minority game

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1 Departamento de Engenharia de Produção, Faculdade de Engenharia de Bauru – FEB, Universidade Estadual Paulista – UNESP, Av. Luis Edmundo Carrijo Coube, 1401, CEP 17033-360, Bauru, SP, Brasil, e-mail: [email protected] 2 Grupo Interdisciplinar de Física da Informação e Economia – GRIFE, Escola de Artes, Ciências e Humanidades – EACH, Universidade de São Paulo – USP, Av. Arlindo Bettio, 1000, CEP 03828-000, São Paulo, SP, Brasil Recebido em 15/3/2010 — Aceito em 3/1/2012 Suporte financeiro: Nenhum. Abstract: Over the past ten years physicists have made a significant contribution to the building of an agent-based model to reproduce the behavior of financial markets using computer simulation. This model, called the Minority Game, consists of a group of agents that buy or sell assets. They make decisions based on strategies, and through them the agents establish an intricate game of competition and coordination resulting in the distribution of wealth. The model has shown outstanding surprising results concerning both the dynamics of the system and the ability to reproduce statistical and behavior characteristics of the financial market. In this study, the structure and dynamics of the Minority Game and the recent contributions related to the Grand Canonical Minority game, a model which is better adapted to the characteristics of the financial market and reproduce the statistical regularities of asset prices (called stylized facts) are presented. Keywords: Modeling. Simulation. Game theory. Quantitative methods. Resumo: Nos últimos anos houve uma contribuição significativa dos físicos para a construção de um tipo de modelo baseado em agentes que busca reproduzir, em simulação computacional, o comportamento do mercado financeiro. Esse modelo, chamado Jogo da Minoria consiste de um grupo de agentes que vão ao mercado comprar ou vender ativos. Eles tomam decisões com base em estratégias e, por meio delas, os agentes estabelecem um intrincado jogo de competição e coordenação pela distribuição da riqueza. O modelo tem demonstrado resultados bastante ricos e surpreendentes, tanto na dinâmica do sistema como na capacidade de reproduzir características estatísticas e comportamentais do mercado financeiro. Neste artigo, são apresentadas a estrutura e a dinâmica do Jogo da Minoria, bem como as contribuições recentes relacionadas ao Jogo da Minoria denominado de Grande Canônico, que é um modelo mais bem ajustado às características do mercado financeiro e reproduz as regularidades estatísticas do preço dos ativos chamadas fatos estilizados. Palavras-chave: Modelagem. Simulação. Teoria de jogos. Métodos quantitativos. Jogo da Minoria: um modelo baseado em agentes aplicado ao mercado financeiro Minority Game: an agent-based model applied to financial market Antonio Fernando Crepaldi 1 Fernando Fagundes Ferreira 2 José de Souza Rodrigues 1 1 Introdução O mercado financeiro é um elemento-chave no desenvolvimento de uma nação. Por meio dele podem-se financiar projetos de longo prazo que beneficiam empresas e trabalhadores. Apesar de ocupar um papel central no desenvolvimento econômico dos países, também é o palco em que se manifestaram as crises que recentemente levaram muitos países à recessão. Entender os mecanismos que governam a dinâmica do mercado financeiro é um grande desafio. Ainda não se conhece uma teoria ou modelos capazes de prever essas crises ou impedi-las – o que faz deste tema um fascinante tópico de pesquisa e, ao mesmo tempo, um desafio para a ciência moderna. O primeiro modelo para o mercado financeiro deve-se a Bachelier em 1900 (SCHACHERMAYER; TEICHMANN, 2008). Esse é basicamente um modelo estocástico que produz séries de preços como um passeio aleatório, cuja função de distribuição do preço é uma Normal. Setenta anos depois, Black e Scholes, beneficiados pelos desenvolvimentos anteriores da teoria de equações diferencias estocásticas, realizados principalmente por Itô (1951), propuseram um modelo parecido, mas a hipótese agora é que o logaritmo do preço é descrito por uma distribuição Normal (BLACK; SHOLES, 1973). Com essa hipótese, eles desenvolveram um método muito utilizado para descrever a evolução do preço de ativos e que Gest. Prod., São Carlos, v. 19, n. 4, p. 793-809, 2012

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jogo da minoria

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  • 1 Departamento de Engenharia de Produo, Faculdade de Engenharia de Bauru FEB, Universidade Estadual Paulista UNESP, Av. Luis Edmundo Carrijo Coube, 1401, CEP 17033-360, Bauru, SP, Brasil, e-mail: [email protected]

    2 Grupo Interdisciplinar de Fsica da Informao e Economia GRIFE, Escola de Artes, Cincias e Humanidades EACH, Universidade de So Paulo USP, Av. Arlindo Bettio, 1000, CEP 03828-000, So Paulo, SP, Brasil

    Recebido em 15/3/2010 Aceito em 3/1/2012Suporte financeiro: Nenhum.

    Abstract: Over the past ten years physicists have made a significant contribution to the building of an agent-based model to reproduce the behavior of financial markets using computer simulation. This model, called the Minority Game, consists of a group of agents that buy or sell assets. They make decisions based on strategies, and through them the agents establish an intricate game of competition and coordination resulting in the distribution of wealth. The model has shown outstanding surprising results concerning both the dynamics of the system and the ability to reproduce statistical and behavior characteristics of the financial market. In this study, the structure and dynamics of the Minority Game and the recent contributions related to the Grand Canonical Minority game, a model which is better adapted to the characteristics of the financial market and reproduce the statistical regularities of asset prices (called stylized facts) are presented.Keywords: Modeling. Simulation. Game theory. Quantitative methods.

    Resumo: Nos ltimos anos houve uma contribuio significativa dos fsicos para a construo de um tipo de modelo baseado em agentes que busca reproduzir, em simulao computacional, o comportamento do mercado financeiro. Esse modelo, chamado Jogo da Minoria consiste de um grupo de agentes que vo ao mercado comprar ou vender ativos. Eles tomam decises com base em estratgias e, por meio delas, os agentes estabelecem um intrincado jogo de competio e coordenao pela distribuio da riqueza. O modelo tem demonstrado resultados bastante ricos e surpreendentes, tanto na dinmica do sistema como na capacidade de reproduzir caractersticas estatsticas e comportamentais do mercado financeiro. Neste artigo, so apresentadas a estrutura e a dinmica do Jogo da Minoria, bem como as contribuies recentes relacionadas ao Jogo da Minoria denominado de Grande Cannico, que um modelo mais bem ajustado s caractersticas do mercado financeiro e reproduz as regularidades estatsticas do preo dos ativos chamadas fatos estilizados.Palavras-chave: Modelagem. Simulao. Teoria de jogos. Mtodos quantitativos.

