modelo hiperel astico polinomial del conjunto de grasa y tejido glandular...

Universidad de Sevilla

Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa

Master en Diseno Avanzado en Ingenierıa Mecanica

Modelo hiperelastico polinomialdel conjunto de grasa y tejido

glandular en la mama femenina

Jose Luis Calvo Gallego

Director: Dr. Javier Martınez-Reina

Sevilla - 15 de octubre de 2012

Indice general

Indice general 1

1. Introduccion 3

1.1. Reconstruccion mamaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Caracterizacion de los tejidos que conforman la mama . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Objetivos del proyecto fin de master . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Comportamiento mecanico de tejidos blandos 15

2.1. Medios Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1. Cinematica del solido deformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2. Tensores de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.3. Leyes de conservacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Hiperelasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.1. Hiperelasticidad incompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.2. Hiperelasticidad compresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.3. Modelos hiperelasticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.4. Tensores de elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3. Estado del arte de los modelos de comportamiento de los tejidos graso y

glandular mamarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.1. Ensayo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3. Modelo y calculo numerico 53

3.1. Modelo de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1

2 INDICE GENERAL

3.2. Cargas y condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.1. Desplazamientos restrigidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.2. Desplazamientos impuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3. Ajuste por mınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4. Resultados 67

4.1. Compresion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2. Traccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3. Intercambio de las constantes entre compresion y traccion . . . . . . . . . . . 75

4.4. Compresion y Traccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5. Cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.6. Compresion, traccion y cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5. Conclusiones y trabajos futuros 95

5.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Bibliografıa 99

Capıtulo 1

Introduccion

Para comprender la motivacion de este trabajo, es necesario decir que forma parte de

otro proyecto mayor, denominado “Modelado numerico de un proceso de reconstruccion

mamaria”, el cual se introduce a continuacion, para estar en disposicion de entender el

contexto en que se encuadra el estudio que se desarrollara a lo largo de estas paginas. Ası,

en primer lugar se explica brevemente en que consiste el proyecto global y los objetivos

que pretende alcanzar, sus antecedentes y la metodologıa a seguir. Posteriormente en esta

introduccion se establece la relacion entre el proyecto global y este trabajo fin de master, para

despues terminar particularizando los objetivos que persigue este ultimo,de gran utilidad

para la consecucion de la meta final.

1.1. Reconstruccion mamaria

La reconstruccion de la mama tras su extirpacion por cancer de mama u otra enfermedad

constituye una parte esencial del tratamiento y rehabilitacion de las pacientes. Actualmente

constituye una practica habitual, ya que puede proporcionar un gran beneficio fısico y, sobre

todo, psicologico a la paciente mastectomizada. Sin embargo, la mayorıa de los cirujanos

realizan este tipo de reconstrucciones en base a sus conocimientos empıricos, dadas las

limitaciones de los protocolos de que disponen.

En los ultimos anos se han producido avances importantes en el uso de tecnicas de

realidad virtual para la planificacion de operaciones quirurgicas [9], y concretamente para

la planificacion de intervenciones de reconstruccion mamaria, obteniendose resultados muy

3

4 Introduccion

satisfactorios [7]. En esa lınea, el Hospital Universitario Virgen del Rocıo (HUVR) lleva varios

anos (desde el ano 2005) desarrollando una herramienta de realidad virtual, denominada

VirSSPA (Virtual Servicio Sanitario Publico Andaluz), para la planificacion y optimizacion

de intervenciones quirurgicas [10,11]. Dicha herramienta, aunque esta en fase de desarrollo,

esta dando muy buenos resultados en la planificacion de diversos tipos de operaciones, entre

las que cabe destacar la de trasplante de tejido facial realizada en enero de 2011. Entre

los tipos de intervenciones que se pretenden simular estan las de reconstruccion mamaria a

pacientes mastectomizadas mediante trasplante de tejido del propio paciente. En esa lınea,

ya han comenzado a analizar imagenes de las zonas de extraccion e implantacion obtenidas

con TACs para la planificacion de las intervenciones [10]. Un paso importante y necesario

en el uso de las tecnicas de realidad virtual en la planificacion de las intervenciones es la

inclusion de las caracterısticas de flexibilidad de los tejidos, con objeto de poder planificar la

forma y volumen de tejido a extraer para conseguir la forma simetrica de la mama sana. Por

ello, el objetivo del proyecto, en el cual se engloba este trabajo, consiste en el estudio de las

posibilidades de la planificacion prequirurgica en reconstruccion mamaria con la herramienta

de realidad virtual VirSSPA y el diseno de un procedimiento basado en analisis mediante

elementos finitos (EF) para predecir el comportamiento de los tejidos previa y posteriormente

a la implantacion y obtener los mejores resultados funcionales y esteticos en las pacientes,

con la menor morbilidad y en el menor tiempo quirurgico posible.

En lıneas generales pueden distinguirse dos tipos de reconstruccion. En un caso, tras la

mastectomıa se comienza un proceso de aumento del volumen de la zona de la mama median-

te la colocacion de una protesis de volumen variable, que va aumentandose progresivamente,

hasta que alcanza la dimension suficiente para colocar un implante. Posteriormente, se le

da forma a la mama y se reconstruye el pezon. En el otro tipo, que es el que interesa en

este proyecto, se realiza un trasplante de tejidos desde el costado, el abdomen u otras zonas

del cuerpo y se implanta en la zona de la mama [5, 13]. La geometrıa del trozo de tejido

trasplantado debe ser tal que permita generar una forma lo mas parecida posible a la de

la mama deseada. Posteriormente se retoca la geometrıa y se reconstruye el pezon. En es-

te segundo caso, la consecucion o no de la forma deseada depende en gran medida de la

geometrıa del trozo de tejido trasplantado. Para decidir sobre dicha geometrıa no basta con

definir el desarrollo de la superficie de la mama a obtener; es fundamental ser capaces de

predecir las diferencias de deformacion que se produciran en el tejido como resultado de

1.1 Reconstruccion mamaria 5

haberlo cambiado de posicion y la diferencia de tensiones a las que esta sometido en cada

ubicacion. Ademas, deben conocerse las deformaciones que se produciran en el conjunto

mama-tejidos circundantes como consecuencia de su interaccion.

De acuerdo con lo anterior, para definir el desarrollo de superficie a cortar en la zona de

origen, de forma que una vez implantado genere un volumen igual al de la mama deseada,

hace falta conocer el comportamiento mecanico del tejido, tanto en el lugar de origen como

en el de destino, y sometido a las fuerzas e interacciones correspondientes en cada caso. El

proceso a seguir para ello podrıa definirse de forma simplista como se indica a continuacion.

Representacion del tejido implantado en la mama con la forma deseada y sometido a

las tensiones producidas por la gravedad, posibles protesis colocadas en su interior e

interaccion con los tejidos circundantes (figura 1.1).

Figura 1.1: Tejido implantado en la mama.

Corte del tejido por la zona en que se realizaran las costuras al implantarlo (figura

1.2).

Figura 1.2: Corte del tejido.

Eliminacion de las tensiones a las que estaba previamente sometido, dejando el tejido

totalmente libre de tensiones. (figura 1.3).

6 Introduccion

Figura 1.3: Liberacion de tensiones.

Colocacion del tejido desarrollado en la zona de origen y aplicacion de las tensiones a

que lo someten el nuevo entorno (figura 1.4).

Determinacion de la nueva forma del desarrollo de tejido una vez sometido a las ten-

siones indicadas (figura 1.4).

Figura 1.4: Determinacion de la nueva forma.

Dicha geometrıa sera la forma del desarrollo de tejido a cortar de la zona de origen. Para

poder desarrollar todo el proceso anteriormente indicado es necesario resolver un numero

importante de problemas, algunos de los cuales se plantean en el proyecto propuesto. Entre

ellos, cabe mencionar algunos, como son:

Determinacion de las propiedades mecanicas de los diferentes tejidos implicados en el

problema tanto biologicos como los de las protesis. Comprobacion y comparacion con

datos de la bibliografıa.

Definicion de determinadas propiedades biomecanicas de los tejidos a partir de image-

nes obtenidas en TACs. Para poder reconstruir el modelo de la geometrıa del paciente

es necesario identificar la densidad de cada tejido en los TACs con la de los materiales

ensayados en el laboratorio para ası poder asignar propiedades del material lo mas

realistas posibles al modelo.

Desarrollo de modelos numericos de la mama o del vientre a partir de la geometrıa

1.1 Reconstruccion mamaria 7

obtenida mediante alguno de los procedimientos posibles, ya sean TACs, resonancia

magnetica o fotogrametrıa tridimensional.

Definicion de las solicitaciones e interacciones a que estan sometidos los tejidos en

las diferentes ubicaciones, incluyendo el efecto de posibles implantes colocados en la

mama.

Desarrollo de modelos de comportamiento de los tejidos a partir de los ensayos mecani-

cos realizados y resultados obtenidos de la bibliografıa. Dichos modelos deben tener en

cuenta tanto las caracterısticas no lineales de los tejidos implicados como la evolucion

de las mismas con el tiempo.

Definicion de las propiedades de las conexiones entre tejidos y el efecto de los tejidos

adyacentes.

Definicion de un modelo completo de comportamiento biomecanico de la zona de ex-

traccion del tejido y de la mama, en los que se incluira la geometrıa, propiedades

biomecanicas de los tejidos y comportamiento de los mismos, ası como las solicitacio-

nes a que estaran sometidos.

El objetivo final a conseguir a medio plazo puede definirse como el desarrollo de un

software de realidad virtual que permita planificar las operaciones de reconstruccion mamaria

mediante el injerto de tejidos e implantes artificiales, reproduciendo virtualmente el proceso

de reconstruccion. El trabajo que aquı se expone alcanza un objetivo parcial necesario para

conseguir el objetivo final antes citado. La consecucion de dicho objetivo requiere el desarrollo

de un software especıfico que realice diversas tareas, entre las que cabe destacar la obtencion

de la geometrıa de la mama a partir de imagenes de TACs, resonancia magnetica (MRI) o

fotogrametrıa, la planificacion de la geometrıa de tejido a extraer del vientre para su injerto

en la mama o la determinacion de la forma final de la mama, despues del injerto del nuevo

tejido y la colocacion del implante artificial correspondiente.

Las herramientas existentes hasta ahora en el mercado permiten, a partir de imagenes

del paciente, reconstruir la imagen deseada de la mama afectada. Actualmente, este tipo

de reconstrucciones son realizadas por el cirujano en base a sus conocimientos empıricos.

No tiene en cuenta las propiedades de los distintos materiales que componen la mama o las

cargas a las que esta sometida. Por ello, el desarrollo de un modelo numerico que permita

8 Introduccion

simular el proceso de reconstruccion mamaria para cada paciente constituye un reto de

enorme interes clınico y el objetivo del proyecto global.

1.2. Antecedentes

El estudio de la mecanica del comportamiento de los tejidos vivos es de gran actuali-

dad y recibe una atencion por parte de la comunidad cientıfica internacional cada vez mas

importante. Son muchos los grupos de investigacion en ciencias e ingenierıa que estan vol-

viendo sus miras hacia la Bioingenierıa, aprovechando su experiencia en otros campos de la

ciencia para aplicarlos al estudio de los sistemas biologicos en general y del cuerpo humano

en particular. Esta creciente atencion a la Bioingenierıa es algo logico, ya que la ciencia debe

responder a los problemas a los que se enfrenta el hombre y uno de los mas importantes es

la salud. Desde el punto de vista de un ingeniero, el cuerpo humano se puede ver como una

maquina en la que su correcto funcionamiento esta ıntimamente ligado al estado de salud.

Aunque puede parecer que la Medicina y la Biologıa son las disciplinas mas adecuadas para

abordar el problema, hay diversos aspectos de los procesos biologicos que requieren de la

participacion de otras disciplinas como la Dinamica de Sistemas Multicuerpo, la teorıa de los

Medios Continuos, la Mecanica de Fluidos, la Electrotecnia, etc. Los Metodos Computacio-

nales son tambien muy utiles para su aplicacion al analisis y modelado de cualquier sistema

biologico. Es aquı donde entra en juego el papel del ingeniero u otros cientıficos. La investi-

gacion en Bioingenierıa es, por tanto, claramente multidisciplinar y requiere ineludiblemente

de la colaboracion entre grupos cuyas lıneas de investigacion se cruzan continuamente.

Dentro de la Bioingenierıa, la Biomecanica fue una de las primeras disciplinas en desarro-

llarse. Ya durante la decada de los 70, varios investigadores que trabajaban en biomecanica

comenzaron a interesarse en la caracterizacion de las propiedades mecanicas de los teji-

dos blandos, buscando ecuaciones constitutivas fenomenologicas para su comportamiento

mecanico. Los primeros trabajos se centraron en tejidos como los tendones, ligamentos o

arterias [8]. Sin embargo hoy en dıa, con el desarrollo de los ordenadores, se puede encon-

trar una amplia variedad de modelos constitutivos de un gran numero de tejidos blandos

(cerebro, hıgado, corazon, etc).

Un claro ejemplo de tejido blando es la mama ya que soporta deformaciones de hasta el

60 % [3]. En el campo de la reconstruccion mamaria, se han desarrollado una gran cantidad

de modelos biomecanicos de la mama para analizar su comportamiento en diversas situacio-

1.2 Antecedentes 9

nes. Samani et al. [27,28] simularon con un modelo de EF, el comportamiento frente a cargas

del pecho femenino con dos enfoques distintos. En primer lugar, consideraron un comporta-

miento elastico lineal de los tejidos y simularon deformaciones del 50 % en el pecho [27]. Por

otro lado, implementaron un modelo hiperelastico para caracterizar el comportamiento del

material [28], basado en las medidas de Wellman [37]. Ruiter et al. [25] simularon, asumien-

do un comportamiento elastico lineal de los tejidos, deformaciones similares a las obtenidas

clınicamente con mamografıas realizadas con rayos X. Por otro lado, Azar et al. [1, 2] tam-

bien usaron los parametros de Wellman para caracterizar el comportamiento del material

en sus simulaciones de EF.

A pesar de que existen numerosos estudios computacionales que caracterizan el com-

portamiento de la mama y lo simulan en diversas situaciones aun quedan muchos aspectos

por estudiar, mejorar y desarrollar desde el punto de vista numerico. Estos aspectos cabe

dividirlos en 2 partes: los relativos a la mejora de los modelos constitutivos ya desarrollados

y los que involucran la generacion de los modelos de elementos finitos de la mama sana y

con protesis.

En relacion a los modelos constitutivos, existe una gran variedad de aproximaciones para

los distintos componentes de la mama. Se trata de un tejido compuesto principalmente de

piel, grasa y glandula, con unas propiedades mecanicas que varıan segun factores geneticos

y edad [22]. Las propiedades mecanicas de los tejidos fibroglandulares y grasos se establecen

generalmente a partir de experimentos de indentacion ex vivo [16,32,37]. En estos trabajos se

demuestra que el tejido fibroglandular es mas rıgido que el tejido graso. En la mayorıa de los

estudios computacionales se hace uso de funciones de energıa de deformacion polinomiales o

exponenciales que se ajustan a estos datos experimentales [2,20,21,24,33]. En otros estudios,

por el contrario, se considera un comportamiento elastico lineal de los tejidos [27]. Ruiter et

al. [25] compararon estas leyes constitutivas y concluyeron que los modelos Neo-Hookeanos y

exponenciales son buenas aproximaciones mientras que el comportamiento elastico lineal no

proporciona resultados fiables. Con respecto a la piel, se trata de un tejido que presenta un

comportamiento mecanico no lineal, viscoelastico y con tensiones residuales [35]. Reishner et

al. [23] examinaron el comportamiento bidimensional mecanico de muestras humanas de la

piel obtenidas de distintos sitios anatomicos, y demostraron que la piel presentaba distintos

grados de anisotropıa segun la region del cuerpo. Sin embargo, a pesar de su anisotropıa,

algunos estudios numericos han aproximado su comportamiento con modelos hiperelasticos

10 Introduccion

isotropos [1,6]. Otros trabajos, por el contrario, la consideraron como elastica lineal e isotropa

para tensiones inferiores al 50 % [28]. Por lo tanto, dada la gran variedad de parametros y

modelos, es fundamental caracterizar el comportamiento de los distintos componentes de la

mama para ası poder hacer uso de leyes constitutivas lo mas realistas posibles.

En relacion a la generacion de los modelos, hoy en dıa algunas de las aplicaciones de los

elementos finitos ya desarrolladas incluyen la guıa de la biopsia clınica [1], el modelado de

compresiones similares a las generadas en las mamografıas con rayos X [20,28], la validacion

de algoritmos de registro no rıgidos [33], la elastografıa [21] y el comportamiento de mamas

sanas en diferentes posturas [6]. Sin embargo, existen pocos estudios numericos que definan

la geometrıa de tejido a extraer para obtener la geometrıa de mama deseada, despues de la

implantacion del tejido y la colocacion de la protesis correspondiente. En concreto, Huang

et al. [15] desarrollaron una cirugıa plastica virtual de reconstruccion de pecho a traves

del desarrollo previo de la mama sana del paciente. Proponen un metodo sencillo pero

muy simplista de masa-muelle para transformar la superficie curva de la mama sana en

una superficie plana; modelo que es mejorable incorporando modelos mas realistas para los

tejidos blandos. En esta lınea se plantean los objetivos de este proyecto.

1.3. Metodologıa

1. Revision bibliografica. Se centrara en la busqueda de datos experimentales ya exis-

tentes de las propiedades mecanicas de los tejidos de la mama y el vientre, y al estudio

de los modelos constitutivos existentes para caracterizarlos y de los metodos de ensayo

existentes.

2. Determinacion de las propiedades biomecanicas de los tejidos que inter-

vienen en el proceso. Ademas de las propiedades que se puedan obtener de la bi-

bliografıa, se realizaran experimentos para determinar las propiedades de tejidos tales

como la piel, grasa, musculo y tejido glandular de la mama.

3. Realizacion de un modelo de mama sana. Aunque en la reconstruccion no hay

que modelar una mama sana, el primer paso para el modelado de la mama reconstruida

sera la confeccion de un modelo lo mas completo posible de la mama sana. La validacion

del modelo de mama sana permitira saber la calidad de los modelos constitutivos de

tejidos empleados, ademas de la capacidad del modelo para representar las interfases

1.4 Caracterizacion de los tejidos que conforman la mama 11

entre tejidos y las condiciones de contorno.

4. Realizacion de un modelo de la zona de extraccion de los tejidos a implantar.

Esta fase sera muy similar a la comentada en el punto 4, con las particularidades

producidas por ser diferente tanto la geometrıa como las propiedades de los tejidos, la

combinacion de los mismos y las condiciones de contorno.

5. Realizacion de modelo de mama implantada. Reproduccion de al menos un caso

real de reconstruccion realizada, para comprobar el comportamiento del modelo. Se

modelara con la geometrıa real resultante y las propiedades estimadas de los tejidos

de la zona de donde se ha extraıdo el injerto, los tejidos propios que mantenga la zona

de la mama y los circundantes.

6. Determinacion de la geometrıa del injerto a extraer. Esta fase consiste en la

determinacion del desarrollo del area de tejido a extraer, para que una vez implan-

tado en la mama adquiera la forma deseada. Para ello se hara uso de los modelos

desarrollados previamente.

