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Universidade do Vale do Paraíba

Metodologia Científica:

Física Experimental

São José dos Campos

2012

ÍNDICE

Tópico 1 Coerência de Dimensões e Unidades

Coerência Dimensional

Coerência de Unidades

Tópico 2 Conversão de Unidades e Notação Científica

Fatores de Conversão de Comprimento

Fatores de Conversão de Tempo

Fatores de Conversão de Unidades Derivadas

Fatores de Conversão de Temperatura

Notação Científica

Algarismos Significativos

Critérios de Arredondamento

Operações com Algarismos Significativos

Tópico 3 Estudo de Erros em Medidas

Erros de uma Medida

Propagação de Incertezas

Erro Propagado nas Operações Básicas

Tópico 4 Como Elaborar um Relatório e Apresentar os Resultados

Experimentais

Confecção de um Relatório

Apresentação dos Resultados Experimentais

Tópico 5 Paquímetro e Micrômetro: Propagação de Incertezas -

Determinação Experimental do Volume de um Objeto

O Paquímetro (Definição, Uso e Leitura)

O Micrômetro (Definição, Uso e Leitura)

Prática

Tópico 6 Medida do Tempo de Reação Humano (Queda Livre)

Teoria - Queda Livre

Prática

Tópico 7 Noções de Cinemática e Dinâmica

Prática e/ou Demonstrações

Tópico 8 Pêndulo Simples

Teoria - Pêndulo Simples

Prática

Tópico 9 Sistema Massa-Mola (Papel Milimetrado)

Teoria - Sistema Massa-Mola na vertical

Prática

Tópico 10 Empuxo

Teoria - Empuxo

Prática

Tópico 11 O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de Funções

Teoria e Exercícios

Prática

Tópico 1. Coerência Dimensional e de Unidades

É de extrema importância em engenharia e ciências físicas que saibamos

obedecer a coerência de unidades e dimensões de uma equação qualquer. Uma equação

deve sempre possuir coerência dimensional. Você não pode somar automóvel com

maça, por exemplo; dois termos só podem ser somados caso eles possuam a mesma

unidade. Por isso, faz-se necessário o aprendizado destes conceitos.

1.1. Coerência Dimensional

Começando com a equação do movimento retilíneo uniforme:

x = x0+v.t (1)

onde x representa a posição de qualquer objeto no eixo x, x0 representa a posição inicial,

v é a velocidade do móvel e t o tempo.

No lado esquerdo da equação 1 temos somente o termo referente a posição do

móvel, ou seja, um comprimento qualquer que pode estar em metros, quilômetros, etc.

Agora, no lado direito da equação temos a soma de dois termos, x0 e v.t. Para que ocorra

a soma de ambos os termos, há a necessidade de que ambos possuam a mesma

dimensão, ou seja, comprimento, caso contrário, a equação acima estaria errada.

Portanto, somente é possível somar grandezas físicas que tenham as mesmas dimensões.

Uma equação física não pode ser verdadeira se não for

dimensionalmente homogênea!

Traduzindo a frase acima, notamos que as dimensões de um membro da equação

devem ser iguais às dimensões do outro membro. Seria completamente errada a

expressão:

80 quilogramas = 30 metros + x metros

Para facilitar a análise das dimensões presentes em uma equação, adotaremos os

seguintes símbolos:

Comprimento [L]

Massa [M]

Tempo [T]

Aplicando a fórmula dimensional na equação (1) teremos:

x posição = [ L ]

t tempo = [ T ]

v

Note que finalmente a equação (1) é uma equação que possui uma coerência de

unidades.

Na mecânica, adotam-se a massa (M), o comprimento (L) e o tempo (T) como

grandezas fundamentais.

Grandeza física: é tudo aquilo que pode ser medido.

São exemplos de grandezas físicas: comprimento, massa, temperatura,

velocidade, aceleração, etc.

Esta análise dimensional nos permite obter a dimensão de certas constantes em

equações, como por exemplo, a seguinte equação da lei de Hooke:

F = −k . x (2)

onde, no lado esquerdo da equação temos a força F, enquanto que no lado direito temos

uma constante k (constante elástica da mola), que queremos determinar sua dimensão,

multiplicada pela posição x (elongamento da mola). Então, realizando a análise

dimensional:

1.

2.

, logo

3.

Aplicando na equação (2) os resultados acima, teremos:

Note que a constante k tem que ter dimensão de massa ([M]) por tempo ao

quadrado, ou seja, g/ s2 ou kg/s

2 .

Vejamos a seguir alguns exemplos de análise dimensional:

1. Velocidade:

se e

2. Aceleração:

3. Força: F = m.a

4. Trabalho:

5. Potência:

6. Quantidade de Movimento:

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1) Faça a análise dimensional das equações abaixo e verifique quais estão

dimensionalmente incorretas, onde:

v0 é a velocidade inicial do objeto;

a é a aceleração do corpo;

x0 é a posição inicial do objeto;

Δx = x−x0 é o deslocamento;

g é a aceleração da gravidade;

r é o raio de uma circunferência;

v é a velocidade;

t é o tempo;

W é o trabalho realizado.

a) x = x0+v0.t+1/2.a.t2

b) v = v0+a.t2

c) v = v02

+ 2.a.Δx

d) t = (v0.sen θ) / g

e) a = v / r

f) W = F.Δx.cosθ

2) Nas equações abaixo, determine as dimensões das constantes G, μ, c e d:

a) F= G.(M.m)/r2

b) fa = μ.N , onde f a é a força de atrito e N é a força normal.

c) F = c.a3

d) F = d.v , onde v é a velocidade.

1.2. Coerência de Unidades

O Sistema Internacional de Unidades – SI

“Todo o conhecimento que não pode ser expresso por números é de qualidade pobre e

insatisfatória". (Lorde Kelvin, grande cientista britânico)

As informações aqui apresentadas irão ajudar você a compreender melhor e a

escrever corretamente as unidades de medida adotadas no Brasil. A necessidade de

medir é muito antiga e remota à origem das civilizações. Por longo tempo cada país,

cada região, teve o seu próprio sistema de medidas, baseado em unidades arbitrárias e

imprecisas, como por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé,

polegada, etc. Isso criava muitos problemas para o comércio, porque as pessoas de uma

região não estavam familiarizadas com o sistema de medida das outras regiões. Imagine

a dificuldade em comprar ou vender produtos cujas quantidades eram expressas em

unidades de medida diferentes e que não tinham correspondência entre si.

Em 1789, numa tentativa de resolver o problema, o Governo Republicano

Francês pediu à Academia de Ciências da França que criasse um sistema de medidas

baseado numa "constante natural". Assim foi criado o Sistema Métrico Decimal.

Posteriormente, muitos outros países adotaram o sistema, inclusive o Brasil, aderindo à

"Convenção do Metro". O Sistema Métrico Decimal adotou, inicialmente, três unidades

básicas de medida: o metro, o litro e o quilograma.

Entretanto, o desenvolvimento científico e tecnológico passou a exigir medições

cada vez mais precisas e diversificadas. Por isso, em 1960, o sistema métrico decimal

foi substituído pelo Sistema Internacional de Unidades - SI, mais complexo e

sofisticado, adotado também pelo Brasil em 1962 e ratificado pela Resolução nº 12 de

1988 do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial -

Conmetro, tornando-se de uso obrigatório em todo o Território Nacional.

As unidades SI podem ser escritas por seus nomes ou representadas por meio de

símbolos.

Exemplos:

Unidade de comprimento Unidade de tempo Unidade de massa

nome: metro nome: segundo nome: quilograma

símbolo: m símbolo: s símbolo: kg

Os nomes das unidades SI são escritos sempre em letra minúscula. Exemplos:

quilograma, newton, metro cúbico. As exceções ocorrem somente no início da frase e

"grau Celsius".

O símbolo é um sinal convencional e invariável utilizado para facilitar e

universalizar a escrita e a leitura das unidades SI. Por isso mesmo não é seguido de

ponto.

Certo Errado

segundo s s. ou seg.

metro m m. ou mtr.

kilograma kg kg. ou kgr.

hora h h. ou hr.

O símbolo não tem plural, invariavelmente não é seguido de "s".

Certo Errado

cinco metros 5 m 5 ms

dois kilogramas 2 kg 2 kgs

oito horas 8 h 8 hs

Toda vez que você se refere a um valor ligado a uma unidade de medir, significa

que, de algum modo, você realizou uma medição. O que você expressa é, portanto, o

resultado da medição, que apresenta as seguintes características básicas:

Ao escrever uma unidade composta, não misture nome com símbolo.

Certo Errado

quilômetro por hora

km/h

quilômetro/h

km/hora

metro por segundo

m/s

metro/s

m/segundo

O prefixo quilo (símbolo k) indica que a unidade está multiplicada por mil.

Portanto, não pode ser usado sozinho.

Certo Errado

quilograma; kg quilo; k

Use o prefixo quilo da maneira correta.

Certo Errado

quilômetro kilômetro

quilograma kilograma

quilolitro kilolitro

O SI é baseado em sete Unidades Padrões Fundamentais:

Grandeza Nome Plural Símbolo

comprimento metro metros m

tempo segundo segundos s

massa quilograma quilogramas kg

corrente elétrica ampère ampères A

temperatura termodinâmica kelvin kelvins K

quantidade de substância mol mols mol

Intensidade luminosa candela candelas cd

As unidades de outras grandezas como velocidade, força e energia são derivadas

das setes grandezas acima. Na tabela abaixo estão listadas algumas destas grandezas:

Grandeza Nome Plural Símbolo

área metro quadrado metros quadrados m²

volume metro cúbico metros cúbicos m³

ângulo plano radiano radianos rad

velocidade metro por segundo metros por segundo m/s

aceleração metro por segundo metros por segundo m/s²

massa específica quilograma por

metro cúbico

quilogramas por

metro cúbico kg/m³

vazão metro cúbico por

segundo

metros cúbicos por

segundo m³/s

força newton newtons N

pressão pascal pascals Pa

trabalho, energia,

quantidade de calor joule joules J

potência, fluxo de

energia watt watts W

Tópico 2. Conversão de Unidades e Notação Científica

Toda vez que você se refere a um valor ligado a uma unidade de medir, significa

que, de algum modo, você realizou uma medição. O que você expressa é, portanto, o

resultado da medição, que apresenta as seguintes características básicas:

Nesta aula veremos como converter as unidades de uma dada grandeza física,

representar o valor numérico medido na forma de notação científica, bem como utilizar

métodos de arredondamento em número com mais de uma casa decimal após a vírgula.

2.1. Fatores de Conversão de Comprimento

Tabela 1. Fatores de conversão de unidades de comprimento.

→ Exemplos de conversão de unidades.

Converter as seguintes medidas de áreas para km2:

a) 100 m2 1 m = 0,001 km, então 1 m

2 = (0,001 km)

2

1 m2 = 0,000001 km

2

Logo: 100 m2 = 100 x 0,000001 km

2

100 m2 = 0,0001 km

2

b) 150 hm2 1 hm = 0,1 km, então 1 hm

2 = (0,1 km)

2

1 hm2 = 0,01 km

2

Logo: 150 hm2 = 150 x 0,01 km

2

150 hm2 = 1,5 km

2

c) 100000 dm2 1 dm = 0,0001 km, então 1 dm

2 = (0,0001 km)

2

1 dm2 = 0,00000001 km

2

Logo: 100000 dm2 = 100000 x 0,00000001 km

2

100000 dm2 = 0,001 km

2


1) Converta as seguintes medidas de comprimento para cm:

a) 2,5 m b) 1,3 km

c) 200 dam d) 10500 mm

2) Converta as seguintes medidas de áreas para m2:

a) 1 km2 b) 5 dam

2

c) 2,5 mm2 d) 3 cm

2

3) Converta as seguintes medidas de volume para m3

a) 1,85 cm3 b) 11,5 mm

3

c) 3,2 dam3

d) 0,1 km3

2.2. Fatores de Conversão de Tempo

Tabela 2. Fatores de conversão de unidades de tempo.


