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NÍVEL 4 Respostas sem justificativa não serão consideradas

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1. O Teorema Fundamental da Aritmética enuncia que todo número natural maior que 1 ou é primo ou

pode ser escrito de forma única, a menos da ordem dos fatores, como produto de potências de números

primos.

Assim, considere um número natural 𝑛, com 𝑛 > 1.

a) Determine o número de divisores naturais de 𝑛.

b) Determine o número de divisores naturais pares de 𝑛.

NOTA

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2

c) Determine o número de divisores naturais ímpares de 𝑛.

d) Sendo 𝑦 ∈ ℕ, encontre o número de divisores naturais pares do número natural 𝑛 = 2𝑦 ∙ 32 ∙ 5𝑦 ∙ 7,

sabendo que o número possui 30 divisores ímpares.

NOTA

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TOTAL

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3

2. Observe a sequência das potências de base 2:

20 = 1; 21 = 2; 2² = 4; 2³ = 8; 24 = 16; 25 = 32; ⋯.

Podemos representar de forma única, a menos da ordem, qualquer número natural como uma potência

de base 2 ou como soma de termos dessa sequência. Por exemplo, o número 20 pode ser escrito como

20 = 2² + 24 = 4 + 16, já o número 33 pode ser escrito por 33 = 20 + 25 = 1 + 32 = 33.

a) Encontre as somas das potências de base 2 que representam os números 44, 447 e 897.

b) Com os dez primeiros termos da sequência das potências de base 2 podemos expressar qualquer

número natural de 1 a 1023 como uma potência de base 2 ou como soma de termos dessa sequência.

Desse modo, o número 849 pode ser escrito como 849 = 20 + 24 + 26 + 28 + 29, sendo assim, chamamos

de número OMI do 849 o número 98640, ou seja, o número formado pelos expoentes da soma das

potências de 2 em ordem decrescente.

Nessas condições, determine o número OMI de 44, 447 e 897.

NOTA

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4

c) Dos números naturais de 1 a 1023 o número 1 é o que tem o menor número OMI, a saber, o número

OMI 0, já o número 1023 possui o maior número OMI, 9876543210. O segundo menor número OMI é o

do número 2, o terceiro menor é o do número 4. Já o décimo primeiro número OMI é o do número 3,

conforme tabela a seguir.

Qual é o 50º número natural na sequência apresentada na tabela? E o 115º?

Ordem (posição)

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º ⋯ 1023º

Número Natural

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 3 5 6 ⋯ 1023

Número OMI

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 21 ⋯ 9876543210

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5

d) Qual é a posição do número natural 44 na sequência apresentada na tabela?

NOTA

TOTAL

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6

3. Miguel adora Matemática e vive brincando com os números. Nas vésperas do Natal, criou uma árvore

natalina numérica formada por números binomiais, conforme mostra a figura abaixo.

𝟏

𝟏 𝟏𝟎

𝟏 𝟗 𝟒𝟓

𝟏 𝟖 𝟑𝟔 𝟏𝟐𝟎

𝟏 𝟕 𝟐𝟖 𝟖𝟒 𝟐𝟏𝟎

𝟏 𝟔 𝟐𝟏 𝟓𝟔 𝟏𝟐𝟔 𝟐𝟓𝟐

𝟏 𝟓 𝟏𝟓 𝟑𝟓 𝟕𝟎 𝟏𝟐𝟔 𝟐𝟏𝟎

𝟏 𝟒 𝟏𝟎 𝟐𝟎 𝟑𝟓 𝟓𝟔 𝟖𝟒 𝟏𝟐𝟎

𝟏 𝟑 𝟔 𝟏𝟎 𝟏𝟓 𝟐𝟏 𝟐𝟖 𝟑𝟔 𝟒𝟓

𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 𝟗 𝟏𝟎

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏

a) Determine a soma da árvore natalina, ou seja, a soma de todos os números que constituem a árvore.

NOTA

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b) Suponha uma árvore que tenha 𝑛 linhas, mostre que a soma da linha imediatamente superior à base

é dada por 𝑠(𝑛) =𝑛2−𝑛

2.

c) Considere ainda uma árvore com 𝑛 linhas, mostre que a soma da árvore natalina é dada por

𝑆(𝑛) = 2𝑛 − 1.

NOTA

TOTAL

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8

4. Uma sequência numérica está distribuída na primeira fila da pirâmide abaixo. Para determinar o número

que está contido em um bloco, basta realizarmos a média aritmética dos dois blocos que servem de apoio

para o bloco em questão.

𝒏ª fileira

(𝒏 − 𝟏)ª fileira

(𝒏 − 𝟐)ª fileira

(𝒏 − 𝟑)ª fileira

⋮

𝟒ª fileira ⋯

𝟑ª fileira ⋯

𝟐ª fileira 127,5 ⋯

𝟏ª fileira 100 111 122 133 144 ⋯ 969 980

a) Qual é o valor contido no 1º bloco da esquerda na 4ª fileira?

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b) Determine o número contido no bloco do topo da pirâmide.

c) Qual é a soma de todos os primeiros blocos da esquerda de cada fileira?

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5. A figura abaixo representa uma sequência de quadrados enfileirados horizontalmente da esquerda

para direita. O primeiro quadrado 𝐴𝐵𝐻𝐼 tem lado igual a 1, o segundo 𝐵𝐶𝐽𝐾 tem lado igual a 2, o terceiro

tem lado igual a 3 e assim sucessivamente.

a) Encontre as coordenadas dos quatro vértices do centésimo quadrado.

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b) Determine as coordenadas dos quatro vértices do n-ésimo quadrado.

c) Calcule a soma das áreas dos cem primeiros quadrados da sequência.

NOTA

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d) Mostre que a soma das áreas dos 𝑛 primeiros quadrados da sequência é dada por 𝑆(𝑛) =𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)

6.

NOTA

TOTAL