7. Validacion y pilotaje del metodo propuesto. Esta fase se iniciara en el momento

en que comiencen a obtenerse resultados de modelos que sean contrastables con los

reales y se ira desarrollando a lo largo de todo el proyecto.

1.4. Caracterizacion de los tejidos que conforman la ma-

ma

Los organos del cuerpo humano estan compuestos, por lo general, por distintos tipos de

tejidos, cada uno de los cuales cumple una determinada funcion en dicho organo. Desde un

punto de vista mecanico, se podrıa decir que estan formados por una mezcla de materiales,

que en muchos casos pueden tener propiedades muy diferentes y que se encuentran distribui-

dos de una cierta forma en el organo en cuestion. La complejidad estriba, en primer lugar, en

el casi desconocimiento de las propiedades mecanicas de los tejidos vivos, mas particularmen-

te de los tejidos blandos, y en segundo lugar, en que la distribucion de los mismos no suele

estar perfectamente definida, es decir, que en la mayorıa de las ocasiones se entremezclan

entre ellos quedando sus lımites bastante difuminados. Ademas, hay que tener en cuenta el

12 Introduccion

hecho de que tanto la proporcion de cada uno de los tejidos como su localizacion dentro del

organo suele depender en gran medida de factores como la edad, complexion, genetica, sexo,

etc, lo que dificulta la realizacion de un modelo que tenga validez “universal”para cualquier

sujeto.

Este trabajo en concreto se centra en un organo, la mama femenina. En una mujer adulta

esta compuesta principalmente por grasa,el sistema glandular mamario, piel y ligamentos.

Las proporciones de cada uno de estos tejidos no es igual en todas los mujeres, si no que

varıa mucho de un sujeto a otro.

La envoltura adiposa de la mama consiste en abundante tejido adiposo que se encuen-

tra por debajo de la piel de la region mamaria, la envuelve y le sirve de proteccion.

Consituye un porcentaje importante del volumen total del organo, si bien es cierto que

entre dos mujeres diferentes pueden existir grandes diferencias. De forma generica, el

tejido adiposo es un tipo de tejido conectivo (o conjuntivo) encargado de almacenar

la grasa del organismo. Es una importante reserva energetica y un almohadillado pro-

tector de los organos internos. Esta integrado por celulas repletas de trigliceridos, los

adipocitos, con un rico lecho vascular.

La glandula mamaria consiste en un sistema glandular lobulado que produce una

secrecion lactea despues del parto y, mediante una serie de canalıculos, la transporta

al exterior. La glandula mamaria se divide en multiples lobulillos que constituyen sus

unidades funcionales. Estos lobulos glandulares se comunican con el exterior a traves

del pezon mediante los conductos galactoforos. Este tejido tambien supone un volumen

considerable de la mama. La glandula mamaria pertenece al grupo de las glandulas

apocrinas, en las que los productos de secrecion se acumulan en el interior de las celulas

hasta que la membrana celular se abre y libera la secrecion, volviendo luego a cerrarse.

Son glandulas exocrinas compuestas alveolares y derivan del tejido epitelial.

La piel, tejido epitelial, envuelve los senos de la misma forma que al resto del cuerpo

humano. Tiene multiples funciones entre las que se cuentan la proteccion, secrecion y

absorcion de sustancias, recepcion sensorial, etc.

Los ligamentos suspensorios o ligamentos de Cooper estan situados en la cara posterior

de la glandula mamaria y sirven de fijacion de esta con la aponeurosis del musculo

pectoral mayor, que se encuentra justo detras de ella. Son tejidos conectivos densos,

1.4 Caracterizacion de los tejidos que conforman la mama 13

formados por unas celulas, fibroblastos, una sustancia fundamental compuesta por

agua, azucares y sales minerales, y fibras de colageno, reticulina y elastina.

Figura 1.5: Anatomıa de la mama femenina.

La mama limita en su parte posterior con el musculo pectoral mayor, las costillas y

los musculos intercostales que, junto con la piel que la envuelve exteriormente, confinan

el volumen interno de la mama. Este volumen interno esta compuesto, como se ha visto

anteriormente, por glandula, grasa y ligamentos. Sin embargo, y tras consultar la literatura

y a medicos y cirujanos, se determina que el volumen de los ligamentos juega un papel poco

importante en el total, llegando a no poder ser diferenciados entre el tejido graso y glandular

existente en el transcuros de una operacion (masectomıa). Por tanto, se puede establecer que

la casi totalidad del volumen de la mama consiste en grasa y tejido glandular. No obstante,

no hay que olvidar que la principal funcion de estos ligamentos es el sosten de la glandula

mamaria, por lo que podrıan tener una gran repercusion en el comportamiento mecanico del

conjunto. De hecho, los motivos por los que el pecho femenino pierde forma y cae con los

anos es la distension de la piel y de los ligamentos de Cooper. Pero a efectos de este estudio,

lo que reviste verdadera importancia es el aporte de cada tejido al volumen interno de la

mama, por lo que solo se tendran en cuenta grasa y glandula. Ambos tejidos se encuentran

entremezclados, siendo muy difıcil distinguirlos entre sı. Determinar los lımites entre uno

14 Introduccion

y otro, con la perspectiva de realizar un modelo de elementos finitos que considere en la

mama regiones claramente delimitadas correspondientes a cada uno de los tejidos es harto

complicado. Por ello, al menos en primera aproximacion, puede decirse que los tejidos estan

aleatoriamente distribuidos y tratarlos como un tejido compuesto. Esta simplificacion puede

ser muy util desde distintos puntos de vista, entre ellos un proceso de modelado mas sencillo

y la reduccion del coste computacional.

1.5. Objetivos del proyecto fin de master

El objetivo de este trabajo consiste en estudiar como afecta la distribucion aleatoria de

grasa y glandula al tejido en su conjunto y proponer un modelo mecanico de la mama sana,

que proporcione las propiedades del material compuesto formado por una mezcla de tejido

graso y glandular en funcion de la proporcion de cada uno de ellos. Se comprobara si el

tejido ”mezcla”posee un comportamiento intermedio al de los dos tejidos por separado, o si

por el contrario la combinacion de ambos aporta al conjunto unas propiedades distintas por

completo.

La metodologıa a seguir consistira, en lıneas generales, en la realizacion de una serie de

simulaciones mediante un programa de elementos finitos, de un material compuesto por una

mezcla aleatoria de grasa y glandula en una determinadas proporciones. Se analizaran varias

distribuciones aleatorias y proporciones de materiales, y varios estados de carga diferentes.

Con los resultados obtenidos de estas simulaciones, y haciendo uso de una serie de expresiones

teoricas que relacionan parametros de tension con parametros de deformacion y que se

desarrollaran a lo largo del capıtulo 2, se ajustaran las constantes de las cuales depende el

modelo de comportamiento, siguiendo el criterio de que el error cometido en este ajuste sea

mınimo, es decir, que el modelo obtenido reproduzca lo mas fielmente posible, con el menor

error posible, todos las simulaciones realizadas mediante el programa de elementos finitos.

Capıtulo 2

Comportamiento mecanico de

tejidos blandos

Los tejidos blandos considerados en este trabajo son los tejidos graso y glandular presen-

tes en la mama. En este apartado se presenta un resumen de los conceptos mas importantes

de la teorıa de los medios continuos no lineal, necesaria para describir el comportamiento de

los materiales biologicos en general, y de los que seran tratados aquı en particular.

La grasa es tejido adiposo, un tejido conectivo blando, mientras que la glandula forma

deriva del tejido epitelial. Ambos presentan un comportamiento ante la compresion no lineal,

es decir, el grafico tension-deformacion no es una lınea recta con pendiente igual a la rigidez,

si no que se trata de una curva [26,29]. A diferencia de los tejidos duros, los tejidos blandos

pueden experimentar grandes deformaciones e incluso presentar comportamientos de tipo

viscoelastico (relajacion y/o creep). Por ello, su comportamiento no puede ser estudiado

mediante la teorıa de la elasticidad, si no que hay que recurrir a una teorıa mas general, con

un menor numero de hipotesis que simplifiquen el problema.

2.1. Medios Continuos

La teorıa de los medios continuos es una herramienta util a la hora de explicar con bas-

tante precision una amplia variedad de fenomenos, sin llegar a introducirse en profundidad

en la compleja microestuctura interna de los materiales. En lıneas generales, se basa en:

15

16 Comportamiento mecanico de tejidos blandos

1. El estudio del movimiento y la deformacion (cinematica).

2. El estudio de la tension en un medio continuo.

3. La descripcion matematica de las leyes fundamentales de la fısica que gobiernan el

movimiento en un medio continuo (ecuaciones de balance).

A lo largo de este apartado se iran presentando los conceptos basicos y necesarios de

la teorıa de los medios continuos y de ellos se derivaran las ecuaciones y relaciones mas

importantes.

2.1.1. Cinematica del solido deformable

En un estudio de tipo macroscopico, un medio continuo posee unas dimensiones carac-

terısticas que son mucho mayores que los espacios intermoleculares y esta determinado por

parametros y magnitudes macroscopicas. Considerese un medio continuo B con una partıcu-

la P ∈ B que se encuentra en un espacio euclıdeo tridimensional en un determinado instante

de tiempo t, como se muestra en la figura [2.1].

Figura 2.1: Configuracion y movimiento de un medio continuo [14].

2.1 Medios Continuos 17

Introducimos un sistema de referencia dextrogiro cartesiano con su origen fijo en O y

una base de vectores ortonormales ea, a = 1, 2, 3.. A medida que el medio continuo se mueve

en el espacio de un instante de tiempo al siguiente, va ocupando una serie de regiones del

espacio que se denotan como Ω0,...,Ω(t) en cada tiempo t. Por tanto, cada partıcula P de

B se corresponde con un punto que en cada region (Ω0,...,Ω(t)) ocupa una determinada

posicion. Estas regiones se conocen como configuraciones de B en el tiempo t.

A la region en el tiempo inicial t = 0 se le llama configuracion inicial, en nuestro caso,

Ω0, o tambien configuracion fija de referencia (o indeformada) del cuerpo B. Notese

que en dinamica no se suele elegir la configuracion inicial como configuracion de referencia.

En esta configuracion inicial, el punto X ocupa la posicion de una partıcula P ∈ B en t = 0,

y P se identifica mediante el vector de posicion (o posicion de referencia) X del punto

X, con respecto al origen fijo O.

Cuando el medio continuo se mueve, pasando de ocupar la region Ω0 a una nueva region

Ω en t > 0, la configuracion de B se llama configuracion actual (o deformada). Ahora, el

punto X de la configuracion de referencia se ha transformado en el punto x de la configuracion

actual. Las componentes del vector X reciben el nombre de coordenadas materiales (o de

referencia) del punto X y las componentes de x, coordenadas espaciales (o actuales)

del punto x.

A lo largo de este texto, para denotar magnitudes (escalares, vectoriales y tensoriales)

en la configuracion inicial se usaran letras mayusculas, mientras que las letras minusculas

corresponderan a magnitudes en la configuracion actual.

Otro concepto de importancia a definir es la descripcion material (o de referencia),

que es la caracterizacion de cualquier magnitud con respecto de las coordenadas materiales

(X1, X2, X3) y el tiempo t, como se muestra en la ecuacion [2.1]. Tradicionalmente, la

descripcion material recibe el nombre de Lagrangiana.

x = κ[κ−10 (X, t)] = χ(X, t) (2.1)

De forma equivalente, se define la descripcion espacial (o Euleriana) como la carac-

terizacion de cualquier magnitud con respecto de las coordenadas espaciales (x1, x2, x3) y

el tiempo t, como se muestra en la ecuacion [2.2].

X = χ−1(x, t) (2.2)


Desplazamiento

La descripcion material del campo de desplazamientos, denotado por U, viene dada por:

U(X, t) = x(X, t)−X (2.3)

y relaciona la posicion X de una partıcula en la configuracion indeformada con su posicion

x en la configuracion deformada en el tiempo t.

En la descripcion material, el campo de desplazamientos es funcion de la posicion de

referencia X y del tiempo t. Por el contrario, el campo de desplazamientos en la descripcion

espacial, denotado por u, es funcion de la posicion actual x y del tiempo t.

u(x, t) = x−X(x, t) (2.4)

Gradiente de deformaciones

En el estudio de la deformacion de un medio continuo (i.e. cambios de forma y volu-

men), una magnitud destacada es el tensor gradiente de deformaciones F, el cual aparece en

todas las ecuaciones que relacionan magnitudes antes de la deformacion (indeformada) con

las magnitudes correspondientes despues (o durante) la deformacion. Este tensor permite

describir la posicion espacial relativa de las partıculas despues de la deformacion en termi-

nos de su posicion material relativa antes de la deformacion. Por tanto, es crucial para la

descripcion de la deformacion.

Definiendo el tensor gradiente de deformaciones F como:

F =∂x

∂X(2.5a)

FiI =∂xi∂XI

i, I = 1, 2, 3 (2.5b)

el vector dx puede obtenerse en funcion de dX como:

dx = F dX (2.6)

Notese que F transforma vectores en la configuracion inicial o de referencia en vectores en

la configuracion actual, motivo por el cual se dice que F es un tensor bipunto. En notacion


indicial (ecuacion (2.5b)) el ındice en letra minuscula se refiere a coordenadas espaciales

mientras que el ındice en letra mayuscula a coordenadas materiales.

Ası, el gradiente de deformaciones puede escribirse como:

F(X, t) =

∂x1

∂X1

∂x1

∂X2

∂x1

∂X3

∂x2

∂X1

∂x2

∂X2

∂x2

∂X3

∂x3

∂X1

∂x3

∂X2

∂x3

∂X3

(2.7)

El determinante del gradiente de deformaciones F, indicado como J y conocido como

ratio volumetrico o determinante del jacobiano, define el cambio de volumen entre la

configuracion de referencia y la actual.

J = detF > 0 (2.8)

Debido a que F es invertible, J(X, t) 6= 0, y como consecuencia de la impenetrabilidad

de la materia, no puede darse la condicion J(X, t) < 0 .

La inversa del gradiente de deformaciones se define como:

F−1(x, t) =

∂X1

∂x1

∂X1

∂x2

∂X1

∂x3

∂X2

∂x1

∂X2

∂x2

∂X2

∂x3

∂X3

∂x1

∂X3

∂x2

∂X3

∂x3

(2.9)

Las relaciones entre las magnitudes correspondientes a las descripciones material y espa-

cial puede expresarse a traves de los conceptos de push-forward y pull-back. El push-forward

es una operacion que transforma una magnitud vectorial o tensorial expresada en la con-

figuracion material a la configuracion espacial. El pull-back es la operacion inversa, que

transforma una magnitud vectorial o tensorial expresada en la configuracion espacial a la

configuracion material. En este sentido, el vector espacial dx puede ser considerado como el

push-forward del vector material dX, es decir:

dx = φ∗[dX] = F dX (2.10)

De forma inversa, el vector material dX serıa el pull-back del vector espacial dx, lo cual

se expresa como:

dX = φ∗[dx] = F−1 dx (2.11)


Tensores de deformacion

Los tensores de deformacion aportan una idea del cambio que sufre el medio continuo

durante el movimiento. Notese que a diferencia de los desplazamientos, que son magnitudes

medibles, las deformaciones estan basadas en un concepto que se introduce para simplificar

el analisis. Por consiguiente, exiten muchos tensores y definiciones diferentes de deformacion

en la literatura.

Una medida de deformacion importante en coordenadas materiales es el tensor de

Cauchy-Green por la derecha, C, normalmente referido en la literatura como tensor

de deformacion de Green y se define como:

C = FTF (2.12)

Notese que el gradiente de deformacion F esta a la derecha (de ahı el nombre) y que C

es simetrica y definida positiva para cada X ∈ Ω0. En coordenadas espaciales se define el

tensor de Cauchy-Green por la izquierda o tensor de Finger, b, como:

b = FFT (2.13)

que tambien es simetrico y definido positivo.

Otras medidas usuales de deformacion son el tensor de deformacion de Green-

Lagrange, en coordenadas materiales, y expresado de la forma:

E =1

2(FTF− I) (2.14)

y el tensor de deformacion de Euler-Almansi, en coordenadas espaciales, y definido

como:

e =1

2(I− F−TF−1) (2.15)

Tensores de rotacion y alargamiento

Un movimiento local, caracterizado por el tensor F, puede ser descompuesto en un tensor

de alargamiento puro y un tensor de rotacion pura:

F = RU = vR (2.16)


Este teorema, fundamental en la teorıa de los medios continuos, recibe el nombre de

descomposicion polar del gradiente de deformaciones. U y v definen unos tensores simetricos,

positivos definidos y unicos, llamados tensor de alargamiento por la derecha (o material) y

tensor de alargamiento por la izquierda (o espacial), respectivamente. Miden alargamientos

locales (o acortamientos) en la direccion de sus autovectores ortogonales, es decir, miden un

cambio de forma local.

R es un tensor ortogonal propio, llamado tensor de rotacion. Mide la rotacion local, que

es un cambio de orientacion local.

RTR = I (2.17)

Una vez definidos estos tensores, pueden presentarse las siguientes relaciones:

U2 = UU = C (2.18a)

v2 = vv = b (2.18b)

2.1.2. Tensores de tension

En este apartado se introduciran los conceptos de tension y equilibrio para un solido

deformable durante un movimiento determinado. La tension se define en primer lugar en la

configuracion actual de la forma estandar, como una fuerza por unidad de area. Esto llevarıa

al conocido tensor de tensiones de Cauchy, usado en analisis lineal. A diferencia de la teorıa

de la elasticidad, en la teorıa de grandes deformaciones y desplazamientos pueden definirse

magnitudes de tension que se refieran a la configuracion inicial del solido, y no solo a la

configuracion actual, ya que en la teorıa de la elasticidad ambas coinciden. Esto llevarıa a

la definicion del los tensores de tensiones de Piola-Kirchhoff.

El tensor de tensiones de Cauchy σ es un tensor espacial, ya que proporciona informacion

acerca de la fuerza expresada en la configuracion actual por unidad de area medida en la

misma configuracion en el tiempo t. Se trata de un tensor simetrico (como se demuestra

mas adelante en 2.1.3), asumiendo que no exiten momentos distribuidos, por lo que puede


ser definido mediante seis componentes del tensor de tensiones (σ12 = σ21, σ13 = σ31,

σ23 = σ32).

σ =

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

, σ =

σ11

σ22

σ33

σ12

σ13

σ23

=

σ1

σ2

σ3

σ4

σ5

σ6

(2.19)

En ocasiones es util trabajar con el tensor de tensiones de Kirchhoff τ , un tensor

espacial que se relaciona con el tensor de tensiones de Cauchy a traves del determinante del

tensor gradiente de deformaciones J.

τ = Jσ (2.20)

Ademas, se introducen tambien el primer y segundo tensor de Piola-Kirchhoff, P

y S respectivamente. El primer tensor de Piola-Kirchhoff relaciona la fuerza expresada en la

configuracion actual con la unidad de area expresada en la configuracion inicial. Se relaciona

con el tensor de tensiones de Cauchy mediante:

P = JσF−T (2.21)

El segundo tensor de Piola-Kirchhoff no posee una interpretacion fısica clara en terminos

de una fuerza que actua sobre una superficie. Sin embargo, representa una medida de tension

util en mecanica computacional y en la formulacion de ecuaciones constitutivas, debido a

que se trata de un tensor simetrico y esta expresado en coordenadas materiales. El tensor S

se obtiene como consecuencia de realizar la operacion de pull-back sobre el tensor espacial

τ , de acuerdo con la ecuacion (2.22).

