional demandado para seu cálculo em carteiras com grande número de
ativos e, também, a ocorrência de diversos mínimos locais e de pontos não
diferenciáveis que dificultam e até mesmo inviabiliza a otimização do risco de
carteiras segundo este instrumento.
Portanto, este trabalho tem como objetivo discutir técnicas de otimização que
permitam trabalhar com as propriedades do VaR e, também, encontrar ou
desenvolver métodos que viabilizem a aplicação destas técnicas de otimização na
realidade das empresas. Destaca-se que, até onde se tenha conhecido, o que é aqui
proposto não se encontra na literatura de finanças caracterizando-se uma nova
metodologia para cálculo do VaR e determinação da carteira de mínimo VaR.
1.2 Estrutura do trabalho
Nos capítulos iniciais, serão apresentados conceitos necessários para o
entendimento da modelagem do VaR e de modelos de otimização que o utilizam.
No capítulo Conceitos de Mercado são apresentados alguns conceitos básicos
de finanças que serão empregados ao longo do trabalho. Será estabelecida uma base
conceitual a respeito do risco em investimentos e também serão apresentados alguns
ativos financeiros de interesse.
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No capítulo Valor em Risco (VaR) o leitor poderá compreender de forma mais
detalhada o conceito do VaR como medida do risco financeiro e também conhecer
algumas metodologias de cálculo apresentadas pela literatura.
Em Modelos de Composição de Carteiras são apresentados os modelos de
composição de carteiras de Markowitz e o modelo que considera o VaR como
medida de risco. Também são levantadas as dificuldades computacionais da
otimização do VaR e a necessidade de uma ferramenta auxiliar.
Em O Método DACE para estimação do VaR é feita uma apresentação
teórica do método DACE. Em seguida são apresentados resultados de seu
comportamento na aproximação do VaR e critérios para a sua utilização em modelos
de otimização.
Finalmente em Aplicação do método DACE para otimização de carteiras o
método DACE é aplicado na composição de carteiras de ações segundo o modelo de
mínimo VaR e posteriormente é feita uma comparação entre estes resultados e o
modelo clássico de composição de carteiras de Markowitz.
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2 Conceitos de Mercado
Neste capítulo serão apresentados alguns conceitos básicos de finanças que
serão empregados ao longo do trabalho. O objetivo é estabelecer uma base conceitual
a respeito do risco em investimentos e também apresentar os ativos financeiros de
interesse.
2.1 Administração do Risco
A tomada de decisões na indústria invariavelmente envolve a questão de risco.
As diferentes posturas das empresas em relação ao risco retratam diferentes maneiras
de se gerir o negócio. As conservadoras reduzem o máximo possível os riscos de seu
negócio enquanto que as mais agressivas se expõem de maneira controlada com o
objetivo de obter vantagens competitivas no mercado. Entretanto, qualquer que seja a
posição assumida pela empresa, os riscos devem ser constantemente monitorados e
controlados uma vez que a má administração de riscos pode gerar grandes perdas e
até mesmo a falência da empresa.
Há uma extensa literatura que aborda a gestão do risco ([4][11][13]), no
entanto, quanto à classificação dos tipos de risco há algum consenso. Em linhas
gerais, as empresas estão expostas a três tipos de riscos: operacional, estratégico e
financeiro.
O risco operacional está relacionado ao setor da economia em que a empresa
opera e inclui inovações tecnológicas, desenho de produtos e marketing.
Normalmente este risco está associado à aceitação destes fatores pelos acionistas e
clientes da empresa. Este risco pode ser administrado de forma direta uma vez que as
operações da empresa têm impacto na sua geração.
Já os riscos estratégicos resultam de mudanças fundamentais no cenário
econômico ou político. São riscos ditos exógenos sobre os quais a empresa pouco
pode fazer ou possui reduzida capacidade de gestão As fontes geradoras deste risco
são independentes das atividades da empresa. Por exemplo, uma empresa com
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atuação no mercado internacional que está sujeita às alterações das políticas
alfandegárias do país.
O risco financeiro, que para efeito deste trabalho será o mais relevante, está
ligado a possíveis perdas no mercado financeiro. Este risco pode ser originado por
oscilações das taxas de juros ou taxas cambiais, pela escassez de recursos no
mercado financeiro e até mesmo pela atuação desonesta de administradores ou
funcionários da empresa.
Em finanças associa-se o risco financeiro às oscilações inesperadas e adversas
nas variáveis financeiras. Ativos para os quais ocorrem tanto lucros quanto perdas
inesperadas devem ser reconhecidos como ativos de alto risco financeiro. Uma
situação tipicamente considerada de risco ocorre em fundos de investimento nos
quais o retorno médio é muito superior aos valores obtidos no mercado e subitamente
apresentam quedas vertiginosas.
Os riscos financeiros podem ser divididos em 5 categorias: de mercado, de
crédito, operacional, de liquidez e legal. Neste trabalho será tratado mais
especificamente do risco financeiro de mercado que é proveniente das oscilações de
variáveis financeiras como taxa de juros, taxa de câmbio, preço de ações e preço de
commodities.
A identificação do risco de mercado e a sua administração dependem muito da
metodologia empregada para sua mensuração. Diversas metodologias de mensuração
deste risco têm sido propostas na literatura. Markowitz [7] foi pioneiro quando em
1952, constatando que os retornos de uma carteira se comportam como uma variável
aleatória, apresentou o desvio padrão como uma medida de risco e desenvolveu um
modelo de composição de carteiras com o objetivo de minimizá- lo. Desde então, esta
medida se tornou predominante no mercado financeiro. No entanto, algumas
dificuldades conceituais com relação a este trabalho motivaram o surgimento de
novas medidas de risco. Uma destas dificuldades é que o desvio padrão é apropriado
apenas para situações nas quais a distribuição de probabilidades dos retornos é
elíptica. Outro problema é que esta medida não permite lidar com distribuições de
caudas grossas onde o risco de perdas volumosas é maior.
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Surgiram recentemente outras medidas de risco que procuram suprir estas
limitações. O Valor em Risco (Value-at-Risk - VaR), desenvolvido recentemente
pelo banco J.P. Morgan [4], é uma medida de risco que permite mensurar as perdas
potenciais de uma carteira de ativos de acordo com um nível de confiança e num
determinado horizonte de tempo.
Ao contrário do desvio padrão, o VaR pode ser utilizado para carteiras de
ativos com distribuição de retornos não elípticas. Além disto, a informação fornecida
pelo VaR possui uma interpretação mais direta o que vem fazendo com que os
órgãos reguladores, acionistas e gestores das empresas tenham preferência por esta
medida. Além do VaR, outras metodologias de avaliação do risco também vem
sendo utilizadas, como o CVaR (Conditional Value-at-Risk) introduzido por Uryazev
[6] e a EVT (Extream Value Teory – [18][25]). No entanto, o VaR é a metodologia
que empresas, instituições financeiras e órgão reguladores têm adotado para
substituição da metodologia clássica de Markowitz.
Apesar da aceitação generalizada do VaR, existem hoje poucos estudos que o
considera como medida de risco na otimização de carteiras. E, de forma a resolver
este problema, este trabalho apresentará um modelo de composição de carteiras que
considere esta medida de risco. Antes de se apresentar este modelo, ainda serão
detalhadas no capítulo 3 algumas formas de cálculo do VaR e também as
dificuldades de se considerar esta medida de risco em modelos de otimização.
2.2 Ativos
Na negociação de qualquer ativo há sempre uma relação envolvendo
rendimentos e riscos. Existem dois tipos de ativos, ativos reais cujo valor de mercado
está associado a características físicas e, ativos financeiros representados pelos
contratos financeiros que prometem pagamentos futuros. Como exemplo de ativos
reais podem-se citar imóveis civis cujos rendimentos são dados pela valorização do
preço ou pelo recebimento de aluguéis, cujos riscos podem ser dados pela
desvalorização do seu preço ou pela perda do imóvel por sinistros. Já os ativos
financeiros podem ser representados Já dentre os ativos financeiros encontra-se as
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ações, onde existe uma promessa de rendimentos como o pagamento de dividendos e
riscos associados como, por exemplo, a falência da empresa emissora da ação.
No mercado há três tipos de ativos financeiros: de renda variável, de renda fixa
e derivativos. Os de renda fixa são ativos onde o rendimento prometido é pré-
determinado em alguma moeda. As LFT (Letras Financeiros do Tesouro) são ativos
de renda fixa, pois no momento de sua negociação o comprador sabe o quanto
receberá no vencimento do título. Já nos ativos de renda variável, o rendimento é
desconhecido até o vencimento do contrato com, por exemplo, as ações. Os
derivativos são ativos cujo rendimento deriva de outro ativo financeiro ou não
financeiro. Como exemplo, podem-se citar as opções de dólar e as opções de café.
Ainda que o modelo proposto neste trabalho tenha uma vasta gama de
aplicações, podendo-se considerar carteiras de ativos reais ou até mesmo o processo
de tomada de decisão sobre o mix de produtos de uma empresa, será mantido o
enfoque em carteiras de ativos financeiros visto que a instituição onde o trabalho se
desenvolve é do ramo financeiro. No entanto, a maior parte dos conceitos aqui
apresentados podem ser estendidos para qualquer tipo de ativo seja ele real ou
financeiro.
2.3 Carteiras de investimento e ativos financeiros
Uma carteira de investimentos pode ser definida como sendo uma aplicação de
recursos financeiros em um conjunto de ativos, sejam eles reais ou financeiros, com
o objetivo de se obter rendimentos maiores e riscos menores do que a aplicação
destes recursos em ativos individuais.
A representação de uma carteira pode ser feita através da quantidade de
recursos aplicados em cada ativo. Esta quantidade corresponde ao percentual de
recursos investido em cada ativo em relação ao total de recursos disponíveis. Por
exemplo, em uma carteira composta por R$ 30,00 aplicados no ativo A, R$ 50,00 no
ativo B e R$ 20,00 no ativo C, totalizando R$ 100,00, esta pode ser representada
como sendo uma carteira com 30% do ativo A, 50% do B e 20% do C.
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O retorno de um ativo em um período pode ser calculado através dos preços
final e inicial num determinado intervalo de tempo. Sendo os preços em dois
instantes consecutivos, dados por Pt e Pt+1, a expressão que determina o retorno de
um ativo depende das características do mesmo. Por exemplo, para ações, costuma-
se tomar como medida de retorno o valor onde os preços referem-se
aos preços de fechamento no mercado. Outras medidas como o retorno relativo dado
por , também são utilizadas.
