modelagem, identificaÇÃo e controle de estruturas...
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INPE-11829-PRP/244
MODELAGEM, IDENTIFICAÇÃO E CONTROLE DE ESTRUTURAS FLEXÍVEIS DE RASTREAMENTO LINEARES E
NÃO LINEARES COM APLICAÇÕES AEROESPACIAIS (SATÉLITES E ROBÓTICA) –VOLUME 1
FAPESP: PROCESSO 01/02858-5
André Fenili
Esta relatório teve a colaboração do Dr. Luiz Carlos Gadelha de Souza da Divisão de Mecânica Espacial e Controle (DMC).
INPE São José dos Campos
2004
Í n d i c e
Capítulo 1
Solução analítica ( método das múltiplas escalas ) e localização dos casos ressonantes ( curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal ) Aspectos Gerais.............................................................................................................1
Parte A - Equação governante do movimento..........................................................6 A.1 – Ressonâncias secundárias e caso não ressonante –
Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1)............................................6 A.1.1 – Sem amortecimento estrutural.................................................................6 A.1.2 – Com amortecimento estrutural................................................................7
A.2 – Ressonância primária – Excitação : amplitude de O( 2∈ ) e freqüência de O(1)................................................................................................8 A.2.1 – Sem amortecimento estrutural.................................................................9 A.2.2 – Com amortecimento estrutural................................................................9
Parte B - Aplicação do método das múltiplas escalas ( MME ) : a busca por
uma solução analítica................................................................................10
B.1 – Ressonâncias secundárias e caso não ressonante – Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1)..........................................10 B.1.1 – Sem amortecimento estrutural...............................................................10 B.1.2 – Com amortecimento estrutural..............................................................14
B.2 – Ressonância primária – Excitação : amplitude de O( 2∈ ) e freqüência de O(1)..............................................................................................15 B.2.1 – Sem amortecimento estrutural...............................................................15 B.2.2 – Com amortecimento estrutural..............................................................17
Parte C - Localização dos casos ressonantes ( e não ressonantes )........................17
Parte D - O caso 0≈Ω Excitação : amplitude de O(1) e
freqüência de O( 2∈ )..................................................................................19 D.1 – Sem amortecimento estrutural...........................................................................20 D.2 – Com amortecimento estrutural...........................................................................21
Considerações finais..................................................................................................22
Capítulo 2
Equações de modulação de amplitude e fase e função de resposta em freqüência ( curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal )
Caso I - Ressonância secundária : ressonância super-harmônica : 13/1 w≈Ω ( Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1) )
Parte A - Obtenção das equações de modulação de amplitude e fase...................23
A.1 – Sem amortecimento estrutural..................................................................23 A.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................25
Parte B - Função de resposta em freqüência
( amplitude da resposta X freqüência da excitação ).............................27
B.1 – Sem amortecimento estrutural..................................................................27 B.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................28
Parte C - Estudo da estabilidade das soluções de equilíbrio
encontradas na Parte B.............................................................................29
C.1 – Sem amortecimento estrutural..................................................................29
C.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................31
Capítulo 3
Equações de modulação de amplitude e fase e função de resposta em freqüência ( curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal ) Caso II - Ressonância secundária : o caso 0≈Ω ( Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O( 2∈ ) )
Parte A - Obtenção das equações de modulação de amplitude e fase...................33
A.1 – Sem amortecimento estrutural..................................................................33 A.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................34
Parte B – Análise em regime permanente...............................................................35
B.1 – Sem amortecimento estrutural..................................................................35 B.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................36
Capítulo 4
Equações de modulação de amplitude e fase e função de resposta em freqüência ( curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal ) Caso III - Ressonância secundária : ressonância sub-harmônica : 13 w≈Ω ( Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1) )
Parte A - Obtenção das equações de modulação de amplitude e fase...................37
A.1 – Sem amortecimento estrutural..................................................................37 A.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................39
Parte B - Função de resposta em freqüência
( amplitude da resposta X freqüência da excitação )...........................................41
B.1 – Sem amortecimento estrutural..................................................................41 B.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................41
Parte C - Estudo da estabilidade das soluções de equilíbrio
encontradas na Parte B.............................................................................42
C.1 – Sem amortecimento estrutural..................................................................42
C.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................43
Capítulo 5
Equações de modulação de amplitude e fase e função de resposta em freqüência ( curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal ) Caso IV - Ressonância primária : 1w≈Ω ( Excitação : amplitude de O( 2∈ ) e freqüência de O(1) )
Parte A - Obtenção das equações de modulação de amplitude e fase...................45
A.1 – Sem amortecimento estrutural..................................................................45 A.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................47
Parte B - Função de resposta em freqüência
( amplitude da resposta X freqüência da excitação ).............................49
B.1 – Sem amortecimento estrutural..................................................................49 B.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................50
Parte C - Estudo da estabilidade das soluções de equilíbrio
encontradas na Parte B.............................................................................51
C.1 – Sem amortecimento estrutural..................................................................51
C.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................52 Capítulo 6
Equações de modulação de amplitude e fase e função de resposta em freqüência ( curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal )
Caso V – Caso não ressonante : Ω distante de 13/1 w , 13 w e 0 ( Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1) )
Parte A - Obtenção das equações de modulação de amplitude e fase...................54
A.1 – Sem amortecimento estrutural..................................................................54 A.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................56
Parte B – Análise em regime permanente...............................................................57
B.1 – Sem amortecimento estrutural..................................................................57 B.2 – Com amortecimento estrutural.................................................................57
Capítulo 7
Equações diferenciais parciais governantes do movimento – curvatura linear - sistema ideal
Solução Analítica
7.1 – Introdução...........................................................................................................59 PARTE A - A solução homogênea............................................................................61
7.2 – Separação de variáveis..............................................................................61 7.3 – Solução da equação homogênea espacial..................................................63 7.4 – Solução da equação homogênea temporal................................................67 7.5 – Solução geral da equação homogênea.......................................................85
PARTE B - A solução particular..............................................................................86
7.6 – Separação de variáveis...............................................................................86
PARTE C - A solução geral.......................................................................................93
Capítulo 8
Conclusões, atividades desenvolvidas no período e planejamento futuro
8.1 – Conclusões e atividades futuras.......................................................................99 8.2 – Sobre a parte experimental............................................................................100 8.3 – Sobre parte da pesquisa a ser desenvolvida no exterior..............................100 8.4 – Atividades desenvolvidas durante o período.................................................101 8.5 – Novas atividades incluídas na pesquisa e cronograma atualizado..............104
Referências Bibliográficas................................................................................................107 Apêndices
Apêndice A - Relações importantes........................................................................109 Apêndice B - Solução do problema linear associado............................................110 Apêndice C - Coeficientes da equação diferencial ordinária para a
componente temporal q1 de v( x, t ).................................................111
1
Capítulo 1
Solução analítica ( método das múltiplas escalas ) e localização dos casos ressonantes
curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal
Aspectos Gerais
Sistemas lineares, sujeitos a excitações harmônicas, responderão na mesma freqüência e
apresentarão comportamento crítico apenas nos casos em que a freqüência de excitação estiver
suficientemente próxima de alguma das freqüências naturais desse sistema ( ou se for uma
delas ). As primeiras freqüências naturais ( geralmente a primeira e a segunda ), associadas às
maiores amplitudes de vibração, são as mais críticas. Teoricamente, nesses casos, a amplitude de
vibração desse sistema será infinita. Na prática, o sistema dinâmico entrará em colapso.
Sistemas lineares que possuam apenas um grau de liberdade, possuirão apenas uma dessas
condições críticas. Sistemas lineares mais complexos, que possuam n graus de liberdade,
possuirão n condições críticas de vibração.
Seja, por exemplo, uma massa m conectada a uma mola de constante elástica k, conforme
mostra a figura 1.
Figura 1 : O mais simples sistema linear de um grau de liberdade
k
m
x
F
2
A freqüência natural ( única ) desse sistema será dada por :
w1 = mk
para o caso não amortecido. A força na mola será dada por f = k x.
Caso a força F, conforme apresentada na figura 1, seja do tipo harmônica e esteja atuando
na mesma freqüência w1, o sistema apresentará a maior amplitude possível de vibração. Diz-se
que o sistema entrou em ressonância. Nos casos em que a freqüência da excitação harmônica
assuma qualquer outro valor, o sistema linear responderá na mesma freqüência da excitação e
com amplitudes sempre menores em comparação com este caso crítico.
Para sistemas lineares de parâmetros distribuídos, novas complexidades e teorias poderão
estar incorporadas na modelagem e análise matemática das equações governantes do movimento
mas o que foi exposto anteriormente continua sendo verdade. Ademais, sistemas deste tipo
sempre podem ser discretizados quando for conveniente.
O que foi brevemente apresentado até aqui, neste capítulo, então, vale para qualquer
sistema ( dinâmico ) linear, apresentando maior ou menor complexidade.
O mesmo sistema dinâmico descrito anteriormente ( figura 1 ) pode, por alguma razão
( acuidade, por exemplo ), necessitar ser representado por um modelo matemático não linear.
Novos conceitos deverão, então, ser assimilados para que a análise do comportamento dinâmico
de tais sistemas possa ser empreendida ( veja, por exemplo, Nayfeh e Mook, 1979, para uma
excelente referência sobre o estudo de sistemas não lineares ).
O modelo matemático não precisa ser extremamente complexo para que a análise linear
falhe. Por exemplo, se a força na mola for descrita por f = kx + kx3 . A equação dinâmica do
movimento resultante é conhecida como equação de Duffing e incontáveis estudos têm sido
realizados sobre a mesma ( Nayfeh e Mook, 1979; Nayfeh, 1981; para citar apenas alguns ). Esse
modelo não linear descreve fenômenos que não são detectados em modelos matemáticos lineares
para o mesmo sistema dinâmico.
Não-linearidades presentes em sistemas dinâmicos podem ser estudadas como perturbações
em torno de um sistema linear bem conhecido. Pode-se falar, então, em sistema linear associado
e sistema fracamente não linear. Sob esse enfoque, uma análise de sistema linear precede a
análise do sistema não linear.
3
Para o sistema massa-mola não linear ( sistemas não lineares em geral ), excitações com
freqüências múltiplas ou fracionárias de alguma freqüência natural do sistema linear associado
também podem levar o sistema à condição ressonante ( Nayfeh e Mook, 1979 ). Por essa razão,
várias condições críticas deverão ser cuidadosamente analisadas. Quando a freqüência de
excitação aproxima-se de alguma das freqüência naturais do sistema linear associado, fala-se em
ressonância primária. Nos casos em que a freqüência de excitação assume valores próximos aos
das freqüências associadas à parte não linear do sistema ( sub-harmônicos e super-harmônicos ),
fala-se em ressonâncias secundárias, que são todas as demais com exceção das primárias.
O aspecto e obtenção das curvas de resposta em freqüência para sistema não lineares são
diferentes daqueles empregados para sistemas lineares, conforme será visto neste trabalho. Essa
diferenciação permitirá que ocorram nos primeiros fenômenos não observados nesses últimos,
como é o caso de variações bruscas na amplitude de vibração do sistema quando a freqüência ( ou
a amplitude ) de excitação variam ligeiramente. Este fenômeno recebe o nome de salto.
Regiões de salto são regiões associadas a bifurcações e aonde comportamentos peculiares
denominados caóticos podem se manifestar em um sistema dinâmico ( por exemplo : Thompson
e Bishop, 1994 ).
Neste trabalho, todas as excitações consideradas serão do tipo harmônico e o sistema
dinâmico em estudo é do tipo contínuo ( ou de parâmetros distribuídos ). Não-linearidades
geométricas cúbicas advindas de um modelo de curvatura não linear de uma estrutura tipo viga
( figura 2 ) serão analisadas no contexto da teoria de sistemas fracamente não lineares.
A excitação harmônica sobre a estrutura flexível será providenciada pelo deslocamento
angular θ e suas derivadas. O comportamento dessa variável ( e de suas derivadas ) poderá estar
acoplado ou não ao comportamento da estrutura flexível. O deslocamento angular, nesse
contexto, também é denominado de movimento de rastreamento ( Fenili, 2000 ) ou movimento de
varredura ( slewing em inglês ).
No estudo realizado aqui, o comportamento da variável θ será prescrito e não será
influenciado pela dinâmica da estrutura sobre a qual atua, caso em que teria também de ser
investigado ( conhecido ) juntamente com a dinâmica da estrutura. Em casos semelhantes ao
primeiro, o sistema dinâmico é dito ideal. No caso da excitação não poder ser conhecida de
antemão, fala-se em sistema não ideal e a análise torna-se mais complexa ( Kononenko, 1969 ).
4
Para a prescrição do perfil da excitação (θ (t) ), propõe-se que a estrutura flexível oscile
entre os extremos Aθ ( condição inicial ) e Cθ , conforme visto na figura 2, harmonicamente,
com amplitude C e freqüência Ω .
Para o estudo das ressonâncias primárias, aonde a amplitude da excitação deverá ser da
ordem das não linearidades e do amortecimento estrutural, o sistema fracamente não linear
deverá ser estudado nas vizinhanças da vibração livre da viga. Para o estudo das ressonâncias
secundárias e dos casos não ressonantes, a amplitude da excitação deverá ser de O(1) para que
sua influência seja significativa. Neste caso o sistema fracamente não linear deverá ser estudado
nas vizinhanças da vibração forçada da viga linear. A figura 3 apresenta um roteiro das diferentes
considerações a serem feitas durante esta investigação.
Figura 2 – Esquema geral do problema analisado. A viga é representada sem deflexão e com deflexão em uma posição qualquer Bθ .
Para cada uma das condições anteriormente citadas, o comportamento do sistema é
investigado sempre em regime permanente. É nesta condição que as curvas de resposta em
freqüência serão obtidas. Por outro lado, as equações de modulação de amplitude e fase obtidas a
partir da análise desenvolvida neste capítulo ( objeto de estudo dos capítulos 2 a 6 ) levam em
consideração também o regime transiente e deverão ser devidamente integradas.
θ
AθBθ
Cθ
5
44444444444444 344444444444444 21
quando Ω está longe de w1 , o efeito da excitação será pequeno a menos que a amplitude C=O(1)
Figura 3 – As diferentes ordens a serem consideradas na excitação durante as investigações de oscilações forçadas de sistemas com um grau de liberdade.
Em protótipos experimentais ou sistemas físicos reais, o cubo ao qual a viga se encontra
conectada ( engastada ) e que é responsável pela excitação, θ , sobre a mesma pode ser entendido
)tcos(C)ntoamortecimelinearesnãotermos(qwq 21
211 Ω=+∈++&&
ressonâncias primárias
ressonâncias secundárias
casos não ressonantes
1w31
≈Ω
super-harmônica
1w3≈Ω
sub-harmônica
0≈Ω
Ω longe de
1w31 , 3w1 e
0.
1w≈Ω
excitação :
)tcos(c2 Ω=∈θ
excitação :
)tcos(C Ω
excitação :
)tcos(C Ω
excitação :
)tcos(C Ω
excitação :
)tcos(C 2σ∈
6
como algum tipo de atuador, tal qual um motor de corrente contínua ( por exemplo, para
aplicações em manipuladores robóticos ).
Figura 4 – Esquema geral da Parte A deste capítulo.
Um esquema geral do estudo realizado neste capítulo ( Parte A ) é apresentado na figura 4.
As Partes B e C seguem este esquema.
Parte A Equação governante do movimento
A.1 – Ressonâncias secundárias e caso não ressonante – Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1)
A.1.1 – Sem amortecimento estrutural
A equação diferencial ordinária perturbada ( discretizada considerando apenas um modo,
por exemplo, o primeiro modo de flexão ) governante do movimento para a componente temporal
da variável de deflexão transversal, v(x,t), é apresentada em (1), a seguir ( Fenili, 2000 ).
equações diferenciais perturbadas
governantes do movimento
amplitude da excitação de O(1) e freqüência
da excitação de O(1)
amplitude da excitação
de O( 2∈ ) e freqüência de
excitação de O(1)
sem amortecimento estrutural
com amortecimento estrutural
amplitude da excitação de O(1) e freqüência
da excitação
de O( 2∈ )
sem amortecimento estrutural
com amortecimento estrutural
sem amortecimento estrutural
com amortecimento estrutural
7
[
] 03111111
211111
2111111
21111111111
211
211
211
=Γ+Λ+Λ+
+−℘−∈+++
qqqqq
qqqqqwq
&&&
&&&&&&&&& θλθθβθα
(1)
Os coeficientes na Equação (1) são apresentados no Apêndice C.
Os termos em (1) que indicam o acoplamento entre a variável espaço-temporal v ( ou, no
caso, q1 e suas derivadas na discretização ) e a variável prescrita θ ( e suas derivadas ) são
representados por :
][ 21111111111
211
2 qqqq θλθθβ &&&&& −℘−∈ (2)
Para o caso de sistema ideal e considerando Ω longe de zero ( o caso 0≈Ω será tratado na
Parte D deste ) , os perfis harmônicos prescritos de θ ( e suas derivadas ) serão considerados de
acordo com :
( )titi eei2
1C)tsen(C Ω−Ω −=Ω=θ (3)
( )titi ee2
C)tcos(C Ω−Ω +Ω
=ΩΩ=θ& (4)
( )titi2
2 eei2
C)tsen(C Ω−Ω −Ω
−=ΩΩ−=θ&& (5)
aonde, inicialmente ( item A.1), a amplitude C será considerada igual a 1 ( portanto, de O(1)).
