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MI PROFESOR DE MATEMÁTICA

Elon Lages Lima

Lages Lima, E. (1991) Meu Profesor de Matemática e outras histórias.

Río de Janeiro. IMPA. Pp. 1 – 9. Traducción libre realizada por Q. F. Isabel Slepak con fines exclusivamente didácticos.

Lages Lima, E. (1991). Meu Profesor de Matemática e outras histórias. Río de Janeiro. IMPA. Pp. 1 – 9. Traducción libre realizada por Q. F. Isabel Slepak con fines exclusivamente didácticos.

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En una agradable tarde, de vacaciones en Maceió, yo conversaba con un conocido, en la vereda de la calle del Comercio, cuando él pasó por la vereda de enfrente. La calle era angosta y con poco movimiento. Sin detenerse, desde ahí preguntó:

-"¿El número es 27 o 729?

-"Veintisiete", le respondí.

-"Ah, sí claro. ¡Gracias!"

La persona que estaba conmigo encontró extraño que alguien confundiera dos números tan diferentes. Le expliqué entonces que 27 era parte de la dirección de una librería que yo le había dado antes a ese hombre y que, siendo 27 el cubo de 3, mientras que 729 es el cubo de 9, es natural confundir uno de estos números con el otro, pues 3 y su cuadrado 9 son números muy parecidos, principalmente para quien enseña todos los años, a varios grupos, los criterios de divisibilidad.

Pequeños episodios como este vienen frecuentemente a mi memoria cuando recuerdo al profesor Benedito y la enorme influencia que él tuvo en la formación de sucesivas generaciones de estudiantes. Esa influencia transcendía el salón de clase y se extendía por toda una vida, modesta, pero extremadamente íntegra, coherente y con un propósito bien definido.

En el breve relato que sigue, busqué esbozar lo esencial de su personalidad y del mensaje que trasmitió, con gran fidelidad, durante décadas. Y sugerir lo privilegiado que me siento por haber cruzado su trayectoria.


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MI PROFESOR DE MATEMÁTICA

Se llamaba Benedito de Morais.

Era alto, robusto, bondadoso y muy enérgico. Tenía mejillas rosadas, cabellos plateados y fumaba una pipa. Cargaba un portafolio de cuero blando, lleno de hojas que contenían las infalibles listas de ejercicios, copiadas con carbónico con su letra redonda, firme y regular. Su voz, alta y característica y la manera de hablar subrayando las palabras, reflejaban, como todo en él, simplicidad, claridad y convicción.

No me consta que haya sido o deseado ser otra cosa sino profesor de Matemática. Enseñaba en el Instituto de Educación (un colegio estatal sólo para niñas), en el Colegio Batista (donde yo hice la secundaria) y en su casa, preparando grupos para las escuelas militares, ingeniería y concursos para el Banco do Brasil. Cierta vez, un Gobernador del Estado, conocido por sus arbitrariedades, lo convidó para ser Secretario de Educación. El no aceptó así: "Simple cuestión de aritmética. En el Estado gano x , en el Batista y , y en casa z. Aceptando su oferta, mantengo x , pierdo y + z , y gano w . Hasta puede ser que x + y + z < x + w . Pero a su señoría le gusta mandar y a mi no me gusta ser mandado. Más tarde o más temprano tendré que escoger entre hacer lo que no quiero o perder w. Ahí quedaré sólo con x . Prefiero continuar como estoy, con x + y + z."

Fue mi profesor en segundo, tercer y cuarto año de Secundaria y dos años después, en un grupo particular, en su casa. Ya desde los diez años, oía hablar mucho de él, de las cosas que enseñaba a mis hermanas y que después me enseñaría. Ellas eran alumnas dedicadas. La mayor daba clases en casa a grupos de compañeros de clase y la otra acostumbraba estudiar en voz alta las demostraciones de los teoremas de Geometría. Yo, sin querer, escuchaba mucho de esas cosas. Uno o dos años después, cuando en el colegio nos presentaban temas nuevos, varios de ellos me sonaban bastante familiares; ahora era simplemente la ocasión de conocerlos mejor.

Más adelante, tuve que ir a estudiar fuera de mi ciudad, pero siempre que pasaba mis vacaciones en Maceió iba a visitarlo. Seguía la costumbre nordestina de poner sillas en la vereda para conversar, noche afuera, bajo el cielo estrellado y, recuerdo bien el soplo de brisa que de vez en cuando me traía el agradable olor que su pipa exhalaba.