4) Converta as seguintes medidas de tempo em segundos:

a) 1h 10min b) 1 semana

c) 48h d) 2h 26min

5) Converta:

a) 300 dias em segundos

b) 89000 segundos em dia, hora, minutos e segundos

2.3. Fatores de Conversão de Unidades Derivadas

Tabela 3. Fatores de conversão de unidades de velocidade.

Converter de Para Multiplicar por

metros por segundo (m/s) pés por minuto (ft/min) 196,8

metros por segundo (m/s) milhas por hora (mi/h) 2,2369

metros por segundo (m/s) quilômetros por hora (km/h) 3,60

quilômetros por hora (km/h) metros por segundo (m/s) 0,2778

quilômetros por hora (km/h) milhas por hora (mi/h) 0,6214

Embora a tabela seja útil, convém aprender a forma clássica de efetuar a

conversão de unidades, conforme segue no exemplo:

Converter de km/h para m/s:

Tabela 4. Alguns outros exemplos de conversão de unidades.


6) Converta:

a) 35 km/h em m/s

b) 100 m/s em km/h

c) 600W em HP

d) 35 HP em cv

e) 3,5 cv em J/s

f) 500 mmHg em kgf/cm2

g) 1000 pol em km

h) 3500 ml em galões

2.4. Fatores de Conversão de Temperatura

Tabela 5. Fatores/relações de conversão de unidades de temperatura.


7) Converta:

a) 109ºF em K

b) -50ºC em K

c) 300 K em ºC

2.5. Notação Científica

Como visto anteriormente, o trabalho em laboratório exige que se trabalhe com

números de diversas ordens de grandezas, ficando difícil o manuseio de números muito

pequenos ou grandes. Para isso, a notação científica supre a necessidade do uso de

números com tamanhos mais coerentes e fáceis de trabalhar.

A notação científica possui algumas regras simples de serem utilizadas, são elas:

1. Utilizar apenas um algarismo significativo antes da vírgula;

2. Este número não pode ser menor do que 1 (um) e nem maior que 9 (nove).

3. Escrever os algarismos após a vírgula seguido do número 10n onde, a potência n é o

número de casas em que se andou com a vírgula até ficar apenas um número a esquerda

da vírgula.

Exemplos:

3563,2 m 3,5632×103m

0,000001234 mm 1,234×10−6

mm

0,02m × 0,13m = 2,0×10−2

m × 1,3×10−1

m = 2,0×1,3×10−2−1

= 2,6×10−3

m

(6,31×10−5

m)3

= (6,31)3×(10

−5)3 m

3 = 251,2396×10

−15 m

3 = 2,512396×10

−13 m

3

A questão de poder arredondar os números acima faz a necessidade de algumas

regras especiais que veremos no tópico seguinte.

Devido ao uso da notação científica, o Bureau Internacional de Pesos e Medidas

recomendou os seguintes prefixos:

Tabela 6. Prefixos utilizados no SI.


8) Escreva em notação científica as seguintes medidas:

a) 0,00005

b) 300,2

c) 0,00000000198

d) 230120,2

2.6. Algarismos Significativos

Suponha que estejamos realizando a medida de alguma peça como mostrado na

figura 1. Pode-se observar que o comprimento da peça está entre 7 e 8 centímetros. Qual

seria o algarismo que viria após o 7? Apesar da menor divisão da régua ser 1 cm, é

razoável fazer uma subdivisão mental do intervalo compreendido entre 7 e 8 cm. Desta

maneira, representa-se o comprimento da peça como sendo 7,3 cm. O algarismo 7 desta

medida foi lido com certeza, porém o 3 não. Não se tem certeza do algarismo, por isso,

ele é denominado como algarismo duvidoso.

Figura 1. Desenho esquemático de medida de um objeto qualquer. Valores em cm.

A regra geral, portanto, é que se deve apresentar a medida com apenas os

algarismos de que se tem certeza mais um único algarismo duvidoso. Estes

algarismos são denominados algarismos significativos da medida.

É importante salientar que, em uma medida, os zeros à esquerda do número, isto

é, que posicionam a vírgula, não são algarismos significativos. Exemplos:

1. a medida 0,023 cm tem somente dois algarismos significativos, o 2 e o 3;

2. a medida 0,348 cm tem três algarismos significativos;

3. a medida 0,0040000 cm tem cinco algarismos significativos, o número 4 e os quatro

zeros a sua direita.

Observações:

1. Os zeros que completam números múltiplos de potências de 10 são ambíguos: a

notação não permite dizer se eles são ou não significativos.

Exemplo: 800 pode ter um algarismo significativo (8), dois algarismos

significativos (80) ou três algarismos significativos (800). Esta ambiguidade

deve ser corrigida usando-se notação científica para representar estes números,

8x102 terá um algarismo significativo, 8,0x10

2 terá dois algarismos

significativos e 8,00x102 terá três algarismos significativos.

2. O número 100: é Não Determinado (ND), pois acaba com um zero à direita do

último dígito que não seja zero, sem a pontuação decimal; (necessita de

referência).

Exemplo: 100 = 102 não possui algarismos significativos, no entanto, 100,0 =

1,0 × 102

possui 2 algarismos significativos.

3. A posição da vírgula não influi no número de algarismos significativos, por

exemplo, o comprimento de 0,0240 m possui três algarismos significativos e

pode ter a posição da vírgula alterado de várias formas usando uma potência de

dez adequada, e sem alterar o seu número de algarismos significativos. Veja

abaixo:

0,0240 m = 0,240x10-1

m = 0,240 dm

0,0240 m = 2,40x10-2

m = 2,40 cm

0,0240 m = 24,0x10-3

m = 24,0 mm

Observe que o número de algarismos significativos é sempre três,

independentemente da forma que o número foi escrito e da posição de sua

vírgula. Outro ponto importante é que o valor da medida é sempre a mesma,

visto que: 0,0240 m = 0,240 dm = 2,40 cm = 24,0 mm.

2.7. Critérios de Arredondamento

Quando se tem que trabalhar com várias medidas com diferentes números de

algarismos significativos, é necessário exprimir estas medidas segundo a norma de que

se deve ter apenas um algarismo duvidoso. Então, os critérios (Portaria 36 de

06/07/1965 - INPM - Instituto Nacional de Pesos e Medidas) adotados são:

1. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for de 0 a 4,

conservamos o algarismo a ser arredondado e desprezamos os seguintes.

Ex.: 7,34856 → 7,3

2. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for de 6 a 9, acrescenta-

se uma unidade no algarismo a ser arredondado e desprezamos os seguintes.

Ex.: 1,2734 → 1,3

3. Se o primeiro algarismo após aquele que formos arredondar for 5, seguido apenas de

zeros, conservamos o algarismo se ele for par ou aumentamos uma unidade se ele for

ímpar desprezando os seguintes.

Ex.: 6,2500 → 6,2

12,350 → 12,4

4. Se o 5 for seguido de outros algarismos dos quais, pelo menos um é diferente de

zero, aumentamos uma unidade no algarismo e desprezamos os seguintes.

Ex.: 8,2502 → 8,3

8,4503 → 8,5

2.8. Operações com Algarismos Significativos

Este assunto é de grande importância devido ao fato de necessitar envolver em

uma equação matemática, como a cálculo do volume, várias grandezas físicas medidas

com diferentes algarismos diferentes, obtidas com aparelhos de classe de precisão

diferentes. Por isso, iremos aprender as quatro operações básicas com as medidas.

Adição

O resultado da adição de várias medidas é obtido arredondando-se a soma na

casa decimal da parcela mais pobre em decimais, após efetuar a operação.

Ex: 12,56 + 0,1236 = 12,6836 = 12,68

Subtração

A subtração é um caso particular da adição, adotando-se, dessa forma o mesmo

critério da adição.

Ex: 18,2476 – 16,72 = 1,5276 = 1,53

Multiplicação

O produto de duas ou mais medidas deve possuir, em geral, o mesmo número

de algarismos significativos da medida mais pobre em algarismos significativos.

Ex: 3,1415x180 = 5,65x102

Divisão

A divisão é simplesmente um caso particular do produto, portanto aplica-se a

regra anterior.

Ex: 63,72/23,1 = 2,758441558 = 2,76

Logaritmo

Ao se trabalhar com logaritmos, observa-se o número de algarismos

significativos do argumento (ou logaritmando) e o total de casas depois da vírgula do

logaritmo é igual a esse número.

Ex.: ln(5,0x103) = 8,52 2 significativos no argumento 2 casas decimais no

logarítmo.

ln(45,0) = 3,807 3 significativos no argumento 3 casas decimais no

logarítmo.


9) Efetue as operações abaixo e represente o resultado em notação científica:

a) 3,45 m + 123,47 m – 0,0354 m

b) 3,12×105cm + 2,69cm

c) 50,7 m + 7200, cm

d) 5,24 mm × 0,73 m

e) ln(1,20x102) m + ln(45,0) m

Tópico 3. Estudo de Erros em Medidas

A medida de uma grandeza é obtida, em geral, através de uma experiência, na

qual o grau de complexidade do processo de medir está relacionado com a grandeza em

questão e também com o processo de medição. Por isso, este tópico visa introduzir

conceitos importantes sobre erros de medidas.

3.1. Erros de uma Medida

Algumas grandezas possuem seus valores reais conhecidos e outras não. Quando

conhecemos o valor real de uma grandeza e experimentalmente encontramos um

resultado diferente, dizemos que o valor obtido está afetado de um erro.

ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma

grandeza e o valor real ou correto da mesma.

Matematicamente: erro = valor medido valor real

A determinação do erro de medida não é simples, pois há na maioria dos casos

uma combinação de inúmeros fatores que influem, de forma decisiva, no resultado da

medição. Portanto, o erro “verdadeiro” de uma medida é sempre impossível de ser

conhecido, sendo possível apenas uma estimativa do erro máximo aceitável. Nesta

seção irar-se-á dar uma pequena introdução sobre tipos de erros e o cálculo do erro

aleatório provável, dado pelo cálculo do desvio padrão.

Existem diversas classificações de erros na literatura especializada, entretanto,

há três principais que são:

1. Erro de escala: é o erro associado ao limite de resolução da escala do instrumento de

medida.

2. Erro sistemático: é o erro em que o medidor sofre, de maneira constante, em todo o

processo de medição. No momento da descoberta da sua origem, o erro sistemático é

possível de ser minimizado ou até mesmo sanado;

3. Erro aleatório: é o erro que decorre de perturbações estatísticas impossíveis de

serem previstas, sendo assim, difícil de evitá-los.

O erro aleatório pode ser calculado utilizando-se os postulados de Gauss, que

por motivo de brevidade não será citado aqui, entretanto, aos estudantes interessados

neste assunto consulte o livro Introdução ao Laboratório de Física.

3.1.1 Valor mais provável de uma grandeza

Sejam x1, x2, x3,..., xn as n medidas realizadas de uma mesma grandeza física X.

O valor médio desta grandeza denotado por é definido pela média aritmética dos

valores medidos, ou seja,

∑

(1)

Deste modo, representa o valor mais provável da grandeza medida. Ao se

realizar várias medidas, os valores obtidos tendem a estarem mais próximos deste valor.

O valor médio é o que melhor representa o “valor real” da grandeza.

3.1.2 Desvio das medidas

No entanto, não se pode afirmar que o valor mais provável seja o valor real da

grandeza. Assim, representando-se uma medida qualquer da grandeza X por Xi, não se

pode dizer que a diferença ( i - ) seja o erro da medida Xi. Neste caso quando

se conhece o valor mais provável, não se fala em “erro”, mas sim em Desvio ou

Discrepância da medida (ou Incerteza).

