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ASSUNTO: EXPECTATIVAS RACIONAIS E POLÍTICA DA NEUTRALIDADE

Notas de aula: ANDERSON PASSOS BEZERRA

Livro: Methods of Macroeconomic Dynamics - 2nd Edition - Stephen J. Turnovsky

O modelo de contratos salariais (GRAY-FISCHER)

O modelo é estabelecido em termos de contrato de trabalho para um período.

Neste modelo os salários são definidos antecipadamente em 01 período, antes

que distúrbios estocásticos deste período sejam conhecidos. O contrato de salário é

escolhido de modo a equilibrar o mercado com os preços esperados com base em

informações prévias.

Para obter a função de oferta, vamos considerar uma economia consistindo de

K firma, onde cada firma apresenta uma tecnologia de produção do tipo COBB-

DOUGLAS.

𝑌𝑡𝑖 = (𝐿𝑡

𝑖 )1−𝜃𝑒𝜀𝑡𝑖 (1)

Onde;

𝑌𝑡𝑖 = Nível de produto da firma i, medido em unidades naturais.

𝐿𝑡𝑖 = Nível de mão de obra empregado pela firma i, medido em unidades naturais.

𝜀𝑡𝑖 = Choques de produtividade da firma i, assumindo que esses choques possuem

média zero, variância finita e são independentemente distribuídos no tempo.

O lucro de uma i-ésima firma é dado por:

Π𝑡𝑖 = 𝑃𝑡(𝐿𝑡

𝑖 )1−𝜃𝑒𝜀𝑡𝑖

− 𝑊𝑡𝑐𝐿𝑡

𝑖 (2)

Onde;

𝑃𝑡 = Preço do produto, medido em unidades naturais.

𝑊𝑡𝑐 = Salário contratual, medido em unidades naturais.

O lucro esperado da firma i, condicionado as informações no tempo (t-1) é igual

expresso abaixo:

𝛦𝑡−1[Π𝑡𝑖] = 𝛦𝑡−1[𝑃𝑡(𝐿𝑡

𝑖 )1−𝜃𝑒𝜀𝑡𝑖

− 𝑊𝑡𝑐𝐿𝑡

𝑖 ]

2

Como os salários contratuais e o nível de mão de obra são escolhidos pelas

firmas, então o valor esperado destas é exatamente o nível escolhido em t, logo;

𝛦𝑡−1[Π𝑡𝑖] = (𝐿𝑡

𝑖 )1−𝜃𝛦𝑡−1[𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡𝑖] − 𝑊𝑡

𝑐𝐿𝑡𝑖 (3)

A demanda por trabalho “ex ante” pode ser obtida pela maximização do lucro

esperado condicionado a (t-1), com relação ao nível de mão de obra empregada, como

abaixo:

max𝐿𝑡

𝑖𝛦𝑡−1[Π𝑡

𝑖] = max𝐿𝑡

𝑖(𝐿𝑡

𝑖 )1−𝜃

𝛦𝑡−1[𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡𝑖] − 𝑊𝑡

𝑐𝐿𝑡𝑖

= (1 − 𝜃)(𝐿𝑡𝑖 )

−𝜃𝛦𝑡−1[𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡

𝑖] − 𝑊𝑡

𝑐 = 0

(1 − 𝜃)(𝐿𝑡𝑖 )

−𝜃𝛦𝑡−1[𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡

𝑖] = 𝑊𝑡

𝑐 (4)

Tomando o logaritmo da expressão acima e denotando o logaritmo das

variáveis por letras minúsculas, teremos:

ln(1 − 𝜃) − 𝜃𝑙𝑡𝑖 + ln 𝐸𝑡−1 [𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡

𝑖] = 𝑤𝑡

𝑐

Assim isolando o logaritmo da demanda por trabalho da expressão acima

teremos que a demanda por trabalho “ex ante” é dado por;

(𝑙𝑡𝑖)

𝑑=

1

𝜃[ln(1 − 𝜃) + ln 𝐸𝑡−1 [𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡

𝑖] − 𝑤𝑡

𝑐] (5)

Considere agora o termo 𝐸𝑡−1 [𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡𝑖]. Expandido um termo 𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡

