MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA AO ENSINO DOS CONCEITOS DE ÁREA E PERÍMETRO NUMA VISÃO INTEGRADORA.

Autor (a): Marisa Belinski¹

Orientador: Sandro Aparecido dos Santos²

Resumo

O artigo tem como base o Ensino da Matemática através de abordagens voltadas para a modelagem/modelação matemática, incluindo algumas situações reais que facilitam o ensino dos conceitos de área e perímetro, pois para alguns alunos o Ensino da Matemática se torna difícil porque o que está sendo ensinado não é significativo para sua vida fora da escola. Dessa forma, o objetivo geral foi proporcionar ao aluno uma aprendizagem significativa sobre os conceitos de área e perímetro, utilizando uma abordagem integradora a partir do uso da modelagem matemática. O trabalho foi realizado na Escola Estadual Érico Veríssimo, localizada em Laranjeiras do Sul, Paraná. O mesmo propõe a análise do modelo da planta baixa da Escola e os conceitos foram trabalhados em 02 turmas da 8ª série/9°ano de formas distintas. O estudo contribuiu para a superação das dificuldades e defasagem no aprendizado por meio da aplicação de atividades significativas e interessantes. E foi possível articular aos demais conteúdos estruturantes propostos nas Diretrizes Curriculares da Educação através de situações problemas para fixar e melhorar o aprendizado dos alunos do Estado do Paraná.

Palavras-chave: Modelagem, Aprendizagem significativa, Área, Perímetro;

1 INTRODUÇÃO

Atualmente constata-se a grande importância do Ensino da Matemática

através da modelagem, pois esta tem sido utilizada como forma de quebrar a

forte dicotomia existente entre a matemática escolar formal e a sua utilidade na

vida real. Os modelos matemáticos são formas de estudar e formalizar

1

_______¹ Professora de matemática do Ensino Fundamental do NRE Laranjeiras do Sul – PR, participante do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, promovido pelo Governo do Estado do Paraná.

² Professor Doutor em Ensino de Ciências pela Universidade de Burgos-Espanha, atuando no Departamento de Física da Unicentro, Guarapuava, PR.

fenômenos do dia-a-dia, em que o aluno torna-se consciente da utilidade da

matemática para resolver e analisar problemas no cotidiano.

Para efetivar a aprendizagem é necessário que a mesma seja

significativa, o que exige a compreensão de conceitos, relacionando as

experiências anteriores e vivências pessoais do educando, ou seja,

conhecimentos prévios, permitindo a formulação de problemas interessantes

que incentivem o aprender contribuindo para a formação do cidadão,

promovendo modificações de comportamento bem como a utilização do que foi

aprendido em diferentes situações.

O estudo teve como base o Ensino da Matemática por meio de

abordagens voltadas para a modelagem matemática, incluindo algumas

situações reais que facilitam o ensino da Geometria principalmente nos

conceitos de área e perímetro, permitindo a construção e reconstrução de

conceitos.

Esse é um conteúdo de relevância social, pois nos envolvemos

diariamente com situações que envolvem mensurar tempo, temperatura,

comprimento, massa, capacidade e grandezas geométricas como perímetro,

área e volume. O tema também proporciona situações interessantes em que o

professor consegue articular diversos campos matemáticos como a aritmética,

a geometria e a álgebra.

Atualmente os estudiosos, psicopedagogos e educadores têm se

preocupado com vários problemas na aprendizagem dos alunos e um deles se

relaciona ao déficit na aprendizagem da matemática, conforme descrito por

Analgesi (2006). Alguns dos questionamentos efetuados pelos alunos são: eu

preciso aprender isso? Pra quê? Onde vou usar? Embora um dos objetivos

explícitos do Ensino da Matemática seja preparar o estudante para lidar com

atividades práticas que envolvam aspectos quantitativos da realidade, isso

acaba não acontecendo, exceto por alguns problemas de compras, pagamento

e troco, a questão continuaria válida, porque grande parte do conteúdo na

maioria das vezes, continua sendo tratado de modo totalmente desligado do

que ocorre no dia-a-dia da escola e da vida dos alunos.

Dentre estes pode-se destacar os de área e perímetro. Percebe-se que

os alunos apresentam dificuldades e defasagem em relacionar eles com o

cotidiano, pois os mesmos são abordados superficialmente em séries

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anteriores, e acabam passando despercebidos pelos educadores, e muitas

vezes o ano letivo termina sem a realização de nenhuma experiência com o

referido conteúdo, pois os educadores têm preocupação primordial em abordar

os conteúdos básicos: Números e Álgebra. O estudo das grandezas

geométricas em particular, apresenta sérias dificuldades de aprendizagem

pelos alunos. Vários estudos, entre eles os de Câmara dos Santos & Perrot

(1998), Baltar1 (1996) e Lima (1995), e avaliações nacionais e regionais de

desempenho indicam esse insucesso (Ignácio, 2010).

Com relação aos conteúdos de medidas de área e perímetro podemos

identificar que a dificuldade está em aplicá-lo em conjunto com os demais

conteúdos estruturantes e relacioná-lo com outras áreas do conhecimento. Um

fator a ser considerado é a necessidade de maior dedicação de tempo para o

conteúdo e a aplicação da modelagem matemática como metodologia para

motivação do aluno sobre a importância do aprendizado com a prática,

tornando-a significativa.

Dessa forma, o objetivo geral foi proporcionar ao aluno uma

aprendizagem significativa sobre os conceitos de área e perímetro, utilizando

uma abordagem integradora a partir do uso da modelagem matemática.

Partindo da necessidade de buscar metodologias diferenciadas para a

compreensão dos conceitos de área e perímetro por meio da aprendizagem

significativa fez-se uso da modelagem matemática para atingir o objetivo.

Assim, foram utilizados referenciais teóricos que auxiliaram na

elaboração e percepção da importância da modelagem para o ensino da

matemática, como por exemplo, os autores Biembengut e Hein (2000), que

apresentam a modelagem matemática como estratégia de ensino

aprendizagem focalizando o uso de modelos matemáticos como forma de

concretização da matemática, produzida nos diversos contextos problemáticos

da sociedade.

“A modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são

convidados a problematizar e investigar por meio da matemática, situações

com referência na realidade”, enfatizado por Barbosa (2004, p.75). Usando

essa interação matemática com o cotidiano do educando, por meio da planta

da Escola Estadual Érico Veríssimo foi possível desenvolver atividades na

aplicação do cálculo de área e perímetro.

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Ao trabalhar modelagem matemática dá-se importância a dois itens

essenciais:

• Unir o tema a ser escolhido com a realidade dos alunos;

• Aproveitar o conhecimento e experiências vivenciadas pelos

mesmos.

O trabalho foi desenvolvido, utilizando-se como material didático o

próprio ambiente escolar que foi problematizado e analisado, pois é o ambiente

que os educandos estão inseridos grande parte do tempo. Como as atividades

foram direcionadas pelo educador, cabe ressaltar que a metodologia da

modelagem matemática utilizada baseou-se nos estudos de Biembengut e Hein

(2005) e Barbosa (2004).

Na sequência serão apresentadas as principais discussões que

envolveram o artigo, com referencial teórico, trabalhos realizados em sala de

aula, análises e conclusões.

