MODELAGEM, SIMULAÇÃO E CONTROLE DE UM VANT

QUADRIRROTOR

Livio Tonini Gouveia e Silva

Trabalho Final de Curso apresentado ao

Colegiado do curso de Engenharia de

Controle e Automação, da Universidade

Federal da Bahia, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Bacharel

em Engenharia de Controle e Automação.

Orientador: Márcio André Fernandes

Martins

Salvador

Julho de 2015

MODELAGEM, SIMULAÇÃO E CONTROLE DE UM VANT

QUADRIRROTOR

Livio Tonini Gouveia e Silva

TRABALHO FINAL DE CURSO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO

COLEGIADODO CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

DA UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE BACHAREL EM ENGE-

NHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO.

Aprovado por:

Prof. Márcio André Fernandes, D.Sc.

Eng. Raony Maia Fontes, M.Sc.

Prof. Yuri Guerrieri Pereira, M.Sc.

SALVADOR, BA � BRASIL

JULHO DE 2015

Resumo do Trabalho Final de Curso apresentado à UFBA como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Bacharel em Engenharia de Controle e

Automação

MODELAGEM, SIMULAÇÃO E CONTROLE DE UM VANT

QUADRIRROTOR

Livio Tonini Gouveia e Silva

Julho/2015

Orientador: Márcio André Fernandes Martins

O presente trabalho apresenta o desenvolvimento de estratégias de controle para

a estabilização de um veículo aéreo não tripulado, do tipo quadrirrotor em um

ambiente virtual. Inicialmente as características dinâmicas deste veículo aéreo são

detalhadas e, posteriormente, a modelagem matemática utilizando a abordagem

de Newton-Euler é apresentada. O modelo é implementado utilizando o software

Matlab/Simulink R© para então serem testadas as estratégias de controle PID e

a estratégia de controle preditivo, cujos desempenhos são comparados. Ao �nal,

demonstra-se quantitativamente a melhor e�ciência da abordagem preditiva para

este sistema.

iii

Abstract of Final Thesis presented to DEQ/UFBA as a partial ful�llment of the

requirements for the degree of Bachelor of Engineering

MODELING, SIMULATION AND CONTROL OF AN UAV QUADROTOR

Livio Tonini Gouveia e Silva

July/2015

Advisor: Márcio André Fernandes Martins

This work presents the development of control strategies to the stabilization

of an unmanned aerial vehicle quadrotor in a virtual environment. Initially the

dynamic characteristics of this aerial vehicle are detailed and, later, the dynamic

modelling using Newton-Euler's approach is displayed. The model is implemented

using the softwareMatlab/Simulink R© so that tests can be applied to the classic and

predictive control strategies, and thus their performances will be compared. Finally,

it is quantitatively demonstrated the better e�ciency of the predictive approach for

this system.

iv

Sumário

Lista de Figuras vii

Lista de Tabelas ix

1 Introdução 1

1.1 Um Breve Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Motivações e justi�cativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Objetivo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2 Objetivos especí�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Estado da Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Modelagem Matemática 10

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Dinâmica de um Quadrirrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Estados do quadrirrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 Matrizes de Transformação Terra-Corpo . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Forças e Momentos Angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Modelo de Newton-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Linearização e Funções de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Simulação 24

3.1 Valores Iniciais e Estado Estacionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

v

4 Controle 29

4.1 Controle Clássico - PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.1 Sintonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.2 Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Controle Preditivo - MPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.1 Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2 Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Conclusões e Trabalhos Futuros 44

5.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Referências Bibliográ�cas 46

vi

Lista de Figuras

1.1 Ilustração de um VANT de asas �xas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Ilustração de um VANT de asas rotativas. . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Quadrirotor por Domingues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Quad Sá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Quad Pfeifer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Quad Costa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Quad OS4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Sentido de rotações das hélices de um quadrirrotor. . . . . . . . . . . 11

2.2 Exemplo das atitudes Roll, Pitch e Yaw em um VANT. . . . . . . . . 12

2.3 Movimentos quadrirrotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Ilustração do referencial Terra e o referencial Corpo. . . . . . . . . . . 13

2.5 Ilustração dos sentidos e atitudes relativas aos eixos de um quadrirrotor. 15

3.1 Respota do VANT ao ser aplicado o pulso no propulsor 3. . . . . . . . 26

3.2 Resposta do VANT ao ser aplicado o pulso na nova entrada Upitch. . . 28

4.1 Diagrama de blocos representativo para a malha de controle de posi-

ção Y do quadrirrotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Diagrama de blocos representativo para a malha de controle da posi-

ção Z do quadrirrotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Resposta do quadrirrotor ao ser aplicado variações nos valores dese-

jados das PVs separadamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4 Resposta do controle PID ao ser aplicado o Teste 1. . . . . . . . . . . 34

4.5 Resposta do controle PID ao ser aplicado o Teste 2. . . . . . . . . . . 35

4.6 Comparação das posições do VANT antes e depois de ser con�gurado. 38

vii

4.7 Comparação das atitudes do VANT antes e depois de ser con�gurado. 38

4.8 Comparação das velocidades angulares do VANT antes e depois de

ser con�gurado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.9 Resposta do quadrirotor a variações nos setpoits individualmente. . . 39

4.10 Resposta do controle MPC ao ser aplicado o Teste 1. . . . . . . . . . 40

4.11 Resposta do controle MPC ao ser aplicado o Teste 2. . . . . . . . . . 41

viii

Lista de Tabelas

4.1 Parâmetros dos controladores PID das malhas de controle escravas. . 33

4.2 Parâmetros dos controladores PID das variáveis controladas principais. 33

4.3 Comparação dos parâmetros do MPC. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4 Comparação do desempenho do controlador MPC antes e depois da

análise de sensibilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Comparação do desempenho das estratégias de controle do primeiro

teste de mudanças simultâneas nos Setpoints. . . . . . . . . . . . . . . 42

4.6 Comparação do desempenho das estratégias de controle do segundo

teste de mudanças simultâneas nos Setpoints. . . . . . . . . . . . . . . 43

ix

Capítulo 1

Introdução

Nas últimas décadas foram sendo desenvolvidos e surgindo vários VANTs (Veículos

Aéreos Não Tripulados), ou em inglês UAVs (Unmanned Aerial Vehicle), sejam para

missões de guerra, vigilância, observações de fenômenos meteorológicos, investiga-

ções cientí�cas ou diversas outras situações, que comprovaram a capacidade desses

objetos e proporcionaram mais estudos sobre o mesmo.

Os VANTs são veículos aéreos que não utilizam de pilotos na aeronave, sendo

assim, são controlados remotamente ou de maneira autônoma. Eles podem ser

divididos em duas categorias, os de asas �xas, �gura 1.1, e os de asas rotativas,

�gura 1.2.

Os VANTs de asas rotativas possuem diversas vantagens em relação aos de asas

�xas, como por exempo, serem capazes de voar em qualquer direção em baixas

Figura 1.1: Ilustração de um VANT de asas �xas.

Fonte: http://doctordrone.com.br/p/author/claudia-susin/page/5/

1

Figura 1.2: Ilustração de um VANT de asas rotativas.

Fonte: http://diydrones.com/pro�les/blogs/quadrotor-chipkit-max32

velocidades e poderem pairar no ar. Dentre os mais simples de asas rotativas,

destacam-se os quadrirrotores, que são veículos de simples montagem e possuem

custos relativamente baixos.

Conforme Bouabdallah e Sigwart (2007, apud Sá (2012)) um quadrirrotor é um

tipo de helicóptero cuja propulsão é realizada por quatro motores. Sendo as qua-

tro hélices posicionadas de forma horizontal, hélices adjacentes giram em sentido

contrário, não exigindo um motor de calda para compensar o momento angular dos

propulsores. Por ser um sistema dinâmico, ao se alterar a velocidade dos motores

a posição também será alterada. Tais veículos são instáveis e possuem 6 graus de

liberdade, podendo se deslocar nas três dimensões e rotacionar em torno de seus três

eixos. Por possuírem um número maior de graus de liberdade do que de atuadores,

são sistemas subatuados.

Um quadrirrotor é classi�cado na categoria VTOL (Vertical Takeo� and Landing

− Decolagem e aterrisagem vertical), o que possibilita que o mesmo tenha �exibili-

dade quanto ao local de pouso e decolagem, podendo operar em terrenos acidentados

e não preparados para tal.

