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1 Apostila Modelagem de sistemas dinâmicos I Prof. Dr. Tiago Becker Versão 2008/02

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1

Apostila

Modelagem de sistemas dinâmicos I

Prof. Dr. Tiago Becker

Versão 2008/02

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2

Índice

1 . MODELAGEM DE SISTEMAS E TERMINOLOGIA..................................................................................3

1.1 MODELAGEM ...............................................................................................................................3 1.2 NOTAÇÃO E TERMINOLOGIA .........................................................................................................7

1.2.1 Representação de derivadas ...............................................................................................7 1.2.2 Domínio.............................................................................................................................8 1.2.3 Problemas de valor inicial e problemas valores de contorno...............................................8

1.3 PRÉ-REQUISITOS ..........................................................................................................................8

2 . EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: DEFINIÇÃO, CLASSIFICAÇÃO, DEFINIÇÃO DE SOLUÇÃO, TIPOS

DE SOLUÇÃO....................................................................................................................................................10

2.1 DEFINIÇÃO ................................................................................................................................10 2.2 CLASSIFICAÇÃO .........................................................................................................................10 2.3 DEFINIÇÃO DE SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E TIPOS DE SOLUÇÃO..................................12

3 . EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM............................................................................15

3.1 EDO1 SEPARÁVEIS ....................................................................................................................16 3.2 . EDO1 EXATAS.........................................................................................................................20 3.3 FATORES INTEGRANTES..............................................................................................................22

4 . EDO II LINEARES COM COEFICIENTES CONSTANTES.....................................................................24

4.1 EDOII HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES ..............................................................25 4.2 . EDOII LINEARES COM COEFICIENTES NÃO HOMOGÊNEAS ...........................................................27

5 . SEQÜÊNCIAS E SÉRIES .............................................................................................................................31

6 . SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM SÉRIES DE POTÊNCIA............................................35

7 . TRANSFORMADA DE LAPLACE..............................................................................................................40

7.1 TRANSFORMAÇÕES ....................................................................................................................40 7.2 TRANSFORMADAS INTEGRAIS .....................................................................................................41 7.3 TABELA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE .................................................................................43 7.4 CONDIÇÕES PARA A EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ..............................................44 7.5 TRANSFORMADA DE UMA FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES ............................................................46 7.6 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ......................................................................................46 7.7 TRANSFORMADA DE LAPLACE DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO.....................................................49 7.8 SOLUÇÃO DE EDO LINEARES UTILIZANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE ..................................50 7.9 TEOREMAS DE TRANSLAÇÃO.......................................................................................................53

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3

1. MODELAGEM DE SISTEMAS E TERMINOLOGIA

1.1 Modelagem

“Todos os modelos estão errados, mas alguns são úteis”.

(frase freqüentemente atribuída ao estatístico George P. E. Box)

Modelar é representar um sistema físico real, ou parte dele, em uma forma física ou

simbólica (matemática), preparada de forma conveniente para predizer ou descrever o seu

comportamento. Dos tipos de modelo (icônico, diagramático ou matemático), um dos que tem

maior aplicação na engenharia e em muitas outras áreas do conhecimento humano é o

matemático.

Figura 1 – exemplo de modelo icônico

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4

Figura 2 – exemplos de modelos diagramáticos

Um modelo matemático é uma idealização, onde são utilizadas técnicas de construção

lógica, não necessariamente naturais e certamente incompletas. Os fenômenos reais e as

variáveis do problema são descritos por elementos idealizados que representam apenas as suas

características essenciais, através de relações matemáticas. Um modelo matemático é sempre

uma simplificação da realidade, e, em conseqüência, não oferecem garantia de resultados

precisos.

Ao se desenvolver um modelo matemático, é necessário decidir (ou avaliar) qual o grau

de realismo necessário para o modelo, tendo em vista que, em geral, aumentar a fidelidade de um

modelo significa aumentar a sua complexidade e as dificuldades na sua dedução e resolução

numérica.

Um modelo matemático pode ter muitas formas, como um sistema de equações lineares,

uma equação diferencial ou alguma outra expressão matemática. Uma característica importante

de um modelo matemático é proporcionar um meio eficiente de previsão em uma linguagem

concisa e universal de comunicação.

Dentro deste contexto, o interesse em equações diferenciais está na grande variedade de

problemas que podem ser modelados através deste tipo de equação, nas mais diversas áreas do

conhecimento, incluindo engenharias, física, ciências biológicas e sociais.

A tradução do problema ou situação “real” em termos matemáticos (ou seja, a

modelagem) é feita a partir de hipóteses sobre o que está acontecendo, que pareçam ser

consistentes com o fenômeno observado. Por exemplo, é possível observar a relação

proporcional entre a taxa de decaimento de materiais radioativos e a quantidade de material

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5

presente, ou entre a taxa de transferência do calor de um corpo mais quente para um corpo mais

frio e a diferença de temperatura entre eles, ou entre a taxa de crescimento de uma população

isolada de insetos e a população atual destes insetos. Todas estas afirmações envolvem a idéia de

taxa de variação, ou seja, a derivada de uma variável em relação ao tempo. Em conseqüência,

quando são expressas matematicamente, tomam a forma de uma equação diferencial, como será

visto mais adiante.

É importante ter em mente que as equações matemáticas são, em geral (no que diz

respeito à engenharia, pode-se dizer sempre) apenas uma simplificação ou descrição aproximada

da realidade. Isso ocorre por que as equações são baseadas em observações, e não é possível

garantir que, com estas observações, se consiga identificar todas as variáveis que governam o

processo e o exato comportamento de todas essas variáveis.

Um exemplo muito ilustrativo deste fato é a mecânica clássica de Newton, que durante

250 anos, acreditou-se descrever exatamente o movimento dos corpos, até se descobrir que, em

situações pouco usuais (como em velocidades próximas à da luz), as leis de Newton não valem.

Outro exemplo diz respeito à taxa de crescimento da população de insetos, que não será

indefinidamente como no enunciado em função de limitações, por exemplo, de alimento.

Além disso, o processo de formulação matemática de um problema real envolve, muitas

vezes, tratar um processo discreto como se fosse contínuo. O exemplo da população de insetos

serva também para ilustrar esta questão. O número de membros de uma população muda por

quantidades discretas (1 a 1), e, para formular o problema na forma diferencial, deve-se assumir

que a população é uma variável contínua (é importante lembrar que só se pode definir a derivada

de uma função contínua). Se, entretanto, a população de insetos for suficientemente grande,

tratar o crescimento da população de insetos como uma função contínua pode ser considerada

uma aproximação muito razoável.

A próxima dificuldade em relação ao uso dos modelos matemáticos está em, uma vez

obtido um modelo, resolver as equações e encontrar uma solução para o modelo. Como será

visto, no caso de modelos baseados em equações diferenciais, é comum ser impossível, com as

ferramentas matemáticas atuais, encontrar a solução da equação. Nestes casos, o que se pode

fazer é tentar conhecer o máximo possível as propriedades da solução, ou tentar realizar

simplificações e aproximações adicionais a fim de viabilizar a solução do problema matemático.

Exemplos de aproximações são linearizar uma equação não linear, ou aproximar uma

função que varia lentamente por seu valor médio (uma constante). Porém, sempre que se faz uma

aproximação deste tipo, é necessário verificar se o problema matemático resultante ainda reflete

adequadamente o problema real em questão, ou para que circunstâncias o modelo simplificado

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6

continua válido. Quanto maior o conhecimento a respeito do comportamento do fenômeno que

se quer modelar, mais segurança se tem na realização das simplificações.

Finalmente, todas as informações obtidas com o modelo, com a sua solução ou, pelo

menos, com as informações fornecidas pelo modelo sobre o comportamento da solução, devem

ser interpretadas dentro do contexto no qual o problema surgiu. Primeiramente, é necessário

verificar se a solução matemática parece fisicamente razoável. Isso exige, entre outras coisas,

que a solução exista, seja única e depende de maneira contínua dos dados do problema.

Esta última observação está relacionada com o fato de os modelos matemáticos, em geral,

utilizarem coeficientes e condições iniciais que são obtidas experimentalmente, e, por tanto,

estão sujeitos a incertezas e erros experimentais. Se estas pequenas diferenças nas características

do modelo resultarem em grandes variações na solução do problema matemático (característica

das descontinuidades), que não são observáveis no sistema real, então o modelo deve ser revisto.

O fato de a solução parecer razoável não garante, porém, que ela descreve corretamente o

fenômeno observado. A única forma de verificar um modelo é através da comparação de seus

resultados com os dados experimentais e observações do fenômeno modelado.

Em resumo, o processo de criação de um modelo matemático envolve, de maneira geral,

as seguintes etapas:

1. definição do fenômeno ou comportamento que se quer modelar (variável dependente).

2. identificação das variáveis independentes que governam o fenômeno em questão.

3. descrição matemática do comportamento das variáveis e das relações entre as

variáveis em questão.

4. solução o modelo, tratando-o com métodos matemáticos.

5. verificação da consistência da solução oferecida pelo modelo

Um exemplo interessante de criação de um modelo matemático é uma equação

desenvolvida para descrever o comportamento de epidemias. Parte-se da idéia de uma

comunidade com n membros, dos quais p indivíduos estão infectados e q indivíduos não estão

infectados, porém estão susceptíveis, e p + q = n. É mais interessante, porém, trabalhar com a

proporção de indivíduos sãos e infectados do que com os números totais. Assim, define-se x =

p/n e y = q/n, de forma que x + y = 1. Se n é grande, é razoável supor que x e y são variáveis

contínuas. Desta forma, a taxa com a qual a doença se expande é dx/dt. Pode-se fazer a hipótese

de que a doença se espalha pelo contato entre membros sãos e doentes, e assim dx/dt será

proporcional ao número de contatos. Se os dois grupos movem-se livremente, o número de

contatos será proporcional ao produto de x e y. Chega-se então, à equação

xydtdx

β=

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7

que pode ser reescrita, tendo em conta que x + y = 1, resultando

1 ( )xxdtdx

−= 1β (1)

onde β é um fator positivo de proporcionalidade. Para resolver o problema da epidemia, é

necessário saber, em um determinado instante, quantas pessoas já estão infectadas

x(t0) = x0

onde x0 é a proporção de indivíduos infectados no instante t0. Este modelo matemático é

conhecido como problema de valor inicial, e a equação 1 é a equação diferencial que pretende

descrever o comportamento do fenômeno. O objetivo do modelo é fornecer uma previsão da

proporção x de indivíduos de uma população que estarão infectados, em uma epidemia, em

algum instante t no futuro.

Construído o modelo, é necessário avaliar a sua validade. Uma análise simples mostra

algumas inconsistências nos pressupostos do modelo. Em primeiro lugar, se a doença é séria,

ocorrerá naturalmente uma quarentena, em função dos indivíduos infectados estarem

incapacitados de realizar as suas atividades. Existe também a possibilidade das autoridades de

saúde forçarem uma quarentena adicional. Estas duas possibilidades limitam a validade do

pressuposto de livre circulação dos indivíduos. Além disso, o modelo pressupõe que os

indivíduos infectados permaneçam assim indefinidamente. Todos os fatores citados tendem a

tornar a propagação da doença mais lenta do que o previsto pelo modelo.

1.2 Notação e terminologia

1.2.1 Representação de derivadas

Utiliza-se normalmente os símbolos y’, y”, y’” , y(4), ..., y(n) para representar as derivadas

de ordem, respectivamente, primeira, segunda terceira, quarta, ..., enésima de y em relação à

variável independente. Se a variável independente for x, ou seja, y = f(x), então y” representa

( )2

2

''dx

tudy =

O uso de parênteses para representar as derivadas de ordem acima de três (por exemplo,

y(4)), tem o objetivo de diferenciar a notação de derivada da notação de potência (y4). Quando a

variável independente é o tempo t, ou seja, y = f(t), então a notação mais usual é y& , y&& e y&&& , de

maneira que

( ) ( ) ( )3

3

2

2

dttudy

dttudy

dttduy === &&&&&&

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8

Quando a função tem mais de uma variável independente, é necessário utilizar a derivada

parcial. Neste caso a notação para as derivadas de u=f(x,z) é:

( ) ( )

( ) ( )2

2

2

2

,,

,,

zzxfu

zzxfu

xzxfu

xzxfu

zzz

xxx

∂∂

=∂

∂=

∂∂

=∂

∂=

1.2.2 Domínio

O conjunto de todos os grupos de valores (xi,zi) possíveis para as variáveis independentes,

para as quais a função u (variável dependente) é definida, denomina-se domínio da função

u=f(x,z). Por exemplo, o domínio da função

xu = no conjunto dos números reais é [0,∝).

1.2.3 Problemas de valor inicial e problemas valores de contorno

Será visto mais adiante que o resultado de uma equação diferencial aparece na forma de

uma família de funções. A solução do problema associado à equação em questão será uma

função específica daquela família de funções, que será definida a partir de informações extras a

respeito do problema. O tipo de informação apresentada definira o problema como de valor

inicial ou de valores de contorno.

Um problema de valor inicial caracteriza-se pelas informações extras se referirem a um

único ponto da variável independente. Estas informações são chamadas de condições iniciais.

Em problemas de condições de contorno, as informações extras se referem a mais de um ponto

da variável independente. Neste caso, as informações extras são chamadas de condições de

contorno.