𝑖 em um

polinômio de Taylor de duas variáveis, até a segunda ordem, em torno do ponto

(𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ , 0);

Obs: O polinômio de Taylor para duas variáveis em torno do ponto (𝑥0, 𝑦0) é

dado pela seguinte expressão;

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∑1

𝑛!∞𝑛=0 [∑ (𝑛

𝑗)

𝜕𝑛𝑓(𝑥0,𝑦0)

𝜕𝑥𝑛−𝑗𝜕 𝑦𝑗 (𝑥 − 𝑥0)𝑛−𝑗(𝑦 − 𝑦0)𝑗𝑛𝑗=0 ]

Como desejamos aproximar uma expansão até a segunda ordem (n=2),

podemos escrever;

3

𝑓(𝑥, 𝑦) ≅ 𝑓(𝑥0, 𝑦0) + 𝜕𝑓(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑥(𝑥 − 𝑥0) +

𝜕𝑓(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑦(𝑦 − 𝑦0)

+1

2[𝜕2𝑓(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑥2(𝑥 − 𝑥0)2 + 2

𝜕2𝑓(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑥𝜕𝑦(𝑥 − 𝑥0)(𝑦 − 𝑦0) +

𝜕2𝑓(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑦2(𝑦 − 𝑥𝑦0)2 ]

Utilizaremos a forma acima para a expansão de segunda ordem proposta.

Teremos que

𝑓(𝑃𝑡, 𝜀𝑡𝑖 ) = 𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡

𝑖

As derivadas parciais necessárias são mostradas abaixo

𝜕𝑓(𝑃𝑡,𝜀𝑡𝑖)

𝜕𝑃𝑡= 𝑒𝜀𝑡

𝑖 ;

𝜕𝑓(𝑃𝑡,𝜀𝑡𝑖)

𝜕𝜀𝑡𝑖 = 𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡

𝑖

; 𝜕2𝑓(𝑃𝑡,𝜀𝑡

𝑖)

𝜕(𝑃𝑡)2= 0 ;

𝜕2𝑓(𝑃𝑡,𝜀𝑡𝑖)

𝜕(𝜀𝑡𝑖)

2 = 𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡𝑖

;

𝜕2𝑓(𝑃𝑡,𝜀𝑡𝑖)

𝜕𝑃𝑡𝜕𝜀𝑡𝑖 = 𝑒𝜀𝑡

𝑖

Avaliando estas derivadas parciais em torno do ponto (𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ , 0) teremos que;

𝜕𝑓(𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ ,0)

𝜕𝑃𝑡= 1;

𝜕𝑓(𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ ,0)

𝜕𝜀𝑡𝑖 = 𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ ; 𝜕2𝑓(𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ ,0)

𝜕(𝑃𝑡)2= 0;

𝜕2𝑓(𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ ,0)

𝜕(𝜀𝑡𝑖)

2 = 𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ ;

𝜕2𝑓(𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ ,0)

𝜕𝑃𝑡𝜕𝜀𝑡𝑖 = 1

Portanto o polinômio de Taylor de segunda ordem avaliando no ponto

proposto que aproxima 𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡𝑖 é:

𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡𝑖

≅ 𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ + (𝑃𝑡 − 𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ ) + 𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ 𝜀𝑡

𝑖 + (𝑃𝑡 − 𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ )𝜀𝑡

𝑖 +1

2𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ (𝜀𝑡𝑖 )

2 (6)

Tomando o valor esperado em (t-1) da expressão acima, teremos;

𝐸𝑡−1 [𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡𝑖] ≅ 𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ + 𝐸𝑡−1(𝑃𝑡 − 𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ ) + 𝐸𝑡−1[𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ 𝜀𝑡𝑖]

+ 𝐸𝑡−1[(𝑃𝑡 − 𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ )𝜀𝑡

𝑖] +1

2𝐸𝑡−1 [𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ (𝜀𝑡𝑖)

2]

Veja que:

4

𝐸𝑡−1(𝑃𝑡 − 𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ ) = 𝐸𝑡−1(𝑃𝑡) − 𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ = 𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ − 𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ = 0