S = φ∗[τ ] = F−1τF−T (2.22)

Considerando las ecuaciones (2.20) y (2.22), puede deducirse la transformacion de Piola

relacionando los dos campos de tensiones S y σ:

S = JF−1σF−T = F−1P = ST , σ = J−1FSFT (2.23)


Ası, el primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff, P, puede relacionarse con el segundo

tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff S mediante la ecuacion (2.24).

P = FS (2.24)

2.1.3. Leyes de conservacion

Las leyes de conservacion se derivan de consideraciones mecanicas y termodinamicas

generales. En esta seccion se presentan las leyes de conservacion fundamentales, i.e. la con-

servacion de la masa (ecuacion de continuidad), de la cantidad de movimiento (o momento

lineal), del momento cinetico (o momento angular) y de energıa. Estos principios son validos

y generales para cualquier campo de la teorıa de los medios continuos. Ademas se presentan

otra serie de leyes basicas expresadas como inecuaciones, por ejemplo, la segunda ley de la

termodinamica.

Conservacion de la masa

La masa no puede crearse ni destruirse. Por tanto, si una partıcula posee una determi-

nada masa m en la configuracion de referencia, m debe permanecer inalterada durante el

movimiento. Esto puede escribirse como:

m =

∫Ω0

ρdV =

∫Ω

ρcdv (2.25a)

con ρ, la densidad inicial y ρc, la densidad espacial. Realizando un cambio de variable

a la configuracion de referencia, en la segunda integral, queda:

∫Ω0

ρdV =

∫Ω0

JρcdV (2.25b)

donde se ha utilizado la relacion dv = JdV . Ası, pasando las dos integrales al mismo termino,

la ecuacion (2.25b) puede expresarse:

∫Ω0

(ρ− Jρc)dV = 0 (2.25c)

Debido a que esta ecuacion es valida para cualquier region Ω0, conlleva que:


ρ = Jρc (2.25d)

La densidad espacial ρc, depende de la posicion x ∈ Ω y del tiempo t, mientras que ρ es

independiente del tiempo y esta intrınsecamente asociada con la configuracion de referencia

del solido, dependiendo unicamente de la posicion X ∈ Ω0. La ecuacion (2.25d) representa

la ecuacion de continuidad de la masa en la configuracion material (o Lagrangiana), la cual

es la descripcion mas apropiada en la mecanica de solidos.

La conservacion de la masa a lo largo del movimiento puede expresarse de forma ma-

tematica diciendo que la derivada material de la masa con respecto al tiempo debe ser igual

a cero en todo momento.

D

Dtm =

D

Dt

∫Ω

ρcdv = 0 (2.26a)

Por tanto, considerando la ecuacion (2.25d) y teniendo en cuenta que la derivada material

con respecto al tiempo y la integracion pueden ser cambiadas de orden en la configuracion

de referencia:

∫Ω0

D

DtJρcdV = 0 (2.26b)

D

Dt(Jρc) = 0 (2.26c)

JDρcDt

+ ρcDJ

Dt= 0 (2.26d)

Dρ

Dt+ ρc∇ · v = 0 (2.26e)

donde se ha usado que DJDt = J∇ · v, siendo v la velocidad espacial. La ecuacion (2.26e)

constituye otra forma diferente de expresar la ecuacion de continuidad.

Conservacion de la cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento total, o momento lineal L, se define mediante la

densidad espacial, ρc, y el campo de velocidad espacial, v, de la forma:


L(t) =

∫Ω

ρcvdv (2.27)

El balance de la cantidad de movimiento establece que:

L(t) =D

Dt

∫Ω

ρcvdv =

∫∂Ω

tds+

∫Ω

ρcbdv = F(t) (2.28)

donde, t = t(x, t,n) es el vector de tension de Cauchy, siendo n la normal exterior, ds es

una superficie espacial infinitesimal, y b = b(x, t) es un campo vectorial espacial que se

corresponde con las fuerzas por unidad de masa que actuan sobre el solido (figura 2.2). F(t)

es la fuerza resultante. Si es igual a cero, se dice que se conserva la cantidad de movimiento.

Figura 2.2: Fuerzas actuando en la configuracion actual [14].

Aplicando el Lema de Cauchy, t = σ ·n, y usando el teorema de la divergencia, se obtiene

la siguiente expresion de la ecuacion (2.28).

∫Ω

ρcDv

Dtdv =

∫Ω

(∇ · σ + ρcb)dv (2.29)

Esta relacion es valida para cualquier volumen Ω, por lo que de aquı se deriva la forma

diferencial de la ecuacion de conservacion de la cantidad de movimiento, conocida como

primera ley de Cauchy del movimiento:

ρcDv

Dt=∇ · σ + ρcb (2.30)


Conservacion del momento cinetico

El momento cinetico total, o momento angular J, respecto de un punto fijo se

define como:

J(t) =

∫Ω

x× (ρcv)dv (2.31)

El balance del momento cinetico, considerando que no existen momentos distribuidos,

es:

J(t) =D

Dt

∫Ω

x× (ρcv)dv =

∫∂Ω

x× tdS +

∫Ω

x× (ρcb)dv = M(t) (2.32)

M(t) es el momento resultante. Si es igual a cero, se dice que se conserva el momento

cinetico.

Usando la misma metodologıa que para la ecuacion (2.29), se obtiene la siguiente expre-

sion:

∫Ω

E : σT + x× (∇ · σ + ρcb− ρcDv

Dt)dv = 0 (2.33)

donde E es el tensor de permutacion de tercer orden. Usando la ecuacion (2.30) en el segundo

termino de (2.33), es posible reescribir la ecuacion de conservacion del momento cinetico de

la forma:

∫Ω

E : σT = 0 (2.34)

la cual es valida para cualquier volumen Ω. Como consecuencia, el producto doblemente

contraido de E : σT da como resultado un vector cuyas componentes deben ser iguales a

cero:

σ21 − σ12

σ13 − σ31

σ32 − σ23

= 0 (2.35)

Finalmente, la conservacion del momento cinetico aporta un resultado crucial, puesto

que esta relacion se cumple unicamente si, y solo si, el tensor de tensiones de Cauchy es

simetrico.


Conservacion de la energıa

La ecuacion de energıa es una consecuencia del balance energetico que conforma la pri-

mera ley de la termodinamica.

D

Dt(K + E) = W + U (2.36)

donde K = K(t) representa la energıa cinetica, E = E(t) es la energıa interna, W es la

potencia mecanica externa o el trabajo mecanico externo por unidad de tiempo, y U es la

potencia termica o el trabajo termico por unidad de tiempo. Cada uno de estos terminos se

define en las siguientes ecuaciones:

K =1

2

∫Ω

ρcv · vdv (2.37a)

E =

∫Ω

ecdv (2.37b)

W =

∫Ω

b · vdv +

∫∂Ω

t · vds (2.37c)

U =

∫Ω

rdv −∫∂Ω

q · n ds (2.37d)

donde ec es la energıa interna definida por unidad de volumen actual; q es un campo vectorial

espacial dependiente del tiempo y recibe el nombre de flujo de calor de Cauchy definido por

unidad de area superficial en Ω y r es la generacion de calor por unidad de tiempo y volumen

actual. Ası, el balance de energıa queda:

D

Dt

∫Ω

ecdv +D

Dt

∫Ω

1

2ρcv · vdv =

∫Ω

b · vdv +

∫∂Ω

t · vds+

∫Ω

rdv −∫∂Ω

q · n ds (2.38)

Aplicando el teorema del transporte de Reynolds a las dos integrales del primer termino

de la ecuacion (2.38) y el teorema de la divergencia a la segunda y la cuarta integral del

segundo termino de la misma:

∫Ω

(ec + ρcv · v)dv =

∫Ω

[b · v + r +∇ · (σ · v− q)]dv (2.39a)

∫Ω

(ec + ρcv · v)dv =

∫Ω

[b · v + r + v ·∇ · σ + σ : ∇ v−∇· q]dv (2.39b)


∫Ω

(ec − r − σ : ∇v +∇· q)dv =

∫Ω

[−ρcv + b+∇ · σ] · vdv (2.39c)

siendo cero la segunda integral de la ecuacion (2.39c) (vease la ecuacion (2.30)), por lo que

puede simplificarse:

ec +∇· q = r+ σ : d (2.39d)

donde d es la tasa de cambio del tensor de deformacion dada por:

d =1

2(∇v +∇vT ) (2.40)

La ecuacion (2.39d) es la version diferencial o local del primer principio de la termo-

dinamica. La primera ley de la termodinamica en descripcion material puede ser escrita

como:

D

Dt

∫Ω0

e dV =

∫Ω0

(P : F−DivQ +R)dV (2.41a)

donde e es la energıa interna definida por unidad de volumen de referencia, el campo vectorial

Q determina el flujo de calor por unidad de area superficial en Ω0 y R es la generacion de

calor por unidad de tiempo y por unidad de volumen de referencia. Puesto que el volumen

de referencia o inicial es independiente del tiempo y la ecuacion (2.41a) debe cumplirse

para cualquier dominio arbitrario Ω, la version local del balance de energıa en descripcion

material es:

e+ DivQ = R+ P : F (2.41b)

Segundo principio de la termodinamica. Entropıa

El segundo principio de la termodinamica establece que la entropıa total del universo

(o produccion total de entropıa) nunca es negativa para cualquier proceso termodinamico,

es decir, tiende a incrementarse con el tiempo. La ecuacion que expresa este principio se

presenta a continuacion:


Γ(t) =D

Dt

∫Ω

ηcdv +

∫∂Ω

q · nθ

dS −∫

Ω

r

θdv ≥ 0 (2.42)

donde ηc = ηc(x, t) es la entropıa por unidad de volumen actual en el tiempo t, r(x, t) es

la generacion de entropıa por unidad de tiempo y por unidad de volumen actual, q(x, t)

determina el flujo de calor de Cauchy, definido por unidad de area superficial actual y θ =

θ(x, t) corresponde a un campo escalar independiente del tiempo conocido como temperatura

absoluta. Aplicando el teorema de la divergencia a la segunda integral de la ecuacion (2.42)

y el teorema del transporte de Reynolds a la primera integral de la misma:

∫Ω

ηcdv ≥∫

Ω

[r

θ−∇ · (q

θ)]dv (2.43)

Debido a que la ecuacion (2.43) debe ser valida para cualquier dominio arbitrario Ω,

debe cumplirse que:

ηc ≥1

θr −∇ · (q

θ) (2.44a)

η ≥ 1

ΘR−Div(

Q

Θ) (2.44b)

ecuaciones que son conocidas como desigualdad de Clausius-Duhem, en las descripciones

espacial y material respectivamente. Eliminando la generacion de calor, R, y substituyendo

(2.41b):

P : F− e+ Θη − 1

ΘGradΘ ≥ 0 (2.45)

El ultimo termino representa la produccion de entropıa por conduccion de calor. Basando-

se en la observacion experimental, el calor fluye de las regiones mas calientes de un cuerpo

a las mas frıas (siempre que no existan fuentes de generacion de calor), y nunca al reves.

Por ello este termino: − 1

ΘGradΘ ≥ 0. De acuerdo con esta restriccion, la desigualdad de

Clausius-Duhem nos puede llevar a una version alternativa y mas restrictiva del segundo

principio de la termodinamica, conocido como desigualdad de Clausius-Planck:

Dint = P : F− e+ Θη ≥ 0 (2.46)

Dint es la disipacion o produccion interna local de entropıa, que debe ser siempre no negativa.


Para materiales elasticos resulta muy conveniente definir la funcion de energıa libre

de Helmholtz, algunas veces referida unicamente como energıa libre, Ψ. Esta funcion

incluye variables termicas como Θ y η, y la energıa interna:

Ψ = e−Θη (2.47)

De esta forma, la ecuacion (2.46) puede reescribirse:

Dint = P : F− Ψ− ηΘ ≥ 0 (2.48a)

Notese que, en un desarrollo puramente mecanico, Θ y η no intervendrıan, puesto que los

efectos termicos no serıan tenidos en cuenta1, por lo que la desigualdad puede ser escrita

como:

Dint = P : F− Ψ ≥ 0 (2.48b)

2.2. Hiperelasticidad

Las ecuaciones de continuidad y equilibrio aportan 4 ecuaciones para 10 incognitas (ρ,

σ, u). La conservacion de la energıa aporta ecuaciones adicionales a expensas de introducir

nuevas variables. Los principios de conservacion han sido derivados de forma general sin

tener en cuenta el comportamiento interno de los materiales. Es por eso que las ecuaciones

de conservacion deben ser completadas con otro conjunto de ecuaciones que caractericen

las propiedades fısicas del material especıfico. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones

constitutivas.

Un material perfectamente elastico es por definicion un material que no produce

entropıa localmente:

Dint = P : F− Ψ = 0 (2.49)

Por consiguiente, la disipacion interna (Dint) es cero. La ecuacion constitutiva para un

material perfectamente elastico puede ser deducida a partir de la desigualdad de Clausius-

Planck o de la segunda ley de la termodinamica. Si la derivada con respecto al tiempo de

1En un proceso isotermico se puede extraer la misma conclusion.

2.2 Hiperelasticidad 31

la energıa libre se expresa de la forma Ψ = ∂Ψ(F)/∂F : F, la ecuacion (2.49) puede ser

reescrita como:

Dint = (P− ∂Ψ(F)

∂F) : F = 0 (2.50)

Ya que F, y por lo tanto F, pueden ser elegidos arbitrariamente:

P =∂Ψ(F)

∂F(2.51)

Un material perfectamente elastico recupera su forma original por completo si las fuerzas

que estaban causando la deformacion son eliminadas, y existe una relacion unıvoca (uno a

uno) entre el estado de tensiones y el estado de deformaciones, para una temperatura dada.

Un material hiperelastico o material elastico de Green es un tipo de modelo constitutivo

para materiales perfectamente elasticos para el cual existe una funcion potencial elastica (o

funcion de energıa de deformacion o funcion de energıa libre), la cual es una funcion escalar

del tensor gradiente de deformaciones o del tensor de deformacion y cuyas derivadas con

respecto a las componentes de la deformacion determinan las correspondientes componentes

de tension. De este modo, el trabajo real realizado por el campo de tensiones en un material

hiperelastico durante un cierto intervalo de tiempo depende unicamente de los estados inicial

y final.

∫ t2

t1

P : Fdt = Ψ(F2)−Ψ(F1) (2.52)

Considerando las restricciones que impone el cumplimiento de la objetividad, esto es,

que Ψ debe permanecer invariante ante movimientos de solido rıgido, Ψ depende de F solo

a traves del tensor de alargamiento por la derecha U (o alternativamente, del tensor de

alargamiento por la izquierda v) y es independiente del tensor de rotacion R. Sabiendo que

el tensor de Cauchy-Green por la derecha viene dado por C = U2, Ψ puede expresarse como

una funcion del tensor material simetrico:

Ψ(F) = Ψ(C) (2.53)

Si el estudio se centra en un material isotropo, lo cual se traduce en que su comporta-

miento del debe ser identico en cualquier direccion material, la relacion entre Ψ y C debe

ser independiente de los ejes materiales elegidos. Como consecuencia, Ψ debe ser unicamente

funcion de los invariantes de C (o de b), en la descripcion espacial:


Ψ = Ψ[I1(C), I2(C), I3(C)] = Ψ[I1(b), I2(b), I3(b)] (2.54)

Esta ecuacion es valida unicamente para materiales hiperelasticos isotropos. Los inva-

riantes se definen como:

I1 = tr(C) = Ckk = tr(b) = bkk = λ21 + λ2

2 + λ23 (2.55a)

I2 =1

2[I2

1 − (CklCkl)] =1

2[(trC)2 − tr(C2)] =

1

2[(trb)2 − tr(b2)] = λ2

1λ22 + λ2

1λ23 + λ2

2λ23

(2.55b)

I3 = det(C) = det(b) = λ21λ

22λ

23 (2.55c)

donde λ2a (with a = 1, 2, 3), son los autovalores de C (y b). Usando la relacion (2.23) y

(2.51), los primer y segundo tensores de Piola-Kirchhoff pueden expresarse mediante:

P = 2F∂Ψ(C)

∂C(2.56a)

S = 2∂Ψ(C)

∂C= 2[

∂Ψ

∂I1

∂I1∂C

+∂Ψ

∂I2

∂I2∂C

+∂Ψ

∂I3

∂I3∂C

] (2.56b)

Considerando algunas propiedades como las del doble producto contraıdo y que el tensor

C es simetrico, las derivadas de los invariantes con respecto de C pueden escribirse:

∂I1∂C

=∂tr(C)

∂C=∂(I : C)

∂C= I (2.57a)

∂I2∂C

=∂( 1

2 [I21 − (CklCkl)])

∂C=

1

2(2tr(C)I − ∂trC2

∂C) = I1I−C (2.57b)

∂I3∂C

=∂det(C)

∂C= det(C)C−T = I3C

−1 (2.57c)

de manera que la forma mas general del segundo tensor de Piola-Kirchhoff en funcion de

los invariantes de C (o de b), que caracteriza a un material hiperelastico isotropo con

deformaciones finitas se puede expresar como:


S = 2[(∂Ψ

∂I1+ I1

∂Ψ

∂I2)I− ∂Ψ

∂I2C + I3

∂Ψ

∂I3C−1] (2.58)

Para un material hiperelastico isotropo general, el tensor de tensiones de Cauchy viene

dado por:

σ = 2J−1b∂Ψ(b)

∂b(2.59)

Ademas, si la funcion de energıa libre viene dada en funcion de los invariantes, el tensor

de tensiones de Cauchy σ, derivado del segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff S a

traves de la transformacion de Piola, queda σ = J−1FSFT , y substituyendo S y teniendo

en cuenta que el tensor de Cauchy-Green por la izquierda es b = FFT , se obtiene:

σ = 2J−1[I3∂Ψ

∂I3I + (

∂Ψ

∂I1+ I1

∂Ψ

∂I2)b− ∂Ψ

∂I2b2] (2.60)

2.2.1. Hiperelasticidad incompresible

En la practica, muchos procesos en los que intervienen grandes deformaciones tienen lugar

bajo condiciones de incompresibilidad o cercanas a ella. Por cercano a la incompresibilidad

se entiende un material que es realmente incompresible, pero que en su tratamiento numerico

es necesario introducir una pequena medida de deformacion volumetrica. La restriccion de

compresibilidad que caracteriza el volumen constante es J = 1. Ası, la funcion de energıa

libre puede ser establecida como:

Ψ = Ψ(F)− 1

2p(J2 − 1) (2.61)

donde p puede interpretarse como un multiplicador de Lagrange, el cual puede identificar-

se con un presion hidrostatica. De este modo, la funcion de energıa libre para materiales

hiperelasticos isotropos incompresibles viene dada por:

Ψ = Ψ[I1(C), I2(C)]− 1

2p(I3 − 1) = Ψ[I1(b), I2(b)]− 1

2p(I3 − 1) (2.62)

La ecuacion (2.58) puede ser reescrita para un material hiperelastico isotropo compresible

como:

S = 2∂Ψ(I1, I2)

∂C− ∂[p(I3 − 1)]

∂C= −pC−1 + 2(

∂Ψ

∂I1+ I1

∂Ψ

∂I2)I− 2

∂Ψ

∂I2C (2.63)


Mediante un operacion de push-forward, pueden obtenerse dos formas alternativas del

tensor de tensions de Cauchy (ecuaciones (2.64) y (2.65)).