    Jogo da Minoria: um modelo baseado em agentes aplicado ao mercado financeiro

    Minority Game: an agent-based model applied to financial market

    Antonio Fernando Crepaldi1 Fernando Fagundes Ferreira2

    Jos de Souza Rodrigues1

    1IntroduoO mercado financeiro um elemento-chave no

    desenvolvimento de uma nao. Por meio dele podem-se financiar projetos de longo prazo que beneficiam empresas e trabalhadores. Apesar de ocupar um papel central no desenvolvimento econmico dos pases, tambm o palco em que se manifestaram as crises que recentemente levaram muitos pases recesso. Entender os mecanismos que governam a dinmica do mercado financeiro um grande desafio. Ainda no se conhece uma teoria ou modelos capazes de prever essas crises ou impedi-las o que faz deste tema um fascinante tpico de pesquisa e, ao mesmo tempo, um desafio para a cincia moderna.

    O primeiro modelo para o mercado financeiro deve-se a Bachelier em 1900 (SCHACHERMAYER; TEICHMANN, 2008). Esse basicamente um modelo estocstico que produz sries de preos como um passeio aleatrio, cuja funo de distribuio do preo uma Normal. Setenta anos depois, Black e Scholes, beneficiados pelos desenvolvimentos anteriores da teoria de equaes diferencias estocsticas, realizados principalmente por It (1951), propuseram um modelo parecido, mas a hiptese agora que o logaritmo do preo descrito por uma distribuio Normal (BLACK; SHOLES, 1973). Com essa hiptese, eles desenvolveram um mtodo muito utilizado para descrever a evoluo do preo de ativos e que

    Gest. Prod., So Carlos, v. 19, n. 4, p. 793-809, 2012

  • Crepaldi et al.

    permitiu derivar uma expresso para a precificao de derivativos. Embora a hiptese de normalidade esteja incorreta, o mtodo de Black e Scholes de inegvel valor, pois representou um grande avano para a construo e fundamentao da teoria financeira para mercados futuros.

    A grande dificuldade de se obter um modelo mais preciso deve-se ao fato do mercado financeiro ser um sistema complexo formado por muitos agentes que compram ou vendem ttulos, aes e outros produtos de forma descentralizada. O comportamento coletivo desses agentes traduzido em um conjunto de sries temporais de preos que apresentam um padro de flutuao muito especial chamado de fatos estilizados (CONT, 2001). Estes fatos estilizados so regularidades estatsticas presentes em diversas sries temporais financeiras como: taxas de cmbio, aes, ttulos e taxas de juros. Esses resultados so robustos e foram observados em vrios pases ao longo das ltimas dcadas. Uma reviso sobre os principais fatos estilizados realizada no Apndice A. Essas regularidades estatsticas so, portanto, um fenmeno universal e tm chamado a ateno de fsicos e economistas que buscam de forma independente modelos capazes de reproduzi-las. O fato mais intrigante que a teoria tradicional foi construda com base em hipteses que no so corroboradas pelos dados empricos, que aqui chamamos de fatos estilizados. A mais grave violao a hiptese de normalidade do log-retorno. A presena de caudas pesadas na distribuio dos retornos dos ativos financeiros tem implicaes sries. Uma delas que as grandes flutuaes negativas (crashes) deveriam ser eventos muito raros se a teoria estivesse correta, mas, na prtica, assistimos a muitos eventos desse tipo nas ltimas dcadas. Avanos futuros da teoria vigente devem se basear em pressupostos mais realistas. Ela no pode ignorar os dados empricos e, portanto, precisa levar em conta os fatos estilizados. Contudo muito difcil encontrar modelos baseados em equaes que deem conta de incorpor-los.

    Nesse contexto, surge uma nova alternativa, os chamados modelos baseados em agentes. Eles consistem em um conjunto de entidades ou objetos computacionais chamados de agentes, que, por sua vez, interagem entre si de acordo com um conjunto de regras. Ao contrrio dos pressupostos da economia neoclssica, os agentes tm racionalidade limitada e so heterogneos entre si. Eles possuem um conjunto de estratgias que descrevem o seu comportamento individual. Existem vrios modelos de agentes para o mercado financeiro (LUX; MARCHESI, 1999; PALMER et al., 1994; LEVY; LEVY; SOLOMON, 1995; BAK; PACZUSKI; SHUBIK, 1997; CALDARELLI; MARSILI; ZHANG, 1997; BROCK; LEBARON, 1996) e este trabalho apresentar e discutir o Jogo da Minoria e o Jogo da Minoria

    Grande Cannico (CHALLET; MARSILI; ZHANG, 2001a, 2005). Esta famlia ou classe de modelo foi escolhida por possuir poucos parmetros e produzir sries de retorno do preo com as regularidades estatsticas observadas em sries reais. Portanto, essas evidncias empricas fazem deles modelos competitivos e que podem evoluir para permitir prever as crises (crashes) do mercado financeiro (JOHNSON et al., 2001).

    2Descrio do modelo do Jogo da MinoriaChallet e Zhang (1997) propem o modelo do

    Jogo da Minoria que busca mimetizar a dinmica de um mercado de ativos. Inspirado no problema do bar El Farol de Arthur (1994), este modelo baseia-se naqueles investidores que seguem a tendncia, ou seja, aqueles responsveis pelo efeito de manada que levam formao de bolhas e crashes no mercado. O ponto de partida pensar que existem dois grupos: compradores e vendedores. Segundo a lei da oferta e demanda, faz um bom negcio quem vender quando a maioria est comprando e vice-versa. Portanto, o melhor ficar no grupo da minoria. Este mecanismo apenas uma aproximao, mas pode ser o suficiente para reproduzir ou explicar os dados financeiros.

    O chamado Jogo da Minoria consiste em uma populao de N agentes ou jogadores, cada um possuindo um conjunto de S estratgias que os permitem decidir, a cada jogada e de forma autnoma, comprar ou vender um ativo. Com o decorrer do jogo, obtm-se uma sequncia de bits rotulados por 0 e 1, informando o grupo minoritrio, sendo 1 para rotular o grupo de compradores e 0 para os vendedores. Essa sequncia recebe o nome de histria do jogo.

