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UNIJUÍ – UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO
RIO GRANDE DO SUL.
DeFEM – DEPTO DE FÍSICA, ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA.
DeTEC – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA.
MESTRADO EM MODELAGEM MATEMÁTICA
MODELAGEM MATEMÁTICA DA EVAPORAÇÃO DA ÁGUA DO SOLO
MÁRCIO TADEU VIONE
IJUÍ/RS MAIO, 2007
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UNIJUÍ – UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL.
DeFEM – DEPTO DE FÍSICA, ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA.
DeTEC – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA.
MESTRADO EM MODELAGEM MATEMÁTICA
MODELAGEM MATEMÁTICA DA EVAPORAÇÃO DA ÁGUA DO SOLO
Elaborada por MÁRCIO TADEU VIONE
Dissertação apresentada ao Departamento de Física, Estatística e Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ, RS, como parte integrante dos pré-requisitos para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática.
Orientador: Prof°. Dr. Pedro Augusto Pereira Borges (DeFEM).
IJUÍ/RS MAIO, 2007
UNIJUÍ – UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL.
DeFEM – DEPTO DE FÍSICA, ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA.
DETEC – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA.
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA
MODELAGEM MATEMÁTICA DA EVAPORAÇÃO NA SUPERFÍCIE DO SOLO
Elaborada por
MÁRCIO TADEU VIONE
Como requisito para a obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática
COMISSÃO EXAMINADORA _________________________________
Prof°. Dr. Pedro Augusto Pereira Borges –DeFEM- (Orientador).
__________________________
Prof°. Dr. José Miguel Reichert - UFSM
__________________________ Prof°. Dr. Gilmar de Oliveira Veloso – DeFEM
Agradecimentos
A Deus, por me proteger e iluminar meu caminho nesta
trajetória e pelas oportunidades vividas até o momento.
Aos meus pais por acreditarem em mim, pois vocês são a razão
da minha existência.
Aos meus irmãos Mauricio e Moisés, pelo incentivo e força
durante toda essa trajetória.
Ao Professor Dr. Pedro A. P. Borges pela compreensão e
orientação durante o desenvolvimento desta pesquisa. Obrigado pelo
exemplo profissional, levarei comigo ao longo de minha formação
pessoal e profissional.
Aos professores do curso, pelos conhecimentos transmitidos.
Ao bolsista de Iniciação cientifica Radael pelo auxilio.
Aos professores do DeFEM – Departamento de Física, Estatística
e Matemática, pelo ensinamento durante minha trajetória acadêmica.
A minha tia Marlene pelos momentos vividos durante os últimos
oito anos em sua residência.
Ao DEAg – Departamento de Agronomia, em especial ao Valmir
pela ajuda e orientação técnica.
Ao José Luis Souza de Oliveira pela força nos momentos difíceis.
Aos meus amigos pelo companheirismo demonstrado durante
minha vida.
Ao professor Dr. Artur G. Mulher pela ajuda na revisão
bibliográfica.
A amiga Adila W. Cardoso pelas palavras de ajuda durante
minha vida.
A todas as pessoas que de uma forma ou outra me ajudaram e
apoiaram para que eu conseguisse chegar até aqui.
4
O senhor é a minha luz e a minha salvação;
a quem temerei? O senhor é a minha vida; de quem me recearei?
Salmos 27
Resumo
A água é um dos principais elementos no processo de nutrição das plantas e o
desenvolvimento de técnicas para sua conservação no solo requer o conhecimento dos
processos envolvidos na evaporação no solo. A evaporação tem sido pesquisada sob diversos
aspectos, principalmente relacionada com a evapotranspiração e a influência das condições
meteorológicas. Este trabalho teve como objetivo propor e analisar modelos matemáticos para
o cálculo da evaporação usando como informação parâmetros característicos do solo e
medidas do teor de água em função do tempo na superfície do solo. Duas hipóteses de
condições de superfície foram analisadas: 1ª) O fluxo de evaporação constante e 2ª) Ajuste
linear e exponencial dos dados de teor de água na superfície. Ambas as hipóteses são
condições de fronteira de superfície para o problema da dinâmica da água em uma coluna de
solo não saturado, modelado através da equação de Richards, unidimensional (problema
direto). Os parâmetros da curva característica foram ajustados com base nos dados
experimentais e a condutividade hidráulica foi calculada usando o modelo proposto por
Mualem. Na primeira hipótese a evaporação foi estimada resolvendo o problema inverso,
minimizando a diferença entre os teores de água experimentais e simulados, em diversos
pontos da coluna de solo. Na segunda, o teor de água da camada superficial foi ajustado e
usado como condição de fronteira. Devido à não linearidade da equação de Richards, a
solução foi implementada numericamente pelo Método das Diferenças Finitas Centrais,
usando o esquema explícito de avanços temporais, desenvolvido com programa próprio. A
solução do problema direto exigiu um ∆z próximo a 1 cm, para aproximar com precisão as
simulações dos dados experimentais. Foi observado que a validação do modelo não pode ser
feita apenas com os dados do teor de água, dos instantes inicial e final ao longo da coluna,
como sugere o método de cálculo da evaporação. Para que o modelo expresse a dinâmica do
movimento de água no solo, deve haver coerência entre dados experimentais e simulados
também nos instantes intermediários. O modelo de ajuste dos teores de água da primeira
camada expressa melhor a tendência dos dados experimentais disponíveis do que o modelo de
fluxo de água na superfície. A segunda hipótese não implica em evaporação constante para
todos os instantes de tempo, porém, após as primeiras horas, a taxa de evaporação tem
pequenas variações, sugerindo um comportamento constante para a
evaporação, o que concorda parcialmente com a tese das etapas de evaporação. Ambas as
alternativas, linear e exponencial, descrevem razoavelmente bem a distribuição da água no
solo, porém a distribuição linear faz com que o teor de água tenda a zero nos últimos instantes
simulados, enquanto que a exponencial descreve melhor a passagem para a segunda fase de
evaporação, quando o teor de água na superfície varia com pequenas taxas. Dessa forma, a
alternativa de ajuste exponencial é vantajosa em relação à linear, porque pode ser usada em
dados que ultrapassem a primeira fase de evaporação.
Abstract
The water is one of the main elements in the plant nutrition process and the development of
techniques for their conservation in the soil, it requests the knowledge of the processes
involved the soil evaporation. The evaporation has been researched under several aspects,
mainly related with the evapotranspiration and the influence of the meteorological conditions.
This work has as objective to propose and to analyze mathematical models for the calculation
of the evaporation using as information soil characteristic parameters and measures of the soil
water content in function of the time in the soil surface. Two hypotheses of boundary
conditions were analyzed: 1st) the evaporation flow is of constant and 2nd) boundary and
exponential adjust of the data of soil water content in the surface. Both hypotheses are
conditions for the soil water dynamics problem in a unsatured soil column, modeled through
the Richards equation, unidimensional (direct problem). The parameters of the soil-water
retention curve were adjusted based in the experimental data and the hydraulic conductivity
was calculated using the model proposed by Mualem. In the first hypothesis the evaporation
was esteemed solving the inverse problem, minimizing the difference between the
experimental and simulates soil water contents, in several points of the soil column. In the
second, the soil water content of the superficial layer was adjusted and used as boundary
condition. Due to non linearity of the Richards equation, the solution was implemented by the
Central Finite Difference Method, using the explicit approximation of temporary steps,
developed with own program. The solution of the direct problem demanded a z∆ close to 1
cm, to approximate the simulations of the experimental data accurately. It was observed that
the model validation cannot just be made with the data of the soil water content, of the initial
and final instants along the column, as suggests the evaporation method of calculation. For the
model to express the soil water dynamics, it must have coherence between experimental and
simulated data in the intermediate instants. The model of adjustment of the soil water contents
of the soil first layer expresses better the tendency of the available experimental data, than the
model of water flow in the surface. The second hypothesis doesn't implicate in constant
evaporation for all the instants of time, however, after the first hours, the evaporation rate has
small variations, suggesting a constant behavior for the evaporation, what agrees partially
with the thesis of the evaporation stages.
Both lineal and exponential alternatives describe the water distribution reasonably well in the
soil, however, the lineal distribution makes the soil water content to tend to zero in the last
simulated instants, while the exponential one describes better the passage for the second
evaporation phase, when the soil water content in the surface, varies with small rates. That
way, the alternative of exponential adjustment is advantageous in relation to the lineal,
because it can be used in data that surpass the first evaporation phase.
Sumário
1-INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 15
2-REVISÃO BIBLIOGRÁFICA....................................................................................... 18 2.1-Textura do solo ......................................................................................................... 19 2.2-Estrutura do solo ....................................................................................................... 19 2.3-Densidade do solo ..................................................................................................... 20 2.4-Compactação do solo................................................................................................. 21 2.5-Distribuição do diâmetro de poros no solo................................................................. 22 2.6-Condutividade hidráulica do solo .............................................................................. 22 2.7-Teor de água do solo ................................................................................................. 24 2.8-Movimento da água no solo....................................................................................... 26 2.9-Curva característica da água no solo .......................................................................... 30 2.10-Evaporação.............................................................................................................. 31 2.11-Evaporação direta da água no solo........................................................................... 32 2.12-Descrição dos experimentos e equipamentos ........................................................... 34
3-MODELO MATEMÁTICO........................................................................................... 35 3.1-Modelo para movimento da água no solo (Problema Direto)...................................... 35 3.2-Cálculo do potencial.................................................................................................. 37 3.3-Cálculo da evaporação............................................................................................... 39 3.4-Estimação da evaporação (Problema Inverso)............................................................ 43 3.5-Cálculo da condutividade hidráulica.......................................................................... 44
4-MÉTODOS NUMÉRICOS ............................................................................................ 46 4.1-Ajuste de curvas ........................................................................................................ 46 4.2-Discretização da equação de Richards ....................................................................... 48
5-ANÁLISE DOS RESULTADOS .................................................................................... 55 5.1-Curva característica de água dos solos ....................................................................... 55 5.2-Sobre o modelo e a dinâmica da água nos solos ......................................................... 56 5.3-Sobre o cálculo da evaporação................................................................................... 57 5.4-Sobre as afirmações................................................................................................... 66
6-CONCLUSÕES............................................................................................................... 69
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................................. 71
ANEXOS ............................................................................................................................ 75
Lista de símbolos
A área da superfície de solo )( 2cm
a, m, n parâmetros de ajuste da curva característica de água do solo.
c parâmetro de ajuste da eq. (3.42)
sd densidade do solo (g/cm 3 )
wd densidade da água )/( 3cmg
∆t intervalo de tempo (dias)
∆Vw variação do volume de água na célula (cm3)
∆z comprimento de cada célula (cm).
E taxa media de evaporação (cm/dia)
H altura da coluna de solo (cm).
h profundidade )(cm
g gravidade )/( 2sm
)(Θk condutividade hidráulica para solo não saturado )/( scm
0k condutividade hidráulica para solo saturado )/( scm
sm massa de solo seco (g)
um massa de solo úmido )(g
q fluxo de água que atravessa uma seção de solo (cm3/dia)
t variável temporal )(dias
V volume de amostra ( 3cm )
sV volume de solo seco ( 3cm )
VE volume de água evaporada (cm/dia)
Ve volume de água que entra na célula da superfície (cm3)
scV volume de solo da célula (cm3).