σ = −pI + 2(∂Ψ

∂I1+ I1

∂Ψ

∂I2)b− 2

∂Ψ

∂I2b2 (2.64)

σ = −pI + 2∂Ψ

∂I1b− 2

∂Ψ

∂I2b−1 (2.65)

Para determinar el parametro p debe aplicarse la condicion de incompresibilidad y las

condiciones de contorno del problema.

2.2.2. Hiperelasticidad compresible

Cuando el material puede sufrir cambios de volumen o cuando es necesario tratarlo

como cercano a la imcompresibilidad, es util separar la deformacion en una deformacion

volumetrica y una deformacion isocorica. En particular, F y C, se descomponen en dos

partes, una de cambio de volumen y otra de volumen constante(distorsional).

F = (J1/3I)F = J1/3F, C = (J2/3I)C = J2/3C (2.66)

donde J1/3I y J2/3I estan asociados con deformaciones que conllevan cambio de volumen, y

F y C representan la parte de distorsion de la deformacion , con:

detF = λ1λ2λ3 = 1 and detC = (detF)2 = 1 (2.67)

siendo λa los alargamientos principales modificados, λa = J1/3λa . De esta descomposicion,

es posible obtener una unica representacion desacoplada de la funcion de energıa libre.

Ψ(C) = Ψvol(J) + Ψiso(C) (2.68)

donde Ψvol y Ψiso describen la respuesta volumetrica elastica y la respuesta isocorica

elastica del material, respectivamente.

Para materiales hiperelasticos isotropos compresibles, la descomposicion puede ser rees-

crita considerando la ecuacion (2.54):

Ψ(b) = Ψvol(J) + Ψiso(b) (2.69a)


con la descomposicion multiplicativa del tensor de Cauchy-Green por la izquierda:

b = (J2/3I)b = J2/3b (2.69b)

El segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff S puede ser descompuesto tambien a

partir de la ecuacion (2.56b):

S = 2∂Ψvol(J)

∂C+ 2

∂Ψiso(C)

∂C= Svol + Siso (2.70a)

Svol = JpC−1, Siso = J−2/3(I− 1

3C−1 ⊗C) : S (2.70b)

La presion hidrostatica p se define como:

p =dΨvol(J)

dJ(2.71)

Es importante resaltar que, al contrario que en los materiales incompresibles, la funcion

escalar p esta definida por una ecuacion constitutiva.

El tensor de tensiones de Cauchy tambien puede ser descompuesto en dos partes, una

cuya contribucion es puramente volumetrica y otra que es puramente isocorica, σvol y σiso,

definidos:

σvol = 2J−1b∂Ψvol(J)

∂b= pI (2.72a)

σiso = 2J−1b∂Ψiso(b)

∂b= (I− 1

3I⊗ I) : σ = P : σ = devσ (2.72b)

donde P es el tensor de proyeccion. Se trata de un tensor de cuarto orden que describe la

transformacion de un tensor de segundo orden en su parte desviadora, P = I − 13I ⊗ I. El

tensor de tensiones ficticio de Cauchy, σ, se define como:

σ = 2J−1 ∂Ψiso(b)

∂bb (2.73)

Finalmente, la funcion de energıa libre puede ser descrita en funcion de sus invariantes, de

forma equivalente a la ecuacion (2.62), para un material hiperelastico isotropo compresible:


Ψ = Ψvol(J) + Ψiso[I1(C), I2(C)] = Ψvol(J) + Ψiso[I1(b), I2(b)] (2.74a)

Los invariantes de deformacion I1 and I2 son los conocidos como invariantes modificados,

y definidos de la forma:

I1 = trC = trb (2.74b)

I2 =1

2[(trC)2 − tr(C)2] =

1

2[(trb)2 − tr(b)2] (2.74c)

2.2.3. Modelos hiperelasticos

Modelos incompresibles

Ahora, una vez que se ha realizado una introduccion a la hiperelasticidad, se describen

algunas funciones de energıa libre, en particular, las que se usaran en este trabajo, funcion

Neo-Hookeana y funcion polinomial. En la literatura existen muchas funciones de energıa

libre que han sido usadas con exito en diferentes situaciones con materiales bajo grandes

deformaciones, por ejemplo materiales biologicos o polımeros como la gomas.

Los materiales Neo-Hookeanos se caracterizan por su sencillez en comparacion con otros

tipos de materiales. La funcion de energıa libre de este tipo de materiales se define como:

Ψ = C10(I1 − 3) (2.75)

La sencillez de este modelo proviene de que depende unicamente de una constante y que

solo interviene el primer invariante I1. Precisamente por esto, este modelo ha sido usado en

la literatura en innumerables casos, como por ejemplo en la simulacion del comportamiento

de los ligamentos de la rodilla [36], o en la simulacion del comportamiento de la mama para

predecir deformaciones [6].

Otro ejemplo de una funcion de energıa simple, atribuida a Mooney-Rivlin, se presenta

en la ecuacion (2.76). Chen et al. [4] usaron este tipo de material para modelar el compor-

tamiento del disco articular de la articulacion temporomandibular.

Ψ = C10(I1 − 3) + C01(I2 − 3) (2.76)


Las funciones de energıa libre polinomiales tienen la forma general:

Ψ =

N∑i+j=1

(I1 − 3)i(I2 − 3)j (2.77)

De esta forma, pueden obtenerse de la ecuacion (2.77) funciones de energıa libre dife-

rentes, que variaran en el numero de terminos que las componen. De hecho, las funciones

Neo-Hookeana y de Mooney-Rivlin presentadas anteriormente en las ecuaciones (2.75) y

(2.76) respectivamente, son casos particulares de funcion de energıa libre polinomial, en el

caso de la Neo-Hookeana, con un solo termino, y para la de Mooney-Rivlin, para N=1.

Ası, por ejemplo, Li et al. [17] usaron una funcion de energıa polinomial de tres parame-

tros para simular las propiedades de los discos de fibrocartılago inter-pubico.

Ψ = C10(I1 − 3) + C01(I2 − 3) + C11(I1 − 3)(I2 − 3) (2.78)

Samani y Plewes [29] modelaron las propiedades del tejido graso y glandular de la mama

mediante una funcion de energıa libre polinomial con cinco terminos (N=2).

Ψ = C10(I1 − 3) + C01(I2 − 3) + C11(I1 − 3)(I2 − 3) + C20(I1 − 3)2 + C02(I2 − 3)2 (2.79)

Considerese un material hiperelastico isotropo incompresible, cuyo comportamiento esta des-

crito mediante una funcion polinomial con N=2, bajo traccion uniaxial en el eje 3. Este caso

de carga sera de gran utilidad posteriormente, motivo por el cual se presenta en este desa-

rrollo teorico.

σ =

0 0 0

0 0 0

0 0 σ3

(2.80a)

Se pretende obtener la expresion de σ3 en funcion del algun parametro de deformacion.

El tensor gradiente de deformaciones, en funcion de los alargamientos principales queda:

F =

λ1 0 0

0 λ2 0

0 0 λ3

, (2.80b)


Mediante la restriccion de incompresibilidad J = det(F ) = 1 y las condiciones de si-

metrıa, que implican que los alargamientos en las direcciones 1 y 2 deben ser iguales, λ1 = λ2,

se obtiene la relacion entre los tres alargamientos principales:

J = 1 = det(F) = λ1λ2λ3 (2.80c)

λ3 = λ, λ1 = λ2 =1√λ

(2.80d)

De modo que el tensor de la ecuacion (2.80b) queda:

F =

1√λ

0 0

0 1√λ

0

0 0 λ

, (2.80e)

y el tensor de Cauchy-Green por la izquierda b:

b =

1λ 0 0

0 1λ 0

0 0 λ2

, (2.80f)

Utilizando la ecuacion (2.64) y aplicando las condiciones de contorno, puede obtenerse

el valor de la presion hidrostatica p:

σ2 = −p+ 2[C10 + C01I1 + C11I1

(I1 − 3

)+ C11

(I2 − 3

)+ 2C20

(I1 − 3

)+

+2C02I1(I2 − 3

)] 1

λ− 2[C01 + C11

(I1 − 3

)+ 2C02

(I2 − 3

)] 1

λ2= 0 (2.81a)

quedando p:

p =2

λ4(2C02(−1 + λ)2(1 + 2λ+ λ3 + 2λ4) + λ(λ(C01 + 2C20 + C10λ−

−3C20λ+ (C01 + C20)λ3) + C11(−1 + λ)2(3 + 3λ+ 2λ3 + λ4))) (2.81b)


Y finalmente, la tension de Cauchy puede expresarse como:

σ3 = 2C10(λ2 − 1

λ) + 2C01(λ− 1

λ2) + 6C11(λ3 − λ2 − λ+

1

λ+

1

λ2− 1

λ3)+

+4C20(λ4 − 3λ2 + λ+3

λ− 2

λ2) + 4C02(2λ2 − 3λ− 1

λ+

3

λ2− 1

λ4) (2.82)

La tension para los materiales de tipo Mooney-Rivlin, Neo-Hookeano y cualquier otro

polinomial con un numero de terminos inferior a cinco puede derivarse de la ecuacion (2.82)

haciendo cero las constantes que no intervengan, es decir, en el caso del modelo de Mooney-

Rivlin: C11 = 0, C20 = 0 y C02 = 0, y para el caso del Neo-Hookeano: C11 = 0, C01 = 0,

C20 = 0 y C02 = 0.

En el grafico 2.3 se muestra una comparativa de la tension frente al alargamiento aplicado,

λ, para los modelos polinomiales con uno (Neo-Hookeano), tres y cinco terminos. Puede

observarse la notable diferencia de comportamiento entre los tres modelos y como a medida

que se aumentan los terminos de la funcion de energıa libre polinomial, tanto en compresion

(λ < 1) como en traccion (λ > 1), la curva cada vez es menos “lineal”. De hecho es posible

apreciar como, para el rango de alargamientos presentado en la grafica, el material Neo-

Hookeano se asemeja bastante a un comportamiento de tipo lineal, mientras que las funciones

polinomiales de tres y cinco terminos presentan una clara no linealidad, mas pronunciada

en la zona de compresion que en la de traccion.

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4Λ

-6

-4

-2

2

4

ΣHMPaL

Polinomial 1 término

Polinomial 3 términos

Polinomial 5 términos

Figura 2.3: Tension frente al alargamiento (λ) para los modelos polinomiales de uno, tres y cinco

terminos, para unos valores de las constantes C10 = 0.3 MPa, C01 = 0.4 MPa, C11 = 0.2 MPa, C20

= 0.5 MPa y C02 = 0.7 MPa.


Otro caso de carga que tambien sera utilizado mas tarde en este trabajo es el de un ma-

terial sometido a un estado tensional de cortante puro. Considerese por tanto un material

hiperelastico isotropo incompresible, cuyo comportamiento esta descrito mediante una fun-

cion polinomial con N=2, bajo un estado tensional como el que se muestra en la expresion

(2.83a).

σ =

0 0 0

0 0 σ23

0 σ32 0

(2.83a)

Figura 2.4: Estado tensional de cortante puro

Este estado tensional, tal y como se expone en la expresion (2.83a), presenta algunos

problemas a la hora de implementarlo numericamente en un programa de elementos finitos,

cuando se aplican las condiciones de contorno, como se vera mas tarde en el apartado 3.2.

Sin embargo es conocido, de la teorıa de la elasticidad, que un estado de cortante puro,

expresandolo en sus direcciones principales (a 45o de las direcciones 2 y 3 que se muestran

el figura 2.4), es equivalente a una tension de traccion en una direccion principal y a una

compresion de igual valor en otra direccion principal (ecuacion (2.83b)).

σppl = QTσQ =

0 0 0

0 σII 0

0 0 σIII

(2.83b)

Donde Q es la matriz de giro. Ademas, si tenemos en cuenta que σ23 = σ32 = σ, resulta

σII = σIII = σ. En el desarrollo que sigue a continuacion, aplicado a un material hiper-


elastico sometido a grandes deformaciones, los comportamientos a compresion y traccion del

material no tienen porque ser iguales, a diferencia del caso elastico, por lo que, partiendo del

mismo tensor gradiente de deformaciones, no es cierto que σII = σIII , si no que difieren li-

geramente. Esto no supone ningun problema, el tensor de tensiones estara caracterizado por

dos valores en vez de uno. Se pretende obtener las tensiones en funcion de algun parametro

de deformacion. Para ello partimos del calculo del tensor gradiente de deformaciones. Impo-

niendo que no haya deformaciones en la direccion 1, y teniendo en cuenta que el material es

incompresible (cumplimiento de la ecuacion (2.80c)), el area en el plano 23 debe conservarse

durante el proceso. Puede comprobarse que cumpliendo estas condiciones, y aplicando la

traccion en la direccion 3 y la compresion en la 2, el tensor F queda:

F =

1 0 0

0 1/λ 0

0 0 λ

(2.83c)

y el tensor de Cauchy-Green por la izquierda b:

b =

λ2 0 0

0 1λ2 0

0 0 λ2

, (2.83d)

Utilizando la ecuacion (2.64) y aplicando las condiciones de contorno, puede obtenerse

el valor de la presion hidrostatica p:

σ1 = −p+ 2[C10 − 6C20 + C01

(− 1 + I1

)+(2C20+

+C11

(− 4 + I1

))I1 + 2C02

(− 1 + I1

)(− 3 + I2) + C11I2

)= 0 (2.84a)

quedando p:

p =2

λ4(C11 + (C01 − C11 + 2C20)λ2 + (C10 − 4C20)λ4+

+(C01 − C11 + 2C20)λ6 + C11λ8 + 2C02(−1 + λ2)2(1 + λ4)) (2.84b)


Y finalmente, las dos componentes de tension de Cauchy, σII y σIII pueden expresarse

como:

σII = −2(−1 + λ2)

λ4

(C11 + 2C20 + (2C02 + C10 − C11 − 4C20)λ2+

(C01 − 4C02 − C11 + 2C20)λ4 + (2C02 + C11)λ6)

(2.85a)

σIII =2(−1 + λ2)

λ4

(2C02 + C11 + (C01 − 4C02 − C11 + 2C20)λ2+

+(2C02 + C10 − C11 − 4C20)λ4 + (C11 + 2C20)λ6)

(2.85b)

Las expresiones para los materiales de tipo Mooney-Rivlin, Neo-Hookean y cualquier otro

polinomial con un numero de terminos inferior a cinco puede derivarse de las ecuaciones

(2.85a) (2.85b) haciendo cero las constantes que no intervengan, es decir, en el caso del

modelo de Mooney-Rivlin: C11 = 0, C20 = 0 y C02 = 0, y para el caso del Neo-Hookeano:

C11 = 0, C01 = 0, C20 = 0 y C02 = 0.

Modelos compresible y cuasi-incompresible

Hasta ahora han sido introducidos los materiales incompresibles, pero en analisis de ele-

mentos finitos, la imcompresibilidad produce ciertos problemas numericos. Cuando la res-

puesta del material es practicamente incompresible, la formulacion puramente cinematica,

en la que los invariantes de deformacion se calculan a partir de las variables cinematicas del

modelo de elementos finitos, puede comportarse de forma bastante defectuosa. Una de las

dificultades numericas es que la matriz de rigidez es practicamente singular debido a que el

modulo de compresibilidad efectivo del material es muy grande en comparacion con su modu-

lo de cizalladura efectivo, causando por tanto problemas con la solucion de las ecuaciones

de equilibrio discretizadas. Otra dificultad estriba en que, a menos que se utilicen tecni-

cas de integracion reducida, las tensiones calculadas en los puntos de integracion numericos


presentan grandes oscilaciones en los valores de la presion, debido a que, en general, los ele-

mentos no pueden responder con precision y con todo tener cambios de volumen pequenos

en todos los puntos de integracion numericos. Desplazamientos muy pequenos pueden pro-

ducir variaciones de presion importantes y ello puede conducir a un mal funcionamiento

del elemento. Para evitar estos problemas, es conveniente tratar la incompresibilidad co-

mo cuasi-incompresibilidad. Ası, la funcion de energıa libre se desacopla en una respuesta

isocorica y otra volumetrica. Por ejemplo, la funcion de energıa libre Neo-Hookeana para

un material cercano a la incompresibilidad puede escribirse segun la ecuacion (2.86). El se-

gundo termino corresponde a la contribucion volumetrica a la funcion de energıa libre. La

constante D determina la compresibilidad del material. Si D es cero, el material se convierte

en totalmente incompresible.

Ψ = C10(I1 − 3) +1

D(J − 1)2 (2.86)

En esta formulacion, el tensor de tensiones de Cauchy se divide en una tension volumetri-

ca:

σvol = pI where p =dΨvol(J)

dJ=

2

D(J − 1) (2.87)

y una tension isocorica:

σiso =2

JC10(b− I1

3I) (2.88)

donde las ecuaciones (2.72b) y (2.73) se han utilizado para obtener la tension isocorica.

2.2.4. Tensores de elasticidad

El concepto de linealizacion es de gran importancia en el tratamiento numerico de pro-

blemas elasticos. Para resolver problemas no lineales es bastante comun obtener soluciones

a partir de las ecuaciones constitutivas linealizadas. El tensor de elasticidad mide los

cambios de tension que se producen ante cambios infinitesimales de deformacion y se define

como:

C = 2∂S(C)

∂C, or CABCD = 2

∂SAB∂CCD

(2.89)


Si se asume un comportamiento hiperelastico, de acuerdo con la ecuacion (2.56b), la

definicion del tensor de elasticidad es:

C = 4∂2Ψ(C)

∂C∂C, or CABCD = 4

∂2Ψ

∂CAB∂CCD(2.90)

en la descripcion material, con las simetrıas:

C = CT , or CABCD = CCDAB (2.91)

Por tanto, C tiene unicamente 21 componentes independientes para cada estado de de-

formacion. La ecuacion (2.91) es una condicion suficiente y necesaria para que un material

sea hiperelastico. En la descripcion espacial, el tensor de elasticidad, c, se define como J−1

veces el push-forward de C.

c = J−1φ∗(C), or cabcd = J−1FaAFbBFcCFdDCABCD (2.92)

Al igual que se hizo en la ecuacion (2.68) con la funcion de energıa libre, el tensor de

elasticidad tambien puede ser desacoplado.

C = Cvol + Ciso where Cvol = 2∂Svol

∂C, Ciso = 2

∂Siso

∂C(2.93)

Cvol representa una contribucion volumetrica pura y Ciso, la contribucion isocorica pura

al tensor de elasticidad. En la descripcion espacial, el tensor de elasticidad puede escribirse

como:

c = cvol + ciso (2.94)

con las siguientes definiciones:

Jcvol = 4b∂2Ψvol(J)

∂b∂bb = J(pI⊗ I− 2pI) with p = p + J

dp

dJ(2.95a)

Jciso = 4b∂2Ψiso(b)

∂b∂bb = P : c∗ : P +

2

3tr(τ )P− 2

3(I⊗ τ iso + τ iso ⊗ I) (2.95b)

ciso se basa en el tensor de proyeccion espacial, P = I− 13I⊗I, introducido anteriormente,

y en las relaciones expresadas en (2.20), las cuales ahora son de la forma:

2.3 Estado del arte de los modelos de comportamiento de los tejidos graso y glandularmamarios 45

τ = Jσ, τ iso = Jσiso (2.96)

Ademas, un tensor de elasticidad de cuarto orden ficticio se introduce como:

c∗ = 4b∂2Ψiso(b)

∂b∂bb (2.97)

Ası, el primer termino (cw) de la parte isocorica del tensor de elasticidad puede obtenerse:

cw = Pijklc∗klmnPmnrs (2.98)

Los terminos segundo y tercero de la parte isocorica del tensor de elasticidad pueden

obtenerse facilmente de los tensores de tension expresados en las ecuaciones (2.88) y (2.96).

