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ANÁLISE ESTATÍSTICA DE VARIÁVEIS

REGIONALIZADAS

Paulo M. Barbosa Landim paulomblandim@gmail.com

FACULDADE DE CIÊNCIAS AGRONÔMICAS UNESP, campus de Botucatu Programa de Pós-Graduação

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11/07 Análise espacial de dados

Introdução ao SURFER

Exercício 01

12/07 Análise variográfica

Exercício 02

13/07 Krigagem pontual e para blocos

Exercício 03

14/07 Regressão polinomial

Krigagem para dados com tendência

Exercício 04

15/07 Krigagem indicadora

Co-Krigagem

Exercício 05

18/07 Simulação

Exercício 06

25/07 Data final para a entrega dos exercícios

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Do rigor na ciência

Jorge Luis Borges

Naquele Império, a Arte da Cartografia logrou tal

perfeição que o mapa de uma única Província

ocupava toda uma Cidade, e o mapa do Império,

toda uma Província.

Com o tempo, esses Mapas Desmedidos não mais

satisfizeram e os Colégios de Cartógrafos levantaram

um Mapa do Império, que tinha o tamanho do

Império e coincidia pontualmente c om ele.

Menos interessadas no Estudo da Cartografia, as

Gerações Seguintes entenderam que esse dilatado

Mapa era Inútil e não sem Impiedade o entregaram

às Inclemências do Sol e dos Invernos.

Hoje, nos desertos do Oeste perduram despedaçadas

Ruínas do Mapa, habitadas por Animais e por

Mendigos; e em todo o País não há outra relíquia

das Disciplinas Cartográficas.

Modelagem de fenômenos naturais modelo conceitual

modelo escalar

modelo matemático: determinístico estocástico (estatístico)

Modelos estocásticos e a metodologia estatística

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2

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População e amostra Amostragem para obter dados

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Amostragem aleatória simples A população constituída por N unidades é numerada sequencialmente e n unidades serão sorteadas, com base numa “Tabela de números ao acaso”, sem reposição. As observações sendo coletadas em pontos de amostragem, localizados dentro da região de estudo, a componente aleatória serão as coordenadas geográficas a serem escolhidas casualmente.

Números ao acaso

17 80 97 28 17 80

43 36 15 57 72 08

39 90 73 63 66 29

20 69 82 65 87 36

29 81 05 90 19 91

12 82 89 64 53 98

69 33 71 24 66 68

58 84 26 36 57 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

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3

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Amostragem aleatória estratificada Subdividir a região em estudo em células de dimensões fixas nas direções leste-oeste e norte-sul. Dentro de cada célula, as coordenadas geográficas de um ponto são escolhidas aleatoriamente e o ponto selecionado. Dessa forma, ao final desse processo, o número de unidades selecionadas será igual ao número de células.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

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12

Amostragem sistemática Feita sobre os nós de uma malha regular definida a partir de uma origem escolhida aleatoriamente. Teoricamente, a componente aleatória seria dada pela escolha do ponto de origem, mas, isso não ocorre na prática, pois a malha regular é definida inicialmente, pelo responsável pela amostragem, para otimizar a coleta das unidades de amostragem dentro da região de estudo.

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13

Análise de dados: descrição

interpretação estimação*

*Este é o grande desafio: a estimativa de valores para situações de previsão quantitativa.

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Análise estatística de dados univariados

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Estatística descritiva Variáveis “A” e “B”

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Histograma: A

Histograma: B

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Estatísticas A B

Média 1.22 1.24

Erro padrão 0.05 0.05

Mediana 1.255 1.29

Moda 1.3 1.3

Desvio padrão 0.32 0.34

Variância 0.10 0.12

Curtose 0.51 0.34

Assimetria 0.18 0.27

Intervalo 1.54 1.55

Mínimo 0.55 0.55

Máximo 2.09 2.1

Soma 46.46 47.00

Contagem 38 38

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Teste t: intervalos de confiança para média amostral

nstx n /.)1;2/(

•A: 1,22± 2,02 x 0.323/√38 = 1,22 ± 0,106 = 1,114–1,326 •B: 1,24±2,02 x 0.342/√38 = 1,24 ± 0,112 = 1,128–1,352

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Teste t: comparação entre médias A e B

A B

Média: 1.223 1.237

Variância: 0.104 0.117

Observações: 38 38

H0: Distribuições de A e B são iguais

g.l.: 37

Estatística t: 0.161

t crítico uni-caudal: 1.687

Como t crítico > calculado, aceitar H0

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6

A importância do georreferenciamento

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Distribuições espaciais: A ≠ B

Dados georreferenciados

Concentração de nutrientes

Produtos químicos tóxicos

Cor do solo

Fertilidade dos solos

Índice de poluição hídrica

Distribuição de chuvas

Infestação de pragas

Gerenciamento de zonas pesqueiras

Agricultura de precisão

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Estatística clássica

variáveis aleatórias: lei das probabilidades

valores independentes

sem continuidade espacial

Estatística espacial

valores associados à localização no espaço e/ou no tempo

distribuição contínua de valores nos pontos amostrados

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Em Estatística

A) Provas podem ser repetidas indefinidamente B) As provas são independentes: o resultado de uma prova

não é influenciado pelo resultado de provas precedentes.