Desvio de uma medida, , é a diferença entre um valor medido e o valor adotado

que mais se aproxima do valor real (em geral o valor médio).

É interessante saber de quanto as medidas individuais Xi se afastam do valor

médio, ou seja, de que maneira as medidas Xi se distribuem em torno do valor médio. A

esse fato denominamos “dispersão”. Para medir a dispersão são utilizadas algumas

propriedades da série de medidas, tais como a Variância e o Desvio Padrão:

Variância (s2): A variância é definida como a soma dos quadrados dos desvios de

todos os valores da grandeza dividida pelo número de medidas menos uma. A variância

é representada por s2, sendo calculada pela fórmula:

∑

(2)

O denominador “n – 1” da variância é determinado pelos graus de liberdade. O

principio dos graus de liberdade é constantemente utilizado na estatística. Considerando

um conjunto de “n” observações (dados) e fixando uma média para esse grupo, existe a

liberdade de escolher os valores numéricos de n – 1 observações, o valor da última

observação estará fixado para atender ao requisito de ser a soma dos desvios da média

igual a zero. No caso especifico do cálculo da variância, diz-se que os “n” graus de

liberdade originalmente disponíveis no conjunto sofreram a redução de uma unidade

porque numa estatística, a média já foi calculada dos dados do grupo e aplicada na

determinação da variância.

Desvio padrão ( ): O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância e,

portanto, expresso na mesma unidade da grandeza medida (kg, cm, atm, etc.):

√

√

∑

(3)

Para um conjunto com n medições, o desvio padrão experimental representa uma

estimativa da dispersão de Xi em torno do valor médio . Isso significa que se os

resultados forem bastante próximos uns dos outros, então o desvio padrão será

"pequeno", e se os resultados forem dispersos, o desvio padrão será "grande".

3.1.2 Desvio padrão final

Até agora, ainda não informamos como deve ser relatado o valor de uma

grandeza submetida a medições. Já sabemos, a princípio, que a grandeza pode ser

representada, de modo satisfatório pelo seu valor médio. Porém, quando efetuamos um

conjunto de medições devemos ser capazes de informar com qual qualidade a média

pode ser uma estimativa do valor verdadeiro. Ou seja, devemos sempre informar uma

incerteza associada à média encontrada.

Poderíamos pensar, num primeiro nível, que a incerteza possa ser estimada pelo

desvio padrão da média. Porém, devemos atentar que o cálculo do desvio padrão da

média leva em conta somente as contribuições dos erros aleatórios, e não considera os

erros sistemáticos. Existe, pois, uma incerteza residual que ainda não foi considerada.

Essa incerteza residual ( ), no caso de instrumentos de medida, costuma vir

indicada pelo fabricante. Quando não é indicada, podemos adotar, pelo bom senso, que

se trata da metade da menor divisão da escala.

Assim, o resultado de um conjunto de medições é:

em que é o desvio (ou incerteza) padrão final e pode ser calculada por:

√

Como exemplo da teoria acima proposta, dada a seguinte tabela abaixo, com

valores de medidas de comprimento de um corpo de prova qualquer, iremos calcular o

seu valor mais provável (média) e o seu desvio padrão.

Tabela 3.1. Valores de medidas de comprimento de um corpo de prova qualquer. Note

que aqui não é necessário usar o desvio residual pois não foi fornecido.

Medida Comprimento (m)

1 1,42

2 1,40

3 1,38

4 1,41

5 1,43

6 1,42

7 1,39

8 1,40

Assim, o valor mais provável da medida, , é dado por:

O desvio padrão será dado por

√

√

Portanto, o modo correto de representar o valor mais provável do corpo de prova e o seu

respectivo erro é o seguinte:

Note que o número de casas após a vírgula para ambos os valores têm que ser

compatíveis.

3.2. Propagação de Incertezas

Este assunto é de grande relevância em todas as áreas de atividade onde são

realizadas medidas experimentais. O objetivo deste assunto é justamente estudar a

propagação de incertezas associadas a cada medida em particular.

Imagine que queiramos fazer a soma de duas grandezas x1 e x2, para obter uma

grandeza y. Sabemos que para expressar corretamente o resultado de nossa operação

devemos relatar um valor médio e uma incerteza associada a este valor. De maneira

geral, um resultado y deve ser expresso como:

(4)

Se y é uma função de outras variáveis f(x1, x2), então:

(5)

No caso da soma, por exemplo, y = x1 + x2, então:

(6)

Já o cálculo de é mais complicado. O processo rigoroso para o cálculo das

incertezas envolve uma equação com derivadas parciais, também conhecida como “lei

de propagação de incertezas” o qual é apresentada a seguir.

Lei de Propagação de Incertezas

Suponha que um certo experimento necessite de vários instrumentos para ser

realizado. E que cada um destes instrumentos têm uma variabilidade diferente em suas

medições. Os resultados de cada instrumento são dados como: x1, x2, x3, ... . O resultado

final desejado é y, de modo que y é dependente de x1, x2, x3, ... . Então, pode-se escrever

que y é uma função dessas variáveis:

(7)

Uma vez que cada medida tem uma incerteza sobre sua média, pode-se escrever

que a incerteza de dyi da i-ésima medição de x depende da incerteza das i-ésimas

medições de x1, x2, x3, ... :

(8)

O desvio total de y é então obtido da derivada parcial de y com respeito a cada

uma das variáveis:

(

) (

) (

) (9)

A relação entre os desvios padrão de y e x1, x2, x3, ... é dada em duas etapas: i)

pela quadratura da equação 9, e ii), tomando a soma total de i = 1 para i = n, onde n é o

número total de medições. Logo:

∑ (

) ∑

(

) ∑

(10)

Dividindo ambos os lados por n-1:

∑

(

) ∑

(

) ∑

(11)

Da equação 3 tem-se que: ∑

( )

=∑

, logo a equação onde pode ser

reescrita como:

(

)

(

)

(12)

Assim, tendo a equação que expressa y em função de suas componentes x1, x2, ...

, deve-se, primeiramente, obter as expressões das derivadas parciais da função y em

relação a cada uma das componentes. Obtidas essas expressões, substituem-se os

valores apropriados e calcula-se o valor de cada derivada parcial em questão. A seguir,

deve-se multiplicar cada valor obtido pela incerteza da respectiva componente. Por fim,

procede-se a soma de todas as parcelas, sendo cada parcela relativa a uma determinada

componente da função.

Exemplo: Calcule o volume de um cilindro de comprimento L = (4,0±0,1)mm e

diâmetro D = (2,0±0,2)mm.

Resolução:

O volume do cilindro é dado por:

Agora iremos utilizar as incertezas das medidas de comprimento e diâmetro do cilindro,

para calcular a incerteza propagada para V:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

=

6,3164 + 0,0314 = 6,3478 mm6

√ O resultado final deve ser expresso da seguinte maneira:

V = (12.6±2.5) mm3

3.3 Propagação de Incertezas nas Operações Básicas

Abaixo estão listadas as equações da incerteza propagada para as operações mais

utilizadas.

1. Adição ou Subtração: y = x1 + x2 ou y = x1 - x2

√

2. Multiplicação ou Divisão: y = x1.x2 ou y = x1/x2

√(

)

(

)

3. Potenciação: y = x1a

(

)

No caso da função do tipo y = x1

a . x2

b , tem-se:

√ (

)

(

)

4. Logaritmo: y = log(x1)

(

)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Mediram-se, experimentalmente, o período e o comprimento de um pêndulo simples,

obtendo-se os seguintes resultados: L = (59,90 ± 0,05) cm e T = (1,555 ± 0,001) s .

Utilizando a equação do pêndulo simples T = 2π√

, calcule o valor da aceleração da

gravidade (g).

2) Em uma mola de constante elástica k = (2,256 ± 0,003).104 dyn/cm colocou-se a

oscilar uma massa m = (249,86 ± 0,01)g . Calcule o período do oscilador para os valores

dados acima, sabendo que ele está relacionado com a massa e a constante elástica

através da equação T = 2π √

.

Tópico 4. Como Elaborar um Relatório e Apresentar

os Resultados Experimentais

4.1. Confecção de um Relatório

4.1.1. Organização do relatório

Um relatório é uma descrição detalhada, clara e objetiva de um trabalho

realizado. Descrição detalhada significa que o relatório deve apresentar todos os

detalhes que sejam relevantes. Clareza e objetividade reduzem o esforço de leitura do

relatório sem prejuízo da perfeita compreensão.

O relatório deve conter as seguintes partes:

• Resumo

• Introdução

• Descrição experimental

• Resultados das medições e cálculos

• Conclusão

• Referências bibliográficas

4.1.2. Resumo

O resumo poderá ter de 5 a 10 linhas e deve indicar sucintamente os objetivos da

experiência, equipamento utilizado, principais resultados e conclusões. Isto é, o resumo

deve dar ao leitor uma idéia preliminar sobre o conteúdo do relatório e, portanto, deve

ser escrito depois de finalizado o trabalho. Gráficos e fórmulas não fazem parte do

resumo.

4.1.3. Introdução

A introdução deve conter os objetivos da experiência, discussão do tema da

experiência, apresentação das fórmulas teóricas, leis físicas utilizadas, deduções teóricas

mais relevantes e outros comentários que parecerem importantes.

4.1.4. Descrição Experimental

Esta parte do relatório deve conter uma descrição completa e objetiva dos seguintes

itens:

arranjo experimental;

procedimento experimental;

características de instrumentos, incertezas de leitura e de calibração;

cuidados particulares e detalhes relevantes.

A descrição do arranjo experimental deve incluir figuras mostrando características e

dimensões relevantes. Em procedimento experimental, deve-se dar uma descrição resumida

do procedimento utilizado e do método de medição de cada grandeza. Devem também ser

apresentados nesta parte do relatório, características dos instrumentos utilizados, discussão

de incertezas de leitura e cuidados particulares que tenham sido adotados na tomada de

dados.

4.1.5. Resultados das medições e análise de dados

Os resultados das medições e cálculos devem ser apresentados nesta parte do

relatório, sendo obrigatório o uso de tabelas no caso de serem feitas várias observações do

mesmo mensurando.

O texto deve explicar claramente os cálculos realizados. As fórmulas utilizadas

devem ser apresentadas explicitamente. Resultados de cálculos que se repetem devem ser

apresentados em tabelas.

Os cálculos para a estimativa das incertezas também devem ser explicados

claramente, inclusive com apresentação das expressões utilizadas, ou menção das mesmas

se estas já foram apresentadas na introdução.

Os gráficos devem ser apresentados nesta parte do relatório e seus resultados devem

ser explicitamente apresentados no texto.

Pensamos que é importante citar aqui o texto abaixo:... “quando se registra o

resultado de uma medição e a sua incerteza, é preferível errar, por excesso, no

fornecimento de informações a fornecê-las com escassez. Por exemplo, deve-se:

a) descrever claramente os métodos utilizados para calcular o resultado da medição e

sua incerteza, a partir de observações experimentais e dados de entrada;

b) listar todos os componentes da incerteza e documentar amplamente como foram

avaliados;

c) apresentar a análise dos dados, de tal forma que cada um dos passos importantes

possa ser prontamente seguido e que os cálculos do resultado relatado possam ser

independentemente repetidos, se necessário;

d) fornecer todas as correções e constantes utilizadas na análise e suas fontes.

Um modo de se verificar a lista acima é perguntar-se a si próprio: “Terei eu

fornecido suficiente informação de maneira suficientemente clara, de modo tal que meu

resultado possa ser atualizado no futuro, se novas informações ou dados se tornarem

disponíveis?”.

