modelagem da estabilidade de tratores agrícolas de pneus · tratores agrícolas de pneus. material...

Pesq. agropec. bras., Brasília, v.39, n.5, p.459-468, maio 2004

Modelagem da estabilidade de tratores 459

Modelagem da estabilidade de tratores agrícolas de pneus

Joseph Kalil Khoury Junior(1), Gutemberg Pereira Dias(1), Ricardo Reis Cordeiro(2)

e Cristiano Márcio Alves de Souza(1)

(1)Universidade Federal de Viçosa (UFV), Dep. de Engenharia Agrícola, CEP 36570-000 Viçosa, MG. E-mail: [email protected],[email protected], [email protected] (2)UFV, Dep. de Física. E-mail: [email protected]

Resumo – O conhecimento do limite de estabilidade de tratores é fundamental à segurança das operaçõesagrícolas. O objetivo deste trabalho foi desenvolver um modelo matemático para previsão da perda da estabilida-de de tratores agrícolas. No modelo foram utilizadas as características geométricas e ponderais do trator e de suacondição numa pista de ensaio. Análises de balanço de forças e de momentos foram realizadas para determinaras equações que regem o comportamento estático e dinâmico do trator em superfície inclinada. Com base nosresultados da comparação entre os valores dos ângulos-limite de tombamento simulados e experimentais, con-clui-se que o modelo matemático desenvolvido é capaz de prever a perda da estabilidade de trator 4x2 satisfato-riamente.

Termos para indexação: tombamento lateral, segurança, simulação.

Modeling the stability of wheeled agricultural tractors

Abstract – The knowledge of the stability limit of tractors is fundamental to the safety of the agricultural operationsin order to avoid accidents. The objective of this research was to develop a mathematical model to predict theloss of tractor stability. The model was verified under dynamic conditions on a standardized track, with noimplement attached to the tractor. In order to predict the loss of tractor stability, the mathematical model wasimplemented based on the tractor geometry and weight and on some information about the tractor placement onthe track. Forces and momentum analyses were accomplished to determine the equations that describe the staticand dynamic tractor behavior on sloping terrain. It was used a 4x2 tractor. Comparing the experimental to themodel estimated tractor-overturning angle, it was concluded that the developed model is capable to predict thestability loss.

Index terms: side overturning, safety, simulation.

Introdução

Embora tecnologicamente melhores, os tratores agrí-colas não apresentam o mesmo desenvolvimento quan-to à ergonomia e segurança. No Estado de São Paulo,durante o ano agrícola de 1975/1976, registrou-se umtotal de 110,7 mil acidentes de trabalho ocorridos em28,3 mil propriedades agrícolas, sendo que 13,7 mil fo-ram causados pelo uso de tratores e máquinas agríco-las, resultando na morte de duas mil pessoas (Robin,1987). Sessenta por cento dos acidentes são causadospor tombamentos de tratores (Delgado, 1991).

O conhecimento do limite de estabilidade de tratoresé de grande importância na segurança das operaçõesagrícolas, a fim de se evitarem acidentes fatais, queocorrem, principalmente, quando a instabilidade do tra-tor provoca um tombamento lateral. Conforme Mialhe(1980), o estudo das forças em equilíbrio que agem sobre

o chassi do trator ajuda na compreensão do desempe-nho dessas máquinas em sua utilização no campo.

Quanto maior a velocidade de deslocamento, maisintensamente se manifesta a ação dos processos dinâ-micos, que podem provocar o tombamento lateral deuma máquina. Por isso, recomenda-se que a inclinaçãodo terreno, que permite a estabilidade dinâmica durantea realização de uma operação, esteja entre 40% e 60%da inclinação-limite máxima determinada em condiçãoestática (Chudakov, 1977; Mialhe, 1980).

Dias et al. (1993) relatam que os estudos de estabili-dade de tratores devem considerá-los apoiados em trêspontos e com dois estágios de tombamento, nos quais oprimeiro considera a massa parcial do trator (massa to-tal menos o eixo frontal), localizada no centro de gravi-dade parcial, e o segundo considera a massa total dotrator no centro de gravidade total.


J.K. Khoury Junior et al.460

Segundo Kim & Rehkugler (1987), o conhecimentopreciso das forças laterais que agem nos pneus é es-sencial ao estudo da dinâmica do trator. Du Plessis &Venter (1993) constataram que o conhecimento do coe-ficiente de aderência relacionado à força lateral é ne-cessário no estudo da tração e da estabilidade de trato-res que trafegam em rampas.