µ teor de água dimensional à base de massa )/( gg
z altura de solo )(cm
Lista de letras gregas
θ teor de água volumétrico dimensional do solo ( 33 / cmcm ).
rθ teor de água volumétrico dimensional residual do solo ( 33 / cmcm ).
sθ teor de água volumétrico dimensional saturado do solo ( 33 / cmcm ).
Θ teor de água adimensional do solo à base de volume.
ψ→
∇ gradiente de potencial hidráulico )/( 2 cmOcmH .
ψ potencial total )( 2OcmH .
gψ potencial gravitacional )( 2OcmH .
pψ potencial de pressão )( 2OcmH .
mψ potencial matricial )( 2OcmH .
oψ potencial osmótico )( 2OcmH .
Lista de tabelas
Tabela 1– Comparação da evaporação (Evaporação em cm/dia)........................................... 57
Lista de figuras
Figura 1–Representação esquemática de problema direto e inverso ...................................... 43
Figura 2-Condutividade hidráulica dos solos Ibitiruna e Sertãozinho.................................... 45
Figura 3-Fluxograma do programa computacional do cálculo da evaporação da 1ª hipótese. 51
Figura 4–Fluxograma do programa computacional do calculo da evaporação da 2ª hipótese. 53
Figura 5-Curva característica do solo Ibitiruna. Com parâmetros a=0,4450; m=0,1900; n=13,1333; rθ =0,0842; sθ =0,525.................................................................... 55
Figura 6-Curva característica do solo Sertãozinho. Com parâmetros a=0,3400; m=0,3850; n=8,1500; rθ =0,0842; sθ =0,540..................................................................... 55
Figura 7-Superfície de teor de água adimensional em função do tempo e profundidade........ 57
Figura 8-1ª Hipótese – Reichardt (1968) anexo I – Solo Ibitiruna, Evaporação potencial = 0,8 cm/dia - Evaporação calculada= 0,758 cm/dia.................................................. 59
Figura 9-2ª Hipótese (ajuste linear) – Reichardt (1968) anexo I - Solo Ibitiruna, Evaporação potencial = 0,8 cm/dia - Evaporação calculada= 0,792 cm/dia, com parâmetros de ajuste a= -0,070; b=0,794; 2R =0,990. ....................................................... 60
Figura 10-2ª Hipótese (ajuste exponencial) – Reichardt (1968) anexo I - Solo Ibitiruna, Evaporação potencial = 0,8 cm/dia - Evaporação calculada= 0,779 mm/dia, com parâmetro de ajuste c=0,199; 2R =0,971........................................................... 60
Figura 11–1ª Hipótese – Reichardt (1968) anexo II - Solo Ibitiruna, Evaporação potencial = 0,26 cm/dia - Evaporação calculada=0,33 cm/dia. ............................................ 61
Figura 12-2ª Hipótese (ajuste linear) – Reichardt (1968) anexo II - Solo Ibitiruna, Evaporação potencial = 0,26 cm/dia - Evaporação calculada= 0,290 mm/dia, com parâmetros de ajuste a= -0,024; b=0,805 ; 2R = 0,995. ..................................................... 62
Figura 13-2ª Hipótese (ajuste exponencial) – Reichardt (1968) anexo II - Solo Ibitiruna, Evaporação potencial = 0,26 cm/dia - Evaporação calculada=0,244 mm/dia, com parâmetro de ajuste c= 0,0595 2R =0,905. ........................................................ 62
Figura 14-1ª Hipótese – Reichardt (1968) anexo III – Solo Sertãozinho Evaporação potencial = 2,24 cm/dia - Evaporação calculada= 1,67 cm/dia.......................... 63
14
Figura 15- 2ª Hipótese (ajuste linear) – Reichardt (1968) anexo III - Solo Sertãozinho, Evaporação potencial = 2,24 cm/dia - Evaporação calculada= 2,220 cm/dia, com parâmetros de ajuste a=-0,215; b=0,720; 2R = 0,9877. ..................................... 64
Figura 16-2ªHipótese (ajuste exponencial) – Reichardt (1968) anexo III - Solo Sertãozinho, Evaporação potencial = 2,24 cm/dia - Evaporação calculada= 2,168 cm/dia, com parâmetro de ajuste c= 0,5050; 2R = 0,8680. ..................................................... 65
Figura 17-Evaporação por tempo calculada considerando a 2ª hipótese Reichardt (1968) anexo I Solo Ibitiruna, Evaporação potencial=0,8 cm/dia. ................................ 67
Figura 18-Evaporação em função do teor de água médio 2ª hipótese Reichardt (1968) anexo I Solo Ibitiruna, Evaporação potencial= 0,8 cm/dia............................................. 67
Figura 19–1ª Hipótese (ajuste linear) Evaporação variável linearmente Reichardt (1968), anexo II Solo Ibitiruna, Evaporação potencial= 0,26 cm/dia Evaporação calculada= 0,2697cm/dia.................................................................................. 68
1-Introdução
O crescente uso da água e a redução de sua disponibilidade têm se tornado
preocupação cada vez maior em todo mundo. No Brasil a região sul, tem sido registrada
constantemente, a redução nas precipitações normais durante o ano e nos reservatórios de
água doce. Em termos mundiais a agricultura é responsável por 70% da água consumida em
nosso planeta, e por este motivo o uso agrícola da água deve ser feito de forma mais racional
possível. Para que isso ocorra é necessário cada vez mais à implementação de pesquisas sobre
a conservação e dinâmica da água no solo, assim como dar técnicas de ação sobre o solo
agrícola e sua divulgação para os solos produtivos.
A água existente na terra constitui a hidrosfera e estima-se que seja de 1386 milhões
de 3km a quantidade de água na terra, sendo que, desse total, 97,5% formam os oceanos e
mares e 2,5% seja de água doce e dessa porcentagem apenas 1,2% esteja disponível para o
consumo, o restante são geleiras e calotas polares (REBOUÇAS & BRAGA, 1999).
Os vapores de água lançados na atmosfera pelos processos biológicos, onde se
destacam a transpiração e fotossíntese, regulam o clima na terra, o ciclo das águas e outras
importantes condições ambientais. Estima-se que 577.200 3km /ano sejam transformados em
vapor, sendo 503.000 3km /ano evaporados nos oceanos e 74.200 3km /ano das terras emersas
(REBOUÇAS & BRAGA, 1999).
No Brasil, segundo a Unesco (1998), há grandes e boas reservas de água, sendo
responsável por mais da metade da produção de água doce do continente sul americano e de
12% do total mundial.
No monitoramento de florestas é importante conhecer o equilíbrio dinâmico dos
nutrientes das plantas no solo, pois a estrutura deste indicará a tendência do predomínio de
uma ou outra espécie ( BERENDESE, 1994).
A evaporação da água no solo é de grande importância quantitativa, pois pode
responder a cerca de 50% da evapotranspiração, durante o ciclo de uma cultura agrícola. Por
isso é importante sabermos os fatores que determinam a evaporação de água no solo, com o
objetivo de minimizá-la, possibilitando a conservação de maior quantidade de água no solo,
para que seja utilizada pelas plantas (BERLATO & MOLINA, 1981).
A evaporação da água no solo é comumente chamada de evaporação não produtiva,
sendo a transpiração da água na planta a evaporação produtiva (BERLATO & MOLINA,
1981). No entanto, apenas 1% da água líquida consumida pelas plantas é, realmente,
16
envolvida em atividades metabólicas. A maioria da água absorvida pelas raízes das plantas é
transpirada para a atmosfera.
No Brasil, técnicos e agricultores têm se conscientizado da importância de minimizar o
consumo da água. Cada dia que passa está se tornando mais difícil e caro capturar água com
qualidade satisfatória até para a própria irrigação.
O manejo adequado de um sistema de irrigação deverá ser capaz de propiciar ao
agricultor o uso eficiente da água, para aumentar a produtividade das culturas e,
conseqüentemente, maximizar o retorno dos investimentos. Técnicas eficientes de aplicação
de água constituem condições essenciais para o desenvolvimento agrícola sustentado, baseado
na economia do recurso hídrico e na preservação ambiental.
Até pouco tempo, a transpiração e a evaporação eram estudados e estimados juntos
pela chamada evapotranspiração. A consideração isolada do termo evaporação e do termo
transpiração vem ganhando adeptos da comunidade cientifica mundial a partir dos trabalhos
realizados pela FAO, ganhando impulso em todo o mundo.
A evaporação direta da água do solo é uma condição de importância em muitos
sistemas produtivos agrícolas. Na agricultura tradicional, a evaporação está fortemente
presente na fase de preparo e implantação das lavouras e ocorre de forma proporcional ao
longo do ciclo das culturas anuais e na fase final, na porção solo que fica proporcional ou
totalmente exposta à ação do sol. É preciso salientar que, durante a germinação de sementes, a
evaporação da água tem uma grande importância porque pode reduzir a disponibilidade de
água para o estabelecimento e desenvolvimento das plantas.
A adoção do plantio direto em culturas irrigadas tem se mostrado um importante
caminho para redução do uso da água, onde o solo com cobertura de palha ou vegetação não
fica exposto diretamente à radiação solar, vento e calor. Esta técnica, já utilizada com sucesso
na região noroeste do RS, possibilita que a água da precipitação e da irrigação permaneça por
mais tempo no solo.
O estudo sobre solo é complexo, pois envolve uma série de variáveis. As principais
variáveis físicas são: estrutura, compactação, textura, teor de umidade, densidade, e
condutividade hidráulica, a natureza dos minerais e a disponibilidade de nutrientes e suas
transformações no solo. A água é um elemento importante no mecanismo de movimento de
nutrientes. Por esta razão, o movimento da água no solo fornece elementos para aumentar a
produtividade dos cultivos.
17
O presente trabalho é parte do Projeto de Pesquisa “Movimento de Nutrientes na
Planta” da linha de pesquisa Modelagem Matemática dos Processos de Transporte, do
Mestrado em Modelagem Matemática da UNIJUÍ.
A dissertação é composta por 6 capítulos, onde:
No Capítulo 1 é apresentada uma introdução, enfatizando a importância dos
mecanismos que envolvem o sistema água, solo e planta nas atividades de cultivo.
No Capítulo 2 é feita uma revisão bibliográfica, onde são apresentados os conceitos
básicos utilizados e os específicos a serem abordados no trabalho.
No Capítulo 3 é apresentado o modelo matemático que descreve o movimento da água
nos solos e as condições de contorno para as duas hipóteses de cálculo de evaporação.
No capítulo 4 é apresentado o método numérico (Diferenças Finitas) utilizado para a
resolução da equação diferencial parcial, e os fluxogramas dos programas computacionais
implementado para descrever o movimento da água no solo.
No capítulo 5 é apresentado análise dos resultados sobre as hipóteses propostas para
este trabalho.
No capítulo 6 apresentam-se as conclusões.
18
2-Revisão bibliográfica
A água do solo tem sido pesquisada em diferentes áreas, com múltiplas aplicações. Na
engenharia civil, a redistribuição da água é extremamente importante, porque, em barragens
de terra, a determinação da quantidade de água que percola, sob os maciços e fundações é
fundamental para o cálculo da estabilidade da obra, enquanto, que em lagos de rejeitos, a
percolação pode ocasionar contaminação do lençol freático (SOUZA PINTO, 2000).
As estimativas da taxa e quantidade de água de drenagem que contribuem para novos
conhecimentos nas camadas mais profundas do solo são muito investigadas fatores que
determinam as perdas de água do solo por drenagem interna podendo permitir a utilização de
técnicas e objetivam controlá-la. Essas estimativas constituam-se num poderoso instrumento
de avaliação para profissionais da água interessados em estudos hidrológicos, mediante
utilização de programas de computação de fácil acesso e manuseio (SISSON & PITTS, 1988).
