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  • Sociedade Brasileira de

    Educao Matemtica

    Educao Matemtica na Contemporaneidade: desafios e possibilidades So Paulo SP, 13 a 16 de julho de 2016

    MINICURSO

    1 XII Encontro Nacional de Educao Matemtica ISSN 2178-034X

    MODELAGEM MATEMTICA E O ALGORITMO SIMPLEX

    Grazielle Santiago de Souza UFRRJ

    grazi.santiago23@outlook.com

    Arthur da Silva Moraes UFRRJ

    arthurmoraees@hotmail.com Resumo:

    Este minicurso tem como objetivo mostrar a relao da Modelagem Matemtica com o tema

    de pesquisa do grupo PET Matemtica e Meio Ambiente da UFRRJ. O trabalho apresenta

    resultados obtidos atravs de 3 experimentos feitos no grupo de Ensino, Pesquisa e Extenso.

    Os experimentos so feitos em um processo de reutilizao de gua, onde se aborda tambm o

    processo de filtragem caseira. Atravs dos dados que foram obtidos gua de entrada, sada e

    gua desperdiada utilizou-se um recurso da programao linear, o Algoritmo Simplex, para

    podermos ter definido um valor ideal de gua (em litros) que pode ser filtrado de forma que

    seu desperdcio seja mnimo, ou seja, no contexto da modelagem matemtica, procuramos

    resultados prescritivos.

    Em contexto com a modelagem dentro da sala de aula, interdisciplinarmente une-se a

    matemtica e o meio ambiente, onde os alunos podem de forma cognitivista aprender o como,

    o porqu de reutilizar a gua, fazendo com que vejam a matemtica de forma utilitria no seu

    cotidiano.

    Palavras-chave: Modelagem matemtica; Simplex; Reuso de gua; Filtragem; educao

    ambiental;

    Objetivos do Minicurso:

    1) Evidenciar os aspectos cognitivos no processo de construo de modelos matemticos

    para alunos da educao bsica;

    2) Abordar exemplos referentes ao projeto, de acordo com o tema do minicurso;

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    Justificativa:

    A modelagem matemtica tem diferentes concepes e um dos assuntos mais abordados na

    atualidade da educao matemtica. Dessa forma, poder pautar temas interdisciplinares e que

    despertam

    a curiosidade do corpo discente de suma importncia para que seja feita um aproveitamento

    de trabalhos e projetos acadmicos para o dia-a-dia da sala de aula. Com esse minicurso, o

    professor da educao bsica poder vivenciar a prtica da modelagem (programao linear) e

    posteriormente, desenvolver em sala de aula com os alunos.

    Metodologia:

    1) O conceito de modelagem e sua apresentao atravs do contexto com a Educao

    Matemtica.

    2) Conceituao de Modelagem Matemtica: O que , modelagem e a relao com a

    programao linear, programao linear e o algoritmo simplex.

    3) O trabalho desenvolvido pelo PET Matemtica e Meio Ambiente e sua correlao com o

    algoritmo simplex.

    4) Constituio de grupos com os inscritos no minicurso.

    5) Desenvolvimento de atividades com programao linear do algoritmo simplex.

    6) Discusses acerca do minicurso: a possibilidade da construo do pensamento matemtico

    e as possibilidades de trabalho na Educao Bsica, questes relevantes ao trabalho

    desenvolvido.

    1 Modelagem Matemtica: Conceito e aplicao

    Entende-se a modelagem matemtica como sendo um conjunto de etapas que tem como

    objetivo final fornecer uma descrio matemtica de um dado fenmeno do mundo real. Tal

    descrio, que geralmente feita por meio de equaes, chamada de modelo matemtico.

    Segundo Goldbarg Um modelo um veculo para uma viso bem estruturada da realidade.

    Um modelo pode tambm ser visto, com os devidos cuidados, como uma representao

    substitutiva da realidade..

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    Isso significa que, quando queremos e pensamos em um modelo (matemtico ou no),

    queremos algo que seja prximo , no igual realidade, algo que seja similar de forma que

    as concluses tiradas atravs da anlise possam ser estendidas realidade.

    Em consequncia, para a formalizao desse modelo indispensvel definir:

    . A estrutura relacional do sistema representado.

    . O comportamento funcional de cada subsistema ou componente atmico.

    . Os fluxos de inter-relacionamento.