A.1.2 – Com amortecimento estrutural
O amortecimento estrutural da viga, µ , será agora incluído no modelo matemático
apresentado em (1). Desta forma, gera-se um modelo matemático mais realista e novos
fenômenos poderão ser investigados.
Seja :
cµµµ =∗ (6)
8
aonde :
=∗µ amortecimento estrutural adimensional ;
=µ amortecimento estrutural dimensional [ Kg / m.s ] ;
=cµ amortecimento característico = ρEI
L2
2
8780.1 [ m.s / Kg ].
Incluindo o amortecimento estrutural ( de acordo com (6) ) na Equação (1) na mesma
ordem das não-linearidades ( ou seja, O( 2∈ ) ), a nova equação governante do movimento
torna-se :
[
] 03111111
211111
2111111
21111
1111112
1112
11211
=Γ+Λ+Λ+−
−℘−+∈+++
qqqqqq
qqqqqwq
&&&&&
&&&&&&&&
θλ
θθβµθα (7)
aonde o amortecimento estrutural adimensional, por conveniência, passa a ser representado sem o
(*).
A.2 – Ressonância primária –
Excitação : amplitude de O( 2∈ ) e freqüência de O(1)
Os perfis harmônicos prescritos para o deslocamento angular θ ( e suas derivadas ),
apresentados no item anterior (A.1) em (3)-(5), serão agora reordenados de acordo com :
( )titi22 eei2
1c)tsen(c Ω−Ω −=∈Ω∈=θ (8)
( )titi22 ee2
c)tcos(c Ω−Ω +Ω
=∈ΩΩ=∈θ& (9)
( )titi2
222 eei2
c)tsen(c Ω−Ω −Ω
∈−=ΩΩ∈−=θ&& (10)
9
aonde a amplitude C é de O( 2∈ ) e dada por C = c2∈ .
Esta abordagem é a mais apropriada ao se estudar ressonâncias primárias de sistemas
fracamente não lineares ( Nayfeh e Mook, 1979 ) e garante que a amplitude do sistema linear
associado, q10, não se torne consideravelmente grande ( ilimitada ) quando ≈Ω wn ( aonde wn
representa cada uma das freqüências naturais lineares associadas a ressonâncias primárias do
sistema fracamente não linear ). De outra forma, tenta-se garantir que os termos não lineares não
se tornem tão importantes quanto os termos lineares, uma vez que, como será visto adiante, a
solução de O( 0∈ ) ( solução do sistema linear associado, q10 ) aparece no lado direito da equação
de O( 2∈ ) para a solução q11.
A.2.1 – Sem amortecimento estrutural
Utilizando as relações (8) a (10), a equação (1) torna-se :
[ ] 0qqqqqqwq 3111111
211111
21111111
21
211 =Γ+Λ+Λ+∈++ &&&&&&& θα
(11)
aonde todos os termos de ordem maior que 2∈ foram desprezados. Os termos de acoplamento,
conforme descritos em (2), aparecem nas ordens negligenciadas e não são importantes quando C
= c2∈ . Neste caso, o sistema não possuirá acoplamento significativo entre o comportamento
rígido e o comportamento flexível do sistema, conforme observado no item A.1. O
comportamento do sistema será estudado nas vizinhanças de sua condição linear de vibração livre
não amortecida.
A.2.2 – Com amortecimento estrutural
Utilizando as relações (8) a (10), a equação (7) torna-se :
[ ] 0qqqqqqqwq 3111111
211111
211111111
21
211 =Γ+Λ+Λ++∈++ &&&&&&&& θαµ
(12)
10
Parte B Aplicação do método das múltiplas
escalas ( MME ) : a busca por uma solução analítica
B.1 – Ressonâncias secundárias e caso não ressonante – Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1)
B.1.1 – Sem amortecimento estrutural
A solução para o problema linear associado à equação (1) é apresentada no Apêndice B.
Para a solução do sistema perturbado representado por esta equação, propõe-se uma expansão
uniforme do tipo ( Nayfeh, 1981 ) :
),(),( 10112
10101 TTqTTqq ∈+= (13)
Substituindo a equação (13) na equação (1) e levando em consideração as relações
apresentadas no Apêndice A, obtém-se :
−∈++
∂∂∂
∈+
∂∂∂
∈+
∂
∂∈+
∂
∂11
21
210
21
10
112
4
10
102
22
0
112
22
0
102
22 qwqwTT
qTT
qTq
Tq
( ) +−Ω
− Ω−Ω 00
2
2
1TiTi ee
iα 2∈ ( ) +++
Ω
Ω−Ω
1022
211 00 24
qee TiTiβ
( ) ( )( ++Ω℘
−++Ω
∈+ Ω−ΩΩ−Ω10
11111
222
112 0000
22
4qeeqee TiTiTiTiβ
)112 q∈+ +
∂∂
∈+
∂∂
∈+
∂∂
∈+∂∂
1
114
1
102
0
112
0
10
Tq
Tq
Tq
Tq ( −
Ω Ω 0
2
2111 Tie
iλ
)( ) ( +Λ+∈+∈+− Ω−101111
211
41110
2210 20 qqqqqe Ti ) +
∂∂
∈
2
0
1011
2
Tq
q
11
+
∂∂
∈+
∂∂
∂∂
∈+
∂∂
∂∂
∈+
∂∂
∂∂
∈+2
0
114
1
11
0
104
1
10
0
102
0
11
0
102 222Tq
Tq
Tq
Tq
Tq
Tq
Tq
+
∂∂
∂∂
∈+
∂∂
∈+
∂∂
∂∂
∈+
∂∂
∂∂
∈+1
11
1
1062
1
104
1
11
0
116
1
10
0
114 222Tq
Tq
Tq
Tq
Tq
Tq
Tq
+
∂∂
∈+2
1
118
Tq ( )2
114
111022
101111 2 qqqq ∈+∈+Λ +
∂
∂∈+
∂
∂
2
0
112
22
0
102
Tq
Tq
+
∂∂∂
∈+
∂∂∂
∈+10
112
4
10
102
2 22TT
qTT
q ( +∈+∈+Γ 21110
411
210
23101111 33 qqqqq
) 0311
6 =
∈+ q (14)
Coletando, na Equação (14), os termos de mesma ordem de ∈ ( e considerando-se apenas
as duas primeiras ordens deste parâmetro, a saber, O ( 0∈ ) e O ( 2∈ ) ), obtém-se :
a) termos de O ( 0∈ ):
=+∂
∂10
212
0
102
qwTq ( )00
2
2
1TiTi ee
iΩ−Ω −
Ωα (15)
b) termos de O ( 2∈ ):
∂∂∂
−=+∂
∂
10
102
11212
0
112
2TT
qqw
Tq ( ) +++
Ω− Ω−Ω
1022
211 00 24
qee TiTiβ
( ) 1011100
2qee TiTi Ω−Ω +
Ω℘+ −
∂∂
0
10
Tq
( 0
2
2111 Tie
iΩΩλ ) −− Ω− 2
100 qe Ti
101111 qΛ− −
∂∂
2
0
10
Tq ( )2
101111 qΛ −∂
∂2
0
102
Tq
03101111 =Γ q
(16)
12
De acordo com o Apêndice B ( equação B.3 ), a solução da equação (15) será escrita
como :
000101
)(2)(2)()( 22
1
21
221
21
1110TiTiTiwTiw e
wie
wieTAeTAq Ω−Ω−
Ω−
Ω−
Ω−
Ω++=
αα
(17)
Ao contrário do apresentado no Apêndice B, no entanto, C1 e 1C serão agora funções da
escala de tempo lenta T1 e passarão a ser representados por A(T1) e )( 1TA . Doravante, e por
conveniência, sejam A(T1) e )( 1TA representados simplesmente por A e A .
Seja também
Ω−
Ω=
)(2 221
21
wiB
α
Desta forma, substituindo a Equação (17) na Equação (16) resulta :
−
∂∂
+
∂∂
−=+∂
∂ − 0101
11
1111
212
0
112
22 TiwTiw eTAiwe
TAiwqw
Tq
+−++
Ω− ΩΩΩ−−Ω+ 000101 3)2()2(
211
4TiTiTwiTwi BeBeeAAe
β
++−+++ Ω−Ω−Ω− 01000101 )2(222 TwiTiTiTiwTiw AeBeBeeAAe
+
−+ Ω−Ω+− 001 3)2( TiTwi BeeA
++
Ω℘+ Ω−Ω+ 0101 )2(2
1)2(2
1111 2TwiTwi eAiweAiw
−Ω−−Ω+Ω++ Ω−Ω+ 010101 )2(1
)2(1 )(2)( TwiTiwTwi ewiABABeiewiAB
13
−
Ω−Ω−Ω+
+Ω+Ω−+Ω−−
−Ω+−−
Ω−Ω−Ω
−Ω−−Ω+−
ΩΩ+−Ω−−
000
010101
00101
23232
)2(1
)2(1
2)2(21
)2(21
2)()(
TiTiTi
TiwTwiTwi
TiTwiTwi
eBieBieBi
BeAiewBAiewBAi
eBieAiweAiw
−
−+−
−−+++
+−−−+−+
++−
Ω−
Ω+−Ω−−−
Ω−ΩΩ+−Ω−−
Ω−ΩΩ−
Ω+Ω−Ω+
010101
000101
000101
010101
)2(2)2(2
3232)2()2(
22)2(
)2()2(2)2(22
111
4
22
)32()32(42
22
TwiTwiTiw
TiTiTwiTwi
TiTiTiwTwi
TwiTwiTwi
eAeABeA
eBeBBeABeA
eBAAeBAAABeABe
ABeeAeAi
λ
+−Ω−+Ω−
−Ω−+−
Λ−
Ω−Ω+ 012221
21
012221
21
0122221
0133211111
22
2
T)w(iT)w(i
TiwTwi
e)BAwBAw(e)BAwBAw(
e)ABAAw(eAw
−
Ω+Ω−
−Ω−Ω++Ω+
+−Ω+Ω+
+Ω−+Ω−Ω+
+Ω−Ω+Ω−
−Ω−−−Ω−+
Ω+−
Ω−−Ω+−
Ω−−Ω−
−Ω−
ΩΩ+
Ω−−Ω
0212221
0212221
012221
21
012221
21
0332
0122221
0212221
03320212221
03221
013321
03221
2
22
2
22
2
22
T)w(i
T)w(iT)w(i
T)w(iTi
TiwT)w(i
TiT)w(i
TiTwiTi
e)BABAw(
e)BABAw(e)BAwBAw(
e)BAwBAw(eB
e)BAAAw(e)ABABw(
eBe)ABABw(
e)BBAAw(eAwe)BBAAw(
+−−Ω++
+Ω−Ω+Ω−Ω+
+−Ω++−
Λ−
−−
ΩΩΩ−
0101
000
0101
3321
221
22221
232332332
221
22221
33211111
)342(
)23(
)242(
TwiTiw
TiTiTi
TiwTwi
eAweAAwBABAw
eBAABeBeB
eAAwABABweAw
14
−Ω+−Ω++
+Ω+−Ω+−
−Ω+−Ω++
+Ω+−Ω−Ω+
Ω−−Ω+−
Ω−−Ω−
Ω+Ω−
Ω+Ω−
02122221
01222221
01222221
02122221
02122221
01222221
01222221
0322
22
22
22
32
T)w(iT)w(i
T)w(iT)w(i
T)w(iT)w(i
T)w(iTi
e)BABAw(e)BABAw(
e)BABAw(e)ABABw(
e)ABABw(e)BABAw(
e)BABAw(e)BBAA(
−
Ω+− Ω+− 0212222
1 2 T)w(ie)BABAw( −+
Γ − 01330133
1111TwiTwi eAeA
++− ΩΩ− 033033 TiTi eBeB +− 0122 63 Tiwe)ABAA(
+−+−+ Ω−Ω 0303 2332 TiTi e)BAAB(e)BBAA(
+−+−+ Ω−Ω+− 012201220122 3363 T)w(iT)w(iTiw e)BA(e)BA(e)BAAA(
−+++ Ω−−Ω−Ω+ 012202120212 333 T)w(iT)w(iT)w(i e)BA(e)AB(e)AB(
++− Ω+−Ω−−Ω+− 021202120122 333 T)w(iT)w(iT)w(i e)BA(e)BA(e)BA(
(18)
Na parte C serão apresentadas as condições para que os termos seculares e pequenos
divisores na equação (18) não comprometam a solução da equação (1). Serão, então,
apresentados todos os casos ressonantes de acordo com esse modelo matemático.
B.1.2 – Com amortecimento estrutural
Seguindo os mesmos passos apresentados anteriormente para o caso não amortecido
( item B.1.1 ), na equação (14) acrescenta-se agora o termo :
∂∂
∈+
∂∂
∈+
∂∂
∈+∂∂
∈
1
114
1
102
0
112
0
102
Tq
Tq
Tq
Tq
µ (19)
No lado direito da equação (16) será introduzido o termo :
15
∂∂
−0
10
Tq
µ (20)
Finalmente, na equação (18), aparecerão os termos :
( )00010111
TiTiTiwTiw eiBeiBewAieiAw Ω−Ω− Ω+Ω+−− µ (21)
aonde o termo 011
TiweiAw está associado a termos seculares que comprometem a solução
periódica desejada e o termo 0TieiB ΩΩ está associado a pequenos divisores que igualmente
comprometem a solução pretendida ( quando 1w≈Ω ) e ambos deverão ser eliminados
apropriadamente ( ver Parte C ).
B.2 – Ressonância primária – Excitação : amplitude de O( 2∈ ) e freqüência de O(1)
B.2.1 – Sem amortecimento estrutural
Para a solução do sistema perturbado representado pela equação (11), propõe-se a mesma
expansão proposta em (13). Substituindo (13) na equação (11) e levando em consideração as
relações apresentadas no Apêndice A, obtém-se :
+∈++
∂∂∂
∈+
∂∂∂
∈+
∂
∂∈+
∂
∂11
21
210
21
10
112
4
10
102
22
0
112
22
0
102
22 qwqwTT
qTT
q
T
q
T
q
+ 2∈
( ) +−Ω
− Ω−Ω 002
1 2TiTi ee
icα ( +Λ 101111 q ) +
∂∂
∈
2
0
1011
2
Tq
q
+
∂∂
∈+
∂∂
∂∂
∈+
∂∂
∂∂
∈+
∂∂
∂∂
∈+2
0
114
1
11
0
104
1
10
0
102
0
11
0
102 222Tq
Tq
Tq
Tq
Tq
Tq
Tq
16
+
∂∂
∂∂
∈+
∂∂
∈+
∂∂
∂∂
∈+
∂∂
∂∂
∈+1
11
1
1062
1
104
1
11
0
116
1
10
0
114 222Tq
Tq
Tq
Tq
Tq
Tq
Tq
+
∂∂
∈+2
1
118
Tq ( )2
114
111022
101111 2 qqqq ∈+∈+Λ +
∂
∂∈+
∂
∂
2
0
112
22
0
102
Tq
Tq
+
∂∂∂
∈+
∂∂∂
∈+10
112
4
10
102
2 22TT
qTT
q ( +∈+∈+Γ 21110
411
210
23101111 33 qqqqq
) 0311
6 =
∈+ q (22)
Coletando na equação (22) os termos de mesma ordem de ∈ ( e novamente considerando-
se apenas as duas primeiras ordens deste parâmetro ), obtém-se :
a) termos de ordem 0∈ :
=+∂
∂10
212
0
102
qwTq
0 (23)
b) termos de ordem 2∈ :
=+∂
∂11
212
0
112
qwT
q
∂∂∂
−10
102
2TT
q ( ) −−Ω
− Ω−Ω 002
1 2TiTi ee
icα
101111 qΛ− −
∂∂
2
0
10
Tq ( )2
101111 qΛ −∂
∂2
0
102
T
q03
101111 =Γ q (24)
A solução da equação (23) será escrita como :
01
101
110TiwTiw e)T(Ae)T(Aq −+= (25)
Substituindo (25) em (24) resulta :
17
−
∂∂
+
∂∂
−=+∂
∂ − 0101
11
1111
212
0
112
22 TiwTiw eTAiwe
TAiwqw
Tq ( ) −−
Ω Ω−Ω 002
1 2TiTi ee
icα
+−+−
Λ− − 01332
10122
101332
11111TwiTiwTwi eAweAAweAw
−
+ − 0122
1TiweAAw −−−
Λ 0122
101332
11111 2 TiwTwi eAAweAw
−
−− −− 01332
10122
13 TwiTiw eAweAAw +
Γ 0133
1111TwieA
+++ −− 0120120133 33 TiwTiwTwi eAAeAAeA (26)
As condições críticas envolvendo a solução da equação (26) ( casos ressonantes ) serão
discutidas na Parte C, a seguir.