Dentras as principais aplicações para estes veículos, se destacam:

• Usos militares, para reconhecimentos de áreas;

• Captura de �lmagens e imagens panorâmicas de baixo custo para indústrias

2

cinematográ�cas, eventos esportivos e outros;

• Auxílio na geração de modelos 3D a partir de capturas de imagens associadas

a técnicas fotogramétricas;

• Inspeção de linhas de distribuição e locais potencialmente perigosos;

• Monitoramento de grandes áreas.

1.1 Um Breve Histórico

Conforme Costa (2008), os quadrirrotores surgiram no início dos anos 1900 e vá-

rios exemplares foram criados nos vinte anos seguintes. Inicialmente, a ideia seria

transportar um piloto que controlasse os quatro rotores. O primeiro quadrirrotor

da história foi criado em 1907, pesava cerca de 578 kg e não conseguiu obter uma

boa estabilidade para pilotagem, entretanto, introduziu a teoria dos pares de roto-

res dos quadrirrotores rodarem em sentidos opostos. Esta teoria é utilizada ainda

hoje em projetos de veículos asas rotativas. Em 1922 surge o segundo quadrirrotor,

pesando 800 kg e possuindo além dos quatro rotores, oito propulsores, ligados ao

mesmo motor. Apesar desse possuir um bom grau de liberdade e de controlabili-

dade, apresentou di�culdade para atingir estabilidade. Para Costa (2008), por conta

dessas di�culdades os quadrirrotores acabaram perdendo o interesse, mas, por conta

da sua simples construção e força propulsiva ressurgiu sob a forma de asas rotativas

por volta dos anos 80 e 90. Como argumento por Sá (2012) o avanço da tecnologia

de miniaturização de sensores e processadores têm propenciado atualmente o desen-

volvimento de VANTs de tamanho reduzido, tanto para �ns comerciais como para

pesquisa. Para Costa (2008), muitos laboratórios de investigação, têm utilizado os

VANTs para realizarem experiências de diferentes �nalidades. Os objetivos destas

investigações passam primordialmente por testar micro elementos para controle de

aeronaves não tripuladas, bem como, a obtenção de novos processos de estabilização

e controle desses veículos.

3

1.2 Motivações e justi�cativa

Ao longo dos anos, vários estudos, têm comprovado as utilidades e capacidades dos

VANTs, bem como, a importância dos mesmos para �ns comerciais e de pesqui-

sas. Atualmente, os �ns comerciais estão crescendo e sendo bastante utilizados com

aplicações em vigilância aérea, exploração, captura de imagens e etc.

Já na área de pesquisas, por estes veículos serem naturalmente instáveis e a

tendência é de serem criados modelos de custos cada vez menores com tamanhos

cada vez mais reduzidos, o mesmo apresenta uma certa di�culdade em ser controlado,

atraindo o interesse de pesquisadores para criarem técnicas cada vez mais e�cientes

de controle.

Sendo assim, diante de pesquisas, este trabalho teve como fonte de motivação

desenvolver um projeto que abordasse esta problemática e contribuir inicialmente

pela aplicação do controle de posição no contexto clássico e então a implementação

de um controle preditivo na tentativa de avaliar uma técnica robusta para controle

de posição e orientação do veículo.

1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo geral

Implementar estratégias de controle clássica e preditiva em um VANT do tipo qua-

drirrotor simulado com a intenção de estabilizá-lo em uma determinada posição e

orientação de referência.

1.3.2 Objetivos especí�cos

• Realizar a modelagem dinâmica de um quadrirrotor através da abordagem de

Newton-Euler para corpos rígidos;

• Simular o sistema utilizando o software Matlab/Simulink R© que permita a

implementação de técnicas de controle e avaliação de seus resultados;

• Desenvolver uma estratégia de controle PID para a estabilização do quadrir-

rotor em uma determinada posição e orientação;

4

• Aplicar a estratégia de controle preditivo baseada na forma incremental das

entradas para establizar a posição e orientação do quadrirrotor.

1.4 Estado da Arte

Por serem sistemas de alta instabilidade, os quadrirrotores apresentam um certo

desa�o para pesquisadores na área de controle. Este fato, além das diversas aplica-

ções de um VANT, incentivou muitos pesquisadores a realizarem estudos sobre estes

veículos. Nesta seção são apresentados trabalhos realizados nesta área nos últimos

anos.

O trabalho proposto por Domingues (2009) foca no projeto e controle de um

quadrirrotor, que pode ser visto na �gura 1.3, que obtém um acelerômetro de três

eixos e um compasso como seus sensores. Na modelagem de seus motores, utilizou

de uma técnica de captura de dados através da captura do som das hélices. O tra-

balho utilizou ainda �ltro de Kalman e a técnica LQR (Linear Quadratic Regulator,

ou Regulador Linear Quadrático em português) para estabilização do sistema, con-

siderando uma situação ótima onde os 12 estados são observáveis e uma situação

real onde apenas 6 deles são. Nos testes simulados, conseguiu obter a estabilização,

porém nos testes reais, apresentou comportamento instável.

Figura 1.3: Protótipo do quadrirrotor por Domingues.

Fonte: (DOMINGUES, 2009)

O trabalho realizado por Sá (2012) propôs o projeto e construção de um veículo

aéreo não tripulado do tipo quadrirrotor com componentes consideradas de baixo

custo e utiliza um controle PID para a estabilização de suas atitudes e altitude. O

veículo montado pode ser visto na �gura 1.4. Nesse trabalho u tilizou um controlador

independente para cada ângulo e foram realizados testes simulados de controle bem

sucedidos com o controlador clássico e um controlador com saída diferenciada. Foi

5

aplicado no quadrirrotor construído o controlador clássico que conseguiu estabilizar

o sistema.

Figura 1.4: Quadrirotor desenvolvido por Sá.

Fonte: (Sá, 2012)

Pfeifer (2013) propõe no seu trabalho desenvolver e implementar um projeto me-

cânico, eletrônico e de controle de um quadrirrotor, visualizado na �gura 1.5, através

de um controlador linear para autonomia do mesmo. Naquele trabalho, é aplicado

dois métodos de controle linear, o primeiro por imposição direta de polos com um

observador de estados e o segundo por meio de um controlador LQR em conjunto

com um �ltro de Kalman. Os dois métodos foram testados por simulação e o con-

junto LQR com �ltro de Kalman foi selecionado por apresentar melhor desempenho

com menor consumo energético. Finalmente, testes de controle no quadrirrotor real

foram feitos sem sucesso em conseguirem rastrear os estados de interesse, ainda que

o �ltro de Kalman tenha sido capaz de reconstruir os estados do sistema e �ltrar os

valores dos sensores. A �gura 1.5 mostra o quadrirrotor concluído.

6

Figura 1.5: Quadrirotor desenvolvido por Pfeifer.

Fonte: (PFEIFER, 2013)

Costa (2008) elabora uma tese com o objetivo de propor um modelo capaz de

simular um VANT de asas rotativas com quatro hélices. Nesse projeto de tese, o

autor utiliza para testes um quadrirrotor real do tipo ALIV (Autonomous Locomo-

tion Individual Vehicle), �gura 1.6, porém não utiliza os graus de liberdade extra,

limitando sua atuação a um quadrirrotor convencional. É utilizado o simulador de

voo FLIGHTGEAR em conjunto com oMatlab/Simulink R© para uma visualização

3D do comportamento do VANT. Para aplicação do controle, utiliza-se a técnica

LQR e �ltro de Kalman. O controle de posição é realizado através de um joystick

ou de uma câmera integrada simulada. O autor do trabalho consegue resultados

satisfatórios, conseguindo voar de forma autônoma entre pontos estabelecidos.

Bouabdallah et al (2004) compara o desempenho de controle das atitudes de

um micro quadrirrotor através da implementação de um controle PID e um controle

linear quadrático. É utilizada uma câmera para retroação de posição e um IMU com

�ltro de Kalman para aquisição das angulações. Foi projetado um protótipo nome-

ado OS4 (Omnidirectional Stationary Flying Outstretched Robot), que pode ser visto

na �gura 1.7. Após diversos testes em estruturas reais em ambientes controlados, é

obtido sucesso de controle utilizando o PID, porém o controlador linear quadrático

apresentou erro em regime estacionário devido à possível falta de consideração das

dinâmicas do atuador.

