Modelo Computacional do Fluxo Unidimensional de Água na Zona Não-saturada do Solo

Maria de Lourdes Pimentel Pizarro,

Academia da Força Aérea 13643-000, Pirassununga, SP

E-mail: malu@viganova.com.br

Edson Cezar Wendland

Universidade de São Paulo - Departamento de Hidráulica e Saneamento 13560-970, Campus de São Carlos, SP

E-mail: ew@sc.usp.br

Resumo: Neste trabalho, é desenvolvido e validado um modelo computacional unidimensional

para simulação de fluxo na zona não-saturada do solo dado pela Equação de Richards. Esta

equação é resolvida numericamente pelo Método de Elementos Finitos. Com a finalidade de

obter simulações mais eficientes, a um custo computacional reduzido, na aproximação

espacial, é empregada a adaptatividade com refinamento “h” na malha de elementos finitos.

Na derivada temporal, é aplicado o esquema de Euler Explícito. A utilização da função

interpolação polinomial de grau 2 e o refinamento “h” permitem uma boa concordância do

modelo na comparação com soluções disponíveis na Literatura, validando assim, o modelo

proposto.

Introdução

Os modelos matemáticos, aliados às técnicas numéricas e aos avanços computacionais, constituem uma ferramenta importante na previsão do deslocamento de solutos. Tais modelos, devido aos riscos de contaminação dos recursos naturais solo e água, ao alto custo, ao tempo e ao esforço humano nas investigações de campo, contribuem para o controle de alterações ambientais.

O objetivo deste trabalho é encontrar a solução numérica da Equação Diferencial Parcial Não-linear de Richards, cuja solução aproximada é obtida pelo Método de Elementos Finitos [4], [10] e a derivada temporal é aproximada pelo Método de Diferenças Finitas [7], aplicando-se Euler Explícito [8]. A referida equação é resolvida utilizando-se malhas uniformes inicialmente e, com a finalidade de obter simulações mais eficientes, a um custo computacional reduzido, emprega-se a adaptatividade com refinamento “h” na malha de elementos finitos [5].

O sistema operacional é o Linux Ubuntu 32 bits, o ambiente de programação é o PZ, escrito em linguagem de programação C++. A função interpolação polinomial utilizada é de grau 2, que garante a conservação de massa..

Material e Métodos

Considerando o escoamento unidimensional não-saturado e a coordenada vertical orientada positivamente para cima [2], a Equação de Richards, baseada no potencial matricial de água, é dada por

( ) ( )

+

∂∂

∂∂

=∂

∂1

zK

ztCs

ψψψψ , em que (1)

ψθψ

d

dCs =)( - capacidade hídrica específica do solo [L-1];

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θ - umidade volumétrica [L3L-3]; ψ - potencial matricial [L]; K(ψ) - condutividade hidráulica do solo não-saturado [LT-1]; t- tempo [T]; e z- coordenada vertical [L].

Para a resolução da Equação (1), são utilizadas as condições inicial )()0,( zz inicialψψ = e

de contorno 0),0( ψψ =t e L)t,L( ψψ =− , -L≤ z ≤0 (condições de Dirichlet).

Para resolver a Equação de Richards, relações constitutivas precisam ser especificadas. A relação entre θ e ψ é dada pela equação de van Genuchten [9]:

q

meS

1

11

1

αψ

−

= , (2)

com m = 1 - q

1 e a saturação efetiva Se =

rs

r

θθθθ

−−

, em que

θs - umidade volumétrica do solo saturado [L3 L–3]; θr - umidade volumétrica residual do solo [ L3 L–3]; α - parâmetro que depende do solo [L-1]; e

m e q - parâmetros que dependem do solo [ ].

A relação entre K e θ é dada por

( )

21

2

1

11

−−

−−

−−

=

m

m

rs

r

rs

r

sKKθθθθ

θθθθ

θ , em que (3)

K(θ) - condutividade hidráulica do solo não-saturado [LT 1− ]; e Ks - condutividade hidráulica saturada [ LT–1].

A capacidade hídrica específica do solo é dada por

( ) ( )( )[ ] 1

1

.1

..+

−

+

−=

mq

q

sr

q

s

qmC

ψα

ψθθαψ . (4)

A velocidade da água nos poros em solo não-saturado zv , na direção z, é dada por

vz = K (θ) ( 1+∂∂

z

ψ)

θ1

. (5)

Método dos Resíduos Ponderados

Para a solução numérica da Equação de Richards, aplica-se o Método de Elementos Finitos, cuja fundamentação matemática inicia-se pelo Método dos Resíduos Ponderados que consiste em minimizar o resíduo no domínio de estudo.

