MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA METODOLOGIA ALTERNATIVA NO ENSINO

DA GEOMETRIA POR MEIO DAS EMBALAGENS

Flavio Roberto Kich ¹

Rogério Luis Rizzi ²

RESUMO: Esse artigo apresenta uma discussão sobre o uso da Modelagem

Matemática e da Resolução de Problemas como métodos de ensino nas aulas de

geometria plana e espacial, através do manuseio de embalagens, para estudantes

do segundo ano do Ensino Médio. Buscamos uma nova postura em sala de aula e

propusemos novas metodologias como possibilidades de abordagem dos conteúdos

de geometria por meio das embalagens, assumindo uma atitude de reflexão no

desenvolvimento de práticas pedagógicas mais eficientes para o ensino da

Matemática. As ações metodológicas utilizadas na realização deste trabalho criaram

um ambiente de participação, interpretação e análise na manipulação das

embalagens, gerando discussões reflexivas sobre o assunto. A metodologia

utilizada rompeu com a rotina da aula expositiva, numa tentativa de alterar o nível

de participação em sala de aula, levando o aluno a atuar de forma mais ativa,

deixando de ser apenas um expectador. O trabalho em grupo propôs maior

empenho e dedicação no cumprimento das tarefas, bem como um entrosamento

maior com os demais integrantes do grupo, fator que não é visto nas aulas

tradicionais, desenvolvendo no estudante uma atitude de investigação, superando a

desmotivação e o desinteresse, evidenciando um aumento no rendimento e

aprendizagem.

Palavras-chaves: Modelagem Matemática; Resolução de Problema; Ensino-

Aprendizagem de Geometria; Geometria Plana e Espacial.

ABSTRACT: Paper presents a discussion of the use of Mathematical Modeling and

Problem Solving as teaching methods in the classes of plane geometry and space,

through the handling of containers, for students of the second year of high school.

We seek a new approach in the classroom and proposed new methodologies such

__________

¹ Professor do Colégio Estadual João Zacco Paraná – Ensino Fundamental, Médio e Profissional,

Planalto/Pr. kich@seed.pr.gov.br

² Professor da Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Centro de Ciências Exatas e

Tecnológicas. Campus de Cascavel/Pr, rogeriorizzi@hotmail.com

2

as opportunities for the content of geometry by means of packaging, assuming an

attitude of reflection in the development of more effective pedagogical practices for

teaching mathematics. The shares used methodology in this work have created an

atmosphere of participation, interpretation and analysis in the handling of containers,

generating thoughtful discussions on the subject. The methodology broke the routine

of lecture, in an attempt to change the level of participation in the classroom, leading

students to act more active, no longer just a spectator. The working group proposed

greater commitment and dedication to fulfill their tasks, as well as a greater rapport

with the other members of the group, a factor that is not seen in traditional

classrooms, the student develops a research attitude, overcoming discouragement

and disinterest, showing an increase in yield and learning.

Keywords: Mathematical Modeling, Problem Solving, Teaching and Learning of

Geometry, Plane Geometry and Space.

1 Introdução

A Matemática ensinada na escola deve ser relevante à formação do cidadão,

estabelecer relações e propiciar a exploração de metodologias que desenvolvam no

educando a formação de certas capacidades intelectuais, utilizando seu pensamento

dedutivo, na resolução de problemas, em situação da vida cotidiana e atividades do

mundo do trabalho. As Diretrizes Curriculares Estaduais (DCE) de Matemática

(PARANÁ-DCE, 2008) reforçam esse entendimento quando expõem que:

A aprendizagem da Matemática consiste em criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significados às idéias matemáticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. Desse modo, supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorização ou listas de exercícios (PARANÁ-DCE, 2008, p. 45).

No ambiente escolar no qual aplicamos esta experiência, a aprendizagem

Matemática não está atingindo de forma adequada seu objetivo, entendemos que a

principal razão que dificulta esta aprendizagem é a forma tradicional do ensino, daí a

necessidade de estarmos discutindo alternativas metodológicas para o ensino da

Matemática.

3

Da mesma forma, o ensino da Geometria apresenta um quadro

extremamente desfavorável, destacando que parte deste quadro atribui-se ao

processo de formação acadêmica dos professores de Matemática e parte é advinda

da prática pedagógica do professor, dissociada da realidade.

Diante desta situação, buscamos opções metodológicas para o ensino da

Geometria, capazes de facilitar a construção do conhecimento, além de tornar este

ensino atrativo e estimulante para o aluno, utilizando embalagens como modelos

concretos e manipuláveis para o conhecimento geométrico.

Fundamentado nos encaminhamentos metodológicos das DCE - PARANÁ

(DCE de Matemática –SEED, 2008, p.63) “ Os conteúdos propostos devem ser

abordados por meio de tendências metodológicas da Educação Matemática que

fundamentam a prática docente”, apontamos a Modelagem Matemática e a

Resolução de Problemas como possibilidades de abordagem dos conteúdos

matemáticos em situações reais do cotidiano do aluno. “A Modelagem Matemática

tem como pressuposto a problematização de situações do cotidiano. Ao mesmo

tempo em que propõe a valorização do aluno no contexto social, procura levantar

problemas que sugerem questionamentos sobre situações de vida” (DCE de

Matemática – SEED,2008, p.64). A problematização provocada pela Modelagem

Matemática encontra soluções na estratégia de ensino da Resolução de Problemas,

construindo o conhecimento matemático através do elemento ativador que é o

problema. (ONUCHIC, 1999, p. 204). ONUCHIC ressalta que:

Na abordagem de Resolução de Problemas como uma metodologia de ensino, o aluno tanto aprende matemática resolvendo problemas como aprende matemática para resolver problemas. O ensino de resolução de problemas não é mais um processo isolado. Nessa metodologia o ensino é fruto de um processo mais amplo, um ensino que se faz por meio da resolução de problemas. Numa sala de aula onde o trabalho é feito com a abordagem de ensino de matemática através da resolução de problemas, busca-se usar tudo o que havia de bom nas reformas anteriores, repetição, compreensão, o uso da linguagem matemática da teoria dos conjuntos, resolver problemas e, às vezes até a forma de ensino tradicional (ONUCHIC, 1999, p. 210 – 211).