    Cada jogador tem uma memria limitada que o impede de guardar toda a sequncia de bits que define a histria do jogo. O melhor que ele pode fazer reter os ltimos m bits da histria e, com essa memria, aprender a tomar decises (comprar ou vender). Esses ltimos m bits representam o estado informacional do sistema no instante t e denota-se por (t). A tomada de deciso ser orientada por estratgias que levam em conta somente o estado informacional (t). O conjunto de estratgias, S, de cada agente fixado no incio da simulao e no pode mais ser modificado ao longo da dinmica. Uma dada estratgia uma funo de (t) que retorna as decises de comprar ou vender (1 e 0) o ativo no instante t. Em outras palavras, essa funo olha para uma sequncia binria (t) e retorna um bit denotado por ai,s {0,1}, representando a ao a ser tomada, em que i representa o agente e s uma de suas estratgias. Um exemplo de estratgia para m = 3 apresentado na Tabela 1.

    Assim, um jogador que tenha como estratgia a Tabela 1, observa a informao vigente (t) e toma a

    794 Gest. Prod., So Carlos, v. 19, n. 4, p. 793-809, 2012

  • Jogo da Minoria: um modelo baseado em agentes...

    em que, *(t )

    i ,sa representa a deciso do i-simo jogador

    devido estratgia s* (aquela com maior payoff entre todas). Note que o conjunto A(t), para t = 0, 1, 2, ...forma uma srie temporal. O desvio padro do excesso de demanda A(t) ser denotado por , e representa uma medida da eficincia do sistema na distribuio de recursos (SAVIT; MANUCA; RIOLO, 1999). Quanto menor , mais amplo o grupo minoritrio.

    O comportamento de apresenta propriedades muito interessantes, conforme se varia m (SAVIT; MANUCA; RIOLO, 1999). Se fosse calculado para a srie descrita anteriormente, porm com os agentes tomando decises de forma aleatria, o resultado seria uma distribuio de probabilidade do tipo binomial, em que ( ) = 1N.p p , sendo p a probabilidade de um agente pertencer ao grupo vencedor. Na Figura 1, tem-se o valor de em funo de m, com N = 101 e S = 2. Para um dado m, tem-se um conjunto de pontos representando 30 realizaes independentes.

    Analisando a Figura 1, pode-se destacar: Para m pequeno, o valor mdio de bem

    maior que o desvio padro do jogo com escolha aleatria ( = 5, linha pontilhada no grfico). Existe tambm, nesse caso, para o mesmo m, uma grande disperso dos valores de ;

    Para m = 6, o valor mdio de atinge um ponto de mnimo, e esse valor menor que aquele calculado para o jogo com escolha aleatria; e

    Para valores de m > 6, o valor mdio de volta a crescer, e para m grande, 5. Observa-se tambm, para um mesmo m, uma queda acentuada na disperso dos valores de .

    Outro fato interessante que a dependncia de , com o tamanho da memria m observada acima, mais bem descrita por outra grandeza denotada por , que mede a complexidade do sistema. Construindo-se grficos de como funo de m para vrios valores de N, verifica-se que a forma geral da Figura 1 se mantm, mas o valor de m

    c proporcional a ln N e os valores

    de e de sua disperso tm comportamentos diferentes conforme a regio. Para m < m

    c, e

    so proporcionais a N, e para m mc, e so

    proporcionais a N (SAVIT; MANUCA; RIOLO, 1999). Os autores Savit, Manuca e Riolo (1999) descobriram que

    2

    N

    funo apenas de 2m

    .N

    Isso pode ser observado na Figura 2, construda

    utilizando S = 2 e vrios valores de N e m, em uma escala log-log. Interessante notar que os pontos caracterizam o desenho de uma curva com o mesmo aspecto daquela imaginada para interpolar os valores mdios de (para um dado m) na Figura 1, e que

    deciso segundo a coluna Ao. Por exemplo, quando (t) = 010, tomar a ao 0, ou seja, ir vender o ativo.

    Existem 2m modos possveis de configurao (dados de entrada) para uma determinada estratgia e, como cada uma dessas configuraes pode apresentar duas aes diferentes, verifica-se que o nmero de possveis estratgias igual a 22

    m. O espao das

    estratgias cresce rapidamente com o aumento de m. Para m = 2,3,4 o nmero de estratgias possveis 16, 256, 65.536.

    Pode-se analisar o jogo sob a tica de dois extremos. O primeiro, em que apenas um jogador decide ficar de um lado, por exemplo, no grupo dos compradores, e todos os outros no grupo oposto. Nesse caso, apenas um jogador receber pontuao. O segundo, em que ( 1)

    2N

    jogadores decidem por um grupo e os restantes

    ( 1)2

    N + por outro grupo. Portanto,

    ( 1)2

    N jogadores recebero pontos por pertencerem

    ao grupo minoritrio. Tomando o ganho total como uma medida de desempenho social, nota-se que a ocorrncia do segundo caso prefervel e o resultado do jogo flutuar entre esses extremos.

    Para iniciar a simulao, um estado (0) gerado aleatoriamente e tambm sorteada, para cada jogador, uma dentre suas S estratgias, a fim de que tomem suas decises (0 ou 1). A cada jogada, todas as S estratgias, de cada jogador, so avaliadas como vencedoras ou no, levando em conta o estado (t) e o resultado do grupo minoritrio da jogada atual. Essa pontuao feita mesmo para as estratgias que no foram utilizadas na tomada de deciso, portanto, uma pontuao virtual. Assim, ao longo do jogo, as estratgias vo acumulando pontos segundo sua capacidade preditiva. Porm, somente a estratgia que at aquele instante tenha acumulado o maior nmero de pontos virtuais ser a tomadora de deciso no instante t + 1.

    Ao fim de cada rodada, computa-se o chamado excesso de demanda definido como:

    ( )1

    *

    N (t )i ,si

    A t a=

    =

    Tabela 1. Possvel estratgia para um sinal de tamanho m = 3. Ao

    000001010011100101110111

    10011010

    795

  • Crepaldi et al.

    Figura 2. 2/N como funo de 2m/N para vrios valores de N. Observa-se que todas as curvas tm um comportamento universal.

    Figura 1. como funo de m para N = 101 e S = 2, mostrando 30 realizaes independentes. O valor de para cada realizao denotado por um ponto. A linha pontilhada horizontal representa o valor de para uma realizao com comportamento aleatrio.

    possui ponto de mnimo 2cm

    cN separando as

    duas regies em que o sistema tem comportamentos diferentes.