7

Figura 1.6: Quadrirotor do tipo ALIV.

Fonte: (COSTA, 2008)

Em um trabalho posterior, Bouabdallah e Siegwart (2007) propõem um projeto

e controle das atitudes e posição de um quadrirrotor equipado com um sistema que

detecta e evita simples obstáculos através de sensores do tipo sonar. Como estratégia

de controle foi adotado o IB (Integral Backstepping) para rastrear tanto as atitudes

e altitudes como a posição em geral. Simulações e testes reais foram aplicados e

ambos conseguem satisfatoriamente o controle total do quadrirrotor mesmo com a

presença de obstáculos.

1.5 Estrutura do trabalho

O presente trabalho é dividido em cinco partes. Como neste trabalho não será

incluído a construção do veículo, ele será limitado a aspectos simulados, não levando

em conta a modelagem de sensores e atuadores, bem como a resistência do ar,

tendo assim �nalidades didáticas. Sequenciando a introdução aos VANTs do tipo

quadrirrotores no capítulo 1, é apresentado uma breve história dos mesmos, seguido

pelo estado da arte.

No capítulo 2 é abordado a modelagem matemática do VANT, discursando sobre

a dinâmica do mesmo e então utilizando a abordagem de Newton-Euler para corpos

rígidos para realização da modelagem.

8

Figura 1.7: Quadrirotor OS4.

Fonte: (BOUABDALLAH et al., 2004)

O capítulo 3 contém os testes para visualização do comportamento do quadrir-

rotor simulado. Posteriormente, é proposto um novo conjunto de entradas para o

controle clássico do sistema.

No capítulo 4 é feita a implementação das estratégias de controle PID, e um

controle MPC com o objetivo de estabilizarem o quadirrotor em uma determinada

posição e orientação de referência, a partir das variações das velocidades angulares

dos motores do mesmo. Ambas estratégias serão testadas em mesmas condições

para então ser realizada uma comparação e análise dos resultados.

Finalmente, no capítulo 5 as conclusões são esboçadas e possíveis perspectivas

de trabalhos futuros são apresentadas.

9

Capítulo 2

Modelagem Matemática

2.1 Introdução

A dinâmica de um quadrirrotor ocorre pela variação das velocidades angulares de

seus motores que geram suas variações de movimentos. Para conseguir realizar um

controle efetivo é inicialmente necessário realizar uma modelagem da dinâmica do

sistema, que irá orientar o desenvolvimento do controle. Neste capítulo será deta-

lhada a dinâmica do sistema, utilizando a abordagem de Newton-Euler na construção

do modelo. Posteriormente, o sistema será linearizado em torno do seu estado esta-

cionário e serão obtidas as funções de transferência do sistema para implementação

das estratégias de controle.

2.2 Dinâmica de um Quadrirrotor

Um quadrirrotor é constituído basicamente de quatro propulsores que são dispos-

tos na forma de uma cruz, igualmente espaçados em relação ao eixo ou centro de

gravidade do VANT. Conforme Costa (2008), os movimentos associados a um qua-

drirrotor estão puramente associados à variação de rotação de cada um dos rotores.

A cada rotor está associada uma força de sustentação, um binário e uma força de

resistência em torno do seu eixo de rotação.

Para que o momento angular total proveniente dos motores seja nulo enquanto

o quadrirrotor estiver em estado estacionário, um par de hélices giram em sentido

horário e o outro par em sentido anti-horário, como observa-se na �gura 2.1.

10

Figura 2.1: Sentido de rotações das hélices de um quadrirrotor.

Fonte: (PFEIFER, 2013)

A atitude de um corpo é de�nido como sendo sua orientação no espaço em rela-

ção ao seu centro de gravidade. Estas atitudes são conhecidas como: Guinada (ou

Yaw em inglês), Arfagem (ou Pitch em inglês) e Rolagem (ou Roll em inglês). A

partir destas atitudes que é possível o quadrirrotor se movimentar na horizontal,

uma vez que variando estas atitudes, têm-se uma projeção da propulsão total para

uma direção. Na �gura 2.2 são ilustradas tais atitudes. Como a diferença da atitude

pitch e roll está relacionada com a orientação do veículo, para uma melhor visuali-

zação e compreensão, é mostrada uma imagem de um VANT cuja orientação é mais

facilmente percebida.

11

Figura 2.2: Exemplo das atitudes Roll, Pitch e Yaw em um VANT.

Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Degrees_of_freedom_mechanics

Na �gura 2.3 é explicitado os possíveis movimentos de um quadrirrotor. Ao se

aumentar a velocidade angular do propulsor 3 e igualmente diminuir a velocidade

angular do propulsor 1 (para que o momento angular total no eixo−→Z não se al-

tere), seria gerada uma variação positiva na atitude pitch e ,consequentemente, um

deslocamento positivo no eixo−→X (Figura �b�). Ao aumentar a velocidade angular

no propulsor 1 e igualmente diminuir no propulsor 3, seria gerada uma variação

negativa na atitude pitch e consequentemente um deslocamento negativo no eixo−→X (Figura �a�). Analogamente, as velocidades angulares dos motores 2 e 4 podem

ser variadas para que gerem variações na atitude roll e consequentemente deslo-

camentos no eixo−→Y (Figura �c� e �d�). Já para que o quadrirrotor se desloque

positivamente no eixo−→Z , é aumentado igualmente as velocidades angulares de to-

dos os propulsores (Figura �f�) e, para que se desloque negativamente no eixo−→Z , as

velocidades angulares de todos os motores devem ser diminuídas igualmente (Figura

�e�). Finalmente, para que a orientação do VANT, caracterizado pela sua atitude

yaw, seja modi�cada, a somatória dos momentos angulares dos propulsores deve ser

diferente de zero, para tal, aumentando as velocidades angulares dos propulsores 1 e

3 e diminuindo igualmente as velocidades angulares do propulsores 2 e 4 para haver

uma variação positiva de sua atitude Yaw e o contrário para haver uma variação

negativa na mesma.

12

Figura 2.3: Exemplo de movimentações de um quadrirrotor

Fonte: (PFEIFER, 2013)

2.2.1 Estados do quadrirrotor

Para que se possam de�nir os estados, inicialmente, deve-se de�nir os sistemas de

coordenadas que serão usados para então escrever as dinâmicas do sistema. Serão

utilizados dois sistemas de coordenadas inerciais, o referencial Terra (ou referencial

T) e o referencial local Corpo (ou referencial C), com sua origem localizada no centro

de massa do quadrirrotor.

Figura 2.4: Ilustração do referencial Terra e o referencial Corpo.

Fonte: (PFEIFER, 2013)

Pela teoria da mecânica Newtoniana, é possível obter informações sobre a di-

nâmica de um sistema através dos estados do mesmo. Com as de�nições dos eixos

13

inerciais, os estados do VANT são de�nidos como:

• φ = Ângulo referente à atitude roll em relação ao referencial Terra;

• θ = Ângulo referente à atitude pitch em relação ao referencial Terra;

• ψ = Ângulo referente à atitude yaw em relação ao referencial Terra;

• ωX = Velocidade angular em relação ao eixo−→X no referencial Corpo;

• ωY = Velocidade angular em relação ao eixo−→Y no referencial Corpo;

• ωZ = Velocidade angular em relação ao eixo−→Z no referencial Corpo;

• X = Posição linear X em relação ao referencial Terra;

• Y = Posição linear Y em relação ao referencial Terra;

• Z = Posição linear Z em relação ao referencial Terra;

• VX = Velocidade linear X em relação ao referencial Corpo;

• VY = Velocidade linear Y em relação ao referencial Corpo;

• VZ = Velocidade linear Z em relação ao referencial Corpo.

Organizando os estados na forma vetorial:

[φ θ ψ ωX ωY ωZ X Y Z VX VY VZ ]T (2.1)

Na �gura 2.5 é ilustrado um quadrirrotor, evidenciando os sentidos positivos de

cada eixo, assim como o sentido de rotação dos mesmos para melhor visualização do

sistema como um todo.

14

Figura 2.5: Ilustração dos sentidos e atitudes relativas aos eixos de um quadrirrotor.

