mode la gem
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Apostila
Modelagem de sistemas dinâmicos I
Prof. Dr. Tiago Becker
Versão 2008/02
2
Índice
1 . MODELAGEM DE SISTEMAS E TERMINOLOGIA..................................................................................3
1.1 MODELAGEM ...............................................................................................................................3 1.2 NOTAÇÃO E TERMINOLOGIA .........................................................................................................7
1.2.1 Representação de derivadas ...............................................................................................7 1.2.2 Domínio.............................................................................................................................8 1.2.3 Problemas de valor inicial e problemas valores de contorno...............................................8
1.3 PRÉ-REQUISITOS ..........................................................................................................................8
2 . EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: DEFINIÇÃO, CLASSIFICAÇÃO, DEFINIÇÃO DE SOLUÇÃO, TIPOS
DE SOLUÇÃO....................................................................................................................................................10
2.1 DEFINIÇÃO ................................................................................................................................10 2.2 CLASSIFICAÇÃO .........................................................................................................................10 2.3 DEFINIÇÃO DE SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E TIPOS DE SOLUÇÃO..................................12
3 . EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM............................................................................15
3.1 EDO1 SEPARÁVEIS ....................................................................................................................16 3.2 . EDO1 EXATAS.........................................................................................................................20 3.3 FATORES INTEGRANTES..............................................................................................................22
4 . EDO II LINEARES COM COEFICIENTES CONSTANTES.....................................................................24
4.1 EDOII HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES ..............................................................25 4.2 . EDOII LINEARES COM COEFICIENTES NÃO HOMOGÊNEAS ...........................................................27
5 . SEQÜÊNCIAS E SÉRIES .............................................................................................................................31
6 . SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM SÉRIES DE POTÊNCIA............................................35
7 . TRANSFORMADA DE LAPLACE..............................................................................................................40
7.1 TRANSFORMAÇÕES ....................................................................................................................40 7.2 TRANSFORMADAS INTEGRAIS .....................................................................................................41 7.3 TABELA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE .................................................................................43 7.4 CONDIÇÕES PARA A EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ..............................................44 7.5 TRANSFORMADA DE UMA FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES ............................................................46 7.6 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ......................................................................................46 7.7 TRANSFORMADA DE LAPLACE DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO.....................................................49 7.8 SOLUÇÃO DE EDO LINEARES UTILIZANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE ..................................50 7.9 TEOREMAS DE TRANSLAÇÃO.......................................................................................................53
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1. MODELAGEM DE SISTEMAS E TERMINOLOGIA
1.1 Modelagem
“Todos os modelos estão errados, mas alguns são úteis”.
(frase freqüentemente atribuída ao estatístico George P. E. Box)
Modelar é representar um sistema físico real, ou parte dele, em uma forma física ou
simbólica (matemática), preparada de forma conveniente para predizer ou descrever o seu
comportamento. Dos tipos de modelo (icônico, diagramático ou matemático), um dos que tem
maior aplicação na engenharia e em muitas outras áreas do conhecimento humano é o
matemático.
Figura 1 – exemplo de modelo icônico
4
Figura 2 – exemplos de modelos diagramáticos
Um modelo matemático é uma idealização, onde são utilizadas técnicas de construção
lógica, não necessariamente naturais e certamente incompletas. Os fenômenos reais e as
variáveis do problema são descritos por elementos idealizados que representam apenas as suas
características essenciais, através de relações matemáticas. Um modelo matemático é sempre
uma simplificação da realidade, e, em conseqüência, não oferecem garantia de resultados
precisos.
Ao se desenvolver um modelo matemático, é necessário decidir (ou avaliar) qual o grau
de realismo necessário para o modelo, tendo em vista que, em geral, aumentar a fidelidade de um
modelo significa aumentar a sua complexidade e as dificuldades na sua dedução e resolução
numérica.
Um modelo matemático pode ter muitas formas, como um sistema de equações lineares,
uma equação diferencial ou alguma outra expressão matemática. Uma característica importante
de um modelo matemático é proporcionar um meio eficiente de previsão em uma linguagem
concisa e universal de comunicação.
Dentro deste contexto, o interesse em equações diferenciais está na grande variedade de
problemas que podem ser modelados através deste tipo de equação, nas mais diversas áreas do
conhecimento, incluindo engenharias, física, ciências biológicas e sociais.
A tradução do problema ou situação “real” em termos matemáticos (ou seja, a
modelagem) é feita a partir de hipóteses sobre o que está acontecendo, que pareçam ser
consistentes com o fenômeno observado. Por exemplo, é possível observar a relação
proporcional entre a taxa de decaimento de materiais radioativos e a quantidade de material
5
presente, ou entre a taxa de transferência do calor de um corpo mais quente para um corpo mais
frio e a diferença de temperatura entre eles, ou entre a taxa de crescimento de uma população
isolada de insetos e a população atual destes insetos. Todas estas afirmações envolvem a idéia de
taxa de variação, ou seja, a derivada de uma variável em relação ao tempo. Em conseqüência,
quando são expressas matematicamente, tomam a forma de uma equação diferencial, como será
visto mais adiante.
É importante ter em mente que as equações matemáticas são, em geral (no que diz
respeito à engenharia, pode-se dizer sempre) apenas uma simplificação ou descrição aproximada
da realidade. Isso ocorre por que as equações são baseadas em observações, e não é possível
garantir que, com estas observações, se consiga identificar todas as variáveis que governam o
processo e o exato comportamento de todas essas variáveis.
Um exemplo muito ilustrativo deste fato é a mecânica clássica de Newton, que durante
250 anos, acreditou-se descrever exatamente o movimento dos corpos, até se descobrir que, em
situações pouco usuais (como em velocidades próximas à da luz), as leis de Newton não valem.
Outro exemplo diz respeito à taxa de crescimento da população de insetos, que não será
indefinidamente como no enunciado em função de limitações, por exemplo, de alimento.
Além disso, o processo de formulação matemática de um problema real envolve, muitas
vezes, tratar um processo discreto como se fosse contínuo. O exemplo da população de insetos
serva também para ilustrar esta questão. O número de membros de uma população muda por
quantidades discretas (1 a 1), e, para formular o problema na forma diferencial, deve-se assumir
que a população é uma variável contínua (é importante lembrar que só se pode definir a derivada
de uma função contínua). Se, entretanto, a população de insetos for suficientemente grande,
tratar o crescimento da população de insetos como uma função contínua pode ser considerada
uma aproximação muito razoável.
A próxima dificuldade em relação ao uso dos modelos matemáticos está em, uma vez
obtido um modelo, resolver as equações e encontrar uma solução para o modelo. Como será
visto, no caso de modelos baseados em equações diferenciais, é comum ser impossível, com as
ferramentas matemáticas atuais, encontrar a solução da equação. Nestes casos, o que se pode
fazer é tentar conhecer o máximo possível as propriedades da solução, ou tentar realizar
simplificações e aproximações adicionais a fim de viabilizar a solução do problema matemático.
Exemplos de aproximações são linearizar uma equação não linear, ou aproximar uma
função que varia lentamente por seu valor médio (uma constante). Porém, sempre que se faz uma
aproximação deste tipo, é necessário verificar se o problema matemático resultante ainda reflete
adequadamente o problema real em questão, ou para que circunstâncias o modelo simplificado
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continua válido. Quanto maior o conhecimento a respeito do comportamento do fenômeno que
se quer modelar, mais segurança se tem na realização das simplificações.
Finalmente, todas as informações obtidas com o modelo, com a sua solução ou, pelo
menos, com as informações fornecidas pelo modelo sobre o comportamento da solução, devem
ser interpretadas dentro do contexto no qual o problema surgiu. Primeiramente, é necessário
verificar se a solução matemática parece fisicamente razoável. Isso exige, entre outras coisas,
que a solução exista, seja única e depende de maneira contínua dos dados do problema.
Esta última observação está relacionada com o fato de os modelos matemáticos, em geral,
utilizarem coeficientes e condições iniciais que são obtidas experimentalmente, e, por tanto,
estão sujeitos a incertezas e erros experimentais. Se estas pequenas diferenças nas características
do modelo resultarem em grandes variações na solução do problema matemático (característica
das descontinuidades), que não são observáveis no sistema real, então o modelo deve ser revisto.
O fato de a solução parecer razoável não garante, porém, que ela descreve corretamente o
fenômeno observado. A única forma de verificar um modelo é através da comparação de seus
resultados com os dados experimentais e observações do fenômeno modelado.
Em resumo, o processo de criação de um modelo matemático envolve, de maneira geral,
as seguintes etapas:
1. definição do fenômeno ou comportamento que se quer modelar (variável dependente).
2. identificação das variáveis independentes que governam o fenômeno em questão.
3. descrição matemática do comportamento das variáveis e das relações entre as
variáveis em questão.
4. solução o modelo, tratando-o com métodos matemáticos.
5. verificação da consistência da solução oferecida pelo modelo
Um exemplo interessante de criação de um modelo matemático é uma equação
desenvolvida para descrever o comportamento de epidemias. Parte-se da idéia de uma
comunidade com n membros, dos quais p indivíduos estão infectados e q indivíduos não estão
infectados, porém estão susceptíveis, e p + q = n. É mais interessante, porém, trabalhar com a
proporção de indivíduos sãos e infectados do que com os números totais. Assim, define-se x =
p/n e y = q/n, de forma que x + y = 1. Se n é grande, é razoável supor que x e y são variáveis
contínuas. Desta forma, a taxa com a qual a doença se expande é dx/dt. Pode-se fazer a hipótese
de que a doença se espalha pelo contato entre membros sãos e doentes, e assim dx/dt será
proporcional ao número de contatos. Se os dois grupos movem-se livremente, o número de
contatos será proporcional ao produto de x e y. Chega-se então, à equação
xydtdx
β=
7
que pode ser reescrita, tendo em conta que x + y = 1, resultando
1 ( )xxdtdx
−= 1β (1)
onde β é um fator positivo de proporcionalidade. Para resolver o problema da epidemia, é
necessário saber, em um determinado instante, quantas pessoas já estão infectadas
x(t0) = x0
onde x0 é a proporção de indivíduos infectados no instante t0. Este modelo matemático é
conhecido como problema de valor inicial, e a equação 1 é a equação diferencial que pretende
descrever o comportamento do fenômeno. O objetivo do modelo é fornecer uma previsão da
proporção x de indivíduos de uma população que estarão infectados, em uma epidemia, em
algum instante t no futuro.
Construído o modelo, é necessário avaliar a sua validade. Uma análise simples mostra
algumas inconsistências nos pressupostos do modelo. Em primeiro lugar, se a doença é séria,
ocorrerá naturalmente uma quarentena, em função dos indivíduos infectados estarem
incapacitados de realizar as suas atividades. Existe também a possibilidade das autoridades de
saúde forçarem uma quarentena adicional. Estas duas possibilidades limitam a validade do
pressuposto de livre circulação dos indivíduos. Além disso, o modelo pressupõe que os
indivíduos infectados permaneçam assim indefinidamente. Todos os fatores citados tendem a
tornar a propagação da doença mais lenta do que o previsto pelo modelo.
1.2 Notação e terminologia
1.2.1 Representação de derivadas
Utiliza-se normalmente os símbolos y’, y”, y’” , y(4), ..., y(n) para representar as derivadas
de ordem, respectivamente, primeira, segunda terceira, quarta, ..., enésima de y em relação à
variável independente. Se a variável independente for x, ou seja, y = f(x), então y” representa
( )2
2
''dx
tudy =
O uso de parênteses para representar as derivadas de ordem acima de três (por exemplo,
y(4)), tem o objetivo de diferenciar a notação de derivada da notação de potência (y4). Quando a
variável independente é o tempo t, ou seja, y = f(t), então a notação mais usual é y& , y&& e y&&& , de
maneira que
( ) ( ) ( )3
3
2
2
dttudy
dttudy
dttduy === &&&&&&
8
Quando a função tem mais de uma variável independente, é necessário utilizar a derivada
parcial. Neste caso a notação para as derivadas de u=f(x,z) é:
( ) ( )
( ) ( )2
2
2
2
,,
,,
zzxfu
zzxfu
xzxfu
xzxfu
zzz
xxx
∂∂
=∂
∂=
∂∂
=∂
∂=
1.2.2 Domínio
O conjunto de todos os grupos de valores (xi,zi) possíveis para as variáveis independentes,
para as quais a função u (variável dependente) é definida, denomina-se domínio da função
u=f(x,z). Por exemplo, o domínio da função
xu = no conjunto dos números reais é [0,∝).
1.2.3 Problemas de valor inicial e problemas valores de contorno
Será visto mais adiante que o resultado de uma equação diferencial aparece na forma de
uma família de funções. A solução do problema associado à equação em questão será uma
função específica daquela família de funções, que será definida a partir de informações extras a
respeito do problema. O tipo de informação apresentada definira o problema como de valor
inicial ou de valores de contorno.
Um problema de valor inicial caracteriza-se pelas informações extras se referirem a um
único ponto da variável independente. Estas informações são chamadas de condições iniciais.
Em problemas de condições de contorno, as informações extras se referem a mais de um ponto
da variável independente. Neste caso, as informações extras são chamadas de condições de
contorno.