4.1.6. Conclusões

Os resultados devem ser discutidos e comentados na parte anterior do relatório. Mas

geralmente existe esta parte final, na qual se deve discutir a experiência como um todo. As

conclusões geralmente incluem a discussão dos seguintes pontos:

acordo entre resultados obtidos na experiência e valores teóricos ou valores

experimentais obtidos de outras fontes;

crítica do método de medição e do equipamento utilizado;

sugestões e comentários sobre a experiência.

4.1.7. Referências bibliográficas

Referências bibliográficas citadas no texto devem ser apresentadas no final, sob

o título Referências Bibliográficas, seguem abaixo alguns exemplos de forma correta de

citar as referências.

a) Referência de livro:

Hunter, J. C. O Monge e o Executivo: uma História sobre a Essência da Liderança,

Sextante, Rio de Janeiro, 2004.

Sendo Hunter, J. C. o autor do livro; O Monge e o Executivo: uma História sobre a

Essência da Liderança; o título do livro; Sextante; a editora, Rio de Janeiro; a cidade

onde o livro foi editado e 2004 o ano da edição.

b) Referência de artigo de revista:

Marinho, R. M.; Noether´s theorem in classical mechanics revisited. European

Journal of Physics, London, v. 28, p. 37-43, 2007.

Sendo Marinho, R. M o autor do artigo; Noether´s theorem in clasical mechanics

revisited o titulo do artigo; European Journal of Physics a revista onde foi publicado;

London a cidade da editora; v. 28, p. 37-43 o volume e as paginas correspondentes ao

artigo e 2007 o ano da publicação.

c) Referência de Internet:

Autor, título http://www.univap.br. Acesso em 17 de julho de 2011

Sendo http o protocolo de comunicação (hipertexto) e www.univap.br o endereço da

página de acesso à Univap, www (World Wide Web). Segue a data do acesso à página.

Cabe destacar aqui que as referencias devem ser fornecidas no padrão da

Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) a qual para documentação é a NBR-

6023 de 29/09/2002, disponível na biblioteca da Univap ou pela internet no site

www.habitus.ifcs.ufrj.br/pdf/abntnbr6023.pdf.

Mais alguns detalhes que devem ser levados em conta durante a confecção do relatório:

Unidades para cada grandeza;

Avaliação de erros nas suas medidas (e, se for o caso, propagar os erros nos

resultados finais);

Legendas das figuras;

Numerar as figuras e gráficos e se referir neles no texto;

Mencionar a data da realização da experiência;

www.habitus.ifcs.ufrj.br/pdf/abntnbr6023.pdf

Se usar textos ou figuras de outras fontes (esta apostila, internet, livros, artigos,

relatórios de colegas...), deixe isto claro, colocando entre “aspas", e dê a

referência!

4.2. Apresentação dos Resultados Experimentais

4.2.1. Tabelas

Para apresentar um conjunto de dados ou resultados de medições e de cálculos

repetitivos se usam tabelas. Na tabela deverão incluir-se todas as informações

necessárias para se entender o que significam as quantidades tabeladas, de maneira

razoavelmente independente do texto do principal. Por exemplo, para medir o poder de

aceleração de um carro, medimos como a sua velocidade se modifica em função do

tempo, conforme pode ser observado na tabela 1 abaixo.

Tabela 1. Variação da velocidade com o tempo em segundos.

No exemplo apresentado (Tabela 1) o conteúdo da tabela é razoavelmente bem

definido pela legenda, cabeçalhos, e unidades. Algumas regras gerais para se elaborar uma

tabela são apresentadas a seguir.

Identificação: As tabelas devem ser numeradas e identificadas por um título colocado

acima da mesma. Além do título pode ser colocada uma legenda a qual terá informações

adicionais que ajudem a entender o conteúdo da tabela.

Cabeçalhos: O conteúdo de cada coluna (ou linha) deve ser identificado por meio do

símbolo que representa as quantidades dessa coluna. As quantidades devem ser escritas

incluindo somente os algarismos significativos, zeros à esquerda devem ser evitados por

meio de mudanças de unidades ou fatores multiplicativos convenientes.

Unidades: As unidades e eventuais fatores multiplicativos devem ser explicitamente

indicados. Para expressar as unidades devem usar-se as convenções internacionais conforme

relatado no capítulo 1.

Incertezas: A incerteza deve ser sempre explicitamente indicada, na mesma coluna que as

quantidades, ou em coluna separada. As incertezas devem ser dadas com as mesmas

unidades e fatores multiplicativos das quantidades. Quando a incerteza é a mesma para

todos os dados de uma coluna, pode-se indicá-la no cabeçalho da tabela.

4.2.1. Construção e Interpretação de Gráficos

O gráfico dos dados apresentados na Tabela 1 (Figura 1) permite visualizar

imediatamente o comportamento da velocidade em relação ao tempo. Uma imagem vale mil

palavras, e um gráfico é uma maneira muito eficiente de resumir e apresentar os seus dados.

É importante que o gráfico se conforme a certas convenções ou regras que todo mundo

conhece. Assim outras pessoas podem interpretar os seus resultados imediatamente. Em

seguida vamos apresentar as regras para produzir gráficos em um formato profissional.

Figura 1. Velocidade de um automóvel acelerando em função do tempo dado em segundos.

Regras práticas para construção de gráficos

Conforme o exemplo da Figura 1, um gráfico contém os seguintes elementos:

1. Eixos com nome da variável representada, escala e unidade.

2. Os dados e, se apropriado, as barras de erro.

3. Legenda e título.

Os eixos

Cada um dos eixos deve conter o nome (ou símbolo) da variável representada, a

escala de leitura e a unidade correspondente. Escolha uma escala conveniente para a qual o

gráfico represente bem o intervalo medido para cada variável. A regra prática para esta

definição é dividir a faixa de variação de cada variável pelo número de divisões principais

disponíveis. Toma-se então um arredondamento a valor superior e de fácil leitura. Estes

valores de fácil leitura são: 1, 2 ou 5 unidades ou qualquer múltiplo ou submúltiplo de 10

delas. Por exemplo, no papel milimetrado, se a faixa de variação dos dados for de 35

unidades e o número de cm disponíveis for de 10 cm, chegamos ao valor ideal de 5

unidades para cada divisão do gráfico

No caso da Figura 1, a variável tempo varia 35s e temos mais ou menos 10 divisões

principais, o que daria 3,5 s por divisão, o que não é conveniente. Portanto escolhemos 5s

por divisão. Da mesma maneira foi escolhido 20km/h por divisão no eixo y. As escalas dos

eixos não precisam começar na origem (zero, zero). Elas devem abranger a faixa de

variação que você quer representar. É conveniente que os limites da escala correspondam

a um número inteiro de divisões principais. Indique os valores correspondentes as divisões

principais abaixo do eixo-x e a esquerda do eixo-y usando números grandes.

As unidades devem ser escolhidas de maneira a minimizar o número de dígitos nos

valores que indicam o valor da divisão principal. Uma regra prática é tentar usar no máximo

três dígitos nestes valores, fazendo uso de potências de 10 na expressão das unidades para

completar a informação. Ao traçar os eixos no papel milimetrado, não use a escala marcada

no papel pelo fabricante. É você que define a sua escala, baseando-se nos seus dados.

Também não use os eixos nas margens do papel. Desenhe os seus próprios, porque você

precisará de espaço para a identificação das variáveis e para a legenda. Por fim, abaixo ou à

esquerda dos números da escala, conforme o caso, escreva o nome (ou símbolo) da variável

correspondente e a unidade para leitura entre parênteses (km, 105 N/cm2, etc.).

Os dados

Assinale no gráfico a posição dos pontos experimentais: use marcas bem visíveis

(em geral círculos pequenos). Nunca indique as coordenadas dos pontos graficados no eixo.

Coloque barras de erros nos pontos se for o caso. Se os erros são menores que o tamanho

dos pontos, indique isso na legenda. As vezes ajuda a visualização traçar a melhor curva

média dos pontos, ignorando alguns pontos que fogem demasiadamente do comportamento

médio. Em outras palavras, pode-se dizer que a curva média deve ser traçada de maneira a

minimizar os deslocamentos da curva em relação aos pontos experimentais ao longo do

traçado. Use o seu juízo. Não é correto simplesmente ligar os pontos experimentais.

A legenda e o título

Todo gráfico deve ter um título, pelo qual é referido no texto (Figura 1, no nosso

exemplo). Geralmente, o título do gráfico é colocado na legenda, abaixo do gráfico. A

legenda deve conter também uma descrição sucinta do que é apresentado no gráfico. Note

que uma legenda tipo “velocidade vs. tempo" é redundante pois esta informação já está

contida nos rótulos dos eixos.

Na Figura 2, ilustramos os erros mais comuns, que devem ser evitados na

construção de um gráfico.

Figura 2. Ilustração dos erros mais comuns que devem ser evitados na construção de

gráficos.

Tópico 5. Aula Prática:

Paquímetro e Micrômetro: Propagação de Incertezas -

Determinação Experimental do Volume de um Objeto

1. INTRODUÇÃO

Será calculado o volume de objetos como esferas, cilindros e cubos

metálicos e as respectivas incertezas do valor resultante. Para tal fim, serão

usados dois instrumentos para medir dimensões lineares: o paquímetro e o

micrômetro.

2. OBJETIVOS DA EXPERIÊNCIA

A finalidade desta experiência é familiarizar o aluno com algumas

técnicas de medidas, cuidados experimentais no laboratório, algarismos

significativos, desvios avaliados e propagação de erros, utilizando

instrumentos de medida muito simples como o paquímetro e o micrômetro.

3. TEORIA

A seguir, descreveremos o funcionamento dos instrumentos de

medição usados neste experimento.

3.1. PAQUÍMETRO

O paquímetro é um instrumento de medida de comprimento muito

utilizado em laboratórios e em oficinas mecânicas onde também é

conhecido como calibre. Entre seus principais usos podemos citar medidas

de diâmetros de vergalhões, diâmetros internos, profundidades, etc.

O paquímetro (Fig. 1) consta usualmente de uma haste metálica com

duas esperas fixas (1 e 7), um cursor móvel com esperas (2 e 10), nônio ou

vernier (11) e uma haste (14).

Figura 1. Elementos do paquímetro. 1, 2, 7 e 10: esperas, 3: nônio ou

vernier superior (polegada), 4: trava, 5: corpo móvel, 6: escala superior

(graduada em polegadas), 8 e 9: esperas internas, 11: nônio ou vernier

inferior (cm), 12: posicionador do corpo móvel, 13: escala inferior

(graduada em centímetros), 14: haste de profundidade.

O corpo do paquímetro contém duas escalas principais graduadas

uma em polegadas e outra em milímetros. O cursor possui duas escalas

secundárias em correspondência às escalas principais. A escala secundária

do cursor é parte muito importante do instrumento, pois permite que se

façam leituras de frações da unidade da escala principal, aumentando deste

modo a precisão da medida. As escalas auxiliares são conhecidas por nônio

ou vernier.

O funcionamento do nônio baseia-se no fato de que o seu

comprimento corresponde a um número inteiro de N divisões da escala

principal. Seja n o número de divisões e u o comprimento de cada divisão

do nônio. Então se U é o comprimento de cada divisão da escala principal,

resulta:

(

)

Figura 2. Escalas do paquímetro.

Na figura 2, 10 divisões do nônio correspondem a 9 mm da escala

principal. Assim, cada divisão do nônio corresponde a 9/10 da divisão da

escala principal. Desta forma, ao fazermos medidas, o primeiro traço à

esquerda do nônio serve de referência para se contar os milímetros e o

próximo traço no nônio que coincidir com qualquer traço da escala

principal determinará a fração de milímetro.

Figura 3. Leitura de uma medição através do paquímetro.