Liljedahl et al. (1989) apresentaram uma análisetridimensional das forças aplicadas em um trator tricicloem movimento, na qual consideraram que o trator tinhavelocidade longitudinal constante e que estava subindouma rampa. Nesta análise, assumiu-se que o trator eraequipado com um diferencial que transmitia torquesiguais em cada pneu traseiro, ou seja, que as forças detração nos rodados traseiros eram iguais.

A reação vertical sobre os pneus é uma variável im-portante a ser considerada na análise da estabilidade,pois, quando se inicia o movimento do trator em terrenoinclinado, ocorre uma transferência de peso provocadapela inclinação, e, quando ele realiza curva, ocorre aação da força centrífuga sobre o centro de gravidade,fazendo com que se acrescente uma carga dinâmicaaos pneus. Modelos apresentados por Liljedahl et al.(1989) não levam em consideração a força centrífuga.

Em razão da diferença da carga dinâmica vertical elateral sobre os pneus do lado direito para o esquerdo,ocorrem deformações diferentes de um lado e do outro,resultando em aumento da inclinação do trator em rela-ção à pista, o que diminui sua estabilidade lateral. Cal-culando-se a razão entre as reações vertical e lateral pelasconstantes de rigidez vertical e lateral, têm-se a deforma-ção vertical e a lateral, respectivamente, de cada pneu.

O estudo da dinâmica de tratores agrícolas por meiode modelos matemáticos pode ser utilizado por enge-nheiros nos projetos dos tratores, visando a melhoria dasegurança nas operações agrícolas mecanizadas.

O objetivo deste trabalho foi desenvolver um modelomatemático para previsão da perda da estabilidade detratores agrícolas de pneus.

Material e Métodos

O trabalho foi realizado no Departamento de Enge-nharia Agrícola da Universidade Federal de Viçosa, Vi-çosa, MG. Um modelo matemático foi desenvolvido paraprever a dinâmica da estabilidade de tratores agrícolas4x2, utilizando-se um programa computacional desen-volvido em linguagem de programação MS Visual Basic(Microsoft Corporation, 1998).

No modelo matemático, os valores de X, Y e Z docentro de gravidade da massa total do trator (cgt), cen-tro de gravidade parcial (cgp) (massa total menos a mas-sa do eixo frontal) e centro de gravidade da massa doeixo frontal (cgf) foram calculados de acordo com osistema de coordenadas cartesiano (Figura 1). À largu-ra do pneu traseiro foi acrescida a bitola traseira do tra-tor no cálculo da estabilidade, e as reações solo-pneusforam consideradas como atuando sobre as extremida-des dos pneus traseiros.

Foram feitas algumas considerações e simplificações:no cálculo da força centrífuga que atua no trator– força fictícia sobre o trator quando o referencial a seradotado na análise está fixo no próprio trator – a veloci-dade foi considerada a mesma em qualquer parte; nãoforam considerados o efeito giroscópico dos componen-tes do motor e o deslocamento dos líquidos nos reserva-tórios do trator; no cálculo das reações do solo-pneu,considerou-se que a superfície de apoio dos rodados teriaa mesma inclinação; os efeitos nos tombamentos cau-sados por um giro rápido na direção e as irregularidadesna pista, como ondulações, tocos, cupins, buracos, eoutros, também não foram analisados.

A fim de analisar uma situação do trator em uma traje-tória circular sobre uma pista com inclinação θ (Figura 2),foram considerados, no modelo, o deslocamento da car-ga sobre as rodas do lado inferior do trator, o efeito daforça centrífuga agindo no cgp e cgf, a resistência aorolamento, o ângulo de esterçamento δ dos pneus fron-tais, o ângulo ϕ em que se determina a posição do tratorem relação ao seu deslocamento na pista inclinada, uma

Figura 1. Sistema de coordenadas para localização dos cen-tros de gravidade parcial (cgp), total (cgt) e frontal (cgf).



possível carga constante aplicada na barra de tração, eas deformações verticais e laterais dos pneus.