B.2.2 – Com amortecimento estrutural
O mesmo apresentado no item anterior (B.2.1) vale aqui. A equação (23) é idêntica e
continua valendo a solução (25). Na equação (24), acrescenta-se à direita o termo dado por (20).
Na equação (26), acrescentam-se à direita os termos :
∂∂
−0
10
Tq
µ = ( )010111
TiwTiw eAwieAwi −−µ−
(27)
Parte C Localização dos casos ressonantes ( e não ressonantes )
As equações a partir das quais serão identificados os casos ressonantes para Ω longe de
zero e longe de w1, ou seja, os casos de ressonância secundária : equação (18) para o modelo
apresentado em A.1.1 e equação (18) incluindo à direita os termos apresentados em (21) para o
18
modelo apresentado em A.1.2 e as equações a partir das quais serão identificados os caso de
ressonância primária : equação (26) para o modelo apresentado em A.2.1 e a equação (26)
incluindo à direita os termos apresentados em (27) para o modelo apresentado em A.2.2 são do
tipo:
=+ xwx 21&& termos multiplicados por 0Tie Ξ± (28)
na equação (18) , o termo representado por
gera na solução efeito do tipo
condição crítica quando
situação
01Tiwe
termo secular
sempre
1
01Tiwe−
nenhum
013 Twie
nenhum
013 Twie−
nenhum
0Tie Ω
nenhum
0Tie Ω−
nenhum
03 Tie Ω
pequeno divisor
131 w≈Ω
2
03 Tie Ω−
nenhum
01 )2( Twie Ω+
nenhum
01 )2( Twie Ω+−
nenhum
01 )2( Twie Ω−
nenhum
01 )2( Twie Ω−−
nenhum
01 )2( Twie Ω+
nenhum
01 )2( Twie Ω+−
nenhum
01 )2( Twie Ω−
nenhum
01 )2( Twie Ω−−
pequeno divisor
13w≈Ω
3
Tabela 1 – Apresentação dos termos que produzem termos seculares ou pequenos divisores na solução almejada para Ω distante de zero e de w1 ( ressonâncias secundárias ).
19
aonde Ξ representa cada um dos expoentes apresentados nas tabelas 1 ( ressonâncias
secundárias ) e 2 ( ressonância primária ).
Os termos 01 )2( Twie Ω+ e 01 )2( Twie Ω− que aparecem em (18) não são críticos na investigação
das ressonâncias secundárias porque a freqüência da excitação, Ω , encontra-se longe de zero. Da
mesma forma os termos 0Tie Ω , 01 )2( Twie Ω−− e 01 )2( Twie Ω− que aparecem na mesma equação (18)
não são críticos na análise das ressonâncias secundárias porque Ω encontra-se longe de w1.
na equação (26) , o termo representado por
gera na solução efeito do tipo
condição crítica quando
situação
01Tiwe
termo secular
sempre
4
01Tiwe−
nenhum
013 Twie
nenhum
013 Twie−
nenhum
0Tie Ω
pequeno divisor
1w≈Ω
5
0Tie Ω−
nenhum
Tabela 2 – Apresentação dos termos que produzem termos seculares ou pequenos divisores na solução almejada para Ω distante de zero e próximo de w1 ( ressonância primária ).
A tabela 2 apresenta as situações críticas relacionadas à investigação das ressonância
primária obtidas através da equação (26).
Parte D O caso 0≈Ω
Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O( 2∈ )
Para o caso aonde a freqüência de excitação Ω encontra-se próxima de zero, tem-se :
σ=∈σ∈+=Ω 220
20
ou :
102
0 TTTt σ=σ∈=Ω=Ω
e os perfis harmônicos prescritos de θ ( e suas derivadas ) serão considerados de acordo com :
( )11
21)sen( 0
2 TiTi eei
CTC σσσθ −−=∈= (29)
( )11
2)cos(
2
022 TiTi eeCTC σ−σ +
σ∈=σ∈σ∈=θ& (30)
( )11
2)sen(
24
0224 TiTi ee
iCTC σ−σ −
σ∈−=σ∈σ∈−=θ&& (31)
D.1 – Sem amortecimento estrutural
Utilizando (29) a (31), a equação governante do movimento para o primeiro modo de
flexão torna-se :
[ ] 03111111
211111
2111111
21
211 =Γ+Λ+Λ∈++ qqqqqqwq &&&&& (32)
Os demais procedimentos vistos anteriormente seguem idênticos. Neste caso, a solução de
ordem 0∈ será dada por :
0101 )()( 1110
TiwTiw eTAeTAq −+= (33)
e os termos que gerarão termos seculares na solução serão coletados de :
−
∂∂
+
∂∂
−=+∂
∂ − 0101
11
1111
212
0
112
22 TiwTiw eTAiwe
TAiwqw
Tq
++−
Λ− 0101 22
1332
11111TiwTwi eAAweAw −+ −− 0101 22
1332
1TiwTwi eAAweAw
21
−
−−−− −− 01010101 332
122
122
1332
1 32 TwiTiwTiwTwi eAweAAweAAweAw
−+
Γ− − 0101 3333
1111TwiTwi eAeA +0123 TiweAA 03 012 =
− TiweAA
(34)
Neste caso não existirão termos associados à geração de pequenos divisores.
na equação (33) , o termo representado por
gera na solução efeito do tipo
condição crítica quando
situação
01Tiwe
termo secular
sempre
6
01Tiwe−
nenhum
013 Twie
nenhum
013 Twie−
nenhum
Tabela 3 – Apresentação dos termos que produzem termos seculares ou pequenos divisores na solução desejada quando 0≈Ω .
D.2 – Com amortecimento estrutural
Considerando amortecimento estrutural, a equação (32) torna-se :
[ ] 03111111
211111
21111111
21
211 =Γ+Λ+Λ+µ∈++ qqqqqqqwq &&&&&&
(34)
e os termos que gerarão termos seculares e pequenos divisores na solução serão coletados de (33)
mais o acréscimo dado pelos termos (21).
22
Considerações finais
De acordo com as tabelas 1,2 e 3, os casos a serem investigados nos próximos capítulos e
os tipos de ressonância encontrados são :
caso
tipo de
ressonância
I : situação 1 + situação 2 ( capítulo 2 )
1:1/3
II : situação 6 ( capítulo 3 )
1:0
III : situação 1 + situação 3 ( capítulo 4 )
1:3
IV : situação 4 + situação 5 ( capítulo 5 )
1:1
V : região distante de qualquer ressonância ( capítulo 6 )
caso não
ressonante
Tabela 4 – Casos de interesse a serem investigados ( e os respectivos capítulos
deste aonde o problema será tratado )
Cada um dos casos de interesse apresentados na tabela 4 deverá ser investigado
separadamente e terá a sua própria função de resposta em freqüência, suas próprias equações de
modulação de amplitude e fase e condições de estabilidade e caos ( Nayfeh, 1981 ).
O caso tratado no capítulo 5 ( ressonância primária ) também incluirá o estudo do
levantamento experimental das curvas de resposta em freqüência e a identificação de parâmetros
para sistemas não lineares.
O capítulo 7 trata da solução analítica da equação diferencial parcial para uma viga linear
em movimento de rastreamento ( slewing ) diretamente, resultando no estudo de equações
diferenciais com coeficientes variáveis no tempo.
O capítulo 8 apresenta algumas conclusões sobre este trabalho, comenta perspectivas
futuras e apresenta as atividades desenvolvidas no período.
23
Capítulo 2
Equações de modulação de amplitude e fase e função de resposta em freqüência
curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal
Caso I : ressonância secundária Ressonância super-harmônica : 13
1 w≈Ω ( Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1) )
Parte A Obtenção das equações de modulação de
amplitude e fase
A.1 – Sem amortecimento estrutural
Desenvolve-se a investigação a seguir nas vizinhanças de um ponto crítico para o
sistema. Assim, fazendo:
σ213 ∈+=Ω w (1)
aonde σ é denominado parâmetro de ajuste, pode-se escrever :
10102
0103 TTwTTwT σσ +=∈+=Ω
Desta forma, o termo 03 Tie Ω na equação (18) do capítulo 1 é transformado em
01Tiwe 1Tie σ . (2)
24
Todos os termos nessa mesma equação (18) multiplicados por 01Tiwe ou por 03 Tie Ω
devem ser eliminados pois irão gerar na solução do sistema original, respectivamente,
termos seculares ou pequenos divisores.
Coletando ( no capítulo anterior ) esses termos e utilizando as relações (1) e (2),
escreve-se :
0)( 144
232
11 =∆+∆+∆+∆+
∂∂
∆ σTiba eiAAA
TAi (3)
aonde :
Ω−
Ω=
)(2 221
21
wBR
α
RBiB −=
11 2w−=∆
RRRR BBBwB 2111
21111
2211111
221111
211
2 6222
Ω℘+Γ−Λ+ΩΛ+Ω
−=∆β
11112111113 3Γ−Λ=∆ w
2
22111
4R
aBΩ
−=∆λ
22
4
221113
111132
1111
211
4R
RRR
bB
BBB Ω℘
−Γ−ΩΛ+Ωβ
=∆
Para que a solução analítica do sistema original perturbado ( capítulo 1, equação (1) )
seja periódica, a equação (3) deve ser satisfeita.
Expressando A ( na equação (3) ) em forma polar, ou seja, fazendo :
βiaeA21
=
25
e substituindo na mesma equação (3), obtém-se
( ) 081
21
21
21 )(
443
32111 =∆+∆+∆+∆+∆′−′∆ −βσβ Ti
ba eiaaaai (4)
A Equação (4) pode ser reescrita como :
0)cos()sen(
)sen()cos(81
21
21
21
1414
14143
3211
=−∆+−∆+
+−∆−−∆+∆+∆+∆′−′∆
βσβσ
βσβσβ
TiTi
TTaaaai
ba
ba
(5)
Separando os termos na equação (5) em parte real e parte imaginária, resulta :
)cos(2
)sen(2
11
41
1
4 βσβσ −∆∆
−−∆∆
−=′ TTa ba (6a)
)sen(2
)cos(2
4 11
41
1
43
1
3
1
2 βσβσβ −∆∆
−−∆∆
+∆∆
+∆∆
=′ TTaaa ba (6b)
As equações (6) representam as equações de modulação de amplitude (a) e fase ( β )
para o caso de ressonância 1:1/3 do sistema modelado de acordo com a equação (1) do
capítulo 1.
A.2 – Com amortecimento estrutural
Para que a solução analítica do sistema original perturbado amortecido ( capítulo 1,
equação (7) ) seja periódica ( com amplitude decrescente ), ou seja, para a eliminação de
termos seculares e pequenos divisores em na equação (18) + inserção dada por (21), ambos
vistos no capítulo 1, deve-se ter :
26
0)()( 144322
11 =∆+∆+∆+∆+∆+
∂∂
∆ Tibaba eiAAAi
TAi σ (7)
aonde :
Ω−
Ω=
)(2 221
21
wBR
α
RBiB −=
11 2w−=∆
RRRRa BBBwB 2111
21111
2211111
221111
211
2 6222
Ω℘+Γ−Λ+ΩΛ+Ω
−=∆β
12 wb µ−=∆
11112111113 3Γ−Λ=∆ w
2
22111
4R
aBΩ
−=∆λ
22
4
221113
111132
1111
211
4R
RRR
bB
BBB Ω℘
−Γ−ΩΛ+Ωβ
=∆
As equações de modulação de amplitude e fase não autônomas para o caso
amortecido são dadas por :
)cos(2
)sen(2
11
41
1
4
1
2 β−σ∆∆
−β−σ∆∆
−∆∆
=′ TTaa bab (8a)
)sen(2
)cos(2
4 11
41
1
43
1
3
1
2 β−σ∆∆
−β−σ∆∆
+∆∆
+∆∆
=β′ TTaaa baa (8b)
27
As equações (8) representam as equações de modulação de amplitude (a) e fase ( β )
para o caso de ressonância 1:1/3 do sistema amortecido modelado de acordo com a equação
(7) do capítulo 1.
Parte B Função de resposta em freqüência
( amplitude da resposta X freqüência da excitação )
B.1 – Sem amortecimento estrutural
As equações (6) apresentam-se como equações não autônomas pois apresentam
dependência explícita em T1. Para transformá-las em um sistema autônomo, seja :
βσγ −= 1T (9)
e, portanto,
βσγ ′−=′ (10)
Substituindo as expressões (9) e (10) nas equações (6), obtém-se o sistema autônomo
)cos(2
)sen(2
1
4
1
4 γγ∆∆
−∆∆
−=′ baa (11a)
)sen(2
)cos(2
4 1
4
1
43
1
3
1
2 γγσγ∆∆
+∆∆
−∆∆
−∆∆
−=′ baaaaa (11b)
A solução em regime permanente ( em outras palavras, os pontos fixos ou de
equilíbrio do sistema de equações (11) ) será dada por :
28
0)cos(2
)sen(2
1
4
1
4 =∆∆
+∆∆
γγ ba (12a)
3
1
3
1
2
1
4
1
4
4)sen(
2)cos(
2aaaba
∆∆
−∆∆
−=∆∆
−∆∆
σγγ (12b)
Elevando ao quadrado os dois lados de cada uma das equações (12) e somando-as,
resulta
0)(42
2216 21
24
242
21
22
1
224
1
321
32621
23 =
∆
∆+∆−
∆
∆+
∆∆
−+
∆∆
−∆
∆∆+
∆
∆ baaaa σσσ
(13)
A equação (13) representa a função de resposta em freqüência do sistema
representado pela equação (1) do capítulo 1 para o caso aonde 131 w≈Ω .
B.2 – Com amortecimento estrutural
Seguindo o mesmo raciocínio desenvolvido no item anterior ( B.1.1), as equações de
modulação de amplitude e fase na forma autônomas para o caso amortecido são dadas por :
γγ cos2
sen2
1
4
1
4
1
2
∆∆
−∆∆
−∆∆
=′ bab aa (14a)
γγσγ sen2
cos2
4 1
4
1
43
1
3
1
2
∆∆
+∆∆
−∆∆
−∆∆
−=′ baa aaaa (14b)
Seguindo o mesmo raciocínio desenvolvido no item (B.1.1), a função de resposta em
freqüência para o caso amortecido será escrita da seguinte forma :
29
0)(42
2216 21
24
242
21
22
21
22
1
224
1
321
32621
23 =
∆
∆+∆−
∆
∆+
∆
∆+
∆∆
−+
∆∆
−∆
∆∆+
∆
∆ babaaa aaa σσσ
(15)
Parte C Estudo da estabilidade das soluções de equilíbrio
encontradas na Parte B
C.1 – Sem amortecimento estrutural
As figuras a seguir foram obtidas fazendo w1 = 1 e 31
=Ω . Para plotar os cada uma
das soluções em regime permanente, varia-se σ na relação :
σ213
1∈+=Ω w (16)
Os valores dos parâmetros do sistema investigado considerados nas simulações
numéricas a seguir são apresentados na tabela 1.
Parâmetro
Valor
comprimento da viga
1.5 (m)
secção reta da viga
0.0008 (m) X 0.0100 (m)
módulo de Young ( alumínio ) : viga
0.7 1011 N/m
densidade ( alumínio ) : viga
2700 kg/m3
pequeno parâmetro : ∈ 2.3704 10-8
Tabela 1 – Parâmetros utilizados nas simulações
As figuras 1 a 3 representam a maneira como a amplitude de vibração ( em regime
permanente ) varia com a freqüência de excitação ( Ω ) nas condições apresentadas.
30
As linhas cheias observadas nas figura 1 a 2 indicam soluções estáveis. A linha
tracejada nessas mesmas figuras indica soluções instáveis e irrealizáveis
experimentalmente.
Pode-se caminhar nos dois sentidos na curva de resposta em freqüência de sistemas
não lineares.
Quando se caminha nessas curvas no sentido do aumento da freqüência de excitação,
ocorre o que se denomina salto direto. Quando se caminha no sentido contrário ( da
diminuição da freqüência de excitação ) ocorre o denominado salto reverso.
Uma vez que neste item ( C.1 ) o amortecimento estrutural da viga, µ , não está sendo
considerado matematicamente ( serão considerados vários valores para esse parâmetro no
próximo item, C.2 ), pode-se observar apenas o salto reverso na amplitude de vibração da
viga. O salto direto ocorre ( teoricamente ) no infinito e jamais poderá ser presenciado
nesse caso. Na figura 1, o salto reverso ocorre na passagem de A → B.
Figura 1 – Curva de resposta em freqüência para 131 w≈Ω .
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
σ
a
A
B
31
C.2 – Com amortecimento estrutural
Assim como ocorre com as funções de resposta em freqüência para sistemas lineares,
para sistemas não lineares o amortecimento estrutural também atua trazendo o pico da
curva de resposta em freqüência para mais próximo da origem ( do sistema de coordenadas
adotado ). Neste caso, o salto direto também poderá ser observado.
Nas figuras 2 e 3 os dois tipos de salto podem ser observados.