    Pode-se abordar a classificao dos modelos pelas propriedades que os mesmos so capazes

    de representar. Sob esse aspecto, Goldbarg cita Ackoff (1971), destacam-se os seguintes

    grupos:

    Modelos icnicos: as caractersticas relevantes dos objetos reais so representadas como se

    parecem, mas normalmente com mudana de escala; so, portanto, imagens, da o termo

    icnico. Um modelo de um carro de Frmula 1, em escala 1:30, colocado num tnel de vento,

    o exemplo da modelagem qual nos referimos.

    Modelos analgicos: usam um conjunto de propriedades para representar outro conjunto de

    propriedade. O desenho das linhas do metr ou ento o diagrama unifilar de uma instalao

    hidrulica so exemplos desse tipo de modelo

    Modelos simblicos: Os modelos simblicos usam letras, nmeros e outros smbolos para

    representar as variveis e suas relaes. Em grande parte dos casos, tomam a forma de

    relaes lgicas ou matemticas (equaes). De uma forma geral, todos os modelos e, em

    especial, os modelos simblicos so desenvolvidos de uma forma interativa por

    aproximaes.

    Para o minicurso, o modelo utilizado ser o simblico, onde trabalharemos com variveis e as

    relaes existentes nelas.

    1.1 Implicaes da Modelagem para o Ensino e a Aprendizagem

    Algumas implicaes dos trabalhos j desenvolvidos com Modelagem podem ser

    enumeradas, so elas:

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    a) maior interesse do(s) Grupo(s);

    b) maior interao no processo de ensino e aprendizagem;

    c) demonstrao de uma forma diferenciada de conceber a educao, o ensino e a

    aprendizagem, o que leva adoo de uma nova postura pelo professor;

    d) a ruptura com o currculo vigente;

    e) as Diretrizes Curriculares e a Modelagem Matemtica;

    f) a indissociabilidade entre Ensino e Pesquisa na Modelagem Matemtica;

    g) a Modelagem Matemtica e a contextualizao.

    2 Programao Linear

    2.1 Conceito e aplicao

    A programao linear, no campo da programao matemtica, uma rea da pesquisa

    operacional com vasta aplicao em apoio deciso. O termo programao, tanto linear

    quanto matemtica, no tem a ver diretamente com programao de computadores, ou

    linguagem de programao. Este termo tem origem em suas aplicaes, originalmente

    desenvolvido para resolver problemas industriais. Assim, o termo programao da

    programao linear est relacionado ao planejamento de recursos escassos visando atender as

    condies operacionais. Estas, por sua vez, so representadas por equaes e funes lineares.

    A aplicao da programao linear em apoio deciso ocorre na condio que se decide

    para atingir um objetivo. Este, por sua vez, resultante da alocao tima dos recursos. Por

    isso caracterizamos a programao linear como uma tcnica de otimizao.

    2.2 Algoritmo Simplex

    Hillier (2006) define o simplex:

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    (...) o mtodo simplex, um procedimento para solucionar problemas de

    programao linear. Desenvolvido por George Dantzig em 1947, provou ser um

    mtodo extremamente eficiente que usado rotineiramente para solucionar

    problemas imensos nos computadores de hoje. (HILLIER, 2006, p. 101).

    Sabendo que o mtodo simplex um procedimento para soluo de problemas de programao linear (P.L.), sabemos que ele utiliza de mtodos como equaes de primeiro grau para buscar uma soluo e tambm na lgebra sistema de variveis x1, x2, ..., xn, de acordo com a quantidade de variveis de informao forem dadas para encontrar a resposta do problema.

    3 O trabalho do grupo PET Matemtica e Meio Ambiente

    3.1 Reutilizao da gua e Filtragem de gua:

    O grupo PET Matemtica e Meio Ambiente da UFRRJ tem como um dos projetos principais a

    reutilizao da gua e o processo de filtragem que feito com essa gua que vai ser

    reutilizada atravs de um filtro caseiro, que pode ser montado facilmente por qualquer pessoa,

    utilizando recursos tecnolgicos de pouco custo e que so fceis de encontrar em qualquer

    lugar.

    O texto abaixo, do Brasil Escola, define gua de reuso:

    A gua de reuso pode ser definida como a gua residuria que est dentro de padres

    estabelecidos para a sua reutilizao. Normalmente a gua residuria proveniente do banho,

    cozinha, processos de fabricao industrial e guas de infiltrao, sendo geralmente tratada

    em Estaes de Tratamento de Esgoto. Existem dois tipos principais de reuso: o indireto e o

    direto. O reuso indireto aquele em que a gua utilizada pelo homem e liberada novamente

    nos corpos hdricos sem ou com tratamento prvio. O reuso direto, por sua vez,

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