1.3 Pré-requisitos
Seguem algumas derivadas e integrais que serão úteis na disciplina. Outras relações
podem ser retiradas de tabelas
Polinômios
( )( ) ( )
( )
=
==⇒= −
23
0
1
3
0
cxcxdxd
cdxdcx
dxd
ncxcxdxd nn
9
Trigonométricas e hiperbólicas
−=
=⇒
−=
=
22 2sin22cos
cossin
sincos
cossin
xxxdxd
ttdtd
dxduuu
dxd
dxduuu
dxd ωωω
=
=⇒
=
=
22 2sinh22cosh
coshsinh
sinhcosh
coshsinh
xxxdxd
ttdtd
dxduuu
dxd
dxduuu
dxd ωωω
Exponenciais
dxdu
uu
dxd
dxdu
ueu
dxd a
a1ln
loglog =⇒=
dxduee
dxd
dxduaaa
dxd uuuu =⇒= ln
Regra da cadeia
dxdu
dudy
dxdy
=
Outras relações úteis
( )dxduv
dxdvuuv
dxd
+=
( )dxdwuvw
dxdvuvw
dxduuvw
dxd
++=
Integrais
( )∫ += caxdxxa
( ) ( )∫∫ = dxxfadxxaf
( ) ...... ±±±=±±± ∫∫∫∫ wdxvdxudxdxwvu
∫∫ −= vduuvudv
∫ += cedue uu
1,1
1
−≠++
=+
∫ ncnuduu
nn
00,ln11 <>== ∫∫ − uouuuduu
duu
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2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: DEFINIÇÃO, CLASSIFICAÇÃO,
DEFINIÇÃO DE SOLUÇÃO, TIPOS DE SOLUÇÃO.
2.1 Definição
Muitos problemas importantes na engenharia, nas ciências físicas e nas ciências sociais,
quando formulados matematicamente, requerem a determinação de uma função que satisfaça
uma equação que contém as derivadas da função incógnita. Estas equações são denominadas
equações diferenciais. A lei de Newton é um exemplo muito familiar:
2 ( ) ( ) ( )
=
dttdututF
dttudm ,,2
2
(2)
Esta equação permite encontrar a posição u em função do tempo t (ou seja, u(t)) de uma
partícula sobre a qual atua a força F, que varia com o tempo t, a posição u(t) e a velocidade da
partícula du(t)/dt. O movimento de uma partícula sob a ação da força F é descrito por uma
função u(t) que satisfaça a equação acima.
2.2 Classificação
Existem vários tipos de equações diferenciais, que são classificadas de várias formas
segundo suas características. Esta classificação é útil para que se possa, por exemplo, identificar
que método de solução é valido para uma determinada equação diferencial. A primeira
classificação é relativa ao número de variáveis independentes da função incógnita: Se ela tiver
apenas uma variável independente (como u(t)), tem-se uma equação diferencial ordinária
(EDO). Caso a função incógnita tenha mais de uma variável independente (como u(x, y, z, t)), as
derivadas serão parciais e a equação é chamada de equação diferencial parcial (EDP). Existem
muitos exemplos de equações diferenciais ordinárias utilizadas nas diversas áreas da engenharia.
Alguns deles são:
3
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )tFtKxdt
tdxCdt
txdM
tEtQCdt
tdQRdt
tQdL
=++
=++
2
2 1
(3)
A primeira equação acima permite encontrar a função Q(t) que descreve como varia a
carga Q de um condensador em função do tempo t, em um circuito elétrico com indutância L,
resistência R e capacitância C, sobre o qual se impõe uma tensão elétrica E(t). Esta equação é
análoga à equação de equilíbrio, que permite encontrar a posição x(t) de um sistema mecânico
com massa M, amortecimento C e rigidez K, ao qual se impõe uma força F(t).
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Outro exemplo de equação diferencial ordinária é a que governa o decaimento com o
tempo de uma quantidade R(t) de uma substância radioativa (k é uma constante conhecida):
4 ( ) ( )tkRdt
tdR= (4)
Alguns exemplos de equações diferenciais parciais são a equação de potencial
5 ( ) ( ) 0,,2
2
2
2
=∂
∂+
∂∂
yyxu
xyxu (5)
a equação de difusão ou de calor
6 ( ) ( )t
txux
txu∂
∂=
∂∂ ,,
2
22α (6)
e a equação da onda elástica
7 ( ) ( )2
2
2
22 ,,
ttxu
xtxua
∂∂
=∂
∂ (7)
onde α e a são constantes determinadas.
A segunda classificação aplicada às equações diferenciais e a sua ordem, definida pela
derivada de maior ordem contida na equação diferencial. A equação 4 é uma equação diferencial
ordinária de primeira ordem (EDO1). As equações 2 e 3 são equações diferenciais ordinárias de
segunda ordem (EDO2), e as equações 5, 6 e 7 são equações diferenciais parciais de segunda
ordem (EDP2).
Outra classificação importante separa as equações diferenciais ordinárias (EDO) em
lineares e não lineares. A equação diferencial
8 ( )( ) 0,...,',, =nyyyxF (8)
é linear se F é uma função linear das variáveis y, y´, ..., y(n). Desta forma, a equação diferencial
ordinária linear de ordem n tem a forma
9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgyxayxayxa nn
nn =+++ −
− 01
1 ... (9)
onde as funções ai(x) são conhecidas e dependem apenas da variável x. As equações 3 e 4 são
EDO lineares, respectivamente, de segunda e primeira ordem. Por exemplo, a equação
35 += xdxdy
é linear, sendo a1 = 1, a0 = 0 e g(x) = 5x+3.
Uma equação que não pode ser expressa desta forma é não linear. A equação 4'''2''' xyyyey x =++
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não é linear, em virtude do termo yy’. Um exemplo simples de um fenômeno físico descrito por
uma equação diferencial não linear é um pêndulo. A equação que descreve o θ em função do
tempo que um pêndulo oscilante com comprimento l forma com a vertical é
0sin2
2
=+ θθ
lg
dtd
O seno impede que a função seja colocada na forma apresentada na equação 9. As
técnicas de solução de equações diferenciais lineares estão bem desenvolvidas, porém o mesmo
não se aplica às ED não lineares. As técnicas de solução para equações diferenciais não lineares
são muito restritas e bastante complexas. Uma forma de tratar os problemas não lineares é, se
possível, fazer uma aproximação e “linearizar” a equação. Para pequenos ângulos, pode-ser dizer
que sen θ ≅ θ, e assim é possível aproximar a equação do pêndulo oscilante para a equação linear
02
2
=+ θθ
lg
dtd
Alguns problemas, porém, não podem ser linearizados. Um exemplo importante é o do
fluxo de corrente num tubo de elétrons. Algumas técnicas para solucionar este tipo de equação
serão vistas mais adiante.
2.3 Definição de solução de equações diferenciais e tipos de solução
A solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável independente x,
em um intervalo ζ, é uma função y(x) que verifica identicamente a equação para todo o x no
intervalo definido.
Algumas equações diferenciais admitem infinitas soluções (família de soluções),
enquanto outras não têm solução. Um exemplo facilmente verificável de uma equação
diferencial que não tem solução é
( ) 1" 24 −=+ yy
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Como todos os termos do lado esquerdo da equação são uma soma de potências pares,
não existe uma função real y(x) que resulte em um número negativo. Logo, a equação proposta
não tem solução.
Falou-se, na primeira aula, que um modelo matemático de um sistema físico real (SFR),
entre eles os baseados em equações diferenciais, deve ter uma única solução. Embora uma
equação diferencial possa admitir infinitas soluções, um modelo de um sistema físico real, para
estar completamente definido, deverá ser um problema de valor inicial ou um problema de
condições de contorno. Para tanto, é necessário que se defina a equação diferencial que rege o
SFR e as condições iniciais (ou as condições de contorno) para as quais se deseja conhecer a
resposta do modelo. O problema de valor inicial ou de condições de contorno deve ter uma única
solução. A solução da equação 0' =+ayy é ( ) axcexy −= , onde c é uma constante que pode ter
qualquer valor. Quando se impõe uma condição do tipo
y(0) = 2
fica definido um problema de valor inicial, o qual tem uma única solução
10 ( ) axexy −= 2 (10)
Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer uma de suas soluções. A
solução geral da equação diferencial é o conjunto de todas as suas soluções. A solução de um
problema de valor inicial (ou de condições de contorno) é uma solução particular da equação
diferencial.
Uma solução colocada na forma y=φ(x), com a apresentada na equação 10, é chamada de
explícita. Muitas vezes, porém, especialmente no caso de equações não lineares, não é possível
(ou não é conveniente) colocar a solução desta forma. Neste casos, a solução aparece na forma
implícita
11 ( )[ ] 0, =xx φψ (11)
Por exemplo, a solução da equação não linear yxy −=' é 222 cyx =+ . A solução assim
colocada está na forma implícita.
Muitas equações diferenciais não podem ser solucionadas analiticamente, seja pela
complexidade da equação, seja pela impossibilidade de se definir matematicamente as condições
de contorno. Uma forma de abordar este tipo de problema é utilizar métodos numéricos para
encontrar a solução da equação diferencial em um conjunto finito de pontos do seu domínio. Este
tipo de solução é chamado de solução numérica.
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Exercícios
1. Determine a ordem de cada uma das equações diferenciais que seguem e dia se a
equação é linear ou não linear
a) xydxdyx
xydx cos32
22 =++ b) ( ) xey
dxdyx
dxydy =+++ 2
221
c) ( ) 14 =+′+′′+′′′+ yyyyy d) 02 =+ xydxdy
e) ( ) ( )txtdt
xd sinsin2
2
=++ f) ( ) 323
3
cos txtdtdxt
dtxd
=++
g) 2θθ
=ddr h)
yxyy+
=′42
2. Verifique, em cada caso, se as funções dadas são soluções da equação diferencial.
Determine a ordem de cada uma das equações diferenciais e classifique a equação como linear
ou não linear.
a) 0=−′′ yy ⇒ xyey x cosh21 == b) 032 =−′+′′′ yyy ⇒ xx eyey == −
23
1
c) ( ) xyyy =+′′′− 344 ⇒ ( ) ( )33 21xexyxxy x +== −
3. Verifique para que valores de r as equações a seguir tem soluções do tipo rxey =
a) 02 =+′ yy b) 0=−′′ yy
c) 06 =−′+′′ yyy d) 023 =′+′′−′′′ yyy
4) Mostre que ( )[ ] 21
2 −+= cxy , onde c é uma constante arbitrária, é solução da equação
diferencial 03 =+′ yy . Encontre a solução que satisfaz a condição inicial ( ) 21 =y
5) Verifique que ( ) 2122 4xcy −= e ( ) 2
122 4xcy −−= são soluções da equação diferencial
yxy 4−
=′ . Ache a solução particular passando pelo ponto (0, 4) e a solução particular passando
pelo ponto (1, -1).
Respostas
1. a) 2ª ordem, linear b) 2ª ordem, não-linear c) 4ª ordem, linear d)1ª ordem, não linear e) 2ª ordem, não linear f) 3ª ordem, linear
g)1ª ordem, linear h) 1ª ordem, não linear 3. a) r = -2 b)r = ±1 c) r=2, -3 d) r=0, 1 ou 2
4) 2
1
872
−
−= xy
5) (0, 4) ⇒ ( ) 212416 xy −= (1, -1) ⇒ ( ) 2
1245 xy −−=
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3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
As equações diferenciais de primeira ordem têm a forma:
12 ( )yxfy ,'= (12)
onde f é uma função de duas variáveis x e y. Qualquer função y=φ(x), que, juntamente com sua
derivada y’ satisfaça a equação anterior será uma solução da equação diferencial. O objetivo aqui
é determinar se estas funções existem e de que forma podem ser encontradas.
O exemplo mais simples de equação diferencial de primeira ordem ocorre quando f
depende apenas de x, ou seja:
( )xfy ='
O que se está procurando é uma função y=φ(x) cuja derivada seja a função dada. Assim, a
função φ(x) é uma antiderivada (ou integral) de f(x):
( ) ( ) cdttfxyx
+== ∫φ
onde c é uma constante arbitrária. Por exemplo:
( ) cxxyxy +−==⇒= 2cos212sin' φ
Duas características das equações diferenciais de primeira ordem são evidenciadas com
este exemplo: (1) é necessário um único processo de integração para eliminar a derivada de y e
obter o próprio y, e (2) o processo de integração leva a uma expressão para a solução que
envolve uma constante arbitrária (c).
Este exemplo simples de equação diferencial tem uma solução simples e direta, porém
isso não se aplica a todas as equações diferenciais de primeira ordem. Na verdade, não existe um
método geral para encontrar soluções para todas as equações do tipo ( )yxfy ,'= .
A importância da questão da existência e unicidade de um problema de valor inicial já foi
apresentada anteriormente. Quando um problema de valor inicial (a equação diferencial junto
com as condições iniciais) representa um modelo de fenômeno real, é fundamental que a solução
deste problema existe e, além disso, ela seja única. O seguinte teorema estabelece as condições
nas quais um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de primeira ordem
terá sempre uma e somente uma solução
Teorema 1
Se as funções p e g são contínuas num intervalo aberto α < x < β contendo o ponto x=x0,
então existe uma única função y=φ(x) que satisfaz a equação diferencial
( ) ( )xgyxpy =+'
16
para α<x<β, e que também satisfaz a condição inicial y(x0)=y0, onde y0 é um valor inicial
arbitrário prefixado.
A prova deste teorema pode ser encontrada em livros de equações diferenciais, e não será
apresentada neste texto.
É importante lembrar que este teorema vale apenas para equações diferenciais de
primeira ordem lineares. O caso mais geral de problemas de valor inicial, que envolvem também
as equações diferenciais de primeira ordem não lineares, também tem um teorema que garante
em que condições a solução existirá e será única.
Teorema 2
Sejam as funções f e yf ∂∂ / contínuas em algum retângulo α<x<β, γ<y<δ, contendo o
ponto (x0, y0). Então, em algum intervalo x0-h< x <x0+h, contido em α<x<β, existe uma solução
única y=φ(x) do problema de valor inicial y’=f(x,y), y(x0)=y0.