Enquanto a Modelagem Matemática converte problemas da realidade em

problemas matemáticos, a Resolução de Problemas desenvolve estratégias de

resolução e interpretação das soluções, propondo facilitar a construção do

conhecimento matemático, estimulando a compreensão de conceitos, privilegiando o

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estudo contextualizado de situações e fenômenos, visando a aprendizagem

matemática.

2 Fundamentação Metodológica

O modelo de Escola e Sociedade que temos hoje, não concebe mais a

Matemática apenas com a função tradicional de demonstrar teoremas, de resolver e

memorizar fórmulas e algoritmos repetitivos. Faz-se necessário superar esse tipo de

concepção.

A Escola deve proporcionar ao aluno a apropriação do conhecimento e que

“compreenda os conceitos e princípios matemáticos, raciocine claramente e

comunique ideias matemáticas, reconheça suas aplicações e aborde problemas

matemáticos com segurança” (LORENZATO e VILA apud PARANÁ - DCE, 2008,

p.47).

O uso de adequadas metodologias à prática pedagógica já faz parte dos

requisitos do ensino público de Matemática do Estado do Paraná. As Diretrizes

Curriculares Estaduais de Matemática deixam explícitas que “os conteúdos

propostos devem ser abordados por meio de tendências metodológicas da

Educação Matemática que fundamentam a prática docente”. (PARANÁ - DCE, 2008,

p. 63).

Das alternativas metodológicas propostas pelas DCE – PARANÁ ( PARANÁ –

DCE, 2008, p.63) para o ensino da Matemática, destacamos a Modelagem

Matemática e a Resolução de Problemas como opções metodológicas interligadas e

articuladas entre si, e que são promissoras como possibilidades didático-

pedagógicas para trabalhar conteúdos matemáticos em situações reais do cotidiano

do aluno. PARANÁ – DCE afirma que:

A Modelagem Matemática tem como pressuposto a problematização de situações do cotidiano. Ao mesmo tempo em que propõe a valorização do aluno no contexto social, procura levantar problemas que sugerem questionamentos sobre situações de vida (PARANÁ – DCE, 2008, p.64).

BIEMBENGUT e HEIN afirmam a eficácia pedagógica da modelagem,

articulada com resolução de problemas no ensino da matemática, propondo que:

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A modelagem matemática no ensino pode ser um caminho para despertar no aluno o interesse por tópicos matemáticos que ele ainda desconhece, ao mesmo tempo em que aprende a arte de modelar, matematicamente. Isso porque é dada ao aluno a oportunidade de estudar situações-problemas por meio de pesquisa, desenvolvendo seu interesse e aguçando seu senso crítico (BIEMBENGUT e HEIN, 2005, p. 18).

O professor, na busca por práticas que possibilitem a mudança nos atuais

modelos de ensino da Matemática, utiliza metodologias como a Modelagem

Matemática e a Resolução de Problemas, de modo a realizar mudanças efetivas na

Educação Matemática, para obtenção de resultados satisfatórios no processo

ensino-aprendizagem em sala de aula. D’AMBROSIO, reforça esse entendimento

quando diz que:

Somos então levados a atacar diretamente a estrutura de todo o ensino, em particular a estrutura de Matemática, mudando completamente a ênfase do conteúdo e da quantidade de conhecimento que a criança adquira para uma ênfase na metodologia que desenvolva atitudes, que desenvolva capacidades de matematizar situações reais, que desenvolva capacidades de criar teorias adequadas para as situações mais diversas, e na metodologia que permita o recolhimento de informações onde esteja, metodologia que permita identificar o tipo de informação adequada, para uma certa situação e condições para que sejam encontrados, em qualquer nível, os conteúdos e métodos adequados (D’AMBROSIO, 1986, p.14).

Na década de 80, de acordo com BURAK (BURAK, 2004), essa metodologia

começou a ser trabalhada com um grupo de professores na UNICAMP, coordenados

pelo professor Rodney Carlos Bassanezi, que difundiram essa abordagem para o

ensino de Matemática na forma de cursos de especialização. Surgiram na forma de

dissertação, a partir de 1987, os primeiros trabalhos enfocando a Modelagem como

uma metodologia alternativa para o Ensino de Matemática.

Já a Resolução de Problemas, de acordo com ONUCHIC (1999, p.204),

surgiu no final dos anos 70, atingindo seu ápice internacionalmente na segunda

metade dos anos 80, quando os primeiros trabalhos começaram a aparecer no

Brasil. “A Resolução de Problema passa a ser pensada como uma metodologia de

ensino, como um ponto de partida e um meio de se ensinar Matemática”, e o

“problema”, um elemento ativador do processo de construção do conhecimento.

Os trabalhos com modelagem e com Resolução de Problemas no ensino, no

Brasil, podem ser considerados como relativamente recentes do ponto de vista

educacional. Um dos primeiros trabalhos de modelagem no Brasil, segundo

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BIEMBENGUT e HEIN (2000, p.7), foi do professor Aristides Camargos Barreto, na

década de 70, que utilizou a modelagem em suas aulas na graduação da PUC - Rio

de Janeiro.