Para a agricultura, o interesse no estudo do solo situa-se em diferentes setores, tais
como na composição (elementos químicos e biologia do solo), nas propriedades físicas
(compactação e fluxos), no teor de água (quantidade de água armazenada e disponiblidade às
plantas), na evapotranspiração (evaporação de água do solo e transpiração das plantas) e nas
transformações do solo devido à ação do manejo ou da água, responsável pelo movimento de
nutrientes para as plantas.
Segundo Reichardt (1990), o solo é um sistema complexo, constituído de materiais
sólidos, líquidos e gasosos. As partículas sólidas formam uma estrutura porosa tal que os
espaços vazios, denominados poros, têm a capacidade de armazenar líquidos e gases.
A parte sólida é constituída principalmente de minerais classificados, de acordo com o
tamanho médio dos grãos, em areia, limo (ou silte) e argila. A distribuição de tamanho dessas
partículas determina a textura do solo. A acomodação dessas partículas, juntamente com os
efeitos cimentantes de materiais orgânicos (húmus) e inorgânicos, determina a estrutura do
solo.
A parte líquida do solo constitui-se essencialmente de água contendo minerais
dissolvidos e materiais orgânicos solúveis, a qual ocupa parte ou quase todo o espaço entre as
partículas sólidas. A água drenada para camadas mais profundas do solo ou absorvida pelas
raízes das plantas precisa ser periodicamente reposta pela chuva ou pela irrigação, para
garantir adequadamente a produção vegetal.
19
O movimento da água e dos minerais do solo necessita de determinadas características
físicas do solo. Essas características dizem respeito à textura do solo, à distribuição do
diâmetro de poros no solo, estrutura, à compactação e à densidade do solo, à condutividade
hidráulica e ao movimento da água no solo, à umidade e a curva característica da água do
solo.
2.1-Textura do solo
A textura do solo refere-se à distribuição das partículas em termos de tamanho. Esse
fator determina o número de partículas por unidade de volume e a superfície de contato das
partículas com o meio. O aumento da superfície exposta com a diminuição do diâmetro das
partículas é fundamental para determinar as propriedades do solo. Essa superfície colocada à
exposição determina parcialmente, as propriedades de retenção de água e de retenção de
nutrientes.
Centurion (1997), afirma que existe maior retenção de água para solos com textura
mais fina. Portanto, solo argiloso retém mais água que os demais, principalmente a altas
tensões, ou seja, próximo ao ponto de murcha permanente (limite inferior da capacidade de
água disponível no solo que as plantas podem extrair).
Partículas menores terão uma maior superfície de contato e conseqüente maiores
retenção nos diferentes potenciais, isto é, em potenciais mais altos (baixas tensões), a retenção
de água depende fundamentalmente da capilaridade. Está, portanto, mais associada ao espaço
poroso do solo.
A textura no solo pode influenciar na maior ou menor disponibilidade de água entre os
limites hídricos superiores e inferiores.
2.2-Estrutura do solo
Segundo Uhde (1991), a estrutura do solo é considerada como uma de suas mais
importantes propriedades do ponto de vista agrícola. Ela não é considerada como um fator de
crescimento para as plantas, porém exerce influência na disponibilidade de água e ar às raízes
das plantas, no suprimento e no desenvolvimento do sistema radicular, na quantidade de água
armazenada no solo, e a resistência mecânica à penetração, entre outros.
20
O termo estrutura do solo refere-se ao arranjamento das partículas do solo e do espaço
poroso entre elas; incluindo ainda o tamanho, forma e arranjamento dos agregados formados
quando partículas primárias se agrupam, em unidades separáveis (MARSHALL, 1962).
Um solo é classificado como bem estruturado ou mal estruturado, onde seu conceito
de estrutura do solo é bastante qualitativo e descritivo. No solo bem estruturado é melhor a
permeabilidade da água, dá melhores condições de aeração e penetração de raízes do que nos
solos mal estruturados. Essa estrutura poderá ser modificada, melhorada ou mantida com
adequadas práticas agrícolas.
Para HILLEL (1998), a estrutura do solo é fortemente afetada por mudanças no clima,
atividade biológica e práticas de manejo do solo, sendo ainda vulnerável a forças de natureza
mecânica e físico-química.
Para Raney e Zingg, citados por Uhde (1991), uma estrutura de solo desejável para a
agricultura necessita de poros grandes e estáveis, que se estendam desde a superfície até o
subsolo, e de poros menores ramificados entre os poros maiores, com capacidade de reter
considerável quantidade de água para o uso das raízes de plantas. Com essa combinação de
poros, acontecerá uma adequada condição para retenção, infiltração e redistribuição de água
no solo.
A degradação das propriedades físicas do solo poderá torná-lo improdutivo, quando as
condições estruturais de agregados forem escassas, e frágil. Nessa condição, ficam limitados o
movimento e a retenção de água pelo solo.
Solos destruturados apresentam baixa porosidade e, consequentemente, menor
retenção de água, onde estão mais sujeitos à erosão por apresentar baixa capacidade de
infiltração. Os solos bem estruturados apresentam porosidade ideal e grande capacidade de
retenção de água e estão menos sujeitos à erosão por terem maior capacidade de infiltração de
água (REICHARDT, 1990).
2.3-Densidade do solo
A densidade do solo relaciona-se com a compactação de cada horizonte e permite
inferir as dificuldades para a emergência, enraizamento e circulação da água e ar.
A densidade é uma propriedade física que reflete o arranjamento das partículas do
solo, definindo as características do sistema poroso. Todas as ações que influenciarem a
disposição das partículas do solo terão como conseqüência direta a alteração dos valores da
21
densidade. Não existem valores características de densidade para diferentes grupos de solo.
Os valores mais baixos estão sempre associados a solos ou camadas de solos com
estrutura granular, ao passo que os valores mais elevados estão associados a estrutura do tipo
em blocos ou similar, esses valores dependem também do teor de argila, arenosos são mais
densos e argilosos menos densos. Poderá haver alteração com o manejo do solo, isto é, se
ocorrer alteração na disposição das partículas do solo.
Segunda Souza & Cogo (1978), tanto na camada arável como na subjacente, a
densidade do solo e a porosidade sofrem mudanças pelo cultivo, provocando alteração na
relação massa / volume de solo.
A densidade do solo sd (ou massa específica) é definida pela razão entre a massa de
uma amostra de solo e o volume que ela ocupa.
s
ss V
md = (2.1)
onde
sm massa de solo seco )(g
sV volume de solo )( 3cm
Os resultados sobre a densidade dos solos apresentados por Reichardt (1968), estão
nos anexos dessa dissertação.
2.4-Compactação do solo
A compactação do solo está diretamente ligada à estrutura. Como o solo é um material
poroso, por compressão, a mesma massa de material sólido pode ocupar um volume menor.
Isso afeta sua estrutura, o arranjo de poros, o volume de poros e as características de retenção
de água (REICHARDT, 1990).
22
As formas mais comuns de quantificar a compactação são através da densidade global
e da porosidade total. Em geral, com a diminuição da porosidade ocorre o aumento da
densidade do solo.
O solo compactado possui características como: a baixa infiltração de água, raízes
deformadas e estruturas degradadas. Também, pequenas estiagens podem trazer como
conseqüência, a deficiência de água nas plantas em solos compactados.
2.5-Distribuição do diâmetro de poros no solo
O conhecimento da distribuição do tamanho dos poros permite inferir sobre a
drenagem do solo e a disponibilidade de água para as plantas (HILL, 1990). A relação entre
volumes é definida como a porosidade do solo.
No entanto, é a geometria dos vazios e suas interconexões que controlam o movimento
da água no perfil (PORTA CASANELLAS et al., 1994). Para um mesmo solo, a porosidade
total está inversamente relacionada com a densidade. Assim, a partir de valores diferenciados
de densidade do solo, pode-se estimar maior ou menor porosidade total, não se obtendo,
porém, informação sobre a distribuição do tamanho dos poros (DERPSCH et al., 1996; HILL,
1990; PORTA CASANELLAS et al., 1994).
O cultivo e as culturas afetam o espaço poroso; no entanto, a profundidade do solo é
negativamente correlacionada com os espaços porosos. Quando maior a porosidade, maior a
capacidade de solo em armazenar água; portanto, os solos de textura fina têm maior
capacidade de retenção e disponibilidade de água do que os de textura grosseira.
2.6-Condutividade hidráulica do solo
Infiltração, permeabilidade e condutividade hidráulica têm significados idênticos
porque refletem a capacidade de um solo se deixar atravessar pela água . A condutividade
hidráulica é função do teor de água no solo e é máxima em condição de saturação. Na medida
em que a umidade diminui, a condutividade hidráulica decresce normalmente na forma
exponencial (LIBARDI, 1995).
23
A condutividade hidráulica depende das propriedades que têm reflexo na geometria da
porosidade disponível para o fluxo, tais como a distribuição do tamanho e forma de partículas,
a tortuosidade do sistema, a superfície específica, a umidade, entre outras. Quanto ao fluído, a
sua viscosidade é o fator mais importante (JURY et al.,1991; LIBARDI, 1995).
Acompanhando a umidade do solo em diferentes profundidades e caracterizando a
variação de armazenamento e os potenciais matriciais durante um período em que o solo
perde água por drenagem, pode-se determinar uma série de valores de condutividade para
diferentes umidades. Reichardt et al. (1979) sugerem cuidados ao analisar os resultados
obtidos pelo método devido à grande variabilidade espacial do solo para os parâmetros
envolvidos. Outros sim, a exponencialidade da relação entre a condutividade hidráulica e a
umidade volumétrica faz com que um pequeno erro na estimativa de umidade possa resultar
em valores de condutividade hidráulica de outra ordem de grandeza.
A condutividade hidráulica do solo é, dentre as propriedades físicas do solo, a de mais
alta variabilidade. A variabilidade maior ocorre nas camadas mais superficiais e, como as
camadas superficiais são de maior interesse em estudos de balanço hídrico e da relação solo-
planta, determinações da condutividade hidráulica )(Θk versus Θ teor de água adimensional
devem ser sempre analisadas, considerando essa grande variabilidade (JONG VAN LIER, &
LIBARDI, 1999).
Os métodos de campo requerem alto investimento de tempo e mão-de-obra; por isso,
avanços em estudos para a determinação da função )(Θk foram feitos baseados em dados
obtidos a partir da curva de retenção de água no solo.
Segundo Pereira et al. (2001) observaram que os valores da condutividade hidráulica
obtidas no campo apresentaram a mesma tendência encontrada nos testes de laboratório, isto
é, quanto maior a profundidade estudada menor a condutividade hidráulica. Esses resultados
são coerentes quando se analisa os valores de porosidade total e macroporosidade do solo,
caracterizando a influência dos tamanhos dos poros no movimento de água no solo. Solos
com textura mais grosseira, no caso arenoso, apresentam valores maiores de condutividade
hidráulica.
O modelo estatístico mais usado é o de Mualem (1976), desenvolvido a partir de bases
teóricas para o estudo do movimento da água em solos não saturados introduzidos por
Marshall (1958), que relacionam a condutividade hidráulica à distribuição do diâmetro de
poros do solo. Mualem (1976) testou um modelo com base em dados de quase cinqüenta solos
de diferentes lugares do mundo. Com base nesse modelo, Van Genuchten (1980) desenvolveu
24
um conjunto de equações que relaciona a curva de retenção de água no solo com a curva de
condutividade hidráulica.
