microstrip theory

17. LINHA MICROSTRIP

17.1 – Introdução

A linha microstrip é uma linha impressa de dimensões reduzidas, cuja forma mais

usual é a que se representa na Fig. 17.1. Consiste numa tira (strip) condutora, de

largura w e espessura t , impressa sobre um substrato dieléctrico de altura h e

constante dieléctrica relativa rε , assente num plano condutor de largura L . Em

geral, tem-se L w e t w .

Fig. 17.1 Linha microstrip.

Trata-se de uma linha muito versátil, amplamente utilizada desde UHF até

frequências de algumas dezenas de GHz, incluindo ondas milimétricas. As suas

principais vantagens são:

• Construção simples a partir de placas para circuitos impressos ou, em alta-

frequência, por depósitos metálicos em substratos dieléctricos;

• Permite construir circuitos compactos sobre um único substrato;

• Compatível com a realização de dispositivos activos ou não-recíprocos

directamente ligados entre condutores;

• Componentes directamente acessíveis;

• Perdas nos condutores relativamente baixas (por comparação com o guia

metálico de secção rectangular a operar à mesma frequência);

L

w

h

t

Microondas

17-2

e as suas principais desvantagens são:

• Excitação de ondas superficiais no dieléctrico (para as evitar deve escolher-

se rε pequeno, a fim de se manter os modos superficiais abaixo do corte);

• Radiação, que se pode evitar através da utilização de uma blindagem

conforme se ilustra na Fig. 17.2 (nesse caso, convém uma blindagem com

grandes dimensões, para se diminuir a atenuação nas paredes e evitar

ressonâncias);

Fig. 17.2 Linha microstrip blindada.

• Linha não-equilibrada (ao contrário de um outro tipo de linha impressa, a

slot-line, que se representa na Fig. 17.3).

Fig. 17.3 Slot line.

Para se evitar as perdas no dieléctrico, utiliza-se, por vezes, uma linha suspensa

(Fig. 17.4). Trata-se, nesse caso, praticamente, de uma linha de ar ( 1rε = ).

17. Linha Microstrip 17-3

Fig. 17.4 Linha microstrip suspensa.

Por outro lado, perfurando o dieléctrico conforme se ilustra na Fig. 17.5, pode

montar-se, facilmente, um elemento de circuito em derivação.

Fig. 17.5 Montagem de elementos em derivação.

17.2 – Modo Quasi-TEM

Em relação à linha que se introduziu na secção anterior, deve notar-se que:

(i) Esta linha não suporta qualquer modo TEM (na realidade, nem sequer

suporta modos TE ou TM);

(ii) Suporta, no entanto, uma forma de propagação que existe até à corrente

contínua.

Para se representar, qualitativamente, esta forma de propagação, podem fazer-se

as seguintes observações:

Ligação a um elemento

em derivação

Microondas

17-4

(i) Se existisse apenas um dieléctrico (por exemplo o ar), ter-se-ia um modo

TEM com uma estrutura de campos semelhante à que se mostra na Fig.

17.6, na qual se representam as linhas de força do campo eléctrico. Deve

notar-se o aparecimento de um efeito de bordo acentuado.

Fig. 17.6 Efeito de bordo numa linha de ar.

(ii) A presença de um segundo dieléctrico, com 1rε > , tende a concentrar as

linhas de força do campo eléctrico nesse dieléctrico. Além disso, sendo

1rε , o efeito de bordo será diminuto (Fig. 17.7), uma vez que quase

todo o campo fica concentrado no segundo dieléctrico, aproximando-se

assim de um modo TEM (no dieléctrico de suporte).

Fig. 17.7 Linhas de força do campo eléctrico numa microstrip.

Deve notar-se que o modo que se propaga na estrutura representada na Fig. 17.4

(microstrip suspensa) está, em geral, muito mais próximo de um modo TEM do que o

da estrutura da Fig. 17.1, sobretudo, se o dieléctrico de suporte tiver pequeno

contraste dieléctrico ( 1rε ≈ ), o que é muitas vezes o caso.

Em conclusão,

• O modo fundamental só aproximadamente será TEM;


• A linha é dispersiva, isto é, a velocidade de fase e a velocidade de grupo são

dependentes da frequência, o que constitui, obviamente, uma desvantagem.