Tendo estabelecido o retorno de um ativo é preciso determinar o conceito de
retorno de uma carteira. Para um dado período, pode-se calcular o retorno da carteira
ponderando-se os percentuais dos ativos pelos seus respectivos retornos. Ou seja,
dado o retorno rit do ativo i no período t e os pesos percentuais xi para cada ativo, o
retorno da carteira será dado por:
2.1
onde n é o número total de ativos presentes nesta carteira.
Ao longo deste trabalho foram utilizados alguns ativos financeiros para teste ou
validação de modelos. A seguir, será feita uma breve apresentação de alguns ativos
financeiros que serão relevantes para a compreensão dos modelos. Junto com esta
apresentação também será explicado, quando necessário, a maneira de se calcular os
preços dos ativos.
2.3.1 CDI – Certificado de Depósito Interbancário
Os CDI´s são títulos emitidos pelos bancos e negociados entre eles com o
objetivo de transferir recursos financeiros de um banco para outro.Todos contratos
têm duração de apenas um dia de forma que seu rendimento é determinado
simplesmente multiplicando-se a taxa negociada pelo valor do título.
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A média diária das taxas que estes contratos são negociados é denominada taxa
CDI over que fornece um parâmetro para as taxas de juros praticados no mercado
financeiro. O CDI over pode ser interpretado como um custo de oportunidade para os
bancos. Em suas atividades procura-se sempre captar recursos a uma taxa menor ou
igual à taxa CDI e aplicá-los a uma taxa maior. Estes contratos são isentos de IOF e
de IR o que fornece grande liquidez à sua negociação.
De acordo com as negociações dos contratos de CDI e de outros ativos do
mercado financeiro é possível traçar uma previsão para as taxas de juros que serão
praticadas no mercado. A essa previsão dá-se o nome de Estrutura Temporal de
Taxas de Juros como indicado na Figura 1.
Figura 1: Estrutura Temporal de Taxas de Juros
2.3.2 CDB – Certificado de Depósito Bancário
Os CDB´s são títulos emitidos pelos bancos para realizar captações junto a
investidores. Neste tipo de ativo o rendimento pode ser tanto pré-fixado quanto pós-
fixado. Nos CDB´s pré-fixados o rendimento total do título é conhecido no momento
em que ele é contratado, ou seja, o valor que será resgatado no seu vencimento já é
dado. Já nos CDB’s pós-fixados, o seu rendimento é determinado a partir de algum
tipo de indicador do mercado financeiro (taxa TR, taxa CDI, etc).
Trabalho de Formatura
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Para os CDB’s pós-fixados o retorno em um período t será dado pelo montante
aplicado ou preço inicial (Pt-1) deste ativo multiplicado pela valorização de seu
indicador no período.
2.2
No caso dos CDB’s pré-fixados é necessário definir o valor a mercado, ou seja,
o preço que o mercado está disposto a pagar pelo contrato em uma determinada data.
O valor a mercado de um CDB em uma data será dado pelo seu valor de resgate
(VF) descontado da previsão de taxas de juros da data de negociação até o seu
vencimento. Desta forma o preço no fim e no início de um período t pode ser
calculado da seguinte maneira:
2.3
Onde,
it é a previsão de taxas de juros para o final do período t até a data de
vencimento do CDB;
nt é o número de dias decorridos desde o final do período t até a data de
vencimento do CDB;
it-1 é a previsão de taxas de juros para o início do período t até a data de
vencimento do CDB e,
nt-1 é o número de dias decorridos desde o início do período t até a data de
vencimento do CDB.
No caso do CDB pré-fixado, apesar do rendimento total ser conhecido no
momento em que a operação é realizada, o preço oscila de acordo com as previsões
das taxas de juros. Desta forma, caso o detentor do CDB queira vendê- lo, o resultado
será diferente do que foi contratado inicialmente.
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2.3.3 Títulos Públicos Federais
Os Títulos Públicos são lançados no mercado pelo Banco Central com o
objetivo de captar recursos ou controlar a política monetária do país. Estes títulos são
vendidos apenas para instituições financeiras em um mercado primário que podem
vendê- los para outras instituições no mercado secundário ou mantê- los até o seu
vencimento. Os principais títulos públicos são BBC (Bônus do Banco Central), LTN
(Letra do Tesouro Nacional) e NTN (Notas do Tesouro Nacional).
Os títulos são caracterizados por três fatores: valor nominal, pagamentos de
cupons e indexador.
O valor nominal (VN) é o valor pago pelo emissor do título na sua data de
vencimento. Os cupons são pagamentos periódicos e intermediários à data de
contratação e vencimento do título. Já o indexador de um título caracteriza-se por um
tipo de remuneração pós-fixada segundo algum índice financeiro como, por exemplo,
a variação cambial.
O preço de um título para o final de um período t pode ser obtido da seguinte
maneira:
2.4
onde,
Ch é o fluxo de caixa deste título no instante h, que representa o pagamento de
cupons ou quando h for igual à data de vencimento do título Ch será o valor nominal
(VN) somado a eventuais pagamentos de cupons ;
ih é a previsão da taxa de juros desde o final do período t até o instante h;
nh é o número de dias decorridos desde o final do período t até o instante h.
Quando o título não tiver indexadores e pagamento de cupons, seu preço será
dado apenas pela previsão de taxa de juros para seu vencimento de forma semelhante
aos CDB’s pré-fixados.
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Normalmente, quando o título possui algum indexador, seu valor nominal e
pagamentos de cupons estão expressos pelo indexador. Por exemplo, no caso da Nota
do Tesouro Nacional série D (NTND) que é indexada ao dólar, tanto o seu valor
nominal como os pagamentos de cupons são expressos por esta moeda. De forma que
o preço calculado segundo a equação 2.4 também será expresso em dólar e
conseqüentemente o seu resultado conterá a variação cambial.
2.3.4 Contratos Futuros
Um contrato futuro corresponde à negociação de uma taxa de juros ou preço de
um ativo para uma data posterior. Esta negociação pode ser feita tanto para ativos
reais quanto para ativos financeiros.
No Brasil os mercados futuros se intensificaram com o surgimento da Bolsa de
Mercadorias e Futuros (BM&F) que criou e padronizou as características e formas de
negociação de diversos contratos fornecendo maior liquidez ao mercado.
Atualmente é negociada uma grande variedade de contratos futuros sendo que
neste trabalho serão abordados apenas os contratos futuros de DI.
No Futuro de DI1 (Mercado Futuro de Depósito Interbancário de 1 dia) é
negociada a expectativa de juros acumulados do CDI desde a data de contratação até
a data de vencimento do contrato.
Nestes contratos é fixado o Valor Futuro de R$100.000,00 de modo que a taxa
de juros i entre uma data t até a data de vencimento do contrato é negociada através
do preço unitário PUt na data t :
2.5
O rendimento de um contrato na data t será dado por:
2.6
Atualmente este é o contrato com maior volume de negociações na BM&F
tanto para fins especulativos quanto para operações de hedge. A grande liquidez
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
15
destes contratos faz com que as taxas negociadas possam ser utilizadas como
expectativas bastante confiáveis das taxas de juros futuras.
2.3.5 Ações
Uma ação é um contrato financeiro que representa uma fração do capital de
uma empresa. A fragmentação do capital próprio e conseqüentemente a venda de
ações por uma empresa é uma das maneiras utilizadas pelas empresas para se fazer
financiamentos de longo prazo.
O comprador de uma ação (acionista) torna-se proprietário do capital próprio
da empresa que emite a ação. Em especial, existem dois tipos de ações: preferencial e
ordinária. Estes tipos de ações se diferem basicamente com relação à distribuição do
lucro da empresa, distribuição dos ativos em caso de falência e do direito a voto. Na
ação preferencial o acionista possui preferência quanto ao recebimento de dividendos
ou pagamentos periódicos definidos a critério da empresa. Já na ação ordinária, o
acionista recebe dividendos somente depois que são satisfeitas as reivindicações de
todos os credores da empresa, do governo e dos acionistas preferenciais. Por outro
lado, as ações ordinárias fornecem ao acionista o direito de votar na eleição de
diretores ou em outras eleições especiais.
Ações são negociadas em bolsas de va lores ou em mercados de balcão. Os
preços de negociação dependem de diversos fatores como o desempenho das
empresas em relação aos seus concorrentes, as condições do mercado financeiro ou
as condições sócio-econômicas do país.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
17
3 Valor em Risco (VaR)
O problema de mensuração e controle de risco financeiro tem motivado
pesquisadores e tomadores de decisão a buscar indicadores capazes de identificar
quão arriscada é uma decisão. O princípio que afirma que investidores desejam
retorno e rejeitam risco tornou-se por demais simplista. Historicamente, antes do
desenvolvimento do modelo de Markowitz, o risco financeiro era considerado um
fator de correção dos retornos esperados e os retornos ajustados ao risco eram
definidos ad hoc.
Em 1952 Markowitz [7] propôs uma abordagem para a mensuração de risco
que modificou significativamente a maneira através da qual o risco era analisado. A
principal inovação proposta por Markowitz foi a interpretação do retorno de uma
carteira através da distribuição multivariada dos retornos dos ativos. Através da
análise da variância do retorno de uma carteira, que leva em conta a correlação entre
os ativos que a compõem, foi possível compreender que a diversificação reduz o
risco, na medida em que carteiras que contêm ativos negativamente correlacionados
possuem variância (risco) inferior à soma das variâncias (riscos) individuais.
Um problema desta abordagem é que a variância ou desvio padrão do retorno
de uma carteira apresenta propriedades indesejáveis como a saciabilidade
(crescimento da riqueza além de um certo ponto reduz a utilidade). Além disso, o
modelo de Markowitz pressupõe que a distribuição de probabilidade dos retornos é
elíptica o que na prática não ocorre.
Esta abordagem dominou a literatura durante várias décadas. Entretanto, a
prática da gestão de risco mostrou que considerar a variância de uma carteira como
medida de risco era insatisfatório, na medida em que não era possível identificar
anomalias ou mesmo a extensão de possíveis perdas com uma dada carteira.
O Valor em Risco (VaR) surgiu como medida de risco no início da década
passada, motivado por diversos desastres financeiros envolvendo derivativos.
Medidas de risco como a volatilidade (dada pelo desvio padrão dos retornos de uma
carteira) já eram bastante utilizadas, no entanto buscava-se uma medida de risco que
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
18
permitisse mensurar de forma eficiente e de fácil assimilação o quanto uma
instituição poderia perder em suas operações.
