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Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 1

Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos

10 1 INTRODUÇÃO Os fluidos, estejam na forma líquida ou gasosa, constituem os meios mais versáteis para a transmissão de sinais e de potência, sendo largamente empregados na indústria, principalmente em processos químicos, sistemas automáticos de controle, atuadores, automação de máquinas, etc. Os sistemas fluidos são normalmente interconectados a sistemas mecânicos através de bombas, compressores, válvulas e cilindros. Uma turbina acionada por água e usada para movimentar um gerador elétrico é um exemplo em que interagem elementos hidráulicos, mecânicos e elétricos. Basicamente, líquidos e gases podem ser diferenciados por suas compressibilidades: um líquido é considerado praticamente incompressível, ao passo que um gás deforma-se facilmente com a mudança de pressão. Além disso, um líquido pode apresentar uma superfície livre, enquanto que um gás expande-se de modo a ocupar totalmente o seu reservatório. Vamos utilizar o termo sistema hidráulico para descrever sistemas que usam um líquido como fluido de trabalho e sistema pneumático para sistemas que utilizam um gás como fluido de trabalho. Uma análise exata de um sistema hidráulico usualmente não é viável, por causa da sua natureza distribuída (propriedades distribuídas ao longo da massa) e não linear (resultando em modelos matemáticos não lineares). Contudo, na maioria dos casos, a operação de um sistema hidráulico se dá nas proximidades de um ponto de operação, de modo que ele pode ser linearizado em torno desse ponto, o que faz com que obtenhamos modelos lineares em termos de variáveis incrementais. Tendo em vista que os sistemas hidráulicos envolvem o escoamento e a acumulação de líquidos, as variáveis usadas para descrever o seu comportamento dinâmico são a vazão volumétrica [m3/s], o volume [m3], a altura de líquido [m] e a pressão [N/m2] (ou [Pa]). Devido a sua grande importância, dividiremos o estudo dos sistemas hidráulicos em dois grandes ramos: (a) Sistemas de nível de líquido; (b) Sistemas servo-hidráulicos. Algumas características dos líquidos que indicam sua aplicação são: positividade, precisão, flexibilidade de uso, alta relação potência/peso, rápidas partida e parada, reversão de movimento com suavidade e precisão. Por esse motivo, o conhecimento de sistemas hidráulicos é básico na formação de engenheiros, principalmente engenheiros mecânicos, químicos e de controle e automação.


A maior parte dos sistemas hidráulicos é não-linear. Às vezes, contudo, é possível linearizar tais sistemas, de modo a reduzir sua complexidade e permitir soluções que sejam ainda suficientemente precisas. Nos exemplos que veremos será mostrada uma técnica de linearização usando o desenvolvimento em Série de Taylor. Um estudo mais detalhado dos componentes de um sistema servo-hidráulico será feito nas disciplinas de Sistemas Fluidomecânicos, Controle Hidráulico e Pneumático e Laborat6rio de Controle Hidráulico e Pneumático. Aqui, portanto, serão apresentados apenas os conceitos básicos necessários para o entendimento da sua modelagem matemática. 2 ELEMENTOS BÁSICOS DE UM SISTEMA HIDRÁULICO

Os sistemas hidráulicos exibem três tipos de propriedades que podem ser aproximadas por parâmetros concentrados: resistência, capacitância e inertância. Apresentaremos apenas as duas primeiras propriedades, já que a inertância, que leva em conta a energia cinética do líquido, normalmente é desprezível para as baixas velocidades encontradas industrialmente. RESISTÊNCIA HIDRÁULICA Quando um líquido escoa em uma tubulação, dá-se uma queda na pressão do líquido ao longo da mesma, devida ao atrito com as paredes da tubulação, a qual é conhecida como perda de carga normal. Também ocorre uma queda de pressão sempre que o líquido passa através de acidentes, tais como curvas, válvulas, orifícios, restrições, alargamentos, contrações, etc., a qual recebe o nome de perda de carga acidental. Tais quedas de pressão normalmente são descritas por expressões algébricas não lineares que relacionam a vazão volumétrica com a queda de pressão. Por exemplo, a expressão (1) PkQ ∆= descreve razoavelmente bem a relação entre a vazão volumétrica Q e a queda de pressão ∆P no caso de um escoamento turbulento de um líquido através de um orifício ou de uma válvula como a ilustrada na fig. 1:

Fig. 1


Na eq. (1), k é uma constante que depende das características do escoamento, da tubulação, válvula ou orifício, a qual deve ser obtida experimentalmente. Uma representação gráfica da eq. (1) é mostrada na

fig. 2, onde ( ) é o ponto de operação: −−

∆ Q,P

Fig. 2 Como a eq. (1) é uma relação não linear, devemos linearizá-la em torno do ponto de operação, a fim de obter um modelo matemático linear para o sistema hidráulico. Para isso, traçamos uma tangente à curva no ponto de operação (ver fig. 2) e definimos como resistência hidráulica R o inverso da inclinação dessa tangente, ou seja: (2) =

dQ1−

∆∆ PPdR Desenvolvendo a eq. (1) em série de Taylor em torno do ponto de operação e retendo apenas os termos lineares:

(3) )PP(Pd

dQP

−

∆

−∆−∆

∆+

−QQ =

Podemos, agora, definir as variáveis incrementais Q como ^^P e ∆

(4a) −

−= QQQ^

(4b) −

∆−∆=∆ PPP^

Levando as eqs. (2), (4a) e (4b) na eq. (3) obtemos:

^

^

Q

PR ∆=(5)

Por outro lado, a eq. (1) pode ser aplicada no ponto de operação, logo: −−

∆= PkQ Derivando e usando a eq. (2), chegamos a (6) 2

Podemos, também, exprimir R em termos de . Para isso, da eq. (1) obtemos −Q

kPR−

∆=


−−

∆= PkQ que, levada na eq. (6), nos permite chegar a

2kQ2R−

= (7) Os sistemas hidráulicos típicos são compostos por tubulações, válvulas, orifícios, etc., sendo que tais elementos possuem suas resistências hidráulicas. Assim, muitas vezes necessitamos combinar tais resistências hidráulicas em série e/ou paralelo, de modo que é extremamente útil desenvolver expressões para essas associações. Associação série Consideremos a fig. 3, na qual temos duas válvulas de constantes ka e kb e resistências hidráulicas Ra e Rb em série, assim como uma válvula equivalente de constante keq e resistência hidráulica Req. Queremos achar keq e Req.

Fig. 3 Tendo em vista que as duas válvulas estão em série, elas têm a mesma vazão volumétrica Q, sendo que a diferença total de pressão é (usando a eq. (1)):

∆P = ∆Pa + ∆Pb = 22b

2a

Q)k1

k1( +

donde obtemos Pkk

kkQ

2b

2a

ba ∆+

=

Comparando essa última expressão com a eq. (1), vemos que (8)

2b

2a

baeq

kk

kkk

+=

Aplicando a eq. (7) para a válvula equivalente:

+=

−−

2b

2a

2eq

eq k1

k1Q2

kQ

=2R

Por outro lado, aplicando a eq. (7) para as válvulas a e b:

2b

b2a

a kQ2R e

kQ2R

−−

==


o que permite concluir que (9) Req = Ra + Rb que é a mesma expressão para resistências elétricas em série, o que vem mostrar a existência de uma analogia eletro-hidráulica. Generalizando a eq. (9) para n resistências hidráulicas em série: (10) ∑=R

=

n

1iieq R

Associação paralelo Podemos nos valer da conclusão anterior sobre a analogia eletro-hidráulica para estabelecer simplesmente que a resistência hidráulica equivalente a n resistências hidráulicas em paralelo é dada por (11) =R

∑=

n

1i i

eq

R1

1 CAPACITÂNCIA HIDRÁULICA Quando um líquido é armazenado em um reservatório aberto, existe uma relação algébrica entre o volume de líquido e a pressão no fundo do reservatório. Se a área da seção reta do reservatório é dada pela função A(h), onde h é a altura da superfície livre do líquido em relação ao fundo do reservatório, então o volume de líquido é dado por