Na determinação das reações na interface solo-pneuem condições dinâmicas, considerou-se que: o tratormovia-se com uma velocidade longitudinal constante;as reações do solo no trator estavam atuando na linha

externa dos pneus; o ângulo de esterçamento δ dos pneusfrontais foi utilizado para obter as componentes das for-ças nos eixos de referência X e Y, da resistência aorolamento e das reações laterais atuando nos pneus fron-tais; e o trator 4x2 foi dividido em duas massas, umaparcial (massa total do trator subtraída a massa do eixofrontal), e a outra do eixo frontal (massa somente doeixo e rodados frontais) no cálculo dos balanços dasforças e momentos.

Na Figura 2A, são mostrados alguns ângulos ϕ emsituações diferentes de posicionamento em uma pistainclinada, que o modelo é capaz de simular, podendovariar de 0º a 180º. A força na barra de tração foi con-siderada, no modelo, agindo no plano vertical, que passapelo eixo longitudinal do trator.

A Figura 2B apresenta o trator utilizado por KhouryJunior et al. (2001) trafegando em uma pista de testes,projetada e construída para realização de tombamentode tratores agrícolas, com ângulo ϕ igual 90º, sendo uti-lizado um trator 4x2, de tamanho real, nos testes experi-mentais.

Na determinação das reações nos pneus, realizaram-se os balanços de forças e momentos, em relação aoseixos X, Y e Z, na massa parcial e no eixo frontal(Figura 3). A estrutura parcial do trator 4x2 foi conside-rada apoiada em três pontos: nos dois rodados traseirose no mancal do eixo frontal. O eixo frontal também foiconsiderado apoiado em três pontos, ou seja, nos doisrodados frontais e no mancal.

Inicialmente, realizou-se o somatório do momento emtorno do eixo Z (∑MZ), na massa parcial (Figura 3) e,considerando que o diferencial faz com que as forçasde tração e resistência ao rolamento das rodas traseirasdo lado direito e do lado esquerdo sejam iguais, foi de-terminada a reação lateral no mancal do trator (Lm)(Figura 3A), conforme segue:

(1)

em que, mp é a massa parcial do trator, kg; g é a acele-ração da gravidade, m s-2; Bt é a bitola do trator, m; Fcp

é a força centrífuga atuante na massa parcial, N; θ é oângulo de inclinação da pista, graus; ϕ é o ângulo deposição do trator em relação ao deslocamento na pista,graus; Xcgp é a distância do eixo traseiro ao centro degravidade parcial, m; Ycgpd é a distância transversal do

Figura 2. A: esquema de algumas orientações do trator ope-rando em uma pista inclinada; B: vista frontal do trator, fazen-do curva em pista inclinada, em curva de nível, a uma veloci-dade constante e ângulo ϕ = 90º (B) (Khoury Junior et al.,2001).



cgp à lateral direita do trator; θch é o ângulo de inclina-ção lateral do chassi, graus; e XL é a distância entreeixos, m.

A força centrífuga atuante na massa parcial foi de-terminada pela seguinte equação:Fcp = mp V2/r, (2)em que, V é a velocidade de deslocamento do trator, m s-1;r é o raio de giro do trator em relação ao eixo traseiro, m.

O valor do ângulo lateral do chassi em função da po-sição ϕ (Figura 2A) do trator, em uma pista de inclina-ção constante θ, foi calculado utilizando-se trigonometriaesférica (Green, 1985), conforme segue:

)senarcsen(sench ϕθ=θ . (3)

Figura 3. Diagrama de corpo livre da massa parcial (A) e eixo frontal (B) do trator, com vistas superior, lateral direita e frontal.

Obteve-se um sistema de duas equações e duas in-cógnitas para determinar o valor da reação longitudinale vertical no mancal do eixo frontal, por meio das equa-ções do ∑MY na massa parcial (Figura 3A), e o ∑FX, noeixo frontal (Figura 3B), conforme segue:

em que, Tm é a reação longitudinal no mancal do eixofrontal, N; Rm é a reação vertical no mancal do eixofrontal, N; δ é o ângulo de esterçamento, graus; P é a

(4)

(5)



força na barra de tração, N; α é o ângulo de inclinaçãoda barra tração em relação ao eixo longitudinal do tra-tor, graus; Zcgp é a altura do centro de gravidade damassa parcial, m; Zp é a altura da barra de tração, m;Xp é a distância horizontal do eixo traseiro ao ponto defixação da barra de tração, m; mf é a massa do eixofrontal excluída a massa parcial, kg; Tjk é a resistênciaao rolamento do pneu, posição j e lado k, N; Ljk é areação lateral do pneu, posição j e lado k, N; Zm é aaltura do mancal, m.