𝐸𝑡−1[𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ 𝜀𝑡

𝑖] = 𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ 𝐸𝑡−1[𝜀𝑡

𝑖] = 𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ 𝑥 0 = 0

𝐸𝑡−1[(𝑃𝑡 − 𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ )𝜀𝑡

𝑖] = 𝐸𝑡−1[𝑃𝑡𝜀𝑡𝑖] − 𝐸𝑡−1[𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ 𝜀𝑡𝑖] = 𝐸𝑡−1[𝑃𝑡𝜀𝑡

𝑖] =

𝑐𝑜𝑣𝑡−1(𝑃𝑡, 𝜀𝑡𝑖)

1

2𝐸𝑡−1 [𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ (𝜀𝑡𝑖)

2] =

1

2𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ 𝐸𝑡−1 [(𝜀𝑡𝑖)

2] =

1

2𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ 𝜎𝜀2

Deste modo;

𝐸𝑡−1 [𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡𝑖] ≅ 𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ + 𝑐𝑜𝑣𝑡−1(𝑃𝑡 , 𝜀𝑡𝑖) +

1

2𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ 𝜎𝜀2

Colocando 𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ em evidência teremos;

𝐸𝑡−1 [𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡𝑖] ≅ 𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ (1 + 𝑐𝑜𝑣𝑡−1(𝑃𝑡,𝜀𝑡

𝑖)

𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ +

1

2𝜎𝜀

2) (7)

Onde 𝜎𝜀2 é a variância de 𝜀𝑡

𝑖 que assumimos ser igual para todas as firmas e

𝑐𝑜𝑣𝑡−1(𝑃𝑡, 𝜀𝑡𝑖) é a covariância condicional em (t-1) entre o preço e o choque de

produtividade. Tomando o logaritmo de 𝐸𝑡−1 [𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡𝑖]:

𝑙𝑛𝐸𝑡−1 [𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡𝑖] ≅ 𝑝𝑡 , 𝑡−1

∗ + 𝑙𝑛 (1 + 𝑐𝑜𝑣𝑡−1(𝑃𝑡,𝜀𝑡

𝑖)

𝑃𝑡 , 𝑡−1∗ +

1

2𝜎𝜀

2) (8)

Assumindo que o segundo membro da equação acima é constante e chamando

de 𝜒;

𝑙𝑛𝐸𝑡−1 [𝑃𝑡𝑒𝜀𝑡𝑖] ≅ 𝑝𝑡 , 𝑡−1

∗ + 𝜒 (9)

A demanda por trabalho da firma i é obtida substituindo (9) em (5) e é expressa

abaixo;

(𝑙𝑡𝑖)

𝑑=

1

𝜃[ln(1 − 𝜃) + 𝑝𝑡 , 𝑡−1

∗ + 𝜒 − 𝑤𝑡𝑐]

Se considerarmos que todas as K firmas apresentam comportamento

semelhante, então

𝑙𝑡𝑑 =

1

𝐾∑ (𝑙𝑡

𝑖)𝑘𝑖=1

𝑑=

1

𝜃[ln(1 − 𝜃) + 𝑝𝑡 , 𝑡−1

∗ + 𝜒 − 𝑤𝑡𝑐] (10)

Tendo encontrado a demanda por trabalho, para determinar o salário

contratual de equilíbrio de mercado é preciso avaliar a oferta de trabalho nesta

economia. Por hipótese a oferta de trabalho agregada é uma função crescente do

salário real esperado, como mostrado abaixo.

5

𝑙𝑡𝑠 = 𝜂(𝑤𝑡

𝑐 − 𝑝𝑡 , 𝑡−1∗ ) (11)

Onde 𝑤𝑡𝑐 − 𝑝𝑡 , 𝑡−1

∗ = ln (𝑊𝑡𝑐/𝑃𝑡 , 𝑡−1

∗ )

No equilíbrio a demanda por mão de obra é igual à oferta de mão de obra,

desta forma;

𝑙𝑡𝑑 = 𝑙𝑡

𝑠

1

𝜃[ln(1 − 𝜃) + 𝑝𝑡 , 𝑡−1

∗ + 𝜒 − 𝑤𝑡𝑐] = 𝜂(𝑤𝑡

𝑐 − 𝑝𝑡 , 𝑡−1∗ )

Isolando o salário contratual, teremos o salário que equilíbrio o mercado de

trabalho;

𝑤𝑡𝑐 =

1𝜃 [ln(1 − 𝜃) + 𝑝𝑡 , 𝑡−1

∗ + 𝜒]

𝜂 +1𝜃

Multiplicando a expressão acima por 𝜃

𝜃, temos;

𝑤𝑡𝑐 =

[ln(1−𝜃)+𝑝𝑡 , 𝑡−1∗ +𝜒]

𝜂𝜃+1 (12)

Podemos ver que o salário contratual (nominal) varia proporcionalmente com

o nível de preços esperado, mantendo o salário real “ex ante” constante.