Figura 2 – Curva de resposta em freqüência amortecida para 131 w≈Ω . Os valores deµ
utilizados são ( a partir da curva de maior amplitude de pico ), em Kg/s : 0.00010, 0.00015 e 0.00020.
A figura 2 apresenta a influência do parâmetroµ sobre a amplitude ( em regime
permanente ) da vibração da viga. Quanto maior o valor desse parâmetro mais o
comportamento da curva de resposta em freqüência se assemelha àquela dos casos lineares.
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
σ
a
32
Figura 3 – Salto reverso ( A → B ) e salto direto ( C → D ) para o caso µ = 0.00010.
A figura 3 ilustra ( evidencia ) os dois tipos de salto ( direto e reverso ) para uma das
curvas apresentadas na figura 2 ( um dos casos de amortecimento estrutural ). O salto direto
ocorre na passagem de C → D quando se caminha no sentido do aumento da freqüência de
excitação e o salto reverso ocorre na passagem de A → B quando se caminha no sentido da
diminuição da freqüência de excitação.
O tipo de salto que ocorrerá depende do sentido percorrido sobre a curva.
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
σ
a
A
B
C
D
33
Capítulo 3
Equações de modulação de amplitude e fase e função de resposta em freqüência
curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal
Caso II : ressonância secundária o caso 0≈Ω
( Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O( 2∈ ) )
Parte A Obtenção das equações de modulação de
amplitude e fase
A.1 – Sem amortecimento estrutural
Para a eliminação, na equação (33) do capítulo 1, de todos os termos multiplicados
por 01Tiwe , os quais irão gerar termos seculares na solução do sistema original, deve-se ter :
∂∂
−1
12TAiw
+ 2
11111wΛ
Γ− 11113 AA2 = 0 (1)
ou :
i
∂∂
ε1
1 TA + 2ε AA2 = 0 (2)
aonde :
=ε1 12w−
34
=ε 2 1111211111 3Γ−Λ w
Escrevendo A em (2) na forma polar e separando os termos em parte real e parte
imaginária, obtém-se :
0=′a (3a)
3
1
2
4aa
εε
=β′ (3b)
As equações (3) representam as equações de modulação de amplitude (a) e fase ( β )
para o caso 0≈Ω do sistema não amortecido matematicamente modelado de acordo com a
equação (1) do capítulo 1.
A.2 – Com amortecimento estrutural
Na investigação da solução analítica do sistema perturbado amortecido ( descrito no
capítulo 1 pela equação (7) ), visando a eliminação de termos seculares para o caso 0≈Ω ,
na equação (33) + inserção apresentada em (21) ( também apresentados no capítulo 1 ),
deve-se ter :
i
∂∂
ε1
1 TA + 2ε AA2 Ai 3ε+ = 0 (4)
aonde 1ε e 2ε são os mesmos definidos anteriormente e :
3ε = 1wµ−
Escrevendo A na forma polar e substituindo em (4) obtém-se :
β′ε−′ε aai 11 + 04 3
32 =ε+
ε
aia (5)
35
Separando os termos na equação (5) em parte real e parte imaginária, resulta :
aa1
3
εε
−=′ (6a)
3
1
2
4aa
εε
=β′ (6b)
As equações (6) representam as equações de modulação de amplitude (a) e fase (β )
autônomas para o caso 0≈Ω do sistema dinâmico amortecido matematicamente modelado
de acordo com a equação (7) do capítulo 1.
Parte B Análise em regime permanente
B.1 – Sem amortecimento estrutural
Neste caso o sistema não possui uma função de resposta em freqüência e o sistema
(3) pode ser resolvido diretamente para a e β . Obtém-se, então :
a = a0 = cte (7)
2
1
2
4a
εε
=β t + 0β (8)
aonde 0β é uma constante de integração. A amplitude a é constante, uma vez que não
existe amortecimento neste modelo. A freqüência de excitação pequena ( ≈0 ) ajuda a
manter o sistema estável. A estrutura flexível se move ( gira ) lentamente ( em movimento
de rastreamento ( slewing )).
36
B.2 – Com amortecimento estrutural
Assim como visto no tem B.1, neste caso o sistema também não possui uma função
de resposta em freqüência e o sistema (6) pode ser resolvido para a e β , obtendo-se :
0=a (9)
cte=β (10)
A amplitude a é igual a zero em regime devido ao efeito do amortecimento
estrutural. O sistema, novamente, será sempre estável.
37
Capítulo 4
Equações de modulação de amplitude e fase e função de resposta em freqüência
curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal
Caso III : ressonância secundária Ressonância sub-harmônica : 13w≈Ω ( Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1) )
Parte A Obtenção das equações de modulação de
amplitude e fase
A.1 – Sem amortecimento estrutural
Fazendo:
σ∈+=Ω 213w (1)
pode-se escrever :
10102
010 33 TTwTTwT σ+=σ∈+=Ω (2)
Desta forma, o termo 01 )2( Twie Ω−− na equação (18) do capítulo 1 é transformado em
101 TiTiw ee σ .
38
Todos os termos na referida equação (18) multiplicados por 01Tiwe ou por 01 )2( Twie Ω−−
devem ser eliminados pois irão gerar na solução investigada, respectivamente, termos
seculares ou pequenos divisores. Coletando esses termos naquela equação e utilizando as
relações (1) e (2), escreve-se :
0124
232
11 =Π+Π+Π+
∂∂
Π σTieAiAAATAi (3)
aonde :
Ω−
Ω=
)(2 221
21
wBR
α
RBiB −=
11 2w−=Π
112 21β−
=Π RB111℘+ RB1112λ− 22
11112 Ω
Λ+ RB 22
111112 RBwΛ+ 211116 RBΓ−
=Π3211111 wΛ 11113Γ−
=Π 4 −
Ω℘−
21111 w
Ωλ2
2111
RBww
Γ−ΩΛ−ΩΛ+Λ
− 111111111
21111
211111 323
Para que a solução analítica pretendida para a equação (1) seja periódica, a equação
(3) deve ser satisfeita.
Expressando A em forma polar, fazendo β−σ=γ 31T e utilizando a equação (3)
obtém-se :
0)sen(41)cos(
41
81
21
61
61
21 2
42
43
32111 =γΠ−γΠ+Π+Π+γ′Π+σΠ−′Π aaiaaaaai
(4)
39
Separando os termos na equação (4) em parte real e parte imaginária, resulta :
)cos(
21 2
1
4 γΠΠ
−=′ aa (5a)
)sen(23
433 2
1
43
1
3
1
2 γΠΠ
+ΠΠ
−
ΠΠ
−σ=γ′ aaaa (5b)
As equações (5) representam as equações de modulação de amplitude (a) e fase ( γ )
para o caso de ressonância 1:3 para o sistema dinâmico modelado de acordo com a equação
(1) do capítulo 1.
A.2 – Com amortecimento estrutural
Para que a solução analítica do sistema perturbado amortecido ( descrito no capítulo 1
pela equação (7) ) seja periódica ( com amplitude decrescente ), ou seja, para a eliminação
de termos seculares e pequenos divisores na equação (18) + inserção apresentada em (21)
( também apresentados no capítulo 1 ), deve-se ter :
0)( 124
2322
11 =Π+Π+Π+Π+
∂∂
Π σTiba eAiAAAi
TAi (6)
aonde B, BR, 1Π , 3Π e 4Π são os mesmos definidos anteriormente e :
1122 21β−
=Π=Π a RB111℘+ RB1112λ− 22
11112 Ω
Λ+ RB −Λ+ 22
111112 RBw
211116 RBΓ−
=Π b2 1wµ−
Escrevendo A na forma polar e substituindo em (6) obtém-se :
40
β′Π−′Π aai 11 024
)( )3(243322
1 =
Π
+
Π
+Π+Π+ β−σTi
ba eaiaai
(7)
A equação (7) pode ser reescrita como :
β′Π−′Π aai 11 +
Π
+Π+Π+ 33
22 4)( aai ba
0)3sen(2
)3cos(2
21
41
4 =
β−σ
Π
−β−σ
Π
+ aTTi (8)
Separando os termos na equação (8) em parte real e parte imaginária, resulta :
a′ = ab
1
2
ΠΠ
− 21
1
4 )3cos(2
aT β−σ
ΠΠ
− (9a)
β′a = 3
1
3
1
2
4aaa
ΠΠ
+
ΠΠ 2
11
4 )3sen(2
aT β−σ
ΠΠ
− (9b)
Fazendo β−σ=γ 31T em (9) resulta :
=′a ab
1
2
ΠΠ
− )cos(21 2
1
4 γΠΠ
− a (10a)
)sen(23
433 2
1
43
1
3
1
2 γΠΠ
+ΠΠ
−
ΠΠ
−σ=γ′ aaaa a (10b)
As equações (10) representam as equações de modulação de amplitude (a) e fase ( γ )
autônomas para o caso de ressonância 1:3 do sistema dinâmico amortecido
matematicamente modelado de acordo com a equação (7) do capítulo 1.
41
Parte B Função de resposta em freqüência
( amplitude da resposta X freqüência da excitação )
B.1 – Sem amortecimento estrutural
A solução em regime permanente ( ou, em outras palavras, os pontos fixos ou de
equilíbrio do sistema de equações (5) ) será dada por :
0)cos(21 2
1
4 =γΠΠ
a (11a)
3
1
3
1
22
1
4433)sen(
23 aaa
ΠΠ
+
ΠΠ
−σ−=γΠΠ
(11b)
Elevando ao quadrado os dois lados de cada uma das equações (11) e somando-as,
resulta :
043
89
4
23
241
2222
21221
42432
31623
=
Π+σ
ΠΠ
−σ
Π
+
+
Π−ΠΠ+σ
ΠΠ−
+
Π
aa
aa
(12)
A equação (12) representa a função de resposta em freqüência do sistema
representado pela equação (1) do capítulo 1 para o caso aonde 13w≈Ω .
B.2 – Com amortecimento estrutural
A solução em regime permanente ( ou, em outras palavras, os pontos fixos ou de
equilíbrio do sistema de equações (10) ) será dado por :
42
)cos(21 2
1
4 γΠΠ
a = ab
1
2
ΠΠ
− (13a)
)sen(23 2
1
4 γΠΠ
a = 3
1
3
1
2
433 aaa
ΠΠ
+
ΠΠ
−σ− (13b)
Elevando ao quadrado ambos os lados de cada uma das equações (13) e somando-as,
resulta :
6234
1 a
Π
42
43231 2
32
aa
Π−ΠΠ+σ
ΠΠ−
+ +
+ 222
22
21221 44
38
94
abaa
Π+Π+σ
ΠΠ
−σ
Π
= 0
(14)
A equação (14) representa a função de resposta em freqüência do sistema amortecido
representado pela equação (7) do capítulo 1 para o caso aonde 13w≈Ω .
Parte C Estudo da estabilidade das soluções de equilíbrio
encontradas na Parte B
C.1 – Sem amortecimento estrutural
Os valores utilizados nas simulações a seguir para os parâmetros do sistema
investigado são os mesmos apresentados na tabela 1 do capítulo2.
Nas figuras 1 e 2, novamente, as linhas cheias representam as soluções estáveis em
regime permanente e as linhas tracejadas representam as soluções instáveis e irrealizáveis
experimentalmente.
43
Para este tipo de ressonância, os saltos apresentados no capítulo 2 não aparecem. Este
fenômeno não ocorre nesta ressonância.
Figura 1 – Curva de resposta em freqüência para 13w≈Ω .
Embora a escala adotada para a figura 2 possa intuir, a curva de soluções instáveis
não intercepta o eixo das freqüências.
De acordo com a mesma figura, pode-se concluir que a ressonância 1:3 começará a
existir apenas a partir de uma determinada proximidade do valor 3 w1, ou seja, três vezes a
freqüência natural linear w1 ( ou, em outras palavras, a proximidade deσ = 0 ). Este mesmo
fato será observado no item C.2, a seguir, para o caso amortecido.
C.2 – Com amortecimento estrutural
A figura 2 apresenta a influência do parâmetro µ sobre a amplitude de vibração da
viga em regime permanente.
-30 -20 -10 0 10 20 30-1
0
1
2
3
4
5
6
7
σ
a
44
Figura 2 – Curva de resposta em freqüência amortecida para 13w≈Ω . Os valores deµ utilizados são ( a partir da curva de mínimo mais próximo do eixo das freqüências ), em Kg/s :
0.01000, 0.05000, 0.10000, 0.30000 e 0.50000.
De acordo com a figura 2, percebe-se que quanto maior o valor do amortecimento
estrutural, maior será o valor da primeira amplitude de vibração do sistema, no instante em
que a ressonância 1:3 for acionada. Nota-se também o efeito deµ no sentido de retardar a
ativação da referida ressonância ( quando se caminha da esquerda para a direita, na direção
de aumento das freqüências ).
As amplitudes de vibração em regime permanente, nesse caso, irão depender das
condições iniciais consideradas. Observa-se, na mesma figura 2, que amplitudes nulas
( linha cheia em a = 0 ) também são possíveis soluções em regime permanente.
-30 -20 -10 0 10 20 30-1
0
1
2
3
4
5
6
7
σ
a
45
Capítulo 5
Equações de modulação de amplitude e fase e função de resposta em freqüência
curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal
Caso IV : ressonância primária ( 1w≈Ω ) ( Excitação : amplitude de O( 2∈ ) e freqüência de O(1) )
Parte A Obtenção das equações de modulação de
amplitude e fase
A.1 – Sem amortecimento estrutural
Para a eliminação, na equação (26) do capítulo 1, dos termos multiplicados por 01Tiwe
e por 0Tie Ω , responsáveis pelo aparecimento na solução periódica do sistema original,
respectivamente, de termos seculares e pequenos divisores, deve-se ter :
∂∂
−1
12TAiw AAw 22
11111Λ+ AA211113Γ−
01Tiwe
+ i
c2
21Ωα
0Tie Ω = 0
(1)
A equação (1) somente terá efeito variando-se o valor da freqüência de excitação, Ω ,
em torno de uma das freqüências naturais lineares associadas a uma condição de
ressonância primária ( por exemplo, em torno da primeira freqüência natural de flexão ).
Assim, faz-se :
46
σ21 ∈+=Ω w (2)
aonde σ é denominado parâmetro de ajuste. Pode-se, então, escrever :
10102
010 TTwTTwT σσ +=∈+=Ω
Desta forma, o termo 0Tie Ω na equação (1) é transformado em
01Tiwe 1Tie σ (3)
Substituindo (3) em (1) resulta :
∂∂
−1
12TAiw AAw 22
11111Λ+ AA211113Γ−
+ i
c2
21Ωα
1Tie σ = 0
ou :
2− i
∂∂
11 T
Aw + 1Φ AA2 + i 2Φ 1Tie σ = 0 (4)
aonde :
=Φ1 211111wΛ 11113Γ−
=Φ 2 2
21 cΩα
Escrevendo A na forma polar ( βiaeA21
= ) e substituindo em (4) obtém-se :
β′+′− awaiw 11 + 181Φ 3a + i 2Φ )( 1 β−σTie = 0 (5)
47
A equação (5) pode ser reescrita como :
β′+′− awaiw 11 + 181Φ 3a + 2Φ ( i )sen()cos( 11 β−σ−β−σ TT ) = 0
(6)
Separando os termos na equação (6) em parte real e parte imaginária, resulta :
a′ =
1
2
wΦ )cos( 1 β−σT
(7a)
β′a =
1
1
8wΦ
−
3a +
1
2
wΦ
)sen( 1 β−σT
(7b)
As equações (7) representam as equações de modulação de amplitude (a) e fase ( β )
para o caso de ressonância primária 1:1 do sistema modelado de acordo com a equação (1)
do capítulo 1.
A.2 – Com amortecimento estrutural
Para que a solução analítica do sistema perturbado amortecido ( descrito no capítulo 1
pela equação (7) ) seja periódica ( com amplitude decrescente ), ou seja, para a eliminação
de termos seculares e pequenos divisores na equação (26) + inserção representada pelos
termos (27) ( também descritos no capítulo 1 ), deve-se ter :
2− i
∂∂
11 T
Aw + 1Φ AA2 + i 3Φ A + i 2Φ 1Tie σ = 0
(8)
aonde 1Φ e 2Φ são os mesmos definidos anteriormente e :
=Φ 3 1wµ−
48
Escrevendo A na forma polar e substituindo em (8) obtém-se :
β′+′− awaiw 11 + 181Φ 3a + i 32
1Φ a + i 2Φ )( 1 β−σTie = 0 (9)
A equação (9) pode ser reescrita como :
β′+′− awaiw 11 + 181Φ 3a + i 32
1Φ a )sen( 12 β−σΦ− T + i 2Φ )cos( 1 β−σT = 0
(10)
Separando os termos na equação (10) em parte real e parte imaginária, resulta :
a′ = 1
3
2wΦ
a + 1
2
wΦ
)cos( 1 β−σT (11a)
β′a = 1
1
8wΦ
− 3a )sen( 11
2 β−σΦ
+ Tw
(11b)
Fazendo β−σ=γ 1T em (11) resulta :
a′ = 1
3
2wΦ
a + 1
2
wΦ
)(cos γ (12a)
γ′a = σa1
1
8wΦ
+ 3a )(sen1
2 γΦ
−w
(12b)
As equações (12) representam as equações de modulação de amplitude (a) e fase ( γ )
autônomas para o caso de ressonância 1:1 do sistema dinâmico amortecido
matematicamente modelado de acordo com a equação (7) do capítulo 1.