(12) ∫ λλ=h

0d)(AV

onde λ é uma variável muda usada na integração. Por outro lado, a pressão absoluta no fundo do reservatório e a altura de líquido h estão relacionadas por (13) P = Pa + ρgh onde Pa é a pressão atmosférica (nas condições normais de temperatura e pressão Pa = 1,013 x 105 N/m2), g é a aceleração da gravidade (usualmente g = 9,81 m/s2) e ρ é a massa específica do líquido em kg/m3. As eqs. (12) e (13) estão ligadas pela variável h, de modo que é possível obter uma relação não linear entre P e V. A fig. 4 mostra uma curva característica típica dessa relação:
Fig. 4


Para linearizar tal relação, traçamos uma tangente à curva no ponto de operação (ver fig. 4) e definimos como capacitância hidráulica C o inverso da inclinação dessa tangente, ou seja: (14) dP

1C = dPdV

dV

= A partir da regra de cadeia da derivação, podemos escrever

(15) dPdh

dhdVC =

Por outro lado, da eq. (12) tiramos dV/dh = A(h) e da eq. (13) obtemos dh/dP = 1/ρg, de modo que podemos rescrever a eq. (15) como A

g)h(C

ρ=(16)

Da eq. (16) podemos verificar facilmente que a unidade SI de C é [m5/N]. No caso de reservatórios com seção reta constante A, a eq. (12) reduz-se a V = Ah, de modo que podemos substituir h = V/A na eq. (13) para obter

(17) aPVAg

+Pρ

=

que é a equação de uma reta, conforme mostra a fig. 5: Fig. 5 Da definição de capacitância podemos facilmente obter, para esse caso: (18) C

gAρ

=


O volume instantâneo de líquido em um reservatório é dado pela integral da vazão volumétrica líquida que entra no reservatório, somada ao volume inicial, ou seja:

λλ−λ+= ∫ d)](Q)(Q[)0(V)t(V ot

0 i

Derivando, obtemos uma forma alternativa: (19) Q(t) = Qi(t) - Qo(t) que nada mais é do que a equação da continuidade para um fluido incompressível: A vazão instantânea é igual à vazão que entra menos a vazão que sai do

reservatório No caso de reservatórios com seção reta variável A(h), podemos obter uma expressão para a variação temporal da altura h a partir da regra de cadeia da derivação:

dtdh

dhdV

dt=dVQ =

onde dV/dt é dada pela eq. (19) e dV/dh é dada por dV/dh = A(h). Logo, podemos isolar dh/dt para chegar a (20) 1h

.= )]t(Q)t(Q[

)h(A oi − Da mesma forma, podemos obter uma expressão para a variação temporal da pressão P no fundo do reservatório a partir da regra de cadeia da derivação:

dtdP

dPdV

dtdVQ ==

onde dV/dt é dada pela eq. (19) e dV/dP = C(h). Logo, podemos isolar dP/dt para chegar a P

.= )]t(Q)t(Q[

)h(C1

oi −(21) onde C(h) é dada pela eq. (16). Exemplo: Consideremos um reservatório formado por um cilindro de diâmetro D e comprimento L que contem um líquido de massa específica ρ. Achar a capacitância hidráulica do reservatório para as posições (a) e (b) da fig. 6.

Fig 6


Solução (a) Nesta configuração A = constante = πD2/4, logo podemos usar a eq. (18):

g4

Dg

AC2

a ρπ=

ρ=

(b) Agora, A varia com a altura h. Do triângulo OAB, ilustrado na fig. 7, podemos tirar:

22

22

)]hD(2D[)

2D(

2y

OAOBAB

−−−=

−=

Após simplificações: 2hDh2Y −= Usando a eq. (16):

g

hDhL2g

yLg

)h(AC2

b ρ−=

ρ=

ρ=

Fig. 7 3 FONTES DE ENERGIA HIDRÁULICA Na imensa maioria dos sistemas hidráulicos industriais a fonte de energia é uma bomba, a qual normalmente é acionada por um motor elétrico. A representação simbólica de uma bomba está mostrada na fig. 8: Relações típicas obtidas experimentalmente entre a diferença de pressão ∆P e a vazão volumétrica Q estão mostradas na fig. 9 para diferentes velocidades de rotação da bomba. Podemos notar, na fig. 9, a não linearidade de tais relações.