2.7-Teor de água do solo
A fase líquida (água) pode ocupar, parcialmente ou totalmente, os poros do solo.
Quando o espaço poroso está totalmente ocupado de água, o solo é dito solo saturado
(LIBARDI, 1999). O solo não saturado é aquele cujo espaço é parcialmente ocupado com
água e parcialmente cheio com ar. De modo geral, os solos se encontram não saturados de
água, mesmo assim armazenam considerável quantidade, parte da qual pode ser utilizada
pelas plantas.
A umidade do solo (ou teor de água, ou conteúdo de água) é o índice mais básico para
quantificar a água em uma amostra de solo. Tradicionalmente, a umidade do solo tem sido
expressa de duas maneiras: à base de massa ( µ ), ou à base de volume (θ ) (LIBARDI, 1999).
A umidade do solo à base de massa é obtida pela equação:
s
su
m
mm −=µ (2.2)
onde
sm massa de solo seco ( )g
um massa de solo úmido )(g
e à base de volume pela equação:
wsu d
V
mm/
−=θ (2.3)
onde
wd densidade da água )/( 3cmg
25
sm massa de solo seco )(g
um massa de solo úmido )(g
V volume de solo )( 3cm
Para cálculos que envolvem água no solo, θ é mais usada do que µ , porém em
laboratório é mais simples quantificar-se µ . De (2.2) e (2.3) podemos escrever:
V
msµθ = (2.4)
Como V
ms é a densidade do solo, para obter o valor da umidade volumétrica θ , a
partir de µ, basta multiplicar o valor de µ pela densidade do solo sd .
sd.µθ = (2.5)
Existem métodos diretos e indiretos para determinar o conteúdo de água do solo. Os
métodos diretos consistem na medida direta do conteúdo de água de uma amostra,
basicamente por evaporação, dividindo-se em: método gravimétrico com secagem em estufa e
método gravimétrico com secagem em forno microondas. Os métodos indiretos se baseiam na
medida de propriedades físicas e físico-químicas do solo que sejam proporcionais ao conteúdo
de água no solo.
O método gravimétrico com secagem em estufa, que é o mais básico e considerado
padrão, consiste na remoção da amostra desejada e determinação das massas úmida e seca
com o auxílio de uma balança e estufa. Tem como desvantagens apresentar certa demora e ser
de caráter destrutivo. Para obter a umidade à base de volume por esse método é necessário
conhecer a densidade do solo (LIBARDI, 1999).
O método com secagem em microondas é rápido, mas tem a desvantagem de ser
destrutivo e de difícil padronização, exigindo calibrações do tempo de secagem para cada solo
em particular.
26
Os métodos indiretos exigem o conhecimento de uma curva de calibração e têm a
vantagem de não serem destrutivos.
O teor de água do solo possui valores extremos, teor de água residual ( rθ ) e teor de
água saturado ( sθ ) onde rθ a umidade residual na qual a presença de água é praticamente
nula e sθ é a umidade de saturação do solo.
2.8-Movimento da água no solo
Existem duas importantes equações que quantificam o movimento da água no solo sob
condição isotérmica: a equação de Darcy para solos saturados, e a equação de Darcy-
Buckinham para solos não saturados (LIBARDI, 1999; REICHARDT, 1990).
O solo tem como uma de suas características de ser um reservatório natural de água
para as plantas. As práticas de manejo na agricultura têm como objetivo promover condições
ideais para o crescimento das culturas. Por ser um reservatório aberto para atmosfera e para os
horizontes ou camadas mais profundas do perfil de solo, uma das preocupações de técnicos e
pesquisadores é quantificar a capacidade de armazenamento desse reservatório (retenção de
água), como também os fluxos que ocorrem tanto na superfície (infiltração e evaporação),
quanto na profundidade no solo (drenagem interna). Os fluxos que ocorrem no interior do solo
fazem parte de importantes processos do ciclo hidrológico. Por exemplo, o processo de
infiltração é o movimento da água dentro do perfil de solo não cessa imediatamente e pode
persistir por muito tempo. O movimento pós-infiltração é denominado drenagem interna ou
redistribuição e se caracteriza por aumentar a umidade de camadas mais profundas pela água
contida nas camadas superficiais inicialmente umedecidas (JURY et al., 1991).
A relação entre o conteúdo de água no solo e sua retenção é fundamental para
caracterizar as propriedades hidráulicas do mesmo. Essa relação é conhecida na literatura por
vários nomes, incluindo função de retenção de água ou curva característica de água do solo
(KLUTE, 1986).
Segundo Freire (1975), as curvas características de retenção de água são específicas
para cada solo, a retenção é uma expressão da capacidade do solo para armazenar água.
De acordo com Freire (1975) e Klute (1986), vários atributos do solo podem
influenciar na retenção de água com maior ou menor intensidade, sendo mais importante as
seguintes: a umidade, a textura, o tamanho e distribuição de poros, o conteúdo de matéria
27
orgânica e de óxidos de ferro livre. Reichardt (1985) mostrou que, para altos teores de água
(baixas sucções), para os quais fenômenos de capilaridade são importante na determinação do
potencial matricial, a curva característica fica na dependência da geometria dos poros, ou seja,
da disposição e do tamanho dos poros. Por outro lado, para baixos teores de água (altas
sucções), o potencial matricial praticamente independe dos fatores geométricos, sendo a
estrutura de pouca importância em sua determinação. A retenção de água nessas condições
depende basicamente da textura e da superfície específica.
De acordo com Slatier (1967), existem dois mecanismos principais pelos quais a água
é retirada no solo, que são provenientes das interfaces ar - líquido e sólido – líquido. A tensão
superficial é a principal força atuante na interface ar – água e desenvolve interfaces curvas nas
proximidades das partículas.
Através do fenômeno de capilaridade e absorção, a água é retirada do solo pelos seus
poros (REICHARDT, 1990). A capilaridade está ligada à afinidade entre as partículas sólidas
do solo e a água, havendo, porém, a necessidade de interfaces água – ar, denominados
meniscos, que apresentam uma curvatura que é tanto maior quanto menor o poro. A
capilaridade tem sua retenção de água nos solos quando os poros se apresentam
razoavelmente cheios de água. Quando um solo se seca, os poros vão se esvaziando e filmes
de água recobrem as partículas sólidas.
Para Libardi (2000), a água no estado líquido move-se quando ocorrem diferenças de
potencial entre as posições de um sistema, sendo o movimento no sentido do decréscimo do
potencial. No solo e na planta, a velocidade da água é relativamente pequena e, por isso, sua
energia cinética (energia produzida por um corpo em movimento) é geralmente desprezada. A
energia da água pode ser também gravitacional, isto é, a energia relacionada com a posição do
corpo em função de campos de força como o campo gravitacional, também conhecida como a
energia potencial gravitacional.
O estado de energia dentro do solo considera outros campos de força, além do
gravitacional, responsáveis pelos fenômenos de tensão superficial, capilaridade, adsorção, etc.
Esses fenômenos são os resultados da interação entre as partículas sólidas do solo, que são
organizadas em dada estrutura chamada matriz do solo e a água. Como é difícil separar todos
estes fenômenos por serem intrínsicos, eles são considerados em conjunto e de sua atuação
resulta a energia potencial, designada matricial. Assim, a energia potencial total da água é a
soma de todas essas energias citadas. Chamada também potencial total da água (ψ ) e cada
uma de suas partes é uma componente, assim tem-se.
28
ompg ψψψψψ +++= +... (2.6)
onde
gψ é o potencial gravitacional )( 2OcmH
pψ é o potencial de pressão )( 2OcmH
mψ é o potencial matricial )( 2OcmH
oψ é o potencial osmótico )( 2OcmH
O potencial gravitacional é resultado da ação da força da gravidade. Adota-se um
plano como referência (a superfície do solo), onde neste a energia é nula, é positiva acima e
negativa abaixo. A energia potencial gravitacional é dada por:
zgdwg ..=ψ (2.7)
onde
wd densidade da água (g/cm 3 )
g forca da gravidade )/( 2sm
z altura (cm)
O potencial de pressão pψ é a pressão a que água está submetida e é, na verdade,
energia por volume. Da hidrostática sabemos que a pressão em um ponto situado a uma
profundidade h é dada por:
hgd sp ..=ψ (2.8)
onde
sd densidade do solo (g/cm 3 )
g força da gravidade )/( 2sm
29
h profundidade (cm)
Em um solo saturado a adsorção é nula e, nesse caso, o componente matricial é nulo
mψ =0; porém, quando o solo vai se tornando não saturado o potencial matricial fica cada vez
mais negativo. O potencial osmótico oψ está relacionado à presença de membranas
semipermeáveis das plantas; de maneira geral, no solo não existem membranas
semipermeáveis e a componente do potencial osmótico não é considerada para o movimento
de água.
O movimento da água no solo é decorrente da influência dessas forças. No caso de
solos saturados e com a presença de pequenos canais, a água pode escoar com certa
facilidade, movimentada basicamente pelas forcas gravitacionais e de pressão. Em solos não
saturados, as forcas gravitacionais e a tensão superficial não são significativas para o
movimento da água, porque não há massa suficiente para preencher os canais. A água passa a
ser adsorvida pelas partículas de solo e também passando de partícula para partícula, devido à
diferença de teor de umidade entre elas. Esse processo é chamado de difusão.
A gravidade quando atua pela sucção exercida pelas zonas não saturadas inferiores, a
água é puxada para baixo, quando esse solo encontra-se em um estado instável. A ação da
gravidade é constante, mas a ação das zonas não saturadas depende de sua condição de
umidade, quando mais secam elas são mais fina é a camada de água ao redor de cada partícula
de solo e, conseqüentemente, maior a tensão superficial ou sucção. A ação de uma zona não
saturada depende também de sua profundidade vertical abaixo, porque existe uma coluna
contínua de água ligando as partículas de solo e isso origina uma pressão hidrostática negativa
simples ou sucção. Quando essa coluna termina em um lençol freático onde existe água livre,
de potencial máximo ou sucção mínima, essa limitação de seu comprimento limita
obviamente a sucção total sobre o solo saturado acima; assim a sucção, a que um solo
saturado drenado livremente é sujeita, depende de muitos fatores. Não é certamente a mesma
para todos os solos e todas as condições (REICHARDT, 1990).
A quantificação da influência dessas forças no movimento da água é feita através da
teoria dos potenciais hídricos, descrita por vários autores, tais como Richards, Van Genuchten
e Reichardt.
Richards (1928) definiu um potencial total como sendo à soma do potencial capilar de
Buckingham e o potencial gravitacional e escreveu a equação do movimento da solução.
30
Van Genuchten (1980) propôs uma função para relacionar o potencial matricial e o
teor de água do solo e outra para a condutividade hidráulica.
Reichardt (1990) elaborou um manual onde se encontra uma descrição detalhada dos
fenômenos da água no solo.
No ano de 1856, o engenheiro Henry Darcy propôs uma equação, atualmente
conhecida como lei de Darcy, sendo essa a primeira equação que possibilitou a quantificação
do movimento da água em meios porosos saturados. No entanto, precisa ser salientado que
esta equação só é válida quando se trabalha em condições de saturação, sob condições
isotérmicas, para fluxo laminar e para situações em que as interações solo-água não resultem
em variações no fluído e na condutividade hidráulica (LIBARDI, 1999).
