Modelagem, Simulação, Controle e Animação de Sistema “Ball-Beam”

Utilizando o Software Matlab

Ivanes L. C. Araújo* Daiyuki M. Fujiyoshi*1 Renan L. P. de Medeiros*

Nilton R. N. M. Rodrigues* Victor S. de Freitas* Orlando F. Silva Universidade Federal do Pará- UFPA, Faculdade de Engenharia Elétrica - FEE

66075-110, Rua Augusto Corrêa, 01, Guamá, Belém, PA

RESUMO

A utilização de recursos computacionais para auxiliar o processo de ensino e aprendizagem tem se tornado cada vez mais importante no ensino de graduação, pois tais recursos facilitam substancialmente o entendimento e a aplicação de conceitos matemáticos e de engenharia, além de estimular os graduandos a buscarem outras formas de aperfeiçoarem e desenvolverem os conhecimentos adquiridos em sala de aula.

Dentre os sistemas de interesse na área de Sistemas de Controle da Engenharia Elétrica, o sistema “Ball-Beam” se encontra como um importante objeto de estudo por meio da utilização de tais recursos tecnológicos [2].

O “Ball-Beam” é um sistema mecânico de dois graus de liberdade sendo o primeiro decorrente de uma bola ou cilindro que pode deslocar-se linearmente sobre uma barra, por sua vez, o outro grau de liberdade decorre do deslocamento angular da barra, de modo que ao fim dos sucessivos movimentos da barra, a bola seja equilibrada no centro da mesma. Na prática, o equilíbrio da bola sobre a barra é proporcionado devido a sucessivas ações de controle determinadas por um controlador digital, o qual age sobre o sistema baseado no erro entre uma posição de referência e a posição atual da bola.

O objetivo deste trabalho é criar uma animação do sistema “Ball-Beam” em três dimensões através do uso de conhecimentos em modelagem matemática, simulação, controle e programação no ambiente Matlab. Para isto ser obtido foram realizadas três etapas: modelagem matemática do sistema “Ball-Beam”, programação em Matlab para cálculo da posição linear de um cilindro e do deslocamento angular da barra e programação em Matlab para a animação do “Ball-Beam”.

Na primeira etapa do processo, obteve-se a modelagem matemática do sistema “Ball-Beam” o qual foi representado pelas Equações não lineares (1) e (2).

Para auxiliar na modelagem matemática do sistema utilizou-se as equações de Lagrange, e com a representação matemática obtida gerou-se um código computacional no ambiente de simulação Matlab, com a finalidade simular a dinâmica do sistema “Ball-Beam”.

Na última etapa do processo foi criado um sólido que representa visualmente o sistema, com o qual foi realizada a animação por meio de um programa em Matlab, relacionando as viáveis temporais obtidas na simulação com os movimentos do sólido, de modo que o mesmo se mova conforme os resultados numéricos obtidos na simulação. Como a animação é constituída por sucessivas rotações e/ou translações, nesta última etapa foi necessário representar os vértices do sólido geométrico em coordenadas homogêneas [1], pois tal representação é preferível a fim de facilitar as operações algébricas envolvidas entre as matrizes de rotação e de translação e as matrizes que determinam os pontos constituintes do sistema virtual. Um ponto é representado em coordenadas homogêneas por uma matriz coluna que possui quatro elementos, sendo os três primeiros elementos as suas distâncias em relação aos eixos x, y e z, respectivamente; e o quarto um fator de escala real não-nulo. As coordenadas cartesianas de cada vértice são iguais à razão entre suas correspondentes coordenadas no

* Bolsista/colaborador do Programa de Educação Tutorial de Engenharia Elétrica

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sistema homogêneo e o fator de escala. Devido a este fato geralmente este fator de escala é igual a um, para que as coordenadas correspondentes de um ponto no sistema homogêneo sejam iguais às do sistema cartesiano.

A visualização do “Ball-Beam”, elaborada em ambiente Matlab por linhas de comando, é mostrada na Figura 1, podendo modificar o ângulo de visualização como queira o usuário. Pode-se observar o cilindro (preenchido com diversas cores), a barra retangular e base de sustentação. A Figura 1(a) mostra o ponto de equilíbrio do sistema e a Figura 1(b) mostra o movimento da barra para a estabilização da posição do cilindro.

a) b)

Figura 1: Representação virtual do Ball-Beam com visualização de dois ângulos diferentes. Para manter o cilindro no ponto médio da barra (problema de regulação), foi produzido um script

que implementa um controlador com realimentação de estados. Para avaliar o desempenho do controlador, uma perturbação de entrada do tipo pulso unitário foi aplicada no instante 1 segundo. Na simulação, além do movimento virtual do sistema “Ball-Beam”, visualiza-se também a resposta temporal, descrita na Figura 2, a qual representa o deslocamento linear do cilindro diante à aplicação do sinal de entrada.

Figura 2: Posição do cilindro na barra em relação ao tempo

A análise dos dados obtidos da simulação do Ball-Beam ratifica a teoria aplicada para este sistema além de facilitar o seu entendimento devido à animação gráfica. O script produz uma interatividade com o usuário através de uma interface amigável.

Palavras - chave : Ball-beam, Controle, Animação, Matlab

Referências

[1] J. B. M. Alves, “Controle de Robô”, Cartgraf, Campinas, 1988.

[2] K.Ogata, “Projeto de Sistemas Lineares de Controle com Matlab”, Prentice - Hall do Brasil, Rio de Janeiro,1996.

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