2 REVISÃO DA LITERATURA

2.1 As Teorias de Aprendizagem

Para efetivarmos a modelagem matemática é preciso compreender

sobre as contribuições oferecidas pelas teorias de aprendizagem e

compreender como os alunos a desenvolvem.

Dessa forma, estaremos estudando algumas teorias de aprendizagem

e desenvolvendo uma reflexão que fundamenta o processo educativo e nos

dão subsídios para entender como se desenvolve o processo de aprendizagem

do aluno.

Sabemos que toda prática pedagógica bem sucedida é resultado de

conhecimento de causa, mas para que isso aconteça é fundamental conhecer

as teorias desenvolvidas por autores renomados como Piaget, Vygotski,

Ausubel, Gowin, Novak, entre outros, conforme verificaremos a seguir.

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Na teoria do desenvolvimento cognitivo de Piaget, e conforme descrito

por Moreira (1999) dentre as contribuições de Piaget, em suas pesquisas e

estudos referem-se ao desenvolvimento mental da criança, para os quais toma

como referência os esquemas de assimilação que ela utiliza. Segundo o autor

o desenvolvimento intelectual da criança é constituído por períodos definidos

como: sensório-motor, pré-operacional, operacional-concreto e operacional-

formal. Estes por sua vez podem ser subdivididos em estágios, neles a criança

vai construindo seus próprios esquemas de assimilação que evoluem à medida

que vai crescendo e conhecendo o mundo que a rodeia.

Para Piaget só haverá aprendizagem quando houver acomodação do

conhecimento, ou seja, para alcançá-lo a criança passa por diferentes

processos: o de conhecer, desequilibrar, equilibrar, acomodar e assimilar os

novos conhecimentos. Seguindo essa mesma idéia observamos que toda

assimilação é decorrente de um ato de desequilíbrio, por exemplo: a criança

tem conhecimento básico sobre uma determinada coisa, alguém lhe diz algo

contrário, se acreditar entrará em desequilibro até o momento que consiga

acomodar este novo conhecimento, conforme explicado por Moreira (1999).

Piaget fala também sobre o ambiente escolar, diz que, se este for

pobre em situações desiquilibradoras, cabe ao educador produzi-las

artificialmente, tomando cuidado para que após cada situação haja equilíbrio e

aquisição de conhecimento. Ressalta ainda que sempre que possível o ensino

deve ser acompanhado de ações e demonstrações, diz que isso é uma

oportunidade para que o aluno possa colocar em prática aquilo que aprendeu.

A respeito do ensino, Piaget diz que as supostas aptidões

diferenciadas dos bons alunos, consistem principalmente na sua capacidade de

adaptação ao tipo de ensino que lhes é fornecido, no entanto os maus alunos,

estão na realidade perfeitamente aptos a dominar os assuntos que parecem

não compreender, desde que lhes cheguem através de outros caminhos.

Nesse sentido “a idéia de ensino reversível” é útil aqui como um meio de

atenuar esse desequilibro e evitar o insucesso na aprendizagem. Portanto,

cabe enfatizar que a teoria de Piaget é uma teoria de desenvolvimento mental

e não de aprendizagem, conforme explicado por Moreira (1999).

De acordo com Kubli (1979), citado por Moreira (1999), as ações e

demonstrações devem estar sempre ligadas à argumentação, ao discurso do

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professor. Seria ilusão pensar que só o aluno é capaz de produzir

conhecimentos. A produção é gerada na medida em que tiver integrada à

argumentação do professor. A posição deste autor é provavelmente, baseada

em posições do próprio Piaget (1977):

“(...) A primeira dessas condições é naturalmente o recurso aos métodos ativos, em especial à pesquisa espontânea da criança ou adolescente e exigindo-se que toda a verdade a ser adquirida, seja reinventada pelo aluno (...) mas é evidente que o educador continua sendo indispensável para criar situações e armar os dispositivos (...) O que se deseja é que o professor deixe de ser apenas um conferencista e que estimule a pesquisa e o esforço (...) No sentido inverso, entretanto, ainda é preciso que o professor não se limite ao conhecimento da matéria de ensino, mas esteja muito bem informado das peculiaridades do desenvolvimento psicológico da inteligência da criança ou do adolescente.” (PIAGET, 1977, p.178).

Já sobre a Teoria de Mediação de Vygotsky é apresentado uma

diferença de Piaget, onde o mesmo parte da premissa de que o

desenvolvimento não pode ser entendido sem referência ao contexto social e

cultural no qual ele ocorre. Além disso, ele focaliza os mecanismos por meio

dos quais se dá o desenvolvimento cognitivo. Segundo ele o desenvolvimento

cognitivo do ser humano não pode ser entendido sem referência ao meio

social. Assim sendo, o desenvolvimento cognitivo é a conversão de relações

sociais em funções mentais, conforme explica Moreira (1999).

Conforme Driscoll (1995, pg. 229), apud Moreira (1999), não é por

meio do desenvolvimento cognitivo que o individuo se torna capaz de

socializar, é na socialização que se dá o desenvolvimento dos processos

mentais superiores. Então, como se convertem no individuo as relações sociais

em funções psicológicas? A resposta está na mediação, que para Vygotsky, é

típica da cognição humana.

Assim, podemos dizer que a conversão de relações sociais em funções

a mentais superiores não é direta, é mediada. Entretanto, a mediação inclui o

uso de instrumentos e signos. Instrumento é algo que pode ser usado para

fazer alguma coisa e signo é algo que significa alguma outra coisa. Existem

três tipos de signos: 1) indicadores são aqueles que tem uma relação de causa

e efeito com aquilo que significam (ex. fumaça indica fogo). 2) icônicos são

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imagens ou desenhos daquilo que significam. 3) simbólicos, são os que tem

uma relação abstrata com o que significam.

As sociedades criam não só instrumentos mas também sistemas de

signos. Ambos são criados ao longo da história, pois modificam e influenciam

seu desenvolvimento social e cultural. Assim, a combinação do uso de

instrumentos e signos é característica apenas do ser humano e permitem o

desenvolvimento de funções mentais ou processos psicológicos superiores.

Quanto mais o individuo utiliza os signos, mais vão se modificando as

operações psicológicas das quais ele é capaz. No desenvolvimento cultural da

criança toda função aparece duas vezes - primeiro em nível social (entre

pessoas), depois em nível individual no interior da própria criança. Todas as

funções mentais superiores se originam como relações entre os seres

humanos.

Diferente de outros teóricos cognitivistas, Vygotsky enfoca a interação

social. Sua unidade de análise não é nem o individuo, nem o contexto, mas a

interação entre eles. Para ele a interação é fundamental para o

desenvolvimento cognitivo e lingüístico de qualquer individuo.

Segundo Riviére (1987, p. 96), citado por Moreira (2009, p. 22),

“Desde o momento em que o desenvolvimento das funções mentais superiores exige a internalização de instrumentos e signos em contextos de interação, a aprendizagem se converte na condição para o desenvolvimento dessas funções , desde que se situe precisamente na zona de desenvolvimento potencial do sujeito, definida como a diferença entre o que ele é capaz de fazer por si só e o que pode fazer com ajuda de outros (...)” (MOREIRA, 2009, p. 22).