    3Interpretao geomtricaPara explicar a curva tpica das Figuras 1 e 2, e a

    distino do comportamento de acima e abaixo do ponto de mnimo, faz se uma explorao da estrutura de cooperao do Jogo da Minoria a partir de uma abordagem geomtrica.

    O espao de estratgias pode ser representado em um hipercubo booleano de dimenso 2m, cujos pontos contm as 22

    m distintas estratgias do Jogo da

    Minoria (ZHANG, 1998). Tomando nesse hipercubo duas estratgias vizinhas, que difiram suas prescries de ao para apenas um determinado , ou seja, as estratgias so diferentes em 1 bit apenas, diz-se que a distncia de Hamming entre elas unitria. Esse tipo de medida de distncia conta o nmero de bits diferentes entre duas estratgias.

    796 Gest. Prod., So Carlos, v. 19, n. 4, p. 793-809, 2012

  • Jogo da Minoria: um modelo baseado em agentes...

    Tomando s e t como estratgias pertencentes ao hipercubo H

    m, a distncia de Hamming pode ser

    escrita como (CHALLET; ZHANG, 1998):

    ( ) ( )21

    m

    mi

    D s,t s i t(i)=

    =

    (1)

    Se a distncia for normalizada, tem-se d

    m (s,t) = D

    m(s,t)/2m.

    Outra maneira de escrever a distncia de Hamming a partir dos agentes. Tomando dois agentes, i e j (CHALLET; MARSILI; ZHANG, 2000):

    2 1 14 2 2

    i ji , j i j

    (a a )d a a .

    = =

    (2)

    O trao sobrescrito representa uma mdia da varivel em relao a e a letra a representa a ao tomada pelo agente.

    Pequenas distncias de Hamming significam a existncia de estratgias altamente correlacionadas, e jogadores que as possuem tendem a obter a mesma deciso. Por outro lado, se duas estratgias so descorrelacionadas, as decises sero coincidentes com probabilidade 12.

    Uma medida do grau de diversidade (ou independncia), existente em um conjunto de estratgias, dada pela contagem das suas estratgias descorrelacionadas (ZHANG, 1998). Assim, interessante proceder a essa contagem a partir do hipercubo booleano. Existe entre as estratgias um subconjunto A de 2m pares de pontos em que, para cada par, a distncia de Hamming mxima, ou seja, esses pares so anticorrelacionados, dado que as duas estratgias de um par apresentam aes opostas para um mesmo . Mais ainda, a distncia entre qualquer das estratgias de A com outra estratgia que no seja a sua antpoda ser metade da distncia mxima de Hamming, ou seja, 2m 1, portanto mutuamente independentes. necessrio observar que possvel formar subconjuntos que tenham estratgias anticorrelacionadas, porm, as outras distncias medidas nesse grupo no sero descorrelacionadas.

    Existe uma forma de construo que permite obter os elementos que compem o subconjunto A. Tomam-se inicialmente as possveis estratgias para o caso m = 1, conforme a Figura 3.

    Pode-se observar que cada estratgia contm um vetor (2a coluna) cujas componentes so as aes. Cada um desses vetores ir gerar dois novos, que possuiro o dobro do tamanho do vetor original. Os novos vetores surgem da concatenao () do vetor original, ora com ele prprio, ora com o seu antpoda. A Figura 4 mostra o resultado da aplicao dessa regra no vetor ao que est representado na estratgia (a) da Figura 3. Assim, observa-se que [0,0] [0,0] = [0,0,0,0], (vetor ao da estratgia (e)) e que [0,0] [1,1] = [0,0,1,1] (vetor ao da estratgia (f)), ambas da Figura 4.

    a b

    c d

    Figura 3. As quatro possveis estratgias para m = 1.

    e f

    Figura 4. As duas novas estratgias criadas a partir do vetor ao [0,0], com m = 2.

    Portanto, de forma geral, o subconjunto A, que contm 2(m + 1) elementos, construdo de forma recorrente utilizando as operaes:

    ( )2( ) ( ) * jj jV ; V V 2( ) ( j ) ( * j )V V V ; j

    Em que 1i iV V= e j representa a ordem 2m, ou seja, no exemplo dado, os vetores de ordem 4 foram obtidos daqueles de ordem 2. Da mesma forma, so construdos os de ordem mais alta.

    O nmero de pontos do subconjunto A, N0 = 2m + 1, representa um espao reduzido de estratgias, que desempenha um importante papel no modelo do Jogo da Minoria. A ideia comparar N0 com o nmero de estratgias na populao N.S (ZHANG, 1998):

    1. NS > N0 (regio saturada) Os jogadores tm disposio estratgias positivamente correlacionadas para utilizarem. O efeito de manada (muitos agentes fazendo a mesma coisa) inevitvel a despeito da adaptabilidade dos

    797

  • Crepaldi et al.

    valor em que mnimo. Os autores Savit, Manuca e Riolo (1999) e Manuca et al. (2000) encontraram algo muito mais interessante que distingue as duas regies. Eles procuraram saber se existem padres preditivos ao longo da srie de excesso de demanda A(t). Para isso, mapearam A(t) em uma srie temporal G(t) binria em que 0 representa os casos em que o grupo minoritrio foi dos vendedores e 1 o dos compradores. A partir de G, calcula-se a probabilidade condicional ( )1| kP , que a probabilidade do grupo minoritrio ser o de compradores (1) no tempo t + 1, dado um determinado estado .

    Foi simulado um jogo com N = 101, m = 3 e S = 2 e dois casos foram analisados. Primeiro, perguntou-se se um agente com memria k = 3 = m poderia prever probabilisticamente o grupo vencedor no tempo t + 1, simplesmente calculando a probabilidade condicional ( )1| kP , para ao menos um estado . O resultado

    obtido est mostrado na Figura 5a. Nota-se que

    ( ) 11|2k

    P = para todo estado k, ou seja, nessas

    condies no parece ser possvel prever o prximo

    bit para nenhum valor de k . O segundo caso foi analisar a possibilidade de predio, caso exista um agente infiltrado com memria k = 4, isto , acima daquela utilizada para gerar a srie G. A hiptese que um agente com maior capacidade de processamento, ou informao, pudesse arbitrar sobre os demais. O resultado deste segundo caso est na Figura 5b. Nesse

    experimento, ( )1| kP diferente de 12 , indicando a

    jogadores e resultar em flutuaes maiores que aquelas geradas por um processo do tipo caminho aleatrio;

    2. NS ~ N0 (regio crtica ou de cooperao) As estratgias utilizadas pelos N jogadores so bastante independentes e uma pequena parte que est anticorrelacionada possibilita a obteno de decises opostas; e

    3. NS

  • Jogo da Minoria: um modelo baseado em agentes...