Segundo Chudakov (1977), o ângulo de esterçamentodos pneus de direção pode ser calculado pela relaçãogeométrica:

δ = XL 180/r π. (6)

Determinou-se o ∑FZ e o ∑FY no eixo frontal, e aresistência ao rolamento dos rodados frontais por meioda Standard D497 (American Society of AgriculturalEngineers, 1990) e, depois, substituiu-se na Equação (5),para se obter uma equação em função de Tm e Rm.

=−δδ+δ )T()R)(sentanqcosq( mmff

δθ−δθ+δθ− tancosFcossenFqcoscosmq chcfchcffff g

ϕθ−δ−δϕθ− cossenmtanLtansensenm fmf gg

,sentancosmqsentansenFq ffchcff δδθ−δδθ+ g (7)

em que, Fcf é a força centrífuga sobre o eixo frontal; qf éo coeficiente de resistência ao rolamento dos rodadosfrontais, adimensional.

A força centrífuga sobre o eixo frontal e o termo quedetermina a resistência ao rolamento dos rodados frontaisforam determinados por meio das seguintes equações:

Fcf = mf V2/r, (8)

04,0cn

2,1q f +=

,

sendo, fk

n R

CIbdc = ,

em que, cn é o coeficiente de mobilidade do pneu,adimensional; CI é o índice de cone, Pa; b é a largura dopneu, m; d é o diâmetro externo do pneu indeformado,m; Rfk é a reação vertical no pneu frontal (lado k), N.

Na resolução do sistema de equações formado pelasequações 4 e 7, obteve-se os valores de Tm e Rm.Os valores das reações traseiras direita e esquerda fo-ram determinados por meio do seguinte sistema de duasequações e duas incógnitas, fazendo o ∑MX e o ∑FZ namassa parcial, conforme segue:

)2BY(senF)2BY(cosm tcgpdcptcgpdp −θ−−θ+ g , (10)

α+θ−θ+−=+ senPsenFcosmR)R()R( cppmtetd g , (11)

em que, Rtk é a reação vertical no pneu traseiro (ladok), N; Zm é a altura do mancal no eixo frontal ao planode apoio, m.

O coeficiente que determina a razão entre a forçalateral e a força vertical dos pneus traseiros foi calcula-do segundo Liljedahl et al. (1989), conforme segue:

ttetd

tetd KRR

LL=

++ , (12)

em que, Kt é a razão entre a força lateral e a forçavertical dos pneus traseiros.

Calculando-se o ∑FY=0 na massa parcial, obtém-sea soma das reações laterais nos pneus traseiros:

θ+ϕθ+−=+ cosFsensenmLLL cppmtetd g . (13)

Por meio da equação 13, foi possível determinar asoma das reações laterais nos pneus traseiros; pela equa-ção 11, calcula-se a soma das reações verticais nospneus traseiros. Substituindo esses valores na equação12, determina-se o valor da constante Kt. As reaçõeslaterais Ltd e Lte foram determinadas pelas seguintesequações:

tdttd RKL = , (14)

tette RKL = . (15)

A reação vertical nos pneus frontais também foi obti-da pelos balanços do momento em relação ao eixo X(∑MX) e das forças em relação ao eixo Z (∑FZ) no eixofrontal (Figura 3B). Assim, obtiveram-se as reaçõesverticais e laterais que atuam nos pneus, em função dasvariáveis que determinam a operação e situação do tra-tor em uma pista inclinada.

O desequilíbrio das reações nos pneus do trator (maisem um lado do que no outro), por este trafegar em pistainclinada ou pela ação da força centrífuga, faz com queas deformações nos pneus sejam diferentes, pois elasdependem das reações aplicadas, o que resulta em au-mento da inclinação lateral do chassi, em relação à pis-ta, diminuindo a estabilidade do trator.

De posse das reações do solo-pneu, calculadas pelobalanço das forças e momentos aplicados ao trator, edas constantes de rigidez (Inoue, 1997), podem-se de-

cgpchcpcgppmmtet

tdt ZcosFZsensenmLZ)R(

2

B)R(

2

Bθ−ϕθ−=+− g

(9)



terminar as deformações dos pneus. Na equação quedetermina a constante de rigidez dos pneus traseiros, foinecessário fazer um ajuste, multiplicando o valor obtidopor um fator igual a 0,33. Este ajuste busca compensaras medidas de deformação, pois, no modelo proposto,as deformações são consideradas nas extremidades dospneus, enquanto na equação proposta por Inoue (1997),são medidas no centro.