Em 1994 o banco J. P. Morgan tornou pública sua metodologia para cálculo do
risco de mercado e o conceito do VaR que foi sendo adotado gradualmente pelas
empresas. Em 1995 seguindo o acordo do Comitê da Basilea, o VaR tornou-se a
medida de risco padrão adotada pelas instituições financeiras para estabelecer a
exposição ao risco financeiro de mercado. Atualmente esta medida é utilizada de
forma generalizada tanto por instituições financeiras quanto por empresas do setor
produtivo. E, a sua adoção se tornou ainda mais forte quando órgãos reguladores
passaram a utilizam o VaR como parâmetro para definição da demanda de capital de
empresas expostas ao risco de mercado. Com o VaR tornou-se possível mensurar de
maneira abrangente e estruturada a exposição a diversos tipos de riscos financeiros
de carteiras grandes e complexas e a partir daí, estabelecer políticas de hedging para
evitar perdas inesperadas.
Formalmente, o VaR pode ser definido como sendo a pior perda esperada ao
longo de determinado intervalo de tempo, sob condições normais de mercado e
dentro de determinado nível de confiança. Existem vários métodos para calculá- lo e a
escolha de um método específico depende de diversos fatores como o tipo de ativos
presentes na carteira em estudo, disponibilidade de dados históricos, complexidade
computacional, etc.
Jorion [4] apresenta 2 tipos de metodologias para o cálculo do VaR. O primeiro
tipo é representado pelo método paramétrico, onde o VaR é relativamente fácil de se
calcular e parte da premissa de que a distribuição de probabilidade do retorno da
carteira é normal. Já no segundo tipo, representado pelos métodos de série histórica e
simulação de Monte Carlo, pressupõe-se que o histórico passado dos retornos reflete
de maneira adequada o que deverá ocorrer no futuro. Estes métodos empregam séries
históricas longas e demandam elevado esforço computacional em carteiras
compostas por grande número de ativos. Outras técnicas baseadas em modelos de
valores extremos ([18][25]) bem como modelos de volatilidade estocástica também
têm sido empregadas no cálculo do VaR. Do ponto de vista prático para o gestor de
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
19
risco é importante que o número de violações do VaR seja consistente com o nível de
confiança desejado. Assim, a opção por uma particular metodologia de cálculo deve
retratar uma necessidade da instituição (expressa em termos de nível de confiança) e
também ser apropriada à particular carteira e tipos de ativos que a constituem.
Na presença de instabilidades no mercado e de desvios significativos nas
condições de normalidade, sabe-se que o VaR pode conduzir a grandes ineficiências
na gestão de carteiras ([14][15][16]). Ainda assim não serão consideradas no trabalho
as limitações estruturais desta medida de risco.
A seguir serão apresentadas algumas definições relevantes para o cálculo do
VaR que serão utilizadas durante este trabalho
3.1 Técnicas para determinação do VaR
A primeira consideração a ser feita ao estudar o VaR é o período para o qual
deverá ser verificada a pior perda. Este período, denominado horizonte de tempo,
está diretamente relacionado com o tipo de empresa e características da carteira onde
o VaR será calculado. Em empresas onde os ativos financeiros são pouco negociados
é utilizado um horizonte de tempo maior, como por exemplo, um mês. Já em
instituições que possuem um alto giro dos ativos financeiros, é recomendado utilizar
um horizonte de tempo menor como um dia.
Definido o horizonte de tempo é necessário estabelecer o nível de confiança, ou
fator de segurança, a partir do qual será calculado o VaR. Este número indica a
probabilidade de se verificar uma perda menor do que a indicada pelo VaR no
horizonte de tempo considerado. Neste caso, a escolha deste valor está mais ligada às
características de aversão ao risco das empresas. As mais conservadoras tendem a
adotar níveis de confiança mais altos.
Seja r a variável aleatória que representa o retorno da carteira por unidade de
tempo. Considere a distribuição de probabilidades f(r) e seja F(r) a função de
densidade acumulada da variável aleatória. O VaR pode ser definido como sendo o
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
20
valor rVaR tal que a probabilidade de se obter uma perda menor que rVaR seja o nível
de confiança c, ou tal que:
3.1
Conceitualmente o problema de obtenção do VaR consiste em determinar a
distribuição de probabilidades f(r).
Figura 2: Distribuição de probabilidades do retorno de uma carteira.
Os métodos atuais de mensuração do VaR se diferenciam basicamente com
relação à maneira de se obter a distribuição dos retornos de uma carteira. No método
paramétrico assume-se que a distribuição dos retornos de uma carteira se comporta
como uma distribuição normal e obtêm-se os parâmetros da distribuição através de
dados históricos. No modelo de serie histórica, a distribuição é obtida através de
grandes amostras contendo observações passadas dos retornos de ativos da carteira.
Neste método não é necessário fazer suposições sobre a distribuição dos retornos
uma vez que sua forma estará implícita na amostra coletada. No entanto, parte-se da
premissa que o retorno futuro pode ser explicado pelos retornos passados, não sendo
tal suposição necessariamente verdadeira.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
21
A seguir são apresentadas duas técnicas para determinação do VaR. Ainda que
existam, como já foi mencionado anteriormente, diversas metodologias, optou-se por
apresentar as que parecem mais apropriadas ao uso de modelos de otimização.
3.1.1 Método Paramétrico
O método paramétrico pressupõe que o retorno de cada um dos ativos de uma
carteira seja normalmente distribuído. Desta maneira, como o retorno de uma carteira
é uma combinação linear de variáveis normais, ele também será normalmente
distribuído.
Nestas condições, o VaR pode então ser calculado em termos da média µr e do
desvio padrão s r do retorno r da carteira:
3.2
onde,
c é o nível de confiança;
zc é tal que F(zc) = (1-c), e F (.) denota a distribuição de probabilidade
acumulada de uma normal padrão.
Os estimadores para o retorno médio µr e desvio padrão s r podem ser obtidos a
partir dos retornos e desvios padrões de cada ativo da carteira. No caso de uma
carteira de investimentos dada pela combinação linear de n ativos, onde xi é um
percentual investido no ativo i do total de recursos aplicados na carteira e s ij é a
correlação entre os retornos do ativo i e do ativo j, teremos:
3.3
3.4
Os valores de e s ij podem ser estimados através de dados históricos.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
22
A grande vantagem em se considerar os retornos dos ativos como normalmente
distribuídos provém do fato de se poder calcular o VaR a partir de médias e desvios
padrão, o que reduz significativamente o esforço computacional. No entanto, um
forte argumento contra a utilização deste método deriva do fato de que raras vezes se
trabalha com ativos cuja distribuição dos retornos é normal. Em alguns casos as
distribuições de probabilidades são assimétricas, como nos contratos de opções, o
que dificulta o uso desta técnica. Para evitar estes inconvenientes a maioria das
empresas calculam o VaR utilizando-se do método de série histórica ou o de
simulação de Monte Carlo como será apresentado a seguir.
3.1.2 Método de série histórica
No método de série histórica o VaR é calculado através do percentil de uma
série histórica dos retornos da carteira. Esta série histórica por sua vez é obtida pela
combinação dos retornos passados para cada ativo que compõe a carteira.
O percentil de uma variável aleatória w é definido como sendo um ponto v tal que
com probabilidade p os valores desta variável são menores que v, ou seja, P(w=v) =
p.
Seja r1, ...rT observações de retorno. Um estimador de percentil é dado pela função
onde M[1:T] é o menor valor de R = {r1 ... rT}, M[T:T] o maior valor e M[aT:T]
o aT-ésimo valor em ordem crescente. Sendo assim, dada uma composição x’ = [x1
x2 ... xn](1) onde xi é um percentual do ativo i presente em uma carteira, o VaR(x) será
dado por::
3.5
Onde,
R é uma amostra dos retornos da carteira;
(1) v’ denota o transposto do vetor v
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
23
c é o nível de confiança em que o VaR será calculado e,
n é o número de ativos presentes na carteira.
A amostra de retornos R é denominada série de retornos históricos e pode ser
obtida através dos retornos passados de ativos presentes na carteira. Para uma
carteira fixa x’ = [x1 x2 ... xn], uma observação da amostra R será dada por:
3.6
Onde,
xi é um percentual do ativo i;
rhit é o retorno histórico do ativo i para o período t;
Segundo o modelo de série histórica, para o cálculo do VaR é preciso
inicialmente montar uma amostra de retornos para a carteira, ordenar este valores e
selecionar um valor de acordo com a função .
Para facilitar a compreensão do método considere o seguinte exemplo.
Sejam dois ativos hipotéticos que pagam respectivamente a variação cambial
das moedas dólar e euro. Na Tabela 1 encontram-se as variações percentuais diárias
de cada moeda em um período de 7 dias.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
24
Período (t)
Variação % USD (rh2t)
Variação % EUR (rh2t)
1 0,5 1,0 2 -1,0 1,0 3 1,5 -0,5 4 -0,5 0,5 5 1,0 1,5 6 -1,5 -2,0 7 2,0 1,0 8 1,0 -0,5 9 1,5 -0,5 10 -1,0 0,5 11 1,5 0,0
Tabela 1: Exemplo de variações percentuais diárias do valor das moedas de euro e dólar.
Considerando-se uma carteira onde do total de investimentos alocados, 40%
(x1) estão no primeiro ativo 1 e 60% (x2) estão no segundo ativo, a amostra de
retornos em porcentagem será dada por:
Do percentil da amostra R a 10% obtém-se um VaR de 0,4% para os retornos
históricos fornecidos, a um nível de confiança de 90% (100% - 10%). Considerando
que se tenham sido investidos R$ 100,00 nesta carteira, existe uma probabilidade de
10% (um período a cada dez) de ocorrer uma perda de R$ 4,00.
Apesar do exemplo utilizar uma série de retornos com apenas onze
observações, para o cálculo do VaR de carteiras reais, utilizam-se séries de retornos
com o maior número possível de períodos de forma a reduzir erros estatísticos. Neste
trabalho os cálculos foram feitos utilizando-se series com aproximadamente 1.000
observações.
3.1.3 Considerações sobre o modelo
A escolha do método a ser utilizado para o cálculo do VaR depende muito da
composição da carteira e do objetivo para o qual ele será utilizado. Como já
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
25
levantado, para carteiras cujos ativos forneçam retornos normalmente distribuídos, o
método paramétrico fornece uma boa aproximação. Nos demais casos, os métodos de
serie histórica e de simulação de Monte Carlo podem ser ut ilizados.