49
Parte B Função de resposta em freqüência
( amplitude da resposta X freqüência da excitação )
B.1 – Sem amortecimento estrutural
Transformando o sistema de equações (7) em um sistema autônomo ( conforme visto
no capítulo 2 ), obtém-se :
a′ =
1
2
wΦ )cos(γ
(13a)
γ′a = σa
+
1
1
8wΦ
3a
−
1
2
wΦ
)sen(γ
(13b)
A solução em regime permanente ( em outras palavras, os pontos fixos ou de
equilíbrio ) do sistema de equações (13) será dada por :
1
2
wΦ
)cos(γ
= 0 (14a)
σa +
1
1
8wΦ
−3a
1
2
wΦ
)sen(γ
= 0 (14b)
ou :
1
2
wΦ
)cos(γ = 0 (15a)
1
2
wΦ
)sen(γ = +σa
1
1
8wΦ
3a (15b)
50
Elevando ao quadrado cada uma das equações (15) e somando os resultados,
obtém-se :
21
21
64wΦ
6a +
1
1
4wΦ
σ
4a + 22 a
σ
− 2
1
22
wΦ
= 0
(16)
A equação (16) representa a função de resposta em freqüência do sistema
representado pela equação (1) do capítulo 1 para o caso aonde 1w≈Ω , ou seja, para uma
ressonância primária.
B.2 – Com amortecimento estrutural
A solução em regime permanente ( em outras palavras, os pontos fixos ou de
equilíbrio ) do sistema de equações (12) será dada por :
1
2
wΦ
)(cos γ = 1
3
2wΦ
− a (17a)
)(sen1
2 γΦ
−w
= σ− a1
1
8wΦ
− 3a (17b)
Elevando ao quadrado cada uma das equações (17) e somando os resultados obtidos,
encontra-se :
21
21
64wΦ 6a
+ σ
Φ
1
1
4w4a
+
2σ21
23
4wΦ
+ 2a
−
21
22
wΦ
= 0
(18)
A equação (18) representa a função de resposta em freqüência do sistema dinâmico
amortecido representado pela equação (7) do capítulo 1 para o caso aonde 1w≈Ω , ou seja,
para a ressonância primária do primeiro modo linear.
51
Parte C Estudo da estabilidade das soluções de equilíbrio
encontradas na Parte B
C.1 – Sem amortecimento estrutural
Muito do que foi observado no capítulo 2 continua válido aqui.
Os valores utilizados nas simulações numéricas, a seguir, para os parâmetros do
sistema investigado são os mesmos apresentados na tabela 1 do capítulo2.
Na figura 1, a passagem entre soluções em regime permanente A → B caracteriza o
salto reverso. O salto direto não pode ser verificado nas curvas não amortecidas ( µ = 0 ).
Figura 1 – Curva de resposta em freqüência para 1w≈Ω .
Linhas cheias representam soluções estáveis em regime permanente e linhas
tracejadas soluções instáveis em regime permanente e não realizáveis na prática.
-4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
σ
a
A
B
52
C.2 – Com amortecimento estrutural
A figura 2 apresenta a influência do parâmetroµ sobre a amplitude ( em regime
permanente ) da vibração da viga. Ocorre comportamento semelhante àquele observado na
figura 2 do capítulo 2.
Figura 2 – Curva de resposta em freqüência amortecida para 1w≈Ω . Os valores deµ utilizados são ( a partir da curva de maior amplitude de pico ), em Kg/s :
0.00800, 0.01000 e 0.02000.
A figura 3 evidencia os dois tipos de salto ( direto e reverso ) para uma das curvas
apresentadas na figura 2. O salto direto ocorre na passagem das soluções em regime
permanente C → D quando se caminha no sentido do aumento da freqüência de excitação
e o salto reverso ocorre na passagem das soluções de regime permanente A → B quando se
caminha no sentido da diminuição da freqüência de excitação.
O tipo de salto que ocorrerá depende do sentido percorrido sobre a curva.
-1 0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
σ
a
53
Figura 3 – Salto reverso ( A → B ) e salto direto ( C → D ) para o caso µ = 0.00800.
-4 -2 0 2 4 6 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
σ
a
A
B
C
D
54
Capítulo 6
Equações de modulação de amplitude e fase e função de resposta em freqüência
curvatura não linear - 1 modo - sistema ideal
Caso V : caso não ressonante Ω distante de 13
1w , 13w e 0 ( Excitação : amplitude de O(1) e freqüência de O(1) )
Parte A Obtenção das equações de modulação de
amplitude e fase
A.1 – Sem amortecimento estrutural
Neste caso, a freqüência de excitação,Ω , está longe de qualquer um dos casos
críticos comentados anteriormente. Os únicos termos problemáticos são aqueles aonde
aparece 01Tiwe . Para a eliminação, na equação (18) do capítulo 1, de todos os termos
multiplicados por 01Tiwe , os quais irão gerar na solução do sistema original termos
seculares, obtém-se :
∂∂
−1
12TAiw A
2
211Ω−
βiAB2
111Ω℘+ −Ω
+ ABei
21112λ
−Λ 22111112 ABw
AAwAB 2211111
2211112 Λ+ΩΛ− 2
11112
1111 63 ABAA Γ+Γ−
001 =Tiwe (1)
55
aonde RBiB −= e
Ω−
Ω=
)(2 221
21
wBR
α
A equação (1) será reescrita como :
2− i
∂∂
11 T
Aw + 1ς A + 2ς AA2 = 0 (2)
aonde :
=1ς2
1121
Ω− β + RB2111Ω℘ 2− RB2
111Ωλ 22111112 RBwΛ+ −ΩΛ+ 22
11112 RB 211116 RABΓ
=2ς
211111wΛ 11113Γ−
Expressando A na equação (2) em forma polar, pode-se reescrevê-la como :
081
21 3
2111 =ς+ς+β′+′− aaawawi (3)
Separando os termos na equação (3) em parte real e parte imaginária, resulta :
0=′a (4a)
3
1
2
1
1
82a
wa
wa
ς−
+
ς−
=β′ (4b)
As equações (4) representam as equações de modulação de amplitude (a) e fase ( β )
para o caso não ressonante associado ao sistema modelado de acordo com a equação (1) do
capítulo 1.
56
A.2 – Com amortecimento estrutural
Para que a solução analítica do sistema perturbado amortecido ( descrito no capítulo 1
pela equação (7) ) seja periódica ( com amplitude decrescente ), ou seja, para a eliminação
de termos seculares na equação (18) + inserção apresentada em (21) ( também apresentados
no capítulo 1 ), deve-se ter :
2− i
∂∂
11 T
Aw + ( a1ς + i b1ς )A + 2ς AA2 = 0 (5)
aonde B, BR e 2ς são os mesmos definidos anteriormente e :
=ς=ς 11a2
1121
Ω− β + RB2111Ω℘ 2− RB2
111Ωλ 22111112 RBwΛ+ −ΩΛ+ 22
11112 RB
211116 RABΓ−
=ς b1 1wµ−
Escrevendo A na forma polar e substituindo em (5) obtém-se :
081
21
21 3
21111 =ς+ς+ς+β′+′− aaiaawawi ba (6)
Separando os termos na equação (6) em parte real e parte imaginária, resulta :
aw
a b
1
1
2ς
=′ (7a)
3
1
2
1
1
82a
wa
wa a ς
−ς
−=β′ (7b)
As equações (7) representam as equações de modulação de amplitude (a) e fase (β )
autônomas para a situação em que Ω encontra-se distante de qualquer caso crítico
57
( ressonantes ) para o sistema dinâmico amortecido matematicamente modelado de acordo
com a equação (7) do capítulo 1.
Parte B Análise em regime permanente
B.1 – Sem amortecimento estrutural
A exemplo do que ocorre no capítulo 3, neste caso o sistema também não possui uma
função de resposta em freqüência e o sistema (4) pode ser resolvido para a e β . Obtém-se,
então :
a = a 0 = cte (8)
ς−
+
ς−
=β 2
1
2
1
1
82a
ww t + 0β (9)
aonde 0β é uma constante de integração.
A amplitude a é constante, uma vez que não existe amortecimento neste modelo.
A freqüência de excitação encontra-se distante de qualquer um dos casos ressonantes,
o que ajuda a manter o sistema estável.
B.2 – Com amortecimento estrutural
Conforme observado anteriormente no capítulo 3, neste caso o sistema amortecido
também não possui uma função de resposta em freqüência e o sistema (7) pode ser
resolvido diretamente para a e β , obtendo-se :
0=a (10)
58
01
1
2β+
ς−=β t
wa (11)
aonde 0β é uma constante de integração. O sistema será sempre estável.
59
Capítulo 7
Equações diferenciais parciais governantes do movimento - curvatura linear - sistema ideal
Solução Analítica
7.1 - Introdução
O objetivo deste capítulo será apresentar a solução analítica da equação diferencial
parcial não homogênea e com coeficientes variantes no tempo :
E I 0),()()(),(),( 2
2
2
4
4
=θρ−θρ+
∂
∂ρ+
∂
∂txvtxt
ttxv
xtxv &&& (1)
que representa um modelo matemático para o comportamento de uma estrutura flexível
( curvatura linear ) em movimento de rastreamento ( slewing ), conforme representada na
Figura 1. Em outras palavras, conhecer o comportamento dinâmico desse sistema.
O comportamento da variável θ e suas derivadas é considerado conhecido de
antemão ( prescritos ) e não representam incógnitas para o problema.
Caso o módulo da velocidade angular, θ& , seja constante, a equação (1) reduz-se a :
E I 0),()(),(),( 2
2
2
4
4
=θρ−
∂
∂ρ+
∂
∂txvt
ttxv
xtxv & (2)
Caso o módulo da mesma velocidade angular não seja constante mas suficientemente
pequeno ( baixas velocidades de rotação da estrutura flexível ), a equação (1) reduz-se a :
60
E I 0)(),(),(
2
2
4
4
=θρ+
∂
∂ρ+
∂
∂xt
ttxv
xtxv && (3)
As considerações representadas pelas equações (2) e (3) são comumente encontradas
na literatura. Essa equações são facilmente resolvidas por separação de variáveis. Essa
técnica bastante empregada na solução de equações diferencias parciais não se aplica
diretamente à equação (1). O caso geral representado pela equação (1) será tratado aqui.
Figura 1 – A estrutura flexível em movimento de rastreamento
( XY : eixo inercial ; xy eixo móvel )
Seja a equação (1) reescrita como :
E I xttxvtt
txvx
txv)(),()(
),(),( 22
2
4
4
θρ−=θρ−
∂
∂ρ+
∂
∂ &&& (4)
61
O termo à direita não contém a variável espaço-temporal, v(x,t), e, portanto, torna a
equação (4) não homogênea.
A seguir serão determinadas as soluções homogênea (H) e particular (P) da equação
(4) e, então, a solução geral (H+P).
PARTE A A solução homogênea
7.2 – Separação de variáveis
Seja a equação homogênea ( da equação (4)) representada por :
E I 0)t,x(v)t(t
)t,x(vx
)t,x(vH
22
H2
4H
4
=θρ−
∂
∂ρ+
∂
∂ & (5)
e seja uma solução da equação (5) da forma :
vH (x,t) = X(x) T (t) (6)
Substituindo (6) em (5) resulta :
E I 0)()()()()( 2
2
2
4
4
=θρ−
ρ+
tTxXt
tdtTd
Xxd
xXdT & (7)
Dividindo a equação (7) por X(x)T(t) resulta :
E I 0)()(
)(1)(
)(1 2
2
2
4
4
=θρ−
ρ+
t
tdtTd
tTxdxXd
xX& (8)
62
Representando as derivadas em relação à variável independente x por (´) e as
derivadas em relação à variável independente t por (. ), a equação (8) poderá ser reescrita
como :
E I 0)()()(
)()( 2 =θρ−ρ+ t
tTtT
xXxX IV
&&&
ou :
E I)()()(
)()( 2
tTtTt
xXxX IV &&
& ρ−θρ=
ou, finalmente :
=)()(
xXxX IV
EIρ 2)t(θ&
EIρ
−)()(
tTtT&& (9)
O lado esquerdo da equação (9) é função apenas de x e o lado direito da equação (9)
função apenas de t. Para que esta igualdade sega válida deve-se ter :
=)()(
xXxX IV
λ (10)
EIρ 2)t(θ&
EIρ
−)()(
tTtT&& λ= (11)
aonde λ é uma constante.
De (10) e (11) escreve-se :
0=λ− XX IV (12)
T&& 2θ
− &
ρλ
−EI T = 0 (13)
63
aonde, a partir deste ponto, passa-se a omitir os parênteses (x) e (t) indicando o fato de X e
T ( e θ& ) serem funções das variáveis independentes x e t respectivamente.
Os próximos passos a serem desenvolvidos serão :
(a) resolver a equação diferencial ordinária (12) e determinar X ;
(b) resolver a equação diferencial ordinária (13) e determinar T ;
(c) determinar a solução da equação diferencial parcial homogênea (5) fazendo X T.
7.3 – Solução da equação homogênea espacial
Substituindo X em (12) por e r x resulta :
r4 e r x - λ e r x = 0
Portanto conclui-se que :
r4 - λ = 0 (14)
A equação (14) pode ser reescrita como :
( r 2 - λ ) ( r 2 + λ ) = 0 cujas raízes são dadas por :
r1 = 4 λ (15a)
r2 = 4 λ− (15b)
r3 = 4i λ (15c)
r4 = 4i λ− (15d)
Seja β = 4 λ . Assim, a forma da solução para a equação (12) dada por :
X = C1xr1e + C2
xr2e + C3xr3e + C4
xr4e
64
torna-se :
X = C1xeβ + C2
xe β− + C3xie β + C4
xie β− (16)
aonde Ci são constantes arbitrárias a serem determinadas.
A forma da equação (16) é complexa. Com o intuito de transformar a forma desta
solução em uma outra forma mais conveniente ( não explicitamente complexa ), vale-se do
seguinte estratagema.
Se xeβ e xe β−
( que representam a parte real da solução (16)) são soluções de (12), a
soma e o produto desses termos também o são. O mesmo vale para a parte complexa da
solução (16), ou seja, os termos xie β e xie β− . Portanto,
xeβ + xe β− = 2 cosh ( xβ ) (17a)
xeβ - xe β− = 2 senh ( xβ ) (17b)
xie β + xie β− = 2 cos ( xβ ) (17c)
xie β - xie β−
= 2 sen ( xβ ) (17d)
Desprezando o fator 2 nos termos apresentados em (17), o qual estará incluso nas
constantes Ci , a solução (16) pode ser reescrita como :
X = C1 cosh ( xβ ) + C2 senh ( xβ ) + C3 cos ( xβ ) + C4 sen ( xβ )
(18)
Para determinação das constantes Ci na equação (18), algumas derivadas desta em
relação a x deverão ser determinadas. Assim :
X ′ = β C1senh ( xβ ) + β C2cosh ( xβ ) - β C3sen ( xβ ) + β C4cos ( xβ ) (19)
X ′′ = 2β C1cosh ( xβ ) + 2β C2senh ( xβ ) - 2β C3cos ( xβ ) - 2β C4sen ( xβ ) (20)
X ′′′ = 3β C1senh ( xβ ) + 3β C2cosh ( xβ ) + 3β C3sen ( xβ ) + 3β C4cos ( xβ ) (21)
65
As condições de contorno para este problema são :
v (0,t) = X (0) T (t) = 0 (22)
v′ (0,t) = X ′ (0) T (t) = 0 (23)
v ′′ (L,t) = X ′′ (L) T (t) = 0 (24)
v ′′′ (L,t) = X ′′′ (L) T (t) = 0 (25)
Aplicando as condições de contorno em (18) a (21) obtém-se :
C1 + C3 = 0 (26)
C2 + C4 = 0 (27)
C1cosh ( Lβ ) + C2senh ( Lβ ) - C3cos ( Lβ ) - C4sen ( Lβ ) = 0 (28)
C1senh ( Lβ ) + C2cosh ( Lβ ) + C3sen ( Lβ ) - C4cos ( Lβ ) = 0 (29)
O sistema de equações (26) a (29) possui sempre a solução trivial C1 = C2 = C3 = C4 =
0. Isto resulta na conclusão inaceitável de que v(x,t) é identicamente nulo. As soluções não
triviais das equações (26) a (29) existirão se e somente se o determinante de seus
coeficientes for igual a zero, ou seja,
)Lcos()Lsen()Lcosh()Lsenh()Lsen()Lcos()Lsenh()Lcosh(
10100101
β−ββββ−β−ββ
= 0 (30)
Expandindo (25) resulta :
(cos( Lβ )) 2 + 2cos( Lβ )cosh( Lβ ) + (cosh( Lβ )) 2 + (sin( Lβ )) 2 - (sinh( Lβ )) 2 = 0
66
ou:
1)L(cos)L(cosh −=ββ (31)
A equação (31) possui um conjunto infinito de soluções.