Para Vygotski, a linguagem (fala) é o mais importante sistema de

signos para o desenvolvimento cognitivo para a criança. Na aprendizagem de

conceitos por exemplo, a criança primeiramente inicia o nome do conceito, a

um animal específico que encontrou no seu cotidiano, e que numa interação

social, alguém lhe disse “isso é um gato”, depois de sucessivos encontros com

diferentes gatos, a criança aprende a abstrair de um caso concreto o nome do

conceito e a generalizá-lo a muitas outras situações e instâncias. Nesse

sentido, a inteligência prática se refere ao uso de instrumentos e a inteligência

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abstrata a utilização dos signos, dos quais a linguagem é o mais importante

para o desenvolvimento cognitivo. As crianças resolvem as tarefas práticas

com a ajuda da fala, assim como dos olhos e das mãos.

Vygotsy fala mais formalmente quando se refere ao desenvolvimento

cognitivo citando a zona de desenvolvimento proximal que é definida como a

distância entre o nível de desenvolvimento cognitivo real do individuo, tal como

medido por sua capacidade de resolver problemas, independente de seu

desenvolvimento potencial.

A zona de desenvolvimento proximal define as funções que ainda não

amadureceram, mas que estão no processo de maturação. Logo, a interação

que provoca a aprendizagem deve ocorrer dentro da zona de desenvolvimento

proximal. O limite inferior é por definição, fixado pelo nível real do

desenvolvimento do aprendiz. O superior é determinado por processos

instrucionais que podem ocorrer no brincar, no trabalho e no ensino formal ou

informal.

Para Gaspar (1994),

“Os processos que levam a formação de conceitos desenvolvem-se a partir de duas linhas ou raízes genéticas distintas, uma que se origina dos agrupamentos e vai até os pseudoconceitos e outra, paralela, contemporânea dos conceitos potenciais (...).” (GASPAR, 1994, p. 06).

Para Vygotsky, o único bom ensino é aquele que está a frente do

desenvolvimento cognitivo e o dirige. Analogamente, a única boa

aprendizagem é aquela que está avançada em relação ao desenvolvimento. A

aprendizagem orientada para níveis de desenvolvimento já alcançados não é

efetiva, do ponto de vista do desenvolvimento cognitivo do aprendiz.

Após analisarmos a teoria de Vygotsky podemos também analisar a

teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel, onde também é retratado por

Moreira (1999), que fala sobre o psicólogo Educacional Ausubel que trabalhou

com três tipos de aprendizagem: cognitiva, afetiva e psicomotora.

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A Aprendizagem Cognitiva se define em valorizar o conhecimento

prévio da criança, ou seja é aquela na qual certo conteúdo é inserido na

Estrutura Cognitiva de forma organizada, criando várias fontes de informações.

A Aprendizagem Afetiva é um tipo de conhecimento que provoca

sentimentos ou sensações como dor, prazer, satisfações, desejos e

ansiedades. Já a aprendizagem Psicomotora é aquela que provoca respostas

condicionadas, resultado de muita prática.

Em seus estudos Ausubel propôs uma teoria, conhecida por Teoria da

Aprendizagem Significativa, através da qual afirma que é a partir de conteúdos

que o indivíduo tem na estrutura cognitiva, que a aprendizagem pode ocorrer

numa interação. Nas palavras do próprio autor “o fator mais importante que

influi na aprendizagem é aquilo que o aluno já sabe. Isto deve ser averiguado e

o ensino deve depender desses dados” (Ausubel, Novak e Hanesian, 1983).

Assim, a Aprendizagem Significativa é um processo por meio do qual

uma nova informação é ligada a uma estrutura cognitiva específica, prévia,

chamada por Ausubel de subsunçor.

Sua teoria é construtivista e o papel da interação professor aluno, sem

dúvida é importante para que, a partir dos subsunçores que o aluno possa

construir novos subsunçores ou modificar os velhos. A aprendizagem é

dinâmica, pois ela é uma interação entre aluno e professor, a partir do

conhecimento prévio que o aluno têm, de acordo com Mess (2010).

Nesse sentido um material que pode ser relacionado a estrutura

cognitiva do aluno, é um material significativo podendo ser uma figura, imagem,

conceito e princípio. A esse processo de aquisição e de organização de novos

conhecimentos na estrutura cognitiva de um indivíduo, foi dado o nome de

“Teoria da Assimilação”.

As afirmações acima mostram que o conceito subsunçor existente

previamente no indivíduo é modificado depois da assimilação do novo conceito.

Os conceitos A’ e a’ são diferenciados ainda durante um certo tempo após a

assimilação. No entanto, através de uma organização cognitiva, o sujeito passa

a um segundo estágio de assimilação conhecida como assimilação obliteradora

(esquecida), tornando a separação entre A’ e a’ cada vez mais difícil. O

resultado é o subsunçor modificado A’. A esse processo (diferenciação

progressiva do conceito subsunçor, modificando-o) é dado o nome de

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diferenciação progressiva, que acontece em uma das categorias de

aprendizagem significativa.

Em contrapartida, Ausubel também se reporta a Aprendizagem

Mecânica, que ao contrário da Aprendizagem Cognitiva encontra muito pouca

ou nenhuma informação prévia a qual possa se relacionar com novos

conteúdos (subsunçores) relevantes ao estudante, esta então passa a ser um

exemplo de um ensino que não requer Aprendizagem Significativa. Cabe

ressaltar que há situações em que os estudantes não possuem subsunçores

relacionados aos novos conceitos e assim sendo talvez seja preciso antes

introduzi-los através de aprendizagem mecânica. Ausubel propõe nesses casos

utilizar organizadores prévios como estratégia para ensino-aprendizagem.

Organizadores prévios são materiais introdutórios, apresentados a um

nível mais alto de abstração, generalidade e inclusividade que o conteúdo do

material instrucional a ser aprendido proposto por David P. Ausubel para

facilitar a aprendizagem significativa. Eles se destinam a servir como pontes

cognitivas entre aquilo que o aprendiz já sabe e o que ele deve saber para que

possa aprender significativamente o novo conteúdo. Ausubel propõe os

organizadores prévios como a estratégia mais eficaz para facilitar a

aprendizagem significativa quando o aluno não dispõe em sua estrutura

cognitiva dos conceitos relevantes para a aprendizagem de um determinado

tópico”, conforme descrito por Souza e Moreira (1980).

Contudo para Ausubel ainda há a preocupação de que os estudantes

estejam dispostos a relacionar o novo material à sua estrutura cognitiva, caso

contrário, a aprendizagem será meramente mecânica, mesmo que o material

seja extremamente significativo. Da mesma forma, se o material não for

significativo os alunos mesmo com grande disposição para unir o conteúdo à

sua estrutura cognitiva terão aprendizagem mecânica.

Além disso, Ausubel afirma que a organização dos elementos no

cérebro humano é hierarquizada, ou seja, conceitos específicos são ligados a

conceitos gerais. Nesse sentido, estrutura cognitiva na realidade é uma

estrutura hierárquica de conceitos. Mas como podemos avaliar se uma

aprendizagem adquirida é significativa ou não? Segundo Ausubel, o conteúdo

adquirido tem que estar claro, preciso e deve haver competência em transferi-lo

a situações novas, diferentes daquelas que foram usadas para o seu ensino. O

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fato do aluno conseguir definir conceitos, discorrer sobre eles ou mesmo

resolver problemas complexos, não significa que teve aprendizagem

significativa. Ausubel argumenta que uma longa experiência em fazer exames

faz com que os estudantes se habituem em memorizar não só proposições e

fórmulas, mas também causas, exemplos, explicações e maneiras de resolver

‘problemas típicos (Moreira, 1999).