Na Natureza, porem: Quando se tira uma amostra num determinado ponto, de

coordenada “x”, o teor da referida amostra é um valor “único”, fisicamente determinado, e é impossível a repetição desta experiência

Se fosse retirada outra amostra num ponto muitíssimo próximo de “x”, poder-se-ia dizer que a condição (A) estaria satisfeita, porem neste caso não se estaria respeitando a condicionante (B)

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7

Na jogada de um dado, o resultado ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 tem a mesma probabilidade de ocorrer: Processo aleatório e não tendencioso.

Várias jogadas e vários dados : Pode-se calcular a probabilidade

E na Natureza?

Como prever a ocorrência de um evento?

25

Amostragem para o teor de um painel

● ● ●

Mapeamento de solos

26

Questões

Até que distâncias devem ser consideradas as amostras? Quantas devem ser usadas? Aquela eventualmente colocada no centro da área terá

um peso maior que as demais? Se amostras formarem grupos qual a influência desses

agrupamentos? Como evitar que os resultados sejam sub ou super

estimados? A relação espacial, em termos geométricos, entre as

amostras estimadoras e a área a ser estimado, tem importância?

Essa técnica de estimativa pode ser utilizada indistintamente para solos “in situ” e solos transportados?

27

Outras situações: teor em uma mina de cobre

28

8

Biomassa numa plantação de eucaliptos

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Dimensão de uma pluma de contaminação

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Volume de petróleo no pré-sal

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Estatística espacial e interpolação de valores

Valores são coletados (amostra) e se quer estimar o comportamento espacial do fenômeno em estudo (população)

Interpolação: procedimento matemático de ajuste de uma função à pontos não amostrados, baseando-se em valores obtidos em pontos amostrados.

Produto final: Mapas (Modelo digital)

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9

33

O objetivo fundamental da amostragem é coletar valores de uma variavel, no espaço 1-2-3D para, ao estimar valores em locais não amostrados, determinar o comportamento espacial da população sob estudo. Estratégia para a amostragem: •características da area a ser amostrada •planejamento a ser adotado para determinar a seleção de amostras em termos de localização e densidade •procedimento a ser utilizado para o cálculo da estimativa e sua interpretação.

Usando informações pontuais conhecidas, como estimar um valor em local não amostrado?

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Hipótese: valores de um atributo tendem a ser semelhantes em locais próximos, por comparação com locais afastados

35 36

A representação de dados no espaço é essencial em diversas áreas do conhecimento, sendo de uso extensivo em agronomia, biologia, ecologia, geografia, geologia, meteorologia, etc. Quando do estudo espacial de dados, porem, é imprescindível o conhecimento do usuário sobre o tema a ser pesquisado, pois obter um mapa com forte efeito estético é bastante fácil usando os recursos gráficos disponíveis O mais importante, porém, é saber verificar o significado do resultado obtido para que o mapa, entendido como modelo, possa ser útil para a explicação do fenômeno em estudo e principalmente para a sua previsão em situações futuras.

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Campo de validade da interpolação Interpretação:

Conhecimento “a priori”

Quantificação:

Conhecimento baseado no polígono que engloba o conjunto de dados

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Métodos de interpolação

Funções globais: consideram todos os pontos da área; permite interpolar o valor da função em qualquer ponto dentro do domínio dos dados originais; a adição ou remoção de um valor tem conseqüências no domínio de definição da função

Funções locais: definidas para porções do mapa; alteração de um valor afeta localmente os pontos próximos ao mesmo

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A escolha de um método de interpolação

Um método é "melhor" do que outro?

Quão fiel aos dados originais é o resultado obtido?

A superfície estimada representa uma solução plausível?

O resultado é esteticamente agradável?

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Métodos de estimativa para modelagem de superfícies

TRIANGULAÇÃO: conecta pontos amostrados formando triângulos e interpola os valores entre eles; são considerados métodos de estimativa diretos, pois os contornos derivam do padrão original dos dados; não permite extrapolação, as estimativas limitam-se estritamente à área amostrada.