Neste trabalho a aplicação do VaR está voltada para a otimização de carteiras.
Este problema é bastante relevante, tanto em termos de aplicação quanto em termos
de modelagem matemática. O objetivo consiste em determinar uma carteira
que forneça o menor VaR. Ou seja, pretende-se minimizar VaR(x) onde
obedece a restrições referentes à composição da carteira.
Como será apresentado no capítulo 4, modelos de otimização que consideram o
VaR paramétrico como função objetivo são equivalentes ao modelo tradicional de
composição de carteiras de Markowitz ([7][8]) e podem ser facilmente resolvidos
pelas técnicas de otimização quadrática.
Já no caso dos métodos de serie histórica e de simulação de Monte Carlo onde
o VaR é calculado através de um percentil, existe uma grande dificuldade no que diz
respeito à otimização. Primeiramente, o fato de que em modelos de otimização a
função objetivo deve ser calculada diversas vezes até se atingir um ponto ótimo, faz
com que estes métodos se tornem computacionalmente caros e onerosos
(principalmente na simulação de Monte Carlo ). Outro problema importante é o
comportamento do percentil de uma amostra. O percentil gera funções VaR(x) com
diversos mínimos locais além de conter pontos não diferenciáveis o que dificulta e
até mesmo inviabiliza a otimização segundo os modelos de otimização tradicionais.
Apesar das dificuldades de otimização destes últimos dois métodos optou-se
por não focalizar o trabalho em modelos de otimização que utilizem o método
paramétrico. A maioria dos ativos financeiros não possui aderência à distribuição
normal. Um exemplo está apresentado no anexo C. Desta forma, além do modelo
paramétrico não ser indicado para carteiras que contenham opções, este modelo parte
de uma suposição que não é verdadeira. Outro ponto é que, para empresas que
decidam por utilizar o modelo paramétrico na avaliação do risco e composição de
suas carteiras, é possível utilizar modelos simples de otimização como será
apresentado no próximo capítulo. Além disso, métodos baseados em series histórica
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
26
são amplamente utilizados na indústria e não partem de premissas restritivas quanto à
distribuição de probabilidades dos ativos que compõem a carteira.
Conforme já foi apresentado, pretende-se analisar o problema de composição
de carteiras de mínimo VaR ou seja:
“Encontre, se existir, x* ? 1 onde,
e ”
Quanto à aplicação dos métodos de serie histórica e de simulação de Monte
Carlo para otimização, verifica-se que um modelo que seja eficiente para o primeiro
também será para o segundo. Esta afirmação provém do fato de que a maneira final
de se calcular o VaR nos dois métodos é através do percentil de uma amostra. No
caso do modelo de serie histórica, a amostra é obtida basicamente coletando-se
observações passadas enquanto que no modelo de simulação de Monte Carlo utiliza-
se além de observações passadas, parâmetros implícitos e análise de cenários.
O modelo de otimização apresentado permitirá tratar com os problemas de
otimização provenientes da utilização do percentil além de reduzir o número de
vezes que o VaR da carteira deverá ser calculado. Embora os cálculos e testes sejam
feitos calculando-se o VaR pelo método de serie histórica, o modelo também será
válido para o método de simulação de Monte Carlo.
1 é o conjunto dos pontos x* ? X tal que .
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
28
4 Modelos de Composição de Carteiras
O problema de composição de carteiras está intrinsecamente relacionado aos
conceitos de risco e retorno. Quando um operador do mercado financeiro ou
administrador de empresas compõe uma carteira, o objetivo é basicamente obter o
máximo de retorno possível dado um nível de risco ou obter o mínimo de risco dado
um nível de retorno.
Como apresentado no capítulo 2, o risco pode ser separado em diversos tipos
de acordo com a sua fonte geradora. Além disso, um único ativo pode estar sujeito a
diversos tipos de risco como, por exemplo, os títulos públicos cambiais para os quais
além do risco de mercado, dado pela oscilação da taxa de juros, há o risco da taxa de
câmbio e também de outros riscos como o risco de crédito e de liquidez. Este fato
torna a mensuração do risco de ativos um problema não trivial e, no caso do
problema da composição de carteiras, além da multiplicidade de fontes de risco, o
problema é agravado pelas correlações existentes entre os diversos tipos de ativos.
A preocupação das instituições com relação à composição de suas carteiras não
é recente. O trabalho de Markowitz [7], publicado em 1952, tratou da questão de
composição de carteiras de mínimo risco sob a ótica de modelos de otimização, e
tornou-se um marco na histórica de finanças. Seguiram-se a este inúmeros trabalhos
científicos, que buscaram mensurar risco e atribuir valor a ativos financeiros. Nesta
linha, cabe destacar os modelos para a estimação da estrutura a termo de taxas de
juros, o modelo de Black-Scholes [27] para cálculo de prêmio de opções e o modelo
de Sharpe [9][26] para avaliação do preço de ações (CAPM) entre outros.
A rápida evolução da área de finanças possibilitou o desenvolvimento de
modelos matemáticos com relativa complexidade, visando responder a importante
questão de “como construir uma carteira eficiente de ativos”. Em essência, o
problema se escreve como: “determine a melhor carteira de ativos possível que
obedeça a um conjunto de restrições pré-estabelecidas”. Ou seja, pretende-se
maximizar uma medida de desempenho, para carteiras sujeitas a restrições (lineares
ou não), o que recai em problemas de otimização.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
29
Os modelos de otimização em finanças podem ser classificados de acordo com
o seu objetivo principal: modelos de gerenciamento do risco, utilizados para
selecionar carteiras com diferentes tipos de risco e modelos de engenharia financeira,
utilizados para estruturar novos instrumentos financeiros. Os modelos de otimização
apresentados neste trabalho tratam especificamente de modelos de gerenciamento do
risco.
A seguir será detalhada a teoria de composição de carteiras segundo o trabalho
de Markowitz sobre média e variância de carteiras e posteriormente será apresentado
um modelo de otimização que considera o VaR como medida de risco.
4.1 Modelo de média-variância
Quando um ativo é adquirido o seu retorno futuro em geral é desconhecido.
Esta propriedade se aplica até mesmo no caso dos ativos financeiros de renda fixa
onde o retorno total é pré-estabelecido no dia da contratação e apesar disto, caso seja
necessário vender estes ativos antes de seu vencimento, o retorno recebido também
será desconhecido.
Sendo assim, é possível afirmar que o retorno (r) de um ativo financeiro é uma
variável aleatória com uma certa distribuição de probabilidades. Este fato permite
que o retorno de um ativo possa ser analisado em termos da média e desvio padrão
da sua distribuição de probabilidades.
Para uma carteira de investimentos dada pela combinação linear de n ativos
com retornos r1, r2,..., rn, o seu retorno também será uma variável aleatória,
, com média e desvio padrão s c dados pelas equações 4.1 e 4.2, onde xi
é um percentual do total de recursos que estão investidos no ativo i e s ij é a
correlação entre os retornos ri e rj.
4.1
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
30
4.2
O desvio padrão da variável aleatória rc pode ser considerado com sendo uma
medida de risco. Quanto maior for o desvio padrão do retorno rc maior será a
probabilidade, ou o risco, de se obter valores acima ou abaixo do retorno esperado
E(r) = . Neste caso o desvio padrão também é chamado de volatilidade de um
ativo ou carteira.
Um ativo ou carteira pode ser representado graficamente utilizando-se o
diagrama de media-desvio padrão. Neste diagrama o eixo vertical é dado pela média
de uma variável aleatória, e o eixo horizontal é dado pelo seu desvio padrão. Este
diagrama também é utilizado na teoria da Utilidade [9][10]. Nesta abordagem é
obtida uma curva de utilidade para um investidor de acordo com as suas
características de aversão ao risco. Na Figura 3 temos curvas de utilidade para um
investidor avesso ao risco µ1 e para um investidor indiferente ao risco µ2. No
primeiro caso, para um incremento no risco de o investidor exige receber um
incremento no retorno de . Já no segundo, para um incremento no risco de
o investidor requer apenas que seu retorno seja equivalente a .
Figura 3:Tipos de curvas de utilidade para um investidor. u1: avesso ao risco, u2:
indiferente ao risco e u3: amante do risco.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
31
A teoria da utilidade é importante para a composição de carteiras uma vez que
dada uma curva de utilidade de um investidor e um conjunto de carteiras disponíveis
para aplicação, é possível definir, dentre as carteiras disponíveis, uma que seja
adequada ao perfil deste investidor. Este fato está representado na Figura 4 onde u é
a curva de utilidade, G é o conjunto de carteiras disponíveis e F é o conjunto de
carteiras adequadas ao investidor.
Na mesma figura, pode-se perceber que, de todas carteiras presentes no
conjunto F, o investido terá preferência pela fronteira superior do conjunto. Esta
propriedade é clara uma vez que dado um conjunto de carteira com mesmo nível de
risco, um investidor terá preferência pela carteira que fornecer maior retorno dentro
deste conjunto.
Esta fronteira onde o retorno é máximo para um dado nível de risco ou, onde o
risco é mínimo para um dado nível de retorno, é denominada fronteira eficiente de
Markowitz. Harry M. Markowitz foi o primeiro a apresentar os conceitos e
propriedades da fronteira eficiente [7] e o primeiro a desenvolver um modelo [8] para
encontrar sua localização no diagrama de média-desvio padrão.
Figura 4: Seleção de um conjunto de carteiras (F) adequadas a um investidor com curva
de utilidade u para um conjunto de carteiras disponíveis (G)
Não será escopo deste trabalho detalhar a teoria da Utilidade (maiores detalhes
sobre o assunto podem ser encontrados em [9][10]), no entanto será detalhado o
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
32
modelo desenvolvido por Markowitz que é ainda hoje uma grande contribuição para
a área de composição de carteiras e gerenciamento do risco.
Markowitz mostrou que a fronteira eficiente pode ser obtida através de um
modelo de otimização quadrática no qual se minimiza o risco em forma de variância
( ) proveniente da combinação de um conjunto de ativos com retornos médios e
covariâncias dadas. O fato de se minimizar a variância e não o desvio padrão
simplifica o problema em termos de modelo de otimização e não altera a solução
obtida dado que ambas grandezas são positivas.