1.3 Pré-requisitos

Seguem algumas derivadas e integrais que serão úteis na disciplina. Outras relações

podem ser retiradas de tabelas

Polinômios

( )( ) ( )

( )

=

==⇒= −

23

0

1

3

0

cxcxdxd

cdxdcx

dxd

ncxcxdxd nn

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9

Trigonométricas e hiperbólicas

−=

=⇒

−=

=

22 2sin22cos

cossin

sincos

cossin

xxxdxd

ttdtd

dxduuu

dxd

dxduuu

dxd ωωω

=

=⇒

=

=

22 2sinh22cosh

coshsinh

sinhcosh

coshsinh

xxxdxd

ttdtd

dxduuu

dxd

dxduuu

dxd ωωω

Exponenciais

dxdu

uu

dxd

dxdu

ueu

dxd a

a1ln

loglog =⇒=

dxduee

dxd

dxduaaa

dxd uuuu =⇒= ln

Regra da cadeia

dxdu

dudy

dxdy

=

Outras relações úteis

( )dxduv

dxdvuuv

dxd

+=

( )dxdwuvw

dxdvuvw

dxduuvw

dxd

++=

Integrais

( )∫ += caxdxxa

( ) ( )∫∫ = dxxfadxxaf

( ) ...... ±±±=±±± ∫∫∫∫ wdxvdxudxdxwvu

∫∫ −= vduuvudv

∫ += cedue uu

1,1

1

−≠++

=+

∫ ncnuduu

nn

00,ln11 <>== ∫∫ − uouuuduu

duu

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10

2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: DEFINIÇÃO, CLASSIFICAÇÃO,

DEFINIÇÃO DE SOLUÇÃO, TIPOS DE SOLUÇÃO.

2.1 Definição

Muitos problemas importantes na engenharia, nas ciências físicas e nas ciências sociais,

quando formulados matematicamente, requerem a determinação de uma função que satisfaça

uma equação que contém as derivadas da função incógnita. Estas equações são denominadas

equações diferenciais. A lei de Newton é um exemplo muito familiar:

2 ( ) ( ) ( )

=

dttdututF

dttudm ,,2

2

(2)

Esta equação permite encontrar a posição u em função do tempo t (ou seja, u(t)) de uma

partícula sobre a qual atua a força F, que varia com o tempo t, a posição u(t) e a velocidade da

partícula du(t)/dt. O movimento de uma partícula sob a ação da força F é descrito por uma

função u(t) que satisfaça a equação acima.

2.2 Classificação

Existem vários tipos de equações diferenciais, que são classificadas de várias formas

segundo suas características. Esta classificação é útil para que se possa, por exemplo, identificar

que método de solução é valido para uma determinada equação diferencial. A primeira

classificação é relativa ao número de variáveis independentes da função incógnita: Se ela tiver

apenas uma variável independente (como u(t)), tem-se uma equação diferencial ordinária

(EDO). Caso a função incógnita tenha mais de uma variável independente (como u(x, y, z, t)), as

derivadas serão parciais e a equação é chamada de equação diferencial parcial (EDP). Existem

muitos exemplos de equações diferenciais ordinárias utilizadas nas diversas áreas da engenharia.

Alguns deles são:

3

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )tFtKxdt

tdxCdt

txdM

tEtQCdt

tdQRdt

tQdL

=++

=++

2

2 1

(3)

A primeira equação acima permite encontrar a função Q(t) que descreve como varia a

carga Q de um condensador em função do tempo t, em um circuito elétrico com indutância L,

resistência R e capacitância C, sobre o qual se impõe uma tensão elétrica E(t). Esta equação é

análoga à equação de equilíbrio, que permite encontrar a posição x(t) de um sistema mecânico

com massa M, amortecimento C e rigidez K, ao qual se impõe uma força F(t).

Page 11: Mode La Gem

11

Outro exemplo de equação diferencial ordinária é a que governa o decaimento com o

tempo de uma quantidade R(t) de uma substância radioativa (k é uma constante conhecida):

4 ( ) ( )tkRdt

tdR= (4)

Alguns exemplos de equações diferenciais parciais são a equação de potencial

5 ( ) ( ) 0,,2

2

2

2

=∂

∂+

∂∂

yyxu

xyxu (5)

a equação de difusão ou de calor

6 ( ) ( )t

txux

txu∂

∂=

∂∂ ,,

2

22α (6)

e a equação da onda elástica

7 ( ) ( )2

2

2

22 ,,

ttxu

xtxua

∂∂

=∂

∂ (7)

onde α e a são constantes determinadas.

A segunda classificação aplicada às equações diferenciais e a sua ordem, definida pela

derivada de maior ordem contida na equação diferencial. A equação 4 é uma equação diferencial

ordinária de primeira ordem (EDO1). As equações 2 e 3 são equações diferenciais ordinárias de

segunda ordem (EDO2), e as equações 5, 6 e 7 são equações diferenciais parciais de segunda

ordem (EDP2).

Outra classificação importante separa as equações diferenciais ordinárias (EDO) em

lineares e não lineares. A equação diferencial

8 ( )( ) 0,...,',, =nyyyxF (8)

é linear se F é uma função linear das variáveis y, y´, ..., y(n). Desta forma, a equação diferencial

ordinária linear de ordem n tem a forma

9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgyxayxayxa nn

nn =+++ −

− 01

1 ... (9)

onde as funções ai(x) são conhecidas e dependem apenas da variável x. As equações 3 e 4 são

EDO lineares, respectivamente, de segunda e primeira ordem. Por exemplo, a equação

35 += xdxdy

é linear, sendo a1 = 1, a0 = 0 e g(x) = 5x+3.

Uma equação que não pode ser expressa desta forma é não linear. A equação 4'''2''' xyyyey x =++

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12

não é linear, em virtude do termo yy’. Um exemplo simples de um fenômeno físico descrito por

uma equação diferencial não linear é um pêndulo. A equação que descreve o θ em função do

tempo que um pêndulo oscilante com comprimento l forma com a vertical é

0sin2

2

=+ θθ

lg

dtd

O seno impede que a função seja colocada na forma apresentada na equação 9. As

técnicas de solução de equações diferenciais lineares estão bem desenvolvidas, porém o mesmo

não se aplica às ED não lineares. As técnicas de solução para equações diferenciais não lineares

são muito restritas e bastante complexas. Uma forma de tratar os problemas não lineares é, se

possível, fazer uma aproximação e “linearizar” a equação. Para pequenos ângulos, pode-ser dizer

que sen θ ≅ θ, e assim é possível aproximar a equação do pêndulo oscilante para a equação linear

02

2

=+ θθ

lg

dtd

Alguns problemas, porém, não podem ser linearizados. Um exemplo importante é o do

fluxo de corrente num tubo de elétrons. Algumas técnicas para solucionar este tipo de equação

serão vistas mais adiante.

2.3 Definição de solução de equações diferenciais e tipos de solução

A solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável independente x,

em um intervalo ζ, é uma função y(x) que verifica identicamente a equação para todo o x no

intervalo definido.

Algumas equações diferenciais admitem infinitas soluções (família de soluções),

enquanto outras não têm solução. Um exemplo facilmente verificável de uma equação

diferencial que não tem solução é

( ) 1" 24 −=+ yy

Page 13: Mode La Gem

13

Como todos os termos do lado esquerdo da equação são uma soma de potências pares,

não existe uma função real y(x) que resulte em um número negativo. Logo, a equação proposta

não tem solução.

Falou-se, na primeira aula, que um modelo matemático de um sistema físico real (SFR),

entre eles os baseados em equações diferenciais, deve ter uma única solução. Embora uma

equação diferencial possa admitir infinitas soluções, um modelo de um sistema físico real, para

estar completamente definido, deverá ser um problema de valor inicial ou um problema de

condições de contorno. Para tanto, é necessário que se defina a equação diferencial que rege o

SFR e as condições iniciais (ou as condições de contorno) para as quais se deseja conhecer a

resposta do modelo. O problema de valor inicial ou de condições de contorno deve ter uma única

solução. A solução da equação 0' =+ayy é ( ) axcexy −= , onde c é uma constante que pode ter

qualquer valor. Quando se impõe uma condição do tipo

y(0) = 2

fica definido um problema de valor inicial, o qual tem uma única solução

10 ( ) axexy −= 2 (10)

Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer uma de suas soluções. A

solução geral da equação diferencial é o conjunto de todas as suas soluções. A solução de um

problema de valor inicial (ou de condições de contorno) é uma solução particular da equação

diferencial.

Uma solução colocada na forma y=φ(x), com a apresentada na equação 10, é chamada de

explícita. Muitas vezes, porém, especialmente no caso de equações não lineares, não é possível

(ou não é conveniente) colocar a solução desta forma. Neste casos, a solução aparece na forma

implícita

11 ( )[ ] 0, =xx φψ (11)

Por exemplo, a solução da equação não linear yxy −=' é 222 cyx =+ . A solução assim

colocada está na forma implícita.

Muitas equações diferenciais não podem ser solucionadas analiticamente, seja pela

complexidade da equação, seja pela impossibilidade de se definir matematicamente as condições

de contorno. Uma forma de abordar este tipo de problema é utilizar métodos numéricos para

encontrar a solução da equação diferencial em um conjunto finito de pontos do seu domínio. Este

tipo de solução é chamado de solução numérica.

Page 14: Mode La Gem

14

Exercícios

1. Determine a ordem de cada uma das equações diferenciais que seguem e dia se a

equação é linear ou não linear

a) xydxdyx

xydx cos32

22 =++ b) ( ) xey

dxdyx

dxydy =+++ 2

221

c) ( ) 14 =+′+′′+′′′+ yyyyy d) 02 =+ xydxdy

e) ( ) ( )txtdt

xd sinsin2

2

=++ f) ( ) 323

3

cos txtdtdxt

dtxd

=++

g) 2θθ

=ddr h)

yxyy+

=′42

2. Verifique, em cada caso, se as funções dadas são soluções da equação diferencial.

Determine a ordem de cada uma das equações diferenciais e classifique a equação como linear

ou não linear.

a) 0=−′′ yy ⇒ xyey x cosh21 == b) 032 =−′+′′′ yyy ⇒ xx eyey == −

23

1

c) ( ) xyyy =+′′′− 344 ⇒ ( ) ( )33 21xexyxxy x +== −

3. Verifique para que valores de r as equações a seguir tem soluções do tipo rxey =

a) 02 =+′ yy b) 0=−′′ yy

c) 06 =−′+′′ yyy d) 023 =′+′′−′′′ yyy

4) Mostre que ( )[ ] 21

2 −+= cxy , onde c é uma constante arbitrária, é solução da equação

diferencial 03 =+′ yy . Encontre a solução que satisfaz a condição inicial ( ) 21 =y

5) Verifique que ( ) 2122 4xcy −= e ( ) 2

122 4xcy −−= são soluções da equação diferencial

yxy 4−

=′ . Ache a solução particular passando pelo ponto (0, 4) e a solução particular passando

pelo ponto (1, -1).

Respostas

1. a) 2ª ordem, linear b) 2ª ordem, não-linear c) 4ª ordem, linear d)1ª ordem, não linear e) 2ª ordem, não linear f) 3ª ordem, linear

g)1ª ordem, linear h) 1ª ordem, não linear 3. a) r = -2 b)r = ±1 c) r=2, -3 d) r=0, 1 ou 2

4) 2

1

872

−= xy

5) (0, 4) ⇒ ( ) 212416 xy −= (1, -1) ⇒ ( ) 2

1245 xy −−=

Page 15: Mode La Gem

15

3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

As equações diferenciais de primeira ordem têm a forma:

12 ( )yxfy ,'= (12)

onde f é uma função de duas variáveis x e y. Qualquer função y=φ(x), que, juntamente com sua

derivada y’ satisfaça a equação anterior será uma solução da equação diferencial. O objetivo aqui

é determinar se estas funções existem e de que forma podem ser encontradas.

O exemplo mais simples de equação diferencial de primeira ordem ocorre quando f

depende apenas de x, ou seja:

( )xfy ='

O que se está procurando é uma função y=φ(x) cuja derivada seja a função dada. Assim, a

função φ(x) é uma antiderivada (ou integral) de f(x):

( ) ( ) cdttfxyx

+== ∫φ

onde c é uma constante arbitrária. Por exemplo:

( ) cxxyxy +−==⇒= 2cos212sin' φ

Duas características das equações diferenciais de primeira ordem são evidenciadas com

este exemplo: (1) é necessário um único processo de integração para eliminar a derivada de y e

obter o próprio y, e (2) o processo de integração leva a uma expressão para a solução que

envolve uma constante arbitrária (c).

Este exemplo simples de equação diferencial tem uma solução simples e direta, porém

isso não se aplica a todas as equações diferenciais de primeira ordem. Na verdade, não existe um

método geral para encontrar soluções para todas as equações do tipo ( )yxfy ,'= .

A importância da questão da existência e unicidade de um problema de valor inicial já foi

apresentada anteriormente. Quando um problema de valor inicial (a equação diferencial junto

com as condições iniciais) representa um modelo de fenômeno real, é fundamental que a solução

deste problema existe e, além disso, ela seja única. O seguinte teorema estabelece as condições

nas quais um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de primeira ordem

terá sempre uma e somente uma solução

Teorema 1

Se as funções p e g são contínuas num intervalo aberto α < x < β contendo o ponto x=x0,

então existe uma única função y=φ(x) que satisfaz a equação diferencial

( ) ( )xgyxpy =+'

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16

para α<x<β, e que também satisfaz a condição inicial y(x0)=y0, onde y0 é um valor inicial

arbitrário prefixado.

A prova deste teorema pode ser encontrada em livros de equações diferenciais, e não será

apresentada neste texto.

É importante lembrar que este teorema vale apenas para equações diferenciais de

primeira ordem lineares. O caso mais geral de problemas de valor inicial, que envolvem também

as equações diferenciais de primeira ordem não lineares, também tem um teorema que garante

em que condições a solução existirá e será única.

Teorema 2

Sejam as funções f e yf ∂∂ / contínuas em algum retângulo α<x<β, γ<y<δ, contendo o

ponto (x0, y0). Então, em algum intervalo x0-h< x <x0+h, contido em α<x<β, existe uma solução

única y=φ(x) do problema de valor inicial y’=f(x,y), y(x0)=y0.