Fonte: Próprio autor.

2.2.2 Matrizes de Transformação Terra-Corpo

É necessário que as variáveis do referencial Corpo sejam convertidas para o refe-

rencial Terra, e para tal, é utilizada uma matrizes de rotação. Essa matriz é o

resultado do produto de outras três matrizes (R(φ,x), R(θ,y), R(ψ,z)), cada uma

representando a rotação em torno de um eixo:

S = R(φ, x).R(θ, y).R(ψ, z) (2.2)

S =

1 0 0

0 cos(φ) sin(φ)

0 − sin(φ) cos(φ)

cos(θ) 0 − sin(θ)

0 1 0

sin(θ) 0 cos(θ)

cos(ψ) sin(ψ) 0

− sin(ψ) cos(ψ) 0

0 0 1

(2.3)

S =

cos(θ) cos(φ) sin(θ) cos(ψ) sin(θ)

sin(ψ)sin(θ)− cos(φ) sin(ψ) cos(ψ)cos(ψ) + sin(φ) sin(θ) sin(ψ) sin(φ) cos(θ)

cos(ψ)sin(θ) + sin(φ) sin(ψ) sin(θ)cos(φ) sin(ψ)− sin(φ) cos(ψ) cos(θ) cos(φ)

(2.4)

A partir da matriz 2.4 acima, é possível relacionar as posições lineares do sistema

15

Terra para o Corpo através da equação:

S

X

Y

Z

=

VX

VY

VZ

(2.5)

Sendo a matriz de rotação ortogonal, pode-se relacionar também facilmente as

variáveis do sistema Terra em relação ao sistema Corpo ao escrever:

X

Y

Z

= ST

VX

VY

VZ

(2.6)

Através da integração da equação 2.6, obtém-se as posições [X Y Z] do quadrir-

rotor em relação ao referencial Terra. Porém, para conseguir realizar a integração,

as atitudes φ, θ e ψ devem ser conhecidas. Como as mesmas são funções do tempo

e dependem da velocidade angular do referencial Corpo, é necessária a relação entre

[φ θ ψ] e [ωX ωY ωZ ]. A velocidade angular pode ser descrita como:

−→ω = ωX−→i + ωY

−→j + ωZ

−→k (2.7)

Apesar de parecer que a derivada das atitudes serem o mesmo que as velocidades

angulares, este não é o caso. Se um objeto sólido está rotacionando a uma velocidade

constante, então sua velocidade angular −→ω será constante. Entretanto, as derivadas

das atitudes estarão variando pois estes dependem dos ângulos instantâneos entre as

coordenadas do referencial Corpo e o sistema de referência. Analogamente como foi

feita com as posições lineares, relaciona-se as velocidades angulares com as atitudes

através da equação 2.8:

−→ω = R(φ, x)R(θ, y)R(ψ, z)

0

0

ψ

+R(φ, x)R(θ, y)

0

θ

0

+R(φ, x)

φ

0

0

(2.8)

16

Então:

ωX

ωY

ωZ

=

1 0 − sin θ

0 cosφ sinφ cos θ

0 − sinφ cos θ cosφ

φ

θ

ψ

(2.9)

φ

θ

ψ

= T

ωX

ωY

ωZ

(2.10)

T =

1 tan θ sinφ tan θ cosφ

0 cosφ − sinφ

0 sinφ/ cos θ cosφ cos θ

(2.11)

Com a matriz T acima, são encontrados os ângulos [φ θ ψ] integrando a equação

2.10.

Um dos problemas de se utilizar os ângulos de Euler para estes tipos de sistemas,

é que se a atitude pitch ou roll atingir 90◦, perde-se um grau de liberdade no

sistema. Este acontecimento é conhecido como Gimbal Lock. Como neste trabalho

esta situação não é prevista de acontecer, será mantida a utilização dos ângulos de

Euler.

2.3 Forças e Momentos Angulares

Cada propulsor gera um empuxo positivo em relação ao eixo−→Z , sendo o empuxo

total, uma soma dos quatro empuxos individuais. É possível descrever o empuxo

gerado pelos motores através da equação:

Epropi = KVpropi· ω2

propi(2.12)

onde:

• Epropi é o empuxo gerado pelo propulsor "i"[N];

• KVpropié a constante de velocidade-empuxo do propulsor "i"[kg.m/rad2];

• ωpropi é a velocidade angular do propulsor "i"[m].

17

Logo, força resultante no eixo−→Z do referencial Corpo pode ser descrita como:

FZ =4∑i=1

Epropi (2.13)

As variações dos empuxos dos rotores, irão causar um desequilíbrio no momento

angular resultante do corpo, gerando torques que irão gerar as variações angulares

no corpo. O torque que resultará na atitude pitch do quadrirrotor será consequência

das variações de empuxo dos propulsores 1 e 3, multiplicado pela dimensão da haste

�L�, como dado pela seguinte equação 2.14:

τpitch = L · (E3 − E1) (2.14)

em que:

• τpitch é o torque que resultará em uam variação na atitude pitch [N.m];

• L é a distância entre o centro de gravidade do quadrirrotor e o centro de sua

hélice [m].

Por �m, têm-se o torque do eixo−→Z corpo. Este torque será dado pela soma dos

momentos angulares dos rotores. O momento gerado por um rotor pode ser de�nido

como:

Mpropi = KMpropi· ω2

propi(2.15)

em que:

• Mpropi é o momento angular gerado pelo propulsor "i"[N.m];

• Kpropi é a constante velocidade-momento do propulsor "i"[kg.m2/rad2]

O torque resultante no eixo−→Z do referencial Corpo do quadrirotor é de�nido

por:

Myaw =4∑i=1

(Mpropi · (−1)i−1) (2.16)

Ressaltando que os momentos angulares gerados pelos rotores 1 e 3 são positivos

e dos rotores 2 e 4 são negativos, para que, em estado estacionário, o momento

resultante do quadrirotor seja nulo, como dito anteriormente.

18

2.4 Modelo de Newton-Euler

Para descrever um sistema e então possa ser possível controla-lo, precisa-se de um

modelo matemático que represente o comportamento do corpo. Neste trabalho será

utilizado o modelo dinâmico de Newton-Euler para corpos rígidos, que utiliza o

somatório de forças e torques no referencial Corpo para descrever o sistema. A

equação é de�nida como:

F corpo

τ corpo

=

m · I3 0

0 I

.V corpo

ωcorpo

+

ωcorpo × (m · V corpo)

ωcorpo × (I · ωcorpo)

(2.17)

Onde,

• F corpo é o vetor de forças exercidas no quadrirotor no referencial Corpo [N];

• τ corpo é o vetor de torques exercidos no quadrirotor no referencial Corpo [N.m];

• I3 é a matriz identidade de dimensão três;

• I é a matriz momento de inércia do corpo em relação ao sistema �xo ao corpo

com origem no centro de massa do mesmo;

• m é a massa total do corpo [kg];

• V corpo é o vetor de acelerações lineares no referencial Corpo [m/s];

• ωcorpo é o vetor de acelerações angulares no referencial Corpo [rad/s].

Devido à sua pouca importância em baixas velocidades, o termo de Coriolis não

será considerado na modelagem.