Mas então, como seria um instrumento avaliativo de aprendizagem

significativa?

Moreira descreve a visão de Ausubel quanto a esse aspecto:

“(...) ao procurar evidência de compreensão significativa, a melhor maneira de evitar a ‘simulação da aprendizagem significativa’ é formular questões e problemas de uma maneira nova e não familiar, que requeira máxima transformação do conhecimento adquirido. Testes de compreensão, por exemplo, devem, no mínimo, ser fraseados de maneira diferente e apresentados em um contexto de alguma forma diferente daquele originalmente encontrado no material instrucional”. (MOREIRA, 1999, p. 156)

Para melhor caracterizar a aprendizagem significativa, Ausubel, ainda

diferencia em três categorias. A primeira denominada de aprendizagem

representacional, é identificada quando um indivíduo consegue atribuir

significado a símbolos particulares e aos resultados aos quais eles se referem.

A segunda chamada de aprendizagem de conceitos é mais genérica, abstrata e

representa regularidades; talvez se possa afirmar que ela é uma aprendizagem

representacional generalizada. Já a terceira conhecida como aprendizagem

proposicional, define a aprendizagem como uma idéia associada aos conceitos,

em outras palavras o conceito é definido através de uma proposição, portanto,

através de várias palavras.

Há também outras categorias de aprendizagem não conflituosas como

essas citadas acima, pelo contrário, são complementares. Elas são:

aprendizagem subordinada, que acontece quando o novo conhecimento

interage com subsunçores, tornando o novo significativo; aprendizagem

superordenada, acontece quando partindo dos subsunçores, se forma uma

idéia geral (conceito ou proposição), organizando os subsunçores como partes

desta idéia, aprendizagem combinatória pode ser entendida como

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aprendizagem de proposições mais amplas e gerais do que aquelas que já

existem na estrutura cognitiva. É aprendizagem de uma proposição global, não

subordinada e nem superordenada, por não se ligar com conceitos ou

proposições específicas.

Assim, uma aprendizagem pode ser analisada de acordo com as seis

classificações vistas anteriormente (e elas não são excludentes). Um indivíduo

pode ter aprendizagem de proposições e também aprendizagem

superordenada, por exemplo. Ausubel ainda destaca dois interessantes

processos que ocorrem na aprendizagem significativa: a diferenciação

progressiva e a reconciliação integrativa, conforme cita Moreira (1999).

O primeiro já foi citado quando observamos que o subsunçor pode

modificar-se com a introdução de uma nova informação, alterando-o e dando

novo significado; esse é o processo conhecido como diferenciação progressiva,

e está normalmente presente na aprendizagem significativa subordinada. O

segundo acontece quando, idéias gerais relacionam subsunçores que

inicialmente estavam separados na estrutura cognitiva; normalmente este

processo ocorre na aprendizagem significativa superordenada ou na

aprendizagem significativa combinatória.

Para concluir é preciso ficar claro que para Ausubel, o ensino deve

ocorrer sempre a partir do que o aluno já sabe, na valorização dos seus

conhecimentos prévios. Assim a aprendizagem se tornará significativa ligando-

se ao conhecimento já armazenado, resultando assim numa interação evolutiva

entre os novos e velhos conhecimentos.

É nesta perspectiva que se fundamenta a implementação deste projeto,

a fim de organizar a estrutura e a efetivação dos trabalhos a serem realizados

na escola.

Também devemos analisar a teoria de Educação de Novak e o modelo

de ensino aprendizagem de Gowin, onde Novak complementa e amplia a

proposta de Ausubel, partindo da idéia de que educação é o conjunto de

experiências (cognitivas, afetivas e psicomotoras) que contribuem para o

engrandecimento do indivíduo para lidar com a vida diária, ele chega ao que

chama de uma teoria de educação. Parte do princípio que os seres humanos

fazem três coisas: pensam, sentem e atuam, segundo ele cada um desses

12

elementos deve ajudar a explicar como se pode melhorar as maneiras por meio

das quais eles agem assim, explicado e citado por Moreira (1999).

Sendo assim, qualquer evento educativo é uma ação para trocar

significados e sentimentos entre o aprendiz e o professor. Para entender

melhor é conveniente introduzir a idéia de lugares comuns da educação,

originalmente proposta por Schwab (1973), segundo ele qualquer fenômeno

educativo envolve direta ou indiretamente, quatro elementos que ele chama de

lugares comuns: aprendiz (aprendizagem), professor (ensino), matéria de

ensino (currículo) e matriz social (meio, contexto), a estes Novak acrescentou

mais um: a avaliação. A avaliação se enquadra neste contexto de processo

ensino – aprendizagem – conhecimento – matriz social, como importante fase

de análise.

Moreira (1999) explica que Novak propõe em sua teoria, a idéia que

qualquer evento educativo implica uma ação para trocar significados e

sentimentos entre professor e aluno. Ao ensinar o professor apresenta ao aluno

significados que são aceitos como válidos em um certo contexto. O aluno, de

alguma maneira, externaliza os significados que está captando. Esse processo

continua até que professor e aluno compartilhem significados. A troca de

significados entre professor e aluno tem esse objetivo.

Portanto é preciso deixar claro, que a aprendizagem significativa não é

sinônimo de aprendizagem correta. Na aprendizagem significativa o aluno

adquire um novo significado ao conhecimento prévio, o qual se torna mais rico

e elaborado. É com esta finalidade que o professor interage com o aluno. Cada

aprendizagem significativa vai gerando significados que passam a fazer parte

da história cognitiva do indivíduo. Essa história além de ser única para cada

indivíduo, é provavelmente impagável.

2.2 A Modelagem Matemática

As teorias analisadas anteriormente proporcionam uma base para

identificar a concepção clara sobre a modelagem matemática e sua aplicação

em conjunto com as Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação

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Básica do Paraná. Elas apresentam algumas considerações sobre as

tendências metodológicas que compõem o campo de estudo da educação

matemática, ressaltando a importância similar entre si e complementando-se

uma às outras. É neste cenário que a modelagem matemática está presente.

Conforme explica Biembengut e Hein (2005), o processo da

modelagem matemática envolve a obtenção de um modelo. Os autores

também descrevem que a modelagem pode ser considerada um processo

artístico que precisa de intuição, criatividade, ter senso lúdico para jogar com

as variáveis, além do conhecimento na área. Os autores ainda identificam que

o professor pode escolher o tema ou propor que os alunos o escolham com

algumas vantagens e desvantagens, porém, seja qual for a forma adotada cabe

ao professor inteirar-se do tema escolhido.

A proposta metodológica da modelagem segundo Paraná (2008),

afirma que a matemática tem como pressuposto a problematização de

situações do cotidiano, onde propõe-se ao mesmo tempo a valorização do

aluno no contexto social. E através dos questionamentos sobre situações

vivenciadas, procurar efetuar o levantamento de problemas e sugestões.