Formalmente teremos:
Seja um conjunto de n ativos disponíveis para investimento, a média dos
retornos destes ativos são r1, r2,..., rn e as covariâncias são dadas por s ij, para i,j ? {1,
2,...,n}. Para encontrar uma carteira composta pelos percentuais de ativos xi, i ? {1,
2,..., n}, que possua mínima variância a um nível de retorno , deve-se resolver o
seguinte problema:
4.3
Este é um problema típico de otimização quadrática com restrições lineares que
pode ser resolvido de forma eficiente pelos modelos de otimização quadrática atuais.
Utilizando-se este modelo, para encontrar a fronteira eficiente de um conjunto
de ativos dados, basta resolver o problema alterando-se os valores de até encontrar
um perfil de soluções ótimas como indicado na Figura 5. A fronteira eficiente é dada
pelos valores superiores do perfil de soluções ótimas partindo-se do ponto de mínima
variância.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
33
Figura 5:Fronteira eficiente de Markowitz
Este modelo de Markowitz foi publicado em 1956 [8] e ainda é hoje
amplamente utilizado por instituições financeiras principalmente pelos fundos de
investimentos. No entanto, existem algumas questões com relação à utilização de
variância ou desvio-padrão como medida de risco. A primeira questão provém do
fato de que a variância não fornece uma informação do quanto se pode perder com
uma carteira. Os administradores atualmente estão interessados em saber, além da
dispersão dos retornos, o quanto podem perder com suas carteiras de modo a
tomarem decisões que evitem prejuízos ou a falência da empresa.
No capítulo 3 foi apresentado o conceito de VaR cuja origem foi motivada
exatamente por esta questão. Neste capítulo também foi apresentado o modelo
paramétrico de calcular o VaR partindo-se da suposição de normalidade da
distribuição dos retornos. Como foi apresentado na Equação 3.2, uma das formas de
se calcular o VaR é a partir da média e desvio-padrão dos retornos de uma carteira.
Ou seja, dada uma carteira cuja média dos retornos seja e seu desvio-padrão s c, o
VaR será dado por + as c onde a é uma constante.
Neste caso, o fato do VaR ser uma função linear do parâmetro s c permite
concluir que o modelo utilizado por Markowitz também pode ser utilizado para
minimizar o VaR de uma carteira. Formalmente, dado que a distribuição dos retornos
rc é normalmente distribuída teremos que,
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
34
,
sendo e a valores pré definidos e,
o conjunto dos pontos x* ? X tal que .
Posto isso, é possível gerar uma fronteira de eficiência para média-Var
equivalente à fronteira de eficiência de Markowitz. E, como o VaR é uma função
linear de s c esta nova fronteira de eficiência apresentará as mesmas características da
anterior com exceção de que, agora, os valores de risco são representados por uma
perda potencial e não uma dispersão dos retornos da carteira.
4.2 Modelo de mínimo VaR
Considerando uma carteira com exposição a diferentes tipos de riscos
financeiros, pretende-se minimizar o risco de mercado como, por exemplo, o risco
proveniente de variações nas taxas de juros ou o risco proveniente da exposição
cambial. Para tanto, o modelo de otimização deverá definir a proporção xi para cada
ativo i que minimize o risco de mercado.
Seja rit uma observação (ou simulação) do retorno de um ativo i na data t. O
risco de mercado expresso pelo VaR de uma carteira será
dado por:
4.4
Onde,
c é o nível de confiança em que o VaR será calculado;
n é o número de ativos presentes na carteira;
R é uma série dos retornos das carteiras com e,
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
35
é um estimador de percentil da série de retornos R como
apresentado na equação 3.5.
Considere ainda o retorno médio estimado para o ativo i.
A alocação dos n ativos será feita respeitando-se o valor pré-estabelecido
para o estimador da média de retornos da carteira otimizada.
Sendo assim, dado o valor de deseja-se encontrar uma alocação de recursos
x que minimize o VaR (x):
4.5
Neste modelo as restrições são lineares e não oferecem problemas do ponto de
vista de otimização. Já a função objetivo apresenta características que são a grande
dificuldade de implementação do modelo. Estas características serão detalhadas a
seguir assim como o método DACE que tem o objetivo de permitir a implementação
do modelo para situações reais.
4.3 Considerações sobre a Função Objetivo
Os modelos de otimização utilizados na literatura quase sempre pressupõem
que a função objetivo do modelo seja diferenciável e convexa. No caso do VaR
nenhuma destas características é observada, além do que a função pode possuir
vários mínimos locais. Estas características impedem que modelos de otimização,
como 4.5, implementados de forma tradicional, encontrem resultados satisfatórios.
Para facilitar a compreensão destas características apresenta-se a seguir um
exemplo hipotético. Foram selecionadas duas composições de carteiras x1 e x2, a
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
36
partir de 5 ativos, e, da combinação linear das duas, foi gerada uma família de
carteiras:
4.6
Posteriormente foi calculado o VaR para esta família de carteiras utilizando-se
o método de serie histórica a um nível de confiança de 95%. Na Figura 6 estão
representados os resultados sendo que o eixo horizontal representa o valor de ? e o
eixo vertical o VaR. Neste tipo de experimento pode-se observar características da
função que será otimizada como a ocorrência de pontos onde a função não é
diferenciável e a presença de vários mínimos locais. Verificou-se empiricamente que
as irregularidades aumentam com o número de ativos da carteira de modo que os
modelos de otimização devem encontrar o mínimo global da função do VaR para
carteiras reais.
Figura 6: Comportamento do VaR para uma família de carteiras
Na Figura 6 observa-se que apesar de que o mínimo global da função está
próximo de 0,2 existem vários mínimos locais (indicados por círculos). Além disso,
pode-se observar, como no ponto ?1 por exemplo, que a função é não diferenciável.
Para permitir a otimização desta função pode ser utilizada a metodologia
DACE apresentada no capítulo que seque. Esta metodologia interpola um conjunto
Trabalho de Formatura
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37
de pontos, como no exemplo apresentado na Figura 7, ?’ = [?1’ ... ?6
’], e fornece uma
função diferenciável com reduzidos mínimos locais.
Figura 7: Ajuste de uma função pelo método DACE
Este exemplo, ainda que elementar, apresenta alguns dos problemas observados
em modelos de composição de carteiras de mínimo VaR. Em linhas gerais, pretende-
se no que segue, construir modelos de composição de carteiras de mínimo VaR que
sejam tratáveis computacionalmente, mesmo em situações nas quais não se presume
que a distribuição dos retornos das carteiras seja normal.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
39
5 O método DACE para estimação do VaR
Neste capítulo é apresentada uma técnica de otimização denominada “método
das funções aleatórias” (random function methods) na qual a função objetivo é
tratada como uma realização de um processo estocástico. Embora este tipo de técnica
tenha se mostrado ineficaz para problemas de otimização global [21], a estrutura do
problema de determinação do VaR parece ser apropriada a tal tipo de abordagem.
Segundo Pardalos, o método mostrou-se eficiente para situações nas quais o custo do
cálculo da função objetivo é muito alto. Cabe ressaltar que a aplicação desta técnica a
problemas de composição de carteiras é pioneira e não se tem conhecimento de tal
tipo de abordagem na literatura de otimização e finanças.
O pressuposto que norteia este trabalho é que, num dado instante, é possível
determinar o VaR para diferentes composições de carteiras, . Esses valores
correspondem a observações de uma superfície VaR(x), que pode ser aproximada por
alguma função suficientemente “bem comportada”. Normalmente se utilizam
técnicas de regressão polinomial para ajuste de funções a um conjunto
preestabelecido de dados. No entanto, como é difícil determinar para o VaR qual o
grau do polinômio mais adequado, optou-se por utilizar uma ferramenta
desenvolvida por Jones, Schonlau e Welch [3] denominada “metodologia de
superfícies de resposta” conhecida como DACE (Design and Analysis of Computer
Experiments). Esta metodologia foi desenvolvida para modelagem de funções não
lineares que normalmente ocorrem na engenharia. Na geologia, por exemplo, coleta-
se dados da concentração de minerais em um conjunto de pontos do solo em uma
determinada região e, com auxilio do DACE é possível construir uma superfície de
resposta para a concentração de minerais em toda a área pesquisada.
Apesar de que as aplicações tradicionais desta metodologia não são voltadas
para a área financeira, o problema encontrado na otimização do VaR possui
semelhanças com o problema da concentração de minerais no solo. No caso da
concentração de minerais no solo não é possível obter o valor real da concentração
em todos os pontos da região pesquisada. E quanto ao VaR, apesar de ser possível
obtê-lo para a maior parte das configuração de carteiras, o seu comportamento real
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
40
dificulta a otimização sendo possível utilizar o método DACE para gerar uma
aproximação mais favorável à otimização.
Em um primeiro momento serão apresentados os conceitos teóricos necessários
para compreensão e implantação da metodologia DACE e, posteriormente, serão
apresentados testes que visam ilustrar os parâmetros e características desta
metodologia.
Finalmente o método será validado quanto à sua aplicação para aproximação
do VaR em processos de otimização.
5.1 Apresentação Teórica
Considere uma situação na qual são observados q pares de pontos
, onde e y(j) = f(w(j)). A função f(.) possui comportamento
desfavorável ao uso de modelos de otimização.
O método DACE procura encontrar uma aproximação da função f, de tal
forma que . A função é escolhida de forma a facilitar a
obtenção do ponto de mínimo de f(.).
A maneira mais simples de se realizar uma aproximação é adotar um modelo
de regressão linear do tipo
5.1
onde ? é uma constante e e(w) são erros aleatórios, independentes e
normalmente distribuídos com média zero e variância constante s 2.
Uma hipótese importante nesta abordagem é de que os erros são não
correlacionados. Neste caso, as estimativas da função f são dadas por
onde é dado por .
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
41
No método DACE considera-se também uma aproximação linear como
apresentado na equação 5.1. A diferença é que, neste caso, admite-se que os erros são
correlacionados e as estimativas são dadas por:
5.2
onde é o resultante de uma regressão linear com polinômio de grau zero e
ê(.) é o erro cometido nesta regressão como indicado na Figura 8.
Como se pode observar pela Figura 8 é natural considerar que a correlação
entre os erros e(w(*)) e e(w(j)) seja proporcional à distância entre os pontos w(*) onde
se deseja fazer a previsão e o ponto observado w(j). Quanto mais próximo estiver o
ponto w(*) do ponto w(j) menor será a diferença entre e(w(*)) e e(w(j)) e maior será a
correlação entre eles.
Figura 8: Figura ilustrativa do modelo de interpolação.
No método DACE a distância entre as observações não é dada pela distância
euclidiana ( ) mas sim pela equação 5.3 que permite priorizar
através dos parâmetros ?h e ph as variáveis que são mais “ativas” na previsão.