2.3. Estado del arte de los modelos de comportamiento

de los tejidos graso y glandular mamarios

Para el desarrollo de este trabajo es fundamental conocer el comportamiento de los

tejidos que van a tomar parte en el, es decir, en definitiva, disponer de las constantes de una

determinada funcion de energıa libre que permita simular la respuesta del material ante una

serie de solicitaciones o estados de carga. En la literatura se encuentran algunas referencias

sobre el comportamiento de los tejidos graso y glandular presentes en la mama, tanto de

caracter experimental como numerico, que se comentaran a continuacion. Por supuesto,

hay una amplia gama de funciones y constantes propuestas, aunque en todas referencias

encontradas coinciden en tratar los tejidos como isotropos y cuasi-incompresibles. El autor

del que proceden gran parte de los estudios y referencias en la literatura sobre este tema es

A. Samani.

La forma mas sencilla de abordar el problema de como modelar el comportamiento de

un determinado material, y de forma logica la primera opcion por la que se comienza, es

considerar que el comportamiento es de tipo elastico, esto es, determinar su modulo de Young

E, ya que hay que tener en cuenta que el material se considera incompresible, y por tanto, de

los dos parametro necesarios para caracterizar un material elastico, normalmente E y ν, este

ultimo queda conocido. En este sentido, Samani et al. [26] determinaron experimentalmente

el modulo de Young de muestras de tejido graso y fibroglandular y de tumores cancerıgenos.


Las lıneas generales de este ensayo se explican en el apartado 2.3.1, puesto que es un ejemplo

bastante ilustrativo de los ensayos que suelen realizarse en tejidos, y ademas, dado que es el

que utiliza este autor siempre, con ligeras modificaciones, se evitara ası hacer comentarios

repetitivos a lo largo de esta seccion. Siempre que se haga referencia a un ensayo experimental

en estas lıneas, el lector podra dirigirse a consultar el dicho apartado.

Los resultados que aportaron para cada uno de los tejidos, basados en el calculo de la

pendiente de la curva fuerza-desplazamiento, son:

Tejido adiposo Tejido glandular Carcinoma

E(kPa) 1.9 1.8

Tabla 2.1: Modulo de Young para los tejidos graso y glandular y tumor [26].

Es importante decir que en el artıculo, a pesar de calcular el material como elastico, se

resalta el caracter claramente no lineal de la curva fuerza-desplazamiento.

Samani y Plewes [29] realizaron ensayos experimentales, mediante el mismo montaje que

en la referencia anterior, a muestras de grasa y de glandula, pero esta vez considerando los

materiales como hiperelasticos, con una funcion de energıa libre polinomial (N=2). Esta vez

para ajustar las constantes, hicieron uso del planteamiento de un problema inverso (apartado

2.3.1). Ası, daban unos valores medios y sus dispersiones para las cinco constantes:

C10 C01 C11 C20 C02 10−4Nmm−2

Grasa 3.1 3.0 22.5 38.0 47.2

Gandula 3.3 2.8 44.9 77.2 94.5

Tabla 2.2: Constantes del modelo polinomial N=2 para los tejidos graso y glandular [29].

Samani y Plewes de nuevo [30] estudiaron experimentalmente los tejidos tumorosos de

la mama femenina, calculando sus modulos de Young, pero a diferencia de la primera de

las referencias citadas, [26], lo calculaban planteando un problema inverso, y no mediante la

pendiente de la curva fuerza-desplazamiento. Un poco mas tarde publicaron un artıculo [31]

en el cual comparaban los modulos elasticos, calculados tambien mediante la misma tecnica,


de tejidos sanos de la mama con aquellos que estaban infectados por cancer. En este artıculo

resaltan que, bajo condiciones de deformaciones no muy elevadas, grasa y glandula tenıan un

comportamiento parecido y que al realizar un modelo de elementos finitos de la mama, quizas

no fuera necesario realizar segmentacion, si no tratarlo todo como un tejido homogeneo.

J. O’Hagan y A.Samani, en la misma linea, realizaron un estudio de las propiedades hi-

perelasticas de tejidos con una inclusion tumorosa [18] de forma experimental. La diferencia

con los anteriores es que en el centro de la muestra esta el tumor, y rodeandole tejido sano.

El tejido sano se modela como un material elastico y conocido, y el tumor mediante varios

modelos constitutivos diferentes: polinomial, Yeoh, Arruda-Boyce, Ogden, Mooney-Rivlin

y Neo-Hookeano. Los mismos autores continuaron con el estudio anterior de las propieda-

des hiperelasticas de los tumores, realizando mas pruebas y anadiendo un nuevo modelo

constitutivo, el de Veronda-Westmann [19].

La literatura comentada hasta ahora calcula las propiedades de los materiales haciendo

ensayos experimentales directamente sobre muestras de esos tejidos, para despues ajustar las

propiedades de forma numerica. Existen tambien referencias de ajustes usando modelos de

elementos finitos de mama. Ası, A.P. del Palomar et al. [6] realizaron un modelo de elemen-

tos finitos de la mama femenina, consistente en un material homogeneo (no consideraron los

distintos materiales, si no que los unificaron como si fuera uno) rodeado de piel. Las condi-

ciones de contorno impuesta fueron un empotramiento en el pecho. La piel se modelo como

un material polinomial N=2, con los resultados obtenidos en los experimentos de Gamba-

rotta et al. [12], y el material homogeneo con una funcion de energıa libre Neo-hookeana.

El objetivo es ajustar el parametro C1 del material homogeneo. Para ello, se realiza el mo-

delo de la mama con la paciente en posicion supina, a traves de imagenes TC (tomografıa

computerizada). En el modelo se aplica, en primer lugar, una fuerza de igual magnitud y

sentido contrario a la gravedad (se “contrarresta”la gravedad). Despues, en segundo lugar,

se aplica en el modelo la gravedad como si la paciente se encontrara en posicion vertical.

Durante la prueba, a la paciente se le colocan unos marcadores, y se mide su posicion

tanto en vertical como en horizontal. En el modelo de elementos finitos lo que se hace es

partir de la horizontal y ajustar la posicion de los marcadores en la vertical, obteniendo

ası el valor de la constante, pues el material debe comportarse de una forma determinada

para que los marcadores ajusten. Esto se realiza para una paciente, con una proporcion de

grasa estimada en un 90 %. Al modelo de una segunda paciente, con un porcentaje de grasa


Figura 2.5: Proceso seguido en el modelo de elementos finitos. En primer lugar, y partiendo de

la posicion supina, se contrarresta la gravedad. En segundo lugar, se aplica la gravedad como si la

paciente estuviera en posicion vertical.

de aproximadamente el 60 %, le aplican el valor de la constante obtenido y comprueban si

es capaz de predecir las deformaciones y con que precision.

En general, la determinacion de las propiedades de un material dado, en terminos de las

constantes que caracterizan su funcion de energıa libre, es bastante complejo, y por ello la

dispersion de resultados encontrados en la literatura puede ser bastante grande. Para ilustrar

esta idea, se utilizara un artıculo de Tanner et.al [34], en el cual se evalua la precision con la

que los estudios basados en modelos de elementos finitos pueden predecir los desplazamientos

y deformaciones en la mama. Se realiza analizando la habilidad de los modelos para predecir

la posicion de 12 marcadores, quedandose con aquellos que cometen un error inferior a una

determinada cota. Los valores que aporta para una funcion de energıa libre de tipo polinomial

N=2 son los mostrados en la tabla 2.3:

C10 C01 C11 C20 C02 kPa

Grasa 46.4±10 -31.7±7 1.96± 0.64 37± 3.1 0.08±2

Gandula 26.07 : 263.1 -15.56 : -231.32 1.71 : 55.81 8.1 : 387.5 -0.02 : 0.52


Se puede observar en la tabla 2.3 como los rangos para cada una de las constantes son

muy amplios, y lo que es mas, si compramos estas constantes con las que dan Samani et


al. [29] que se presentan en la tabla 2.2, en muchas de ella ni siquiera se solapan los rangos

y los valores son tremendamente dispares. Esto puede deberse a que, en general, con una

funcion que depende de 5 constantes puede haber muchas combinaciones de las mismas que

ajusten de forma aproximada un determinado comportamiento. Tambien es cierto que en

los ajustes mediante un modelo de elementos finitos de la mama, se modelan normalmente

solo dos posiciones, por ejemplo horizontal y vertical. Quizas si se probara a ajustar varias

posiciones y se minimizara el error en el conjunto de ellas, el rango de constantes se reducirıa,

aunque bien es cierto que el hecho de probar mas posiciones conlleva una preparacion, un

trabajo, un costo experimental y computacional y en general, un tiempo, bastante mas

elevados.

Para este trabajo se tomaran las constantes dadas por Samani et al. en [29], en primer

lugar porque las dispersiones de las constantes que da son menores, por lo que es mas facil

tomar un valor medio que sea representativo, y en segundo lugar porque al ser ensayos

especıficos de los materiales en cuestion, se ha considerado que son mas convenientes para

el estudio que se esta llevando a cabo en este trabajo.

2.3.1. Ensayo experimental

El sistema experimental utilizado para medir el comportamiento del material se trata de

un indentador cilındrico de 5mm de diametro y punta plana, conectado a un servomotor que

es el que realiza el papel de actuador. El tamano del indentador es suficientemente pequeno

para que la fuerza de contacto con la muestra se mantenga con la mınima precarga, pero

no excesivamente pequena para que “punzone”dicha muestra. El indentador es una pieza

clave en este tipo de ensayos experimentales, puesto que puede tener mucha influencia en

los resultados finales debido a alteraciones en los mismos por motivos como un contacto no

adecuado, efectos de friccion desconocidos en dicho contacto, etc.

Las muestras poseen unas dimensiones de 15x15x10mm3, extraıdas de un bloque mayor

de 30x30x20mm3. Es importante que al cortar el especimen, las caras sobre las que se va

a aplicar la indentacion sean lo mas paralelas posible, pues si no es ası, introduciremos

tensiones y efectos adicionales que pueden perturbar los resultados a la hora de ajustar las

propiedades, ya que en este ajuste estamos partiendo de la hipotesis de que las caras son

paralelas y cualquier desviacion de esta hipotesis introducira errores. Las muestras se apoyan

en el fondo de una cubeta, de forma que todas sus caras (menos la apoyada) estan libres, y se


sumergen en una solucion salina, de manera que el tejido se mantenga hidratado, tratando

que las condiciones del ensayo sean lo mas parecidas posible a las del cuerpo humano. En

esta misma lınea, se mantiene durante todo el ensayo una temperatura de 37o, simulando

la temperatura humana. La cubeta se encuentra sobre una celula de carga que es la que

proporcionara las medidas de fuerza a lo largo del ensayo.

Una vez todo se encuentra todo el dispositivo montado y el especimen situado, se acerca

el indentador a la muestra, aplicando una pequena precarga de entre 0.5 y 2.0 g para que

entre en contacto, dependiendo de la superficie de cada muestra. Este es el punto que se toma

como referencia para la deformacion. Se aplican 25 ciclos senoidales con amplitud 0.5mm y

una frecuencia entre 0.02 y 0.1 Hz (para tener unas condiciones de aplicacion de la carga

cuasi-estaticas) para el precondicionamiento, y despues se aplican 5 ciclos mas, en los que

se recogen datos de mediciones de fuerza y desplazamiento. Una vez se tienen los datos, se

obtiene una curva fuerza-desplazamiento, ajustando las propiedades del material en cuestion

a dicha curva, es decir, calculando las constantes de la funcion de energıa libre supuesta

para el material, de forma que reproduzca la curva obtenida experimentalmente. Para ello,

normalmente plantea un problema inverso. Utilizando un modelo de elementos finitos, se

calculan las fuerzas introduciendo como variable conocida el perfil de indentacion. Estas

fuerzas, en definitiva, dependen de las constantes de la funcion de energıa libre considerada en

el modelo. Se tienen las fuerzas experimentales y los desplazamientos obtenidos con el ensayo

de laboratorio, por lo que el problema se cierra planteando un ajuste mediante mınimos

cuadrados, en el cual se calculan las constantes minimizando el error cuadratico cometido,

es decir, el cuadrado de la diferencia entre las fuerzas experimentales y las calculadas con el

programa de elementos finitos para cada punto de la curva.


Figura 2.6: Montaje experimental utilizado por A.Samani.

Capıtulo 3

Modelo y calculo numerico

Una vez se ha realizado la introduccion teorica y conocemos todas las variables que inter-

vienen en nuestro problema y las relaciones existentes entre ellas, se procede ahora a exponer

la metodologıa seguida para llevar a cabo los calculos numericos realizados y la obtencion

de resultados. En lıneas generales, la finalidad de estos calculos consiste en conseguir una

serie de resultados que sirvan despues para obtener, mediante un ajuste matematico, un

modelo de comportamiento del material mezcla de grasa y glandula, que reproduzca lo mas

fielmente posible los resultados obtenidos.

Debido a que la proporcion de grasa en la mama femenina varıa de una mujer a otra, se

han analizado varias proporciones de grasa (0 %, 10 %, 30 %, 50 %, 70 %, 90 %, 100 %), con 8

modelos de elementos finitos para cada una con diferentes distribuciones aleatorias de grasa.

Cada modelo de elementos finitos se ha sometido a casos de carga de compresion, traccion

y cortante, ajustando unas constantes del modelo de comportamiento para cada modelo de

EF de forma que se minimice el error cometido en la respuesta del modelo frente a los tres

casos de carga de forma conjunta. Finalmente, se comprueba si el modelo de comportamiento

propuesto (con unas constantes intermedias) se ajusta correctamente al material compuesto,

formado por grasa y tejido glandular.

En esta seccion se explicara el modelo de elementos finitos utilizado, las cargas y con-

diciones de contorno impuestas a dicho modelo, y el proceso de ajuste llevado a cabo para

obtener el modelo de comportamiento del material mezcla de los dos tejidos en cuestion.

53

54 Modelo y calculo numerico

3.1. Modelo de elementos finitos

En primer lugar, se realiza un modelo en un programa de calculo mediante elementos

finitos. En este caso el software utilizado es Abaqusr. Habitualmente, cuando se trabaja con

este tipo de programas, es deseable que el modelo utilizado sea lo mas sencillo posible, al igual

que en otros muchos campos de la ingenierıa. De esta forma se consiguen muchas ventajas,

entre las cuales destacan la sencillez a la hora de modelar el problema, la minimizacion de

errores cometidos, una mayor claridad y facilidad para interpretar los resultados obtenidos,

etc. Por supuesto existen muchos casos, como por ejemplo el estudio de una determinada

pieza, en el que el modelo viene dado y no es posible elegirlo a voluntad.

Por tanto, para este trabajo se ha elegido un modelo sencillo, consistente en un cubo de

medidas 1x1x1 mm. Realmente en el programa no se especifican las unidades que van a ser

utilizadas, es necesario ser coherentes con las unidades a fin de poder analizar los resultados

obtenidos correctamente. En este caso para las entradas al programa, se considerara como

unidad de longitud el mm y como unidad de tension presion el MPa, de forma que si por

ejemplo obtenemos una fuerza como resultado, esta estara expresada en N. Dicho cubo se

ha subdividido en 8000 elementos del mismo tamano, de forma que existen 20 elementos

por arista (20x20x20=8000 elementos en total). Se ha considerado que este numero de ele-

mentos constituye una malla lo suficientemente fina para el estudio que se lleva a cabo. Los

elementos utilizados para este analisis son elementos tridimensionales solidos, hexaedricos

de 8 nodos de tipo hıbrido, indicados para el analisis de problemas mecanicos con materiales

de tipo incompresible, ya que estan basados en una formulacion mixta, que usa una mezcla

de variables de desplazamiento y tension para aproximar las ecuaciones de equilibrio y com-

patibilidad. Utilizando elementos con una formulacion en la que solo aparecen variables en

desplazamiento pueden producirse problemas numericos y bloqueos, ya que ante desplaza-

mientos muy pequenos pueden producirse aumentos de presion muy grandes. Por ello en los

elementos hıbridos se utiliza una presion hidrostatica como una variable independiente mas,

relacionada con los desplazamientos a traves de las ecuaciones del problema e implementada

de forma que puede ser entendida como un multiplicador de Lagrange.

Una vez tenemos la geometrıa del modelo, es necesario asignarle a cada elemento las pro-

piedades del material, tejido graso o glandular. Dichas propiedades se asignaran de forma

aleatoria a los elementos en funcion de la proporcion de grasa que vaya a tener el modelo.

Para ello se realiza un programa en Matlabr, cuyas entradas son el numero de elementos y

3.1 Modelo de elementos finitos 55

Figura 3.1: Modelo de elementos finitos.


el porcentaje de grasa deseados. El programa va seleccionando de forma aleatoria numeros

entre el 1 y el numero maximo de elementos, es decir, va “eligiendo” elementos aleatorios,

y los va almacenando en un archivo de texto. Cuando se alcanza el numero de elementos

correspondientes a tejido graso, deja de escribir en el archivo, y asigna todos los elementos

restantes a tejido glandular, guardando los numeros en otro archivo de texto. Por lo tanto,

al final se tienen dos archivos, cada uno de los cuales contiene los numeros de los elementos

a los que se les va a asignar las propiedades de cada uno de los tejidos. Estos archivos se

definen como entradas (inputs) para el programa Abaqusr. En la figura 3.2 se muestran

una serie de imagenes en las que se representan cinco modelos de elementos finitos, cada uno

con una proporcion diferente de los materiales utilizados, correspondientes a los porcentajes

de 90 %, 70 %, 50 %, 30 % y 10 % de grasa. Aparecen pintados en azul los elementos corres-

pondientes a grasa y en gris los de tejido glandular. Se puede apreciar como los elementos

estan aleatoriamente distribuidos y como varıan claramente las cantidades de cada uno de

ellos en funcion del porcentaje.

En un primer momento, se decidieron realizar las simulaciones considerando ambos ma-

teriales como hiperelasticos, isotropos y cuasi-incompresibles, modelados mediante una fun-

cion de energıa libre Neo-Hookeana, tomando valores para la constante C1 de referencias

como [34] o [6]. Ası, de los rangos para esta constante presentados en [34], se eligieron los

valores medios mostrados en la tabla 3.1. Se comenzo por un modelo sencillo, que solo de-

pendıa de una constante, por un motivo claro: si esta funcion de energıa libre ajustaba

correctamente y funcionaba bien, el modelo obtenido como resultado serıa tambien mucho

mas sencillo y por consiguiente, los calculos y deducciones derivados de el.

Tejido adiposo Tejido glandular

C1(kPa) 1.815 52.56

Tabla 3.1: Valores elegidos para C1 para los tejidos graso y glandular [34].