Desenvolvendo a equação 2.17, obtêm-se:

F corpoX

F corpoY

F corpoZ

τ corpoX

τ corpoY

τ corpoZ

=

m 0 0 0 0 0

0 m 0 0 0 0

0 0 m 0 0 0

0 0 0 IX 0 0

0 0 0 0 IY 0

0 0 0 0 0 IZ

·

V corpoX

V corpoY

dotV corpoZ

ωcorpoX

ωcorpoY

ωcorpoZ

+

m ·

ωY VZ − ωZVYωZVX − ωXVZωXVY − ωY VX

ωY VZ(IZ − IY )

ωY VZ(IX − IZ)

ωY VZ(IZ − IX)

(2.18)

19

Podemos compor a matriz de forças e momentos com as equações obtidas pelas

equações 12 à 17 somada da força peso aplicada ao corpo no referencial Corpo

(através da multiplicação da mesma pela matriz de rotação S calculada pela equação

2.4, uma vez que a força peso deve passar do referencial Terra para o referencial

Corpo, resultando em:

F corpo

τ corpo

=

0

0

FZ

τroll

τpitch

Myaw

+

S ·

0

0

−m · g

0

0

0

(2.19)

Igualando às equações 2.18 e 2.19 e isolando as variáveis de interesse obtêm-se:

VX

VY

VZ

ωX

ωY

ωZ

=

VY ωZ − VZωY + g sin θ

VZωX − VXωZ − g sinφ cos θ

FZ

m+ VZωX − VXωZ − g cosφ cos θ

τrollIX− ωY ωZ(IZ−IY )

IXτpitchIX− ωXωZ(IX−IZ)

IY

Myaw

IZ− ωXωY (IY −IX)

IZ

(2.20)

Acrescentando na equação 2.20 as equações 2.6 e 2.10, é obtida as nossas equações

20

diferenciais referentes aos 12 estados do sistema:

VX

VY

VZ

ωX

ωY

ωZ

X

Y

Z

φ

θ

ψ

=

VY ωZ − VZωY + g sin θ

VZωX − VXωZ − g sinφ cos θ

FZ

m+ VZωX − VXωZ − g cosφ cos θ

τrollIX− ωY ωZ(IZ−IY )

IXτpitchIX− ωXωZ(IX−IZ)

IY

Myaw

IZ− ωXωY (IY −IX)

IZ

ST

VX

VY

VZ

T

ωX

ωY

ωZ

(2.21)

2.5 Linearização e Funções de Transferência

É facilmente observado na equação 2.21 acima que o sistema possui não-linearidades.

Para a utilização de um controle linear como o controle clássico, é necessário lineari-

zar o sistema e então encontrar as suas funções de transferência. Para tal, utiliza-se

uma aproximação por série de Taylor, truncada na sua derivada de primeira ordem.

Como exemplo, é mostrada a equação diferencial de VX :

VX = VY ωZ − VZωY + g sin θ (2.22)

Aproximando por série de Taylor truncada em primeira ordem, encontra-se:

VX ≈ ¯VX +

[∂VX∂V

]V ,ω,θ

(V − V ) +

[∂VX∂ω

]V ,ω,θ

(ω− ω) +

[∂VX∂θ

]V ,ω,θ

(θ− θ) (2.23)

Onde:

• ¯VX é o estado estacionário de VX ;

• V é o estado estacionário do vetor V ;

21

• ω é o estado estacionário do vetor ω;

• θ é o estado estacionário do vetor θ.

Como os estados estacionários das variáveis acima são nulos, a equação 23 se

resume em:

ˆVX = g · θ (2.24)

em que:

• ˆVX é a variável desvio; (VX − ¯VX);

• g é a gravidade;

• θ é a variável desvio (θ − θ).

Todos os outros ângulos serão nulos também, uma vez que o VANT, no seu

estado estacionário, deva permanecer estático.

Aplicando a transformada de Laplace na equação 24 acima e arrumando a mesma

na forma de uma função de transferência, obtém-se a seguinte equação que relaciona

o ângulo de roll (θ) com a posição linear X do quadrirotor expressa no referencial

Terra, como mostra a equação 2.25:

X(s)

θ(s)=

g

s2(2.25)

Realizando as mesmas operações para as outras equações diferenciais da Equação

2.21, encontra-se as outras funções de transferência:

θ(s)

τpitch(s)=

1

IY · s2(2.26)

Y (s)

φ(s)=−gs2

(2.27)

φ(s)

τroll(s)=

1

IX · s2(2.28)

X(s)

θ(s)=

1

m · s2(2.29)

22

ψ(s)

ˆMyaw(s)=

1

IZ · s2(2.30)

23

Capítulo 3

Simulação

Como neste trabalho não será abrangido a construção e controle de um quadrirrotor

real, será usado um simulador que irá validar a modelagem de�nida no capítulo

anterior e testar técnicas de controle que serão de�nidas no capítulo seguinte.

A simulação abrangida neste trabalho não incluirá a resistência do ar nem a

modelagem de motores e sensores, sendo assim limitada a uma abordagem mais

didática do tema.

Neste capítulo será o usado o programa Matlab/Simulink R© para realizar a

simulação, onde inicialmente serão colocados os valores do estado estacionário do

quadrirrotor e suas variáveis. Então serão feitas perturbações em suas entradas para

testar o comportamento do mesmo.

3.1 Valores Iniciais e Estado Estacionário

Como não há um quadrirrotor real para se basear ao construir a simulação, este tra-

balho se baseará nas características do VANT desenvolvido pelo trabalho de (DO-

MINGUES, 2009). o qual possui as seguintes variáveis são de�nidas:

• Massa do quadrirrotor = 0,82 [kg];

• Largura do braço do quadrirrotor = 0,29 [m];

• Constante velocidade−empuxo dos motores = 1, 046× 10−5 [kg.m/rad2];

• Constante velocidade−momento dos motores = 3, 8× 10−7 [kg.m2/rad2];

24

• Gravidade = 9,81 [m/s2];

• Momento de inércia X = 0,0081 [kg.m2];

• Momento de inércia Y = 0,0081 [kg.m2];

• Momento de inércia Z = 0,0162 [kg.m2];

A simulação ocorrerá em torno do estado estacionário do quadrirrotor, uma

vez que foi o valor escolhido para linearização das equações diferenciais. O estado

estacionário será de�nido nos valores:

• X = 0 [m];

• Y = 0 [m];

• Z = 0 [m];

• ψ = 0 [rad]

A partir da massa do quadrirrotor, pode ser calculado o peso �p� do mesmo e

com isso pode ser conhecida a força necessária para que o mesmo possa planar no ar.

Dividindo o peso por quatro, para dividir a força necessária pelos quatro motores,

encontramos a força do estado estacionário dos motores e então, sua velocidade

angular no estado estacionário:

p = m.g = 0, 82 ∗ 9, 81 = 8, 0442 N (3.1)

W =

√p

4∗ 1

KV

= 371, 1376 rad/s (3.2)

Onde:

• W é a velocidade angular dos motores no estado estacionário.

25

3.2 Testes

Para testar a simulação feita anteriormente, serão aplicados distúrbios nas entradas

e será observada a dinâmica do sistema, veri�cando se as suas atitudes e a posição

�nal se comporta como esperado.

Analisando as funções de transferências calculadas no capítulo anterior, é ob-

servado que o processo é instável, uma vez que as funções de transferência são

integrativas. Sendo assim, uma pequena variação em uma entrada já é previsto de

provocar grandes variações no sistema sem que este chegue em um novo estado es-

tacionário. Por este motivo, serão feitos testes de pulsos nas entradas ao invés dos

testes aplicando uma variação degrau. Cada pulso terá a seguinte con�guração:

• Amplitude de 2% do valor do estado estacionário;

• Duração de 1 tempo de amostragem.

Inicialmente será aplicado um pulso no instante de simulação t = 5s na velocidade

angular do propulsor 3 e avaliado as posições e orientação até o instante t = 10s.

(a) Posições (b) Atitudes

Figura 3.1: Respota do VANT ao ser aplicado o pulso no propulsor 3.

Como visto na �gura 3.1, qualquer perturbação no estado estacionário das ve-

locidades angulares do quadrirrotor irá gerar uma força instantânea que causaria

aceleração no sistema e, como neste trabalho não é considerado a resistência do ar,

o quadrirrotor iria continuar se movimentando e/ou rotacionando com velocidade

constante até que uma força contrária seja aplicada ou, em teoria, até que o quadrir-

rotor colidisse com o chão, o que não será levado em consideração nas simulações.

26

Apesar de se obter um sistema com quatro entradas (as velocidades angulares

dos quatro motores) e quatro variáveis a serem controladas (as posições X, Y e Z do

quadrirrotor e sua orientação), cada entrada possui forte interferência em todas as

saídas, o que faz com que o pareamento direto entre cada velocidade angular de um

motor com uma variável de controle seja problemática, gerando muita interferência.

A partir disso, é proposto uma tentativa de desacoplamento entre as entradas, para

que se obtenham menos interação entre as mesmas e as saídas.