Estas condições são suficientes para garantir a existência de uma solução única para este
problema, mas o valor de h pode ser difícil de determinar. Além disso, mesmo que f não
satisfaça as condições acima, ainda é possível que exista uma solução única.
A representação ( )yxfy ,'= é chamada de forma normal de representação de uma
equação diferencial. Uma outra maneira de representar esta equação é na sua forma diferencial
13 ( ) ( ) 0,, =+dxdyyxNyxM (13)
Sempre é possível fazer isso, fazendo M(x,y) = -f(x,y) e N(x,y) = 1 (poderão existir
também outras formas de fazê-lo).
3.1 EDO1 Separáveis
Quando uma EDO1 é escrita na forma diferencial (eq. 13), se M for apenas uma função
de x e N apenas uma função de y, então a equação 13 fica
14 ( ) ( ) 0=+dxdyyNxM (14)
Por exemplo, a equação
2
2
1'
yx
dxdyy
+==
pode ser escrita
( ) 012 =++−dxdyyx
17
Uma equação que possa ser escrita na forma 14 é dita ser separável, e a razão para esta
denominação fica clara quando ela é reescrita na forma
15 ( ) ( )dyyNdxxM −= (15)
Uma equação diferencial com esta forma pode ser resolvida da seguinte forma. Sejam
duas funções H1(x) e H2(y) tais que
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yNdy
ydHyHxMdx
xdHxH ==== 22
11 ''
A equação 14 pode ser então reescrita
16 ( ) ( ) 0'' 21 =+dxdyyHxH (16)
Se y=φ(x), pela regra da cadeia, tem-se que o segundo termo da equação fica
( ) ( )[ ] ( )( )xHdxdyH
dxd
dxdyyH φ222' ==
Agora, se y=φ(x) for uma solução da equação diferencial 14, então a eq. 16 torna-se
( ) ( )[ ] 0' 21 =+ xHdxdxH φ
ou
17 ( ) ( )[ ]{ } 021 =+ xHxHdxd
φ (17)
Integrando a eq. 17, tem-se
18 ( ) ( )[ ] ( ) [ ] cyHxHcxHxH =+⇒=+ 2121 φ (18)
onde c é uma constante arbitrária e a equação 18 é uma solução da equação diferencial 14 na
forma implícita, onde H1 e H2 são quaisquer antiderivadas de M e N, respectivamente. Estas
antiderivadas são obtidas pela integração do primeiro termo da eq. 15 em relação a x e do
segundo membro em relação a y:
( ) ( ) cdyyNdxxM =+ ∫∫ Os passos acima justificam este procedimento. Esta é a solução para a equação
diferencial. Se for fixada uma condição inicial do tipo y(x0)=y0, o problema passa a ser um
problema de valor inicial, e a constante c será definida substituindo-se x=x0 e y=y0 na equação
18
( ) ( )0201 yHxHc += Se este valor de c for substituído na eq. 18, observando-se que
( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( )∫∫ =−=−y
y
x
xdttNyHyHdttMxHxH
00022011
18
resulta
19 ( ) ( ) 000
=+ ∫∫y
y
x
xdyyNdttM (19)
Esta equação representa a forma implícita da solução da equação diferencial 14. Em
muitos casos, colocar a solução da equação na forma explícita pode ser extremamente difícil. Em
conseqüência disso, em alguns casos, pode ser difícil determinar o intervalo no qual a solução
existe.
Exemplos 1. Solucionar o problema de valor inicial
( ) ( ) 10,12
243 2
−=−
++= yy
xxdxdy
Esta equação diferencial pode ser reescrita na forma
( ) ( )dyydxxx 12243 2 −=++ Integrando o primeiro termo em relação a x e o segundo em relação a y resulta
yycxxx 222 223 −=+++ Para encontrar a constante c, substitui-se y = -1 e x = 0 neste resultado de onde sai que c
= 3, e a equação fica
3222 232 +++=− xxxyy
e esta é uma solução da equação diferencial na forma implícita. Para obter-se a solução na forma
explícita, é necessário resolver colocar a função na forma y=φ(x). Neste caso, é possível escrever
a função como uma equação quadrática em y:
( ) ( )
[ ]2
422222
3221422
32244203222
2323
23232
+++±=
++++±=
++++±=⇒=+++−−
xxxxxxy
xxxyxxxyy
4221 23 +++±= xxxy
O resultado acima apresenta duas soluções para a equação diferencial, porém apenas uma
delas atende à condição inicial y(0) = -1:
4221 23 +++−= xxxy Resta, ainda, avaliar para que valores de x para os quais a solução é válida. Neste caso, é
necessário que o valor dentro da raiz seja positivo. Traçando o gráfico da função, é possível ver
que isso é válido para x > -2.
19
2. Solucionar o problema de valor inicial
221cos
yxy
dxdy
+= , y(0) = 1
Reescrevendo a equação:
xdxdyy
y cos21 2
=+
resulta que ela é separável. Integrando o lado esquerdo em relação a y e o direito em relação a x
( ) ( ) ( )( ) 1sinln
10sin11ln10sinln
sin21
cos21
2
22
2
+=+
=⇒+=+⇒=⇒+=+
+=
+
=+
∫
∫∫
xyyccycxyy
cxdyyy
xdxdyy
y
Não é possível colocar esta solução na forma explícita, o que dificulta a análise sobre o
domínio no qual a solução é válida.
Exercícios – lista 2
1. Resolva as equações diferenciais a seguir
a) yx
dxdy 2
= b) ( )3
2
1 xyx
dxdy
+=
c) 0sin2 =+′ xyy d) ( )( )yxy 2coscos 22=′
2. Para cada um dos problemas a seguir, ache a solução do problema de valor inicial na
forma explicita.
a) ( ) ( ) ( )3
03cos2sin 2π
π ==+ ydyydxx
b) ( ) 100 ==+ − ydyyedxx x
c) ( ) 20 == rrddrθ
Respostas
1. a) cxy =− 32 23 b) cxy =+− 32 1ln23
c) cxy =+− cos1 d) ( ) cxxy =−− 2sin22tan2
2. a) ( )xy 2cos3arcsin31
= b) ( )[ ] 21
112 −−= xexy c) θer 2=
20
3.2 . EDO1 Exatas
Uma equação diferencial de primeira ordem que tem a forma 13, ou seja
( ) ( ) 0,, =+dxdyyxNyxM
será chamada uma equação exata se existe uma função g(x,y) tal que
( ) ( ) ( )dyyxNdxyxMdx
yxdg ,,,+=
Para que esta função g(x,y) exista, ou seja, para que a equação 13 seja exata, as funções
M(x,y) e N(x,y) devem ser funções contínuas em um retângulo (domínio) do plano xy, e devem
ser tais que
20 ( ) ( )x
yxNy
yxM∂
∂=
∂∂ ,, (20)
Se uma equação diferencial for exata, para que se encontre a sua solução, é necessário
resolver as equações
21 ( ) ),(, yxMx
yxg=
∂∂ (21)
22 ( ) ),(, yxNy
yxg=
∂∂ (22)
para g(x,y). A solução da equação 13 será dada implicitamente por
( ) Cyxg =, onde C é uma constante arbitrária. Considere, por exemplo, a equação diferencial
23 ( ) 012 2 =++ dyxdxxy (23)
Nesta equação, M(x,y) = 2xy e N(x,y) = (1+x2). A equação é exata, pois
( ) ( ) xx
yxNy
yxM 2,,=
∂∂
=∂
∂
e, por tanto, para encontrar a sua solução, é necessário encontrar g(x,y). Pela equação 21, tem-se
( ) xyyxMx
yxg 2),(,==
∂∂
de onde tira-se que
( ) ( )
( ) ( )yhyxyxg
dxxydxx
yxgyxg
+=
=∂
∂= ∫∫
2,
2,,
É importante lembrar que h(y), que é a constante que aparece na integração é constante
em relação a x, mas não necessariamente em relação a y. Para que se determine a solução da
21
equação diferencial 23, é necessário determinar h(y). Para isso, utiliza-se a equação 22. Em
primeiro lugar, nota-se que
( ) ( )( ) ( )yhxyhyxy
yxNy
yxg '),(, 22 +=+∂∂
==∂
∂
Foi determinado no início do problema que N(x,y) = 1+x2. Por tanto, concluí-se que
( ) ( ) ( ) 122 1''1),( cyyhyhyhxxyxN +=⇒=⇒+=+=
Resulta que
( ) 12, cyyxyxg ++=
Sabe-se que a solução da equação diferencial proposta é
( ) ( )1222
12, ccccyyxccyyxcyxg −==+⇒=++⇒=
Assim
22 cyyx =+
é a solução da equação diferencial 23 na forma implícita. Ela pode ser colocada na forma
explicita em relação a y, resultando em
122
+=
xcy
Exercícios – lista 3
1. Determine se cada uma das equações nos problemas 1 a 12 é ou não exata. Se for
exata, encontre a solução.
a) ( ) ( ) 02232 =′−++ yyx b) ( ) ( ) 0419 2 =′−−−+ yxyyx
c) cybxbyax
dxdy
++
= d) ( ) ( ) 0cos2cossin2sin =++− dyxyedxxyye xx
e) ( ) ( ) 032cos22sin22cos =−++− dyxxedxxxexye xyxyxy
f) ( ) ( ) 0,0,0lnln >>=+++ yxdyxyxydxxyyx
2. Ache o valor de b que torna cada uma das seguintes equações exatas e então resolva a
equação utilizando este valor para b.
a) ( ) ( ) 0222 =+++ dyxyxdxybxxy
b) ( ) 022 =++ dybxedxxye xyxy
Respostas
1. a) cyyxx =−++ 23 22 b) cyxxyx =−−+ 23 23 c) kcybxyax =++ 22 2 d) cxyye x =+ cos2sin e) cyxxe xy =−+ 32cos 2 f) não exata
2. a) cyxyxb =+= 322 23 b) cxeb xy =+= 22,1
22
3.3 Fatores integrantes
É importante lembrar que o método, como colocado até agora, só permite resolver
equações diferenciais de primeira ordem (EDO1) exatas. Este é um caso muito específico, e em
geral uma equação com a forma
24 ( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM (24)
não é exata (note que esta equação é exatamente igual a equação 11, porém escrita de outra
forma). Muitas vezes, porém, é possível transformá-la em uma equação exata multiplicando-a
por um fator adequado µ(x,y). Assim, se a equação
25 ( ) ( ) ( )[ ] 0,,, =+ dyyxNdxyxMyxµ (25)
é exata, então µ(x,y) é um fator integrante da equação 24. Assim, se for encontrado um fator
integrante de uma equação diferencial não exata, é possível encontrar transformá-la em uma
equação exata e encontrar a sua solução com o mesmo método apresentado para equações exatas.
A aplicabilidade deste método depende, no entanto, de se encontrar, para casos gerais, o
fator integrante da equação diferencial. Isso, infelizmente, é muito difícil, e geralmente a
identificação do fator integrante depende da habilidade do calculista. Existem tabelas com casos
conhecidos que podem ajudar.
Um caso em que é simples encontrar um fator integrante é quando µ é uma função apenas
de x ou de y, e não de ambas. Considerando o caso em que µ é uma função só de x, pode-se
fazer:
( )
( )dxdNNN
MM
xx
yy
µµµ
µµ
+=
=
Se µ é um fator integrante, (µM)y=(µN)x, e resulta
NNM
dxd
dxdNNM xy
xy
−=⇒+= µ
µµµµ
Se N
NM xy − for função apenas de x, então existe um fator integrante µ que depende
apenas de x, e que pode ser encontrado resolvendo a EDO1 linear
NNM
dxd xy −
= µµ
O mesmo procedimento pode ser feito para encontrar um fator integrante que depende
apenas de y.
23
Exercícios – lista 4
1. Mostre que as equações a seguir não são exatas, mas se tornam exatas quando
multiplicadas pelo fator integrante dado. Resolva então as equações.
a) ( ) 3232 101
xyyyxyx ==′++ µ b) ( ) ydyyexydx y ==++ µ02
2. Em cada um dos problemas a seguir, ache o fator integrante e resolva a equação dada.
a) ( ) ( ) 023 2232 =++++ dyyxdxyxyyx b) 12 −+=′ yey x
c) ( ) 02 2 =−+ − dyexyydx y d) 03632
=
++
+
dxdy
xy
yx
yx
Respostas
1. a) cyyx =−+ −22 ln2 b) ( ) ceyyxy y =+−− 2222
2. a) ( ) ( ) ceyyxex xx =+= 3323 3;µ b) ( ) xxx eceyex 21; ++== −µ
c) ( ) cyxey
ey yy
=−= ln; 22
µ d) não existe ( )xµ ou ( )yµ
24
4. EDO II LINEARES COM COEFICIENTES CONSTANTES
Uma EDOII é uma equação com a seguinte forma geral
26 ( ) 0'',',, =yyyxF (26)
A teoria geral para solução de equações diferencias deste tipo é bastante complicada.
Serão discutidas a seguir a solução de alguns casos específicos, úteis em aplicações de
engenharia. Em primeiro lugar, serão feitas algumas considerações sobre o caso particular em
que é possível resolver a equação 26 para y’’, ou seja
( )',,'' yyxfy = Para resolver esta equação, ou seja, encontrar uma y=φ(x) que satisfaça a igualdade, serão
necessárias duas integrações. Em conseqüência disso, vão aparecer duas constantes arbitrárias.