De posse das constantes de rigidez vertical e lateraldos pneus, foi possível obter as deformações verticais elaterais, por causa das reações normais e laterais nainterface solo-pneu. Desta forma, tem-se a inclinaçãoaumentada do trator pelo resultado das deformações.

O programa computacional desenvolvido calcula ini-cialmente as reações verticais e laterais, sem conside-rar as deformações dos pneus. A instabilidade lateralocorrerá se a reação vertical em um dos pneus trasei-ros for menor ou igual a zero.

O limite de estabilidade lateral, no primeiro estágio dotombamento, é obtido em função das medidas geomé-tricas e ponderais do trator e dos pneus, na situação deoperação, ou seja, fazendo-se uma curva r, com umavelocidade V, em uma pista de ângulo de inclinação θ, auma posição ϕ na pista inclinada. O trator estará está-vel se a reação vertical nos pneus traseiros for maiorque zero e instável se qualquer um dos pneus traseirosestiver com reação vertical menor ou igual a zero.

O modelo permite também obter o limite de estabili-dade longitudinal quando o trator estiver operando emdeclive e aclive. Na obtenção do limite de estabilidadeem aclive, tombamento para trás, o ângulo ϕ, relativoao eixo longitudinal, é igual a zero. O ângulo-limite deestabilidade é obtido quando a reação nos pneus fron-tais for menor ou igual a zero. No limite de estabilidadeem declive, tombamento para frente, o ângulo ϕ relati-vo ao eixo longitudinal é de 180º; neste caso, o ângulo-limite de inclinação da pista ocorre quando a reação nospneus traseiros estiver menor ou igual a zero. Mesmopara uma situação de inclinação longitudinal do tratorem declive, com a inclinação lateral do chassi nula, podeocorrer tombamento lateral, se o centro de gravidadeestiver deslocado do eixo central do trator. Surgirãomomentos laterais que podem provocar o tombamentolateral, em vez do tombamento para frente.

A ocorrência de tombamento, ou não, dependerá doprévio deslizamento lateral dos pneus. Este deslizamentopode ocorrer em decorrência da interação de vários fa-tores, como tipo de pneu, carga sobre pneu, inclinaçãoda pista, tipo de piso e altura de garras dos pneus. Portan-

to, para melhor análise, a força de aderência lateral dosolo-pneu foi determinada segundo as equações obtidaspor Inoue (1997), em que estes fatores são considerados.

Por simulação, foram obtidos valores dos ângulos deinclinação, quando a reação do pneu traseiro atingia valorigual a zero, para cada condição de operação realizadapor Khoury Junior et al. (2001). Os valores simuladospelo modelo desenvolvido e os dados experimentais ob-tidos por Khoury Junior et al. (2001) foram comparadosvisando avaliar o desvio entre estes valores.

Na comparação entre valores de ângulo de inclina-ção obtidos por simulação e valores experimentais, utili-zou-se o método gráfico, denominado gráfico de cor-respondência. Os resultados dos testes foram plotadosem gráfico, ficando na abscissa os valores experimen-tais (xi), e na ordenada os valores simulados (yi), com oemprego do modelo proposto, com o erro relativo abso-luto médio dado por n/)x/xy(er

n

1 iii∑ −= , em que nrepresenta o número de observações. Outra análisefoi realizada por meio do erro relativo médio entre ovalor simulado e o experimental, dado por

∑ −= n

1 iii n/)x/xy(e ; considerando-se que o erro

iiii x/xye −= é uma variável que segue uma distribui-ção normal e ocorre ao acaso, pode-se testar a hipóteseH0: 0e = , utilizando-se o teste t.

Verificou-se também a variação da força centrífuganos testes experimentais, por meio de um gráfico comos valores de ângulo de inclinação de tombamento, naordenada, em função da variável força centrífuga, naabscissa; nesta análise, as outras variáveis mantiveram-se constantes. Com isso, pode-se avaliar o efeito da for-ça centrífuga na estabilidade para tombamentos laterais.

Na análise sobre deslizamento foram apresentadosos testes nos quais o deslizamento ocorreu antes do tom-bamento e em quais pneus isso ocorria.

Resultados e Discussão

As condições e os resultados obtidos de inclinação-limite para tombamentos experimentais (Khoury Junioret al., 2001) e os valores obtidos por meio do modeloproposto são apresentados na Tabela 1.