A Resolução de Problemas e a Modelagem Matemática fornecem a

fundamentação teórica deste nosso trabalho, pois entendemos que estas duas

metodologias estão interligadas e articuladas entre si. Enquanto a Modelagem

Matemática contextualiza o conteúdo proposto, transformando problemas reais do

cotidiano do aluno em problemas matemáticos, a Resolução de Problemas busca

explorar, resolver, demonstrar e interpretar as possíveis soluções destes problemas.

Deste modo, o aluno tem oportunidade e condições para desenvolver a

compreensão da situação em estudo buscando por uma solução, tendo o professor,

por sua vez, maior oportunidade e possibilidade de acompanhar e orientar este

desenvolvimento.

Para tanto, a Resolução de Problemas não deve ser entendida como uma

atividade de memorização de conteúdo, ou de realização de exercícios repetitivos,

nem da criação de procedimentos padronizados. Ela deve ser vista como uma opção

metodológica para construir o conhecimento.

A Modelagem Matemática, aliada à Resolução de Problemas, considera em

sala de aula situações do cotidiano do aluno usando a Matemática como instrumento

de formalização e interpretação. De acordo com BASSANEZI, a Modelagem

Matemática consiste em transformar problemas da realidade em problemas

matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real

(BASSANEZI, 1999, p. 16).

A Modelagem Matemática pode criar um ambiente de ensino que favoreça a

interpretação e compreensão dos mais diversos fenômenos do cotidiano, através da

aplicação dos conceitos matemáticos. Os indivíduos integrantes deste ambiente irão

descrever estes fenômenos, analisá-los e interpretá-los com o propósito de gerar

discussões reflexivas sobre tais fenômenos. BARBOSA comenta sobre esse

aspecto, afirmando que:

O ambiente de Modelagem está associado à problematização e investigação. O primeiro refere-se ao ato de criar perguntas e/ou problemas enquanto que o segundo, à busca, seleção, organização e manipulação de informações e reflexão sobre elas. Ambas atividades não são separadas, mas articuladas no processo de envolvimento dos alunos para abordar a atividade proposta. Nela, podem-se levantar questões e realizar

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investigações que atingem o âmbito do conhecimento reflexivo (BARBOSA, 2003, p.68).

Argumentos podem ser utilizados a favor do uso da Modelagem Matemática e

da Resolução de Problemas e segundo (BASSANEZI, 2010, p.36-37), podem ser de

natureza:

1. Formativo: Aplicação Matemática com técnicas da modelagem matemática e

resolução de problemas para desenvolver capacidades e atitudes dos

estudantes, tornando-os exploradores, criativos e habilidosos na resolução de

problemas.

2. De competência crítica: Preparar os alunos para a vida como cidadãos atuantes

na sociedade, reconhecendo e entendendo exemplos representativos de

aplicações de conceitos matemáticos.

3. Utilidade: O aluno percebe que a instrução matemática pode ser usada como

ferramenta para resolver problemas em diferentes situações e áreas.

4. Intrínseco: Fornece ao estudante um rico arsenal para entender e interpretar a

própria matemática em todas as suas facetas.

5. Aprendizagem: Facilita a compreensão dos argumentos matemáticos,

guardando conceitos e resultados, e valorizando a Matemática.

6. Alternativa epistemológica: Parte da realidade e chega, de maneira natural e

através de um enfoque cognitivo com forte fundamentação cultural, à ação

pedagógica, atuando, desta forma, como metodologia alternativa mais adequada

às diversas realidades sócio-culturais.

A Modelagem Matemática, juntamente com a Resolução de Problemas,

objetiva, portanto, desenvolver o conteúdo programático a partir de um tema,

orientando o aluno para que crie seu modelo matemático. Partindo de uma situação

real e sobre esta situação desenvolver questões, conferindo significado ao

conhecimento, seja nos conceitos matemáticos, seja no tema em estudo. Ao invés

de acúmulo de conteúdo deve-se dar ênfase ao desenvolvimento de atitudes

científicas, exploração, análise e demonstração, e de metodologias de coletas de

informações que serão úteis uma vez identificado o problema e definida a forma de

atacá-lo (D’AMBROSIO, 1986, p.19).

Buscando estas atitudes de exploração e análise e diante da observação de

anos de experiência na prática docente dos conteúdos de geometria, e da grande

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dificuldade que o aluno possui em relacionar formas, tamanho e tipos de objetos que

estão ao nosso redor, trabalhados tradicionalmente de forma expositiva, motivou a

escolha do tema “ensino da Geometria por meio das embalagens”.

Alguns trabalhos já realizados, (BIEMBENGUT e HEIN, 2000), (SCHIRLO,

2009), indicam que as embalagens, devido suas formas e tamanhos, tornam-se

modelos que facilitam a aprendizagem através do manuseio, podendo ser atrativos

no processo de ensino-aprendizagem dos conteúdos de Geometria Plana e

Espacial. Segundo BIEMBENGUT e HEIN para esse caso tem-se que:

Nesta primeira etapa, você pode resgatar os conceitos geométricos que os alunos já possuem e introduzir outros considerados elementares. Nomes como prismas, cilindro, cone, etc. e alguns conceitos de geometria plana e espacial podem ser apresentadas aos alunos mesmo que pertençam às séries iniciais. Manuseando embalagens, os alunos poderão compreender melhor a relação entre duas retas, entre reta e plano e entre planos (paralelos, perpendiculares, concorrentes) ângulos e ângulos poliédricos, propriedades dos polígonos e da circunferência e do círculo e dos sólidos geométricos (BIEMBENGUT e HEIN, 2000, p.35).