No exemplo simples
( )xgy ='' a solução é encontrara integrando a função g(x) duas vezes. Na primeira integração, resulta
( ) ( )∫∫ +==tt
dxsgcdxsgy 1'
Integrando novamente:
( ) ( ) dtdxsgxccdtdxsgcyx tx t∫ ∫∫ ∫
++=
+= 121
Em um problema de valor inicial, para que se determine o valor das constantes c1 e c2, é
necessário estabelecer duas condições iniciais, como o valor de y0 e y’0 em um ponto x0.
Considerando agora o caso particular em que a EDOII é linear, ela terá a forma
27 ( ) ( ) ( ) ( )xGyxRdxdyxQ
dxydxP =++2
2
(27)
Assumindo P, Q, R e G contínuas em α < x < β, e que P nunca se anule neste intervalo,
pode-se dividir todos os termos da equação por P(x), resultando
28 ( ) ( ) ( )xgyxqdxdyxp
dxyd
=++2
2
(28)
O teorema a seguir, que não será demonstrado, garante a existência e a unicidade da
solução desta equação.
Teorema
Se as funções p, q e g são contínuas em um intervalo aberto α < x < β, então existe uma
e somente uma função y=φ(x) que satisfaz a equação 28 em todo o intervalo α < x < β, com as
condições inicias pré-fixadas y(x0) = y0 e y’(x0) = y’0, em um ponto particular do intervalo.
25
Exemplo Resolver o PVI
( ) ( ) 10',000" ===+ yyyy A solução deste problema é uma função cuja segunda derivada seja igual a própria
função, porém com o sinal invertido. Exemplos de funções com este comportamento são sen(x) e
cos(x). Porém, apenas a função y = sen(x) satisfaz as condições iniciais:
( ) ( ) ( ) 10cos)0(',00sin00sinsin"
sin"cos'sin
=====−=+
−===
yyxxyy
xyxyxy
Para encontrar a solução da EDOII com a forma apresentada na equação 28, será
necessário resolver a equação homogênea correspondente
29 ( ) ( ) 02
2
=++ yxqdxdyxp
dxyd (29)
onde g(x) foi substituído por zero (0). Uma vez encontrada a solução deste problema, a solução
do problema original não homogêneo poderá ser encontrada com um método geral, que será
visto mais adiante.
4.1 EDOII Homogêneas com coeficientes constantes
Uma caso particular da equação 29, que encontra importantes aplicações em engenharia,
e cuja solução é relativamente simples, é quando os coeficientes da equação são constantes, ou
seja, o caso de uma equação diferencial com a forma
30 02
2
=++ cydxdyb
dxyda (30)
onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. É interessante notar que, como a, b e c são constantes, o
teorema da existência e unicidade estará automaticamente satisfeito para -∞< x ∞.
Por observação, pode-se prever que a solução desta equação deverá ser uma função
y=φ(x) que difira de sua primeira derivada y’ e de sua segunda derivada y” apenas por fatores
multiplicativos constantes. Um caso bem conhecido deste tipo de comportamento é a função rxey =
onde r é um valor que deverá ser determinado. Substituindo esta solução na equação 30, obtém-
se
( ) ( ) ( ) 0'" =++ rxrxrx ecebea
26
Observando que
( ) ( ) rxrxrxrx eredxdree
dxd 2
2
2
==
resulta
( ) ( ) ( ) ( ) 00 22 =++⇒=++ cbrareecebrear rxrxrxrx
Como erx não é zero, tem-se então que
31 02 =++ cbrar (31)
A equação algébrica acima é conhecida como a equação característica da equação 30.
Lembrando que a, b e c são os coeficientes da equação e r é a parte ainda desconhecida da
solução, resulta que será necessário resolver a equação 31 para r:
aacbbr
242 −±−
=
Esta fórmula levará, em geral, a dois valores de r. Em conseqüência do termo acb 42 − ,
existem três possibilidades para estes valores:
1. r1≠r2, ambos reais ( 042 >− acb ).
Neste caso, a solução da equação diferencial 30 será
32 xrxr ececy 2121 += (32)
onde c1 e c2 deverão ser determinados pelas condições iniciais do problema.
2. r1=r2(=r), real ( 042 =− acb ).
Neste caso, a solução da equação diferencial 30 será
33 rxrx xececy 21 += (33)
e c1 e c2 também serão determinados pelas condições iniciais do problema.
3. r1 ≠r2, complexos ( 042 <− acb ).
Quando 042 <− acb , os valores de r1 e r2 serão da forma λ±iµ (número complexo), e a
solução terá a forma ( )xie µλ± (exponencial complexa). As funções exponenciais complexas têm
uma relação conhecida com as funções trigonométricas seno e co-seno:
( ) ( )( ) ( )xixe
xixeix
ix
sincossincos
−=
+=−
27
Esta relação é conhecida como a fórmula de Euler. A partir destas relações, pode-se
demonstrar que a solução da equação diferencial, para este caso, fica:
34 xecxecy xx µµ λλ sincos 21 += (34)
Nos resultados dos três casos apresentados acima, não foram apresentadas as provas
correspondentes, que demonstram serem estas as soluções únicas da equação diferencial em cada
caso. O aluno interessado na prova deverá buscar na bibliografia adequada.
Exercícios – lista 5
1. Nos problemas a seguir, determine a solução geral da equação. Se forem dadas as
condições iniciais encontre a solução que satisfaz a condição inicial.
a) 032 =−′+′′ yyy b) 06 =−′−′′ yyy c) 0=−′′ yy
d) 02 =+′−′′ yyy e) 05 =′+′′ yy f) 022 =−′−′′ yyy
g) ( ) ( ) 10,1002 =′==−′+′′ yyyyy
h) ( ) ( ) 01,11098 =′==−′+′′ yyyyy
i) 022 =+′−′′ yyy j) 062 =+′−′′ yyy k) 0136 =+′+′′ yyy
l) ( ) ( ) 10,0004 =′==+′′ yyyy
Respostas
a) xx ececy 321
−+= b) 3221
xx ececy −
+= c) xx ececy −+= 21
d) xx xececy 21 += e) xeccy 521
−+= f) ( ) ( )xx ececy 312
311
−+ +=
g) xey = h) ( ) 119
109
101 −−− += xx eey i) xecxecy xx sincos 21 +=
j) xecxecy xx 5sin5cos 21 += k) ( )xcxcey x 2sin2cos 213 += −
l) xy 2sin21
=
4.2 . EDOII lineares com coeficientes não homogêneas
Neste ponto, é importante lembrar que a solução obtida nos três casos acima refere-se ao
problema homogêneo com coeficientes constantes, representado pela equação 30. Será
necessário, agora, apresentar um método para encontrar a solução geral do problema não
homogêneo correspondente
35 ( )xgcydxdyb
dxyda =++2
2
(35)
O teorema a seguir vale para este caso, e também é válido para o caso mais geral do
problema não homogêneo, em que os coeficientes não são constantes, representado pela equação
28
27 ou pela equação 28. Para este caso, porém, ainda não foi apresentado um método de se
encontrar a solução do problema homogêneo.
Teorema
Dada uma solução yp da equação diferencial linear não homogênea
( ) ( ) ( )xgyxqdxdyxp
dxyd
=++2
2
qualquer solução y=φ(x) desta equação pode então ser expressa como
( ) ( ) ( ) ( )xycxycxyx p 2211 ++=φ
onde y1 e y2 são soluções linearmente independentes da equação homogênea correspondente
( ) ( ) 02
2
=++ yxqdxdyxp
dxyd
A solução yp é chamada solução particular da equação diferencial não homogênea.
Voltando agora ao caso da equação com coeficientes constantes 35, para a qual já é
possível determinar a solução da equação homogênea correspondente. O método dos coeficientes
indeterminados permite encontrar a solução particular yp da equação diferencial 35, nos casos em
que o termo não homogêneo g(x) é uma função exponencial (eαx), polinomial (anxn+...+a0) ou de
caráter senoidal (sen (βx) ou cos(βx)), ou um produto em que os termos tem as formas
mencionadas acima, tal como
( ) ( )
++=xx
axaexg nn
x
ββα
sincos
... 0
Serão estudados três casos de termos não homogêneos g(x) formados por combinações
dos tipos de função citados acima. Em cada caso, a solução particular será procurada com um
determinado formato. O primeiro é o caso de um termo não homogêneo na forma de um
polinômio com grau n
( ) 01
1 ... axaxaxg nn
nn +++= −
−
Neste caso, a solução particular yp deve ser procurada com a forma
01
1 ... AxAxAy nn
nnp +++= −
−
e as constantes Ai devem ser determinadas substituindo a solução na equação diferencial. O
segundo caso é o de termos não homogêneos formados pela combinação
( ) ( )01
1 ... axaxaexg nn
nn
x +++= −−
α
A solução particular yp neste caso deverá ter a forma
( )01
1 ... AxAxAey nn
nn
xp +++= −
−α
29
e as constantes Ai devem ser procuradas substituindo-se esta solução na equação diferencial. É
útil lembrar que o coeficiente α na exponencial da solução particular yp é o mesmo do termo não
homogêneo g(x), e por tanto é conhecido (um dado do problema), e não é necessário determiná-
lo.
O terceiro tipo de termo não homogêneo estudado terá a forma
( ) ( )
+++= −
−
xou
xxaxaxaexg n
nn
nx
β
βα
cos
sin... 0
11
Para este caso, a solução particular yp deverá ter a forma
( ) ( )[ ]xeBxBxBxeAxAxAy xnn
nn
xnn
nnp ββ αα sin...cos... 0
110
11 +++++++= −
−−
−
e as constantes An e Bn são encontradas substituindo esta solução na equação diferencial. Um vez
mais, é útil observar que os coeficientes α e β que aparecem na solução particular yp são os
mesmos do termo não homogêneo e, por tanto, já são conhecidos.
Duas observações devem ser feitas neste ponto. A primeira permite ampliar os casos que
podem ser solucionados com o procedimento apresentado acima. Quando o termo não
homogêneo g(x) da equação diferencial for uma soma envolvendo os tipos de função
apresentados acima
( ) ( ) ( )xgxgxg 21 +=
onde g1(x) e g2(x) tem a forma de algum dos três casos apresentados anteriormente, de maneira
que a equação diferencial terá a forma
( ) ( )xgxgcbyay 21'" +=++
então podem ser obtidas duas soluções particulares separadamente yp1 e yp2, fazendo
( )xgcbyay 1'" =++
( )xgcbyay 2'" =++
e a solução particular yp da equação diferencial original será a soma das duas soluções
particulares encontradas
21 ppp yyy +=
A segunda observação permite corrigir uma falha do método que pode acontecer em
alguns casos. Se algum termo da solução particular procurada yp resultar igual a uma solução da
equação homogênea correspondente, será necessário multiplicar yp por xs, onde s = 1 ou 2 (o que
for necessário para garantir que nenhum termo da solução particular yp seja uma solução da
equação homogênea) antes de determinar os coeficientes Ai.
30
O quadro a seguir resume as possibilidades de formato da solução particular yp em função
da forma do termo não homogêneo da equação diferencial.
g(x) yp(x) ( ) 0
11 ... axaxaxp n
nn
nn +++= −− ( )0
11 ... AxAxAx n
nn
ns +++ −
− ( ) x
n exp α ( ) xnn
nn
s eAxAxAx α0
11 ...+++ −
−
( )
xx
exp xn β
βα
cossin
( )
( ) ]sin...cos...[
01
1
01
1
xeBxBxBxeAxAxAx
xnn
nn
xnn
nn
s
β
βα
α
+++
++++−
−
−−
Exercícios – Lista 6
1. Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais. Quando as condições iniciais
forem informadas, ache a solução que satisfaça às condições iniciais dadas.
a) ( ) ( ) 10',0022 ===−′+′′ yyxyyy
b) ( ) ( ) 20',0034 2 ==+=+′′ yyexyy x
c) 69 32 +=+′′ xexyy d) xxyyy sin332 2 +=+′+′′
e) xeyyy x cos2 =+′+′′ f) tuu 02
0 cosωω =+′′
Respostas
a) 21
21 2 −−−= − xeey xx b) xexxxy
53
81
412cos
40192sin
107 2 −−+−=
c) 32
91
32
1813sin3cos 32
21 +
+−++= xexxxcxcy
d) ( ) xxxxececy xx cos109sin
1031462
212 −−+−++=
−−
e) ( )xxexececy xxx cos3sin4251
21 +++= −−
f) tttctcu 00
0201 sin2
1sincos ωω
ωω ++=
31
5. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES
O método apresentado anteriormente para resolver equações diferenciais de segunda
ordem permite resolver apenas o caso particular de equações com coeficientes constantes.
Existem muitas aplicações importantes que exigem solucionar equações lineares de coeficientes
variáveis de segunda ordem ou de ordem ainda maior, para as quais o método apresentado não
pode ser aplicado.
Equações diferenciais ordinárias lineares de ordem superior (maior do que 1) com
coeficientes variáveis não podem ser resolvidas em termos de funções elementares. Uma maneira
de encontrar a solução destas equações é supor que exista uma solução na forma de uma série
infinita e proceder de forma semelhante ao método dos coeficientes indeterminados para
determinar a solução. Dos tipos de séries infinitas existentes, a mais utilizada para solucionar as
equações diferenciais em questão são as séries de potência. Uma breve revisão deste tipo de série
será apresentada a seguir.