A fim de avaliar a influência da pressão de enchi-mento na estabilidade lateral, alterou-se somente a pres-são de enchimento do pneu, do teste 7 para o teste 9,diminuindo a pressão do lado do tombamento e aumen-tando do lado oposto, mantendo-se as outras variáveisconstantes. Observou-se, no teste experimental, que olimite de tombamento variou de 39º para 38º e, na simu-



lação, de 36,7º para 34,6º. Constatou-se então, que apressão de enchimento dos pneus para uma situaçãodesfavorável à estabilidade, reduziu o limite do ângulo detombamento em 1o no experimento e 2,1o na simulação.

Na análise dos testes estáticos 7B e 10A (Tabela 1),em que se variou somente a situação de apoio dos roda-dos – no teste 7B, os pneus do lado direito encontra-vam-se apoiados em uma pista plana e os do lado es-querdo, em uma pista inclinada, e, no teste 10A, os ro-dados estavam apoiados em uma pista de mesma incli-nação –, observou-se, no primeiro, que o valor do ângu-lo de tombamento experimental teve maior estabilida-de-limite da pista, medindo 39º, com o ângulo do chassimedindo 44º, enquanto em 10A ele foi de 37,3º, e o dochassi, de 41º. As diferenças entre os dados experimen-tais de 7B e 10A foram de 1,7º e 3º, respectivamente,para o ângulo de inclinação da pista e do chassi; pelocálculo obtido no modelo, não houve diferença nos limi-tes de estabilidade de um teste em relação ao outro,pois, nos cálculos de estabilidade obtidos pelo modelo,considera-se somente a condição A, uma vez que ela émais comum em operações com tratores cujos rodadosestão apoiados em uma pista de inclinação igual. Alémdisso, na condição de apoio B, as reações verticais elaterais que atuam nos pneus vão além da extremidadeda banda de rodagem, tornando difícil a modelagem.

Os valores obtidos pela simulação dos ângulos de in-clinação do chassi, no limite de estabilidade do ângulo

da pista, foram comparados com os valores dos ângulosdo chassi medidos no experimento na iminência de tom-bamento (Tabela 1). Na condição A, houve diferençados valores simulados em relação aos experimentais, de0,5º e 1,5º; e, para a condição B, de 3,5º. Assim, verifi-cou-se novamente, pela análise da inclinação do chassina iminência do tombamento, que a condição B obtevemaior estabilidade do que a condição A.

O erro relativo absoluto médio, em relação aos valo-res dos ângulos-limite de inclinação calculados com osvalores obtidos experimentalmente foi de 5,5%, consi-derando todos os testes (Figura 4). Ao se analisar ostestes dinâmicos e estáticos separadamente, o primeiromostrou uma tendência de superestimar os resultados,obtendo-se erro relativo absoluto médio de 6,5%, e osestáticos de subestimar, obtendo-se erro de 4,5%.Os testes que mais se aproximaram da linha de corres-pondência, proporcionando melhor correlação entre si-mulados e experimentais, foram os estáticos 10, 11 e 12,na condição de todos os rodados apoiados em uma mes-ma inclinação, uma vez que se obteve erro relativo mé-dio de 2,3%, (Tabela 1). Em geral, o erro relativo médiofoi considerado zero, utilizando-se o teste t a 5% de pro-babilidade, enquanto a análise realizada separadamenteconsiderou o erro médio igual a zero, pelo teste t a 1%de probabilidade.

Na análise dos valores de inclinação em que ocorreuo tombamento, em função da variação da força centrí-

Tabela 1. Valores de inclinação obtidos experimentalmente por Khoury Junior et al. (2001) e simulados por meio do modeloproposto(1).

(1)Os testes de 1 a 6 foram dinâmicos, e os de 7 a 12 estáticos; nos testes de 1 a 7 e 10: Pfd = 165 kPa, Pfe = 124 kPa, Ptd = 76 kPa, Pte = 48 kPa;nos testes 8 e 11: Pfd = 165 kPa, Pfe = 165 kPa, Ptd = 83 kPa, Pte = 83 kPa; nos testes 9 e 12: Pfd = 165 kPa, Pfe = 165 kPa, Ptd = 28 kPa,Pte = 83 kPa; A: testes realizados com os quatro pneus apoiados em uma mesma inclinação; B: testes realizados com os pneus do lado direito apoiadosem pista plana e os do lado esquerdo apoiados em pista inclinada; Rc: raio de curvatura da pista; V: velocidade de deslocamento do trator; Fc: forçacentrífuga. (2)Não foi medida a inclinação do chassi (testes dinâmicos). (3)Pneus frontais em linha reta, esterçamento igual a zero (testes estáticos).