Estas condições são suficientes para garantir a existência de uma solução única para este

problema, mas o valor de h pode ser difícil de determinar. Além disso, mesmo que f não

satisfaça as condições acima, ainda é possível que exista uma solução única.

A representação ( )yxfy ,'= é chamada de forma normal de representação de uma

equação diferencial. Uma outra maneira de representar esta equação é na sua forma diferencial

13 ( ) ( ) 0,, =+dxdyyxNyxM (13)

Sempre é possível fazer isso, fazendo M(x,y) = -f(x,y) e N(x,y) = 1 (poderão existir

também outras formas de fazê-lo).

3.1 EDO1 Separáveis

Quando uma EDO1 é escrita na forma diferencial (eq. 13), se M for apenas uma função

de x e N apenas uma função de y, então a equação 13 fica

14 ( ) ( ) 0=+dxdyyNxM (14)

Por exemplo, a equação

2

2

1'

yx

dxdyy

+==

pode ser escrita

( ) 012 =++−dxdyyx

Page 17: Mode La Gem

17

Uma equação que possa ser escrita na forma 14 é dita ser separável, e a razão para esta

denominação fica clara quando ela é reescrita na forma

15 ( ) ( )dyyNdxxM −= (15)

Uma equação diferencial com esta forma pode ser resolvida da seguinte forma. Sejam

duas funções H1(x) e H2(y) tais que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yNdy

ydHyHxMdx

xdHxH ==== 22

11 ''

A equação 14 pode ser então reescrita

16 ( ) ( ) 0'' 21 =+dxdyyHxH (16)

Se y=φ(x), pela regra da cadeia, tem-se que o segundo termo da equação fica

( ) ( )[ ] ( )( )xHdxdyH

dxd

dxdyyH φ222' ==

Agora, se y=φ(x) for uma solução da equação diferencial 14, então a eq. 16 torna-se

( ) ( )[ ] 0' 21 =+ xHdxdxH φ

ou

17 ( ) ( )[ ]{ } 021 =+ xHxHdxd

φ (17)

Integrando a eq. 17, tem-se

18 ( ) ( )[ ] ( ) [ ] cyHxHcxHxH =+⇒=+ 2121 φ (18)

onde c é uma constante arbitrária e a equação 18 é uma solução da equação diferencial 14 na

forma implícita, onde H1 e H2 são quaisquer antiderivadas de M e N, respectivamente. Estas

antiderivadas são obtidas pela integração do primeiro termo da eq. 15 em relação a x e do

segundo membro em relação a y:

( ) ( ) cdyyNdxxM =+ ∫∫ Os passos acima justificam este procedimento. Esta é a solução para a equação

diferencial. Se for fixada uma condição inicial do tipo y(x0)=y0, o problema passa a ser um

problema de valor inicial, e a constante c será definida substituindo-se x=x0 e y=y0 na equação

18

( ) ( )0201 yHxHc += Se este valor de c for substituído na eq. 18, observando-se que

( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( )∫∫ =−=−y

y

x

xdttNyHyHdttMxHxH

00022011

Page 18: Mode La Gem

18

resulta

19 ( ) ( ) 000

=+ ∫∫y

y

x

xdyyNdttM (19)

Esta equação representa a forma implícita da solução da equação diferencial 14. Em

muitos casos, colocar a solução da equação na forma explícita pode ser extremamente difícil. Em

conseqüência disso, em alguns casos, pode ser difícil determinar o intervalo no qual a solução

existe.

Exemplos 1. Solucionar o problema de valor inicial

( ) ( ) 10,12

243 2

−=−

++= yy

xxdxdy

Esta equação diferencial pode ser reescrita na forma

( ) ( )dyydxxx 12243 2 −=++ Integrando o primeiro termo em relação a x e o segundo em relação a y resulta

yycxxx 222 223 −=+++ Para encontrar a constante c, substitui-se y = -1 e x = 0 neste resultado de onde sai que c

= 3, e a equação fica

3222 232 +++=− xxxyy

e esta é uma solução da equação diferencial na forma implícita. Para obter-se a solução na forma

explícita, é necessário resolver colocar a função na forma y=φ(x). Neste caso, é possível escrever

a função como uma equação quadrática em y:

( ) ( )

[ ]2

422222

3221422

32244203222

2323

23232

+++±=

++++±=

++++±=⇒=+++−−

xxxxxxy

xxxyxxxyy

4221 23 +++±= xxxy

O resultado acima apresenta duas soluções para a equação diferencial, porém apenas uma

delas atende à condição inicial y(0) = -1:

4221 23 +++−= xxxy Resta, ainda, avaliar para que valores de x para os quais a solução é válida. Neste caso, é

necessário que o valor dentro da raiz seja positivo. Traçando o gráfico da função, é possível ver

que isso é válido para x > -2.

Page 19: Mode La Gem

19

2. Solucionar o problema de valor inicial

221cos

yxy

dxdy

+= , y(0) = 1

Reescrevendo a equação:

xdxdyy

y cos21 2

=+

resulta que ela é separável. Integrando o lado esquerdo em relação a y e o direito em relação a x

( ) ( ) ( )( ) 1sinln

10sin11ln10sinln

sin21

cos21

2

22

2

+=+

=⇒+=+⇒=⇒+=+

+=

+

=+

∫∫

xyyccycxyy

cxdyyy

xdxdyy

y

Não é possível colocar esta solução na forma explícita, o que dificulta a análise sobre o

domínio no qual a solução é válida.

Exercícios – lista 2

1. Resolva as equações diferenciais a seguir

a) yx

dxdy 2

= b) ( )3

2

1 xyx

dxdy

+=

c) 0sin2 =+′ xyy d) ( )( )yxy 2coscos 22=′

2. Para cada um dos problemas a seguir, ache a solução do problema de valor inicial na

forma explicita.

a) ( ) ( ) ( )3

03cos2sin 2π

π ==+ ydyydxx

b) ( ) 100 ==+ − ydyyedxx x

c) ( ) 20 == rrddrθ

Respostas

1. a) cxy =− 32 23 b) cxy =+− 32 1ln23

c) cxy =+− cos1 d) ( ) cxxy =−− 2sin22tan2

2. a) ( )xy 2cos3arcsin31

= b) ( )[ ] 21

112 −−= xexy c) θer 2=

Page 20: Mode La Gem

20

3.2 . EDO1 Exatas

Uma equação diferencial de primeira ordem que tem a forma 13, ou seja

( ) ( ) 0,, =+dxdyyxNyxM

será chamada uma equação exata se existe uma função g(x,y) tal que

( ) ( ) ( )dyyxNdxyxMdx

yxdg ,,,+=

Para que esta função g(x,y) exista, ou seja, para que a equação 13 seja exata, as funções

M(x,y) e N(x,y) devem ser funções contínuas em um retângulo (domínio) do plano xy, e devem

ser tais que

20 ( ) ( )x

yxNy

yxM∂

∂=

∂∂ ,, (20)

Se uma equação diferencial for exata, para que se encontre a sua solução, é necessário

resolver as equações

21 ( ) ),(, yxMx

yxg=

∂∂ (21)

22 ( ) ),(, yxNy

yxg=

∂∂ (22)

para g(x,y). A solução da equação 13 será dada implicitamente por

( ) Cyxg =, onde C é uma constante arbitrária. Considere, por exemplo, a equação diferencial

23 ( ) 012 2 =++ dyxdxxy (23)

Nesta equação, M(x,y) = 2xy e N(x,y) = (1+x2). A equação é exata, pois

( ) ( ) xx

yxNy

yxM 2,,=

∂∂

=∂

e, por tanto, para encontrar a sua solução, é necessário encontrar g(x,y). Pela equação 21, tem-se

( ) xyyxMx

yxg 2),(,==

∂∂

de onde tira-se que

( ) ( )

( ) ( )yhyxyxg

dxxydxx

yxgyxg

+=

=∂

∂= ∫∫

2,

2,,

É importante lembrar que h(y), que é a constante que aparece na integração é constante

em relação a x, mas não necessariamente em relação a y. Para que se determine a solução da

Page 21: Mode La Gem

21

equação diferencial 23, é necessário determinar h(y). Para isso, utiliza-se a equação 22. Em

primeiro lugar, nota-se que

( ) ( )( ) ( )yhxyhyxy

yxNy

yxg '),(, 22 +=+∂∂

==∂

Foi determinado no início do problema que N(x,y) = 1+x2. Por tanto, concluí-se que

( ) ( ) ( ) 122 1''1),( cyyhyhyhxxyxN +=⇒=⇒+=+=

Resulta que

( ) 12, cyyxyxg ++=

Sabe-se que a solução da equação diferencial proposta é

( ) ( )1222

12, ccccyyxccyyxcyxg −==+⇒=++⇒=

Assim

22 cyyx =+

é a solução da equação diferencial 23 na forma implícita. Ela pode ser colocada na forma

explicita em relação a y, resultando em

122

+=

xcy

Exercícios – lista 3

1. Determine se cada uma das equações nos problemas 1 a 12 é ou não exata. Se for

exata, encontre a solução.

a) ( ) ( ) 02232 =′−++ yyx b) ( ) ( ) 0419 2 =′−−−+ yxyyx

c) cybxbyax

dxdy

++

= d) ( ) ( ) 0cos2cossin2sin =++− dyxyedxxyye xx

e) ( ) ( ) 032cos22sin22cos =−++− dyxxedxxxexye xyxyxy

f) ( ) ( ) 0,0,0lnln >>=+++ yxdyxyxydxxyyx

2. Ache o valor de b que torna cada uma das seguintes equações exatas e então resolva a

equação utilizando este valor para b.

a) ( ) ( ) 0222 =+++ dyxyxdxybxxy

b) ( ) 022 =++ dybxedxxye xyxy

Respostas

1. a) cyyxx =−++ 23 22 b) cyxxyx =−−+ 23 23 c) kcybxyax =++ 22 2 d) cxyye x =+ cos2sin e) cyxxe xy =−+ 32cos 2 f) não exata

2. a) cyxyxb =+= 322 23 b) cxeb xy =+= 22,1

Page 22: Mode La Gem

22

3.3 Fatores integrantes

É importante lembrar que o método, como colocado até agora, só permite resolver

equações diferenciais de primeira ordem (EDO1) exatas. Este é um caso muito específico, e em

geral uma equação com a forma

24 ( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM (24)

não é exata (note que esta equação é exatamente igual a equação 11, porém escrita de outra

forma). Muitas vezes, porém, é possível transformá-la em uma equação exata multiplicando-a

por um fator adequado µ(x,y). Assim, se a equação

25 ( ) ( ) ( )[ ] 0,,, =+ dyyxNdxyxMyxµ (25)

é exata, então µ(x,y) é um fator integrante da equação 24. Assim, se for encontrado um fator

integrante de uma equação diferencial não exata, é possível encontrar transformá-la em uma

equação exata e encontrar a sua solução com o mesmo método apresentado para equações exatas.

A aplicabilidade deste método depende, no entanto, de se encontrar, para casos gerais, o

fator integrante da equação diferencial. Isso, infelizmente, é muito difícil, e geralmente a

identificação do fator integrante depende da habilidade do calculista. Existem tabelas com casos

conhecidos que podem ajudar.

Um caso em que é simples encontrar um fator integrante é quando µ é uma função apenas

de x ou de y, e não de ambas. Considerando o caso em que µ é uma função só de x, pode-se

fazer:

( )

( )dxdNNN

MM

xx

yy

µµµ

µµ

+=

=

Se µ é um fator integrante, (µM)y=(µN)x, e resulta

NNM

dxd

dxdNNM xy

xy

−=⇒+= µ

µµµµ

Se N

NM xy − for função apenas de x, então existe um fator integrante µ que depende

apenas de x, e que pode ser encontrado resolvendo a EDO1 linear

NNM

dxd xy −

= µµ

O mesmo procedimento pode ser feito para encontrar um fator integrante que depende

apenas de y.

Page 23: Mode La Gem

23

Exercícios – lista 4

1. Mostre que as equações a seguir não são exatas, mas se tornam exatas quando

multiplicadas pelo fator integrante dado. Resolva então as equações.

a) ( ) 3232 101

xyyyxyx ==′++ µ b) ( ) ydyyexydx y ==++ µ02

2. Em cada um dos problemas a seguir, ache o fator integrante e resolva a equação dada.

a) ( ) ( ) 023 2232 =++++ dyyxdxyxyyx b) 12 −+=′ yey x

c) ( ) 02 2 =−+ − dyexyydx y d) 03632

=

++

+

dxdy

xy

yx

yx

Respostas

1. a) cyyx =−+ −22 ln2 b) ( ) ceyyxy y =+−− 2222

2. a) ( ) ( ) ceyyxex xx =+= 3323 3;µ b) ( ) xxx eceyex 21; ++== −µ

c) ( ) cyxey

ey yy

=−= ln; 22

µ d) não existe ( )xµ ou ( )yµ

Page 24: Mode La Gem

24

4. EDO II LINEARES COM COEFICIENTES CONSTANTES

Uma EDOII é uma equação com a seguinte forma geral

26 ( ) 0'',',, =yyyxF (26)

A teoria geral para solução de equações diferencias deste tipo é bastante complicada.

Serão discutidas a seguir a solução de alguns casos específicos, úteis em aplicações de

engenharia. Em primeiro lugar, serão feitas algumas considerações sobre o caso particular em

que é possível resolver a equação 26 para y’’, ou seja

( )',,'' yyxfy = Para resolver esta equação, ou seja, encontrar uma y=φ(x) que satisfaça a igualdade, serão

necessárias duas integrações. Em conseqüência disso, vão aparecer duas constantes arbitrárias.