17.3 – Análise Aproximada

Nesta secção, procede-se a uma análise simplificada da linha microstrip baseada,

numa primeira fase, na aproximação do modo quasi-TEM, a que se acrescenta,

posteriormente, o efeito da dispersão. Introduz-se o conceito de constante dieléctrica

efectiva efε e apresentam-se alguns dos resultados numéricos disponíveis na

literatura.

17.3.1 Constante Dieléctrica Efectiva

A constante dieléctrica efectiva efε (relativa) é o valor da constante dieléctrica

relativa de um dieléctrico que, substituindo os dois dieléctricos existentes na linha

microstrip, conduz ao mesmo valor da constante de propagação longitudinal k . A

constante dieléctrica efectiva permite, assim, fazer uma equivalência entre a

microstrip e uma linha de ar.

Em geral, define-se a partir da velocidade de fase (ou de λ ), mas pode ser

estendida ao cálculo da impedância característica cZ e da constante de atenuação α ,

devida às perdas nos condutores. Contudo, esta abordagem só é razoável desde que o

modo se mantenha aproximadamente TEM e a distribuição da corrente seja

aproximadamente idêntica.

Uma vez que 1rε > , ter-se-á sempre

1 ef rε ε< < (17.1)

Por outro lado, em geral, efε será função da

• Geometria da linha ( ,w h );

• Constante dieléctrica relativa rε ;

Microondas

17-6

• Frequência de trabalho (trata-se de uma linha dispersiva).

O seu cálculo (aproximado) será abordado mais adiante.

Considere-se, por agora, a Tabela 17.1 onde se representam três linhas impressas

semelhantes, geometricamente iguais e de largura infinita. Para a segunda e a terceira

linhas representadas, a Tabela 17.1 fornece a relação entre os parâmetros

característicos dessas linhas

• Impedância característica cZ ;

• Comprimento de onda λ à frequência f ;

• Atenuação devida aos condutores α .

e os parâmetros correspondentes de uma linha de ar [1].

No caso da primeira e da segunda linha representadas, propaga-se um modo

TEM, o que já não sucede com a terceira linha: no caso da linha microstrip, estas

grandezas referem-se ao modo quasi-TEM.

TABELA 17.1 COMPARAÇÃO ENTRE LINHAS IMPRESSAS.

(i) Linha de ar (ii) Linha de dieléctrico rε (iii) Linha microstrip

0cZ 0c

cr

ZZ

ε= 0c

cef

ZZ

ε=

0λ 0

r

λλε

= 0

ef

λλε

=

0α 0 rα α ε= 0 efα α ε=

h h h

w

ww


As relações entre os valores de cZ , λ e α das linhas (i) e (ii) são conhecidas.

Assim,

0

1c

c r

ZZ ε= (17.2)

Por outro lado,

0

0

1

r

kk

λλ ε= = (17.3)

sendo 0k o número de onda longitudinal da linha de ar e k o da linha de constante

dieléctrica relativa rε . Finalmente,

0

rα εα= (17.4)

uma vez que /(2 )s cR Zα ∝ , em que sR é a resistência superficial dos condutores.

Neste último caso, supõe-se que o efeito pelicular é intenso e que a distribuição de

corrente não se altera com a introdução do dieléctrico.

17.3.2 Parâmetros da Linha de Ar

Um vez conhecido o valor de efε , torna-se necessário conhecer os parâmetros da linha

de ar para se calcular os parâmetros da linha microstrip. Nesta subsecção, calculam-

se os parâmetros 0c

Z e 0α correspondentes à linha de ar (i).

17.3.2.1 Impedância característica 0c

Z

Tal como se fez no capítulo anterior, para a stripline, pode utilizar-se o método

da transformação conforme para calcular a capacidade 0C da linha de ar. Por

comparação com (16.19) será, no caso da microstrip,

Microondas

17-8

( )( )

00

0

1/2

1/K u

CK u

ε=′

(17.5)

em que, com a notação utilizada neste caso, se tem

01 cosh 12 2

wuh

π⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜= +⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (17.6)

pelo que a impedância característica da linha de ar 0c

Z será dada pela expressão

(comparar com (16.20))

( )( )0

00

0

1/12 1/c

K uZ Z

K u=

′ (17.7)

ou, em termos de 0C ,

0

0

0

1c

kZCω

= (17.8)