Biembengut e Hein (2000), enfatizam que a modelagem matemática é

uma alternativa de ensino-aprendizagem, partindo do interesse dos alunos e o

conteúdo desenvolvido tem origem no tema a ser problematizado, baseando-se

nas dificuldades do dia-a-dia, valorizando o aluno no contexto social que o

mesmo está inserido, dando condições para ser uma pessoa crítica e capaz de

superar suas dificuldades.

De acordo com Bassanezi:

“No caso da matemática, é necessário buscar as estratégias alternativas de ensino aprendizagem que facilitem sua compreensão e utilização. A modelagem matemática, em seus vários aspectos é um processo que alia teoria e prática, motiva seu usuário na procura do entendimento da realidade que o cerca e na busca de meios para agir sobre ela e transforma-la. Nesse sentido, é também um método cientifico que ajuda a preparar o indivíduo para assumir seu papel de cidadão” (BASSANEZI, 2006, p.17).

Com isso a modelagem é importante para que o processo de ensino

seja proveitoso e satisfatório, fazendo com que a motivação envolva os alunos,

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para que estes possam interpretar e compreender os diversos fenômenos do

nosso cotidiano, de forma criativa e eficaz, provocando assim um crescimento

no desempenho escolar do aluno em termos de conteúdos matemáticos.

A modelagem matemática é livre e espontânea, ela surge da

necessidade do educando em compreender os fenômenos que o cercam para

interferir ou não em seu processo de construção.

Ao trabalhar modelagem matemática dá-se importância a dois itens

essenciais: - unir o tema a ser escolhido com a realidade dos educandos e

aproveitar o conhecimento e experiências vivenciadas pelos mesmos.

Ao usar a modelagem matemática, o conteúdo matemático passa a ter

significação, deixando de ser abstrato e passa a ser concreto tornando assim

facilitador de aprendizagem.

“A Modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são

convidados a problematizar e investigar por meio da matemática, situações

com referência na realidade”, enfatizado por Barbosa (2004,p.75). Usando essa

interação matemática com o cotidiano do educando oferece um importante

fator no ensino-aprendizagem, pois dá sentido ao conteúdo proporcionando

aprendizagem mais significativa oferecendo aos alunos oportunidades de

participação ativa nas aulas.

Biembengut e Hein (2005) apresentam as etapas e procedimentos para

a interação entre as situações reais e a matemática.

• A Interação: - reconhecimento da situação-problema; e,

familiarização com o assunto a ser modelado – o referencial teórico, ou seja,

ocorre o envolvimento com o tema a ser estudado;

• Matematização: Consiste na formulação do problema – ou

hipótese; - resolução do problema em termos do modelo. É aqui que se formula

um problema e escreve-o segundo um modelo matemático que leva à solução;

• Modelo matemático: Onde ocorre a interpretação da solução, teste;

validação do modelo obtido, através de avaliação.

Bassanezi (2010) explica que a modelagem matemática consiste na

arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e

resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real.

Essa série de procedimentos é apresentada na figura 01:

15

Figura 01: Esquema do processo da modelagem matemática.Fonte: Adaptado de Biembengut e Hein (2005, pg. 13).

Bassanezi (2010) descreve sobre uma série de pontos que destacam a

relevância da modelagem matemática quando utilizada como instrumento de

pesquisa:

• Pode estimular novas idéias e técnicas experimentais;

• Pode dar informações em diferentes aspectos dos inicialmente

previstos;

• Pode ser um método para se fazer interpolações, extrapolações e

previsões;

• Pode sugerir prioridades de aplicações de recursos, pesquisas e

eventuais tomadas de decisão;

• Pode preencher lacunas onde existem falta de dados experimentais;

Pode servir como recurso para melhor entendimento da realidade;

• Pode servir de linguagem universal para compreensão e

entrosamento entre pesquisadores em diversas áreas.

Conforme verificamos na figura 02, autor também descreve o esquema

da modelagem desde a aproximação do aluno até sua aplicação, que o mesmo

chama de atividades intelectuais da modelagem matemática, que incluem a

experimentação, abstração, resolução, validação e a modificação.

Com essa fundamentação, pode-se ter uma preparação para efetivar a

aplicação da modelagem/modelação matemática com os alunos da Escola

Érico Veríssimo, de maneira significativa.

16

Figura 02: O esquema de uma modelagem. Fonte: Bassanezi (2010, pg. 27).

2.3 A Modelagem e o Ensino dos Conteúdos de Perímetro e Área

As primeiras considerações realizadas sobre perímetro e área são

muito antigas, uma vez que Eves (1992), citado por Pires e Gomes (2004),

ressalta que provavelmente a geometria originou-se de observações simples

que possibilitaram reconhecer configurações físicas, comparar formas e

tamanhos. O mesmo autor destaca ainda que a noção de distância deve ter

sido um dos primeiros conceitos geométricos a ser desenvolvido pelos homens

primitivos.

Boyer (1996) afirma que Heródoto subestimou a idade da geometria e

acreditava que ela tenha surgido da necessidade prática de fazer novas

medidas de terra após as inundações no vale do rio Nilo. A necessidade de

17

fazer novas demarcações de terras após as cheias do Nilo fez com que

aparecessem os “mensuradores”.

Os conceitos de área e perímetro, provavelmente, estão relacionados

ao problema das medições de terra, conforme identifica Pires e Gomes (2004),

que também cita Eves (1992) que descreve a necessidade de delimitar a terra

levou a noção de algumas figuras geométricas, tais como retângulos,

quadrados e triângulos, mas a geometria no sentido mais amplo surgiu em

tempos mais antigos que a arte de escrever.

Se analisarmos a história, encontraremos relatos que explicam como

as terras que margeavam os rios (Rio Nilo no Egito Antigo) eram divididas para

serem cultivadas, desenvolvendo dessa forma a agricultura nessa área. Este

exemplo é uma aplicação da geometria para resolver um problema do cotidiano

dos egípcios.

Havia no Egito a necessidade de demarcação dos lados de terrenos, a

idéia da área para que houvesse o pagamento de tributos ao faraó e para

divisão entre herdeiros; a idéia de volume na irrigação; a construção de

templos, entre outros.

Dessa forma, a geometria nesta época era tida como necessidade,

aplicada aos problemas diários dessas pessoas. O conhecimento matemático

surgiu a partir da obrigação de resolver tal problema.

Segundo Boyer, no Papiro de Ahmes existem problemas que utilizam o

cálculo da medida de área, com o uso de composição e decomposição de

figuras.

Euclides, geômetra grego, traz em sua obra “Os Elementos” a idéia que

se duas figuras planas se coincidem por superposição estas serão iguais

(equivalentes). Foram os gregos que transformaram a geometria empírica dos

egípcios e babilônicos na geometria demonstrativa.

A história da matemática nos indica que as civilizações antigas

obtiveram várias fórmulas para o cálculo de área de várias figuras, sendo

algumas com precisão e outras aproximadas.

Segundo Baldin (2003), os problemas de medida de terra e cálculo

aproximado de área de terrenos estão presentes ainda hoje no cotidiano e são

de muita relevância tanto nas práticas rurais quanto nas urbanas. Como

exemplo tem-se a situação do agricultor que ao fazer o plantio, muitas vezes

18

precisa estimar a área do terreno, que em muitos casos é de forma irregular.