Sin embargo, al realizar las simulaciones, los resultados que se obtenıan para el rango

de alargamientos utilizado eran muy lineales. Esto puede observarse en la figura 3.3, don-

de se muestra representada la funcion Neo-Hookeana para las constantes de tejido graso y

glandular utilizadas. Se aprecia de forma clara como para los alargamientos mostrados en

3.1 Modelo de elementos finitos 57

(a) 90 % de grasa - 10 % de glandula (b) 70 % de grasa - 30 % de glandula

(c) 50 % de grasa - 50 % de glandula (d) 30 % de grasa - 70 % de glandula

(e) 10 % de grasa - 90 % de glandula

Figura 3.2: Distribucion de los elementos segun la proporcion de los materiales.


la figura, ambas son practicamente una recta. Se considero, teniendo en cuenta la documen-

tacion realizada y la literatura consultada, que dicho comportamiento no era realista pues

en todos los ensayos experimentales se aprecia un claro comportamiento no lineal. Para un

rango de deformaciones pequeno, en las que los alargamientos tengan una variacion menor,

quizas pueda considerarse este comportamiento como valido, pero para deformaciones tan

grandes como las simuladas se considera que es mas conveniente la utilizacion de un modelo

que pueda recoger las no linealidades de la respuesta del material.

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4Λ

-150

-100

-50

50

100

150

ΣHkPaL

Glándula

Grasa

Figura 3.3: Grafico tension-alargamiento para los valores de C1 dados en la tabla 3.1.

De esta forma, ambos materiales van a ser considerados hiperelasticos, isotropos y cuasi-

incompresibles, modelados mediante una funcion de energıa libre polinomial con cinco termi-

nos (N=2), cuyas constantes se han obtenido de la literatura [29] y que se presentan en la

tabla 3.2. Estas funciones son capaces de recoger mucho mejor las no linealidades del com-

portamiento del material.

C10 C01 C11 C20 C02 10−4Nmm−2

Grasa 3.1 3.0 22.5 38.0 47.2

Glandula 3.3 2.8 44.9 77.2 94.5


3.2 Cargas y condiciones de contorno 59

De esta forma ya se tiene el modelo de elementos finitos completamente definido en

cuanto a geometrıa y con todos los elementos distribuidos y determinados, tanto tipo co-

mo propiedades mecanicas de los materiales. Para completarlo, sera necesario imponer las

condiciones de contorno y las cargas, lo cual se precisara en el apartado 3.2.

3.2. Cargas y condiciones de contorno

En un modelo de elementos finitos es fundamental imponer correctamente las condicio-

nes de contorno y las cargas aplicadas, ya que de ello dependera en gran medida que la

simulacion que se realice sea realmente la que se desea simular. En este trabajo en concreto,

se impondran todas las condiciones de contorno en desplazamientos, ya sean restringidos o

impuestos.

Se analizan, para cada modelo de elementos finitos simulado, tres casos de carga, corres-

pondientes a una traccion uniaxial, una compresion uniaxial, y un cortante. A lo largo de

esta seccion, se hara referencia a los ejes cartesianos como 1,2 y 3 o como x, y y z, en este

mismo orden.

3.2.1. Desplazamientos restrigidos

Las condiciones de contorno en desplazamientos restringidos son iguales para los tres

casos de carga, es decir, el cubo se “sustenta”de la misma forma para todos los modelos de

elementos finitos simulados. Estas condiciones de contorno son (expresados en los ejes que

se muestran en la figura 3.1):

Desplazamiento restringido en la direccion x para todos los nodos que se encuentran

contenidos en el plano x=0, es decir, el plano coordenado yz.

Desplazamiento restringido en la direccion y para todos los nodos que se encuentran

contenidos en el plano y=0, es decir, el plano coordenado xz.

Desplazamiento restringido en la direccion z para todos los nodos que se encuentran

contenidos en el plano z=0, es decir, el plano coordenado xy.

Como puede observarse, estas condiciones de contorno son las correspondientes a impo-

ner relaciones de simetrıa en las tres direcciones de los ejes de coordenados, en un cuerpo


libre en el espacio sometido a una serie de condiciones de contorno simetricas en fuerzas o

desplazamientos impuestos.

3.2.2. Desplazamientos impuestos

Las condiciones de contorno en desplazamientos impuestos seran las que impongan la

deformacion al modelo de elementos finitos simulado, generado por tanto los estados tensio-

nales en el. Estas, evidentemente, seran diferentes para cada uno de los tres casos de carga

considerados y se explican a continuacion.

Traccion uniaxial

Para el caso de traccion uniaxial, se forzaran los desplazamientos en una de las direcciones

(en este caso la direccion z, dejando libres los desplazamientos en las otras dos direcciones

y, x). Por tanto, se impondra un desplazamiento positivo, de valor igual a 0.5 (por lo que

λ3=1.5, ya que el cubo en su configuracion inicial tenıa un lado de dimension unidad), a

todos los nodos que se encuentra en la cara z=1, en la direccion z.

Compresion uniaxial

El caso de compresion es analogo al de traccion, pero aplicando el desplazamiento en

sentido contrario. Se forzaran los desplazamientos en una de las direcciones (en este caso la

direccion z, dejando libres los desplazamientos en las otras dos direcciones y, x). Por tanto,

se impondra un desplazamiento negativo, de valor igual a -0.5 (por lo que λ3=0.5, ya que el

cubo en su configuracion inicial tenıa un lado de dimension unidad), a todos los nodos que

se encuentra en la cara z=1, en la direccion z.

A pesar de que las simulaciones se han realizado bajo estas condiciones de contorno, a la

hora de ajustar los resultados a la funcion polinomial para obtener las constantes (apartado

3.3), solo se han ajustado los puntos hasta un valor de λ3=0.7. Esto se debe a que para

valores de λ3 cercanos a 0.5, la funcion no se ajustaba correctamente. Esto se puede explicar

debido a que el estado de deformacion correspondiente a λ3=0.5 genera unas tensiones mucho

mayores que el de λ3=1.5, como se puede ver, aunque para unos valores ilustrativos, en la

figura 2.3, por lo que se considero mas conveniente ajustar hasta un valor menor de λ3=0.7,

y despues comprobar que los errores hasta λ3=0.5 eran aceptables. Hay que tener tambien

en cuenta que los valores de las constantes utilizados en este trabajo, tabla 3.2, y extraıdas

3.2 Cargas y condiciones de contorno 61

de la literatura [29], fueron calculadas para valores de deformacion (aproximadamente un

10 %) mucho menores de los simulados en este trabajo.

Cortante

Para el caso de cortante, se forzaran los desplazamientos en dos de las direcciones, en y y

en z, dejando libres los desplazamientos en las otra direccion x. Se realizara una traccion en

la direccion z y una compresion en la direccion y. Estos dos desplazamientos impuestos estan

relacionados entre sı, como se puede observar en el tensor gradiente de deformaciones que

se muestra en la expresion (2.83c). Por ello, hay que introducir las condiciones de contorno

de modo que en todo momento se cumpla que λ2= 1λ3

. Ası, se impondra un desplazamiento

final positivo, de valor igual a 0.5 (por lo que λ3=1.5), a todos los nodos que se encuentra

en la cara z=1, en la direccion z, y un desplazamiento final negativo, de valor igual a 0.3

(por lo que λ2=0.6), a todos los nodos que se encuentra en la cara y=1, en la direccion

y. Hay que recalcar que aunque estos son los valores de desplazamiento impuestos para la

configuracion final, la relacion inversa entre los alargamientos debe mantenerse a lo largo de

todos los pasos intermedios de calculo del programa de elementos finitos. Pues si solo impo-

nemos los desplazamientos finales, en los subpasos de carga el programa impondra valores

de desplazamiento que no tienen porque cumplir dicha relacion, y a la hora de ajustar la

curva obtenida se cometeran errores.

En un primer momento, se trato de simular un caso de cortante tal y como el que se

muestra en la figura 2.4, sin embargo, esto ofrecıa una serie de problemas a la hora de

imponer las condiciones de contorno en Abaqusr. Si se simula este caso de carga en teorıa

de pequenas deformaciones y desplazamientos, no existe problema, ya que las configuraciones

inicial y actual coinciden. Sin embargo, en una teorıa mas general que la de la elasticidad, la

teorıa de los medios continuos, que es la que esta siendo usado en este trabajo, si imponemos

un desplazamiento paralelo a una cara, dicha cara se deformara y se movera, de manera que

cambiara de orientacion, pero la fuerza sigue estando aplicada en la direccion inicial. Por ello,

se esta simulando un caso de carga que no es realmente el deseado. Debido a estos problemas,

se considero que era mas sencillo realizar el tratamiento en direcciones principales que se

desarrolla en el el apartado 2.2.3.


3.3. Ajuste por mınimos cuadrados

Con el modelo de elementos finitos ya totalmente determinado: geometrıa, elementos,

propiedades de los materiales y condiciones de contorno; es posible llevar a cabo las simu-

laciones y obtener los resultados. Lo que cabe preguntarse ahora es que resultados debemos

extraer del programa, es decir, que variables necesitamos para nuestro ajuste.

Las ecuaciones que van a ser utilizadas para el calculo de las constantes del modelo

polinomial son, para los casos de carga de traccion y compresion, la numero (2.82), y para el

de cortante, las numero (2.85). Estas ecuaciones relacionan un parametro de tension con uno

de deformacion. Por lo tanto, si conseguimos extraer del programa la informacion sobre los

valores de estos parametros durante las simulaciones, las unicas incognitas de las ecuaciones

(2.82) y (2.85) seran las constantes de la funcion de energıa polinomial.

La ecuacion (2.82), valida tanto para compresion como para traccion, relaciona la tension

de Cauchy en la direccion de compresion traccion con el alargamiento en esa misma direc-

cion. Las ecuaciones (2.85) relacionan las tensiones de Cauchy en las direcciones 2 y 3 (de

compresion y de traccion respectivamente) con el alargamiento en la direccion 3. Se deben

obtener entonces de Abaqusrlas tensiones y alargamientos mencionados. Sin embargo, estos

valores no es posible extraerlos “directamente”del programa, aunque si pueden calcularse a

partir de otros dados.

Como variables de salida del programa se tomaran los desplazamientos de las tres caras

del cubo que se encuentran libres, y las fuerzas de reaccion que se generan en cada una de las

tres caras del cubo que tienen impuestas condiciones de contorno de restriccion de despla-

zamientos. Mediante los desplazamientos de las caras es posible calcular los alargamientos

en cada una de las direcciones:

λi = 1 + ui i = 1, 2, 3 (3.1)

De esta forma ya se dispondrıa de la variable λ que aparece en las ecuaciones (2.82) y

(2.85) (λ3 en todos los casos).

Para calcular la tension de Cauchy, se hara uso de las fuerzas de reaccion. Sumando

las correspondientes a cada una de las caras, se tienen las fuerzas totales que actuan en

cada una de las direcciones. Para calcular la tension, deben dividirse estas fuerza por un

area. Si queremos obtener la tension de Cauchy, que es la que aparece en las ecuaciones a

usar, debemos dividir por el area en la configuracion actual. Sin embargo este area es mas

3.3 Ajuste por mınimos cuadrados 63

complicada de calcular, por lo que podemos dividir las fuerzas de reaccion por el area en

la configuracion inicial (igual a 1, ya que las aristas del cubo eran de dimension unidad),

obteniendo ası las componentes del primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff. Este tensor

se relaciona con el de Cauchy a traves de la expresion (2.21), de forma que:

σ = J−1PFT (3.2)

y teniendo en cuenta que el material es incompresible, J = 1, que el area en la configuracion

inicial es la unidad y que los tensores de tension de Cauchy y gradiente de deformaciones

son diagonales para los tres casos de carga considerados, queda:

σi = Piλi = RFiλi i = 1, 2, 3 (3.3)

siendo RFi la fuerza de reaccion total en la direccion i. De esta forma se tienen ya los valores

necesarios, y unicamente resta el calculo de las constantes del modelo polinomial.

Para cada uno de los modelos de elementos finitos, correspondientes a una proporcion de

grasa, una distribucion aleatoria y a un caso de carga dados, tenemos una nube de puntos

que relacionan σ − λ y que conforman una curva. Se desea ajustar esa curva, mediante las

ecuaciones anteriores, usando la tecnica de mınimos cuadrados, que se basa en minimizar el

error cuadratico total, es decir, se trata de minimizar la suma de los errores cuadraticos en

cada punto:

Min E = Min

N∑i=1

(σi − σteo)2 (3.4)

siendo N el numero total de puntos ajustados, σi las tensiones obtenidas mediante el pro-

grama de elementos finitos correspondientes a cada uno de esos puntos y σteo el valor de la

tension calculada de forma teorica (en este caso mediante las ecuaciones (2.82), (2.85a) o

(2.85b)).

Para el caso de traccion y compresion (cada caso por separado), debido a que existe

unicamente una tension a ajustar, la ecuacion (3.4) quedarıa:

Min

N∑i=1

(σi − σteo)2 = Min

N∑i=1

(σi − f(λi, C10, C01, C11, C20, C02))2 (3.5)

Como puede verse, el ultimo termino de la ecuacion (3.5) es funcion de las constantes

del modelo polinomial y del alargamiento, λi, en cada uno de los puntos ajustados.


Para el caso de cortante, al existir dos tensiones a ajustar en el modelo, la ecuacion (3.4)

se modificarıa ligeramente, siendo:

Min

N∑i=1

((σ2i − σ2teo)

2 + (σ3i − σ3teo)2)

=

= Min

N∑i=1

((σ2i− f2(λi, C10, C01, C11, C20, C02))2 + (σ3i− f3(λi, C10, C01, C11, C20, C02))2

)(3.6)

donde σ2i y σ3i son las tensiones calculadas mediante el programa de elementos finitos en

las direcciones 2 (y) y 3 (z ) respectivamente, y σ2teo y σ3teo son los valores de la tension

calculada de forma teorica en las direcciones 2 (y) y 3(z ) respectivamente, y que igual que

en los casos de compresion y traccion, dependen de las constantes del modelo polinomial y

de los alargamientos para cada uno de los puntos ajustados.

Ası, si se quieren calcular las constantes que minimizan el error cuadratico para cada uno

de los modelos de EF, habra que establecer un sistema de ecuaciones. Para ello, derivamos la

ecuacion (3.5) (para el caso de cortante el razonamiento serıa analogo utilizando la ecuacion

(3.6)) con respecto a cada una de las cinco constantes de las que depende, e igualamos a

cero:

∂E

∂Cjk=∂(∑N

i=1(σi − σteo)2)

∂Cjk= 0 j + k = N = 1, 2 j, k > 0 (3.7a)

N∑i=1

(σi∂σteo∂Cjk

)−N∑i=1

(σteo∂σteo∂Cjk

) = 0 (3.7b)

N∑i=1

(σi∂f(λi, Cjk)

∂Cjk)−

N∑i=1

(f(λi, Cjk)∂f(λi, Cjk)

∂Cjk) = 0 (3.7c)

obteniendo ası un sistema de cinco ecuaciones con cinco incognitas, que resolvemos mediante

un programa realizado en Matlabr.

Con esto, se calculan las constantes del modelo polinomial para cada modelo de elemen-

tos finitos y cada caso de carga. El criterio seguido para estimar la bondad del ajuste es el

valor de la funcion de minimizacion. Cuando el error es suficientemente pequeno, en com-

paracion con el rango de magnitud que esta ajustando, se dan por validas las constantes.

3.3 Ajuste por mınimos cuadrados 65

Se comenzo utilizando para evaluar la bondad el coeficiente de determinacion R2, definido

mediante:

R2 =V arianza explicada

V arianza total=

∑Ni=1(y∗i − y)2∑Ni=1(yi − y)2

(3.8a)

donde N es el numero de puntos total a ajustar, y∗i es el valor correspondiente a la curva de

ajuste (valor calculado o ajustado), yi es el valor del punto a ajustar, y finalmente y es la

media:

y =

∑Ni=1 yiN

(3.8b)

Pero se vio que este parametro no funcionaba del todo bien, dando valores en algunas

ocasiones por encima de uno, lo cual no es posible segun la definicion de R2, lo que llevo a

pensar que en el caso de ajustes fuertemente no lineales esta forma de estimacion de la

bondad puede no ser demasiado fiable.

De mayor interes es la obtencion de las constantes del modelo polinomial, para cada

uno de los modelos de elementos finitos, pero ajustandolas para los tres casos de carga de

forma conjunta. De esta forma, la funcion de minimizacion tendrıa ahora cuatro terminos,

uno para la compresion, uno para la traccion y dos para el cortante. La expresion siguiente

muestra como serıa:

Min

N∑i=1

((σCi − σC.teo)2 + (σTi − σT.teo)2 + (σ2i − σ2teo)

2 + (σ3i − σ3teo)2)

(3.9)

donde ha sido necesario introducir los subındices C y T para referir los casos de compresion y

traccion respectivamente y poder diferenciarlos, ya que en la nomenclatura anterior se habıan

unificado las dos cargas a efectos de notacion. El resto de la nomenclatura se mantiene.

Aplicando un desarrollo analogo al de las ecuaciones (3.7), se consigue el correspondien-

te sistema de cinco ecuaciones con cinco incognitas. Resolviendolo tambien mediante un

programa realizado en Matlabr, se calculan las constantes de la funcion de energıa libre

polinomial que minimizan el error al simular cualquiera de los casos de carga en cuestion.

El programa de minimizacion comienza a resolver a partir de una solucion inicial que

le aporta el usuario. Posee una tolerancia que establece el criterio de parada. Cuando la


magnitud del ultimo cambio en la suma de los cuadrados del vector de soluciones, o el

gradiente de esta suma de cuadrados, son inferiores a la tolerancia, el programa establece

que ha encontrado la solucion.

Capıtulo 4

Resultados

En este apartado se comentan los resultados del trabajo. Para cada modelo de elementos

finitos, se han calculado las constantes que minimizan el error teniendo en cuenta los tres

casos de carga (traccion, compresion y cortante) por separado, y de forma conjunta. En

particular, para cada uno de los 8 modelos de cada una de las proporciones de grasa consi-

deradas, 10 %, 30 %, 50 %, 70 % y 90 %, se han obtenido un conjunto de constantes para los

casos de: traccion, compresion, cortante, traccion + compresion y traccion + compresion +

cortante. Para cada porcentaje de grasa, se ha calculado la media y la desviacion tıpica de

las constantes, teniendo en cuenta los 8 resultados existentes. A continuacion se presentan

los resultados obtenidos en cada uno de los casos calculados junto con una serie de graficas

para ilustrarlos, ordenados cronologicamente segun la realizacion de cada uno de los casos, lo

cual en principio serıa irrelevante, pero justifica la utilizacion de la solucion inicial aportada

al programa como veremos posteriormente.

4.1. Compresion

El caso de compresion es el que primero se lleva a cabo. Se parte de una solucion inicial

arbitraria, en la cual cada constante se elige en el rango entre las constantes correspondientes

de grasa y glandula. Ası, se ejecutan los 8 casos para cada proporcion de grasa y el programa

aporta las constantes medias y desviaciones presentadas en la tabla 4.1.