No exemplo simples

( )xgy ='' a solução é encontrara integrando a função g(x) duas vezes. Na primeira integração, resulta

( ) ( )∫∫ +==tt

dxsgcdxsgy 1'

Integrando novamente:

( ) ( ) dtdxsgxccdtdxsgcyx tx t∫ ∫∫ ∫

++=

+= 121

Em um problema de valor inicial, para que se determine o valor das constantes c1 e c2, é

necessário estabelecer duas condições iniciais, como o valor de y0 e y’0 em um ponto x0.

Considerando agora o caso particular em que a EDOII é linear, ela terá a forma

27 ( ) ( ) ( ) ( )xGyxRdxdyxQ

dxydxP =++2

2

(27)

Assumindo P, Q, R e G contínuas em α < x < β, e que P nunca se anule neste intervalo,

pode-se dividir todos os termos da equação por P(x), resultando

28 ( ) ( ) ( )xgyxqdxdyxp

dxyd

=++2

2

(28)

O teorema a seguir, que não será demonstrado, garante a existência e a unicidade da

solução desta equação.

Teorema

Se as funções p, q e g são contínuas em um intervalo aberto α < x < β, então existe uma

e somente uma função y=φ(x) que satisfaz a equação 28 em todo o intervalo α < x < β, com as

condições inicias pré-fixadas y(x0) = y0 e y’(x0) = y’0, em um ponto particular do intervalo.

Page 25: Mode La Gem

25

Exemplo Resolver o PVI

( ) ( ) 10',000" ===+ yyyy A solução deste problema é uma função cuja segunda derivada seja igual a própria

função, porém com o sinal invertido. Exemplos de funções com este comportamento são sen(x) e

cos(x). Porém, apenas a função y = sen(x) satisfaz as condições iniciais:

( ) ( ) ( ) 10cos)0(',00sin00sinsin"

sin"cos'sin

=====−=+

−===

yyxxyy

xyxyxy

Para encontrar a solução da EDOII com a forma apresentada na equação 28, será

necessário resolver a equação homogênea correspondente

29 ( ) ( ) 02

2

=++ yxqdxdyxp

dxyd (29)

onde g(x) foi substituído por zero (0). Uma vez encontrada a solução deste problema, a solução

do problema original não homogêneo poderá ser encontrada com um método geral, que será

visto mais adiante.

4.1 EDOII Homogêneas com coeficientes constantes

Uma caso particular da equação 29, que encontra importantes aplicações em engenharia,

e cuja solução é relativamente simples, é quando os coeficientes da equação são constantes, ou

seja, o caso de uma equação diferencial com a forma

30 02

2

=++ cydxdyb

dxyda (30)

onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. É interessante notar que, como a, b e c são constantes, o

teorema da existência e unicidade estará automaticamente satisfeito para -∞< x ∞.

Por observação, pode-se prever que a solução desta equação deverá ser uma função

y=φ(x) que difira de sua primeira derivada y’ e de sua segunda derivada y” apenas por fatores

multiplicativos constantes. Um caso bem conhecido deste tipo de comportamento é a função rxey =

onde r é um valor que deverá ser determinado. Substituindo esta solução na equação 30, obtém-

se

( ) ( ) ( ) 0'" =++ rxrxrx ecebea

Page 26: Mode La Gem

26

Observando que

( ) ( ) rxrxrxrx eredxdree

dxd 2

2

2

==

resulta

( ) ( ) ( ) ( ) 00 22 =++⇒=++ cbrareecebrear rxrxrxrx

Como erx não é zero, tem-se então que

31 02 =++ cbrar (31)

A equação algébrica acima é conhecida como a equação característica da equação 30.

Lembrando que a, b e c são os coeficientes da equação e r é a parte ainda desconhecida da

solução, resulta que será necessário resolver a equação 31 para r:

aacbbr

242 −±−

=

Esta fórmula levará, em geral, a dois valores de r. Em conseqüência do termo acb 42 − ,

existem três possibilidades para estes valores:

1. r1≠r2, ambos reais ( 042 >− acb ).

Neste caso, a solução da equação diferencial 30 será

32 xrxr ececy 2121 += (32)

onde c1 e c2 deverão ser determinados pelas condições iniciais do problema.

2. r1=r2(=r), real ( 042 =− acb ).

Neste caso, a solução da equação diferencial 30 será

33 rxrx xececy 21 += (33)

e c1 e c2 também serão determinados pelas condições iniciais do problema.

3. r1 ≠r2, complexos ( 042 <− acb ).

Quando 042 <− acb , os valores de r1 e r2 serão da forma λ±iµ (número complexo), e a

solução terá a forma ( )xie µλ± (exponencial complexa). As funções exponenciais complexas têm

uma relação conhecida com as funções trigonométricas seno e co-seno:

( ) ( )( ) ( )xixe

xixeix

ix

sincossincos

−=

+=−

Page 27: Mode La Gem

27

Esta relação é conhecida como a fórmula de Euler. A partir destas relações, pode-se

demonstrar que a solução da equação diferencial, para este caso, fica:

34 xecxecy xx µµ λλ sincos 21 += (34)

Nos resultados dos três casos apresentados acima, não foram apresentadas as provas

correspondentes, que demonstram serem estas as soluções únicas da equação diferencial em cada

caso. O aluno interessado na prova deverá buscar na bibliografia adequada.

Exercícios – lista 5

1. Nos problemas a seguir, determine a solução geral da equação. Se forem dadas as

condições iniciais encontre a solução que satisfaz a condição inicial.

a) 032 =−′+′′ yyy b) 06 =−′−′′ yyy c) 0=−′′ yy

d) 02 =+′−′′ yyy e) 05 =′+′′ yy f) 022 =−′−′′ yyy

g) ( ) ( ) 10,1002 =′==−′+′′ yyyyy

h) ( ) ( ) 01,11098 =′==−′+′′ yyyyy

i) 022 =+′−′′ yyy j) 062 =+′−′′ yyy k) 0136 =+′+′′ yyy

l) ( ) ( ) 10,0004 =′==+′′ yyyy

Respostas

a) xx ececy 321

−+= b) 3221

xx ececy −

+= c) xx ececy −+= 21

d) xx xececy 21 += e) xeccy 521

−+= f) ( ) ( )xx ececy 312

311

−+ +=

g) xey = h) ( ) 119

109

101 −−− += xx eey i) xecxecy xx sincos 21 +=

j) xecxecy xx 5sin5cos 21 += k) ( )xcxcey x 2sin2cos 213 += −

l) xy 2sin21

=

4.2 . EDOII lineares com coeficientes não homogêneas

Neste ponto, é importante lembrar que a solução obtida nos três casos acima refere-se ao

problema homogêneo com coeficientes constantes, representado pela equação 30. Será

necessário, agora, apresentar um método para encontrar a solução geral do problema não

homogêneo correspondente

35 ( )xgcydxdyb

dxyda =++2

2

(35)

O teorema a seguir vale para este caso, e também é válido para o caso mais geral do

problema não homogêneo, em que os coeficientes não são constantes, representado pela equação

Page 28: Mode La Gem

28

27 ou pela equação 28. Para este caso, porém, ainda não foi apresentado um método de se

encontrar a solução do problema homogêneo.

Teorema

Dada uma solução yp da equação diferencial linear não homogênea

( ) ( ) ( )xgyxqdxdyxp

dxyd

=++2

2

qualquer solução y=φ(x) desta equação pode então ser expressa como

( ) ( ) ( ) ( )xycxycxyx p 2211 ++=φ

onde y1 e y2 são soluções linearmente independentes da equação homogênea correspondente

( ) ( ) 02

2

=++ yxqdxdyxp

dxyd

A solução yp é chamada solução particular da equação diferencial não homogênea.

Voltando agora ao caso da equação com coeficientes constantes 35, para a qual já é

possível determinar a solução da equação homogênea correspondente. O método dos coeficientes

indeterminados permite encontrar a solução particular yp da equação diferencial 35, nos casos em

que o termo não homogêneo g(x) é uma função exponencial (eαx), polinomial (anxn+...+a0) ou de

caráter senoidal (sen (βx) ou cos(βx)), ou um produto em que os termos tem as formas

mencionadas acima, tal como

( ) ( )

++=xx

axaexg nn

x

ββα

sincos

... 0

Serão estudados três casos de termos não homogêneos g(x) formados por combinações

dos tipos de função citados acima. Em cada caso, a solução particular será procurada com um

determinado formato. O primeiro é o caso de um termo não homogêneo na forma de um

polinômio com grau n

( ) 01

1 ... axaxaxg nn

nn +++= −

Neste caso, a solução particular yp deve ser procurada com a forma

01

1 ... AxAxAy nn

nnp +++= −

e as constantes Ai devem ser determinadas substituindo a solução na equação diferencial. O

segundo caso é o de termos não homogêneos formados pela combinação

( ) ( )01

1 ... axaxaexg nn

nn

x +++= −−

α

A solução particular yp neste caso deverá ter a forma

( )01

1 ... AxAxAey nn

nn

xp +++= −

−α

Page 29: Mode La Gem

29

e as constantes Ai devem ser procuradas substituindo-se esta solução na equação diferencial. É

útil lembrar que o coeficiente α na exponencial da solução particular yp é o mesmo do termo não

homogêneo g(x), e por tanto é conhecido (um dado do problema), e não é necessário determiná-

lo.

O terceiro tipo de termo não homogêneo estudado terá a forma

( ) ( )

+++= −

xou

xxaxaxaexg n

nn

nx

β

βα

cos

sin... 0

11

Para este caso, a solução particular yp deverá ter a forma

( ) ( )[ ]xeBxBxBxeAxAxAy xnn

nn

xnn

nnp ββ αα sin...cos... 0

110

11 +++++++= −

−−

e as constantes An e Bn são encontradas substituindo esta solução na equação diferencial. Um vez

mais, é útil observar que os coeficientes α e β que aparecem na solução particular yp são os

mesmos do termo não homogêneo e, por tanto, já são conhecidos.

Duas observações devem ser feitas neste ponto. A primeira permite ampliar os casos que

podem ser solucionados com o procedimento apresentado acima. Quando o termo não

homogêneo g(x) da equação diferencial for uma soma envolvendo os tipos de função

apresentados acima

( ) ( ) ( )xgxgxg 21 +=

onde g1(x) e g2(x) tem a forma de algum dos três casos apresentados anteriormente, de maneira

que a equação diferencial terá a forma

( ) ( )xgxgcbyay 21'" +=++

então podem ser obtidas duas soluções particulares separadamente yp1 e yp2, fazendo

( )xgcbyay 1'" =++

( )xgcbyay 2'" =++

e a solução particular yp da equação diferencial original será a soma das duas soluções

particulares encontradas

21 ppp yyy +=

A segunda observação permite corrigir uma falha do método que pode acontecer em

alguns casos. Se algum termo da solução particular procurada yp resultar igual a uma solução da

equação homogênea correspondente, será necessário multiplicar yp por xs, onde s = 1 ou 2 (o que

for necessário para garantir que nenhum termo da solução particular yp seja uma solução da

equação homogênea) antes de determinar os coeficientes Ai.

Page 30: Mode La Gem

30

O quadro a seguir resume as possibilidades de formato da solução particular yp em função

da forma do termo não homogêneo da equação diferencial.

g(x) yp(x) ( ) 0

11 ... axaxaxp n

nn

nn +++= −− ( )0

11 ... AxAxAx n

nn

ns +++ −

− ( ) x

n exp α ( ) xnn

nn

s eAxAxAx α0

11 ...+++ −

( )

xx

exp xn β

βα

cossin

( )

( ) ]sin...cos...[

01

1

01

1

xeBxBxBxeAxAxAx

xnn

nn

xnn

nn

s

β

βα

α

+++

++++−

−−

Exercícios – Lista 6

1. Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais. Quando as condições iniciais

forem informadas, ache a solução que satisfaça às condições iniciais dadas.

a) ( ) ( ) 10',0022 ===−′+′′ yyxyyy

b) ( ) ( ) 20',0034 2 ==+=+′′ yyexyy x

c) 69 32 +=+′′ xexyy d) xxyyy sin332 2 +=+′+′′

e) xeyyy x cos2 =+′+′′ f) tuu 02

0 cosωω =+′′

Respostas

a) 21

21 2 −−−= − xeey xx b) xexxxy

53

81

412cos

40192sin

107 2 −−+−=

c) 32

91

32

1813sin3cos 32

21 +

+−++= xexxxcxcy

d) ( ) xxxxececy xx cos109sin

1031462

212 −−+−++=

−−

e) ( )xxexececy xxx cos3sin4251

21 +++= −−

f) tttctcu 00

0201 sin2

1sincos ωω

ωω ++=

Page 31: Mode La Gem

31

5. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES

O método apresentado anteriormente para resolver equações diferenciais de segunda

ordem permite resolver apenas o caso particular de equações com coeficientes constantes.

Existem muitas aplicações importantes que exigem solucionar equações lineares de coeficientes

variáveis de segunda ordem ou de ordem ainda maior, para as quais o método apresentado não

pode ser aplicado.

Equações diferenciais ordinárias lineares de ordem superior (maior do que 1) com

coeficientes variáveis não podem ser resolvidas em termos de funções elementares. Uma maneira

de encontrar a solução destas equações é supor que exista uma solução na forma de uma série

infinita e proceder de forma semelhante ao método dos coeficientes indeterminados para

determinar a solução. Dos tipos de séries infinitas existentes, a mais utilizada para solucionar as

equações diferenciais em questão são as séries de potência. Uma breve revisão deste tipo de série

será apresentada a seguir.