Para aplicações práticas, é conveniente ter fórmulas simples que permitam o cálculo

da capacidade com uma boa aproximação. De acordo com Collin [2], as fórmulas

seguintes permitem calcular o valor de 0C com uma precisão da ordem de 1%:

0

0

0

2 18ln

4

1.393 0.667 ln 1.444 1

wh w h

w hC

w w wh h h

πε

ε

⎧⎪⎪ ≤⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜⎪ + ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎝ ⎠⎪⎪≈ ⎨⎪⎪⎪ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎟⎪ ⎜+ + + >⎢ ⎥⎟⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎪⎩

(17.9)

Note-se que a expressão anterior foi derivada por aproximação do cálculo rigoroso da

capacidade 0C , utilizando o método da transformação conforme, em que se

considerou que a strip condutora tem uma espessura nula, o que é aceitável para o

cálculo da capacidade e da impedância característica da linha. Na literatura define-se,

por vezes, uma largura efectiva da linha efw , onde se inclui o efeito da espessura t

[2].


17.3.2.2 Constante de atenuação por perdas nos condutores

Para o cálculo da constante de atenuação por perdas nos condutores, torna-se,

agora, necessário, considerar que a linha tem uma espessura t não nula. Como se viu

no capítulo anterior, o cálculo desta constante, para uma linha TEM, pode ser

efectuado usando a expressão

12c

c

RZ

α = (17.10)

em que, como se viu, R é a resistência da linha por unidade de comprimento e cZ a

impedância característica, calculada na subsecção anterior. Torna-se, portanto,

necessário calcular o valor de R , o que requer conhecer a distribuição de corrente na

linha e no plano de terra, como se viu já no capítulo anterior para o caso da stripline,

veja-se a expressão (16.25).

O cálculo da distribuição de corrente pode ser feito recorrendo, mais uma vez, ao

método da transformação conforme [2, Apêndice III]. O valor de R pode ser expresso

como 1 2R R R= + , em que 1R e 2R são, respectivamente, a resistência da linha e a

resistência do plano de terra, por unidade de comprimento. Em [2], são propostas as

seguintes expressões aproximadas para o cálculo destes parâmetros:

12

1 1 4lns

R ww AR t

ππ π

⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ (17.11)

em que sR é a resitência superficial do condutor devida ao efeito pelicular e A é uma

relação de perdas (loss ratio), definida por

2

1 0.5

0.94 0.132 0.0062 0.5 10

wh

Aw w wh h h

⎧⎪ ≤⎪⎪⎪⎪= ⎨⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎪ ⎜+ − < ≤⎟⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎩

(17.12)

e que contabiliza a alteração do valor da resistência da linha, que decorre do facto da

distribuição de corrente nas duas faces da linha ser distinta, naturalmente devida à

presença do plano de terra [2].

Microondas

17-10

Para o parâmetro 2R , tem-se

2 / , 0.1 / 10/ 5.8 0.03 /s

R w hw w hR w h h w= ≤ <

+ + (17.13)

Uma vez obtidos os parâmetros 0k , 0c

Z e 0α da linha de ar, as relações que

constam da Tabela 17.1 permitem calcular, na aproximação de baixa frequência, os

parâmetros da linha microstrip, desde que se conheça a expressão da constante

dieléctrica efectiva. O cálculo desta constante será abordado na subsecção seguinte.

17.3.3 Constante Dieléctrica Efectiva: Aproximação de Baixa Frequência

Para a linha microstrip tem-se uma capacidade C dada por 0efC Cε= . Esta

expressão sugere que o valor da constante dieléctrica efectiva pode ser obtido

calculando a capacidade C da linha. Tal como para a linha de ar, esta capacidade

pode ser calculada pelo método da transformação conforme (recorde-se, mais uma

vez, que se está a proceder ao cálculo dos parâmetros da linha na aproximação de

baixa frequência). A presença de dois dieléctricos torna o cálculo mais complicado,

não se obtendo, neste caso, um valor exacto. Em [1] é proposta uma expressão

aproximada

121 1 1 10

2 2r r

efhw

ε εε−⎛ ⎞+ − ⎟⎜= + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ (17.14)

Note-se que

• É sempre ef rε ε< , o que é um resultado natural uma vez que, por definição, a

constante dieléctrica efectiva é uma média ponderada da constante dieléctrica

do substrato rε e da constante dieléctrica do ar;

• Quando /w h → ∞ , tem-se ef rε ε→ , o que é, também, um resultado natural

porque o sinal que se propaga na linha vai ficando cada vez mais concentrado

no dieléctrico.