No se dónde estudió ni cómo aprendió Matemática. Es casi cierto que nunca frecuentó la universidad. Vivió un tiempo en Río de Janeiro, donde sirvió en el Ejército y comenzó a ser hincha de Fluminense. Ya era profesor hace muchos años cuando yo lo conocí. En realidad, era un patrimonio cultural de la ciudad, respetado y permanente, así como la estatua ecuestre del Mariscal Deodoro en la Plaza del Teatro. Por eso fue un golpe muy fuerte saber, años más tarde, que falleció. Para mí, él iba a seguir viviendo siempre. A pesar de los buenos alumnos que tuvo, algunos de los cuales intentaron seguirlo, sin él Maceió dejó de ser, para


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el joven que desea (o precisa) aprender Matemática, el lugar privilegiado que era en mi tiempo. Quedó como era antes de él, como las otras ciudades.

La vida me hizo conocer después otros lugares, países y personas. Algunos de esos lugares eran maravillosos y las personas extraordinarias. Con ellos tuve la oportunidad de aprender muchas cosas. Pero el Profesor Benedito fue quien mejor me supo enseñar.

Sus clases estaban dadas con muy buen humor y llenas de entusiasmo por la Matemática. También eran clases bien organizadas, objetivas y eficientes. Siempre conseguía dar el programa oficial del año. Explicaba con bastante cuidado los puntos más difíciles y exigía a los alumnos sólo lo que les enseñaba. Así cumplía su deber de la mejor forma posible. En cambio exigía que los alumnos cumpliesen con sus obligaciones. Nunca hizo concesiones a la falta de voluntad o de preparación de sus alumnos. En cada grupo había siempre algunos que aprendían casi todo. Los otros tenían que luchar arduamente para sobrevivir y trabajar duro porque sabían que el esfuerzo honesto era la única salida viable.

En cuanto a mí, sus clases eran las que mejor se adaptaban a mi modo de enfrentar la escuela, que era el siguiente: prestar el máximo de atención en la clase para después no tener que estudiar en casa. Esto funcionaba maravillosamente con el Profesor Benedito. Las listas de ejercicios las hacía en el recreo. Todo lo que él pedía en las pruebas lo daba en sus clases, que yo grababa en la memoria. Además de todo eso, yo todavía ganaba gratis una profesión.

Cuando, por esas cosas del destino, me encontré un día, a los dieciocho años, en una ciudad extraña, sin dinero y sin empleo, no me preocupé mucho pues tenía la certeza de que sabría enseñar Matemática. Bastaba hacer como el Profesor Benedito. Fue lo que hice y creo que fue lo correcto.

La Matemática enseñada por Benedito de Morais no era simplemente un conjunto de reglas y recetas válidas por decreto (lo que él llamaba el método de "creer o morir"), ni tampoco un sistema deductivo formal, vacío de significado. Era cualquier cosa bien próxima de la realidad y de las aplicaciones, pero organizada con definiciones, ejemplos y demostraciones. Algunas de esas definiciones apelaban abiertamente a la experiencia intuitiva y algunas de sus demostraciones también tomaban argumentos no contenidos en los axiomas. Esto escandalizaría a un purista lógico, pero tenía el gran mérito de asentar la Matemática en bases concretas, próximas a la realidad. Debo dejar claro que sus eventuales transgresiones al rigor no contenían nada fundamentalmente errado: nunca substrajo desigualdades del mismo sentido, nunca dividió por cero y jamás consideró real la raíz cuadrada de un número negativo. Simplemente no exageraba en torno de ciertos hechos obvios y verdaderos que cualquier alumno de Secundaria estaría dispuesto a aceptar sin discutir. Por ejemplo: si el punto A está en el interior y el B está en el exterior de una circunferencia, entonces el concluía que el segmento AB tiene exactamente un punto en común con esa circunferencia, sin tejer mayores consideraciones al respecto de la continuidad de la recta, ni sobre la convexidad del círculo.

Para mayor claridad, veamos un ejemplo de definición y otro de demostración, sacados de sus clases, según las recuerdo.


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Números: "Un número entero resulta del acto de contar objetos. Más en general, los números surgen como resultados de mediciones. Medir una cantidad de magnitud es compararla con otra de la misma especie llamada unidad. Si una cantidad A está contenida exactamente en una cantidad B, un número entero de veces, se dice que B es un múltiplo de A y que A es un submúltiplo de B. Si algún submúltiplo de A es también submúltiplo de B, entonces las cantidades A y B se dicen conmensurables. En caso contrario A y B se dicen inconmensurables. Un número racional es la medida de una cantidad conmensurable con la unidad. Cuando una cantidad es inconmensurable con la unidad, su medida es un número irracional. Ejemplos: el lado y la diagonal de un cuadrado son cantidades inconmensurables; el diámetro y la circunferencia también son inconmensurables. Para algunas cantidades, hay también una noción de sentido, positivo o negativo. (Ejemplos: temperatura, saldo bancario, corriente eléctrica, altitud, etc.) La medida de estas cantidades es un número relativo, esto es, provisto de un signo de + o -."