Sabe-se que as movimentações do VANT são realizadas através de variações nos

estados estacionários das velocidades angulares dos motores. Um novo conjunto

de entradas [Uroll Upitch Uyaw Uh] baseadas no estado estacionário das velocidades

angulares dos motores são elaboradas para seja possível um pareamento mais efe-

tivo entre as variáveis manipuladas e controladas. A relação entre as velocidades

angulares o novo conjunto de entradas é exibido abaixo:

W1 = W · Uh · Uyaw · (2− Upitch) (3.3)

W2 = W · Uh · (2− Uyaw) · (2− Uroll) (3.4)

W3 = W · Uh · Uyaw · Upitch (3.5)

W4 = W · Uh · (2− Uyaw) · Uroll (3.6)

Onde:

• Wi é a velocidade angular do propulsor �i�.

Para esta abordagem, considera-se que a velocidade máxima angular de cada

propulsor seja o dobro do seu estado estacionário e que os valores de tais entradas

para que não gerem mudanças no sistema, sejam 1. Para testar o novo sistema, após

incluir as novas entradas de�nidas anteriormente, é aplicado o mesmo teste de pulso

anterior na entrada Upitch, porém com a amplitude do pulso reduzida para a metade,

uma vez que esta entrada irá afetar as velocidades angulares dos propulsores 1 e 3

27

ao mesmo tempo, tendo então uma ação dobrada. Seus resultados são exibidos na

�gura 3.2:

(a) Posições (b) Atitudes

Figura 3.2: Resposta do VANT ao ser aplicado o pulso na nova entrada Upitch.

Como visto na imagem 3.2, a variação em Upitch não apresentou grande in�uência

na orientação do quadrirrotor e, consequentemente, não gerou mudanças signi�cati-

vas na posição Y.

Ainda assim, como pode ser observado na �gura 3.2, a altura do quadrirrotor

ainda assim sofreu variações. Mesmo com este resultado, a nova proposta de entradas

será utilizada e os efeitos das atitudes pitch e roll do quadrirrotor serão considerados

como distúrbios a serem corrigidos pela malha de controle da altura.

Com estas novas entradas é possível então controlar cada variável de controle

com uma variável manipulada:

• A atitude pitch será controlada variando Upitch;

• A atitude roll será controlada variando Uroll;

• A orientação será controlada variando Uyaw;

• A altura será controlada variando Uh.

Com o novo pareamento evidenciado acima, será realizado no capítulo seguinte a

construção das malhas de controle que irão estabilizar o sistema em uma determinada

posição e orientação de referência.

28

Capítulo 4

Controle

O objetivo de controle deste trabalho para o quadrirrotor é estabilizar o mesmo

em uma determinada posição e orientação. Como já dito anteriormente e compro-

vado pelos testes de pulsos no capítulo anterior, o sistema é instável, e assim não

alcançará sozinho um novo estado estacionário se houver distúrbios em qualquer de

suas entradas. Por este motivo, é necessária uma realimentação do sistema através

de uma malha de controle e assim, o quadrirrotor possa se mover para suas novas

coordenadas e orientação e se estabilizar.

Neste capítulo, será discursado sobre controladores e estratégias de controle para

serem aplicados na simulação de controle. Posteriormente será aplicado um controle

linear em cascata para que seja possível realizar o controle de posição em conjunto

com o controle das atitudes.

Em seguida, será implementado o controle MPC, com o mesmo objetivo de con-

trolar as atitudes e posição do VANT, porém utilizando de uma técnica mais robusta

e mais moderna, para gerar um controle mais e�ciente.

Por último, as duas estratégias são comparadas e os resultados quanti�cados e

analisados.

4.1 Controle Clássico - PID

Apesar de o sistema do quadrirrotor ser um caso MIMO (Multiple Inputs, Multiple

Outputs), ou seja, possui várias entradas e várias saídas, a estratégia de controle

clássica não consegue ver o sistema como um todo. Para conseguir controlar com

29

esta estratégia, é necessário que se pareie entradas com saídas, criando malhas de

controle independentes, onde cada qual trabalha para controlar sua variável de con-

trole encarando os efeitos de outras entradas no sistema como possíveis distúrbios.

Sendo assim, propõe-se um pareamento entre PVs (Process Variables, ou variáveis

de processo em português) e MVs (Manipulated Variables, ou variáveis manipuladas

em português) e construir malhas de controle separadas que sejam bem sucedidas

em estabilizar o veículo.

No capítulo anterior foi de�nido um pareamento utilizando o novo sistema de

entradas proposto, porém, através do mesmo controla-se as atitudes do quadrirrotor

e sua altura, faltando ainda o controle da posição X e Y . Sabe-se que a variação

na atitude pitch gera uma mudança na posição X e a variação na atitude roll uma

mudança na posição Y , sendo assim, é possível o controle das posições variando estas

atitudes. Pensando nisso, é proposto um controle em cascata, onde o controlador da

posição X irá gerar o Setpoint para a atitude pitch e o controlador da posição Y irá

gerar o Setpoint da atitude roll. Um diagrama de blocos representativo é mostrado

na �gura 4.1, exempli�cando a malha de controle da posição Y.

Figura 4.1: Diagrama de blocos representativo para a malha de controle de posiçãoY do quadrirrotor.

Fonte: Próprio autor.

Para o controle da altura e da orientação do VANT, uma realimentação direta

com sua variável manipulada já é su�ciente, pois estes não causam grandes desequilí-

brios nas outras PVs. Como exemplo, é ilustrado o diagrama de blocos representando

a malha de controle da posição Z na �gura 4.2.

30

Figura 4.2: Diagrama de blocos representativo para a malha de controle da posiçãoZ do quadrirrotor.

Fonte: Próprio autor.

Para se implementar o controle, foram utilizados controladores PID (Proporcio-

nal, Integrativo e Derivativo) ideais, de�nidos pela equação 4.1.

OC(t) = P · e(t) +1

I

∫ t

0

e(t) +D · de(t)dt

(4.1)

onde:

• OC(t) é a saída do controlador em função do tempo;

• P é a constante proporcional;

• I é a constante integrativa;

• D é a constante derivativa;

• e(t) é o erro em função do tempo.

4.1.1 Sintonia

A sintonia de controladores é uma parte de grande importância em qualquer tipo

de controle, simulado ou não, pois este exerce uma forte in�uência na resposta do

sistema. A depender de como seja executada, pode gerar respostas características

ou, se feita errada, gerar a instabilidade do sistema.

Analisando a estrutura das funções de transferências obtidas, percebe-se que são

integradoras, sem polos e sem tempo morto. Diante disso, nem toda técnica de

sintonia pode ser aplicada a este sistema, sendo que muitas delas são elaboradas

para processos representativos por funções de transferência que contém apenas 1 ou

2 polos e tempo morto.

31

Diante das características explanadas acima e do objetivo primário deste traba-

lho, de comparar o controle clássico com o controle MPC, será utilizada a sintonia

ótima, uma vez que esta é �exível quanto à estrutura da função de transferência do

sistema e que, desta forma, se faz uma comparação entre estratégias de controle que

foram baseadas em problemas de otimização.

A sintonia ótima proposta tem como objetivo minimizar o erro entre o valor da

variável de controle desejado e o seu valor medido. Esta função objetivo (α) pode

ser descrita como:

min(P,I,D) ( α(e(t)) ) (4.2)

Conforme (FONTES et al., 2014), a função objetivo (α) geralmente é descrita

por integrais de erro, cujas principais são:

ISE(t) =

∫ t

0

e(t)2dt (4.3)

ITSE(t) =

∫ t

0

t · e(t)2dt (4.4)

IAE(t) =

∫ t

0

|e(t)| dt (4.5)

ITAE(t) =

∫ t

0

t · |e(t)| dt (4.6)

O critério ISE utiliza do erro quadrático como avaliação de desempenho de uma

malha de controle. Este critério, por ser quadrático, dá mais ênfase aos erros grandes

e pouca ênfase aos erros pequenos. Como a natureza do quadrirrotor é muito instá-

vel, sendo naturalmente bem oscilatório, este critério de otimização será escolhido,

forçando o controlador a se aproximar mais rápido do Setpoint e não dar muita im-

portância aos pequenos desvios do estado estacionário. Além disso, o controle MPC

que será abordado na próxima seção, utiliza de um critério quadrático para regular

o sistema, assim então é feita uma comparação entre rotinas de otimização baseadas

no erro quadrático na estratégia clássica e moderna.