Esta expressão foi modificada em trabalho posterior, nomeadamente para ter em

conta o efeito da espessura finita da linha. Em [2] é proposta a seguinte expressão


( )121 1 1 12 ( , ) 0.217 1

2 2r r

ef r rh tF hw wh

ε εε ε ε−⎛ ⎞+ − ⎟⎜= + + + − −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ (17.15)

em que

( )

2

0.02 1 1 1( , )

0 1

r

r

w wh hF h

wh

εε

⎧⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜− − <⎪ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎪= ⎨⎪⎪ ≥⎪⎪⎪⎩

(17.16)

que iremos adoptar.

17.3.4 Constante Dieléctrica Efectiva: Modelo Dispersivo

Vai considerar-se, nesta subsecção, o efeito da frequência. Este efeito não pode ser

contabilizado de forma exacta, ou seja, não existe uma expressão analítica e fechada

para o descrever.

O estudo do comportamento dispersivo de uma linha microstrip tem sido objecto

de inúmeros trabalhos disponíveis na literatura, em que se apresentam expressões

aproximadas para a constante dieléctrica efectiva. Um dos trabalhos mas citados na

literatura, é o que se apresenta em [3].

Neste trabalho propõe-se para efε a seguinte expressão

02( )

1

r efef r

p

ffGf

ε εε ε

−= −

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

(17.17)

em que G é um parâmetro empírico e 0/(2 )p cf Z hμ= , sendo [ ]cZ Ω a impedância

característica à frequência zero. O parâmetro G pode ser obtido por uma expressão

que depende dos limites de frequência de operação da linha, do valor da impedância e

do material utilizado para o substrato. Em [4] apresentam-se resultados

experimentais para diferentes substratos e parâmetros da linhas. Por ajuste aos

resultados experimentais, é possível obter expressões para este parâmetro. Por

exemplo, para o caso em que a safira é usada como substrato, tem-se

Microondas

17-12

5 0.00460

cc

ZG Z−= + (17.18)

em que cZ é a impedância característica da linha, na aproximação de baixa

frequência, e que foi testada para 10 100cZ≤ ≤ e 2 18 GHzf≤ ≤ .

Como já se referiu, este assunto foi objecto de um número muito significativo de

trabalhos publicados na literatura. Iremos adoptar a expressão proposta em [5]

0( )1

r efmef r

a

fff

ε εε ε

−= − ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

(17.19)

em que

( )1.730.75 0.75 0.332

ba

r

ff wh

ε−=

+ − (17.20)

com

0

0 0

1 147.746 tan efb r

r ef r ef

fh

εε

ε ε ε ε−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦ (17.21)

e 0 cm m m= . Se 0 2.32cm m > , deve fazer-se 2.32m = , se 0 2.324cm m < , toma-se

3

011 0.32 1

1

wm w hh

−⎛ ⎞⎟⎜= + + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ (17.22)

e

( )1.41 0.15 0.235 exp 0.45 / 0.71

1 0.7

a

c

wf fw hhm

wh

⎧⎪ ⎡ ⎤⎪ + − − ≤⎪ ⎣ ⎦⎪ +⎪⎪= ⎨⎪⎪⎪ >⎪⎪⎪⎩

(17.23)

Note-se que, nestas fórmulas, a frequência está expressa em GHz e o valor de h em

mm. Estima-se que esta fórmula permita o cálculo da constante dieléctrica efectiva,

para 0.1 / 10w h< < e 1 128rε≤ ≤ , com uma precisão da ordem de 0.6% [2], o que a

torna mais versátil do que a expressão (17.17), proposta em [3].

Note-se que a expressão (17.19) mostra que, quando f →∞ , se tem ( )ef rfε ε→ e

que, quando 0f → , se tem 0

( )ef effε ε→ , como seria de esperar.


17.3.5 Atenuação por Perdas no Dieléctrico

Até agora apenas se considerou a atenuação devida às perdas nos condutores.

Numa linha microstrip há que contabilizar, também, o efeito das perdas devidas ao

dieléctrico. A análise segue de perto o que foi considerado para o caso da stripline,

ainda que, agora, seja aproximada por se tratar de uma linha quasi-TEM.

