Modelo cinemático de Robôs Manipuladores

Para resolver o problema da cinemática nos robôs manipuladores, desenvolve-se, inicialmente sua cinemática direta, para em seguida estabelecer e resolver o problema mais complexo da cinemática inversa. Finalmente, aspectos da cinemática diferencial são estudados.

Problema cinemático direto: conhecidas as coordenadas das juntas e os parâmetros geométricos do robô, quais são a posição e orientação do efetuador final, descritas em um sistema de coordenadas de referência?

Problema cinemático inverso: conhecidas a posição e a orientação do efetuador final e os parâmetros geométricos do robô, qual é sua configuração (coordenadas das juntas) correspondente?

Definição dos sistemas de coordenadas associado a cada elo.

Modelo Cinemático DiretoA solução para o problema cinemático direto, para um

robô de 6GDL:

onde x, y e z são as coordenadas cartesianas do EF e , e os ângulos de Euler, que representam sua orientação.

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z

y

x

Como ilustração, obtém-se inicialmente a cinemática direta para um robô de dois graus de liberdade, considerando as relações geométricas. Para o robô da figura, é fácil verificar que:

Para robôs de mais graus de liberdade, usa-se um método baseado nas matrizes de transformação homogênea. A cada um dos n elos de um robô de n GDL (n juntas), associa-se um sistema de coordenadas solidário a ele.

As matrizes de transformação homogênea são usadas para representar as rotações e translações relativa entre os diferentes elos.

Denota-se por i-1Ai a matriz de transformação homogênea que descreve a posição e orientação do sistema de referência solidária ao elo i com respeito ao sistema de referência solidário ao elo i-1. Desta forma:

•0A1 descreve a posição e orientação do elo 1 com relação à base (elo O);

•1A2 descreve a posição e orientação do elo 2 com relação a do elo 1;

•0Ak descreve a posição e orientação da elo k com relação à base.

A matriz 0AK é obtida multiplicando as matrizes i-1Ai com i variando de 1 até k.

•Portanto,

0A2 = 0A1

1A2

0A3=0A1

1A2 2A3

Para o robô de seis graus de liberdade, a posição e orientação do último elo com relação ao sistema de coordenadas da base é expresso por:

T= 0A6 = 0A1

1A2 2A3

3A4 4A5

5A6

Convenção para membros, juntas e sistemas de coordenadas

• Um robô com cadeia cinemática aberta pode ser considerado como composto de n + 1 membros(incluída aí a base, que é sempre o membro 0), conectados por n juntas. Os corpos são numerados de 0 a n,a partir da base. As juntas são numeradas de 1 a n, sendo que a junta i conecta o membro i ao membro i-1. A i-ésima variável da junta é denotada por qi e pode ser um deslocamento angular (junta R) ou um deslocamento linear (junta P).

• A cada membro do robô é associado um sistema de coordenadas cartesianas: o sistema O0x0y0z0 é associado à base 0, o sistema O1x1y1z1 é associado ao membro 1 e assim por diante. Devido à consideração de corpo rígido, qualquer ponto do membro i+1 tem coordenadas constantes com relação ao sistema Oixiyizi. A fig. ilustra tais convenções:

Representação de Denavit-Hartenberg

• É um procedimento sistemático que permite obter o modelo cinemático de qualquer robô manipulador.

• Baseia-se em dois pontos principais: uma maneira adequada para associar um sistema de coordenadas a cada elo e o uso de quatro transformações básicas.

• As transformações básicas são: rotações e translações puras, cada uma associada a um parâmetro geométrico, efetuadas de forma a relacionar o sistema de referência do elemento i ao i-1.