A derivada temporal da Equação (1) é aproximada por um quociente de diferença finita aplicando-se Euler Explícito [1]. Assim, resolver a Equação (1) consiste em encontrar

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( )Ω∈+ 11 ),( Htznψ , ( ) ( ) ( ) 1,L;LH 221 ≤∈∂∈= βΩϑΩϑΩ β , que atenda às

condições inicial e de contorno e que satisfaça

( ) =+

−∫ dzCt

1 1nn

s

0

L

νψψ∆

( ) ( ) ( )∫∫∫ −−− ∂∂

+∂

∂−=

0

L

n0

L

nn

0

L

nn

s dzz

Kdz

dz

d

zKdzC

t

1 νψνψψνψψ

∆, (6)

para qualquer ∈v ( ) ( ) ( ) 0L,00;HV 1 =−=∈= ϑϑΩϑ .

Aproximação de Elementos Finitos

A aproximação de Galerkin aproxima ( )Ω∈ 1Hψ e Vv ∈ por ( )Ω⊂Π∈ 11 Hψ e

Vv ⊂Π∈ 10 , sendo o subespaço 1Π construído por funções polinomiais por partes com

suporte compacto, com grau p, que é a ordem polinomial de aproximação. Assim,

∑=

=nf

j

jj

1

ϕαψ e ∑=

=nf

i

iv1

ϕ e considerando-se

( )∑=

=nf

j

j

n

j

n

1

ϕαψ , ∑=

=

∂∂ nf

j

jn

j

n

dz

d

z 1

ϕαψ , ( )n

s

n

s CC ψ= e ( )nnKK ψ= , obtém-se (7)

( ) =

∑∑ ∫

= = −

+

nf

1i

nf

1j

0

L

ij

1n

j

n

s dzCt

1 ϕϕα∆

∑ ∫∫∫= −−−

∂∂

+∂

∂−

nf

1i

0

L

i

n0

L

in

n

0

L

i

nn

s dzz

Kdz

dz

d

zKdzC

t

1 ϕϕψϕψ

∆ . (8)

Tomando-se uma função iϕ por vez, pode-se escrever a Equação (8) em forma matricial

[ ] FKn =+1α , em que (9)

∫ −

=0

L

ij

n

sij dzCt

1K ϕϕ

∆, (10)

∫∫∫ −−− ∂∂

+∂

∂−=

0

L

i

n0

L

i

nn

0

L

i

nn

si dzz

Kdz

dz

d

zKdzC

t

1F ϕϕψϕψ

∆. (11)

Portanto, o Método de Elementos Finitos é aplicado para encontrar os coeficientes

multiplicadores 1+nα que satisfazem o problema algébrico definido pela Equação (9). A solução desse problema algébrico é obtida através da decomposição de Cholesky [6]. Parâmetros da aplicação

No trabalho de Celia, Bouloutas e Zarba [3] são considerados os seguintes parâmetros do

solo: ;35,3 1−= mα ;2=q smxKs

51092,9 −= ; ;/368,0 33mms =θ e ./102,0 33

mmr =θ O

comprimento da amostra de solo é de 1 m, com as condições inicial 0z1,m10)0,z( ≤≤−−=ψ e de

contorno 0t,m75,0)t,0( >−=ψ e 0t,m10)t,1( >−=−ψ .

Resultados e discussão

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Com o objetivo de validar o código computacional desenvolvido, considera-se a infiltração de água em uma coluna de solo homogêneo inicialmente seco [3], com os parâmetros do solo citados no Material e Métodos.

O domínio W = [-1, 0] é subdividido uniformemente em 26 = 64 elementos e cada elemento We possui tamanho ∆z = 1/64 m. O tempo de simulação é de 1 dia. O passo de tempo utilizado é ∆t = 1 segundo. São utilizadas funções polinomiais por partes de grau p = 1, inicialmente, devido à simplicidade em se trabalhar com funções lineares e por se tratar de malha uniforme (Figura 1). O tempo de execução para obtenção da solução é de 1 min 23,169s.

(A) (B) Figura 1: A) Solução aproximada em uma malha uniforme fina com 2 6 elementos e p = 1.

B) ilustração dos nós da malha uniforme fina com 2 6 elementos e p = 1. Posteriormente, com o objetivo de diminuir a quantidade de graus de liberdade do

problema, a malha uniforme fina é adaptada, reduzindo o custo computacional. Pode-se observar pela Figura 2, que os resultados da simulação considerando-se funções polinomiais

com p = 1 e com parâmetro de adaptação e (nEdu <e dumax , em que,

nEdu é gradiente em

um elemento, dumax é o máximo dos gradientes e 0 < e < 1) no valor de e = 0,01 não

correspondem aos resultados obtidos com a malha uniforme fina. Observa-se que a frente de molhamento da malha adaptada está “atrasada” em relação à da malha uniforme, devido à perda de massa da estratégia de adaptação adotada quando p = 1.

A metodologia para evitar a perda de massa, observado no processo de refino ou desrefino da malha, é a utilização de ordem de interpolação maior do que 1 [5]. Utilizando-se ordem quadrática (p = 2), são obtidas as soluções da Equação de Richards, com parâmetro de adaptação e = 0,01 e e = 0,001. As soluções com e = 0,01 e e = 0,001 são bastante satisfatórias,

em relação aos resultados da malha uniforme fina com 62 elementos e p = 1, sem o problema de perda de massa da estratégia de adaptação, bastando observar a Figura 1 e os nós da malha adaptada com p = 2 e e = 0,01, e da malha adaptada com p = 2 e e = 0,001 (Figuras 3 A e 3 B, respectivamente).