Testes Ângulo da pista(graus)

1B2B3B4B5B6B7B8B9B

10A11A12A

Simulado

36,035,435,236,436,937,136,736,934,736,736,934,7

Experimental

32,032,034,034,036,036,039,039,038,037,336,435,9

Ângulo do chassi(graus)

SimuladoExperimental

Rc (m) V (m s-1) Fc (N)

39,939,339,140,440,841,040,540,540,540,540,540,5

-(2)

- - - - -

44,044,044,041,042,041,0

6,208,155,605,154,806,15 -(3)

-----

1,521,821,741,361,231,080,000,000,000,000,000,00

687,5749,8997,5662,6581,5349,9

0,00,00,00,00,00,0



fuga dos testes que apresentavam mesma condição deapoio dos rodados e pressão de enchimento dos pneus(teste estático 7 e dinâmicos de 1 a 6) constatou-se,tanto na simulação quanto no experimento, que houvetendência de menor estabilidade com o aumento da for-ça centrífuga, mesmo tendo variado pouco, na faixa de0 a 997,5 N (Figura 5).

Dois testes dinâmicos apresentaram maiores valoresde limite de estabilidade simulados que o teste estático,ou seja, com força centrífuga igual a zero (Figura 5).Isto ocorreu pelo fato de o pneu frontal ter sido simula-do como se estivesse em linha reta, e nos testes dinâmi-cos, esterçados, fazendo um raio de giro de aproxima-damente 6 m. O pneu em linha reta proporciona menorlimite de estabilidade do que quando esterçado para olado contrário ao tombamento. Sendo assim, pode-sedizer que o efeito provocado pelo ângulo de esterçamentodos pneus influenciou mais o limite de estabilidade doque o efeito dinâmico da força centrífuga.

Ao se realizar uma simulação de tombamento estáti-co com o pneu esterçado com angulo de esterçamentodos pneus similares aos dos testes dinâmicos, para umraio de curva de seis metros, o limite de estabilidadevariou de 36,7º para 38,2º e, esterçando os pneus para olado do tombamento, o limite de estabilidade foi menordo que em relação aos pneus em linha reta, passandopara 35,2º.

Na Tabela 2, são apresentados os valores simuladosdas reações verticais e laterais e a força de aderênciados pneus preditos pelo modelo proposto para cada tes-te, utilizando-se as mesmas condições observadas noexperimento conduzido por Khoury Junior et al. (2001).A reação vertical, nos pneus traseiros esquerdos, apre-sentou menor valor entre as reações verticais dos ou-tros pneus (Figura 1). Este fato era previsível, uma vez

Figura 5. Ângulo de inclinação do limite de tombamento emfunção da força centrífuga calculada.

que nos testes experimentais ocorreram tombamentospara a direita, e o tombamento lateral iniciou-se quandoa reação de um dos pneus traseiros era zero ou negativa.

Na análise do deslizamento, foi implementada no pro-grama computacional a condição de apoio dos rodadosB, em que o trator está apoiado com o pneu do ladodireito em pista plana. Assim, as forças de aderência eas reações laterais dos rodados apoiados na parte planasão calculadas como paralelas ao plano de apoio da pis-ta e não ao plano do trator. Verificou-se, então, pelomodelo, que as forças de aderência dos pneus nos tes-tes 1B a 9B foram maiores que as reações laterais, sen-do esse comportamento confirmado nos testes experi-mentais (Khoury Junior et al., 2001), em que não ocor-reu deslizamento antes do tombamento.

Na condição dos rodados apoiados em uma pista demesma inclinação (condição A, testes 10A a 12A), nospneus do lado direito, ou seja, do lado do tombamento,as reações laterais foram maiores do que as forças deaderência dos outros pneus (Lfd>Fafd; Ltd>Fatd), isto é,ocorreria o deslizamento antes do tombamento.No entanto, nos testes experimentais, não foi possívelconfirmar esse fato, pois na plataforma utilizada para

Figura 4. Gráfico de correspondência de inclinação de tombamento entre os valores experimentais e simulados, mostrando oerro relativo médio (e) e o erro relativo absoluto médio (er) entre o valor simulado e o experimental e o teste estatístico t do erroe (te).



inclinar o trator havia uma elevação lateral na qual seencaixava o trator, impedindo o deslizamento.