5.3
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
42
Partindo-se desta equação de distância pode-se utilizar diversas formas de se
calcular a correlação entre os erros e(w(j)) e e(w(k)) sendo que, dependendo da fórmula
de correlação utilizada, pode-se obter diferentes funções de ajustes a amostra dada.
Conforme mencionada anteriormente a abordagem de “funções aleatórias” pressupõe
a existência de um processo estocástico. Tal processo caracteriza-se pela função de
correlação entre os valores da função em cada par de pontos da região de viabilidade.
As medidas de correlação usuais são da forma:
5.4
Segundo esta equação quanto menor a distância entre as observações w (j) e w(k)
maior será a correlação entre os erros e, quando a distância entre as observações for
zero, a correlação será igual a um. Note que a escolha dos parâmetros ?h e ph , da
equação, são obtidos pelo método e não definidos a priori. Quando ao parâmetro ?h,
este pode ser interpretado como a importância ou “atividade” da variável aleatória
wh. A variável wh é importante ou dita “ativa” quando pequenos valores de
geram grandes diferenças nos valores da função ajustada para os valores
de e .
Posto que os erros são correlacionados, e que a correlação depende da distância
entre as observações, os parâmetros ?h, ph e s2 são estimados através do método
estatístico da máxima verossimilhança. Neste método pressupondo-se que um
conjunto de dados seja proveniente de uma particular distribuição de probabilidades
com parâmetros desconhecidos, pode-se encontrar estes parâmetros maximizando-se
a probabilidade conjunta de ocorrência daqueles valores. A probabilidade conjunta é
denominada função de verossimilhança e sua maximização é também um problema
de otimização não elementar.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
43
Uma vez estimados os parâmetros s 2, ?h e ph, o estimador para o ponto w*
[3] será dado pela seguinte equação:
5.5
Onde:
r é o vetor de correlações entre os erros em w* e os erros nos pontos da amostra
w, ou seja o elemento i de r é dado por conforme equação 5.4,
para uma determinada escolha da distância ;
R é a matriz de correlação entre os erros de todos os pontos da amostra w, ou
seja o elemento Rjk de R é dado por conforme equação 5.4, para
uma determinada escolha da distância;
y é o vetor dos valores observados para a amostra w;
é o estimador do parâmetro ? dado por ;
é um vetor unitário de dimensão q, = .[1 1 1 ... 1].
5.2 Aplicação do método DACE para aproximação do VaR
Ainda que sejam conhecidas na literatura diversas técnicas para determinação
do VaR de carteiras, a superfície definida por VaR(x) para não possui uma
expressão analítica simples. Alguns autores têm procurado obter aproximações
através de polinômios ([5]), visando resolver o problema de composição de carteiras.
A metodologia aqui proposta interpreta a função VaR(x) como um processo
estocástico, para o qual é conhecida uma realização, obtida a partir dos estimadores
de percentis.
O que se propõe é considerar uma seqüência , onde e
y(j) = (conforme equação 3.5) e q é o número de pontos
Trabalho de Formatura
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44
observados. E, a partir do método DACE proposto pela equação 5.5, obtém-se as
aproximações do valor em risco VaR(x) para qua lquer composição de carteira
.
A fim de exemplificar a metodologia proposta analisa-se, a seguir, um exemplo
no qual é considerada uma carteira hipotética de 3 ativos. Apesar desta ser uma
carteira hipotética, foi utilizada uma série histórica real de retornos de modo que o
VaR calculado pelo modelo de série histórica mantenha o comportamento para
carteiras reais.
Tabela 2: Ativos utilizados na compreensão do método DACE.
A amostra de valores utilizada para gerar os parâmetros do DACE será dada
pelos pares onde y(j) = VaR(x) segundo equação 3.5 e, x(j) é um vetor
de dimensão 3 onde representa a proporção do ativo i presente nesta
carteira. Por exemplo, uma carteira representada pelo vetor x = [0,5 0,3 0,2] consiste
na aplicação de USD 50.000,00, 300.000,00 e -20.000,00 nos ativos 1, 2 e 3
respectivamente.
Para facilitar a compreensão do método e permitir a visualização dos resultados
optou-se por gerar uma amostra de carteiras alterando-se apenas as proporções dos
dois primeiros ativos desta carteira original.
A análise é realizada da seguinte maneira:
• Um conjunto de pontos é gerado, de forma a pertencer ao
conjunto:
;
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
45
• Para cada ponto x(j) calcula-se y(j) = VaR(x) segundo o método de série
histórica;
• Determina-se a função aproximadora, segundo o método DACE,
através da estimação dos parâmetros ?h, ph e s 2;
• Gera-se outro conjunto de pontos pertencentes ao conjunto de
pontos viáveis X e calcula-se y(h) = VaR(x) segundo o método de série
histórica e y(h)’ = VaR(x) segundo o método DACE;
• Analisa-se o erro de estimação |y(h)’ - y(h)|
5.2.1 A seleção da amostra
Para definir os valores das proporções x(j) e conseqüentemente os valores de y(j)
foram testadas duas possibilidades de seleção de dados: aleatória e eqüidistante. Na
primeira, as proporções de cada ativo i são selecionadas aleatoriamente de
acordo com o tamanho da amostra que se deseja obter. Já na segunda, as proporções
de cada ativo são obtidas de forma que o conjunto de valores esteja
distribuído de forma igualmente espaçada em toda região analisada. Estas duas
formas de seleção de dados formam amostras que serão denominadas
respectivamente como amostras aleatórias e amostras eqüidistantes.
Na Figura 9 está representado o conjunto de valores que serão
utilizados nesta análise segundo os critérios de seleção eqüidistante e aleatória. Nesta
figura foram selecionadas 100 configurações da carteira alterando-se as proporções
x1 e x2 segundo os dois critérios (a proporção x3 do terceiro ativo foi mantida em
100%).
O conjunto de valores possíveis para neste estudo está dentro do intervalo
. No entanto, quando o DACE estiver sendo utilizado em modelos de
otimização, os valores possíveis para deverão estar contidos em um conjunto
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
46
definido pelas restrições do modelo de forma a reduzir o tamanho da amostra
necessária para gerar uma boa aproximação.
Figura 9: Seleção de dados pelo critério eqüidistante e aleatório respectivamente.
Para cada composição de carteira x(j) calcula-se o VaR, ou seja, y(j), segundo o
modelo de série histórica. Neste cálculo adotou-se um horizonte de tempo de 1 dia e
o percentil a um nível de 5% e utilizou-se uma série histórica de retornos com
aproximadamente 994 observações.
Uma vez obtidos os pares necessários para se realizar a
aproximação, são gerados os parâmetros s 2, ?h e ph do método DACE. Para tanto
foram utilizados os algoritmos desenvolvidos por Nielsen, Lophaven e Søndergaard
[12] e implementados em um toolbox para o software MATLAB denominado
“DACE - A MATLAB kriging toolbox”. Neste toolbox é possível estimar tanto os
parâmetros do DACE pelo método de máxima verossimilhança quanto a sua
aproximação final.
No trabalho de Nielsen, Lophaven e Søndergaard estão disponíveis sete
funções de correlação a serem utilizadas no modelo e apresentadas a seguir. Nestas
funções presume-se que o parâmetro ph da equação 5.3 já é fixo e portanto não
deverá ser estimado. Isto é razoável do ponto de vista de aplicação e também em
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
47
termos de redução do tempo computacional para determinação dos parâmetros do
modelo.
Consideram-se as seguintes funções de correlação:
Onde
Figura 10: Funções de correlação disponíveis em “A MATLAB Kriging Toolbox”
Para efeito deste teste inicial sobre o comportamento do VaR será utilizada a
correlação gaussiana e posteriormente serão feitos outros estudos de maneira a
definir qual função de correlação deverá ser utilizada como aproximação do VaR em
modelos de otimização.
Para ilustrar a aproximação gerada pelo método, na Figura 11 está apresentado
o comportamento do VaR na mesma região onde as amostras foram coletadas. Nesta
figura é possível perceber a existência de diversos mínimos locais e diversos pontos
Exponencial:
Gaussiana:
Linear:
Esférica:
Cúbica:
Spline:
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
48
de não diferenciabilidade que dificultam a atuação dos modelos de otimização como
levantado anteriormente.
Já na Figura 12 estão apresentadas as aproximações do VaR segundo o método
DACE para amostras selecionadas de maneira aleatória e uniforme. Os pontos pretos
indicam pontos da amostra utilizada.
Como era esperado, o método interpola os pontos da amostra além de fornecer
uma função diferenciável em toda região analisada. Quanto aos mínimos locais,
observa-se que apenas na aproximação da amostra uniforme a sua quantidade foi
sensivelmente reduzida. Isto mostra que a seleção do conjunto de pontos para os
quais se deve obter os valores do VaR pode ser relevante em termos do resultado
final.
Figura 11: Comportamento do VaR calculado segundo o percentil dos retornos de um
conjunto de carteiras.
Diferenças com relação ao critério de seleção da amostra também podem ser
analisadas segundo o erro cometido na aproximação. A magnitude deste erro está
apresentada na Figura 13 segundo a forma de erro absoluto dado por .
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
49
Figura 12: Aproximação gerada pelo método DACE utilizando-se amostras eqüidistante e
aleatória respectivamente.
Para a amostra uniforme o erro cometido chega a até 20 unidades em uma
região onde o VaR está em torno de 300 unidades (erro relativo de 6%). Já com a
amostra aleatória o erro absoluto atinge 80 unidades (erro relativo de 26%) na região
onde x1 e x2 é próximo de zero, ou seja, 4 vezes maior que o erro anterior.
Este e outros estudos, que não serão aqui apresentados, levam a crer que o
método DACE é bastante sensível ao critério de seleção da amostra. Assim, serão
utilizadas apenas amostras eqüidistantes para a aproximação do VaR nos modelos de
otimização.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
50
Figura 13: Erro absoluto cometido na aproximação gerada pelo método DACE
utilizando-se amostras eqüidistante e aleatória respectivamente.
5.2.2 Seleção da função de correlação a ser utilizada em
modelos de otimização
Em um primeiro momento será realizado um estudo simples que permite
analisar o comportamento das aproximações segundo a função de correlação
utilizada.
Esta análise utiliza um teste para verificar qual é o comportamento da
aproximação gerada pelo DACE de acordo com as funções de correlação e de acordo
com valores pré-estabelecidos para o parâmetro ?.