Das equações (26) e (27) pode-se concluir que :
C1 = - C3 (32)
C2 = - C4 (33)
Substituindo as relações (32) e (33) na equação (28) resulta :
C1cosh ( Lβ ) + C2senh ( Lβ ) + C1cos ( Lβ ) + C2sen ( Lβ ) = 0 (34)
ou :
β+ββ+β
−=)Lcos()Lcosh()Lsen()Lsenh(CC 21 (35)
As equações (32), (33) e (35) podem ser combinadas com a equação (18) para
fornecer a forma dos modos ( autofunções ) :
X = A1 (
( senh ( xβ ) - sen ( xβ ) ) -
β+ββ+β
)Lcos()Lcosh()Lsen()Lsenh( ( cosh ( xβ ) - cos ( xβ )
)
(36)
aonde A1 é uma amplitude arbitrária constante.
A expressão (36), que representa a solução da equação (12), representa também a
parte espacial da solução da equação homogênea (5).
67
Os quatro primeiros valores para β ( autovalores ) podem ser obtidos numericamente
e são dados por ( Meirovitch, 1980 ; Thomson, 1981 ) :
L
L
L
L
9960.10
8548.7
6941.4
8751.1
4
3
2
1
=β
=β
=β
=β
(37)
Os autovalores iβ dados pelas relações (37) estão associados à freqüência
natural do sistema (1).
7.4 – Solução da equação homogênea temporal
Seja a equação (13) reescrita a seguir :
T&&
θ−
ρλ
+ 2)t(EI & T = 0 (38)
aonde θ& (t) é uma função qualquer ( conhecida ) do tempo.
Seja o deslocamento angular, )t(θ , dado por :
))t(cos1(A)t( Ω−=θ (39)
68
Figura 2 : Deslocamento angular prescrito com expressão dada por (39) : A= 0.5 rad ; Ω = 4πs
rad .
Combinando as expressões (38) e (39), escreve-se :
T&&
ΩΩ−
ρλ
+ )t(senAEI 222 T = 0 (40)
Fazendo ))t2cos(1(21)t(sen 2 Ω−=Ω , a equação (40) pode ser reescrita como :
+T&&
Ω
Ω+
Ω−
ρλ )t2(cos
2A
2AEI 2222
T = 0 (41)
Seja a seguinte mudança de variável :
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
60
t (s)
θ (g
raus
)
69
zt =Ω (42)
T = y (43)
Desta forma :
===dtdz
dzdy
dtdy
dtdΤ
dzdy
Ω (44)
=+
=
=
==
2
22
2
2
2
2
2
2
dtzd
dzdy
dtdz
dzyd
dtdz
dtdz
dzdy
dzd
dtdz
dzdy
dtd
dtyd
dtd Τ
2
22
dzyd
Ω
(45)
Utilizando (44) e (45), a equação (41) pode ser reescrita como :
y)z2(cos2
A2
AEIdz
yd 22
22
2
+−
Ωρ
λ+ = 0 (46)
A equação (46) está na forma da Equação de Mathieu,
y))z2(cosq2a(dz
yd2
2++ = 0 (47)
aonde :
2
AEIa2
2−
Ωρ
λ= (48)
4Aq
2= (49)
Na equação (47), a excitação manifesta-se através de um coeficiente dependente do
tempo. Tais excitações são chamadas de excitações paramétricas.
70
Equações lineares com coeficientes periódicos ou variantes no tempo têm sido
estudados exaustivamente ( Drazin, 1994 ; Erugin, 1966 ; Farkas, 1994 e Schmidt e Tondl,
1986, para citar apenas alguns ). ( Richards, 1983 ) é dedicado inteiramente a esse assunto e
apresenta muitas aplicações práticas para o estudo dessas equações. A equação mais
simples deste tipo é a equação de Mathieu.
A relação entre a e q será dada por :
q2EIa2−
Ωρ
λ= (50)
Relembrando, cada uma das freqüências naturais da viga, 2iw , é representada por :
2iw
ρλ
= iEI
A equação (50) pode ser reescrita como :
a = 2
2iw
Ωq2− (51)
A relação (51) tem grande importância na análise das equações do tipo Mathieu.
Dependendo das combinações entre a e q, a solução de (47) pode ser instável ou estável
( Cunningham, 1958 ; Erugin, 1966 ). Neste trabalho, conforme será visto posteriormente, a
estabilidade da solução de (47), apesar de imprescindível, não garante a estabilidade da
solução de (1), devido à natureza do problema aqui estudado.
Embora não sejam utilizadas neste trabalho, técnicas de perturbação tais como
método das múltiplas escalas ou a expansão direta também podem ser utilizadas para a
obtenção das soluções aproximadas da equação (47) ( Nayfeh e Mook, 1979 ; Nayfeh,
1981 ; Nayfeh, 1993 ). Nestes textos constam também boas discussões acerca da
estabilidade das soluções.
71
O objetivo agora passa a ser, então, resolver a equação (47) aonde a e q são definidos
em (48) e (49) e estão vinculados pela relação (51).
De acordo com ( Hayashi, 1964 ), (Whittaker, 1913-14) e (Whittaker e Watson,1935),
a solução de (47) será da forma :
)z(ey zφ= µ (52)
aonde:
...)z3sen(b)z3cos(a)zsen()z( 33 +σ−+σ−+σ−=φ
(53)
para valores suficientemente pequenos de q .
Substituindo (52) em (47) obtém-se :
0)z())z2cos(q2a()z()z(2)z(2 =φ++φ+φµ+φµ &&& (54)
Substituindo (53) em (54) resulta :
( )+σ−+σ−+σ−µ )z3sen(b)z3cos(a)zsen( 332 ( +σ−−σ−µ )z3sen(a3)zcos(2 3
)+σ−+ )z3cos(b3 3 ( )+σ−−σ−−σ−− )z3sen(b9)z3cos(a9)zsen( 33
( )zsen(a σ−+ )+σ−+σ−+ )z3sen(b)z3cos(a 33 ( ))zsen()z2cos(q2 σ− = 0
(55)
Para a expansão da função )z(φ multiplicando o )z2cos(q2 em (54) considerou-se
apenas o primeiro termo de (53) a fim de que não fossem introduzidos em (55) termos
multiplicados por sen(5z) e cos(5z).
Sejam as seguintes igualdades trigonométricas:
)sen()zcos()cos()zsen()zsen( σ−σ=σ− (56)
72
)sen()z3cos()cos()z3sen()z3sen( σ−σ=σ− (57)
)sen()zsen()cos()zcos()zcos( σ+σ=σ− (58)
)sen()z3sen()cos()z3cos()z3cos( σ+σ=σ− (59)
[ ] [ ] =σ−σ )sen()zcos()z2cos()cos()zsen()z2cos(
= −σ
−
)cos(
2)zsen()z3sen( )sen(
2)zcos()z3cos(
σ
+
(60)
Substituindo (56) a (60) em (55) resulta :
+
σ−σ+
+σ+σ+σ−σ
µ
)sen()z3cos(b)cos()z3sen(b
)sen()z3sen(a)cos()z3cos(a)sen()zcos()cos()zsen(
33
332
+
σ+σ+
+σ+σ−σ+σ
µ+
)sen()z3sen(b3)cos()z3cos(b3
)sen()z3cos(a3)cos()z3sen(a3)sen()zsen()cos()zcos(2
33
33
+
σ+σ−
−σ−σ−σ+σ−
+
)sen()z3cos(b9)cos()z3sen(b9
)sen()z3sen(a9)cos()z3cos(a9)sen()zcos()cos()zsen(
33
33
+
σ−σ+
+σ+σ+σ−σ
+
)sen()z3cos(b)cos()z3sen(b
)sen()z3sen(a)cos()z3cos(a)sen()zcos()cos()zsen(a
33
33
0)sen()zcos()sen()z3cos()cos()zsen()cos()z3sen(q =
σ−σ−σ−σ
+
(61)
73
Em (61), coletando-se os termos multiplicados por sen(z), obtém-se:
0)cos(q)cos(a)cos()sen(2)cos(2 =σ−σ+σ−σµ+σµ (62)
Em (61), coletando-se os termos multiplicados por cos(z), obtém-se:
0)sen(q)sen(a)sen()cos(2)sen(2 =σ−σ−σ+σµ+σµ− (63)
Em (61), coletando-se os termos multiplicados por sen(3z), obtém-se:
0)cos(q)cos(ab)sen(aa)cos(b9)sen(a9)sen(b6)cos(a6)cos(b)sen(a
33
33332
32
3=σ+σ+σ+
+σ−σ−σµ+σµ−σµ+σµ
(64)
Em (61), coletando-se os termos multiplicados por cos(3z), obtém-se:
0)sen(q)sen(ab)cos(aa)sen(b9)cos(a9)cos(b6)sen(a6)sen(b)cos(a
33
33332
32
3=σ−σ−σ+
+σ+σ−σµ+σµ+σµ−σµ
(65)
Seja o sistema formado pelas equações (62) e (63) reproduzidas a seguir :
0)cos(q)cos(a)cos()sen(2)cos(2 =σ−σ+σ−σµ+σµ (66a )
0)sen(q)sen(a)sen()cos(2)sen(2 =σ−σ−σ+σµ+σµ− (66b)
Resolvendo (66) para µ e σ obtém-se todas as dezesseis possibilidades apresentadas
na Tabela 1
74
µ
σ
+
+−−
−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
+−−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
+−
−
q2qa4
q1
21arccos
2
q2qa4
q1
21
q2qa4
q1
21q
22 ++−
+−+−
+
+−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
+−−
−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
+−−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
+−
−
q2qa4
q1
21arccos
2
q2qa4
q1
21
q2qa4
q1
21q
22 ++−
+−+
+
+−
q2qa4
q1
21arccos
2
75
+
−−−
−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
−−−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
−−
−
q2qa4
q1
21arccos
2
q2qa4
q1
21
q2qa4
q1
21q
22 +++
+−−−
+
−−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
−−−
−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
−−−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
−−
−
q2qa4
q1
21arccos
2
q2qa4
q1
21
q2qa4
q1
21q
22 +++
+−−
+
−−
q2qa4
q1
21arccos
2
Tabela 1 – Todas as soluções do sistema (66).
76
Para os valores de σ , uma vez que não existem valores imaginários de cosseno e os
mesmos estão compreendidos entre –1 e 1, deve-se garantir que :
1q2
qa4q1
210
2≤
++−≤ (67)
1q2
qa4q1
210
2≤
+−−≤ (68)
De (67) conclui-se que :
q1aq1 +≤≤− (69)
Como (68) jamais será verdade, todos os valores de σ representados por esta
expressão não existem. Portanto, as soluções possíveis apresentadas na Tabela 1 reduzem-
se à metade dos valores apresentados.
Seja o sistema formado pelas equações (64) e (65) reproduzidas a seguir:
0)cos(q)cos(ab)sen(aa)cos(b9)sen(a9)sen(b6)cos(a6)cos(b)sen(a
33
33332
32
3=σ+σ+σ+
+σ−σ−σµ+σµ−σµ+σµ
(70a)
0)sen(q)sen(ab)cos(aa)sen(b9)cos(a9)cos(b6)sen(a6)sen(b)cos(a
33
33332
32
3=σ−σ−σ+
+σ+σ−σµ+σµ+σµ−σµ
(70b)
Resolvendo o sistema (70) para a3 e b3 obtém-se :
42223a218aa1881
q6aµ+µ+µ++−
µ= (71)
4222
23
a218aa1881
qaqq9b
µ+µ+µ++−
µ++−−= (72)
77
Assim, escreve-se (53) como:
)zsen()z( σ−=φ +σ−
µ+µ+µ++−
µ
+ )z3cos(
a218aa1881
q64222
0)z3sen(a218aa1881
qaqq94222
2=σ−
µ+µ+µ++−
µ++−−
+
(73)
A solução (52) é reescrita da seguinte forma :
zey µ= )zsen( σ−
+σ−
µ+µ+µ++−
µ
+ )z3cos(
a218aa1881
q64222
0)z3sen(a218aa1881
qaqq94222
2=
σ−
µ+µ+µ++−
µ++−−
+ (74)
aonde cada par ( σµ, ) é especificado na Tabela 1.
Substituindo em (74) as relações (42) e (43), obtém-se :
T te Ωµ= )t(sen σ−Ω
+σ−Ω
µ+µ+µ++−
µ
+ )t3(cos
a218aa1881
q64222
0)t3sen(a218aa1881
qaqq94222
2=
σ−Ω
µ+µ+µ++−
µ++−−
+ (75)
a (primeira ) solução temporal da homogênea. Os parâmetros a e q são dados pelas relações
(49) e (51).
O termo que tornará a solução (75) estável ou instável será :
te Ωµ (76)
78
ou, mais especificamente, o sinal de µ .
Se o sinal do parâmetro µ for positivo o sistema será instável; se o sinal do parâmetro
µ for negativo o sistema será estável. Na Tabela 1 existem valores de µ associados a
soluções estáveis e a soluções instáveis de (47).
Seguem os procedimentos de cálculo para a vibração dos dois primeiros modos.
Seja a relação (69) entre a e q apresentada graficamente pela Figura 3. Para um
determinado valor de q, por exemplo q = 0.2, a linha tracejada indica a faixa de valores
possíveis para a. Seja a = 0.85.
Figura 3 : Relação entre a e q para os valores possíveis deσ
De acordo com as propriedades da estrutura :
comprimento, L = 1 m
secção reta = 0.010 m X 0.001 m
E = 7 1010 Kg / ms2
I = 8.3 10-13 m4
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
q
a
a=1+q
a=1-q
79
ρ= 0.027 Kg / m
1λ = 1.8762
tem-se:
1w =ρ
λ=
4
41
L
IE5.16 rad/s = 0.82 Hz
Utilizando (51), conclui-se que um bom valor para a freqüência da excitação será :
=+
=Ωq2a
w 2i 4.62 rad/s = 0.74 Hz
Com os valores de a e q na Tabela 1 obtém-se :
µ
σ ( rad )
-1.9497
1.9497
-1.1919
-0.0687
1.1919
-1.9497
1.9497
-1.1919
0.0687
1.1919
Tabela 2 – Soluções possíveis do sistema (66) para q = 0.2 e a = 0.85. Os primeiros quatro valores do par ( σµ, ) representam soluções estáveis. Os últimos quatro valores representam soluções instáveis.
80
Para o primeiro caso estável e para o primeiro modo, a solução temporal representada
equação (75) escreve-se :
T t3174.0e−= )9497.1t62.4(sen +
++− )9497.1t86.13(cos0012.0
0)9497.1t86.13(sen0245.0 =
++ (77)
Seja uma segunda solução linearmente independente de (47) da forma :
z2 2ey µ= ...))z3sen(b)z3cos(a)z(cos( 2322322 +σ−+σ−+σ− (78)
Seguindo os mesmos procedimentos desenvolvidos anteriormente para a solução
(52), obtém-se os resultados apresentados na Tabela 3.
2µ
2σ
+
−+−
−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
−+−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
−+
−
q2qa4
q1
21arccos
2
q2qa4
q1
21
q2qa4
q1
21q
22 ++−
+−+−
+
−+
q2qa4
q1
21arccos
2
81
+
−+−
−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
−+−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
−+
−
q2qa4
q1
21arccos
2
q2qa4
q1
21
q2qa4
q1
21q
22 ++−
+−+
+
−+
q2qa4
q1
21arccos
2
+
++−
−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
++−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
++
−
q2qa4
q1
21arccos
2
q2qa4
q1
21
q2qa4
q1
21q
22 +++
+−−−
+
++
q2qa4
q1
21arccos
2
82
+
++−
−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
++−
q2qa4
q1
21arccos
2
+
++
−
q2qa4
q1
21arccos
2
q2qa4
q1
21
q2qa4
q1
21q
22 +++
+−−
+
++
q2qa4
q1
21arccos
2
Tabela 3 – Todas as possibilidades para 2µ e 2σ em (78).
Comparando a Tabela 3 e a Tabela 1 verifica-se que 2µ=µ . Para esta segunda
solução, todas as dezesseis possibilidades apresentadas para o par ( 2µ , 2σ ) também não
são possíveis. Os valores possíveis para 2σ estão associados aos mesmos dois primeiros
valores de 2µ na Tabela 3 ( conforme visto anteriormente para (µ ,σ ) ).
2µ ( = µ )
2σ ( rad )
-2.7627
2.7627
-0.3789
-0.0687
0.3789
83
-2.7627
2.7627
-0.3789
0.0687
0.3789
Tabela 4 – Valores possíveis associados à segunda solução independente para q = 0.2 e a = 0.85. Os primeiros quatro valores do par ( 22 ,σµ ) representam soluções estáveis. Os últimos quatro valores
representam soluções instáveis.
