mn aula07 equacoes
DESCRIPTION
Mn Aula07 EquacoesTRANSCRIPT
-
Resoluo de equaes no lineares
-
Raiz de uma equaoRaiz exataUm nmero xr raiz exata de uma equao f(x)=0 se f(xr)=0Raiz aproximadaUm nmero x raiz aproximada de uma equao f(x)=0 se |x-xr| e |f(x)| forem ambos prximos de 0Comparar o mdulo da subtrao da raiz basicamente uma operao terica, pois no se pode obter a raiz exata
-
Calculando as razesPara calcular as razes reais de uma equao f(x)=0 necessrio:1) delimitar, enumerar e separar as razes2) utilizar um mtodo numrico para calculo de cada raiz
-
Equaes algbricas polinomiaisA) toda equao do tipo anxn+an-1xn-1 +...a1x1+a0 algbrica e polinomialn um nmero natural denominado grau da equaoOs coeficientes ai, i=0...n so nmeros reais
-
Equaes algbricas polinomiaisToda equao polinomial de grau n tem exatamente n razes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com seu grau de multiplicidade
-
Multiplicidade de raizesUma raiz tem grau de multiplicidade m se: anula a funo que origina a equao
Anula as derivadas at a ordem m-1
No anula a derivada de ordem m
-
ExemploA equao f(x)=x3-5x2+8x-4 tem razes x1=1 x2=2 e x3=2 f(2)=0f(2) = 3x2-10x+8 -> f(2)=0f(2)=6x-10 ->f(2)=2
-
Equaes algbricas polinomiaisAs razes complexas aparecem sempre em pares conjugados (a+bi e a-bi)Toda equao polinomial de grau impar tem pelo menos uma raiz real
-
Delimitao de razes reaisLimite superior positivo-teorema de LagrangeSeja f(x)=0 uma equao polinomial de grau n, na qual an>0 e a0 0 Para limite superior de suas razes positivas, caso existam pode ser tomado o nmero
K= grau do 1 termo negativoM= mdulo do menor coeficiente negativo
-
ExemploCalcule o limite superior para as razes positivas da equao
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0
-
ExemploCalcule o limite superior para as razes positivas da equao
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0 n=5,k=3,a5=1 e M=16
-
Delimitao das razes reaisLimite inferior negativoObter a equao auxiliar f1(x)=f(-x)=0usar o teorema de Lagrange em f1(x), obtendo o limite superior de suas razes positivas L1O limite inferior das razes negativas dado por L1
-
ExemploCalcule o limite inferior para as razes negativas da equao
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0
- Exemplo f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0 f1(x) = -x5+x4+8x3-16x2-7x+14 =0an
-
Enumerao das razesRegra dos sinais de Descartes O nmero de razes positivas de equaes polinomiais igual ao nmero de variao de sinais apresentado pelo conjunto de coeficientes ou menor em um nmero par
-
Exemplox5+x4-8x3-16x2+7x+14=0
-
Exemplox5+x4-8x3-16x2+7x+14=0x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0
-
Exemplox5+x4-8x3-16x2+7x+14=0x5+x4-8x3-16x2+7x+14=02 variaes -> 2 razes ou nenhuma raiz
-
Exemplox5-x4+8x3-16x2+7x-14=0Quantas razes?
-
Exemplox5-x4+8x3-16x2+7x-14=0Quantas razes?5 variaes -> 5 razes ou 3 ou 1 raiz
-
Exemplo5x5-16x2+7x-14=0Quantas razes?