Inicialmente as malhas de controle internas (que controlam φ e θ) foram sin-

tonizadas para que gerassem respostas rápidas, uma vez que as malhas escravas

necessitam de respostas mais rápidas que as malhas mestres. Então foi aplicado

32

a sintonia ótima com o critério de otimização ISE para encontrar os valores dos

controladores das variáveis controladas principais.

Após diversos testes, a sintonia encontrada é mostrada nas tabelas 4.2 e 4.1.

Tabela 4.1: Parâmetros dos controladores PID das malhas de controle escravas.

Variável controlada Ganho proporcional constante integrativa constante derivativaφ 1 inf 1θ 1 inf 1

Tabela 4.2: Parâmetros dos controladores PID das variáveis controladas principais.

Variável controlada Ganho proporcional constante integrativa constante derivativaX 0,5 700 5Y 0,5 700 5Z 0.1 inf 0.8ψ 0,25 inf 1,5

4.1.2 Testes

Para testar as malhas de controle, inicialmente são aplicadas variações nos Setpoints

de cada variável controlada separadamente, testando o sistema em um caso servo.

Como a mudança em uma entrada vai gerar variações em todas as saídas, a variação

do valor desejado em uma PV também irá servir como um teste do tipo regulatório

para as outras malhas de controle. A partir do estado estacionário, será aplicado

uma varição inicialmente no Setpoint de X no tempo t = 2s e então, nos tempos

t = 50s, t = 100s, t = 150s foram variados os Setpoints das variáveis Y , Z e ψ

respectivamente. Os resultados encontram-se na �gura 4.3.

Observa-se que esta estratégia de controle conseguiu variar o sistema de modo

que atingisse seus novos objetivos. é possível notar que tanto a variável Z quanto a

Psi tiveram grandes oscilações, tendo uma certa di�culdade em controlar a variável.

Para um teste mais rigoroso do sistema, aplica-se uma mudança no valor dese-

jado de todas as variáveis simultaneamente, forçando as malhas de controle à variar

as entradas para que sua PV atinga seu novo valor ao mesmo tempo que precisa

33

(a) Posições (b) Atitudes

Figura 4.3: Resposta do quadrirrotor ao ser aplicado variações nos valores desejadosdas PVs separadamente.

compensar os distúrbios gerados pelas outras malhas. Para este tipo de teste, inici-

almente aplicam-se as variações:

Teste 1: No tempo t = 2s os valores desejados das posições e orientação serão

mudadas para:

• X desejado = 50;

• Y desejado = -30;

• Z desejado = 50;

• ψ desejado = 0.3 rad;

(a) Posições (b) Atitudes

Figura 4.4: Resposta do controle PID ao ser aplicado o Teste 1.

A �gura 4.4 mostra que mesmo com um teste variando todos os setpoints si-

multaneamente, o PID conseguiu controlar a posição e orientação do quadrirrotor.

34

A orientação entretanto sofreu grandes oscilações, somente se estabilizando em um

tempo além do tempo de simulação. Para não limitar as comparações em somente

um teste, um novo é realizado com mesma premissa do anterior, variações simultâ-

neas nos valores desejados de posição e orientação. Os parâmetros do novo teste é

mostrado a seguir e seus resultados na �gura 4.5:

Teste 2: No tempo t = 2s os valores desejados das posições e orientação serão

mudadas para:

• X desejado = -40;

• Y desejado = 50;

• Z desejado = 30;

• ψ desejado = 0.5 rad;

(a) Posições (b) Atitudes

Figura 4.5: Resposta do controle PID ao ser aplicado o Teste 2.

Como no teste anterior, novamente a técnica clássica conseguiu controlar o sis-

tema, estabilizando o VANT em uma nova posição e orientação sem se desestabilizar.

4.2 Controle Preditivo - MPC

Conforme Silva (2014), as implementações modernas de controladores preditivos

lineares se baseiam no seguinte problema de otimização:

min∆u

Vk =

p∑j=0

[eTk+j]Q[ek+j] +

m−1∑j=0

[∆uTk+j]R[∆uk+j] (4.7)

35

sujeito a:

j ≥ 0

umin ≤ uk+j ≤ umin

|∆uk+j| ≤∆umax...

(4.8)

Onde:

• k é o instante atual do sistema controlado;

• p é o número de instantes de tempo no futuro que o controlador deve analisar

a resposta do sistema. Ele é denominado horizonte de predição do controlador;

• m é o número de instantes de tempo no futuro que o controlador deve realizar

ações de controle sobre o sistema. Ele é denominado horizonte de controle do

controlador. Para p ≤ k + j < m, ∆uk+j = 0 ;

• ∆uk+j é a diferença entre o vetor de variáveis manipuladas no instante k+j e

no instante k+j-1;

• ek+j é a diferença entre o vetor de controladas do sistema no instante k+j e os

set-points do controlador;

• Q é denominada matriz de ponderação das variáveis controladas. A matriz

determina a importância relativa das variáveis controladas para o controlador;

• R é denominada matriz de ponderação das variáveis manipuladas. A matriz

determina a importância relativa das variáveis manipuladas para o controlador.

O controle MPC é uma técnica moderna de controle que é caracterizada pela

sua capacidade de controlar sistemas com restrições. Diferentemente do controle

clássico, este consegue perceber o sistema como um todo, trabalhado em um caso

MIMO e desta forma não há a necessidade de malhas de controle diferentes, somente

uma malha que analisa todas as PVs comparando-as com seus respectivos Setpoints

e então promovendo as mudanças nas MVs já estando ciente dos distúrbios causados

entre qualquer entrada em todas as saídas. Por este fato, através deste técnica de

controle é possível que o ponto de operação de um processo seja mais próximo dos

limites do mesmo.

36

Como esta técnica é capaz de trabalhar com restrições, é possível para o quadri-

rotor controlar a sua posição e orientação ao mesmo tempo que restringe as atitudes

pitch e roll em uma faixa de operação, impedindo que o VANT angule muito e se

desestabilize.

4.2.1 Parâmetros

Assim como o controle clássico, o controle MPC possui parâmetros que devem ser

sintonizados para que o desempenho do mesmo tenha bons resultados. Para en-

contrar estes valores, foram realizadas análises de sensibilidades em cada parâmetro

individualmente. Para tal, a partir de uma estimativa inicial, foram variados os

valores para mais e para menos, veri�cando como o parâmetro afeta tanto a varição

da PV quanto das MVs e o custo computacional e então pequenos ajustes do valor

foram realizados até ser encontrado um valor satisfatório. Na tabela 4.3 são exibi-

dos os valores iniciais, antes da análise de sensibilidade, e os valores após ser feita a

análise.

Tabela 4.3: Comparação dos parâmetros do MPC.

Parâmetros Antes DepoisHorizonte de Predição 100 200Horizonte de Controle 8 2Matriz de importância [1 1 1 1 1 1] [1 1 1 1 0.1 0.1]

Matriz de supressão de movimentos [5 5 5 5] [1 1 1 1]

Para uma análise quantitativa dos resultados, aplica-se o mesmo teste na simu-

lação, antes e depois de ser propriamente sintonizada. Os grá�cos e análises de

desempenho são mostrados nas �guras 4.6, 4.7 e 4.8 e tabela 4.4. Como análise de

desempenho é utilizado a somatória dos ISE das quatro PVs (ISE geral), o maior

tempo de estabilização entre as variáveis controladas (Tempo est. maior) e o maior

overshoot gerado pelas mesmas (Overshoot maior).

37

(a) Antes da sintonia (b) Depois da sintonia

Figura 4.6: Comparação das posições do VANT antes e depois de ser con�gurado.

(a) Antes da sintonia (b) Depois da sintonia

Figura 4.7: Comparação das atitudes do VANT antes e depois de ser con�gurado.

(a) Antes da sintonia (b) Depois da sintonia

Figura 4.8: Comparação das velocidades angulares do VANT antes e depois de sercon�gurado.

Analisando os grá�cos, percebe-se que após os ajuste dos parâmetros o sistema

respondeu de maneira muito mais suave, evitando grandes oscilações nas suas ati-

tudes e assim deixando o sistema mais estável como um todo e gerando menos

38

Tabela 4.4: Comparação do desempenho do controlador MPC antes e depois daanálise de sensibilidade.