Tendo determinado o salário contratual, o modelo assume que o nível de mão

de obra empregado é determinado através da maximização de lucros “ex post”, ou

seja, onde os níveis de preços e os choques de produtividade do período são

conhecidos, logo;

max𝐿𝑡

𝑖Π𝑡

𝑖 = max𝐿𝑡

𝑖𝑃𝑡(𝐿𝑡

𝑖 )1−𝜃

𝑒𝜀𝑡𝑖

− 𝑊𝑡𝑐𝐿𝑡

𝑖

(1 − 𝜃)𝑃𝑡(𝐿𝑡𝑖 )

−𝜃𝑒𝜀𝑡

𝑖= 𝑊𝑡

𝑐

Tomando o logaritmo da expressão acima;

6

𝑙𝑛(1 − 𝜃) − 𝜃𝑙𝑡𝑖 + 𝑝𝑡 + 𝜀𝑡

𝑖 = 𝑤𝑡𝑐

Isolando o nível de mão de obra da firma i;

𝑙𝑡𝑖 =

1

𝜃[𝑙𝑛(1 − 𝜃) + 𝑝𝑡 − 𝑤𝑡

𝑐 + 𝜀𝑡𝑖]

Tomando 𝑙𝑡 como a soma de 𝑙𝑡𝑖 (mão de obra empregada) pelas i firmas;

𝑙𝑡 = 1

𝜃[𝑙𝑛(1 − 𝜃) + 𝑝𝑡 − 𝑤𝑡

𝑐 + 𝜀𝑡] (13)

Onde 𝜀𝑡 = ∑ 𝜀𝑡𝑖𝑘

𝑖=1

Substituindo o salário contratual de equilíbrio, encontrado em (12), pela mão

de obra empregada, expressa em (13);

𝑙𝑡 = 1

𝜃[𝑙𝑛(1 − 𝜃) + 𝑝𝑡 − (

ln(1−𝜃)+𝑝𝑡 , 𝑡−1∗ +𝜒

𝜂𝜃+1) + 𝜀𝑡]

Reorganizando esta expressão teremos;

𝑙𝑡 = 𝜂𝜃 ln(1−𝜃)+𝜒

𝜃(𝜂𝜃+1)+

1

𝜃(𝑝𝑡 − 𝑝𝑡 , 𝑡−1

∗ ) +1

𝜃𝜀𝑡 (14)

Tomando o logaritmo da tecnologia de produção expressa em (1);

𝑦𝑡 = (1 − 𝜃)𝑙𝑡 + 𝜀𝑡 (15)

Substituindo nível de mão de obra empregada, obtida em (14), na expressão

acima;

𝑦𝑡 = (1 − 𝜃) [𝜂𝜃 ln(1−𝜃)+𝜒

𝜃(𝜂𝜃+1)+

1

𝜃(𝑝𝑡 − 𝑝𝑡 , 𝑡−1

∗ ) +1

𝜃𝜀𝑡] + 𝜀𝑡

𝑦𝑡 = (1 − 𝜃) [𝜂𝜃 ln(1 − 𝜃) + 𝜒

𝜃(𝜂𝜃 + 1)] +

(1 − 𝜃)

𝜃(𝑝𝑡 − 𝑝𝑡 , 𝑡−1

∗ ) +(1 − 𝜃)

𝜃𝜀𝑡 + 𝜀𝑡

𝑦𝑡 = (1 − 𝜃) [𝜂𝜃 ln(1−𝜃)+𝜒

𝜃(𝜂𝜃+1)] +

(1−𝜃)

𝜃(𝑝𝑡 − 𝑝𝑡 , 𝑡−1

∗ ) +1

𝜃𝜀𝑡 (16)

Obtemos então a oferta agregada de Lucas.