67

68 Resultados

C10 C01 C11 C20 C02 10−4Nmm−2

0 % GRASA 3.3 2.8 44.9 77.2 94.5

10 % GRASAµ 3.0972 3.0028 44.2465 71.6849 88.6473

σ 0.0065 0.0063 0.0897 0.0689 0.0278

30 % GRASAµ 2.7439 3.3558 42.2365 61.3411 77.5232

σ 0.0100 0.0104 0.1689 0.1064 0.0741

50 % GRASAµ 2.4818 3.6158 39.3358 51.9119 67.1138

σ 0.0138 0.0135 0.2771 0.1819 0.1182

70 % GRASAµ 2.4571 3.6394 34.3179 44.5116 58.0916

σ 0.0090 0.0088 0.1314 0.1033 0.0542

90 % GRASAµ 2.7611 3.3364 27.2680 39.3232 50.3663

σ 0.0037 0.0037 0.0548 0.0412 0.0252

100 % GRASA 3.1 3.0 22.5 38.0 47.2

Tabla 4.1: Valores medios y desviaciones estandar obtenidas para las constantes del modelo

polinomial, para el caso de compresion. El valor de µ corresponde a la media y el valor de

σ a la desviacion estandar.

En la tabla 4.1 se observa como los valores de las constantes son del orden de los iniciales

para tejido graso y glandular puro, lo cual es bastante razonable. Para el caso de C11, C20 y

C02, estas se encuentran dentro de los lımites definidos por las constantes para 0 % y 100 %

de tejido adiposo y ademas con una variacion bastante progresiva en funcion de la proporcion

de grasa. Sin embargo, C10 y C01, se salen fuera del rango establecido por las constantes

correspondientes a los tejidos “puros”, y aparentemente no siguen una ley de variacion, al

menos que sea reconocible a simple vista. Se puede observar como todos los valores de C10

se encuentran por debajo del lımite inferior, mientras que todo los valores de C01 estan por

encima del lımite superior. A pesar de todo, sus valores son muy proximos a C10 y C01 de

grasa y glandula.

Por otra parte, se aprecia que las desviaciones estandar para cada una de las medias

4.1 Compresion 69

presentadas son muy pequenas, lo que indica que el valor de la media es representativo del

conjunto de simulaciones realizadas. Tambien parece demostrar que las distintas distribucio-

nes aleatorias para unas mismas cantidades de tejido no afectan demasiado a las constantes,

mientras que como se puede apreciar claramente, dichas cantidades de tejido sı. Tambien es

posible observar como las mayores desviaciones se producen para el caso de 50 % de grasa,

lo cual en principio tiene sentido ya que es el caso que mas mezcla tiene, es decir, el que mas

se aleja de un material puro, y para la constante C11.

Esta simulacion de compresion, como se comento en el apartado 3.2.2, se ha ajustado

para valores del alargamiento entre 0.7 y 1. En este rango, el error medio cometido, teniendo

en cuenta los 8 resultados, es muy pequeno y del mismo orden para todo los porcentajes de

tejido graso como se muestra en la tabla 4.2. En esta tabla se presentan los errores medios

absolutos y los medios relativos aproximados, teniendo como referencia para estos ultimos

el rango de tensiones de cada una de las curvas.

10 % 30 % 50 % 70 % 100 %

Error absoluto (10−4Nmm−2) 3 · 10−7 6 · 10−7 9 · 10−7 8 · 10−7 3 · 10−7

Error relativo ( %) 7 · 10−8 1 · 10−7 3 · 10−7 3 · 10−7 1.5·10−7

Tabla 4.2: Errores absolutos y medios para el caso de compresion.

Se observa claramente en los resultados presentados en la tabla 4.2 que los errores, tanto

absolutos como relativos, son muy pequenos, dando una idea de que el ajuste es bastante

bueno. En el tramo correspondiente a alargamientos entre 0.5 y 0.7, a pesar de que los

errores cometidos con estas constantes son mucho mayores que los mostrados en la tabla

4.2, se comprueba que tambien ajustan bastante bien, siendo aproximadamente el mayor

error absoluto en esta zona de 15 · 10−4Nmm−2 y el error relativo del 0.5 %.

En la grafica 4.1 se muestran las curvas tension - alargamiento en compresion, obtenidas

mediante las constantes que se presentan en la tabla 4.1, para cada una de las proporciones

de grasa estudiadas.

70 Resultados

Figura 4.1: Grafica tension - alargamiento para cada proporcion de grasa, en compresion.

Se aprecia en la grafica 4.1 como las mayores tensiones se registran cuanto mayor es el

porcentaje de glandula, lo cual es logico porque al ser mas rıgida que la grasa, para un mismo

desplazamiento presenta un oposicion mayor. Se observa como las diferencias de tensiones

son bastante grandes en el rango de 0 % a 100 % de tejido adiposo, y por supuesto, como el

comportamiento en este tramo es fuertemente no lineal.

A continuacion se presenta una grafica (figura 4.2) en la que se ha representado de forma

conjunta la curva obtenida para el 50 % de grasa mediante las constantes mostradas en

la tabla 4.1 y los puntos calculados mediante la simulacion de elementos finitos para uno

de los 8 casos existentes. Se ha tomado esta curva, a modo de ejemplo, porque es la mas

desfavorable, ya que es la que mas se aleja del comportamiento de los dos materiales iniciales

y es en la que cabe esperar mas errores y mas desviaciones, como se puede ver en la tabla

4.2.

4.2 Traccion 71

Figura 4.2: Curva junto con los puntos numericos para el caso de compresion.

Se aprecia en la figura 4.2 como los puntos practicamente se solapan con la curva, indi-

cativo de que el ajuste es muy bueno y que las constantes son capaces de reproducir el caso

de carga con bastante exactitud.

4.2. Traccion

El caso de traccion se lleva a cabo en segundo lugar. Se parte de una solucion inicial que

corresponde a la solucion obtenida para el caso de compresion. Ası, se ejecutan los 8 casos

para cada proporcion de grasa y el programa aporta las constantes medias y desviaciones

presentadas en la tabla 4.3.

72 Resultados

C10 C01 C11 C20 C02 10−4Nmm−2

0 % GRASA 3.3 2.8 44.9 77.2 94.5

10 % GRASAµ 3.4648 2.6345 43.9419 72.4958 88.1420

σ 0.0117 0.0122 0.1454 0.0458 0.1102

30 % GRASAµ 3.6095 2.4941 40.1146 63.9237 77.2126

σ 0.0136 0.0144 0.1825 0.0509 0.1358

50 % GRASAµ 3.6488 2.4589 35.4763 55.8922 67.3390

σ 0.0240 0.0250 0.1928 0.0801 0.1578

70 % GRASAµ 3.6868 2.4158 31.6377 47.9454 57.5669

σ 0.0161 0.0166 0.1306 0.0509 0.1208

90 % GRASAµ 3.4390 2.6593 26.4271 40.8910 49.6962

σ 0.0290 0.0302 0.3008 0.1055 0.2385

100 % GRASA 3.1 3.0 22.5 38.0 47.2


polinomial, para el caso de traccion. El valor de µ corresponde a la media y el valor de σ a

la desviacion estandar.

En la tabla 4.3 se observa, al igual que en el caso anterior de traccion, como los valores

de las constantes son del orden de los iniciales para tejido graso y glandular puro, lo cual

es bastante razonable. Para el caso de C11, C20 y C02, estas se encuentran dentro de los

lımites definidos por las constantes para 0 % y 100 % de tejido adiposo y ademas con una

variacion bastante progresiva en funcion de la proporcion de grasa. C10 y C01, al igual que

en compresion, se salen fuera del rango establecido por las constantes correspondientes a los

tejidos “puros”, y aparentemente no siguen una ley de variacion, al menos que sea reconocible

a simple vista. Sin embargo, se puede observar como sus valores tienen la tendencia inversa

que en el caso de compresion, es decir, todos los valores de C10 se encuentran por encima

del lımite superior, mientras que todo los valores de C01 estan por debajo del lımite inferior.

A pesar de todo, sus valores son muy proximos a C10 y C01 de grasa y glandula.

4.2 Traccion 73

Por otra parte, se observa que las desviaciones estandar para cada uno de las medias

presentadas son tambien muy pequenas, lo que indica que el valor de la media es represen-

tativo del conjunto de simulaciones realizadas. Tambien parece consolidar la idea de que las

distintas distribuciones aleatorias para unas mismas cantidades de tejido no afectan dema-

siado a las constantes, mientras que como se puede apreciar claramente, dichas cantidades

de tejido sı. Es posible ver como las mayores desviaciones se siguen produciendo para el caso

de 50 % de grasa, lo cual en principio tiene sentido ya que es el caso que mas mezcla tiene,

es decir, el que mas se aleja de un material puro, y para la constante C11. Esta tendencia es

equivalente al caso de compresion.

Las simulaciones de traccion se han ajustado para valores del alargamiento entre 1 y

1.5. En este rango, el error medio cometido, teniendo en cuenta los 8 resultados, es muy

pequeno y del mismo orden para todo los porcentajes de tejido graso como se muestra en

la tabla 4.4. En esta tabla se presentan los valores medios absolutos y los medios relativos

aproximados de los errores, teniendo como referencia para estos ultimos el rango en el que

varıan las tensiones de cada caso.

10 % 30 % 50 % 70 % 100 %


Error relativo ( %) 3.7·10−7 5.7·10−7 1 · 10−6 8.7·10−7 5.5·10−7

Tabla 4.4: Errores absolutos y medios para el caso de traccion.

Se puede apreciar claramente en los resultados presentados en la tabla 4.2 que los erro-

res, tanto absolutos como relativos, son muy pequenos, dando una idea de que el ajuste

es bastante bueno. Los errores absolutos son algo mayores que en el caso de compresion,

pero tambien es cierto que se esta ajustando un rango de alargamientos mayor. Los errores

relativos, aunque un poco mayores, son del mismo orden.

En la grafica 4.3 se muestran las curvas tension - alargamiento en traccion, obtenidas

mediante las constantes que se presentan en la tabla 4.3, para cada una de las proporciones

de grasa estudiadas.

74 Resultados

Figura 4.3: Grafica tension - alargamiento para cada proporcion de grasa, en traccion.

Se aprecia en la grafica 4.1 como las mayores tensiones se registran tambien cuanto mayor

es el porcentaje de glandula, por el motivo expuesto en el apartado 4.1. Se observa como las

diferencias de tensiones son bastante grandes en el rango de 0 % a 100 % de tejido adiposo,

y por supuesto, como el comportamiento en este tramo es fuertemente no lineal.







4.4.

4.3 Intercambio de las constantes entre compresion y traccion 75

Figura 4.4: Curva junto con los puntos numericos para el caso de traccion.

Se aprecia en la figura 4.4 como los puntos practicamente se solapan con la curva, indi-

cativo de que el ajuste es muy bueno y que las constantes son capaces de reproducir el caso

de carga con bastante exactitud.

4.3. Intercambio de las constantes entre compresion y

traccion

Una vez terminado el ajuste de las constantes para estos dos casos de carga por separado,

cabe preguntarse cual serıa el error cometido al predecir los puntos simulados mediante el

programa de elementos finitos para compresion, utilizando los valores medios obtenidos para

el caso de traccion, y viceversa. Ası, se toma un caso aleatorio de los 8 existentes para cada

porcentaje de grasa en compresion, y se calcula el error cometido utilizando las constantes

medias de compresion para esa proporcion de grasa. Para traccion se realizo el mismo proceso

a la inversa. Los resultados obtenidos de esta comprobacion se muestran a continuacion en

la tabla 4.5, en terminos de errores absolutos.

76 Resultados

10 % 30 % 50 % 70 % 100 %

Error en compresion (10−4Nmm−2) 1.44 3.41 4.77 6.92 3.26

Error en traccion (10−4Nmm−2) 8.15 51.75 113.40 100.47 25.91

Tabla 4.5: Errores absolutos y medios para el caso conjunto de traccion + compresion.

Como puede observarse en la tabla 4.5, los errores cometidos, tanto para traccion como

para compresion realizando el cambio de constantes, son enormes en comparacion con los

errores absolutos de cada unos de los casos utilizando sus propias constantes, mostradas en

las tablas 4.2 y 4.4. Los errores cometidos en el caso de traccion son aun mayores, aunque

se encuentran en el mismo rango. Este hecho da una idea clara de que el mınimo error para

los casos de compresion y traccion no se produce para un mismo conjunto de constantes,

aunque se encuentra proximas entre sı y son del mismo orden. Cabe preguntarse por tanto

si existe un grupo de constantes que ajusten ambos casos de forma conjunta y que el error

cometido en el proceso de ajuste sea considerablemente pequeno. Este es el objetivo que

persigue el apartado 4.4.

4.4. Compresion y Traccion

En este apartado se presentan los resultados de la minimizacion conjunta de los casos

de traccion y compresion, con el objetivo de buscar un grupo de constantes que reproduzca

ambos casos con suficiente precision. Se parte de una solucion inicial aleatoria dentro de los

rangos definidos por las constantes iniciales de los tejidos graso y glandular, ya que debido

a que las constantes de compresion y traccion no coincidıan exactamente, no se podıa partir

de una solucion inicial clara a priori. Ası, se realizan las simulaciones de los 8 casos para

cada proporcion de grasa, extrayendo del programa de minimizacion las constantes medias

y desviaciones presentadas en la tabla 4.6.

4.4 Compresion y Traccion 77

C10 C01 C11 C20 C02 10−4Nmm−2

0 % GRASA 3.3 2.8 44.9 77.2 94.5

10 % GRASAµ 3.2808 2.8285 42.6368 72.9332 89.2084

σ 0.0002 0.0002 0.0144 0.0087 0.0139

30 % GRASAµ 3.2360 2.8895 38.0466 64.5948 78.9844

σ 0.0186 0.0198 0.0546 0.0129 0.0548

50 % GRASAµ 3.2061 2.9290 33.4490 56.5308 69.1501

σ 0.0009 0.0009 0.0861 0.0209 0.0522

70 % GRASAµ 3.1681 2.9655 28.8448 48.8496 59.9708

σ 0.0007 0.0009 0.0390 0.0105 0.0253

90 % GRASAµ 3.1249 2.9915 24.4929 41.5288 51.3168

σ 0.0003 0.0003 0.0193 0.0064 0.0160

100 % GRASA 3.1 3.0 22.5 38.0 47.2


polinomial, para los casos de traccion y compresion conjuntamente. El valor de µ corresponde

a la media y el valor de σ a la desviacion estandar.

En la tabla 4.6 se observa, al igual que en los casos de traccion y compresion por separado,

como los valores de las constantes son del orden de los iniciales para tejido graso y glandular

puro. Sin embargo ahora todas las constantes se encuentran dentro de los lımites definidos

por las constantes correspondientes para 0 % y 100 % de tejido adiposo y ademas con una

variacion bastante progresiva en funcion de la proporcion de grasa, de hecho, siguiendo una

tendencia casi lineal. El hecho de que ahora C10 y C01 esten dentro de rangos mas logicos

que en los casos de carga por separado puede deberse a que, como para traccion y para

compresion tenıan comportamientos inversos (cuando C10 se mantenıa siempre por debajo

del lımite inferior para compresion, para traccion siempre estaba por encima del superior, y

a la inversa para la constante C01), al minimizar el error conjunto se hayan compensado los

efectos.

78 Resultados

Por otra parte, se observa que las desviaciones estandar para cada una de las medias


tativo del conjunto de simulaciones realizadas. Tambien parece demostrar que las distintas

distribuciones aleatorias para unas mismas cantidades de tejido siguen sin afectar demasia-

do a las constantes, mientras que como se puede apreciar claramente, dichas cantidades de

tejido sı. En este caso no esta tan claro que las mayores desviaciones se produzcan para el

caso de 50 % de grasa, ni para la constante C11. Se encuentran algo mas difuminadas las

dispersiones aunque parece que para 30 %, 50 %, C11 y C02 son algo mayores.

En el rango ajustado, donde el alargamiento varıa de 0.7 a 1.5, el error medio cometido,

teniendo en cuenta los 8 resultados existentes, es muy pequeno, aunque ya comienza a haber

diferencias mas significativas entre distinto porcentajes de tejido, como se muestra en la

tabla 4.7. En esta tabla se presentan los valores medios absolutos y los medios relativos

aproximados, teniendo como referencia para estos ultimos el rango de tensiones completo en

los valores de alargamiento ajustados.

10 % 30 % 50 % 70 % 100 %

Error absoluto (10−4Nmm−2) 6·10−6 7.5·10−5 7.5·10−5 2 · 10−5 2 · 10−5

Error relativo ( %) 6.6·10−7 4 · 10−6 8 · 10−6 1 · 10−5 4 · 10−6

Tabla 4.7: Errores absolutos y medios para el caso conjunto de traccion + compresion.

Se puede ver en los resultados presentados en la tabla 4.7 que los errores absolutos y

relativos son muy pequenos, indicativo de un buen ajuste. Los errores son algo mayores

que en los caso de compresion y traccion por separado, pero tambien es cierto que se esta

ajustando un rango de alargamientos mayor. En el tramo correspondiente a alargamientos

entre 0.5 y 0.7, a pesar de que los errores cometidos son mucho mayores que los mostrados

en la tabla 4.7, se comprueba que tambien ajustan bastante bien, siendo aproximadamente

el mayor error absoluto en esta zona de 15 · 10−4Nmm−2 y el error relativo del 0.4 %.

En la grafica 4.5 se muestran las curvas tension - alargamiento, obtenidas mediante las

constantes que se presentan en la tabla 4.6, para cada una de las proporciones de grasa.

Para visualizarla mejor, ya que cubre un amplio rango de alargamientos, se adjuntan otras

dos graficas, 4.6 y 4.7, separando las partes de compresion y traccion.

4.4 Compresion y Traccion 79

Figura 4.5: Grafica tension - alargamiento para cada proporcion de grasa, comportamiento global.

Figura 4.6: Grafica tension - alargamiento para cada proporcion de grasa, zona de compresion.

80 Resultados

Figura 4.7: Grafica tension - alargamiento para cada proporcion de grasa, zona de traccion.

Se aprecia en las graficas 4.5, 4.6 y 4.7 como el comportamiento global es bastante similar

a los comportamientos por separado mostrados en apartados anteriores, es decir, que la curva

tiene la misma forma aproximada y tendencia. Las mayores tensiones se siguen registrando

cuanto mayor es el porcentaje de glandula, por el motivo expuesto en el apartado 4.1. Se

observa como las diferencias de tensiones son bastante grandes en el rango de 0 % a 100 %

de tejido adiposo, destacando la importancia de la proporcion de cada uno de los tejidos

y por supuesto, como el comportamiento global es fuertemente no lineal, pudiendo captar

ası las no linealidades del comportamiento del material.







4.4.

4.5 Cortante 81

Figura 4.8: Curva junto con los puntos numericos, casos de traccion y compresion conjuntos.

Se aprecia en la figura 4.8 como los puntos practicamente se solapan con la curva, tanto

en la zona de compresion como en la de traccion, indicativo de que el ajuste es muy bueno

y que las constantes calculadas son capaces de reproducir ambos casos de carga de forma

conjunta con bastante exactitud.

4.5. Cortante

El caso de cortante se realiza de forma posterior al conjunto de traccion y compresion.

Por tanto, como solucion inicial se toma la que corresponde a la solucion obtenida para el

caso de compresion + traccion. De esta forma, se ejecutan los 8 modelos construidos para

cada proporcion de grasa y el programa de minimizacion aporta las constantes medias y

desviaciones presentadas en la tabla 4.8.