A relação (69) entre a e q também é válida para os parâmetros na Tabela 3.
Fazendo q = 0.2 e a = 0.85 obtém-se os valores na Tabela 4, a seguir.
E seguindo novamente os mesmos procedimentos desenvolvidos anteriormente para a
primeira solução, obtém-se :
4222
232
a218aa1881
qaqq9a
µ+µ+µ++−
µ++−−= (79)
422232a218aa1881
q6bµ+µ+µ++−
µ−= (80)
Assim, a solução completa de (47) pode ser escrita como :
T( t ) t1 eC Ωµ= )t(sen 1σ−Ω
+σ−Ω
µ+µ+µ++−
µ
+ )t3(cos
a218aa1881
q614222
+
σ−Ω
µ+µ+µ++−
µ++−−
+ )t3sen(
a218aa1881
qaqq914222
2
84
t2 eC Ωµ+ )tcos( 2σ−Ω
+σ−Ω
µ+µ+µ++−
µ++−−
+ )t3cos(
a218aa1881
qaqq924222
2
µ+µ+µ++−
µ−
+
4222 a218aa1881
q6
σ−Ω )t3sen( 2 (81)
aonde σ=σ1 .
No exemplo numérico a seguir, verifica-se que :
)cos()sen()sen()cos(
21
21σ=σσ=σ
O Wronskiano das soluções (52) e (78) é realmente diferente de zero, provando a
independência linear das mesmas ( Boyce e DiPrima, 1990 ). A saber :
W(y1,y2) = ã 2 t m W WCos s 1 - s 2 - 1 + 4 Sin 2 t W a - 3 a 32 - 4 Co s 2 t W b 3 - 3 b32 (82)
aonde y1 = y.
A solução (77) completa pode, assim, ser escrita da seguinte forma :
T t3174.01 eC −= )9497.1t62.4(sen +
++− )9497.1t86.13(cos0012.0
++ )9497.1t86.13(sen0245.0 t3174.0
2 eC −+ ++
)7627.2t62.4(cos
+++ )7627.2t86.13(cos0245.0
+ )7627.2t86.13(sen0012.0 (83)
Ou ainda :
85
T t3174.01 eC −= )9497.1t62.4(sen +
++− )9497.1t86.13(cos0012.0
++ )9497.1t86.13(sen0245.0 t3174.0
2 eC −+ ++
)7627.2t62.4(cos
+++ )7627.2t86.13(cos0245.0
+ )7627.2t86.13(sen0012.0
(83)
As constantes C1 e C2 serão posteriormente determinadas.
7.5 – Solução geral da equação homogênea
Seja a forma da solução geral (6) da equação homogênea (5), reescrita a seguir :
vH (x,t) = X(x) T (t) (84)
Substituindo as soluções encontradas (36) e (81) na forma (84), a solução geral da
equação homogênea (5) ou, de outra maneira, a solução homogênea do sistema original (1)
será dada por :
vH (x,t) =
A1
( senh ( xβ ) - sen ( xβ ) )
β+ββ+β
−)Lcos()Lcosh()Lsen()Lsenh( ( cosh ( xβ ) –
- cos ( xβ ) )
t
1 eC Ωµ
+σ−Ω
)t(sen 1
+σ−Ω
µ+µ+µ++−
µ
+ )t3(cos
a218aa1881q6
14222
)t3sen(a218aa1881
qaqq914222
2
σ−Ω
µ+µ+µ++−
µ++−−
+ +
86
+σ−Ω
+ Ωµ )tcos(eC 2
t2
+σ−Ω
µ+µ+µ++−
µ++−−
+ )t3cos(
a218aa1881qaqq9
24222
2
µ+µ+µ++−
µ−
+ 4222 a218aa1881
q6
σ−Ω )t3sen( 2 (85)
aonde A1 = ½.
PARTE B A solução particular
7.6 – Separação de variáveis
Seja a equação não homogênea (4) reproduzida a seguir.
EI x)t()t,x(v)t(t
)t,x(v
x
)t,x(vP
22
P2
4P
4θρ−=θρ−
∂
∂ρ+
∂
∂ &&&
(86)
aonde o subscrito P refere-se à solução particular.
Seja a variável vP em (86) representada por uma série de autofunções de acordo
com :
)x()t(b)t,x(v nn1n
P ϕ∑=∞
= (87)
87
aonde )x(nϕ representa cada uma das autofunções definidas por (36). O problema passa a
ser definir os coeficientes temporais bn(t) ( Boyce e DiPrima, 1990 ).
Substituindo (87) em (86) resulta :
x)t()x()t(b)t()x()t(b)x()t(bEI nn1n
2nn
1n
ivnn
1nθρ−=ϕθρ−ϕρ+ϕ ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
&&&&&
(88)
De acordo com (12), o primeiro termo de (88) pode ser reescrito como :
)x()t(b)x()t(b nnn1n
ivnn
1nϕλ∑=ϕ∑
∞
=
∞
= (89)
Os segundo e terceiro termos de (88) podem ser reescritos como :
[ ])t(b))t(()t(b)x()x()t(b)t()x()t(b n2
nn1n
nn1n
2nn
1nθ−ϕρ=ϕθρ−ϕρ ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
&&&&&&
(90)
O termo que torna a equação não homogênea, x)t(θρ− && , também deve ser escrito
como uma série de autofunções. Desta forma :
)x()t()t,x(Fx)t( nn1n
ϕψ∑ρ−==θρ−∞
=
&& (91)
De (91) conclui-se que :
dx)x()t,x(F)t( nL
0n ϕρ−=ψ ∫ (92)
Como F(x,t) é uma função conhecida, pode-se considerar também como conhecidos
os coeficientes temporais )t(nψ . Lembrar que )t(θ foi definido em (39).
88
Substituindo (89), (90) e (91) em (88) resulta:
EI )x()t(b nnn1n
ϕλ∑∞
=[ ])t(b))t(()t(b)x( n
2nn
1nθ−ϕρ+ ∑
∞
=
&&& = )x()t( nn1n
ϕψρ− ∑∞
=
(93)
A Equação (93) pode ser reescrita como :
nn1n
)t(EIb λ
∑∞
=))t(b))t(()t(b( n
2n θ−ρ+ &&& 0)x()t( nn =ϕ
ρψ+
(94)
Para que (94) seja satisfeita para qualquer valor de x variando de 0 a L, deve-se ter:
)t()t(b)t(EI
)t(b nn2n
n ψ−=
θ−
ρλ
+ &&& (95)
Substituindo )t(θ de acordo com (39) obtém-se :
∫ ϕΩΩ−=
ΩΩ−
ρλ
+
L
0n
2n
222nn dx)x(x)tcos(A)t(b)t(senA
EI)t(b&&
(96)
cuja solução homogênea já é conhecida ( a saber, (85)). Seja :
∫ ϕΩΩ−=L
0n
2 dx)x(x)tcos(A)t(G (97)
Então, (96) pode ser reescrita como :
)t(G)t(b)t(senAEI
)t(b n222n
n =
ΩΩ−
ρλ
+&& (98)
89
A solução de (98), utilizando as duas soluções independentes que formam (85),
fornecerá os coeficientes bn(t).
Fazendo :
)t(senAEI
)t( 222n ΩΩ−ρλ
=ξ (99)
a equação (98) será reescrita como :
)t(G)t(b)t()t(b nn =ξ+&& (100)
Seja bn1(t) uma das soluções linearmente independentes da homogênea de (100)
( anteriormente denominada y1 ou simplesmente y e apresentada em (52) ) e bn2(t) uma
outra solução linearmente independente desta mesma equação ( anteriormente denominada
y2 e apresentada em (78)). Estas duas soluções serão utilizadas para a determinação da
solução particular de (100) através do método de variação de parâmetros.
A solução geral da homogênea de (100) ( ou a equação (85) ) será representada por :
bnH (t) = C1 bn1(t) + C2 bn2(t) (101)
O método de variação de parâmetros para o caso analisado aqui envolve a
substituição das constantes C1 e C2 em (101) pelas funções u1(t) e u2(t) de modo que
bnP (t) = u1(t) bn1(t) + u2(t) bn2(t) (102)
satisfaça a equação diferencial não homogênea (100) ( Fernandez, 1975 ; Figueiredo,
1979 ; Boyce e DiPrima, 1990 ).
Sejam as derivadas primeira e segunda de (102) em relação ao tempo dadas por :
))t(b)t(u)t(b)t(u())t(b)t(u)t(b)t(u()t(b 2n21n12n21n1nP&&&&& +++=
(103)
90
))t(b)t(u)t(b)t(u)t(b)t(u)t(b)t(u(
))t(b)t(u)t(b)t(u)t(b)t(u)t(b)t(u()t(b
2n21n12n21n1
2n21n12n21n1nP&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
++++
++++=
(104)
Os termos no segundo parênteses de (104) podem ser escritos como :
))t(b)t(u)t(b)t(u(dtd
)t(b)t(u)t(b)t(u)t(b)t(u)t(b)t(u
2n21n1
2n21n12n21n1
&&
&&&&&&&&
+=
=+++
Para auxiliar na solução, impõe-se que :
0)t(b)t(u)t(b)t(u 2n21n1 =+ && (105)
Substituindo (105) em (103) e em (104) resulta :
)t(b)t(u)t(b)t(u)t(b 2n21n1nP&&& += (106)
)t(b)t(u)t(b)t(u)t(b)t(u)t(b)t(u)t(b 2n21n12n21n1nP&&&&&&&&&& +++= (107)
Substituindo (102) e (107) em (100) :
)t(G)t(b)t(u)t(b)t(u))t(b)t()t(b)(t(u))t(b)t()t(b)(t(u 2n21n12n2n21n1n1 =++ξ++ξ+ &&&&&&&&
(108)
Como bn1 e bn2 são solução da homogênea, os dois primeiros parênteses se anulam e
a equação (108) reduz-se a :
)t(G)t(b)t(u)t(b)t(u 2n21n1 =+ &&&& (109)
As equações (105) e (109) formam o seguinte sistema para as funções incógnitas 1u& e
2u& :
91
0)t(b)t(u)t(b)t(u 2n21n1 =+ && (110a)
)t(G)t(b)t(u)t(b)t(u 2n21n1 =+ &&&& (110b)
A solução do sistema (110) conduz a :
)t(b)t(b)t(b)t(b)t(G)t(b
)t(u2n1n2n1n
2n1 &&&
−
−= (111)
)t(b)t(b)t(b)t(b)t(G)t(b
)t(u2n1n2n1n
1n2 &&&
−= (112)
Como bn1 e bn2 são soluções linearmente independentes da equação homogênea, o
denominador em (111) e (112) não se anula no intervalo de interesse. Os coeficientes u1 e
u2 serão dados por :
ηηη−ηη
ηη−= ∫ d
)(b)(b)(b)(b)(G)(b
)t(u2n1n2n1n
2nt
01 &&
(113)
ηηη−ηη
ηη= ∫ d
)(b)(b)(b)(b)(G)(b
)t(u2n1n2n1n
1nt
02 &&
(114)
Assim, a solução particular de (100) será dada por :
bnP(t) = ηηη−ηη
ηη∫ d
)(b)(b)(b)(b)(G)(b
)t(b2n1n2n1n
2nt
01n &&
+
+ ηηη−ηη
ηη∫ d
)(b)(b)(b)(b)(G)(b
)t(b2n1n2n1n
1nt
02n &&
(115)
92
Substituindo as funções que aparecem nos integrandos em (115), a solução particular
resulta :
bnP(t) =
= +η
ηΩβ+ηΩβ+β
ηΩβ+ηΩβ+ηΩβ+ηΩβ+σ
β ηΩµ−∫ d
)2cos()2sen()4cos()4sen()2sen()2cos()cos(e)t(b
11109
87652t
01n0
η
ηΩβ+ηΩβ+β
ηΩβ+ηΩβ+ηΩβ+ηΩβ+σ
β+ ηΩµ−∫ d
)2cos()2sen()4sen()4cos()2cos()2sen()sen(e)t(b
11109
43211t
02n0
(116)
aonde :
Ω
ϕ
−=β ∫ 2
Adx)x(xL
0n0
)cos()1b()sen(a 13131 σ++σ=β
)sen()1b()cos(a 13132 σ+−σ=β
)sen(b)cos(a 13133 σ−σ=β
)cos(b)sen(a 13134 σ+σ=β
)sen(a)cos()1b( 23235 σ+σ+=β
)cos(a)sen()1b( 23236 σ−σ+=β
)cos(a)sen(b 23237 σ−σ=β
)sen(a)cos(b 23238 σ+σ=β
σσ+σσ
−−−
=β )cos()cos()sen()sen(b3a31 2121
23
239
=β 310 a4
σσ+σσ
)cos()cos()sen()sen( 2121
−=β 311 b4
σσ+σσ
)cos()cos()sen()sen( 2121
Considerando os valores numéricos para o caso apresentado aqui, a solução (116)
será escrita como :
93
bnP(t) = +)t(b8633.3 1n )t(b0301.4 2n
(117)
Finalmente, a solução particular ( espaço-temporal ) de (4) ( ou (86)) para cada um
dos termos da expansão de vP(x,t) será dada por :
...)x()t,x(v n1n
P
ϕ= ∑
∞
=
+η
ηΩβ+ηΩβ+β
ηΩβ+ηΩβ+ηΩβ+ηΩβ+σ
β ηΩµ−∫ d
)2cos()2sen()4cos()4sen()2sen()2cos()cos(e)t(b...
11109
87652t
01n0
η
ηΩβ+ηΩβ+β
ηΩβ+ηΩβ+ηΩβ+ηΩβ+σ
β+ ηΩµ−∫ d
)2cos()2sen()4sen()4cos()2cos()2sen()sen(e)t(b
11109
43211t
02n0
(118)
Considerando os valores numéricos para o caso apresentado aqui, a solução (118)
será escrita como :
)x()t,x(v n1n
P ϕ= ∑∞
=+)t(y8633.3( 1 ))t(y0301.4 2
(119)
Considerando n=1 :
)x()t,x(v 1P ϕ= +)t(y8633.3( 1 ))t(y0301.4 2
(120)
PARTE C A solução geral
A solução geral de (4) para cada um dos modos considerados na expansão de v(x,t)
será dada por (85) + (118), ou :
94
v(x,t) = ∑∞
=1n A1
( senh ( xnβ ) - sen ( xnβ ) )
β+ββ+β
−)Lcos()Lcosh()Lsen()Lsenh(
nn
nn ( cosh ( xnβ ) –
- cos ( xnβ ) )
t1 eC Ωµ
+σ−Ω
)t(sen 1
+σ−Ω
µ+µ+µ++−
µ
+ )t3(cos
a218aa1881
q614222
+
σ−Ω
µ+µ+µ++−µ++−
−
+ )t3sen(
a218aa1881qaqq9
14222
2
t2 eC Ωµ+ +σ−Ω
)tcos( 2 +σ−Ω
µ+µ+µ++−µ++−
−
)t3cos(
a218aa1881qaqq9
24222
2
µ+µ+µ++−
µ−
+
4222 a218aa1881
q6+
σ−Ω )t3sen( 2
+η
ηΩβ+ηΩβ+β
ηΩβ+ηΩβ+ηΩβ+ηΩβ+σ
β+ ηΩµ−∫ d
)2cos()2sen()4cos()4sen()2sen()2cos()cos(e)t(b
11109
87652t
01n0
η
ηΩβ+ηΩβ+β
ηΩβ+ηΩβ+ηΩβ+ηΩβ+σ
β+ ηΩµ−∫ d
)2cos()2sen()4sen()4cos()2cos()2sen()sen(e)t(b
11109
43211t
02n0
(121)
A determinação de C1 e C2 será feita da seguinte forma. Seja T(t) a parte temporal de
(121), representado pelo segundo termo entre chaves. Duas equações algébricas envolvendo
C1 e C2 podem ser obtidas aplicando-se as condições iniciais T(0) = 0 e 0)0(T =& . Ou seja :
=+=+
pnCmC0hCgC
21
21
cuja solução é representada por :
gnmhph
C1 −=
95
gnmhgpC2 −
−=
aonde :
g = +σ− )(sen 1 +σ
µ+µ+µ++−
µ
)(cos
a218aa1881q6
14222
)sen(a218aa1881
qaqq914222
2
σ
µ+µ+µ++−
µ++−
+
h = +σ )cos( 2 +σ
µ+µ+µ++−
µ++−−
)cos(
a218aa1881qaqq9
24222
2
µ+µ+µ++−
µ
+ 4222 a218aa1881
q6
σ )sen( 2
m = +σΩµ− )(sen 1 +σ
µ+µ+µ++−
Ωµ
)(cos
a218aa1881q6
14222
2
+σ
µ+µ+µ++−
Ωµµ++−
+ )sen(
a218aa1881)qaqq9(
14222
2+σΩ )(cos 1
+σ
µ+µ+µ++−
µΩ
+ )(sen
a218aa1881q18
14222
)cos(a218aa1881
)qaqq9(314222
2σ
µ+µ+µ++−
µ++−Ω−
+
n = +σΩµ )cos( 2 +σ
µ+µ+µ++−µ++−Ωµ
−
)cos(
a218aa1881)qaqq9(
24222
2
µ+µ+µ++−
Ωµ
+ 4222
2
a218aa1881q6
+σ )sen( 2
+σΩ+ )sen( 2 +σ
µ+µ+µ++−µ++−Ω
−
)sen(
a218aa1881)qaqq9(3
24222
2
96
µ+µ+µ++−
µΩ−
+ 4222 a218aa1881
q18 )cos( 2σ
p = −
β+β
β+β+σ
β−
119
8520
)cos(g
β+β
β+β+σ
β
119
3210
)sen(h
Para os valores numéricos considerados obtém-se :
C1 = 0.3792 C2 = 0.3795
A Figura 4 ilustra o primeiro modo de flexão dado por (36). A Figura 5 ilustra a
amplitude do primeiro modo de flexão ( parte temporal de (121)). A Figura 6 ilustra a
solução geral de (1) dada por (121) para o primeiro modo de flexão. Os valores numéricos
utilizados são os apresentados até aqui neste capítulo.