Uma série de potência em x - a, ou uma série de potências centrada em a, é uma série

infinita da forma

( ) ( ) ( )∑∞

=

−=+−+−+0

2210 ...

n

nn axcaxcaxcc

Um caso de grande interesse na solução de equações diferenciais é o de séries de potência

centradas em a = 0. Uma série de potências converge num ponto x se o

( )∑=

∞→−

m

n

nnm

axc0

lim

existe, ou seja, a soma converge para um número finito e bem definido. Uma série sempre

converge em x = a; ela pode convergir para qualquer valor de x ou apenas para uma certa faixa

de valores de x. O conjunto de todos os valores de x para os quais a série converge é chamado de

intervalo de convergência. Toda a série de potências tem um raio de convergência. Se a série

converge apenas em x = a, o raio de convergência é R = 0. Se o raio de convergência é R > 0,

então a série converge para |x - a| < R e diverge para |x - a| > R. Uma série que converge para

todo o x tem raio de convergência R = ∞. Nos extremos do intervalo de convergência (|x - a| =

R), a série pode ou não convergir.

Dentro do seu intervalo de convergência, uma série de potências converge absolutamente,

ou seja, se a série de valores absolutos

( )∑∞

=

−0n

nn axc

Page 32: Mode La Gem

32

converge então a série de potências

( )∑∞

=

−0n

nn axc

também converge. Este resultado é importante por que é utilizado em uma das formas mais

freqüentes de se determinar a convergência de uma série: o teste da razão. Supondo que cn ≠ 0

para todo o n, e que

( )( )

Lc

caxaxcaxc

n

n

nnn

nn

n=−=

−− +

∞→

++

∞→

11

1 limlim

Se L < 1, a série converge absolutamente. Se L > 1, a série diverge. Se L=1, o teste é

inconclusivo. Por exemplo, para testar a convergência da série de potências

( ) ( )∑∞

=

+ −−0

1 21n

nn xn

aplica-se o teste da razão

( ) ( )( )( ) ( )

21lim221

211lim 1

12

−=+

−=−−

−+−∞→+

++

∞→x

nnx

xnxn

nnn

nn

n

Pela condição apresentada pelo teste, para |x - 2| < 1, ou seja, para 1 < x <3, a série

converge. Para |x - 2| > 1 a série diverge, e para x = 1 e x = 3 o teste não é conclusivo. O raio de

convergência da série é igual a 1.

Uma série de potências define uma função ( ) ( )∑∞

=

−=0n

nn axcxf ,cujo domínio é o

intervalo de convergência. Se o raio de convergência for R > 0, então a função f será contínua

diferenciável e integrável no intervalo (a - R, a + R). Em uma série de potências centrada em a =

0, ( ) ( )∑∞

=

==0n

nn xcxfy , as duas primeiras derivadas serão

( )∑∞

=

−=0

1'n

nn xncy ( )( )∑

=

−−=0

21"n

nn xnncy

O primeiro termo da primeira derivada e os dois primeiros termos da segunda derivada

são nulos. Estes termos nulos podem ser omitidos e as derivadas podem ser reescritas

( )∑∞

=

−=1

1'n

nn xncy ( )( )∑

=

−−=2

21"n

nn xnncy

Uma série de potências ( ) 00

=−∑∞

=n

nn axc para todo o número x no intervalo de

convergência R > 0, então cn = 0 para todo o n (série de potências identicamente nula).

Page 33: Mode La Gem

33

Uma série de potências cujos coeficientes cn tem a forma ( ) ( )

!nafc

n

n =

é chamada de série de Taylor. Uma série de Taylor centrada em a = 0 é chamada de série de

McLaurin. Muitas funções podem ser representadas por uma série de Taylor. Exemplos disso são

!6!4!21cos

!7!5!3sin

!3!2!11

642

753

32

xxxx

xxxxx

xxxe x

−+−=

++−=

+++=

Finalmente, mais um conceito importante em aplicações de séries para solução de

equações diferenciais é o de analiticidade de um ponto. Uma função f(x) é analítica em um ponto

x = a se pode ser representada por uma série de potências em (x-a) com raio de convergência

positivo ou infinito. As funções mostradas acima (ex, sen(x) e cos(x)) podem ser representadas

em com uma série de Taylor centrada em zero (ou série de McLaurin), e assim são analíticas no

ponto x = a = 0.

Outro assunto que será importante para a utilização de séries em solução de equações

diferenciais é a possibilidade de se realizar operações aritméticas com as séries de potência. As

séries de potência podem ser combinadas com operações como adição, multiplicação e divisão.

Os procedimentos são similares aos utilizados para somar, multiplicar e dividir dois polinômios,

isto é, somar os coeficientes das potências iguais, usar a propriedade distributiva, agrupar termos

de mesma potência de x e efetuar divisão. Por exemplo:

...303

...61

61

21

61

!7!5!3!3!2!11sin

532

43275332

+−++=

=+

+−+

+−++=

++−

+++=⋅

xxxx

xxxxxxxxxxxxe x

Como as séries ex e sen(x) convergem para |x|<∞, o produto das séries também converge

para o mesmo intervalo. A operação mais utilizada para solucionar equações diferencias com

séries é a soma de séries de potência. Para realizar esta operação, muitas vezes, é necessário

ajustar a série para sincronizar o índice do somatório e as potências de x. Por exemplo, para

realizar a soma

( ) ∑∑∞

=

+∞

=

− +−0

1

2

21n

nn

n

nn xcxnnc

Page 34: Mode La Gem

34

é necessário que o índice de ambos os somatórios comece com o mesmo número e que as

potências de x comecem iguais (estejam em fase). No exemplo, uma das séries começa com x0 e

a outra com x1. É possível tirar o primeiro termo da série que começa com x0 do somatório,

resultando

( ) ∑∑∞

=

+∞

=

− +−+0

1

3

22 12

n

nn

n

nn xcxnncc

e fazendo com que as duas séries comecem com x1. Falta ainda fazer com que o índice do

somatório seja o mesmo nas duas séries. Isto pode ser feito da seguinte forma: em uma das

séries, a potência de x é n-2 (xn-2). Nesta série, todos n devem ser substituídos por n+2. Na outra

série, a potência de x é n+1. Nela, todos os n deve ser substituídos por n-1. Este procedimento

resultará em

( )( ) ∑∑∞

=−

=+ ++++

11

122 122

n

nn

n

nn xcxnncc

Com este procedimento, ambas as séries começam com n=2 e com a mesma potência de

x (xn). A soma pode então ser realizada, resultando

( )( ) ( )( )[ ]∑∑∑∞

=−+

=−

=+ ++++=++++

1122

11

122 122122

n

nnn

n

nn

n

nn xcnnccxcxnncc

Exercícios – Lista 7

1. Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries seguintes

a) ( )∑∞

=

−0

3n

nx b) ∑∞

=0

2

!n

n

nx c) ( )∑

=

+

02

12n

n

nx

2. Reescreva a expressão dada como uma única série de potências

a) ∑∑∞

=

+∞

=

− +1

1

1

1 62n

nn

n

nn xcxnc b) ( ) ( ) ∑∑∑

=

=

−∞

=

+−+−11

2

23121

n

nn

n

nn

n

nn xncxcnnxcnn

Resposta

1. a) 42,1 <<= xR b) ∞=R c) 01,21

<<−= xR

2. a) ( )[ ]∑∞

=−+ +++

1111 6122

n

nnn xccnc

b) ( ) ( )( )[ ]∑∞

=+ ++++−+++

22321 121223

n

nnnn xnccnnncnnxccxc

Page 35: Mode La Gem

35

6. SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM SÉRIES DE

POTÊNCIA

Será mostrado a seguir como resolver uma equação diferencial ordinária homogênea de

segunda ordem com coeficientes variáveis

36 ( ) ( ) ( ) 0'" 012 =++ yxayxayxa (36)

utilizando séries de potência. Em primeiro lugar, a equação 36 deverá ser dividida por a2(x),

resultando

37 ( ) ( ) 0'" =++ yxQyxPy (37)

onde

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )xaxaxQe

xaxaxP

2

0

2

1 ==

Colocar a equação nesta forma é necessário para verificar os pontos ordinários e

secundários da equação. Um ponto x0 será ordinário da equação 37 se tanto P(x) quanto Q(x)

forem analíticas em x = x0. Quando um ponto não é ordinário, será um ponto singular da

equação. Por exemplo, na equação

0)(sin'" =++ yxyey x

todo o valor finito de x é um ponto ordinário (ex e sen(x) são analíticas em qualquer valor finito

de x). Já na equação

0)(ln'" =++ yxyey x

o ponto x=0 é um ponto singular, pois a função ln(x) é descontínua e, por tanto, não é analítica

neste ponto.

Uma caso de particular interesse é quando os coeficientes da equação 36 a2(x), a1(x) e

a0(x) são polinômios. Um polinômio é analítico em qualquer valor de x, Uma função racional

(razão de polinômios) será analítica, a não ser nos pontos em que o seu denominador se anula.

Em conseqüência, a equação 37 será analítica em todos os pontos, exceto naqueles onde a2(x)=0.

Desta forma, x=x0 será um ponto ordinário da equação, se a2(x0)≠0, e será singular se a2(x0)=0.

Por exemplo,

( ) 06'2"12 =++− yxyyx

terá como pontos singulares aqueles em que ( ) 012 =−x , ou seja 1±=x . A equação

0'"2 =++ cybxyyax

conhecida como equação de Cauchy-Euler, será singular em x=0. Já a equação

( ) 0'"12 =−++ yxyyx

Page 36: Mode La Gem

36

terá como pontos singulares aqueles em que ( ) 012 =+x , ou seja ix ±= , mostrando que os pontos

singulares não precisam ser reais. Com base na definição de pontos ordinários e singulares, o

teorema a seguir apresenta as condições para garantir a existência de soluções em séries de

potência para a equação diferencial 36.

Teorema

Se x=x0 for um ponto ordinário da equação

( ) ( ) ( ) 0'" 012 =++ yxayxayxa

será sempre possível encontrar duas soluções linearmente independentes na forma de séries de

potência centradas em x0, isto é,

( ) ( )∑∞

=

−=0

0n

nn xxcxy

Uma solução em série converge pelo menos em algum intervalo definido por |x-x0|<R,

onde R é a distância de x0 ao ponto singular mais próximo.

Esta solução será chamada de solução em torno de um ponto ordinário. A distância R é o

valor mínimo do raio de convergência, que poderá ser maior. Por exemplo

( ) 0'"522 =−++− yxyyxx

terá como pontos singulares aqueles em que 0522 =+− xx , ou seja, ix 21±= . O raio de

convergência será dado por 521 22 =+=R . Como x=0 é um ponto ordinário, será possível

encontrar uma solução para a equação com a forma

( ) ( )∑∞

=

=0n

nn xcxy

De acordo com o teorema, a solução vai convergir pelo menos para 5|| <x , porém ela

poderá convergir para valores maiores do que este. Neste caso, por exemplo, a soluça converge

para ∞<|| x .

O método de solução que será apresentado a seguir supõe que x=0 é um ponto ordinário

da equação, e que será possível encontrar uma solução tipo ( ) ( )∑∞

=

=0n

nn xcxy . Quando isso não

for possível, deverá ser feita uma mudança e variáveis t=x-x0, permitindo encontrar uma solução

do tipo ( ) ( )∑∞

=

=0n

nn tcxy , para que depois seja desfeita a substituição e se volta a variável original

x.

Page 37: Mode La Gem

37

A determinação da série que será solução da equação diferencial 36 será feita com um

método similar ao dos coeficientes indeterminados, utilizado para encontrar a solução particular

de uma EDOII não homogênea com coeficientes constantes. Em função da similaridade, o

método é chamado de método dos coeficientes a determinar da série. A idéia, em resumo é supor

que

( ) ( )∑∞

=

=0n

nn xcxy

é solução da equação diferencial e substituir esta solução na equação 36, resultando em

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0)1(0

01

11

2

22 =

+

+

− ∑∑∑

=

=

−∞

=

n

nn

n

nn

n

nn xcxaxncxaxnncxa

Após ajustar as séries na equação e combinar os termos para obter um único somatório,

será utilizada a propriedade série de potências identicamente nula para encontrar o valor dos

coeficientes cn. Serão encontrados dois conjuntos de coeficientes, que levarão a duas séries y1(x)

e y2(x). Estas serão as duas soluções linearmente independentes garantidas pelo teorema. A

solução geral da equação terá a forma

( ) ( )xycxycy 2210 +=

Exemplo Achar a solução da EDOII a seguir por séries de potência

( ) 0'"12 =−++ yxyyx

Esta equação tem pontos singulares em ( ) 012 =+x , ou ix ±= . A solução por série

convergirá pelo menos para |x| < 1. Como x=0 é um ponto ordinário, e possível supor uma

solução do tipo

( ) ∑∞

=

=0n

nn xcxy

cujas derivadas serão

∑∞

=

−=1

1'n

nnnxcy ∑

=

−−=2

2)1("n

nn xnncy

Substituindo na equação diferencial, resulta:

( ) 0)1(101

1

2

22 =

+

−+ ∑∑∑

=

=

−∞

=

n

nn

n

nn

n

nn xcnxcxxnncx

0)1()1(01

1

2

2

2

22 =−+−+− ∑∑∑∑∞

=

=

−∞

=

−∞

=

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn xcnxcxxnncxnncx

Page 38: Mode La Gem

38

0)1()1(012

2

2=−+−+− ∑∑∑∑

=

=

=

−∞

= n

nn

n

nn

n

nn

n

nn xcnxcxnncxnnc

Para agrupar as séries em um único somatório, é necessário ajustar sincronizar as

potências de x e os índices dos somatórios

0)1(62)1(2

102

1

24

232

2

=−−−++−+++− ∑∑∑∑∞

=

=+→

=

−∞

= n

nn

n

nn

nnn

nn

n

nn xcxccnxcxcxnncxccxnnc

Após trocar o índice do segundo somatório e reorganizar os termos:

( ) 0)1(2)1(62222

22

302 =−++++−++− ∑∑∑∑∞

=

=

=+

= n

nn

n

nn

n

nn

n

nn xcnxcxnncxnncxccc

É possível agora agrupar as séries

( )[ ]∑∞

=+ −++++−++−

22302 )1(2)1(62

n

nnnnn xcncnncnncxccc

Os fatores que multiplicam cn podem ser agrupados:

( ) ( )[ ]∑∞

=+ +++−+++−

22302 )1(2)1(162

n

nnn xnncnncxccc

Utilizando a propriedade da série identicamente nula, pode-se determinar os coeficientes

que multiplicam cada potência de x

( ) ( )[ ]∞

∑∞

=+ +++−+++−

xxn

nnn

xx

xnncnncxccc

...2

2302

2

10

)1(2)1(162

202 0

202cccc =→=−

( ) ( ) ( )( ) ( ) ,...4,3,2,

2)1(

)1(2)1(10)1(2)1(1

006

22

33

=+−

−=++−+

−=→=+++−+

=→=

++ ncnnc

nnnncnncnnc

cc

nnnnn

Isso permite determinar os coeficientes c3, c4, ... em termos dos coeficientes c0 e c1:

024 !221

41 ccc

⋅−=−=

052

35 =−= cc

03046 !323

6423

63 cccc

⋅=

⋅⋅=−=

074

57 =−= cc

04068 !425.3

86425.3

85 cccc

⋅=

⋅⋅⋅=−=

Page 39: Mode La Gem

39

A solução da equação será composta por dois somatórios, um para os coeficientes de c0 e

outro para os coeficientes de c1. Porém, os coeficientes de c1 para potências maiores do que 1 são

todos nulos. A solução será:

( ) ( ) ( )xycxycxy 2110 +=

onde

( ) ( ) ( )

( ) xxy

xn

nxxyn

nn

n

=

−⋅⋅⋅⋅−++= ∑

=

2

2

221 !2

32...5311211

Exercícios – Lista 8

1. Encontre duas séries de potência que sejam soluções da equação diferencial dada em

torno do ponto ordinário x=0

a) 0" =−xyy b) 0'2" =+− yxyy c) 0'" 2 =++ xyyxy

d) ( ) 0'"1 =+− yyx

2. Use o método de séries das potência para resolver o PVI a seguir:

( ) ( ) ( ) 60',200'"1 =−==+−− yyyxyyx

Respostas:

(1)

a) ( )

+

⋅⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+

⋅+= ...

2356891

23561

2311 963

01 xxxcxy

( )

+

⋅⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+

⋅+= ...

34679101

34671

341 1074

12 xxxxcxy

b) ( )

−−−−= ...

!621

43

!211 642

01 xxxcxy ( )

+−+−= ...

!745

!55

31 753

12 xxxxcxy

c) ( )

+

⋅−+−= ...

!947

!64

311 9

226

23

01 xxxcxy

( )

+

⋅⋅−

⋅+−= ...

!10258

!725

!42 10

2227

224

2

12 xxxxcxy

d) ( ) ( ) ∑∞

=

==1

1201n

nxcxycxy

(2). ( ) xexxxxxxy 286...!4

1!3

1!2

112 432 −=+

++++−=

Page 40: Mode La Gem

40

7. TRANSFORMADA DE LAPLACE

A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática de grande importância para

resolver alguns modelos lineares de problemas físicos de grande aplicação em engenharia e

física. Uma das características importantes da transformada de laplace é permitir que se trabalhe

com funções com um número finito de descontinuidades. Um exemplo importante deste tipo de

função é a função degrau unitário, que será definida mais adiante no texto, e pode ser utilizada

para “ligar” ou “desligar” uma determinada função em um instante escolhido (por exemplo,

“ligar” ou “desligar” uma tensão elétrica em um circuito).

Serão vistos a seguir a definição da transformada de laplace e as técnicas para utilizar a

transformada de laplace na resolução de modelos matemáticos.

7.1 Transformações

Operações como integração e derivação são chamadas transformações, ou seja,

transformam uma função em outra. A função

( ) 2xxf =

é transformada em uma função linear por derivação,

( ) xxdxdxf 22 ==′

e em uma família de funções cúbicas por integração,

cxdxx +=∫ 3

32

Estas transformações têm a propriedade da linearidade: a transformação de uma

combinação linear de funções é uma combinação linear das transformações,

( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxfdxd ′+′=+ βαβα

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf βαβα

desde que cada uma das derivadas e integrais exista.

A transformada de Laplace é um tipo de transformada integral, com propriedades que a

tornam uma ferramenta muito importante para resolver alguns tipos de problemas de valor

inicial.

Page 41: Mode La Gem

41

7.2 Transformadas integrais

Seja uma função de duas variáveis ( )yxfu ,= . A integral definida desta função em

relação a uma das variáveis resulta em uma função da outra variável. Por exemplo, a integral

definida

32

0

3 42 ydxxy =∫

transforma a função de duas variáveis 32xyu = na função de uma variável ( ) 34yyf = .

Considere agora uma função qualquer de uma variável f(t). Ao multiplicarmos esta

função por uma outra função de duas variáveis K(s,t), o resultado do produto será uma terceira

função das variáveis s e t. Da mesma forma que no exemplo anterior, pode-se dizer que a integral

definida

( ) ( ) ( )∫=b

a

dttftsKsF ,

resultará em uma função apenas da variável s. Assim, podemos dizer que a integral acima

transforma a função f da variável t em uma outra função da variável s.

Se f(t) for definida para 0≥t , e se os limites de integração forem ),0[ ∞ , tem-se a

integral imprópria

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∞→

=b

bdttftsKdttftsK

00

,lim,

Se o limite existir e for finito, a integral será convergente. Em geral, a integral será

convergente para determinados valores de s.

A transformada de Laplace é uma transformação deste tipo, na qual os limites de

integração são ),0[ ∞ e a função ( ) stetsK −=, :

38 ( ){ } ( )∫∞

−=0

dttfetf stL (38)

Assim, se a integral acima convergir, é chamada transformada de Laplace de f(t). A

notação usual é usar letras minúsculas para representar a função que está sendo transformada, e a

mesma letra maiúscula para representar a sua transformada:

( ){ } ( )sFtf =L ( ){ } ( )sGtg =L ( ){ } ( )sYty =L

Page 42: Mode La Gem

42

Uma propriedade importante e muito utilizada da transformada de Laplace é a

linearidade. Como uma transformação integral, a transformada de Laplace é uma transformação

linear, ou seja

( ) ( )[ ] ( ){ } ( ){ }tgtftgtf LLL βαβα +=+

Exemplos da transformada de Laplace de algumas funções e de aplicações da propriedade

da linearidade são apresentados a seguir

Exemplos

1. Calcular a transformada de Laplace de ( ) 1=tf

Aplicando a definição de transformada de Laplace:

( ) ( )ss

esedtedte

sb

b

bst

b

bst

b

st 11limlim1lim1000

=+−

=−

==−

∞→

∞→

∞→

∞− ∫∫

Desde que s > 0.(assim, 0→−sbe quando b vai a infinito). A integral diverge para s < 0.

2. Calcular a transformada de Laplace de ( ) ttf =

( ) ( ) 2220

200

11limlimlimsss

es

bes

es

tedttedttesbsb

b

bstst

b

bst

b

st =

+−

−=

−==

−−

∞→

−−

∞→

∞→

∞− ∫∫

Este resultado também vale apenas para s > 0.

3. Calcular a transformada de Laplace de ( ) tetf 3−=

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )31

31

3lim

3limlim

3

0

3

0

3

0 +=

+

++

−=

+

−==+−

∞→

+−

∞→

+−

∞→

∞−− ∫∫ sss

es

edtedteebs

b

bts

b

bts

b

stst

Este resultado vale apenas para s > -3.

4. Calcular a transformada de Laplace de ( ) ttf 2sin=

Como, neste caso a integração fica mais longa, não será utilizada a notação de limite, e

será utilizada a forma simplificada, colocando direto o símbolo de infinito no limite da integral:

( ) ( )∫∫∞

∞−∞− +−=

000

2cos22sin2sin dttess

tedtte stst

st

Page 43: Mode La Gem

43

Para s > 0, o primeiro termo da soma no lado direito da equação é zero nos dois limites

de integração (0 e ∞). Assim:

( ) ( ) ( ) ( )

−=

−−== ∫∫∫∫

∞−

∞−

∞−∞−

∞−

00000

2sin2122sin22cos22cos22sin dttesss

dttess

tes

dttes

dtte ststst

stst

A última integral que aparece é igual a integral que defina a transformada de Laplace da

função ( ) ttf 2sin= . Pode-se escrever:

( ) ( )∫∞

−=0

2sin2sin dttet stL

( ) ( )

−= ∫∫

∞−

∞−

00

2sin2122sin dttesss

dtte stst ⇒ ( ) ( )

−= t

ssst 2sin2122sin LL

Isolando ( )t2sinl na última equação, fica

( ) 22

2412sinss

t =

+L ⇒ ( ) 22

2 242sinss

st =

+L ⇒ ( )4

22sin 2 +=

stL

Como já foi dito durante o desenvolvimento, este resultado vale para s > 0.

5. Calcular a transformada de Laplace de ( ) ttf 51+=

Para fazer esta transformada de Laplace, serão utilizados a propriedade da linearidade e

os resultados obtidos nos exemplos 1 e 2 acima. Aplicando a propriedade da linearidade, é

possível escrever:

( ) ( ) ( ) 22

511515151ssss

tt +=

+=+=+ LLL

Nos exemplos 1 e 2, foram determinadas as transformadas de laplace de 1 e de t,

utilizadas neste exemplo

7.3 Tabela de transformadas de Laplace

Os resultados obtidos nos exemplos anteriores podem ser generalizados para um conjunto

de funções básicas. A generalização é apresentada na tabela a seguir. Assim, a transformada de

Laplace da maior parte das funções mais utilizadas pode ser feita sem a necessidade de calcular a

integral. Mais adiante, serão vistas outras propriedades que permitiram estender o uso desta

tabela.

Page 44: Mode La Gem

44

Tabela 7.1 – transformada de Laplace de algumas funções básicas

( ) ...,3,2,1,0,!1 == + n

snt n

nL ( )as

eat

−=

1L

( ) 22sinks

kkt+

=L ( ) 22cosks

skt+

=L

( ) 22sinhks

kkt−

=L ( ) 22coshks

skt−

=L

Exemplos Fazer as transformadas de laplace das funções dadas utilizando a tabela

1. ( ) tttf 6cos410

5

+=

( ) ( ) ( )

++=+=

+=

364!5

1016cos4

1016cos4

10 265

5

ss

sttttsF LLL

2. ( ) 42

5

+=tetf

( ) ( ) ( ) ( ) sssseesF t

t 452

1145

12114

214

25

5

+−

=

+

−=+=

+= LLL

3. ( ) tttf 4sin43cosh2 +=

( ) ( ) ( ) ( )

++

−=+=+=

1644

9214sin43cosh24sin43cosh2 22 ss

sttttsF LLL =

= ( ) 1616

92 22 ++

− sss

7.4 Condições para a existência da transformada de Laplace

Para definir as condições para a existência da transformada de Laplace, é necessário

relembrar os conceitos de função contínua por partes e de função de ordem exponencial. Uma

função f(x) é contínua por partes em [0, ∞) se, neste intervalo, existe no máximo uma quantidade

finita de pontos de descontinuidade. A figura abaixo ilustra uma função contínua por partes.

Page 45: Mode La Gem

45

Figura 3 – função contínua por partes

Uma função f(t) é de ordem exponencial c se existem constantes c (>0), M (>0) e T (>0)

de tal forma que

( ) ctMetf ≤

para todo t >T. Se f(t) é uma função crescente, isso significa que o valor de f(t), no intervalo

(T, ∞), não cresce mais rápido do que o valor de uma função ctMe , conforme representado na

figura abaixo.

Figura 4 – comportamento de uma função crescente f(t) de ordem exponencial

Assim, se uma função f(t) é definida por partes no intervalo [0, ∞) e de ordem

exponencial c para t > T, então existe a transformada de Laplace F(s) da função para s > c.

f(t)

t T

ctMe

f(t)

t

te

( ) ttf =

Page 46: Mode La Gem

46

7.5 Transformada de uma função definida por partes

Pelas condições estabelecidas acima, é possível fazer a transformada de Laplace de uma

função definida por partes, como, por exemplo

( )

≤<≤

=32

300t

ttf

Para fazer a transformada de Laplace desta função, aplica-se a definição:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )s

es

edtedtedttfetfsFsst

ststst3

33

3

00

2220−∞−∞

−−∞

− =−=+=== ∫∫∫L , s>0

Assim, é possível fazer a transformada de Laplace de funções definidas por partes

adaptando-se os limites de integração para cada comportamento da função.

7.6 Transformada inversa de Laplace

Nas aplicações em que será utilizada a transformada de Laplace, será necessário desfazer

a transformação, ou seja, partir de uma função na variável s e encontrar a função correspondente

na variável t. Isto é chamado de fazer a transformada inversa de Laplace de uma função de s. Se

a função F(s) é a transformada de Laplace da função f(t), a notação é

( ){ } ( )sFtf =L

conforme definido anteriormente. Para o processo inverso, ou seja, para dizer que f(t) é a

transformada inversa de Laplace da função F(s), a notação fica

( ){ } ( )tfsF =−1L

A Tabela 7.2 apresenta as transformadas inversas de funções básicas. É interessante notar

que esta tabela é similar à tabela de transformadas de Laplace apresentada anteriormente. A

transformada inversa é feita sempre a partir desta tabela. Em muitos casos, será necessário

utilizar operações algébricas, a propriedade da linearidade ou outras propriedades para adaptar a

função em questão a um ou alguns dos casos da tabela.