Neste teste são feitas aproximações partindo-se de uma amostra de pares
onde x = {0, 10, ..., 90, 100}, sendo que os valores de y são gerados
aleatoriamente
Os resultados deste teste estão disponibilizados no anexo A e na Tabela 3
apresenta-se um resumo onde se avalia a qualidade da aproximação para fins de
otimização. Para uma aproximação ruim considera-se a existência de pontos não
diferenciáveis ou regiões com alterações bruscas da primeira derivada e para uma
boa aproximação considera-se a ausência destas características.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
51
Como se pode perceber pela tabela, as funções de correlação exponencial,
linear e esférica apresentaram aproximações ruins para todos valores de ?. Já a
função gaussiana é a que fornece melhores aproximações.
Tabela 3: Característica da aproximação pelo método DACE de acordo com a função de
correlação utilizada.
É importante ressaltar que para composição da Tabela 3 os valores do
parâmetro ? são pré-estabelecidos e, portanto, a aproximação é encontrada sem a
necessidade de otimização da função de máxima verossimilhança. Para as situações
onde o parâmetro ? não é definido a priori, a aproximação encontrada torna-se
dependente dos limites superiores e inferiores definidos para este parâmetro. Apesar
disto, o resultado sempre assume as características apresentadas na Tabela 3,
independentemente do valor inicial e limites escolhidos.
Será apresentado a seguir um estudo utilizando-se as três funções que fornecem
boas aproximações e também amostras maiores onde os valores de x(j) pertencem a
Rn para n>5. Estas análises permitirão decidir qual função fornece menores erros de
aproximação e também analisar o comportamento do método com relação à
dimensão e tamanho da amostra.
Para gerar a amostra de pares com x(j) ? Rn optou-se por utilizar
o critério de seleção eqüidistante apresentado no item 5.2. Além disso, x(j) deverá
obedecer a restrição dos modelos de otimização de carteiras apresentados
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
52
no capítulo 4. Estes critérios de seleção da amostra1 visam aproximar a validação e
estudos do método DACE aos fins de otimização que ele será aplicado.
Para se obter amostras eqüidistantes é proposto um algoritmo que considera um
espaço de dimensão n no qual é definida a entidade passo que representa a distância
entre dois valores consecutivos para . Por exemplo, na Figura 14 o valor do
passo é igual a 1/3 tanto para a primeira amostra com n = 2 quanto para a segunda
amostra com n = 3. Nesta figura cada ponto em azul é um ponto x(j) com .
Verifica-se que para este mesmo passo, o tamanho da amostra para n = 2 é de
apenas 4 observações (j = 4) enquanto que para n = 3 o tamanho da amostra passa a
ser de 10 observações (j = 10). Quando se trabalha com amostras eqüidistantes o
número de observações cresce de forma exponencial em função da dimensão n.
Desta maneira, quando a dimensão da amostra que se precisa obter é muito grande
faz-se necessário aumentar o tamanho do passo o que reduz a precisão do modelo de
aproximação.
Figura 14: Amostras eqüidistantes com passo igual a 1/3 e com dimensão n igual a 2 e 3
respectivamente.
1 Em anexo se encontra o algoritmo desenvolvido para se gerar amostras segundo os critérios
apresentados.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
53
A análise é realizada da seguinte maneira:
• Um conjunto de pontos é gerado segundo critério de seleção
eqüidistante, de forma a pertencer ao seguinte conjunto de pontos
viáveis:
;
• Para cada ponto x(j) calcula-se y(j) = VaR(x) segundo o método de série
histórica;
• Determina-se a função aproximadora, segundo o método DACE,
através da estimação dos parâmetros ?h, ph e s 2;
• Gera-se outro conjunto de pontos segundo o critério aleatório
e pertencentes ao conjunto de pontos viáveis X;
• Calcula-se y(h) = VaR(x) segundo o método de série histórica e y(h)’ =
VaR(x) segundo o método DACE;
• Analisa-se o erro de estimação .
Na Tabela 6 encontra-se o erro quadrático médio de uma série de aproximações
geradas pelo método DACE onde se alterou tanto a dimensão n, o passo de seleção
dos pontos e o tipo de correlação utilizada. Utilizou-se ativos Futuros de DI
com maturidade de 5 dias úteis até 630 dias úteis.
Algumas conclusões podem ser tiradas. A primeira é que fixada a dimensão n
da amostra, observa-se que quanto menor o passo, menor é o erro quadrático da
aproximação. Por outro lado, se fixado o passo, o erro quadrático aumenta quando se
aumenta a dimensão da amostra. Percebe-se que o erro da aproximação é
inversamente proporcional ao passo e diretamente proporcional à dimensão n da
amostra. Desta forma, de acordo com o número de ativos da carteira (n), deve-se
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
54
buscar um valor para o passo da amostra que leve a erros reduzidos e amostras com
tamanhos aceitáveis.
Outra conclusão, é que, em mais do que 90% das aproximações realizadas, o
erro quadrático médio foi reduzido ao utilizar a correlação gaussiana. Sendo assim, a
correlação gaussiana parece ser a mais indicada quando se trata da aproximação do
VaR(x).
Trabalho de Formatura
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55
Tabela 4: Erro quadrático médio de aproximações geradas pelo método DACE em função
da dimensão, passo e correlação da amostra utilizada.
Trabalho de Formatura
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57
6 Aplicação do método DACE para otimização de carteiras
Este capítulo apresenta uma abordagem inédita para o tratamento do problema
de determinação de carteiras de mínimo VaR, que consiste em construir uma
aproximação da função VaR(x), através do método DACE, para posterior
determinação de uma solução aproximada do problema:
onde,
.
Embora não seja possível, na prática, determinar as soluções ótimas do
problema, o que se propõe, neste capítulo, é analisar o desempenho do modelo tanto
em termos do comportamento da fronteira eficiente – dentro de uma abordagem
semelhante à de Markowitz – como em relação à estabilidade das soluções ótimas
obtidas.
Como já foi discutido anteriormente, a função VaR(x) possui o grande
inconveniente de não ser convexa, o que impossibilita que se assegure que soluções
ótimas locais sejam também soluções ótimas globais. Além disso, sob as condições
em que VaR(x) é analisada neste trabalho – através da estatística de ordem
– a função possui diversos mínimos locais o que dificulta
substancialmente o processo de otimização.
De forma análoga ao modelo de Markowitz ([7][8]) o VaR(x) é minimizado
para diferentes valores de retorno esperado, construindo assim um gráfico (risco x
retorno) que compõe a fronteira eficiente.
Um investidor que tenha preferência por medir o risco de seus investimentos
segundo o VaR poderá então selecionar uma carteira que forneça um nível de risco
mínimo segundo este critério para um dado nível de retorno de seu interesse.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
58
6.1 Uma análise de fronteiras eficientes
Uma questão que se pode levantar é o quanto difere a fronteira eficiente
segundo o modelo média-variância de Markowitz do modelo de média-VaR
apresentado. Caso as soluções ótimas do primeiro modelo sejam iguais ou
semelhantes às soluções encontradas com o segundo, não existirão razões para
abandonar o modelo clássico pelo modelo aqui apresentado, principalmente em
função das dificuldades computacionais apresentadas.
Esta questão poderá ser analisada utilizando-se uma comparação da fronteira
eficiente de mínimo VaR com a fronteira eficiente de Markowitz. Para visualizar as
duas fronteiras no mesmo gráfico é possível calcular o VaR das carteiras que
compõem a fronteira eficiente de Markowitz e conseqüentemente obter uma imagem
da fronteira anterior.
Foram feitos alguns estudos utilizando-se carteiras compostas por ações de
empresas como, por exemplo, Petrobrás, Eletrobrás, Vale do Rio Doce, Companhia
Siderúrgica Nacional, entre outras. O VaR foi calculado utilizando-se um histórico
de retornos diários para cada ativo de 718 observações (dias úteis - totalizando três
anos aproximadamente). O nível de confiança utilizado foi de 95%. As fronteiras
eficientes para os dois modelos foram calculadas utilizando-se 200 valores de
retornos eqüidistantes.
Como o modelo de otimização do VaR apresentado no capítulo 4 é um
problema de otimização não linear foi utilizada a função fmincon presente no
software MATLAB1 específica para este tipo de otimização. Já a fronteira de
Markowitz, por ser uma abordagem clássica da composição de carteiras, pode ser
obtida utilizando-se uma função específica do mesmo software denominada frontier.
Como não se pretende avaliar o tempo gasto para resolver os dois problemas, não é
fundamental discutir detalhes das 2 funções. Admitiu-se que os dois algoritmos
1 Os algoritmos desenvolvidos em MATLAB para cálculo do VaR, aproximação do DACE e
obtenção das fronteiras de eficiência se encontram em anexo.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
59
possuem níveis de eficiência razoáveis e que, por serem executados em uma mesma
plataforma (AMD AthlonTM XP 1800, 512 MB de RAM e MATLAB versão 6.5),
não devem introduzir problemas numéricos que afetem os resultados do problema
analisado.
Considerou-se um conjunto de 11 ativos do mercado brasileiro, sendo 10 ações
mais o índice Ibovespa. As ações consideradas foram as seguintes: PETR4, BBDC4,
VAL5, ELET6, TEPR4, ITSA4, CSNA3, TNLP4, GGBR4 e TSPP4. O retorno
médio destes ativos no histórico considerado está entre 0.04% e 0.23% de forma que,
os valores para os quais a fronteira eficiente foi calculada, está compreendida neste
intervalo (200 valores eqüidistantes).
Nas Figura 15, 16 e 17 estão apresentados resultados típicos do experimento
realizado. Para a Figura 15 a curva fina em azul é a fronteira resultante do modelo de
otimização de mínimo VaR utilizando-se a aproximação pelo método DACE. Nesta
curva os valores do VaR estão expressos pela aproximação do DACE. Para cada
carteira ótima também é possível calcular o VaR “real” segundo o modelo de série
histórica que corresponde à curva em vermelho. Nesta figura, o VaR e o retorno
esperado estão expressos em porcentagem do total a ser investido. Na Figura 16
encontra-se a fronteira eficiente de mínimo VaR e a imagem da fronteira eficiente de
Markowitz. A Figura 17 apresenta a fronteira eficiente de Markowitz e a imagem da
fronteira eficiente de mínimo VaR. No eixo horizontal desta figura está representado
o desvio padrão dos retornos.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
60
Figura 15: Fronteira gerada pelo modelo de mínimo VaR utilizando-se a aproximação do
DACE e fronteira equivalente calculando-se o VaR (segundo o modelo de série histórica -
percentil) para as carteiras obtidas na otimização.