Fig. 8

Fig. 9 Fig. 10


Para fazer a linearização, devemos inicialmente determinar o ponto de operação para a velocidade de

rotação em regime permanente, calculando os valores de ∆ , conforme ilustra a fig. 10. Após, traçamos a tangente a curva no ponto de operação, e definimos a sua inclinação como sendo - K, a qual tem unidades [N.s/m

-Q e P

−

5] no SI. Tendo feito isso, podemos exprimir a diferença de pressão incremental em termos da vazão volumétrica incremental como

(22) ^^QKP −=∆

onde K é sempre positiva. Resolvendo a eq. (22) para , obtemos ^Q

(23) ^^P

K1 ∆Q −=

Para obter a relação linear dada pela eq. (23) podemos desenvolver Q em série de Taylor retendo apenas os termos lineares:

(24) )PP(Pd

dQ

P

−

∆

−∆−∆

∆+

−QQ =

Comparando as eqs. (23) e (24), vemos que −

∆∆ PPddQ é a inclinação da tangente à curva Q = Q(∆P) no ponto

de operação, dada por -1/K. 4 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM SISTEMA DE NÍVEL DE LÍQUIDO Vamos considerar um exemplo ilustrativo. Exemplo Ilustrativo: Seja o sistema de nível de líquido simples da fig. 11: Fig. 11


Sendo a vazão volumétrica na saída da válvula, Qo(t), dada pela relação não linear ao PPk −=Q onde P

é a pressão absoluta no fundo do reservatório e Pa é a pressão atmosférica, desenvolver um modelo matemático linearizado para o sistema, sendo a entrada Qi(t) e a saída P(t).

Solução Como a seção reta do reservatório é constante, temos C(h) = constante = C, logo a eq. (21) se torna

)]t(Q)t(Q[)h(C oi

.−1P =

Aplicando a eq. (1) à válvula de saída, ao PPkQ −=

logo

(25) ]PPk)t(Q[C1

ai.

−−=P

Para linearizar o modelo, vamos desenvolver a eq. (25) em série de Taylor, retendo apenas os termos lineares:

)QQ(]]PPk)t(Q[C1[

dQdPP i

_i

Qai

i

_.

i_

.

−

−−+=

Podemos rescrever a equação acima em termos das variáveis incrementais

(26) = PP −

− P^

(27) −

−= ii^

i Q)t(Q)t(Q obtendo

(28) i^

Qia

i^

Qa

i

^Q)

dQdP

PP21k1(

C1Q)]PPk(

dQd1[

C1

i

_i

_

.

−−=

−−=P

Por outro lado, P e Qi devem satisfazer a eq. (1), isto é

ai PPkQ −= donde tiramos

2

i2a Qk1PP +=

Derivando a equação acima em relação a Qi:

(29) i2i

Qk2

dQdP =

Levando a eq. (29) na eq. (28):


(30) i^

a

i_

i^

Q

ia

^Q)

PPkQ

1(C1Q)Q

k1

PP11(

C1

i

_

.

−−=

−−=P

Multiplicando a eq. (30) RC:

i^

a

i_

i^

i^

a

i_

^Q

PPkQ

RQRQ)PPk

Q1(RPRC

.

−−=

−−=

Levando em conta a eq. (1) aplicada ao ponto de operação e a eq. (5) (definição de R), temos

i

_i

_^

i^

i^

a

i_

i^

^

i^^

Q

QPQRQ

PPkQ

Q

PQRPRC.

−=−

−=

donde chegamos ao modelo linearizado em termos das variáveis incrementais:

)t(QRPPRC i^^

.^

=+(31) que é uma EDOL de 1a ordem, não homogênea. Notemos que o produto RC tem dimensão de tempo e é definido como a constante de tempo do sistema: (32) τ = RC Podemos escrever a eq. (31) em termos de Qo Para isso, basta derivar a eq. (29) em relação ao tempo e substituir na eq. (31), donde obtemos

)t(QQQRC i^

o^

o

.^

=+(33) que é também uma EDOL de 1a ordem, não homogênea. Podemos observar que o sistema de nível de líquido é análogo ao circuito elétrico e ao sistema mecânico das fig. 12 e 13, respectivamente:

Fig. 12 Fig. 13 cujo modelos matemáticos são dados respectivamente pelas EDOL's


(34) (35) ee

deRC =+ iodt

o ioo.

xxxkc =+

Comparando as eqs. (33), (34) e (35), temos a seguinte analogia eletro-mecânica-hidráulica:

Sistema Hidráulico Sistema Elétrico Sistema Mecânico

R R b C C 1/k

i^Q

ei xi

o^Q eo xo

5 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS SERVO-HIDRÁULICOS Será ilustrada através de exemplos. Exemplo Ilustrativo A fig. 14 mostra um servo-hidráulico consistindo de uma válvula deslizante de controle e de um cilindro hidráulico, o qual constitui a unidade de potência do sistema. Os parâmetros do sistema envolvidos são: ps = pressão manométrica (acima da pressão atmosférica) de serviço, [Pa]; po = pressão manométrica de retorno, [Pa]; p1 e p2 = pressões manométricas nas tubulações 1 e 2, respectivamente, [Pa]; q1 e q2 = vazões mássicas nas tubulações 1 e 2, respectivamente (saídas do sistema), [kg/s]; x = deslocamento da válvula deslizante (entrada do sistema), [m]; y = deslocamento do pistão de potência, [m]; A1 e A2 = áreas dos orifícios 1 e 2, respectivamente, [m2]; c1 = c2 = c = coeficientes de descarga dos orifícios;


Fig. 14

Hipóteses simplificadoras (HS): (1) a válvula "fecha" perfeitamente os orifícios, não havendo nem sobrepassagem e nem subpassagem,

em relação ao orifício; (2) as áreas dos orifícios 1 e 2 são proporcionais ao deslocamento x da válvula (a entrada do sistema); (3) os coeficientes de descarga dos orifícios e a queda de pressão através dos orifícios são

constantes, não dependendo da posição da válvula, ou seja, não dependem de x; (4) a pressão de retorno po é muito pequena, podendo ser considerada nula, já que o ó1eo vai para um

reservatório que normalmente está aberto à atmosfera, i.é, po = 0; (5) o fluido hidráulico (ó1eo) é considerado incompressível, i.é., o seu peso específico é assumido como

constante: γ = constante; (6) as forças de inércia e de atrito viscoso são desprezíveis na presença da força hidráulica

desenvolvida pelo pistão hidráulico; (7) as vedações do cilindro hidráulico e da válvula são perfeitas, não havendo passagem de ó1eo de um

lado para o outro dos pistões. Vamos obter a função de transferência do sistema, considerando como entrada o deslocamento x da válvula de controle e como saída a vazão volumétrica de óleo q1. Devido à HS2:

A1 = A2 = kx onde k é uma constante de proporcionalidade. A vazão através dos orifícios (ver textos de Mec Flu) é dada por:

xpg2ckpg2cA)pp(g2cAq

xppg2ck)pp(g2cAq

222o222

1s1s11

γ=

γ=−

γ=

−γ

=−γ

=


Fazendo ckγg2 = constante = C

Temos: xpCq

xppCq

22

1s1

=

−=

Da Equação da Continuidade: q1 = q2 Logo ps – p1 = p2 Definindo a queda de pressão no pistão como

∆p = p1 - p2 então p1 = ps – p2 = ps – p1 + ∆p p1 = (ps + ∆p)/2 Também p2 = (ps - ∆p)/2 E a vazão q1 pode ser dada por

)p,x(fx2

ppCq s1 ∆=∆−=

a qual é uma função não-linear. Vamos linearizar a equação em torno do ponto de operação

0q e 0p ,0x 1

___==∆= , usando a Série de Taylor e retendo apenas os termos lineares:

)0p(pf)0x(

xf0)pp(

pf)xx(

xfqq

___11 −∆

∆∂∂+−

∂∂+=∆−∆

∆∂∂+−

∂∂+=

onde as derivadas parciais são obtidas no ponto de operação (0, 0, 0), ou seja:

0)