-
Exemplo5x5-16x2+7x-14=0Quantas razes?3 variaes -> 3 razes ou 1 raiz positiva
-
Enumerao de razesPara determinar o nmero de raizes negativas basta trocar x por (-x) na equao e aplicar a regra dos sinais
-
Exemplox5+x4-8x3-16x2+7x+14=0f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=03 razes ou 1 raiz negativa
-
Exemplox5-x4+8x3-16x2+7x-14=0f(-x)=-x5-x4-8x3-16x2-7x-14=0
Sem variao -> nenhuma raiz negativa
-
Sucesso de SturmDada a equao polinomial f(x)=0 a sucesso de Sturm a ela associada o seguinte conjunto de polinmios:
f(x)f1(x)f2(x)... fm(x)f(x) o polinmio que origina a equaof1(x) a primeira derivada de f(x)
-
Sucesso de SturmA partir de f2(x) cada termo o resto, com o sinal trocado, da diviso dos 2 termos anterioresf(x)/f1(x) = Q1x+R1x -> f2(x)=-R1xf1(x)/f2(x) = Q2x+R2x -> f3(x)=-R2x
A sucesso procede at que seja obtido um resto constante
-
PropriedadesSe a equao tiver razes mltiplas ento o ltimo termo da sucesso nuloPara nenhum valor de x, 2 termos consecutivos da sucesso no se anulamSe, para algum x, um termo mdio da sucesso se anula, ento os termos vizinhos tero valores numricos de sinais opostos
-
Teorema de SturmSeja N(alpha) o nmero de variaes de sinal apresentado pela sucesso de sturm. Para x = alphaO nmero de razes reais de uma equao polinomial, sem razes mltiplas, situadas em um intervalo [a,b] igual a N(a)-N(b)
-
ExemploDetermine o nmero de razes reais da equao no intervalo (-15,5)
f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x+7f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22f4(x)=-68,42x-49,69f5(x)=-2,88
-
Razes negativas N(15)-N(0) = 4-3 =1Razes negativas N(0)-N(5) = 3-1 =2As outras duas razes so complexas
-1505f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14 -++f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x +7+++f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72 --+f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22 -+-f4(x)=-68,42x-49,69 +--f5(x)=-2,88---N(x)431
- Separao de Razes reaisTeorema de Bolzano: seja f(x) uma funo continua em um intervalo [a,b]Se f(a).f(b)
-
Exemplo
-
Exemplo
-
Separao de Razes reaisSe f(a).f(b) >0 ento f(x)=0 tem um nmero par de razes ou nenhuma raiz no intervalo [a,b]
-
Exemplo
-
Exemplo
-
Exemplo
-
Exemplo
-
ExemploSepare as razes positivas da equao f(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0Sabendo-se que esto situadas no intervalo (0,5) e que o nmero de razes positivas 2
-
f(0)=14, f(5)=2399, f(2,5)= -56,78Uma raiz entre 0 e 2,5 e outra entre 2,5 e 5
-
Equaes no polinomiaisDuas possibilidades1) Construir um esboo do grfico da funo com o objetivo de detectar os pontos2) Transformar a equao f(x)=0 em uma equao equivalente da forma g(x)-h(x)=0g(x)=h(x)
-
Equaes no polinomiaisEsboar os grficos de g(x) e h(x) em um mesmo sistema de eixos cartesianosAs abscissas de cada ponto onde g(x) e h(x) se interceptam uma raiz de f(x)
-
ExemploSeja a equao f(x)=x+ -5=0 Pode ser escrita = 5-x (g(x)=h(x))
- Metodo da BisseoSeja f(x) uma funo continua em um intervalo [a,b]O intervalo contm uma nica raiz da equao f(x)=0 sendo assim, f(a).f(b)
-
Graficamente
ab-+
-
Graficamente
ab-++
-
Graficamente
ab-+b+
-
Graficamente
ab-+b+-
-
Graficamente
ab-+b+a-
-
Critrio de paradaO processo para quando o intervalo [a,b] suficientemente pequenoAssim qualquer ponto no intervalo tomado como raizNmero mximo de passos pr-estabelecido
- ConvergnciaSendo f(x) contnua em [a,b] f(a).f(b)
-
ExemploUtilizando o mtodo da bisseo calcule a maior raiz positiva da equaof(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0Preciso 0,025, mximo de 10 iteraes, intervalo = [2,5;5]f(2,5)=-56,781 e f(5)=2399
-
kxkf(xk)b-a2,5-56,781-523992,513,75332,7061,2523,12528,8750,62532,813-32,2390,31242,969-7,2240,15653,0479,3070,07863,0080,6790,03972,989-3,260,019
-
Qualquer nmero no intervalo [2,989;3,008] pode ser tomado como raiz
-
Mtodo da Falsa PosioSeja f(x) uma funo contnua em um intervalo [a,b] que contm um e s uma raiz da equao f(x)=0Este mtodo consiste em dividir o intervalo [a,b] no ponto onde a reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) intercepta o eixo das abscissas
-
Graficamente
-
Graficamente
-
Critrio de paradaO processo iterativo interrompido quando for obtido |f(xk)|, k=1,2,... Menor ou igual preciso estabelecida e ento xk tomado como raiz
- Critrio de convergnciaSe f(x) contnua em [a,b] e f(a).f(b)