Os quatro parâmetros de DH

• Ângulo de junta (i ou n )

• Ângulo de torção do elo (i ou n )

• Comprimento do elo (ai ou ln)

• Distância entre elos ou deslocamento de junta (di ou dn)

i - ângulo entre os eixos x i-1 e x i, medido em um plano perpendicular ao eixo z i-1, usando a regra da mão direita; parâmetro variável em juntas rotacionais;

i - ângulo entre os eixos z i-1 e z i, medido em um plano perpendicular ao eixo xi, usando a regra da mão direita.

a i - distancia ao longo do eixo xi, desde a intersecção entre os eixos z i-1 e x i até a origem do sistema i, para o caso de a junta ser rotacional; se a junta for prismática, é a distância mais curta entre os eixos z i-1 e z i;

d i - distância ao longo do eixo z i-1, desde a origem do sistema de coordenadas i-laté a intersecção dos eixos z i-1 e z i-1 ; parâmetro van8vel em juntas prismáticas;

Relacionadas a estes parâmetros são definidas quatro transformações básicas:• Rotação de um angulo i, em torno do eixo z i-1;• Translação de uma distancia d, ao longo de z i-1, Ou do vetor di = (0, O, di);• Translação de uma distância a, ao longo de x i, ou do vetor ai = (ai, O, 0);• Rotação de um ângulo i, em torno do eixo xi.

As transformações básicas devem ser realizadas na ordem indicada, produzindo a seguinte matriz de transformação:

Usando estas definições, o algoritmo de D-H, que possibilita a obtenção do modelocinemático direto de um robô manipulador, é detalhado a seguir:1. Numerar os elos, iniciando em 1 (primeiro elo móvel) e terminando em n (último elo móvel). A base fixa do robô é numerada como o elo 0.2. Numerar as juntas, iniciando em 1 (relativo ao primeiro grau de liberdade) e terminando em n.3. Localizar o eixo de cada junta: se for rotativa, será o próprio eixo de rotação; se for prismática, será o eixo ao longo do qual ocorre o deslocamento.4. Para i variando de 0 ate n-1, situar o eixo zi sobre o eixo da junta i+1.

5. Situar a origem do sistema da base {So} em qualquer ponto do eixo z0. 0s eixos xo e yo serão dispostos de modo a formar um sistema dextrógiro com z0.6. Para i variando de I até n-1, situar o sistema {Si}, solidário ao elo i, na intersecção do, eixo zi com a linha normal comum a zi –1 e zi. Se os eixos se interceptarem, (Si) será situado no ponto de intersecção; se forem paralelos, será situado na junta i+1.7. Situar xi na linha normal comum a zi –1 e zi.8. Situar yi de modo que forme um sistema dextrógiro com xi e zi 9. Situar o sistema (S,,) no extremo do robô de modo que zn, coincida com a direção de zn –1 e xn seja normal a zn e zn –1 .

10. Obter i ângulo de rotação em torno de zi –1, pelo qual deve ser girado o sistema{Si-1} a fim de que xi –1 e xi se tornem paralelos.11. Obter di - distância ao longo de zi –1 , pela qual o sistema {Si-1} deve ser trasladadoa fim de que xi –1 e xi fiquem alinhados.12. Obter a, - distância ao longo de xi, que agora coincidiria com xi.l, pela qual onovo sistema {Si-1} deve ser trasladado para que sua origem coincida com {Si}.13. Obter rr., - angulo de rotação em tomo de xi, que agora coincidiria com xi.l, peloqual deve ser girado o novo sistema {Si-1} tal que coincida totalmente com {Si},

14. Obter as matrizes de transformação i-1Ai definidas em na matriz anterior.15. Obter a matriz de transformação que relaciona o sistema da base com o doextremo do robô, isto é, T=0A1

1A2...n-1An

16. A matriz T define a orientação e posição do extremo do robô referido a sua base,em função das coordenadas das juntas.

• Exemplo 1- Manipulador de 2 GLD

• Exemplo 2- Manipulador de 2 GLD

• Exemplo 3- Manipulador de 4 GLD

• Exemplo 4- Manipulador de 5 GLD