Segundo Libardi (1999), um dos primeiros trabalhos que se tem registro que apresenta
uma equação para solo não saturados é o de Buckingham em 1907, que generalizou a equação
de Darcy e verificou que ela também pode ser aplicada para o fluxo de solo não saturado.
A equação de Darcy-Buckingham é uma equação para condições de regime
estacionário, ou seja, as características do fluxo não variam com o tempo. No entanto, a
maioria das situações reais, transientes, e para isso é necessário usar a equação da
continuidade ou equação de conservação de massa.
Em 1931, utilizando o princípio da conservação de massa e a equação de Darcy-
Buckingham, Richards apresentou a equação diferencial que rege o movimento da água nos
solos relacionando a variação do teor de água com os potenciais matricial, gravitacional,
osmótico e de pressão para solos saturados e não saturados.
2.9-Curva característica da água no solo
A curva característica de retenção de água é uma propriedade ou característica físico
hídrica do solo que relaciona o conteúdo volumétrico de água (θ ) e o potencial matricial do
solo ( mψ ). Essa curva é típica para cada solo, variando de acordo com a classe de textura do
solo, o conteúdo de matéria orgânica, o grau de compactação, a classe de solo, a geometria
dos poros e outras propriedades físicas do solo.
Van Genuchten (1980) propôs uma função de ajuste para a relação entre o teor de água
do solo e o potencial matricial.
31
Muitas vezes sua determinação é feita em laboratórios, com amostras não deformadas.
Porém, um processo mais trabalhoso e demorado para fins de pesquisa é realizado
diretamente no campo.
De acordo com Silva et al. (2005), as modificações provocadas pelo revolvimento na
estrutura, distribuição do tamanho dos poros, teor de carbono orgânico, manejo, granulometria
e constituição de solo alteram as forças de retenção de água no solo. Um dos fatores importantes para a curva de retenção de água está relacionado à
irrigação ou precipitações, fornece os teores de umidade do solo sob diferentes tensões
(sucções) nos perfis do solo, propiciando os meios para estimar o teor de umidade de campo,
o ponto de murcha permanente, a água disponível, a reserva de umidade, além de esclarecer o
movimento da água nos solos e sua captação e utilização pelos vegetais (CODEVASP, 1980).
2.10-Evaporação
A evaporação é a passagem da água do estado líquido para o gasoso. É um fenômeno
complexo que depende das condições atmosféricas da disponibilidade hídrica local e das
características da superfície evaporante.
O processo físico da evaporação acontece da seguinte forma: as moléculas de água são
compostas de um átomo de oxigênio e dois de hidrogênio. Quando a temperatura aumenta,
implicam num aumento da força molecular, moléculas perdem força de ligação (força de
ligação do hidrogênio e escapam da superfície da água). Pode também haver alguma
condensação de volta; também é necessário um suprimento de energia (calor) para manter o
processo de evaporação.
A evaporação envolve transporte simultâneo de massa e energia. Seu cálculo pode ser
realizado a partir de dois procedimentos amplamente conhecidos e têm como princípio a
estimativa da evaporação a partir de dados climatológicos. O primeiro é conhecido como
método de transferência de massa, que determina a relação do fenômeno estudado com
pressão de vapor. O segundo é o método do balanço de energia, que considera as entradas de
energia solar e térmica e as saídas de fluxo de calor por condução, por evaporação e radiação.
A quantificação das taxas de evaporação teve início com Dalton em 1802, o qual
relacionou a evaporação com a pressão de vapor e que permanece em uso até hoje, configura
a lei que rege os métodos de transferência de massa. Ao longo dos anos, serviu como base
para o desenvolvimento de diversos métodos, tal como o balanço de energia. A obtenção da
32
evaporação sobre um lago, pelo método do balanço de energia, para um dado sistema durante
um determinado tempo, o ganho de energia menos a perda deve ser igual ao armazenamento
(SILVA, 2001).
No método de Penman, foi dado o primeiro tratamento físico adequado na tentativa de
estimar a evaporação em superfície natural, utilizando dados de lagos e tanque de evaporação,
em 1948, na Inglaterra, aplicado a pequenos tanques. Essa abordagem pertence às categorias
dos chamados métodos combinados que envolvem considerações teóricas decorrentes dos
métodos de transferência de massa e do balanço de energia radiante, levando a um sistema de
duas equações com a evaporação e a temperatura como incógnitas (DIAS, 1986).
Priestley e Taylor, em 1972, excluíram o termo aerodinâmico do método de Penman,
com a vantagem de dispensar medidas de pressão de vapor sobre superfície evaporante, de
modo que a evaporação passa a ser estimada exclusivamente com o conhecimento da radiação
líquida e a temperatura da superfície (DIAS, 1986).
Segundo Roque & Sansigolo (2001), o método de Morton ou relação complementar é
baseado na interação entre superfície evaporante e o ar circulante no ambiente. A relação
complementar considera que a evaporação da superfície, pode ser igual à evaporação
potencial no ambiente terrestre úmido e pode ser igual à metade da evaporação potencial do
lago no ambiente seco, prevendo estimativas de evaporação a partir de medidas rotineiras de
temperatura, umidade e radiação global.
2.11-Evaporação direta da água no solo
Segundo Quaglia (2005), a evaporação acontece em qualquer temperatura, isto é, o
poder de retenção do vapor no ar é função da temperatura. Transferência natural de água no
estado de vapor da superfície do globo para a atmosfera interpreta-se facilmente pela teoria
cinética da matéria (moléculas têm um movimento cinético e entre as moléculas existe uma
força de coesão).
As moléculas junto à superfície são liberadas para a atmosfera. Simultaneamente com
esse escape, acontece o fenômeno inverso: partículas de água na fase gasosa, que existem na
atmosfera, chocam-se com a superfície de separação e são captadas pelo corpo evaporante
(condensação). A evaporação mantém-se até atingir o estado de equilíbrio, que corresponde à
saturação do ar com vapor de água.
33
A evaporação é determinada pela disponibilidade de água na camada superficial do
solo e pelo saldo de radiação que chega nessa mesma superfície (ALLEN et al., 1998). Alguns
trabalhos da literatura referem-se à evaporação direta do solo, como sendo evaporação em
solos nus.
A evaporação em solos nus é governada pelos mesmos elementos meteorológicos que
influenciam a evaporação na superfície livre de água, pois a evaporação da água no solo nada
mais é que a evaporação da película de água que envolve as partículas do solo e que ocupa os
espaços existentes entre as partículas. No entanto, existe diferença que precisa ser
considerada: superfície livre de água apresenta uma condição ilimitada de evaporação pela
disponibilidade de água, enquanto no solo a água nem sempre está francamente disponível
para ser evaporada especialmente, devido à força de coesão entre as partículas ( BERLATO et
al., 1981).
Segundo Hillel (1980), existem três estágios de evaporação. Na primeira fase, a
superfície do solo possui grande disponibilidade de água e é exposta livremente à radiação
solar, umidade do ar, vento e temperatura. Nesse estágio, a evaporação é potencial. Essa fase
inicial termina quando se estabelece uma resistência ao fluxo da água na superfície do solo e a
velocidade de evaporação decresce.
Quando inicia a segunda etapa do processo de evaporação, as condições externas não
são mais de importância fundamental (HILLEL, 1980). O importante nesse segundo estágio
de evaporação, são as condições ambientais e as condições intrínsecas do solo que governam
o transporte de água dentro do perfil e, conseqüentemente, a taxa de evaporação. Quando não
existe suficiente disponibilidade de água no solo a evaporação ocorre abaixo da superfície,
onde o vapor de água atinge a superfície por difusão molecular e por fluxo de massa causado
pela flutuação da pressão do ar. Essa fase é denominada estágio de evaporação real.
A terceira etapa do processo evaporativo do solo ocorre quando existe um movimento
muito lento de água no solo e uma condutividade hidráulica muito baixa (HILLEL, 1980). A
evaporação independe das condições ambientais, pois seu valor é muito baixo e torna-se
dependente das propriedades físicas do solo.
É necessário salientar, que, para a evaporação do solo ocorrer, são necessários alguns
elementos de clima, tais como exposição à radiação solar, deslocamento e umidade do ar e
variação de temperatura.
34
2.12-Descrição dos experimentos e equipamentos
Reichardt (1968) coletou várias amostras de solos Ibitiruna e Sertãozinho, homogeneizadas, secadas a sombra e peneirada por peneira de 2 mm. Em seguida o solo foi levado à estufa a 105°C, nela permanecendo até peso constante. O solo seco foi colocado nos recipientes de dimensões 10 x 5 cm e 30 cm de altura e compactado por meio de vibrações até o momento em que não se percebia mais variações de volume. Este foi umedecido lentamente a fim de não provocar variações em sua estrutura, até a saturação. Para a determinação dos teores de água foi utilizada a fonte de radiação gama de energia (Césio), onde, o sistema de detecção das radiações emitidas pelo Césio empregou-se um detector de cintilação e um analisador de impulsos, este método baseia-se no principio de absorção da radiação gama pela matéria. Os solos Ibitiruna e Sertãozinho apresentam as seguintes características físicas das amostras empregadas: solo Ibitiruna 91,2% de areia 4,3% silte e 4,5% de argila, já para o solo Sertãozinho 82,5% de areia 1,3% de silte e 16,2% de argila. A evaporação da água do solo foi controlada pelo uso de um ventilador, variando-se a velocidade do vento, em laboratório da ESALQ, fechado com condições de temperatura e umidade razoavelmente constante. Reichardt (1968) afirma que validou seu trabalho pelas diferenças de massas das amostras.
35
3-Modelo matemático
A modelagem matemática é um método científico que nos permite entender,
compreender e explicar fenômenos do mundo real. O modelo matemático descreve através de
relações matemáticas o objeto estudado (BASSANEZI, 2002).
Considerando a forma das amostras e as condições experimentais descritas em
Reichardt (1968), foi desenvolvido um modelo matemático para o cálculo da evaporação na
forma de uma equação diferencial parcial, com condições de fronteiras considerando duas
possibilidades: primeira e segunda espécie.
A equação de Richards, cuja dedução pode ser encontrada em Libardi (1995), é
conhecida e usada amplamente para descrever a dinâmica da água em solos, cuja massa
específica e textura são homogêneas em todos os pontos.
Neste capítulo, apresentam-se a descrição da equação de Richards que rege o
movimento de água em solos, as hipóteses apresentadas sobre evaporação e problema inverso
para o cálculo da evaporação.
3.1-Modelo para movimento da água no solo (Problema Direto)
O modelo matemático que descreve o movimento da água no solo, em condições
isotrópicas foi obtido a partir da equação de conservação de massa e da equação de Darcy-
Buckingham, conhecida como equação de Richards.
Equação de Richards em coordenadas cartesianas ortogonais.
∂
∂Θ
∂
∂+
∂
∂Θ
∂
∂+
∂
∂Θ
∂
∂=
∂
Θ∂
zk
zyk
yxk
xt zyx
ψψψ)()()( (3.1)
A equação de Richards pode ser escrita de outras formas. Neste trabalho, será escrita
para o movimento de água em solos não saturados na forma unidimensional.
36
z
K
zK
ztm
∂
Θ∂+
∂
Ψ∂Θ
∂
∂=
∂
Θ∂ )()( 0 < z < H e t > 0 (3.2)
onde
Θ é o teor de água volumétrica adimensional do solo.
Ψm é o potencial matricial )( 2OcmH .
)(Θk é a condutividade hidráulica )/( scm .
t é o tempo (dias).
z é a altura de solo (cm).
H é a altura da coluna de solo (cm).