Salientamos, diante da revisão bibliográfica de (BIEMBENGUT e HEIN, 2000),

(SCHIRLO, 2009), que com o uso de embalagens, é possível resgatar e

desenvolver alguns conceitos de geometria plana e espacial e sistemas de medidas,

como superfície, volume, capacidade, face, vértice, arestas, ângulos, retas paralelas

e perpendiculares, área, área lateral, área total, volume, de poliedros e sólidos

geométricos. Segundo SCHIRLO (2009):

Vivemos em um mundo tridimensional. Logo, é necessário que tanto o professor quanto o aluno recorram ao raciocínio espacial para representar o mundo real. Sabe-se que a geometria espacial e os Sólidos Geométricos fazem parte do cotidiano. Portanto, em alguns setores industriais, essa Geometria é mais evidente. Com base neste fato, o setor de embalagens apropria-se muito bem desta ciência, transformando simples papéis e papelões em embalagens úteis para o dia-a-dia (SCHIRLO, 2009, p. 5).

3 Procedimentos Metodológicos

O presente trabalho propõe o emprego da Modelagem Matemática e da

Resolução de Problemas no ensino da Geometria, como metodologias facilitadoras

da construção do conhecimento matemático, no qual o professor apresenta a

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descrição de uma situação-problema, com as informações necessárias, cabendo

aos alunos o processo de resolução.

Participaram do desenvolvimento dos trabalhos trinta e três alunos do 2º ano

Técnico em Meio Ambiente, com faixa etária entre 15 e 17 anos, período matutino,

através de grupos de trabalho compostos de no máximo 4 educandos.

Para a seleção do conteúdo levou-se em consideração o planejamento anual

da disciplina, contemplando o estudo da geometria plana e a geometria espacial

para o momento do retorno do professor PDE à escola.

Para a realização das atividades, foram organizados grupos de alunos, no

período de 22 de agosto de 2011 a 24 de outubro de 2011, em sala de aula. Na fase

do processo de Modelagem Matemática e Resolução de Problema em que os alunos

estiveram envolvidos, foram utilizadas 20 horas/aula e aproximadamente 76 horas

de trabalho, como: Planejamento, organização, produção de relatórios, tabulação de

dados, conclusão dos relatórios e avaliação da proposta metodológica através do

Grupo de Trabalho em Rede - GTR, sua viabilidade e revisões.

Todas as atividades desenvolvidas na Unidade Didática e na implementação,

foram apreciadas e analisadas por 15 professores participante do GTR 2011, no

qual o autor deste artigo foi o mediador e todas as sugestões de melhoramento,

foram incorporadas na proposta pedagógica deste trabalho.

Assim, a oportunidade da formação continuada através do GTR produziu um

pensamento em rede, proporcionando uma troca riquíssima de experiências e

conhecimentos entre os professores de Matemática de diversas regiões do Estado.

Este ambiente virtual constituiu-se em uma ocasião impar de interação, difusão do

material produzido pelo professor PDE e discussão da relevância e viabilidade

pedagógica da proposta para a escola pública do Paraná.

As atividades do trabalho de implementação foram organizadas em cinco

planos de aulas diferentes, desenvolvidos e implementados sequencialmente. Cada

plano de aula foi sistematizado num relatório técnico juntamente com o relatório de

atividades produzidos pelos alunos e disponível na Unidade Didática

1º momento (Atividade 01): Aplicação de um questionário avaliativo.

A aplicação de um questionário avaliativo sobre Geometria Plana e Espacial

como verificação do conhecimento elementar que o aluno possui como parâmetro

para as futuras discussões sobre o tema.

2º momento (Atividades 02, 03, 04): Trabalhando com as embalagens.

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Cada grupo de 4 alunos escolhe tipos diferentes de embalagens para

caracterizá-las, dando sua forma, tamanho, espessura, observando os vértices,

faces, arestas, comparando com as demais embalagens disponíveis.

Planificação das embalagens, analisando as formas geométricas encontradas,

considerando os lados e as bases.

Medição das dimensões e respectivo cálculo do perímetro e da área.

Construção dos sólidos geométricos através de modelos planificados em

cartolina. Atividades relevantes ao aluno, pois o levam a visualizar, reproduzir,

comparar e classificar formas geométricas, montar e desmontar, observar a

planificação e características das formas geométricas, percebendo relações entre

elas, investigando novamente as propriedades geométricas tais como: faces,

arestas, vértices, determinando a forma das faces e calculando as áreas, assim

como o volume do sólido geométrico produzido.

Cada grupo apresenta o relatório final, fazendo a explanação das atividades

realizadas sobre o assunto, dos conhecimentos adquiridos e das possíveis

deficiências do aprendizado.

3º momento (Atividade 05): Avaliação do Processo

Na atividade 05, visando avaliar o progresso e o grau de desenvolvimento

atingido durantes as atividades, foi oportunizado ao aluno, de forma individual, uma

avaliação escrita com 10 questões, observando a evolução do conhecimento sobre o

tema de estudo proposto em relação ao questionário avaliativo aplicado na primeira

atividade.

4 Implementação: Análise e Discussão

Ao iniciar o trabalho e introduzir o assunto, levamos a turma de estudantes

para a sala de projeção multimídia do colégio para apresentar a produção didático-

pedagógica aos alunos, explicando que o tema “ensino da Geometria por meio das

embalagens” foi escolhido diante da observação de anos de experiência na prática

docente dos conteúdos de geometria, onde se constataram a grande dificuldade que

os alunos possuiam em relacionar formas, tamanhos e tipos de objetos que estão ao

seu redor, trabalhados tradicionalmente de forma expositiva.