Na figura 3 pode-se ver a correta leitura de uma medição com o uso

do paquímetro. Define-se como aproximação do nônio a diferença entre o

comprimento de uma divisão da escala principal e o comprimento de uma

divisão do nônio:

(

)

Quando a escala auxiliar não é dividida em 10 partes costuma-se

denominá-la vernier. No vernier n divisões da escala auxiliar correspondem

a n – 1 divisões da escala principal. Cada divisão do vernier corresponde a

da escala principal. Portanto a divisão do vernier é 1/n menor que a da

escala principal. A quantidade 1/n é a menor leitura do vernier.

Aparelhos como o teodolito, aparelhos ópticos como os

espectroscópios, apresentam escalas circulares, mas o princípio de seus

nônios é o mesmo.

APLICAÇÕES

• Medidas de comprimento em geral são feitas com o objeto entre as

esperas 7 e 10 (Fig. 1).

• As esperas 1 e 2 servem para medidas internas.

• Medidas de profundidade se fazem entre o extremo do cursor 14 e a base

da haste.

• Conversor de polegadas em milímetros e vice-versa.

CUIDADOS GERAIS

• Não deixe o paquímetro cair e principalmente não force nem raspe as

extremidades de medida 7 e 10, 1 e 2, e 14.

• O objeto a ser medido deve ser tocado levemente pelas esperas, sob pena

de prejudicar a medida, e possivelmente danificar o aparelho.

3.2. MICRÔMETRO

O micrômetro (Fig. 4) ou Palmer é um instrumento para medir

dimensões de objetos pequenos e tem aplicação na medida de diâmetros de

fios, espessura de chapas, etc.

O micrômetro consta essencialmente de um parafuso micrométrico.

Num dos extremos do parafuso temos a espera móvel e esta, obviamente,

não deverá pressionar fortemente o objeto medido. Portanto, no outro

extremo existe uma catraca que é um dispositivo protetor e que também

permite reprodutibilidade nas pressões aplicadas.

Sobre o tambor temos a manga que possui uma escala circular

normalmente gravada com traços correspondentes a 0,01 mm. Cada volta

completa da manga corresponde ao avanço ou recuo de um passo do

parafuso micrométrico. Observe que no micrômetro fornecido o passo é de

0,5 mm. Se o passo da rosca é de 0,5 mm e o tambor tem 50 divisões, a

resolução será

Assim, girando o tambor, cada divisão provocará um deslocamento de 0,01

mm no fuso (Fig. 5).

Em forma de arco temos uma peça com um dos extremos rosqueado

ao tambor e com o outro extremo constituindo a espera fixa.

Figura 5. Elementos do micrômetro.

Figura 6. Passo do micrômetro.

CUIDADOS GERAIS

• Não permita que o micrômetro caia sobre a mesa e muito menos no chão.

• Gire o parafuso micrométrico usando sempre a catraca para proteger tanto

o instrumento quanto o objeto medido.

• Segure sempre o micrômetro pela peça que tem formato de arco.

• Nunca guarde o micrômetro com as esperas em contato.

LEITURAS

O objeto a ser medido deve ser encostado inicialmente na espera fixa

e em seguida, girando a catraca, aproximando a espera móvel.

Ao fazermos a leitura usamos como referência para a escala

horizontal a borda da manga, e como referência para a escala circular

usamos o risco horizontal que existe no tambor.

4. PARTE EXPERIMENTAL

MATERIAIS UTILIZADOS

1. Esferas, cilindros e cubo metálicos;

2. Paquímetro e Micrômetro.

PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

1. Realizar 10 medições, usando o paquímetro e micrômetro, para o

diâmetro da esfera, a altura e o diâmetro do cilindro, e a aresta do cubo;

2. Calcular o valor mais provável e o erro padrão da média, para cada uma

das medidas (para ambos os instrumentos);

3. Calcular o volume e o erro do volume para cada uma das peças, para

ambos os instrumentos.

CONCLUSÕES

Através das seguintes questões, monte suas conclusões:

1. De quanto é a diferença entre os volumes obtidos através do paquímetro

e micrômetro?

2. Como você explicaria esta diferença encontrada?

3. Qual dos instrumentos você utilizaria para outras medidas?


Tempo de Reação Humana (Queda Livre)

1. INTRODUÇÃO

Será calculado o tempo de reação humana através da teoria de queda

livre de um objeto. Para tal fim, será usado o instrumento para medir

dimensões lineares: a régua milimetrada.


- Efetuar medidas estatísticas do tempo de reação humana;

- Efetuar medidas indiretas de tempo;

- Aprender a utilizar estatística com medidas repetidas;

- Expressar corretamente estas medidas, erros e unidades.

3. TEORIA

O que é o “tempo de reação humana”? Vamos defini-lo como o

tempo necessário para que uma pessoa reaja a um determinado estímulo

externo (visual, sonoro, etc.). O tempo de reação é muito importante para o

sucesso em atividades que exigem respostas rápidas, principalmente

atividades esportivas (goleiro de futebol, corredor, piloto de corrida, etc.).

Um exemplo: quando o corredor Donovan Bailey bateu o recorde dos

100m na Olimpíada de 1996, atrasou 0,17s (tempo de reação) na largada, e

bateu o recorde por uma diferença de apenas 0,01s em relação ao recorde

anterior. No caso das corridas automobilísticas, uma diferença de alguns

centésimos de segundo no tempo de reação ao sinal de largada pode

significar uma diferença de duas ou três posições na prova.

O tempo médio de reação de uma pessoa jovem em bom estado de

saúde varia entre 0,15 e 0,45s. Este é praticamente o tempo que o cérebro

necessita para processar as informações que está recebendo e definir uma

ação.

A seguir será proposta uma experiência para medir o tempo de

reação humana. Embora seja um experimento bastante simples, que não

fornece um resultado muito preciso, ele permite uma avaliação aproximada

do tempo de reação.

A idéia é medir o tempo que uma pessoa leva para perceber que um

objeto está caindo e reagir a isso fechando a mão para interromper a queda

do objeto. O tempo de reação será determinado a partir do quanto o objeto

andou, desde o momento em que foi largado pelo experimentador até o

instante em que a pessoa fechou os dedos e o segurou.

Um experimentador deve segurar o objeto pela extremidade superior,

deixando sua extremidade inferior exatamente entre os dedos (abertos) da

pessoa que terá o tempo de reação medido. Em um determinado instante,

sem avisar, o experimentador solta o objeto e a pessoa deve fechar os dedos

para segurá-la.

Recomenda-se o uso de uma régua de 30 cm ou maior, pois assim

pode-se medir quanto o objeto andou diretamente pela escala da régua.

A conversão desta distância em tempo, para saber o tempo de reação,

pode ser feita partindo-se da equação horária da posição de um movimento

uniformemente variado. (a queda de um objeto é um “movimento

uniformemente variado”, certo? Por quê?)

Equação do movimento uniformemente variado:

No caso da queda livre de um objeto, y é a posição do corpo no

tempo t e y0 é a posição inicial do corpo. A distância que o objeto percorreu

na queda é exatamente y – y0, que chamaremos de Δy.

Em nosso caso, a velocidade inicial do corpo (v0) é zero porque o

experimentador apenas soltou o objeto. O que faz o objeto cair é a ação da

gravidade; assim, a aceleração a que o objeto tem durante a queda é igual a

aceleração da gravidade (~ 9,807 m/s2).

Colocando estas informações na equação 1, chega-se a expressão que

permite calcular o tempo de reação:

√

Exercício: obtenha a equação acima.


MATERIAIS UTILIZADOS

1. Régua milimetrada.

PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

1) Caracterize a régua milimetrada utilizada, anotando na folha de dados: a)

marca e modelo; b) unidade de medida; c) precisão de medida.

2) Escolher um dos componentes do grupo para ter o tempo de reação

medido.

3) O escolhido deverá fazer um traço reto e fino, com caneta, no dedo

indicador, da ponta para dentro, conforme a figura 1a. Ele usará este dedo e

seu polegar como uma pinça (veja figura 1b):

(a) (b)

Figura 1. (a) Detalhe do traço de caneta feito no dedo indicador. (b)

Posição dos dedos para realizar o experimento, estes não devem tocar a

régua.

4) Posicionar o traço de caneta na posição “zero” da régua, enquanto um

segundo membro do grupo (experimentador) a segura pelo outro extremo.

Estando tudo pronto, em um determinado instante, sem avisar, o

experimentador solta o objeto e a pessoa deve fechar os dedos para segurá-

la.

5) Repita o experimento 10 vezes com cada pessoa, para chegar a uma

conclusão mais confiável, pois os valores obtidos através deste

experimento apresentam uma imprecisão natural (dispersão). Tente mudar

de experimentador (quem solta a régua) e verifique se isto também

influencia o resultado.

6) Esta forma de medir o tempo de reação mede na verdade o tempo de

reação ao estimulo visual, pois a pessoa detecta visualmente que o objeto

foi largado. Você também pode medir o tempo de reação ao estimulo

sonoro com o mesmo experimento, bastando para isso falar “JÁ” no

instante em que se solta o objeto. Neste caso, há diferença se a pessoa

estiver de olhos abertos ou fechados? E se estiver olhando para outro lado?

Por quê? Repita o experimento várias vezes.

CÁLCULOS

1) Monte a seguinte tabela durante o experimento:

Nome do experimentador:

Nome do coletor da régua:

Número da

Medição, i (m)

(m)

(m2)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

∑

2) Calcule o desvio padrão de :

√∑

3) Escreva o resultado na forma ( ) , adequando se necessário

na forma de notação científica. Onde √

com

(resolução da régua milimetrada).

4) Calcule o tempo de reação humana com o respectivo desvio padrão

propagado.

5) Responda as questões destacadas em vermelho ao longo do roteiro

experimental no tópico de “conclusão” do relatório.

REFERÊNCIAS

1. Notas de aula, Tempo de Reação Humana:

http://profgabrielhickel.webs.com/labfisica3.pdf, acessado em 11/09/2011.

http://profgabrielhickel.webs.com/labfisica3.pdf


Trilho de ar: MRU e MRUV

A ser escrito...


Pêndulo Simples

1. INTRODUÇÃO

Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um

pivô que permite sua movimentação livremente. A massa fica sujeita à

força restauradora causada pela gravidade. Existem inúmeros pêndulos

estudados por físicos, já que estes o descrevem como um objeto de fácil

previsão de movimentos e que possibilitou inúmeros avanços tecnológicos,

alguns deles são os pêndulos físicos, de torção, cônicos, de Foucalt, duplos,

espirais, de Karter e invertidos. Mas o modelo mais simples, e que tem

maior utilização é o Pêndulo Simples.


O objetivo deste experimento é obter a aceleração da gravidade

fazendo-se uso de um pêndulo simples. Será visto que, basta realizar

apenas as medidas do tempo de oscilação deste pêndulo para o cálculo da

aceleração da gravidade. A seguir é apresentada a teoria correlata ao

experimento do pêndulo simples.

3. TEORIA

Qualquer movimento que se repete em intervalos de tempo iguais

constitui um movimento periódico. Como veremos, o movimento periódico

de uma partícula pode sempre ser expresso em função de senos e cossenos,

motivo pelo qual ele é também denominado movimento harmônico. Se a

partícula em movimento periódico se move para diante e para trás na

mesma trajetória, seu movimento é chamado oscilatório ou vibratório. A

forma mais simples de oscilação, o movimento harmônico simples (MHS),

é o movimento que ocorre quando numa trajetória retilínea, uma partícula

oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio sob a ação de

uma força restauradora, sempre orientada para a posição de equilíbrio e de

intensidade proporcional à distância da partícula à posição de equilíbrio.

Exemplos comuns deste tipo de movimento são o de um corpo preso a uma

mola ou o de um pêndulo simples (quando os deslocamentos em relação ao

ponto de equilíbrio são pequenos), como mostram as Figuras 1 e 2.