Como se viu, para o caso de uma linha TEM, a constante de atenuação dα ,

devida às perdas no dieléctrico, é dada por

01 1tan2 2d k μα δ σ

ε= = (17.24)

em que k é a constante de propagação longitudinal na linha, tan δ a tangente do

ângulo de perdas do dieléctrico e σ a sua condutividade.

À semelhança do que foi feito para o cálculo dos restantes parâmetros

característicos da linha microstrip, a expressão anterior pode ser adaptada para esta

linha se os valores das constantes ε e σ forem substituídos por valores efectivos.

Tem-se, então, agora para o caso da linha microstrip e de forma aproximada

012d ef

ef

μα σε

≈ (17.25)

A condutividade efectiva da linha efσ é calculada pela expressão

0(1 )ef q qσ σ σ= + − (17.26)

em que 0σ é a condutividade do ar e q é o factor de preenchimento do dieléctrico

(“filling factor,” na literatura de língua inglesa), dado por

11

ef

r

qεε

−=

− (17.27)

A expressão (17.26) significa que a condutividade efectiva da linha é uma média

ponderada das condutividades do dieléctrico e do ar, sendo o factor de ponderação

Microondas

17-14

dado pelo parâmetro q . Este parâmetro surge quando se aplica o método das

transformações conformes à análise, em regime estático, de uma linha com os dois

dieléctricos (ver [6, Cap. 1]).

Uma vez que 0σ σ , toma-se

eq qσ σ≈ (17.28)

Usando as expressões anteriores, é possível reescrever a constante de atenuação na

forma

0

1 tan27.31

efrd

ef r

εε δαε ε λ

−=

− (17.29)

vindo o resultado já expresso em dB/m.

No caso de linhas impressas em substratos convencionais, em geral, dα é muito

inferior à constante de atenuação por perdas nos condutores cα . O mesmo já não

acontece, no caso de linhas impressas em substratos semicondutores (Si ou GaAs), em

que dα é, em geral, superior a cα .

17.4 – Linhas Acopladas

O problema de duas linhas que se influenciam mutuamente, já foi considerado no

capítulo anterior. No caso da microstrip, a situação de maior interesse é aquela em

que duas linhas estão dispostas paralelamente sobre o mesmo substrato, conforme se

representa na Fig. 17.8. Em geral, as duas linhas são iguais, mas nada impede que

sejam diferentes.

Tal como no caso da linha strip, também agora, para o caso de modos quasi-

TEM, se pode falar em modo par (ou modo comum) e modo ímpar (ou modo

diferencial). Na Fig. 17.9, representa-se, de forma esquemática, duas linhas acopladas

para estes dois tipo de excitação, bem como a distribuição das linhas de força do

campo eléctrico.


Fig. 17.8 Linhas microstrip acopladas.

(a) (b)

Fig. 17.9 Linhas de força do campo eléctrico em linhas microstrip acopladas:

a) Modo par; b) Modo ímpar.

Ao contrário do caso TEM, em que as velocidades de fase pv e iv ,

respectivamente dos modos par e ímpar, são iguais, neste caso, as velocidades são

diferentes, o que decorre do facto da propagação se realizar, agora, em dois meios

distintos. Como no caso do modo par, o campo eléctrico está mais confinado ao

dieléctrico, tem-se

p ief efε ε> (17.30)

e, portanto, também

p iv v< (17.31)

L

h

t

w ws

+1 +1 - 1 +1

Microondas

17-16

No que se refere às capacidades pC e iC dos dois modos, par e ímpar, os

respectivos valores também são diferentes: no caso par, tem que se considerar a

capacidade 1C (ver Fig. 17.10) entre a linha e o plano de terra, ou seja, 1pC C= ; no

caso ímpar, para além da capacidade entre a linha e o plano de terra, com o mesmo

valor que no caso par, há que adicionar a capacidade 2C , entre as duas linhas, ou

seja, 1 22iC C C= + .

(a) (b)

Fig. 17.10 Capacidades C1 e C2 em linhas microstrip acopladas: a) modo par; b) modo

ímpar.

Tem-se, portanto,

p iC C< (17.32)

De (17.31) e (17.32) decorre que

p iZ Z> (17.33)

O cálculo destas impedâncias pode ser, apenas, realizado de forma aproximada,

utilizando métodos numéricos. Na Fig. 17.11 apresenta-se, a título de exemplo, um

conjunto de valores para impedâncias características, nos modos par e ímpar, de

microstrips impressas em substrato com 9.6rε = , em função da relação /w h . O

parâmetro associado a cada curva é /s h , em que s é a separação entre as duas

linhas. Como seria de esperar, a variação da impedância característica com o valor de

/s h é oposta para os dois modos: no caso em que /s h → ∞ , os caso par e ímpar

conduzem ao mesmo valor que, naturalmente, é o que se obtém para uma linha

isolada.