Uma série de potência em x - a, ou uma série de potências centrada em a, é uma série
infinita da forma
( ) ( ) ( )∑∞
=
−=+−+−+0
2210 ...
n
nn axcaxcaxcc
Um caso de grande interesse na solução de equações diferenciais é o de séries de potência
centradas em a = 0. Uma série de potências converge num ponto x se o
( )∑=
∞→−
m
n
nnm
axc0
lim
existe, ou seja, a soma converge para um número finito e bem definido. Uma série sempre
converge em x = a; ela pode convergir para qualquer valor de x ou apenas para uma certa faixa
de valores de x. O conjunto de todos os valores de x para os quais a série converge é chamado de
intervalo de convergência. Toda a série de potências tem um raio de convergência. Se a série
converge apenas em x = a, o raio de convergência é R = 0. Se o raio de convergência é R > 0,
então a série converge para |x - a| < R e diverge para |x - a| > R. Uma série que converge para
todo o x tem raio de convergência R = ∞. Nos extremos do intervalo de convergência (|x - a| =
R), a série pode ou não convergir.
Dentro do seu intervalo de convergência, uma série de potências converge absolutamente,
ou seja, se a série de valores absolutos
( )∑∞
=
−0n
nn axc
32
converge então a série de potências
( )∑∞
=
−0n
nn axc
também converge. Este resultado é importante por que é utilizado em uma das formas mais
freqüentes de se determinar a convergência de uma série: o teste da razão. Supondo que cn ≠ 0
para todo o n, e que
( )( )
Lc
caxaxcaxc
n
n
nnn
nn
n=−=
−− +
∞→
++
∞→
11
1 limlim
Se L < 1, a série converge absolutamente. Se L > 1, a série diverge. Se L=1, o teste é
inconclusivo. Por exemplo, para testar a convergência da série de potências
( ) ( )∑∞
=
+ −−0
1 21n
nn xn
aplica-se o teste da razão
( ) ( )( )( ) ( )
21lim221
211lim 1
12
−=+
−=−−
−+−∞→+
++
∞→x
nnx
xnxn
nnn
nn
n
Pela condição apresentada pelo teste, para |x - 2| < 1, ou seja, para 1 < x <3, a série
converge. Para |x - 2| > 1 a série diverge, e para x = 1 e x = 3 o teste não é conclusivo. O raio de
convergência da série é igual a 1.
Uma série de potências define uma função ( ) ( )∑∞
=
−=0n
nn axcxf ,cujo domínio é o
intervalo de convergência. Se o raio de convergência for R > 0, então a função f será contínua
diferenciável e integrável no intervalo (a - R, a + R). Em uma série de potências centrada em a =
0, ( ) ( )∑∞
=
==0n
nn xcxfy , as duas primeiras derivadas serão
( )∑∞
=
−=0
1'n
nn xncy ( )( )∑
∞
=
−−=0
21"n
nn xnncy
O primeiro termo da primeira derivada e os dois primeiros termos da segunda derivada
são nulos. Estes termos nulos podem ser omitidos e as derivadas podem ser reescritas
( )∑∞
=
−=1
1'n
nn xncy ( )( )∑
∞
=
−−=2
21"n
nn xnncy
Uma série de potências ( ) 00
=−∑∞
=n
nn axc para todo o número x no intervalo de
convergência R > 0, então cn = 0 para todo o n (série de potências identicamente nula).
33
Uma série de potências cujos coeficientes cn tem a forma ( ) ( )
!nafc
n
n =
é chamada de série de Taylor. Uma série de Taylor centrada em a = 0 é chamada de série de
McLaurin. Muitas funções podem ser representadas por uma série de Taylor. Exemplos disso são
!6!4!21cos
!7!5!3sin
!3!2!11
642
753
32
xxxx
xxxxx
xxxe x
−+−=
++−=
+++=
Finalmente, mais um conceito importante em aplicações de séries para solução de
equações diferenciais é o de analiticidade de um ponto. Uma função f(x) é analítica em um ponto
x = a se pode ser representada por uma série de potências em (x-a) com raio de convergência
positivo ou infinito. As funções mostradas acima (ex, sen(x) e cos(x)) podem ser representadas
em com uma série de Taylor centrada em zero (ou série de McLaurin), e assim são analíticas no
ponto x = a = 0.
Outro assunto que será importante para a utilização de séries em solução de equações
diferenciais é a possibilidade de se realizar operações aritméticas com as séries de potência. As
séries de potência podem ser combinadas com operações como adição, multiplicação e divisão.
Os procedimentos são similares aos utilizados para somar, multiplicar e dividir dois polinômios,
isto é, somar os coeficientes das potências iguais, usar a propriedade distributiva, agrupar termos
de mesma potência de x e efetuar divisão. Por exemplo:
...303
...61
61
21
61
!7!5!3!3!2!11sin
532
43275332
+−++=
=+
+−+
+−++=
++−
+++=⋅
xxxx
xxxxxxxxxxxxe x
Como as séries ex e sen(x) convergem para |x|<∞, o produto das séries também converge
para o mesmo intervalo. A operação mais utilizada para solucionar equações diferencias com
séries é a soma de séries de potência. Para realizar esta operação, muitas vezes, é necessário
ajustar a série para sincronizar o índice do somatório e as potências de x. Por exemplo, para
realizar a soma
( ) ∑∑∞
=
+∞
=
− +−0
1
2
21n
nn
n
nn xcxnnc
34
é necessário que o índice de ambos os somatórios comece com o mesmo número e que as
potências de x comecem iguais (estejam em fase). No exemplo, uma das séries começa com x0 e
a outra com x1. É possível tirar o primeiro termo da série que começa com x0 do somatório,
resultando
( ) ∑∑∞
=
+∞
=
− +−+0
1
3
22 12
n
nn
n
nn xcxnncc
e fazendo com que as duas séries comecem com x1. Falta ainda fazer com que o índice do
somatório seja o mesmo nas duas séries. Isto pode ser feito da seguinte forma: em uma das
séries, a potência de x é n-2 (xn-2). Nesta série, todos n devem ser substituídos por n+2. Na outra
série, a potência de x é n+1. Nela, todos os n deve ser substituídos por n-1. Este procedimento
resultará em
( )( ) ∑∑∞
=−
∞
=+ ++++
11
122 122
n
nn
n
nn xcxnncc
Com este procedimento, ambas as séries começam com n=2 e com a mesma potência de
x (xn). A soma pode então ser realizada, resultando
( )( ) ( )( )[ ]∑∑∑∞
=−+
∞
=−
∞
=+ ++++=++++
1122
11
122 122122
n
nnn
n
nn
n
nn xcnnccxcxnncc
Exercícios – Lista 7
1. Determine o raio e o intervalo de convergência de cada uma das séries seguintes
a) ( )∑∞
=
−0
3n
nx b) ∑∞
=0
2
!n
n
nx c) ( )∑
∞
=
+
02
12n
n
nx
2. Reescreva a expressão dada como uma única série de potências
a) ∑∑∞
=
+∞
=
− +1
1
1
1 62n
nn
n
nn xcxnc b) ( ) ( ) ∑∑∑
∞
=
∞
=
−∞
=
+−+−11
2
23121
n
nn
n
nn
n
nn xncxcnnxcnn
Resposta
1. a) 42,1 <<= xR b) ∞=R c) 01,21
<<−= xR
2. a) ( )[ ]∑∞
=−+ +++
1111 6122
n
nnn xccnc
b) ( ) ( )( )[ ]∑∞
=+ ++++−+++
22321 121223
n
nnnn xnccnnncnnxccxc
35
6. SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM SÉRIES DE
POTÊNCIA
Será mostrado a seguir como resolver uma equação diferencial ordinária homogênea de
segunda ordem com coeficientes variáveis
36 ( ) ( ) ( ) 0'" 012 =++ yxayxayxa (36)
utilizando séries de potência. Em primeiro lugar, a equação 36 deverá ser dividida por a2(x),
resultando
37 ( ) ( ) 0'" =++ yxQyxPy (37)
onde
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )xaxaxQe
xaxaxP
2
0
2
1 ==
Colocar a equação nesta forma é necessário para verificar os pontos ordinários e
secundários da equação. Um ponto x0 será ordinário da equação 37 se tanto P(x) quanto Q(x)
forem analíticas em x = x0. Quando um ponto não é ordinário, será um ponto singular da
equação. Por exemplo, na equação
0)(sin'" =++ yxyey x
todo o valor finito de x é um ponto ordinário (ex e sen(x) são analíticas em qualquer valor finito
de x). Já na equação
0)(ln'" =++ yxyey x
o ponto x=0 é um ponto singular, pois a função ln(x) é descontínua e, por tanto, não é analítica
neste ponto.
Uma caso de particular interesse é quando os coeficientes da equação 36 a2(x), a1(x) e
a0(x) são polinômios. Um polinômio é analítico em qualquer valor de x, Uma função racional
(razão de polinômios) será analítica, a não ser nos pontos em que o seu denominador se anula.
Em conseqüência, a equação 37 será analítica em todos os pontos, exceto naqueles onde a2(x)=0.
Desta forma, x=x0 será um ponto ordinário da equação, se a2(x0)≠0, e será singular se a2(x0)=0.
Por exemplo,
( ) 06'2"12 =++− yxyyx
terá como pontos singulares aqueles em que ( ) 012 =−x , ou seja 1±=x . A equação
0'"2 =++ cybxyyax
conhecida como equação de Cauchy-Euler, será singular em x=0. Já a equação
( ) 0'"12 =−++ yxyyx
36
terá como pontos singulares aqueles em que ( ) 012 =+x , ou seja ix ±= , mostrando que os pontos
singulares não precisam ser reais. Com base na definição de pontos ordinários e singulares, o
teorema a seguir apresenta as condições para garantir a existência de soluções em séries de
potência para a equação diferencial 36.
Teorema
Se x=x0 for um ponto ordinário da equação
( ) ( ) ( ) 0'" 012 =++ yxayxayxa
será sempre possível encontrar duas soluções linearmente independentes na forma de séries de
potência centradas em x0, isto é,
( ) ( )∑∞
=
−=0
0n
nn xxcxy
Uma solução em série converge pelo menos em algum intervalo definido por |x-x0|<R,
onde R é a distância de x0 ao ponto singular mais próximo.
Esta solução será chamada de solução em torno de um ponto ordinário. A distância R é o
valor mínimo do raio de convergência, que poderá ser maior. Por exemplo
( ) 0'"522 =−++− yxyyxx
terá como pontos singulares aqueles em que 0522 =+− xx , ou seja, ix 21±= . O raio de
convergência será dado por 521 22 =+=R . Como x=0 é um ponto ordinário, será possível
encontrar uma solução para a equação com a forma
( ) ( )∑∞
=
=0n
nn xcxy
De acordo com o teorema, a solução vai convergir pelo menos para 5|| <x , porém ela
poderá convergir para valores maiores do que este. Neste caso, por exemplo, a soluça converge
para ∞<|| x .
O método de solução que será apresentado a seguir supõe que x=0 é um ponto ordinário
da equação, e que será possível encontrar uma solução tipo ( ) ( )∑∞
=
=0n
nn xcxy . Quando isso não
for possível, deverá ser feita uma mudança e variáveis t=x-x0, permitindo encontrar uma solução
do tipo ( ) ( )∑∞
=
=0n
nn tcxy , para que depois seja desfeita a substituição e se volta a variável original
x.
37
A determinação da série que será solução da equação diferencial 36 será feita com um
método similar ao dos coeficientes indeterminados, utilizado para encontrar a solução particular
de uma EDOII não homogênea com coeficientes constantes. Em função da similaridade, o
método é chamado de método dos coeficientes a determinar da série. A idéia, em resumo é supor
que
( ) ( )∑∞
=
=0n
nn xcxy
é solução da equação diferencial e substituir esta solução na equação 36, resultando em
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0)1(0
01
11
2
22 =
+
+
− ∑∑∑
∞
=
∞
=
−∞
=
−
n
nn
n
nn
n
nn xcxaxncxaxnncxa
Após ajustar as séries na equação e combinar os termos para obter um único somatório,
será utilizada a propriedade série de potências identicamente nula para encontrar o valor dos
coeficientes cn. Serão encontrados dois conjuntos de coeficientes, que levarão a duas séries y1(x)
e y2(x). Estas serão as duas soluções linearmente independentes garantidas pelo teorema. A
solução geral da equação terá a forma
( ) ( )xycxycy 2210 +=
Exemplo Achar a solução da EDOII a seguir por séries de potência
( ) 0'"12 =−++ yxyyx
Esta equação tem pontos singulares em ( ) 012 =+x , ou ix ±= . A solução por série
convergirá pelo menos para |x| < 1. Como x=0 é um ponto ordinário, e possível supor uma
solução do tipo
( ) ∑∞
=
=0n
nn xcxy
cujas derivadas serão
∑∞
=
−=1
1'n
nnnxcy ∑
∞
=
−−=2
2)1("n
nn xnncy
Substituindo na equação diferencial, resulta:
( ) 0)1(101
1
2
22 =
−
+
−+ ∑∑∑
∞
=
∞
=
−∞
=
−
n
nn
n
nn
n
nn xcnxcxxnncx
0)1()1(01
1
2
2
2
22 =−+−+− ∑∑∑∑∞
=
∞
=
−∞
=
−∞
=
−
n
nn
n
nn
n
nn
n
nn xcnxcxxnncxnncx
38
0)1()1(012
2
2=−+−+− ∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
−∞
= n
nn
n
nn
n
nn
n
nn xcnxcxnncxnnc
Para agrupar as séries em um único somatório, é necessário ajustar sincronizar as
potências de x e os índices dos somatórios
0)1(62)1(2
102
1
24
232
2
=−−−++−+++− ∑∑∑∑∞
=
∞
=+→
∞
=
−∞
= n
nn
n
nn
nnn
nn
n
nn xcxccnxcxcxnncxccxnnc
Após trocar o índice do segundo somatório e reorganizar os termos:
( ) 0)1(2)1(62222
22
302 =−++++−++− ∑∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=+
∞
= n
nn
n
nn
n
nn
n
nn xcnxcxnncxnncxccc
É possível agora agrupar as séries
( )[ ]∑∞
=+ −++++−++−
22302 )1(2)1(62
n
nnnnn xcncnncnncxccc
Os fatores que multiplicam cn podem ser agrupados:
( ) ( )[ ]∑∞
=+ +++−+++−
22302 )1(2)1(162
n
nnn xnncnncxccc
Utilizando a propriedade da série identicamente nula, pode-se determinar os coeficientes
que multiplicam cada potência de x
( ) ( )[ ]∞
∑∞
=+ +++−+++−
xxn
nnn
xx
xnncnncxccc
...2
2302
2
10
)1(2)1(162
202 0
202cccc =→=−
( ) ( ) ( )( ) ( ) ,...4,3,2,
2)1(
)1(2)1(10)1(2)1(1
006
22
33
=+−
−=++−+
−=→=+++−+
=→=
++ ncnnc
nnnncnncnnc
cc
nnnnn
Isso permite determinar os coeficientes c3, c4, ... em termos dos coeficientes c0 e c1:
024 !221
41 ccc
⋅−=−=
052
35 =−= cc
03046 !323
6423
63 cccc
⋅=
⋅⋅=−=
074
57 =−= cc
04068 !425.3
86425.3
85 cccc
⋅=
⋅⋅⋅=−=
39
A solução da equação será composta por dois somatórios, um para os coeficientes de c0 e
outro para os coeficientes de c1. Porém, os coeficientes de c1 para potências maiores do que 1 são
todos nulos. A solução será:
( ) ( ) ( )xycxycxy 2110 +=
onde
( ) ( ) ( )
( ) xxy
xn
nxxyn
nn
n
=
−⋅⋅⋅⋅−++= ∑
∞
=
2
2
221 !2
32...5311211
Exercícios – Lista 8
1. Encontre duas séries de potência que sejam soluções da equação diferencial dada em
torno do ponto ordinário x=0
a) 0" =−xyy b) 0'2" =+− yxyy c) 0'" 2 =++ xyyxy
d) ( ) 0'"1 =+− yyx
2. Use o método de séries das potência para resolver o PVI a seguir:
( ) ( ) ( ) 60',200'"1 =−==+−− yyyxyyx
Respostas:
(1)
a) ( )
+
⋅⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+
⋅+= ...