21(

2pp

121Cx

pf

2pC

2ppC

xf

)0,0,0(s

s)0,0,0(

s

=−∆−

=∆∂∂

=∆−

=∂∂

Logo:

q1 = C2ps x

Chamando C2ps = constante = Kp

Então:
q1 = Kp x


(36) Em termos de função de transferência: Q1(s) = Kp X(s) Logo

(37) G(s) = )s(X)s(Q1 = Kp

O que mostra que a saída é diretamente proporcional à entrada:

Vejamos o que ocorre se for escolhida como saída o deslocamento do pistão hidráulico, y(t). A Equação da Continuidade aplicada ao cilindro hidráulico permite que escrevamos:

q1 = ρAdtdy

onde ρ = γ/g é a massa específica do fluido hidráulico, [kg/m3] A = área do pistão hidráulico, [m2]

dtdy = velocidade do pistão hidráulico, [m/s]

Como já vimos (eq. (36)) que q1 = Kpx

então ρAdtdy = Kpx

donde dy = A

Kp

ρxdt

Chamando A

Kp

ρ = constante = Ki

então dy = Kixdt e y = Ki ∫ xdt

Em termos de função de transferência:

Y(s) = Ki )s(Xs1

donde

(38) sK

)s(X)s(Y)s( i==G

o que mostra que o deslocamento y(t) (a saída) é proporcional à integral do deslocamento x(t) (a entrada):


Exemplo Ilustrativo Seja o sistema hidráulico mecânico da fig. 15.

Serão adotadas as mesmas o fluido apresenta uma cerexiste passagem entre os p Além disso, a HS6 só valer considerada a força de inémecânico, ou seja, m repres A obtenção do modelo mate Sistema hidráulico Conforme já foi visto, a vaz (36) Por outro lado, a vazão q po

Fig. 15

HS anteriores, com exceção das HS5 e HS7, ou seja, agora

ta compressibilidade istões e os cilindros

á em parte, devendo ser

rcia do pistão hidráulico, cuja massa será acrescentada à massa do sistema enta as duas massas.

mático é feita separadamente para os sistemas hidráulico e mecânico.

ão q é dada, após linearização, por

q = Kpx

de ser considerada como composta de 3 parcelas:


(39) q = qo + qL + qC onde qo = vazão útil, que move o pistão qL = vazão através da folga entre pistão e cilindro qC = vazão equivalente à compressibilidade Expressões para qo, qL e qC: • Equação da Continuidade aplicada ao pistão hidráulico: (39) qo = A ρ dy/dt • A componente qL pode ser escrita como (40) qL = L ∆p onde L = coeficiente de vazamento do sistema (constante) • Para obter qC, temos que levar em conta o módulo de expansão volumétrica:

VdV

pdKc−

∆=

onde V é o volume de óleo sob compressão (notemos que como dV é negativa, o sinal (-) faz com que KC

seja positivo). Então:

pdKVdVc

∆=−

dtpd

KV

dtdV

c

∆ρ=−ρ

(41) q

dtpd

KVc

c∆ρ=

Levando as eqs. (38), (39), (40) e (41) na eq. (36), obtemos: (42) A xK

dtpd

KVpL

dtdy

pc

=∆ρ+∆+ρ

Sistema mecânico Por outro lado, a equação diferencial do sistema mecânico acionado pelo cilindro hidráulico é obtida aplicando-se a 2a Lei de Newton:

2

2

2

2

y dtyd

mkydtdy

cpAdt

ydmF =−−∆⇒=∑

onde A ∆p é a força desenvolvida pelo pistão hidráulico. Então:


(43) d

(1=∆ )kydtdy

cdt

ym

Ap 2

2++

Derivando em relação ao tempo:

)dtdy

kdt

ydc

dtyd

m(A1

dtpd

2

2

3

3++=

∆(44) Sistema hidráulico-mecânico Levando as eqs. (43) e (44) na eq. (42):

xK)dtdy

kdt

ydc

dtyd

m(AKV)ky

dtdy

cdt

ydm(

AL

dtdy

A p2

2

3

3

c2

2=++ρ++++ρ

Ordenando, chegamos ao modelo matemático constituído por uma EDOL de 3a ordem:

xKyALk

dtdy

)AK

VkAcLA(

dtyd

)A

LmAK

Vc(dt

ydAK

Vmp

c2

2

c3

3

c=+ρ++ρ++ρ+ρ

(45) Exemplo Ilustrativo Como um terceiro exemplo, consideremos o atuador hidráulico da figura 16:

O atuador hidráulico é capaz de fornecer grandes aumentos de potência. O fluido hidráulico está disponível a partir de uma fonte de pressão constante. Considera-se o líquido incompressível. Um deslocamento x(t), para baixo, move a válvula de controle e faz com que o líquido force o pistão para baixo, levando a carga M a deslocamentos maiores, y(t). A vazão volumétrica Q é função do deslocamento x(t) (excitação) e da diferença de pressão nas faces do pistão, P:

Fig. 16

(46) Q )P,x(g=


Linearizando a eq. (46) pela série de Taylor:

(47) PPg

xxg

)PP(Pg

)xx(xg P

x,P

x

P,x0

P

x,P0

x

P,x 00000000∂∂

+∂∂

=−∂∂

+−∂∂

=Q

onde (x0,P0) é o ponto de operação. Chamando:

(48) 0x

x xg

∂∂

=K

(49) 0P

P Pg

∂∂

=K

a eq. (47) fica: (50) Q PKxK Px +=

A força de excitação é dada pelo produto da área do pistão, A, pela diferença de pressão P. Logo,

aplicando a 2a Lei de Newton ao pistão: ...yMycAP =−−

Levando o valor de P da eq. (50) na equação acima: ...

xP

yMyc)Qx.K(KA =−−

ou, como , temos, após ordenamento: .yAQ =

(51) xKK.Ay)

KAc(yM

P

x.

P

2..=++

que é o modelo matemático do sistema. Para achar a função de transferência:

)s(XK

AK)s(sY)KAc()s(YMs

P

x

P

22 =++

(52) s)

KAc(Ms

KAK

)s(X)s(Y

P

22

P

x

++=

Notemos que para um atuador em alta pressão e requerendo resposta rápida da carga, o efeito da compressibilidade do fluido deve ser levado em conta. Neste caso, a eq. (52) se tornaria bem mais complexa. EXERCÍCIOS 1 Desenvolver um modelo matemático para o sistema da figura, constituído por um sistema de nível

de líquido com interação entre os dois reservatórios:


Resp.: 1

2

1

111 R

hqRh

dtdhC +=+

1

12

21

22 R

hh)R1

R1(

dtdhC =++

2 Desenhar o circuito elétrico análogo ao sistema de nível de líquido do Exercício 1. 3 No sistema de nível de líquido da figura, o nível H inicialmente é igual a 1 m. No instante t = 0, é

aberto o registro de enchimento e é atingida uma vazão constante de 0,05 m3/s. A capacitância do tanque é de 2 m2. Admitindo que a vazão de saída Q e a carga H estão relacionadas pela expressão H02,0Q = , para H em m e Q em m3/s, calcular o tempo necessário para que o líquido atinja o nível de 2,5 m.

Resp.: 116,23 s 4 A fig. (a) mostra um sistema hidráulico em que uma bomba envia um líquido de massa específica ρ

para o interior de um reservatório de seção reta A. As características da bomba estão mostradas na fig. (b), onde α e β são, respectivamente, a vazão máxima e a diferença de pressão máxima. A


válvula encontra-se inicialmente fechada e, no instante t = 0, é aberta. Desprezando a resistência da válvula, pedem-se: (a) verificar que a altura h(t) do líquido dentro do reservatório, após a abertura da válvula, é

dada pela EDOL A

hAg. α=

βαρ

+h ;

(b) expressões para a constante de tempo e a altura h em regime permanente; (c) resolver a EDOL, obtendo uma expressão para h(t).

Resp.: (b) g

Aαρβ=τ (c) )e1(

g)t(

tτ

−−

ρβ=h

5 Considerando o deslocamento do pistão x como entrada e o deslocamento do cilindro y como saída,

achar a função de transferência do sistema hidráulico da figura, onde q é a vazão mássica em kg/s do fluido de massa específica ρ constante e A é a área do pistão. Desprezar a força de inércia.

Resp.:

ρ+

=

2RAks

s)s(X)s(Y

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