Figura 1 - A esfera suspensa à mola efetua um MHS (desprezando-se a

ação do ar). São mostradas as 3 fases do movimento: em (a), (c) e (e) as

máximas elongações, e em (b) e (d) o ponto de equilíbrio.

Um exemplo de MHS é a oscilação de um corpo preso a uma mola

quando o atrito no sistema é desprezível (Figura 1). Num MHS, a abscissa

x que determina a posição do corpo oscilante, medida a partir do ponto de

equilíbrio, denomina-se elongação. O valor máximo da elongação recebe o

nome de amplitude (A).

O MHS é um movimento periódico. Sendo f a frequência e T o

período, temos:

onde a grandeza denomina-se pulsação. A aceleração no MHS é dada

por:

Logo, substituindo a eq. (1) em (2) tem-se:

(

)

3.2. PÊNDULO SIMPLES

O pêndulo simples é um corpo ideal que consiste de uma massa (m)

puntiforme suspensa por um fio leve e inextensível de comprimento L.

Quando afastado de sua posição de equilíbrio ( = 0o, na Figura 2) e

largado, o pêndulo oscilará em um plano vertical sob a ação da gravidade.

O movimento é periódico e oscilatório. O tempo necessário para uma

oscilação completa é chamado período (T).

Figura 2 – Análise das forças que atuam num pêndulo simples. Quando o

ângulo que o fio do pêndulo faz com a vertical não é muito grande, o

movimento do pêndulo é harmônico simples.

Como mostra a Figura 2, as forças que atuam no pêndulo são seu

peso ( ) e a tração no fio ( ). Considerando um sistema de

referência onde um dos eixos seja tangente a trajetória circular percorrida

pela massa m, e o outro tenha a direção do fio, ou seja, do raio do círculo,

veremos que a resultante das forças radiais origina a força centrípeta

necessária para manter m na trajetória circular. A componente tangencial

do peso, igual a m.g.sen constitui a força restauradora que atua em m e

que faz o corpo tender a voltar à posição de equilíbrio. Logo a força

restauradora será:

Note que esta força não é proporcional ao deslocamento angular , e sim a

sen; o movimento resultante, portanto, não será harmônico simples. No

entanto, se o ângulo for muito pequeno (até 15o) sen será

aproximadamente igual a (medido em radianos), por exemplo:

= 0o = 0,0000 radiano, logo sen = 0,0000





O deslocamento ao longo do arco é x = L., e para pequenos ângulos,

o movimento será praticamente retilíneo. Portanto, supondo

sen = x/L, podemos escrever da equação (4) que:

ou

ou seja, a aceleração é proporcional ao deslocamento. Comparando a

equação (6) com a equação (3) podemos escrever:

(

)

√

Logo, observa-se que o período do pêndulo simples independe de sua

massa e a aceleração da gravidade pode ser obtida da seguinte relação:


4.1. MATERIAIS UTILIZADOS

Para a realização deste experimento, serão utilizados os seguintes

materiais:

1. Uma esfera de plástico ou metálica;

2. Uma haste com um barbante de comprimento a ser determinado, ligando

a haste até a esfera;

3. Um transferidor, para realizar a medida do ângulo durante o tempo de

oscilação do pêndulo;

4. Uma trena para medida do comprimento do barbante;

5. Um cronômetro, para medidas do tempo de oscilação do pêndulo.

4.2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

Medições

1. Ajuste o comprimento L1 do pêndulo para 40 cm (Lembre-se de que o

comprimento do pêndulo deve ser medido desde o início do fio até o centro

da bolinha. Posicione o pêndulo para um ângulo (valor menor que 15º) e

solte-o. Meça o tempo, t, que o pêndulo leva para oscilar 10 vezes e anote-o

na Tabela 1. Faça isso três vezes.

2. Repita o procedimento para L2 = 60 cm e L3 = 80 cm. Faça três vezes

cada medida e anote na Tabela 1.

Tabela 1 - Medidas do período T com variação do comprimento L.

Comprimento

do pêndulo

L (m)

Número

da

medida

Número

de

oscilações

Tempo

t (s)

(s)

(s) (s)

2 (s

2)

80 1

40 2 10

3

1

60 2 10

3

1

80 2 10

3

Cálculos e gráficos

Parte 1:

1. Calcule a média, , e para cada comprimento do pêndulo.

2. Termine de completar a Tabela 1 calculando os valores de = /10, do

desvio padrão da média do período, , e de 2.

3. Utilizando a equação (8), calcule a aceleração da gravidade local média,

, em metros por segundo ao quadrado (m/s2) para cada comprimento do

pêndulo. Determine o desvio padrão propagado do g experimental.

Expresse o resultado final como g = ( ) m/s2. O comprimento do

pêndulo influencia no valor da aceleração da gravidade?

4. Compare a medida da aceleração gravitacional obtida experimentalmente

em sala de aula (aceleração determinada pela equação do período

utilizando os dados experimentais) com o valor existente na literatura

científica e determine o “desvio percentual”.

5. Discuta os desvios encontrados entre os valores de g (valor obtido em

sala de aula com o da literatura).

Parte 2:

1. Construa um gráfico de T2 em função de L e determine o valor de g,

através do coeficiente angular do mesmo.

Observação: Como foi visto anteriormente, da equação (8) tem-se:

que se pode identificar com uma equação da reta (y = a.x + b), onde

y = T2 (ordenadas - eixo vertical)

b = 0 (coeficiente linear da reta)

a = 42/g (coeficiente angular da reta)

x = L (elongação - abscissas, eixo horizontal)

Assim, obtendo o coeficiente angular da reta, graficamente, como

e sabendo-se que

então, encontrado o valor de a pode-se encontrar g.

Questões

1. O que aconteceria com o período de um pêndulo simples se o mesmo

fosse levado à Lua e lá colocado a oscilar?

2. Por que ao cronometrar-se o período tomou-se o tempo de 10 oscilações?

Responda as questões destacadas em vermelho ao

longo do roteiro experimental no tópico “conclusão”

do relatório.


Sistema Massa-Mola (Papel Milimetrado)

1. INTRODUÇÃO

No experimento anterior foi verificado teoricamente e

experimentalmente que o período de oscilação de um pêndulo simples é

determinado pelo seu comprimento. Aqui será verificado que em um

sistema massa-mola, o período de oscilação depende da massa do corpo

suspenso.


Os objetivos deste experimento são:

i) verificar se um corpo elástico (mola) obedece à Lei de Hooke;

ii) calcular a constante elástica da mola, k, através de um

experimento simples com um sistema massa-mola e com o

auxílio de um papel milimetrado (ou gráfico linear construído

usando o programa Excel).

3. TEORIA

O oscilador massa-mola é constituído por um corpo de massa m

ligado a uma mola de constante elástica k, presa a uma parede

(verticalmente ou horizontalmente). Cada mola tem a sua constante

elástica, que depende do material de que é feita e da sua geometria. O

corpo executa o MHS sobre uma superfície horizontal sem atrito. Veja a

Figura 1. Quando a mola é comprimida (ou esticada) e liberada, o corpo

passa a executar um movimento unidimensional de vai-e-vem. O

movimento é regido pela Lei de Hooke, que relaciona a força restauradora

com o deslocamento da massa:

onde F é a força elástica em Newtons, x é o deslocamento em metros e k é

a constante elástica da mola.

Figura 1 - A esfera suspensa à mola efetua um MHS (desprezando-se a

ação do ar). São mostradas as 3 fases do movimento: em (a), (c) e (e) as

máximas elongações, e em (b) e (d) o ponto de equilíbrio.

Na aula anterior vimos que a aceleração no MHS é dada por:

(

)

Pelo princípio fundamental da dinâmica, a força elástica deve

ser igual a:

Assim:

(

)

Eliminando x em ambos os lados e isolando T,

√

Portanto, em um sistema massa-mola, o período depende da massa

presa à mola e da constante elástica da mola k.



Para a realização deste experimento, serão utilizados os seguintes

materiais:

1. Mola de metal com constante elástica desconhecida;

2. Haste para fixação da mola;

3. Suporte para massas;

4. Pesos graduados, em gramas;

5. Cronômetro;

6. Régua milimetrada.


Neste experimento trabalharemos com um sistema massa-mola na

vertical, conforme ilustrado na Figura 2. Esta figura mostra três momentos

durante o movimento oscilatório. Em todos esses momentos há sempre 2

forças atuando sobre a massa: a força peso (P = m.g) e a força restauradora

F. Vamos analisar brevemente o que acontece na fase (b): se o sistema não

estivesse oscilando, seria essa a sua posição de repouso. Em oscilação, esse

é o ponto médio em torno do qual o movimento acontece. Nesta posição, há

um equilíbrio entre F e P, que significa que a força resultante tem que ser

zero: FR = P + F = 0. Em (a) teremos F > P, ou seja, a força elástica ganha

da força peso: a força resultante FR aponta para cima. Em (c) a situação é

oposta: P > F, a força peso ganha da força elástica, e a resultante aponta

para baixo.

Figura 2. Esquema do experimento massa-mola. A Figura mostra 3 fases do

movimento: em (a) e (c) são mostradas as máximas elongações, e em (b) o

ponto de equilíbrio.

Parte 1 (Sistema Estático):

1. Pendure uma mola flexível (que se alongue facilmente) num suporte

vertical. Pendure nessa mola o suporte para massas (esta montagem é

também conhecida como balança de Joly). Meça e anote o comprimento da

mola L0 (cm).

2. Escolha cinco cargas de pesos diferentes conforme sugerido na Tabela 1.

Coloque as cargas uma seguida da outra. Para cada carga colocada, meça o

comprimento da mola L e o correspondente alongamento x em cm. Com

esses valores preencha a Tabela 1.

3. Coloque esses valores num plano coordenado e construa o gráfico de F

em função de x. Verifique se a mola obedece à Lei de Hooke (se a função F

= k.x é de fato linear). Se sim, determine a constante elástica da mola.

Tabela 1. Valores da massa (g) e respectivo alongamento da mola: x = L –

L0 (cm).

Massa (g) Alongamento da mola:

x = L – L0 (cm)

Peso da massa total

colocada: F (dyna)

10

20

30

40

50

1 dyna = 1 g.cm/s2

Parte 2 (Sistema em Movimento):

1. Coloque inicialmente uma ficha de 10 gramas no suporte para massas

preso à mola. Anote a massa na primeira coluna da Tabela 2. Coloque a

mola para oscilar e meça com um cronômetro o tempo para que se

completem 10 oscilações. Faça o mesmo procedimento mais duas vezes,

anotando os valores obtidos na coluna 4. Em resumo: você deverá medir o

tempo de oscilação do sistema massa-mola em 3 séries de 10 oscilações.

Tabela 2. Dados para a 2ª parte do experimento.

Massa

(g)

Número

da

medida

Número

de

oscilações

Tempo

t (s)

(s) (s)

(s) (s)

2 (s

2)

80 1

10 2 10

3

1

20 2 10

3

1

30 2 10

3

40 1

10

2

3

50

1

10

2

3

2. Adicione mais uma ficha de 10g ao suporte e repita o passo acima. Vá

aumentando a massa de 10 em 10 gramas e repetindo o experimento, até

chegar em 50g. Cuidado para não colocar carga em excesso, isso pode

Danificar a mola e invalidar o experimento.

3. Para cada valor de massa, calcule o tempo e o período médio em

segundos. Anote esses valores nas colunas 5 e 6 da Tabela 2.

4. Para cada valor de massa da tabela, calcule o desvio padrão dos períodos

medidos, , e escreva-os na coluna 7.

5. Calcule os quadrados dos períodos (T2, coluna 7 da Tabela 2) e faça a

propagação de erros para obter .