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11

41

RETICULAÇÃO (GRIDDING): estabelece uma grade regular (grid) sobre a área estudada e calcula os valores nos nós do reticulado com base nos valores dos pontos adjacentes já amostrados; são considerados métodos de estimativa indiretos, uma vez que os contornos são construídos a partir dos dados estimados para os nós da grade e não a partir dos dados originais; permite tanto a interpolação quanto a extrapolação de valores

Um algoritmo matemático é utilizado para ajustar uma superfície através dos dados estimados para os nós; há um grande número de algoritmos

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Reticulado

Definição, espaçamento e origem

reticulação a estimar o valor de cada nó por seleção de pontos próximos com valores conhecidos

filtragem dos valores dos nós de modo a suavizar os contornos resultantes e permitir o melhor ajuste com os valores originais

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Estimativa do reticulado

Fornecidos “n” valores conhecidos, regularmente distribuídos ou não,

Z1, Z2,..., Zn, o valor Z* a ser interpolado para qualquer nó da rede

será igual a Z* = ΣpiZi

Diferença entre métodos: maneira como os Zi são

escolhidos e os respectivos pesos “pi” são calculados e aplicados durante a reticulação.

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12

Estimativa do reticulado

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

10

20

30

40

50

60

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0 20 40 60 80 100

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20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

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50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

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20

30

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50

60

70

80

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100

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Algorítmos para interpolação

inverso do quadrado da distância

curvatura mínima

vizinho natural...

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Técnicas: janelas móveis

Escolhe-se uma “janela” com um tamanho apropriado e calcula-se um valor no centro, resultante da media dos valores que se encontram dentro da área considerada

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Polígonos de Thiessen

Método para determinar, numa área, a região mais próxima de um ponto

• unir todos os pares de pontos com segmentos de reta

•perpendiculares a cada segmento de reta

Polígono de Thiessen

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13

Inverso da distância

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Inverso do quadrado da distância (IQD)

50

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Distribuição dos pontos

52

0,135-5,129

14

IQD

0,135-5,129 53

Mínima Curvatura

0,135-5,129 54

Vizinho Natural

0,135-5,129 55

• A incerteza da estimativa •Os resultados são sempre incertos. •Essa incerteza não é uma propriedade intrínsica do fenomeno. •A incerteza reflete apenas o grau de desconhecimento do observador.

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Preferível estar aproximadamente certo, do que perfeitamente errado!

15

Origens da Geoestatística

Kolmogorov, Weiner, Matern, Gandin, Fisher (início até meados de 1900)

Krige (1951) e De Wijs (1952-1953)

“Geoestatística”: localização geográfica e a dependência espacial.

Matheron (1962,1963)

Teoria das variáveis regionalizadas

Atualmente

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• VARIÁVEIS REGIONALIZADAS: •A localização geográfica é parte integral de qualquer variável.

•Os valores das variáveis não são independentes e identicamente distribuidos.

•Ocorre dependência espacial entre os valores

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Geoestatística: abordagem probabilística de modelagem, que engloba um conjunto de técnicas, para a análise e mapeamento de valores de variáveis regionalizadas distribuídos no espaço e/ou no tempo.

Envolve três etapas:

1) Análise: descreve a covariância espacial dos valores de um fenômeno em estudo, por meio da análise estrutural ou modelagem do semivariograma.

2) Inferência: estima, pelo método da krigagem, valores de uma

variável regionalizada distribuída no espaço (1D, 2D, 3D) em locais não amostrados, e verifica a incerteza associada à estimativa.

3) Simulação: calcula um conjunto de realizações equiprováveis e

igualmente representativas do fenômeno em estudo.

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16

Classificação de métodos para interpolação espacial

Global

Deterministico Estocástico

Local

Deterministico Estocástico

Polígonos de Thiessen (exato) Inverso do quadrado da distância (exato) “Splines” (exato)

Kriging (exato)

Regressão (inexato)

“Trend surface” (inexato)

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Referências

OLEA, R. A. (2009) – A practical primer on geostatistics: U.S. Geological Survey, Open-File Report 2009-1103, 346 p.

OLIVER, M.A., editor (2010) – Geostatistical Applications for Precision Agriculture: Springer, 331 pp.

OLIVER, M.A.; WEBSTER, R. (2015) – Basic Steps in Geostatistics: The Variogram and Kriging: Springer, 100 pp.

SOARES, A. (2006) – Geoestatística para as Ciências da Terra e do Ambiente. IST Press, 2ª. Edição, 214 pp.

YAMAMOTO, J.K.; LANDIM, P.M.B. (2013) – Geoestatística. Conceitos e Aplicações: Editora Oficina de Textos, 215 pp.

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“sites” sobre geoestatística: http://www.ai-geostats.org

http://numist.ist.utl.pt/

Software GsLib (http://www.gslib.com)

SGeMS (Stanford Geostatistical Modeling Software)

GSTAT (http://www.gstat.org/

GS+ (http://www.gammadesign.com)

Surfer (www.goldensoftware.com)

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