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Logo a seguir, demonstramos quais os elementos e ações pedagógicas que

foram utilizadas nesta implementação:

1. Questionário pré-teste de verificação do conhecimento: Questionário para

verificação do conhecimento que os alunos possuem em geometria, base

necessária para iniciar e subsidiar a implementação do projeto, detectando quais

conceitos eram de domínio dos alunos e quais estavam falhos e precisavam ser

trabalhados.

2. Trabalho em grupo: Abordagem que oportuniza a cada indivíduo contribuir com

os conhecimentos que possui, visando assim, o crescimento individual e do

grupo, desenvolvendo o espírito colaborativo e a conscientização do valor do

exercício da atividade em comum.

3. Relatório: Elaboração de uma produção escrita, um relato de acontecimento,

possibilitando verificar a organização das ideias, a criatividade, o modo como o

aluno realizou e pensou a solução do problema, podendo ser individual ou em

grupo.

4. Avaliação das atividades: Realizamos no decorrer das atividades, através da

observação do empenho do aluno, sua assiduidade e dedicação no cumprimento

das tarefas e seu entrosamento com os demais integrantes do grupo. Buscando

comparar o que era de conhecimento do aluno antes da atividade e o

conhecimentos atingido após as atividades, oportunizando no final dos trabalhos

e de forma individual, uma avaliação escrita com 10 questões, observando a

evolução do conhecimento sobre o tema de estudo proposto.

Sobre questionário pré-teste de verificação do conhecimento, foi distribuída a

folha do questionário para os alunos responderem individualmente e posteriormente

feita sua correção. Após esta atividade, transcreveu-se a ficha estatística de acertos

e erros para o quadro, a qual foi preenchida conforme respostas das questões.

Entregamos uma folha do questionário respondido a cada um dos alunos, tomando o

cuidado de que os mesmos não recebessem o seu próprio questionário. Um dos

alunos leu a primeira questão e a partir da pergunta abriu-se espaço para o debate

da resposta, ficando o professor como mediador das discussões. Logo após chegar

ao consenso da resposta correta, escrevia-se no quadro e os alunos faziam a

correção na folha da prova. Esta foi a dinâmica utilizada para a correção das 10

questões para posteriormente preencher a ficha estatística de acertos e erros.

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Houve a necessidade de interferência do professor em todas as 10 questões

discutidas nas respostas dos alunos, identificamos muitas dúvidas conceituais dos

conteúdos e das propriedades da geometria plana e espacial. Porém, entendemos

que o objetivo de resgatar os conhecimentos esquecidos pelos alunos, detectando

quais conceitos são de seu domínio e quais estão falhos e precisam ser trabalhados,

foi alcançado. O desempenho dos alunos foi analisado considerando a ficha

estatística de acerto e erro em forma de porcentagens e, diante dos resultados,

saberemos quais os conteúdos que precisarão de uma abordagem mais detalhada

para a assimilação e aquisição do conhecimento.

Os grupos de trabalhos foram formados, solicitando que escolhessem dentre

as embalagens que trouxeram de casa, alguns objetos de formas diferentes, que

manipulassem observando características geométricas presentes nos objetos

escolhidos para estudo. Foi proposto antes do começo do trabalho em grupo, que

eles fizessem a distinção entre figuras planas e sólidos geométricos, verificando nos

objetos escolhidos as arestas, faces e vértices, trabalho este ilustrado na figura 1.

Figura 1: Estudo das características geométricas dos sólidos.

Nesta atividade introdutória buscamos a compreensão das propriedades dos

sólidos geométricos e sua classificação, usando as embalagens como modelo e

identificando os sólidos geométricos, distinguindo as figuras planas que formam os

lados das embalagens, verificando onde se encontram as faces, arestas e os

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vértices na embalagem que estão usando como modelo de estudo. Logo a seguir, os

alunos fizeram as medições dos lados da embalagem, observando que o cálculo da

superfície de qualquer face é determinada pela multiplicação do comprimento e da

largura (2 dimensões), e o volume é determinado pela multiplicação do

comprimento, largura e altura (3 dimensões).

Ao estudar a embalagem com a forma de cubo, não tiveram nenhuma

dificuldade, fazendo as medições das dimensões, verificando as 6 faces iguais,

percebendo que as faces são polígonos que formam quadrados. Apenas um grupo

pediu o auxílio, pois ao medir os lados de uma embalagem com a forma de um cubo

obteve uma diferença de 2 cm em um dos lados. Ao auxiliar o grupo, usamos a

mesma embalagem utilizada por eles, demonstrando que são aproximações dos

modelos ideais dos sólidos geométricos, mesmo assim, podem fornecer o

conhecimento necessário das propriedades geométricas presentes nos sólidos

geométricos.

Ao manusear as embalagens com a forma de paralelepípedo, perceberam

que os lados são formados por faces retangulares e que as faces paralelas são

iguais.

Ao manipular a embalagem na forma de cilindro, observamos que os

estudantes tinham dificuldades de reconhecimento das arestas e dos vértices.

Assim, de grupo em grupo, demonstramos o conceito de aresta que são as “dobras”

da caixa e que os vértice seriam os “cantos”. Verificamos que o cilindro não possui

nem “cantos” e nem “dobras”, portanto, não possuem nem arestas e nem vértices e

as únicas faces definidas eram os círculos da base do cilindro.

Outra dúvida que surgiu foi na medição das dimensões do cilindro. Alguns

grupos conheciam o conceito de raio e de diâmetro e em outros foi preciso intervir

demonstrando na prática, usando a base do cilindro de forma circular, onde se

encontra o diâmetro e o raio no círculo em questão.