    A varivel H chamada de previsibilidade (RODRIGUES, 2005) e mede a presena de informao ou arbitragem no sinal de A (CHALLET; MARSILI, 1999). O comportamento de H em funo de dado na Figura 7.

    Observa-se, basicamente, que H = 0 para < c

    e H > 0 para > c. Isso uma marca da transio

    de fase. Nesse ltimo caso, um agente pode detectar ou explorar a informao existente, indicando que uma de suas estratgias seja mais correlacionada com

    |A que as outras. Outro fato que chama a ateno que H vai para zero exatamente no ponto em que mnimo. A dinmica do modelo tal que, ao diminuir , os agentes passam a ter maior capacidade de explorar a informao e exaurir a previsibilidade, tornando o mercado cada vez mais eficiente do ponto vista informacional. Porm, para na regio subcrtica ocorre uma maior dificuldade de coordenao ou cooperao e o sistema se torna ineficiente do ponto de vista de distribuio de recursos.

    Para finalizar, pode-se dizer que intrigante que um modelo para explicar comportamento de agentes econmicos possa exibir propriedades conhecidas e descritas pela antiga termodinmica. Isso sugere que se possa conhecer no futuro modelos para cincias sociais e econmicas simples o suficiente para evolurem e incorporarem caracterstica cada vez mais realstica, mas no to simples para poderem capturar comportamentos complexos. Alm disso, estes modelos vo permitir a adoo de uma linguagem comum para as cincias da natureza e da rea de humanidades. Essa agenda vem sendo desenvolvida em novas reas que congregam a chamada cincia da complexidade.

    possibilidade de obter mais ganhos que os agentes com memria reduzida. Contudo, supondo igualdade de memria, pode-se dizer que no primeiro experimento o mercado eficiente, j que nenhuma estratgia com m 4 pode obter sucesso maior que 50%.

    Repetindo essa anlise, porm adotando agora m m

    c e, em particular, para um jogo com os

    parmetros N = 101 e S = 2 e m = 6, observa-se pela Figura 6, que, diferentemente do que aconteceu na Figura 5a, existe um padro e todos os agentes podem acess-lo. No sentido descrito anteriormente o mercado no eficiente.

    A formalizao matemtica deste problema foi obtida por Challet e Marsili (1999) com uma explicao muito simples. Segundo eles, para cada existem agentes que sempre tomam a mesma deciso. Isso acontece porque sua melhor estratgia congela para determinado e, assim, preconizam a mesma ao a ser tomada quando o estado aparece. Isso produz um vis em A sempre que t = . Para medir esse vis, definido o parmetro de ordem que identifica a transio de fase do modelo (CHALLET; MARSILI, 1999; CHALLET; MARSILI; ZECCHINA, 2000):

    == =2 2

    1

    1 |P

    A H AP

    (3)

    em que |A a mdia condicional de A dado que t = . A barra sobrescrita em

    2A uma

    simplificao para a mdia em P, ou seja, substitui o termo 1

    1 p .p =

    Figura 6. Histograma da probabilidade condicional ( )1| kP com k = 6 para uma jogada com m = 6. Os valores binrios de esto representados na base 10.

    799

  • Crepaldi et al.

    quando se procede diviso de seus participantes em dois tipos: os produtores e os especuladores (ZHANG, 1999).

    Os produtores participam do mercado observando necessidades que so alheias a sua dinmica. Na realidade, o termo conveniente para designar desde indivduos que se utilizam do mercado para fazer hedge at o turista que busca fazer cmbio.

    J os especuladores buscam vantagem na movimentao do mercado, tentando lucrar com um processo de arbitragem. Exemplos so grandes instituies financeiras, fundos de hedge ou at mesmo pessoas fsicas, que, por meio de corretoras de valores, atuam no mercado.

    Resumidamente, pode-se caracterizar os dois tipos de agentes da seguinte forma: Produtores

    Injetamelementosdeprevisonasflutuaesaparentemente aleatrias do mercado;

    Esseagente teminteresseemnegciosexternos ao mercado;

    Participamdomercadoparasuasprpriasnecessidades de um modo previsvel, indiferentes s pequenas flutuaes de preo; e

    Possuemperspectivadelongoprazo.

    Especuladores Compramevendemativossemsepreocupar

    com seu valor intrnseco;

    5O modelo Grande CannicoO Jogo da Minoria apresentado anteriormente

    no reproduz todos os fatos estilizados por ser uma verso muito simplificada da realidade. Para torn-lo um pouco mais realstico, deve-se permitir que os agentes possam sair do mercado quando suas estratgias levam-nos, em mdia, a perdas em torno de um valor . Este valor pode ser a taxa de juros que ele ganharia se optasse por outro investimento como a poupana. Embora seja permitido que os agentes saiam do jogo, nada impede que eles continuem acompanhando o mercado e, caso percebam que as suas estratgias possam lev-los a ganhar uma taxa superior a , que seja permitido que eles voltem ao jogo. A possibilidade do nmero de agentes variar levou os autores a cham-lo de modelo Grande Cannico em analogia com a situao em mecnica estatstica que recebe o mesmo nome quando o nmero de partculas em um sistema em contato com um banho trmico varia. A outra inovao nessa nova verso ser a presena de um novo tipo de agente chamado de produtor, cuja motivao ser discutida logo a seguir.

    Aparentemente, o mercado tem o comportamento de um jogo de soma zero, em que alguns ganham medida que outros perdem. Em geral, entretanto, razovel pensar que a maioria dos participantes do mercado beneficia-se dessa dinmica, pela prpria persistncia do processo. Ento, caberia perguntar: quem injeta dinheiro no mercado? A resposta surge

    Figura 7. Os crculos abertos representam o comportamento de H N enquanto o smbolo + representa 2/N, ambos contra 2m/N, com m = 7. Note que H converge para zero exatamente quando mnimo, ou seja, para =

    c 0,34.

    800 Gest. Prod., So Carlos, v. 19, n. 4, p. 793-809, 2012

  • Jogo da Minoria: um modelo baseado em agentes...

    consiste de N agentes interagindo, em que Np so os produtores e os remanescentes N

    s = N Np so os

    especuladores. Os agentes so dotados com s = 0, ..., S estratgias que so mantidas fixas desde o incio. As estratgias permitem que eles tomem decises como comprar, vender ou no negociar a cada tempo t.

