DIM102 1  

Modelagem de Sólidos

35T56 – Sala 3E1Bruno Motta de Carvalho

DIMAp – Sala 15 – Ramal 227

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Representando Sólidos

Características desejáveis em um modelo de descrição de sólidos são: O domínio do modelo deve ser grande o suficiente para a descrição 

de objetos representativos A representação deve ser não­ambígua (completa), única, 

compacta e precisa (pode representar um objeto sem aproximações

Não permitir a criação de uma representação inválida Facilidade na criação de representações válidas Deve permitir o uso de algoritmos eficientes para cálculo de 

propriedades físicas e geração de imagens

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Operações Regularizadas Booleanas em Conjuntos Combinação de objetos para a criação de outros é uma ferramenta 

poderosa Aplicando­se uma operação Booleana  em dois objetos sólidos não 

produz necessariamente um objeto sólido

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Operações Regularizadas Booleanas em Conjuntos Utiliza­se os operadores regularizados Booleanos              ,       

definidos tais que essas operações sempre produzem sólidos Considere um objeto como uma coleção de pontos interiores e de borda A união de um conjunto com seus pontos de borda é o fechamento do 

conjunto

∪* ,∩* ,−*

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Operações Regularizadas Booleanas em Conjuntos

• A regularização de um conjunto é o fechamento dos pontos interiores do conjunto

• Bordas só são incluídas em interseções regularizadas se os dois objetos estiverem do mesmo lado da porção de borda compartilhada

• Isso pode ser feito usando­se normais das superfícies

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Representações de Varredura

• Movendo­se um objeto ao longo de uma trajetória em 3D cria­se um novo objeto, chamado de objeto de varredura (sweep object)

• Objeto inicial pode ser 2D ou 3D• Difícil de se combinar com 

operações regularizadas Booleanas• União de sweeps em geral não é 

um sweep• Trajetórias de complexidades 

arbitrárias podem ser usadas

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Representações de Bordas

Representações de bordas (b­reps) descrevem um objeto através das fronteiras de sua superfície

B­reps podem ser restritas a fronteiras planares, poligonais ou permitir superfícies curvas

Vários sistemas rentringem objetos a 2­manifolds. Cada ponto em um 2­manifold tem alguma pequena vizinhança que é toopologicamente equivalente a um disco no plano 

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Representações de Bordas

Poliédro é um sólido delimitado por um número de polígonos. Um poliedro simples é um que não tem buracos

Um poliédro simples obedece a fórmula de Euler V – E + F = 2 mesmo que possua arestas curvas e faces não­planares

Restrições adicionais são necessárias para se garantir que o objeto é um sólido

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Representações de Bordas

A generalização da fórmula de Euler para 2­manifolds que possuem buracos é V – E + F – H = 2(C – G) onde H é o número de buracos em faces, C é o número de componentes e G é o número de túneis 

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Representações de Particionamento Espacial Sólidos são decompostos em uma coleção de sólidos 

vizinhos mais primitivos Sistema que utiliza decomposição de células define 

primitivas que podem ser usadas para montar objeto mais complexo (como usando LEGO)

Tipo especial de decomposição de células é a enumeração de ocupação espacial, onde as células tem a mesma forma e estão arranjadas em um grid regular. Geralmente usada em aplicações biomédicas

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Representações de Particionamento Espacial

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Quadtrees e Octrees

Quadtrees (2D) e octrees (3D) são uma variante hierárquica de enumeração de ocupação espacial usadas para diminuir necessidade de armazenamento

Subdivisões binárias da imagem (quadtree) ou volume (octree) até que um quadrante ou octante tenha o mesmo valor

Mais eficiente para representação de objetos binários Regras para subdivisão podem ser relaxadas, gerando­se 

objetos mais compactos mas menos precisos

DIM10213

Quadtrees e Octrees

• Quadrantes (0...3) e octantes (0...7) são numerados 

• Com exceção de casos patológicos, números de nós em uma quadtree ou octree de um objeto é proporcional ao perímetro ou superfície do objeto, respecivamente. Isso acontece porque a subdivisão só é necessária para representar a borda do objeto sendo codificado

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Quadtrees e Octrees

Implementações de operações Booleanas são triviais em quadtrees e octrees

Para calcular uniões e interseções entre dois objetos percorre­se ambas as árvores de cima para baixo em paralelo, subdividindo os nós quando necessário

DIM10215

Árvores Binárias de Particionamento Espaciais Árvores Binárias de Particionamento Espaciais (BSPs) 

dividem recursivamente o espaço em pares de subespaços, separados por um plano de posição e orientação arbitrária

Originalmente usadas na determinação de superfícies visíveis

Cada nó interno de uma árvore BSP é associado com um plano e tem um ponteiro para cada lado do plano

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Árvores Binárias de Particionamento Espaciais

• Árvore BSP pode representar um sólido côncavo arbitrário como uma união de regiões convexas

• Na classificação de pontos, um ponto é passado para a raiz e seu valor é substituído na equação do plano do nó e direcionado para o nó filho correto, até que se chegue em um nó folha, cuja equação define se o ponto é interno, externo ou de borda

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Geometria Construtiva de Sólidos Geração de formas complexas através do uso de formas 

básicas e operadores de conjuntos Booleanos regularizados

Usuário pode contruir objetos juntando peças, furando buracos, serrando partes, etc.

Adequada para modelagem de objetos que foram produzidos deste modo, como máquinas

Utiliza funções Booleanas ponto­a­ponto

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Geometria Construtiva de Sólidos

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Geometria Construtiva de Sólidos

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Comparação das Representações Precisão ­ Partições espaciais e b­reps produzem somente 

aproximações para vários objetos. CSG com primitivas não­poliédricas, b­reps com superfícies curvas e instanciação de primitivas representam objetos com melhor precisão, mas primitivas não podem ser combinadas com operações Booleanas

Domínio ­ Limitado para sweeps e instanciação de primitivas. Partições espaciais podem representar qualquer sólido, desde que como uma aproximação

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Comparação das Representações Unicidade ­ Somente octrees e enumeração de ocupação 

espacial garantem unicidade. Em octreea, algum processamento deve ser feito para garantir que a representação foi completamente reduzida. Instanciação de primitivas pode ter unicidade se primitivas forem escolhidas cuidadosamente

Validação ­ b­reps são extremamente difíceis de se validar. Árvores BSP sempre representam um conjunto espacial válido, não necessariamente um sólido. Checagem local é necessária para validar uma árvore CSG ou uma octree e nehuma checagem é necessária para uma ebumeração de ocupação espacial