82 Resultados

C10 C01 C11 C20 C02 10−4Nmm−2

0 % GRASA 3.3 2.8 44.9 77.2 94.5

10 % GRASAµ 3.2822 2.8287 42.6342 72.9310 89.2070

σ 0.0036 0.0042 0.0089 0.0096 0.0120

30 % GRASAµ 3.2489 2.8801 38.0773 64.5802 78.9432

σ 0.0071 0.0085 0.0198 0.0148 0.0257

50 % GRASAµ 3.2047 2.9319 33.4137 56.5362 69.1802

σ 0.0151 0.0168 0.1361 0.0380 0.0859

70 % GRASAµ 3.1716 2.9609 28.8713 48.8370 59.9524

σ 0.0156 0.0168 0.1150 0.0392 0.0802

90 % GRASAµ 3.1237 2.9898 24.4785 41.5345 51.3347

σ 0.0035 0.0037 0.0179 0.0066 0.0157

100 % GRASA 3.1 3.0 22.5 38.0 47.2


polinomial, para el caso de cortante. El valor de µ corresponde a la media y el valor de σ a

la desviacion estandar.

En la tabla 4.8 se observa que los valores de las constante son muy parecidos a los

que se aportaban cuando se minimizaba conjuntamente la compresion y la traccion. En

el programa de minimizacion para el caso de cortante, partiendo de diferentes soluciones

iniciales, se llegaba a la convergencia en soluciones muy diferentes, pero con una valor de la

funcion a minimizar (el error) igual en todos los casos. Esto lleva a pensar que la funcion

de la tension de cortante en funcion del alargamiento poseıa bastantes mınimos locales muy

cercanos entre ellos. Por ello partiendo de una solucion inicial “buena”, se llega a una muy

cerca a ella misma.

Por otra parte, se observa que las desviaciones estandar para cada uno de las medias pre-

sentadas son tambien muy pequenas, lo que indica que el valor de la media es representativo

del conjunto de simulaciones realizadas. En este caso las mayores desviaciones se producen

4.5 Cortante 83

tanto para el caso de 50 % como para 70 % de grasa, y para la constante C11, como en los

casos anteriores.

Las simulaciones de traccion se han ajustado para valores del alargamiento (en la direc-

cion 3 o z, que es el valor del alargamiento que interviene en las ecuaciones de ajuste, ver

apartado 3.2.2) entre 1 y 1.5. En este rango, el error medio cometido, teniendo en cuenta los

8 modelos de elementos finitos estudiados, es muy pequeno. Varıa bastante segun el porcen-

taje de tejido graso como se muestra en la tabla 4.9, lo cual no pasaba en los casos anteriores.

En esta tabla se presentan los valores medios absolutos y los medios relativos aproximados

de los errores, teniendo como referencia para estos ultimos el rango de tensiones en los que

varıa cada uno de los casos.

10 % 30 % 50 % 70 % 100 %


Error relativo ( %) 7.6·10−7 4.4·10−6 7.5·10−6 1.5·10−5 9 · 10−6

Tabla 4.9: Errores absolutos y medios para el caso de cortante.

Se observa claramente en los resultado presentado en la tabla 4.2 que los errores, tanto

absolutos como relativos, son muy pequenos, dando una idea de que el ajuste es bastante

bueno. Sin embargo, en comparacion con los casos anteriores, los errores oscilan bastante en

funcion de la proporcion de grasa.

En las graficas 4.9 y 4.10 se muestran las curvas tension - alargamiento, obtenidas me-

diante las constantes que se presentan en la tabla 4.8, para las dos tensiones existentes en

este caso, y para cada una de las proporciones de grasa estudiadas.

84 Resultados

Figura 4.9: Grafica tension (direccion y) - alargamiento para cada proporcion de grasa, caso de

cortante.

Figura 4.10: Grafica tension (direccion z ) - alargamiento para cada proporcion de grasa, caso de

cortante.

4.5 Cortante 85

Se aprecia en las graficas 4.9 y 4.10 como las mayores tensiones se registran tambien

cuanto mayor es el porcentaje de glandula, por el motivo expuesto en el apartado 4.1. Se

observa como las diferencias de tensiones son bastante grandes en el rango de 0 % a 100 %

de tejido adiposo, y por supuesto, como el comportamiento en este tramo es fuertemente no

lineal.

A continuacion se presentan unas graficas (figuras 4.11 y 4.12) para cada una de las

tensiones existentes en este caso, en las que se han representado de forma conjunta la curva

obtenida para el 70 % de grasa mediante las constantes mostradas en la tabla 4.8 y los puntos

calculados mediante la simulacion de elementos finitos para uno de los 8 casos existentes. Se

ha tomado esta curva, a modo de ejemplo, que es la que mas errores presenta en este caso

de carga, como se puede ver en la tabla 4.9.

Figura 4.11: Curva junto con los puntos numericos para la tension en direccion y y el caso de

cortante.

86 Resultados

Figura 4.12: Curva junto con los puntos numericos para la tension en direccion y y el caso de

cortante.

Se aprecia en las figuras 4.11 y 4.12 como los puntos practicamente se solapan con

la curva, lo cual indica que el ajuste es muy bueno y que las constantes son capaces de

reproducir el caso de carga con bastante exactitud.

4.6. Compresion, traccion y cortante

En este apartado se presentan los resultados finales de la minimizacion conjunta de los

casos de traccion, compresion y cortante. Se parte de una solucion inicial dada por la obtenida

en el caso en el cual se minimizaban a la vez los errores de compresion y traccion. Ası, se

simulan los 8 casos que existen para cada proporcion de grasa y el programa construido para

buscar el mınimo error aporta las constantes medias y desviaciones presentadas en la tabla

4.10.

4.6 Compresion, traccion y cortante 87

C10 C01 C11 C20 C02 10−4Nmm−2

0 % GRASA 3.3 2.8 44.9 77.2 94.5

10 % GRASAµ 3.22823 2.8284 42.5372 72.9793 89.2559

σ 0.0045 0.0035 0.0586 0.0318 0.0263

30 % GRASAµ 3.2503 2.8809 37.7726 64.7275 79.0990

σ 0.0084 0.0074 0.2277 0.0999 0.1046

50 % GRASAµ 3.2035 2.9313 33.3591 56.5669 69.2058

σ 0.0173 0.0142 0.1903 0.1057 0.0788

70 % GRASAµ 3.1728 2.9615 28.7726 48.8842 60.0024

σ 0.0194 0.0147 0.3136 0.1642 0.1420

90 % GRASAµ 3.1234 2.9906 24.5743 41.4880 51.2849

σ 0.0045 0.0032 0.0978 0.0443 0.0451

100 % GRASA 3.1 3.0 22.5 38.0 47.2


polinomial, para los casos de traccion, compresion y cortante conjuntamente. El valor de µ

corresponde a la media y el valor de σ a la desviacion estandar.

En la tabla 4.10 se observa que los resultados son muy parecidos a los obtenidos mediante

la minimizacion de compresion y traccion conjuntamente. Esto era de esperar, ya que el

caso de cortante tambien ajustaba a unas constantes similares, por lo que al unirlo todo era

previsible que las constantes se mantuvieran en los mismos valores aproximadamente.

Por otra parte, se observa que las desviaciones estandar para cada uno de las medias


tativo del conjunto de simulaciones realizadas. Tambien parece demostrar definitivamente

que las distintas distribuciones aleatorias para unas mismas cantidades de tejido no afectan

a las constantes, mientras que como se sigue apreciando claramente, dichas cantidades de

tejido sı. En este caso las mayores desviaciones se producen para el caso de 70 % de grasa,

y para la constante C11. Se encuentran algo mas difuminadas las dispersiones que en casos

88 Resultados

anteriores.

El error medio cometido, teniendo en cuenta los 8 resultados correspondientes a los 8

modelos de elementos finitos simulados, es muy pequeno como se muestra en la tabla 4.11.

En esta tabla se presentan los valores de los errores medios absolutos y los medios relativos

aproximados, teniendo como referencia para estos ultimos el rango de tensiones de en traccion

- compresion.

10 % 30 % 50 % 70 % 100 %

Error absoluto (10−4Nmm−2) 4 · 10−4 1 · 10−2 4 · 10−3 5 · 10−3 5,5 · 10−4

Error relativo ( %) 4,5 · 10−5 1,2 · 10−3 6 · 10−4 7,5 · 10−4 1,3 · 10−4

Tabla 4.11: Errores absolutos y medios para el caso conjunto de traccion + compresion +

cortante.

Se puede ver claramente en los resultados presentados en la tabla 4.11 que los errores,

tanto absolutos como relativos, son muy pequenos, dando una idea de que el ajuste es

bastante bueno. Sin embargo se aprecia que los errores son superiores que en los casos

anteriores, lo cual es normal por el mayor numero de puntos a ajustar y los tres casos de

carga tenidos en cuenta.

En las graficas 4.13, 4.14 y 4.15 se muestran las curvas tension - alargamiento para los

casos de traccion - compresion y para las dos tensiones del cortante, obtenidas mediante las

constantes que se presentan en la tabla 4.10, para cada una de las proporciones de grasa

estudiadas.


Figura 4.13: Grafica tension - alargamiento para cada proporcion de grasa, traccion- compresion.

Figura 4.14: Grafica tension (direccion y) - alargamiento para cada proporcion de grasa, cortante.

90 Resultados

Figura 4.15: Grafica tension (direccion z ) - alargamiento para cada proporcion de grasa, cortante.

Se aprecia en las graficas 4.13, 4.14 y 4.15 que las tendencias de estas curvas son pare-

cidas al comportamiento mostrado en apartados anteriore. Ello quiere decir que variaciones

pequenas en las constantes dan comportamientos del mismo “tipo”, pero tambien que estas

variaciones son suficientes para producir errores de diferente orden al reproducir los distintos

casos de carga, por lo que es importante realizar un ajuste correcto. Las mayores tensiones

se registran tambien cuanto mayor es el porcentaje de glandula, por el motivo expuesto en

el apartado 4.1. Se observa como las diferencias de tensiones son bastante grandes en el

rango de 0 % a 100 % de tejido adiposo, y por supuesto, como el comportamiento global es

fuertemente no lineal.

A continuacion se presentan tres graficas (figuras 4.16, 4.17 y 4.18) en las que se han

representado de forma conjunta las curvas obtenidas para el 50 % de grasa mediante las

constantes mostradas en la tabla 4.10 y los puntos calculados mediante la simulacion de

elementos finitos para uno de los 8 casos existentes.


Figura 4.16: Curva junto con los puntos numericos, traccion - compresion.

Figura 4.17: Curva junto con los puntos numericos, tension de cortante en direccion y.

92 Resultados

Figura 4.18: Curva junto con los puntos numericos, tension de cortante en direccion z.

Se aprecia en las figuras 4.16, 4.17 y 4.18 como los puntos practicamente se solapan

con la curva, indicativo de que el ajuste es muy bueno y que las constantes son capaces de

reproducir el caso de carga con bastante exactitud.

Finalmente, se incluye en una tabla en la que aparecen las constantes calculadas para

cada uno de los casos de carga (tabla 4.12).


C10 C01 C11 C20 C02 10−4Nmm−2

0 % GRASA 3.3 2.8 44.9 77.2 94.5

10 % GRASA - C 3.0972 3.0028 44.2465 71.6849 88.6473

10 % GRASA - T 3.4648 2.6345 43.9419 72.4958 88.1420

10 % GRASA - CR 3.2822 2.8287 42.6342 72.9310 89.2070

10 % GRASA - C+T 3.2808 2.8285 42.6368 72.9332 89.2084

10 % GRASA - C+T+CR 3.22823 2.8284 42.5372 72.9793 89.2559

30 % GRASA - C 2.7439 3.3558 42.2365 61.3411 77.5232

30 % GRASA - T 3.6095 2.4941 40.1146 63.9237 77.2126

30 % GRASA CR 3.2489 2.8801 38.0773 64.5802 78.9432

30 % GRASA - C+T 3.2360 2.8895 38.0466 64.5948 78.9844

30 % GRASA - C+T+CR 3.2503 2.8809 37.7726 64.7275 79.0990

50 % GRASA - C 2.4818 3.6158 39.3358 51.9119 67.1138

50 % GRASA - T 3.6488 2.4589 35.4763 55.8922 67.3390

50 % GRASA - CR 3.2047 2.9319 33.4137 56.5362 69.1802

50 % GRASA - C+T 3.2061 2.9290 33.4490 56.5308 69.1501

50 % GRASA - C+T+CR 3.2035 2.9313 33.3591 56.5669 69.2058

70 % GRASA - C 2.4571 3.6394 34.3179 44.5116 58.0916

70 % GRASA - T 3.6868 2.4158 31.6377 47.9454 57.5669

70 % GRASA - CR 3.1716 2.9609 28.8713 48.8370 59.9524

70 % GRASA - C+T 3.1681 2.9655 28.8448 48.8496 59.9708

70 % GRASA - C+T+CR 3.1728 2.9615 28.7726 48.8842 60.0024

90 % GRASA - C 2.7611 3.3364 27.2680 39.3232 50.3663

90 % GRASA - T 3.4390 2.6593 26.4271 40.8910 49.6962

90 % GRASA - CR 3.1237 2.9898 24.4785 41.5345 51.3347

90 % GRASA - C+T 3.1249 2.9915 24.4929 41.5288 51.3168

90 % GRASA C+T+CR 3.1234 2.9906 24.5743 41.4880 51.2849

100 % GRASA 3.1 3.0 22.5 38.0 47.2

Tabla 4.12: Constantes para los casos de carga estudiados. El significado de las siglas es el

siguiente: C-compresion, T-traccion y CR-cortante.

94 Resultados

Capıtulo 5

Conclusiones y trabajos futuros

Con la realizacion de este trabajo, es posible extraer una serie de conclusiones muy utiles

de cara al objetivo del proyecto global y a la realizacion de trabajos futuros continuando

esta lınea de investigacion.

5.1. Conclusiones

Las conclusiones mas destacadas son:

La influencia de la proporcion de grasa en el comportamiento del modelo es fundamen-

tal. Se puede apreciar en los resultado aportados en el capıtulo 4 como las constantes

de la funcion de energıa libre polinomial N=2 varıan considerablemente con la propor-

cion de los tejidos y como la respuesta del material, en terminos de tension frente a

alargamiento, es muy diferente segun el material compuesto de grasa y glandula tenga

mas o menos cantidad de cada uno de ellos.

Las constantes obtenidas para el material compuesto son intermedias entre los valores

de las constantes para tejido adiposo puro y tejido glandular puro, lo cual es razonable.

Cada una de las cinco constantes del modelo polinomial (N=2) exhibe una variacion

proporcional (y aproximadamente lineal) con el porcentaje de grasa, en todo el rango

desde el 0 % al 100 % de tejido graso.

La influencia, para un porcentaje de grasa fijado, de las distintas distribuciones alea-

torias de los tejidos es practicamente insignificante. Las desviaciones estandar de cada

95

96 Conclusiones y trabajos futuros

una de las constantes son muy pequenas comparadas con los valores medios de las

mismas.

Las constantes calculadas para cada proporcion de grasa reproducen los resultados

para los tres casos de carga considerados con un error muy pequeno.

Pequenas variaciones en las constantes en torno a las optimas calculadas conllevan

comportamientos del mismo “tipo”(con las mismas tendencias), pero pruducen errores

mayores. Aun ası, y debido a que cinco constantes es un numero muy elevado, pueden

existir otros grupos de constantes que ajusten los tres casos de carga considerados con

un error parecido o del mismo orden.

5.2. Trabajos futuros

Se pretende que las conclusiones mostradas en la seccion 5.1 y los resultados presentados

en la seccion 4 no constituyan un punto y final, si no que sean un apoyo para el proyecto global

que se esta llevando a cabo y que den pie a ampliar el conocimiento sobre el comportamiento

de los materiales en la mama femenina, de forma que se puedan implementar modelos que

reproduzcan de forma fiable el comportamiento de la misma. En este sentido, existen varios

estudios planificados para realizar en un futuro proximo, entre los cuales cabe destacar:

Con el mismo modelo y metodologıa usados a lo largo de este trabajo, se pretende

estudiar la influencia del numero de elementos en los resultados obtenidos. Desde el

punto de vista computacional, el numero de elementos que posee un modelo de EF

es de suma importancia, ya que tiene una influencia notable en la precision de los

resultados. En general, cuanto menos densa es un malla de elementos finitos, menor

precision existe en los resultados, pero cuanto mayor es la malla, mayor es el coste

computacional requerido. Puede ocurrir que para una malla de elementos poco densa

las soluciones calculadas mediante el programa sean o no aceptables, en funcion del

objetivo del estudio y de la precision requeridas. Sin embargo tambien puede ocurrir

que el tiempo que tarde el programa en obtener las soluciones sea excesivo y resulte

inoperativo para unos fines determinados. En definitiva, se pretende realizar un analisis

de sensibilidad de la malla que aporte un numero de elementos que sea una solucion

de compromiso entre la precision del modelo y el coste computacional que conlleva.

5.2 Trabajos futuros 97

La realizacion de ensayos experimentales de tejido graso y glandular, de forma que se

puedan extraer nuevos resultados, compararlos con los ya existentes en la literatura,

y utilizarlos tanto en este modelo como en uno de la mama. La obtencion de unos

resultados experimentales fiables y de calidad es fundamental para el objetivo del

proyecto global, por lo que todo aquello que se pueda aportar en este campo es de

suma importancia.

La realizacion de ensayos experimentales de muestras de tejido mamario que contengan

mezcla de grasa y glandula, es decir, tejido real adquirido directamente de la mama

sin ningun tipo de tratamiento. La comparacion de los resultados extraıdos de estos

ensayos de laboratorio con los obtenidos mediante el modelo propuesto en este trabajo

puede ser de gran interes para validar y mejorar el modelo y que este reproduzca de

la manera mas fielmente posible las condiciones reales.

La confeccion de un modelo de elementos finitos de la mama con geometrıa real y la

comprobacion de que las conclusiones y resultados presentados en este trabajo tienen

validez y son aplicables en un modelo real.

La comparacion de los resultados, tambien con un modelo real de mama, considerando

segmentacion de los tejidos y no segmentacion, es decir, tratando el material como

uniforme con las propiedades obtenidas en este trabajo, en funcion de la proporcion

de grasa. Las conclusiones sacadas de este estudio son de gran interes, pues si se

comprueba que la utilizacion de un material homogeneo (material mezcla de grasa

y glandula) es equivalente a un modelo mas real en el que se encuentren separados

geometricamente los tejidos, tendrıa beneficios computacionales de gran repercusion

de cara a la sencillez del modelo.

En relacion a los dos puntos anteriores, el estudio de la influencia de diferentes condi-

ciones de contorno en el problema. Las condiciones de contorno en un modelo real de

la mama femenina no estan demasiado claras. La mayorıa de la literatura considera

un empotramiento en el pecho, pero estas condiciones no son del todo reales. Es de

gran interes estudiar la repercusion de este factor en la respuesta general del modelo y

si puede tener o no influencia en los resultados obtenidos para las propiedades de los

materiales.

98 Conclusiones y trabajos futuros

La realizacion de un modelo de elementos finitos con una geometrıa y unas condiciones

de contorno muy precisas y programas de calculo muy potentes, es inservible a la hora

de interpretar resultados si el comportamiento de los materiales utilizados en el mismo se

desconoce, problema bastante comun en el ambito de los tejidos biologicos. El fin de este

trabajo es contribuir a mejorar el conocimiento sobre ellos.

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