    Para ser bem sucedido no jogo, cada agente procura permanecer no grupo da minoria, isto , comprar ativos quando a maioria vende e vice-versa. Na realidade, o mecanismo de mercado mais complexo. Apesar disso, a regra da minoria lembra a lei da oferta e demanda. Por simplicidade, mapeia-se o histrico dos preos p(t) em uma sequncia binria. Cada bit representa um sinal da variao de preos entre t - e t, para uma conveniente escala . Padres podem ser construdos a partir da sequncia binria pela definio de um vetor de tamanho m que representa um pedao da sequncia. O nmero total de diferentes padres P = 2m. Esses padres so dependentes do tempo e correspondem informao pblica que denotada por (t). A estratgia projetada para ler uma informao (t) e retornar ao agente uma deciso correspondente.

    No caso dos especuladores, as decises so denotadas por = 1 0i ,sa , , em que i = 1, ..., Ns; enquanto a deciso dos produtores denotada por

    1jb ,= em que j = 1, ..., Np. Observa-se que os

    produtores tm somente uma estratgia que depende da informao, , portanto, eles esto sempre negociando, isto , comprando e vendendo ativos. Por outro lado, especuladores tm mais que uma estratgia, alm de contar com a estratgia nula s = 0, que permite a eles no negociar, 0 0i ,a

    = . A cada tempo t, todos

    os jogadores tomam suas decises individuais e ento computado o excesso de demanda A(t), que definido como:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= =

    = +1 1

    p sN N ttj i ,s

    j iA t b t a t

    (4)

    O desempenho das estratgias dado pela funo de pontuao:

    ( ) ( ) ( ) ( ) 01i ,s i ,s i ,s ,sU t U t a t A t + = + (5)em que s corresponde ao valor mximo de Ui,s no tempo t, s i ,ss max U ,= e 0> a taxa de juros recebida por no negociar e 0

  • Crepaldi et al.

    so bastante promissores os trabalhos desenvolvidos nessa rea, que, a exemplo do Jogo da Minoria, tem pouco mais de uma dcada.

    O Jogo da Minoria e sua verso Grande Cannica apresentam algo ainda mais intrigante que simplesmente reproduzir os fatos estilizados. Esses modelos exibem uma transio de fase semelhana do que se observa na natureza quando se varia um parmetro como, por exemplo, a temperatura, chamado pelos fsicos de parmetro de controle. Alterando esse parmetro de controle, a gua pode passar do estado lquido para o slido ou gasoso. H um valor da temperatura, para o qual ocorre a coexistncia das trs fases, que recebe o nome de ponto crtico. O mesmo acontece aqui para um valor de =

    c.

    Challet e Marsili (2003) mostraram que os fatos estilizados ocorrem na vizinhana desse ponto crtico. Isso significa que o mercado na iminncia de uma crise se auto-organiza prximo ao ponto crtico. Essa foi uma grande surpresa, pois na natureza se observam flutuaes anmalas que levam ao surgimento de leis de escalas do tipo observado no mercado financeiro quando o sistema aproxima-se desse ponto crtico. Se de fato o mercado tiver essa propriedade, com base em tudo o que sabemos da mecnica estatstica, as propriedades macroscpicas observadas nos dados (fatos estilizados) no devem depender de detalhes

    Cada agente i (especulador) tem uma percepo do valor fundamental do preo do ativo i. Essa uma varivel aleatria com distribuio uniforme no intervalo [0,

    mx]. A varivel representa o percentual de indivduos na populao que so especuladores,

    sNN = . J o parmetro P limita a varivel ,

    = 0, ... P 1.Observa-se, a partir dos resultados apresentados,

    que o Jogo da Minoria Grande Cannico e suas variantes so modelos que conseguem reproduzir fatos estilizados importantes que surgem no mercado financeiro real, o que surpreendente, dada a simplicidade da dinmica contida nesses modelos. preciso salientar, porm, que a simplicidade no implica em facilidade na obteno de resultados interessantes. Muitas vezes, alteraes significativas do modelo, como propostas criativas de modificao da funo de pontuao das estratgias (payoff das estratgias), que inicialmente parecem promissoras, podem redundar em realizaes sem sentido. Contudo, esse tipo de modelo baseado em agentes consegue incorporar sua dinmica comportamentos que no esto contemplados em modelagens feitas a partir das equaes diferenciais estocsticas que possuam como hiptese o movimento do tipo passeio aleatrio para o preo de um ativo. Enfim,

    a

    b

    c

    Figura 8. a) Evoluo temporal do retorno. b) Autocorrelao (linha pontilhada) e autocorrelao dos valores absolutos (linha contnua) como funo de . c) Distribuio de probabilidade dos retornos P(r) como funo de r. Os valores dos parmetros so N = 1000, P = 100,

    mx = 100, = 0.6. Em c) observam-se caudas gordas e assimetria negativa. Fonte: Ferreira et al. (2005, p. 539).

    802 Gest. Prod., So Carlos, v. 19, n. 4, p. 793-809, 2012

  • Jogo da Minoria: um modelo baseado em agentes...

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    CHALLET, D.; MARSILI, M.; ZHANG, Y.-C. Minority games and stylized facts. Physica A,

    microscpicos. Isso implica que modelos mais simples podero capturar os mecanismos que regem o mercado financeiro. Em outras palavras, o que realmente interessa para explicar essas regularidades so as propriedades presentes nas interaes, ou seja, as prprias regras de interao. Isso faz com que os modelos de agentes sejam muito promissores, pois eles so definidos a partir da regra de interao entre os agentes, que parece ser a componente mais importante para entender os mecanismos que regem o mercado.

    6Consideraes finaisNuma leitura crtica da teoria econmica neoclssica

    e da teoria financeira que fundamenta o mercado financeiro h de se perceber que os pressupostos nas quais elas se fundamentam esto incorretos ou no so muito realistas. Isso se deve, entre outras coisas, busca de modelos matemticos analticos ou tratveis. Para isso, so necessrias hipteses simplificadoras que, de partida, ignorem os dados empricos. Da uma das explicaes para a dificuldade que os economistas tm em prever o mercado. Alm disso, modelos baseados em equilbrio so contestados dentro da prpria cincia econmica, que, atualmente, tambm busca construir modelos que abarquem o aspecto da dinmica das variveis econmicas.