Tabela 7.2 – transformada inversa de Laplace de algumas funções básicas

...,3,2,1,0,!1

1 ==

+− nt

sn nnL ate

as=

−− 11L

ktks

k sin221 =

+−L kt

kss cos22

1 =

+−L

ktks

k sinh221 =

−−L kt

kss cosh22

1 =

−−L

Page 47: Mode La Gem

47

A propriedade da linearidade se aplica também á transformada inversa de Laplace, ou

seja, é possível escrever

( ) ( )[ ] ( ){ } ( ){ }sGsFsGsF 111 −−− +=+ LLL βαβα

A seguir, serão mostrados alguns exemplos para ilustrar algumas técnicas que permitem

adaptar uma determinada função F(s) para permitir a utilização da tabela de transformadas

inversas.

Exemplos Fazer a transformada inversa de Laplace das seguintes funções

1. ( ) 5

1s

sF =

Esta função não aparece na tabela de transformadas inversas. Porém, ela ficaria igual à

primeira função da tabela se existisse um 4! no numerador. É interessante lembrar que, se a

função for multiplicada e dividida pelo mesmo valor, ela não será alterada. Assim, é possível

fazer

( ) 55

!4.!4

11!4!4

sssF

=

=

A transformada inversa de Laplace desta função fica

( ) ( ){ }24!4

1!4!4

1!4.!4

1 44

51

511 tt

sssFtf ==

=

== −−− LLL

Notar que o fator !4

1 é uma constante, e foi tirado da transformada inversa utilizando a

propriedade de linearidade descrita acima.

2. ( )7

12 +

=s

sF

Novamente, a função não aparece na tabela, mas pode ser adaptada para o caso

ktks

k sin221 =

+−L

Isto implica que 72 =k , ou seja, 7=k . Assim, é necessário que apareça 7 no

numerador. Novamente, será necessário multiplicar e dividir a função por um mesmo valor para

fazer a adaptação:

( )7

7.7

17

177

22 +

=+

=

sssF

A transformada inversa de Laplace desta função fica

Page 48: Mode La Gem

48

( ) ( ){ } ( )tss

sFtf 7sin7

17

77

17

7.7

12

12

11 =

+=

+== −−− LLL

3. ( )462

2 ++−

=s

ssF

Novamente, será utilizada a propriedade da linearidade para adaptar a função à casos da

tabela. A soma no numerador deverá ser separada, e os valores ajustados:

( )

++

+−=

++

+−

=4

234

24

64

22222 ss

sss

ssF

A transformada inversa fica

( ) ( ){ }

ttss

sss

ssFtf

2sin32cos24

234

24

234

2 21

21

2211

+−=

=

++

+−=

++

+−== −−−− LLLL

4. ( ) ( )( )( )421962

+−−++

=sss

sssF

Para resolver este exemplo, será necessário decompor a expressão racional em suas

frações parciais. Neste caso, o denominador da função é fatorável em fatores lineares distintos.

Assim, existem constantes reais únicas A, B, C tais que

( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )421214142

421421962

+−−−−++−++−

=+

+−

+−

=+−−

++sss

ssCssBssAs

Cs

Bs

Asss

ss

Os denominadores da primeira e da última parte da equação são idênticos. Para que a

equação seja satisfeita, os numeradores também devem ser iguais:

( )( ) ( )( ) ( )( )214142962 −−++−++−=++ ssCssBssAss

Esta equação levará a um sistema de três equações e três incógnitas que permitira definir

os valores de A, B e C. Porém, é possível definir os valores das constantes substituindo os zeros

do denominador comum (s=1, s=2 e s=-4) na equação anterior:

s=1 ⇒ ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )5

1651162111411141219161 2 −=⇒−=⇒−−++−++−=++ AACBA

s=2 ⇒ ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )62561252212421242229262 2 =⇒=⇒−−++−++−=++ BBCBA

s=-4 ⇒ ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )301651

2414441444249464 2

=⇒−−=

⇒−−−−++−−−++−−−=+−+−

CC

CBA

Assim, tem-se:

Page 49: Mode La Gem

49

( )( )( ) 430

1

26

25

15

16

421962

++

−+

−=

+−−++

ssssssss

Agora é possível fazer a transformada inversa utilizando a tabela e a propriedade da

linearidade:

( )( )( )

ttt eeesss

ssssssss

42111

12

1

301

625

516

41

301

21

625

11

516

430

1

26

25

15

16

42196

−−−−

−−

++−=

++

−+

−−=

=

++

−+

−=

+−−++

LLL

LL

7.7 Transformada de Laplace da derivada de uma função

Uma das principais aplicações da transformada de Laplace é oferecer uma forma de

resolver casos importantes de equações diferenciais ordinárias lineares, tais como

( )xgcydxdyb

dxyda =++2

2

( )tgcfdtdfb

dtfda =++2

2

Para resolver este problema, serão necessárias as transformadas de Laplace das derivadas

que aparecem na equação (derivadas de uma função desconhecida). Aplicando a definição de

transformada de Laplace para a primeira derivada ( )tf ' de uma função, resulta (utilizando

integração por partes):

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+−=+== ∫∫∫

∞ −∞ −∞−∞ −

000000'' dttfesfdttfestfedttfetf ststststL

A última integral (entre colchetes) é a definição de transformada de Laplace da função

f(t):

( ) ( ){ } ( )∫∞ −==

0dttfetfsF stL

Assim, é possível escrever:

( ){ } ( ){ } ( ) =−= 0' ftfstf LL ( ) ( )0fssF −

A definição de transformada de Laplace pode ser aplicada também à segunda derivada

( )tf '' de uma função:

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+−=+== ∫∫∫

∞ −∞ −∞−∞ −

0000'0'0'''''' dttfesfdttfestfedttfetf ststststL

A última integral, entre colchetes, é a transformada de Laplace da primeira derivada da

função, que foi calculada acima. Utilizando o resultado anterior, fica:

( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )[ ] ( ) =−−=−= 0'00'''' ffssFsftfstf LL ( ) ( ) ( )0'02 fsfsFs −−

Page 50: Mode La Gem

50

Para a terceira derivada ( )tf ''' de uma função, a transformada de Laplace resulta:

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∞ −∞ −∞−∞ − +−=+==

0000''0''0'''''''''' dttfesfdttfestfedttfetf ststststL

( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) =−−−=−= 0''0'00''''''' 2 ffsfsFssftfstf LL( ) ( ) ( ) ( )0''0'023 fsffssFs −−−=

Assim, é possível estender a lógica para a transformada de Laplace da derivada de ordem

n de uma função ( ) ( )tf n . Supondo que ( )tf , ( )tf ' , ..., ( )( )tf n 1− são contínuas em [0,∞) e de

ordem exponencial, e que ( ) ( )tf n é contínua por partes em [0,∞), então:

39 ( )( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0...0'0 121 −−− −−−−= nnnnn ffsfssFstfL (39)

Para entender este equação, é fundamental saber diferenciar o significado do expoente

entre parênteses (notação de derivada) e do expoente sem o parênteses (notação de potência).

7.8 Solução de EDO lineares utilizando a transformada de Laplace

As propriedades da transformada de Laplace fazem dela um recurso importante na

resolução de problemas de valor inicial envolvendo EDOII com coeficientes constantes de

qualquer ordem:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ,0,...,0',0

...

11

10

011

1

1

−−

===

=++++

nn

n

n

nn

n

n

yyyyyy

tgtyatydtdaty

dtdaty

dtda

A transformada de Laplace permite transformar esta equação diferencial na envolvendo a

função y(t) em uma equação algébrica correspondente em Y(s), que pode, em geral, ser

facilmente resolvida isolando Y(s). Aplicando a transformada inversa de Laplace à solução Y(s)

da equação algébrica, resulta a solução y(t) da equação diferencial original.

A transformada de Laplace da equação acima é

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ){ } ( ){ }tgtyatydtdaty

dtdaty

dtda n

n

nn

n

n LLLLL =+

++

+

− 011

1

1 ...

Por definição, a transformada de Laplace de y(t) (último termo do lado esquerdo da

equação acima) é Y(s). a função y(t) é a incógnita do problema, e, assim não será conhecia

inicialmente. Da mesma maneira, no lado esquerdo da equação, a transformada de Laplace de

g(t) é G(s). A função g(t) é um dado do problema, e a sua transformada de Laplace será feita

pelos métodos vistos anteriormente.

Os demais termos da equação anterior são as transformadas de Laplace das derivadas de

uma função desconhecida, assunto tratado na seção anterior. Assim, é possível fazer a

Page 51: Mode La Gem

51

transformada de laplace de toda a equação. O resultado será uma equação algébrica envolvendo a

função Y(s). A solução desta equação algébrica terá a forma

( ) ( )( )

( )( )sPsG

sPsQsY +=

onde Q(s) será um polinômio de grau menor ou igual a n-1 e P(s) será um polinômio de grau n.

A transformada inversa de laplace de Y(s) será a função y(t) que é a solução do problema de

valor inicial original.

Exemplos a) Utilizar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial

( ) 602sin133'

==+

ytyy

Aplicando a transformada de Laplace na equação

{ } { } { }

( ) ( ) ( )4

2.1330

2sin133'

2 +=+−

=+

ssYyssY

tyy LLL

Na transformada de Laplace da equação, y(0) é a condição inicial do problema. Neste

caso, y(0) = 6. Assim:

( ) ( )4

2636 2 +=+−

ssYssY

O próximo passo é resolver esta equação para Y(s):

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )344626

36

34266

4263 2

2

22 ++++

=+

+++

=⇒++

=+ss

ssss

sYs

sYs

( ) ( )( )34506

2

2

+++

=ss

ssY

Solucionada a equação algébrica para Y(s), o último passo é fazer a transformada inversa

desta função para encontrar a solução do problema de valor inicial y(t). Para fazer isso, será

necessário adaptar a função a um dos casos da tabela de transformadas inversas (Tabela 7.2).

Esta é mais uma situação em que será necessário utilizar a decomposição em frações parciais.

No exemplo anterior de decomposição em frações parciais, era possível escrever o

denominador em fatores lineares distintos. Neste caso, o termo 42 +s não pode ser fatorado

(escrito como o produto de dois fatores lineares). Assim, para fazer a decomposição em frações

parciais, o numerador para o fator quadrático deverá ser um polinômio linear em s:

Page 52: Mode La Gem

52

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )3434

4334506

2

2

22

2

++++++

=++

++

=++

+ss

sCBssAs

CBss

Ass

s

Novamente, os denominadores do primeiro e do último termo são iguais. Para que se

confirme a igualdade, os numeradores também devem ser:

( ) ( )( )34506 22 ++++=+ sCBssAs

Neste caso, o único zero do denominador comum é o -3. Fazendo s = -3 na equação

acima, resulta:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 813

10413104333435036 22 ==⇒=⇒+−+−++−=+− AACBA

Para encontrar os valores de B e C, será necessário, inicialmente, fazer o produto

indicado no lado direito da equação e reagrupar os termos da soma:

( ) ( ) CAsCBsBAsCCsBsBsAAss

343506334506

22

222

+++++=+

+++++=+

Para que a última equação seja satisfeita, é necessário que os fatores que multiplicam a

mesma potência de s (s2, s e s0) nos dois lados da equação sejam iguais, o que leva a um sistema

de três equações e três incógnitas. Como o valor de uma das incógnitas já foi determinado

(A = 8), serão necessárias apenas mais duas equações. Igualando o fator de s2 no lado direito e

no lado esquerdo da equação resulta:

( ) 26 −=⇒+= BBA

Além disso, como não existe s no lado esquerdo da equação, ele também deve

desaparecer do lado direito. Resulta:

( ) 630 =⇒+= CCB

Assim, a expressão original para Y(s) pode ser reescrita

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )46

42

38

462

38

34506

2222

2

++

+−

+=

++−

++

=++

+=

sss

sss

sssssY

Agora é possível fazer a transformada inversa utilizando a Tabela 7.2:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )( ) ttety

sss

ssYty

t 2sin32cos28

423

42

318

3

21

2111

+−=

++

+−

+==

−−−− LLLL

Esta é a solução final do problema de valor inicial. É importante notar que, no inicio do

desenvolvimento do problema, foram utilizadas as condições iniciais. Assim, a solução já

aparece com os valores das constantes definidos.

Page 53: Mode La Gem

53

b) Utilizar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial

( ) ( ) 50'102'3'' 4

===+− −

yyeyyy t

Aplicando a transformada de Laplace na equação, fica:

{ } { } { } { }( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

412030'0

2'3''

2

4

+=+−−+−−

=+− −

ssYyssYysysYs

eyyy tLLLL

Novamente, aparecem as condições iniciais do problema y(0) e y’(0) na transformada de

laplace. Resulta:

( ) ( ) ( )4

123352

+=++−−−

ssYssYssYs

Resolvendo a equação para Y(s):

[ ] ( )

[ ] ( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )( )42196

423421

232

4231

24

123

41223

2

222

2

2

+−−++

=++−

+++=

+−+

+++−

=

+++

=+−

+=−−+−

sssss

sssss

sss

ssssY

ss

sYss

sssYss

Para chegar ao último resultado, o termo quadrático do denominador ( )232 +− ss foi

decomposto em dois fatores lineares. Para fazer isso, foram utilizadas as raízes deste termo:

( )( )212322ou1023 22 −−=+−⇒==⇒=+− sssssss

Resta fazer a transformada inversa. Mais uma vez, será necessário fazer a decomposição

em frações parciais da expressão para Y(s) para adaptá-la a Tabela 7.2. Esta expressão já foi

decomposta em um exemplo anterior. Assim, o resultado deste problema de valor inicial será

( ) ( ){ } ( )( )( )ttt eee

ssssssYty 42

211

301

625

516

42196 −−− ++−=

+−−++

== LL

7.9 Teoremas de translação

O procedimento para resolver um problema de valor inicial utilizando a transformada de

laplace será sempre o visto nos dois exemplos anteriores. O que será feito a seguir é acrescentar

ferramentas que permitirão fazer a transformada de laplace e a transformada inversa de laplace

em algumas situações para as quais as ferramentas apresentadas anteriormente são insuficientes

ou demasiadamente trabalhosas. Duas das principais ferramentas para tal são os teoremas de

translação.