-
Calculando xkNo mtodo da bisseo x dado pela mdia aritmtica do intervalo x= (a+b)/2
No mtodo da FP o x dado pela mdia aritmtica ponderada x=(a|f(b)|+b|f(a)|)/(|f(b)|+|f(a)|)x=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
-
O clculo de xkSeja a matriz
bf(a) +x1f(b)-af(b)-x1f(a)x1=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
-
Generalizandoxk=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))Desde que a cada passo seja atualizado a ou bO critrio utilizado por este mtodo para a diviso do intervalo [a,b] o da mdia ponderada
-
ExemploUtilizando o mtodo da falsa posio com preciso 0.006 e um mximo de 5 iteraes encontrar a maior raiz positivaf(x)=x4-14x2+24x-10=0
A) delimitao das razes reaisLSP = = 4,7 = 5
-
LIN equao auxiliarf(x) = x4 -14x2-24x-10L1=6Logo L1=-6
-
Enumerao das razes reaisRazes positivas:+1-14+24-103 variaes -> 3 ou 1 raiz positivaRazes negativas:+1-14-24-101 variao -> 1 raiz negativa
-
Nmero de razes positivasTeorema de Sturm
Sucesso de Sturm05f(x)=x4-14x2+24x-10-+f1(x)=4x3-28x+24++f2(x)=7x2-18x+10++f3(x)=7,24x-9,3-+f4(x)=1,5++N(x)30
-
Nmero de razes positivasO nmero de razes dado por:
N(0)-N(5)=3-0=3
-
Separao das razes positivasTeorema de Bolzano e o mtodo da bisseo
05-+
-
Separao das razes positivasTeorema de Bolzano e o mtodo da bisseo
05-+2,5+
-
Separao das razes positivasTeorema de Bolzano e o mtodo da bisseo
05-+2,5+1,25+3,75+
-
Separao das razes positivasTeorema de Bolzano e o mtodo da bisseo
05-+2,5+1,25+3,75+0,625-1,875-
- Calculando a maior raiz positivaReduzindo um pouco mais o intervalof(1,875)0, f(2,188)
-
Para a preciso estabelecida, 2,388 a maior raiz positiva da equao
kabf(a)f(b)xkf(xk)12,1882,5-1,5921,5632,345-0,46722,3452,5-0,4671,5632,381-0,08532,3812,5-0,0851,5632,387-0,01642,3872,5-0,0161,5632,388-0,005
-
Mtodo de Newton-RaphsonTambm conhecido como mtodo das tangentesSeja f(x) uma funo contnua em um intervalo [a,b] que contm uma e s uma raiz da equao f(x)=0
-
Mtodo de Newton-RaphsonDada uma estimativa xk-1, k=1,2,..., para uma raiz de f(x)=0 a estimativa xk a abscissa do ponto onde a reta tangente f(x) em [xk-1,f(xk-1)] intercepta o eixo das abscissas
-
Mtodo de Newton-RaphsonCritrio de parada: O processo interrompido quando for obtido um |xk-xk-1| ou |f(xk)| menor ou igual a uma preciso pr-estabelecida
-
Graficamente
x0x1x0
-
Graficamente
x0x1
-
Graficamente
x0x1
-
Mtodo de Newton-RaphsonConvergncia: se f(a)f(b)0 possvel construir, pelo mtodo de Newton-Raphson uma sequncia {xk}, k=1,2,..., que converge para a raiz de f(x)=0
-
Mtodo de Newton-RaphsonSeja o clculo de x1
Para x2
-
Mtodo de Newton-RaphsonGeneralizando
-
ExemploCalcule a raiz negativa de f(x)=x4-14x2+24x-10=0 utilizando o mtodo de newton-Raphson com preciso 0,001 e um mximo de 5 iteraes. Sabe-se que esta raiz est situada no intervalo (-6,0)
-
ExemploAplicando o mtodo da Bisseo para diminuir o intervalo
-60+-f(-6)=638f(0)=-10
-
ExemploAplicando o mtodo da Bisseo para diminuir o intervalo
-60+--3-f(-6)=638f(0)=-10f(-3)=-127
-
ExemploAplicando o mtodo da Bisseo para diminuir o intervalo
-60+--3--4,5+f(-6)=638f(-3)=-127f(-4,5)=8,562
-
ExemploAplicando o mtodo da Bisseo para diminuir o intervalo
-60+--3--4,5+-3, 75-f(-3)=-127f(-4,5)=8,562f(-3,75)=-99.125
-
ExemploAplicando o mtodo da Bisseo para diminuir o intervalo
-60+--3--4,5+-3, 75-
-
Exemplof(x)=4x3-28x+24 0 no intervalo [-4,5;-3,75]
Como f(-4,5)f(-4,5)>0 ento x0=-4,5
-
Exemplo
kxkf(xk)f'(xk)|xk-xk-1|0-4,58,562-214,5-1-4,4600,153-205,9860,0402-4,4590,0180,001
-
NotasCom relao convergncia o que se faz na prtica :1) toma-se uma estimativa inicial prxima da raiz; para isto basta diminuir suficientemente o intervalo que a contm2) toma-se x0 [a,b] de forma que seja obtido x1 [a,b]
-
Comparao - BisseoApesar de sempre convergir, tem baixa velocidade de convergnciaUtilizado de forma isolada quando se deseja um intervalo, tal que qualquer dos pontos pode ser tomado como raizNormalmente utilizado para reduzir o tamanho do intervalo que contm a raiz
-
Comparao F.P. e N.R.Quando se deseja um intervalo que contm a raiz o mtodo da Falsa Posio no adequado porqu no convergeQuando no houver problemas para trabalhar com a primeira derivada de f(x) deve-se usar o mtodo de Newton-Raphson; caso contrrio deve-se usar o mtodo da Falsa Posio
-
ExerccioDetermine os limites das razes reais da equao f(x)=x3+4x2-10=0