    Qualquer que seja a abordagem utilizada para se construir modelos, no possvel ignorar os dados. Um bom modelo para o mercado tem que ser capaz de reproduzir os fatos estilizados. Essas regularidades estatsticas foram apresentadas ao longo deste artigo. Pode-se dizer que um modelo que exiba tais propriedades produziu as evidncias empricas mnimas desejadas.

    Buscou-se, neste artigo, apresentar um modelo prottipo para explicar o mercado financeiro chamado Jogo da Minoria e sua verso aprimorada, o Jogo da Minoria Grande Cannico. Este modelo, especificamente, capaz de gerar sries de retornos com fatos estilizados como aqueles observados no mercado financeiro real. Com esse modelo, podemos gerar sries que possuam as mesmas regularidades estatsticas observadas em sries empricas, como tambm mostrar que o mercado se auto-organiza de forma a se tornar um sistema crtico, o que representa aumentar a instabilidade do sistema (grandes flutuaes). Em termos do mercado financeiro, essa condio necessria para gerar as crises.

    O principal objetivo deste artigo foi apresentar uma nova abordagem para a modelagem em Economia. Para poder evocar hipteses mais realistas, a chamada modelagem baseada em agentes parece ser uma boa candidata a produzir a prxima gerao de modelos para descrever o mercado.

    803

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    804 Gest. Prod., So Carlos, v. 19, n. 4, p. 793-809, 2012

  • Jogo da Minoria: um modelo baseado em agentes...

    Apndice A. Fatos Estilizados do Mercado Financeiro

    Nas ltimas dcadas, a disponibilidade de dados financeiros de alta frequncia (chegando ordem de segundos) e a utilizao de mtodos computacionais permitiram um avano substancial no estudo do comportamento do mercado financeiro (CONT, 2001; MANTEGNA; STANLEY, 2000; BOUCHAUD; POTTERS, 2003). A partir de observaes empricas, foram notadas determinadas regularidades estatsticas que permeavam os mais diversos tipos de ativos em diferentes locais e perodos analisados (CONT, 2001). O trabalho pioneiro de Mandelbrot, nos anos 1960, sobre a funo de distribuio dos retornos de commodities j exibia um comportamento no gaussiano desses dados, assim como verificava que a forma funcional da distribuio no se alterava com a mudana da frequncia da amostragem dos dados, quando analisados intervalos temporais de um dia at um ms (GOPIKRISHNAN et al., 1999). O conjunto de propriedades estatsticas apresentado pelas sries temporais de retorno e volatilidade dos diversos mercados financeiros foi denominado fatos estilizados (GOPIKRISHNAN et al., 1999; CONT, 2001). Entre os fatos estilizados das sries de retorno pode-se destacar: funo de distribuio apresentando caudas gordas; ocorrncia de assimetria ganho/perda; gaussianidade agregativa; caudas gordas condicionais e a ausncia de autocorrelao (linear). J as sries de volatilidade apresentam: decaimento lento da autocorrelao; intermitncia; agrupamentos de volatilidade e efeito de alavancagem.

    O modelo de dinmica de preos mais comum assume que os incrementos de preos ou seja, o retorno segue um processo difusivo e tem como

    funo de distribuio uma gaussiana (MANTEGNA; STANLEY, 2000). Esse modelo, conhecido como modelo Browniano Geomtrico, possui diversas simplificaes que permitem a realizao de clculos analticos. Porm, os dados empricos das sries de retorno apresentam funo de distribuio leptocrtica. Quanto maior a frequncia dos dados, maior o grau de leptocurtose observado. As caudas gordas tpicas dessas distribuies podem ser captadas visualmente na Figura 9.

    Uma forma de medir quanto uma determinada distribuio desvia de uma distribuio normal utilizando a medida de curtose (CONT, 2001):

    ( ) 44 3

    r t , t r(t , t)k

    =

    (A.1)

    Definida dessa maneira, a curtose para uma distribuio gaussiana nula, enquanto para distribuies com caudas gordas k>0.

    Alguns estudos demonstram que as caudas gordas apresentadas pelas distribuies de retorno tm decaimentos que seguem uma lei de potncia com ~ 3, ou at mesmo valores maiores, 3 5 (GOPIKRISHNAN et al., 1999; BOUCHAUD; POTTERS, 2003). Alm de apresentarem curtose positiva, as distribuies de retorno de ativos dos mercados financeiros apresentam assimetria. Bouchaud e Potters (2003) mostram que a assimetria pequena, muito menor que as curtoses observadas, alm disso, a assimetria uma caracterstica muito sensvel quantidade que se toma para estudo, como o incremento absoluto de preos ou o incremento

    Figura 9. Densidade de probabilidade do retorno comparada com uma gaussiana em duas maneiras diferentes. Em ambas fica evidente que as caudas da distribuio do retorno so mais pronunciadas que aquela apresentada por uma distribuio gaussiana. Valores do ndice Bovespa de jan./2000 a set./2011.

    805

  • Crepaldi et al.

    STANLEY, 2000). Essa resposta garante que a varincia tenha valor finito, porm, a Levy-truncada no uma distribuio estvel.

    Como os dados empricos do retorno apresentam distribuio no estvel, espera-se que haja uma convergncia para uma distribuio gaussiana medida que os valores sejam tomados com intervalos temporais, t cada vez maiores. Essa caracterstica chamada gaussianidade agregativa e apresentada na Figura 10.

    Um fenmeno que denota a caracterstica de persistncia nas sries de retorno so as caudas gordas condicionais. Esse fato estilizado verificado quando, aps filtrar a srie original, utilizando, por exemplo, um modelo do tipo GARCH (CONT, 2001), a srie resultante ainda exibe caudas gordas, apesar de serem caudas menos pesadas que aquelas obtidas a partir da srie original.

    Alm de se conhecer os detalhes da forma funcional da distribuio do retorno, interessante verificar o comportamento de correlao dos dados dessa varivel. Para esse fim, utiliza-se, com frequncia, a funo de autocorrelao:

    ( ) ( ) ( )( )C t corr r t , t ,r t , t= + (A.2)

    em que C correlao, r o retorno, o incremento temporal, t o tempo, t o intervalo de tempo entre dados sucessivos da srie e corr a correlao dada por:

    relativo de preos. Em muitos casos, constata-se que a assimetria negativa, ou seja, h uma chance um pouco maior de ocorrncias de perdas do que ganhos no mercado financeiro (CONT, 2001).