Alguns grupos tiveram também dificuldades de perceber que o comprimento

da circunferência da base do cilindro é igual ao comprimento da sua face lateral, e

que, ao abrir esta face, tem-se a forma de um retângulo. Depois desta compreensão,

alguns grupos usaram barbantes para medir a face circular, outros usaram a fórmula

C= 2.𝝅.r que determina o comprimento da circunferência (C), onde r é o raio,

fazendo a comparação percebeu-se uma pequena diferença que é aceitável por

estarem trabalhando com material sem precisão.

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O estudo das embalagens com a forma de uma pirâmide não foi possível

nesta atividade, nenhum grupo conseguiu trazer para o estudo, justificando que não

encontraram embalagens com esta forma no comércio.

Na atividade “planificando as embalagens”, identificamos os sólidos

geométricos através da representação no plano, fazendo os cálculos de área e

perímetro das figuras planas obtidas nesta planificação.

Ao planificar as embalagens em forma de cubo, puderam observar as seis

faces iguais no plano, as quais constituem o cubo. Nenhuma dificuldade foi

observada nesta planificação. A percepção dos alunos do uso de bordas de papel

presentes nas embalagens com a finalidade de colar as faces e assim formar as

formas cúbicas obtidas e que não aparecem quando a embalagem esta fechada, foi

tema trazido à tona pelos alunos e percebidas como fator necessário para a

montagem da embalagem, e deve ser levado em consideração quando do cálculo do

custo de material usado na confecção desta embalagem. As medidas dos lados e o

cálculo do perímetro e da área foram feitos sem nenhum problema; Somente quando

foram determinar o cálculo do volume, 3 grupos solicitaram o auxílio do professor

para explicar a maneira de fazer este cálculo. A explicação utilizou a embalagem de

forma cúbica do grupo, demonstrando que o volume é a multiplicação da área de

uma face pela altura. Nesta intervenção, alertou-se que o raciocínio para o cálculo

do volume do cubo, do paralelepípedo e do cilindro é sempre o mesmo, ou seja,

V= 𝑨𝒃.𝒉, é determinado multiplicando o comprimento e a largura da face em

questão, determinando a Ab (área da base) e multiplicando pela altura (h) do objeto

em estudo, não sendo necessário decorar a fórmula, mas entender o procedimento

e raciocínio aplicado ao cálculo.

O entendimento para o cálculo do volume transcorreu sem maiores

dificuldades, a não ser algumas indagações que surgiram por parte de alguns dos

integrantes dos grupos tais como: Se para calcular o volume desta caixa eu usasse

a área da face de maior dimensão em comparação a de menor dimensão, o volume

seria o mesmo? Como escolher a face da base para determinar o volume de uma

embalagem em forma de paralelepípedo? Diante destas indagações, foi feito um

comentário para a turma toda ouvir, explicando que ao calcular o volume da caixa

em forma de paralelepípedo usando a área da maior face, multiplica-se pela menor

altura da caixa e se usar a área da menor face, multiplica-se pela maior altura da

caixa, demonstrando esse procedimento manuseando a caixa em questão.

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O segundo objeto planificado foi o paralelepípedo, e os grupos puderam

verificar a planificação deste objeto, formado por 6 faces retangulares, cujas faces

paralelas são iguais. O cálculo do perímetro e da área foi realizado sem nenhuma

dificuldade, ilustração figura 2.

Figura 2: Planificação do cubo e do paralelepípedo

O terceiro objeto a ser trabalhado nesta atividade foi o cilindro, fazendo sua

planificação. As dificuldades apareceram quando os grupos começaram a

determinar a área lateral, área total e o volume da embalagem em forma de cilindro

que cada grupo estava estudando, necessitando de intervenção e explicação a

respeito destes cálculos. Iniciou-se a explicação demonstrando a planificação do

cilindro e mostrando que o polígono formado pela face lateral do mesmo é um

retângulo, e o seu comprimento é igual ao comprimento da circunferência que

delimita o círculo. Demonstramos, portanto, que o cálculo da área deste retângulo é

𝑨 = 𝟐.𝝅. 𝒓.𝒉 , onde 𝟐.𝝅.𝒓 é o comprimento da circunferência que delimita o círculo

e 𝒉 é a altura deste retângulo, e a área do círculo é determinado pela multiplicação

do Pi () com o valor do raio r que pode ser medido neste círculo. Assim, para

determinar a área lateral do cilindro, calcula-se a área do retângulo deste cilindro e

para determinar a área total somam-se as áreas das duas bases com a área lateral.

O volume é determinado pela multiplicação da área de uma base pela altura do

cilindro. Ao indagar se alguém teria alguma pergunta ou se não entendeu a

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explicação, não obteve-se nenhum questionamento, demonstrando que tinham

aprendido o conteúdo.

Ao término desta atividade, verificamos o surgimento de dúvidas sobre a

determinação da área lateral, área total e volume, principalmente do paralelepípedo

e do cilindro, e diante desta situação, foram retomadas as explicações feitas

anteriormente, de maneira mais detalhada, usando para este esclarecimento os

sólidos geométricos e suas planificações em acrílico, com o intuito de mostrar e

proporcionar manuseio de material concreto, elucidando todas e quaisquer dúvidas

em relação às áreas e volumes destes poliedros.