Na análise das forças de aderência dos pneus trasei-ros esquerdos, o modelo superestimou seus valores, pois,quando as reações verticais são nulas, não deveria ha-ver aderência dos pneus ao solo. Entretanto, as equa-ções empíricas utilizadas no modelo, que estimaram asforças de aderência dos pneus, foram obtidas por re-gressão de valores experimentais em uma faixa de rea-ções verticais nos pneus superiores a 2,83 kN. Na análisedo deslizamento dos pneus, quando a reação vertical foinula ou apresentou valores baixos, as equações que de-terminam a aderência dos pneus não estimaram valoressatisfatórios. Na análise sobre o deslizamento, quandoa reação vertical foi nula, considerou-se que a força deaderência também era nula.

Conclusões

1. O modelo matemático desenvolvido é capaz de pre-ver a perda da estabilidade de tratores 4x2, semimplemento acoplado, com satisfatória precisão.

2. A energia adquirida pelo chassi (massa parcial) noprimeiro estágio do tombamento é capaz de dar continui-dade a este, quando o chassi colide com o eixo frontal.

Tabela 2. Valores obtidos, por meio do modelo proposto, das reações verticais e laterais, e das forças de aderência dos pneus,para os respectivos testes experimentais(1).

(1)Nos testes de 1 a 7 e 10: Pfd = 165 kPa, Pfe = 124 kPa, Ptd = 76 kPa, Pte = 48 kPa; nos testes 8 e 11: Pfd = 165 kPa, Pfe = 165 kPa, Ptd = 83 kPa,Pte = 83 kPa; nos testes 9 e 12: Pfd = 165 kPa, Pfe = 165 kPa, Ptd = 28 kPa, Pte = 83 kPa; A: testes de tombamento com o trator apoiado comos rodados sobre uma pista de mesma inclinação; B: testes de tombamento com o trator apoiado com os rodados do lado do tombamento sobre pistaplana, e os do outro, sobre pista inclinada; Rte: reação vertical no pneu, posição traseiro e lado esquerdo; Rtdn: reação vertical no pneu, posiçãotraseiro e lado direito apoiado na pista plana (nivelada); Rfe: reação vertical no pneu, posição frontal, lado esquerdo; Lte: reação lateral do pneu,posição traseiro e lado esquerdo; Fate: força de aderência do pneu, posição traseiro e lado esquerdo; θL: ângulo-limite de inclinação da pista.

Agradecimentos

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científi-co e Tecnológico pela bolsa concedida aos autoresJoseph Kalil Khoury Junior e Cristiano Márcio Alves deSouza.

Referências

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Testes

1B2B3B4B5B6B7B8B9B

0,571,255,282,512,540,98

-10,70 -13,10

-9,30

Rte Rtdn R

feRfdn L

teFa

teL

tdn Fatdn

Lfe Fa

feL

fdnFa

fdn

(ο)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(Ν)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

12.06811.96212.11912.15912.20012.06311.65911.66211.657

394504345295249390813812814

7.0846.9607.1357.2217.2957.1026.7716.7736.770

0,471,054,432,102,130,82

-9,00 -11,10

-7,87

1.4451.4451.4471.4461.4461.4451.4371.4371.439

16,6152,0179,0

87,0181,0211,0

68,568,568,4

8.1128.0548.1418.1648.1868.1107.8877.7019.173

428513387343299425707706707

1.6381.6411.6371.6361.6351.6381.6531.4061.406

929753

1.1541.1251.189

804595959

2.8922.8392.9142.9512.9832.8992.7622.7622.761

36,0135,4135,1936,4436,8637,0936,7036,9034,65

L�

10A11A12A

-10,70 -13,10 -9,30

Rte Rtd R

feRfd L

teFa

teL

td Fatd L

fe Fafe

Lfd

Fafd

(ο)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(Ν)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

8.9098.9108.909

813812814

5.1105.1105.110

-9,00 -11,10

-7,87

1.4371.4371.439

7.5207.5257.518

6.3676.2247.350

707706708

1.6531.4061.406

4.4434.4454.442

2.1702.1702.170

36,7036,9034,65

L�



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Recebido em 23 de setembro de 2003 e aprovado em 24 de dezembro de 2003

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