2356891
23561
2311 963
01 xxxcxy
( )
+
⋅⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+
⋅+= ...
34679101
34671
341 1074
12 xxxxcxy
b) ( )
−−−−= ...
!621
43
!211 642
01 xxxcxy ( )
+−+−= ...
!745
!55
31 753
12 xxxxcxy
c) ( )
+
⋅−+−= ...
!947
!64
311 9
226
23
01 xxxcxy
( )
+
⋅⋅−
⋅+−= ...
!10258
!725
!42 10
2227
224
2
12 xxxxcxy
d) ( ) ( ) ∑∞
=
==1
1201n
nxcxycxy
(2). ( ) xexxxxxxy 286...!4
1!3
1!2
112 432 −=+
++++−=
40
7. TRANSFORMADA DE LAPLACE
A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática de grande importância para
resolver alguns modelos lineares de problemas físicos de grande aplicação em engenharia e
física. Uma das características importantes da transformada de laplace é permitir que se trabalhe
com funções com um número finito de descontinuidades. Um exemplo importante deste tipo de
função é a função degrau unitário, que será definida mais adiante no texto, e pode ser utilizada
para “ligar” ou “desligar” uma determinada função em um instante escolhido (por exemplo,
“ligar” ou “desligar” uma tensão elétrica em um circuito).
Serão vistos a seguir a definição da transformada de laplace e as técnicas para utilizar a
transformada de laplace na resolução de modelos matemáticos.
7.1 Transformações
Operações como integração e derivação são chamadas transformações, ou seja,
transformam uma função em outra. A função
( ) 2xxf =
é transformada em uma função linear por derivação,
( ) xxdxdxf 22 ==′
e em uma família de funções cúbicas por integração,
cxdxx +=∫ 3
32
Estas transformações têm a propriedade da linearidade: a transformação de uma
combinação linear de funções é uma combinação linear das transformações,
( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxfdxd ′+′=+ βαβα
( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf βαβα
desde que cada uma das derivadas e integrais exista.
A transformada de Laplace é um tipo de transformada integral, com propriedades que a
tornam uma ferramenta muito importante para resolver alguns tipos de problemas de valor
inicial.
41
7.2 Transformadas integrais
Seja uma função de duas variáveis ( )yxfu ,= . A integral definida desta função em
relação a uma das variáveis resulta em uma função da outra variável. Por exemplo, a integral
definida
32
0
3 42 ydxxy =∫
transforma a função de duas variáveis 32xyu = na função de uma variável ( ) 34yyf = .
Considere agora uma função qualquer de uma variável f(t). Ao multiplicarmos esta
função por uma outra função de duas variáveis K(s,t), o resultado do produto será uma terceira
função das variáveis s e t. Da mesma forma que no exemplo anterior, pode-se dizer que a integral
definida
( ) ( ) ( )∫=b
a
dttftsKsF ,
resultará em uma função apenas da variável s. Assim, podemos dizer que a integral acima
transforma a função f da variável t em uma outra função da variável s.
Se f(t) for definida para 0≥t , e se os limites de integração forem ),0[ ∞ , tem-se a
integral imprópria
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∞→
∞
=b
bdttftsKdttftsK
00
,lim,
Se o limite existir e for finito, a integral será convergente. Em geral, a integral será
convergente para determinados valores de s.
A transformada de Laplace é uma transformação deste tipo, na qual os limites de
integração são ),0[ ∞ e a função ( ) stetsK −=, :
38 ( ){ } ( )∫∞
−=0
dttfetf stL (38)
Assim, se a integral acima convergir, é chamada transformada de Laplace de f(t). A
notação usual é usar letras minúsculas para representar a função que está sendo transformada, e a
mesma letra maiúscula para representar a sua transformada:
( ){ } ( )sFtf =L ( ){ } ( )sGtg =L ( ){ } ( )sYty =L
42
Uma propriedade importante e muito utilizada da transformada de Laplace é a
linearidade. Como uma transformação integral, a transformada de Laplace é uma transformação
linear, ou seja
( ) ( )[ ] ( ){ } ( ){ }tgtftgtf LLL βαβα +=+
Exemplos da transformada de Laplace de algumas funções e de aplicações da propriedade
da linearidade são apresentados a seguir
Exemplos
1. Calcular a transformada de Laplace de ( ) 1=tf
Aplicando a definição de transformada de Laplace:
( ) ( )ss
esedtedte
sb
b
bst
b
bst
b
st 11limlim1lim1000
=+−
=−
==−
∞→
−
∞→
−
∞→
∞− ∫∫
Desde que s > 0.(assim, 0→−sbe quando b vai a infinito). A integral diverge para s < 0.
2. Calcular a transformada de Laplace de ( ) ttf =
( ) ( ) 2220
200
11limlimlimsss
es
bes
es
tedttedttesbsb
b
bstst
b
bst
b
st =
+−
−=
−
−==
−−
∞→
−−
∞→
−
∞→
∞− ∫∫
Este resultado também vale apenas para s > 0.
3. Calcular a transformada de Laplace de ( ) tetf 3−=
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )31
31
3lim
3limlim
3
0
3
0
3
0 +=
+
++
−=
+
−==+−
∞→
+−
∞→
+−
∞→
∞−− ∫∫ sss
es
edtedteebs
b
bts
b
bts
b
stst
Este resultado vale apenas para s > -3.
4. Calcular a transformada de Laplace de ( ) ttf 2sin=
Como, neste caso a integração fica mais longa, não será utilizada a notação de limite, e
será utilizada a forma simplificada, colocando direto o símbolo de infinito no limite da integral:
( ) ( )∫∫∞
−
∞−∞− +−=
000
2cos22sin2sin dttess
tedtte stst
st
43
Para s > 0, o primeiro termo da soma no lado direito da equação é zero nos dois limites
de integração (0 e ∞). Assim:
( ) ( ) ( ) ( )
−=
−−== ∫∫∫∫
∞−
∞−
∞−∞−
∞−
00000
2sin2122sin22cos22cos22sin dttesss
dttess
tes
dttes
dtte ststst
stst
A última integral que aparece é igual a integral que defina a transformada de Laplace da
função ( ) ttf 2sin= . Pode-se escrever:
( ) ( )∫∞
−=0
2sin2sin dttet stL
( ) ( )
−= ∫∫
∞−
∞−
00
2sin2122sin dttesss
dtte stst ⇒ ( ) ( )
−= t
ssst 2sin2122sin LL
Isolando ( )t2sinl na última equação, fica
( ) 22
2412sinss
t =
+L ⇒ ( ) 22
2 242sinss
st =
+L ⇒ ( )4
22sin 2 +=
stL
Como já foi dito durante o desenvolvimento, este resultado vale para s > 0.
5. Calcular a transformada de Laplace de ( ) ttf 51+=
Para fazer esta transformada de Laplace, serão utilizados a propriedade da linearidade e
os resultados obtidos nos exemplos 1 e 2 acima. Aplicando a propriedade da linearidade, é
possível escrever:
( ) ( ) ( ) 22
511515151ssss
tt +=
+=+=+ LLL
Nos exemplos 1 e 2, foram determinadas as transformadas de laplace de 1 e de t,
utilizadas neste exemplo
7.3 Tabela de transformadas de Laplace
Os resultados obtidos nos exemplos anteriores podem ser generalizados para um conjunto
de funções básicas. A generalização é apresentada na tabela a seguir. Assim, a transformada de
Laplace da maior parte das funções mais utilizadas pode ser feita sem a necessidade de calcular a
integral. Mais adiante, serão vistas outras propriedades que permitiram estender o uso desta
tabela.
44
Tabela 7.1 – transformada de Laplace de algumas funções básicas
( ) ...,3,2,1,0,!1 == + n
snt n
nL ( )as
eat
−=
1L
( ) 22sinks
kkt+
=L ( ) 22cosks
skt+
=L
( ) 22sinhks
kkt−
=L ( ) 22coshks
skt−
=L
Exemplos Fazer as transformadas de laplace das funções dadas utilizando a tabela
1. ( ) tttf 6cos410
5
+=
( ) ( ) ( )
++=+=
+=
364!5
1016cos4
1016cos4
10 265
5
ss
sttttsF LLL
2. ( ) 42
5
+=tetf
( ) ( ) ( ) ( ) sssseesF t
t 452
1145
12114
214
25
5
+−
=
+
−=+=
+= LLL
3. ( ) tttf 4sin43cosh2 +=
( ) ( ) ( ) ( )
++
−=+=+=
1644
9214sin43cosh24sin43cosh2 22 ss
sttttsF LLL =
= ( ) 1616
92 22 ++
− sss
7.4 Condições para a existência da transformada de Laplace
Para definir as condições para a existência da transformada de Laplace, é necessário
relembrar os conceitos de função contínua por partes e de função de ordem exponencial. Uma
função f(x) é contínua por partes em [0, ∞) se, neste intervalo, existe no máximo uma quantidade
finita de pontos de descontinuidade. A figura abaixo ilustra uma função contínua por partes.
45
Figura 3 – função contínua por partes
Uma função f(t) é de ordem exponencial c se existem constantes c (>0), M (>0) e T (>0)
de tal forma que
( ) ctMetf ≤
para todo t >T. Se f(t) é uma função crescente, isso significa que o valor de f(t), no intervalo
(T, ∞), não cresce mais rápido do que o valor de uma função ctMe , conforme representado na
figura abaixo.
Figura 4 – comportamento de uma função crescente f(t) de ordem exponencial
Assim, se uma função f(t) é definida por partes no intervalo [0, ∞) e de ordem
exponencial c para t > T, então existe a transformada de Laplace F(s) da função para s > c.
f(t)
t T
ctMe
f(t)
t
te
( ) ttf =
46
7.5 Transformada de uma função definida por partes
Pelas condições estabelecidas acima, é possível fazer a transformada de Laplace de uma
função definida por partes, como, por exemplo
( )
≤<≤
=32
300t
ttf
Para fazer a transformada de Laplace desta função, aplica-se a definição:
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )s
es
edtedtedttfetfsFsst
ststst3
33
3
00
2220−∞−∞
−−∞
− =−=+=== ∫∫∫L , s>0
Assim, é possível fazer a transformada de Laplace de funções definidas por partes
adaptando-se os limites de integração para cada comportamento da função.
7.6 Transformada inversa de Laplace
Nas aplicações em que será utilizada a transformada de Laplace, será necessário desfazer
a transformação, ou seja, partir de uma função na variável s e encontrar a função correspondente
na variável t. Isto é chamado de fazer a transformada inversa de Laplace de uma função de s. Se
a função F(s) é a transformada de Laplace da função f(t), a notação é
( ){ } ( )sFtf =L
conforme definido anteriormente. Para o processo inverso, ou seja, para dizer que f(t) é a
transformada inversa de Laplace da função F(s), a notação fica
( ){ } ( )tfsF =−1L
A Tabela 7.2 apresenta as transformadas inversas de funções básicas. É interessante notar
que esta tabela é similar à tabela de transformadas de Laplace apresentada anteriormente. A
transformada inversa é feita sempre a partir desta tabela. Em muitos casos, será necessário
utilizar operações algébricas, a propriedade da linearidade ou outras propriedades para adaptar a
função em questão a um ou alguns dos casos da tabela.