A atividade 04 “Construção dos sólidos geométricos através de modelos

planificados em cartolina”, foi iniciada com a leitura dos objetivos e da metodologia

utilizada na realização e desenvolvimento dos trabalhos propostos pelo plano de

aula nº 4. Após a explicação e o entendimento dos trabalhos a serem efetuados

pelos grupos nesta aula, foi repassado para cada grupo um modelo da planificação

do cubo, do paralelepípedo, do cilindro e da pirâmide de base quadrada, orientando-

os para confeccionar os sólidos geométricos com o tamanho do modelo fornecido ou

aumentar as dimensões de acordo com a escolha ou decisão do grupo.

Cada grupo recebeu uma cartolina e começou a transcrever as planificações

dos modelos para a construção dos sólidos. A aula transcorreu de maneira tranquila

e rápida, com poucas indagações, observando que houve uma concentração e um

envolvimento maior no desenvolvimento desta atividade, havendo uma divisão

natural das ações e cada aluno contribuiu atenciosamente para realização da tarefa,

um transcrevendo os modelos para a cartolina, outro cortando com a tesoura os

moldes, outro pintando os moldes já prontos ou fazendo as medições para o

aumento das dimensões dos moldes, enfim, todos bem envolvidos no trabalho em

questão.

Ao término da aula, constatamos que a maioria dos grupos tinham transcrito

os moldes para a cartolina e alguns grupos já haviam pintado os moldes e

construido o cubo e o paralelepipedo, ficando a continuação deste trabalho para a

próxima aula, pois ainda faltou a confecção dos sólidos geométricos cilindro e

pirâmide, e consequente cálculo das áreas e volumes dos objetos produzidos.

Um dos grupos decidiu usar os modelos, mas aumentar as dimensões dos

objetos, enquanto que os outros grupos resolveram construir os sólidos do tamanho

do modelo planificado ofertado, ilustração Figura 3.

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Figura 3 : Construção dos sólidos com aumento de suas dimensões

Nesta aula, os grupos continuaram a construir os sólidos geométricos que

faltavam. A organização e construção destes objetos desenvolveram-se de forma

objetiva com cada integrante do grupo fazendo algo, recortando, colando, medindo

as dimensões dos modelos, etc.. Ao terminar a atividade de confeccionar os

modelos e tendo já as medições, iniciamos o cálculo da área total e do volume de

cada um dos objetos construídos, tarefa proposta no início desta atividade. O cálculo

da área total e o volume do cubo e do paralelepípedo transcorreram com poucas

indagações, mas quando começaram a fazer o cálculo da área total e do volume do

cilindro e da pirâmide de base quadrada surgiram as perguntas e as dúvidas. Devido

ao grande número de dúvidas que surgiram, foi necessário explicar para todos os

grupos de maneira geral. Começamos explorando o cilindro; utilizamos de um

modelo pronto, mostrando sua estrutura como a face, bases e sua planificação,

demonstrando que o cilindro era formado por um retângulo e que seu comprimento

era igual ao comprimento da circunferência do círculo que forma a base e que

poderia ser determinado pela fórmula 𝑪 = 𝟐𝝅𝒓 ou que poderiam ser medidos se

usassem um barbante em torno do tronco do cilindro, e em seguida, esticassem o

mesmo e medissem com régua. Para determinar a área lateral multiplicaria este

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comprimento pela altura do cilindro. A área da base seria determinada usando a

fórmula da área do cilindro, ou seja, 𝑨 = 𝝅𝒓𝟐 e deveriam perceber que são duas

bases. Ao fazer esta explicação, os alunos conseguiram perceber que o cálculo da

área total é a soma da área lateral (área do retângulo) e das áreas das bases (área

dos círculos). O cálculo do volume ficou mais evidente para o aluno, pois percebeu

que o cálculo da área ocorre em duas dimensões, e que o cálculo do volume do

cilindro é a multiplicação da área de uma base com a altura deste objeto e que se dá

em três dimensões.

Com o estudo da pirâmide, procedemos da mesma maneira. Usando um

modelo de pirâmide de base quadrada, demonstramos que a base era quadrada e

que os lados desta pirâmide eram constituídos de faces triangulares, e que, para

que se possa determinar a área total tem-se que somar a área da base com a área

das 4 faces triangulares. Todos conheciam o processo para determinar a área da

base, e a dificuldade surgiu no momento do cálculo da face triangular. Assim,

demonstramos que o triângulo resulta da metade de um retângulo e que, portanto,

sua área é a metade da área do retângulo que o originou, ou seja, para área do

retângulo, multiplicamos a medida do lado (L) pela altura da face (h), ou seja,

𝑨 = 𝑳.𝒉, e para a área do triângulo temos 𝑨 =𝑳.𝒉

𝟐 .

O conceito de volume já está inserido no raciocínio do aluno, ou seja, usou

este raciocínio no cálculo do volume em todos os objetos construídos, percebendo

que, para o cálculo do volume da pirâmide, usa-se o mesmo conceito área da base

multiplicado pela altura do objeto, verificando que na pirâmide, devido sua

constituição, determina seu volume com a fórmula 𝑨 =𝑨𝒃.𝒉

𝟑 , área da base (Ab)

multiplicada pela altura (h) da pirâmide dividindo por três.

Após estas explicações, todos os grupos fizeram as atividades, entregando no

final da aula os sólidos geométricos construídos e seus respectivos cálculos de área

total e volume, assim como as respostas da atividade proposta pelo plano desta aula

em forma de relatório, fundamental na construção do relatório técnico disposto na

Unidade Didática.

A atividade 05 “Avaliação escrita e conclusão dos trabalhos”, teve início

explicando aos alunos sobre o término dos trabalhos da implementação em sala de

aula, a qual culminaria com a aplicação do questionário de verificação do

conhecimento geométrico obtido pelo aluno no desenvolvimento dos trabalhos.