Pode-se citar também como exemplo o IPTU – Imposto Predial e Territorial

Urbano – que entre outros fatores, é cobrado em função da área do terreno e

da área construída. Outros profissionais como os da construção civil, também

lidam com muita frequência com os cálculos de área e perímetro e tantos

outros.

Assim, baseando-se nesta premissa da importância da utilização das

medições em construções é que reforçamos a relevância de trabalhar tais

conceitos e conteúdos com os educandos da Escola Érico Veríssimo.

O conceito de área e o processo de medir área do ponto de vista da

estrutura matemática, segundo Bellemain e Lima (2001), “tem como ponto de

partida a definição de uma função (f), dita função área, num conjunto de

superfícies, assumindo valores no conjunto dos números reais não-negativos”.

Para compreendermos e podermos efetivar os trabalhos voltados ao

ensino de área e perímetro, também é necessário termos as concepções sobre

medidas de comprimento, dessa forma, Pires e Gomes (2004), reforçam que

medir é comparar, ou seja, medir a área de uma superfície é compará-la à área

de outra superfície.

Conforme descrito por Paraná (2008), com o passar dos anos,

verificou-se a necessidade de padronizar os sistemas de medidas devido à

intensificação das relações sociais e econômicas, isto é, da expansão do

comércio e o surgimento do mercantilismo. Ocorreram muitas tentativas para

chegar a um sistema métrico padrão.

Não podemos negar que as medidas fazem parte de nosso dia a dia, e

o seu ensino deve proporcionar ao educando um conhecimento útil para seu

cotidiano e também em seu futuro profissional. Tanto a contagem como as

medidas fazem parte da matemática desde seu aparecimento, pois se

pensarmos nas atividades diárias de várias profissões vemos que o ato de

medir nos acompanha diariamente. As medidas de área e perímetro consistem

em possibilitar a percepção concreta das relações de grandeza existente entre

as unidades de comprimento.

Conforme explica Biembengut e Hein (2005), para introduzir medidas

lineares, o professor pode solicitar que os alunos elaborem uma tabela

constando os objetos presentes no local de aplicação, e em seguida,

19

encontrem as medidas utilizando-se como unidade alguma parte do próprio

corpo, por exemplo, palmo ou passos.

Paraná (2008) retrata que:

“Uma proposta de unificação de pesos e medidas foi votada pela Assembléia da França, em 1790. Após tal consenso, as medidas tornaram-se padronizadas. Esse sistema adotou, inicialmente, três unidades básicas de medidas: o metro, o litro e o quilograma. O Brasil adotou o sistema métrico em 1872. Após esse período, ocorreram algumas alterações em relação aos elementos usados para definir algumas medidas, entre elas a de comprimento e a de tempo, até chegar às unidades de base do Sistema Internacional de Unidades – SI.” (PARANÁ, 2008, p. 54).

Concordando com Biembengut e Hein, a proposta de utilização de fita

métrica ou trena para fazer as medições é adequada, de forma que reproduza

essas mesmas medidas usando uma escala adequada em papel milimetrado,

com réguas e esquadros. Promover o desenvolvimento da capacidade de

medir, considerando-se a frequência com que situações envolvendo as

medições surgem na vida diária, levando-se em conta a relevância social dos

conhecimentos a elas referentes.

Através das noções citadas por Biembengut e Hein (2005), a

implantação do projeto e efetivação do trabalho está aliada a motivação dos

alunos, por isso é necessário que o educador levante alguns questionamentos,

como por exemplo, o que é preciso para construir uma escola? Como o

pedreiro sabe o tamanho e o modelo da construção? Onde construir? Em que

terreno? Qual a forma do terreno? São alguns questionamentos que podem ser

feitos aos alunos para instigar a curiosidade e iniciar a colocação do tema em

prática, já que o trabalho propõe a análise da planta baixa da Escola Estadual

Érico Veríssimo e o esboço da planta através de uma maquete.

20

3 METODOLOGIA E ESTRATÉGIA DE AÇÃO

A estratégia de ação parte inicialmente das pesquisas bibliográficas

sobre as tendências em educação matemática, mais especificamente no uso

da modelagem matemática para o ensino dos conceitos de área e perímetro de

cunho experimental.

No início do ano de 2011 foi elaborado o material didático que fez parte

da produção didático-pedagógica, proporcionando a efetiva implementação do

projeto inicial na escola.

O trabalho baseou-se na análise da planta baixa da Escola Estadual

Érico Veríssimo, em Laranjeiras do Sul, Paraná, aplicado na 8ª série / 9° ano. A

atividade visou estimular a criatividade, para avaliar os conhecimentos sobre os

conceitos geométricos.

A proposta foi desenvolvida em 02 turmas da 8ª série/9°ano de formas

distintas, neste caso aplicou-se a modelagem em uma das turmas, enquanto

que na outra os conceitos foram trabalhados de maneira tradicional, obtendo

um comparativo e uma análise qualitativa sobre a metodologia utilizada. Para

interpretar a planta foi necessário conhecer as unidades de medida,

representações e cálculo com números inteiros e racionais, cálculo de área e

perímetro. As atividades também proporcionaram estudos envolvendo

proporcionalidade e escala.

Os procedimentos para implantação foram estruturados da seguinte

forma: 01) Modelagem Matemática – aprimoramento e estudo; 02) Escolha do

tema; 03) Formação e organização dos grupos; 04) Pesquisas, levantamento

dos problemas, desenvolvimento dos conteúdos; 05) Análise da Planta baixa;

06) Montagem da Planilha de preços ou possíveis custos; e, 07) Construção da

Maquete.

Para efetivação dos itens citados foi necessária a utilização de

instrumentos com a finalidade de coletar dados para a pesquisa, sendo eles:

pré-teste, pós-teste, caderno de anotações e registro dos trabalhos com fotos.

Os trabalhos realizados em etapas e procedimentos basearam-se nos

estudos de Biembengut e Hein (2005), que são:

21

• A Interação: - reconhecimento da situação-problema; e,

familiarização com o assunto a ser modelado – o referencial teórico, ou seja,

ocorre o envolvimento com o tema a ser estudado;

• Matematização: Consiste na formulação do problema – ou

hipótese; - resolução do problema em termos do modelo. É aqui que se formula

um problema e escreve-o segundo um modelo matemático que leva à solução;

• Modelo matemático: Onde ocorre a interpretação da solução, teste;

validação do modelo obtido, através de avaliação.

A estratégia de ação propôs a conclusão dos trabalhos com a

construção de uma maquete a partir dos estudos da planta baixa da Escola

Estadual Érico Veríssimo e para isso foi necessário ter cuidado com alguns

itens, conforme explicam Biembengut e Hein (2005), que para fazer a maquete

deve-se identificar a escala que será utilizada no material, por exemplo,

supondo que o material a ser usado sejam placas de isopor de 8 mm de

espessura.

- A espessura da parede: 15 cm – na planta.

- A espessura da parede da maquete: 8mm = 0,8 cm.

- Um metro é igual a 100 cm.