C1 C1

2C2 2C2

C1 C1


(a) (b)

Fig. 17.11 Impedâncias características do modo par e do modo ímpar para duas linhas

acopladas, em função de /w h [6].

Na Fig. 17.12 representa-se, para o mesmo caso, a constante dieléctrica efectiva

para os dois modos, par e ímpar. Este exemplo confirma o resultado (17.31), sendo

aplicável o mesmo comentário apresentado para as impedâncias, no que respeita ao

efeito do parâmetro /s h .

Finalmente, a Fig. 17.13 e a Fig. 17.14 ilustram o efeito da dispersão (a grandeza

representada em abcissa, em ambas as figuras, é proporcional à frequência) nos

valores das impedâncias características e das constantes dieléctricas efectivas dos

modos par e ímpar. Em particular, a Fig. 17.14 evidencia um efeito mais pronunciado

no caso do modo ímpar, um resultado natural uma vez que, neste modo, a

propagação está menos confinada a um único meio.

Microondas

17-18

Fig. 17.12 Constante dieléctrica efectiva dos modos par e ímpar, para duas linhas

acopladas, em função de /w h [6].

Fig. 17.13 Efeito da dispersão na impedância característica dos modos par e ímpar de

duas linhas acopladas [6].


Fig. 17.14 Efeito da dispersão nas constantes dieléctricas efectivas dos modos par e

ímpar de duas linhas acopladas [6].

17.5 – Componentes em Linha Microstrip

Os circuitos em linha impressa utilizam componentes passivos com características

e funções idênticas aos componentes em guia de ondas estudados em capítulos

anteriores. Como exemplo, vão ser analisados dois tipos de acopladores: o rat-race e o

híbrido quadrado.

17.5.1 Rat-race

Trata-se de um dispositivo com quatro acessos, que se representa

esquematicamente na Fig. 17.13.

Microondas

17-20

Fig. 17.15 Representação esquemática de um acoplador do tipo rat-race.

Trata-se de um dispositivo recíproco ( ij jis s= ), de quatro acessos, com um

elevado grau de simetria. Na análise muito sumária deste dispositivo, vai admitir-se

que não tem perdas.

A simetria da junção (relativamente ao plano assinalado a tracejado na Fig.

17.15), justifica as seguintes relações:

11 33s s= (17.34)

22 44s s= (17.35)

14 23s s= (17.36)

Por outro lado, uma vez que a ligação entre o acesso (1) e os acessos (3) e (4) é

realizada através de dois percursos idênticos, tem-se

14 13s s= (17.37)

Tendo em conta as distâncias entre acessos

12 0s = (17.38)

34 0s = (17.39)

dado que a ligação entre os dois acessos (1) e (2) ou (3) e (4) é realizada através de

dois percursos que diferem de /2λ .

(4)

(3) (1)

(2)

3λ/4

λ/4

λ/4

λ/4


Das relações anteriores, admitido que a junção é completamente adaptada e

impondo a condição de a matriz s ser unitária, obtém-se uma matriz que é idêntica à

de um T-mágico.

Note-se que esta estrutura é muito sensível à frequência uma vez que as

distâncias entre acessos dependem da frequência através do comprimento de onda da

fase.

17.5.2 Híbrido Quadrado

O híbrido quadrado é um acoplador direccional de quatro acessos, em linha

impressa, cuja superfície condutora superior se representa na Fig. 17.16.

Fig. 17.16 Superfície condutora superior de um híbrido quadrado.

Na Fig. 19,21 representa-se, agora de forma esquemática, o mesmo dispositivo,

onde se assinalam as respectivas admitâncias características e dimensões.

Fig. 17.17 Representação esquemática de um híbrido quadrado.

(1)

(4) (3)

(2)

YA

YA

YB YB

Y0 Y0

Y0 Y0

l1 l2

(1)

(3) (4)

(2)

Microondas

17-22

Considere-se agora, por exemplo, uma excitação aplicada no acesso (1), conforme

se representa na Fig. 17.18.