A equação (3.2) descreve o movimento de água na coluna de solo com determinadas
condições de contorno. Neste trabalho, foram consideradas duas hipóteses como condições de
fronteira:
1ª Hipótese: da taxa de variação constante do teor de água na superfície da coluna de solo
Etq =),0("
onde ℜ∈E , t > 0 (3.3)
0),( =∂
Θ∂tH
z t > 0 (3.4)
)()0,( 0 zz Θ=Θ 0 < z < H (3.5)
37
2ª Hipótese: teor de água na superfície da coluna de solo ajustado com base em dados
experimentais.
)(),0( tft =Θ t > 0 (3.6)
0),( =∂
Θ∂tH
z t > 0 (3.7)
)()0,( 0 zz Θ=Θ 0 < z < H (3.8)
3.2-Cálculo do potencial
O potencial que envolve o modelo proposto é o matricial ( mΨ ). Para obter
experimentalmente é realizado o ajuste da curva característica do solo, um modelo empírico e
versátil foi proposto por Van Genuchten (1980).
[ ]mn
m
rsr
aΨ+
−+=
1
)( θθθθ (3.9)
onde
sθ é o teor de água volumétrica saturada )/( 33 cmcm
rθ é o teor de água volumétrica residual )/( 33 cmcm
nma ,, são parâmetros do ajuste de curvas
O teor de umidade adimensional Θ é expresso por
rs
r
θθ
θθ
−
−=Θ (3.10)
38
Substituindo (3.9) em (3.10), Θ também pode ser expresso por
[ ]mn
maΨ+=Θ
1
1 (3.11)
Logo, o potencial matricial é expresso por
n mm a
11 /1 −Θ=Ψ − (3.12)
Mualem (1976) e Van Genuchten (1980) desenvolveram uma equação para determinar
a condutividade hidráulica para solo não saturado, por meio de parâmetros da curva de
retenção de água no solo.
[ ]2/0 )1(1)( mmllkk Θ−−Θ=Θ (3.13)
onde
0k é a condutividade hidráulica do solo saturado )/( scm .
m é o parâmetro da curva característica.
l é um parâmetro considerado por Mualem (1976) igual a 2.
39
3.3-Cálculo da evaporação
Os dados de Reichardt (1968), segundo o autor, referem-se à primeira fase da
evaporação, onde a evaporação é constante. Neste caso, a taxa de variação de E em relação ao
tempo e ao teor de água médio são nulas.
40
Eew VVV −=∆ (3.16)
onde
∆Vw variação do volume de água na célula (cm3)
Ve volume de água que entra na célula da superfície (cm3)
VE volume de água evaporada (cm3).
O volume de água que entra na célula da superfície, proveniente da célula
imediatamente abaixo foi calculado com base na Lei de Darcy (LIBARDI, 1995): o fluxo de
vapor de água é proporcional ao gradiente do potencial matricial entre as duas primeiras
células.
z
t1
t2A)(Kq
∆
ΨΨθ
−= (3.17)
onde
q fluxo de água que atravessa uma seção de solo (cm3/dia)
ψt
j
potencial matricial na célula j e instante t )( 2OcmH
A área da seção de solo (cm2)
K condutividade hidráulica (cm/dia)
∆z comprimento de cada célula (cm)
Todos os elementos do lado direito da equação (3.17) são conhecidos. Portanto o fluxo
de água pode ser calculado para cada iteração temporal e, se multiplicado pelo intervalo de
tempo, resulta no volume de água que entra na célula da superfície.
Ve = q ∆t (3.18)
41
O volume de água evaporada é obtido resolvendo a equação (3.15) para VE.
tEAEV ∆= (3.19)
Levando as equações (3.18) e (3.19) na equação (3.16) e denotando ∆Vw =Vo – Vf ,
obtém-se o volume de água final na célula da superfície.
42
O teor de água na célula da superfície é calculado por
sc
f
V
Vt =),0(θ (3.22)
onde
scV é o volume de solo da célula (cm3)
2ª Hipótese: O teor de água da primeira célula é ajustado de acordo com os dados
experimentais.
A 2ª hipótese tem como base simplesmente os dados experimentais da camada
superficial de solo. Duas alternativas foram consideradas:
Ajuste linear: analisando a distribuição dos dados do teor de água na primeira camada
de solo em Reichardt (1968), foi observado que, para uma parcela significativa do tempo
monitorado, tais dados apresentam tendência linear. Essa observação tem sentido, pois o teor
de água médio, o qual é influenciado diretamente pelo teor de água da superfície, tem taxa de
variação negativa e constante, de acordo com a eq. (3.23). Assim, o teor de água da primeira
célula foi calculado ajustando os dados experimentais de acordo com a equação.
bat)t( +=θ (3.23)
onde
a e b são parâmetros de ajuste
θ(t) é o teor de água da primeira célula para cada instante de tempo (cm3/ cm3)
Ajuste exponencial: considerando a distribuição dos dados do teor de água na
primeira camada de solo em Reichardt (1968), foi observado que no final do intervalo
aparentemente linear, a taxa de variação do teor de água tende a zero, podendo
43
caracterizar a passagem para a segunda fase de evaporação, com uma tendência
assintótica do teor de água residual.
rcte)r1()t( θθθθ +−−= (3.24)
onde
c é um parâmetro de ajuste
θ1 é o teor de água da primeira célula no instante t = 0 dia (cm3/ cm3)
θ r é o teor de água residual (cm3/ cm3).
3.4-Estimação da evaporação (Problema Inverso)
“Resolver um problema inverso é determinar causas desconhecidas a partir de efeitos
desejados ou observados”. (ENGL et al., 1996).
Problemas Diretos têm como objetivo a determinação dos efeitos a partir do
conhecimento das causas, enquanto Problemas Inversos têm como objetivo a estimativa de
causas a partir do conhecimento dos efeitos. A figura 1, mostra de maneira pictórica a relação
entre problema direto e inverso. Causas, num modelo matemático, são as condições iniciais e
de contorno, termo de fontes/sumidouro e propriedades do sistema (material). Efeitos são as
propriedades calculadas a partir de um modelo direto, como o campo de temperatura,
concentração de partículas, corrente elétrica, teor de água, entre outros (VELHO, 2001).
Figura 1–Representação esquemática de problema direto e inverso
44
As dificuldades encontradas na solução de problemas inversos residem basicamente no
fato deles serem matematicamente classificados como mal-postos, ao contrário dos problemas
diretos. No início deste século o matemático francês Jacques Hadamard definiu um problema
bem posto como sendo aquele que cumpre as três condições:
i) A solução existe;
ii) A solução é única;
iii) A solução tem uma dependência continua (suave) com os dados de entrada.
Portanto, se alguma das condições acima não é satisfeita o problema é dito mal-posto.
Neste trabalho o problema direto é a solução da equação de Richards (eq.3.2) com as
condições de fronteira de fluxo de massa em z=0 eqs.(3.3) a (3.5) cuja formulação mais
detalhada encontra-se nas eqs. (3.15) a (3.20). A resolução do problema inverso consiste na
estimativa da evaporação E, da eq.(3.15), de tal forma que o erro d seja minimizado na
eq.(3.21). Esse processo é resolvido numericamente, através de um algoritmo detalhado no
capítulo 4 dessa dissertação.
3.5-Cálculo da condutividade hidráulica
A condutividade hidráulica foi calculada através da eq. (3.13) em função do teor de
água em cada ponto, com base nos parâmetros da eq.(3.9), o solo Sertãozinho apresenta teores
de água maior comparado com o solo Ibitiruna e consequentemente o solo Sertãozinho possui
uma condutividade hidráulica maior em relação ao Ibitiruna.
A condutividade hidráulica do solo Ibitiruna em condições de saturação, utilizada
neste trabalho foi de 64,8 cm/dia, e do solo Sertãozinho foi de 82,8 cm/dia,
(REICHARDT, 1968).
45
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
teor de água (ad)
Condutivid
ade h
idrá
ulic
a(c
m/s
)
solo Ibitiruna
solo Sertãozinho
Figura 2-Condutividade hidráulica dos solos Ibitiruna e Sertãozinho.
46
4-Métodos numéricos
A utilização de métodos numéricos para a modelação de fenômenos físicos ganhou
espaços nos mais variados ramos da ciência, devido à não-linearidade dos fenômenos e à
gama de escalas envolvidas.
O método numérico utilizado para resolução da equação diferencial parcial (3.2) foi o
Método das Diferenças Finitas (MDF). Neste capítulo são apresentados os métodos de ajustes
de curvas, a discretização da equação citada e os fluxogramas dos programas computacionais.
4.1-Ajuste de curvas
Foram realizados dois tipos de ajustes de curvas: ajuste linear e não-linear. O ajuste
linear foi aplicado sobre a equação (3.23) referente à 1ª Hipótese, usando os dados
experimentais de Reichardt (1968), para o teor de água na primeira camada de solo. Tal ajuste
tem como fundamento o Método dos Mínimos Quadrados, exposto abaixo na sua forma
matricial.
Sejam ),...,,( 21 ntttz =→
e ),...,,( 21 nΘΘΘ=Θ→
os dados experimentais de tempo e teor
de água, respectivamente. Sejam a, b, os parâmetros a ajustar da eq.(3.23). Substituindo os
elementos de →
z e →
Θ na eq.(3.23), obtém-se um sistema de equações lineares, na forma
bat
bat
bat
nn +=Θ
+=Θ
+=Θ
22
11
(4.1)
que escrito na forma matricial, torna-se
→→
=Θ xA. (4.2)
onde
→
Θ é o vetor dos teores de água
48
2º. Passo: Calcular S estimada, )y,...,y,x,...,x,x(fS k1pm
p2
p
1est = , para cada conjunto de
valores }x,...,x,x{X pm
p2
p
1= . Cada conjunto X é uma possível solução ótima do problema de
ajuste. Assim, são obtidas N=nm soluções Sest.
3º. Passo: Calcular o vetor das diferenças entre as soluções estimadas e os dados
experimentais: expest SSd −=r
.
4º. Passo: Identificar o menor valor (dmin) dentre os componentes do vetor dr
e as
correspondentes posições p, do conjunto )x,...,x,x(X pm
p2
p
1= que gerou dmin . O conjunto X
é a melhor solução dentre as N soluções obtidas, considerando os atuais intervalos
]x,x[ nj
1j
e as n componentes dos vetores j
xr
.
5º. Passo: Refinamento da solução. Definir ∆x1, ∆x1 , ..., ∆xn tal que 2/)xx(x 1j
njj −<∆
e redefinir 1j
x e nj
x para cada j.
6º. Passo: Repetir os passos 2 a 5 até que dmin não apresente variação significativa, ou
ε<−+ kmin
1kmin
dd
onde ε é o critério de precisão.
Para o ajuste da equação (3.12) foram considerados três parâmetros, portanto m = 3.
4.2-Discretização da equação de Richards
Para a discretização da equação (3.2) foi usado o método das Diferenças Finitas
Centrais (CDS – Central Difference Scheme), com o esquema temporal explícito, por se tratar
de um problema onde predomina a difusão, devido à reduzida velocidade com que a água se
desloca no solo.
A dedução da discretização das variáveis do MDF é obtida aplicando a fórmula de
Taylor, truncada de acordo com a ordem de precisão desejada. As aproximações dadas em
(4.6) e (4.7) são comumente usadas e sua dedução pode ser encontrada em
(MALISKA, 1985).