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O desempenho dos alunos foi analisado considerando os acertos das

questões respondidas nesta atividade 05 e fazendo comparações de acertos e erros

da atividade 01, verificando a evolução no aprendizado dos mesmos.

Salientamos que o quadro comparativo da evolução dos acertos das

respostas do questionário da atividade 05, em comparação as respostas das

atividade 01, disponível no relatório técnico da implementação e também na Unidade

Didática, demonstra uma evolução de acertos em todas as 10 questões observadas

nestas atividades.

Verificamos que a maioria das questões tiveram um acentuado aumento de

respostas corretas em relação ao primeiro questionário, possibilitando afirmar que as

metodologias utilizadas produziram um ambiente em que os efeitos sobre a

aprendizagem parecem ser mais positivos em relação ao ensino tradicional da

geometria.

5 Considerações Finais

O ensino da Matemática deve estar comprometido com o desenvolvimento de

aptidões do aluno, de modo que possa manejar situações novas relacionadas com

seu cotidiano, e que essas habilidades possam ser alcançadas com práticas

educativas adequadas às necessidades sociais, econômicas e culturais,

considerando-se seus interesses e motivações, garantindo-lhes uma formação

cidadã. ONUCHIC (1999) colabora com este pensamento quando diz que “a prática

escolar deve contribuir para que o aluno tenha acesso ao conhecimento matemático

e sua inserção ao mundo de trabalho, das relações sociais e da cultura”. (ONUCHIC,

1999, p. 209).

Diante deste fato e buscando a relevância da matemática ensinada nas

escolas para a formação do cidadão, exploramos neste trabalho a Modelagem

Matemática articulada com a Resolução de Problemas como uma das alternativas

de abordagem dos conteúdos matemáticos em situações reais do cotidiano do

aluno. Enquanto a Modelagem Matemática, através das embalagens encontradas no

seu cotidiano, transforma este tema em problemas matemáticos, a Resolução de

Problemas desenvolve estratégias de resolução e interpretação das soluções.

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Assim, o trabalho de implementação não se desenvolveu como uma atividade

de memorização de conteúdo, nem de realização de exercícios repetitivos, nem da

criação de procedimentos padronizados, pois os grupos participantes deste trabalho

criaram métodos e estratégias na resolução de problemas usando as embalagens

para aprender geometria.

A Modelagem Matemática, aliada à Resolução de Problemas, permitiu trazer

para a sala de aula as embalagens, usando a geometria como instrumento de

formalização e interpretação. De acordo com BASSANEZI (1999), a Modelagem

Matemática consiste em transformar problemas da realidade em problemas

matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real

(BASSANEZI, 1999, p.16).

A formação dos grupos de trabalhos evidenciou a socialização do

conhecimento, produzindo discussões e debates, proporcionando a inclusão de

todos os integrantes como participantes ativos nas atividades propostas em cada

plano de aula, induzidos pela necessidade de manusear, construir, planificar o objeto

de estudo: as embalagens.

Os resultados encontrados eram apresentados, discutidos e analisados o que

permitiu aos estudantes perceberem que não existe apenas uma maneira de chegar

à solução de determinada questão e sim, que processos diferentes também podem

levar à resolução do problema proposto.

Usando a embalagem como material “concreto” para estudo, desenvolveu-se

uma atitude de observação, manipulação das formas geométricas presentes nos

objetos, proporcionando uma postura de investigação, exploração e de descoberta.

A utilização das embalagens se adequou perfeitamente no desenvolvimento

das aulas para o ensino da geometria plana e espacial, de acordo com a

metodologia proposta, pois as aulas expositivas não dão conta de superar os

obstáculos encontrados somente com desenhos no quadro e/ou análise de imagens

das figuras e dos sólidos geométricos em livros didáticos.

Ao desenvolver as atividades propostas pela implementação, a maioria dos

alunos demonstrou maior participação, empenho e dedicação no cumprimento das

tarefas, bem como um entrosamento maior com os demais integrantes do grupo de

trabalho, o que não se observa com tanta incidência nas aulas tradicionais.

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O trabalho de manipulação, exploração e descoberta no manuseio das

embalagens, tornou o ambiente da sala de aula mais dinâmico, estimulante,

resgatando o interesse e a motivação para o aprender Matemático.

A constatação do aprendizado do aluno no final do processo pode ser

verificado com a comparação das respostas produzidas por eles nos questionários

de verificação do conhecimento, ofertados no início e no final da implementação e

disposto no relatório técnico e na Unidade Didática, num quadro comparativo da

evolução do conhecimento do tema proposto, demonstrando que houve uma

evolução acentuada de acertos.

Assim, afirma-se a relevância deste trabalho, evidenciando que trabalhar a

Geometria com Modelagem Matemática associada a Resolução de Problemas,

demonstram ter implicação positiva na aprendizagem em relação ao

desenvolvimento dos conteúdos de geometria plana e espacial que não são

apresentados, costumeiramente, quando a docência nesta disciplina é feita de forma

tradicional, mecânica e expositiva.

Consideramos necessário e importante mais tempo e estudos mais

profundos para poder identificar concretamente mudanças relevantes e significativas

na melhoria da qualidade de aprendizagem sobre o processo de ensino da

geometria, usando metodologias diferenciadas das utilizadas habitualmente.

O desenvolvimento da temática apresentada possibilitou a constatação da

sua relevância enquanto opção metodológica para os docentes, porém não houve

tempo suficiente e nem pretensão de esgotar todo o assunto, ou seja, há muito que

se aprofundar neste tema no intuito de, através do movimento entre teoria, método

e prática, estarmos nos aperfeiçoando e proporcionando um ensino de qualidade.

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