Tabela 7.2 – transformada inversa de Laplace de algumas funções básicas
...,3,2,1,0,!1
1 ==
+− nt
sn nnL ate
as=
−− 11L
ktks
k sin221 =
+−L kt
kss cos22
1 =
+−L
ktks
k sinh221 =
−−L kt
kss cosh22
1 =
−−L
47
A propriedade da linearidade se aplica também á transformada inversa de Laplace, ou
seja, é possível escrever
( ) ( )[ ] ( ){ } ( ){ }sGsFsGsF 111 −−− +=+ LLL βαβα
A seguir, serão mostrados alguns exemplos para ilustrar algumas técnicas que permitem
adaptar uma determinada função F(s) para permitir a utilização da tabela de transformadas
inversas.
Exemplos Fazer a transformada inversa de Laplace das seguintes funções
1. ( ) 5
1s
sF =
Esta função não aparece na tabela de transformadas inversas. Porém, ela ficaria igual à
primeira função da tabela se existisse um 4! no numerador. É interessante lembrar que, se a
função for multiplicada e dividida pelo mesmo valor, ela não será alterada. Assim, é possível
fazer
( ) 55
!4.!4
11!4!4
sssF
=
=
A transformada inversa de Laplace desta função fica
( ) ( ){ }24!4
1!4!4
1!4.!4
1 44
51
511 tt
sssFtf ==
=
== −−− LLL
Notar que o fator !4
1 é uma constante, e foi tirado da transformada inversa utilizando a
propriedade de linearidade descrita acima.
2. ( )7
12 +
=s
sF
Novamente, a função não aparece na tabela, mas pode ser adaptada para o caso
ktks
k sin221 =
+−L
Isto implica que 72 =k , ou seja, 7=k . Assim, é necessário que apareça 7 no
numerador. Novamente, será necessário multiplicar e dividir a função por um mesmo valor para
fazer a adaptação:
( )7
7.7
17
177
22 +
=+
=
sssF
A transformada inversa de Laplace desta função fica
48
( ) ( ){ } ( )tss
sFtf 7sin7
17
77
17
7.7
12
12
11 =
+=
+== −−− LLL
3. ( )462
2 ++−
=s
ssF
Novamente, será utilizada a propriedade da linearidade para adaptar a função à casos da
tabela. A soma no numerador deverá ser separada, e os valores ajustados:
( )
++
+−=
++
+−
=4
234
24
64
22222 ss
sss
ssF
A transformada inversa fica
( ) ( ){ }
ttss
sss
ssFtf
2sin32cos24
234
24
234
2 21
21
2211
+−=
=
++
+−=
++
+−== −−−− LLLL
4. ( ) ( )( )( )421962
+−−++
=sss
sssF
Para resolver este exemplo, será necessário decompor a expressão racional em suas
frações parciais. Neste caso, o denominador da função é fatorável em fatores lineares distintos.
Assim, existem constantes reais únicas A, B, C tais que
( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )421214142
421421962
+−−−−++−++−
=+
+−
+−
=+−−
++sss
ssCssBssAs
Cs
Bs
Asss
ss
Os denominadores da primeira e da última parte da equação são idênticos. Para que a
equação seja satisfeita, os numeradores também devem ser iguais:
( )( ) ( )( ) ( )( )214142962 −−++−++−=++ ssCssBssAss
Esta equação levará a um sistema de três equações e três incógnitas que permitira definir
os valores de A, B e C. Porém, é possível definir os valores das constantes substituindo os zeros
do denominador comum (s=1, s=2 e s=-4) na equação anterior:
s=1 ⇒ ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )5
1651162111411141219161 2 −=⇒−=⇒−−++−++−=++ AACBA
s=2 ⇒ ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )62561252212421242229262 2 =⇒=⇒−−++−++−=++ BBCBA
s=-4 ⇒ ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )301651
2414441444249464 2
=⇒−−=
⇒−−−−++−−−++−−−=+−+−
CC
CBA
Assim, tem-se:
49
( )( )( ) 430
1
26
25
15
16
421962
++
−+
−
−=
+−−++
ssssssss
Agora é possível fazer a transformada inversa utilizando a tabela e a propriedade da
linearidade:
( )( )( )
ttt eeesss
ssssssss
42111
12
1
301
625
516
41
301
21
625
11
516
430
1
26
25
15
16
42196
−−−−
−−
++−=
++
−+
−−=
=
++
−+
−
−=
+−−++
LLL
LL
7.7 Transformada de Laplace da derivada de uma função
Uma das principais aplicações da transformada de Laplace é oferecer uma forma de
resolver casos importantes de equações diferenciais ordinárias lineares, tais como
( )xgcydxdyb
dxyda =++2
2
( )tgcfdtdfb
dtfda =++2
2
Para resolver este problema, serão necessárias as transformadas de Laplace das derivadas
que aparecem na equação (derivadas de uma função desconhecida). Aplicando a definição de
transformada de Laplace para a primeira derivada ( )tf ' de uma função, resulta (utilizando
integração por partes):
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+−=+== ∫∫∫
∞ −∞ −∞−∞ −
000000'' dttfesfdttfestfedttfetf ststststL
A última integral (entre colchetes) é a definição de transformada de Laplace da função
f(t):
( ) ( ){ } ( )∫∞ −==
0dttfetfsF stL
Assim, é possível escrever:
( ){ } ( ){ } ( ) =−= 0' ftfstf LL ( ) ( )0fssF −
A definição de transformada de Laplace pode ser aplicada também à segunda derivada
( )tf '' de uma função:
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+−=+== ∫∫∫
∞ −∞ −∞−∞ −
0000'0'0'''''' dttfesfdttfestfedttfetf ststststL
A última integral, entre colchetes, é a transformada de Laplace da primeira derivada da
função, que foi calculada acima. Utilizando o resultado anterior, fica:
( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )[ ] ( ) =−−=−= 0'00'''' ffssFsftfstf LL ( ) ( ) ( )0'02 fsfsFs −−
50
Para a terceira derivada ( )tf ''' de uma função, a transformada de Laplace resulta:
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∞ −∞ −∞−∞ − +−=+==
0000''0''0'''''''''' dttfesfdttfestfedttfetf ststststL
( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) =−−−=−= 0''0'00''''''' 2 ffsfsFssftfstf LL( ) ( ) ( ) ( )0''0'023 fsffssFs −−−=
Assim, é possível estender a lógica para a transformada de Laplace da derivada de ordem
n de uma função ( ) ( )tf n . Supondo que ( )tf , ( )tf ' , ..., ( )( )tf n 1− são contínuas em [0,∞) e de
ordem exponencial, e que ( ) ( )tf n é contínua por partes em [0,∞), então:
39 ( )( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0...0'0 121 −−− −−−−= nnnnn ffsfssFstfL (39)
Para entender este equação, é fundamental saber diferenciar o significado do expoente
entre parênteses (notação de derivada) e do expoente sem o parênteses (notação de potência).
7.8 Solução de EDO lineares utilizando a transformada de Laplace
As propriedades da transformada de Laplace fazem dela um recurso importante na
resolução de problemas de valor inicial envolvendo EDOII com coeficientes constantes de
qualquer ordem:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ,0,...,0',0
...
11
10
011
1
1
−−
−
−
−
===
=++++
nn
n
n
nn
n
n
yyyyyy
tgtyatydtdaty
dtdaty
dtda
A transformada de Laplace permite transformar esta equação diferencial na envolvendo a
função y(t) em uma equação algébrica correspondente em Y(s), que pode, em geral, ser
facilmente resolvida isolando Y(s). Aplicando a transformada inversa de Laplace à solução Y(s)
da equação algébrica, resulta a solução y(t) da equação diferencial original.
A transformada de Laplace da equação acima é
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ){ } ( ){ }tgtyatydtdaty
dtdaty
dtda n
n
nn
n
n LLLLL =+
++
+
−
−
− 011
1
1 ...
Por definição, a transformada de Laplace de y(t) (último termo do lado esquerdo da
equação acima) é Y(s). a função y(t) é a incógnita do problema, e, assim não será conhecia
inicialmente. Da mesma maneira, no lado esquerdo da equação, a transformada de Laplace de
g(t) é G(s). A função g(t) é um dado do problema, e a sua transformada de Laplace será feita
pelos métodos vistos anteriormente.
Os demais termos da equação anterior são as transformadas de Laplace das derivadas de
uma função desconhecida, assunto tratado na seção anterior. Assim, é possível fazer a
51
transformada de laplace de toda a equação. O resultado será uma equação algébrica envolvendo a
função Y(s). A solução desta equação algébrica terá a forma
( ) ( )( )
( )( )sPsG
sPsQsY +=
onde Q(s) será um polinômio de grau menor ou igual a n-1 e P(s) será um polinômio de grau n.
A transformada inversa de laplace de Y(s) será a função y(t) que é a solução do problema de
valor inicial original.
Exemplos a) Utilizar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
( ) 602sin133'
==+
ytyy
Aplicando a transformada de Laplace na equação
{ } { } { }
( ) ( ) ( )4
2.1330
2sin133'
2 +=+−
=+
ssYyssY
tyy LLL
Na transformada de Laplace da equação, y(0) é a condição inicial do problema. Neste
caso, y(0) = 6. Assim:
( ) ( )4
2636 2 +=+−
ssYssY
O próximo passo é resolver esta equação para Y(s):
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )344626
36
34266
4263 2
2
22 ++++
=+
+++
=⇒++
=+ss
ssss
sYs
sYs
( ) ( )( )34506
2
2
+++
=ss
ssY
Solucionada a equação algébrica para Y(s), o último passo é fazer a transformada inversa
desta função para encontrar a solução do problema de valor inicial y(t). Para fazer isso, será
necessário adaptar a função a um dos casos da tabela de transformadas inversas (Tabela 7.2).
Esta é mais uma situação em que será necessário utilizar a decomposição em frações parciais.
No exemplo anterior de decomposição em frações parciais, era possível escrever o
denominador em fatores lineares distintos. Neste caso, o termo 42 +s não pode ser fatorado
(escrito como o produto de dois fatores lineares). Assim, para fazer a decomposição em frações
parciais, o numerador para o fator quadrático deverá ser um polinômio linear em s:
52
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )3434
4334506
2
2
22
2
++++++
=++
++
=++
+ss
sCBssAs
CBss
Ass
s
Novamente, os denominadores do primeiro e do último termo são iguais. Para que se
confirme a igualdade, os numeradores também devem ser:
( ) ( )( )34506 22 ++++=+ sCBssAs
Neste caso, o único zero do denominador comum é o -3. Fazendo s = -3 na equação
acima, resulta:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 813
10413104333435036 22 ==⇒=⇒+−+−++−=+− AACBA
Para encontrar os valores de B e C, será necessário, inicialmente, fazer o produto
indicado no lado direito da equação e reagrupar os termos da soma:
( ) ( ) CAsCBsBAsCCsBsBsAAss
343506334506
22
222
+++++=+
+++++=+
Para que a última equação seja satisfeita, é necessário que os fatores que multiplicam a
mesma potência de s (s2, s e s0) nos dois lados da equação sejam iguais, o que leva a um sistema
de três equações e três incógnitas. Como o valor de uma das incógnitas já foi determinado
(A = 8), serão necessárias apenas mais duas equações. Igualando o fator de s2 no lado direito e
no lado esquerdo da equação resulta:
( ) 26 −=⇒+= BBA
Além disso, como não existe s no lado esquerdo da equação, ele também deve
desaparecer do lado direito. Resulta:
( ) 630 =⇒+= CCB
Assim, a expressão original para Y(s) pode ser reescrita
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )46
42
38
462
38
34506
2222
2
++
+−
+=
++−
++
=++
+=
sss
sss
sssssY
Agora é possível fazer a transformada inversa utilizando a Tabela 7.2:
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )( ) ttety
sss
ssYty
t 2sin32cos28
423
42
318
3
21
2111
+−=
++
+−
+==
−
−−−− LLLL
Esta é a solução final do problema de valor inicial. É importante notar que, no inicio do
desenvolvimento do problema, foram utilizadas as condições iniciais. Assim, a solução já
aparece com os valores das constantes definidos.
53
b) Utilizar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
( ) ( ) 50'102'3'' 4
===+− −
yyeyyy t
Aplicando a transformada de Laplace na equação, fica:
{ } { } { } { }( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
412030'0
2'3''
2
4
+=+−−+−−
=+− −
ssYyssYysysYs
eyyy tLLLL
Novamente, aparecem as condições iniciais do problema y(0) e y’(0) na transformada de
laplace. Resulta:
( ) ( ) ( )4
123352
+=++−−−
ssYssYssYs
Resolvendo a equação para Y(s):
[ ] ( )
[ ] ( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )42196
423421
232
4231
24
123
41223
2
222
2
2
+−−++
=++−
+++=
+−+
+++−
=
+++
=+−
+=−−+−
sssss
sssss
sss
ssssY
ss
sYss
sssYss
Para chegar ao último resultado, o termo quadrático do denominador ( )232 +− ss foi
decomposto em dois fatores lineares. Para fazer isso, foram utilizadas as raízes deste termo:
( )( )212322ou1023 22 −−=+−⇒==⇒=+− sssssss
Resta fazer a transformada inversa. Mais uma vez, será necessário fazer a decomposição
em frações parciais da expressão para Y(s) para adaptá-la a Tabela 7.2. Esta expressão já foi
decomposta em um exemplo anterior. Assim, o resultado deste problema de valor inicial será
( ) ( ){ } ( )( )( )ttt eee
ssssssYty 42
211
301
625
516
42196 −−− ++−=
+−−++
== LL
7.9 Teoremas de translação
O procedimento para resolver um problema de valor inicial utilizando a transformada de
laplace será sempre o visto nos dois exemplos anteriores. O que será feito a seguir é acrescentar
ferramentas que permitirão fazer a transformada de laplace e a transformada inversa de laplace
em algumas situações para as quais as ferramentas apresentadas anteriormente são insuficientes
ou demasiadamente trabalhosas. Duas das principais ferramentas para tal são os teoremas de
translação.