Fig. 17.18 Excitação do híbrido quadrado pelo acesso (1).

A excitação correspondente à Fig. 17.18 pode ser descrita através de

1

2 3 4 0

a a

a a a

=⎧⎪⎪⎪⎨⎪ = = =⎪⎪⎩ (17.40)

A análise directa deste problema não é fácil. Para simplificar, consideram-se,

separadamente, duas formas de excitação, par e ímpar (ver Fig. 17.19), aplicando-se,

posteriormente, o princípio da sobreposição, uma vez que se trata de um sistema

linear.

(a) (b)

Fig. 17.19 Modo par (a) e modo ímpar (b) na excitação do híbrido quadrado.

(1)

(3) (4)

(2)

1

1 1

a

a/2

a/2 1

1 (3) (4)

(2) (1)

(4)

-a/2

a/2 1

1 (3)

(2) (1)


A excitação par ou simétrica é descrita através de

1 3

2 4

2

0

p p

p p

aa a

a a

⎧⎪ = =⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = =⎪⎪⎩

(17.41)

enquanto que, para a excitação ímpar, ou anti-simétrica, se tem

1 3

2 4

2

0

i i

i i

aa a

a a

⎧⎪ = − =⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = =⎪⎪⎩

(17.42)

É fácil verificar que o plano de simetria indicado na Fig. 17.19-a) é um plano de

circuito aberto, isto é um plano magnético, enquanto que o plano assinalado na Fig.

17.19-b) é um plano de curto-circuito, ou seja, um, plano eléctrico. Desta forma basta

apenas analisar, para cada modo, metade de cada circuito (Fig. 17.20). Com efeito,

este dispositivo pode ser encarado como duas linhas impressas acopladas. A linha (1)-

(2) que se encontra ligada à linha (3)-(4) através de dois troços de admitância

característica BY .

(a) (b)

Fig. 17.20 Esquema simplificado do modo par (a) e do modo ímpar (b) na excitação

do híbrido quadrado.

A junção da Fig. 17.20-a) pode ser descrita pela seguinte matriz de dispersão

a/2 1

(2) (1) a/2

1

(2) (1)

plano de circuito aberto plano de curto-circuito

Microondas

17-24

11 12

12 11

p p

p

p p

s s

s s

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

s (17.43)

em que se aplicou as propriedade de reciprocidade e simetria geométrica. Da mesma

forma, a junção da Fig. 17.20-b) pode ser descrita pela seguinte matriz de dispersão

11 12

12 11

i i

i

i i

s s

s s

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

s (17.44)

Aplicando, agora, o principio da sobreposição, ter-se-á

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

p i

p i

p i

p i

b b b

b b b

b b b

b b b

⎧ = +⎪⎪⎪⎪⎪ = +⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎪⎪⎪ = +⎪⎪⎩

(17.44)

ou ainda

1 11 11

2 12 12

3 11 11

4 12 12

( )2

( )2

( )2

( )2

p i

p i

p i

p i

ab s s

ab s s

ab s s

ab s s

⎧⎪ = +⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎩

(17.45)

atendendo a (17.41) e (17.42). Assim, virá finalmente

11 11 11

12 12 12

13 11 11

14 12 12

1 ( )21 ( )21 ( )21 ( )2

p i

p i

p i

p i

s s s

s s s

s s s

s s s

⎧⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = −⎪⎪⎪⎩

(17.46)


Por outro lado, dadas as simetrias geométricas da estrutura, ter-se-á

11 22 33 44

12 34

13 24

14 23

s s s ss ss ss s

= = =⎧⎪⎪⎪ =⎪⎪⎨ =⎪⎪⎪⎪ =⎪⎩

(17.47)

Em conclusão, os elementos da matriz s do híbrido quadrado podem ser

simplesmente calculados a partir dos elementos das matrizes ps e is . Doravante, e

sem perda de generalidade, vai admitir-se que 1 2 4l l λ= = .

Os dois circuitos que se apresentam na Fig. 17.20, podem ser representados

esquematicamente através de um único circuito equivalente, em linha de transmissão

(ver Fig. 17.21), em que a admitância Y dependerá do tipo de modo e será calculada

adiante.

Fig. 17.21 Esquema equivalente, em linha de transmissão, dos circuitos da Fig. 17.20,

para o cálculo dos elementos da matriz de dispersão do modo par e ímpar.