6. Faça um gráfico em papel milimetrado (ou Excel) colocando m no eixo x

e T2

no eixo y. Marque os pontos obtidos no experimento. Considere os

valores de no gráfico (barra de erros).

7. Determine a constante elástica da mola através do coeficiente angular da

reta obtida e do uso da equação (5) - vide procedimento experimental

utilizado no experimento anterior (Pêndulo simples).

Questões:

a. Com base no experimento, o que podemos dizer sobre a relação entre a

massa e o período do sistema massa-mola?

b. Compare os valores da constante elástica obtidos para cada experimento.


Empuxo

1. INTRODUÇÃO

Conta-se que na Grécia Antiga o Rei Herão II, de Siracusa,

apresentou um problema a Arquimedes (287a.C. - 212a.C.), um sábio da

época. O rei havia recebido a coroa de ouro, cuja confecção confiara a um

ourives, mas estava desconfiado da honestidade do artesão. O ourives teria

substituído parte do ouro que lhe foi entregue por prata.

Arquimedes foi encarregado de descobrir uma prova irrefutável do

roubo. A lenda conta que o sábio teria descoberto o método de medir a

densidade dos sólidos por imersão em água quando se banhava. Ele notou

que o nível da água aumentou quando ele entrou na tina. Logo associou a

quantidade de água deslocada com o volume da parte imersa do seu corpo.

Assim, comparando o efeito provocado pelo volume da coroa com o

do volume de igual peso de ouro puro, ele poderia determinar a pureza da

coroa. Nesse instante, pelo que consta historicamente, Arquimedes teria

saído subitamente do banho e, ainda nu, teria corrido pelas ruas da cidade

gritando "Eureka! Eureka! eu descobri!".

Arquimedes descobriu, enquanto tomava banho, que um corpo

imerso na água se torna mais leve devido a uma força, exercida pelo

líquido sobre o corpo, vertical e para cima, que alivia o peso do corpo. Essa

força, do líquido sobre o corpo, é denominada empuxo ( ).

A teoria para obtenção da força de empuxo está diretamente

relacionada ao Princípio de Arquimedes que diz:

“Todo corpo imerso, total ou parcialmente, num fluido em equilíbrio,

dentro de um campo gravitacional, fica sob a ação de uma força

vertical, com sentido ascendente, aplicada pelo fluido. Esta força é

denominada empuxo, cuja intensidade é igual ao peso do líquido

deslocado pelo corpo.”


O objetivo deste experimento é calcular o volume de um sólido

utilizando o princípio de Arquimedes e também através do cálculo

geométrico.

3. TEORIA

3.1 Demonstração do Princípio de Arquimedes

O Princípio de Arquimedes permite calcular a força que um fluido

(líquido ou gás) exerce sobre um sólido nele mergulhado.

Para entender o Princípio de Arquimedes, imagine a seguinte

situação: um copo totalmente cheio d’água (figura 1a) e uma esfera de

chumbo. Se colocarmos a esfera na superfície da água, ela vai afundar e

provocar o extravasamento de uma certa quantidade de água, conforme

ilustra a figura 1b. A força que a água exerce sobre a esfera terá direção

vertical, sentido para cima e módulo igual ao do peso da água que foi

deslocada (figura 1b).

Figura 1. Representação das forças que atuam sobre um corpo submerso no

interior de um líquido.

3.2 Formulação matemática do empuxo

Portanto, num corpo que se encontra imerso em um líquido, agem

duas forças: a força peso (P), devida à interação com o campo gravitacional

terrestre, e a força de empuxo (E), devida à sua interação com o líquido.

Matematicamente, o empuxo pode ser escrito em termos das

densidades e do volume do fluído deslocado:

onde é a massa do fluído deslocado, Vf é seu volume, df é a densidade

do fluído (df = massa/volume) e g é a aceleração da gravidade. Pela análise

realizada é possível perceber que o empuxo será tanto maior quanto maior

for o volume de líquido deslocado e quanto maior for a densidade deste

líquido.

Para corpos totalmente imersos, o volume de fluido deslocado é igual

ao próprio volume do corpo. Neste caso, a intensidade do peso do corpo e

do empuxo são dadas por:

No caso do volume Vf estar preenchido por outro corpo com

densidade , diferente daquela do liquido ( ), o empuxo não será

alterado. Isto porque o empuxo será sempre o peso do fluido de densidade

deslocado pelo corpo de densidade que foi introduzido no seu

interior.

Conclui-se que:

se , E < P: nesse caso, o corpo afundará no líquido;

se , E > P: nesse caso, o corpo permanecerá boiando na

superfície do líquido;

se , E = P: neste caso, o corpo ficará em equilíbrio quando

estiver totalmente mergulhado no líquido.

Dessa forma, é possível determinar quando um sólido flutuará ou

afundará em um líquido, simplesmente conhecendo o valor de sua massa

específica.

3.3 Peso aparente

Conhecendo o princípio de Arquimedes podemos estabelecer o

conceito de peso aparente (Pa), que é o responsável, por exemplo quando

em uma piscina, uma pessoa se sente mais leve quando imersa na água.

Peso aparente é o peso efetivo, ou seja, aquele que realmente

sentimos. No caso de um fluido:

onde P é o peso do corpo, ml é massa do líquido deslocada (água), mc é a

massa do corpo e ma é a massa aparente do corpo.



Para a realização deste experimento, iremos utilizar os seguintes

materiais:

1. Uma balança de pratos;

2. Pesos graduados, em gramas;

3. Um corpo de prova;

4. Um béquer com água;

5. Paquímetro.


1. Meça a massa do corpo de prova com o uso da balança, mc (anote a

incerteza da balança utilizada);

2. Meça a massa aparente do corpo, ma, utilizando o seguinte esquema

abaixo (incerteza da balança de pratos):

Figura 2. Esquema do experimento do empuxo.

3. Escreva o valor experimental de mc e ma;

4. Calcule o volume (com o respectivo erro propagado) do corpo de prova

através da equação:

adote = (0,99±0,01) g/cm3.

5. Calcule agora o volume (com o respectivo erro propagado) do corpo

através da seguinte equação:

6. Responda a seguinte pergunta: Houve diferença no volume obtido por

ambos os métodos? Se houve como explicaria isso?

REFERÊNCIAS

1. Robert Resnick, David Halliday & Jearl Walker: Física 2, 8ªedição.

Editora LTC.

2. Alberto Gaspar, Física: Volume Único, 1ª Edição, Editora Ática.

Tópico 11. Aula Teórica:

O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de

Funções

1. INTRODUÇÃO

Ao se obter uma sucessão de pontos experimentais que representados

em um gráfico apresentam comportamento linear, diferentes

experimentadores poderão traçar diferentes retas, encontrando diferentes

valores para os coeficientes linear e/ou angular. Um método para

determinar a reta correta é dado pelo método dos mínimos quadrados. Este

método consiste em determinar o coeficiente angular a e o coeficiente

linear b da equação da reta: y = a.x + b.

Em geral, a relação entre duas grandezas físicas não é linear, e é

fundamental descobrir de que tipo é e quais são os parâmetros que a

caracterizam. Sabe-se que numa relação linear é muito simples o processo

de se determinar os parâmetros envolvidos (neste caso o coeficiente linear e

angular), portanto, quando se observa que o gráfico obtido não é uma reta,

pode-se linearizá-lo através de uma mudança de variáveis, transformando

em retas mesmo curvas aparentemente complexas. Este processo de

transformar um gráfico curvo em uma reta denomina-se linearização. Para

isso, um certo grau de familiaridade com as representações gráficas das

principais funções matemáticas é recomendável, pois deve-se ter uma

noção sobre que tipo de função matemática poderia gerar uma curva igual a

indicada pela seqüência de pontos experimentais no gráfico. Nesta aula

vamos analisar os dois casos mais freqüentes: a relação tipo potência e do

tipo exponencial.

2. OBJETIVOS

Determinar os coeficientes angular e linear da equação da reta,

y = a.x + b, através do método dos mínimos quadrados;

Aplicar métodos de linearização de funções não lineares: tipo

potência: y = a.xn e exponencial: y = a.e

b.x.

3. TEORIA

3.1. O Método dos Mínimos Quadrados (ou Regressão Linear)

O ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados é

importante, pois ao contrário do método gráfico, é independente da

avaliação do experimentador. Este método consiste em minimizar o erro

quadrático médio (S) das medidas. Considere então um conjunto de N

medidas (xi, yi), com i assumindo valores inteiros desde 1 até N. S é

definido como:

∑ ∑

onde y é o valor da curva ajustada (y = a.x+b). O objetivo é somar os

das N medidas e traçar uma reta que torne a soma dos mínima.

Matematicamente isso corresponde a

e

. É razoável

acreditar que para que isso aconteça a reta desejada deve passar entre todos

os pontos experimentais. Destas duas expressões extraímos os valores dos

parâmetros a e b. O resultado é:

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

onde usou-se a notação de somatório: ∑ .

Exemplo de Determinação dos Coeficientes Angular e Linear

Considere uma medida de movimento retilíneo uniforme (MRU)

efetuado por um carrinho no laboratório. Foram medidos tanto sua posição

x (em metros) quanto o tempo t (em segundos) e os resultados estão

conforme a tabela 1. Construa o gráfico que representa o movimento e

determine a velocidade e a posição inicial do carrinho usando o método dos

mínimos quadrados.

Tabela 1. Valores experimentais da posição de um carrinho em função do

tempo.

X - tempo (s) Y - posição (m)

0,100 0,51

0,200 0,59

0,300 0,72

0,400 0,80

0,500 0,92

Para usarmos o método dos mínimos quadrados, sugere-se a

construção de uma tabela, conforme indicado abaixo, lembrando que aqui o

eixo x corresponde ao tempo t e o eixo y, à posição x:

Tabela 2. Tabela contendo os valores de x, y, x.y e x2, e suas respectivas

somatórias.

x(s) y(m) x.y x2

0,100 0,51 0,051 0,0100

0,200 0,59 0,120 0,0400

0,300 0,72 0,220 0,0900

0,400 0,80 0,320 0,1600

0,500 0,92 0,460 0,2500

Σx = 1,50 Σy = 3,54 Σx.y = 1,17 Σx2 = 0,55

Com esses resultados, basta substituir os valores nas fórmulas para a

e b, e lembrar que neste caso temos N = 5 medidas:

Portanto, temos que y = 1,08.x + 0,38 e se substituirmos os valores

de x da tabela 1 na função obtemos os seguintes valores de y:

Tabela 3. Valor da posição de um carrinho estimado através do método dos

mínimos quadrados em função do tempo.

X - tempo (s)

Y - posição (m)

(método dos mínimos

quadrados)

0,100 0,49

0,200 0,60

0,300 0,70

0,400 0,81

0,500 0,92

Fazendo o gráfico dos resultados da tabela 1 com a tabela 3 temos:

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,50,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

y = 0,29 m

Posi

ção (

m)

Tempo (s)

dados experimentais

método dos mínimos quadrados

x0 = 0,38 m

x = 0,30 s

logo:

v = 0,29/0,30 = 0,97 m/s

Figura 1. Evolução da posição do móvel em função do tempo.

Observe que o valor da velocidade calculado pelos dados da tabela 1

é igual a 0,97 m/s enquanto que para a curva determinada pelo método dos

mínimos quadrados é de 1,08 m/s, ou seja, este é o valor mais próximo do

valor real da velocidade do carrinho.