    A partir das observaes iniciais de Mandelbrot sobre a estabilidade funcional para diferentes escalas de tempo e da ocorrncia de caudas gordas, procurou-se estabelecer uma forma funcional que se ajustava aos dados. O prprio Mandelbrot props uma distribuio de Levy-estvel. Porm esse tipo de distribuio apresenta varincia infinita, dificultando a aplicao de modelos.

    Comparando os dados de mercado com uma Levy-estvel e com uma gaussiana, observa-se que o centro da distribuio bem ajustado pela Levy-estvel, contudo, a cauda da distribuio tem comportamento intermedirio entre os ajustes de uma gaussiana e de uma Levy-estvel, o que mostra que os dados tm distribuio com varincia finita (MANTEGNA; STANLEY, 2000). Como o decaimento da cauda dos dados empricos mais lento que uma gaussiana estando fora, porm, do regime de uma Levy-estvel , surgiu a questo de como a forma funcional se manteria para vrias escalas de tempo. Uma possvel explicao que os dados estariam distribudos segundo uma Levy-truncada, em que as caudas seguem aproximadamente uma exponencial (GOPIKRISHNAN et al., 1999; MANTEGNA;

    Figura 10. Variao da forma da densidade de probabilidade com o aumento do intervalo temporal de amostragem, evidenciando a gaussianidade agregativa. A varivel Z corresponde ao valor normalizado do retorno. Valores do ndice Bovespa de jan./2000 a set./2011.

    806 Gest. Prod., So Carlos, v. 19, n. 4, p. 793-809, 2012

  • Jogo da Minoria: um modelo baseado em agentes...

    Figura 11. Funo de autocorrelao do retorno. Observa-se que todos os valores so aproximadamente nulos, utilizando um nvel de confiana de 95% (retas paralelas ao eixo da abscissa). Valores do ndice Bovespa de jan./2000 a set./2011.

    Figura 12. Funo de autocorrelao da volatilidade (mdulo do retorno). Observa-se o decaimento lento dos valores, utilizando um nvel de confiana de 95% (retas paralelas ao eixo da abscissa). Valores do ndice Bovespa de jan./2000 a set./2011.

    ( ) [ ] [ ] [ ]X Y

    E X.Y E X .E Ycorr X ,Y

    .

    =

    (A.3)

    Essa funo aplicada varivel retorno apresenta tendncia rpida para valores prximos de zero (GOPIKRISHNAN et al., 1999; CONT, 2001; MANTEGNA; STANLEY, 2000; BOUCHAUD; POTTERS, 2003; TANG; HUANG, 2000). Esse resultado pode ser observado na Figura 11.

    A partir de um resultado que apresenta nvel de rudo para a funo de autocorrelao ou seja, considera-se essa medida como nula para a srie de retorno , poderia se suscitar uma interpretao equivocada, uma vez que o resultado nulo corrobora a hiptese de eficincia de mercado (GOPIKRISHNAN et al., 1999), a de que a varivel retorno temporalmente independente. Entretanto, sabe-se que a existncia da varivel independente implica em autocorrelao

    807

  • Crepaldi et al.

    obtendo o fato estilizado denominado decaimento lento da autocorrelao da volatilidade. Ao se calcular a funo de autocorrelao da srie temporal da volatilidade dos ativos, verifica-se persistncia com um decaimento lento (GOPIKRISHNAN et al., 1999; CONT, 2001), como demonstrado na Figura 12.

    Existem dois fatos estilizados relacionados s sries de volatilidade, que so constatados visualmente, seja observando a prpria srie, ou, o que talvez chame

    nula, e no o contrrio. Caso houvesse independncia, ao se calcular a autocorrelao para funes no lineares dos retornos, como o valor absoluto ou o quadrado dos retornos, essa apresentaria medida nula, o que no se verifica (GOPIKRISHNAN et al., 1999; CONT, 2001; BOUCHAUD; POTTERS, 2003). O valor absoluto dos retornos uma medida de sua intensidade e, muitas vezes, tomado como forma de clculo da volatilidade. Desse modo, acaba-se

    Figura 14. Efeito de alavancagem do ndice Bovespa (jan./2000 a set./2011). Ajuste exponencial com tendncia a zero com o aumento do incremento temporal.

    Figura 13. Srie temporal do retorno do ndice Bovespa de jan./2000 a set./2011. Verificam-se os aglomerados de volatilidade, em especial o perodo entre 2000 e 2500 dias, que corresponde crise do subprime americano.

    808 Gest. Prod., So Carlos, v. 19, n. 4, p. 793-809, 2012

  • Jogo da Minoria: um modelo baseado em agentes...

    Um ltimo fato estilizado a ser mencionado o efeito de alavancagem. Ele o resultado da ocorrncia de correlao entre retornos tomados no passado com a volatilidade tomada em tempos posteriores (CONT, 2001):

    ( ) ( )( )2L corr r, r t = +

    (A.4)

    A correlao existente negativa e torna-se nula com o aumento de , que, no caso, o deslocamento temporal da varivel retorno ao quadrado, de tal forma que a interpretao vlida que: alteraes atuais do retorno esto correlacionadas negativamente com alteraes futuras da volatilidade, ou seja, perodos de alta volatilidade so precedidos por variaes negativas do retorno e vice-versa. Porm no se constata o efeito de alavancagem no sentido inverso. insignificante a correlao quando se toma um valor de negativo, de tal maneira que a interpretao cabvel seria que alteraes do retorno fossem precedidas por mudanas na volatilidade, portanto L() L() (CONT, 2001). A Figura 14 demonstra o efeito de alavancagem.

    mais a ateno, visualizando o comportamento da srie de retorno. So eles a intermitncia e o agrupamento de volatilidade (volatility clustering). A intermitncia caracterizada por grandes rupturas na intensidade de variao dos retornos, que acontecem de forma irregular na srie temporal, de modo que a alternncia entre alta e baixa volatilidade, e vice-versa, no se d de forma suave, como se houvesse uma resistividade ou efeito inercial. O nome em si, adotado, uma analogia ao comportamento de fluxos turbulentos em que perodos de relativa tranquilidade so interrompidos por variaes intensas no fluxo (BOUCHAUD; POTTERS, 2003). J o agrupamento de volatilidade reflete o fato de que grandes variaes de preos so mais provveis de serem seguidas por comportamentos de mesma intensidade e vice-versa. Assim, observam-se nas sries de retornos blocos ou agrupamentos temporais com grande intensidade de flutuao do retorno (BOUCHAUD; POTTERS, 2003). Na Figura 13, possvel identificar a intermitncia e agrupamentos de volatilidade.

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