54
Translação sobre o eixo s
O teorema da translação sobre o eixo s estabelece que, se ( ){ } ( )sFtf =L , e se a for um
valor real qualquer, então é possível afirmar que
40 ( ){ } ( )asFtfeat −=L (40)
Isto significa que a transformada de laplace do produto entre uma exponencial eat e uma
função f(t) qualquer será igual à transformada de laplace da função f(t) transladada a unidades no
eixo s. Assim, para fazer a transformada de laplace do produto ( )tfeat , é necessário fazer a
transformada de laplace da função f(t) e, no resultado, substituir s por s - a.
Exemplos
1. fazer a transformada de laplace da função 35 te t
A função é o resultado do produto de uma exponencial ( )te5 por 3t . A transformada de
laplace deste produto pode ser feita utilizado o teorema da translação sobre o eixo s.
Comparando a função 35 te t com a equação 40, podemos dizer que, neste caso, a = 5 e que
f(t) = 3t . A transformada de Laplace de f(t) é
( ) { } 43 !3
stsF == L
A transformada de laplace da função 35 te t será o resultado acima transladado, ou seja,
substituindo s por s – a, onde a = 5:
{ }( )4
35
5!3
−=
ste tL
2. fazer a transformada de laplace da função te t 4cos2−
Novamente, queremos fazer a transformada de Laplace do produto de uma função
exponencial por uma outra função, neste caso t4cos . Comparando a função te t 4cos2− com o
teorema da translação (equação 40), podemos dizer que a = -2 e ( ) ttf 4cos= . A transformada
de Laplace de f(t) é
( ) { }16
4cos 2 +==
sstsF L
E a transformada de laplace do produto te t 4cos2− será a função acima, substituindo s por
s-a, onde a=-2:
{ }( ) 162
24cos 22
+++
=−
sste tL
55
Translação sobre o eixo t
Para compreender o teorema da translação sobre o eixo t, é necessário definir a função
degrau unitário e suas aplicações. A função degrau unitário (também chamada Heaviside), é
definida como
41 ( )
≥<≤
=−at
atatu
100
(41)
ou seja, a função vale zero até um determinado valor a da variável independente e 1 deste valor
em diante. O gráfico desta função é ilustrado na figura a seguir, junto com alguns exemplos.
Existem algumas aplicações muito importantes para a função degrau unitário. Quando
uma função qualquer é multiplicada pela função degrau unitário, o resultado do produto será zero
em toda a região em que a função degrau unitário vale zero, e será igual a outra função na região
em que a função degrau unitário vale 1. Assim, é possível “desligar” uma parte de uma função
utilizando a função degrau unitário. Por exemplo, a figura a seguir mostra a função
( ) 0,32 ≥−= tttf e o resultado do produto desta função pela função degrau unitário ( )1−tu . O
resultado do produto é uma função que vale zero para t < 1 e 1 para 1≥t .
t
3
-3
3
f(t).u(t - 1)
t
3
-3
3
f(t)
t 1
u(t – 1)
1
t 3
u(t - 3)
1
t 2
u(t - 2)
1
t a
u(t - a)
1
56
Outra aplicação importante para a função de Heaviside é escrever funções definidas por
partes de uma outra forma Por exemplo, a função
( )
≥<≤
=50
5020t
tttf
pode ser escrita como
( ) ( )5.2020 −−= tutttf
A função degrau unitário também pode ser utilizada para fazer a translação de uma
função qualquer definida apenas no semi-eixo positivo. Seja f(t) uma função definida para 0≥t .
Esta função pode ser transladada a unidades fazendo
( ) ( ) ( )
≥−<≤
=−−atatf
atatuatf
00
A figura a seguir mostra um exemplo desta aplicação, no qual a função ( ) 0,32 ≥−= tttf
foi transladada duas unidades no sentido positivo do eixo t.
O segundo teorema da translação define que, se ( ) ( ){ }tfsF L= , e a>0, então
42 ( ) ( ){ } ( )sFeatuatf as−=−−L (42)
o que significa que a transformada de Laplace da função f(t) transladada a unidades é igual à
transformada de laplace da própria função (não transladada) multiplicada por ase− (o a na
exponencial é a distância que a função foi transladada). O teorema também pode ser utilizado
para fazer a transformada inversa:
43 ( ){ } ( ) ( )atuatfsFe as −−=−−1L (43)
Ou seja, a transformada inversa de laplace de uma função F(s) multiplicada por uma
exponencial ase− é igual à transformada inversa de F(s) transladada a unidades.
Exemplos
1. Fazer a transformada inversa de laplace da função4
2
−
−
se s
:
t
3
-3
f(t-2).u(t - 2)
t
3
-3
3
f(t)
57
A função é o resultado do produto da exponencial se 2− pela função 4
1−s
. Para fazer a
transformada inversa do produto, inicialmente será necessário fazer a transformada inversa da
função 4
1−s
:
tes
41
41
=
−−L
A transformada de laplace da função original será esta função transladada 2 unidades.
Para fazer a translação, será necessário substituir t por t-2, e multiplicar o resultado por u(t-2):
( ) ( )24
242
1 −=
−−
−− tue
se t
s
L
2. Fazer a transformada inversa de laplace da função9
.2
2
+
−
ses
sπ
:
Novamente, a função dada é o resultado do produto de uma exponencial por uma outra
função.
222
2
99. s
s
es
ss
es ππ
−−
+=
+
Assim, inicialmente será necessário fazer a transformada inversa
( )ts
s 3cos92
1 =
+−L
A transformada de laplace da função original será esta função transladada 2π unidades:
−
−=
+=
+
−−
−
−
223cos
99. 2
21
2
21 πππ
π
tutes
ss
es ss
LL
3. Problema de valor de contorno
Determinar a deflexão em uma viga bi-engastada sobre a qual é aplicada uma carga
distribuída, conforma ilustrado na figura a seguir.
L 2
L
w0 w(x)
58
As condições de contorno para o problema da viga bi-engastada são
( ) ( )( ) ( ) 0'00'
000==
==Lyy
Lyy
Ou seja, nos engastes, a viga não tem deslocamento nem rotação. A função que descreve
o carregamento na viga é
( )
<≤
<≤
−
=LxL
LxxL
wxw
20
20210
Um dos modelos existentes para descrever como a viga vai se deformar sob a ação de
uma determinada carga leva à na equação diferencial
44 ( )xwdx
ydEI =4
4
(44)
Para utilizar esta equação diferencial, será necessário reescrever a função que define a
carga w(x) sobre a viga como uma única função. Isto pode ser feito utilizando a função degrau
unitário, como foi ilustrado em um exemplo anterior:
( )
−
−+
−=
−
−−
−=
2122122121 0000
LxuxL
wxL
wL
xuxL
wxL
wxw
Colocando L
w 20 em evidência, resulta:
( )
−
−+−=
2222
0LxuLxxLw
Lxw
Substituindo este resultado para w(x) na equação 44, fica
−
−+−=
2222
04
4 LxuLxxLwLdx
ydEI
Agora é possível fazer a transformada de laplace da equação
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
+−=−−−−
−2
222
0234 1120'''0''0'0
LsLe
sssw
LysyysyssYsEI
Os valores de y(0) e y’(0) são conhecidos, mas os valores de y’’(0) e y’’’(0) não. Fazendo
(por hora) y’’(0) =c1 e y’’’(0) = c2, e substituindo os valores (conhecidos) de y(0) = 0 e y’(0) = 0,
resulta:
( )[ ]
+−=−−
−2
222
0214 112 LsL
esss
wL
cscsYsEI
59
Resolvendo para Y(s):
( )
+−++=
−2
66520
42
31 112 LsL
esssEIL
wsc
scsY
O resultado do problema será a transformada inversa de laplace da função Y(s):
( ) ( ){ }
+
−
+
+
==
−−−−−−− 26
16
15210
421
3111 112 LsL
esssEIL
wsc
scsYxy LLLLLL
( )
+
−
+
+
=
−−−−−− 26
16
15
1204
123
11 !5!5
1!5!5
1!4!4
2!3!3
!2!2
LsLe
sssEILw
sc
scxy LLLLL
( )
−
−+−++=
2225
60!3!2
55403221 LxuLxxxL
EILwxcxcxy
As duas constantes c1 e c2 podem ser determinadas utilizando as condições de contorno
para x=L:
( )EILwLcLcLLLLL
EILwLcLcLy
192049
620
225
60!3!200
40
32
21
55403221 ++=⇒
−+−++=⇒=
( )EILwLcLcLLLLL
EILwLcLcLy
96085
20
255
220
60!33
!2200'
30
22
1
4430221 ++=⇒
−+−++=⇒=
Assim, chega-se a um sistema de duas equações e duas incógnitas que permite determinar
o valor de c1 e c2: e a solução do problema de valor de contorno:
( )
−
−+−+−=
−=
=
2225
60803
192023
409
96023
5540302
20
02
20
1 LxuLxxxLEIL
wxEILwx
EILwxy
EILwc
EILwc
Derivada da transformada de laplace
Além dos teoremas de translação, existem outras formas de fazer a transformada de
Laplace de funções que não estão na tabela. Um exemplo disso é o seguinte teorema envolvendo
derivadas na transformada de Laplace
Se ( ){ } ( )sFtf =L , e n =1,2,3,..., então
45 ( ){ } ( ) ( )[ ]sFdsdtft n
nnn 1−=L (45)
60
Assim, para fazer a transformada de Laplace do produto de uma função f(t) por tn, basta
fazer a transformada de laplace da função f(t) e derivar o resultado n vezes.
Exemplo
Fazer a transformada de Laplace da função ( ) ktttf sin=
Inicialmente, é necessário encontrar a transformada de laplace da função ktsin . Direto da
tabela:
{ } 22sinks
kkt+
=L
No exemplo, temos a função ktsin multiplicada por t1 (n=1). Assim, a transformada de
laplace do produto fica
{ } ( ) ( )22222
21sinks
ksks
kdsdktt
+=
+−=L
61
Exercícios
1. Determine a transformada de Laplace das seguintes funções, utilizando a definição
(integral).
a) ( )
≥<≤−
=11
101t
ttf b) ( )
≥<≤
=π
πt
tttf
10sin
c)
d) ( ) ttetf 4= e) ( ) tttf cos= f) ( ) 7+= tetf
Respostas:
a)ss
e s 12−
−
b)1
12 +
+ −
se sπ
c) 2211
se
ss
s−
+− d)( )24
1−s
e)( )22
2
11
+
−
ss f)
1
7
−se
2. Fazer a transformada de laplace das seguintes funções utilizando a tabela de
transformadas e as propriedades da transformada.
a) ( ) 42ttf = b) ( ) 362 −+= tttf c) ( ) tetf 41+= d) ( ) tttf 3sin54 2 −=
e) ( ) tetf t sinh= f) ( ) 104 −= ttf g) ( ) ( )31+= ttf h) ( ) tetf t 3cosh2−=
i) ( ) tttf 2sinh= j) ( ) tttf 2cos3 4 +=
Respostas:
a) 5
48s
b)sst362
23 −+ c)4
11−
+ss
d) 9
15823 +
−ss
e)( ) 11
12 −−s
f) ss
1042 −
g)ssss1366
234 +++ h)( ) 92
22 ++
+s
s i) ( )22 44−
−s
s j)2
7225 +
+s
ss
3. Faça a transformada inversa de Laplace das funções dadas
a)
−
31 1
sL b)
−−
521 481
ssL c)
−−
2
31 12
ssL d) ( )
+−
4
31 1
ssL
e)
−+−−
2111
21
sssL f)
+−
1411
sL g)
+−
495
21
sL
h)
+−
1442
1
ssL i)
−−
161
21
sL j)
+−
ss 31
21L k)
−+−
3221
sssL
l) ( )( )
+−−
2,01,09,01
sssL m) ( )( )
++−−
14222
1
ssssL n) ( )
−
−−
42
31
se s
L
t
1
1
f(t)
62
o)
−
−5
1
se s
L
Respostas:
a)2
2t b) 42tt −
−−
521 481
ssL c)
12034
53 ttt +− d)62
33132 ttt +++
e) tet 21+− f)4
4t
e−
g)7
7sin5 t h)
2cos t i)
44sinh t j)
331 3te−
−
k)44
3 3 tt ee+
−
l) tt ee 2,01,0 6,03,0 −+ m) tte t sin3cos34 +++− − n) ( )[ ] ( )2
332sinh −− tut
o) ( ) ( )24
11 4 −− tut
4. Resolva os problemas de valor inicial dados utilizando a transformada de Laplace
a) ( ) 001 ==− yydtdy
b) ( ) 206' 4 ==+ yeyy t
c) ( ) ( ) 00',1004'5'' ===++ yyyyy
d) ( ) ( ) 00',1002sin2'' ===+ yytyy
e) ( ) ( ) ( ) 10'',00',002'3''3'''2 ====−−+ − yyyeyyyy t
Respostas:
a) tey = b)10
1910
64 tt eey−
+= c)33
4 4tt eey−−
−=
d) ttty 2sin2sin2cos10 −+= e)218
599
8 22 tttt
eeeey−−−
+++−=
63
8 ANEXOS
Tabelas de derivadas e integrais
64