Page 54: Mode La Gem

54

Translação sobre o eixo s

O teorema da translação sobre o eixo s estabelece que, se ( ){ } ( )sFtf =L , e se a for um

valor real qualquer, então é possível afirmar que

40 ( ){ } ( )asFtfeat −=L (40)

Isto significa que a transformada de laplace do produto entre uma exponencial eat e uma

função f(t) qualquer será igual à transformada de laplace da função f(t) transladada a unidades no

eixo s. Assim, para fazer a transformada de laplace do produto ( )tfeat , é necessário fazer a

transformada de laplace da função f(t) e, no resultado, substituir s por s - a.

Exemplos

1. fazer a transformada de laplace da função 35 te t

A função é o resultado do produto de uma exponencial ( )te5 por 3t . A transformada de

laplace deste produto pode ser feita utilizado o teorema da translação sobre o eixo s.

Comparando a função 35 te t com a equação 40, podemos dizer que, neste caso, a = 5 e que

f(t) = 3t . A transformada de Laplace de f(t) é

( ) { } 43 !3

stsF == L

A transformada de laplace da função 35 te t será o resultado acima transladado, ou seja,

substituindo s por s – a, onde a = 5:

{ }( )4

35

5!3

−=

ste tL

2. fazer a transformada de laplace da função te t 4cos2−

Novamente, queremos fazer a transformada de Laplace do produto de uma função

exponencial por uma outra função, neste caso t4cos . Comparando a função te t 4cos2− com o

teorema da translação (equação 40), podemos dizer que a = -2 e ( ) ttf 4cos= . A transformada

de Laplace de f(t) é

( ) { }16

4cos 2 +==

sstsF L

E a transformada de laplace do produto te t 4cos2− será a função acima, substituindo s por

s-a, onde a=-2:

{ }( ) 162

24cos 22

+++

=−

sste tL

Page 55: Mode La Gem

55

Translação sobre o eixo t

Para compreender o teorema da translação sobre o eixo t, é necessário definir a função

degrau unitário e suas aplicações. A função degrau unitário (também chamada Heaviside), é

definida como

41 ( )

≥<≤

=−at

atatu

100

(41)

ou seja, a função vale zero até um determinado valor a da variável independente e 1 deste valor

em diante. O gráfico desta função é ilustrado na figura a seguir, junto com alguns exemplos.

Existem algumas aplicações muito importantes para a função degrau unitário. Quando

uma função qualquer é multiplicada pela função degrau unitário, o resultado do produto será zero

em toda a região em que a função degrau unitário vale zero, e será igual a outra função na região

em que a função degrau unitário vale 1. Assim, é possível “desligar” uma parte de uma função

utilizando a função degrau unitário. Por exemplo, a figura a seguir mostra a função

( ) 0,32 ≥−= tttf e o resultado do produto desta função pela função degrau unitário ( )1−tu . O

resultado do produto é uma função que vale zero para t < 1 e 1 para 1≥t .

t

3

-3

3

f(t).u(t - 1)

t

3

-3

3

f(t)

t 1

u(t – 1)

1

t 3

u(t - 3)

1

t 2

u(t - 2)

1

t a

u(t - a)

1

Page 56: Mode La Gem

56

Outra aplicação importante para a função de Heaviside é escrever funções definidas por

partes de uma outra forma Por exemplo, a função

( )

≥<≤

=50

5020t

tttf

pode ser escrita como

( ) ( )5.2020 −−= tutttf

A função degrau unitário também pode ser utilizada para fazer a translação de uma

função qualquer definida apenas no semi-eixo positivo. Seja f(t) uma função definida para 0≥t .

Esta função pode ser transladada a unidades fazendo

( ) ( ) ( )

≥−<≤

=−−atatf

atatuatf

00

A figura a seguir mostra um exemplo desta aplicação, no qual a função ( ) 0,32 ≥−= tttf

foi transladada duas unidades no sentido positivo do eixo t.

O segundo teorema da translação define que, se ( ) ( ){ }tfsF L= , e a>0, então

42 ( ) ( ){ } ( )sFeatuatf as−=−−L (42)

o que significa que a transformada de Laplace da função f(t) transladada a unidades é igual à

transformada de laplace da própria função (não transladada) multiplicada por ase− (o a na

exponencial é a distância que a função foi transladada). O teorema também pode ser utilizado

para fazer a transformada inversa:

43 ( ){ } ( ) ( )atuatfsFe as −−=−−1L (43)

Ou seja, a transformada inversa de laplace de uma função F(s) multiplicada por uma

exponencial ase− é igual à transformada inversa de F(s) transladada a unidades.

Exemplos

1. Fazer a transformada inversa de laplace da função4

2

se s

:

t

3

-3

f(t-2).u(t - 2)

t

3

-3

3

f(t)

Page 57: Mode La Gem

57

A função é o resultado do produto da exponencial se 2− pela função 4

1−s

. Para fazer a

transformada inversa do produto, inicialmente será necessário fazer a transformada inversa da

função 4

1−s

:

tes

41

41

=

−−L

A transformada de laplace da função original será esta função transladada 2 unidades.

Para fazer a translação, será necessário substituir t por t-2, e multiplicar o resultado por u(t-2):

( ) ( )24

242

1 −=

−−

−− tue

se t

s

L

2. Fazer a transformada inversa de laplace da função9

.2

2

+

ses

:

Novamente, a função dada é o resultado do produto de uma exponencial por uma outra

função.

222

2

99. s

s

es

ss

es ππ

−−

+=

+

Assim, inicialmente será necessário fazer a transformada inversa

( )ts

s 3cos92

1 =

+−L

A transformada de laplace da função original será esta função transladada 2π unidades:

−=

+=

+

−−

223cos

99. 2

21

2

21 πππ

π

tutes

ss

es ss

LL

3. Problema de valor de contorno

Determinar a deflexão em uma viga bi-engastada sobre a qual é aplicada uma carga

distribuída, conforma ilustrado na figura a seguir.

L 2

L

w0 w(x)

Page 58: Mode La Gem

58

As condições de contorno para o problema da viga bi-engastada são

( ) ( )( ) ( ) 0'00'

000==

==Lyy

Lyy

Ou seja, nos engastes, a viga não tem deslocamento nem rotação. A função que descreve

o carregamento na viga é

( )

<≤

<≤

=LxL

LxxL

wxw

20

20210

Um dos modelos existentes para descrever como a viga vai se deformar sob a ação de

uma determinada carga leva à na equação diferencial

44 ( )xwdx

ydEI =4

4

(44)

Para utilizar esta equação diferencial, será necessário reescrever a função que define a

carga w(x) sobre a viga como uma única função. Isto pode ser feito utilizando a função degrau

unitário, como foi ilustrado em um exemplo anterior:

( )

−+

−=

−−

−=

2122122121 0000

LxuxL

wxL

wL

xuxL

wxL

wxw

Colocando L

w 20 em evidência, resulta:

( )

−+−=

2222

0LxuLxxLw

Lxw

Substituindo este resultado para w(x) na equação 44, fica

−+−=

2222

04

4 LxuLxxLwLdx

ydEI

Agora é possível fazer a transformada de laplace da equação

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

+−=−−−−

−2

222

0234 1120'''0''0'0

LsLe

sssw

LysyysyssYsEI

Os valores de y(0) e y’(0) são conhecidos, mas os valores de y’’(0) e y’’’(0) não. Fazendo

(por hora) y’’(0) =c1 e y’’’(0) = c2, e substituindo os valores (conhecidos) de y(0) = 0 e y’(0) = 0,

resulta:

( )[ ]

+−=−−

−2

222

0214 112 LsL

esss

wL

cscsYsEI

Page 59: Mode La Gem

59

Resolvendo para Y(s):

( )

+−++=

−2

66520

42

31 112 LsL

esssEIL

wsc

scsY

O resultado do problema será a transformada inversa de laplace da função Y(s):

( ) ( ){ }

+

+

+

==

−−−−−−− 26

16

15210

421

3111 112 LsL

esssEIL

wsc

scsYxy LLLLLL

( )

+

+

+

=

−−−−−− 26

16

15

1204

123

11 !5!5

1!5!5

1!4!4

2!3!3

!2!2

LsLe

sssEILw

sc

scxy LLLLL

( )

−+−++=

2225

60!3!2

55403221 LxuLxxxL

EILwxcxcxy

As duas constantes c1 e c2 podem ser determinadas utilizando as condições de contorno

para x=L:

( )EILwLcLcLLLLL

EILwLcLcLy

192049

620

225

60!3!200

40

32

21

55403221 ++=⇒

−+−++=⇒=

( )EILwLcLcLLLLL

EILwLcLcLy

96085

20

255

220

60!33

!2200'

30

22

1

4430221 ++=⇒

−+−++=⇒=

Assim, chega-se a um sistema de duas equações e duas incógnitas que permite determinar

o valor de c1 e c2: e a solução do problema de valor de contorno:

( )

−+−+−=

−=

=

2225

60803

192023

409

96023

5540302

20

02

20

1 LxuLxxxLEIL

wxEILwx

EILwxy

EILwc

EILwc

Derivada da transformada de laplace

Além dos teoremas de translação, existem outras formas de fazer a transformada de

Laplace de funções que não estão na tabela. Um exemplo disso é o seguinte teorema envolvendo

derivadas na transformada de Laplace

Se ( ){ } ( )sFtf =L , e n =1,2,3,..., então

45 ( ){ } ( ) ( )[ ]sFdsdtft n

nnn 1−=L (45)

Page 60: Mode La Gem

60

Assim, para fazer a transformada de Laplace do produto de uma função f(t) por tn, basta

fazer a transformada de laplace da função f(t) e derivar o resultado n vezes.

Exemplo

Fazer a transformada de Laplace da função ( ) ktttf sin=

Inicialmente, é necessário encontrar a transformada de laplace da função ktsin . Direto da

tabela:

{ } 22sinks

kkt+

=L

No exemplo, temos a função ktsin multiplicada por t1 (n=1). Assim, a transformada de

laplace do produto fica

{ } ( ) ( )22222

21sinks

ksks

kdsdktt

+=

+−=L

Page 61: Mode La Gem

61

Exercícios

1. Determine a transformada de Laplace das seguintes funções, utilizando a definição

(integral).

a) ( )

≥<≤−

=11

101t

ttf b) ( )

≥<≤

πt

tttf

10sin

c)

d) ( ) ttetf 4= e) ( ) tttf cos= f) ( ) 7+= tetf

Respostas:

a)ss

e s 12−

b)1

12 +

+ −

se sπ

c) 2211

se

ss

s−

+− d)( )24

1−s

e)( )22

2

11

+

ss f)

1

7

−se

2. Fazer a transformada de laplace das seguintes funções utilizando a tabela de

transformadas e as propriedades da transformada.

a) ( ) 42ttf = b) ( ) 362 −+= tttf c) ( ) tetf 41+= d) ( ) tttf 3sin54 2 −=

e) ( ) tetf t sinh= f) ( ) 104 −= ttf g) ( ) ( )31+= ttf h) ( ) tetf t 3cosh2−=

i) ( ) tttf 2sinh= j) ( ) tttf 2cos3 4 +=

Respostas:

a) 5

48s

b)sst362

23 −+ c)4

11−

+ss

d) 9

15823 +

−ss

e)( ) 11

12 −−s

f) ss

1042 −

g)ssss1366

234 +++ h)( ) 92

22 ++

+s

s i) ( )22 44−

−s

s j)2

7225 +

+s

ss

3. Faça a transformada inversa de Laplace das funções dadas

a)

31 1

sL b)

−−

521 481

ssL c)

−−

2

31 12

ssL d) ( )

+−

4

31 1

ssL

e)

−+−−

2111

21

sssL f)

+−

1411

sL g)

+−

495

21

sL

h)

+−

1442

1

ssL i)

−−

161

21

sL j)

+−

ss 31

21L k)

−+−

3221

sssL

l) ( )( )

+−−

2,01,09,01

sssL m) ( )( )

++−−

14222

1

ssssL n) ( )

−−

42

31

se s

L

t

1

1

f(t)

Page 62: Mode La Gem

62

o)

−5

1

se s

L

Respostas:

a)2

2t b) 42tt −

−−

521 481

ssL c)

12034

53 ttt +− d)62

33132 ttt +++

e) tet 21+− f)4

4t

e−

g)7

7sin5 t h)

2cos t i)

44sinh t j)

331 3te−

k)44

3 3 tt ee+

l) tt ee 2,01,0 6,03,0 −+ m) tte t sin3cos34 +++− − n) ( )[ ] ( )2

332sinh −− tut

o) ( ) ( )24

11 4 −− tut

4. Resolva os problemas de valor inicial dados utilizando a transformada de Laplace

a) ( ) 001 ==− yydtdy

b) ( ) 206' 4 ==+ yeyy t

c) ( ) ( ) 00',1004'5'' ===++ yyyyy

d) ( ) ( ) 00',1002sin2'' ===+ yytyy

e) ( ) ( ) ( ) 10'',00',002'3''3'''2 ====−−+ − yyyeyyyy t

Respostas:

a) tey = b)10

1910

64 tt eey−

+= c)33

4 4tt eey−−

−=

d) ttty 2sin2sin2cos10 −+= e)218

599

8 22 tttt

eeeey−−−

+++−=

Page 63: Mode La Gem

63

8 ANEXOS

Tabelas de derivadas e integrais

Page 64: Mode La Gem

64