Relativamente a este circuito, tem-se 2 0Y Y Y′ = + . Por outro lado,

2

12

AYY YY

′= +′ (17.48)

uma vez que o troço de linha de impedância característica AY pode ser visto como

um transformador de /4λ . Dado que d λ , será 1 1Y Y ′= , de onde resulta que

1 /4l λ=

0Y 0Y AY 0Y YY

d λ d λ

1Y ′ 1Y 2Y ′

2v 1v 2v ′ 1v ′

Microondas

17-26

2 2 2

0 1 011 1 2 2

0 1 0( )q A

A

Y Y Y Y YsY Y Y Y Y

− − −= Γ = =+ + +

(17.49)

com ,q i p= . Além disso, tem-se ainda que 21 2 1/qs v v= . Uma vez que d λ , será

2 221

1 2

11

q vs jv

′ ′+ Γ= −′ ′− Γ

(17.50)

tendo, de novo, em consideração que o troço de impedância AY se trata de um

transformador de /4λ . Uma vez que

22

2

A

A

Y YY Y

′−′Γ =′+ (17.51)

resulta, finalmente que

21q A

A

Ys jY Y

= −+

(17.52)

A impedância Y pode agora ser, facilmente, calculada atendendo à Fig. 17.22.

Fig. 17.22 Esquema equivalente da impedância Y da Fig. 17.21. Modo par: 0cY = ;

modo ímpar: cY =∞ .

Com efeito, uma vez que

2

2

tan( )tan( )

c BB

B c

Y jY klY YY jY kl+=+

(17.53)

e 2 /4kl π= , resulta

2 /8l λ=

BYcY

Y


c BB

B c

Y jYY YY jY+=+

(17.54)

Finalmente, uma vez que 0cY = par o modo par e cY =∞ para o modo ímpar, vem

modo par

modo ímparB

B

jYY

jY

⎧⎪⎪= ⎨⎪−⎪⎩ (17.55)

Assim, qualquer que seja o modo, ter-se-á sempre 2 2BY Y= − , pelo que, de (17.49),

resulta sempre 11 11p is s= , ou seja, de (17.46) virá 13 0s = . Nesse caso, este tipo de

acoplador terá sempre uma directividade infinita.

Para que a estrutura se comporte como um acoplador direccional ideal, isto é,

completamente adaptado e com directividade infinita, deverá ainda ter-se 11 0s = em

(17.46), ou seja, 11 11 0p is s= = . Substituindo (17.55) em (17.49), resulta que deverá

ter-se

2 2 20A BY Y Y= + (17.56)

Finalmente, substituindo (17.52), com Y dado por (17.55), nas equações (17.46),

obtém-se

0

0

0

0

0 0

0 010 0

0 0

B

B

A B

B

jY Y

jY Y

Y Y jY

Y jY

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

s (17.57)

dada a reciprocidade da junção.

Em conclusão, a directividade do acoplador é infinita, sendo o seu coeficiente de

acoplamento dado por

1420 log 20 log B

A

YC sY

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − = − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ (17.58)

Para um acoplador de 3 dB, deverá ter-se 2A BY Y= .

Note-se que, nesta análise, se utilizou a aproximação TEM, pelo que foi ignorado

o comportamento dispersivo da estrutura.

Microondas

17-28

Referências

[1] M. V. Schneider, “Microstrip lines for microwave integrated circuits,” BSTJ, Vol.

48, No. 5, pp. 1421-1444, May/June 1969.

[2] R. E. Collin, Foundations for Microwave Engineering, 2nd Edition. McGraw-Hill

International Editions, 1992.

[3] W. J. Getsinger, “Microstrip dispersion model,” IEEE Trans. Microwave Theory

Tech., Vol. MTT-21, pp. 34-39, Jan. 1973.

[4] T. C. Edwards and R. P. Owens, “2-18 GHz dispersion measurements on 10-100

Ω microstrip lines on sapphire,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., Vol.

MTT-24, pp. 506-513, Aug. 1976.

[5] M. Kobayshi, “A dispersion formula satisfying recent requirements in microstrip

CAD,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech, Vol. MTT-36, pp. 1246-1250, ug.

1988.

[6] K. C. Gupta, R. Garg, and I. J. Bahl, Microstrip Lines and Slotlines. Artech

House, Dedham, 1979.

microstrip theory

Documents