Naturalmente, estas nociones no eran presentadas así, como cascada, sino que intercaladas con ejemplos y explicaciones. Lo importante es notar en las definiciones anteriores la conexión entre la Matemática y la realidad, una explicación concreta de la noción de número irracional y una actitud honesta, directa y desmitificadora. Estas cualidades objetivas, presentes en los buenos compendios franceses de Matemática de comienzos del siglo XX y sensatamente copiadas en nuestros mejores libros de la época, parecen haber sido erradamente arrastradas junto con la basura que aquellos compendios también contenían. Fueron sustituidas por el formalismo pedante y superficial de la "Matemática Moderna" que hoy, en decadencia acentuada, dio lugar a una penosa indefinición de personalidad existente en la mayoría de los textos actuales.

A propósito, Benedito de Morais nunca adoptó ninguno de los textos existentes. Los recomendaba pero no los seguía. En primer lugar porque hacía todo de un modo más simple y claro. Y después, aunque quisiese adoptar uno de ellos, esto sería incompatible con su hábito de dar todo el programa, principalmente en el llamado "curso colegial".


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Un teorema: Por un punto dado en una recta pasa una y solamente una perpendicular a esa recta.

Figura 1.

Demostración: Por el punto C de la recta AB, trazamos una semirrecta CD de modo que el ángulo DCA sea menor que el ángulo DCB. Haciendo girar la semirrecta CD en torno del punto C, en la dirección de la flecha, vemos que el ángulo DCA aumenta mientras que el ángulo DCB disminuye hasta quedar menor que el DCA. Luego debe de haber una posición CE en la cual los dos ángulos ACE y ECB son iguales. Entonces por definición, CE es perpendicular a AB. En cualquier otra posición CD, o tenemos DCA < ECA < DCB o en cambio DCB < ECB < DCA. En cualquier caso los dos ángulos DCA y DCB son diferentes, entonces CD no es perpendicular a AB.

Como alumno de tercer año de Secundaria, esta demostración me dejó satisfecho plenamente. Más que esto: más allá de su elegancia, en ella yo veía un nuevo tipo de razonamiento (que hoy reconozco como el teorema del valor intermedio), tan relevante que hoy todavía recuerdo sus detalles.

Más tarde, al proseguir mis estudios, me dijeron que esta demostración era incorrecta porque se basaba en la idea de movimiento y en la hipótesis de continuidad de las magnitudes angulares, cosas que no constaban en los axiomas, postulados o nociones fundamentales que se admitían en el inicio de la teoría. Cosas que no habían sido cuidadosamente discutidas antes después no podían ser utilizadas en las demostraciones.

La crítica anterior sería válida si considerásemos la Geometría como un sistema lógico-deductivo, donde se da una lista completa de los axiomas y de los conceptos básicos no definidos, a partir de la cual se dan todas las definiciones y se demuestran todas las proposiciones, según los padrones impecables de la lógica


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formal. Como en los "Fundamentos de la Geometría", de Hilbert. Pero ocurre que una actitud así no tiene la menor cabida en el ámbito de la Escuela Secundaria. La demostración ahí tiene la finalidad de convencer al alumno por medio de argumentos precisos y claros, los cuales pueden eventualmente valerse de hechos aceptables (aunque no sean discutidos explícitamente) que pertenezcan a la experiencia intuitiva y que puedan ser probados rigurosamente en cursos más avanzados. Lo que sí sería imperdonable es utilizar sofismas, razonamientos lógicamente incorrectos o hechos matemáticamente absurdos. Estoy afirmando aquí que considero plenamente admisible, en una demostración, tomar resultados verdaderos, intuitivamente obvios, que son considerados evidentes por los alumnos, aunque no hayan sido examinados lógicamente. Además, es así como lo hacen los matemáticos profesionales en sus trabajos de investigación.

En el ejemplo en cuestión, el argumento usado para demostrar el teorema es absolutamente correcto y fácil de justificar con todo rigor si utilizamos coordenadas cartesianas, o si interpretamos los puntos del plano como números complejos.

Así la demostración anterior para mi era correcta, después incorrecta y al final de cuentas, era correcta. (Como aquella historia del conductor que le pidió a su amigo: "Pon la cabeza afuera de la ventanilla y mira si la luz del señalero está encendida." Respuesta: "Está, no está, está, no está ...")

Benedito de Morais era una persona con condiciones para comunicarse oralmente. Sus definiciones y los enunciados de sus teoremas eran siempre formulados con las mismas palabras, no importa cuantas veces tuviera que repetirlos. Las reglas también. Eso era formidable. Facilitaba enormemente la memorización, sin mayor esfuerzo. El presentar las cosas sin adornos simplifica la vida y es, por lo menos, la mitad de la comprensión. Memorizar y razonar son funciones distintas del cerebro; una no perturba a la otra; por el contrario. Principalmente cuando se es adolescente. Todavía hoy tengo grabado en la memoria enunciados como:

"En un triángulo, la altura bajada del vértice del ángulo recto es la media geométrica entre los segmentos que ella determina sobre la hipotenusa".