Tamanho real Cartolina100 cm X15 cm

(parede)

0,8 cm

Fonte: Biembengut e Hein (2005)

Determinando a escala para a maquete:

X = 100 X 0,8 = 5,33.. (escala) 15

Dessa forma, o método da modelagem com controle e experimentação

foi utilizado para integrar os conteúdos de outras disciplinas, como por

exemplo, geografia (escalas/localização), história (quem construiu a escola? - o

motivo pelo nome da escola), ressaltando o histórico e trabalhando em parceria

com os demais professores, juntamente com a comunidade escolar.

A aplicação da modelagem fez com que a matemática seja mais

interessante e sedutora aos olhos dos alunos, conforme descrevem Mota e

Oliveira Junior (2007). Os autores aplicaram a “modelagem matemática no

22

esporte” e concluíram que os educandos são capazes de contribuir na própria

construção do saber. Aranha (1996, pg. 168) complementa que, “se o processo

do conhecimento é mais importante que o produto, o conteúdo que é objeto de

aprendizagem precisa ser compreendido e não decorado”.

Simultaneamente às atividades foram realizados estudos e discussões

de formação continuada no curso Grupo de Trabalho em Rede (GTR), onde os

cursistas tiveram acesso ao Projeto de Intervenção Pedagógica, a Produção

Didático-pedagógica e a Implementação Pedagógica. Estes foram analisados e

discutidos durante os fóruns e diários, com sugestões e contribuições que

enriqueceram o trabalho, bem como a troca de materiais e idéias para

socializar o conhecimento.

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES

Ao realizar o trabalho de implementação foi perceptível a grande

participação e interação dos alunos. Foram aplicadas atividades com base nos

estudos de Bienbengut e Hein (2005), no que diz respeito às etapas da

modelagem: interação, matematização e modelo matemático. A metodologia é

uma alternativa de ensino-aprendizagem que possibilita a valorização do aluno

e dá condições para a formação de uma pessoa crítica e torna o educando

capaz de superar suas dificuldades.

Moreira (1999) também contribuiu com os estudos sobre a Teoria da

Aprendizagem Significativa proposta por Ausubel, que foi importante para a

conclusão da proposta deste artigo. Importante lembrar que a diferença sobre a

aprendizagem mecânica e a aprendizagem significativa foi abordada afim de

que a modelagem fosse efetivamente trabalhada com os alunos.

Após todos os estudos e aplicações foi confirmado que é na

aprendizagem significativa que o aluno dá um novo significado ao

conhecimento prévio, o qual se torna mais rico e elaborado, e que a

metodologia da modelagem matemática contribui efetivamente para que isso

possa ser concretizado.

23

4.1 Discussões do Grupo de Trabalho em Rede (GTR)

As atividades e discussões realizadas no GTR proporcionaram o

aprimoramento do trabalho e a interação entre os participantes, que

contribuíram para a ampliação das idéias durante a aplicação do trabalho.

Nesse sentido, os professores socializaram com sugestões e análises do

projeto de intervenção pedagógica e material didático.

Dentre as discussões, os professores citaram que as atividades

propostas possibilitam a observação, a participação e a reflexão crítica do

aluno que poderá vivenciar os conceitos matemáticos ensinados e não apenas

recebê-los de forma mecânica e descontextualizada, mas sim com atividades

simples para construção/reconstrução dos conceitos de área e perímetro.

Possuindo metas definidas, indicando aquilo que o aluno deverá ser capaz de

fazer como consequência de ter desempenhado adequadamente as atividades

propostas.

Também foi discutido que as atividades e ações elaboradas são

compatíveis com as necessidades e dificuldades de aprendizagem nos

conteúdos, tornando-se ferramenta metodológica que auxilia na aquisição dos

conhecimentos de forma significativa. Os professores relataram que todas as

atividades propostas são claras, simples, adequadas para a 8ª série/ 9°ano e

aplicáveis em outras séries.

4.2 Atividades Desenvolvidas X Validação do Modelo

Com relação a aplicação, a atividade inicial foi elaborar o esboço da

planta baixa da casa de cada educando utilizada como pré-teste, e teve como

objetivo instigar os alunos na interação e proximidade com o conteúdo. A

atividade foi uma forma de motivar os alunos para o inicio dos trabalhos,

possibilitando a identificação de algumas dificuldades. Iniciou-se neste

24

momento uma seqüência de ações relacionadas à interação, com o

reconhecimento da situação-problema e familiarização.

A segunda atividade realizada resultou na discussão sobre construção

de casas e prédios para verificar o que os alunos sabiam a respeito, fazendo

um levantamento de questões e instigando os alunos a participarem com

sugestões. Os educandos percorreram o espaço físico da escola observando

as formas geométricas que nela se encontram, e após a observação,

desenharam a planta da escola em papel milimetrado. Os alunos tiveram

algumas dificuldades em desenhar a planta, como dimensionar em escala e

desenhar toda a escola no papel.

No entanto, foi possível estimular a criatividade e avaliar os

conhecimentos prévios dos alunos sobre os conceitos geométricos e de

medidas. Neste momento, após o desenho da planta baixa da escola foram

trabalhados os conteúdos de geometria como: segmentos de retas, retas

perpendiculares, paralelas e ângulo reto. Além disso, foi realizada uma

pesquisa sobre as principais formas de figuras geométricas, utilizando a

internet e livros didáticos disponíveis na biblioteca. Com a pesquisa foi possível

perceber a diferença entre trabalhar os conteúdos dentro e fora da sala de

aula, foi notável a motivação dos alunos em buscar informações.

Os conteúdos de geometria foram introduzidos a partir de

questionamentos aos alunos sobre suas dificuldades na elaboração dos

desenhos, resultando em um comparativo entre o desenho dos alunos e a

planta oficial da escola. Na figura 03 podemos visualizar a planta da escola.

Os alunos perceberam que a planta baixa da escola está

desatualizada, devido às mudanças e reformas que ocorreram no decorrer dos

anos. Também citaram que a mesma não foi desenhada por um profissional da

área de engenharia. Durante o processo houve intervenção e mediação do

professor relatando as principais características das figuras geométricas.

Na terceira atividade realizada foi utilizado a seguinte situação

problema: Qual é o comprimento e a largura de algumas salas que compõem a

escola? Necessitamos da resposta a esta pergunta quando se calcula por

exemplo, quantos metros de rodapé serão necessários para rodear a sala de

aula?

25

Figura 03: Planta baixa da Escola Estadual Érico Veríssimo.Fonte: E. E. Érico Veríssimo.

Com esta atividade foi possível retomar os conceitos de medida, os

processos de medição e a necessidade de adoção de medida padrão. Os

alunos realizaram estimativas recorrendo a cálculos aproximados e a noção de

comprimento. Entre os objetivos desta, estão as habilidades de mensurar,

interpretar e expressar informações relativas a comprimento. Os alunos

realizaram as medições com utilização de instrumentos de medida

convencionais (régua e fita métrica) e não-convencionais, como palmos,

polegadas, passos bem como aprender a selecionar uma unidade pertinente.

Os alunos registraram as medidas estimadas e aferidas por meio de

instrumentos, expressas numa tabela de algumas instalações da escola. Com

isso, constatou-se que os educandos possuem pouca noção de estimativa por

falta de valores de referências.