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Figura 2: Malha uniforme fina (26 elementos) versus malha adaptada (e = 0,01), ambas com p = 1.

(A) (B)

Figura 3: A) Ilustração dos nós da malha, no último passo de tempo da simulação, da solução aproximada com p = 2 e e = 0,01. B) ilustração dos nós da malha, no último passo de tempo da simulação, da solução aproximada com p = 2 e e = 0,001.

Observa-se que a solução obtida considerando a malha adaptada com p = 2 e e = 0,001

está bem próxima da solução com a malha uniforme fina (2 6 elementos e p = 1), embora a solução obtida considerando-se a malha adaptada (p = 2 e e = 0,01) seja uma boa aproximação

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em relação à malha fina, devido à quantidade bem menor de nós em relação à adaptada (p = 2 e e = 0,001). Há uma redução de 41% no número de nós, ou seja, o número de nós para a obtenção da solução considerando-se a malha adaptada com p = 2 e e = 0,01 e a adaptada com p = 2 e e = 0,001 é, respectivamente, 23 e 39 nós (Figura 3), e, o tempo de processamento é, respectivamente, 1 min 28,390s e 1 min 42,474s.

Para manter a condição de CFL, o tamanho do menor elemento da malha adaptada é igual ao da uniforme, por isso é utilizado o mesmo passo de tempo para essas duas malhas. São removidos os nós desnecessários na malha adaptada, diminuindo-se o custo computacional. A distância máxima entre os nós varia a cada passo de tempo.

Os resultados obtidos na simulação do potencial matricial ψ , deste trabalho, estão em

conformidade com o modelo de Celia, Bouloutas e Zarba [3] (Figura 4).

Figura 4: Comparação da solução com malha adaptada (p = 2 e e = 0,01) e o modelo de Celia,

Bouloutas e Zarba [3].

Conclusão

A simulação realizada pelo modelo proposto neste trabalho foi capaz de prever o perfil do potencial matricialψ em que se constata um bom desempenho do modelo na zona não-saturada

do solo. A estratégia de se usar malha adaptada, através do refinamento “h”, fez com que se

obtivessem soluções tão eficientes quanto às com malhas uniformes, diminuindo os graus de liberdade, com um custo computacional reduzido.

A solução obtida com os dados do trabalho de Celia, Bouloutas e Zarba [3], considerando-se a malha adaptada com p =2 e ε = 0,001, está bem próxima da solução com a

malha uniforme fina com 2 6 elementos e p = 1, embora a solução obtida considerando-se a malha adaptada com p = 2 e ε = 0,01 seja uma boa aproximação em relação à malha fina, devido à quantidade menor de nós em relação à adaptada com p = 2 e ε = 0,001. Portanto, a escolha do parâmetro de adaptação ε é fundamental na solução do problema.

A resolução da Equação de Richards, utilizando-se o Método de Elementos Finitos na aproximação espacial, com ordem de interpolação quadrática (p = 2), evitou a perda de massa do processo de adaptação de malha implementado, mostrando-se equivalente ao modelo de Celia, Bouloutas e Zarba [3] que utilizou malhas uniformes e funções base lineares por partes.

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Referências [1] J. Bear, “Hydraulics of groundwater”, DOVER PUBLICATIONS, New York, INC. Mineola, 2007, 569 p. [2] Bunsri; Sivakumar; Hagare, Numerical Modelling of Tracer Transport in Unsaturated Porous Media, Journal of Applied Fluid Mechanics, v. 1, n. 1, pp. 62-70, (2008). [3] Celia; Bouloutas; Zarba, A general mass conservative numerical solution for the unsaturated flow equation, Water Resour, Res. 26, pp. 1483-1496, (1990). [4] He; Ren, An adaptive multiscale finite element method for unsaturated flow problems in heterogeneous porous media, Journal of Hydrology, v. 374, pp. 56-70, (2009). [5] M. L. P. Pizarro, “Simulação de Fluxo de Água e Transporte de Solutos na Zona Não-Saturada do Solo pelo Método de Elementos Finitos Adaptativo”. Tese de Doutorado em Ciências da Engenharia Ambiental, EESC - USP, 2009. [6] W. H. Press, “Numerical recipes: the art of scientific computing”, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, Cambridge, 2007, 1235 p. [7] Rübenkönig, The Finite Difference Method (FDM) - An introduction, Albert Ludwigs University of Freiburg, Germany, pp.1-5, (2006). [8] D. Sperandio; J. T.Mendes; L. H. M. Silva, “Cálculo Numérico: Características Matemáticas e Computacionais dos Métodos Numéricos”, PEARSON PRENTICE HALL, São Paulo, 2006, 354 p. [9] van Genuchten, A closed-form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsatured soils, Soil Science Society of America Journal, v. 44, n. 3, pp. 892-898, (1980). [10] O.C. Zienkiewicz, “The Finite Element Method”, MCGRAW-HILL, New York, 1977, 787p.

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