"En círculos iguales o en un mismo círculo, arcos iguales sostienen cuerdas iguales".

"Todo número que divide a otros dos, también divide al máximo divisor común entre ellos".

Y muchos otros.

Anteriormente cuando dije "las mismas palabras", textualmente es así. El nunca enunciaba teoremas, reglas o definiciones con símbolos. Sólo usaba palabras. (Siempre las mismas.) Euclides lo hacía así. Legendre (y casi todos los grandes autores franceses) también. Hoy en día, Bourbaki es uno de los pocos seguidores de esta bella tradición, que no sólo torna los enunciados más elegantes, sino que ayuda mucho a retenerlos en nuestra mente, ya que nadie piensa por medio de símbolos sino que con palabras y con las ideas que ellas evocan o representan.


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El teorema sobre perpendiculares, que enunciamos y probamos anteriormente, está formulado de la siguiente manera en un texto reciente de Geometría publicado en los Estados Unidos: "Dada una recta AB y un punto C∈AB, existe una y sólo una recta CD tal que CD ⊥⊥⊥⊥ AB". Comparando este enunciado con el que dimos arriba, es posible entender porqué la Geometría perdió su prestigio en la enseñanza.

Era piadoso con los que tenían dificultades. Cuando un alumno se equivocaba en el pizarrón, nunca permitía que lo criticásemos, a no ser con buenos modos. Teníamos prohibido decir "está equivocado"; la expresión admitida era "parece que hubo un error", "no estoy entendiendo bien" o algo parecido. Nunca humillaba a los alumnos, tenía más paciencia con los más atrasados aunque no admitía jamás bajar el nivel o retardar el curso por causa de ellos.

Varias veces al año, dividía la clase en dos grupos o "cuadros", cada uno de ellos con un golero, escogido entre los mejores alumnos. El juego consistía en preguntas sobre un tema previamente escogido. Cada alumno de un cuadro hacía una pregunta a otro del cuadro contrario. Si este respondía, la pelota había sido atajada, no había sido gol y los papeles se invertían; quien recibió la pregunta hacía otra al mismo alumno que le preguntó. Si una pregunta no era contestada o tenía una respuesta incorrecta (según el juez), esto significaba que la pelota había pasado por la defensa e iba al golero de aquel cuadro. Si el golero no respondía, era gol. Pero quien hacía la pregunta tenía que saber la respuesta correcta, si no el gol era anulado. Al final de la clase, el cuadro vencedor era premiado con lápices muy bonitos dados por el juez-profesor. (El golero ganaba dos lápices.)

Era muy exigente con la prolijidad en los trabajos, la precisión en el lenguaje y la organización en los cálculos. Insistía en que la raya de las fracciones estuviese a una altura entre las dos rayas del signo de igual y que fuese la primer cosa a ser escrita antes del numerador y del denominador.

Hacía cálculos mentales con enorme rapidez, sabía de memoria los logaritmos decimales de varios números y los valores de las funciones trigonométricas de los arcos más comunes. Esas habilidades le ahorraban mucho tiempo y contribuían también para imponer respeto a alumnos, en una franja de edad que otros profesores encontraban difícil de controlar.

Fuera de la Matemática, sus distracciones eran leer novelas policiales, de las cuales tenía una enorme colección, y viajar por Brasil. En las vacaciones de cada año, visitaba un Estado diferente. Tenía un hijo, que se llamaba Demóstenes, y no Thales o Euclides, como era de esperar. Quería que el joven siguiese ingeniería y quedó decepcionado cuando él consiguió empleo en un banco.

Por lo menos cinco de sus alumnos hicieron investigaciones originales que los llevaron al doctorado en Matemática: Manfredo do Carmo, Roberto Ramalho, Edmilson Pontes, Alexandre Magalhäes y yo. Varios otros (inclusive, por algún tiempo, mi hermana Elina) fueron orientados por él para el magisterio. Innumerables ingenieros, oficiales de las fuerzas armadas, bancarios, etc., le deben a él su entrenamiento básico en Matemática.


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Para mi Benedito de Morais es un símbolo de integridad, trabajo honesto y una visión clara de sus objetivos en la vida. La única cosa en la que no estuvimos de acuerdo fue cuando él votó a Dutra en una elección en la cual yo era demasiado joven para poder votar al Brigadier...

Agradecimiento: A Manfredo do Carmo y Alexandre Magalhäes por las agradables conversaciones evocativas.

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