Figura 4 : Primeiro modo de flexão.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
X
97
Figura 5 : Amplitude do primeiro modo de flexão ( parte temporal da solução geral (121)).
Figura 6 : Comportamento espaço-temporal ( primeiro modo de flexão ) de uma estrutura flexível tipo viga de acordo com a solução analítica apresentada em (121) : solução geral.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t (s)
T (m
)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 01
23
4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t (s)x (m)
v1(x
,t)
(m
)
98
O comportamento desse sistema é instável não importando a combinação de
parâmetros a ser verificada. Este fato advém da natureza do problema em questão. Uma vez
conhecido o comportamento dinâmico do sistema, técnicas de controle deverão ser
investigadas com o propósito de torna-lo estável e utilizável em aplicações práticas, tais
como processos industriais associados a linhas de montagem.
99
Capítulo 8
Conclusões, atividades desenvolvidas no período
e planejamento futuro
8.1 – Conclusões e atividades futuras
Os resultados apresentados neste relatório são os primeiros resultados de uma
pesquisa maior e mais complexa : o estudo de sistemas contínuos ( de parâmetros
distribuídos ) apresentando comportamento não linear.
O comportamento das soluções das equações governantes do movimento ( não
lineares ) pode ser mais facilmente verificado através da integração das equações de
modulação de amplitude e fase. Essas equações são obtidas neste trabalho para todos os
possíveis casos de ressonância ( primária e secundária ) e longe dessas regiões críticas. O
próximo passo será integrá-las e estudar seu comportamento ( em regime permanente ).
Com os modelos matemáticos satisfatoriamente representativos, técnicas de controle
também serão investigadas para esse sistema, visando a redução da vibração na estrutura
flexível e sua conseqüente influência no comportamento do motor. Na investigação de
sistemas não ideais, essa influência pode ser estudada com o propósito de auxiliar nas
estratégias de controle. Esses estudos também deverão ser efetuados futuramente.
Uma parte experimental foi projetada e montada com o intuito de estudar a
ressonância primária do primeiro modo de flexão da estrutura flexível, construir a curva de
resposta em freqüência experimental do sistema nessa região e posteriormente, utilizando
esses resultados, identificar as não linearidades e parâmetros físicos do sistema. O capítulo
5 deste relatório apresenta os primeiros resultados teóricos nesse sentido.
100
Sobre a parte experimental apresenta-se mais alguns comentários no item 8.2.
8.2 – Sobre a parte experimental
Uma montagem experimental associada ao estudo de sistemas não lineares do tipo
investigado neste trabalho foi projetada e desenvolvida, encontrando-se operacional. Esta
montagem encontra-se em um dos laboratórios da Divisão de Engenharia Mecânica
Aeronáutica do ITA ( sob responsabilidade do Dr. Luiz Carlos Sandoval Góes ). Trata-se de
uma viga de alumínio suficientemente flexível engastada ( em posição vertical ) em uma
das extremidades em um shaker.
Esta montagem experimental está sendo utilizada inicialmente com o objetivo de se
levantar as curvas de resposta em freqüência experimentais não lineares ( para a
ressonância primária do primeiro modo linear de flexão da viga ). Estas curvas deverão ser
comparadas com as curvas teóricas apresentadas neste relatório. O objetivo maior visando
esta montagem consiste na identificação experimental das características não lineares da
estrutura flexível no sentido de aperfeiçoar o modelo matemático. A comparação das FRFs
dirá o quão longe o comportamento predito pelo modelo matemático está do
comportamento do sistema real.
Uma vez que os dados experimentais até então obtidos na montagem experimental
ainda não são significativos, os mesmos não foram apresentados neste relatório.
8.3 – Sobre parte da pesquisa a ser desenvolvida no exterior
Quando da apresentação da proposta para obtenção desta bolsa de pós-doutoramento,
comentou-se sobre a possibilidade de realizar parte da pesquisa em uma instituição no
exterior. Essa possibilidade se concretiza.
Acordos entre pesquisadores do ITA e do INPE que participam como colaboradores
deste projeto de pós-doutoramento com o DLR ( Deutsches Zentrum für Luft- und
Raumfahrt e.V. / Institut für Robotik und Systemdynamik ) na Alemanha através do Dr.
Bernd Schäfer abriram a possibilidade de uma relevante permanência na referida instituição
alemã.
101
O Dr. Bernd deverá enviar em breve um documento confirmando o interesse na ida
deste para sua instituição. Detalhes deste intercâmbio, tais como cronogramas das
atividades a serem desenvolvidas na DLR, o tempo total necessário para o desenvolvimento
da pesquisa no exterior ( de acordo com este cronograma ) e informações acerca da ajuda
de custo que a instituição alemã está disposta a pagar para este durante a permanência
naquela instituição seguirão futuramente. Estes documentos e informações não foram
enviados a tempo de serem remetidos junto com o relatório e seguirão após este.
8.4 – Atividades desenvolvidas durante o período
8.4.1 – Artigos publicados em revistas indexadas
8.4.1.1 – Fenili, A., Balthazar, J. M., Mook, D. T.
“A brief note on the experimental identification of dc motor
parameters”
Ciência e Engenharia ( Science and Engineering Journal ) – Revista
de Ciências Exatas e Tecnologia.
ISSN 0103-944X / 10(1) : 105-108, 2001 ( janeiro/junho )
8.4.1.2 – Fenili, A., Balthazar, J. M., Mook, D. T., Weber, H. I.
“Application of the center manifold theory to the study of slewing
flexible non-ideal structures with nonlinear curvature : a case study”
RBCM – Revista Brasileira de Ciências Mecânicas / Journal of the
Brazilian Society of Mechanical Sciences. ISSN 0100-7386
8.4.2 – Artigo aceito para publicação em revista indexada
8.4.3.1 – Balthazar, J. M., Mook, D. T., Weber, H. I., Brazil, R. M. L. R. F.,
Fenili, A., Belato, D. and Felix, J.L. P.
“An overview on non-ideal vibrations”
Mechanica
CODEN MECCB ISSN 90025- 6455
102
8.4.3 – Artigo submetido para publicação em revista indexada
8.4.4.1 – Fenili, A., Balthazar, J. M.
“Resonant cases in the investigation of beam-like flexible structures
mathematically modeled assuming nonlinear curvature in slewing
motion” submetido à revista Journal of Sound and Vibration
IDS Number: 460TM.. ISSN 0022-460X
8.4.4 – Artigos apresentados em congressos e conferências
8.2.1 – Fenili, A., Balthazar, J. M., Mook, D. T.
“On a flexible slewing dynamical system : some numerical results”
SBA – 54o. Seminário Brasileiro de Análise
São José do Rio Preto, 21 a 24 de novembro de 2001
páginas 493-506
8.2.2 – Balthazar, J. M., Mook, D. T., Brazil, R. M. L. R. F., Weber, H. I.,
Fenili, A., Belato, D. and Felix, J.L. P.
“Recent results on vibrating problems with limited power supply”
6th Conference on Dynamical Systems – Theory and Applications
Lódz, Polônia – 10 a 12 dezembro de 2001
Proceedings : ISBN 83-910309-8-9
8.4.5 – Artigos aceitos em congressos
8.4.5.1 – Fenili, A., Góes, L. C. S., Souza, L. C. G., Balthazar, J. M.,
Macau, E. E. N.
“Dynamical Behavior of a Forced Nonlinear Cantilevered Beam. I –
Superharmonic Resonance”
International Conference on Structural Dynamics – Modelling, Test,
Analysis, Correlation and Validation,
Madeira Island, Portugal – 3 a 5 de junho de 2002.
103
8.4.5.2 – Fenili, A., Góes, L. C. S., Souza, L. C. G., Balthazar, J. M.,
Macau, E. E. N. "On the Damping Effect of Nonideal Interaction in Beam Like
Flexible Structures in Slewing Motion"
ESDA2002 - 6th Biennial Conference on Engineering Systems
Design And Analysis
Istanbul, Turkey, July 8-11, 2002
8.4.6 –Participação em cursos na pós-graduação ( como Professor Colaborador )
8.4.6.1 – INPE : com o Dr. Ijar Milagre da Fonseca
CMC205 – Mecânica analítica
Segundo Período de 2001
8.4.6.2 – ITA : com o Dr. Luiz Carlos Sandoval Góes
MP297 – Dinâmica e controle de estruturas flexíveis
Segundo Período de 2001
8.4.7 – Participação em banca examinadora de dissertação e defesa de tese
8.4.7.1 – Dissertação de mestrado de Cássio Fabian Sarquis de Campos, aluno
do Curso de Engenharia e Tecnologia Espaciais / Mecânica Espacial
e Controle intitulada “Dinâmica e controle de um manipulador
robótico rígido / flexível”. Defendida em 21 de setembro de 2001 no
INPE.
8.4.8 – Convite para participar de banca examinadora de dissertação/defesa de
tese
8.4.8.1 – Dissertação de mestrado de Adriana Trigolo, aluna do Curso de
Engenharia e Tecnologia Espaciais / Mecânica Espacial e Controle
intitulada “Estudo do desempenho do sistema de controle de atitude
de um satélite rígido / flexível” a ser defendida em 20 de fevereiro
de 2002 no INPE.
104
8.4.9 – Orientação de alunos de mestrado / doutorado
8.4.9.1 – Mestrado
8.4.9.1.1 – José Ricardo Soria Porro
Curso de Engenharia e Tecnologia Espaciais com área de
concentração em Mecânica Espacial e Controle no INPE.
Em andamento.
8.5 – Novas atividades incluídas na pesquisa e cronograma atualizado
As novas atividades de pesquisa incorporadas a este projeto dizem respeito àquelas
que serão desenvolvidas no DLR, a saber, o estudo e aplicação da dinâmica do contato
entre corpos. Este estudo representa uma extensão do estudo de estruturas flexíveis
( aplicados à robótica ) e sistemas não lineares. A aplicação em mente para esta
investigação é a utilização de ferramentas em manipuladores robóticos conectados a
satélites especiais a serem utilizados para a recuperação de outros satélites. Esta pesquisa
encontra-se em andamento no DLR e dificuldades de modelagem e controle encontradas
motivaram o intercâmbio anteriormente citado.
As atividades a serem desenvolvidas no DLR não constam da tabela 1 devido ao fato
de informações daquela instituição acerca deste novo intercâmbio INPE/ITA/DLR ainda
não terem chegado a tempo quanto ao envio deste relatório.
Segue uma atualização do cronograma inicial proposto para este projeto. Na tabela 1,
a seguir, constam os dois anos inicialmente propostos para a bolsa de pós-doutoramento.
Para esta tabela vale a seguinte legenda :
atividades desenvolvidas no período de vigência da bolsa
atividades a serem desenvolvidas no
segundo ano de vigência da bolsa
105
C R O N O G R A M A D E A T I V I D A D E S
PRIMEIRO ANO
SEGUNDO ANO
TRIMESTRES
TRIMESTRES
E T A P A S
1
2
3
4
5
6
7
8
Projeto e construção de um protótipo para o estudo de características não lineares em estruturas flexíveis ( malha aberta )
Estudo qualitativo das equações governantes do movimento e busca de soluções analíticas
Estudo de ressonâncias em sistemas não lineares aplicado a estruturas flexíveis em movimento de rastreamento ( slewing )
Identificação de parâmetros no protótipo experimental
Identificação de parâmetros : comparação de técnicas visando controle adaptativo
Análise do comportamento dinâmico do protótipo com controle ( implementação da malha de controle )
Participação em cursos na pós-graduação ( como Professor Colaborador ) e demais atividades acadêmicas
Relatórios de atividades
Tabela 1 – Cronograma atualizado
As seguinte atividades foram modificadas e adequadas :
1 – Ao invés de adequar os protótipos pré-existentes no Laboratório da Divisão de
Engenharia Mecânica e Aeronáutica do ITA para o estudo do comportamento de
estruturas flexíveis não lineares ( investigado neste trabalho ) foi desenvolvido um
protótipo mais simples ( viga engastada em um shaker ) e que mantivesse
características semelhantes e desejáveis para o referido estudo, conforme
apresentado no relatório.
106
2 – Ao invés de iniciar o estudo do controle de estruturas flexíveis neste primeiro ano,
optou-se por dedicar o tempo reservado a este assunto ao estudo dos casos
ressonantes desse sistema. Este estudo será importante no próximo ano quando
forem investigadas as técnicas de controle. Ter-se-á, então, um maior
conhecimento acerca dos casos críticos de vibração da estrutura flexível.
Vale ressaltar que o intercâmbio com o DLR, assim que forem definidas as atividades
a serem desenvolvidas na instituição alemã, irá alterar este cronograma para o segundo ano.
107
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defendida em dezembro de 2000 pela Faculdade de Engenharia Mecânica da
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Matemática, Poços de Caldas, MG, Brasil, 16 a 28 de Julho, 1979.
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International Publishers B. V., 1980.
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John Wiley & Sons, Inglaterra, 1994.
Whittaker, E. T., “General Solution of Mathieu’s Equation”, Proc. Edinburgh Math. Soc.,
32, 75-80, 1913-14.
Whittaker, E. T. e Watson, G. N., “A Course of Modern Analysis”, Cambridge University
Pres, 1935.
109
Apêndices
110
Apêndice A
Relações importantes
)sen()sen( 0Tt Ω→Ω A.1
)cos()cos( 0Tt Ω→Ω A.2
1
2
0 TTdtd
∂∂
∈+∂∂
= A.3
10
22
0
2
2
22
TTTdtd
∂∂∂
∈+∂
∂= A.4
)(sen)(cos 11)( 1 βσβσβσ −+−=− TiTe Ti A.5
111
Apêndice B
Solução do problema linear associado
Na Equação (1), fazendo 0∈= obtém-se :
011211 =++ θα &&&& qwq B.1
Utilizando a Equação (4), a equação B.1 pode ser rescrita como :
=+ 1
211 qwq&& )sen(2
1 tΩΩα
ou
=+ 1211 qwq&& ( )titi ee
iΩ−Ω −
Ω2
2
1α B.2
A solução de B.2 é representada por:
tititiwtiw ewi
ewi
eCeCq Ω−Ω−
Ω−
Ω−
Ω−
Ω++=
)(2)(2 221
21
221
21
11111
αα
B.3
112
Apêndice C
Coeficientes da equação diferencial ordinária para a componente temporal q1 de v( x, t ).
Coeficientes para qualquer número de função admissível, κφ ( aonde κ = i ou j ou k ou l nas expressões a seguir ) :
=φ )(xi cosh( aiL x ) - cos( aiL x ) - iα ( senh( aiL x ) - sen( aiL x ) )
)()()cos()cosh(
LasenLasenhLaLa
ii
iii +
+=α
4
2
41
22
8780.1)(nn
jw
Law
w ==
( ) ( ) ( ) ( )R d Rij i j ji
xx x= ′ ′ =∫ φ ξ φ ξ ξ
0
( ) ( )V dxi ix = −∫ φ ξ ξ1
( ) ( ) ( )S d d0ij i jx
x = − ′ ′
∫∫ φ ξ φ ξ ξ η
η1
( ) ( ) ( )W dij xx i j= − ′∫ φ ξ φ ξ ξ
1
∫ φ=α1
0xdx ll
1])1(21[ 1
02 −
φφ ′′−+φφ′=β ∫ xdxx iii lll
113
( )∫ φφφ′−φφ ′′−φ=℘1
0222 xdVR jijiijij llll
∫
φφφ′+φφ ′′+φ−=λ
1
0
1 xdVR2 jijiijij llll
Λ ijkl ( )∫ φφ′+φφ′′=1
0xdRS ijkijk ll
( )∫
φφ ′′+φφ′φφ′+φφ ′′φ ′′φ ′′+φφ ′′′φ ′′φ′=Γ
1
02
44 )8780.1(23
8780.13 xdWw kijkjijjikjiijk lllll
Nos casos tratados neste trabalho considera-se apenas uma função admissível e,
portanto, tem-se :
i = j = k = l = 1.