Destes estudos é possível tirar algumas conclusões. Na Figura 16 a diferença
entre as duas curvas expressam o erro cometido na aproximação do VaR pelo método
DACE. No entanto, como se pode observar pela Figura 17 a aproximação fornece
carteiras cujo VaR é menor para a maior parte das fronteiras analisadas. Desta forma,
apesar do modelo de otimização cons iderar uma aproximação do VaR, o resultado
obtido é satisfatório.
Também se verifica a não convexidade da fronteira eficiente de mínimo VaR
expresso pelo percentil. No entanto, quando se considera a aproximação do VaR
gerada pelo método DACE obtêm-se uma fronteira eficiente convexa. Desta forma
pode-se considerar que o comportamento global da fronteira eficiente de mínimo
VaR é convexo e passível de ser encontrado através minimização do ajuste gerado
pelo DACE.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
61
Figura 16: Fronteira eficiente de mínimo VaR e imagem da fronteira eficiente de
Markowitz.
No que diz respeito à escolha de carteiras de investimento ótimas, existe uma
razoável diferença entre as fronteiras eficientes obtidas com o método de mínimo
VaR e o método de mínima variância. Esta diferença se verifica principalmente em
carteiras com risco médio (de 0.195% até 0.220%). Neste ponto, o modelo de
mínimo VaR fornece carteiras onde o VaR é substancialmente diferente de carteiras
obtidas pelo modelo de Markowitz. Ou seja, investidores que precisam ou têm
preferência por avaliar sua carteiras com o VaR devem trabalhar com esta medida de
risco para selecionar e compor estas carteiras. Conseqüentemente, o DACE poderá
ser adotado como um método aproximação que viabilizará a minimização do VaR
para os modelos de otimização existentes.
Trabalho de Formatura
Modelo para composição de carteiras de investimento com mínimo VaR
62
Figura 17: Fronteira eficiente de Markowitz e imagem da fronteira eficiente de mínimo
VaR.
Por outro lado, investidores que têm preferência pela variância como medida
de risco, verifica-se que carteiras obtidas pelo método de mínimo VaR não são
eficientes se comparadas com as obtidas com o modelo tradicional de Markowitz.
Neste caso, o modelo de média-variância é o indicado mesmo por que a simplicidade
de otimização é extremamente superior.
6.2 Análise de estabilidade das soluções ótimas obtidas
Normalmente, alterações grandes ou muito freqüentes da composição de uma
carteira não são desejadas por uma instituição. A compra e venda de grandes
volumes de ativos demandam liquidez do mercado e tomam tempo para serem
concretizadas. Além disso, a cada compra ou venda de um ativo, incorrem custos
como, por exemplo, corretagem e pagamento de impostos, que podem reduzir o
retorno esperado de uma carteira.
Sendo assim, a estabilidade das carteiras obtidas com o modelo de mínimo
VaR proposto é um fator importante a ser considerado. Entende-se por estabilidade
de uma carteira a reduzida necessidade de se fazer alterações na sua composição com
o passar do tempo.
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63
Para analisar a estabilidade pode ser feito um estudo onde se calcula a carteira
ótima para diversos períodos consecutivos. Este estudo é realizado utilizando-se um
histórico de retornos com tamanho fixo para cada ativo da carteira e, a cada período
de cálculo, é excluída a observação mais antiga da série anterior do período anterior e
acrescentada uma nova observação referente ao período em questão.
Este estudo foi realizado para uma carteira contendo os mesmos ativos e
históricos de retornos do estudo anterior (10 ações mais o Ibovespa). Do total de 718
retornos disponíveis utilizou-se um histórico fixo de 466 observações e foram feitas
252 determinações da solução ótima alterando-se o histórico em um dia. As carteiras
ótimas foram calculadas utilizando-se o modelo de mínimo VaR e o modelo de
Markowitz e, fixando-se o retorno médios das carteiras viáveis em 0.2%. As figuras
18, 19, 20 e 21 resumem os resultados obtidos. Verifica-se que para carteiras obtidas
segundo o modelo de Markowitz, a maior alteração da composição de um ativo entre
dois dias consecutivos é de 2% enquanto que, para carteiras obtidas pelo modelo de
mínimo VaR a alteração máxima é de 6%.
Estes resultados não permitem tirar conclusões quanto à viabilidade de um
modelo ou outro, visto que dependem da liquidez dos mercados, volumes financeiros
envolvidos e custos específicos de compra ou venda de ativos. No entanto, está claro
que carteiras obtidas pelo modelo de mínimo VaR são menos estáveis que carteiras
obtidas pelo modelo de Markowitz. Esta análise deve ser levada em consideração
quando da opção pela composição de carteiras segundo um modelo ou outro. Deve
ser ponderado se a redução do valor em risco obtida pelo modelo de mínimo VaR
justifica os custos referentes à menor estabilidade das carteiras.
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Figura 18: Composição da carteira ótima (período de 1 ano) obtida através do modelo de
mínimo VaR.
Figura 19: Composição da carteira ótima (período de 1 ano) obtida através do modelo de
Markowitz.
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Figura 20: Composição da carteira ótima (período de 3 meses) obtida através do modelo
de mínimo VaR.
Figura 21: Composição da carteira ótima (período de 3 meses) obtida através do modelo
de Markowitz.
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7 Conclusões
Neste trabalho foi estudado o VaR no contexto de otimização financeira e de
forma semelhante à abordagem de carteiras proposta por Markowitz.
Por ser o VaR uma medida de risco não elementar quando considerada em
modelos de otimização, as empresas e instituições financeiras ainda não o utilizam
como critério de otimização de suas carteiras – embora o VaR seja utilizado de forma
generalizada na mensuração do risco. Para contornar estas dificuldades, foi proposta
a aplicação da ferramenta de aproximação DACE cujas origens estão voltadas para
resolução de problemas de engenharia. Mostrou-se que é possível, e mais eficiente, a
otimização do VaR quando aproximado pelo método DACE.
Também foram apresentados alguns estudos comparativos entre as fronteiras
eficientes obtidas pelo modelo de Markowitz e pelo modelo de mínimo VaR. Destes
estudos concluiu-se que as fronteiras obtidas pelos dois modelos são claramente
distintas de forma que investidores que têm preferência por carteiras de mínimo VaR
devem utilizar o modelo proposto. Por outro lado, para investidores que têm
preferência por carteiras de mínima variância estes devem manter o modelo
tradicional proposto por Markowitz, além do que, este modelo é mais simples de se
implementar.
Apesar dos resultados satisfatórios, ainda devem ser feitos estudos para
verificar os custos e benefícios do modelo de mínimo VaR quando se aumenta o
número e tipos de ativos das carteiras - de forma a se adequar à realidade das
empresas. Outro ponto importante é que, como foi verificado, carteiras de mínimo
VaR possuem menor estabilidade ao longo do tempo se comparadas com carteiras de
mínima variância. Dado que alterações da composição de uma carteira incorrem em
custos e dependem da liquidez dos mercados, esta questão deve ser mais explorada
em estudos futuros.
Trabalho de Formatura
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69
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73
ANEXO A: Testes para seleção da função de corre lação a
ser utilizada em modelos de otimização.
Aproximações feitas pelo método DACE partindo-se de uma amostra de pares
onde x = {0, 10, ..., 90, 100} e y é dado por valores gerados
aleatoriamente. Os valores do parâmetro ? são pré-estabelecidos e, portanto, a
aproximação é encontrada sem a necessidade de otimização da função de máxima
verossimilhança.
Para uma aproximação ruim considera-se a existência de pontos não
diferenciáveis ou regiões com alterações bruscas da primeira derivada e para uma
boa aproximação considera-se a ausência destas características. As funções de
correlação utilizadas são dadas pelas seguintes equações:
Onde
Exponencial:
Gaussiana:
Linear:
Esférica:
Cúbica:
Spline:
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Para ? = 25:
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Para ? = 15:
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Para ? = 05:
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Para ? = 02:
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Para ? = 0.02:
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ANEXO B: Algoritmos
Algoritmo para geração de uma amostra eqüidistante:
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Algoritmo para simulação dos parâmetros do DACE:
Algoritmo para cálculo do VaR(x) aproximado pelo método DACE:
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Algoritmo para definição das fronteiras eficientes:
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ANEXO C: Teste de aderência à distribuição normal do
retorno de alguns ativos financeiros
Para verificar a aderência dos retornos de alguns ativos financeiros à
distribuição normal, utilizou-se o teste de hipóteses de Anderson-Darling [28]
disponível no aplicativo MINITAB.
No teste de Anderson-Darling são testadas as seguintes possibilidades a um
determinado nível de significância:
Neste teste, obtêm-se o fator A2 que, considerando um nível de significância de
95%, se A2 for menor que 0.752, não existirão evidencias para se rejeitar H0, ou seja,
os retornos do ativo em questão serão normalmente distribuídos.
Foram feitos testes com ativos indexados à taxa de juros pré-fixada de dólar
para 3 e 12 meses (DOL-3M e DOL-1A) e indexados à taxa de juros pré-fixada de
reais para 3 e 12 meses (PRE-3M e PRE-1A). Na Tabela 5 pode-se perceber que os
valores de A2 são muito maiores que 0,758 e, portanto, não existem razões para se
aceitar que os retornos destes ativos são normalmente distribuídos.
Tabela 5: Resultados do teste de normalidade dos retornos de ativos financeiros.
Para ilustrar o quanto a hipótese de normalidade afetaria a previsão, o VaR foi
calculado para as distribuições de retornos dos ativos anteriores (VaR1 – dado pela
equação 2.3) e posteriormente foi calculado parametrizando-se estas distribuições
segundo distribuições normais (VaR2 – dado pela equação 2.4) como apresentado na
Tabela 6.
H0: a variável é normalmente distribuída H1: a variável não é normalmente distribuída
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Neste cálculo percebe-se o quanto o valor previsto para o VaR pode ser afetado
quando se assume a normalidade da distribuição dos retornos dos ativos. No caso do
ativo DOL-1M o VaR calculado pelo método de parametrização é 42% menor que o
VaR calculado pelo método de série histórica.
Tabela 6: Comparação do VaR calculado pelo método paramétrico e pelo método de série
histórica.
Além disso, é possível perceber claramente a inconsistência da parametrização
destes ativos quando se observa a distribuição real de retornos de um ativo
sobreposta à distribuição normalizada do mesmo ativo como apresentado na figura a
seguir.
Figura 22: Distribuição de retornos de um ativo