Critérios Antes DepoisISE Geral 2,8008e+04 3,0894e+04

Tempo est. maior 72,5 s 66,6 sOvershoot maior 21,8 % 7,64 %

interferência para as outras variáveis controladas. Por outro lado, olhando a tabela

4.4, �ca evidente o menor erro quadrático ISE do quadrirotor antes da sintonia,

mesmo apresentando maiores overshoots e tempo de estabilização. Apesar deste

resultado, será escolhido os novos parâmetros para o MPC, pois, como dito anterio-

rimente, estes deixam o sistema mais suave e menos oscilatório, sendo assim possível

um controle mais fácil e menos oscilatório.

4.2.2 Testes

Analogamente ao feito com o controle clássico, serão aplicados primeiramente os

testes variando os Setpoints de cada variável individualmente. Depois, testes de

mesmas con�gurações do aplicado ao controle clássico são aplicados neste controle

para uma comparação de resultados. Os testes aplicados variando cada valor indi-

vidualmente é mostrado na �gura 4.9.

(a) Posições (b) Atitudes

Figura 4.9: Resposta do quadrirotor a variações nos setpoits individualmente.

Como visto nos testes das variações individuais, o MPC conseguiu rastrear os va-

lores desejados para as variáveis controladas, porém, respondendo mais rapidamente

39

e gerando menos sobressinal.

Como testes �nais para a análise quantitativa entre técnicas de controle, são

aplicadas variações nos valores desejados de todas as variáveis de controle simulta-

neamente, com os mesmos valores aplicados no teste do controle clássico. A �gura

4.10 mostra os resultados do teste 1 e a �guras 4.11 os resultados do teste 2.

Teste 1: No tempo t = 2s os valores desejados das posições e orientação serão

mudadas para:

• X desejado = 50;

• Y desejado = -30;

• Z desejado = 50;

• ψ desejado = 0.3 rad;

(a) Posições (b) Atitudes

Figura 4.10: Resposta do controle MPC ao ser aplicado o Teste 1.

40

Teste 2: No tempo t = 2s os valores desejados das posições e orientação serão

mudadas para:

• SP X -> -40

• SP Y -> 50

• SP Z -> 30

• SP Psi -> 0.5

(a) Posições (b) Atitudes

Figura 4.11: Resposta do controle MPC ao ser aplicado o Teste 2.

41

4.3 Comparação

Com os testes �nalizados em ambas as estratégias, é comparado o desempenho dos

controladores em cada teste. Como critérios de avaliação, são utilizados inicialmente

os mesmos parâmetros da comparação de desempenhos do controlador MPC antes e

depois da análise de sensibilidade da tabela 4.4. Além destes critérios será adicionado

uma avaliação relativa às variações de suas variáveis manipuladas em relação ao seu

estado estacionário. Como o comportamento esperado de um quadrirotor seja que ele

rapidamente alcance sua nova posição e orientação se estabilizando rapidamente, o

critério utilizado para avaliação das variáveis manipuladas será o ITAE, uma vez que

ele dará uma importância menor a grandes variações iniciais, as quais são necessárias

para que o veículo alcance suas novas coordenadas, ao mesmo tempo que considera o

tempo, dando importância para variações pequenas em grandes períodos de tempo.

Na equação 4.9 é mostrada a equação relativa a tal critério.

ITAEMV (t) =

∫ t

0

t · |eMV (t)| dt (4.9)

onde:

• ITAMV (t) é o erro quadrático multiplicado pelo tempo da MV.

• eMV (t) é o erro da MV, de�nido como o valor absoluto da subtração do valor

atual da MV com seu valor no estado estacionário.

Na tabela 4.5 é comparado o primeiro teste de mudança geral dos setpoints. Na

tabela 4.6 por sua vez é realizada a comparação do segundo teste de mudança geral

dos setpoints.

Tabela 4.5: Comparação do desempenho das estratégias de controle do primeiroteste de mudanças simultâneas nos Setpoints.

Critérios PID MPCISE geral 8,3878e+04 3,4130e+04

ITAE MV geral 2,9658e+04 1,2164e+04Tempo est. maior >150 s 66,50 sOvershoot maior 41,18 % 7,77 %

42

Tabela 4.6: Comparação do desempenho das estratégias de controle do segundo testede mudanças simultâneas nos Setpoints.

Critérios PID MPCISE geral 5,2948e+04 3,6618e+04

ITAE MV geral 1,3439e+04 8,8735e+03Tempo est. maior >150 s 69,1 sOvershoot maior 32,76 % 6,63 %

Observando os resultados das tabelas 4.5 e 4.6, veri�ca-se o que já era previsto

para este trabalho, a abordagem preditiva conseguiu gerar um controle melhor e

mais estável do que a abordagem clássica.

Duas grandes distinções entre as técnicas são fortemente responsáveis pela dife-

rença dos resultados na comparação. Primeiramente, como já evidenciado anterior-

mente, a estratégia MPC analisa o sistema como um todo, evitando que as tentativas

de controlar uma variável gere desvios em outra variável, como ocorre no controle

PID, mesmo considerando as novas entradas.

Além disso, o MPC é um controle preditivo, ele tenta "prever"as respostas do

sistema �p� passos a frente, podendo tentar compensar desvios que ainda vão ocorrer,

gerando menores overshoots e oscilações, como foi comprovado nos testes.

43

Capítulo 5

Conclusões e Trabalhos Futuros

5.1 Conclusões

Este trabalho teve como foco principal a comparação entre as estratégias de controle

PID e o controle MPC para o controle de posição e orientação de um VANT do tipo

quadrirrotor.

Após o capítulo introdutório foi realizada uma modelagem matemática de um

VANT do tipo quadrirrotor, usando a abordagem de Newton-Euler para corpos

rígidos. Ao �nal da modelagem, foram obtidas as equações diferenciais para os 12

estados do sistema e as funções de transferência do sistema.

No capítulo posterior foi testada a simulação que é usada como testes das estra-

tégias de controle. Neste mesmo capítulo, após a análise dos efeitos de pequenas

variaçães nas entradas, foi proposto um novo conjunto de entradas como tentativa

de minimizar a os efeitos que uma MV teria nas variáves de controle além das quais

está sendo usada para controlar.

Finalmente, foi discutido e implementado as estratégia de controle no sistema.

Primeiramente utilizando do controle PID através de um controle cascata para que

ao mesmo tempo que o quadrirrotor atingisse sua posição e orientação desejada, fosse

controlado também as angulações que o mesmo teria, evitando que gerasse atitudes

muito acentuadas e instabilizasse o sistema. Para a sintonia dos parâmetros dos

controladores, foi utilizado rotinas de otimização que geraram valores que promove-

riam um menor erro entre o valor real e o valor desejado. Esta estratégia conseguiu

fazer com que o VANT virtual se deslocasse no espaço obtendo novas posições ao

44

mesmo tempo que alterava sua orientação, se mantendo estável no processo.

Posteriormente ao controle clássico, a estratégia MPC foi aplicada, tratando o

problema como algo integrado e não com malhas de controle separadas como no caso

anterior. Aplicando restrições para suas angulações máximas de pitch e roll esta

estratégia também conseguiu controlar o quadrirrotor e�cientemente, de maneira

estável.

Analisando as duas estratégias implementadas, �cou evidenciado o melhor de-

sempenho do controle preditivo. Apesar de em ambas as estratégias terem sido

utilizados problemas de otimização para promover o controle do sistema, como dito

anteriormente, o MPC considera o sistema como um todo, além de utilizar de rotinas

que tentam predizer respostas futuras do sistema para rapidamente compensarem

quaisquer efeitos que desviem do valor desejado, gerando menores oscilações e, con-

sequentemente, melhores resultados.

5.2 Trabalhos Futuros

Apesar dos resultados deste trabalho terem sido satisfatórios, a abordagem do

mesmo foi estritamente virtual, sendo assim, muitas variáveis não são levadas em

conta. Considerado isso, um primeiro passo para a continuação deste trabalho seria

a construção e implementação do controle em um VANT real.

Como o controle MPC é uma técnica que requer um bom esforço computacional,

a depender do horizonte de predição utilizado, o tempo que levaria para ser proces-

sadas as informações para tomadas de decisão podem ser muito elevadas para um

sistema real. Desta forma, um MPC explícito pode ser implementado, reduzindo a

necessidade de processamento de informações em tempo real.

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