49
Derivada de 1ª ordem em relação ao tempo:
t
XX
t
Xn
jiji
n
∆
−≈
∂
∂+
,,
1
(4.6)
Derivada de 1ª e 2ª ordem em relação ao espaço:
z
XX
z
X ji
n
ji
n
∆
−≈
∂
∂ −+
21,1,
2
1,,1,
2
2 2
z
XXX
z
X ji
n
ji
n
ji
n
∆
+−≈
∂
∂ −+ (4.7)
onde
X é uma variável genérica
n e 1+n referem-se aos valores de variáveis na interação passada e atual
respectivamente.
Para pequenos intervalos de tempo t∆ , a condutividade pode ser considerada
constante. Com essa hipótese, a eq.(3.2) pode ser escrita da seguinte forma:
z
K
zK
t ∂
Θ∂+
∂
∂Θ=
∂
Θ∂ )()(
2
2ψ (4.8)
Substituindo as equações (4.6) e (4.7) na eq.(4.8) e usando Θ=X , ψ (para facilitar o
trabalho a escrita, neste capítulo será usada simplesmente ψ ao invés de mψ ) e K conforme
esta equação.
≈∆
Θ−Θ+
t
n
jiji
n
,,
1
∆
−+
∆
+−Θ
−+−+
z
kk
zK jijiji
nn
ji
n
ji
2
2)( 1,1,
2
1,,1, ψψψ (4.9)
ou explicitando ji
n
,
1+
Θ
51
Figura 3-Fluxograma do programa computacional do cálculo da evaporação da 1ª hipótese.
Início
Definição da malha, H, dz nº de pontos
Estimação de nE
Condições iniciais
Cálculo de ),( tzθ
( )2
,exp,1
ΘΘ∑ −==
i
jest
i
j
n
i
d
dEEE nn +=+1
Escolha do melhor E
Cond. Iniciais
Cálculo de
θ (z,t) com otE
Saída de dados
Fim
Entrada de dados
),( tzΘ exper.
nmasr ,,,,θθ
Bloco 1
Bloco 2
Bloco 3
Bloco 4
Até n=N
Bloco 5
52
Bloco 1 – Entrada de dados
Entrada de dados experimentais, tais como: teor de água residual, teor de água do solo
saturado, condutividade hidráulica para o solo saturado, dados dos teores de água para
diferentes profundidades e tempo e parâmetros de ajuste da curva característica.
Bloco 2 – Definição da malha
Neste bloco é feito o cálculo da malha de diferenças finitas.
Bloco 3 – Cálculo do fluxo ótimo: (problema inverso)
Neste bloco são estimados valores de E e resolvido o problema direto. A solução do PD é
comparada com os dados experimentais e é calculado a diferença “d “ para cada estimativa de
E, logo após é escolhido o valor de E que minimiza “d “.
Bloco 4 – Problema direto com E ótimo
Calculo do teor de água com o E ótimo.
Bloco 5 – Saída de dados
São apresentados os gráficos referentes às simulações, comparados com os dados
experimentais.
53
Figura 4–Fluxograma do programa computacional do calculo da evaporação da 2ª hipótese.
Início
Ajuste de ),0( tθ
Definição da malha H, nº de pontos, dz
Cond. Iniciais
Cálculo de ),( tzθ
E
Saída de dados
Fim
Entrada de dados
),( tzΘ exper.
nmasr ,,,,θθ
Bloco 1
Bloco 2
Bloco 4
Bloco 5
Bloco 3
54
Bloco 1 – Entrada de dados
Entrada de dados experimentais, tais como: teor de água residual, teor de água do solo
saturado, condutividade hidráulica para o solo saturado, dados dos teores de água para
diferentes profundidades e tempo e parâmetros de ajuste da curva característica.
Bloco 2 – Cálculo do teor de água
Ajuste dos parâmetros das eqs. de reta ou exponencial em função dos dados experimentais da
1ª camada de solo.
Bloco 3 – Definição da malha
Neste bloco é feito o cálculo da malha de diferenças finitas.
Bloco 4 – Problema direto
Neste bloco é calculado o teor de água em função de z e t usando as condições de fronteira a
1ª e 2ª hipóteses, além da quantia de água evaporada.
Bloco 5 – Saída de dados
São apresentados os gráficos referentes às simulações, comparados com os dados
experimentais.
55
5-Análise dos resultados
Neste capítulo são apresentados os ajustes das curvas características dos solos
Ibitiruna e Sertãozinho, os resultados sobre evaporação direta do solo e as simulações
realizadas pelos modelos matemáticos propostos para descrever a evaporação.
5.1-Curva característica de água dos solos
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4
6
8
10
12
Teor de água (adimensional)
Pote
ncial M
atricial (log c
m H
2O)
dados exp
dados calculados
Figura 5-Curva característica do solo Ibitiruna. Com parâmetros a=0,4450; m=0,1900; n=13,1333; rθ =0,0842; sθ =0,525.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4
6
8
10
12
Teor de água (adimensional)
Potencial Matricial (log cm H
2O)
dados exp
dados calculados
Figura 6-Curva característica do solo Sertãozinho. Com parâmetros a=0,3400; m=0,3850; n=8,1500; rθ =0,0842; sθ =0,540.
56
Os solos Ibitiruna e Sertãozinho são típicos da região de Piracicaba SP e possuem
características físicas de solos arenosos.
As figuras 5 e 6 apresentam os ajustes não lineares realizados para equação (3.12),
com o algoritmo exposto no capítulo 4 com programação própria no software matlab. O
coeficiente de determinação obtido foi 2R =0,9902 e 2R =0,9884 o que indica uma correlação
altamente significativa para o solo Ibitiruna e Sertãozinho, respectivamente. A comparação
das curvas dos dois solos mostra que solo Ibitiruna apresenta potenciais mais baixos que o
solo Sertãozinho para os mesmos teores de água, indicando menor capacidade de retenção de
água por ser um solo mais arenoso comparado com o Sertãozinho.
5.2-Sobre o modelo e a dinâmica da água nos solos
A Figura 7 apresenta a distribuição de água no solo em função do tempo e do espaço,
em uma simulação com o solo Ibitiruna e condição de fronteira com teor de água ajustado
linearmente (2ª hipótese, ajuste linear), facilmente identificada pela reta em z = 0. Observa-se
a irregularidade da condição inicial (dados experimentais) ao longo do eixo z, para t = 0, e a
regularização posterior, resultado da ação da difusão da água. A ação da evaporação diminui o
teor de água nas camadas próximas à superfície, fazendo com que, pela diferença de potencial
matricial, a água se desloque no sentido de baixo para cima até atingir a superfície e ser
liberada em forma de vapor de água para atmosfera.
57
0
10
20
30
0
2
4
6
8
10
12
0
0.5
1
z (cm)t(dias)
Teor de á
gua (ad)
Figura 7-Superfície de teor de água adimensional em função do tempo e profundidade
5.3-Sobre o cálculo da evaporação
A Tabela 1 apresenta a evaporação média (E, em cm/dia) referente aos dados
experimentais e às simulações, considerando as duas hipóteses descritas no capítulo 3.
Os dados de Reichardt (1968) estão disponíveis nos anexos e referem-se a
experimentos de evaporação em dois tipos de solo: Ibitiruna e Sertãozinho.
Tabela 1– Comparação da evaporação (Evaporação em cm/dia)
Simulações
Hipótese 2
Tipo de solo Evaporação
Experimental Hipótese 1
Linear Exponencial
Ibitiruna 0,8 0,758 0,792 0,779
Ibitiruna 0,260 0,337 0,290 0,244
Sertãozinho 2,240 1,670 2,220 2,168
58
As Figuras 7 a 13 apresentam as simulações e dados experimentais referentes ao solo
Ibitiruna. A Figura 8 apresenta os resultados da 1ª hipótese, com evaporação constante,
descrevendo eficientemente a tendência dos dados sobre o teor de água. É importante
observar o comportamento não linear da curva da primeira camada de solo e o gradual
acompanhamento das curvas referentes às outras profundidades. Esta não linearidade mostra
que, mesmo com a hipótese de evaporação constante, a taxa de variação do teor de água não é
constante, pois as camadas inferiores abastecem a primeira camada de acordo com a sua
disponibilidade de água e o valor da condutividade hidráulica, que é função do teor de água.
59
Figura 8-1ª Hipótese – Reichardt (1968) anexo I – Solo Ibitiruna, Evaporação potencial = 0,8 cm/dia - Evaporação calculada= 0,758 cm/dia.
Nas Figuras 9 e 10 pode-se observar que ambas as alternativas linear e exponencial
descrevem razoavelmente bem a distribuição da água no solo. Porém, a distribuição linear
tende a zero nos últimos instantes monitorados, enquanto que a exponencial descreve melhor
a passagem para a segunda fase de evaporação, quando o teor de água na superfície varia com
pequenas taxas.
0 2 4 6 8 10 120
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
61
A Figura 11 foi obtida com taxa de evaporação constante (1ª hipótese) e mostra, assim
como na Fig. 8, que o fluxo de evaporação constante não está associado à distribuição linear
do teor de água na primeira camada de solo. É importante observar que, nas figuras 8, 9 e 10,
as simulações descrevem bem os dados experimentais, tanto no início como no final do
período monitorado e que os valores de experimentos na tabela 1 estão bem próximos dos
valores obtidos por simulação.
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
tempo (dias)
Teor de á
gua (ad)
exp z=0
exp z=4
exp z=8
exp z=16
cal z=0
cal z=4
cal z=8
cal z=16
Figura 11–1ª Hipótese – Reichardt (1968) anexo II - Solo Ibitiruna, Evaporação potencial = 0,26 cm/dia - Evaporação calculada=0,33 cm/dia.
A comparação entre as figuras 9, 10 e 12, 13 mostra que o modelo apresenta resultados
coerentes para medições de situações de evaporação diferentes para o mesmo solo, inclusive
mostrando a redução na amplitude da variação do teor de água em função da altura. Observe-
se que, na figura 12, a 2ª hipótese (ajuste linear) descreve melhor a tendência dos dados que a
hipótese exponencial para os primeiros 20 dias. Para os últimos 10 dias, a hipótese
exponencial é mais eficiente.
62
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
63
Figura 14-1ª Hipótese – Reichardt (1968) anexo III – Solo Sertãozinho Evaporação potencial = 2,24 cm/dia - Evaporação calculada= 1,67 cm/dia. A figura 14 apresenta um erro no cálculo da evaporação bem significativo, o que pode
ser explicado pelas correspondentes posições das curvas dos teores de água para z=0 z=8 e
z=16, as quais estão todas acima dos dados experimentais. Também foram testados outros
valores de fluxo de evaporação, porém esses mostraram uma forte queda do teor de água da
primeira camada depois do segundo dia, chegando até apresentar dados de teor de água
negativos, valores esses que não descrevem o fenômeno de forma real.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
65
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tempo (dias)
Teor de á
gua (ad)
exp z=0
exp z=4
exp z=8
exp z=16
cal z=0
cal z=4
cal z=8
cal z=16
Figura 16-2ªHipótese (ajuste exponencial) – Reichardt (1968) anexo III - Solo Sertãozinho, Evaporação potencial = 2,24 cm/dia - Evaporação calculada= 2,168 cm/dia, com parâmetro de ajuste c= 0,5050; 2R = 0,8680.
A análise dos gráficos mostra que o valor da evaporação E tende para o valor da
evaporação obtido experimentalmente quando as curvas das simulações expressam melhor a
tendência dos dados experimentais. O cálculo da evaporação (tanto experimental como na
simulação) é feito considerando somente os estados inicial e final; por isso, mesmo que as
curvas simuladas estejam distantes dos pontos intermediários, se coincidirem no tempo final,
apresentarão valores de evaporação compatíveis com o valor calculado experimentalmente.