Na quarta atividade relacionada ao conteúdo de área, foi utilizado o

geoplano, centímetro quadrado e metro quadrado, que foi norteada pela

seguinte situação problema: Quanto material (cerâmica ou forração) são

necessários para cobrir o piso do saguão da nossa escola?

Foi construído com os alunos o centímetro quadrado (um quadrado de

1cm de lado) e o metro quadrado (um quadrado com 1m de lado), usando

26

papel bobina. Esse quadrado pôde ser comparado ao chão da sala verificando

quantas unidades “daquele” metro quadrado construído por eles cabem na

sala, ou quantas unidades daquele centímetro quadrado cabem nas figuras

desenhados sobre uma malha quadriculada

Com o auxilio do Geoplano foi proposto aos alunos que encontrassem

um modelo matemático para expressar como se calcula a área das principais

figuras geométricas como quadrado, retângulo, triangulo, circulo, trapézio e

paralelogramo.

Com as atividades realizadas foi possível obter a definição dos

conteúdos, e proporcionar ao aluno a compreensão de que a área de uma

região plana indica a superfície dentro dos limites da figura. E que esta é

medida em unidades quadradas (ou unidades ao quadrado) tais como

centímetros quadrados ou metros quadrados.

Dessa forma as atividades 3 e 4 concluem a fase de matematização,

onde houve a exploração dos conceitos de perímetro e área, com participação

ativa dos alunos, oportunizando de maneira prática com sensibilização na

aprendizagem, tornando os alunos capazes de reconstruir os conceitos de área

e perímetro. Pois quando vivenciamos uma situação manipulando materiais,

somos capazes de relatar nossas sensações e transformações que ocorrem na

forma de interpretar os conceitos envolvidos na atividade, construindo e

reconstruindo os conceitos, estabelecendo um elo entre definição e conceito.

Também havia inicialmente, a proposta da atividade de construção da

maquete da Escola Estadual Érico Veríssimo, que apesar de ter sido concluída

parcialmente resultou no alcance do objetivo proposto. Este trabalho

proporcionou aos alunos um melhor entendimento sobre os conceitos de área e

perímetro utilizando uma abordagem integradora a partir do uso da modelagem

matemática, pois de acordo com a proposta metodológica da modelagem

segundo Paraná (2008), a matemática tem como pressuposto a

problematização de situações do cotidiano onde se propõe ao mesmo tempo a

valorização do aluno no contexto social e através dos questionamentos sobre

situações vivenciadas, procurar efetuar o levantamento de problemas e

sugestões.

É importante ressaltar as características iniciais da turma ao qual foi

aplicado o estudo: faltosa, dificuldades e defasagem de aprendizagem de

27

alguns alunos, dificuldade em prestar atenção, (em centrar a atenção e em

manter a atenção), pouco participativa, desinteressada, mas sem problemas

disciplinares.

Devido a estas características foi difícil analisar os conhecimentos

prévios que eles possuíam, mas com o desenvolvimento das atividades foi

possível verificar o aumento gradativo do interesse, da curiosidade, da

criatividade, da participação e da interação entre os participantes.

Durante a implementação foi possível verificar:

• Maior assiduidade nas aulas;

• A motivação em desenhar a planta da escola e demais

atividades;

• Pouca noção de estimativa por falta de valores de

referências (observadas na atividade inicial e também na reação dos alunos ao

realizarem o comparativo entre o valor estimado e o valor real das medidas);

• Dificuldades em efetuar as medições com os instrumentos

(metro e trena);

• Nas atividades que exploravam o conceito de área tais

como: confecção do cm² e m², malha quadriculada e a construção de figuras no

geoplano foram realizadas com participação ativa dos alunos, mas com relação

aos alunos encontrarem um “modelo matemático” para o cálculo de área de

figuras como o trapézio, paralelogramo este objetivo não foi totalmente atingido

havendo a intervenção e mediação do professor.

A validação do modelo ocorreu através de avaliação diagnóstica com a

interpretação de situações problema, relacionados a todos os conteúdos

abordados. Depois de realizadas todas atividades foram aplicados exercícios, a

fim de relacionar e diagnosticar o conhecimento adquirido.

É possível concluir que a modelagem matemática é viável, pois na

turma onde houve a aplicação da modelagem matemática o resultado atingiu

as expectativas obtendo maiores resultados. Na avaliação diagnóstica os

alunos ficaram motivados em resolver as situações problema, comparando com

o que foi trabalhado fora da sala de aula, enquanto que na outra turma os

alunos tentaram resolver os exercícios através da memorização e aplicação da

fórmula sem ter o conceito e a concepção prática.

28

Em termos de percentual, pode-se confirmar que nas turmas em que

houve a aplicação da modelagem, aproximadamente 90% dos alunos obteve

rendimento superior à média, enquanto que na outra somente 60%.

Assim, é essencial que o professor identifique formas de trabalho que

propiciem a validação de um modelo, pois a “modelagem” é uma metodologia

que busca dar sentido e significados à matemática escolar em relação à

matemática do cotidiano do aluno, e requer do professor uma postura

investigativa, de descoberta e de tempo disponível. Segundo Soistak e Burak

(2012, pg. 06) “Quando o processo de ensino aprendizagem é viabilizado

através da Modelagem Matemática, necessita-se de uma quantidade maior de

tempo para se chegar as análises e conclusões (...)”.

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao final do trabalho foi perceptível que a metodologia da modelagem

facilitou a aprendizagem dos alunos, a percepção da importância para o

desenvolvimento e o aprimoramento das aplicações em suas diversas formas,

para que os conceitos sobre o conteúdo sejam desenvolvidos e não apenas

repassados aos alunos.

As atividades aplicadas contribuíram para a aprendizagem significativa,

tornando as aulas dinâmicas e interessantes. O ensino foi motivador e

praticado por meio de experiências significativas, e no decorrer do

desenvolvimento do trabalho houve interatividade entre os alunos e professor a

fim de superar as dificuldades encontradas, pois foram explorados oralmente

situações da vida real onde os conteúdos de área e perímetro se aplicam,

viabilizando o porquê de seu ensino, uma vez que até então, nenhum professor

havia trabalhado com atividades práticas relacionadas ao conteúdo.

Cabe finalizar que participando ativamente do processo, o aluno

aprende com maior facilidade, ainda mais quando são apresentadas situações

ligadas ao seu cotidiano, pois segundo Paraná (2008) a partir de uma situação

prática e de seus questionamentos, o aluno poderá encontrar modelos

matemáticos que respondam a problematização.

29

É possível compreender que a utilização da modelagem proporciona a

motivação dos alunos e do próprio professor, e consequentemente um avanço

significativo no processo ensino-aprendizagem. Além disso, proporciona o

entendimento do papel sociocultural da matemática através da transformação e

compreensão da realidade.

As atividades foram aplicadas de forma sistemática, para que os

educandos pudessem desenvolver sua concepção e aprender sobre os

diversos assuntos que o trabalho englobou. Com isso o melhor resultado é a

realização de estudos voltados para que o aluno não apenas receba o

conteúdo pronto, mas sim construa sua própria concepção e que esta seja

realmente significativa.

A aplicação da modelagem realmente foi integradora com os demais

conteúdos estruturantes, proporcionando maior abrangência e possibilitando

maiores aprofundamentos em estudos futuros.

6 REFERÊNCIAS

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