Exercício:

1. Estudando o movimento de um carrinho, efetuado ao longo de um trilho

de ar (movimento retilíneo uniforme) obteve-se os seguintes dados

experimentais, após:

Posição

(mm) t1 (s) t2 (s) t3 (s) t4 (s) t5 (s)

879 0,14 0,15 0,14 0,12 0,12

895 0,20 0,22 0,24 0,25 0,20

919 0,32 0,33 0,29 0,34 0,33

949 0,44 0,45 0,46 0,46 0,45

964 0,52 0,52 0,51 0,53 0,59

970 0,64 0,72 0,70 0,69 0,60

Uma posição para o sensor de medida no trilho foi escolhida e então

mediu-se o tempo gasto pelo carrinho para atingi-lo. Esta medida foi feita 5

vezes, correspondendo aos valores t1 , t2, t3, t4 e t5. Em seguida repetiu-se o

procedimento para outras 5 posições do sensor ao longo do trilho.

Determine utilizando o método dos mínimos quadrados a velocidade

do carrinho e sua posição inicial com os erros associados.

3.2 Linearização de Funções

Na maioria das vezes as funções que descrevem os fenômenos físicos

não são lineares, ou seja, não são funções do tipo y = a.x + b. Nestes casos,

quando construímos o gráfico de y = f(x) no papel milimetrado não

obtemos uma reta. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1. Pêndulo simples: Na tabela abaixo (fora do padrão), L é o

comprimento do fio de um pêndulo simples e T é o valor médio do período

de oscilação desse pêndulo, obtido de 10 medidas. Faça um gráfico de T

em função de L (ou seja, T × L). Adote ΔT = 0,05 s e ΔL = 0,05 m.

L (m) 1,44 1,32 1,22 1,10 0,94 0,71 0,53 0,41 0,29 0,16

T (s) 2,40 2,31 2,22 2,12 1,94 1,70 1,53 1,30 1,16 0,79

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,60,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

Per

íodo

, T (

s)

Comprimento, L (cm)

Exemplo 2. Velocidade do som no ar: para determinar a velocidade do som

no ar, mediu-se o comprimento de onda λ em função da freqüência f. Os

dados são mostrados na tabela a seguir.

f (Hz) 1000 800 600 400 200 100

λ (m) 0,3405 0,4340 0,5800 0,8655 1,7155 3,4556

Conhecendo as incertezas Δλ = 0,0005 m e Δf = 2 Hz, construir o gráfico

λ = f(f).

0 200 400 600 800 10000.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Com

prim

ento

de

onda

, (

m)

Frequência, f (Hz)

Observe que a função matemática que relaciona T e L no exemplo 1

e λ e f no exemplo 2 não são funções lineares. Neste caso vem a seguinte

pergunta:

O que fazer se as grandezas não têm relação linear?

Na maioria das vezes a relação entre duas grandezas físicas não é

linear e é fundamental descobrir de que tipo é e quais são os parâmetros

que caracterizam a relação entre as grandezas. Uma das maneiras de se

fazer isso é linearizar o gráfico. Isto pode ser feito de dois modos:

a) Fazendo uma mudança adequada de variável;

b) Mudando o tipo de papel (monolog ou di-log) ou escala (no caso do uso

do programa Excel).

A) Mudança de variável

A mudança de variável é muito útil quando já conhecemos a relação

funcional que existe entre as grandezas que estão sendo estudadas.

Exemplo 3. No caso de pêndulo simples sabemos que, sendo T o período,

L o comprimento do fio e g a aceleração da gravidade local, então:

√

A Equação 4 mostra que a função matemática entre T2 e L é linear, sendo

4π2/g o coeficiente angular da reta. Vamos construir o gráfico de T

2 × L e

verificar se isso acontece mesmo.

Determinação da aceleração da gravidade

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,60

1

2

3

4

5

6

Qua

drad

o do

Per

íodo

, T2 (

s)

Comprimento, L (cm)

Escolhendo dois pontos do gráfico e procedendo como especificado

anteriormente, encontraremos que a função matemática entre T2 e L é

T2 = 3,950L. Portanto, temos uma técnica para determinar a aceleração da

gravidade, isto é:

Exemplo 4. A velocidade do som v, a freqüência f e o comprimento de

onda λ estão relacionadas por

A Equação 5 mostra que a função matemática entre λ e 1/f é linear, sendo v

o coeficiente angular da reta. Vamos construir o gráfico de λ × f -1

e

verificar se isso acontece mesmo.

Determinação da velocidade do som no ar

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,0100,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

logo:

v = 0,865/0,0025 = 346 m/s

x = 0,0025 s

y = 0,865 m

Com

prim

ento

de

onda

, (

m)

Inverso da Frequência, 1/f (s)

Escolhendo dois pontos do gráfico e procedendo como especificado no

exemplo 3, encontraremos que a função matemática entre λ e 1/f é

λ = 346,0(1/f) Comparando com a Equação 5, obtemos a velocidade do

som no ar:

B) Mudando o tipo de papel (ou escala)

Neste caso é feita uma mudança no tipo de papel (ou escala, no caso

do uso do programa Excel) que está sendo empregado(a) na construção do

gráfico. Um tipo muito útil de escala é a logarítmica. Nesta escala, a

distância D entre duas marcas sucessivas não é constante, ela varia

logaritmicamente (Figura 1):

D = log(g) − log(g0) ,

isto é, ela é feita de tal maneira que a distância entre 1 e 2 é proporcional a

(log2 - log1); a distância entre 2 e 3 é proporcional a: (log3 - log2), por isso

as distâncias entre marcas sucessivas não são constantes. Numa escala

logarítmica, então, a escala é linear com o logaritmo da grandeza!

Figura 2. Escala logarítmica.

A Figura 2 mostra uma escala logarítmica maior, em que a graduação

correspondente à origem do eixo é g0 = 1 × 100.

Figura 3. Representação das décadas em uma escala logarítmica.

Note que existem trechos que se repetem: as décadas. Cada década

corresponde a uma potência de 10 da grandeza g a ser representada no eixo.

A escala mostrada acima apresenta 3 décadas. Portanto, quando for

necessário o uso de escalas logarítmicas, o primeiro cuidado é reescrever

todos os valores a serem representados na escala em notação científica,

para definir quantas décadas serão necessárias e em qual das décadas os

valores serão representados.

Exemplo 5. Representar numa escala logarítmica os seguintes valores:

A = 0,2 kg = 2.10-1

kg B = 5,0 kg = 5,0.100 kg

C = 30 kg = 3,0.101 kg D = 85 kg = 8,5.10

1 kg

Vê-se então que serão necessárias 3 décadas para representar estes valores.

Colocando na origem a graduação g0 = 1.10-1

e os valores serão marcados,

como mostrados na figura da página seguinte

Existem no mercado 2 tipos de papeis com escalas logarítmicas:

Mono-log: um dos eixos é uma escala linear e o outro é uma escala

logarítmica.

Di-log: neste papel os dois eixos são escalas logarítmicas.

Quando se usa o software Excel basta construir o gráfico a partir de

uma tabela x,y. Em seguida, para mudar a escala de cada eixo clique com o

botão direito do mouse sobre o eixo x, por exemplo, e vá em "Formatar

eixo". Nas opções que aparecem, basta selecionar o quadro "Escala

logarítmica" e definir a base desejada ( a mais convencional é a base 10,

para o caso de uma equação exponencial, y = a.enx

, utiliza-se a base 2,718).

A escala logarítmica é muito útil quando estamos tratando com

funções do tipo potência (y = a.xn) e do tipo exponencial (y = a.e

nx). Estas

funções sempre podem ser linearizadas com o uso de escalas logarítmicas.

i) Função tipo potência

Quando se suspeita que a relação x e y é da forma y = a.xn, procede-

se do seguinte modo:

Aplica-se o logaritmo a ambos os lados da equação:

log y = log (a.xn)

log y = log a + n.log x (6)

Fazendo log y = Y, log a = A e log x = X, obtém-se:

Y = A + nX,

que é a equação de uma reta, sendo n o coeficiente angular da reta e a

potência da função que relaciona x e y.

Portanto, vê-se que é possível transformar uma relação tipo potência

em uma relação linear aplicando o logaritmo.

ii) Função exponencial

Outro tipo de relação entre duas grandezas física muito comum e

bem simples é a exponencial: y = a.ebx

. Ela também pode ser linearizada

através de uma mudança de variáveis ou então fazer um gráfico em um

papel milimetrado, colocando os valores medidos de y no eixo das

ordenadas e colocar ebx

no eixo das abscissa e não as medidas x. Outra

possibilidade é utilizar um papel onde um dos eixos tem escala logarítmica

e o outro linear.

Quando se suspeita que a relação x e y é da forma y = a.ebx

, procede-

se do seguinte modo:

Aplica-se o logaritmo natural a ambos os lados da equação:

ln y = ln (a.ebx

)

ln y = ln a + bx ln e

ln y = ln a + bx (7)

Fazendo ln y = Y, ln a = A , obtém-se:

Y = A + bx,

que é a equação de uma reta, sendo b o coeficiente angular da reta.

Para obter o coeficiente angular da reta nos dois casos é feito do

seguinte modo:

Papel di-log: Neste caso teremos (Figura 4):

Relação de potência: y = a.xn , a = ? , n = ?

y

x

Papel Milimetrado

P1

P2

x2

x1

y1

y1

Papel Di-log

y

x

A

y2

Figura 4. Determinação das constantes no papel di-log.

a) Escolha dois pontos P1 e P2 de fácil leitura no papel di-log:

P1= (x1,y1) e P2= (x2,y2)

b) Substituindo as coordenadas dos pontos P1 e P2 na Equação 6, teremos:

log y1 = log a + n log x1 (7a)

log y2 = log a + n log x2 (7b)

Subtraindo as equações 7a e 7b e resolvendo para n:

log y1 - log y2 = log a + n log x1 - log a - n log x2

Tendo encontrado n, é só voltar a uma das equações 7a ou 7b e encontrar a.

Papel mono-log: Neste caso teremos (Figura 5):

Relação exponencial: y = a.eb.x

, a = ? , b = ?

y1

Papel Milimetrado

y

x

y

1

Papel Mono-log

y

x

y1

y2

P1

x1

x2

P2

A

Figura 5. Determinação das constantes no papel mono-log.

a) Escolha dois pontos P1 e P2 de fácil leitura no papel mono-log:

P1= (x1,y1) e P2= (x2,y2)

b) Substituindo as coordenadas dos pontos P1 e P2 na Equação 7, teremos:

log y1 = log a + b. x1 (8a)

log y2 = log a + b. x2 (8b)

Subtraindo as equações 8a e 8b e resolvendo para b:

log y1 - log y2 = log a + b. x1 - log a - b. x2

Tendo encontrado b, é só voltar a uma das equações 8a ou 8b e encontrar a.

Exercícios:

1. Efetue a linearização das funções abaixo:

a)

b)

c) √

d)

√

2. Diversos fenômenos físicos como o decaimento radioativo segue uma lei

matemática que é uma função de uma exponencial negativa. Outro

fenômeno mais próximo é o decréscimo de temperatura de uma xícara de

café. Dada uma temperatura inicial de 205ºC (exagerando obviamente),

podemos ver que o seu decréscimo será uma exponencial negativa até

atingir uma temperatura ambiente, 1 grau por exemplo (exagerando

novamente). Utilizando então os dados da tabela abaixo, vemos o

comportamento na figura 6:

Tempo (horas) Temperatura (ºC)

0 250

1 152

2 92

3 56

4 33

5 20

6 12

7 7

8 4

9 2

10 1

0 3 6 9 12 150

50

100

150

200

250

300

Te

mp

era

tura

(°C

)

Tempo (horas)

Decréscimo de Temperatura

Figura 6. Temperatura em função do tempo de uma hipotética xícara de

café.

Determine:

(a) o coeficiente angular da reta no gráfico monolog.

(b) o coeficiente linear da reta no gráfico monolog.

(c) a equação da reta no gráfico monolog.

(d) a função exponencial que gerou o gráfico da figura 6.

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