Porém, as simulações, neste caso, não expressariam com precisão a tendência dos dados
experimentais e, se usadas para calcular a evaporação em cada instante de tempo,
apresentariam valores bem diferentes dos obtidos experimentalmente.
Os modelos apresentados não contemplam um ajuste nas camadas mais profundas no
instante final, pressupõe que água evaporada na superfície no instante final, não é transferida
das camadas mais profundas.
67
Figura 17-Evaporação por tempo calculada considerando a 2ª hipótese Reichardt (1968) anexo I Solo Ibitiruna, Evaporação potencial=0,8 cm/dia.
Figura 18-Evaporação em função do teor de água médio 2ª hipótese Reichardt (1968) anexo I Solo Ibitiruna, Evaporação potencial= 0,8 cm/dia.
68
0 5 10 15 20 25 300.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
tempo (dias)
Te
or
de
ág
ua
(a
d)
exp z=0
exp z=4
exp z=8
exp z=16
cal z=0
cal z=4
cal z=8
cal z=16
Figura 19–1ª Hipótese (ajuste linear) Evaporação variável linearmente Reichardt (1968), anexo II Solo Ibitiruna, Evaporação potencial= 0,26 cm/dia Evaporação calculada= 0,2697cm/dia.
69
6-Conclusões
1. Sobre a descrição das tendências dos dados experimentais e o cálculo da evaporação
- O cálculo da evaporação, considerando apenas os instantes inicial e final, se refere a
uma evaporação média no intervalo de tempo simulado ou monitorado. Portanto, para
que uma simulação apresente o mesmo valor de evaporação, basta que as
configurações do teor de água inicial e final em função da profundidade sejam
próximas.
- A validação do modelo não pode ser feita apenas com os dados dos instantes inicial e
final. Para que o modelo expresse a dinâmica do movimento de água no solo, deve
haver coerência entre dados experimentais e simulados também ao longo do tempo.
- Tanto os modelos de ajuste dos teores de água da primeira camada (2ª hipótese) como
o modelo de fluxo de água na superfície (1ª hipótese com fluxo constante) expressam
razoavelmente a tendência dos dados. Porém, a 1ª hipótese, com fluxo constante,
apresenta mais distorções do que as demais.
2. Sobre as afirmações 0=∂
∂
t
E e 0=
Θ∂
∂
m
E
- A 2ª hipótese analisada não implica em evaporação constante para todos os instantes
de tempo. Porém, após as primeiras horas, 0=∂
∂
t
E tem pequenas variações, sugerindo
um comportamento de E próximo de uma reta constante, o que concorda parcialmente
com a tese das etapas de evaporação. Ou seja, existe um período de tempo
significativo em que a evaporação tem tendência constante.
- As simulações com fluxo de evaporação constante não têm o mesmo desempenho do
que as simulações com fluxo variável ou ajuste da primeira camada. Portanto, o fluxo
constante não deve ser usado como condição de fronteira para simular a evaporação. O
ajuste com fluxo variável, apesar de melhorar os resultados obtidos com fluxo
constante, também se constitui em imposições teóricas, que não necessariamente
levam a uma descrição coerente do comportamento dos dados experimentais.
70
3. Sobre as hipóteses de ajuste linear e exponencial
- Ambas as alternativas linear e exponencial descrevem razoavelmente bem a
distribuição da água no solo. Porém, a distribuição linear faz com que o teor de água tenda a
zero nos últimos instantes simulados, enquanto que a exponencial descreve melhor a
passagem para a segunda fase de evaporação, quando o teor de água na superfície muda com
pequenas taxas. Dessa forma, a alternativa exponencial é vantajosa em relação à linear,
porque pode ser usada em dados que ultrapassem a primeira fase de evaporação. Mesmo
quando o teor de água da primeira camada apresentar taxas variáveis, a exponencial poderá
dar conta dessa variação. O mesmo não ocorre com a alternativa linear.
71
Referencias bibliográficas
ALLEN, R. G.; SMITH, M.; PERRIER, A. An update for the definition of reference
evapotranspiration. Icid Bulletim, v.43, n.2, p.1-34, 1998.
BARCELOS, L.C.Efeito da disponibilidade hídrica do solo para cultura do milho em
diferentes sistemas de semeaduras, após pastejo de aveia. Monografia de curso. UNIJUÍ-Ijuí,
RS, Brasil, 74p. 1994.
BASSANEZI, R.C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia.
Editora Contexto, São Paulo, 2002. BERLATO, M.A.; MOLINA, L. C. B. Evaporação e evapotranspiração. Porto Alegre:
IPAGRO, 1981. 95p. (IPAGRO. Boletim Técnico, 7).
BERENDESE, F. Litter decomposability – a neglected component of plant fitness. In: Journal
of Ecology, v.82, p.187-190.1994.
BERLATO, M.A.; MOLINA, L.C.B. Evaporação e evapotranspiração. Porto Alegre:
IPAGRO,1981. 95p.IPAGRO. Boletim Técnico, 7.
BORGES, P.A.P.; BULIGON, S. L.: COELHO, G.C. Resolução numérica da equação de
Richards aplicada à análise das variações do teor de umidade de solos saturados e não
saturados. Anais do XXVIII CNMAC, 2005.
BULIGON, S.L. Modelagem matemática do movimento da água em solos saturados e não
saturado. Ijuí: UNIJUÍ, 2005. Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática),
Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, 55p. 2005.
CENTURION, J.F.; MORAES, M.H. Comparação de métodos para determinação da curva
de retenção de água em solos. R.Bras.Ci. v.21, p.173-179, n. 2, 1997.
CODEVASP. Baixio de Irecê: Levantamento de reconhecimento de solos e classes de terras
para irrigação; anexo IV: características físico-hídricas. Brasília: Protecs, 1980.
DERPSCH, R.; SIDIRAS, N.; ROTCH, C. H. Results of studies made from 1977 to 1984 to
control erosion by cover crops and no-tillage techniques in Paraná, Brazil. Soil Tllage Res,
v.8, p.253-263, 1986.
DIAS, N.L.C. Estimativas climatológicas de evaporação em lagos. (Dissertação de Mestrado)
Universidade Federal do Rio de Janeiro, 175p. 1986.
ENGL, H.W., HANKE, M., and NEUBAUER, A. Regularization of inverse problems:
mathematics and its applications. Kluwer, 1996.
72
FREIRE, J. C. Retenção de umidade em perfil Oxissol do município de Lavras, Minas
Gerais.( Dissertação - Mestrado em solos e Nutrição de Plantas). Piracicaba: ESALQ, 76p.
1975.
HILL, R.L.Long-term conventional and no-tillage effects on selected soil physical properties.
Soil. Sci. Soc. Am. J., v.54, p.161-166, 1990.
HILLEL, D. Partcle sizes and specific surface. In: Enviromental soil physics. 5ed. New York:
John Wiley & Sons, 1998. p.59-74.
HILLEL, D. Applications of soil physics. London: Academic Press, 1980. 385p.
JONG VAN LIER, Q.; LIBARDI, P.L. Variabilidade dos parâmetros da equação que
relaciona a condutividade hidráulica com a umidade do solo no método do perfil instantâneo.
R. Bras. Ci. Solo. v.23, n.2, p.1005-1014, 1999.
JURY, W.; GARDNER, W. R.; GARDNER, W.H. Soil physics. 5 ed. New York, John Wiley
& Sons, 328p. 1991.
LIBARDI, P.L. Dinâmica da água no solo. Piracicaba: P.L. Libardi, 497p. cap.7:Movimento
da água no solo, 1995.
LIBARDI, P.L. Dinâmica da água no solo. 2ªed. Piracicaba, CENA/ USP 509p.,1999.
KLUTE, A.; DIRKSEN, C. Hydraulic conductivity and diffusivity: laboratory methods. In:
KLUTE, A. Methods of soil analysis. 2. ed. Madison: American Society of Agronomy, Soil
Science Society of America, pt. 1, cap.28, n.9, p.687-734, 1986.
MALISKA, C. R. Transferência de calor e mecânica dos fluidos computacional. Rio de
Janeiro, Livros Técnicos Científicos, 1995.
MARSHALL, T.J. A relation betweem permeability and size distribution of pores. J. Soi.Sci.
Oxford, v.9, p.1-8, 1958.
MARSHALL, T.J. The nature, development and significance of soil structure. In: NEALE, G.
J. (ed.) Trans. Of joint meeting of comissions IV & V (ISSS) Palmerston North, New Zeland,
p.243-257, 1962.
MENEGAIS, D. A. F. N. Modelagem matemática do movimento da água e do cálcio em solos
não-saturados. Dissertação de Mestrado, Unijuí, Ijuí-RS, 65p. 2004.
MUALEM, Y. A new model for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated porus
media. Water Resour. Res., v.12, p.513-522, 1976.
OZISIK, M. N.; Orlande, H. R.B. Inverse heat transfer: Fundamentals and applications. New
York. Taylor Francis, 2000.
PEREIRA, F.A.C. Comparação entre condutividade hidráulica saturada determinada em
campo e laboratório. Magistra, Bahia, v. 13, n.1, 2001.
74
SILVA NETO, A. J.; MOURA NETO, F. D. Problemas Inversos: conceitos fundamentais e
aplicações. Ed. UERJ, Rio de Janeiro.p.168, 2005.
SISSOM, L; PITTS, D. Fenômenos de transporte. Rio de Janeiro. Guanabara S. A.765p.
1988.
SLATIER, R.O. Plant-water relationships. New York: Academic Press, 366p., 1967.
SOUZA PINTO, C. Curso básico de mecânica dos solos. São Paulo: Oficina de Textos,
247p. 2000.
SOUZA, L.; COGO, N.P..Caracterização física em solo da unidade de mapeamento. São
Jerônimo(paleudut), RS em três sistemas de manejo. R. Bras. Ci. Solo, v.2.p.170-175, 1978.
UHDE, L.T. Comportamento da sucessão trevo/milho em área com e sem pastejo intensivo
sob diferentes métodos de preparo do solo. Porto Alegre, UFGRS, Faculdade de Agronomia,
dissertação de mestrado, p.167, 1991.
VAN GENUCHTEN, M. A closed form equation for predicting the hydraulic conductivity of
unsaturated soils. Soil Sci. v.44, n.5, p.892-898, 1980.
VELHO, H.F.C. Problemas inversos: conceitos básicos e aplicações mini-curso. IV Encontro
de Modelagem Computacional. Nova Friburgo, RJ, 2001.
WINTER, E.J.. A água, o solo e a planta: Nobel, 170p. 1984.
75
Anexos
Os dados apresentados abaixo foram obtidos por Reichardt (1968).
Anexo I-Variação do teor de água com a profundidade em uma coluna de solo z =cm durante o processo de secagem por evaporação. Solo Ibitiruna, evaporação potencial 0,8 cm/dia, onde
sd é a densidade do solo.
Anexo II-Variação do teor de água com a profundidade em uma coluna de solo z =cm durante o processo de secagem por evaporação. Solo Ibitiruna, evaporação potencial 0,26 cm/dia, onde sd é a densidade do solo.
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Anexo III-Variação do teor de água com a profundidade em uma coluna de solo z =cm durante o processo de secagem por evaporação. Solo Sertãozinho, evaporação potencial 2,24 cm/dia, onde sd é a densidade do solo.
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